České vysoké učení technické v PrazeFakulta jaderná a fyzikálně inženýrská

Modely kvazikrystalu se soběpodobností

Quasicrystal models with self-similarity

Bakalářská práce

Autor: Jan Mazáč

Vedoucí práce: prof. Ing. Zuzana Masáková, PhD.

Akademický rok: 2016/2017

- Zadání práce -

- Zadání práce (zadní strana) -

Poděkování:Chtěl bych poděkovat především své školitelce prof. Zuzaně Masákové za vstřícnost, ochotua trpělivost při vedení mé bakalářské práce. Rovněž jí děkuji za četné komentáře k textu, kterévýrazně zlepšily čtivost práce. Dále bych chtěl poděkovat prof. Editě Pelantové za cenné připo-mínky, rady a konzultace při řešení některých problémů, které přispěly k celkové práci. V nepo-slední řadě patří můj dík mé rodině za její neutuchající podporu a mým přátelům.

Čestné prohlášení:Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracoval samostatně a uvedl jsem všechnu použitou literaturu.

Nemám závažný důvod proti použití tohoto školního díla ve smyslu §60 Zákona č. 121/2000Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů(autorský zákon).

V Praze dne 30. června 2017 Jan Mazáč

Název práce:

Modely kvazikrystalu se soběpodobností

Autor: Jan Mazáč

Obor: Matematické inženýrství

Zaměření: Matematická fyzika

Druh práce: Bakalářská práce

Vedoucí práce: prof. Ing. Zuzana Masáková, PhD., České vysoké učení technické v Praze, Fakultajaderná a fyzikálně inženýrská, katedra matematiky

Abstrakt: Uznávaným matematickým modelem pro kvazikrystaly jsou tzv. cut-and-project (C&P)množiny. C&P schéma (L, π1, π2) je dáno mříží L v Rs a projekcemi π1, π2 na dva vhodně oriento-vané podprostory V1, V2. C&P množina Σ(Ω) je delonovská podmnožina π1(L). V práci odvodímeněkolik tvrzení popisujících souvislost mezi soběpodobnostními transformacemi mříže L a trans-formacemi projekcí π1(L) a π2(L). Popíšeme způsob, jak pomocí požadavků na transformacimříže L konstruovat C&P schéma s příslušnou soběpodobností. V případě požadavku 5četnésymetrie sestrojíme nedegenerované ireducibilní C&P schéma invariantní na izometrii řádu 5a srovnáme jej s klasickou konstrukcí pomocí Coxeterových grup. Na množině π1(L) zkoumámedalší možné soběpodobnosti a ukážeme, že tvoří asociativní algebru nad Z. Dále zkoumáme 3DC&P množiny vzniklé z 5D mříže. Ukážeme některé jejich překvapivé geometrické vlastnosti.

Klíčová slova: cut-and-project množiny, diskrétní množiny, kvazikrystal, pětičetná symetrie,soběpodobnost

Title:

Quasicrystal models with self-similarity

Author: Jan Mazáč

Abstract: Quasicrystals can be described using cut-and-project (C&P) sets. A C&P scheme(L, π1, π2) is given by a lattice L in Rs and by projections π1, π2 onto two suitable subspacesV1, V2. A C&P set Σ(Ω) is a Delone subset of π1(L). In this work we derive several proposi-tions describing the relation between transformations of the lattice L and transformations of itsprojections π1(L) and π2(L). When requiring five-fold symmetry we construct non-degenerateirreducible C&P scheme invariant under an isometry of order 5 and we compare it to the classicalconstruction of quasicrystals using Coxeter groups. We study other self-similarities on the setπ1(L) and prove that they form an associative algebra over Z. We further investigate 3D C&Psets arising by projection of a 5D lattice. We demonstrate some of their surprising geometricproperties.

Key words: cut-and-project sets, discrete sets, five-fold symmetry, quasicrystal, self-similiarity

Obsah

Značení 10

Úvod 11

1 Základní pojmy a tvrzení 121.1 Teorie čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Teorie matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Diskrétní množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Cut-and-project množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 1D cut-and-project množiny vzniklé projekcí 2D mříže . . . . . . . . . . . 22

1.4 Geometrie pravidelného pětiúhelníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Klasická konstrukce kvazikrystalu s pětičetnou symetrií . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Soběpodobnost kvazikrystalu 302.1 Jednodimenzionální kvazikrystal se soběpodobností . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Škálovací symetrie kvazikrystalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Souvislost soběpodobnosti na kvazikrystalu s transformacemi mříže . . . . . . . . 34

3 Kvazikrystal s pětičetnou symetrií vzniklý projekcí 4D mříže 393.1 Konstrukce kvazikrystalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Srovnání s klasickou konstrukcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Soběpodobnosti 2D kvazikrystalu s pětičetnou symetrií . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1 Příklad netriviální soběpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Kvazikrystal s pětičetnou symetrií vzniklý projekcí 5D mříže 574.1 Dvoudimenzionální případ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Třídimenzionální případ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Geometrické vlastnosti 3D kvazikrystalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.1 Násobky vlastních vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.2 Další možné soběpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Závěr 65

Literatura 66

9

Značení

V celém textu práce se budeme držet následujícího značení:

A,B,C,N,Q,R,Z číselné množinyT tělesoT[x] množina všech polynomů v proměnné x s koeficienty v TQ(α) algebraické rozšíření racionálních čísel o číslo αL mřížπ1, π2 projekceΩ oknoΣ(Ω) kvazikrystal příslušný oknu Ωl,v,x,y,α vektoryspanT x1,x2, . . . ,xn lineární obal vektorů x1,x2, . . . ,xn s koeficienty v T[X] spanZ x : x ∈ Xv‖ obraz vektoru v při projekci π1v⊥ obraz vektoru v při projekci π2A,B,C, F,M,P, V, Y matice, zobrazenídiag a, b, . . . , k diagonální matice rozměru k × k s prvky a, b, . . . , k na diagonálex∗, H∗ hermitovsky sdružený vektor x, resp. matice HBr otevřená koule se středem v počátku poloměrem r〈x,y〉H skalární součin vektorů x,y určený maticí H

10

Úvod

Látky zvané kvazikrystaly, jejich fyzikální vlastnosti a matematické modely těchto strukturse do zájmu vědecké komunity dostaly v roce 1984, kdy Dan Shechtman a jeho tým publikovalipřelomový článek týkající se objevu nekrystalografického materiálu, který ale vykazoval jistéuspořádání na dlouhou vzdálenost. Od této doby bylo publikováno mnoho výsledků v této oblasti.Díky udělení Nobelovy ceny Danielovi Shechtmanovi v roce 2011 došlo ke zvýšení zájmu o tutoproblematiku a téma kvazikrystalů je dnes ve vědecké komunitě živé.

V práci se budeme zabývat matematickými modely kvazikrystalů. Zatímco pro klasické krys-talické struktury jsou vhodným matematickým modelem periodické mřížky, pro popis kvazikrys-talických struktur se ukázala být vhodnou tzv. cut-and-project metoda, která spočívá v projek-tování části mříže na dvojici vhodně orientovaných podprostorů.

Při studiu dvoudimenzionálních kvazikrystalů se zájem soustřeďuje především na ty, kterévykazují 5-, 8-, 10- a 12četnou rotační symetrii. Tyto struktury ale často mají i jiné symetrie nežpouze rotace a reflexe. Velmi častou je například škálování iracionálním faktorem nebo afinnísymetrie. Podle článku Lagariase [5] například platí, že pokud pro kvazikrystal Σ(Ω) existuječíslo η takové, že ηΣ(Ω) ⊂ Σ(Ω), tak pak je číslo η Pisotovo číslo, tedy číslo, k němuž algebraickysdružená čísla jsou menší než 1. Na druhou stranu není nám znám žádný systematický výzkumafinních symetrií na kvazikrystalech.

V této práci se zaměříme na kvazikrystaly s 5-(10-)četnou symetrií. Po zadefinování a připo-menutí základních pojmů, následně představíme maticový způsob zápisu kvazikrystalů a pomocíněj odvodíme vztah mezi transformacemi na projekci mříže a transformacemi mříže. V další ka-pitole nalezneme vhodné cut-and-project schéma

(L ⊂ R4, π1, π2

)takové, že jsme z něj vhodným

výběrem okna schopni získat kvazikrystal s desetičetnou symetrií. Provedeme konstrukci pouzeza pomoci teorie matic a lineární algebry. Tuto konstrukci poté porovnáme s klasickou konstrukcíkvazikrystalů s desetičetnou symetrií pomocí Coxeterových grup.

V další části se budeme zabývat soběpodobnostmi na tomto schematu. Budeme zkoumat,jaká jsou veškerá možná lineární zobrazení A, která zachovávají množinu π1(L). Bude nás rovněžzajímat, jakou strukturu tato zobrazení formují. Dále budeme zkoumat, jaké jsou podmínky nazobrazení A na množině π1(L) takové, že existuje okno Ω ⊂ R2 takové, že A je soběpodobnostíkvazikrystalu Σ(Ω).

V závěrečné kapitole se budeme zabývat projekcí z pětidimenzionální mříže a takto vznik-nuvšímu třídimenzionálnímu kvazikrystalu a jeho vlastnostem.

11

Kapitola 1

Základní pojmy a tvrzení

V následující kapitole zadefinujeme pojmy vyskytující se v textu. Vyslovíme tvrzení, kterábudeme používat a v textu se na ně odkazovat.

1.1 Teorie čísel

Uveďme některé číselněteoretické pojmy a tvrzení, které budeme v celé práci využívat. Větyvyslovujeme bez důkazů, ty je možné nalézt například v [6].

Definice 1.1. Číslo η ∈ C nazveme algebraické, jestliže existuje monický polynom, tj. polynoms koeficientem 1 u nejvyšší mocniny, s racionálními koeficienty, jehož je η kořenem, tedy existujef ∈ Q[x], tak, že f(η) = 0. Množinu všech algebraických čísel budeme označovat A.

Definice 1.2. Buď η ∈ A. Monický polynom f ∈ Q[x] minimálního stupně, jehož je η kořenem,nazveme minimálním polynomem čísla η. Ostatní kořeny polynomu f nazýváme algebraickysdružená čísla k číslu η. Stupněm algebraického čísla η rozumíme stupeň minimálního polynomučísla η.

Uveďme příklady algebraických čísel. Typickým příkladem je libovolné racionální číslo pq ,

protože je kořenem rovnice

x− p

q= 0.

Tento polynom je zároveň minimálním polynomem čísla pq a jelikož je jeho stupeň 1, jsou všechna

racionální čísla algebraická čísla stupně 1.Čísla, která nejsou algebraická, jsou například π, e.

Definice 1.3. Buď η ∈ A algebraické číslo stupně n. Buď dále f(x) = xn +

n−1∑i=1

aixi ∈ Q[x]

minimální polynom čísla η. Pak definujeme matici společnici Mη ∈ Qn×n k číslu η jako

Mη =

0 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 00 0 0 . . . 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 . . . 0 1−a0 −a1 −a2 . . . −an−2 −an−1

.

12

Toto ztotožnění algebraických celých čísel a matic s racionálními koeficienty umožňuje mj.dokázat, že množina A je číselné podtěleso C. Matice společnice je z konstrukce taková matice,jejíž charakteristický polynom je právě polynom f(x). Zároveň je možné ukázat, že vlastnívektory zapsané do sloupců tvoří Vandermondeovu matici pro kořeny polynomu f(x).

Definice 1.4. Číslo η ∈ C se nazývá algebraické celé číslo, jestliže existuje monický polynomg ∈ Z[x], jehož je η kořenem. Množina všech algebraických celých čísel se značí B.

Je zřejmé, že veškerá algebraická celá čísla jsou algebraická čísla. Snadno také nahlédneme,že veškerá celá čísla jsou algebraická celá čísla, neboť libovolné b ∈ Z je kořenem rovnice

x− b = 0.

Například√n je pro libovolné n ∈ N, které samo není čtvercem, algebraické celé číslo stupně 2,

neboť je kořenem rovnicex2 − n = 0.

Dalším příkladem je tzv. zlatý řez τ , τ = 12

(1 +√

5), což je větší z kořenů rovnice x2−x−1 = 0.

Bez důkazu uvedeme nyní větu, která formuluje nutnou a postačující podmínku pro to, abyčíslo bylo algebraickým celým číslem.

Věta 1.5. Číslo η ∈ A je algebraické celé, právě když koeficienty jeho minimálního polynomujsou celá čísla.

Definice 1.6. Buď η ∈ R algebraické celé číslo takové, že η > 1. Číslo η nazveme Pisotovo(Pisotovo-Vijayaraghavanovo), pokud všechna jeho algebraicky sdružená čísla η′ splňují |η′| < 1.

Definice 1.7. Buď η ∈ C\R algebraické celé číslo, jehož absolutní hodnota je větší než jedna.Číslo η nazveme komplexní Pisotovo, jestliže jeho algebraicky sdružené kořeny kromě η jsoumenší než jedna.

Nejznámějším příkladem Pisotova čísla je již zmíněný zlatý řez τ . Jeho hodnota je přibližněτ ≈ 1, 618033 . . . . Hodnota druhého kořene rovnice x2 − x − 1 je 1

τ ≈ −0, 618033 . . . . Naprotitomu například číslo

√n není Pisotovo pro žádné n ∈ N takové, že

√n /∈ N.

Definice 1.8. Buď η ∈ R algebraické celé číslo takové, že η > 1. Číslo η nazveme Salemovo,jestliže všechna jeho algebraicky sdružená čísla η′ splňují |η′| ≤ 1 a existuje alespoň jedno takové,že |η′| = 1.

Salemova čísla jsou předmětem výzkumu a ukazuje se, že všechna Salemova čísla jsou menšínež 13

10 . Dále je známé dosud nejmenší Salemovo číslo (stupně 10), tzv. Lehmerovo číslo, σ1 ≈1, 762808 . . . , které je největším kořenem Lehmerova polynomu x10 + x9 − x7 − x6 − x5 − x4 −x3 + x+ 1.

Nyní definujeme algebraické rozšíření celých čísel Q(α). Uvažujme α ∈ C. Potom množina

Q(α) :=⋂T : T je podtěleso C, α ∈ T

je těleso. Toto lze ekvivalentně přepsat do podoby

Q(α) =

∑n

i=0 aiαi∑n

j=0 bjαj

: n,m ∈ N0, ai, bj ∈ Q,n∑j=0

bjαj 6= 0

.

13

Navíc platí následující věta, kterou uvádíme bez důkazu:

Věta 1.9. Buď α ∈ A a buď n ∈ N stupeň α. Pak

Q(α) =a0 + a1α+ · · ·+ an−1α

n−1 : ai ∈ Q.

Z této věty také plyne další ekvivalentní přepsání množiny Q(α), a to následující

Q(α) = g(α) : g ∈ Q[x], st g < n .

Definice 1.10. Buď α ∈ A. Pak výše definovanou množinu Q(α) nazýváme číselným tělesem.Dimenze tohoto tělesa je [Q(α) : Q] ve smyslu vektorového prostoru nad Q a nazývá se stupeňčíselného tělesa Q(α).

Uvažujme nyní číselné těleso Q(α). Označme αi algebraická sdružená čísla k číslu α. Pakmůžeme definovat zobrazení σi : Q(α)→ Q(αi) předpisem

σi(g(α)) := g(αi).

Toto zobrazení je isomorfismus mezi tělesy Q(α) a Q(αi). Dodejme, že tělesa, pro která platí, žepro všechna i je σi(Q(α)) = Q(α), se nazývají Galoisova rozšíření racionálních čísel a zobrazeníσi jsou označována jako Galoisovy automorfismy.

Následující příklad číselného tělesa využijeme později, proto jej nyní rozebereme podrobněji.

Definice 1.11. Cyklotomické číselné těleso je číselné těleso Q(ξ), kde ξ = e2πin .

Číslo ξ je kořenem tzv. n-tého cyklotomického polynomu Φn, tj. polynomu ve tvaru

Φn(x) =∏

k≤n, k⊥n(x− ξk).

Stupeň tohoto polynomu je dán počtem čísel menších než n, která jsou s n nesoudělná, cožvyjadřuje symbol k ⊥ n. Tuto hodnotu určuje Eulerova funkce ϕ, proto tedy st Φn = ϕ(n). Protyto polynomy navíc platí, že ∏

d|n

Φd(x) = xn − 1.

Lze o nich navíc ukázat, že veškeré cyklotomické polynomy jsou monické polynomy s celočísel-nými koeficienty a jsou nad Q ireducibilní pro libovolné n ∈ N.

Vidíme tedy, že číslo ξ je algebraické číslo stupně ϕ(n), a proto číselné těleso Q(ξ) lze zapsatjako

Q(ξ) =a0 + a1ξ + · · ·+ aϕ(n)−1ξ

ϕ(n)−1 : ai ∈ Q.

Zabývejme se případem, kdy n = p, kde p je prvočíslo. Potom totiž ϕ(p) = p− 1 a číselné tělesopřechází do tvaru

Q(ξ) =a0 + a1ξ + · · ·+ ap−2ξ

p−2 : ai ∈ Q.

Zároveň víme, že tvar p-tého cyklotomického polynomu bude mít díky prvočíselnosti p tvar

Φp(x) =

p−1∏j=1

(x− ξj),

a tedy jeho sdružené kořeny budou mít tvar ξj pro všechna 1 ≤ j ≤ p−1. Galoisovy automorfismytedy mají tvar

σj(ξ) = ξj pro všechna 1 ≤ j ≤ p− 1.

Na závěr této sekce ještě definujme okruh algebraických celých čísel v číselném tělese.

14

Definice 1.12. Buď α ∈ A a Q(α) číselné těleso. Pak množinu všech algebraických celých číselv tělese Q(α) nazýváme okruh celých čísel v Q(α) a označujeme

OQ(α) := Q(α) ∩ B.

Lze ukázat, že okruh celých čísel v cyklotomickém tělese Q(ξ) je roven Z [ξ], tzn. je-li ξ = e2πin ,

pak

OQ(ξ) = Z[ξ] =a0 + a1ξ + · · ·+ aϕ(n)−1ξ

ϕ(n)−1 : ai ∈ Z.

1.2 Teorie matic

V práci budeme hojně využívat některá fakta o maticích, která přesahují rámec standardníhokurzu lineární algebry. Budeme je čerpat z [9].

Definice 1.13. Buď A čtvercová n× n matice nad tělesem T. Potom funkci

χA(x) = det(A− xIn)

označujeme jako charakteristický polynom matice A. Symbolem In rozumíme čtvercovou diago-nální matici řádu n s jedničkami na diagonále. Pokud je řád z kontextu jasný, index n vynechá-váme. Rovnici χA(x) = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí matice A.

Věta 1.14 (Hamilton, Cayley). Buď A ∈ Tn×n matice. Potom je A kořenem svého charakteris-tického polynomu, tj. χA(A) = 0.

Definice 1.15. Buď A ∈ Tn×n matice. Minimálním polynomem µA(x) matice A nad tělesem Trozumíme monický polynom (nad T) nejnižšího stupně takový, který splňuje rovnost µA(A) = 0.

Označíme-li F = f(x) : f(A) = 0 množinu všech polynomů, jež A nuluje, pak minimálnípolynom µA matice A je monický polynom nejmenšího stupně z množiny F .

Věta 1.16. Buď A matice nad tělesem T. Pak minimální polynom µA(x) nad tělesem T tétomatice dělí libovolný polynom f(x) ∈ T[x], který splňuje f(A) = 0.

Důkaz. Důkaz tohoto tvrzení se provede sporem. Předpokládejme tedy, že µA(x) nedělí f(x).Pak ale existuje polynom q(x) a polynom r(x) stupně menšího než µA(x) takové, že

f(x) = q(x)µA(x) + r(x).

Jelikož ale 0 = f(A) = q(A)µA(A) + r(A) = r(A), tedy A musí nulovat polynom r(x), což je alespor s minimalitou polynomu µA(x), protože stupeň r je ostře menší než stupeň µA.

Důsledek 1.17. Minimální polynom dané matice dělí její charakteristický polynom nad těle-sem T.

Definice 1.18. λ-matice je taková matice, jejíž prvky jsou polynomy s koeficienty z T v pro-měnné λ.

15

Příkladem takové matice nad C je 1 + λ λ3 − 2i 1

0 i λ2 −√

21 + λ+ λ2 5 −λ+ i

.

Pro λ-matice můžeme stejně jako pro číselné matice definovat základní operace jako výměnařádků a sloupců nebo sčítání matic. Jediný rozdíl je v operaci násobení matice skalárem. Roliskalárů zde hrají nenulové polynomy. Jelikož jsou prvky matice polynomy, není rovněž přípustnédělení nenulovým nekonstantním polynomem. Obdobně jako je u číselných matic možné prove-dení elementární operace reprezentovat jako pronásobení jistou elementární maticí, je toto možnéi pro λ-matice. Stejně jako je možné čtvercové číselné matice pomocí elementárních operací pře-vést do diagonálního tvaru s jedničkami nebo nulami na diagonále, je podle [9] λ-matice možnépřevést do tzv. standardní formy.

Definice 1.19. Řekneme, že čtvercová λ-matice D(λ) řádu n je ve standardní formě, právě kdyžmá tvar

D(λ) =

d1(λ) 0. . .

dk(λ)0

. . .0 0

,

kde pro všechna 1 ≤ i ≤ k ≤ n jsou di(λ) monické polynomy (nebo konstantně 1) takové, že provšechna 1 ≤ i ≤ k − 1 platí, že di(λ) dělí di+1(λ).

Buď nyní M číselná čtvercová matice řádu n. Pak M(λ) = M − λI je λ-matice. Tuto maticije dle předešlé poznámky možné převést do standardní formy, kde k = n. Toto vyplývá z faktu,že matice M −λI má nenulový determinant a tedy nemá lineárně závislé ani sloupce, ani řádky.Tedy standardní forma matice M(λ) má tvar diagd1(λ), . . . , dn(λ).

Definice 1.20. Buď M ∈ Tn×n čtvercová matice řádu n a M(λ) = λI −M . Prvky standardníformy matice M(λ) nazýváme invariantními faktory matice M .

Následující věta umožňuje snadno určit minimální a charakteristický polynom zadané matice.

Věta 1.21. Buď M ∈ Tn×n čtvercová matice řádu n a χA(x), µA(x) její charakteristický, resp.minimální polynom. Buďte dále d1(x), . . . , dn(x) invariantní faktory matice M . Pak platí

χA(x) =n∏i=1

di(x),

a navícdn(x) = µA(x).

Důsledek 1.22. Číslo λ ∈ C je kořenem minimálního polynomu matice právě tehdy, když jekořenem charakteristického polynomu téže matice.

16

Důkaz. Dokážeme dvojici implikací:

⇒: Tato implikace je zřejmá, neboť minimální polynom matice dělí charakteristický polynom.

⇐: Buď λ kořenem charakteristického polynomu. Ten je dle předešlé věty zapsatelný jako sou-čin invariantních faktorů dané matice. Číslo λ musí tedy být kořenem jednoho z invariant-ních faktorů, označme jej di. Jelikož je dle definice invariantních faktorů každý invariantnífaktor násobkem předešlého, je dle věty výše minimální polynom matice násobkem všechinvariantních faktorů dané matice. Proto je λ jeho kořenem.

Důsledek 1.23. Jestliže je minimální polynom matice ireducibilní nad tělesem T, pak je jejícharakteristický polynom mocninou minimálního polynomu.

Důkaz. Nechť je minimální polynom ireducibilní nad T. Dle předešlé věty musí být násobkeminvariantních faktorů. Odtud již plyne, že tyto invariantní faktory jsou buď 1, nebo minimálnípolynom samotný. Proto je charakteristický polynom mocninou polynomu minimálního.

1.3 Diskrétní množiny

Definice 1.24. Řekneme, že množina X ⊂ Rn je diskrétní, jestliže pro každý bod x ∈ X existujeokolí Ux ⊂ Rn takové, že

Ux ∩X = x .Jinými slovy množina je diskrétní, jestliže jsou všechny její body izolované. Toto je možné

si intuitivně představit tak, že ke každému bodu z X existuje otevřená koule, ve které existujepouze tento jediný bod.

Definice 1.25. Buď X diskrétní množina v Rn. Řekneme, že množina X je delonovská, kdyžjsou splněny následující podmínky:

1. Existuje r > 0 takové, že každá otevřená koule v Rn o poloměru r obsahuje nejvýše jedenbod z množiny X. Tuto vlastnost nazýváme stejnoměrná diskrétnost.

2. Existuje R > 0 takové, že v každé uzavřené kouli v Rn o poloměru R je obsažen alespoňjeden bod z množiny X. Tuto vlastnost nazýváme relativní hustota.

V řeči výše zmíněné množiny X ⊂ Rn první vlastnost znamená, že existuje taková otevřenákoule v Rn o poloměru r, pomocí které jsme schopni každé dva body z množinyX od sebe oddělit.Supremum parametrů r ze stejnoměrné diskrétnosti lze za jistých předpokladů interpretovat jakominmální vzdálenost. Na druhou vlastnost lze nahlížet tak, že existuje taková uzavřená koule vRn o poloměru R, která jsouc umístěna do všech bodů množiny X tvoří uzavřené pokrytí Rn.Poloměr R se někdy nazývá pokrývací poloměr.

Definice 1.26. Buď X delonovská množina v Rn. Pak řekneme, že

1. X je konečně generovaná, když je konečně generovaná abelovská grupa

[X −X] = spanZ x− y : x,y ∈ X .

2. X je meyerovská množina, když X −X je delonovská podmnožina Rn.

Definice 1.27. Buď X delonovská množina. Definujeme rank (X) jako minimální počet gene-rátorů abelovské grupy

[X] = spanZ x : x ∈ X .

17

1.3.1 Cut-and-project množiny

V této sekci definujeme cut-and-project množinu a vyslovíme některá tvrzení, která se k nívážou. Zavedeme pojmy, které budeme v práci používat, když budeme mluvit o těchto množi-nách.

Definice 1.28. Mříží (ev. mřížkou) v Rs budeme rozumět konečně generovanou aditivní abe-lovskou grupu L, která je generována právě s lineárně nezávislými vektory nad R.

Pro ilustraci uveďme několik příkladů mříží, se kterými se postupně budeme setkávat. Mřížív Rs je například množina Zs. V R2 je mřížkou například množina

L =

p

(1√5

)+ q

(−√

21

): p, q ∈ Z

.

Než definujeme korektně cut-and-project množinu, zmiňme ve zkratce dva standardní přístupy,které se pro jejich konstrukce používají. Principem cut-and-project metody jsou projekce částímříže na direktní součet dvou podprostorů. Buď se jako mříž (v Rs) bere vždy Zs a volí seobecné podprostory, nebo se volí obecná mříž L a projektuje se na podprostory generovanévektory standardní báze prostoru Rs. My budeme používat druhý přístup. Je ale zřejmé, že oběmetody dávají v principu stejné výsledky.

Definice 1.29. Buď L ⊂ Rn+m mřížka. Označme dále Rn = spanR e1, e2, . . . en a Rm =spanR en+1, en+2, . . . en+m. Buďte dále π1 : Rn+m → Rn a π2 : Rn+m → Rm projektory najednotlivé podprostory. Uspořádanou trojici (L, π1, π2) nazveme cut-and-project schématem.

Řekneme, že cut-and-project schéma je nedegenerované, když je zobrazení π1∣∣L prosté. Řek-

neme, že je ireducibilní, když je množina π2(L) hustá v Rm.

Pokud nyní přidáme požadavek na množinu, ve které má ležet druhá projekce, získáme cut-and-project množinu. Formálně tedy:

Definice 1.30. Buď (L, π1, π2) nedegenerované ireducibilní cut-and-project schéma. Pak přiznačení stejném jako výše definujeme cut-and-project množinu Σ(Ω) jako

Σ(Ω) := π1(x) : x ∈ L, π2(x) ∈ Ω , (1.1)

kde Ω je omezená množina s neprázdným vnitřkem, která se nazývá okno.Dimenzí cut-and-project množiny rozumíme dimenzi prostoru Rn, tj. prostoru, do kterého

zobrazuje projekce π1.

V literatuře, např. [3], se pro množiny vytvořené pomocí okna z ireducibilního cut-and-project schematu používá často označení modelové množiny. V literatuře rovněž nepanuje shodana definici pojmu okno. Někteří autoři, jako například Lagarias [5], požadují, aby tato množinabyla jen otevřená a omezená. Naproti tomu např. Cotfas [3] požaduje kompaktnost množiny Ωspolečně s int(Ω) 6= ∅. Moody [7] klade jedinou podmínku, a to Ω ⊂ int(Ω).

Zmiňme také již tradiční notaci používanou pro popis kvazikrystalu, především pro přechodyz prostoru Rn, tedy z prostoru, kde leží kvazikrystal (někdy též fyzikální prostor), do prostoruRm, tedy prostoru, kde je umístěno okno Ω. Tento prostor se někdy označuje jako vnitřní prostor.Označíme-li L = π1(L), můžeme definovat zobrazení

∗ : L→ Rm : x 7→ x∗ = π2(π1|L−1(x)).

18

Toto zobrazení je zjevně homomorfismus aditivních grup π1(L) a π2(L). V řeči tohoto značeníje pak cut-and-project množina (1.1) vyjádřitelná jako

Σ(Ω) = x ∈ L : x∗ ∈ Ω .

Neřekneme-li jinak, budeme odteď vždy uvažovat cut-and-project množiny obsahující 0.Tento požadavek není nikterak omezující. Kdykoliv totiž cut-and-project množina X nulu neob-sahuje, je možné posunout okno tak, aby v něm ležel bod 0 ∈ L, díky tomu bude bod π1(0) = 0obsažen v transformované cut-and-project množině X ′. Tu pak stačí opět zpětně přetransfor-movat. Tato vlastnost je přesněji vyjádřena v následujícím tvrzení.

Tvrzení 1.31. Buď Σ(Ω) cut-and-project množina vzniklá ze schematu (L, π1, π2). Buď dálex ∈ L. Pak

Σ(Ω) + π1(x) = Σ(Ω + π2(x)).

Důkaz. Postupně upravujeme

Σ(Ω) + π1(x) = π1(y) + π1(x) : y ∈ L, π2(y) ∈ Ω = π1(y + x) : y ∈ L, π2(y) ∈ Ω =

= π1(z) : z ∈ L, π2(z− x) ∈ Ω = π1(z) : z ∈ L, π2(z)− π2(x) ∈ Ω =

= π1(z) : z ∈ L, π2(z) ∈ Ω + π2(x) = Σ(Ω + π2(x)),

přičemž jsme využili faktu, že pro každé x ∈ L je L − x = L.

Z tohoto lemmatu také můžeme vyvodit zajímavý závěr týkající se invariance kvazikrystaluvůči translační symetrii. Vidíme, že pokud by zobrazení π2

∣∣L nebylo prosté, platilo by dle pře-

dešlého lemmatu pro všechna x ∈ L taková, že π2(x) = 0, že Σ(Ω) + π1(x) = Σ(Ω). Protomůžeme dokonce definovat mříž

L′ = x ∈ L : π2(x) = 0 .

Je zjevné, že se jedná o mříž a navíc L′ ⊂ L. Tato mříž je tedy tvořena vektory, vůči jejíž prvníprojekci je množina Σ(Ω) translačně invariantní.

Tvrzení 1.32. Pro všechna x ∈ L′ je cut-and-project množina Σ(Ω) translačně invariantní vůčiposunu o π1(x), tedy

Σ(Ω) + π1(x) ⊂ Σ(Ω).

Opačnou situaci popisuje následující tvrzení.

Tvrzení 1.33. Buď π2∣∣L prosté zobrazení. Pak Σ(Ω) je aperiodická, tj. nemá žádnou translační

symetrii.

Důkaz. Budeme postupovat sporem. Nechť tedy existuje nenulové x takové, že Σ(Ω)+x = Σ(Ω).Nejprve ukážeme, že x ∈ Σ(Ω). Jelikož 0 ∈ Σ(Ω), je z invariance i x ∈ Σ(Ω). Pak ale x ∈ π1(L).Z prostoty zobrazení π2

∣∣L plyne, že x∗ ∈ Ω a x∗ 6= 0. Jelikož je množina Ω omezená, existuje

k ∈ N takové, že (kx)∗ = kx∗ /∈ Ω. Pak ale bod kx /∈ Σ(Ω), což je spor.

Dále dokážeme další důležitou vlastnost cut-and-project množin. Ukážeme, že tyto množinyjsou delonovské. K důkazu věty použijeme následující lemma pocházející z knihy [7].

19

Lemma 1.34. Buď (L, π1, π2) cut-and-project schéma. Nechť π1 : Rn+m→ Rn a π2 : Rn+m→Rm. Buď dále U ⊂ Rm neprázdná otevřená množina. Pak existuje K ⊂ Rn kompaktní množinataková, že

Rn+m = Rn × Rm = L+ (K × U).

Důkaz. Jelikož je Lmřížka, tak určitě existuje kompaktní množina C taková, že L+C = Rn×Rm.Takovou množinou může být například vícerozměrný rovnoběžnostěn, jehož hrany vycházejícíz jednoho vrcholu jsou generující vektory mříže L. Projekcemi π1 a π2 získáme jednoznačněkompaktní množiny

K1 := π1(C),

K2 := π2(C).

Přitom určitě platí, že C ⊂ K1 ×K2. Proto je také pravda, že

Rn × Rm = L+ (K1 ×K2). (1.2)

Jelikož je množina π2(L) dle předpokladů hustá v Rm, je možné vytvořit její otevřené pokrytípomocí translací množiny U podél bodů této množiny, tj.

Rm =⋃l∈L

(π2(l) + U) .

Jelikož je množina K2 ⊂ Rm kompaktní, existuje její konečné podpokrytí. To znamená, žeexistuje F ⊂ L konečná množina taková, že

K2 ⊂⋃f∈F

(π2(f) + U) . (1.3)

Položme nyní K := K1 − π1(F). Tato množina je určitě kompaktní v Rn.Buď nyní x ∈ Rn+m libovolný bod. Podle (1.2) existuje l ∈ L tak, že x−l ∈ K1×K2. Zároveň

z (1.3) plyne, že existuje f ∈ F tak, že π2(x− l) ∈ π2(f) + U , což je ekvivalentní s tvrzením, žeπ2(x − l − f) ∈ U . Zároveň π1(x − l − f) = π1(x − l) − π1(f) ∈ K1 − π1(F) = K. Proto tedyplatí, že

x = l + f + (x− l− f) ∈ L+ (K × U).

Následující věta pochází rovněž z knihy [7].

Věta 1.35. Při značení výše platí, že

(i) cut-and-project množina Σ(Ω) vzniklá z cut-and-project schématu pomocí omezeného oknaΩ ⊂ Rm, Ω ⊂ int(Ω), je delonovská;

(ii) abelovská grupa [Σ(Ω)] generovaná množinou Σ(Ω) splňuje [Σ(Ω)] = π1(L).

20

Důkaz. Každé z tvrzení dokážeme zvlášť:

(i) Abychom dokázali delonovskost množiny, je třeba ukázat, že je množina Σ(Ω) relativněhustá a stejnoměrně diskrétní. Pro důkaz relativní hustoty využijeme předešlého lemmatu,kde položíme U = −int(Ω). Podle něj totiž existuje K ⊂ Rm kompaktní množina taková,že

Rn+m = L+ (K × (−int(Ω)).

Pak pro x ∈ Rn můžeme schematicky psát

(x,0) = (d,d∗) + (k,−ω),

přičemž touto notací rozumíme rozklad vektoru z Rn+m do Rn a Rm. Při tomto značeníje pak d ∈ π1(L), k ∈ K a ω ∈ int(Ω). Z rovnosti rovněž plyne, že d∗ = ω ∈ int(Ω). Paktedy d ∈ Σ(Ω) a tudíž libovolné x ∈ Rn lze rozepsat ve tvaru x = d + k ∈ Σ(Ω) + K,proto Rn = Σ(Ω) +K, což již znamená, že množina Σ(Ω) je relativně hustá v Rn.

Pro dokázání stejnoměrné diskrétnosti definujeme pro všechna r > 0 množinu

Kr := Br × (Ω− Ω).

Tato množina je určitě kompaktní v Rn+m a symetrická kolem počátku. Navíc pro dosta-tečně malé r platí, že

Kr ∩ L = 0.

Skutečně, kdyby tomu tak nebylo, tak by existoval bod x ∈ (Ω−Ω), x 6= 0 takový, že byvšechny jeho vzory π−12 (x) ⊂ L měly nulovou první projekci, což by byl spor s prostotouzobrazení π1

∣∣L. Pro takové r tedy platí, že jsou-li x,y ∈ Σ(Ω) takové, že |x − y| < r, je

(x−y,x∗−y∗) ∈ Kr a tedy x = y. Proto (Σ(Ω)−Σ(Ω))∩Br = 0. Toto již ale znamená,že množina Σ(Ω) je stejnoměrně diskrétní, a tudíž je delonovská.

(ii) Předpokládejme, že Ω generuje prostor Rm jako grupu, tedy [Ω] = Rm. Jelikož je množina(Σ(Ω))∗ = π2(L) ∩ Ω hustá v Ω, je množina [Σ(Ω)]∗ hustá v Rm. Buď nyní x ∈ π1(L)libovolný bod. Pak množina x+[Σ(Ω)] je coset podgrupy [Σ(Ω)] v π1(L) a dává vzniknouthusté podmnožině x∗+[Σ(Ω)]∗ v Rm (jedná se jen o posunutí množiny [Σ(Ω)]∗). Jelikož jetato množina hustá, určitě obsahuje prvek x∗+u∗ ∈ Ω. Pak ale x+u ∈ π1(L) + [Σ(Ω)] ⊂π1(L). Zároveň ale z x∗ + u∗ ∈ Ω plyne, že x + u ∈ Σ(Ω) a tedy x ∈ [Σ(Ω)]. Vzhledemk libovůli x ∈ π1(L) pak dostáváme π1(L) = [Σ(Ω)].

Důsledek 1.36. Cut-and-project množina Σ(Ω) je konečně generovaná.

Důkaz. Plyne ihned ze druhého bodu předešlé věty.

Následující věta, jejíž důkaz lze najít v článku Lagariase [5], dává do souvislosti pojmymeyerovská množina, delonovská množina, konečně generovaná delonovská množina a cut-and-project množina.

21

Věta 1.37. Následující výroky o diskrétní množině X v Rn jsou ekvivalentní:

(i) X je meyerovská;

(ii) X je delonovská a navíc existuje konečná množina F taková, že

X −X ⊆ X + F ;

(iii) X je konečně generovaná delonovská množina a existuje nedegenerovaná cut-and-projectmnožina X ′ dimenze nejvýše rank (X) taková, že

X ⊆ X ′.

Důsledek 1.38. Speciálně každá cut-and-project množina Σ(Ω) je meyerovská.

Důkaz. Z důsledku 1.36 plyne, že dimenze Σ(Ω) je konečná. Volbou X ′ = Σ(Ω) ve třetím boděvěty 1.37 dostáváme již platnost tvrzení.

1.3.2 1D cut-and-project množiny vzniklé projekcí 2D mříže

V této části ukážeme, jak je možné zkonstruovat jednorozměrný kvazikrystal, tedy jed-nodimenzionální cut-and-project množinu. Podrobně rozebereme konstrukci a dokážeme jednolemma, které později budeme využívat při konstrukcích vícedimenzionálních kvazikrystalů.

Provedeme projekci z mříže L v R2 na prostor R. Uvažujme proto mřížku L ⊂ R2 definovanounásledujícím způsobem

L :=

p

(1ε

)+ q

(η1

): p, q ∈ Z

,

kde ε a η jsou zatím nedefinovaná čísla. Volba nejednotkové první složky ve druhém vektoru budeopodstatněna na následujících řádcích. Uvažujme následující cut-and-project schéma (L, π1, π2):

L ⊂ R2

π1 π2R R

Zobrazení π1 a π2 jsou přitom projektory na osy x a y. Klademe na ně následující požadavky:

1. π1|L je prosté zobrazení;

2. π2(L) = R.

Tyto požadavky už vynucují jinou než racionální volbu čísel η a ε. Nejprve ale dokážeme jednolemma, na které se v průběhu textu budeme vícekrát odkazovat.

Lemma 1.39. Množina Z + ξZ pro ξ ∈ R\Q je hustá v R.

Důkaz. Je zřejmé, že množina Z+ ξZ je uzavřená vůči sčítání a odčítání. Každé číslo z množinyb ∈ Z + ξZ je možné rozepsat do tvaru a + x, kde a ∈ Z a x ∈ (0, 1). Stačí totiž volit a = bbca x = b− bbc. Stačí tedy ukázat, že množina

mξ − bmξc : m ∈ N (1.4)

je hustá v (0, 1).

22

Proto je třeba dokázat, že

(∀α ∈ (0, 1)) (∀ε > 0) (∃m ∈ N) (|α−mξ + bmξc| < ε) .

Zvolme ε > 0 pevné. Pak existuje k ∈ N tak, že 1ε ≤ k. Pomocí tohoto k můžeme rozdělit

interval (0, 1) na k podintervalů(0, 1k

),(1k ,

2k

), . . . ,

(k−1k , 1

). Uvažujme nyní prvních k+1 prvků

množiny (1.4): ξ − bξc, 2ξ − b2ξc, . . . , kξ − bkξc, (k + 1)ξ − b(k + 1)ξc. Podle Dirichletovaprincipu pak existují čísla i, j taková, že 0 < j < i ≤ k + 1 tak, že

|iξ − biξc − jξ + bjξc| < 1

k≤ ε.

Odtud plyne, že

(i− j)ξ + (bjξc − biξc) < 1

k≤ ε.

Protože je množina Z+ξZ uzavřená na sčítání a odčítání, vidíme, že x := (i−j)ξ+(bjξc − biξc) ∈Z+ ξZ. Z uzavřenosti na násobení celým číslem máme xZ ⊂ Z+ ξZ. Tímto jsme pokryli celé Rmnožinou bodů, které jsou od sebe vzdáleny o ε. Nyní pro libovolné číslo α ∈ (0, 1) a libovolnéδ > 0 najdu dle předešlého číslo x ∈ Z+ξZ takové, že |x| < δ. Pak stačí najít číslo n ∈ Z takové,že

nx ≤ α < (n+ 1)x.

Tedy číslo α leží mezi dvěma body množiny Z + ξZ, jejichž vzdálenost je menší než ε. Tímtojsme tedy ukázali, že množina (1.4) je hustá v (0, 1) a z úvahy o rozkladu na počátku důkazutudíž plyne, že je v R hustá celá množina Z + ξZ.

Věta 1.40. Cut-and-project schéma (L, π1, π2) pro L =

p

(1ε

)+ q

(η1

): p, q ∈ Z

,

π1 : R→ R a π1 : R→ R je

(i) nedegenerované, právě když η ∈ R\Q;

(ii) ireducibilní, právě když ε ∈ R\Q.

Důkaz. Nejprve ukážeme nedegenerovanost. Budeme postupovat sporem. Kdyby totiž bylo η ∈Q, tak bychom jej mohli napsat jako η = r

s , kde r ∈ Z, s ∈ N. Pak π1(L) =p+ q rs : p, q ∈ Z

.

Volbou p = −r a q = s dostaneme nulu. Toto je ale spor s prostotou zobrazení π1∣∣L, protože

jsme našli nenulovou kombinaci bodů z mříže dávající nulovou projekci. Na druhou stranu, kdybyzobrazení π1

∣∣L nebylo prosté, tak existují čísla p, q ∈ Z různá od nuly taková, že p+ηq = 0. Pak

ale odtud plyne, že η = −pq ∈ Q, což je opět spor.

Nyní ukážeme, že když je množina pε+ q : p, q ∈ Z hustá v R, tak pak je ε ∈ R\Q. Budemeopět postupovat sporem. Předpokládejme, že ε = m

n , kde m ∈ Z, n ∈ N. Pak pro všechnax, y ∈ π2(L) je |x− y| ≥ 1

n . Tedy množina π2(L) je diskrétní.Obrácenou implikaci jsme dokázali v předešlém lemmatu.

Tímto jsme tedy dokázali, že pro volbu η, ε ∈ R\Q je cut-and-project schéma (L, π1, π2)nedegenerované a ireducibilní. Nyní uvažujme množinu Ω ⊂ R takovou, že int(Ω) 6= ∅. Pro tutomnožinu definujeme kvazikrystal Σ(Ω):

Σ(Ω) = p+ qη : pε+ q ∈ Ω, p, q ∈ Z .

Tímto jsme zkonstruovali nejjednodušší příklad jednodimenzionálního kvazikrystalu.

23

Tvrzení 1.41. Nechť η, ε ∈ R\Q a buď dále Ω ⊂ R taková, že int(Ω) 6= ∅. Pak množina

Σ(Ω) = p+ qη : pε+ q ∈ Ω, p, q ∈ Z

je nedegenerovaná a ireducibilní cut-and-project množina.

1.4 Geometrie pravidelného pětiúhelníku

V následující sekci odvodíme některé geometrické vlastnosti pravidelného pětiúhelníku. Propotřeby následujícího textu nyní rozebereme vlastnosti kořenů polynomů x5 − 1 a x4 + x3 +x2 + x+ 1. Kořeny obou z nich leží na jednotkové kružnici, tedy formují pravidelný pětiúhelník.Označme kořeny prvního z polynomů

λ1 = ei2π5 ,

λ2 = ei8π5 ,

λ3 = ei4π5 ,

λ4 = ei6π5 ,

λ5 = 1.

Kořeny druhého polynomu jsou díky tomu, že x4+x3+x2+x+1 = x5−1x−1 , rovny λ1, λ2, λ3, λ4.

Platí rovněž, že

λ1 = λ2, λ3 = λ4. (1.5)

Označíme-li ω = ei2π5 , pak můžeme kořeny vyjádřit jako

λ1 = ω, λ2 = ω4, λ3 = ω2, λ4 = ω3, λ5 = 1 = ω5.

Tohoto značení budeme v hojné míře využívat. určíme vztahy mezi spojnicemi středu pravidel-ného pětiúhelníku s jeho vrcholy. Proto využijeme následující obrázek:

1

ω

ω2

ω3

ω4

ω + ω4

ω2 + ω32π5π

5

24

Obrázek ilustruje, jak dochází ke sčítání dvojic vektorů ω, ω4 a ω2, ω3. Jelikož mají stejnou(jednotkovou) délku, leží jejich součet na ose úhlu jimi sevřeného. Proto tedy

ω + ω4 = 2

(cos

2π

5

)=

1

τ.

Obdobně toto provedeme pro jinou dvojici spojnic, které vzájemně svírají úhel 4π5 . Ve druhém

případě už jen využijeme předešlého výsledku, tj. vyjdeme z faktu, že

ω + ω3 =1

τω2,

1 + ω2 =1

τω.

Vyjádřením ω ze druhé rovnice a dosazením do první získáme

−τω = ω2 + ω3.

Díky tomu také získáváme vztah cos π5 = τ2 . V předešlé části jsme využili toho, že cos 2π

5 =12π . Toto odvodíme pomocí poměrů strany a uhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku. Pro totoodvození vyjdeme z pentagramu:

A

B

CD

EF G

H

I

J

a

b

Abychom dokázali odvodit poměr mezi stranami a a b, je třeba určit délku úsečky JH. Jezřejmé, že přímky FG a JH jsou rovnoběžné. Proto |^JHG| = |^BGH| a |^JGH| = |^BHG|.Jelikož trojúhelníky 4JHG a 4BHG jsou rovnoramenné, mají společnou základnu a ramenase základnou svírají stejné úhly, jsou tyto trojúhelníky stejné, resp. jen vůči sobě navzájempootočené. Proto |JH| = |GB| = a.

Je rovněž vidět, že trojúhelníky 4AFG a 4AJH jsou podobné, protože jejich ramena ležína týchž polopřímkách a jejich základny jsou rovnoběžné. Proto platí, že

a

b=a+ b

a⇔

(ab

)2=a

b+ 1.

25

Ze dvou řešení této rovnice vybíráme kladné, což je číslo, které je tradičně nazýváno zlatý řez,tedy

a

b=

1 +√

5

2= τ.

Díky tomuto můžeme snadno určit například hodnotu cos 2π5 . Stačí totiž vyjít například

z trojúhelníku 4AFG, resp. z trojúhelníku, který z něj vznikne svislým přepůlením. Protože je|^AFG| = 2π

5 , je díky trigonometrickým identitám platným v pravoúhlém trojúhelníku

cos2π

5=

b

2a=

1

2τ.

1.5 Klasická konstrukce kvazikrystalu s pětičetnou symetrií

Klasický způsob konstrukce cut-and-project množin vychází z teorie grup reflexí. Grupa re-flexí je grupa transformací, která je určena pomocí jistých zobrazení, která se nazývají reflexe,česky též zrcadlení. Několik základních pojmů nyní ve stručnosti vysvětlíme a ukážeme na pří-kladech.

Definice 1.42. Buď α ∈ Rn vektor. Reflexí podle nadroviny určené vektorem α rozumímezobrazení rα : Rn → Rn, které působí na libovolný vektor x ∈ Rn následovně:

rα(x) = x− 2〈x,α〉〈α,α〉

α, (1.6)

přičemž 〈x,α〉 značí skalární součin vektorů x,α. Nadrovinu, podle které zrcadlíme, nazývámezrcadlo.

Všimněme si zajímavého faktu, a to, že r2α = idRn . Toto je jedna z typických vlastnostíreflexe. Dále platí, že reflexe je izometrií. Skutečně, zvolme x libovolné, pak:

‖rα(x)‖2 =

⟨x− 2〈x,α〉

〈α,α〉α,x− 2〈x,α〉

〈α,α〉α

⟩= 〈x,x〉−4

〈x,α〉2

〈α,α〉+4〈x,α〉2

〈α,α〉2〈α,α〉 = 〈x,x〉 = ‖x‖2.

Ilustrujme nyní chování zrcadlení v rovině. Ukážeme pro názornost, jak se zrcadlí vektor(11

)podle zrcadla určeného vektorem α =

(10

), tedy podle osy y. Dosazením získáme

rα

(11

)=

(11

)− 2

1

1

(10

)=

(−11

).

Toto přesně odpovídá geometrické představě, jakou o zrcadlení podle osy y máme.Grupy reflexí se velmi snadno zadávají pomocí tzv. Dynkinových (Dynkinových-Coxeterových)

diagramů. Jedná se o grafy, jejichž vrcholy představují normály jednotlivých zrcadel a hrany úhelnatočení mezi nimi. Jestliže nejsou dva vrcholy grafu v hraně, znamená to, že jim příslušná zr-cadla jsou na sebe kolmá. Naopak, jsou-li spojena hranou s hodnotou k ∈ N, pak tato zrcadlasvírají úhel π

k . Je zvykem, že pro k = 3 se tato hodnota nepíše, neboť se jedná o hodnotunejčastěji se vyskytující. Ilustrujme tento objekt na následujícím příkladě.

26

Grupě A21 odpovídá Dynkinův graf

A2 ≡

α1 α2

V R2 si tuto grupu reflexí můžeme představit jako veškeré možné transformace, které získámeskládáním dvou zrcadlení, přičemž normály těchto zrcadel mezi sebou svírají úhel π

3 . Zvolmepro určitost zrcadla, z nichž jedno bude s osou x svírat úhel π

6 a druhé volme ve směru osy y.Uvažujme nyní mřížku

L = a

(1

0

)+ b

(cos 2π

3

sin 2π3

), kde a, b ∈ Z.

Tato mřížka je invariantní vůči daným reflexím a má šestičetnou symetrii. Hledali jsme ji tak,

aby její vektory α1 =

(1

0

)a α2 =

(cos 2π

3

sin 2π3

)byly normálami daných zrcadel. Proto vektory

α1,α2 navíc splňují následující rovnice

r1α1 = −α1,

r1α2 = α1 +α2,

r2α1 = α1 +α2,

r2α2 = −α2,

kde jsme do definičních vztahů (1.6) pro akci zrcadlení použili skalární součiny dané Grammovoumaticí příslušející grupě A2, tedy

GA2

(2 −1−1 2

).

Přistupme již nyní k samotné konstrukci cut-and-project množiny, kterou provedeme dlečlánku [1]. Pro získání proto vyjdeme z grupy reflexí A4, kterou lze popsat Dynkinovým diagra-mem

A4 ≡

α1 α2 α3 α4

Tato grupa je generována čtyřmi zrcadly r1, . . . , r4, jejichž normály buď svírají úhel π3 nebo

jsou na sebe kolmá. Grammova matice těchto vektorů má (po přenásobení faktorem 2) tvar:

GA4 =

2 −1 0 0−1 2 −1 00 −1 2 −10 0 −1 2

(1.7)

Obdobně jako v ilustrativním případě budeme konstruovat mříž

L =

4∑i=1

aiαi : ai ∈ Z

,

1Toto značení vychází z teorie Lieových algeber.

27

která bude generována čtyřmi lineárně nezávislými vektory αi v R4, které splňují následujícívztahy:

riαi = −αi,riαi±1 = αi +αi±1,

riαj = αj pro |j − i| > 1.

(1.8)

Tyto vztahy odvodíme z tvaru (1.7) Grammovy matice GA4 . Oproti nim totiž navíc musímepředpokládat, že některé vektory jsou na sebe kolmé. Nyní provedeme projekci π1 do prostoru R2.I toto je možné schematicky vyjádřit pomocí Dynkinova grafu:

α1

α2

α3

α4

u

τv

τu

v

π1

Zde klademe požadavek na volbu projekce π1. Projekce vektorů αi musejí ležet ve dvou různýchsměrech (u, v) a lišit se o násobek skalárem τ . Na vektory u a v zatím neklademe jiné podmínky.Ty přirozeně vyplynou z podmínek kladených na cut-and-project množiny. Stejně tak obdržímečíslo τ . První z požadavků se týkal prostoty projekce π1 zúžené na mříž. Tedy se jedná o bijekcimezi množinami L a π1(L). Proto můžeme jednoznačně definovat dvojici zobrazení R1,R2, kterábudou působit jako zrcadlení (vizte [1]) na prvky projekce π1(L).

R1 : π1(L)→ π1(L) : x 7→ π1r1r3π−11 x,

R2 : π1(L)→ π1(L) : x 7→ π1r2r4π−11 x.

Ukážeme, že se obě zobrazení chovají skutečně jako zrcadla kolmá na vektory u, v:

R1(u) = π1r1r3π−11 u = π1r1r3α3 = −π1r1α3 = −u,

R2(v) = π1r2r4π−11 v = π1r2r4α4 = −π1r2α4 = −v,

přičemž jsme využili vztahy (1.8). Obě tato zobrazení jsou díky linearitě zobrazení π1, ri lineární.Pomocí R2 určíme konstantu τ . Zkoumejme proto působení zobrazení R2 na vektory u a τu:

R2(u) =π1r2r4π−11 (u) = π1r2r4(α1) = π1(α1 +α2) = u + τv,

R2(τu) =π1r2r4π−11 (τu) = π1r2r4(α3) = π1(α2 +α3 +α4) = τv + τu + v.

Jelikož je zobrazení R2 lineární, musí platit, že R2(τu) = τR2(u). Proto dostáváme rovnost

τu + (τ + 1)v = τ(u + τv) = τu + τ2v.

Jelikož jsou vektory u a v lineárně nezávislé v R2, musí konstanta τ vyhovovat rovnici τ+1 = τ2.Za konstantu τ tedy volme větší z kořenů rovnice x2 − x − 1 = 0. O této konstantě bude ještěřeč později. Nyní již tedy víme, jak vypadá projekce π1 mříže L na prostor R2:

π1(L) = (a+ bτ)u + (c+ dτ)v : a, b, c, d ∈ Z .

28

Určeme nyní další vlastnosti vektorů u, v. Vyjdeme z pozorování, že zobrazení R1R2 jeizometrie řádu 5. Že se jedná o izometrii plyne z tvaru zobrazení samotného - jedná se totižo skládání reflexí. Iterací působení tohoto zobrazení na vektor u získáme

R1R2(u) = π1r1r2r3r4π−11 (u) = π1r1r2r3r4(α1) = π1(α2 +α3) = τv + τu,

(R1R2)2(u) = π1(r1r2r3r4)

2π−11 (u) = π1(r1r2r3r4)2(α1) = π1(α4) = v,

(R1R2)3(u) = π1(r1r2r3r4)

3π−11 (u) = π1(r1r2r3r4)3(α1) = π1(−α3 −α4) = −τu− v,

(R1R2)4(u) = π1(r1r2r3r4)

4π−11 (u) = π1(r1r2r3r4)4(α1) = π1(−α1 −α2) = −u− τv.

Proto platí, že‖u‖ = ‖τv + τu‖ = ‖v‖ = ‖τu + v‖ = ‖u + τv‖.

Z rovnosti ‖v‖2 = ‖τu + v‖2 určíme úhel mezi vektory u a v:

‖τu + v‖2 = 〈τu + v, τu + v〉 = τ2〈u,u〉+ 2τ〈u,v〉+ 〈v,v〉.

Porovnáním s ‖v‖2 dostáváme výsledek

〈u,v〉 = −τ2‖u‖2 = cos

4π

5‖u‖‖v‖,

přičemž jsme využili opět rovnosti ‖u‖ = ‖v‖. Již víme, že vektory u, v jsou stejně dlouhéa svírají úhel 4π

5 , čímž jsme určili jednu z projekcí. Nyní nám zbývá určit druhou projekci π2.K její definici využijeme druhého kořene rovnice x2 − x − 1 = 0, označme jej τ ′. Pak projekciπ2 můžeme opět definovat pomocí Dynkinova diagramu následovně:

α1

α2

α3

α4

u∗

τ ′v∗

τ ′u∗

v∗

π2

Analogickým výpočtem jako v předešlé části se ukáže, že vektory u∗, v∗ jsou stejně dlouhé a žesvírají úhel 2π

5 . Množina

π2(L) =

(a+ τ ′c)u∗ + (d+ τ ′b)v∗ : a, b, c, d ∈ Z,

která touto projekcí vznikne, je hustá v R2. Toto vyplývá přímo z lemmatu 1.39 a z lineárnínezávislosti vektorů u∗, v∗.

Buď nyní (a, b, c, d) ∈ Z4 libovolný vektor mříže L zapsaný pomocí jeho souřadnic v bázitvořené vektory αi. Pak

π1(a, b, c, d) = (a+ τc)u + (d+ τb)v,

π2(a, b, c, d) = (a+ τ ′c)u∗ + (d+ τ ′b)v∗.

Proto cut-and-project množina pro okno Ω má v tomto případě tvar

Σ(Ω) =

(a+ τc)u + (d+ τb)v : a, b, c, d ∈ Z, (a+ τ ′c)u∗ + (d+ τ ′b)v∗ ∈ Ω. (1.9)

Coxeterovy grupy byly použity i v článku [8] při konstrukci kvazikrystalů v dimenzi 3 a 4.Zároveň je tam předveden i algebraický přístup používající jistý podokruh v tělese kvaternionů.

29

Kapitola 2

Soběpodobnost kvazikrystalu

V této kapitole nejprve na jednodimenzionálním případě demonstrujeme pojem soběpodob-nosti kvazikrystalu a následně vyslovíme a dokážeme větu (dle článku [5]), která nám umožnídát do souvislosti transformace cut-and-project množiny s transformaci mříže. Poznamenejme,že pojem cut-and-project množiny a kvazikrystalu nám bude odteď splývat. V literatuře navícneexistuje jednotná definice kvazikrystalu (z matematického pohledu).

Definice 2.1. Soběpodobností kvazikrystalu Σ(Ω) ∈ Rn rozumíme afinní zobrazení S : Rn → Rntakové, že S(Σ(Ω)) ⊂ Σ(Ω).

Uvažujme nyní obecný tvar zobrazení S na kvazikrystalu Σ(Ω) ⊂ Rn, tedy

S(x) = Ax + δ,

kde x ∈ Σ(Ω) ⊂ Rn, A ∈ Rn×n a δ ∈ Rn. Jelikož platí, že S(Σ(Ω)) ⊂ Σ(Ω) a jelikož předpoklá-dáme, že 0 ∈ Σ(Ω), platí, že S(0) = A0 + δ ∈ Σ(Ω) ⊂ π1(L). Proto tedy δ ∈ Σ(Ω) ⊂ π1(L).

V práci se zaměříme na hledání soběpodobností bez translace. Existují ovšem ryze afinnísoběpodobnosti jako například tzv. kvazikrystalové sčítání, které je soběpodobností na kvazikrys-talech. Tato operace je podrobně popsána v článku [2] pro kvazikrystaly s pětičetnou symetrií.Tato binární operace působí na dvojici vektorů x,y ∈ Σ(Ω) následovně:

x ` y := τ2x− τy.

Je možné ukázat, že Σ(Ω) je uzavřeno na tuto operaci a další její zajímavé vlastnosti.

2.1 Jednodimenzionální kvazikrystal se soběpodobností

Nyní uvažujme zobrazení S : Σ(Ω) → Σ(Ω), které je soběpodobností kvazikrystalu Σ(Ω),tzn. S(Σ(Ω)) ⊂ Σ(Ω). Takové zobrazení má pro jednodimenzionální kvazikrystal podobu lineárnítransformace, tedy pro libovolné x ∈ Σ(Ω) má tvar

S(x) = Ax,

kde A(x) = λx a platí, že λ ∈ R a |λ| > 1. Pokud dochází k transformaci kvazikrystalu, docházírovněž k transformaci mřížky, ze které projektujeme. Z tohoto důvodu je třeba předpokládat,že se i body množiny Ω transformují. Označme tedy C zobrazení na mřížce L, které budereprezentovat naše zobrazení S a ponese v sobě rovněž informaci o transformaci druhé složkyv okně.

30

Matice zobrazení C ve standardní bázi E má tvar:

C =

(λ 00 λ′

). (2.1)

Zároveň víme, že se jedná o zobrazení, které transformuje mřížku do sebe samé, tj. C(L) ⊂ L.

Jelikož souřadnice bodů mříže v bázi Y =

((1ε

),

(η1

))jsou celočíselné, musejí být rovněž

matice zobrazení C v těchto souřadnicích celočíselná, tj.

YCY =

(a bc d

)∈ Z2×2.

Převedeme-li tuhle matici do báze E , získáme porovnáním s maticí výše vyjádření parametrůλ, λ′ v závislosti na konstantách ε, η:

C =Y IE YCY EIY =1

1− εη

(1 ηε 1

)(a bc d

)(1 −η−ε 1

)=

=1

1− εη

(a+ cη − ε(b+ dη) b+ dη − η(a+ cη)c+ aε− ε(d+ bε) d+ bε− η(c+ aε)

). (2.2)

Porovnáním nediagonálních prvků matic (2.1) a (2.2) obdržíme podmínky na čísla ε, η:

0 = b+ dη − η(a+ cη) = −cη2 + (d− a)η + b, (2.3)

0 = c+ aε− ε(d+ bε) = −bε2 + (a− d)ε+ c. (2.4)

Vidíme, že η a ε jsou kořeny navzájem reciprokých polynomů, tudíž η a ε jsou sobě převrácenýmihodnotami. To znamená, že ε ∈ 1η ,

1η′ . Zároveň ale nemůže být η = 1

ε , protože jinak by mříž

L byla generována dvěma lineárně závislými vektory. Z tohoto důvodu musí nutně být η′ = 1ε .

Díky tomuto poznatku můžeme přepsat podobu zkoumaného kvazikrystalu do tvaru

Σ(Ω) =p+ qη : p+ qη′ ∈ η′Ω, p, q ∈ Z

. (2.5)

Poznamenejme ještě fakt, že pokud rovnice (2.3) a (2.4) vynásobíme koeficientem c, resp. bvidíme odtud, že čísla cη a bε jsou algebraická celá čísla, protože jsou kořeny monických polynomůs celočíselnými koeficienty.

0 = −(cη)2 + (d− a)cη + cb,

0 = −(bε)2 + (a− d)bε+ cb.

Dále porovnáním diagonálních prvků matice (2.1) a (2.2) získáme rovněž vyjádření koefici-entů λ, λ′, které upravíme pomocí vztahů (2.3) a (2.4):

λ =a+ cη − ε(b+ dη)

1− εη=a+ cη − εη(a+ cη)

1− εη= a+ cη, (2.6)

λ′ =d+ bε− η(c+ aε)

1− εη=d+ bε− ηε(d+ bε)

1− εη= d+ bε. (2.7)

Ukázali jsme, že cη, bε jsou algebraická celá čísla a že koeficienty λ ∈ Z[cη], λ′ ∈ Z[bε]. Protojsou i λ a λ′ algebraická celá čísla. Zkoumejme zvlášť případ, kdy λ′ = 1. Pak totiž z (2.7) plyne,že b = 0 a d = 1. Ze vztahu (2.4) dále plyne, že c = 0 a a = 1, tudíž C = ( 1 0

0 1 ). Obdobnývýsledek (C =

(−1 00 −1

)) dostáváme i pro volbu λ′ = −1.

31

Tvrzení 2.2. Uvažujme cut-and-project schéma (L, π1, π2) z předchozích úvah a středově syme-trické okno Ω. Je-li A soběpodobnost kvazikrystalu Σ(Ω), která pro všechna x ∈ Σ(Ω) působínásledovně: Ax = λx, pak buď λ = ±1, nebo λ nebo −λ je kvadratické Pisotovo číslo.

2.2 Škálovací symetrie kvazikrystalu

Následující věta pochází z článku [5], kde je dokázána v plné obecnosti pro konečně genero-vané delonovské množiny, speciálně část (i) pro libovolné konečně generované množiny a část (ii)pro meyerovské množiny. Podle důsledku 1.38 je cut-and-project množina meyerovská. Důkazvěty, který zde předvedeme, je uzpůsobený pro náš případ.

Věta 2.3. Buď Σ(Ω) n-dimenzionální kvazikrystal, rank (Σ(Ω)) = s, takový, že existuje λ ∈ R,λ > 1, číslo takové, že λΣ(Ω) ⊆ Σ(Ω). Pak platí

(i) Číslo λ je algebraické celé číslo a navíc stupeň λ dělí rank (Σ(Ω)), tj. stupeň λ dělí s;

(ii) Číslo λ je Pisotovo nebo Salemovo číslo.

Důkaz. Pro přehlednost označme m = s−n. Abelovská aditivní grupa [Σ(Ω)] je konečně genero-vána s vektory v(1),v(2), . . . ,v(s). Ty jsou díky ireducibilitě a nedegenerovanosti cut-and-projectmnožiny Σ(Ω) lineárně nezávislé nad Q. Podle věty 1.35 platí, že [Σ(Ω)] = π1(L). Proto je-liL = l1, l2, . . . , ls, tak pak v(i) = π1(li).

(i) Jelikož dle předpokladu platí, že λΣ(Ω) ⊆ Σ(Ω), platí rovněž λ [Σ(Ω)] ⊆ [Σ(Ω)]. Totomůžeme chápat jako akci nějakého zobrazení λ na abelovskou grupu [Σ(Ω)]. Definujeme-limatici V ∈ Rs×n jako matici vytvořenou ze složek vektorů v(i) zapsaných do řádků, tj.

(V )ij = v(i)j ,

můžeme inkluzi λ [Σ(Ω)] ⊆ [Σ(Ω)] převést do řeči matic

λV = MV. (2.8)

Matice M je celočíselná matice s× s, protože z inkluze λΣ(Ω) ⊆ Σ(Ω) plyne, že zobrazujeprvek kvazikrystalu na prvek kvazikrystalu a tedy toto platí i pro množinu [Σ(Ω)]. Jeli-kož jsou ale tyto prvky jen ortogonálními projekcemi prvků z mříže, která je abelovskouaditivní grupou, tj. „souřadniceÿ bodů v mříži jsou celá čísla, musí být obraz prvku připronásobení číslem λ rovněž nějakou projekcí bodu z mříže, tedy prvku s celočíselnýmisouřadnicemi. Označme

f(x) = det(xIs −M) ∈ Z [x] .

Toto je monický polynom stupně s s celočíselnými koeficienty. Jelikož ale f(λ) = 0 (totoplyne z konstrukce, neboť dle (2.8) je (λIs−M)V = 0), je zřejmé, že číslo λ je algebraickécelé číslo stupně nejvýše s. Označme tedy stupeň čísla λ jako d.

Nyní ukážeme, že d dělí s. Proto předpokládejme, že fmin(x) je celočíselný monický poly-nom minimálního stupně (tedy d), jehož je λ kořenem. Označme

fmin(x) = xd +d∑

k=1

akxd−k. (2.9)

32

Platí, že λkV = MkV . Skutečně, postupujeme-li matematickou indukcí, pro j = 1 mámez (2.8) λV = MV. Nyní proveďme indukční krok od k 7→ k + 1:

λk+1V = λ(λkV ) = λ(MkV ) = Mk(λV ) = Mk(MV ) = Mk+1V. (2.10)

Dosadíme-li nyní tento vztah do rovnice 2.9, získáme

fmin(M)V =

(Md +

d∑k=1

akMd−k

)V =

(λd +

d∑k=1

akλd−k

)V = fmin(λ)V = O. (2.11)

Že je výsledkem nulová matice O, plyne z faktu, že fmin(λ) = 0. Všimněme si, že protožeje matice M celočíselná, je taky matice fmin(M) celočíselná (jedná se totiž o součet celo-číselných násobků součinů celočíselných matic). Navíc podle (2.11) pro všechna 1 ≤ i ≤ splatí, že

s∑k=1

fmin(M)ikv(k) = 0.

Toto je ale lineární kombinace vektorů v(k) dávající nulový vektor. Jelikož víme, že maticefmin(M) je celočíselná a víme rovněž, že vektory v(k) jsou lineárně nezávislé nad Q, plyneodtud, že koeficienty této lineární kombinace jsou 0 a tedy libovolný i-tý řádek maticef(M) je nulový. Tudíž celá matice fmin(M) je nulová matice. Tímto jsme ukázali, žematice M nuluje polynom fmin(x). Jelikož je tento polynom ireducibilní nad Q a monický,implikuje to, že se musí jednat o minimální polynom matice M . Z důsledku (1.23) plyne,že charakteristický polynom matice M je mocninou minimálního polynomu. Proto existujek ∈ N takové, že dk = s. Tedy stupeň d čísla λ dělí počet s generátorů grupy [Σ(Ω)]. Navícdimenze kvazikrystalu Σ(Ω) splňuje n = s

d .

(ii) Díky části (i) víme, že minimální polynom fmin(x) matice M je ireducibilní nad Q a λ jejeho kořenem. Označíme-li λ = λ1, λ2, . . . , λd kořeny minimálního polynomu fmin, lze jejzapsat v následující podobě:

fmin(x) =

d∏i=1

(x− λi) = xd +

d∑k=1

akxd−k, přičemž λi jsou různé.

Matici M je proto možné diagonalizovat nad C. Odtud plyne, že je možné provést rozkladprostoru Cs na direktní součet podprostorů příslušných různým vlastním číslům. Tedy

Cs =

d⊕j=1

Vj , (2.12)

přičemž Vj je vlastní podprostor příslušný vlastnímu číslu λj . Jeho dimenze je dimVj =sd = n. Je zřejmé, že pro všechna 1 ≤ j ≤ d a pro libovolné w ∈ Vj platí, že Mw = λjw.

V první části jsme rovněž použili matici V představující složky projekcí v(i) = π1(li)bázových vektorů l1, l2, . . . ls mříže L zapsané do řádků. Ty se transformovaly pouze pře-násobením maticí M . Dle pravidel pro násobení matice maticí je vidět, že se na tomtonásobení podílí pouze prvních n řádků matice M . Pomocí stejné matice se ale musejí

33

transformovat projekce π2(li). Zapíšeme-li je do matice V , pak můžeme celou transformaciobou projekcí zapsat schématicky do podoby

M(V |V ) =

λ

. . .λ

M

(V |V ),

kde matice M představuje působení na projekce π2 bázových vektorů mříže. Zároveň víme,že matici M v tomto tvaru lze chápat jako blokově diagonální tvar tvořený čtvercovýmimaticemi rozměru n×n s příslušnými vlastními čísly na diagonále. Matice M je tedy rovněždiagonální s ostatními kořeny minimálního polynomu fmin na diagonále. Jelikož je Σ(Ω)cut-and-project množina, musejí projekce π2(li) náležet oknu Ω. Aby toto bylo zajištěno,musí být velikost všech čísel na diagonále matice M menší nebo rovna 1. Abychom toto

ukázali, vyjdeme z faktu, že Ω ⊂d⊕j=2

Vj . Zvolme w ∈ Ω ∩ π2(L) tak, že Mw = λjw, tedy

volíme w tak, že se jedná o vlastní vektor matice M . Tuto volbu můžeme provést právědíky hustotě projekce π2(L) v Rm. Pro vektor w existuje l ∈ L tak, že w = π2(l). Platí,že (π1(M

kl)) = λkπ1(l) ∈ Σ(Ω) pro libovolné k ∈ N, neboť se jedná o soběpodobnostkvazikrystalu. Stejně se transformuje i druhá projekce, tedy Mk(w) = λkjw. Aby se tatoprojekce neocitla mimo omezenou množinu Ω pro žádné k ∈ N, plyne odtud, že |λj | ≤ 1pro j ≥ 2. Tímto jsme ukázali, že číslo λ je buď Pisotovo nebo Salemovo, neboť je dlepředpokladu větší než jedna a ostatní k němu sdružená algebraická čísla mají velikostmenší nebo rovnu jedné.

V předešlém důkaze jsme využívali možnost zapsat cut-and-project schéma v maticovémzápisu. Proto tento způsob zápisu nyní zformalizujeme a upravíme do podoby, ve které budeužitečný pro další výpočty.

2.3 Souvislost soběpodobnosti na kvazikrystalu s transforma-cemi mříže

V následující sekci popíšeme cut-and-project množiny pomocí maticového zápisu. Na jehozákladě ukážeme, jaké jsou podmínky na vektory mříže L, aby cut-and-project množina vyka-zovala soběpodobnost A. Označme proto klasicky V matici rozměru s× s tvořenou generujícímivektory mříže L zapsanými do sloupců.1 Je zřejmé, že každý vektor mříže lze zapsat jako V x,kde x ∈ Zs. Předpokládejme, že okno Ω ⊂ B(0, r) ⊂ Rs−n. Pak n-dimenzionální cut-and-projectmnožinu s oknem Ω lze zapsat jako

Σ(Ω, V ) =

(In OO O

)V x : x ∈ Zs,

(O OO Is−n

)V x ∈ Ω

.

Aby toto zapsání bylo zcela identické s definicí cut-and-project množiny, je nutné poznamenat,že tento kvazikrystal je v Rs, ačkoliv má nenulových pouze prvních n složek. Stejně tak pro

1Zde je ona drobná změna oproti způsobu použitém v důkaze.

34

druhou projekci. Proto je možné provést jednoznačné přiřazení následujícím způsobem:(In OO O

)V x = (a1, a2, . . . , an, 0, . . . , 0)T → (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn,

(O OO Is−n

)V x = (0, . . . , 0, an+1, an+2, . . . , as)

T → (an+1, an+2, . . . , as) ∈ Rs−n.

Označme(In O

)V x = π1(V x) = b ∈ Rn,

(O Is−n

)V x = π2(V x) = b∗ ∈ Rs−n. V řeči tohoto

zápisu má pak kvazikrystal tvar

Σ(Ω) = b ∈ π1(L) : b∗ ∈ Ω ,

což plně koresponduje s předešlou definicí.Ve zbytku kapitoly využijeme výše uvedený maticový zápis cut-and-project množin k odvo-

zení několika tvrzení o soběpodobnostech cut-and-project množin, na kterých budeme ve zbytkupráce stavět.

Věta 2.4. Buď (L, π1, π2) nedegenerované ireducibilní schéma, kde L ⊂ Rs×s. Buď dále A sobě-podobnost množiny π1(L). Pak existuje matice C ∈ Zs×s, která je podobná matici(

A OO B

),

kde B ∈ Rs−n×s−n. Speciálně

C = V −1(A OO B

)V,

kde V ∈ Rs×s je matice tvořená generujícími vektory mříže zapsanými do sloupců.

Poznámka. Mějme soběpodobnost A na kvazikrystalu Σ(Ω). Podle druhého bodu věty 1.35 platí,že π1(L) = [Σ(Ω)]. Jelikož je zobrazení A lineární, je odtud zřejmé, že A je také soběpodobnostína π1(L). Obráceně toto tvrzení neplatí.

Důkaz věty 2.4. Provedeme konstruktivní důkaz. Proto označme vektory mříže l1, l2, . . . , ls. Paklibovolný vektor l ∈ L lze napsat ve tvaru l = V x, kde x ∈ Zs. Projekce lze vyjádřit pomocímatic, tedy π1(l) =

(In O

)l a π2(l) =

(O Is−n

)l. Jelikož je zobrazení A soběpodobností

množiny π1(L), existuje l′ ∈ L takové, že

Aπ1(l) = π1(l′).

Zároveň ale můžeme přepsat výraz na levé straně do tvaru

Aπ1(l) = A(In O

)V x =

(In O

)V y pro jisté y ∈ Zs.

Jelikož je zobrazení π1 bijekcí, dostáváme porovnáním l′ = V y. Dále definujme zobrazení Bnásledovně:

Bπ2(l) = B(O Is−n

)V x :=

(O Is−n

)V y.

Od x můžeme k y přejít pomocí celočíselné matice C ∈ Zs×s. Tuto můžeme nalézt díky libovůlivolby x. Dohromady tyto podmínky dávají

A(In O

)V x =

(In O

)V Cx,

35

B(O Is−n

)V x =

(O Is−n

)V Cx.

Tento výraz už snadno upravíme do podoby, kterou budeme používat nejčastěji(A OO B

)V x = V Cx pro všechna x ∈ π1(L).

Proto tedy

C = V −1(A OO B

)V, (2.13)

čímž je věta dokázána.

Z této věty ihned vyplývá dvojice zajímavých číselněteoretických důsledků, které pozdějivyužijeme.

Důsledek 2.5. Při stejném značení jako výše platí, že vlastní čísla matice A jsou algebraickácelá čísla.

Důkaz. Vlastní čísla matice

(A OO B

)jsou stejná jako vlastní čísla matice C, neboť se jedná

o podobné matice. Proto jsou vlastní čísla matice A mezi vlastními čísly matice C. Ta jsoukořeny monického polynomu s celočíselnými koeficienty, tedy jsou algebraická celá čísla.

Důsledek 2.6. Minimální polynom nad Q všech vlastních čísel λ matice A dělí charakteristickýpolynom matice C.

Důkaz. Vlastní čísla matice A jsou algebraická celá čísla; proto jsou jejich minimální polynomymonické polynomy s celočíselnýmmi koeficienty. Jelikož je libovolné vlastní číslo λ kořenem cha-rakteristického polynomu matice C, který je celočíselný monický, plyne už odtud, že minimálnípolynom čísla λ musí dělit charakteristický polynom matice C.

Věta 2.7. Buď C ∈ Zs×s matice taková, že existuje matice V ∈ Rs×s taková, že matice V CV −1

je blokově diagonální, tj.

V CV −1 =

(A OO B

),

kde A ∈ Rn×n, B ∈ Rs−n×s−n.

(i) Pak existuje cut-and-project schéma (L, π1, π2) takové, že dimL = s, π1 : Rs → Rn,π2 : Rs → Rs−n, A je soběpodobností π1(L) a generující vektory mříže L jsou vektoryvytvořené ze sloupců matice V . Přitom projekce lze zapsat ve tvaru

π1(l) =(In O

)l, π2(l) =

(O Is−n

)l, kde l ∈ L.

(ii) Je-li matice C ′ ∈ Zs×s taková, že po podobnostní transformaci maticí V je blokově diago-nální s bloky stejné dimenze jako v předchozí části věty, tj.

V C ′V −1 =

(A′ OO B′

),

pak zobrazení A′ je soběpodobností π1(L).

36

Poznámka. O nedegenerovanosti a ireducibilitě takového schematu neumíme obecně rozhod-nout. V další části textu bude uveden příklad degenerovaného cut-and-project schematu vznikléhotouto metodou. Vizte sekci 4.1.

Důkaz věty 2.7. Důkaz části (i) je zřejmý s ohledem na důkaz předešlé věty. Platnost části (ii)plyne přímo z části (i), neboť díky požadavku na stejnou dimenzi jednotlivých bloků mámezajištěnu shodu zobrazení π1 a π2. Dostáváme tedy stejné schéma a zobrazení A′ je tedy jehosoběpodobností.

Věta 2.8. Buď dáno nedegenerované ireducibilní cut-and-project schéma (L, π1, π2) se soběpo-dobností A. Jestliže existuje takové okno Ω ⊂ Rm, že A je soběpodobností kvazikrystalu Σ(Ω),pak vlastní čísla matice zobrazení A jsou v absolutní hodnotě větší nebo rovna jedné a vlastníčísla matice B z věty 2.4 jsou v absolutní hodnotě menší nebo rovna jedné.

⇒: Předpokládejme, že A je soběpodobností kvazikrystalu. Z věty 2.4 plyne existence maticeC ∈ Zs×s takové, že Aπ1(V x) = π1(V Cx). Iterováním rovnice (2.13) získáváme(

Ak OO Bk

)= V CkV −1.

Proto Akπ1(V x) = π1(V CkV −1V x) = π1(V C

kx) ∈ Σ(Ω). Toto platí pro všechna k ∈ N,protože A je soběpodobnost kvazikrystalu. Proto také π2(V Ckx) ∈ Ω pro všechna k. Jelikožπ2(V C

kx) = Bkπ2(V x), plyne z omezenosti množiny Ω již nutně fakt, že absolutní hodnotavlastních čísel λj matice B je menší než jedna. Jelikož zobrazení B zachovává množinu Ω∩π2(L)a je spojité a π2(L) je hustá v Ω, zachovává B celou množinu Ω i s jejím uzávěrem. Pak kdybyplatilo, že |λj | > 1 pro nějaké j ∈ 1, . . . ,m, takové, že vlastní vektor wj je reálný, obdrželibychom iterováním Bnwj = λnjwj /∈ Ω pro dostatečně velké n. Je-li vlastní číslo λj ∈ C,

λj = |λj |(cosϕ + i sinϕ), je rovněž λj vlastním číslem matice B. Jim příslušné vlastní vektorynazvěme wj ,wj . Na reálném podprostoru dimenze 2 generovaném vektory wj +wj , i(wj −wj)působí zobrazení B jako

|λj |(

cosϕ sinϕ− sinϕ cosϕ

).

Kdyby pak |λj | > 1, obdrželi bychom pro libovolné x ∈ Rm iterováním Bnx /∈ Ω pro dostatečněvelké n.

Fakt, že velikost vlastních čísel matice A je větší nebo rovna jedné, plyne z toho, že A za-chovává množinu, která je delonovská. V opačném případě by totiž došlo k porušení faktu, žemnožina A(Σ(Ω)) je delonovská se stejnou (nebo větší) minimální vzdáleností r.

Věta 2.9. Buď dáno nedegenerované ireducibilní cut-and-project schéma (L, π1, π2) se soběpo-dobností A. Jestliže má matice B ∈ Rm×m z věty 2.4 vlastní čísla v absolutní hodnotě ostřemenší než jedna, pak existuje okno Ω takové, že Σ(Ω) je kvazikrystal se soběpodobností A.

Důkaz. Jelikož jsou vlastní čísla matice B ostře menší než jedna v absolutní hodnotě, exis-tuje podle [4, Corollary 1.2.3] v Rm metrika h taková, že je v ní zobrazení B kontrahující,tj. pro všechna x ∈ Rm platí h(x,x) > h(Bx, Bx). Zvolíme-li nyní jako okno množinu Ω =x ∈ Rm : h(x,x) ≤ 1, platí, že pro libovolné k ∈ N a libovolné z ∈ L takové, že π2(V z) ∈ Ω,je splněno Bkπ2(V z) ∈ Ω. Proto také π1(V z) ∈ Σ(Ω) a Akπ1(V z) ∈ Σ(Ω). Tedy platí, žeAΣ(Ω) ⊂ Σ(Ω), což bylo dokázat.

37

Jestliže je matice B diagonalizovatelná, můžeme zeslabit předpoklad na vlastní čísla matice B.

Věta 2.10. Buď dáno nedegenerované ireducibilní cut-and-project schéma (L, π1, π2) se soběpo-dobností A. Jestliže je matice B ∈ Rm×m z věty 2.4 diagonalizovatelná a její vlastní čísla jsou vabsolutní hodnotě menší nebo rovna jedné, pak existuje okno Ω takové, že Σ(Ω) je kvazikrystalse soběpodobností A.

Důkaz. Sestrojíme pozitivně definitní matici, která indukuje skalární součin, potažmo metriku,ve které bude zobrazení B neexpandující. Provedeme konstruktivní důkaz existence metrikya okna. Nejprve najdeme metriku takovou, ve které budou vlastní vektory ortonormální. Ozna-čme η1, η2, . . . , ηm vlastní čísla matice B a jim příslušné vlastní vektory označme w1,w2, . . . ,wm.Skalární součin definujeme pomocí hermitovsky sdružené matice H = G∗G, kde G∗ značí hermi-tovské sdružení. Matice G je matice lineárního zobrazení takového, které převádí vlastní vektoryw1,w2, . . . ,wm matice B na vektory standardní báze e1, e2, . . . , em. Pak definujeme skalárnísoučin vektorů x,y ∈ Rm následovně

〈x,y〉H = x∗G∗Gy.

Přímo vidíme, že takto skalární součin je tímto způsobem dobře definovaný, protože se jednáo standardní skalární součin vektorů Gx a Gy. Zároveň máme tímto způsobem zajištěnou orto-normalitu vektorů w1,w2, . . . ,wm, protože pro libovolné i, j platí, že

〈wi,wj〉H = w∗iG∗Gwj = e∗i ej = δij .

Nyní ukážeme, že v metrice indukované tímto skalárním součinem je zobrazení B kontrahující.

Uvažujme proto obecný vektor x =m∑i=1

αiwi. Pak dostáváme

〈x,x〉H =

⟨m∑i=1

αiwi,

m∑j=1

αjwj

⟩H

=

m∑i,j=1

αiαj 〈wi,wj〉H =

m∑i=1

|αi|2,

〈Bx, Bx〉H =

⟨m∑i=1

αiBwi,

m∑j=1

αjBwj

⟩H

=

m∑i,j=1

αiηiαjηj 〈wi,wj〉H =

m∑i=1

|ηi|2|αi|2.

Jelikož jsou všechna vlastní čísla v absolutní hodnotě menší nebo rovna jedné, platí pak

〈x,x〉H ≥ 〈Bx, Bx〉H

pro libovolné x ∈ Rm, a tedy zobrazení B je v této metrice neexpandující.Zvolíme -li jako okno Ω kouli v této metrice, tj.

Ω = x ∈ Rm : 〈x,x〉H ≤ 1 ,

je množina Σ(Ω) opět kvazikrystal se soběpodobností A.

38

Kapitola 3

Kvazikrystal s pětičetnou symetriívzniklý projekcí 4D mříže

V následujících dvou kapitolách se budeme věnovat kvazikrystalům s pětičetnou symetrií.Budeme proto zkoumat jaká cut-and-project schemata připouštějí existenci kvazikrystalu, kterýje uzavřen vůči izometrii A řádu 5, tj. vůči zobrazení A splňujícímu A5 = I. Proto minimálnípolynom matice A nad R dělí polynom x5−1. Rozklad tohoto polynomu nad R má tvar x5−1 =(x− 1)(x2 + 1

τ x+ 1)(x2− τx+ 1). Jelikož si nepřejeme triviální A = I, je pak buď A2 + 1τA− I,

nebo A2− τA+ I). V obou případech jsou ale vlastními čísly páté kořeny jedničky, a proto musímít matice C (z věty 2.7) charakteristický polynom dělitelný minimálním polynomem pátýchkořenů jedničky (dle 2.6), tedy polynomem x4 + x3 + x2 + x + 1. Proto bude rozměr maticealespoň 4×4, a tedy dimenze mříže bude alespoň 4. V této kapitole rozebereme čtyřdimenzionálnípřípad a srovnáme jej s klasickým postupem pro získávání množin se zadanou symetrií pomocíCoxeterových grup, v tomto konkrétním případě s grupou A4.

3.1 Konstrukce kvazikrystalu

Mějme proto polynom p(x) = x4 + x3 + x2 + x+ 1 = x5−1x−1 . Matice, jejímž je tento polynom

charakteristickým polynomem, je matice společnice

C1 =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1−1 −1 −1 −1

.

Nyní nalezneme vlastní vektory příslušné vlastním číslům. Buď proto λ libovolné vlastní číslo(tedy libovolný kořen rovnice p(x) = 0). Pak

−λ 1 0 00 −λ 1 00 0 −λ 1−1 −1 −1 −1− λ

∼−λ 1 0 00 −λ 1 00 0 −λ 10 λ+ 1 λ λ+ λ2

∼−λ 1 0 00 −λ 1 00 0 −λ 10 0 λ2 + λ+ 1 λ3 + λ2

∼

39

∼

−λ 1 0 00 −λ 1 00 0 −λ 10 0 0 λ4 + λ3 + λ2 + λ+ 1

=

−λ 1 0 00 −λ 1 00 0 −λ 10 0 0 0

Vlastní vektory tedy budou mít až na komplexní násobek tvar

y(i) =

1λiλ2iλ3i

,

kde index i označuje příslušné vlastní číslo λi. Z (1.5) plynou obdobné rovnosti pro vlastnívektory

y(1) = y(2),

y(3) = y(4).

Jelikož se jedná o vlastní vektory matice C1, jsou lineárně nezávislé, a tedy tvoří bázi v pro-storu C4. Označme XC =

(y(1),y(2),y(3),y(4)

). Díky provázanosti vektorů pomocí komplexního

sdružení můžeme sestrojit bázi XR =(y(1), y(2), y(3), y(4)

), jejíž vektory budou reálné. Stačí

položit

y(1) = y(1) + y(2), y(2) = i(y(2) − y(1)

), (3.1)

y(3) = y(3) + y(4), y(4) = i(y(4) − y(3)

). (3.2)

Tedy mezí bázemi máme následující matice přechodu, přičemž matice P slouží k převodu z bázeXC do báze XR.

P =

1 −i 0 01 i 0 00 0 1 −i0 0 1 i

, P−1 =1

2

1 1 0 0i −i 0 00 0 1 10 0 i −i

. (3.3)

S využitím značení popsaného v úvodní kapitole má matice Y vytvořená z vlastních vektorůmatice C1 tvar (konstanta 1

5 slouží pouze pro elegantnější výsledek)

Y =1

5

1 1 1 1ω ω4 ω2 ω3

ω2 ω3 ω4 ωω3 ω2 ω ω4

a k ní inverzní matice Y −1 má následující podobu

Y −1 =

1− ω ω4 − ω ω3 − ω ω2 − ω1− ω4 ω − ω4 ω2 − ω4 ω3 − ω4

1− ω2 ω3 − ω2 ω − ω2 ω4 − ω2

1− ω3 ω2 − ω3 ω4 − ω3 ω − ω3

.

40

Matici C1 lze pomocí matic Y a Y −1 diagonalizovat. Pomocí matic P a P−1 ji lze převéstdo reálného kvazidiagonálního tvaru, tedy

P−1Y −1C1Y P =

cos 2π

5 sin 2π5 0 0

− sin 2π5 cos 2π

5 0 00 0 cos 4π

5 sin 4π5

0 0 − sin 4π5 cos 4π

5

. (3.4)

Porovnáme-li tuto rovnici se vztahem (2.13), získáme podle věty 2.7 matici V z vektorů gene-rujících mříž, která má tvar

V = P−1Y −1 =1

2

1 1 0 0i −i 0 00 0 1 10 0 i −i

1− ω ω4 − ω ω3 − ω ω2 − ω1− ω4 ω − ω4 ω2 − ω4 ω3 − ω4

1− ω2 ω3 − ω2 ω − ω2 ω4 − ω2

1− ω3 ω2 − ω3 ω4 − ω3 ω − ω3

=

=1

2

2− ω − ω4 0 ω3 + ω2 − (ω + ω4) ω3 + ω2 − (ω + ω4)i(ω4 − ω) 2i(ω4 − ω) i(ω3 − ω2 + ω4 − ω) i(ω2 − ω3 + ω4 − ω)

2− ω2 − ω3 0 ω + ω4 − (ω2 + ω3) ω + ω4 − (ω2 + ω3)i(ω3 − ω2) 2i(ω3 − ω2) i(ω − ω4 + ω3 − ω2) i(ω4 − ω + ω3 − ω2)

= (3.5)

=

1− cos 2π

5 0 cos 4π5 − cos 2π

5 cos 4π5 − cos 2π

5

sin 2π5 2 sin 2π

5 sin 4π5 + sin 2π

5 sin 2π5 − sin 4π

5

1− cos 4π5 0 cos 2π

5 − cos 4π5 cos 2π

5 − cos 4π5

sin 4π5 2 sin 4π

5 sin 4π5 − sin 2π

5 sin 4π5 + sin 2π

5

. (3.6)

Mříž L má tedy v tomto případě tvar

L = Z

1− cos 2π

5

sin 2π5

1− cos 4π5

sin 4π5

︸ ︷︷ ︸

v(1)

+Z

0

2 sin 2π5

0

2 sin 4π5

︸ ︷︷ ︸

v(2)

+Z

cos 4π

5 − cos 2π5

sin 4π5 + sin 2π

5

cos 2π5 − cos 4π

5

sin 4π5 − sin 2π

5

︸ ︷︷ ︸

v(3)

+Z

cos 4π

5 − cos 2π5

sin 2π5 − sin 4π

5

cos 2π5 − cos 4π

5

sin 4π5 + sin 2π

5

︸ ︷︷ ︸

v(4)

.

Grammova matice vektorů mříže má tvar

G = 5

1 1

212

12

12 1 1

212

12

12 1 1

2

12

12

12 1

.

Uvažujme nyní následující cut-and-project schéma

L ⊂ R4

π1 π2R2 R4

41

Ukážeme, že jsou splněny podmínky pro to, aby množina vzniklá projekcí části mříže určenéoknem Ω byla cut-and-project množina. Nejprve dokážeme prostotu zobrazení π1

∣∣L. Pro do-

kázání tohoto tvrzení stačí ukázat, že π−11

∣∣L (0) = 0. Tedy stačí ukázat, že soubor projekcí

π1(v(i))4i=1 je lineárně nezávislý nad Q. Nejen pro tento důkaz využijeme rovnosti

cos2π

5+ cos

4π

5= −1

2, (3.7)

jejíž důkaz je přímočarý. Při stejném značení jako výše totiž platí, že

0 = ω4 + ω + ω3 + ω2 + 1 = 2 cos2π

5+ 2 cos

4π

5+ 1.

Tímto je tedy dokázána.

Lemma 3.1. Vektory(1− cos 2π

5

sin 2π5

)︸ ︷︷ ︸

v(1)‖

,

(0

2 sin 2π5

)︸ ︷︷ ︸

v(2)‖

,

(cos 4π

5 − cos 2π5

sin 4π5 + sin 2π

5

)︸ ︷︷ ︸

v(3)‖

,

(cos 4π

5 − cos 2π5

sin 2π5 − sin 4π

5

)︸ ︷︷ ︸

v(4)‖

(3.8)

jsou lineárně nezávislé nad Q.

Důkaz. Tvrzení dokážeme sporem. Předpokládejme, že existují nenulová čísla α1, α2, α3, α4 ∈ Qtaková, že

α1

(1− cos 2π

5

sin 2π5

)+ α2

(0

2 sin 2π5

)+ α3

(cos 4π

5 − cos 2π5

sin 4π5 + sin 2π

5

)+ α4

(cos 4π

5 − cos 2π5

sin 2π5 − sin 4π

5

)=

(0

0

).

Rozepíšeme výraz cos 4π5 za pomoci identity (3.7) a porovnáním koeficientů u výrazů cos 2π

5 ,sin 2π

5 , sin 4π5 , 1 získáme sadu rovnic pro koeficienty αi.

α1 −α3

2− α4

2= 0,

−α1 − 2α3 − 2α4 = 0,

α1 + 2α2 + α3 + α4 = 0,

α3 − α4 = 0.

Řešením je α1 = α2 = α3 = α4 = 0, což je spor.

Přepišme nyní ještě vektory (3.8) pomocí vztahů pro goniometrické funkce, abychom zjistilijejich vzájemnou polohu v rovině.

v(1)‖ = 2 sin

π

5

(sin π

5

cos π5

), v

(2)‖ = 2 sin

2π

5

(0

1

),

v(3)‖ = 2 sin

3π

5

(− sin π

5

cos π5

), v

(4)‖ = 2 sin

π

5

(− sin 3π

5

− cos 3π5

).

Odtud již vidíme, že tyto vektory společně s počátkem tvoří vrcholy pravidelného pětiúhelníku,jak ilustruje následující obrázek:

42

0

v(1)‖

v(2)‖

v(3)‖

v(4)‖

π5

π5

π5

Jelikož vektory v(i)‖ tvoří hrany a uhlopříčky pravidelného pětiúhelníku, plynou z jeho geometrie

následující vztahy, které umožní přepsat celou projekci π1(L) pomocí pouze dvojice vektorů

v(2)‖ − v

(1)‖ =

1

τv(3)‖ ,

v(3)‖ − v

(4)‖ =

1

τv(2)‖ ,

a odtud plynou požadované vztahy:

v(2)‖ = v

(4)‖ + τv

(1)‖ ,

v(3)‖ = v

(1)‖ + τv

(4)‖ .

Pomocí nich tedy můžeme pro všechna a, b, c, d ∈ Z přepsat kombinaci

av(1)‖ +bv

(2)‖ +cv

(3)‖ +dv

(4)‖ = av

(1)‖ +bv

(4)‖ +τbv

(4)‖ +cv

(1)‖ +τcv

(1)‖ +dv

(4)‖ = (a+c+bτ)v

(1)‖ +(b+d+cτ)v

(4)‖ .

Proto můžeme psát

π1(L) =av

(1)‖ + bv

(2)‖ + cv

(3)‖ + dv

(4)‖ : a, b, c, d ∈ Z

= Z[τ ]v

(1)‖ + Z[τ ]v

(4)‖ . (3.9)

Nyní ukážeme, že druhá projekce mříže π2(L) je hustá v R2. Tím potvrdíme, že navrženécut-and-project schéma je ireducibilní a nedegenerované, čímž dokážeme, že vhodnou volbou Ωmůžeme získat cut-and-project množinu.

Lemma 3.2. Množina π2(L) je hustá v R2.

Důkaz. V důkaze budeme chtít použít větu 1.39. Proto nejprve množinu π2(L) přepíšeme doformy, která umožní tuto větu použít.

π2(L) = Z

(1− cos 4π

5

sin 4π5

)︸ ︷︷ ︸

v(1)⊥

+Z

(0

2 sin 4π5

)︸ ︷︷ ︸

v(2)⊥

+Z

(cos 2π

5 − cos 4π5

sin 4π5 − sin 2π

5

)︸ ︷︷ ︸

v(3)⊥

+Z

(cos 2π

5 − cos 4π5

sin 4π5 + sin 2π

5

)︸ ︷︷ ︸

v(4)⊥

.

Stejnou úpravou pomocí goniometrických identit (jako v předešlém odstavci) dojdeme k faktu,

že vrcholy vektorů v(i)⊥ tvoří pravidelný pětiúhelník.

43

0 v(3)⊥

v(1)⊥

v(4)⊥

v(2)⊥

π/5

π5

π5

Proto platí

v(1)⊥ − v

(3)⊥ =

1

τv(4)⊥ ,

v(4)⊥ − v

(2)⊥ =

1

τv(1)⊥ .

Buď nyní x ∈ π2(L) libovolné. Nechť jsou a, b, c, d ∈ Z.

x = av(1)⊥ + bv

(2)⊥ + cv

(3)⊥ + dv

(4)⊥ = v

(1)⊥

[a+ c− b

τ

]+ v

(4)⊥

[b+ d− c

τ

]= (3.10)

= v(1)⊥[a+ c+ b− bτ

]+ v

(4)⊥[b+ d+ c− cτ

]∈ v

(1)⊥ Z[τ ] + v

(4)⊥ Z[τ ]

Pro úplnost dodejme, že ve druhém řádku jsme využili toho, že τ splňuje τ2 − τ − 1 = 0. Proto(po vydělení τ) platí 1

τ = τ − 1. Tímto jsme ukázali, že množinu π2(L) je možné zapsat jakosoučet

π2(L) = v(1)⊥ Z[τ ] + v

(4)⊥ Z[τ ] , (3.11)

přičemž vektory v(1)⊥ ,v

(4)⊥ jsou lineárně nezávislé. Toto znamená, že množinu π2(L) lze chápat

jako součet dvou hustých množin, které leží v rozdílných podprostorech a hustota v jedné z těchtomnožin nezávisí na druhé. Proto je množina π2(L) hustá v R2.

Tímto jsme dokázali, že jsme sestrojili nedegenerované ireducibilní cut-and-project schéma.

Tvrzení 3.3. Buď Ω ⊂ R2 taková, že int(Ω) 6= ∅. Pak množina

Σ(Ω) =

(a+ bτ)

(1− cos 2π

5

sin 2π5

)+ (c+ dτ)

(cos 4π

5 − cos 2π5

sin 2π5 − sin 4π

5

): a, b, c, d ∈ Z,

(a+ bτ ′)

(1− cos 4π

5

sin 4π5

)+ (c+ dτ ′)

(cos 2π

5 − cos 4π5

sin 4π5 + sin 2π

5

)∈ Ω

je cut-and-project množina.

44

3.2 Srovnání s klasickou konstrukcí

V této sekci ověříme, jestli jsme získali stejný výsledek jako v případě konstrukce pomocígrup reflexí. Dospěli jsme totiž ke dvěma výsledkům, které by měly být stejné. Že tomu tak je,resp. že se výsledky liší jen o škálování, ukážeme tak, že se pokusíme nalézt vyjádření vektorůαi z klasické konstrukce pomocí námi nalezených vektorů v(i). Vyjdeme přitom z projekcí obouvektorů a z Grammových matic obou čtveřic vektorů.

Z klasické konstrukce vyplynulo, že projektované vektory splňují následující rovnosti:

π1(α3)︸ ︷︷ ︸τu

= τ π1(α1)︸ ︷︷ ︸u

,

π1(α2)︸ ︷︷ ︸τv

= τ π1(α4)︸ ︷︷ ︸v

.

Rovněž víme, že vektory u, v jsou stejně dlouhé a svírají úhel 4π5 . Vzhledem k faktu, že námi

vypočtené projektované vektory v(i)‖ formují po řadě svými vrcholy pravidelný pětiúhelník, plyne

z jeho geometrie toto

v(2)‖ = τ

(v(3)‖ − v

(4)‖

),

−v(3)‖ = τ

(v(1)‖ − v

(2)‖

).

Touto volbou znamének je navíc zaručeno, že vektory v(3)‖ −v

(4)‖ a v

(1)‖ −v

(2)‖ svírají požadovaný

úhel 4π5 . Volme proto následující přiřazení:

α1 = k(v(3) − v(4)

),

α2 = −kv(3),

α3 = kv(2),

α4 = k(v(1) − v(2)

).

Přepíšeme-li toto do řeči matic, získáme matici přechodu. Ta má jednotkový determinant (přivhodné volbě konstanty k. Jelikož na velikost vektorů v(i) klademe pouze tu podmínku, aby bylystejně dlouhé, můžeme je konstantou k pronásobit). Konkrétně vypadá tento přechod v matico-vém zápisu následovně:

(v(1) v(2) v(3) v(4)

)0 0 0 10 0 1 −11 −1 0 0−1 0 0 0

= (α1 α2 α3 α4) .

Konstantu k získáme výpočtem, kterým rovněž ověříme, že jsme přiřazení provedli správně.Spočteme Grammovu matici těchto nových vektorů a porovnáme ji s (1.7). Tímto zjistíme, že

matice mají stejný tvar a konstanta k = ±√

25 . Konkrétně tedy můžeme ještě vyjádřit generující

45

vektory αi pomocí sinů a cosinů:

α1 =

√2

5

0

2 sin 4π5

0

−2 sin 2π5

, α2 =

√2

5

cos 2π

5 − cos 4π5

− sin 4π5 − sin 2π

5

cos 4π5 − cos 2π

5

sin 2π5 − sin 4π

5

,

α3 =

√2

5

0

2 sin 2π5

0

2 sin 4π5

, α4 =

√2

5

1− cos 2π

5

− sin 2π5

1− cos 4π5

− sin 4π5

.

Tímto jsme tedy učili normály k zrcadlům, která určují čtyřdimenzionální mříž.Můžeme ještě využít vztahů (3.9), (3.10) a tvaru vektorů (3.6) a zapsat kvazikrystal Σ(Ω)

v jistém tvaru. Definujeme-li totiž zobrazení ′ : Z[τ ]→ Z[τ ], které působí následujícím způsobem

(a+ bτ)′ = a+ bτ ′ := a− b

τ,

a využijeme-li faktu, že v matici (3.6) jsou první dva řádky souřadnice projekce π1 a druhé dvařádky souřadnice projekce π2 a že je vidět (z tvaru (3.5)), že se jedná o obrazy prvních dvouřádků při Galoisově automorfismu σ : ω 7→ ω2, můžeme definovat zobrazení ∗ : π1(L) → π2(L),které působí následovně: (

u‖ + τv‖)∗

= u∗‖ + τ ′v∗‖ := u⊥ + τ ′v⊥.

Proto pak můžeme zkoumaný kvazikrystal přepsat do podoby

Σ(Ω) =av

(1)‖ + bv

(4)‖ : a, b ∈ Z[τ ],

(av

(1)‖ + bv

(4)‖

)∗∈ Ω

,

což je výsledek de facto identický s tím, který jsme obdrželi za použití klasické konstrukce, tedystejný jako (1.9). Obě metody tedy dávají principiálně stejný výsledek jen s tím rozdílem, ženámi použitá metoda umožňuje konstruovat kvazikrystaly s pětičetnou symetrií pouze na základějednoduchých prostředků lineární algebry a elementů teorie matic bez předchozí znalosti teoriegrup reflexí.

3.3 Soběpodobnosti 2D kvazikrystalu s pětičetnou symetrií

V této části se pokusíme vyšetřit, jaké další soběpodobnosti může mít kvazikrystal vzniklýprojekcí této konkrétní mříže L. Aby nějaká takováto soběpodobnost existovala, musí existovatdle druhého bodu věty (2.7) matice C taková, že V CV −1 je blokově diagonální. Kvazikrystaljsme získali z matice C1. Je proto třeba najít další matice, které budou mít stejné vlastní vektory,

46

jako matice C1. To jsou především její mocniny,

C1 =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1−1 −1 −1 −1

, C21 =

0 0 1 00 0 0 1−1 −1 −1 −11 0 0 0

,

C31 =

0 0 0 1−1 −1 −1 −11 0 0 00 1 0 0

, C41 =

−1 −1 −1 −11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

.

Matici C41 nebudeme potřebovat, neboť je možné ji získat jako následující lineární kombinaci

předešlých matic: C41 = −C3

1 − C21 − C1 − I. Toto vyplývá z Hamilton-Cayleyho věty a tvaru

charakteristického polynomu matice C1. Všechny tyto matice mají shodné vlastní vektory, cožje snadno nahlédnutelné. Snadným výpočtem rovněž ověříme, že toto jsou jediné možné matice,které mají za vlastní vektory právě y(i). Uvažujme obecnou matici C ∈ Q4×4 a vektor y(1). Pakřešíme rovnici

α β γ δε ζ η ϑι κ λ µν ξ o π

1ωω2

ω3

= ρ

1ωω2

ω3

pro ρ ∈ R. (3.12)

Vynásobíme-li první řádek této soustavy číslem ω a porovnáme-li jej s pravou stranou druhérovnice, získáme po porovnání koeficientů u stejných mocnin ω vztahy mezi čísly v matici C ′.Analogicky postupujeme pro třetí a čtvrtý řádek. Dostáváme podmínky pro koeficienty

ε = −δ, ι = δ − γ, ν = γ − β,ζ = α− δ, κ = −γ, ξ = δ − β,η = β − δ, λ = α− γ, o = −β,ϑ = γ − δ, µ = β − γ, π = α− β.

Odtud již plyne, že se jedná o matici nakombinovatelnou z mocnin matice C1, tj.

C = αI + βC1 + γC21 + δC3

1 =

α β γ δ−δ α− δ β − δ γ − δδ − γ −γ α− γ β − γγ − β δ − β −β α− β

. (3.13)

Matice C musí navíc zachovávat mříž, proto z tvaru prvního řádku plyne, že je nutně celočíselná.Další podmínky na matici C už výše užitým postupem, tj. za pomoci dalších vlastních vektorůy(i), nezískáme. Plyne to z faktu, že soustavu, kterou bychom řešili, lze získat z (3.12) aplikacípříslušného tělesového automorfismu tělesa Q(ω). Q(ω) je cyklotomické těleso stupně 4, přičemžGaloisovy automorfismy tohoto tělesa mají tvar:

σi(ω) = ωi pro i = 1, 2, 3, 4.

Jsou-li vlastní vektory y(i) matice C1 zapsány do matice Y , můžeme pomocí nich všechny moc-

47

niny matice C1 diagonalizovat a budou mít následující podobu

Y −1C1Y = diagω, ω4, ω2, ω3

,

Y −1C21Y = diag

ω2, ω3, ω4, ω

,

Y −1C31Y = diag

ω3, ω2, ω, ω4

.

Vidíme rovněž, že veškeré lineární kombinace těchto matic jsou pomocí matice Y diagona-lizovatelné.

Tvrzení 3.4. Vlastní čísla matice (3.13) jsou tvaru

α+ βω + γω2 + δω4, (3.14)

σ2(α+ βω + γω2 + δω4), (3.15)

σ3(α+ βω + γω2 + δω4), (3.16)

σ4(α+ βω + γω2 + δω4). (3.17)

Důkaz. Z předešlých úvah plyne, že matici C můžeme převést pomocí matice Y do diagonálníhotvaru, kde na diagonále jsou právě čísla σi(α+ βω + γω2 + δω4).

Důsledek 3.5. Množina

C :=

α β γ δ−δ α− δ β − δ γ − δδ − γ −γ α− γ β − γγ − β δ − β −β α− β

: α, β, γ, δ ∈ Z

s operacemi maticové sčítání a maticové násobení je komutativní okruh izomorfní okruhu cyk-lotomických celých čísel Z[ω].

Důkaz. Jelikož je ω algebraické celé číslo stupně 4, je množina

Z[ω] :=α+ βω + γω2 + δω3 : α, β, γ, δ ∈ Z

okruh celých čísel v tělese Q(ω), tedy platí Z[ω] = Q(ω)∩B. Isomorfizmus mezi Z[ω] a C je pakdán

α+ βω + γω2 + δω3 ↔

α β γ δ−δ α− δ β − δ γ − δδ − γ −γ α− γ β − γγ − β δ − β −β α− β

.

Matici C můžeme kvazidiagonalizovat pomocí matic (3.3). Je to možné, neboť se jednáo součty mocnin matice C1. Dle (3.4) získáme blokově diagonální matici s maticovým vyjádřenímvšech možných soběpodobností modulu π1(L). Po kvazidiagonalizaci dostaneme

P−1Y −1CYP =

α+β cos 2π5+

+(γ+δ) cos 4π5

β sin 2π5+

+(γ−δ) sin 4π5

0 0

−β sin 2π5+

+(δ−γ) sin 4π5

α+β cos 2π5+

+(γ+δ) cos 4π5

0 0

0 0α+β cos 4π

5+

+(γ+δ) cos 2π5

β sin 4π5+

+(γ−δ) sin 2π5

0 0−β sin 4π

5+

+(δ−γ) sin 2π5

α+β cos 4π5+

+(γ+δ) cos 2π5

.

48

Označme

A ≡

α+β cos 2π

5+

+(γ+δ) cos 4π5

β sin 2π5+

+(γ−δ) sin 4π5

−β sin 2π5+

+(δ−γ) sin 4π5

α+β cos 2π5+

+(γ+δ) cos 4π5

,

B ≡

α+β cos 4π

5+

+(γ+δ) cos 2π5

β sin 4π5+

+(γ−δ) sin 2π5

−β sin 4π5+

+(δ−γ) sin 2π5

α+β cos 4π5+

+(γ+δ) cos 2π5

.

Z věty ?? plyne, že aby matice A byla soběpodobností kvazikrystalu pro jisté okno Ω (napříkladkruhové), musí mít vlastní čísla větší nebo rovna jedné a matice B menší nebo rovna jedné.Jelikož známe diagonální podobu matice C, získáme snadno rovněž její vlastní čísla, která jsoustejná jako vlastní čísla kvazidiagonální matice P−1Y −1CYP . Proto snadno získáme podmínkyna koeficienty α, β, γ, δ: ∣∣α+ βω + γω2 + δω3

∣∣ ≥ 1,∣∣α+ βω4 + γω3 + δω2∣∣ ≥ 1,∣∣α+ βω2 + γω4 + δω∣∣ ≤ 1,∣∣α+ βω3 + γω + δω4∣∣ ≤ 1.

S využitím automorfismů tělesa Q(ω) můžeme podmínky ekvivalentně přepsat do následujícíhotvaru: ∣∣α+ βω + γω2 + δω3

∣∣ ≥ 1,∣∣σ4(α+ βω + γω2 + δω3)∣∣ ≥ 1,∣∣σ2(α+ βω + γω2 + δω3)∣∣ ≤ 1,∣∣σ3(α+ βω + γω2 + δω3)∣∣ ≤ 1.

Jelikož navíc platí, že ω = σ4(ω) a σ2(ω) = σ3(ω), jsou podmínky na čísla α, β, γ, δ ekvivalentnípožadavku, aby číslo α+ βω + γω2 + δω3 bylo komplexní Pisotovo číslo. Formálně tedy:

Tvrzení 3.6. Pro všechna komplexní Pisotova čísla η, η ∈ Z[ω], η = |η|(cosϕ+ i sinϕ) existujeokno Ω takové, že A je soběpodobností kvazikrystalu Σ(Ω) a A = |η|R, kde R je matice rotaceo úhel ϕ.

V následující části ukážeme, že existují rovněž další soběpodobnosti kvazikrystalu, kteréneodpovídají kombinacím mocnin matice C1. Podle věty 2.7 musí každá matice F , která kore-sponduje se soběpodobností kvazikrystalu, splňovat maticovou rovnost(

A OO B

)= V FV −1,

kde V je matice tvořená vektory mříže zapsanými do sloupců. Toto můžeme v souladu s našívolbou matice V přepsat podle (3.5) do tvaru

P

(A OO B

)P−1 = Y −1FY ⇔ Y P

(A OO B

)P−1 = FY. (3.18)

49

Dále požadujeme, aby matice F zachovávala dva invariantní podprostory spanRy(1),y(2)

a spanR

y(3),y(4)

. Tento požadavek vyplývá z tvaru matice P

(A OO B

)P−1. Ta je totiž blokově

diagonální (protože matice P i P−1 jsou blokově diagonální, vizte (3.3)) a tedy při násobenímaticí Y zleva obdržíme dvě lineární kombinace vektorů y(1),y(2) a dvě kombinace vektorůy(3),y(4). Poznamenejme, že předešlý výpočet obecného tvaru matice C byl pouze požadavkemna invarianci každého podprostoru zvlášť. Pro tento výpočet formálně požadujeme, aby

Fy(1) = µy(1) + νy(2),

Fy(2) = µ′y(1) + ν ′y(2),

Fy(3) = ζy(3) + ηy(4),

Fy(4) = ζ ′y(3) + η′y(4),

(3.19)

kde koeficienty µ, µ′, ν, ν ′, ζ, ζ ′, η, η′ ∈ C. Jelikož platí, že y(1) = y(2) a y(3) = y(4), vyplýváodtud, že:

µ′ = ν, ζ ′ = η,

ν = µ, η′ = ζ.

Uvažujme nyní obecný tvar matice F ∈ Z4×4:

F =

a b c de f g hi j k lm n o p

.

Jelikož tato matice musí splňovat podmínky (3.19), umožní nám toto snížit počet parametrůvystupujících v matici. Proto rozepišme první podmínku do následující podoby:

(a b c de f g h

)︸ ︷︷ ︸

Fh

1ωω2

ω3

=

(1 1ω ω4

)︸ ︷︷ ︸

D(1)h

(µν

), (3.20)

(i j k lm n o p

)︸ ︷︷ ︸

Fd

1ωω2

ω3

=

(ω2 ω3

ω3 ω2

)︸ ︷︷ ︸

D(1)d

(µν

). (3.21)

Pokud z těchto rovnic vyloučíme parametry µ, ν a získáme vztah mezi koeficienty matice Fh a Fd.

50

Postupně upravujeme:

D(1)d D

(1)h

−1Fhy

(1) = Fdy(1)

1

ω4 − ω

(ω2 ω3

ω3 ω2

)(ω4 −1−ω 1

)(a b c de f g h

)1ωω2

ω3

=

(i j k lm n o p

)1ωω2

ω3

(−1 ω + ω4

−ω − ω4 −ω − ω4

)(a+ bω + cω2 + dω3

e+ fω + gω2 + hω3

)=

(i+ jω + kω2 + lω3

m+ nω + oω2 + pω3

) −a−e+f−h+ω(−b+g−h)+

+ω2(−c−e+f)+ω3(−d−e+g−h)

a−b+d+e−f+h+ω(−c+d−g+h)++ω2(a−b+e−f)+ω3(a−c+d+e−g+h)

=

(i+ jω + kω2 + lω3

m+ nω + oω2 + pω3

)

Porovnáním koeficientů na obou stranách rovnice získáme obecný tvar matice F vyjádřenýpomocí osmi koeficientů

F =

a b c de f g h

−a− e+ f − h −b+ g − h −c− e+ f −d− e+ g − ha− b+ d+ e− f + h −c+ d− g + h a− b+ e− f a− c+ d+ e− g + h

. (3.22)

Tyto podmínky nemůžeme z podmínek (3.19) vylepšit. Pokud bychom totiž provedli týž výpočetpro druhou dvojici podmínek, tj. vyloučili bychom koeficienty ζ, η, dostaneme tytéž vztahy. Toplyne z faktu, že matice F je celočíselná a matice Dh a Dd jsou nad tělesem Q(ω). Z tohotodůvodu lze použít třetí tělesový automorfismus σ2 a rovnice budou mít formálně stejný tvar.Toto ukazuje následující výpočet:

D(2)d D

(2)h

−1Fhy

(3) = Fdy(3)

1

ω3 − ω2

(ω4 ωω ω4

)(ω3 −1−ω2 1

)(a b c de f g h

)1ω2

ω4

ω

=

(i j k lm n o p

)1ω2

ω4

ω

(

−1 ω2 + ω3

−ω2 − ω3 −ω2 − ω3

)(a+ bω2 + cω4 + dωe+ fω2 + gω4 + hω

)=

(i+ jω2 + kω4 + lωm+ nω2 + oω4 + pω

) −a−e+f−h+ω(−d−e+g−h)+

+ω2(−b+g−h)+ω4(−c−e+f)

a−b+d+e−f+h+ω(a−c+d+e−g+h)++ω2(−c+d−g+h)+ω4(a−b+e−f)

=

(i+ jω2 + kω4 + lωm+ nω2 + oω4 + pω

)

σ2

−a−e+f−h+ω(−b+g−h)+

+ω2(−c−e+f)+ω3(−d−e+g−h)

a−b+d+e−f+h+ω(−c+d−g+h)++ω2(a−b+e−f)+ω3(a−c+d+e−g+h)

= σ2

((i+ jω + kω2 + lω3

m+ nω + oω2 + pω3

))

σ2

(D

(1)d D

(1)h

−1Fhy

(1)

)= σ2

(Fdy

(1))

Zkoumejme nyní strukturu, kterou vytvářejí všechny matice tvaru (3.22). Tvrdíme, že tvoříasociativní algebru nad okruhem Z.

51

Tvrzení 3.7. Množina

F :=

a b c de f g h

−a−e+f−h −b+g−h −c−e+f −d−e+g−ha−b+d+e−f+h −c+d−g+h a−b+e−f a−c+d+e−g+h

: a, b, . . . , h ∈ Z

společně s operacemi sčítání matic, násobení celým číslem a maticovým násobením tvoří asoci-ativní algebru nad modulem Z. Navíc množina C tvoří komutativní podalgebru algebry F.

Důkaz. Z linearity všech koeficientů na všech pozicích matice plyne, že součtem dvou těchtomatic získáme opět matici stejné struktury. Rovněž pronásobením dané matice libovolným celýmčíslem tvar matice nezměníme. Proto tyto matice tvoří modul nad Z.Uvažujme nyní dvojici matic F1, F2, jež generují zobrazení A1, A2, B1, B2. Pro ně platí(

A1 OO B1

)V = V F1,(

A2 OO B2

)V = V F2.

Vyjádříme-li odtud součin F1F2, dostaneme

F1F2 = V −1(A1 OO B1

)V V −1

(A2 OO B2

)V = V −1

(A1 OO B1

)(A2 OO B2

)V.

Toto ukazuje, že pronásobením obou matic opět získáváme zobrazení zachovávající dvojici in-variantních podprostorů, kterou je možno vyjádřit pomocí složení zobrazení A1, A2 a B1, B2.Proto má tato matice F1F2 tvar (3.22). Tímto jsme ukázali, že množina matic zachovávajícíchdvojici invariantních podprostorů je uzavřena na maticové násobení. Proto společně s operacemimaticové sčítání a násobení celým číslem tvoří asociativní algebru nad modulem Z.

Volíme-li v matici F koeficienty

a = α, e = −δ,b = β, f = α− δ,c = γ, g = β − δ,d = δ, h = γ − δ.

obdržíme matici (3.13). Proto množina C při zúžení operací tvoří podalgebru algebry F.

Určeme ze vztahů (3.20) a (3.21) hodnoty koeficientů µ, ν:

(µν

)=

1

ω4 − ω

(ω4 −1−ω 1

)(a b c de f g h

)1ωω2

ω3

=

=1

5(2 + 4ω + ω2 + 3ω3)

(b− e+ ω(c− f) + ω2(d− g)− hω3 + aω4

e+ ω(f − a) + ω2(g − b) + ω3(h− c)− dω4

),

µ =1

5(2a+ 2b− 3c+ 2d− 2e+ 3f − 2g + 3h+ ω(−a+ 4b− c− d− 4e+ f + g + h)+

+ω2(a+ b+ c+ d− e− f − g + 4h) + ω3(−2a+ 3b− 2c+ 3d− 3e+ 2f − 3g + 2h)),

52

ν =1

5(3a− 2b+ 3c− 2d+ 2e− 3f + 2g − 3h+ ω(a+ b+ c+ d+ 4e− f − g − h)+

+ω2(−a− b+ 4c− d+ e+ f + g − 4h) + ω3(2a− 3b+ 2c+ 2d+ 3e− 2f + 3g − 2h)).

Vidíme, že µ, ν ∈ Q(ω), tedy je zřejmé, že rovnosti (3.19) získáme z první z nich pouhou aplikacítělesových automorfismů. Proto platí

µ′ = σ4(µ), ν ′ = σ4(ν),ζ = σ2(µ), η = σ2(ν),ζ ′ = σ3(µ), η′ = σ3(ν).

Zároveň můžeme vyjádřit podmínky (3.19) pomocí násobení matic, tedy

FY = Y

µ ν 0 0ν µ 0 00 0 ζ η

0 0 η ζ

.

Porovnáním tohoto vztahu s (3.18) dospějeme k vyjádření matic zobrazení A,B pomocí koefi-cientů µ, ν, η, ζ:

(A OO B

)= P−1

µ ν 0 0ν µ 0 00 0 ζ η

0 0 η ζ

P =

Re (µ+ ν) Im (µ+ ν) 0 0Im (ν − µ) Re (µ− ν) 0 0

0 0 Re (ζ + η) Im (ζ + η)0 0 Im (η − ζ) Re (ζ − η)

.

Koeficienty této matice mají tvar:

Re (µ+ ν) = a+ b cos2π

5+ (c+ d) cos

4π

5,

Im (µ+ ν) = b sin2π

5+ (c− d) sin

4π

5,

Re (µ− ν) = −c+ d+ f + h+ (2g − b) cos2π

5+ (−c+ d+ 2h) cos

4π

5,

Im (ν − µ) =1

5

((2a− 3b+ 2c+ 2d+ 8e− 2f − 2g − 2h) sin

2π

5+

+(−6a+ 4b− c− d− 4e+ 6f − 4g − 4h) sin4π

5

),

Re (ζ + η) = a+ (c+ d) cos2π

5+ b cos

4π

5,

Im (ζ + η) = (d− c) sin2π

5+ b sin

4π

5,

Re (ζ − η) = −c+ d+ f + h+ (−c+ d+ 2h) cos2π

5+ (2g − b) cos

4π

5,

Im (η − ζ) =1

5

((6a− 4b+ c+ d+ 4e− 6f + 4g + 4h) sin

2π

5+

+(2a− 3b+ 2c+ 2d+ 8e− 2f − 2g − 2h) sin4π

5

).

Z tvarů prvků matice plyne přímo tvrzení o struktuře zobrazení A.

53

Důsledek 3.8. Soběpodobnosti modulu π1(L) tvoří asociativní algebru nad Z.

Samotný požadavek na zachování dvojice invariantních podprostorů ovšem není dostatečnýpro popis všech soběpodobností na kvazikrystalu. Aby matice F byla skutečnou soběpodobnostíkvazikrystalu, je dle věty 2.9 třeba uvalit podmínky na vlastní čísla matic A a B.

3.3.1 Příklad netriviální soběpodobnosti

Na konkrétních příkladu nyní ukážeme, jak může vypadat soběpodobnost, která není anirotací, ani škálováním, na kvazikrystalu Σ(Ω) vzniklém z π1(L) volbou vhodného okna Ω.

Uvažujme matici F s nenulovými hodnotami parametrů b = −1, c = 1, d = 1, f = 1, tj.

F =

0 −1 1 10 1 0 01 1 0 −11 0 0 0

.

Jí příslušná matice zobrazení A má tvar

A =

(− cos 2π

5 + 2 cos 4π5 − sin 2π

5

sin 2π5 cos 2π

5 + 1

)=

(−τ − 1

2τ −12

√τ2 + 1

12

√τ2 + 1 1

2τ + 1

).

Vlastní čísla matice A mají hodnotu

λ1 = −τ, λ2 = 1.

Jim příslušné vlastní vektory jsou tvaru

w1 =

(− sin 2π

5cos 2π

5

), w2 =

(cos 2π

5− sin 2π

5

).

Odtud vyplývá, že zobrazení A působí na kvazikrystalu ve směru w1 jako škálování faktorem −τa ve směru w2 působí jako identita.

Následující obrázek ukazuje, jak zobrazení působí na pravidelný desetiúhelník (vyznačenčernými body) umístěný v počátku:

Av0

Av1 Av2

Av3

Av4

Av5

Av6Av7

Av8

Av9

v0

v1

v2v3

v4

v5

v6

v7 v8

v9

w1

w2

54

Dále zkoumejme působení zobrazení B. Matice zobrazení B má tvar

B =

(2 cos 2π

5 − cos 4π5 − sin 4π

5

sin 4π5 cos 4π

5 + 1

)=

(1τ + τ

2 − 12τ

√τ2 + 1

12τ

√τ2 + 1 1− τ

2

).

Vlastní čísla matice B mají tvar

η1 =1

τ, η2 = 1.

Jim příslušné vlastní vektory jsou tvaru

z1 =

(− sin 4π

5cos 4π

5

), z2 =

(cos 4π

5− sin 4π

5

).

Volíme-li okno Ω tvaru kosočtverce

Ω =

α1

(− sin 4π

5cos 4π

5

)+ α2

(cos 4π

5− sin 4π

5

): αi ∈ [−1, 1]

,

pak je tato množina jistě invariantní vůči působení zobrazení B, a tedy je vhodným oknem.Můžeme ale volit okno Ω i v souladu s důkazem věty 2.10 a to za pomoci speciální metriky.

Snadno určíme, že matice G má tvar

G =1

cos 2π5

(cos 4π

5 sin 4π5

sin 4π5 cos 4π

5

).

Jelikož matice G je symetrická, platí, že G = G∗. Matice H určující skalární součin má tvar

H =1

cos2 2π5

(1 − sin 2π

5− sin 2π

5 1

).

Jako množinu Ω můžeme volit kouli v této metrice, tedy množinu

Ω = x : 〈x,x〉H ≤ K,K = konst. ,

konkrétně to může být množina

Ω =

(xy

): x2 − 2xy sin

2π

5+ y2 ≤ 1

.

Pak toto okno je rovněž invariantní vůči zobrazení B a tedy Σ(Ω) je kvazikrystal se soběpodob-ností A. Následující obrázek ukazuje hranice množiny Ω a její transformaci při zobrazení B.

55

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Nepřerušovaná elipsa vyznačuje hranici množiny Ω a tečkovaná elipsa znázorňuje její obraz přizobrazení B.

56

Kapitola 4

Kvazikrystal s pětičetnou symetriívzniklý projekcí 5D mříže

V této kapitole provedeme konstrukci kvazikrystalu pomocí pětidimenzionální mříže. Zvolmeproto polynom x5− 1, který je určitě dělitelný minimálním polynomem pátého kořene jedničky,tj. polynomem x4 + x3 + x2 + x+ 1. Matice společnice polynomu x5 − 1 je

C2 =

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 0

.

Je zřejmé, že vlastními čísly budou stejná čísla jako v čtyřdimenzionálním případě, jen s tímrozdílem, že k nim přibude 1. Vlastní vektory k λi lze volit ve stejném tvaru (ten plyne z tvarumatice společnice), a to

1λiλ2iλ3iλ4i

.

Využijme opět zjednodušujícího zápisu pomocí ω. Matice Y , která vznikne zapsáním vlastníchvektorů do sloupců, má při tomto značení tvar

Y =1

5

1 1 1 1 1ω ω4 1 ω2 ω3

ω2 ω3 1 ω4 ωω3 ω2 1 ω ω4

ω4 ω 1 ω3 ω2

, Y −1 =

1 ω4 ω3 ω2 ω1 ω ω2 ω3 ω4

1 1 1 1 11 ω3 ω ω4 ω2

1 ω2 ω4 ω ω3

. (4.1)

Stejně jako v předešlém případě nalezneme i matice přechodu:

P =

1 −i 0 0 01 i 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 −i0 0 0 1 i

, P−1 =1

2

1 1 0 0 0i −i 0 0 00 0 2 0 00 0 0 1 10 0 0 i −i

. (4.2)

57

Nyní můžeme matici C2 kvazidiagonalizovat, tedy

P−1Y −1C2Y P =

cos 2π5 sin 2π

5 0 0 0

− sin 2π5 cos 2π

5 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 cos 4π5 sin 4π

5

0 0 0 − sin 4π5 cos 4π

5

. (4.3)

Odtud již vidíme, že matice P−1Y −1C2Y P má blokově diagonální tvar, který jsme požadovali.Z podmínky (2.13) pak porovnáním plyne, že

V = P−1Y −1 =1

2

1 1 0 0 0i −i 0 0 00 0 2 0 00 0 0 1 10 0 0 i −i

1 ω4 ω3 ω2 ω1 ω ω2 ω3 ω4

1 1 1 1 11 ω3 ω ω4 ω2

1 ω2 ω4 ω ω3

=

=1

2

2 ω4 + ω ω3 + ω2 ω2 + ω3 ω + ω4

0 iω4 − iω iω3 − iω2 iω2 − iω3 iω − iω4

2 2 2 2 22 ω3 + ω2 ω + ω4 ω4 + ω ω2 + ω3

2 iω3 − iω2 iω − iω4 iω4 − iω iω2 − iω3

=

=

1 cos 2π5 cos 4π

5 cos 4π5 cos 2π

5

0 sin 2π5 sin 4π

5 − sin 4π5 − sin 2π

5

1 1 1 1 1

1 cos 4π5 cos 2π

5 cos 2π5 cos 4π

5

0 sin 4π5 − sin 2π

5 sin 2π5 − sin 4π

5

. (4.4)

Tímto jsme získali přesné vyjádření vektorů, které tvoří mřížku L. Proto můžeme zapsat

L = Z

1

0

1

1

0

︸ ︷︷ ︸v(1)

+Z

cos 2π5

sin 2π5

1

cos 4π5

sin 4π5

︸ ︷︷ ︸

v(2)

+Z

cos 4π5

sin 4π5

1

cos 2π5

− sin 2π5

︸ ︷︷ ︸

v(3)

+Z

cos 4π5

− sin 4π5

1

cos 2π5

sin 2π5

︸ ︷︷ ︸

v(4)

+Z

cos 2π5

− sin 2π5

1

cos 4π5

− sin 4π5

︸ ︷︷ ︸

v(5)

.

Nyní budeme diskutovat možná cut-and-project schémata, která na této mřížce můžeme provésttak, aby umožňovala soběpodobnost (dle 2.7). Ta jsou dána tvarem matice (4.3), resp. velikostíjejich bloků. Můžeme proto sestrojit jednodimenzionální, dvoudimenzionální, třídimenzionálnía čtyřdimenzionální kvazikrystal. Jednodimenzionální případ můžeme ihned vyloučit, neboť zob-razení π1 zúžené na mříž by nebylo prosté. Stejně tak můžeme snadno vyloučit čtyřdimenzionálnípřípad kvazikrystalu, neboť v tomto případě by množina π2(L) nebyla hustá v R.

58

4.1 Dvoudimenzionální případ

Uvažujme následující schéma

L ⊂ R5

π1 π2R2 R3

Tvrdíme, že v tomto případě není zobrazení π1∣∣L prosté. Abychom tohle ukázali, stačí ukázat,

že existuje nenulová α ∈ Z5 tak, že5∑i=1

αiπ1(v(i)) = 0, tj.

α1

(1

0

)+ α2

(cos 2π

5

sin 2π5

)+ α3

(cos 4π

5

sin 4π5

)+ α4

(cos 4π

5

− sin 4π5

)+ α5

(cos 2π

5

− sin 2π5

)=

(0

0

). (4.5)

Položíme-li α1 = α2 = α3 = α4 = α5 pro libovolnou společnou hodnotu, dostaneme plat-nou rovnost. Ta plyne z rovnice (3.7) Že je toto jediný způsob volby α plyne z následujícíúvahy. Rozepíšeme-li pomocí rovnosti (3.7) výraz cos 4π

5 , získáme porovnáním koeficientů u členůcos 2π

5 , sin2π5 , sin

4π5 , 1:

α2 − α5 = 0,

α3 − α4 = 0,

α1 −α3

2− α4

2= 0,

α2 − α3 − α4 + α5 = 0.

Odtud již plyne, že α1 = α2 = α3 = α4 = α5. Tímto jsme ukázali, že zobrazení není prosté,a tudíž uvažované schéma nemůže být nedegenerovaným ireducibilním cut-and-project schema-tem.

4.2 Třídimenzionální případ

Uvažujme tentokrát schéma

L ⊂ R5

π1 π2R3 R2

Cut-and-project schéma má v tomto případě tvar

Σ(Ω) =

α1

1

0

1

+ α2

cos 2π

5

sin 2π5

1

+ α3

cos 4π

5

sin 4π5

1

+ α4

cos 4π

5

− sin 4π5

1

+ α5

cos 2π

5

− sin 2π5

1

: αi ∈ Z,

α1

(1

0

)+ α2

(cos 4π

5

sin 4π5

)+ α3

(cos 2π

5

− sin 2π5

)+ α4

(cos 2π

5

sin 2π5

)+ α5

(cos 4π

5

− sin 4π5

)∈ Ω

. (4.6)

Nyní dokážeme, že se skutečně jedná o cut-and-project množinu. Toto tvrzení dokážeme ve dvoukrocích. V prvním ukážeme prostoru zobrazení π1

∣∣L a ve druhém hustotu množiny π2(L).

59

Lemma 4.1. Zobrazení π1∣∣L je prosté.

Důkaz. Z předešlých úvah víme, že stačí ukázat lineární nezávislost (nad Q) vektorů1

0

1

,

cos 2π

5

sin 2π5

1

,

cos 4π

5

sin 4π5

1

,

cos 4π

5

− sin 4π5

1

,

cos 2π

5

− sin 2π5

1

.

Chceme tedy ukázat, že jediná jejich lineární kombinace s racionálními koeficienty, která dávánulový vektor, je kombinace s nulovými koeficienty. V důkaze (4.5) jsme ukázali, že vynulováníprvních dvou složek se dá docílit pouze volbou shodných koeficientů. Označme jejich hodnotuα ∈ Q. Pak v poslední složce dostaneme hodnotu 5α, která je rovna 0 jen pro α = 0. Tímto jsmetedy dokázali, že vektory jsou lineárně nezávislé nad Q a tudíž zobrazení π1

∣∣L je prosté.

Lemma 4.2. Množina π2(L) je hustá v R2.

Důkaz. Nejprve ukážeme, že množina

A =

α2

(cos 4π

5

sin 4π5

)+ α3

(cos 2π

5

− sin 2π5

)+ α4

(cos 2π

5

sin 2π5

)+ α5

(cos 4π

5

− sin 4π5

), αi ∈ Z

je hustá v R2. Ukážeme totiž, že je možné ji zapsat jako součet dvou hustých jednodimenzinálníchmnožin, přičemž směrové vektory příslušné oběma jednodimenzionálním množinám jsou lineárněnezávislé. Pro jednodušší zápis označme ve shodě s indexy u koeficientů jednotlivé projekceπ2(v

(i)) postupně v(2)⊥ ,v

(3)⊥ ,v

(4)⊥ ,v

(5)⊥ . Pak platí následující rovnosti:

v(4)⊥ + v

(5)⊥ =

1

τv(2)⊥ ,

v(2)⊥ + v

(3)⊥ =

1

τv(5)⊥ .

Konstanta τ =

√5 + 1

2vyplývá, stejně jako tyto rovnosti, z geometrie pravidelného pětiúhelníku.

Vektory totiž tvoří jeho vrcholy:

0 v(1)⊥

v(4)⊥

v(2)⊥

v(5)⊥

v(3)⊥

60

Buďte nyní α2, α3, α4, α5 ∈ Z libovolné. Pak

A 3 x = α2v(2)⊥ +α3v

(3)⊥ +α4v

(4)⊥ +α5v

(5)⊥ = α2v

(2)⊥ +α3

(1

τv(5)⊥ − v

(2)⊥

)+α4

(1

τv(2)⊥ − v

(5)⊥

)+α5v

(5)⊥ =

= v(2)⊥

(α2 − α3 +

α4

τ

)+ v

(5)⊥

(α5 − α4 +

α3

τ

).

Jelikož jsme koeficienty volili libovolně, rozepsali jsme množinu A jako součet dvou množin Z[τ ],které jsou husté v R. Argument, který zde používáme je identický s tím, jehož bylo užito v lem-matu (3.2). Zároveň jsou tyto množiny obsaženy v podprostorech spanRv

(2)⊥ , spanRv

(5)⊥ . Pro-

tože jsou vektory v(2)⊥ a v

(5)⊥ lineárně nezávislé, plyne odtud, že množina Z [τ ]v

(2)⊥ +Z [τ ]v

(5)⊥ = A

je hustá v R2. Množina π2(L) = Z(

10

)+A pak již bude rovněž hustá, protože sjednocení hustých

množin je hustá množina.

Tvrzení 4.3. Buď Ω ⊂ R2 taková, že int(Ω) 6= ∅. Pak množina

Σ(Ω) =

α1

1

0

1

+ α2

cos 2π

5

sin 2π5

1

+ α3

cos 4π

5

sin 4π5

1

+ α4

cos 4π

5

− sin 4π5

1

+ α5

cos 2π

5

− sin 2π5

1

: αi ∈ Z,

α1

(1

0

)+ α2

(cos 4π

5

sin 4π5

)+ α3

(cos 2π

5

− sin 2π5

)+ α4

(cos 2π

5

sin 2π5

)+ α5

(cos 4π

5

− sin 4π5

)∈ Ω

je cut-and-project množina.

4.3 Geometrické vlastnosti 3D kvazikrystalu

Když jsme dokázali, že množina (4.6) je cut-and-project množina, popíšeme její vlastnosti.Z jejího tvaru vyplývá, že v z-ové souřadnici nabývá pouze celých čísel. Tudíž je možné si tutomnožinu představit jako systém dvoimenzionálních kvazikrystalů (v osách x, y) „navrstvenýchna sebeÿ. Abychom toto co nejlépe ilustrovali, uvažujme, že x ∈ Σ(Ω), tedy

x = α1v(1)‖ + α2v

(2)‖ + α3v

(3)‖ + α4v

(4)‖ + α5v

(5)‖ ,

kde αi ∈ Z pro všechna i = 1, . . . , 5. Zároveň musí platit, že

α1v(1)⊥ + α2v

(2)⊥ + α3v

(3)⊥ + α4v

(4)⊥ + α5v

(5)⊥ ∈ Ω.

Pokud nyní přičteme ke každému koeficientu αi jedničku, tj. přejdeme od αi 7→ αi+1 pro všechnai = 1, . . . , 5, zjistíme, že získáme prvek kvazikrystalu, neboť dle (3.7) se projekce π2 nezmění.Prvek bude mít tvar x + (0, 0, 5)T . Vidíme, že pokud budeme fixovat třetí souřadnici u prvkůkvazikrystalu, tak dostaneme podmnožinu R2, která se bude nekonečněkrát opakovat podél osyz s ekvidistantní vzdáleností 5. Nyní můžeme definovat jisté základní stavební prvky, pomocíkterých jsme schopni celý kvazikrystal popsat a s jejichž pomocí ještě snadněji nahlédneme jistésymetrie, které se u něj vyskytují.

61

Definice 4.4. Buď Σ(Ω) kvazikrystal popsaný výše. Pak pro j = 0, 1, 2, 3, 4 definujeme j-touzákladní rovinu kvazikrystalu Σ(Ω) jako

Σj(Ω) =

α1

1

0

0

+α2

cos 2π

5

sin 2π5

0

+α3

cos 4π

5

sin 4π5

0

+α4

cos 4π

5

− sin 4π5

0

+α5

cos 2π

5

− sin 2π5

0

: αi ∈ Z,5∑i=1

αi = j,

α1

(1

0

)+ α2

(cos 4π

5

sin 4π5

)+ α3

(cos 2π

5

− sin 2π5

)+ α4

(cos 2π

5

sin 2π5

)+ α5

(cos 4π

5

− sin 4π5

)∈ Ω

.

Pomocí těchto základních rovin můžeme přepsat kvazikrystal Σ(Ω) do podoby

Σ(Ω) =5⋃j=1

⋃k∈Z

Σj(Ω) +

00

5k + j

. (4.7)

Zároveň odtud plyne, že pro popis vlastností této cut-and-project množiny se stačí omezit namnožinu

Σ(Ω) =5⋃j=1

Σj(Ω) +

00j

.

Z tvaru (4.7) plyne rovněž přímo invariantnost Σ(Ω) vůči translaci ve směru osy z s vektoremposunutí (0, 0, 5)T , tedy

Σ(Ω) +

005

= Σ(Ω).

Dále z tohoto popisu jasně vyplývá invariance Σ(Ω) vůči škálování faktorem 5 ve směru osy z.Označme ux,uy,uz jednotlivé složky vektoru u ∈ Σ(Ω). Pak1 0 0

0 1 00 0 5

uxuyuz

∈ Σ(Ω).

4.3.1 Násobky vlastních vektorů

Zkoumejme nyní, co se stane s kvazikrystalem, jestliže namísto vlastních vektorů matice C2

použijeme jejich násobky. Komplexně sdružené vektory budeme násobit stejným číslem, abychomzachovali možnost převést matici C2 do blokově diagonálního tvaru. V maticovém zápisu toodpovídá vynásobení matice Y zprava maticí N , která má tvar

N =

a 0 0 0 00 a 0 0 00 0 b 0 00 0 0 c 00 0 0 0 c

, N−1 =

1a 0 0 0 00 1

a 0 0 00 0 1

b 0 00 0 0 1

c 00 0 0 0 1

c

, kde a, b, c ∈ Z\0.

62

Potom matice, která určuje generující vektory mříže má tvar

V ′ = P−1N−1Y −1 =

1a

1a cos 2π

51a cos 4π

51a cos 4π

51a cos 2π

5

0 1a sin 2π

51a sin 4π

5 − 1a sin 4π

5 − 1a sin 2π

5

1b

1b

1b

1b

1b

1c

1c cos 4π

51c cos 2π

51c cos 2π

51c cos 4π

5

0 1c sin 4π

5 −1c sin 2π

51c sin 2π

5 −1c sin 4π

5

.

Stejným postupem jako výše se ukáže, že π1∣∣L′ je prosté zobrazení a π2(L′) je hustá množina

v R2. Cut-and-project množina má potom tvar

Σ′(Ω) =

α1

1a

0

1b

+ α2

1a cos 2π

5

1a sin 2π

5

1b

+ α3

1a cos 4π

5

1a sin 4π

5

1b

+ α4

1a cos 4π

5

− 1a sin 4π

5

1b

+ α5

1a cos 2π

5

− 1a sin 2π

5

1b

, αi ∈ Z5 :

α1

(1

0

)+ α2

(cos 4π

5

sin 4π5

)+ α3

(cos 2π

5

− sin 2π5

)+ α4

(cos 2π

5

sin 2π5

)+ α5

(cos 4π

5

− sin 4π5

)∈ cΩ

.

Z tvaru této cut-and-project množiny vidíme, že by její další zkoumání nepřineslo nic nového.Jedná se o tutéž množinu, kterou jsme získali již dříve, akorát s tím rozdílem, že došlo k pronáso-bení základních vrstev kvazikrystalu koeficientem 1

a , vzdálenost mezi těmito vrstvami se změnilaz jednotkové na 1

b a díky změně vektorů mříže došlo rovněž k přeškálování okna koeficientem c.

4.3.2 Další možné soběpodobnosti

Obdobně jako u případu kvazikrystalu vzniklého projekcí čtyřrozměrné mříže se i zde poku-síme najít další soběpodobnosti, které dané cut-and project schéma připouští. Proto vyjdeme(jako výše) z mocnin matice C2.

C2 =

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 0

, C22 =

0 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 0

,

C32 =

0 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0

, C42 =

0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

.

Vlastní vektory všech těchto matic jsou stejné, matice z nich vytvořená je matice Y . Tyto maticejsou diagonalizovatelné touto maticí do následujících podob

Y −1C2Y = diagω, ω4, 1, ω2, ω3

,

Y −1C22Y = diag

ω2, ω3, 1, ω4, ω

,

Y −1C32Y = diag

ω3, ω2, 1, ω, ω4

,

Y −1C42Y = diag

ω4, ω, 1, ω3, ω2

.

63

Libovolná kombinace těchto matic a identické matice pak dává rovněž matici, jejíž vlastní vektorybudou mít žádanou podobu. Označme C = αI + βC2 + γC2

2 + δC32 + εC4

2 , kde α, β, γ, δ, ε ∈ R.Pak tuhle matici můžeme kvazidiagonalizovat stejným postupem jako výše a získáme blokovědiagonální matici jejíž horní blok určuje soběpodobnost A:

P−1Y −1CYP =

=

α+(β+ε) cos 2π5+

+(γ+δ) cos 4π5

(β−ε) sin 2π5+

+(γ−δ) sin 4π5

0 0 0

(ε−β) sin 2π5+

+(δ−γ) sin 4π5

α+(β+ε) cos 2π5+

+(γ+δ) cos 4π5

0 0 0

0 0 α+ β + γ + δ + ε 0 0

0 0 0α+(β+ε) cos 4π

5+

+(γ+δ) cos 2π5

(β−ε) sin 4π5+

+(γ−δ) sin 2π5

0 0 0(ε−β) sin 4π

5+

+(δ−γ) sin 2π5

α+(β+ε) cos 4π5+

+(γ+δ) cos 2π5

.

Soběpodobnost projekce π1(L) má pak podle věty 2.4 tvar

A =

α+(β+ε) cos 2π

5+

+(γ+δ) cos 4π5

(β−ε) sin 2π5+

+(γ−δ) sin 4π5

0

(ε−β) sin 2π5+

+(δ−γ) sin 4π5

α+(β+ε) cos 2π5+

+(γ+δ) cos 4π5

0

0 0 α+ β + γ + δ + ε

.

Tímto postupem jsme pochopitelně nevytvořili veškeré možné soběpodobnosti modulu π1(L).Je zřejmé, že stejným postupem jako v předešlé kapitole bychom byli opět schopni popsat celoualgebru soběpodobností.

64

Závěr

V práci jsme po zavedení základních pojmů týkajících se teorie čísel, teorie matic a diskrétníchmnožin zadefinovali soběpodobnost a předvedli důkaz věty o škálovací symetrii podle článkuLagariase [5], který jsme upravili pro cut-and-project množiny, resp. kvazikrystaly.

V další části práce jsme ukázali, že je možné na kvazikrystaly pohlížet skrze matice. Prolineární transformace jsme dali do souvislosti transformace na kvazikrystalu Σ(Ω), resp. na mo-dulu [Σ(Ω)] = π1(L) s transformacemi mříže, ze které projektujeme. Nalezli jsme kritéria proto, aby nějaká transformace mříže byla soběpodobností modulu π1(L). Rovněž jsme dokázali, žepro danou celočíselnou matici C je možné nalézt cut-and-project schéma (L, π1, π2) se soběpo-dobností takové, že C je matice transformace na mříži L. Rovněž jsme zformulovali podmínky,za kterých daná matice C transformace mříže L indukuje soběpodobnost na kvazikrystalu Σ(Ω).

Za použití těchto tvrzení jsme pak v další kapitole zkonstruovali cut-and-project schéma(L ⊂ R4, π1, π2

), ze kterého by vhodnou volbou okna bylo možné sestrojit kvazikrystal s pětičet-

nou symetrií. Toto schéma jsme vytvořili pouze na základě požadavku na existenci zobrazení,které by bylo izometrií řádu 5 a působilo na π1(L). Ukázali jsme, že toto schéma je nedegenero-vané a ireducibilní. Pak jsme provedli srovnání s klasickou konstrukcí kvazikrystalů pomocí grupreflexí a ukázali, že výsledek je identický. V další části jsme zkoumali možné soběpodobnosti namnožině π1(L). Ukázali jsme množina zobrazení, která působí jako rotace a škálování zároveň,je izomorfní okruhu celých čísel Z[ω] v tělese Q(ω), kde ω je pátý kořen jedničky. Dále jsmedokázali, že všechna zobrazení zachovávající v π1(L) dvojici podprostorů tvoří asociativní alge-bru nad okruhem celých čísel Z, přičemž rotace se škálováním tvoří její podalgebru. Nadto jsmenalezli konkrétní příklad zobrazení, které není ani rotací, ani škálováním celého kvazikrystalu.

V další části práce jsme zkoumali cut-and-project schéma(L ⊂ R5, π1, π2

). Ukázali jsme, že

existuje pouze jediné nedegenerované ireducibilní cut-and-project schéma, které je invariantnívůči izometrii řádu 5. Rozebrali jsme geometrii množiny π1(L) a nalezli některé její soběpodob-nosti.

V další práci bychom se rádi zaměřili i na jiná než na pouze lineární zobrazení. Dále vy-vstává otázka, jakou strukturu formují soběpodobnosti na dvoudimenzionálním kvazikrystalua jaké jsou obecné podmínky na konkrétní transformaci mříže, aby z ní odvozené zobrazeníbylo soběpodobností na kvazikrystalu. V průběhu psaní práce jsme narazili i na další otázkya problémy, které by měly být předmětem budoucího výzkumu.

65

Literatura

[1] Barache, D., Champagne, B., and Gazeau, J.-P. (1998). Pisot-cyclotomic quasilattices andtheir symmetry semigroups. In Quasicrystals and discrete geometry (Toronto, ON, 1995),volume 10 of Fields Inst. Monogr., pages 15–66. Amer. Math. Soc., Providence, RI.

[2] Berman, S. and Moody, R. V. (1994). The algebraic theory of quasicrystals with five-foldsymmetries. J. Phys. A, 27(1):115–129.

[3] Cotfas, N. (1999). On the self-similarities of a model set. J. Phys. A, 32(15):L165–L168.

[4] Katok, A. and Hasselblatt, B. (1995). Introduction to the modern theory of dynamical sys-tems, volume 54 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge UniversityPress, Cambridge. With a supplementary chapter by Katok and Leonardo Mendoza.

[5] Lagarias, J. C. (1999). Geometric models for quasicrystals I. Delone sets of finite type.Discrete Comput. Geom., 21(2):161–191.

[6] Masáková, Z. and Pelantová, E. (2010). Teorie čísel. Česká technika - nakladatelství ČVUT.

[7] Moody, R. V., editor (1997). The mathematics of long-range aperiodic order, volume 489of NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences. KluwerAcademic Publishers Group, Dordrecht.

[8] Moody, R. V. and Patera, J. (1993). Quasicrystals and icosians. J. Phys. A, 26(12):2829–2853.

[9] Zhang, F. (2011). Matrix theory. Universitext. Springer, New York, second edition. Basicresults and techniques.

66