Mezní stavy únosnosti - bzk.fce.vutbr.cz · 3. V tažené části beton nepůsobí 4. Napětí...

Předpjaté stavební

konstrukce

Mezní stavy únosnosti

Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem předpoklady řešení

základní předpínací síla

ohybová únosnost

obecná metoda

Prvky namáhané smykem a kroucením analýza napjatosti (pružná, plastická)

dimenzování

.

1

Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem

Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem (se soudržnou výztuží)

Předpoklady řešení:

1. Platí hypotéza o rovinnosti průřezů po deformaci

2. Existuje dokonalá soudržnost mezi oceli a betonem

Fp

σc

MRd

Fc

Fp

rc

rp

Fpt

MEd

cu= 0,0035

x

2

1

4

3

5

2

c = Δp

3. V tažené části beton nepůsobí

4. Napětí určujeme z pracovních diagramů materiálu v závislosti na

přetvoření (návrhové pracovní diagramy betonu a výztuží – typy)

5. Mezní stav únosnosti nastane, je-li dosaženo:

mezního poměrného přetvoření betonu v tlaku nebo

mezního přetvoření předpínací, příp. betonářské výztuže v tahu

Fp

σc

Fc

Fp

rc

rp

Fpt

MEd

cu= 0,0035

x

2

1

4

3

5

c = Δp

3

MRd

Mgo

Ap

As

Pm,0 =pm,0 Ap

(Ngo)

hf

Ap

As

Pm,0 =pm,0 Appm,0

c=0

Stav napjatosti u PPB těsně před vnesením předpětí do betonu

t=0-:

- --

+ + +pm,0

-

ve výztuži působí

na ideální průřez působí

cp≠0

Stav napjatosti u PPB těsně po vnesením předpětí do betonu t=0+

Základní napětí v předpínací výztuži

(základní předpínací síla)

Mgo

dp ds

hf

Ap

As

Pm,0 =pm,0 Ap

(Ngo)

dp ds

hf

Ap

As

Pm,0 =pm,0 Appm,0

c=0

Stav napjatosti těsně před vnesením předpětí do betonu t=0-:

- --

+ + +pm,0

-

ve výztuži působí

na ideální průřez působí

cp≠0

Stav napjatosti těsně po vnesením předpětí do betonu t=0+ :

Základní napětí v předpínací výztuži

(základní předpínací síla)


Základní napětí nebo základní předpínací síla odvozuje z napětí ve

výztuži pm,0 těsně před vnesením předpětí do betonu (kdy cp=0).

Lze ho určit v kterékoli fázi působení konstrukce (čas t0, tg1,ti, t∞ )

takto:

v čase t0 (po vnesení předpětí) z napětí se zohlednění výrobních

ztrát (kromě ztrát pružným přetvořením betonu)

v čase t > t0 : z napětí se zohledněním výrobních i provozních ztrát

(bez ztrát pružným přetvořením betonu)

p(+)

pmt

pmpm0

p,m

ax

p

t 0 t

stá

dium

pro

vozn

í

pře

dpín

ání

výzt

uže

vnes

ení

pře

dpě

tíd

o pr

vku

(stá

dium

pře

dpín

ání)

6

-


Výpočet základního napětí v předpínací výztuži

Předem předpjaté prvky

V okamžiku těsně před vnesením předpětí je v betonu napětí nulové,

tzn. základní napětí je rovno skutečnému napětí ve výztuži (veškerá

další zatížení od předpětí působí na ideálním průřezu).

Dodatečně předpjaté prvky

Pomocí předchozího vztahu pro napětí σp a σcp způsobená zatíženími

působícími před i po zakotvení předpínací výztuže (tj. na oslabený i

ideální průřez)

Poznámka: v dalším textu zde použitý horní index 0 bude vynechán.

cp

c

p

ppE

E 0

pp 0

7

Předpínací síla v MSÚ

8

Pdt(x) = P Pmt(x)

kde

P je součinitel spolehlivosti předpětí

P = 1,0.….pro trvalé a dočasné návrhové situace

P = 1,2 … při posouzení lokálních účinků (např.

v kotevních oblastech)

Pmt(x) střední hodnota základní předpínací síly ve

vyšetřovaném okamžiku t

Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výztuž Model 1 - pouze zatížení ohybovým momentem

cu = 0,0035 fcd

pPpmt

fpd

Ppm,t

MEd

fyd

s

x

Fcd

Fpd= fpdAp

Fsd

beff

dp ds

hf

Ap

As

x

Podmínka pro plné využití předpínací výztuže:

xbalxp,bal

𝑥 ≤ 𝑥𝑝,𝑏𝑎𝑙 =𝜀𝑐𝑢

𝜀𝑐𝑢 + ∆𝜀𝑝𝑑𝑝 =

𝜀𝑐𝑢

𝜀𝑐𝑢 +𝑓𝑝𝑑 − 𝛾𝑃𝜎𝑝𝑚,𝑡

𝐸𝑝

𝑑𝑝

∆𝜀𝑝 + 𝛾𝑃𝜎𝑝𝑚,𝑡 ≥ Τ𝑓𝑝𝑑 𝐸𝑝 𝑓𝑝𝑑

Odtud poloha neutrálné osy:

Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výztuž Model 1 - pouze zatížení ohybovým momentem

cu = 0,0035 fcd

pPpmt

fpd

Ppm,t

MEd

fyd

s

x

Fcd

Fpd= fpdAp

Fsd

beff

dp ds

hf

Ap

As

x

Silová podmínka rovnováhy:

𝑁𝑅𝑑 = 0

xbalxp,bal

Momentová podmínka spolehlivosti:

𝑀𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝐸𝑑

−𝐹𝑐𝑑 + 𝐹𝑝𝑑 + 𝐹𝑠𝑑 = 0 𝑥

𝐹𝑝𝑑𝑧𝑝 + 𝐹𝑠𝑑𝑧𝑠 ≥ 𝑀𝐸𝑑

zs zp

x

fpd

Ppm,t

Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výstužModel 2 - zatížení ohybovým momentem a normálovou silou

cu = 0,0035

Fcd

fcd

pFpd = pApPpm,t

fpd

Ppm,t

P

p

MEd,z

fyd

Fsd

beff

dp ds

hf

s

x

Ap

As

x

Npd=Ppm,t Ap

tNMpd=epNpd

p=fpd-Ppm,t

Silová podmínka rovnováhy:

𝑁𝑅𝑑= 𝑁𝐸𝑑

Momentová podmínka spolehlivosti:

𝑀𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝐸𝑑

−𝐹𝑐𝑑 + ∆𝐹𝑝𝑑 + 𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝐸𝑑,𝑧 −𝑁𝑝𝑑 𝑥

𝐹𝑐𝑑𝑧𝑝 + ∆𝐹𝑝𝑑𝑧𝑝 + 𝐹𝑠𝑑𝑧𝑠 ≥ 𝑀𝐸𝑑,𝑧 −𝑀𝑝𝑑

NEd,z

zp=ep

zc

zs

Postup (model 2)

∆𝐹𝑝𝑑 = ∆𝜎𝑝𝐴𝑝

∆𝜎𝑝 = 𝑓𝑝𝑑 − 𝛾𝑝𝜎𝑝𝑚,𝑡


𝑁𝑝𝑑 = 𝛾𝑝𝜎𝑝𝑚,𝑡 𝐴𝑝

2) Předpoklad plného využití výztuže (plastická větev):

1) Základní předpínací síla jde na stranu zatížení

𝑀𝑝𝑑 = 𝑒𝑝𝑁𝑝𝑑

3) Výpočet 𝑥 z podmínky rovnováhy sil:

4) Ověření předpokladu 2) přes kontrolu přetvoření

předpínací výztuže

cu

pPpmt

x

dp

∆𝜀𝑝 =𝜀𝑐𝑢𝑥(𝑑𝑝 − 𝑥)

∆𝜀𝑝+ 𝛾𝑝𝜀𝑝𝑚𝑡 ≥ Τ𝑓𝑝𝑑 𝐸𝑝

5) Výpočet momentu na mezi únosnosti a ověření

podmínky spolehlivosti

fpd

Ppm,t

p

p

𝐹𝑐𝑑𝑧𝑝 + ∆𝐹𝑝𝑑𝑧𝑝 + 𝐹𝑠𝑑𝑧𝑠 ≥ 𝑀𝐸𝑑,𝑧 −𝑀𝑝𝑑

P

pokud předpoklad neplatí –viz následujícíc slide, jinak:

Postup (model 2)

∆𝐹𝑝𝑑 = ∆𝜎𝑝𝐴𝑝

∆𝜎𝑝 = ∆𝜀𝑝𝐸𝑝 ≤ 𝑓𝑝𝑑 − 𝛾𝑝𝜎𝑝𝑚,𝑡 kde


předpínací výztuž není plně využitá (pružná větev)

4) Pokud předpoklad 2) neplatí, tj.

2) Výpočet 𝑥 z podmínky rovnováhy sil:

4) Ověření předpokladu 2)

cu

p Ppmt

x

dp

∆𝜀𝑝 =𝜀𝑐𝑢𝑥(𝑑𝑝 − 𝑥)

∆𝜀𝑝+ 𝛾𝑝𝜀𝑝𝑚𝑡 ≤ Τ𝑓𝑝𝑑 𝐸𝑠

5) Výpočet momentu na mezi únosnosti a ověření

podmínky spolehlivosti

fpd

Ppm,t

p

p𝐹𝑐𝑑𝑧𝑝 + ∆𝐹𝑝𝑑𝑧𝑝 + 𝐹𝑠𝑑𝑧𝑠 ≥ 𝑀𝐸𝑑,𝑧 −𝑀𝑝𝑑

P∆𝜀𝑝 =

𝜀𝑐𝑢𝑥(𝑑𝑝 − 𝑥)

∆𝜀𝑝+ 𝛾𝑝𝜀𝑝𝑚𝑡 ≤ Τ𝑓𝑝𝑑 𝐸𝑝


Určení mezní únosnosti Významné polohy přetvoření průřezu (viz interakční diagram

u železobetonových prvků namáhaných N a M)

14


Obecnější metoda řešení MSÚ Počáteční napjatost v průřezu je vyvolaná

předpětím,

stálým zatížením,

smršťováním a dotvarováním betonu.

Z této napjatosti se vychází při analýze působení proměnných

zatížení.

15


16

Stav napjatosti je obvykle výsledkem lineárního řešení (platnost Hookova

zákona) – a proto nemusí odpovídat skutečnosti (viz tvar pracovních

diagramů materiálů)

napětí v některých vrstvách mohou být větší než mezní - nepřenesená napětí:

ve vrstvě 1 ve vrstvě 3 ve vrstvě 4


17

Na straně zatížení: - proměnná zatížení

- výslednice nepřenesených napětí

Na straně únosnosti: - výchozí stav napjatosti průřezu, tzn. pro každá vlákna

betonu (vrstvičku) jiný počáteční stav napjatosti (posun

pracovního diagramu )

Prvky namáhané smykem a kroucením


Analýza napjatosti – namáhání předpjatých prvků

1. Ohybový moment a posouvající síla od zatížení

Smyková trhlina – vzniká ve stojině nosníku, typická pro PB

Ohybově smyková trhlina – vzniká v tažených vláknech – typická

pro ŽB

σ1 – hlavní tah

σ2 – hlavní tlak

σx – normálové napětí

τxz - smykové napětíσx=0

Trajektorie hlavních

napětí:


2. Kroucení – trajektorie hlavních napětí ve tvaru šroubovice –

tahové a tlakové trajektorie kolmo na sebe

3. Kombinace M, N, V, T od zatížení – prostorová napjatost

Trajektorie hlavních napětí pro kroucení:

- čárkovaně pro tlak

- plnou čarou pro tah


4. Vliv předpětí (působí proti zatížení):

Ovlivnění směru a snížení velikosti hlavních

napětí:

Redukce posouvající síly od vnějšího

zatížení

posouvající silou způsobenou předpětím

Vpp (viz průběhy vnitřních sil)

(v případě náběhů svislými složkami sil

v šikmém taženém nebo tlačeném pásu

(podle EN na stranu únosnosti VRd =

VRd,s + Vccd + Vtd ))

Příčné předepnutí (příčný ohyb – deska,

konzola) - σy

Svislé předpětí – předpínací tyče – σz ,

zvětšení únosnosti ve smyku

Analýza za předpokladu pružného chování


Běžné provozní zatížení – nevznikají trhlinky (napětí v betonu v

tahu je většinou menší než přípustné)

Při statické analýze lze brát vztahy z teorie pružnosti

Předpoklad pružného chování pro stanovení únosnosti betonu

ve smyku využívají i normy vycházející z teorie mezních stavů

(neočekává se ohybová trhlina, tj. když σct ≤ fctd):

ČSN EN 1992-1-1

Pozn.: Při vzniku trhlin podobný postup jako u ŽB zohledňující

vliv trhlin (viz EN 1992-1-1).


Smyková napětí od V

Kombinace zatížení (většinou max.V, odp. M,N,T)

Napětí od svislé posouvající síly

ve stojině txz

v přírubě txy

Ověření rozhodujících řezů

Vodorovný

ve stojině v těžišti

při přechodu stojiny do příruby

Svislý přírubou při napojení stěny )z(bI

UV

y

yz

xz t

Smykové napětí:


Smyková napětí od T

kroucení může být

Prosté – rovinné průřezy, jen T

Při němž dochází k deplanaci

Volné kroucení-neomezena

Vázané kroucení-omezena

průřezy a stanovení napětí:

tenkostěnné (vzhledem k okrajovým podmínkám nelze zanedbat vázané kroucení) –odvozeny zjednodušené vzorce -např. Bredtův vztah

masivní – vychází z rovnic pro prostorovou napjatost, smyková napětí získáme derivací Prandtlovyfunkce podle z resp. y. U obecných průřezů pouze s použitím moderních numerických metod.

τt = T / (2.Ak.t)


Smyková napětí způsobená V a T se superponují

Výpočet hlavního napětí – obecně pro prostorovou napjatost –

běžně si vystačíme s rovinnou napjatosti (Mohrova kružnice):

2

2

2,122

xy

yxyxt

Např. pro horní desku

komorového průřezu:

Ze vztahu je zřejmé, že

max. hlavní napětí je v

místě největšího

smykového napětí a tam,

kde je minimální tlakové

normálové napětí.

V tažené části se hlavní

napětí nepočítá.


Určení nebezpečného průřezu:

řez I - 0,0 m

v těžišti průřezu nebo přechod do horní příruby

řez II - 1,0 m a III - 2,0 m

posun k menšímu tlakovému napětí v přechodu stěny do dolní příruby

řez IV - 3,0 m

v místě neutrální osy

v místě přechodu do dolní příruby při nulovém normálovém napětí

tahy v tažené oblasti přenese výztuž

poznámka – ve skutečnosti může mít prvek v podpoře plný průřez (s půdorysným náběhem) – nebezpečný průřez bude tam, kde směrem od

podpory začíná být stojina nejtenčí

Mezní plastická únosnost průřezu

Mezní plastická únosnost průřezu překročí-li hodnota napětí v hlavním tahu pevnost betonu v tahu

– vznikne trhlina, neplatí pružnost.

Řešení pro namáhání posouvající silou:

zb

V

w

t1) Z rovnováhy normálových a podélných

smykových napětí odvodil Mörsch vztah pro max. hodnotu smykového napětí v průřezu porušeném ohybovou trhlinou.

2) Ritter a Mörsch – model – zatížení přenášeno systémem betonových vzpěr a ocelových táhel – diagonální vzpěry se po vzniku trhliny tvoří pod úhlem 45° -příhradová analogie s konstantním úhlem diagonál.


3) V průběhu vývoje změna – příhradová analogie s variabilním úhlem diagonál (např. ČSN EN 1992-1-1).

Předpokládejme betonový vyztužený element namáhaný pouze posouvající silou,

porušen šikmými trhlinami pod úhlem θ = úhel tlakové diagonály.

S ohledem na šikmé trhliny vzdoruje beton pouze v tlakové diagonále D.

Svislou sílu přenáší třmínky (obr. (c)) VE.

Vodorovnou složku zachycuje podélná předpínací popř. betonářská výztuž Fs+ΔFp.


Síla v diagonále (b): D = σc . bw . z . cos θ →

D = VE / sin θ →

Napětí v tlakové diagonále: σc = VE / (bw . z . sin θ . cos θ) =

= VE . (tg θ + cotg θ ) / (bw . z) →

Lze při známém úhlu θ a při volbě napětí σc rovné pevnosti betonu v

tlaku určit VRd,max .


Svislá síla (c) : Fsw = σc . bw . s . sin2 θ

Síla v třmíncích: Fsw = Asw . σw

Svislá síla = síla v třmíncích (po dosazení za σc – viz předcházející list):

Asw . σw / s = VE . tg θ / z → při σw = fywd se určí VRd,s.


Vodorovná síla: Fs + ∆Fp = VE . cotg θ

kde Fs je výslednice tahu v betonářské výztuži od posouvající síly,

∆Fp je výslednice tahu v předpínací výztuži od posouvající síly.


Ve třech předcházejících rovnicích (podmínkách rovnováhy) jsou 4

neznámé: σc , θ , σw , Fs + ∆Fp

Možnosti řešení (stanovení sil pro únosnost):

- vhodná volba úhlu tlakové diagonály θ (má mnoho řešení),

- předpoklad dosažení pevnosti betonu v tlaku fcd (nutno zahrnout vliv

snížení v důsledku příčných tahů),

- dosažení meze kluzu (resp. návrhové pevnosti) ve výztuži:

příčná výztuž: σw = fywd , podélná výztuž: Fs + ∆Fp = Fy

Význam metody:

- vysvětluje nárůst síly v podélné výztuži – pravidlo o posunu obrazce

této síly,

- vysvětluje princip požadované únosnosti ve smyku – třmínky v šikmém

řezu musí přenést posouvající sílu na konci tohoto řezu,

- je to metoda založená na teorii plasticity, protože splňuje podmínky

rovnováhy, plasticity (nesplňuje podmínky kompatibility přetvoření).



Řešení pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin):

nejúčinnější výztuž sledující trajektorie hlavních napětí (tvar šroubovice)

– to nelze, proto se používá výztuž jako:

uzavřené třmínky svařované nebo kotvené přesahem

podélná výztuž rozmístěná rovnoměrně po obvodě

Tyto tvoří složky výsledné tahové síly ve směru hlavních tahů.

rovnováhu zajišťují

betonové vzpěry ve směru hlavních tlaků

Toto vyztužení se superponuje se stávajícím vyztužením na M a V.

Vnitřní síly v průřezu přenášející kroucení



Řešení pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin):

kroucení vzdoruje účinný průřez

(nebezpečí odprýskání betonu) –

používá se model tzv. ekvivalentního

tenkostěnného uzavřeného průřezu (i

pro plné průřezy),

složené průřezy lze rozdělit na dílčí

průřezy, stanovit pro ně únosnost v

kroucení a následně stanovit celkovou

únosnost jako součet únosností

jednotlivých dílčích průřezů,

dalším modelem je prostorová násobná

příhradová

Smyk podle EN ČSN 1992-1-1

Porušení smykem od V podle ČSN EN 1992-1-1

Prvky bez smykové výztuže

1) V oblastech bez ohybových trhlin (pokud napětí v tahu za ohybu je

menší než fctk,0,05/c) má být únosnost ve smyku omezena pevností betonu

v tahu. V těchto oblastech je únosnost ve smyku dána vztahem:

l

bV f f

S

2wRd,c ctd cp ctd

kde

I je moment setrvačnosti plochy průřezu

bw šířka průřezu na těžišťové ose (nutno zohlednit kanálky)

S statický moment plochy průřezu nad těžišťovou osou k této ose

αI = lx/lpt2 ≤ 1,0 pro předem napjatou výztuž,

= 1,0 pro ostatní druhy předpínání;

lx vzdálenost uvažovaného průřezu od počátku přenášecí délky

lpt2 horní hraniční hodnota přenášecí délky u předpjatého prvku

σc napětí betonu v tlaku v těžišťové ose průřezu od normálové síly a/nebo

předpětí (σc = NEd /Ac v MPa, NEd > 0 značí tlak).


2) U předpjatých nosníků bez smykové výztuže lze vypočítat únosnost ve smyku

v oblastech s ohybovými trhlinami s použitím vztahu :

VRd,c = [CRd,c · k ·(100 · l · fck)1/3 + k1 · cp] · bw · d

při minimu VRd,c = (vmin + k1 · cp) · bw · d

kde

CRd,c = 0,18/ γc ,

k = 1 + (200/d)1/2 ≤ 2,0 , (d v mm),

ρl = Asl /(bw · d) ≤ 0,02 ,

vmin = 0,035 · k3/2 · fck1/2 ,

cp = NEd/Ac < 0,2 fcd [MPa],

NEd normálová síla v průřezu od zatížení nebo předpětí [v N] (NEd > 0 pro

tlak). Vliv vnesených deformací na NEd lze zanedbat,

AC plocha betonového průřezu [mm2],

k1 je 0,15.


Prvky se svislou smykovou výztuží

VRd,s = (Asw / s) · z · fywd · cotg

VRd,max = cw · bw · z · 1 · fcd / (cotg + tan )

síla v podélné výztuží FEd = 0,5 · VEd · (cotg - tan ) + NEd = VEd · al / z + NEd

duktilita: Asw,max /s ≤ 0,5 · cw · 1 · fcd · bw / fywd ( pro cotg =1,0)

cw součinitel, kterým se zohledňuje stav napětí v tlačeném pásu:

1,0 pro nepředpjaté konstrukce

(1 + cp/fcd) pro 0 < cp 0,25 fcd

1,25 pro 0,25 fcd < cp 0,5 fcd

2,5 (1 - cp/fcd) pro 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd

kde cp je průměrné napětí betonu v tlaku uvažované jako kladné, vyvolané návrhovou

normálovou silou. Toto napětí se má získat zprůměrováním po betonovém průřezu

při uvažování výztuže. Hodnota cp se nemusí počítat ve vzdálenosti menší než

0,5d · cot od líce uložení.

𝛼𝑐𝑤

𝜎𝑐/𝑓𝑐𝑑

1,001,25

10,25 0,5 0,75


Porušení smykem od T podle ČSN EN 1992-1-1

VEi = TE · zi / (2 · Ak) = TE / (2 · Ak ·cot θ) pro zi ≈ z,

prvky bez

trhlin

prvky

s trhlinami

Date post:	13-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	7 times
Download:	0 times

Mezní stavy únosnosti - bzk.fce.vutbr.cz · 3. V tažené části beton nepůsobí 4. Napětí...

Documents