Newtonův gravitační zákonpohyb rakety v nehomogenním

gravitačním poli Země a Měsíce

2/45

O čem to bude● ukážeme si rovnici platnou pro pohyb rakety

s proměnnou hmotností (Ciolkovského rovnice)

3/45

O čem to bude● ukážeme si rovnici platnou pro pohyb rakety

s proměnnou hmotností (Ciolkovského rovnice)● ukážeme si aplikaci potenciální gravitační

energie (gravitačního potenciálu)

4/45

O čem to bude● ukážeme si rovnici platnou pro pohyb rakety

s proměnnou hmotností (Ciolkovského rovnice)● ukážeme si aplikaci potenciální gravitační

energie (gravitačního potenciálu)● uhádneme rychlost rakety podle zadání

5/45

O čem to bude● ukážeme si rovnici platnou pro pohyb rakety

s proměnnou hmotností (Ciolkovského rovnice)● ukážeme si aplikaci potenciální gravitační

energie (gravitačního potenciálu)● uhádneme rychlost rakety podle zadání● a dosazením do Ciolkovského rovnice

odhadneme potřebné množství paliva pro let

6/45

Uvedení do situaceJiří Kulhánek, STRONCIUM

«LONGIN vypadá fakt impozantně: kolem čtyřmetrového nosníku jsou nad sebou čtyři a čtyři kompozitové lahve, od kterých vedou pancéřové hadice do tří autogenových směšovačů a odtud dolů k tryskám - láhev s heliem je napříč nahoře za sedačkou – helium dá palivu potřebný tlak. Řídit se to bude natáčením trysek (jsou přidělané na homokinetickém kloubu z nápravy průzkumného robota) a přivíráním kohoutů....

A protože mi bylo jasné, že bez stabilizace se LONGIN bude točit všude možně, jen ne kam budu chtít, propočítal jsem to a vzal patnáct pevných disků»

7/45

Uvedení do situaceJiří Kulhánek, STRONCIUM

«Nahoře nad lahvemi je již zmíněné sedadlo, před ním křížem tyčka na opření nohou a nad ní řídicí panel se smetákem a „dálkovými ovládacími elementy“ vedoucími dolů ke kohoutům směšovačů....

Potřeboval jsem nabrat únikovou rychlost...

přetížení nebylo nijak zlé, a když jsem po sto dvaceti sekundách vypnul motor, bylo jasné, že jsem zvítězil....

K Zemi to trvalo pět dní...»

8/45

Diskuse● Pro jednoduchost budeme uvažovat, že Země

ani Měsíc se nepohybují a jsou v konstantní vzdálenosti od sebe v klidu (ani se neotáčí). Uvažovat budeme pouze jejich gravitační potenciály.

9/45

Diskuse● Pro jednoduchost budeme uvažovat, že Země

ani Měsíc se nepohybují a jsou v konstantní vzdálenosti od sebe v klidu (ani se neotáčí). Uvažovat budeme pouze jejich gravitační potenciály.

● Z doby letu z Měsíce na Zemi metodou pokus omyl určíme potřebnou únikovou rychlost rakety z Měsíce. Takto získanou rychlost dosadíme do Ciolkovského rovnice a z ní budeme moci vypočítat potřebnou hmotnost paliva na akceleraci.

10/45

Získaná data● odhad celkové hmotnosti rakety bez paliva

11/45

Získaná data● odhad celkové hmotnosti rakety bez paliva

● specifický impuls pro spalování monometylhydrazinu s oxidem dusičitým

12/45

Získaná data● odhad celkové hmotnosti rakety bez paliva

● specifický impuls pro spalování monometylhydrazinu s oxidem dusičitým

● doba zážehu (spalování paliva)

13/45

Získaná data● gravitační zrychlení na povrchu Země

14/45

Získaná data● gravitační zrychlení na povrchu Země

● gravitační zrychlení na povrchu Měsíce

15/45

Získaná data● gravitační zrychlení na povrchu Země

● gravitační zrychlení na povrchu Měsíce

● hmotnost rakety s palivem

16/45

Výpočet hmotnosti paliva● tažná síla rakety

17/45

Výpočet hmotnosti paliva● tažná síla rakety

● síla působící na raketu je rozdílem tažné síly a gravitační síly

18/45

Výpočet hmotnosti paliva● tažná síla rakety

● síla působící na raketu je rozdílem tažné síly a gravitační síly

● podle 2. Newtonova zákona a definice zrychlení

19/45

Výpočet hmotnosti paliva

● dosazením do

● získáme výsledný vztah

20/45

Výpočet hmotnosti paliva

● dosazením do

● získáme výsledný vztah

● Výsledek je však nepřesný, neboťnezohledňuje ubývající palivo.

21/45

Výpočet hmotnosti paliva● Rovnici pro výpočet rychlosti v závislosti na

použitém palivu popisuje Ciolkovského rovnice

Rovnici nebudeme odvozovat.

22/45

Výpočet hmotnosti paliva● Rovnici pro výpočet rychlosti v závislosti na

použitém palivu popisuje Ciolkovského rovnice

● Pro malé hodnoty hmotnosti paliva je možné použít i předchozí variantu.

● Počáteční rychlost zvolme .● Součin se označuje jako specifický impuls síly.

23/45

Specifický impuls● Specifický impuls vynásobený gravitačním

zrychlením na povrchu Země udává efektivní výtokovou rychlost spalin nebo také poměr tažné síly k množství spotřebovaného paliva za sekundu. Lze také říci, že jde o poměr impulsu síly k hmotnosti paliva.

● jednotka specifického impulsu je

24/45

Získaná data● vzdálenost Země a Měsíce

25/45

Získaná data● vzdálenost Země a Měsíce● hmotnost Měsíce

26/45

Získaná data● vzdálenost Země a Měsíce● hmotnost Měsíce● hmotnost Země

27/45

Získaná data● vzdálenost Země a Měsíce● hmotnost Měsíce● hmotnost Země● poloměr Měsíce

28/45

Získaná data● vzdálenost Země a Měsíce● hmotnost Měsíce● hmotnost Země● poloměr Měsíce● poloměr Země

29/45

Získaná data● vzdálenost Země a Měsíce● hmotnost Měsíce● hmotnost Země● poloměr Měsíce● poloměr Země● gravitační zrychlení na Měsíci

30/45

Získaná data● vzdálenost Země a Měsíce● hmotnost Měsíce● hmotnost Země● poloměr Měsíce● poloměr Země● gravitační zrychlení na Měsíci

● gravitační zrychlení na Zemi

31/45

Výpočet rychlosti● Rychlost odvodíme ze zákona zachování

mechanické energie

32/45

Výpočet rychlosti● Rychlost odvodíme ze zákona zachování

mechanické energie

● potenciální energie se vypočte

33/45

Výpočet rychlosti● Rychlost odvodíme ze zákona zachování

mechanické energie

● potenciální energie se vypočte

● označuje gravitační potenciál

34/45

Výpočet rychlosti

● Po dosazení

● dostaneme výsledný vztah

označuje rychlost rakety po vypnutí motorů označuje rychlost rakety ve vzdálenosti

35/45

Výpočet času● Dobu letu spočítáme z předchozího vztahu

integrací (jinak to bohužel nejde)

36/45

Výpočet času● Dobu letu spočítáme z předchozího vztahu

integrací (jinak to bohužel nejde)

● Nyní zbývá určit tak, aby levá a pravá strana rovnice byly stejné. Zkusme rovnici dosadit do Wolfram Alpha a hodnotu postupně hádat.

37/45

Výpočet ve Wolframu● Do wolframu zadáme do příkazové řádky toto:

integrate 1/sqrt(x^2++2*(6.67e-11*(-7.35e22/1.738e6-5.97e24/(3.844e8-1.738e6)))--2*(6.67e-11*(-7.35e22/r-5.97e24/(3.844e8-r)))) from r=1.738e6 to (3.844e8-6.378e6)

● za x dosazujeme postupně různé hodnoty, dokud výsledek nebude zhruba roven 432 000.

38/45

Po několika (mnoha) pokusech● Hurá máme výsledek!

39/45

Po několika (mnoha) pokusech● Hurá máme výsledek!

40/45

Po několika (mnoha) pokusech● Hurá máme výsledek!

● A teď už jen stačí dosadit do Ciolkovského rovnice a určit potřebné množství paliva.

41/45

Po několika (mnoha) pokusech● Hurá máme výsledek!

● A teď už jen stačí dosadit do Ciolkovského rovnice a určit potřebné množství paliva.

● po úpravě a dosazení

42/45

Závislost rychlosti na vzdálenosti

43/45

Závěr● Ve vzdálenosti od středu

Měsíce směrem k Zemi se bude raketa pohybovat nejmenší rychlostí, a to .

44/45

Závěr● Ve vzdálenosti od středu

Měsíce směrem k Zemi se bude raketa pohybovat nejmenší rychlostí, a to .

● Těsně před dopadem na Zemi bude rychlost rakety .

45/45

Poučení● Při pohybu rakety na reaktivní pohon dochází

k úbytku její hmotnosti vlivem spalin, které raketu pohánějí. Čím více paliva bude spotřebováno, tím menší bude její hmotnost a tím větší její rychlost.