35
Metriky Metriky Mariánská Mariánská 2010 2010
MetrikyMetriky
Mariánská 2010Mariánská 2010
Metrika popisuje vzdálenost dvou bodů v Metrika popisuje vzdálenost dvou bodů v prostoru nebo v časoprostoru. prostoru nebo v časoprostoru.
Známe: souřadnice polární, sférické, Známe: souřadnice polární, sférické, cylindrické, toroidální…cylindrické, toroidální…
plochý prostorplochý prostor
Speciální teorie relativitySpeciální teorie relativity
c1=c2 !
'
'
t t
x x vt
'
' .
x Ax Bt
t Cx Dt
Galileův princip relativity
Einsteinův princip relativity
Lorentzova transformaceLorentzova transformace
2
2 2
2 2
;
1 1
vdt dx
dx vdt cdx dtv v
c c
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
( )
ds c dt dx dy dz
c dt dx dy dz ds
c d
Prostoročasový invariant
Plochý časoprostorPlochý časoprostor2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
sin
ds c dt dx dy dz c dt dl
c dt dr r d r d
c dt dr r d
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2 ,ds g dx dx
2
2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 sin
gr
r
! a žádné ict !
Pozn.: Kauzální provázanost je ABSOLUTNÍ
ds=0 v=c
2
180
o r
kontrakce délekkontrakce délek
dilatace časudilatace času
2
0 21
vl l
c
2
0 21
vdt dt
c
2
180
o r
Princip ekvivalencePrincip ekvivalence
gravitační a setrvačná hmotnost jsou si gravitační a setrvačná hmotnost jsou si úměrnéúměrné
!gravitační zrychlení = setrvačné zrychlení!!gravitační zrychlení = setrvačné zrychlení!
3
3
gg s
C s
m MG m
rqQ
k mr
F r r
F r r
Pokřivený svět 1916
Albert Einstein (1879-1955)
• zakřivení světelného paprsku v gravitačním poli (1,75" u povrchu Slunce), • gravitační čočky (první objevena v roce 1979), • stáčení perihelia planet (zejména Merkura 43" za století), • gravitační červený posuv,• zpoždění elektromagnetického signálu, • kosmologický červený posuv, • Lensův-Thirringův jev (strhávání souřadnicové soustavy), • gravitační vlny, • černé díry, • rozpínání Vesmíru, • neeukleidovská geometrie časoprostoru.
Gravitační vlny
Stáčení světelného paprsku, gravitační čočky
1916 Albert Einstein, předpověď stáčení1919 Arthur Eddington - expedice za zatměním1936 Albert Einstein - předpověď gravitační čočky1979 QSO 0957+561 (Walsh, Carswell, Weynmann)1987 Obří oblouky (Lynds, Petrosian, Soucailová)
Arthur Stanley Eddington(1882-1944)
Einsteinův gravitační zákonEinsteinův gravitační zákon
4
1 8
2
GR g R g T
c
T p u u pg
„křivosti“=„energie, hmotnost“
Celá řada řešení „g“ pro různé uspořádání hmoty „T“
Pád LISu z nekonečna ke sféricky symetrickému objektuSouřadnice jsou nehybné vzhledem k objektu
2
LIS LIS LIS21 /
vdr dr dr dt dt
c
..a co ta ?
Ze ZZE:
2 2
2
2
1 20;
22
;2
g
mM GME mv G v
r rGM
rGM c
c r
Platí tedy: 2 2
2 2 2 2 2 2LIS LIS
c dtds c dt dr dr r d
Schwarzschildova metrika
22 2 2 21
1
g
g
r drds c dt r d
rr
r
tj.:1
2
2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 sin
g
g
r
r
rg
r
r
r
KARL SCHWARZSCHILD1873 - 1916
70°6'N 121°12'E= 1000 kmh
1916 Schwarzschildovo řešenístáčení dráhyzakřivení světelného paprskučerné díryhorizont r = 2GM/c2
Karl Schwarzschild (1873-1916)
Schwarzschildovo řešení
Příklad: pád fotonu do BHPříklad: pád fotonu do BH
musí platit (opět, samozřejmě): 2 0ds a také: 0
22 2 2
22 2
2
0 1
1
1
1
g
g
g
g
r drds c dt
rr
r
drc dt
r
r
drcdt
r
r
0 00
ln gg
g
r rc t t r r r
r r
Daleko od rg
v blízkosti rg
c t r
t
Další z metrikDalší z metrikReisner – Nordströmova BHReisner – Nordströmova BH
nerotující, nabitá – sf. symetrické řešení, kombinace nerotující, nabitá – sf. symetrické řešení, kombinace Einsteinových a Maxwellových rovnicEinsteinových a Maxwellových rovnic
2 22 2 2 2
2 2 4 2
2 2 4
21
21
GM Gq drds c dt r d
c r r c GM Gq
c r r c
pro
2 2
2 4
GM Gq
c c
2 horizonty
1 horizont – „Extrémně nabitá BH
!žádný! horizont – nahá singularita
Lensův-Thirringův jev (frame dragging)
Kerrova BHKerrova BHrotující, nenabitárotující, nenabitá
2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2sin sin ;
cos ; 2
dr Mrds d r a d dt a d dt
r a r Mr a
Ja
M
není statická, ale invariantní vůči záměně
t t
Stroj času!?!(ale ne..)
Kerrova – Newmanova metrikaKerrova – Newmanova metrikarotující, nabitá BH má ještě magnetické pole
Jediné charakteristiky černé díry•hmotnost•náboj•moment hybnosti
POVELKÉMTŘESKU
H , k , , T
t
VELKÝ TŘESKsingularita
Rozpínání vesmíru 1922 Alexandr Fridman1929 Edwin Hubble
R
vHRHv
Alexandr Fridman (1888-1925)
Edwin Hubble (1889-1953)
vz
c
Experimenty – supernovy typu Ia
Supernova typu la - přenos látky z hvězdy na bílého trpaslíka, který zvětšuje hmotnost. Po překročení Chandrasekharovy meze (1,4 MS) se bílý trpaslík zhroutí do neutronové hvězdy. Explozivnímu termonukleární hoření C, O na Ni 56 v celém objemu trpaslíka. Množství uvolněné energie je vždy zhruba stejné, takže z relativní pozorované jasnosti lze vypočítat vzdálenost příslušné supernovy. Přesnější hodnoty se pak určí z tvaru světelné křivky.
Adam Riess (Space Telescope Science Institute, Baltimore, 1998) + Saul Perlmutter (Lawrence Berkeley National Laboratory, 1999): Měření vzdálenosti a červeného posuvu supernov Ia. Zjištěna urychlovaná expanze. To znamená ve svém důsledku přítomnost temné energie ve vesmíru, která se projevuje záporným tlakem. Nejvzdálenější použitá supernova byl objekt 1997ff.
Další projekty: Obě zmíněné skupiny spolu s Alexejem Filipenkem pořídily do roku 2003 soubor 230 supernov. Tyto objekty byly vyhledávány také v klíčovém projektu HST pro určení Hubbleovy konstanty i v současných přehlídkových projektech, například projektu GOODS.
Metrika 2-D plochy na povrchu kouleMetrika 2-D plochy na povrchu koule
Jak vypadají polární souřadnice na povrchu koule?Jak vypadají polární souřadnice na povrchu koule?
2 2 2 2x y z a
cos
sin
x r
y r
2 2 2 2; 0x y z a xdx ydy zdz
Element vzdálenosti:
22 2 2 2 2 2
2 2 2
xdx ydydl dx dy dz dx dy
a x y
V lokálních polárních souřadnicích
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2
21
r dr drdl dr r d r d
a r r
a
Friedmannova metrikaFriedmannova metrika
2
2 2 2 2 221
drds c dt R t r d
kr
Kosmologický rudý (červený) posuvKosmologický rudý (červený) posuv
změna chodu hodin způsobená expanzí Vesmíruzměna chodu hodin způsobená expanzí Vesmíru
22 2 2 2
2
2
01
1
drds c dt R t
krcdt dr
R t kr
Friedman:
1. pro počátek pulzu1. pro počátek pulzu
1
0 021
t r
t r
cdt dr
R t kr
2. pro konec pulzu2. pro konec pulzu
1 1
0 0 021
t t r
t t r
cdt dr
R t kr
3. rozdíl3. rozdíl
1 1 1
0 0 0
0t t t
t t t
cdt cdt
R t R t
0 01 1
1 0
01
1 0
0 00 1 1
1 1 1
1
0
0;t tt t
t t
ttdt dt
R t R t R t R t
R t R tt
t R t R t
R t
R t
se mění společně s Vesmírem!
1 0
0
R t R tz
R t
Příklad: jaký je kosmologický rudý posuv za předpokladu, že Příklad: jaký je kosmologický rudý posuv za předpokladu, že nebyl vyslán příliš dávnonebyl vyslán příliš dávno
emise1 emise
emiseemise emise
dRt tR t R t dtz H t t
R t R
z H
Hubbleův zákon: ;v
v l v Hl Hl
v vz
l c Dopplerův jev: v
c
