Rozpadový zákon

Radioaktivní uhlík 11C se rozpadá s poločasem rozpadu T=20 minut.

Jaká část radioaktivního uhlíku zůstane z původního množství po uplynutí času t=2 hodin?

Jaká část radioaktivního uhlíku zůstane z původního množství po uplynutí t=45 minut?

Po uplynutí jaké doby zbyde 1/10 původního množství radioaktivního uhlíku?

Pravidla logaritmování

532)10log()10log()10.10log(

lnln.ln3232

axax

010log1log110log10log310log

lnexpexplnln013

ln

xx exxxe

xxxx

xaxa

lnln.1ln1

ln

110log1,0log

41.410log410log

lnln

1

1

4

baba

baba

xx

xxx.

.

Rozpadový zákonPravděpodobnost rozpadu kteréhokoliv atomu je nezávislá na ostatních atomech

tNtNttNtN exp0

N(t)… počet jader přeměněných za krátký čas t mezi časy t,t+t

N(t)… počet nerozpadlých jader v čase t

… přeměnová konstanta t

0 1 2 3 4 5

n(t)

/n0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

N(t

)/N

0

Poločas rozpadu T

TT

2ln2

1ln

T

t

T

t

NNtT

NtN

2

12lnexp

2lnexp 000

tNtNttNtN exp0

Poločas rozpadu T udává čas, za který se rozpadne polovina radioaktivních jader

2

0NTN TNTN exp0

TTTNN

2

1lnexp

2

1exp

2 00

Poločas rozpadu TPoločas rozpadu T udává čas, za který se rozpadne polovina radioaktivních jader

Col 1 vs Col 2

t0.T 1.T 2.T 3.T 4.T 5.T

n(t)

/n0

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

T

t

NtN

2

10

N(t

)/N

0

Rozpadový zákon

Radioaktivní uhlík 11C se rozpadá s poločasem rozpadu T=20 minut.

Jaká část radioaktivního uhlíku zůstane z původního množství po uplynutí času t=2 hodin?

00

6

0 %6,1642

1hod2min20.6hod2 N

NNN

%6,164

1

2

1

2

1

2

1

2

1

6

min20

min120

00

T

t

T

t

N

tNNtN

Rozpadový zákon

Radioaktivní uhlík 11C se rozpadá s poločasem rozpadu T=20 minut.

Jaká část radioaktivního uhlíku zůstane z původního množství po uplynutí t=45 minut?

%2121,02

1

2

1

2

1

2

1

25,2

min20

min45

00

T

t

T

t

N

tNNtN

Rozpadový zákon

Radioaktivní uhlík 11C se rozpadá s poločasem rozpadu T=20 minut.

Po uplynutí jaké doby zbyde 1/10 původního množství radioaktivního uhlíku?

T

t

T

t

N

tNNtN

2

1

2

1

00

minmin 4,66693,0

30,2.20

2

1ln

10

1ln

10

1ln.

2

1ln

Tt

T

t

10

1

Rozpadový zákonJaký je poločas rozpadu radioaktivní látky,

jestliže se za 12 dní rozpadne 80% materiálu?

Pozor, rozpadový zákon udává exponenciální úbytek radioaktivního materiálu, tj. nerozpadlého množství !

T

t

N

tN

N

tNNtN

T

t

T

t

2

1lnln

2

1

2

1

000

dní17,52,0ln

693,0dní12

ln

2ln

ln

21

ln

00

NtN

t

NtN

tT

80 % se rozpadne 20 % se nerozpadne !

Aktivita látkyAktivita látky A(t) udává počet přeměn za jednotku času

T

AtAtAT

t

2ln;

2

1exp 00

Aktivita klesá s časem stejně jako množství radioaktivního materiálu

tNt

tNtAttNtn

Aktivita je přímo úměrná počtu radioaktivních jader

[A] = Bq, 1 Bq = 1 přeměna za sekundu

1 Ci = 3,7.1010 Bq

Látkové množstvíKolik atomů obsahuje 5 mg uhlíku 11C ?

1 mol ≡ 6,022.1023 částic= NA částic

1 mol 12C … 12 g 1 mol AX ≈ A g

≈ 2Z g pro lehké atomy s výjimkou 1H

1 mol 11C ≈ 11 g

5 mg 11C ≈ mol ≈ NA částic =11

10.5 3

11

10.5 3

20233

10.74,210.022,6.11

10.5

M

mNN

M

mnnNN A

A ;

Látkové množstvíKolik atomů obsahuje 5 mg uhlíku 11C ?

M

mNN

M

mnnNN A

A ;

N ... počet částic

n ... látkové množství [mol]

NA… Avogadrova konstanta [mol-1]

m … hmotnost vzorku [kg, g]

M … molární hmotnost [kg/mol, g/mol]

{M} v g/mol ≈ A ... nukleonové číslo

Pokud dosadíme molární hmotnost A v gramech, musíme i hmotnost m dosadit v gramech ! Jednotka se v podílu vykrátí.

1

1233

11

10.022,6.10.5

g.mol

mol g

Látkové množstvíKolik atomů 238U obsahuje 1 mg čistého uranu?

M

mNN

M

mnnNN A

A ;

181

1233

10.53,2238

10.022,6.10.1

g.molmol g

částic

Kolik gramů 238U obsahuje 1020 atomů?

gmol

g.mol04,0

10.023,6

238.10123

120

AN

NMm

Aktivita látkyJaká je aktivita 1g rádia 226Ra o poločasu rozpadu 1600 roků?

00 NAtNtA

1 rok = 3,16.107 s (≈.107 s)

T

2ln

M

mNN A0

CiBqs

molgmol g

s

110.7,310.7,3

.226

10.022,6.1

10.16,3.1600

693,02ln

10110

1

123

70

M

mN

TA A

Aktivita látkyJaká je aktivita 30 mg metastabilního technecia 99Tc*, které přechází do základního stavu 99Tc s poločasem rozpadu 6,01 hod?

00 NAtNtA T

2ln

M

mNN A0

Ci10.58,1Ci10.7,3

10.84,5Bq10.84,5

mol.g99

mol10.022,6. g10.30

s3600.01,6

693,02ln

510

1515

1

1233

0

M

mN

TA A

TcTc * 9943

9943

Absorpční zákonVychází z předpokladu, že útlum (podíl pohlcených částic) na jednotku délky závisí pouze na materiálu absorbéru a druhu záření

d

x

IxIxI

2

1exp 00

Zanedbává závislost útlumu na energii částiceNepodstatné, pokud se částice pohltí během několika srážek

Nezanedbatelné, částice během absorpce výrazně mění energii – pohlcování těžkých částic

... lineární koeficient útlumu (absorpční koeficient)

d... polotloušťka (polovrstva)

2ln

d

Lineární součinitel zeslabení Absorpce záření

[cm-1] d1/2 [mm] E

[MeV] Pb Z=82

Fe Z=26

Al Z=13

Pb Z=82

Fe Z=26

Al Z=13

0,15 24,4 1,58 0,362 0,28 4,39 19,15 0,175 15,4 1,27 0,336 0,45 5,46 20,63 0,2 11,8 1,13 0,323 0,59 6,13 21,46 0,25 6,58 0,94 0,296 1,05 7,37 23,42 0,3 4,76 0,85 0,278 1,46 8,15 24,93 0,5 1,72 0,66 0,228 4,03 10,50 30,40 1,0 0,79 0,47 0,166 8,77 14,75 41,76 2,0 0,51 0,33 0,117 13,59 21,00 59,24 5,0 0,49 0,25 0,075 14,15 27,73 92,42 10,0 0,60 0,23 0,062 11,55 30,14 111,8

2ln

2/1 d

Absorpční zákonOlověná stěna o síle 5 mm zeslabí intenzitu dopadajícího záření na 1/3.

Jak silná stěna zeslabí intenzitu záření na ½ (tj. jaká je polovrstva olova)?

Jaká část záření projde olověnou stěnou o síle 10 mm?

Absorpční zákonOlověná stěna o síle 5 mm zeslabí intenzitu dopadajícího záření na 1/3.

Jak silná stěna zeslabí intenzitu záření na ½ (tj. jaká je polovrstva olova)?

3

1ln.

2

1ln

32

1 00

d

xIIxI

d

x

mmmm 15,3099,1

693,05

3ln

2ln

3

1ln

2

1ln

xxd

Absorpční zákonOlověná stěna o síle 5 mm zeslabí intenzitu dopadajícího záření na 1/3.

Jaká část záření projde olověnou stěnou o síle 10 mm?

%119

1

3

1.

3

110

3

15 ... mm ... mm

11,0

2

1

2

1

2

1

2

117,3

15,3

10

00

mm

mm

d

x

d

x

I

xIIxI

Absorpční zákonJaká je intenzita zdroje RTG záření, jestliže

intenzita svazku prošlého třícentimetrovou vrstvou absorpčního materiálu o tloušťce polovrstvy 5 mm je 2,3 kBq?

kBqkBq

kBq cm

cm

2,1472.3,2

2.3,222

1/

6

5,0

3

0

d

xd

x

xIxII

Poměr intenzity dopadajícíhoa prošlého záření je dán vztahemkde v tomto případě x=3 cm, d=5 mm=0,5 cm a prošlá intenzita I(x)=2,3.103 Bq.

Hledaná intenzita zdroje I0 je rovna

d

x

IxI

2

10

Absorpční zákonPři použití jiného absorpčního materiálu

zeslabí čtyřmilimetrová vrstva tohoto materiálu záření na 1/100. Jaká je polovrstva tohoto absorpčního materiálu?

Hledáme polovrstvu d d

x

d

x

I

xIIxI

2

1

2

1

00

mmmmmm 6,0605,4

693,04

01,0ln

5,0ln4

ln

2

1ln

2

1lnln

0

0

I

xIxd

d

x

I

xI