3 Analogie fyzikálních zákonů 231Mgr. Jan Martinek, Ph.D., Ústav fyziky FAST VUT v Brně, Žižkova 17, 602 00, [email protected]
1
Úvod
Tento učební text má název Mechanika tuhého tělesa. Mechanikou2 rozumíme popis souvislostí mezi po-hybem a silami. Tuhé těleso je pro nás prozatím nejasný pojem, který bude upřesněn později. Již nyní alelze tušit, že půjde o náhradu za běžné předměty, které nás obklopují.
Veškeré chování hmotných bodů nebo těles budeme předpovídat na základě Newtonových zákonů,přesněji řečeno na základě jejich moderního pojetí:
1. Jestliže na částici nepůsobí žádná celková síla, pak je možné vybrat takovou množinuvztažných soustav, zvaných inerciální vztažné soustavy, vzhledem ke kterým se částicepohybuje beze změny rychlosti.
2. Vzhledem k inerciální vztažné soustavě platí, že celková síla působící na částici je úměrnáčasové změně hybnosti. Hybnost je součin hmotnosti a rychlosti.
F =dp
dt=
d(mv)
dt
Jestliže se hmotnost částice nebude s časem měnit (což je velmi obvyklý případ), pak můžeme druhýNewtonův zákon dále upravit na
F = mdv
dt= ma
3. Jestliže částice A působí silou na částici B, pak B současně působí na částici A stejněvelkou silou opačně orientovanou.
Silnější forma tohoto zákona definuje, že obě síly působí podél stejné přímky.
Výše uvedené Newtonovy zákony obsahují všechny informace potřebné k vyřešení jakéhokoli problému,který se týká klasické mechaniky. Z toho plyne, že není zapotřebí nic dalšího dodávat, protože vše již byloprávě řečeno. Takto ale může k problému přistupovat počítač – dostane obrovské množství rovnic, vyřešíje a výsledkem bude poloha N hmotných bodů pro zadaný čas nebo M vektorů představujících působícísíly. . .
Člověk sice nevládne tak gigantickou výpočetní silou, ale zato je to tvor kreativní a dokáže najít cesty,jak si vystačit s daleko menším množstvím operací – dokáže problém zjednodušit. Proto se z Newtonovýchzákonů vyvodily dílčí závěry pro některé typické situace, a tak je možné si mnoho práce ušetřit jak přiřešení problémů, tak i při jejich formulaci. Tato výhoda ale není zadarmo. Je nutné se naučit řadu dalšíchpojmů a pravidel a na základě zkušenosti s počítáním příkladů si vybírat vhodnou cestu. V Newtonovýchzákonech není obsaženo, co je zákon zachování hybnosti či momentu hybnosti, co je těžiště tělesa nebomoment setrvačnosti, nikde se nemluví o otáčení tělesa ani o jeho rovnováze. Tyto pojmy a jejich vlastnostinejsou nutné pro sestavení základních zákonů, ale jsou velmi užitečné pro názornost, pochopení složitějšíchsoustav a pro jejich slovní popis.
V následujícím textu je popsáno chování hmotných bodů za rozličných okolností. Abychom mohlimluvit o poloze hmotného bodu, jeho rychlosti, zrychlení a dalších charakteristikách, je nutné si nejprvezvolit souřadnou soustavu. V celém učebním textu se budeme držet zásady, že zvolená souřadná soustavabude inerciální.
K volbě inerciální vztažné soustavy nás vede jediný důvod – snaha o jednoduchost. V soustavách,které nejsou inerciální, platí fyzikální zákony samozřejmě také, ale jejich formulace je buď složitější nebovyžaduje hlubší znalosti pro pochopení.
2z řeckého µηχανικη[mechanike] = stroj, nástroj
2
1 Soustava hmotných bodůNewtonovy zákony, jejichž znění najdete v úvodu, jsou formulovány pouze pro jeden hmotný bod. Hmotnýbod je myšlená částice, která má nulové rozměry, ale nenulovou hmotnost. Jak ale můžeme tyto zákonypoužít pro popis běžných předmětů či těles, které nás obklopují? Vždyť každá věc má nějaké rozměry amůže například rotovat nebo se deformovat – a s tím zdánlivě Newtonovy zákony nepočítají. Přesněji řečenonení nutné, aby v zákonech byla řeč o tělesech, protože chování těles lze odvodit. Můžeme předpokládat,že každé těleso se skládá z velkého množství hmotných bodů.
1.1 První impulsová věta
Jak se chová jedna částice, to již víme, protože to specifikují Newtonovy zákony. Nyní si představme, žemáme nikoli jednu, ale velké množství částic. Pak nastává komplikovaná situace, kdy každá částice másvou polohu, hmotnost a rychlost, přičemž ostatní částice na ni mohou působit silami, mohou ji přitahovatnebo odpuzovat a tím měnit její hybnost. Z těchto všech částic vyberme určitou skupinu (soustavu) Nčástic a pokusme se odhalit některé zajímavé zákonitosti, které pro ně platí. Máme tedy N částic, kde prokaždou z nich platí druhý Newtonův zákon
dpidt
= Fi
kde Fi je součet všech sil, které na i-tou částici působí. Je nutné si ujasnit, že každá síla je vždy způsobenanějakou částicí. Nemůže se stát, aby existovala síla sama o sobě. V souladu se třetím Newtonovým zákonemnajdeme ke každé síle částici, která je příčinou tohoto silového působení. Jestliže síla Fi představuje součetvšech působících sil, pak jistě dokážeme tyto síly rozlišit do dvou skupin podle toho, odkud pocházejí.Některé síly jsou způsobeny částicemi, které jsou součástí soustavy, kterou jsme si vybrali. Takové sílybudeme označovat pojmem interní. Síly, které nejsou interní, pocházejí od částic mimo soustavu a budemeje nazývat silami externími. Z toho vyplývá, že pro každou částici v naší soustavě můžeme napsat rovnicivycházející z druhého Newtonova zákona, a tak získáme N rovnic:
dp1dt
= F INT1 + F EXT
1
dp2dt
= F INT2 + F EXT
2
...dpNdt
= F INTN + F EXT
N
Pro jistotu si znovu připomeňme, že například zápisem F EXT2 máme na mysli součet všech externích sil
působících na druhou částici.Nyní všechny rovnice sečteme
N∑i=1
dpidt
=N∑i=1
(F INTi + F EXT
i
)a provedeme drobnou úpravu.
d
dt
N∑i=1
pi =N∑i=1
F INTi +
N∑i=1
F EXTi
Na levé straně rovnice se vyskytuje∑N
i=1 pi, což je součet hybností všech částic, které patří do soustavy.Takový výraz budeme označovat P a nazývat celkovou hybností soustavy. Na pravé straně rovnice můžemepouvažovat o součtu interních sil – je to součet všech sil, které jsou způsobeny částicemi uvnitř soustavy.Ze třetího Newtonova zákona plyne, že ke každé interní síle najdeme jinou interní sílu stejně velkou opačněorientovanou. Všechny interní síly se tedy vyskytují v párech a jestliže je sečteme, získáme nulu.
3
Externí síly spárované nejsou, protože uvažujeme pouze to, co působí na soustavu, nikoli jak soustavapůsobí na své okolí. Součet externích sil budeme označovat F a máme tím na mysli celkovou sílu působícína soustavu. Rovnici můžeme přepsat do tvaru
dP
dt= F
což je natolik pozoruhodný výsledek, že získal i své jméno – první impulsová věta. Rovnice totiž vypadájako druhý Newtonův zákon, ale narozdíl od něj platí pro soustavu částic, nikoli pouze pro jediný hmotnýbod. V Newtonově zákonu vystupuje hybnost částice a součet všech sil, které na částici působí. Naprotitomu v první impulsové větě je P celková hybnost soustavy, tj. součet všech hybností soustavy a F jecelková síla působící na soustavu.
Proto můžeme druhý Newtonův zákon aplikovat jen s drobnou obměnou v terminologii na celá tělesaa říkat, že hybnost tělesa zderivovaná podle času je rovna součtu všech sil, které na těleso působí.
1.2 Zákon zachování hybnosti
Z první impulsové věty vyplývá zákon zachování hybnosti. Uvažujme, že soustavu ponecháme bez vlivuvnějších sil. V takovém případě můžeme první impulsovou větu zjednodušit na
dP
dt= 0
Jestliže derivace nějaké veličiny podle času je nulová, pak se tato veličina s časem nemění, tj. zachováváse. V našem případě se zachovává celková hybnost soustavy, proto výše uvedený vztah nazýváme zákonzachování hybnosti.
To znamená, že soustava nemůže bez vnějších sil žádným způsobem změnit svou vlastní celkovouhybnost. Částice, které tvoří soustavu, se mohou různě pohybovat, působit na sebe vzájemně silami,přitahovat se, odstrkovat se jedna od druhé – ale celková hybnost soustavy zůstane stále stejná, kdyžsoustavu izolujeme od okolních sil.
Například, jestliže puška i s nábojem měla před výstřelem nulovou hybnost, pak musí mít obě tělesadohromady nulovou hybnost i po výstřelu. Kulka se pak pohybuje směrem dopředu a má-li zůstat celkováhybnost stejná, musí se puška pohybovat směrem dozadu – což je známo jako zpětný ráz.
Jestliže raketa i s palivem měla určitou hybnost před zažehnutím motorů, pak musí celková hybnostrakety i s vytrysknutými plyny zůstat stejná i po zažehnutí motorů. Plyny získaly rychlost směrem dozadua raketa se musela urychlit.
Granát letící vzduchem má určitou hybnost. Jestliže exploduje a rozletí se na střepiny, pak kdybychomposečítali hybnosti všech letících střepin, musíme získat hodnotu hybnosti stejnou jako před explozí.
1.3 Střed hmotnosti soustavy (těžiště)
Ukázali jsme, že první impulsová věta velmi připomíná druhý Newtonův zákon F = dpdt
a přitom ji můžemeaplikovat na soustavu částic, nikoli pouze na jednu částici. Postupně hledáme veličiny popisující větší celkynamísto jednotlivých částic. Prozatím jsme nalezli analogii k síle a stanovili jsme, že silou F , která působína celou soustavu budeme mít na mysli součet všech vnějších sil. Také jsme nadefinovali celkovou hybnostP jako součet jednotlivých hybností. Pro řešení příkladů a praktické výpočty nám toto nemůže stačit,protože celkovou hybnost ani neumíme spočítat. Není možné posečítat hybnosti všech částic, protože těchje mnoho, mohou mít různou polohu, rychlost a hmotnost. Bylo by praktické mít k dispozici vztah v podoběP = MV , do kterého bychom dosadili hmotnost a rychlost a tím vypočítali hybnost. Jenže co bychomměli dosadit za „rychlost soustavy“? To v této chvíli není jisté. Ale za M bychom zcela jistě mohli dosaditcelkovou hmotnost soustavy
M =N∑i=1
mi
4
a tím jsme určili další veličinu, kterou lze použít pro popis větších celků. Nyní zpět k hybnosti. Požadujeme,aby
P =MV
ale přitom víme, že
P =N∑i=1
pi =N∑i=1
mvi
takže
MV =N∑i=1
mivi
a když celou rovnici podělíme M , získáme
V =
∑Ni=1mivi
M
Takto vzniklý vztah prohlásíme za celkovou rychlost soustavy. Vztah poněkud připomíná vážený aritme-tický průměr, přičemž větší důležitost mají částice s vyšší hmotností. Jde o abstraktní pojem, protožesoustava může být složitá, každá její částice se může pohybovat jinam a přesto jsme již schopni říct, jakáje rychlost (i hybnost) soustavy jako celku. Ale příliš jsme si nepomohli, protože i nadále musíme pracovats jednotlivými částicemi. Proto pokračujme dále v úvahách.
Máme-li rychlost, pak víme, že je to derivace nějakého polohového vektoru, který označme R. Tensnadno určíme, protože
V =dR
dt=
d
dt
(∑Ni=1miri
M
)a tudíž
R =
∑Ni=1miri
M=
∑Ni=1miri∑Ni=1mi
Takto stanovený vektor bude reprezentovat polohu soustavy. Jak vidíme, z poloh a hmotností jednotlivýchčástic vypočítáme vektor R, který bude říkat, kde se soustava nachází, přestože ve zjištěném místě sežádný bod soustavy nemusí nacházet. Polohový vektor R může ukazovat do prázdného prostoru. Vztahpro výpočet opět připomíná vážený aritmetický průměr a důležitost jednotlivých bodů je vyjádřena jejichhmotností. Vektor R je natolik významný, že má i své jméno – nazývá se střed hmotnosti soustavy.
Kdyby měly všechny body stejnou hmotnost, vypočetli bychom střed hmotnosti jako aritmetický prů-měr ze všech poloh. To lze snadno ukázat. Nebude nutné rozlišovat hmotnost u jednotlivých částic, a takmísto mi budeme psát jenom m. Hmotnost m bude v tom případě konstanta, kterou můžeme vytknoutpřed sumu.
R =
∑Ni=1mri∑Ni=1m
=m∑N
i=1 ri
mN=
∑Ni=1 ri
N
Je to jako kdybychom sečetli všechny polohy částic a podělili jejich počtem. Jistě bychom získali nějakoustřední polohu. Přestože takto zjednodušený vztah platí pouze pro soustavy se stejně těžkými částicemi, jevýsledek užitečný. Dává totiž názornou představu o tom, kde bude střed hmotnosti u homogenních těles,tedy u takových, které mají ve všech místech stejnou hustotu, například protože jsou vyrobeny z jednohomateriálu. Jestliže navíc takové těleso vykazuje jistý druh symetrie, můžeme polohu středu hmotnostičasto odhadnout. Jestliže u tělesa najdeme osu, kolem které je hmota symetricky rozložena, bude na tétoose ležet střed hmotnosti. Tudíž, najdeme-li dvě takové osy souměrnosti, bude střed hmotnosti v jejichprůsečíku. Snadno tedy usoudíme, kde se bude nacházet střed hmotnosti u plošných útvarů (napříkladvystřižených z papíru) – kruhu, obdélníku, elipsy, ale i trojúhelníku. Obdobně můžeme zjistit střed hmot-nosti u homogenních trojrozměrných těles – koule, kvádru, elipsoidu, válce apod. Existují matematické
5
postupy, jak nalézt střed hmotnosti pro libovolné těleso i s nerovnoměrně rozloženou hmotností, ale tímse v této chvíli zabývat nebudeme.
Určili jsme, že bod R představuje polohu soustavy nebo tělesa a nazývá se střed hmotnosti. Jehoderivace podle času je vektor V , který reprezentuje rychlost středu hmotnosti. Díky tomu můžeme stanovitcelkovou hybnost soustavy P , protože tu vypočítáme jako
P =MV
kde M je celková hmotnost soustavy. Pro zjištění celkové hybnosti soustavy již nemusíme znát chováníjednotlivých částic, ale stačí vědět, jak se pohybuje střed hmotnosti. Tím jsme učinili velmi významnýkrok, protože jsme nalezli další veličiny, které charakterizují soustavu jako celek, a to polohu a rychlost.
Jestliže obě strany výše uvedeného vztahu zderivujeme podle času, dostáváme
dP
dt=
d(MV )
dt
Přičemž výraz na levé straně rovnice představuje vnější sílu působící na soustavu. Výraz na pravé straněrovnice můžeme chápat různě. Zcela obecně bychom jej měli považovat za derivaci součinu a psát
d(MV )
dt=
dM
dtV +
dV
dtM
Nejčastěji ale očekáváme, že se hmotnost soustavy nebude měnit, a takM můžeme považovat za konstantu(tj. její derivace bude nula). Dostaneme
F =MdV
dt=MA
kde vektor A znamená zrychlení středu hmotnosti. V některých situacích ale můžeme připustit, že sehmotnost soustavy může měnit, například když budeme přidávat částice do soustavy. Opět si zjednodušmepředstavu a uvažujme, že rychlost soustavy bude kostantní, ale hmotnost se bude měnit. Pak dostaneme
F = VdM
dt
což je typická situace pro raketový motor – z rakety tryskají plyny stále stejnou rychlostí (vůči raketě),ale jejich hmotnost se neustále zvyšuje. Proto bychom pomocí výše uvedeného vztahu mohli vypočítatsílu motoru. Samozřejmě to platí i pro jiné, obdobné situace, například hasičskou hadici, jejíž zpětný tahdokáže nezkušeného člověka snadno povalit. Tentýž princip se využívá u myčky nádobí. Nádobí se ostřikujevodou, která proudí z řady trysek umístěných na otočném rameni. Trysky jsou natočeny šikmo do strany,což způsobuje, že se celé rameno roztočí.
Uvažujme ale obvyklejší případ, kdy hmotnost soustavy zůstává neměnná, a tak platí F = MA. Jakvidíme, střed hmotnosti se chová v souladu s druhým Newtonovým zákonem, ačkoli on sám nemusí vůbecbýt součástí soustavy3.
Zrychlení středu hmotnosti bude záviset pouze na součtu vnějších sil a celkové hmotnosti soustavy.Vůbec nezáleží na tom, jak jsou síly rozmístěny. Je lhostejné, na které body soustavy síly působí, důležitýje pouze součet sil.
Soustava se může skládat z velkého množství hmotných bodů. Kdybychom si vybrali nějaký bod apůsobili na něj silou, pak by tento bod zrychloval a v důsledku toho by zrychloval i střed hmotnosti.Zajímavé ale je, že kdybychom toutéž silou působili na nějaký jiný, výrazně lehčí bod, pak bychom muzpůsobili větší zrychlení než v prvém případě – ale zrychlení středu hmotnosti by se nezměnilo.
3Nutno poznamenat, že existuje nekonečně mnoho dalších bodů, jejichž zrychlení je rovno F /M . Tuto podmínku splňujei jakýkoli jiný bod, který vůči středu hmotnosti nezrychluje, tj. je vzhledem ke středu hmotnosti buď v klidu nebo v pohyburovnoměrném přímočarém.
6
Uvažujme ještě o další situaci. Opět si vybereme nějaký bod a působením síly mu udělíme zrychlení atím i zrychlení středu hmotnosti celé soustavy. Co kdyby ale tento bod k sobě přitahoval všechny ostatníbody soustavy a tak by je vlekl s sebou? Na zrychlení středu hmotnosti by to nemělo žádný vliv. Zrychlenístředu hmotnosti by bylo stejné, jako by bod na ostatní body nijak nepůsobil a nechal se vnější silouurychlovat sám.
Jestliže ponecháme soustavu bez vlivu vnějších sil, pak bude platit
d2R
dt2= 0
což znamená, že onen bod nebude zrychlovat, jinými slovy setrvá v klidu nebo v pohybu rovnoměrnémpřímočarém bez ohledu na to, jaké procesy v soustavě proběhnou. Jediný způsob, jak změnit rychloststředu hmotnosti, je působit vnější silou.
Důležitý závěr této kapitoly je, že nyní máme pro celou soustavu hmotných bodů definovánu polohu,rychlost, zrychlení, hmotnost, hybnost a sílu působící na soustavu.
1.4 Druhá impulsová věta, zákon zachování momentu hybnosti
Moment hybnosti l jednoho hmotného bodu (částice) je definován
l = r × p
Nyní se podívejme, jak se moment hybnosti mění s časem. Bude nás tedy zajímat jeho derivace podle času:
dl
dt=
d
dt(r × p)
Vzhledem k tomu, že poloha r i hybnost p mohou záviset na čase, je potřeba použít pravidlo pro derivacisoučinu. V další úpravě tedy získáváme
=dr
dt× p + r × dp
dt
Sčítanec nalevo obsahuje derivaci polohy podle času, což je rychlost v . Ve sčítanci napravo se objeviladerivace hybnosti podle času, a to je síla F (viz druhý Newtonův zákon). Jestliže výraz upravíme, dostáváme
= v × p + r × F
Jak dále uvidíme, výraz nalevo je roven nule, protože se jedná o vektorový součin dvou rovnoběžnýchvektorů. Rychlost a hybnost jsou rovnoběžné vektory.
= v × vm+ r × F
takže jsme odvodili, žedl
dt= r × F
Výraz na pravé straně se nazývá moment síly a značí se M. Platí tedy
dl
dt=M
Nyní si všimněme situací, kdy derivace momentu hybnosti podle času je nulová, což znamená, že se momenthybnosti s časem nemění a tudíž se zachovává. To nastane tehdy, je-li výraz r × F roven nule. Můžemevypozorovat dva případy, kdy se moment hybnosti zachovává:
• Je-li síla F nulová
7
Obrázek 1: Moment hybnosti jedné částice, kterou ponecháme bez působení sil, se zachovává.
• Je-li síla F rovnoběžná s vektorem r
Moment hybnosti částice se tedy nemění, jestliže ji ponecháme bez vlivu jakýchkoli sil. Tento případmůžeme snadno nakreslit:
Na obrázku je zakreslena částice, která se přemístila z polohy r1 do místa r2 . Po celou dobu pohybuměla stále stejnou hybnost (p1 = p2 ), protože na ni nepůsobila žádná síla, která by hybnost mohla změnit.Čemu je ale roven moment hybnosti? Ten vypočítáme jako vektorový součin polohového vektoru r ahybnosti p. Je proto vždy kolmý na oba vektory r a p a jeho velikost je rovna ploše rovnoběžníka, kterýz obou vektorů vytvoříme. Na obrázku je tato plocha vyznačena pro první i druhou polohu bodu a měloby být patrné, že obě plochy jsou stejné. O ploše rovnoběžníka platí, že je rovna součinu základny a výšky– a v obou případech je základna tvořena vektorem hybnosti p1 nebo p2 (který se nemění) a výška takézůstavá stejná. Ta je vyznačena čárkovanou čárou.
Vidíme tedy, že moment hybnosti částice se nezmění.Dosud jsme diskutovali případ, kdy se moment hybnosti zachovává, protože na částici nepůsobí žádná
síla. Jak jsme již zmínili dříve, existuje situace, kdy se moment hybnosti zachovává i přesto, že síla nenínulová. Podmínkou je, aby síla byla rovnoběžná s polohovým vektorem r . Takovou situaci si můžemesnadno představit, jestliže je částice přitahována či odpuzována stále stejným bodem, a právě do tohotobodu umístíme počátek souřadné soustavy.
Příkladem může být planeta obíhající kolem Slunce. Přepokládejme, že Slunce je mnohonásobně těžšínež planeta, a tak Slunce můžeme považovat za nehybné a do jeho centra umístíme počátek souřadnésoustavy. V takovém případě je planeta stále přitahována gravitační silou do počátku souřadnic. Z tohovyplývá, že polohový vektor r a síla F jsou rovnoběžné, jejich vektorový součin je nulový a tudíž i momentsíly je nulový. Z toho vyplývá, že moment hybnosti zůstává konstantní (jeho derivace je nulová), tedy sezachovává. Nebudeme zabíhat do podrobností a řešit pohyb planety kolem Slunce, příklad sloužil pouzepro ilustraci. Ale můžeme prozradit, že úvaha o momentu hybnosti obíhající planety vede ke druhémuKeplerovu zákonu.
Dosud jsme zkoumali chování pouze jediného hmotného bodu, ale nyní uvažujme, že máme celousoustavu částic. K lepšímu pochopení této kapitoly doporučuji mít prostudováno odvození první impulsovévěty, protože mnoho myšlenek se bude opakovat. Stejně jako u první impulsové věty, i nyní budemeuvažovat, že částice na sebe působí a toto působení bude vycházet zevnitř soustavy anebo zvenčí, ukážese, že vnitřní působení se vzájemně vyruší a pouze to vnější bude měnit nějakou celkovou charakteristikusoustavy.
Zatímco u první impulsové věty byla řeč o silách a hybnostech, nyní budeme uvažovat momenty sil amomenty hybností.
Předpokládejme, že částice rozdělíme do dvou skupin. Vybereme ty, co patří do soustavy která nászajímá a tyto částice si očíslujeme jedna až N . Ostatní částice budeme považovat za okolí. Na každou
8
Obrázek 2: Jestliže počátek souřadné soustavy umístíme do Slunce, pak se moment hybnosti planetyzachovává.
částici ze soustavy může působit moment síly. Pro i-tou částici proto platí
dlidt
=Mi
kde Mi je součet všech momentů sil působících na i-tou částici. Moment síly je vždy způsoben nějakoujinou částicí, která je buď součástí soustavy anebo patří do okolí. Na základě toho můžeme momenty silrozdělit na interní a externí. Interní momenty vycházejí od částic patřících do soustavy, zatímco externímomenty jsou způsobeny částicemi z okolí. Proto můžeme pro celou soustavu napsat N rovnic ve tvaru
dl1dt
= MINT1 +MEXT
1
dl2dt
= MINT2 +MEXT
2
...dlNdt
= MINTN +MEXT
N
Jestliže všechny tyto rovnice posečítáme, získáme
N∑i=1
dlidt
=N∑i=1
(MINTi +MEXT
i )
což můžeme upravit nad
dt
N∑i=1
li =N∑i=1
MINTi +
N∑i=1
MEXTi
Výraz na levé straně rovnice představuje součet momentů hybnosti všech částic. Takovou veličinu budemeoznačovat L a nazývat celkový moment hybnosti soustavy. Platí tedy
dL
dt=
N∑i=1
MINTi +
N∑i=1
MEXTi
Na pravé straně rovnice najdeme součet všech interních momentů. Pouvažujme o tom, zda se momentyvyskytují v párech a zda pro momenty platí analogie třetího Newtonova zákona. Kdybychom měli pouzedva hmotné body o souřadnicích r1 a r2, mohly by na sebe vzájemně působit silami F1 a F2 , které by byly
9
Obrázek 3: Dvě částice na sebe mohou vzájemně působit momentem síly. Oba momenty jsou vždy stejněvelké a opačně orientované. Na pravé části obrázku je zakreslen vektor r2 − r1, který je rovnoběžný s pů-sobícími silami, což využijeme při důkazu.
stejně velké, opačně orientované. Na první bod bude působit síla F1 momentem M1, zatímco na druhý bodpůsobí síla F2 momentem M2. Pro momenty sil bude platit
M1 = r1 × F1
M2 = r2 × F2
Jestliže oba momenty sečteme, dostaneme
M1 +M2 = r1 × F1 + r2 × F2
a protože ze třetího Newtonova zákona platí F1 = −F2, můžeme součet momentů upravit na
= −r1 × F2 + r2 × F2 = (r2 − r1)× F2
a to je rovno nule, protože jde o vektorový součin dvou rovnoběžných vektorů. Člen (r2 − r1) znamenávzájemnou polohu obou bodů. Takový vektor je zcela jistě rovnoběžný s působícími silami, protože před-pokládáme, že akce a reakce působí podél stejné přímky4. Situace je znázorněna na obrázku (3), kde jsouzakresleny dvě částice, které se vzájemně odpuzují. Momenty sil se vypočítají jako vektorové součiny ajejich velikosti odpovídají velikosti ploch rovnoběžníků. Z obrázku by mělo být zřejmé, že plochy rovno-běžníků vytvořených z polohových vektorů a sil jsou stejné.
Co jsme tedy zjistili? Jak plyne z velikosti ploch rovnoběžníků, oba momenty jsou stejně velké a jezřejmé, že jejich smysl je vzájemně opačný. Ke stejnému závěru jsme došli i výpočtem, kdy jsme dokázali,že součet obou momentů je roven nule. To znamená, že působí-li jedna částice na druhou momentem síly,pak působí současně druhá částice na první stejným momentem opačně orientovaným. Momenty sil se tedystejně jako síly vždy vyskytují v párech. Z toho vyplývá, že součet všech interních momentů sil je rovennule.
Je-li součet všech interních momentů roven nule, pak platí vztah
dL
dt=M
který se označuje jako druhá impulsová věta. Veličinou M máme na mysli součet všech externíchmomentů a jak vidíme, pouze externí momenty mohou změnit celkový moment hybnosti L. Kdyby bylsoučet všech externích momentů roven nule, bude platit
dL
dt= 0
4Často se u třetího Newtonova zákona neuvádí, že akce a reakce působí podél stejné přímky, ale v tomto případě je tonutný předpoklad.
10
což znamená, že se celkový moment hybnosti nebude měnit, a proto výše uvedený vztah nazýváme zákonzachování momentu hybnosti. Druhou impulsovou větu ani zákon zachování momentu hybnosti prozatímnemůžeme plně využít, protože neumíme stanovit celkový moment hybnosti rotujícího tělesa. Velký pokrokv tomto směru bude znamenat kapitola pojednávající o momentu setrvačnosti.
1.5 Těžiště soustavy hmotných bodů (působiště gravitační síly)
Při výpočtech budeme velmi často potřebovat informaci, jakým momentem síly působí gravitace na určitétěleso, přičemž vlastnosti tělesa, tedy jeho rozměry, hmotnost či rozložení hustoty obvykle známe. Zvolímesi souřadnou soustavu a pak můžeme použít následující postup: rozložíme těleso na jednotlivé hmotnébody, zjistíme moment gravitační síly působící na každý z nich a následně momenty sečteme. To je alevelmi zdlouhavé a nepraktické.
Obrázek 4: Nechť je těleso složeno z několika hmotných bodů. Hledáme takový bod, do kterého lze sou-středit hmotnost celého tělesa při zachování stejného momentu gravitační síly.
Jiný způsob je takový, že celé těleso nahradíme jediným hmotným bodem. Na tento bod musí pů-sobit gravitační síla stejně jako na původní těleso. Tedy součet sil i součet momentů sil musí souhlasit.Požadujeme-li, aby na hmotný bod působila gravitace stejnou silou jako na původní těleso, pak je ihnedzřejmé, že hmotnost bodu musí být stejná jako hmotnost tělesa. Zbývá určit, kde musí být hmotný bodumístěn, aby se celkový moment sil nezměnil. Tuto neznámou polohu označme R a gravitační sílu označmeG. Moment síly působící na hmotný bod pak vypočteme R × G. Musí platit
R ×n∑
i=1
mig =n∑
i=1
ri ×mig
Na levé straně rovnice je moment celkové gravitační síly, která má působiště v bodě R. Na pravé straněrovnice je součet všech momentů sil působících na jednotlivé body tělesa. Drobnými úpravami získáváme
R × gn∑
i=1
mi =n∑
i=1
miri × g
a nyní vydělíme obě strany rovnice sumou hmotností
R × g =
∑ni=1miri∑ni=1mi
× g
Na první pohled je vidět, že rovnici vyhovuje řešení
R =
∑ni=1miri∑ni=1mi
a takto určený bod budeme nazývat těžiště. Ve vztahu pro výpočet vystupují pouze hmotnosti jednotlivýchhmotných bodů a jejich poloha.
11
1. Hledání působiště síly
V předchozím odvození jsme se dopustili drobného podvodu. Hledali jsme bod, do kterého můžeme sou-středit hmotnost tělesa tak, aby moment gravitační síly zůstal stejný. Nalezené řešení je sice správné, alenení jediné. Rovnice má totiž nekonečně mnoho řešení a my jsme vybrali pouze jedno. Ve skutečnosti nelzejednoznačně nalézt působiště nějaké síly, známe-li její směr i velikost a máme docílit daného momentu síly.Zmiňuji se o tom úmyslně, protože právě tento úkol bývá podstatou mnoha cvičných příkladů a je obtížnési zkontrolovat výsledky, jestliže existuje nekonečně mnoho řešení.
Znovu se vraťme k hledání těžiště. Máme sílu F , kterou musíme umístit do hledaného bodu R tak, abyvýsledný moment byl M:
R × F =M
Z této rovnice nelze určit vektor R jednoznačně. Řešením je totiž přímka rovnoběžná s vektorem F .V předchozím postupu jsme nalezli těžiště, které rovnici vyhovuje. Nyní tedy víme, že by rovnici vyhovovali jakýkoli další bod, který leží na přímce rovnoběžné s gravitační silou, přičemž tato přímka procházítěžištěm. Jinak řečeno, působiště gravitační síly může být nejen v těžišti, ale kdekoli na svislici procházejícítěžištěm a přitom by moment gravitační síly zůstal zachován. Tato svislice se nazývá těžnice.
Jak vidíme na následujícím obrázku, existuje nekonečně mnoho vektorů R, které dávají s vektoremF daný vektorový součin. Na obrázku je vyznačeno několik dvojic vektorů, které zcela jistě dají stejnouplochu rovnoběžníka. Všechny rovnoběžníky by měly stejnou základnu i výšku a tudíž i stejný obsah,potažmo vektorový součin.
Obrázek 5: Působiště gravitační síly může být nejen v těžišti, ale kdekoli na svislici procházející těžištěm.
Snadno si tuto situaci představíme i v reálném životě. Jestliže k nějakému tělesu upevníme provázeka potáhneme za něj, pak je lhostejné, jak dlouhý provázek bude. Na těleso bude mít naše síla stále stejnéúčinky. Naopak, jestliže známe účinky naší síly na těleso (známe tedy sílu i její moment), nelze určit, jakje provázek dlouhý a tudíž nelze říci, kde přesně je působiště síly. Stejně dobře bychom mohli těleso tlačitpoužitím libovolně dlouhé tyče – působiště síly se může nacházet kdekoli na tyči nebo provázku a výslednýmoment síly zůstane stejný.
Proto se hned neobávejte, že jste příklad vypočetli nesprávně, jestliže máte najít působiště síly a vycházívám jiné souřadnice, než jsou uvedeny ve výsledku. Je potřeba provést zkoušku.
2 Tuhé těleso, translace, rotace
Dosud jsme uvažovali o jednom hmotném bodu anebo o celé soustavě skládající se z velkého množstvíhmotných bodů. U jediné částice bylo snadné si představit její pozici, protože ta je dána třemi souřad-nicemi určujícími její polohu. Je-li částic mnoho, pak již není možné brát v úvahu polohu každé z nichzvlášť, ale zavedli jsme některé globální charakteristiky, které soustavu popisují – celkovou hybnost, celko-vou hmotnost, střed hmotnosti a celkový moment hybnosti. V reálném světě se naštěstí často setkáváme
12
s případem, kdy částice tvoří tuhá tělesa nebo to alespoň můžeme s rozumnou přesností předpokládat. Tonám umožní zavést další veličiny, které budou stav soustavy popisovat. Tuhým tělesem rozumíme soustavučástic, které si navzájem udržují stejnou vzájemnou pozici. Vzájemně se vůči sobě nepohybují a takto vy-tvořené těleso bude mít stále stejný tvar. Tuhé těleso se může jako celek v prostoru různě pohybovat, aleukazuje se, že je rozumné pohyb rozdělit na dva druhy – na translaci a rotaci. Translací rozumíme posuvnýpohyb, při kterém se přemísťuje střed hmotnosti tělesa. Rotací máme na mysli otáčení o nějaký úhel kolemnějaké osy. S translací jsme se již setkali, protože ta dává smysl u jakékoli soustavy aniž by musela tvořittuhé těleso. Jde o přesun středu hmotnosti a ten je definován pro libovolnou soustavu. Zrychlení středuhmotnosti je určeno celkovou hmotností soustavy a součtem vnějších sil, což jsme již probrali v minulýchkapitolách.
Zato rotace je novým pojmem, protože ta dává smysl pouze pro tuhá tělesa. Jen u tuhých těles můžemeurčit osu, kolem které se má těleso otáčet. Zavedeme proto úhel otočení, který budeme značit ϕ. Je tovektor, jehož velikost určuje, o kolik radiánů se těleso otočilo. Směr tohoto vektoru bude rovnoběžný s osourotace. Mělo by být zřejmé, že například úhel ϕ = [0; 2π; 0] znamená jednu otáčku kolem osy rovnoběžnés osou ypsilon. Obdobně například ϕ = [−π; 0; 0] bude znamenat půl otáčky kolem osy rovnoběžné s osou x.Je potřeba ještě specifikovat směr otáčení. Můžeme si představit šroub či vývrtku zavrtávající se ve směruvektoru ϕ. Tím je určen smysl otáčení. Samozřejmě máme na mysli pravotočivý závit a pravotočivý systémsouřadnic.
Podobně jako se z polohového vektoru určuje rychlost pomocí derivace a zrychlení pomocí druhé deri-vace, zavádíme analogicky i úhlové veličiny. Úhlovou rychlost ω
ω =dϕ
dt
a úhlové zrychlení ε
ε =dω
dt=
d2ϕ
dt2
K procvičení zkuste určit směr úhlové rychlosti pro níže uvedené situace. Předpokládejte, že osa x směřujenapravo, osa y nahoru a osa z k vám.
• Vývrtka zavrtávající se do láhve vína.Řešení: Láhev vína stojí, vývrtka se zavrtává směrem dolů: [0;−ω; 0]
• Jste pravák a hodíte létající talíř směrem od vás.Řešení: Smysl otáčení je stejný jako v předchozím případě s vývrtkou, takže [0;−ω; 0]
• Otáčení kohoutkem při pouštění vodyŘešení: Kohoutek odšroubováváme, takže postupuje směrem k nám, to znamená souhlasně s osou z. [0; 0;ω]
• Otáčení klíčem při odemykání dveří s pantem napravo.Řešení: Otáčení je stejné, jako bychom něco zašroubováváli směrem od nás, tj. proti ose z. [0; 0;−ω]
• Kolo od bicyklu, který jede směrem k nám.Řešení: Otáčení je stejné, jako otáčení šroubu, který se zavrtává ve směru osy x. [ω; 0; 0]
2. Odmotávání vlákna, kutálení, odvalování
U tuhého tělesa uvažujeme posuvný pohyb (translaci) a otáčivý pohyb (rotaci). Často bývá rotační pohybvázán určitým mechanismem na nějaké jiné pohyby, a to obykle můžeme vyjádřit rovnicí. Například nějakérotačně symetrické těleso se může valit po rovné podložce a díky tření nebude docházet k prokluzování.Teoreticky (opravdu pouze teoreticky) tak můžeme vypočítat, kolikrát se kolo od auta otočilo, jestližeznáme dráhu, kterou auto ujelo a zjistíme si velikost kola. Výpočet nebude pravdivý v případě, kdyauto během své cesty zabrzdilo tak prudce, že se kola zablokovala a po silnici se pohybovala smykem.
13
Obrázek 6: Poloha středu valícího se tělesa je pevně svázána s úhlem otočení. Stejně tak rychlost těžiště(translace) souvisí s úhlovou rychlostí (rotací).
Nebo naopak, jestli se při zrychlování dostala kola do prokluzu. Jestliže se ale po celou dobu jízdy kolaodvalovala bez smyku, můžeme situaci znázornit následujícím obrázkem:
Přímo z definice jednoho radiánu vyplývá, že jestliže se kolo otočí o jeden radián, musí urazit vzdálenostrovnu poloměru kola. Jeden radián je totiž takový úhel, který na kružnici vymezuje oblouk, jehož délka jerovna poloměru kružnice. Protože jsme počátek souřadné soustavy umístili do středu kola, bude platit, že
s = rϕ
Kde s je ujetá dráha a ϕ je úhel otočení kola. Snadno si můžeme představit, že po jedné otáčce kola (tedyúhel ϕ bude 2π radiánů) ujede auto dráhu rovnu obvodu kola – což je 2πr. Předchozí vzorec ale sloužípouze pro názornost. Pro praktické výpočty jej v této podobě nemůžeme ponechat, protože nebere v úvahusmysl otáčení a také to, že úhel otočení i poloha jsou vektorové veličiny. Vztah ve skutečnosti platí proz-ovou složku úhlu a pro x-ovou složku polohy. Tedy
rx = −rϕz
Záporné znaménko je zde nutné kvůli tomu, že úhel ϕz narůstá do záporných hodnot, zatímco zatímcodráha bude kladná. Kdyby kolo se pohybovalo obráceně, bude vztah platit beze změny, protože se změníznaménko na obou stranách rovnice (změní se směr pohybu i směr otáčení). To je výhodné, protože nazačátku nemusíme vědět, jak se bude kolo pohybovat a přesto můžeme rovnici napsat. Jestliže vztahzderivujeme podle času, získáváme
vx = −rωz
Zatímco předchozí vztah platil pro polohu a úhel, tento vztah platí pro rychlost a úhlovou rychlost.Naprosto zásadní rozdíl je v tom, že nyní již nemusíme počátek souřadné soustavy umístit do středu kola.Vztah pro rychlosti bude platit, i pro libovolně posunutou vztažnou soustavu. Dalším zderivováním bychomzjistili, jak spolu souvisí zrychlení a úhlové zrychlení:
ax = −rεz
Vztah pro zrychlení klade na volbu vztažné soustavu ještě menší nároky, ale to již rozebírat nebudeme.Uvažujme nyní jinou situaci. Máme závaží, které je zavěšeno na vlákně a to se odmotává z otáčejícího
se bubnu.Můžeme si představit, že závaží klesá (takže ypsilonová souřadnice bude záporná) a z-ová složka úhlu
otočení bubnu bude taktéž záporná. Vztah pro polohu závaží a úhel otočení bubnu by mohl vypadat takto
−ry = −rϕz
ale bude platit pouze tehdy, když nulovému úhlu bude odpovídat nulová poloha závaží. To nám kladeurčitá omezení na volbu souřadné soustavy a na počáteční délku provázku. Zatímco vztahy pro rychlosti
−vy = −rωz
14
Obrázek 7: Z bubnu se odmotává vlákno, na kterém visí závaží. Existuje tedy vztah mezi úhlovou rychlostíbubnu a rychlostí závaží.
i pro zrychlení−ay = −rεz
budou platit pro libovolnou počáteční délku provázku a souřadnou soustavu můžeme dle potřeby libovolněposunout.
Podobný princip můžeme uplatnit i pro dvě kola spojená pásem, řetězem nebo řemenem, který před-stavuje převod. Roztočíme-li jedno kolo, roztočí se i druhé.
Obrázek 8: Pás, řetěz nebo řemen mezi dvěma koly způsobuje, že úhlové rychlosti obou kol jsou v poměrujejich velikostí (poloměru, průměru nebo obvodu).
Sledujme bod, který je vyznačen na řetězu a uvažujme, že se pohybuje směrem doleva. Napíšeme pouzevztahy týkající se rychlostí a zrychlení. Indexem u veličiny budeme rozlišovat, zda se jedná o kolo číslojedna nebo kolo číslo dva.
−vx = r1 ω1 ⇒ −ax = r1 ε1
−vx = r2 ω2 ⇒ −ax = r2 ε2
Ze vztahů vyplývá i užitečná informace, jak souvisí rychlosti otáčení s poloměrem kol:
r1ω1 = r2ω2
Vztah bude platit i tehdy, jestliže namísto poloměru napíšeme průměr či obvod nebo počet zubů a namístoúhlové frekvence ω můžeme psát i frekvenci otáčení f . Dále, aniž bychom zabíhali do detailů, si můžemevšimnout momentů sil, které působí na obě kola. Řetěz sice přenáší stále stejnou sílu, ale každé kolo májiný poloměr, a tak i moment síly bude jiný. Čím větší bude poloměr, tím větší bude působící moment síly,ale tím menší bude rychlost otáčení. A protože moment síly vynásobený úhlovou frekvencí dává výkon,snadno vytušíme, že energie se zachovává. Tyto úvahy platí pro všechny typy převodovek, protože jejich
15
Obrázek 9: Známe-li počet zubů na převodníku i pastorku a velikost kola, můžeme z frekvence šlapánívypočítat rychlost jízdního kola.
smyslem je měnit moment síly a frekvenci otáčení na jiné hodnoty, přičemž energie se musí zachovávat(tepelné ztráty zanedbejme). V běžném životě se s převodovkou setkáme u jízdního kola.
Nebudeme již situaci podrobně rozebírat, pouze napíšeme vztah mezi úhlovou frekvencí kliky a rychlostí,kterou se bicykl pohybuje.
vx = −Nr
NR
Rωz
kde Nr je počet zubů na převodníku, NR je počet zubů na pastorku, R je poloměr zadního kola a ωz jeúhlová frekvence otáčení klik. Odvození výše uvedeného vztahu doporučuji jako cvičení, protože se v němuplatňují všechny principy probrané v této kapitole.
2.1 Rovnováha tuhého tělesa, výpočet namáhání
Rovnováhou tělesa rozumíme stav, kdy se těleso nijak nepohybuje, setrvává v klidu, a tudíž jeho hybnosti moment hybnosti jsou nulové. Tuhé těleso nemění svůj tvar, a tak jedinou možností jeho pohybu jetranslace a rotace. Translací rozumíme pohyb středu hmotnosti (těžiště). Z první impulsové věty vyplývá,že těžiště můžeme rozpohybovat pouze vnějšími silami. Jestliže chceme, aby těžiště zůstalo bez pohybu,musí být součet vnějších sil roven nule. Tím jsme zformulovali jednu podmínku pro statickou rovnováhu,ale tato podmínka nestačí. I kdyby vnější síly dávaly v součtu nulu, mohly by způsobit roztočení tělesakolem osy procházející těžištěm. Jestliže chceme zabránit i roztočení (změně momentu hybnosti), musí býttaké součet působících momentů roven nule. Je to důsledek druhé impulsové věty. Pro statickou rovnováhumusí platit, že součet všech sil i součet všech momentů sil musí být roven nule, což můžeme zapsat jako
F1 + F2 + F3 + . . .+ Fn = 0
M1 +M2 +M3 + . . .+Mn = 0
a to v případě jednoho tělesa představuje šest rovnic (síla i moment síly mají tři složky).
1. Stabilita rovnováhy
Je poměrně snadné vypočítat, ve kterém místě je nutné podepřít dlouhou tyč, aby zůstala v rovnováze.Intuitivně tušíme, že musíme najít těžiště, a to se zcela jistě nachází uprostřed. Zkuste to ale realizovatprakticky. I při té nejlepší snaze a pečlivosti tyč vždy spadne, což může být pro mnohé překvapením.Problém spočívá ve stabilitě (tedy spíše nestabilitě) tyče. Situaci vidíme na následujícím obrázku.
16
Obrázek 10: Přestože dlouhou tyč podepřeme přesně v těžišti, zůstane její rovnováha labilní.
Při její teoretické rovnovážné poloze je součet všech sil i součet všech momentů sil nulový. Stačí všakdrobná výchylka a tyč se nikdy samovolně nevrátí do své původní rovnovážné polohy. Naopak, vzniknemoment sil, který výchylku ještě více zvyšuje. Větší výchylka způsobí ještě další zvětšení momentu sil adříve či později tyč spadne.
V běžném životě bychom mohli takových případů najít mnoho. Notoricky známé je například Ko-lumbovo vejce, tedy úkol postavit vejce na špičku, aby zůstalo stát bez vnější pomoci. Kolumbus údajněproblém vyřešil tím, že u špičky mírně naklepl skořápku, a pak již lze vejce postavit relativně snadno.
Obrázek 11: Teoreticky je možné postavit vejce na špičku tak, aby zůstalo stát ve stabilní rovnováze.Podmínkou však je, aby se jeho těžiště nacházelo velmi blízko špičky, což běžné vejce v žádném případěnesplňuje.
Popsané situace byly příkladem labilní rovnováhy, kdy reálné těleso vždy spadne, překlopí se nebo seskutálí. Opakem je stabilní rovnováha. Například, položíme-li minci na rovnou podložku, zůstane ležet bezpohybu. Minci bychom mohli s trochou opatrnosti postavit i na hranu a zůstala by taktéž v klidu aniž byspadla, ale je zřejmé, že mince nastojato bude méně stabilní než mince naležato. Jiným příkladem můžebýt váza – ze zkušenosti víme, že vysoká a štíhlá váza je méně stabilní než nižší a širší. Přesněji řečeno,rozhodující je podstava vázy. Váza s květinami bývá méně stabilní než váza bez květin, nicméně u těžšívázy se rozdíl ve stabilitě projeví méně. A nalijeme-li do vázy vodu, její stabilita se zvyšuje, ale jen dourčité míry. Uvažujme jiný příklad – ramínko na šaty. Víme, že spočívá ve stabilní rovnováze, přestože sevěšákové tyče dotýká v jediném bodě, takže u něj vůbec nemá význam mluvit o velikosti podstavy.
Jak vidíme, se stabilitou rovnováhy se setkáváme často a mnohdy intuitivně víme, které faktory jiovlivňují. Co je oním měřítkem stability? Je to síla, kterou musíme vyvinout, abychom těleso vychýlili?Nebo energie, kterou musíme tělesu dodat, aby se převrhlo? Nebo úhel, o který musíme těleso vychýlit, abyspadlo? Kritérií existuje celá řada, ale abychom rovnováhu rozlišili na stabilní a labilní, budeme si všímatpouze polohy těžiště tělesa. Jestliže těleso nepatrně vychýlíme, jeho těžiště se může zvýšit, snížit nebozůstat v původní výšce. Chceme-li zvýšit těžiště tělesa, musíme působit silou a konat práci, což samovolněnenastane. Proto jde o stabilní rovnováhu, jestliže se při drobné výchylce zvyšuje těžiště. Naproti tomu,
17
všechna tělesa mají tendenci vlivem gravitační síly snižovat své těžiště, pokud tomu nezabráníme. Takžesnižuje-li se těžiště při drobné výchylce, jde o rovnováhu labilní. Jestliže se výška těžiště při vychylovánínemění, mluvíme o indiferentní rovnováze. Běžnou situací je těleso, které spočívá ve stabilní rovnováze na
Obrázek 12: Všechny body tělesa (a tedy i těžiště) se při překlápění otáčejí kolem bodu, který je krajnímbodem podstavy. Převrhnutí tělesa znamená vychýlit jej do takové míry, že se těžiště dostane nad bodotáčení. Jak vidíme na obrázku, lampičku lze na jednu stranu překlopit snáze než na druhou stranu.
vodorovné podložce. V takovém případě často požadujeme, aby co nejlépe odolávalo pokusům o převrh-nutí. Rozhodující parametry jsou tyto:
• Velikost podstavy Podstava by měla být co největší, protože při překlápění se těleso otáčí kolemjejího krajního bodu.• Výška těžiště Nemá sice vliv na překlápěcí moment a tudíž ani na sílu, ale snížení těžiště vždy
zvětší úhel i energii nutnou k převrácení.• Hmotnost Měla by být co nejvyšší, protože energie, síla i moment síly na ni bude přímo úměrně
záviset.• Výška Svou roli může hrát i samotná výška, protože čím vyšší těleso, tím menší sílu potřebujeme
k vyvinutí překlápěcího momentu. Nemusí to být pouze výška tělesa, ale například vzdálenost ně-jakého výčnělku od osy otáčení. Moment síly, úhel ani energie se tím neovlivní, ale síla může býtmenší, protože bude mít delší rameno.
2.2 Moment setrvačnosti
Velmi často se setkáváme s případem, kdy nějaké těleso rotuje. Tělesa mohou mít různý složitý tvar amohou mít komplikované rozložení hmotnosti a mohou rotovat kolem libovolné osy. Ukazuje se, že některérotační charakteristiky těles lze vyjádřit pomocí několika málo čísel, což výrazně zjednoduší představy ausnadní výpočty. Veličina, která nese tyto užitečné informace o tělese, se nazývá moment setrvačnosti aznačí se J . Ve svém obecném pojetí se jedná o tzv. tenzor, což je matice, která v tomto případě obsahujedevět prvků (třikrát tři), přičemž šest z nich je nezávislých. Jeho jednotkou je kgm2 (kilogram krát metrna druhou).
1. Souvislost momentu setrvačnosti s rotační energií
Začněme tím, že vypočítáme, jakou energii musíme dodat tělesu, abychom jej roztočili z klidu na úhlovourychlost ω. Pro i-tý bod bude platit
Ei =1
2miv
2i
Protože ve vztahu vystupuje druhá mocnina rychlosti, což je skalár, můžeme pracovat pouze se skaláry.Nechť Ri je vzdálenost od osy rotace. Pak musí platit, že v 2
i = R2iω
2 a vztah můžeme přepsat pomocí
18
úhlové rychlosti. 5
Ei =1
2miR
2iω
2
Máme-li zjistit celkovou dodanou energii, posečítejme všechny rovnice pro jednotlivé body.
E =N∑i=1
1
2miR
2iω
2
Úhlová rychlost je stejná pro všechny body, tak ji spolu s jednou polovinou vytkněme před sumu.
E =1
2ω2
N∑i=1
miR2i
Sumu∑N
i=1miR2i budeme nazývat moment setrvačnosti a značit J . Pak lze rotační energii napsat ve tvaru
E =1
2Jω2
Takže známe-li moment setrvačnosti tělesa, pak lze snadno vypočítat, jak souvisí dodaná energie s rychlostíjeho rotace.
2. Souvislost momentu setrvačnosti a momentu hybnosti
Moment setrvačnosti můžeme využít nejen k výpočtu energie, ale také ke zjištění momentu hybnosti L.Existují situace, kdy platí následující vztah
L = Jω
Vztah je jednoduchý, ale platí jen někdy, protože jsme moment setrvačnosti J zjednodušili na pouhý skalár.Z rovnice je na první pohled vidět, že moment hybnosti má být L rovnoběžný s vektorem ω, a tedy i s osourotace. Jenže to není vždy pravda. Platí to pouze pro dynamicky vyvážená tělesa. U každého tělesa lzenajít právě tři osy, kolem kterých může těleso volně rotovat. Všechny tři osy jsou na sebe navzájem kolméa protínají se ve středu hmotnosti tělesa.
L =N∑i=1
mir2i ω
Vzhledem k tomu, že úhlová rychlost ω je stejná pro všechny body, můžeme ji vytknout před sumu
L = ω
N∑i=1
mir2i
a člen∑N
i=1mir2i budeme nazývat moment setrvačnosti a značit J . To znamená, že
L = Jω
5Je vhodné připomenout, co znamená zápis A2, tj. co je to druhá mocnina vektoru. Můžeme to považovat za součinvelikostí
A2 = |A| |A| = A2
x +A2y +A2
z
anebo skalární součin vektoru se sebou samým
A2 = A · A = AxAx +AyAy +AzAz
Oba způsoby chápání jsou správné a dávají stejný výsledek.
19
Jestliže obě strany této rovnice zderivujeme podle času, dostáváme
dL
dt= Jε
a to je ve spojitosti s druhou impulsovou větou velmi užitečný vztah. Z druhé impulsové věty víme, žederivace hybnosti podle času je rovna součtu externích momentů, takže musí platit
M = Jε
Známe-li moment sil a moment setrvačnosti, můžeme zjistit úhlové zrychlení tělesa. Zde je možné vidětjistou podobnost se vztahem F = ma. Dále si můžeme všimnout zajímavého důsledku zákona zacho-vání momentu hybnosti. Jestliže na těleso nebudeme působit vnějšími momenty sil, zůstane jeho momenthybnosti konstantní a tím i součin Jω. Ale jeho moment setrvačnosti se změnit může. Jestliže těleso pře-uspořádá své rozložení hmotnosti, může změnit svůj moment setrvačnosti a tím i rychlost rotace. Tentoefekt využívají krasobruslaři při provádění piruety – upaží ruce a roztočí se. Poté, co připaží, rychlostrotace se výrazně zvýší. Podobný fyzikální důvod má i vytvoření víru v umyvadle při vypouštění vody.Také u vesmírných objektů se setkáváme s tím, že zmenšení rozměrů v důsledku gravitace má za následekzmenšení momentu setrvačnosti a tím zrychlení rotace. Proto se například některé neutronové hvězdy otočíkolem své osy více než stokrát(!) za sekundu.
Nutno připomenout, že jsme při odvozování momentu setrvačnosti uvažovali pro jednoduchost pouzeploché těleso. Reálná situace bývá komplikovanější, a tak shrňme některé důležité skutečnosti. Momentsetrvačnosti můžeme chápat jako
J =N∑i=1
R2imi
tedy jako sumu součinů hmotností a kvadrátu vzdálenosti od osy rotace. Tento přístup je vhodný prourčení rotační energie jakéhokoli tělesa. Ale kdybychom chtěli zjistit moment hybnosti podle vztahu
L = Jω
tak musíme mít na paměti, že vztah funguje jen u některých těles vykazujících určitý druh symetrie.Moment setrvačnosti zde považujeme za skalár, kterým když vynásobíme vektor úhlové rychlosti, získámemoment hybnosti a tudíž vektory L a ω jsou rovnoběžné. Například pro rotačně symetrická tělesa (nebojiným způsobem „vyvážená“) bude vše v pořádku, ale obecně pro zcela nepravidelná tělesa nemusí mítmoment hybnosti stejný směr jako osa rotace. To znamená, že nelze vektor úhlové rychlosti pouze vynásobitkonstantou, abychom získali moment hybnosti. Příklad takového tělesa vidíme na obrázku 13. Momenthybnosti má zřetelně jiný směr než je osa rotace. U takových těles se směr momentu hybnosti bude přirotaci měnit a z druhé impulsové věty víme, že měnit moment hybnosti lze jen použitím vnějších momentů.Důsledkem je, že takové těleso by nemohlo samovolně rotovat kolem stanovené osy, protože nemůže měnitsvůj vlastní moment hybnosti. Museli bychom například osu uchytit do ložisek. Ložiska by samozřejmě bylanamáhaná, protože musí působit silou. Toto je důvod, proč se kola u aut vyvažují přídavnými závažími.Stojí za povšimnutí, že těleso na obrázku 13 nelze vyvážit přidáním jednoho bodu o vhodné hmotnosti dosprávného místa. Jeden bod navíc by sice mohl srovnat moment hybnosti do směru osy rotace, jenže byposunul těžiště mimo osu.
Celá problematika je zajímavá, ale není zde prostor pro detaily. Proto na závěr připomeňme základnípoznatek: moment setrvačnosti určuje, jak obtížně lze těleso roztočit.
3. Steinerova věta
Steinerova věta umožňuje v určitých situacích snadno vypočítat moment setrvačnosti. Lze ji použít tehdy,jestliže známe moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm a potřebujeme zjistit momentsetrvačnosti vzhledem k nějaké jiné ose, která je vůči původní ose posunuta o vzdálenost R.
20
Obrázek 13: Těleso znázorněné na obrázku se skládá ze dvou stejně těžkých hmotných bodů, přičemž osarotace prochází těžištěm. Přesto se při rotaci nebude jevit jako vyvážené, protože moment hybnosti nebudemít stejný směr jako osa rotace. To znamená, že při rotaci bude nutné na těleso působit momentem síly,což se v reálné situaci projeví například namáháním ložisek.
Obrázek 14: Na obrázku vidíme těleso složené ze čtyř bodů, které rotují kolem osy procházející počátkemsouřadné soustavy. Vektor úhlové rychlosti je stejný pro všechny body tělesa. Vždy platí, že rychlost jekolmá na polohový vektor r i na vektor úhlové rychlosti ω.
Nový moment setrvačnosti J se vypočítá
J = J0 +MR2
kde J0 je moment setrvačnosti vůči ose procházející těžištěm,M je hmotnost tělesa a R je vzdálenost těžištěod nové osy rotace, tedy vzdálenost mezi oběma osami. Obě osy jsou samozřejmě rovnoběžné, protoženová osa vznikla posunutím osy původní, jinak Steinerovu větu nelze použít. Situace je znázorněna nanásledujícím obrázku: Vypočítat moment setrvačnosti nějakého tělesa může být často pracné a vyžadujeto znalost integrálního počtu nebo jiných komplikovaných metod. Proto bývají momenty setrvačnostíběžných těles k nalezení v tabulkách, a právě díky Steinerové větě je možné uvádět momenty setrvačnostivzhledem k ose procházející těžištěm, protože přepočet na jinou osu stejného směru je velmi snadný. Stačípůvodní moment setrvačnosti zvětšit o MR2, kde M je hmotnost tělesa a R je vzdálenost, o kterou je osaposunuta vůči původní těžišťové ose.
Příkladem použití Steinerovy věty může být stanovení momentu setrvačnosti tělesa nakresleného na
21
Obrázek 15: Steinerova věta umožňuje snadno vypočítat moment setrvačnosti, jestliže posuneme osu rotacez těžiště o vzdálenost R.
obrázku (16). Těleso se skládá ze tří koulí o poloměru r. Je možné odvodit či nalézt v tabulkách, žemoment setrvačnosti koule rotující kolem středu se vypočítá pomocí vztahu 2
5mr2. V našem případě ale
koule nerotují kolem svého středu, ale kolem osy, která je od středu vzdálena o R. Proto je potřeba vsouladu se Steinerovou větou moment setrvačnosti každé koule zvětšit o hodnotu mR2. Celkový momentsetrvačnosti tedy vypočteme podle vztahu
J = 3
(2
5mr2 +mR2
)
Obrázek 16: Těleso složené ze tří koulí o poloměru r, jejichž střed je od osy otáčení vzdálen R.
Steinerovu větu můžeme použít i v situaci, kdy máme zjistit zrychlení koule, která se kutálí po nakloněnérovině. Poněkud netradičně můžeme počátek souřadné soustavy umístit do bodu, kde se koule dotýkápodložky a představit si, že právě kolem tohoto bodu se koule otáčí. Při pohybu koule bude zcela jistěhrát svou roli i moment setrvačnosti, jenže osa rotace koule není v jejím středu, nýbrž na jejím okraji – aproto, jak uvidíme dále, použijeme Steinerovu větu. Na následujícím obrázku jsou rozkresleny síly, kteréna kouli působí.
Jestliže hned od začátku uvažujeme, že se koule otáčí kolem počátku souřadnic, nemusíme vůbec dálerozebírat normálovou a třecí sílu. Spoléháme na to, že tyto dvě síly budou vždy fixovat kouli tak, aby se jejíbod na podložce nikam nepohyboval. Na kouli pak působí jediný moment sil, který je způsoben gravitačnísilou G. Působiště gravitační síly je v těžišti koule, takže platí
RG = [0; r; 0]
přičemž gravitační síla má složkyG = [mg sinα;−mg cosα; 0]
a nyní pomocí vektorového součinu zjistíme moment gravitační síly MG:
MG = RG × G = [0; 0;−rmg sinα]
22
Obrázek 17: Koule na nakloněné rovině je ovlivňována třemi silami. Gravitační G, normálovou N (ta jevždy kolmá na podložku) a třecí silou T . Výslednice všech tří sil směřuje s kopce, což odpovídá běžnézkušenosti. V pravé části obrázku jsou síly posunuty tak, aby bylo snadné zkonstruovat rovnoběžník, zekterého je směr výslednice zřejmý.
Známe-li moment síly, pak je snadné zjistit úhlové zrychlení, když moment síly vydělíme momentemsetrvačnosti. Můžeme odvodit nebo najít v tabulkách, že moment setrvačnosti koule se vypočítá jako25mr2, jenže to platí pouze pro rotaci kolem těžiště (tedy středu) koule. V našem případě je osa rotace
posunuta o r, a tak moment setrvačnosti bude
J =2
5mr2 +mr2 =
7
5mr2
Pro úhlové zrychlení platí vztah
ε =MG
J=
[0; 0;−rmg sinα
75mr2
]=
[0; 0;−5g sinα
7r
]a tím jsme zjistili úhlové zrychlení. Z toho již snadno vypočítáme, s jakým zrychlením se pohybuje koules kopce. Souřadnou soustavu jsme zvolili tak, že koule zrychluje pouze ve směru osy x a protože se ponakloněné rovině pohybuje bez prokluzování, existuje vztah, který dává do souvislosti zrychlení středukoule ax a úhlové zrychlení ε, přesněji řečeno jeho z-ovou složku εz. Platí, že
εz = −axr
a tudíž−axr
=−5g sinα
7r
a tak pro výsledné zrychlení koule platí
ax =5
7g sinα
3 Analogie fyzikálních zákonůZ Newtonových zákonů, které platí pro hmotné body, jsme odvodili vztahy použitelné pro soustavu skláda-jící se z velkého množství částic. Zavedli jsme nové veličiny představující globální charakteristiky soustavy,například celkovou hmotnost, celkovou hybnost, součet externích sil, střed hmotnosti a jiné. Ukázalo se, ževztahy mezi různými veličinami jsou si do značné míry podobné. Díky tomu si je lze snáze zapamatovat.Na druhou stranu, podobnost mezi druhým Newtonovým zákonem a první impulsovou větou je natolikvýrazná, že často dochází až k nedorozuměním a splývání pojmů. V řadě situací ani není nutné mezi nimistriktně rozlišovat, a proto může být obtížné pak pochopit rozdíly.
23
V této kapitole se pokusíme shrnout základní vztahy používané v mechanice, poukázat na jejich vzá-jemnou analogii a popsat jednotlivé veličiny, které v rovnicích vystupují.
Následující tabulka vystihuje souvislosti mezi fyzikálními veličinami. První sloupec tabulky se týkápohybu hmotného bodu a má přímou souvislost s Newtonovými zákony.
Prostřední sloupec obsahuje veličiny popisující translační (posuvný) pohyb soustavy. Platí pro jakoukolisoustavu hmotných bodů.
Pravý sloupec se vztahuje k rotačnímu pohybu. V tomto případě již všechny vztahy (s výjimkou druhéimpulsové věty) dávají smysl pouze pro tuhé těleso, takže soustava nemůže být jakákoli. Tuhé tělesomá tu vlastnost, že vzájemná poloha částic se nemění, takže má smysl mluvit o rotaci kolem osy, úhluotočení, úhlové frekvence, momentu setrvačnosti a podobně. Naproti tomu, celkový moment hybnosti Llze vypočítat pro jakoukoli soustavu aniž by musela tvořit tuhé těleso.
První řádek v tabulce představuje veličinu, která nějakým způsobem vystihuje pozici. U hmotnéhobodu jde přímo o polohový vektor r . U soustavy nemá smysl mluvit o poloze, protože je složena z velkéhomnožství různě rozmístěných částic. V tomto případě bude vektor r znamenat střed hmotnosti soustavy(někdy ne zcela správně označovaný jako těžiště). Ve třetím sloupci tabulky je uveden úhel otočení ϕ,který má ovšem význam pouze u tuhého tělesa. Další dva řádky znamenají první a druhou derivaci podlečasu, takže z polohového vektoru (ať už částice nebo středu hmotnosti) získáme rychlost v a zrychlení a.Z úhlu otočení ϕ dostaneme po derivaci úhlovou rychlost ω a po další derivaci úhlové zrychlení ε.
Čtvrtý řádek v tabulce obsahuje setrvačné vlastnosti, které brání změně pohybu. U hmotného boduse jedná o jeho hmotnost m. U soustavy hmotných bodů (v souvislosti s jejím translačním pohybem) jdeo celkovou hmotnost M , to znamená o součet hmotností jednotlivých částic. Ve třetím sloupci tabulkyvidíme ekvivalent těchto veličin pro rotační pohyb – změně rychlosti rotace brání veličina zvaná momentsetrvačnosti J . Nutno podotknout, že zatímco hmotnost částice i celková hmotnost soustavy zůstává kon-stantní, moment setrvačnosti se může měnit. Těžko si lze představit, že by těleso změnilo svou hmotnost,ale moment setrvačnosti změnit může například tím, že přiblíží částice k ose rotace nebo je naopak oddálí.
Pátý řádek zahrnuje veličiny, které mají význam silového působení. V prvním sloupci jde o sílu působícína hmotný bod. Ve druhém sloupci, kde již uvažujeme mnoho hmotných bodů, je F rovno součtu všech silpůsobících na soustavu anebo součtu vnějších sil. To je totéž, protože ze třetího Newtonova zákona plyne,že součet vnitřních sil je nulový. Ve třetím sloupci máme ekvivalent pro rotační pohyb, a tím jeM – součetvšech momentů sil působících na soustavu. Opět platí, že můžeme stejně dobře uvažovat, že M je součetpouze vnějších momentů sil, protože lze dokázat, že součet vnitřních momentů je nula.
V šestém řádku tabulky se již začínají objevovat užitečné vztahy. Sloupec pro jeden hmotný bodobsahuje definici hybnosti p = mv . U translačního pohybu soustavy je ekvivalentem celková hybnost P ,tj. součet všech hybností jednotlivých částic. Tuto celkovou hybnost můžeme vypočítat jako součin celkovéhmotnosti a rychlosti středu hmotnosti. U rotačního pohybu je analogií celkový moment hybnosti L, což jesoučet jednotlivých momentů hybností. Pro tuhé těleso jej lze vypočítat jako součin momentu setrvačnostiJ a úhlové rychlosti ω.
Následující, sedmý řádek v tabulce je pravděpodobně ze všech nejdůležitější. Ve sloupci pro hmotnýbod je uveden druhý Newtonův zákon, tj. derivace hybnosti částice podle času je rovna působící síle. Tenmá sám o sobě význam spíše teoretický, protože hmotný bod nikde v přírodě nenajdeme. Velké praktickévyužití má ale jeho ekvivalent pro translační pohyb soustavy známý jako první impulsová věta. Je uvedenav prostředním sloupci tabulky a říká, že derivace celkové hybnosti soustavy je rovna součtu vnějších sil. Tutorovnici již můžeme použít pro reálná tělesa, a protože je velmi podobná druhému Newtonovu zákonu, častose s ním (nesprávně) zaměňuje. Z první impulsové věty ihned plyne zákon zachování hybnosti soustavy,protože bude-li součet vnějších sil nulový, pak bude derivace hybnosti nula a hybnost se bude zachovávat. Vetřetím sloupci tabulky najdeme podobný vztah, který platí pro momenty a je známý jako druhá impulsovávěta. Podle té platí, že derivace celkového momentu hybnosti je rovna součtu všech vnějších momentů sil.Třetí sloupec tabulky dosud představoval veličiny související s rotačním pohybem, ale druhá impulsovávěta má univerzální platnost. Neomezuje se pouze na tuhá tělesa a jejich rotaci, ale platí pro libovolnousoustavu hmotných bodů. Ze druhé impulsové věty vyplývá zákon zachování momentu hybnosti, protožekdyž součet vnějších momentů bude nulový, pak bude nulová i derivace momentu hybnosti, což znamená,
24
že se moment hybnosti nebude měnit a tudíž se bude zachovávat.
Přejděme na další řádek v tabulce, v pořadí osmý. Ve sloupci pro jednu částici vidíme rovnici, kterábývá často pokládána za druhý Newtonův zákon. Ve skutečnosti jde pouze o jeho speciální případ, kdy sehmotnost částice nemění, ale to je vcelku obvyklá situace. Ve druhém sloupci tabulky najdeme souvislostmezi součtem vnějších sil a zrychlením středu hmotnosti a hmotností soustavy6. Z toho můžeme vyvo-dit, jak bude zrychlovat střed hmotnosti soustavy, jestliže budeme na soustavu působit vnějšími silami.Plyne z něj také to, že střed hmotnosti izolované soustavy zůstane v klidu nebo v pohybu rovnoměrnémpřímočarém7. Ve třetím sloupci tabulky najdeme formulaci pro rotační pohyb, který dává do souvislostimoment síly, moment setrvačnosti a úhlové zrychlení. Vztahy z druhého a třetího sloupce jsou pro výpočtyvelmi užitečné, protože často známe působící síly a jejich momenty působící na tuhé těleso. Můžeme pakvypočítat translační i rotační zrychlení. Dále z nich vyplývají podmínky pro statickou rovnováhu tělesa –má-li těleso setrvat v klidu, pak nesmí zrychlovat jeho střed hmotnosti ani se těleso nesmí roztáčet. Z tohoplyne, že vnější síly a jejich momenty musí dávat nulový součet. To má velký význam pro výpočet sil,které musí těleso udržet ve statické rovnováze.
Devátý řádek v tabulce se týká mechanické práce, kterou vykonají síly mezi stavem A a B. V prvnímsloupci je uvedena přímo definice práce. Jde o práci jedné síly, která působí na pohybující se částici.Ve druhém sloupci vystupuje součet všech (vnějších) sil a posunutí těžiště soustavy. Určitě je zřejmé, ženení totéž, jestliže posečítáme všechny vykonané práce nebo jestli nejprve posečítáme síly a z výslednicepak zjistíme práci. Kupříkladu součet vnitřních sil dává vždy nulu, ale vnitřní síly přitom mohou konatpráci. Dokonce i vnější síly mohou konat práci, a přesto může být jejich součet nulový (například přiroztáčení tělesa, jehož těžiště se nepohybuje). Proto je nutné být při chápání vztahů obezřetný. Nebudemepříliš zacházet do podrobností a pouze připomeňme, že práce vykonaná na tělese může být translačního irotačního charakteru.
Další, desátý řádek tabulky vystihuje, jak se vykonaná práce projeví. Z prvního sloupce je zřejmé, žepráce změní rychlost hmotného bodu. Druhý a třetí sloupec udává vztahy pro výpočet změny translačnía rotační energie. Nutno podotknout, že jsme uvažovali tuhé těleso, což je zjednodušená situace. V tomtopřípadě je změna energie způsobena pouze účinkem vnějších sil. Jenže u tělesa, které není tuhé, mohou ivnitřní síly konat práci a mohou například u rotujícího tělesa zmenšit moment setrvačnosti. V důsledkutoho dojde k nárůstu rychlosti rotace a k nárůstu mechanické energie. Je vhodnější si to představit nareálné situaci. Zkuste se posadit na otočnou židli, do každé ruky uchopte těžký předmět (například knihu),rozpažte ruce a požádejte někoho, aby vás lehce roztočil. Následně zkuste přitáhnout ruce k tělu. Dojdek několika efektům. Váš moment setrvačnosti se sníží. Protože moment hybnosti musí zůstat stejný, zvýší serychlost rotace. Nejen to – zvýší se také vaše energie, protože při přitahování rukou k tělu jste konali práci.Je to důležitý závěr, izolovaná soustava může změnit svou rotační energii. Nemůže změnit svou hmotnost,rychlost svého těžiště, svou hybnost ani moment hybnosti. Ale svůj moment setrvačnosti změnit může atím i rychlost své rotace a rotační energii.
V posledním, jedenáctém řádku tabulky jsou uvedeny vztahy pro výpočet výkonu. Nejjednodušší situ-ace, která současně představuje definici výkonu, je v prvním sloupci. Zde se projevuje pouze jedna síla ajejí výkon je určen skalárním součinem rychlosti a síly. Druhý sloupec se týká translačního výkonu vnějšíchsil a třetí sloupec souvisí s rotačním výkonem.
6Někdy se tento vztah označuje jako věta o pohybu těžiště.7Dovolil bych si poněkud nepřesné, avšak názorné tvrzení, že soustava nedokáže sama o sobě pohnout svým vlastním
![mechanika1 [režim kompatibility] · – Statika tuhého t ělesa • Mechanika kontinua – Mechanika elastických t ěles – Mechanika kapalin. Struktura UFY/FYZ1, FYZ1K • Molekulová](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/5e4e613f38a9ee4189337ef9/mechanika1-reim-kompatibility-a-statika-tuhho-t-lesa-a-mechanika-kontinua.jpg)
