03.03.2021

1

Technická kybernetika

Analogové a číslicové regulátory

Stabilita spojitých lineárních systémů

Akademický rok 2020/2021

Připravil: Radim Farana

Obsah

• Základní přenosy regulačního obvodu.

• Analogové regulátory.

• Číslicové regulátory.

• Stabilita spojitých lineárních systémů.

– Hurwitzovo kritérium stability.

– Nyquistovo kritérium kvality.

2

Regulační obvodJe uvažován poměrně obecný regulační obvod, kde GR(s) je přenos

regulátoru, GS(s) – přenos regulované soustavy, GMČ(s) – přenos

měřicího členu, GP(s) – přenos, přes který na regulační obvod působí

poruchová veličina s obrazem V(s), W(s) – obraz žádané veličiny,

E(s) – obraz regulační odchylky, U(s) – obraz akční veličiny,

Y(s) – obraz regulované veličiny.

W s( )G sR( ) G sS( )

G sP( )

G sMČ( )

E s( ) Y s( )U s( )

V s( )

Měřicí člen s přenosem GMČ(s) musí měřit přesně a rychle, a proto ve

většině praktických případů lze předpokládat, že 1)( sGMČ

03.03.2021

2

Regulační obvod

4

Přenos GP(s) umožňuje umístit působení poruchové veličiny V(s) do

libovolného místa regulačního obvodu. Dva nejdůležitější případy, kdy

poruchová veličina V(s) působí na vstupu, resp. na výstupu regulované

soustavy GS(s) pro jsou:

W s( )G sR( ) G sS( )

E s( ) Y s( )

G s G sP S( ) = ( )

V s( )

W s( )G sR( ) G sS( )

G sP( ) = 1

E s( ) Y s( )

V s( )

Pokud poruchové veličiny nelze měřit ani jinak přesněji specifikovat,

pak je vhodné je agregovat do jediné poruchové veličiny V(s) a umístit

ji do nejméně příznivého místa v regulačním obvodě. V případě

integrační regulované soustavy je to její vstup a v případě

proporcionální regulované soustavy její výstup.

Cíl regulace

5

)()(ˆ)()( sWsYtwty

pro regulovanou veličinu platí

)()()()()( sVsGsWsGsY vywy

kde je přenos řízení a přenos poruchy

)()(1

)()()(

sGsG

sGsGsG

SR

SRwy

)()](1[

)()(1

)()( sGsG

sGsG

sGsG Pwy

SR

Pvy

Pro dosažení cíle regulace požadujeme:

1)( sGwy 0)( sGvy

Cíl regulace

6

0)(ˆ0)( sEte

pro regulační odchylku platí

)()()()()( sVsGsWsGsE vewe

kde je odchylkový přenos řízení a odchylkový přenos poruchy

)(1)()(1

1)( sG

sGsGsG wy

SR

we

)()](1[)()(1

)()( sGsG

sGsG

sGsG Pwy

SR

Pve

Pro dosažení cíle regulace požadujeme:

0)( sGwe 0)( sGve

03.03.2021

3

a pro nesingulární GP(s)

i podmínka

Cíl regulace

7

pro kmitočtový přenos řízení lze psát

1)j()j(

1

1

)j()j(1

)j()j()j(

SR

SR

SRwy

GG

GG

GGG

a je zřejmé, že platí

1)(1)j(0)j(

)j(

sGG

G

Gwywy

S

R

1)(1)j()j()j( sGGGG wywySR

bude-li zajištěna dostatečně vysoká hodnota modulu kmitočtového přenosu

regulátoru pak bude splněna s dostatečnou přesností podmínka

)j()j(mod)( RRR GGA

1)( sGwy

0)( sGvy

Cíl regulace

8

Vysoké hodnoty modulů AR(ω) nebo Ao(ω) musí být zajištěny v rozsahu

pracovních úhlových kmitočtů při současném zabezpečení stability a

požadované kvality regulačního pochodu. Toho lze dosáhnout vhodně

zvoleným regulátorem a jeho následným správným seřízením.

Průmyslové regulátory se vyrábějí v různých verzích a modifikacích, a

proto budou uvedeny pouze základní struktury a modifikace běžně

používaných konvenčních regulátorů.

Analogové (spojité) konvenční regulátory

9

jsou realizovány jako kombinace základních třech činností (složek):

• proporcionální – P,

• integrační – I,

• derivační – D.

Regulátor u něhož vystupují všechny tři činnosti se nazývá proporcionálně

integračně derivační regulátor nebo zkráceně regulátor typu PID a jeho

vlastnosti v časové oblasti mohou být popsány vztahem

t

teTe

Ttek

D

t

ter

I

er

P

tertu D

t

I

P

t

d

)(dd)(

1)(

d

)(dd)()()(

0

1

0

10

kde jsou:

r0, r–1 a r1 – váhy proporcionální, integrační a derivační složky regulátoru,

kP – zesílení regulátoru,

TI a TD – integrační a derivační časová konstanta regulátoru

představují tři stavitelné parametry regulátoru.

03.03.2021

4

Stavitelné parametry regulátoru

10

Úkolem seřízení regulátoru je zajištění požadavků na kvalitu regulačního

pochodu vhodnou volbou hodnot jeho stavitelných parametrů pro konkrétní

regulovanou soustavu.

Mezi stavitelnými parametry regulátoru platí převodní vztahy

,,, 110 DP

I

PP Tkr

T

krkr

0

1

1

00 ,,

r

rT

r

rTrk DIP

Protože váha proporcionální složky r0 je identická se zesílením kP, proto se i

pro ni používá často název zesílení regulátoru.

Rozměr váhy proporcionální složky r0 a zesílení regulátoru kP je dán podílem

rozměru akční veličiny u(t) a rozměru regulační odchylky e(t). Časové

konstanty TI a TD mají rozměr času. Rozměr váhy integrační složky r–1 je dán

podílem rozměru proporcionální složky r0 a rozměru času, rozměr váhy

derivační složky je dán násobkem rozměru váhy proporcionální složky r0 a

rozměru času.

Regulátor typu PID

11

Použitím Laplaceovy transformace za předpokladu nulových počátečních

podmínek získáme přenos regulátoru typu PID

sT

sTksr

s

rr

sE

sUsG D

I

PR

11

)(

)()( 1

10

Integrační složka (I) zajišťuje vysokou hodnotu modulu kmitočtového přenosu

regulátoru PID při nízkých úhlových kmitočtech a především v ustálených

stavech (ω = 0), derivační složka (D) při vysokých úhlových kmitočtech a

proporcionální složka (P) v celém pracovním pásmu úhlových kmitočtů, ale

především pro střední úhlové kmitočty.

Vhodnou volbou jednotlivých složek P, I a D, tj. vhodnou volbou hodnot

stavitelných parametrů regulátoru r0, r–1 a r1, příp. kP, TI a TD lze dosáhnout

vysoké hodnoty modulu kmitočtového přenosu regulátoru nebo modulu

kmitočtového přenosu otevřeného regulačního obvodu, a tím i splnění cíle

regulace.

Regulátor typu PID

12

0

I D

P

11

j

j

rr

T

k

T

k

I

P

I

P

11 j

j

rr

TkTk DPDP

00 rr

kk PP

ω

)(RA

03.03.2021

5

Konvenční analogové regulátory

13

Typ Přenos )(sGR

1 P Pk

2 I sTI

1

3 PI

sTk

I

P

11

4 PD sTk DP 1

5 PID

sT

sTk D

I

P

11

6 PIDi sTsT

k D

I

P

1

11

Regulátor PID s interakcí

– Sériové zapojení

PI a PD regulátoru

Číslicové regulátory

14

w(kT) e(kT)y(t)

u(kT) v(t)

ČR Č/A S

uT(t)

A/Čy(kT)

Blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem

Kompaktní ČR

Číslicové regulátory

15

číslicový (diskrétní) regulátor typu PSD (proporcionálně sumačně

diferenční)

,])1[()()()(

])1[()()()()(

0

0

D

D

S

k

i

S

P

P

Dk

iI

P

TkekTeKiTeKkTeK

TkekTeT

TiTe

T

TkTekkTu

kde je:

KP – váha proporcionální složky,

KS – váha sumační složky,

KD – váha diferenční složky,

T – vzorkovací perioda,

kT – diskrétní čas.

Pro stavitelné parametry číslicového

regulátoru PSD platí

T

TkK

T

TkKkK

DPD

I

PSPP ,,

TK

KTT

K

KTKk

P

DD

S

PIPP ,,

03.03.2021

6

Číslicové regulátory

16

Přírůstkové algoritmy

)()1()( kTeT

TTkukTu

I

I

)()1()()1()( kTeT

TTkekTekTkukTu

I

pPS

TkegTkegkTegTkukTu )2()1()()1()( 210 PSD

T

T

T

Tkg D

I

p 10

T

Tkg D

p 211 T

Tkg D

p2

Číslicové regulátory

17

)(kTu

)2

()(T

tutuT

)2

(T

tu

)(tu

22

TT

t

kT0 T T2 T3 T4

Z průběhu vyplývá, že tvarovaná akční veličina uT(t) pro malou hodnotu

vzorkovací periody T může být nahrazena spojitou akční veličinou u(t) zpožděnou

o polovinu vzorkovací periody, tj. u(t – T/2) .

Číslicové regulátory

18

Náhradní blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem

)(sW

)(sGR

)(sV

sT

2e

)(sGS

)(sY

03.03.2021

7

Volba vzorkovací periody

19

Vzorkovací perioda T Proces

(10 ÷ 500) μs přesné řízení a modelování, elektrické systémy; energetické

systémy; přesné řídicí roboty

(0,5 ÷ 20) ms stabilizace výkonových systémů, letové simulátory, trenažéry

(10 ÷ 100) ms zpracování obrazů, virtuální realita, umělé vidění

(0,5 ÷ 1) s monitorování a řízení objektů; chemické procesy, elektrárny

(1 ÷ 3) s regulace průtoků

(1 ÷ 5) s regulace tlaku

(5 ÷ 10) s regulace hladiny

(10 ÷ 20) s regulace teploty

Pro volbu vzorkovací periody T neexistují jednoznačná pravidla a doporučení. Pro

orientační hrubou volbu lze použít následující doporučení.

Stabilita

strana 20

Stabilita (lineárního) regulačního obvodu je definována jako jeho schopnost

ustálit všechny veličiny na konečných hodnotách, pokud se vstupní veličiny

ustálí na konečných hodnotách. Vstupními veličinami u regulačního obvodu jsou

žádaná veličina w(t) a všechny poruchové veličiny, nejčastěji agregované do

jediné poruchové veličiny v(t).

Je zřejmé, že následující definice je ekvivalentní. Regulační obvod je stabilní,

když omezeným vstupům odpovídají omezené výstupy.

Z obou definic vyplývá, že stabilita je charakteristická vlastnost daného

regulačního obvodu, která nezávisí na konkrétních vstupech ani na konkrétních

výstupech.

Stabilita

strana 21

Vzhledem k tomu, že regulační obvod plně popisuje rovnice

)()()()()( sVsGsWsGsY vywy )()()()()( sVsGsWsGsE vewe nebo

je zřejmé, že stabilita musí být dána výrazem, který vystupuje ve všech

základních přenosech, tj. přenosu řízení Gwy(s) a přenosu poruchy Gvy(s)

nebo odchylkovém přenosu řízení Gwe(s) a odchylkovém přenosu poruchy

Gve(s). Ze vztahů pro základní přenosy vyplývá, že tímto výrazem je jejich

jmenovatel

)(

)(

)(

)()(

)(

)(1)(1)()(1

sN

sN

sN

sMsN

sN

sMsGsGsG

oo

oo

o

ooSR

kde je

Go(s) – přenos otevřeného (rozpojeného) regulačního obvodu (obecně je dán

součinem všech přenosů ve smyčce),

No(s) – charakteristický mnohočlen otevřeného regulačního obvodu

(mnohočlen ve jmenovateli přenosu otevřeného regulačního obvodu),

Mo(s) – mnohočlen v čitateli přenosu otevřeného regulačního obvodu.

03.03.2021

8

Stabilita

strana 22

Mnohočlen )()()( sMsNsN oo

se nazývá charakteristický mnohočlen regulačního obvodu a po jeho

přirovnání nule se obdrží charakteristická rovnice regulačního obvodu

0)( sN

nutnou a postačující podmínkou stability řešení lineární diferenciální rovnice

je, aby kořeny s1, s2,..., sn jejího charakteristického mnohočlenu (příp. její

charakteristické rovnice) měly zápornou reálnou část, tj.

)())(()( 2101 nnn

n ssssssaasasasN

nisi ,,2,1pro,0Re

Je tedy zřejmé, že podmínka zápornosti reálných částí kořenů

charakteristického mnohočlenu regulačního obvodu nebo ekvivalentně

kořenů charakteristické rovnice regulačního obvodu je nutnou a

postačující podmínkou (asymptotické) stability daného regulačního obvodu.

Stabilita

strana 23

Dále je třeba si uvědomit, že kořeny s1, s2,..., sn jsou současně póly všech

základních přenosů (tj. přenosu řízení a poruchy a odchylkových přenosů řízení

a poruchy, a tedy jsou to póly celého regulačního obvodu. Toto neplatí pro nuly

základních přenosů. Póly regulačního obvodu jsou pro dynamické vlastnosti

regulačního obvodu zásadní.

Re 0

Im s

Hurwitzovo kritérium stability

strana 24

Hurwitzovo kritérium stability je algebraické kritérium,

a proto není vhodné pro regulační obvody s dopravním

zpožděním (exponenciální funkce není algebraická).

Může však být použito pro přibližné ověření stability

v případě, že dopravní zpoždění se zastoupí jeho

aproximací ve tvaru racionální lomené funkce.

Aurel Stodola* 10. 5. 1859 Liptovský Mikuláš, Slovakia

+ 25. 12. 1942 Zürich, Switzerlandhttp://en.wikipedia.org/wiki/Aurel_Stodola

Adolf Hurwitz* 26. 3. 1859 Hildesheim, Germany

+ 18. 11. 1919 Zürich, Switzerlandhttp://en.wikipedia.org/wiki/Aurel_StodolaHurwitzovo kritérium stability může být

formulováno ve tvaru:

„Lineární regulační obvod s charakteristickým mnohočlenem

01)( asasasN nn

bude (asymptoticky) stabilní tehdy a jen tehdy, když:

a) všechny koeficienty a0, a1,..., an existují a jsou kladné

(je to nutná podmínka stability zformulována

slovenským technikem A. Stodolou),

03.03.2021

9

Hurwitzovo kritérium stability

strana 25

b) hlavní rohové minory (subdeterminanty) Hurwitzovy matice

H

n

nn

nn

n Haa

aaHaH ,,

2

31

2,11

jsou kladné.“

,

000

00

0

0

0

31

42

531

a

aa

aaa

aaa

nn

nnn

nnn

H

Hurwitzovo kritérium stability

strana 26

Protože platí H1 = an–1, Hn = a0Hn–1, stačí kontrolovat kladnost pouze H2,

H3, ..., Hn–1.

Nulovost některého z Hurwitzových subdeterminantů označuje mez

stability.

Tak např. bude-li a0 = 0, pak jeden pól je nulový (počátek souřadnic

v komplexní rovině s). Tento případ charakterizuje nekmitavou mez

stability.

Když Hn–1 = 0, pak dva póly jsou ryze imaginární (póly leží na imaginární

ose souměrně podle počátku souřadnic v komplexní rovině s). V tomto

případě jde o kmitavou mez stability.

Nyquistovo kritérium stability

strana 27

Nyquistovo kritérium stability je kmitočtové, a na rozdíl od

Hurwitzova kritéria vychází z vlastností otevřeného

regulačního obvodu a je vhodné i pro regulační obvody

s dopravním zpožděním. Může být dokonce rozšířeno i na

některé nelineární regulační obvody.

Harry Theodor Nyquist* 7. 2. 1889, Stora Kil, Sweden

+ 4. 4. 1976 Harligen, Texas, USAhttp://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Nyquist

G sR( )W s( )

GS( )sY s( )

V s( )

E s( )

y t( )

t

e t( )

t

Regulační obvod na kmitavé mezi stability

1)(j1)( koo GsG

03.03.2021

10

Nyquistovo kritérium stability

strana 28

Obrázek vyjadřuje tu skutečnost, že je-li lineární regulační obvod na

kmitavé mezi stability, pak amplitudofázová kmitočtová charakteristika

stabilního otevřeného regulačního obvodu prochází bodem –1 na záporné

reálné poloose. Bod –1 na záporné reálné poloose se nazývá kritický bod.

Re0

Im

ω =

q = 0

Go(jω)

ω = 0

-1

stabilnína mezi stability

nestabilní

kritický bod

Nyquistovo kritérium stability

strana 29

Nyní lze již zformulovat Nyquistovo kritérium stability:

„Lineární regulační obvod je (asymptoticky) stabilní tehdy a jen tehdy, když

amplitudofázová kmitočtová charakteristika stabilního otevřeného regulačního

obvodu Go(jω) pro 0 ≤ ω ≤ ∞ neobklopuje kritický bod –1 na záporné reálné

poloose.“

Integrační členy vystupující v hlavní a zpětnovazební větvi, tj. ve

smyčce, se z hlediska Nyquistova kritéria stability nepovažují za

nestabilní (jsou to v podstatě neutrální členy). Jejich počet se označuje

písmenem q a nazývá se stupeň astatismu regulačního obvodu (typ

regulačního obvodu). V tomto případě pro rozhodnutí o tom, zda

amplitudofázová kmitočtová charakteristika otevřeného regulačního obvodu

Go(jω) obklopuje či neobklopuje kritický bod –1, je třeba tuto charakteristiku

spojit s kladnou reálnou poloosou kružnicí o nekonečně velikém poloměru

(ukázáno čárkovaně),

Nyquistovo kritérium stability

strana 30

Re0

Im

ω =

Go(jω)

ω 0

-1

q = 2

q = 1

ω 0

Stabilní regulačníobvody

rr

r

Pokud amplitudofázová kmitočtová charakteristika otevřeného regulačního obvodu

Go(jω) má průběh ukázaný pro q = 2, pak jde o podmíněnou stabilitu, kdy jak

pokles, tak i vzrůst hodnoty Ao(ω) pro fázi –π může způsobit nestabilitu regulačního

obvodu.

03.03.2021

11

Typický příklad

31

232

223)(

234

3

ssss

sssGwy

Určete, zda regulační obvod popsaný přenosem řízení je stabilní

Nutné podmínky (Stodolovy podmínky) jsou splněny.

Hurwitzova matice:

3 1 0 0

2 1 2 0,

0 3 1 0

0 2 1 2

H

012312

13,3 21 HH

017)1820()003(

130

212

013

3 H

Systém je nestabilní.

Otázky?

32