Grafická prezentace a numerické modelování geochemických dat

Vybrané citace:

ALBARÈDE F. 1995. Introduction to the Geochemical Modeling.– Cambridge University Press, pp. 1–543.

BRYAN W.B., FINGER L.W. & CHAYES F. 1969. Estimating proportions in petrographic mixing equations by least-squares approximation.– Science 163: 926–927.

CASTRO A., DE LA ROSA J.D. & STEPHENS W.E. 1990. Magma mixing in the subvolcanic environment: petrology of the Gerena interaction zone near Seville, Spain.– Contrib. Mineral. Petrol. 105: 9–26.

COX K.G., BELL J.D. & PANKHURST R.J. 1979. The Interpretation of Igneous Rocks.–George Allen & Unwin, pp 1–450.

EVANS O.C. & HANSON, G.N., 1993. Accessory-mineral fractionation of rare-earth element (REE) abundances in granitoid rocks.– Chem. Geol. 110: 69–93.

FAURE G. 1986. Principles of Isotope Geology.– J. Wiley & Sons, Chichester, pp. 1–589.

FOURCADE S. & ALLÈGRE C.J. 1981. Trace elements behavior in granite genesis: a case study. The calc-alkaline plutonic association from the Quérigut Complex (Pyrénées, France).– Contrib. Mineral. Petrol. 76: 177–195.

GROMET L.P. & SILVER L.T. 1983. Rare earth element distribution among minerals in a granodiorite and their petrogenetic implications.– Geochim. Cosmochim. Acta 47: 925–939.

HANSON G.N. 1978. The application of trace elements to the petrogenesis of igneous rocks of granitic composition.– Earth Planet. Sci. Lett. 38: 26–43.

HANSON G.N. 1980. Rare earth elements in petrogenetic studies of igneous systems.– Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 8: 371–406.

JANOUŠEK V., BOWES D.R., ROGERS G., FARROW C.M. & JELÍNEK E. 2000A. Modelling diverse processes in the petrogenesis of a composite batholith: the Central Bohemian Pluton, Central European Hercynides. J. Petrol. 41: 511–543.

JANOUŠEK V., BOWES D.R., BRAITHWAITE C.J.R. & ROGERS G. 2000B. Microstructural and mineralogical evidence for limited involvement of magma mixing in the petrogenesis of a Hercynian high-K calc-alkaline intrusion: the Kozárovice granodiorite, Central Bohemian Pluton, Czech Republic.– Trans. Royal Soc. Edinburgh: Earth Sci. in print.

ROLLINSON H.R. 1993. Using geochemical data: Evaluation, presentation, interpretation.– Longman, pp 1–352.

SAWKA W.N. 1988. REE and trace element variations in accessory minerals and hornblende from the strongly zoned McMurry Meadows Pluton, California.– Trans. Royal Soc. Edinburgh: Earth Sci. 79: 157–168.

WALL V.J., CLEMENS J.D., CLARKE D.B. 1987. Models for granitoid evolution and source compositions. J. Geol 95: 731-749

WILSON M. 1989. Igneous Petrogenesis.– Unwin Hyman, pp 1–466.

Modelování petrogeneze vyvřelých hornin

4/2

7.1 Frakční krystalizace

7.1.1 Přímé modelování na hlavních prvcích

Frakční krystalizace způsobuje silné lineární korelace v binárních diagramech oxidů hlavních prvků. Pro kyselé vyvřelé horniny se jako index frakcionace používá SiO2 (tzv. Harkerovy diagramy); pro bazické horniny je vhodnější MgO nebo mg#. Tyto lineární trendy jsou však podobné jiným petrogenetickým procesům (např. parciálnímu tavení, binárnímu míšení apod. – Wall et al. 1989). Teprve až změny v krystalizujících minerálech nebo jejich proporcích mohou způsobit inflexe, sloužící jako důkaz frakční krystalizace (Obr. 7.1).

Grafické modelování procesu frakční krystalizace v Harkerových diagramech ukazuje Obr. 7.2 (Cox et al. 1979). Vynesena jsou složení mateřského magmatu (PM = primary melt) a krystalizujících fází (E = extract); diferencované magma (DM = differentiated melt) se pak vyvíjí podle naznačené přímky. Stupeň frakční krystalizace je dán pákovým pravidlem (Wilson 1989):

iFM

icum

iFM

iPM

fc cccc

f−−

= (7.1)

Pro koncentraci prvku i platí:

)1( fciFMfc

icum

iPM fcfcc −+= (7.2)

% SiO2% SiO2% SiO2

plagioclase in

plagioclase in

apatite in

olivine - cpx

Al O2 3 P O2 5MgO

Obr. 7.1 Harkerovy diagramy pro suitu kogenetických vulkanických hornin spjatých frakční krystalizací olivínu, klinopyroxenu, plagioklasu a apatitu (Wilson, 1989)

PP

E

E

E

Q QS

R

PMPM

PM

DMDMdifferentiatedmagma

parentmagma

extract

DM

% o

xide

A

% o

xide

A

% o

xide

A

% SiO2% SiO2% SiO2

Ú

Õ

Ý Ô Ý

Õ

Obr. 7.2. Grafická reprezentace efektů frakční krystalizace jednoho, dvou a tří minerálů (podle Coxe et al., 1979)

4/3

kde ffc = stupeň frakční krystalizace, PM = primitivní (nediferencované) magma, cum = kumulát, FM = frakcionované magma. Koncentrace prvku i v kumulátu je sumou jeho koncentrací v jednotlivých minerálech (ck) násobená jejich modálním zastoupením (fk):

ik

ik

k

icum fcc ∑=

(7.3)

[Albarède (1995 - str. 5)] Soubor MaunaLoa.data obsahuje složení bazaltického magmatu z Havaje a olivínu (fo88), který z něj krystalizoval.

• spočtěte složení bazaltu po frakcionaci 5, 10 a 15 % olivínu.

Z rovnice 7.2 vyplývá:

)1( ol

oliol

iPMi

FM ffcc

c−−

=

Kde: PM = primární magma (bazalt), ol = olivín, FM = neznámý chemismus diferencované taveniny > x<-read.table("MaunaLoa.data",sep="\t") > x<-as.matrix(x) > min<-x[,2] # složení olivínu > WR<-x[,1] # složení magmatu > f<-c(0.05,0.1,0.15) # stupeň krystalizace > for (i in 1:length(f)){ > y<-(WR-min*f[i])/(1-f[i]) > x<-cbind(x,y) > } > colnames(x)<-c("WR","ol",f) > print(round(x,2))

WR ol 0.05 0.1 0.15 SiO2 51.63 39.90 52.25 52.93 53.70 TiO2 1.94 0.00 2.04 2.16 2.28 Al2O3 13.12 0.00 13.81 14.58 15.44 FeO 10.80 11.70 10.75 10.70 10.64 MgO 8.53 47.80 6.46 4.17 1.60 CaO 9.97 0.28 10.48 11.05 11.68 Na2O 2.21 0.00 2.33 2.46 2.60

[Albarède (1995 - str. 8)] Soubor basalt.data obsahuje složení typického MORB bazaltu a některých jeho minerálů.

• spočtěte složení zbytkové taveniny po 20 % frakční krystalizaci kumulátu obsahujícího 20 % olivínu, 30 % diopsidu a 50 % anortitu.

• Jaké je složení kumulátu?

Tab 7.2. Složení typického bazaltu typu MORB a jeho horninotvorných minerálů

bazalt olivín diopsid anortit

SiO2 49.79 40.01 54.69 48.07 Al2O3 16.95 0 0 33.37 FeO 8.52 14.35 3.27 0 MgO 8.59 45.64 16.51 0 CaO 12.17 0 25.52 16.31 Na2O 2.61 0 0 2.25

Cvičení 7.1

Cvičení 7.2

Tab 7.1. Složení havajského bazaltu a jeho olivínu

bazalt olivín

SiO2 51.63 39.9 TiO2 1.94 0 Al2O3 13.12 0 FeO 10.8 11.7 MgO 8.53 47.8 CaO 9.97 0.28 Na2O 2.21 0

4/4

> x<-read.table("basalt.data",sep="\t") > x<-as.matrix(x) > WR<-x[,1] # složení primární taveniny > mins<-x[,2:ncol(x)] # složení krystalizujících minerálů > f<-c(0.2,0.3,0.5) # jejich proporce v kumulátu > fc<-0.2 # stupeň frakční krystalizace > ccum<-mins%*%f; # složení kumulátu > crl<-(WR-ccum*fc)/(1-fc) # složení diferenciovaného magmatu > x<-cbind(x,ccum,crl) > colnames(x)<-c("bazalt",colnames(mins),"kumulát","dif.magma") > print(round(x,2))

bazalt olivín diopsid anortit kumulát dif.magma SiO2 49.79 40.01 54.69 48.07 48.44 50.13 Al2O3 16.95 0.00 0.00 33.37 16.68 17.02 FeO 8.52 14.35 3.27 0.00 3.85 9.69 MgO 8.59 45.64 16.51 0.00 14.08 7.22 CaO 12.17 0.00 25.52 16.31 15.81 11.26 Na2O 2.61 0.00 0.00 2.25 1.12 2.98

7.1.2 Inverzní modelování na hlavních prvcích – metoda nejmenších čtverců

Jak bylo ukázáno v předchozí kapitole, pří modelování frakční krystalizace lze považovat složení původního magmatu v zásadě za směs diferencované taveniny a vykrystalizovaných minerálů (kumulátu) (rov. 7.2). Vytvořme matici A v které první sloupec bude obsahovat složení diferencované taveniny a v sloupcích dalších bude uloženo složení jednotlivých minerálů. Vektor x bude obsahovat, jako svůj první prvek, frakci zbývající taveniny (tj. 1 – stupeň frakční krystalizace), následovanou relativními proporcemi krystalizujících minerálů v kumulátu (přepočtenými na sumu 1). Potom může být hmotová balance zapsaná ve formě (Bryan et al. 1969)

Axy = (7.4)

a řešena metodou nejmenších čtverců. Albarède (1995) diskutuje v detailu nezbytný matematický aparát, vedoucí k tomuto řešení. Pro nás je rozhodující, že v R je metoda nejmenších čtverců implementována pomocí funkce:

lsfit (A, y, intercept = FALSE1)

Výstupem je seznam, jehož nejzajímavější komponentou je $coefficients, odpovídající vektoru x definovanému výše. Komponenta $residuals obsahuje odchylky mezi spočteným složením původní taveniny a skutečností. Suma čtverců těchto reziduí R2 je užitečným parametrem kvantifikujícím úspěšnost modelu. I když hodnota tohoto parametru klesá s počtem komponent, v zásadě by neměla výrazně převýšit 1.

[inverze Cvičení 7.2] Soubor basalt2.data obsahuje výsledky z předchozího cvičení – složení mateřského MORB bazaltu, frakcionované taveniny

a krystalizujících minerálů. Ukážeme si na něm jednoduché použití metody nejmenších čtverců pro inverzní modelování frakční krystalizace.

1 Poznámka: parameter intercept musí být nastaven na FALSE aby řešení procházelo počátkem

Cvičení 7.3

4/5

Tab 7.3. Složení typického bazaltu typu MORB a jeho horninotvorných minerálů

bazalt DM olivín diopsid anortit

SiO2 49.79 50.13 40.01 54.69 48.07 Al2O3 16.95 17.02 0 0 33.37 FeO 8.52 9.69 14.35 3.27 0 MgO 8.59 7.22 45.64 16.51 0 CaO 12.17 11.26 0 25.52 16.31 Na2O 2.61 2.98 0 0 2.25

• spočtěte stupeň frakční krystalizace a pravděpodobné proporce krystalizujících

minerálů, je-li dáno jejich složení, jakož i složení mateřského a frakcionovaného magmatu

Použijeme funkce lsfit(A,y,intercept=FALSE), kde matice A bude obsahovat složení frakcionované horniny a krystalizujících minerálů a y bude vektor složení iniciální taveniny, na kterou lze nahlížet jako na jejich směs. Pokud přiřadíme výsledek řekněme proměnné ee, koeficienty regrese vyvoláme pomocí ee$coeff. > x<-read.table("basalt2.data",sep="\t") > x<-data.matrix(x) > A<-x[,-1] > y<-x[,1] # složení původního magmatu > ee<-lsfit(A,y,intercept=FALSE) > fc<-1-ee$coeff[1] # stupeň frakční krystalizace > f<-ee$coeff[-1] # pokud jsou tyto normalizovány na 100% > f<-f/sum(f) # dostáváme minerální proporce > cat(round(100*fc,3),"% fc ","\n") > print(f*100,4)

20.003 % fc olivine diopside anorthite 19.97 30.05 49.98

> cat("\nRsquared: ",sum(ee$residuals^2),"\n")

Rsquared: 8.11834e-32

Pokud chceme zkontrolovat řešení, můžeme spočíst kumulát analogicky ke cvičení 7.2: > mins<-x[,-(1:2)] > parent<-x[,1] > cum<-mins%*%f > estimated<-(parent-fc*cum)/(1-fc) > print(round(estimated,2)) > # složení taveniny pro spočtený stupeň fc a proporce kryst. minerálů

[,1] SiO2 50.13 Al2O3 17.02 FeO 9.69 MgO 7.22 CaO 11.26 Na2O 2.98

4/6

7.1.3 Přímé modelování na stopových prvcích

Koncentrace stopového prvku během frakční krystalizace se řídí Rayleighovou rovnicí

cc

FL D

0

1= −( )

(7.5)

Kde: c0 = složení mateřského magmatu cL = koncentrace stopového prvku ve frakcionující tavenině F = frakce zbývající taveniny (1→0); (1–F) je stupeň frakční krystalizace D = celkový distribuční koeficient pro krystalizující minerály:

D Kdi Xii

= ∑

(7.6)

Složení právě krystalizující fáze:

c Dc Dc Fsi

LD= = −

01( )

(7.7)

Celkové složení kumulátu:

c c FFs

D

=−−0

11

(7.8)

Frakční krystalizace rychle ochuzuje kompatibilní prvky v tavenině (Obr. 7.3). Maximální možný stupeň frakční krystalizace lze odhadnout pomocí silně nekompatibilního prvku (D → 0), pro který se Rayleighova rovnice [7.5] změní na:

cc F

L

0

1→

(7.9)

Datový soubor basalt3.data (Tab. 7.4) obsahuje koncentrace stopových prvků v bazaltu a distribuční koeficienty pro jednotlivé minerální fáze (Albarède 1995 — p. 494)

Tab 7.4. Koncentrace stopových prvků v bazaltu a distribuční koeficienty pro jeho hlavní minerální fáze

basalt ol cpx plg

Ni 150 15 1 0 Sr 100 0 0.1 2.0 Yb 3 0.05 0.35 0.25 Rb 10 0 0 0

• Spočtěte složení taveniny po 20% frakční krystalizace 30 % olivínu, 20 % diopsidu a 50 % plagioklasu • Jaké bylo složení právě krystalizující pevné fáze a průměrné složení kumulátu?

> x<-read.table("basalt3.data",sep="\t") > x<-data.matrix(x) > c0<-x[,1] # složení původní taveniny > Kd<-x[,-1] # tabulka distribučních koeficientů > f<-c(0.3,0.2,0.5) # minerální proporce v kumulátu

Cvičení 7.4

4/7

> F<-0.8 # frakce taveniny zbývající v systému > D<-Kd%*%f # distribuční koeficienty > cL<-c0*F^(D-1) # složení taveniny > cS<-D*cL # okamžité složení pevné fáze > cSavg<-c0*(1-F^D)/(1-F) # průměrné složení kumulátu > result<-cbind(c0,D,cL,cS,cSavg) > colnames(result)<-c("c0","D","cL","cS","cSavg") > print(round(result,1))

c0 D cL cS cSavg Ni 150 4.7 65.7 308.8 487.2 Sr 100 1.0 99.6 101.5 101.8 Yb 3 0.2 3.6 0.8 0.7 Rb 10 0.0 12.5 0.0 0.0

• vyneste graf závislosti složení taveniny log(cL/c0) na stupni frakční krystalizace pro různé distribuční koeficienty (D = 0.01, 0.1, 1, 2, 5, 10) [rovnice 7.5].

> F<-seq(1,0,by=-0.05);D<-1 > plot(F,F^(D-1),xlab="F",ylab=

expression(c[L]/c[0]),type="l", ylim=c(0.1,10),log="y")

> D<-c(0.01,0.1,2,5,10) > for (i in 1:length(D)){ > points(F,

F^(D[i]-1),type="l") > }

7.1.4 Reverzní modelování na stopových prvcích

Pro identifikaci možných krystalizujících fází slouží log–log diagramy koncentrací kompatibilních stopových prvků (např. Obr. 7.4), ve kterých se původně exponenciální trendy popsané Rayleighovou rovnicí změní na lineární:

log( ) log( ) ( ) log( )cL c D F= + −0 1 (7.10)

Pro granitoidy se běžně používají LILE (Rb, Sr, Ba), které vstupují do hlavních horninotvorných minerálů a jejichž distribuční koeficienty (Kd) jsou poměrně dobře známé (Hanson, 1978; Tab. 7.5).

10

100

1.0

F

0.10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.10.01

12

5

D =

10

cL

c0

Obr. 7.3. Závislost složení taveniny na frakci zbývající taveniny (F) a distribučních koeficientech (D) v průběhu frakční krystalizace. šedivá oblast je“zakázaná zóna ” vymezená maximálním možným nebohacením pro dokonale nekompatibilní prvek (D = 0; viz rovnice. 7.9)

Cvičení 7.5

Tab 7.5. Typické distribuční koeficienty minerál/tavenina pro Rb, Sr a Ba běžných horninotvorných minerálů dacitických a ryolitických tavenin (Hanson 1978)

Mineral Rb Sr Ba garnet 0.0085 0.015 0.017 hypersthene 0.0027 0.0085 0.0029 clinopyroxene 0.032 0.516 0.131 amphibole 0.014 0.22 0.044 biotite 3.26 0.12 6.36 K-feldspar 0.659 3.87 6.12 plagioclase 0.041 4.4 0.31

4/8

O něco problematičtější je použití REE (např. Hanson, 1980), protože jejich distribuce je do značné míry kontrolována krystalizací akcesorických minerálů (Gromet & Silver 1983; Sawka 1988; Evans & Hanson 1993). Například zirkon má vysoké Kd pro HREE, allanit pro LREE, zatímco titanit a apatit preferují střední REE (Obr. 7.5).

Z hlavních horninotvorných minerálů živce mají nízké Kd pro všechny REE s výjímkou Eu. Velikost této Eu anomálie v plagioklasu klesá s rostoucí fO2 a teplotou (Hanson 1980). Klinopyroxen preferuje střední a těžké REE; podobné vzory — i když při podstatně vyšších obsazích — má i amfibol. Naproti tomu biotit je charakterizován nízkými obsahy všech REE (Obr. 7.5).

ZIRCON

GARNET

APATITE

ANORTHOCLASE

PLAGIOCLASE

K-FELDSPAR

HORNBLENDE

CLINOPYROXENE

HYPERSTHENE

BIOTITE

MIN

ER

AL/

MAT

RIX

MIN

ER

AL/

MAT

RIX

1

1

4

10

50

100

400

0.1

0.01

0.05

0.1

Ce CeNd NdSm SmEu EuGd GdDy DyEr ErYb Yb

Obr. 7.5 Distribuční koeficienty minerál/tavenina pro REE v dacitech a ryolitech (Hanson 1980)

1000

bi

Kfplg

hb

100

1000

500 2000

Ba (ppm)

A: 42% hb + 32% plg + 12% KF + 13% bi

10

10 10

1010

10

20

20

30

50

40

30

B: 26% hb + 47% plg + 27% bi

ABKozárovice

intrusionBlatná

intrusion

Obr. 7.4 Ba– Sr diagram pro kozárovickou

(kosočtverce) a blatenskou (čtverečky) intruzi středočeského plutonu. Zobrazeny jsou vektory ukazující efekty 10% frakční krystalizace hlavních horninotvorných minerálů, kromě toho je modelována až 60% frakcionace amfibolu, plagioklasu, biotitu ± K-živce (A, B)

(Janoušek et al. 2000a)

4/9

7.2 Binární míšení Předpokládejme směs dvou komponent, A, B. Pokud frakce komponenty A označíme f:

f AA B

=+

(7.11)

koncentrace prvku ve směsi M bude:

BBABAM cccffcfcc +−=−+= )()1( (7.12)

pro dva prvky, X a Y (Faure 1986):

Y XY Y

X XY X Y X

X XM MA B

A B

B A A B

A B

=−−

+−−

( )( )

(7.13)

což je rovnice přímky v diagramu X–Y.

7.2.1 Test míšení na hlavních prvcích

Rovnice [7.13] je rovnicí přímky v diagramu cA–cB vs. cM–cB se sklonem odpovídajícím frakci komponenty A. To je princip mixing testu podle Fourcade & Allègre (1981) a Castro et al. (1990) (Obr. 7.6a).

7.2.2 Test míšení na hlavních prvcích

Castro et al. (1990) použili proporcí kyselého a bazického koncového členu pro výpočet teoretického složení stopových prvků v předpokládané hybridní hornině. Tyto teoretické koncentrace pak porovnávali se skutečnými daty (Obr. 7.6b).

a

c-c

MB

c -cA B-10 100 20

-10

10

0

20

Si

TiAl

Fe2+ Fe3+Mn

MgCa

NaK

HY

BR

ID/ B

AS

IC

0

1

2

3

Ba Rb Sr Zr Hf Ce Y Ni CoLa Cr

b

Obr. 7.6 Testy míšení pro kozárovický kvarcmonzonit, středočeský pluton (Janoušek et al. 2000). a. test založený na hlavních prvcích (Fourcade & Allègre 1981). ca, cb a cM odpovídají hm. % oxidů v kyselém a bazickém koncovém členu (kozárovický granodiorit a monzonit) a předpokládaném hybridu. b. test stopových prvků (Castro et al., 1990) srovnávající skutečné koncentrace předpokládaného hybridu s teoretickým složením spočteným za předpokladu, že tento obsahuje 68 % granodioritové komponenty A (čárkovaně).

4/10

V souboru koza.data je uloženo složení tří horninových typů ze širšího okolí Kozárovic ve středočeském plutonu: kozárovického granodioritu, lučkovického monzonitu–monzogabra a

kvarcmonzonitu, o kterém se lze na základě vztahů v terénu, mikrostrukturního studia, zonality minerálů a geochemických důkazů domnívat, že je jejich směsí (Janoušek et al. 2000b)

• otestujte na hlavních prvcích, zda skutečně mohl kvarcmonzonit vzniknout míšením kozárovického granodioritu s lučkovickým monzogabrem

• určete podíl granodioritu ve směsi

• za předpokladu, že granodiorit obsahuje 1154 ppm a monzogabro 2329 ppm Ba, spočtěte očekávaný obsah tohoto prvku v kvarcmonzonitu

> x<-read.table("koza.data",sep="\t") > x<-as.matrix(x) > mix1<-x[,1]-x[,3] > mix2<-x[,2]-x[,3] > plot(mix1,mix2,xlim=c(-10,15),

ylim=c(-5,10),pch=1,bg="black", xlab=expression(c[a]-c[b]), ylab=expression(c[h]-c[b]))

> abline(h=0);abline(v=0) > text(mix1,mix2+0.5,rownames(x),

cex=0.5) > lq<-

lsfit(mix1,mix2,intercept=FALSE) > abline(lq,lty="dashed",col="blue") > # Obr. 7.7 > print(lq$coeff) X 0.6841038

> lq$coeff*1154+(1-lq$coeff)*2329 X 1525.178

Cvičení 7.6

A: kozárovický granodiorit

M: kvarc-monzonit

B: lučkovické monzogabro

SiO2 64.60 59.58 49.21 TiO2 0.57 0.72 1.02 Al2O3 14.99 14.8 13.69 FeO 2.79 4.08 6.96

Fe2O3 1.27 1.69 2.47 MnO 0.08 0.14 0.15 MgO 2.37 4.11 8.53 CaO 3.44 5.33 9.74 Na2O 3.12 2.84 1.89 K2O 4.34 4.19 3.61

-10 -5 0 5 10 15

-50

510

ca − cb

c h−

c b

TiO2

Al2O3

FeO

Fe2O3

MnO

MgOCaO

Na2OK2O

Obr. 7.7 Test míšení na hlavních prvcích pro kolárovický kvarcmonzonit (cvičení 7.6)

4/11

7.2.3 Radiogenní izotopy (podle Faurea, 1986)

a. Jeden izotopický poměr Rovnice pro míšení dvou koncových členů o izotopickém složení IA, IB je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

M

BB

M

AAM c

fcIc

fcII )1(

(7.14)

Rovnice [7.12] a [7.14] mohou být zkombinovány do:

( )( ) BA

BBAA

BAM

ABBAM cc

IcIccccIIccI

−−

+−−

=

(7.15)

což je rovnice hyperboly v diagramu c–I (např. Sr–87Sr/86Sr).

Při modelování hybridizace za použití izotopických dat se častěji používají diagramy 1/Sr–(87Sr/86Sr), v nichž se hyperbola míšení mění na přímku. Pokud padnou v tomto diagramu data pro suitu kogenetických vyvřelých hornin na přímku s nenulovým sklonem, ukazuje to na operaci nějakého procesu v otevřeném systému, jako míšení magmat nebo asimilaci okolních hornin. Naproti tomu frakční krystalizace v uzavřeném systému nemá na izotopické složení vliv a suita kogenetických hornin spjatých tímto procesem se vyvíjí podle horizontálního trendu.

Parametr f můžeme spočítat podle rovnice:

( )BBAABAM

MBB

cIcIccIIIcf

+−−−

=)(

(7.16)

[Albarède (1995 - str. 5)] Bazalt je při výstupu kontaminován rulou. Jejich složení je uvedeno v Tab. 7.7.

• vyneste teoretickou hyperbolu míšení mezi bazaltem a rulou v souřadnicích Sr–87Sr/86Sr a 1/Sr–87Sr/86Sr

• spočtěte 87Sr/86Sr poměr ve směsi, která obsahuje 50 % ruly • určete podíl ruly ve směsi, která má 87Sr/86Sr = 0.710

> ca<-100;ia<-0.712 > cb<-400;ib<-0.704 > f<-seq(0,1,by=0.05) > cm<-ca*f+(1-f)*cb > names(cm)<-f > im<-ia*ca*f/cm+ib*cb*(1-f)/cm > names(im)<-f > par(mfrow=c(1,2)) > plot(cm,im,xlab="Sr (ppm)",ylab=expression(" "^87*Sr/" "^86*Sr),

type="b",col="red") > plot(1/cm,im,xlab="1/Sr (ppm)",ylab=expression(" "^87*Sr/" "^86*Sr),

type="b",col="red") > # Obr. 7.8

> f<-0.5 > cm<-ca*f+(1-f)*cb > im<-ia*ca*f/cm+ib*cb*(1-f)/cm

Cvičení 7.7

Table 7.6.

A: rula B: bazalt

Sr 100 ppm 400 ppm 87Sr/86Sr 0.712 0.704

4/12

> im [1] 0.7056

> im<-0.710 > f<-cb*(ib-im)/(im*(ca-cb)-ia*ca+ib*cb) > f [1] 0.923077

b. Dva izotopické poměry (typicky Sr–Nd)

Z [7.12, 7.14] vyplývá:

)1()1(

fcfcfcIfcII

BA

BBAAM −+

−+=

(7.17)

Tato rovnice umožňuje spočítat například sérii Sr a Nd izotopických poměrů pro řadu předem zvolených proporcí f koncového členu A a tato data vynést jako hyperbolu míšení v diagramu 87Sr/86Sr – 143Nd/144Nd.

Asymptoty hyperboly potom budou (Albarède 1995):

qSrSrq

SrSr

x AB

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=1

86

87

86

87

0 q

NdNdq

NdNd

y BA

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=1

144

143

144

143

0 (7.18)

a její zakřivení (přímku obdržíme pouze pro q = 1):

B

A

NdSrNdSrq

)/()/(

=

(7.19)

[Albarède (1995 - str. 22)]

100 200 300 400

0.70

40.

706

0.70

80.

710

0.71

2

0.004 0.008

0.70

40.

706

0.70

80.

710

0.71

2

1/Sr (ppm)Sr (ppm)

87S

r 86

Sr

87S

r 86

Sr

Obr. 7.8. Teoretická hyperbola míšení při kontaminaci bazaltu okolní rulou (cvičení 7.7)

Cvičení 7.8

4/13

Bazalt je při výstupu kontaminován rulou. Složení je uvedeno v tab. • spočtěte Sr koncentraci, 87Sr/86Sr poměr, Nd

koncentraci a 143Nd/144Nd poměr směsi obsahující 0, 5, 10, … 100 % ruly; výsledek vyjádřete v tabulce

• vyneste teoretickou hyperbolu míšení mezi bazaltem a rulou v souřadnicích , 87Sr/86Sr – 143Nd/144Nd

• určete asymptoty

> ca1<-200;cb1<-100 > ia1<-0.710;ib1<-0.703 > f<-seq(0,1,by=0.05) > cm1<-ca1*f+(1-f)*cb1 > im1<-ia1*ca1*f/cm1+ib1*cb1*

(1-f)/cm1 > ca2<-20;cb2<-2 > ia2<-0.511;ib2<-0.513 > cm2<-ca2*f+(1-f)*cb2 > im2<-ia2*ca2*f/cm2+ib2*cb2*

(1-f)/cm2 > x<-cbind(cm1,im1,cm2,im2) > > rownames(x)<-f > colnames(x)<-c("Sr","87Sr/86Sr","Nd","143Nd/144Nd") > print(x) Sr 87Sr/86Sr Nd 143Nd/144Nd 0 100 0.7030000 2.0 0.5130000 0.05 105 0.7036667 2.9 0.5123103 0.1 110 0.7042727 3.8 0.5119474 0.15 115 0.7048261 4.7 0.5117234 0.2 120 0.7053333 5.6 0.5115714 0.25 125 0.7058000 6.5 0.5114615 0.3 130 0.7062308 7.4 0.5113784 0.35 135 0.7066296 8.3 0.5113133 0.4 140 0.7070000 9.2 0.5112609

> plot(im1,im2,xlab= expression(" "^87*Sr/ " "^86*Sr), ylab=expression( " "^143*Nd/" "^144*Nd), type="b",col="red")

# Obr. 7.9

> q<-(ca1/ca2)/(cb1/cb2) > x0<-(ib1-q*ia1)/(1-q) > y0<-(ia2-q*ib2)/(1-q) > x0 [1] 0.70125 > y0 [1] 0.5105

A: rula B: bazalt

Sr 200 ppm 100 ppm 87Sr/86Sr 0.710 0.703

Nd 20 ppm 2 ppm 143Nd/144Nd 0.511 0.513

H.L. Mencken's Law:

Those who can — do. Those who can't — teach.

Martin's Extension: Those who cannot teach — administrate.

Unnamed Law

If you can't learn to do it well, learn to enjoy doing it badly.

0.703 0.705 0.707 0.709

0.51

100.

5115

0.51

200.

5125

0.51

30

87Sr 86Sr

143 N

d 14

4 Nd