Mechanika – Newtonovy zákony, otáčivý pohyb, zákony zachování. Rychlost, zrychlení, hybnost, síla. Kinematika a dynamika hmotných bodů a tuhého tělesa. Pohybová rovnice a její řešení. Otáčivý pohyb (momenty sil, hybností, moment setrvačnosti). Práce a energie. Mechanické zákony zachování.

Mechanika se zabývá studiem mechanického pohybu látky, tj. přemísťováním

v prostoru a čase.

Mechaniku dělíme na kinematiku, ta se zabývá pouze geometrickým a časovým

popisem pohybu, a dynamiku – která zkoumá širší souvislosti a příčiny tohoto pohybu.

Hmotný bod – bod u kterého můžeme zanedbat jeho rozměry a nemusíme u nich

uvažovat otáčivý pohyb.

Tuhé těleso – je těleso, které je odolné vůči silovému působení a nedeformuje se.

Kinematika hmotného bodu

Poloha hmotného bodu se určuje obvykle pomocí pravotočivého pravoúhlého

souřadnicového systému který je pevně vázán k tělesu, jež považujeme za nepohyblivé.

Vektor, jehož počátek je v počátku souřadnicového systému, a koncový bod je totožný

s hmotným bodem, jehož pohyb vyšetřujeme, nazýváme polohový vektor (radiusvektor).

velikost (modul)

Funkční závislost polohového vektoru hmotného bodu na čase

Pohyb hmotného bodu je zcela urče, zná-li časové závislosti tří souřadnic x,y,z.

Hmotný bod má tři stupně volnosti (s omezením klesá počet stupňů volnosti, např.. na

ploše pouze dva).

Trajektorie a dráha pohybu hmotného bodu

Množina všech poloh, jimiž hmotný bod během pohybu prochází, definuje trajektorii

pohybu. Trajektorie je spojitá křivka, jejíž parametrické vyjádření je: x = x (t), y = y (t), z =

z (t). Vytkneme-li na trajektorii úsek délky s mezi body A1,A2, jejichž polohové vektory jsou

r1,r2, platí v případě křivočarého pohybu

kde

Rychlost hmotného bodu

Rychlost pohybu [m.s-1] je definována jako derivace polohového vektoru podle času dt.

Vzhledem k definici derivace ji můžeme vyjádřit

Rychlost je vektorová veličina. Její směr je dán směrem vektorového elementu dráhy . Je

tedy tečný k trajektorii

Výraz

vyjadřuje velikost rychlosti a je jednotkový tečný vektor k trajektorii pohybu hmotného

bodu, tj. jednoatomový vektor směru pohybu. Rychlost potom můžeme vyjádřit

Zrychlení hmotného bodu Veličina, která vyjadřuje časovou změnu rychlosti, je zrychlení a [m.s-2]. Urazí-li hmotný bod

elementární dráhu , změní se jeho rychlost o elementární přírůstek , který zjistíme

posunutím vektoru a neotrou do společného počátku.

Zrychlení pohybu je vektorová veličina definovaná derivací rychlosti podle času

pomocí polohového vektoru bude zrychlení rovno

Rozklad zrychlení na tečnou a normálovou složku

- tečné zrychlení

- normálové zrychlení

Zrychlení pohybu hmotného bodu lze vyjádřit ve složkách

kde tečná složka vyjadřuje časovou změnu velikosti rychlosti ve směru pohybu a složka

normálová charakterizuje zakřivení trajektorie a směřuje do středu křivosti trajektorie.

Některé zvláštní případy pohybu hmotného bodu

a) Pohyb rovnoměrný přímočarý

v = konst.

b) Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený a zpomalený

a = konst.

c) Pohyb hmotného bodu po kružnici

R můžeme charakterizovat úhlovou rychlostí

[rad.s-1]

Vztah mezi úhlovou rychlostí a rychlostí hmotného bodu je

úhlové zrychlení je:

Dynamika hmotného bodu

Newtonovy pohybové zákony

První pohybový zákon – zákon setrvačnosti

Každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není

přinuceno tento stav změnit působením jiného tělesa.

První zákon platí v inerciálních soustavách, a systémy v nichž neplatí jsou

neinerciální.

Druhý pohybový zákon – zákon síly

Zrychlení pohybu tělesa (hmotného bodu) je přímo úměrné působící síle a nepřímo

úměrné jeho hmotnosti.

[kg] , F [N = kg m s-2]

hybnost hmotného bodu – dosadíme-li za zrychlení derivaci rychlosti

[kg m s-1]

pro m=konst. můžeme sílu vyjádřit jako

Tj. časová změna hybnosti hmotného bodu (derivace hybnosti podle času) je rovna síle,

která na hmotný bod působí. Tato formulace platí i v případě, že hmotnost závisí na rychlosti

(tj. pro rychlost, která není zanedbatelná vzhledem k rychlosti světla c)

Třetí pohybový zákon – zákon akce a reakce

Působí-li jedno těleso na druhé silou F, působí druhé na první silou F´ , která je stejně

velká a má opačný směr,

Obě síly součastně vznikají a součastně zanikají.

Všechny tři Newtonovy pohybové zákony platí pouze v inerciální soustavě.

Pohybová rovnice

Druhý Newtonův pohybový zákon

Představuje diferenciální rovnici druhého řádu

Jejíž integrací stanovíme závislost rychlosti a polohy na čase.

Pohybová rovnice je vektorová diferenciální rovnice, kterou můžeme v kartézském

souřadnicovém systému rozepsat do tří diferenciálních rovnic složkových

Při sestavování pohybové rovnice musíme do síly F, která je výslednicí vnějších sil,

zahrnout všechny vnější síly působící na hmotný bod. Při integraci této diferenciální rovnice

druhého řádu se uplatní dvě integrační konstanty, které vyjadřují tzv. počáteční podmínky,

dané polohou r0 a rychlostí v0 v čase t0. Vztahují se k inerciálnímu systému a jsou vyjádřením

toho, že všechna místa a všechny inerciální systémy jsou rovnoprávné a že žádnými

mechanickými experimenty nelze ve vesmíru určit absolutní počátek ani rychlost. Pohybová

rovnice a počáteční podmínky umožní, za předpokladu znalosti sil, jednoznačně nalézt polohu

tělesa kdykoliv v minulosti, přítomnosti i budoucnosti nebo naopak z časové závislosti polohy

přesně určit silová působení.

Práce a energiePůsobí-li na hmotný bod síla F, je elementární práce dA této síly po elementární trajektorii dr definována vztahem

[J]práce A, kterou vykoná síla F po trajektorii mezi body K a L (viz obrázek) je dráhovým integrálem síly po trajektorii

Mechanická energie W, ta charakterizuje stav soustavy tím, že její úbytek se projeví

prací A vykonanou vnitřními silami soustavy a její přírůstek je způsoben prací vnějších sil A´,

působících na soustavu. Platí:

Kinetická energie

Hmotný bod se pohybuje po trajektorii C, která leží ve vodorovné rovině. Působí-li na

těleso síla F, jejíž tečná složka F je souhlasně orientovaná s okamžitou rychlostí v, uděluje

mu tečné zrychlení a, takže se zvyšuje velikost rychlosti hmotného bodu.

Práce A, kterou tato tečná složka vykoná je:

Kinetická energie vyjadřuje pohybový stav hmotného bodu při rychlosti v, náleží tedy

do kategorie stavových veličin

Kinetickou energii hmotného bodu Wk můžeme tedy definovat jako práci, kterou je

schopna vykonat jeho setrvačná síla, převede-li pohyb o rychlosti velikosti v do klidu.

Potenciální energie v   homogenním tíhovém poli

Vypočtěme práci, kterou vykoná síla F působící v homogenním tíhovém poli proti

tíhové síle G (F = - G), posunutím hmotného bodu z bodu K do bodu L po křivce:

Práce tedy závisí

pouze na vzdálenosti horizontálních rovin bodů K a L a nezávisí na tvaru trajektorie mezi

body K a L.

Práce, vykonaná silou F na přenesení hmotného bodu v homogenním tíhovém poli po

uzavřené trajektorii, je nulová. Nezmění se ani stav tělesa, ani stav okolí. Síly s touto

vlastností se nazývají konzervativní. Pro konzervativní sílu F můžeme definovat potenciální

energii Wp obecně jako práci, kterou vykoná síla –F působící proti konzervativní síle, po

trajektorii ze vztažného bodu B s nulovou potenciální energii, do bodu, v němž potenciální

energii určujeme

Zákon zachování mechanické energie v homogenním tíhovém poli

Součet kinetické a potenciální energie se při pohybu v homogenním tíhovém poli

nemění. Platí pouze v případě, kdy lze všechny ostatní formy energie zanedbat.

Zákon zachování mechanické energie je speciálním případem zákona zachování

energie: při přeměně jedné formy pohybu v jinou se celková kvantita, charakterizovaná

energií, nemění. Zákon zachování energie je jedním z nejobecnějších fyzikálních zákonů a

souvisí s homogenitou času.

Dynamika soustavy hmotných bodů

Celková hmotnost soustavy je

Každý hmotný bod, který se může pohybovat volně v prostoru, má tři stupně volnosti.

Obsahuje-li soustava n volných bodů potřebujeme k jejímu popisu 3n rovnic. K úplnému

popisu dynamického stavu soustavy potřebujeme dalších 3n rovnic, určujících hybnosti, nebo

rychlosti.

Vektor celkové hybnosti soustavy je dán vektorovým součtem hybností všech bodů

soustavy

Vyskytují-li se v soustavě hmotných bodů omezující podmínky, tzv. vazby, je počet

stupňů volnosti menší.

První věta impulsová

Síly, které mohou působit na hmotné body soustavy , jsou dvojího typu:

a) síly vnější, jimiž působí hmotné objekty mimo soustavu na hmotné objekty soustavy

b) síly vnitřní, kterými jednotlivé hmotné body soustavy působí na sebe navzájem

Výslednicí vnějších sil, která působí na i-tý hmotný bod označujeme Fi a Fik nechť je

vnitřní síla, kterou působí k-tý bod soustavy na bod i-tý. Je zřejmé, že podle zákona akce a

reakce platí

Pohybová rovnice celé soustavy je

nebo

Což je matematická formulace první věty impulsové, která říká, že časová změna

(derivace podle času) celkové hybnosti soustavy hmotných bodl je rovna výslednici vnějších

sil působících na soustavu.

Celková hybnost izolované soustavy je tedy konstantní vektor- zákon zachování

hybnosti izolované soustavy p = konst.

Moment síly a moment hybnosti

Hmotný bod m je otáčivě spojen s pevným bodem O. Pevnost otáčivého spoje mezi

nimi přestavuje dostředivou sílu.

Působili na hmotný bod síla F, změní se pohyb na nerovnoměrný, což nelze popsat

pohybovou rovnicí. Působení síly na bod m v takové soustavě vyjadřuje tzv. moment síly M

vzhledem k bodu O.

Velikost vektoru momentu síly M je definována součinem velikosti síly F a vzdálenosti

q, což je rameno síly F.

[N m]

Velikost momentu můžeme také vyjádřit pomoc vzorce

tedy

Moment síly je tedy vektor kolmý na rovinu vektorů r a F. Jeho směr je totožný se

směrem osy jdoucí bodem kolmo k rovině určené vektory r a F.

Je zřejmé, že pro = 0° je moment síly nulový a pro = 90° je maximální.

Moment hybnosti -

Druhá věta impulsová

Moment hybnosti i-tého hmotného bodu a moment síly Fi vzhledem k momentovému

bodu O udávají

kde ri je radiusvektor bodu o hmotnosti mi vzhledem k momentovému bodu O, vi je rychlost

bodu o hmotnosti mi a pi je hybnost bodu o hmotnosti mi

Výsledný moment hybnosti a moment síly:

Dynamika tuhého tělesa

Rozdělíme těleso na dostatečně malé elementy, jež lze se zvolenou přesností považovat

za hmotné body. Je-li objem elementárního tělesa dV, pak jeho hmotnost je

Celková hmotnost tělesa m je pak rovna součtu hmotností všech elementů, který

v limitním případě přechází v integrál přes celý objem tělesa V

Translace a rotace tuhého tělesa

Pohyb tuhého tělesa je složitější než pohyb hmotného bodu, protože se může při přemisťování

také otáčet. Rozeznáváme dva základní typy pohybu tuhého tělesa, translaci a rotaci.

Translace (posuvný pohyb) je takový pohyb, při němž libovolná přímka pevně spojená

s tělesem zachovává v prostoru stále svůj směr. Dráhy všech bodů mají stejný tvar a

v libovolném okamžiku se všechny elementární hmotné body tělesa pohybují touž okamžitou

rychlostí.

Rotace tělesa je takový pohyb, při němž zůstává v klidu buď jediná přímka v tělese –

rotace kolem pevné osy. Nebo se poloha přímky, která zůstává v klidu, časově mění – rotace

kolem okamžité osy.

Při rotaci kolem pevné osy zůstávají body tělesa ležící na ose rotace v klidu, každý jiný bod

tělesa opisuje kružnici, která leží v rovině proložené uvažovaným bodem kolmo na osu rotace

a jejíž střed leží na ose rotace. Všechny body tělesa konají tedy kruhový pohyb a mají

úhlovou rychlost

Vektor úhlového zrychlení je definován

Kinetická energie tělesa rotujícího kolem pevné osy – moment setrvačnosti

Kinetická energie soustavy n hmotných bodů, které rotují kolem společné pevné osy

stejnou úhlovou rychlostí, je dána součtem kinetických energií jednotlivých hmotných bodů

Veličina [kg m2]

se nazývá moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů k dané ose.

Moment setrvačnosti závisí na poloze rotační osy vzhledem k tělesu a na rozložení

hmotnosti v tělese. Čím dále od osy rotace je hmotnost rozložena, tím větší je moment

setrvačnosti. Pro všechny rovnoběžné osy je nejmenší moment setrvačnosti k té ose, která

prochází těžištěm tělesa.

Kinetická energie tělesa rotujícího kolem pevné osy je tedy

Rovnováha tuhého tělesa

1) Stabilní rovnováha – při vychýlení tělesa ze stabilní rovnovážné polohy vzniká

moment vnějších sil, který se snaží těleso vrátit do původní rovnovážné polohy.

(kulička v jamce, či kostka na rovné podložce)

2) Labilní rovnováha – při vychýlení z labilní rovnovážné polohy se vytvoří moment

vnějších sil, který se snaží těleso dále vychylovat z rovnovážné polohy.(kulička na

kopečku, kostka na hraně)

3) Indiferentní rovnováha – po vychýlení tělesa z idiferentní rovnovážné polohy zůstávají

splněny podmínky rovnováhy, takže těleso je v rovnováze i v nové poloze (koule na

rovné podložce)

Třecí síla

kde je jednotkový vektor ve směru okamžité rychlosti.

při zrychleném pohybu je

Při zpomaleném pohybu platí