Newtonovské a nenewtonovské kapaliny

Renata Holubová, PřF UP, Olomouc

Vnitřní tření

dSdtdy

dvdp dy

dv gradient rychlosti

Dynamická viskozita – míra odporu tečení

[] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s

Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1= 0.1 Pa s

Převrácená hodnota se nazývá tekutost:

= 1/Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv.

kinematická viskozita = /

tp dFdSdy

dv

dt

dp

ttp

p dS

dF

dy

dv

dS

dg

hustota toku hybnosti

tok hybnosti

jde o tečnou sílu mezi vrstvami vztaženou na jednotku plochy, což je tečné napětí t mezi vrstvami tekutiny.

Existence tečného napětí t je příčinou vnitřního tření tekutin.

Velikost vnitřního tření můžeme měřit silou F, které je zapotřebí, aby se deska plochy S pohybovala rovnoměrnou rychlostí v ve vzdálenosti z od klidné desky (stěny), je-li mezi nimi vyšetřovaná kapalina.

z

vSF Newtonův vzorec

S

F

dz

dvSF ,

určuje sílu připadající na jednotku plochy desky a udává tečné (tangenciální) napětí, které vzniká uvnitř tekutiny při jejím pohybu.

dz

dv ….tangenciální napětí je přímo úměrné rychlostnímu spádu v daném místě. Jednotkou je kg.m-1.s-1 = N.s.m-2 = Pa.s.

Viskózní kapalinyPři proudění reálných tekutin se sousední vrstvy

ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny.

Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:

dt

d

dydt

dxD

dy

dvx

Pro přesné pochopení fyzikálního významu viskozity uvažujme například válcovou nádobu s míchadlem a tento vztah ve tvaru :

Má-li se míchadlo točit stejnou rychlostí je pro viskóznější kapalinu potřeba většího momentu síly a tedy i výkonu motoru.

Chceme-li pro danou kapalinu zvýšit rychlost míchání je opět potřeba většího momentu síly.

dy

dv

dxdu

= . D

D je gradient rychlosti rovný časové změně deformace ve střihu

Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:

[Pa.s] [m2/s]

rtuť 1,5 .10-3 1,16 .10-7

benzín 2,9 .10-4 4,27.10-7

olej 0,26 2,79 .10-4

voda 1,005.10-3 0,804 .10-6

Viskozita :

- snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek)

- způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální.

Lze ukázat, že v (proudové) trubici kruhového průřezu je rozložení rychlosti v závislosti na vzdálenosti od osy parabolické.

Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0)

Na plášť působí síla způsobená třením okolních vrstev.

Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící, tedy síly působící na podstavy plus na plášť v rovnováze :

02)( 212

dy

dvlyppy

Výpočet objemu proteklé tekutiny potrubím při laminárním proudění

r

Směr pohybu tekutiny

F1 F2

Ft

2yp1 p2

Předpokládejme, že p1 > p2 a tedy kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x.

Znaménko + by znamenalo, že by třecí síla měla směr rychlosti.

Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.

Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě :

Po integraci :

dyyl

pdv

2

1

kyl

pyv

2

4

1)(

Uvažujeme-li trubici o poloměru r, obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 :

a celkově dostáváme parabolickou závislost :

2

4

1r

l

pk

)(4

1)( 22 yr

l

pyv

Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní:

Celkový průtok obdržíme integrací :

To je Hagen-Poiseuillova rovnice.

dyyyrl

pyydyvydQv )(

2

1)(2)( 22

l

prdyyyr

l

pQ

r

v

8)(

2

1 4

0

22

Rozložení rychlosti při laminárním proudění potrubím kruhového průřezu

)(4

1);( 22 yr

l

pryv

ryv(y)

vmax

)(4

1 2max r

l

pv

Elegantní měření- pád kuličky ve viskózní kapalině

grG 3

3

4

G

FVFS

Působící síly: tíha, vztlak, odpor

Koule nerovnoměrně zrychluje až do vyrovnání působících sil: GFF SV

grFV 03

3

4

rvFS 6

4

8r

l

pQ

Poiseuilleův (Hagenův) zákon

rvF 6 Stokesův zákon pro kouli

23 )(9

2,)(

3

46 r

v

ggrrv k

mkm

padající kulička v tekutině

Viskozimetry :

a)absolutní měření – z Poiseuilleova zákona, měříme všechny ostatní veličiny

b) relativní měření – srovnání s kapalinou, jejíž dyn.viskozita je známa – Ostwaldův viskozimetr

Hopplerův viskozimetr Englerův viskozimetr

Stokesův zákon:Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje

malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla

F = 6rvKulička o hustotě bude po ustálení rovnováhy

padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt :

)(9

20

2

gr

vt

Laminární prouděníbrzdící síla je úměrná rychlosti

rychlost je úměrná r2

střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu

Za mezí Stokesova zákona :Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2

Cd je parametr, který závisí na tvaru

Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se používá tzv. Reynoldsovo číslo. pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí vpro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici

o poloměru r platí :

Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní(ve jmenovateli posledního výrazu je řecké (ný), tedy kinematická viskozita!)

vrvr

R

Základy reologie

Reologie se zabývá deformacemi látek za reálných podmínek

Tyto deformace mohou být obecně velmi komplikované a záviset na mnoha faktorech. Proto je reologie velice rozsáhlá a otevřená oblast výzkumu.

Zde uvedeme příklad chování některých ne-Newtonovslých kapalin a visko-elastického chování.

Ideálně může být deformace

elastická – při ní se těleso po odstranění napětí vrátí do původního stavu a nedochází ke ztrátám energie – modelujeme pružinou

plastická – po odstranění napětí zůstává trvalá deformace a dochází ke ztrátám energie – modelujeme tělesem, které táhneme se třením

viskózní tečení – trvalá deformace je velká – modelujeme nádobou s perforovaným pístem

Reálné deformace jsou zpravidla jejich kombinací

neNewtonovské kapaliny – vliv proudění

Klid Proudění

Změna orientace

Napřímení

Deformace

Rozmělnění

Typy ne-Newtonovských kapalin Pseudoplastické - viskozita klesá s rostoucím gradientem

rychlosti Dilatantní - viskozita roste s rostoucím gradientem rychlosti Binghamské – k toku dochází po překročení určitého

smykového napětí

Newtonovská

dv/dx

τ

Tokové křivky

Zdánlivá viskozita může záviset také na době namáhání. Tokové křivky mají potom hysterezní chování. Příkladem jsou látky:

-tixotropní – u nichž viskozita s časem klesá (nátěrové hmoty, laky se po delším působení štětce snáze roztírají a po skončení roztírání nestékají)

- reopektické – u nichž viskozita s časem roste

Základní typy nenewtonských kapalin jsou:

a)Pseudoplastické kapaliny, jejichž zdánlivá viskozita se s rostoucím gradientem rychlosti zmenšuje. Jsou to např. roztoky a taveniny polymerů, roztoky mýdel a detergentů, některé suspenze ap. Z technického hlediska je pseudoplasticita zpravidla vítanou vlastností, poněvadž snižuje energetickou náročnost při míchání, toku kapalin potrubím apod.

b) Viskoelastické tekutiny – tečou, ale zároveň si do určité míry „pamatují“ tvar a po odstranění napětí se částečně vrátí do původního tvaru

Dilatantní kapaliny, jejichž zdánlivá viskozita roste s rostoucím gradientem rychlosti. Toto chování je poměrně řídké a bylo pozorováno v některých vysoce koncentrovaných suspenzích (např. v PVC plastisolech). Poněvadž zpravidla komplikuje technologické procesy je žádoucí dilataci pokud možno potlačit

Binghamské kapaliny, tj. kapaliny s plastickou složkou deformace u nichž dochází k toku až po překročení určitého prahového smykového napětí (suspenze křídy, vápna, odpadní kaly)

Vlastnosti dilatantních kapalin:• Pokud se suspenze deformuje pomalu, neklade téměř žádný odpor, při rychlé deformaci se však chová téměř jako pevná látka. Velký rozdíl je tak vidět např. při pomalém/rychlém ponoření ruky nebo při pomalém/rychlém průchodu tyčky kapalinou. Stejná vlastnost dovoluje z této kapaliny vytvořit v dlaních kouli apod. • Jsou-li suspenze vylity na reproduktor připojený k zesilovači a tónovému generátoru, začnou se při frekvenci 20 – 80 Hz deformovat, vytvářet zajímavé útvary a mají snahu z reproduktoru uniknout. Při vypnutí generátoru se suspenze rozteče zpět na původní kapalinu.• Weissenbergův efekt: Při míchání newtonovské kapaliny (např. vody) vznikne kolem míchačky povrchová prohlubeň. Při míchání nenewtonovské kapaliny leze naopak kapalina vzhůru po tyčce. Konkrétní pokus byl prováděn s gluepem a dřevěnou tyčkou roztáčenou vrtačkou, směs vystoupala do výšky 8 cm.

Suspenze škrobu

Příklady praktického života:Variabilní orgánový průtok

Nutnost regulace spotřeby kyslíku jednotlivými orgány v různých situacích

Jaký je princip regulace krevního průtoku orgány ??

Analogie elektrickým proudem

Ohmův zákon I = U/R

Q = ∆P/R

Průtok krve [ ml.s-1]Rozdíl tlaků na

začátku a na konci cévy

Periferní odpor [Pa.ml-1]

Poiseullův – Hagenův zákon

Q = ∆P. πr4 / 8ηl

Poloměr průsvitu cévy Viskozita Délka cévy

Tedy…

Q = ∆P/R Q = ∆P. πr4 / 8ηl

∆P/R = ∆P. πr4 / 8ηl

R = 8 .η .l / π .r4

…a tedy

R = 8 .η .l / π .r4

…a tedy

R = 8 .η .l / π .r4

Organismus uskutečňuje změnu průtoku krve orgány prostřednictvím změny průřezu cévy

Co z toho plyne…

Čím menší průřez cévy, tím větší odpor

Čím větší odpor, tím menší průtok

( p = konst.)

I malá změna průřezu způsobí velkou

změnu v odporu -> v průtoku

R = 8 .η .l / π .r4

Q = ∆P/R

Viskozita

Definována jako odpor kapaliny kladený síle, která se ji snaží rozpohybovat

Závisí na hematokrytu

Charakteristika toku krve

1) Laminární proudění – směr toku všech vrstev krve v cévě je rovnoběžný s dlouhou osou cévy

cévakrev

2) Turbulentní proudění – krev proudí cévou ve

směrech, které svírají s dlouhou osou cévy různé úhly včetně pravého

Obrázek z ultrasonografického vyšetření a. carotis interna. Zde významná stenóza 70%. Barevný a dopplerovský mód.

Důsledky turbulentního proudění

Vznik vírů změny tokových charakteristik (odpor kladený krevnímu toku je zvětšen o tzv. rigidní odpor)

riziko poškození cévní stěny

Turbulentní proudění je hlučné – způsobuje šelesty

I turbulentní proudění je v některých případech fyziologické - konkrétně v aortě

Reynoldsovo číslo

Re = r. v. ρ / η

poloměr cévy rychlost proudění

specifická hmotnost krve

viskozita

Je-li Re > 200, objevují se ojedinělé turbulence.Při Re > 1000 je proudění plně turbulentní

Dynamika krevního oběhu

Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic).

Krev v aortě : <v> = 0.3 ms-1

r = 0.01 m = 1060 kg m-3

= 3.3 10-3 Pa s R 970 proudění je těsně ještě laminární.

Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřezvlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty

62

Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci :

aorta plicniceSystola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPaDiastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa

Práce srdce bývá vyjadřována jako součet statické – objemové dodávající tlakovou energiikinetické – dodávající kinetickou energii

odpovídající příslušné střední rychlosti :

Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je Wo= 0.93 J a Wk= 0.003 J, tedy W = 0.94 J

VvVpWWW ko 221

Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J.

Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W.

Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.

Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu.

Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je :3 s výkonu Chvaletické elektrárnyVyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest

Shrnutí Hlavním principem regulace průtoku krve je

změna odporu řečiště Odpor klesá se 4.mocninou poloměru cévy 2 typy proudění – laminární

– turbulentní Ve většině případů jsou turbulence patologií

Inteligentní plastelína

Materiál s těmito vlastnostmi se označuje jako viskoelastická tekutina. Při působení malé síly po dlouhou dobu se chová viskózně – teče, deformuje se, vzdáleně připomíná med. Při větší síle nebo krátkém impulsu je elastický – pružný jako pryž; a když to dojde do extrému, chová se jako pevné těleso.

Základní látkou, ze které byla Inteligentní plastelína vytvořena, je polydimethlylsiloxan (PDMS). Je to organický silikonový polymer, známý právě svými viskoelastickými vlastnostmi. Při chemické analýze bychom v plastelíně našli ještě oxid křemičitý, látku Thixotrol a v menším množství další chemické sloučeniny.

Historie této plastelíny sahá do doby druhé světové války, kdy se vědci snažili vynalézt syntetickou náhradu kaučuku. I když se jim to nepodařilo, výsledkem byla látka s velmi zvláštními vlastnostmi. Byla pružnější než guma, zároveň se ale chovala trochu jako tekutina.

Na počátku vzniku nového materiálu byla náhoda. Chemik James Wright z General Electric hledal materiál, který by nahradil přírodní kaučuk, a smíchal kyselinu boritou se silikonovým olejem. Výsledná látka měla zajímavé vlastnosti, ale General Electric pro ni nenašel žádné využití. V roce 1949 ale Peter Hogson pochopil, jaké má nový materiál marketingové možnosti. Půjčil si 147 dolarů, koupil od General Electric práva na výrobu a na světě byla předchůdkyně inteligentní plastelíny Silly Puppy. Některé prameny dávají největší zásluhy doktorovi Earlu Warrickovi. Ten také během druhé světové války hledal náhradu kaučuku, a protože vsadil na silikonový základ, výsledek byl podobný.

Literatura

Brdička, M., Samek, L. , Sopko, B.: Mechanika kontinua,Academia, 2000

Janalík, Jaroslav: Viskozita tekutin a její měření. VŠBTU, fakulta strojní Ostrava, 2010

Havránek, A.: Reologie a její aplikace na biolátky

http://noveltrends4.ft.utb.cz/programme.html

Springer handbook of experimental fluid mechanics, Cameron Tropea, Alexander L. Yarin, John F. Foss, Publisher: Springer, 9 October 2007, ISBN 3540251413, ISBN 978-3540251415, p.676

Springer handbook of experimental fluid mechanics, Cameron Tropea, Alexander L. Yarin, John F. Foss, Publisher: Springer, 9 October 2007, ISBN 3540251413, ISBN 978-3540251415, p.661.

Rheology of Fluid and Semisolid Foods: Principles and Applications, M. A. Rao, Publisher: Springer, 2nd edition, 28 August 2007, ISBN 0387709290, ISBN 978-0387709291, p.8.

http://fyzmatik.pise.cz/766-inteligentni-plastelina.html

http://pravdu.cz/zabavna-fyzika/chuze-po-vode-zahada-nebo-zabava