Stránka 1 z 17

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum:

MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V.

14. ČERVENCE 2013

Název zpracovaného celku:

NAMÁHÁNÍ NA OHYB

D) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZATÍŽENÉ SOUSTAVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL

ÚLOHA 1

Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F = 1 000 N a vzdálenost l = 0,5 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.

ŘEŠENÍ:

RAy F

+

RAy F

MA

+y

l +x

–

+

–

+

Točivý účinek pro určení reakčních sil.

- M

+ M

Točivý účinek pro určení ohybových momentů.

- MoF

MoA

T

M

A

Stránka 2 z 17

∑

∑

Ohybové momenty budou řešeny u první úlohy v jednotlivých průřezech z obou stran průřezu:

L – levá strana průřezu, R – pravá strana průřezu.

Maximální ohybový moment je MoA.

Stránka 3 z 17

ÚLOHA 2

Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 200 N, F2 = 600 N, F3 = 500 N a vzdálenosti a = c = 0,2 m a b = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.

ŘEŠENÍ:

+

+

RAy

F1

F2

F3

MA

RAy

F3

F1

F2

a b c

A

+x

+y

MoA

Mo1 Mo2

Mo3

T

M

–

+

–

+

- M

+ M

Stránka 4 z 17

∑

∑

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Maximální ohybový moment je MoA.

Stránka 5 z 17

ÚLOHA 3

Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 100 N, F2 = F3 = 800 N, F4 = 600 N a vzdálenosti a = b = c = d = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.

ŘEŠENÍ:

F1

F4

F3 F2

RAy

MA

+y

+x

a b c d

- RAy

F1

F2

F3

F4

+

-

+

MoA

Mo1

Mo2

Mo3

Mo4

A

- M

+ M

–

+

–

+

T

M

Stránka 6 z 17

∑

∑

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Maximální ohybový moment je ƖMo1Ɩ = Mo3

Stránka 7 z 17

ÚLOHA 4

Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 000 N, F2 = 800 N, F3 = 1 300 N, F4 = 1 100 N a vzdálenosti a = c = 0,2 m a b = d = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.

Výsledek: RAy = 400 N, MA = -135 Nm, Mo,max = Mo1 = 215 Nm

A

+y

F1

F2

F3

F4

a b c d

+x

- M

+ M

–

+

–

+

Stránka 8 z 17

E) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZATÍŽENÉ PO CELÉ DÉLCE SPOJITÝM ZATÍŽENÍM Q Úlohu budeme řešit jen obecně. ŘEŠENÍ:

A

q x

MoQ

MoA = Mo,max

Tx x 2

Q

l

x

Qx

RAy

Mox

+y

l 2

+x

–

+

–

+

- M

+ M

-

T

M

RAy

-

MA

q

Stránka 9 z 17

Velikost reakce RAy určíme z podmínky rovnováhy

∑

Ve vzdálenosti x od volného konce nosníku bude platit:

a) Posouvající síla

.

Závislost je lineární.

Hodnoty Tx:

b) Ohybový moment bude

Závislost je parabolická.

Hodnoty Mox:

( )

Tento moment je maximální.

Stránka 10 z 17

F) NOSNÍKY VETKNUTÉ ZATÍŽENÉ KOMBINOVANÝM ZATÍŽENÍM

ÚLOHA 1 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 500 N, spojité zatíţení Q = 1 000 N a vzdálenost l = 0,4 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:

+

RAy

F1

l 4

Q 2

F1

𝑄 𝑞 𝑙

MA

A

q

MoQ

MoA

Q

l

RAy

+y

l 2

+x

–

+

–

+

- M

+ M

T

M Mo1

Q

-

Stránka 11 z 17

∑

∑

Maximální ohybový moment je MoA.

Stránka 12 z 17

ÚLOHA 2 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 300 N, spojité zatíţení Q = 1 200 N a vzdálenosti a = 0,3 m a b = 0,25 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:

T

M

MoA

MoQ

MoB

Mo1

–

+

–

+

Q

q

Q a 2

Q 2

a 4

A B

a ba

F1

+x

+y

𝑄 𝑞 𝑙 MA

RAy

-

RAy

F1

- M

+ M

+

Stránka 13 z 17

∑

∑

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

Maximální ohybový moment je MoA.

ÚLOHA 3 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 400 N, spojité zatíţení Q = 1 000 N a vzdálenosti a = b = 0,15 a c = 0,2 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.

Výsledek: RAy = 2 400 N, Mo,max = MA = - 610 Nm

F1

A

Q

a b c

+y

+x

–

+

–

+

- M

+ M

Stránka 14 z 17

DEFORMACE PŘI OHYBU

Přímá osa nosníku se vlivem zatíţení deformuje. Zakřivená osa se nazývá ohybová čára. Pro potřebu praxe musíme umět zjistit průhyb, úhel natočení a poloměr zakřivení ohybové čáry. Při výpočtu nosníku nesmí nejen napětí překročit dovolenou hodnotu, ale i maximální průhyb musí být v předepsaných mezích. Například u ocelových konstrukcí se klade poţadavek, aby průhyb

nepřekročil (

) rozpětí. Poloměr zakřivení ohybové čáry potřebujeme znát např. při ohýbání

plechů, abychom mohli určit potřebný ohybový moment. Kromě toho potřebujeme znát průhyb nosníku i úhel natočení k řešení staticky neurčitých nosíků. Hodnoty úhlu natočení průřezu a průhybů jsou uvedeny ve strojnických tabulkách.

A) Deformační podmínky pro vetknuté nosníky

úhel natočení průřezu:

Průhyb:

kde xT je vzdálenost těţiště momentové plochy od volného konce nosníku.

Stránka 15 z 17

ÚLOHA 1 Ocelový válcovaný nosník tvaru I, pevně vetknutý ve zdi, je na volném konci ve vzdálenosti l = 2 m od zdi zatíţen elektrickým kladkostrojem o nosnosti F = 4 000 N. Vlastní tíha kladkostroje G = 800 N. Navrhněte velikost profilu I pro σDo = 120 MPa. Vypočtěte úhel natočení průřezu a průhyb na konci nosníku. ŘEŠENÍ:

( ) ( )

| |

Vypočtené velikosti Wo odpovídá profil I 140, jehoţ Wx = 81,9 cm

3

MA

RAy

+y

A

y

F+G

+x

l

–

+

–

+

T

xT

MoA

𝑥𝑇

𝑙

M

-

Stránka 16 z 17

Úhel natočení průřezu:

( )

( )

rozměrová rovnice

Hodnota ( ) je převzata ze strojnických tabulek

( )

Průhyb nosníku na konci:

( )

( )

rozměrová rovnice

( )

Dovolený průhyb je (

) ( )

Navrţený profil I 140 nevyhovuje deformační podmínce. Navrhneme profil I 160

( )

( )

Navrţený profil I 160 vyhovuje deformační podmínce.

Stránka 17 z 17

ÚLOHA 2 Ocelový válcovaný nosník tvaru I, pevně vetknutý ve zdi, je na volném konci ve vzdálenosti l = 3 m od zdi zatíţen elektrickým kladkostrojem o nosnosti F = 5 000 N. Vlastní tíha kladkostroje G = 1 000 N. Navrhněte velikost profilu I pro σDo = 120 MPa. Navrţený průřez musí vyhovovat i deformační podmínce. (Dovolený průhyb je (3÷12) mm).

Výsledek: I 220; y = 8,4 mm

NOSNÍKY STEJNÉHO NAPĚTÍ Nosníkem stejného napětí nazýváme takový nosník, který pro určité zatíţení má v okrajových vláknech všech průřezů stejné napětí. Při minimální spotřebě materiálu má maximální deformaci a má také nejlepší součinitel vyuţití materiálu. Nosník stejného napětí musí splňovat podmínku

Proto jsou průřezové moduly v ohybu u jednotlivých průřezech přímo úměrné ohybovým momentům v těchto průřezech. Výpočet nosníku stejného napětí je uveden ve strojnických tabulkách.

POUŢITÁ LITERATURA

[1] MRŇÁK, L. a DRDLA, A. Mechanika pruţnost a pevnost pro SPŠ strojnické. 3. opravené vyd. Praha: SNTL, 1980. 366 s. [2] SKÁLA, V. a STEJSKAL, V. Mechanika pro SPŠ nestrojnické. 3. vyd. Praha: SNTL, 1986. 207 s. [3] LEINVEBER, J., VÁVRA, P. Strojnické tabulky: Pomocná učebnice pro školy technického zaměření. Čtvrté doplněné vydání. Úvaly: Albra, 2008, 914 s. ISBN 978-80-7361-051-7.