Nobelova cena za fyziku v roce 2016 — podivné jevy v ... · Tato teorie byla původně vyvinuta...

Nobelova cena za fyziku v roce 2016 —

podivné jevy v plochém světěJoanna Rose

Abstrakt. Laureáti Nobelovy ceny za fyziku v roce 2016 otevřeli dveře do neznámého světa,

v němž hmota existuje v podivných stavech. Nobelova cena za fyziku byla udělena z jedné

poloviny Davidu J. Thoulessovi z Washingtonské univerzity v Seattlu a z druhé poloviny

společně F. Duncanovi M. Haldanovi z univerzity v Princetonu a J. Michaelovi Kosterli-

tzovi z Brownovy univerzity v Providence. Jejich objevy představují významný průlom do

teoretického chápání tajemství hmoty a do vývoje nových materiálů.

David Thouless, Duncan Haldane a Michael Kosterlitz (obr. 1) využili pokročilýchmatematických metod k vysvětlení podivných jevů v neobvyklých fázích (či stavech)hmoty, jakými jsou supravodivost, supratekutost nebo tenké magnetické vrstvy. Kos-terlitz a Thouless studovali jevy, které vznikají v plochém světě — na površích nebouvnitř nesmírně tenkých vrstev, které mohou být považovány za dvourozměrné. Hal-dane se také zabýval hmotou ve formě vláken tak tenkých, že mohou být považovánaza jednorozměrná.

Fyzika v plochém světě je velice odlišná od té, kterou známe ze světa kolem nás.Ačkoli je tenká vrstva hmoty složena z miliónů atomů a ačkoli se vlastnosti každéhoatomu dají vysvětlit zákony kvantové fyziky, tyto atomy vykazují zcela jiné vlastnosti,pokud se spojí dohromady. V plochém světě jsou stále objevovány nové kolektivní jevya fyzika kondenzovaného stavu je jednou z nejživějších oblastí fyziky.

Obr. 1. David J. Thouless, F. Duncan M. Haldane, J. Michael Kosterlitz ( c© The Royal

Swedish Academy of Sciences, photo Markus Marcetic)

c© Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences. Z anglického originálu Popu-

lar Science Background: Strange phenomena in matter’s flatlands přeložil Miloš Rotter.Publikováno se svolením The Royal Swedish Academy of Sciences.

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č. 1 1

Strana 1 (verze 16.3.2017)

Obr. 2. Fáze hmoty. Nejobvyklejší fáze hmoty jsou plynná, kapalná a pevná fáze. Avšakv extrémně vysokých nebo nízkých teplotách se může hmota nacházet i v jiných exotičtějšíchfázích.

Laureáti ve své práci použili znalosti z topologie, které byly pro jejich objevy rozho-dující. Topologie je odvětví matematiky popisující vlastnosti, které se mění skokově.Využitím moderní topologie dosáhli laureáti překvapivých výsledků, které otevřelynová pole výzkumu a vedly k vytváření nových a důležitých konceptů v řadě oblastífyziky.

Kvantová fyzika se při nízkých teplotách stává viditelnou

Při velmi nízkých teplotách se veškerá hmota řídí zákony kvantové fyziky. Plyny, ka-paliny a pevné látky jsou fáze hmoty, v nichž jsou kvantové jevy často potlačenychaotickým pohybem atomů. Avšak v oblasti extrémního chladu v blízkosti absolutnínuly (−273 C) přechází hmota do nových podivných fází a chová se neobvyklým způ-sobem. Kvantová fyzika, která obvykle působí v mikrosvětě, se náhle stává viditelnou(obr. 2).

2 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č. 1


přeměně dochází například v ledu, jenž je složen z dobře uspořádaných krystalů. Přizahřívání led taje a mění se ve vodu, chaotičtěji uspořádanou fázi hmoty. U hmotyv plochém světě ovšem nacházíme i fáze, které dosud nebyly zcela prozkoumány.

Při nízkých teplotách mohou nastávat podivné jevy. Může například náhle vymizetodpor, který působí na všechny pohybující se částice. K tomu dochází třeba v supra-vodiči, v němž teče elektrický proud bez odporu, nebo v supratekuté kapalině, v nížvíry rotují bez útlumu.

Prvním, kdo se již v třicátých letech dvacátého století systematicky zabýval supra-tekutostí, byl ruský fyzik Petr Kapica. Ochladil helium 4, které se nachází ve vzduchu,na teplotu −271 C a zjistil, že helium teče vzhůru po stěně nádoby. Jinými slovy, chováse jako supratekutá kapalina, jejíž viskozita zcela vymizela. Kapica získal v roce 1978Nobelovu cenu za fyziku a od té doby se v laboratořích podařilo demonstrovat řadujiných příkladů supratekutého chování. Vedle supratekutosti helia jsou to jevy v ten-kých vrstvách magnetických materiálů nebo v elektricky vodivých nanovláknech — toje pouze několik příkladů z mnoha nových fází materiálů, které jsou nyní intenzivněstudovány.

Řešení poskytly dvojice vírů

Vědci dlouho věřili tomu, že tepelné fluktuace zničí jakékoli uspořádání hmoty v plo-chém, dvourozměrném světě, dokonce i při absolutní nule. Neexistují-li uspořádanéfáze, nemůže dojít k fázovým přechodům. Avšak na počátku sedmdesátých let se v Bir-minghamu ve Velké Británii sešli David Thouless a Michael Kosterlitz a zpochybnilidosavadní teorie. Pustili se společně do řešení problému fázových transformací v plo-chém prostoru (první ze zvědavosti a druhý z nevědomosti, jak sami prohlásili). Jejichspolupráce vyústila ve zcela nové chápání fázových transformací, které je považovánoza jeden z nejvýznamnějších objevů fyziky kondenzovaných látek ve dvacátém století.Jedná se o teorii přechodů KT (Kosterlitzovy–Thoulessovy přechody) nebo též pře-chodů BKT, kde písmeno B označuje příspěvek Vadima Berezinského, již zesnuléhomoskevského teoretického fyzika, který přišel s podobnými myšlenkami.

Topologický fázový přechod není obvyklým přechodem, k jakému dochází meziledem a vodou. Zásadní roli v topologickém přechodu hrají malé víry v plochém ma-teriálu. Při nízkých teplotách vytvářejí pevně svázané dvojice. Při vzrůstající teplotědochází k fázové transformaci: víry se náhle od sebe oddělí a pohybují se materiálemsamostatně (obr. 3).

Úžasné na této teorii je to, že může být použita na různé typy materiálů s níz-kou dimenzí — transformace KT má univerzální charakter. Stala se užitečným ná-strojem nejen ve světě kondenzovaných látek, ale také v jiných oblastech fyziky, jakonapř. v atomové fyzice nebo statistické mechanice. Teorie, jíž se řídí transformace KT,byla nejen rozvíjena svými tvůrci a dalšími vědci, ale byla též experimentálně potvr-zena.



Obr. 3. Fázové přechody. Obvykle k nim dochází, když se jedna fáze látky mění v druhou,např. když taje led a mění se ve vodu. Kosterlitz a Thouless popsali topologické fázové pře-chody v tenkých vrstvách velmi chladných materiálů. Při nízkých teplotách víry vytvářejídvojice, které se při teplotě fázového přechodu náhle rozdělí. Jedná se o jeden z nejvýznam-nějších objevů ve fyzice kondenzovaných látek ve dvacátém století.

Tajemné kvantové skoky

Fyzikální experimenty vedly k objevu nových stavů hmoty, které vyžadovaly vysvět-lení. V osmdesátých letech David Thouless spolu s Duncanem Haldanem zveřejnili no-vou přelomovou teoretickou práci, která zpochybnila dosavadní teorie, mj. i kvantově-mechanickou teorii elektrické vodivosti. Tato teorie byla původně vyvinuta ve třicátýchletech a o několik desetiletí později byla považována za plně pochopenou.

Bylo tedy velkým překvapením, když v roce 1983 David Thouless dokázal, že před-chozí teorie byla neúplná, a že při nízkých teplotách a v silných magnetických políchje třeba použít jiný typ teorie založený na topologickém přístupu. Zhruba v téže dobědošel Duncan Haldane k podobnému a podobně neočekávanému závěru při analýzeřetízků magnetických atomů. Jejich práce posloužila jako nástroj v následujícím dra-matickém vývoji teorie nových fází hmoty.

Tajemný jev, který David Thouless teoreticky popsal s využitím topologie, je kvan-tový Hallův jev. Byl objeven německým fyzikem Klausem von Klitzingem, který zaněj získal Nobelovu cenu za fyziku v roce 1985. Klitzing studoval tenké vodivé vrstvymezi dvěma polovodiči, v nichž ochladil elektrony na několik kelvinů nad absolutnínulou a působil na ně silným magnetickým polem.

Ve fyzice není neobvyklé, že při snížení teploty dochází k některým drastickýmjevům. Mnohé materiály se například stávají magnetickými, poněvadž všechny maléatomové magnety v materiálu se náhle otočí stejným směrem a vznikne tak silnémagnetické pole, které může být změřeno.

Avšak kvantový Hallův jev je k pochopení mnohem složitější. Ukazuje se, že elek-trická vodivost ve vrstvách může nabývat pouze určitých hodnot, které jsou nesmírněpřesné, což je jinak ve fyzice neobvyklé. Měření poskytují naprosto tytéž výsledky,



Obr. 4. Topologie. Toto odvětví matematiky se zabývá vlastnostmi, které se mění stupňovitě,jako počet otvorů na zobrazených objektech. Topologie představuje klíč k objevům, kteréučinili laureáti Nobelovy ceny. Vysvětluje, proč se elektrická vodivost uvnitř tenkých vrstevmění po celočíselných skocích.

i když se mění teplota a magnetické pole nebo množství příměsí v polovodiči. Změní-lise dostatečně magnetické pole, změní se rovněž vodivost vrstvy, avšak jen ve sko-cích. Při snižování intenzity magnetického pole vzroste elektrická vodivost přesně dva-krát, poté třikrát, pak čtyřikrát atd. Tyto celočíselné skoky nebylo možno vysvětlitna základě tehdejších znalostí, David Thouless však nalezl řešení této záhady pomocítopologie.

Řešení pomocí topologie

Topologie popisuje vlastnosti, které zůstávají neměnné, i když je objekt natažen, zkrou-cen nebo zdeformován. Topologicky náleží koule a miska do stejné kategorie, poněvadžkus jílu ve tvaru koule může být vytvarován do misky. Šálek na kávu s ouškem nebobagel (donut či anuloid) s otvorem uprostřed patří do jiné kategorie, ale mohou býtdeformovány tak, že tvar jednoho přejde v druhý. Topologické objekty mohou obsaho-vat jeden otvor, dva či jiný celočíselný počet otvorů. To může být užitečné při popisuelektrické vodivosti zjištěné v kvantovém Hallově jevu, která se může měnit pouze poskocích, jež jsou přesné násobky celých čísel (obr. 4).

Při kvantovém Hallově jevu se elektrony pohybují relativně volně a vytvářejí něco,čemu se říká topologická kvantová kapalina. Podobně jako se často objevují nové vlast-nosti, když se shromáždí mnoho částic, tak i elektrony v topologické kvantové kapaliněvykazují překvapivé vlastnosti. Stejně jako nemůžeme zjistit, zda je v kávovém šálkuotvor, zkoumáme-li jen jeho malou část, nelze ani určit, tvoří-li elektrony topologickoukvantovou kapalinu, pozorujeme-li pouze několik z nich. Vodivost však popisuje kolek-tivní pohyb elektronů a v důsledku topologie se mění po skocích, je kvantovaná. Další



zajímavostí topologické kvantové kapaliny jsou neobvyklé vlastnosti jejího okraje. Tybyly předpověděny nejprve teoreticky a později potvrzeny experimentálně.

Dalším milníkem se stal rok 1988, kdy Duncan Haldane zjistil, že topologické kvan-tové kapaliny podobné té, která vzniká při kvantovém Hallově jevu, se mohou vytvářetv tenkých polovodičových vrstvách i bez přítomnosti magnetického pole. Prohlásil, ženikdy nesnil o tom, že by se jeho teoretický model mohl potvrdit experimentálně.K tomu došlo v roce 2014 při experimentu, v němž byly použity atomy ochlazenétéměř k absolutní nule.

Nové topologické materiály

Duncan Haldane ve své starší práci z roku 1982 vyslovil předpověď, která překva-pila i odborníky. V teoretické studii řetízků magnetických atomů, které se vyskytujív některých materiálech, objevil, že tyto řetízky mají zásadně odlišné vlastnosti v zá-vislosti na charakteru atomových magnetů. V kvantové fyzice existují dva typy atomo-vých magnetů, liché a sudé. Haldane ukázal, že řetízky vytvořené ze sudých magnetůjsou topologické, zatímco řetízky z lichých magnetů jimi nejsou. Podobně jako u to-pologických kvantových kapalin nelze určit, zda je řetízek atomů topologický, pouhýmzkoumáním jeho malé části. A tak jako v případě kvantové kapaliny se topologickévlastnosti projevují na okrajích řetízku — v tomto případě na jeho koncích, poněvadžkvantová vlastnost známá jako spin se zde půlí.

Zpočátku Haldanovým úvahám o atomových řetízcích nikdo nevěřil; vědci bylipřesvědčeni, že těmto objektům již dokonale rozumějí. Ukázalo se však, že Haldaneobjevil první příklad nového druhu topologických materiálů, jejichž studium je nynípředmětem výzkumu ve fyzice kondenzovaných látek.

Kvantové Hallovy kapaliny i magnetické atomové řetízky jsou součástí nové sku-piny topologických stavů. Později výzkumníci objevili několik jiných neočekávanýchtopologických stavů hmoty, a to nejen v řetízcích nebo v tenkých hraničních vrstvách,ale i v běžných trojrozměrných materiálech.

V současnosti se diskutuje např. o topologických izolátorech, topologických supra-vodičích a topologických kovech. To jsou příklady oblastí, které se v posledních dese-tiletích staly předmětem výzkumu ve fyzice kondenzovaných látek, v neposlední řaděi kvůli naději, že topologické materiály budou použitelné pro novou generaci elektro-nických zařízení a supravodičů nebo pro budoucí kvantové počítače. Současný výzkumodkrývá tajemství hmoty v exotickém plochém prostoru, který objevili laureáti Nobe-lovy ceny za rok 2016.



Stručný průvodce statistickými intervalyMartin Otava, Beerse

Abstrakt. Statistické intervaly představují rozšířenou metodu k popisu nejistoty, avšak jejich

přesná interpretace může být pro laika obtížná. Následující článek se zabývá třemi typy inter-

valů — konfidenčními, predikčními a tolerančními intervaly. Každý z nich má jinou funkci

a má smysl ho používat jen v jistém kontextu. Téma je představeno spíše neformálně a po-

skytuje čtenáři základní přehled jednotlivých typů intervalů. Důraz je kladen především na

správnou interpretaci a pochopení nejčastějších chyb spojených s používáním statistických

intervalů. Vlastnosti jednotlivých typů intervalů jsou demonstrovány na příkladech z farma-

ceutické výroby tablet.

1. Úvod

Statistika je velmi často neodbornou veřejností chápána jako deskriptivní statistikapopisující vlastnosti sebraného datového souboru, například pozorované maximum činapozorovaný aritmetický průměr. Popis napozorovaných dat je však jen malou částístatistiky jako disciplíny. Pokud data, která máme k dispozici, nereprezentují celoupopulaci (celá populace může být dostupná například v případě národního censu),pak je obvyklým cílem statistika vyhodnotit, co můžeme vyvodit o celé populaci nazákladě omezeného datového souboru. Příkladem mohou být nejrůznější průzkumyveřejného mínění či volebních preferencí. Takový postup vždy vyžaduje jisté předpo-klady (např. skutečnost, že náš vzorek dobře reprezentuje celkovou populaci) a jakákolitvrzení o celé populaci jsou nevyhnutelně zatížena chybou. Statistika nám umožňujetuto nejistotu popsat a vyjádřit kvantitativně.

Statistické intervaly jsou velice užitečným nástrojem při vyjadřování nejistoty. Exis-tuje několik různých typů intervalů a každý se hodí k odpovědi na jiné otázky. Prolaika tak může být jejich interpretace obtížná. V tomto příspěvku se seznámíme s kon-fidenčními, predikčními a tolerančními intervaly a vysvětlíme si, jaké jsou mezi nimirozdíly a jak je správně používat. Ukážeme, jakým způsobem konfidenční intervalyvyjadřují nejistotu při odhadu parametrů rozdělení, zatímco predikční a tolerančníintervaly se zabývají předpovědí budoucích pozorování. Další rozdíl spočívá v tom, žepredikční intervaly se soustředí na předpovědi pro jediné budoucí pozorování a tole-ranční intervaly jsou vhodné pro velké počty budoucích pozorování. Jako příklad prodemonstraci vlastností jednotlivých typů intervalů nám poslouží farmaceutická výrobatablet.

Přestože bude nutné zavést několik pojmů, omezíme se na jejich neformální vysvět-lení za účelem zjednodušení výkladu; přesné definice lze najít v [1].

Mgr. Martin Otava, Ph.D., Janssen Pharmaceutica, Turnhoutseweg 30, 2340 Beerse, Belgie,e-mail: [email protected]



496 498 500 502 504 496 498 500 502 504

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

f(x)

f(x)

x x

Obr. 1. Příklady hustot spojitých náhodných veličin: normální rozdělení (vlevo), bimodálnírozdělení (vpravo)

2. Základní pojmy

2.1. Náhodná veličina a její vlastnosti

Mezi základní pojmy statistiky patří náhodné veličiny a jejich rozdělení. Náhodnáveličina reprezentuje jev, o který se zajímáme, a rozdělení pak udává, jaké jsou přípust-né hodnoty pro náhodnou veličinu a jaká je pravděpodobnost těchto hodnot.

Příkladem nám bude farmaceutická výroba hypotetické 550 mg tablety s obsahemúčinné látky 500 mg. Zakoupíme-li balení v lékárně a změříme obsah účinné látky v la-boratoři, je rozumné předpokládat, že skutečná hodnota obsažená v každé tabletě budepřibližně 500 mg, ale nemělo by nás překvapit, že nemusí být přesně 500 mg. Výsle-dek měření tablety je pak právě náhodnou veličinou, neboť jeho hodnota není předemznáma. Rozdělení této veličiny udává, jaké výsledky můžeme očekávat (a s jakou prav-děpodobností). V našem případě může například z rozdělení vyplývat, že obsah účinnélátky mezi 490 a 510 mg je mnohem pravděpodobnější než obsah nižší než 100 mg.

Označme náhodnou veličinu jako X a její napozorovanou hodnotu jako x. Pokudměříme N = 10 tablet, výsledky měření jsou označeny x1, . . . , x10. Rozdělení spojiténáhodné veličiny (jakou je právě obsah účinné látky) je reprezentováno hustotou f ,tj. funkcí, jejíž integrál od a do b vyjadřuje pravděpodobnost, že veličina X má hodnotuv intervalu (a, b):

P (a < X < b) =∫ b

a

f(x) dx. (1)

Integrál funkce na celém oboru reálných čísel se pak rovná jedné, neboť reprezentujepravděpodobnost P (−∞ < X < ∞). Příklady hustot, které by mohly reprezentovatrozdělení obsahu účinné látky, můžeme vidět na obr. 1.



Střední hodnota značená µ = E(X) neformálně řečeno reprezentuje průměrnouhodnotu veličiny X a v případě spojité náhodné veličiny je opět vyjádřena integrálem

E(X) =∫

∞

−∞

xf(x) dx.

Musíme být opatrní s interpretací, neboť střední hodnota ne vždy reprezentujehodnotu typickou či nejčastější. Obě hustoty na obr. 1 vedou ke střední hodnotěrovné 500 mg, ale v případě pravého panelu je jen velmi malá pravděpodobnost, ženáhodně vybraná tableta bude mít obsah účinné látky přibližně 500 mg; mnohem prav-děpodobnější jsou hodnoty kolem 498 či 502 mg.

Rozptyl náhodné veličiny var(X) = E(X −E(X))2 reprezentuje průměr z druhýchmocnin odchylek realizací náhodné veličiny od její střední hodnoty. Přestože tedy oběhustoty na obr. 1 mají stejnou střední hodnotu, hustota na pravém panelu by vedlak mnohem většímu rozptylu, neboť její hodnoty se typicky nacházejí dále od středníhodnoty E(X). Hustotu na pravém panelu nazýváme bimodální, neboť má dva mody,tj. dvě lokální maxima.

Jako rozdělení veličiny X pro náš příklad s obsahem účinné látky v tabletáchzvolíme tzv. normální rozdělení. Hustota tohoto rozdělení má daný tvar, až na dvaneznámé parametry: střední hodnotu µ = E(X) a rozptyl σ2 = var(X),

f(x; µ, σ2) =1

√

2σ2πexp

(

−

(x − µ)2

2σ2

)

. (2)

Známe-li parametry µ a σ2, můžeme spočítat pravděpodobnost pro jakýkoli intervalze vzorce (1). Hustota pro µ = 500 a σ2 = 1 je znázorněna v levé části obr. 1.

Další užitečnou charakteristikou náhodné veličiny jsou její kvantily. Pro κ ∈ (0, 1)definujme 100κ% kvantil tak, že 100κ % možných hodnot veličiny X je menších nežtento kvantil. Formálně je tedy kvantil zκ veličiny X taková hodnota, že P (X ≤ zκ)=κ.Dodejme, že definici v této formě lze použít pouze v případě spojitých náhodnýchveličin.

2.2. Odhady parametrů

Statistická teorie odhadu se zaměřuje na odhadování parametrů rozdělení, které jsounám neznámé. Volba konkrétního rozdělení pro popis daného jevu (tedy v našem pří-padě volba normálního rozdělení pro obsah účinné látky) je většinou založena na nějaképředchozí zkušenosti s daným jevem a na vlastnostech náhodné veličiny X . Existujízpůsoby, jak ověřit, zda volba rozdělení dává smysl, či odhadnout hustotu rozdělenípřímo na základě dat. Ve spoustě praktických případů jsme schopni vybrat vhodnérozdělení, ovšem jen velmi zřídka máme představu o hodnotách jeho neznámých pa-rametrů. Ty pak musíme odhadnout na základě dat.

Budeme pokračovat v našem příkladě, tedy uvažovat situaci, kdy se veličina X řídínormálním rozdělením s hustotou f(x; µ, σ2), viz (2), a ani jeden z parametrů µ a σ2

neznáme předem. Abychom byli schopni pracovat se vzorcem (1), je nutné odhadnoutneznámé parametry µ a σ2 na základě datového souboru, který máme k dispozici. Tatosituace je v praxi velmi obvyklá, i když v některých případech můžeme mít o rozptyludobrou představu na základě historických dat či pilotních studií.



Uvažujme, že máme možnost změřit N tablet. Každé měření je tedy nezávislou rea-lizací veličiny X , jehož výsledky označíme jako x1, . . . , xN . V jistém smyslu optimálnímodhadem µ je pak aritmetický průměr µ = X = 1

N

∑Ni=1

xi. Optimalitou je zde míněnanestrannost, konzistence odhadu a maximální věrohodnost odhadu. Neformálně řečenonestrannost implikuje, že odhadujeme v průměru správnou hodnotu, konzistence zna-mená, že čím větší máme datový soubor, tím přesnější náš odhad bude, a maximálnívěrohodnost reprezentuje skutečnost, že odhadnutá hodnota je nejpravděpodobnějšíhodnotou parametru při daném datovém souboru. Zdůrazňujeme neformálnost tohotovysvětlení a pro formální definice odkazujeme na [1]. Dodejme, že aritmetický prů-měr je velmi přirozeným odhadem střední hodnoty, neboť odpovídá její neformálníinterpretaci.

Odhad µ nazýváme bodovým odhadem, neboť pro konkrétní datový soubor odha-dujeme hodnotu µ jedním číslem. Nicméně by nemělo být překvapení, že při opako-vání experimentu (tedy s jiným balením N tablet) dostaneme jinou hodnotu odha-du µ, neboť závisí na tom, jaká konkrétní pozorování x1, . . . , xN jsme naměřili. Vzhle-dem k výše zmíněné konzistenci pak také bude přesnější odhad, který vychází z dats N = 100 tabletami, než odhad pro N = 5. Bodový odhad tedy žádným způsobemneposkytuje informace o nejistotě, kterou máme při odhadování µ. Jak uvidíme níže,tato nejistota souvisí jak s velikostí datového souboru N , tak s hodnotou rozptylu σ2.

Zcela obdobně přistupujeme k odhadu rozptylu s2 = σ2 = 1

N−1

∑Ni=1

(xi − µ)2.Všimněme si N −1 namísto N ve jmenovateli, což zajišťuje nestrannost odhadu a sou-visí s faktem, že k odhadnutí rozptylu nejprve potřebujeme odhadnout střední hod-notu. Na druhou stranu tento odhad není maximálně věrohodným odhadem rozptylu.

3. Konfidenční interval

Konfidenční interval je nástroj, který umožňuje kvantifikovat nejistotu, kterou mámepři odhadování parametru. Soustředíme se na interval pro µ, nicméně postup pro σ2

by byl obdobný. Namísto jediné hodnoty µ sestrojíme interval, který s pravděpodob-ností 1 − α obsahuje skutečnou hodnotu µ. Hladinu 1 − α stanovíme předem sami nazákladě toho, jakou nejistotu chceme v odhadu ponechat.

Měříme-li obsah účinné látky v tabletách, tento interval nám poskytne informacio nejistotě v odhadu střední hodnoty obsahu účinné látky. Dejme tomu, že změříme de-set tablet a získáme bodový odhad µ = 480 mg. Sice jsme odhadli, že v průměru mámeo 20 mg účinné látky méně, než bychom mít měli, ale nevíme s jakou jistotou. Je pakvelký rozdíl, máme-li konfidenční interval na hladině 1 − α = 0,95 roven (475; 485) či(450; 510); v prvním případě máme důkazů pro menší obsah látky v tabletách výrazněvíce než v případě druhém, kdy interval zahrnuje i hodnoty větší než 500 mg.

V případě normálního rozdělení s neznámým rozptylem lze dokázat (viz [1]), ževeličina (X − µ)

√

N/s2 má tzv. Studentovo rozdělení s N − 1 stupni volnosti. Odsudihned plyne, že konfidenční interval sestrojíme podle vzorce

[

X − tN−1

(

1 −

α

2

)

√

s2

N; X + tN−1

(

1 −

α

2

)

√

s2

N

]

, (3)

kde tN−1(1 −

1

2α) je kvantilem Studentova rozdělení s N − 1 stupni volnosti. Počet

stupňů volnosti je jediným parametrem hustoty Studentova rozdělení, takže dosazením



N −1 je kvantil tN−1(1−

1

2α) jednoznačně určen. Všimněme si, že interval je centrován

kolem našeho bodového odhadu µ a že bude tím širší, čím větší je poměr odhadurozptylu k počtu pozorování. Také bude tím širší, čím vyšší hladiny 1 − α chcemedosáhnout. To dává smysl, neboť chceme-li zvýšit pravděpodobnost, že náš intervalbude obsahovat skutečnou střední hodnotu (při stejném datovém souboru) řekněmena 99 % namísto 95 %, tak bude přirozeně výsledný interval širší.

Všimněme si, že µ není v tomto případě náhodné, je to parametr s jednou skutečnouhodnotou, kterou chceme odhadovat. Náhodné jsou meze našeho intervalu, neboť tyzávisí na pozorovaném datovém souboru. Platí tedy sice, že

P

(

µ∈

[

X − tN−1

(

1 −

α

2

)

√

s2

N; X + tN−1

(

1 −

α

2

)

√

s2

N

])

= 1 − α,

ale zmíněná pravděpodobnost 1 − α se vztahuje k opakovanému použití metody kon-strukce konfidenčního intervalu a ne k jednomu určitému intervalu. To znamená,že budeme-li pro různé datové soubory počítat konfidenční intervaly na hladině1 − α = 0,95, v 95 % případů budou tyto intervaly obsahovat i skutečnou hodnotu µ.Ve zbývajících 5 % případů může být skutečná hodnota µ velmi daleko od hranic konfi-denčního intervalu. Je proto třeba být opatrný a nesklouzávat k mylným interpretacím,že skutečná hodnota µ bude poblíž středu intervalu.

Porozumění odstavci výše je klíčové pro správné použití konfidenčního intervalu.Demonstrujme jeho důsledky na našem příkladě. Předpokládejme, že skutečná hod-nota je µ = 499 mg a že budeme měřit tisíc balení tablet. Z každého balení vezmemeN = 10 tablet, změříme obsah účinné látky a vypočítáme konfideční interval na hla-dině 1 − α = 0,95; budeme tedy mít tisíc intervalů, jeden pro každý datový soubordeseti tablet. Očekáváme potom, že přibližně 950 intervalů (tj. 95 %) bude obsahovatskutečnou hodnotu µ = 499 mg. Zbývajících 50 intervalů tuto hodnotu nebude obsaho-vat a může být od ostatních intervalů velmi daleko. Stejný výsledek bychom očekávalipro jakoukoli hodnotu N .

S rostoucí hodnotou N bude příslušný konfidenční interval užší, neboť je konstruo-ván tak, aby vždy obsahoval skutečnou hodnotu µ pouze v 95 % případů. Pro všechnareálná x platí vztah limN→∞ tN−1(x) = zx, kde z je kvantil normálního rozdělení sestřední hodnotou 0 a rozptylem 1. Ze vzorce (3) vyplývá, že s N jdoucím do neko-nečna konvergují oba krajní body intervalu k hodnotě µ (kvantil Studentova rozděleníkonverguje ke konstantě, stejně tak s2).

Velmi důležitým postřehem je fakt, že konfidenční interval sestrojujeme pro para-metry rozdělení, jako jsou rozptyl σ2 či střední hodnota µ. Nedává nám ovšem žádnouinformaci o individuálních napozorovaných hodnotách veličiny jako takových. Napří-klad konfidenční interval pro µ bychom v případě tablet rádi viděli okolo 500 mg, cožje požadovaný obsah. I kdyby však byl tento interval (499; 501), neznamená to, žepacienti budou dostávat kvalitní produkt, neboť obsah v jednotlivých tabletách je ná-hodná veličina s normální hustotou, která závisí na obou parametrech µ a σ2, a pokudby měla velký rozptyl, může být obsah účinné látky velmi daleko od střední hodnoty.

Tato skutečnost je jasná při pohledu na levou část obr. 1. Konfidenční interval(499; 501) by byl soustředěn velmi blízko okolo skutečné hodnoty µ = 500 mg, aleobsahoval by jen velmi malou část hustoty, tj. jen velmi málo budoucích pozorování.Čím je konfidenční interval přesnější, tím méně budoucích pozorování je v něm obsa-



ženo. Pokud by navíc rozdělení účinné látky v tabletách mělo hustotu podobnou tév pravé části obr. 1, byl by nám přesný odhad střední hodnoty ještě méně užitečný,pokud bychom se zajímali o jednotlivá pozorování z tohoto rozdělení. Zatímco středníhodnota je rovna 500 mg, jednotlivá pozorování účinné látky jsou soustředěna ko-lem 498 a 502 mg.

Pokud se budeme zajímat o typické hodnoty obsahu účinné látky v jednotlivýchtabletách, musíme pracovat s predikčním intervalem, který se zaměřuje na celou hus-totu, nejen na jednotlivé parametry.

4. Predikční interval

Predikční interval obsahuje s danou pravděpodobností 1 − α jedno příští pozorováníveličiny X . Budoucí pozorování xN+1 je opět realizací veličiny X s neznámými parame-try µ, σ2, které odhadujeme pomocí pozorování x1, . . . , xN . Predikční interval vezmev úvahu nejistotu odhadu parametrů obdobným způsobem jako konfidenční interval;výsledkem je interval, který bude obsahovat příští pozorování veličiny X s požadovanoujistotou. Na rozdíl od konfidenčního intervalu, který popisuje vlastnost napozorova-ného souboru (odhaduje skutečnou střední hodnotu), predikční interval předpovídábudoucí pozorování.

V případě tablet by predikční interval pomohl vyřešit následující otázku: jakoudávku účinné látky bude mít příští tableta (například ta, kterou se chystáme podatpacientovi jako lék) na základě souboru těchto deseti naměřených tablet? Tato otázkaje velmi důležitá, neboť mnoho analytických testů je destruktivních. To znamená, ženemůžeme přímo změřit tabletu, kterou se chystáme podat pacientovi, ale o její kvalitěmůžeme uvažovat pouze nepřímo.

V případě normálního rozdělení s neznámým rozptylem lze dokázat (viz [1]), ževeličina (XN+1 −X)

√

N/(s2(N + 1)) má Studentovo rozdělení s N −1 stupni volnosti.Odtud plyne, že predikční interval pro µ sestrojíme dle vzorce

[

X − tN−1

(

1 −

α

2

)

√

s2 +s2

N; X + tN−1

(

1 −

α

2

)

√

s2 +s2

N

]

. (4)

Všimněme si podobnosti se vzorcem (3); jediným rozdílem je přičtení odhadu roz-ptylu s2 pod odmocninou. Neformálně řečeno tedy sestrojíme konfidenční interval prostřední hodnotu a pak interval rozšíříme na základě odhadnutého rozptylu tak, abyobsahoval jednotlivá pozorování. Dodejme, že interval je opět centrován kolem bodo-vého odhadu střední hodnoty µ = X a bude tím širší, čím větší je s2 a čím méně mámepozorování N .

Pro predikční interval sestrojený na hladině 1 − α pak platí

P

(

XN+1 ∈

[

X − tN−1

(

1 −

α

2

)

√

s2 +s2

N; X + tN−1

(

1 −

α

2

)

√

s2 +s2

N

])

= 1 − α.

Na rozdíl od konfidenčního intervalu krajní body predikčního intervalu nekonvergujík jediné hodnotě, ale s přibývajícím počtem pozorování se blíží k hodnotám kvantilůnormálního rozdělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ2. Tedy např. pro 1−α = 0,95konverguje interval k takovým hodnotám, mezi kterými se integrál hustoty rovná 0,95



a které jsou symetrické vzhledem ke střední hodnotě. Tento fakt vede k časté mylnéinterpretaci predikčního intervalu v tom smyslu, že obsahuje 95 % budoucích pozoro-vání. Tuto vlastnost predikční interval bohužel nemá a vždy musí být interpretovánpouze pro jedno budoucí pozorování.

Pro 1−α = 0,95 pak vychází pravděpodobnost 95 %, obdobně jako u konfidenčníhointervalu, z opakovaného použití metody a ne z kvantilu rozdělení. Interpretujeme jitak, že máme 95% pravděpodobnost, že napozorujeme soubor x1, . . . , xN , xN+1 takový,že sestrojíme-li interval na základě prvních N pozorování, bude obsahovat i pozoro-vání poslední. Tato interpretace je patrná ze vzorce na předchozí straně. Ve zbýva-jících 5 % pak buď nastává situace, že xN+1 je odlehlé pozorování, nebo situace, žeprvních N pozorování vedlo ke konstrukci intervalu, který je daleko od skutečnýchkvantilů (tedy obdobně jako 5 % konfidenčních intervalů neobsahuje skutečnou středníhodnotu). Takový špatně zkonstruovaný interval bude přirozeně obsahovat jen velmimálo budoucích pozorování. Obecně nejčastější mylná interpretace intervalů je právěnepochopení vztahu mezi 1 − α a opakovaným použitím metody.

Demonstrujme proto použití intervalu na hypotetické situaci. Předpokládejme opět,že skutečná hodnota µ = 499 mg a že budeme měřit tisíc balení tablet. Z každéhobalení vezmeme jedenáct tablet a pro N = 10 tablet změříme obsah účinné látky a vy-počítáme predikční interval na hladině 1 − α = 0,95; budeme tedy mít tisíc intervalů,jeden pro každý datový soubor deseti tablet. Poté změříme jedenáctou tabletu a ově-říme, zda se bude nacházet v daném predikčním intervalu. Očekáváme, že přibližně950 intervalů (tj. 95 %) bude obsahovat hodnotu jedenácté tablety x11. Zbývajících50 intervalů tuto hodnotu neobsahuje a může být od této hodnoty velmi daleko. Ob-dobný výsledek bychom očekávali pro jakoukoli hodnotu N .

Z výše uvedeného vyplývá, že můžeme predikční interval použít v případě, kdy sezajímáme pouze o jednu konkrétní tabletu, kterou chceme v budoucnu použít. Pří-stup však může být rozšířen a můžeme sestrojit i predikční intervaly pro k budoucíchtablet. V případě, že bychom uvažovali velký počet budoucích pozorování, vede takovérozšíření k tolerančnímu intervalu.

5. Toleranční interval

Toleranční intervaly jsou rozšířením predikčních intervalů pro velký počet budoucíchpozorování. Typickou aplikací je farmaceutická výrobní linka, která produkuje milionytablet, a nás zajímá, jestli bude mít dostatečný počet budoucích tablet odpovídajícíkvalitu. Cílem je sestrojit takový interval, který bude obsahovat 100β % budoucíchpozorování, pro předepsané β ∈ (0, 1) s danou pravděpodobností 100(1 − α) %. Napří-klad tedy konstruujeme interval, který s 95% jistotou bude obsahovat 99 % budoucíchpozorování. Obdobně jako v předchozích případech je 95% jistota interpretována v opa-kovaném použití metody, zatímco 99 % opravdu znamená odpovídající podíl budoucíchpozorování. Pokud tedy metodu budeme používat opakovaně, v 95 % případů použitímetody bude výsledný toleranční interval obsahovat 99 % budoucích pozorování.

Toleranční interval je řešen sestrojením konfidenčních intervalů na hladině 1 − αpro kvantily, které mezi sebou obsahují 100β % pozorování. Hodnota α pak vyjadřujenejistotu v odhadu těchto kvantilů. Odhadování kvantilů není jednoduchou záležitostí,neboť přesnost odhadu je velice nízká, pokud nemáme opravdu velké množství pozoro-



vání. Proto jsou toleranční intervaly často velice široké a konvergují ke kvantilům jenvelmi pomalu. Problém je, že přesnost odhadu kvantilů klesá, čím blíže je β k jedné.Právě vysoké hodnoty β jsou ovšem v praxi nutné, neboť obvykle požadujeme zárukuohledně kvality vysokého podílu produktů.

Sestrojit oboustranný toleranční interval není jednoduché ani pro normální rozdě-lení. Konstrukce totiž vychází ze dvou konfidenčních intervalů na hladině 1 − α pro1−β/2 a β/2 kvantily (které mezi sebou podle definice mají 100β % pozorování). Tytodva konfidenční intervaly musíme nějakým způsobem spojit v jeden toleranční interval.Řešení takového problému není jednoznačné a i pro toleranční interval symetrickýkolem odhadu střední hodnoty X existují pouze přibližná řešení.

V případě normálního rozdělení s neznámou střední hodnotou a rozptylem lzetoleranční interval odhadnout dle [3] jako

[

X − z1−β/2

√

s2k; X + z1−β/2

√

s2k]

, (5)

kde

k =

√

(N − 1 + N−1

N )

χ21−α,N−1

√

1 +N − 3 − χ2

1−α,N−1

2(N + 1)2. (6)

Povšimněme si, že vzorec se výrazně liší od vzorců (3) a (4). Prvním rozdílem je pří-tomnost z1−β/2 kvantilu normálního rozdělení namísto Studentova rozdělení. Všimně-me si však, že kvantil je zde závislý na β (a nikoliv na α) a souvisí tedy s tím, žebudoucí pozorování pochází z normálního rozdělení. Hodnota α se ve vzorci objevujeu dalšího kvantilu, tentokrát χ2, tzv. chí-kvadrát rozdělení, které souvisí s rozdělenímodhadu rozptylu normálního rozdělení. Ze vzorce (5) vidíme, že centrovanost kolembodového odhadu střední hodnoty zůstává. Při bližším prozkoumání vzorce (6) by pakbylo zřejmé, že pro dané β bude interval tím širší, čím vyšší bude odhadnutý roz-ptyl s2 a požadovaná hladina 1 − α a čím menší bude počet pozorování N použitýchk sestrojení intervalu.

Uvažujme toleranční interval s mezemi označenými A, B. Tyto meze jsou ná-hodnými veličinami, neboť sestrojení intervalu jakoukoli metodou bude záviset nanapozorovaných hodnotách X1, . . . , XN , a jejich plný zápis by byl A(X1, . . . , XN )a B(X1, . . . , XN). Platí pak, že při opakovaném použití dané metody k sestrojení tole-rančního intervalu, bude 100β % pozorování obsaženo v tolerančním intervalu s prav-děpodobností 1 − α:

P (P (X ∈ [A; B]) ≥ β) = P

(

∫ B

A

f(x; µ, σ2)dx ≥ β

)

= 1 − α. (7)

Interval sestrojený dle vzorce (5) splňuje tuto rovnici jen přibližně, neboť se jednáo aproximaci. Dodejme, že v praxi se vzorec (5) využívá zřídka, neboť díky numerickýmmetodám lze získat přesnější aproximaci tolerančního intervalu řešením rovnice (7).Detaily o tomto přesnějším řešení lze nalézt v [4].

Podobně jako krajní body predikčního intervalu konvergují krajní body toleranční-ho intervalu s přibývajícím počtem pozorování k hodnotám kvantilů normálního roz-dělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ2. Avšak na rozdíl od predikčního intervalu,jehož krajní body konvergují ke kvantilům odpovídajícím hladině 1 − α, krajní body



tolerančního intervalu konvergují ke kvantilům odpovídajícím požadované proporcipopulace β. Toleranční intervaly totiž vychází z 100(1 − α)% konfidenčních intervalů100β/2% a 100(1 − β/2)% kvantilů; jak již bylo uvedeno výše, konfidenční intervalykonvergují k jedinému číslu, tj. v tomto případě k příslušnému kvantilu.

Použijme následující hypotetickou situaci k demonstrování interpretace toleran-čního intervalu. Uvažujme, že máme tisíc datových souborů z normálního rozdělenía pro každý datový soubor sestrojíme toleranční interval s jistotou 95 % pro 99 % bu-doucích pozorování. Poté vygenerujeme tisíc nových hodnot pro každý datový soubora zkontrolujeme, kolik z nich se nachází v příslušném tolerančním intervalu. Přibližně950 intervalů by mělo obsahovat alespoň 990 nových pozorování.

Předpokládejme nyní, že budeme mít k dispozici 1010 tablet pro každý ze sto vý-robních dní. Pro prvních N = 10 tablet změříme obsah účinné látky a vypočítámetoleranční interval na hladině 1 − α = 0,95 a pro β = 0,99; budeme tedy mít stointervalů, jeden pro každý datový soubor deseti tablet z jednoho výrobního dne. Potézměříme zbývajících tisíc tablet v každém dni a ověříme, kolik hodnot se nachází v pří-slušném tolerančním intervalu. Očekáváme, že přibližně 95 intervalů (tj. 95 %) budeobsahovat alespoň 990 (tj. 99 %) tablet. Zbývajících 5 intervalů bude obsahovat nižšípočet budoucích tablet. Obdobný výsledek bychom očekávali pro jakoukoli hodnotu N .

6. Diskuze

Ukázali jsme tři druhy statistických intervalů, které se používají k vyjádření nejistotypři odhadování náhodné veličiny na základě datového souboru. Je důležité si uvědo-mit, že tři prezentované intervaly se liší v konstrukci a v tom, jakému slouží účelu.Konfidenční intervaly dávají informace o nejistotě při odhadu parametrů rozdělení.Predikční intervaly kvantifikují nejistotu v předpovědi jedné budoucí napozorovanéhodnoty a toleranční intervaly rozšiřují předpověď na velké množství budoucích po-zorování. Na příkladu obsahu účinné látky v tabletách konfidenční intervaly vyjadřujínejistotu v odhadu střední hodnoty a rozptylu normálního rozdělení, kterým se hod-noty v tabletách řídí. Predikční intervaly pomohou popsat nejistotu ohledně obsahuúčinné látky v tabletě, kterou se chystáme podat pacientovi. Konečně, toleranční inter-valy vyjadřují, jakou nejistotu máme o obsahu účinné látky v jednotlivých tabletáchpři výrobě velkého množství tablet.

Nesprávné použití těchto intervalů je bohužel častým jevem a může vést k velmizavádějícím výsledkům. Pro 95% konfidenční intervaly je důležité si pamatovat, že sicev 95 % skutečnou hodnotu µ obsahují, ale že ve zbývajících 5 % mohou být zcela špatně.Predikční intervaly je pak třeba vždy interpretovat ve vztahu k jednomu jedinémubudoucímu pozorování. Pro toleranční intervaly je dobré mít na paměti, že mohou býtvelmi široké jen kvůli tomu, že odhad kvantilů byl velmi nepřesný (především pokudchceme hodnotu β blízko jedné) a že je třeba mít pro jejich přesný odhad mnohem vícpozorování N , než v případě konfidenčních a predikčních intervalů.

Náhodná veličina uvažovaná v tomto příspěvku měla normální rozdělení. Samozřej-mě veškeré prezentované intervaly lze zkonstruovat pro jakákoli rozdělení. V případěspojitých veličin bude přístup obdobný, ovšem v případě diskrétních veličin může býtsituace výrazně složitější a některé prezentované definice vyžadují úpravu (napříkladdefinice kvantilů). Diskrétní veličiny jsou takové, které nabývají jedné z konečně či



spočetně mnoha hodnot (například výsledek hodu mincí, počet dětí či počet přístupůna internetovou stránku). Samozřejmě, i pro tyto veličiny můžeme zkonstruovat výšepopsané intervaly a jejich interpretace bude obdobná jako ve výše popsaném případěnormálního rozdělení. Dále mohou být statistické intervaly rozšířeny pro vícerozměrnýpřípad na tzv. statistické oblasti.

Dodejme pro úplnost, že intervaly popisované v tomto příspěvku vychází z frek-ventistického pojetí statistiky. Bayesovská statistika umožňuje odhadnout intervalyobdobného typu, nicméně jejich interpretace se liší vzhledem k jinému pohledu na pa-rametry a pravděpodobnost jako takovou. Při interpretaci výsledků mohou být rozdílypoměrně podstatné, ale jejich vysvětlení by bylo materiálem pro samostatný příspěvek,a proto jsme se bayesovskému přístupu v tomto článku nijak nevěnovali.

Pro další studium problematiky statistických intervalů doporučujeme např. [2] a [4].

Poděkování. Autor děkuje za užitečné komentáře, které přispěly k výraznému vy-lepšení článku, RNDr. Jiřímu Dvořákovi, Ph.D., a Mgr. Čeňku Jirsákovi. Za korekturupatří poděkování Marii Staré.

L i t e r a t u r a

[1] Anděl, J.: Statistické metody. MatfyzPress, Praha, 2007.

[2] Hahn, G. J., Meeker, W. Q.: Statistical intervals: a guide for practitioners. John Wiley,2001.

[3] Howe, W. G.: Two-sided tolerance limits for normal populations. J. Amer. Statist. As-soc. 64 (1969), 610–620.

[4] Krishnamoorthy, K., Mathew, T.: Statistical tolerance regions. John Wiley, NewJersey, 2009.



Globální obálkové testy aneb jak otestovatvhodnost statistického modelu na základě

funkcionální charakteristiky

Tomáš Mrkvička, České Budějovice

Abstrakt. Obálkové metody představují populární nástroj pro testování hypotéz o vhodnosti

statistického modelu. Tyto testy graficky porovnávají funkci T : I → R vypočtenou ze statis-

tických dat s jejím protějškem získaným simulacemi. Chyba prvního druhu α, tj. pravděpo-

dobnost zamítnutí platné hypotézy, je obvykle kontrolována pouze pro fixní hodnotu r ∈ I ,

zatímco funkce T je definována na intervalu hodnot I . V tomto článku představíme nový glo-

bální obálkový test, který umožňuje kontrolovat chybu prvního druhu současně pro všechny

hodnoty z intervalu I pomocí tzv. globální obálky, která je přímo provázána s výslednou

p-hodnotou testu. Použití obálkového testu ilustrujeme na příkladu zkoumání interakcí mezi

částicemi v rovině.

1. Úvod

Při analýze statistických dat se v současné době pracuje s velmi komplexními matema-tickými modely. Obvykle chceme otestovat, zda zvolený model skutečně odpovídá na-měřeným datům. Abychom mohli takový test provést, musíme nejprve zvolit testovoustatistiku, která je schopná identifikovat, zda naše data odpovídají modelu. V nejjed-nodušších případech se jako testová statistika používá jednorozměrná charakteristika(číslo spočtené z dat, např. testová statistika T u Studentova t-testu). Ta ovšem býváv dnešní době často nedostačující, a proto je nutné uvažovat statistiky vícerozměrné(vektorové), nebo dokonce funkcionální (tj. funkce T : I → R, kde I ⊂ R

d). Při jejichpoužití se test vlastně skládá z řady samostatných jednorozměrných podtestů, kteréjsou vzájemně korelované (hovoří se o problému mnohonásobného porovnávání).

V tomto článku shrneme některé metody, které řeší problém testování vhodnostimodelu při použití vícerozměrné nebo funkcionální charakteristiky jako testovací sta-tistiky. Tyto metody navíc poskytují tzv. globální obálky, které umožňují grafickouinterpretaci výsledku testu.

V článku ukážeme, jak provádět globální obálkové testy na příkladu bodovéhoprocesu, tyto metody se ovšem dají využít v mnoha jiných oblastech, např. v časovýchřadách, v geostatistice, k testování modelů distribučních funkcí, v analýze funkcionál-ních dat atd. Bodovým procesem rozumíme náhodnou konfiguraci bodů v prostoru [4]

Doc. RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D., Katedra aplikované matematiky a informatiky,Ekonomická fakulta JU v Českých Budějovicích, Studentská 13, 370 01 České Budějovice,e-mail: [email protected]



Obr. 1. Vzorek nitromembránových částic pozorovaný v okně velikosti 512 × 512 pixelů(336 nm × 336 nm)

a pro jednoduchost budeme uvažovat jen rovinný bodový proces. Příklad realizacebodového procesu je na obr. 1.

2. Jednorozměrný Monte Carlo test

Obr. 1, který v dalším textu použijeme jako ilustrační příklad, ukazuje prostorovéumístění nitromembránových částic mitochondrických membrán z HeLa buněk, a tokonkrétně jednoho vzorku kontrolní skupiny převzatého ze studie [3]. HeLa buňky jsounádorové buňky děložního hrdla. Otázka, která nás zajímá, je, zda částice mezi sebouinteragují, případně jaký typ interakce vykazují. Jako model, který může tuto otázkuzodpovědět, zvolíme Poissonův bodový proces, který popisuje body, jež jsou úplně ná-hodně rozmístěné v prostoru. To znamená, že počet bodů v libovolné podmnožině Buvažované oblasti má Poissonovo rozdělení s parametrem daným jako λ-násobek ob-sahu množiny B, kde λ je tzv. intenzita procesu (vyjadřuje střední počet bodů v mno-žině o jednotkovém obsahu). Dále platí, že počet bodů v množině B je nezávislý napočtu bodů v jiných, disjunktních množinách. Tento model nevykazuje žádné inter-akce mezi částicemi. Nulová hypotéza, kterou budeme testovat, je, zda uvedená datamohou být modelována Poissonovým bodovým procesem.

Nejpoužívanější funkcionální charakteristikou bodových procesů je tzv. RipleyhoK-funkce, K(r) = E(Nr)/λ, kde Nr je počet bodů do vzdálenosti r od náhodnéhobodu, E označuje střední hodnotu a λ je intenzita procesu. Normovaná, centrovanáK-funkce se označuje jako L-funkce a je definována vztahem L(r) =

√

K(r)/π − r.Pro Poissonův proces platí L(r) ≡ 0. Jestliže pro malá r je L(r) > 0, pak lze ve vzorkuidentifikovat shluky bodů. Pokud naopak pro malá r platí L(r) < 0, pozorujeme vevzorku odpuzující chování bodů.



−5

0

5

L(r)

400 20 60 80 100 120

r

Obr. 2. Čárkovaně je zobrazena hranice obálky, tj. maximum a minimum spočtené z 99 si-mulací L-funkce. Plná čára zobrazuje L-funkci spočtenou z dat na obrázku 1.

Jako jednorozměrnou testovou statistiku můžeme použít např. hodnotu L(R) prokonkrétní vzdálenost R. Monte Carlo test pak proběhne tak, že nasimulujeme s Pois-sonových bodových procesů a z nich spočteme s testových statistik L1(R), . . . , Ls(R).Patří-li pak L(R) mezi 2,5 % největších nebo 2,5 % nejmenších hodnot, zamítnemenulovou hypotézu na hladině významnosti 5 % (tj. s chybou prvního druhu 5 %).

V uvedeném příkladě je zjevným nedostatkem fakt, že bereme v úvahu pouze jednuvzdálenost R. Vezmeme-li v úvahu více hodnot R, nastane problém s vícenásobnýmporovnáváním. A právě řešení tohoto problému se budeme dále věnovat.

Na obr. 2 je pro úplnost zobrazena průzkumná metoda, jež se často používalapřed zavedením globálních obálek. Hranici obálky zde tvoří maximum a minimumz 99 funkcí L získaných simulacemi Poissonova procesu. Pro pevně zvolené R platí,že pokud L(R) neleží v intervalu určeném obálkou, pak můžeme zamítnout nulovouhypotézu na hladině významnosti α = 2 % (dle jednorozměrného Monte Carlo testuspočteného na základě 99 simulací). Problém nastává, jestliže se graf pozoruje jakocelek a ze skutečnosti, že L(r) je mimo zobrazenou obálku pro nějaké r ∈ I, se vyvozujízávěry o zamítnutí nulové hypotézy. Takové tvrzení může mít hladinu významnosti αznačně velikou; konkrétní příklady ukazují, že α může narůst až přes 60 %. Toto zjištěnírozpoutalo vlnu studií, které vedly k zavedení globálních obálek.

3. Pořadový obálkový test

Pořadový obálkový test zavedený poprvé v [1] poskytuje globální obálku a zároveňp-hodnotu testu. Globální obálka vytvořená v rámci ilustračního příkladu je zobrazenana obr. 3. Vidíme zde testovou funkci spočtenou na základě zkoumaných dat (plnáčára) a 95% globální obálku spočtenou ze simulací testové funkce za předpokladunulové hypotézy. Jestliže funkce spočtená z dat vystupuje z globální obálky, dostáváme



důkaz o neplatnosti nulové hypotézy na hladině významnosti 5 %. Navíc zde můžemepozorovat, pro které hodnoty argumentu r jsou data mimo globální obálku.

Pořadový obálkový test je plně neparametrický, tudíž není senzitivní na změnyrozdělení v testové statistice T (r) pro různá r ∈ I (kde I je množina hodnot r, kterévstupují do testu). Všechny hodnoty r, které bereme v potaz, mají v testu stejnouváhu. Tato vlastnost umožňuje konstrukci testu na základě několika testových funkcízároveň, jak bylo navrženo v článku [2]. V tomto spojeném testu mají všechny testovéfunkce stejnou váhu, což vede k mnoha zajímavým aplikacím testu.

Popišme nyní v krátkosti zmíněný test. Detaily je možné dohledat v originálníchpublikacích. Předpokládejme, že máme testovou funkci T1 : I → R, která je spoč-tená z dat, a soubor simulací T2, . . . , Ts+1 : I → R získaných za předpokladu nulovéhypotézy. Definujme k-tou horní a dolní pořadovou obálku jako

T(k)

low(r) = mink

i=1,...,s+1Ti(r), T (k)upp(r) = maxk

i=1,...,s+1Ti(r), k = 1, . . . , ⌊s/2⌋ ,

kde mink a maxk označují k-té nejmenší a největší hodnoty. Potom extrémní pořadí Ri

je největší k takové, že

T(k)

low(r) ≤ Ti(r) ≤ T (k)

upp(r) pro všechna r ∈ I.

Velká hodnota Ri říká, že funkce Ti je centrální funkcí v souboru T1, . . . , Ts+1,zatímco malá hodnota Ri znamená extrémnost.

Přesné pořadí R1 mezi všemi hodnotami R1, . . . , Rs+1 nemůžeme vždy určit, neboťněkteré hodnoty se mohou shodovat. Můžeme ale definovat nejmenší p-hodnotu, ozna-čovanou jako liberální, a největší p-hodnotu, označovanou jako konzervativní (symbol 1označuje indikátorovou funkci):

p− =1

s + 1

s+1∑

i=1

1(Ri < R1) a p+ =1

s + 1

s+1∑

i=1

1(Ri ≤ R1).

Výsledkem testu pak není jediná p-hodnota, ale p-interval (p−, p+]. Pro hladinu spo-lehlivosti α ≥ p+ dojde k zamínutí nulové hypotézy, zatímco pro α < p− k jejímunezamítnutí (viz níže).

100·(1−α)% globální obálka se konstruuje následovně: Nechť tk je počet simulací Ti,i ∈ 1, . . . , s + 1, pro které T

(k)

low(r) ≤ Ti(r) ≤ T

(k)upp(r) pro všechna r ∈ I. Pak

100 · (1 − α)% globální obálka je dána kritickými hranicemi T(kα

)upp a T

(kα

)

low, kde kα je

největší k, pro něž tk/(s + 1) ≥ 1 − α.Grafická interpretace testu, která odpovídá interpretaci dané p-intervalem, je ná-

sledující:

• Jestliže se graf T1 nebo jeho část nachází mimo 100 · (1 − α)% globální obálku,potom p+ ≤ α a nulová hypotéza je zamítnuta na předepsané hladině testu α.

• Jestliže graf T1 leží uvnitř 100 · (1 − α)% globální obálky a nedotýká se jejíhranice, potom p− > α a nulová hypotéza není zamítnuta.

• Jestliže graf T1 leží uvnitř obálky a dotýká se její hranice, potom p− ≤ α < p+

a rozhodnutí je v „šedé zóně“.



−5

0

5

25 50 75 100 125

r

L(r)

Obr. 3. Pořadový obálkový test nulové hypotézy odpovídající tvrzení, že Poissonův proces jevhodným modelem pro nitromembránová data. Test byl proveden na základě 4999 simulací.Šedá oblast ukazuje 95% globální obálku.

Jeden možný přístup k řešení problému „šedé zóny“ je založen na zjemnění výšedefinovaného extrémního pořadí Ri; detaily lze najít v [1].

Obr. 3 ukazuje grafický výsledek pořadového obálkového testu, zkoumajícího vhod-nost Poissonova modelu pro data z obr. 1. Vhodnost modelu je jednoznačně zamítnuta,jelikož testová funkce spočtená z dat je mimo globální obálku. Navíc ovšem získávámeinformaci o tom, že částice se odpuzují pro velmi malé vzdálenosti (což je zřejmě způso-beno fyzickou velikostí částic) a naopak tvoří shluky v mezičásticových vzdálenostechokolo 75 pixelů. Tyto výsledky jsme prokázali na hladině významnosti α = 5 %, což jeglobální hladina svazující významnost všech podtestů reprezentovaných jednotlivýmihodnotami r.

4. Složená hypotéza

Pořadový obálkový test dosahuje přesně přednastavené hladiny α v případě, že nulováhypotéza je jednoduchá, tj. nezávisí na parametrech nebo jsou tyto parametry známy.Výše testovaná nulová hypotéza je ovšem složená, jelikož v rámci testování Poissonovamodelu odhadujeme parametr intenzity λ. Provedený test tudíž nemá přesně zvolenouhladinu významnosti 5 %, ale je lehce konzervativní. Můžeme říci, že je pouze lehcekonzervativní, jelikož procedura pro odhad parametru intenzity (počet pozorovanýchbodů vydělený obsahem pozorovaného okna) je pouze slabě korelovaná s proceduroutestu založenou na L-funkci, která sleduje počet sousedů typického bodu normovanýprávě intenzitou. Tuto konzervativnost testu buď můžeme akceptovat, nebo provedemetzv. upravený pořadový obálkový test [1], který tento problém vyřeší. Problém tohotořešení ovšem spočívá v tom, že testová procedura obsahuje dvojnásobný Monte Carlotest, neboli Monte Carlo test vytvořený pro každou simulaci Monte Carlo testu. Takováprocedura vyžaduje s2 simulací, a tudíž je značně výpočetně náročná.

Obr. 4 ukazuje grafický výsledek upraveného pořadového obálkového testu vhod-nosti Poissonova modelu pro zkoumaná data. Výsledky jsou ve shodě s neupraveným



−5

0

5

25 50 75 100 125

r

L(r)

Obr. 4. Upravený pořadový obálkový test nulové hypotézy odpovídající tvrzení, že Poisso-nův proces je vhodným modelem pro nitromembránová data. Test byl proveden na základě24992 simulací. Šedá oblast ukazuje 95% upravenou globální obálku.

testem, jelikož rozdíl mezi oběma variantami je v tomto případě mizivý. Na druhoustranu v případě, že korelace mezi procedurou odhadu a procedurou testu je větší,může být rozdíl mezi oběma variantami testu značný.

5. Diskuze

Pro některé (zejména složené) nulové hypotézy můžou simulace vyžadované testemtrvat příliš dlouho. V takovém případě je možné použít aproximace pořadového testuzavedené také v článku [1], které jsou částečně parametrické a aproximují obálky po-mocí kvantilů rozdělení T (r). Tento test pak vyžaduje minimálně s = 99 simulací,zatímco u pořadového testu je doporučováno alespoň s = 2499 simulací.

Simulační studie provedené v článku [1] dále ukazují, že pořadový obálkový testje značně stabilní vzhledem ke změně délky intervalu I, který v testu uvažujeme. Jedoporučováno zvolit za I široký interval, který pokryje celou oblast zájmu.

Někdy můžeme vybrat konkrétní testovou funkci, jež je citlivá na konkrétní alter-nativní model, vůči kterému chceme nulovou hypotézu testovat. Nicméně častěji alter-nativní model není znám, tudíž neexistuje a priori nejlepší testová funkce dané nulovéhypotézy. V takovém případě můžeme testy založit na více testových funkcích, jak byloukázáno v článku [2]. Pořadový obálkový test může být použit pro kombinaci něko-lika testových funkcí zároveň, přičemž vrátí jednu globální p-hodnotu a kombinovanouglobální obálku pro všechny funkce. Navíc simulační studie ukazují, že kombinovanýpořadový test má jen o málo menší sílu (pravděpodobnost zamítnutí neplatné nulovéhypotézy) než pořadový test založený na jedné nejsilnější testové funkci, která ovšemmůže být určena pouze po provedení konkrétních simulačních studií.

Poděkování. Autor byl finančně podporován Grantovou agenturou České repub-liky (projekt 16-03708S).



L i t e r a t u r a

[1] Myllymäki, M., Mrkvička, T., Seijo, H., Grabarnik, P., Hahn, U.: Glo-

bal envelope tests for spatial processes. J. R. Statist. Soc. B (2016), v tisku, doi:10.1111/rssb.12172.

[2] Mrkvička, T., Myllymäki, M., Hahn, U.: Multiple Monte Carlo testing with appli-

cations in spatial point processes. Stat. Comput. (2016), v tisku, doi: 10.1007/s11222-016-9683-9.

[3] Schladitz, K., Särkkä, A., Pavenstädt, I., Haferkamp, O., Mattfeldt, T.:Statistical analysis of intramembranous particles using freeze fracture specimens.J. Microsc. 211 (2003), 137–153.

[4] Stoyan, D., Kendall, W. S., Mecke, J.: Stochastic geometry and its applications.3. vydání, John Wiley, Chichester, 1995.



Na stopě nebeské mechaniky v N -částicovém

jádře Mléčné dráhyJaroslav Haas, Praha

Abstrakt. Studium dynamiky soustav vzájemně gravitačně interagujících objektů představuje

velmi důležitý obor astronomie. Jednou z přirozeně používaných metod je přímé N-částicové

modelování, tedy numerická integrace příslušných pohybových rovnic bez nutnosti zavádění

dodatečných předpokladů o vnitřním uspořádání soustavy. Tento velice univerzální přístup

je však zatížen numerickými chybami, které mohou do výsledků vnášet nežádoucí artefakty.

U soustav s vhodným vnitřním uspořádáním je ale možné využít poruchových metod klasické

nebeské mechaniky a nalézt pro pozorovaný vývoj N-částicových modelů fyzikální vysvětlení.

Soustavy tohoto typu se ve vesmíru nacházejí v jádrech galaxií, u kterých se usuzuje na

přítomnost velice hmotných černých veleděr v jejich středech. V tomto článku uvedený přístup

demonstrujeme na příkladu dvou jevů popsaných pro hvězdokupu pozorovanou v jádře naší

Galaxie.

1. Problém N těles

Na první pohled si lze jen těžko představit jednodušší fyzikální systém, než jakým jesoustava N hmotných bodů, které se vzájemně neovlivňují jinak než svou gravitačnípřitažlivostí. A je to právě takovýto systém, který hraje zcela zásadní roli napříč celýmvesmírem na všech jeho škálách. Počínaje planetami a jejich měsíci, planetkami čicelými planetárními systémy v gravitačních polích svých mateřských hvězd, přes různěrozlehlé hvězdné asociace či hvězdokupy čítající od několika desítek po miliony hvězd,až po galaxie, jejich kupy či jim ještě dále nadřazené celky. Ve všech těchto případechlze při studiu jejich dynamiky považovat jednotlivé objekty v prvních přiblíženíchprávě za hmotné body a celý systém se tak stává problémem N těles (byť slovo tělesonavozuje dojem prostorové rozlehlosti, jedná se o ustálený název i pro případ hmotnýchbodů).

V průběhu staletí se problém N těles stal nejprve předmětem zájmu vědní dis-ciplíny nazývané nebeská mechanika. Přes svou poetičnost je to název velmi prostý,jelikož označuje obor zabývající se pohyby těles pozorovaných na nebi a jejich příči-nami. V počátcích bylo snahou nebeských mechaniků vysvětlit pohyby těles slunečnísoustavy (planet, komet či planetek), protože tyto pohyby bylo i tehdejšími přístrojimožné dostatečně přesně měřit. To přirozeně ovlivnilo využívané matematické metody,včetně předpokladů podmiňujících jejich použitelnost. Tím hlavním je obvykle jistáhierarchičnost studovaného systému, kdy jedna jeho část představuje pouze malou po-ruchu k druhé, dominantní části, která je jednodušší a snadněji řešitelná. Příklademmůže být pohyb planetky v gravitačním poli Slunce za poruchového působení planet,např. Jupiteru. Bez tohoto působení by dráha planetky byla pouze notoricky známou,

RNDr. Jaroslav Haas, Ph.D., Astronomický ústav UK, Matematicko-fyzikální fakulta UK,V Holešovičkách 2, 180 00 Praha 8, e-mail: [email protected]



neměnnou Keplerovou elipsou se Sluncem v ohnisku. Přitažlivost Jupiteru však můževést k pomalým (vzhledem k oběžné době planetky kolem Slunce), ale systematickým— tzv. sekulárním — změnám tvaru a orientace dráhy planetky, které po určité doběmohou být velmi výrazné. Jiným, vícečásticovým (další běžné označení pro pohybujícíse tělesa) příkladem je pak vzájemné poruchové působení planet při jejich oběhu kolemSlunce, které rovněž vede k sekulárním změnám jejich drah.

Se zlepšujícími se pozorovatelskými možnostmi bylo však postupně možné nahléd-nout do N -částicových systémů, které se od těch v hledáčku klasické nebeské me-chaniky poněkud odlišují — do hvězdokup. Rozdíl tkví obvykle především v absencidominantního centrálního tělesa (jako je Slunce v případě sluneční soustavy) a v řá-dově větším počtu vzájemně interagujících těles (hvězd) se srovnatelnou hmotností,která se pohybují na velmi složitých a vzájemně se protínajících drahách. Díky tomuse jednotlivé hvězdy často dostanou velmi blízko k sobě a po určitou dobu vliv jejichvzájemné interakce na podobu jejich drah zcela dominuje nad vlivem zbytku systému.Někdy mohou vytvořit trvalejší pár či dokonce vícenásobný systém, ale v naprostévětšině případů pokračují po velmi krátké době v nezávislých pohybech, avšak již navíce či méně pozměněných drahách. Vzhledem k neuspořádanosti pohybů hvězd vehvězdokupách dochází k těmto setkáním náhodně a vývoj jednotlivých drah je velmisložitý, s vysokou mírou náhodnosti (stochastický). Těmito systémy se zabývá hvězdná(stelární) dynamika, která se tak musí spoléhat na popis metodami statistické fyziky.1

Dynamický vývoj obou uvedených typů systémů lze v principu studovat analyticky.To však bývá obvykle úkol značně nesnadný a je zapotřebí provést mnohá zjednodu-šení, aby bylo možné nalézt řešení příslušných rovnic — v plné obecnosti existuje přesnéanalytické řešení pohybových rovnic pouze pro dvě tělesa. Druhou, a velmi přirozenou,možností je však přímá numerická integrace přesných pohybových rovnic bez ohledu napočet částic či jejich uspořádání (přímé N -částicové modelování), pro kterou existujecelá řada různých algoritmů. Podrobnější diskuze spolehlivosti a fyzikální důvěryhod-nosti N -částicových výpočtů je poměrně složitá a přesahuje rámec tohoto článku (víceinformací např. v práci [2]), ale je potřeba zmínit, že možné problémy jsou v principudva a velmi úzce spolu souvisí. Prvním je fyzikální podstata N -částicového systému,u kterého již malá změna počátečních podmínek vede poměrně rychle k velkým rozdí-lům v jeho vývoji (systém je ljapunovsky nestabilní). Druhou potíží jsou pak numerickéchyby ve výpočtech (zaokrouhlování způsobené konečným počtem uchovávaných de-setinných míst, diskretizace času), které slouží v jistém smyslu právě jako neustálýzdroj změn počátečních podmínek, což vede k nárůstu rozdílu řešení numerického odřešení skutečného. Obecně uznávaným (a v mnohém otestovaným) závěrem však je, žei přes (po jisté době zásadní) nepřesnosti v konkrétních polohách či rychlostech danéčástice jsou výsledky statisticky správné, tj. statisticky vyhodnocené charakteristikysouboru skutečných řešení a řešení získaných numericky jsou stejné. Jedná se všaki dnes, přes 300 let od objevu Newtonova gravitačního zákona, o téma vědecky živé,ačkoli mnohdy tak trochu opomíjené. Je tedy více než vhodné výsledky N -částicovéhomodelování vždy podrobit kritické analýze a podepřít je dalšími argumenty. Jednuz možných cest se pokusíme demonstrovat v tomto článku.

1Poznamenejme ještě, že hranice mezi nebeskou mechanikou a hvězdnou dynamikou je značněneostrá a oba obory se vzájemně v mnohém překrývají. Zrovna tak existují i další spřízněné obory,jako je např. galaktická dynamika, které nesou znaky obou již zmíněných disciplín, ale zároveň majíi svá jasná specifika.



Pro systémy ležící kdesi na pomezí nebeské mechaniky a stelární dynamiky, kterépři N -částicovém modelování vykazují vedle přirozené stochastičnosti i značnou mírusekulárního vývoje, je užitečné nalézt zjednodušený systém, který prochází stejnýmsekulárním vývojem, ale skládá se z co nejmenšího počtu vhodně uspořádaných částí.Pro něj již mohou být použitelné poruchové metody nebeské mechaniky, které takmohou tento sekulární vývoj vysvětlit, a tím pádem poskytnout i hledaný podpůrnýargument pro numericky vysledované chování zkoumaného N -částicového systému.Zcela přirozeně lze tato zjednodušení provádět především u systémů s vhodnými sy-metriemi a hierarchickým uspořádáním. Jak naznačují pozorování, právě takové lzeve vesmíru nalézt v jádrech galaxií, která obsahují černou veledíru o hmotnosti řádumilionů až miliard hmotností našeho Slunce, schopnou vnášet řád do jinak zběsilebublajících jaderných hvězdokup.

1.1. Jádro naší Galaxie

Nejbližším galaktickým jádrem je jádro naší Galaxie — Mléčné dráhy, které ležíve vzdálenosti přibližně 8 kpc (26 tisíc světelných let)2 od Slunce, na obloze v sou-hvězdí Střelce. Studiu jeho různých částí je věnováno nepřeberné množství odbornýchprací, my však pro účely tohoto článku pouze uvedeme několik základních pozoro-vatelských faktů o jeho nejvnitřnější oblasti s odkazem na dvě nejnovější přehledovépráce [4] a [15]. V nich je možné nalézt detailnější informace, včetně odkazů na jed-notlivé úžeji zaměřené publikace.

V současnosti je již všeobecně přijímáno, že se v samotném středu naší Galaxienachází černá veledíra, jejíž hmotnost se odhaduje na zhruba 4 × 106 hmotností na-šeho Slunce. Označuje se obvykle Sgr A⋆ dle pozorovaného zdroje rádiového záření,se kterým se tato černá veledíra spojuje. Kolem ní se rozprostírá zhruba sféricky sy-metrická jaderná hvězdokupa s charakteristickým poloměrem přibližně 4 pc, která seskládá z velmi starých (cca 5 miliard let) hvězd a jejíž celková hmotnost se odhadujena zhruba 2,5 ×107 slunečních hmotností. Přítomnost takovéto staré hvězdokupy v já-dře naší Galaxie byla teoreticky očekávána a její pozorování tak nikoho nepřekvapila.Velmi překvapivým ovšem byl objev více než 100 velmi hmotných mladých (cca 5 mi-lionů let) hvězd v její centrální části, méně než 0,5 pc od Sgr A⋆. U zhruba pětiny těchtohvězd pozorování nasvědčují tomu, že obíhají kolem centrální černé veledíry v poměrnětenkém disku (všeobecně označovaném zkratkou CWS z anglického clockwise system)po eliptických drahách s typickou výstředností kolem 0,3. Odhady celkové hmotnostitohoto hvězdného disku se pohybují v rozmezí od několika tisíc po několik málo desí-tek tisíc slunečních hmotností. Celý hvězdný systém tak svým uspořádáním poněkudpřipomíná obří planetární soustavu, ve které jsou planety nahrazeny hvězdami a cen-trální hvězda černou veledírou. V takovéto situaci je již matematický aparát nebeskémechaniky, za vhodných doplňujících předpokladů, velmi dobře použitelný, což si dáleukážeme na dvou konkrétních příkladech.

2. Sekulární vývoj drah v N-částicových hvězdných systémech

Dříve než přistoupíme k popisu vybraných sekulárních jevů v jádře naší Galaxie, jevhodné si připomenout zavedení Keplerových dráhových elementů, které jsou velmi

21 parsek (pc) ≈ 3,26 světelného roku.



I

Ω

ω

Obr. 1. Význam úhlových Keplerových elementů. Šedou barvou vyplněná elipsa představujereferenční rovinu, vůči které se měří sklon dráhy I . Délka výstupného uzlu Ω se měří odvybraného referenčního směru v referenční rovině k průsečnici této roviny s rovinou dráhy.Převzato z práce [6].

názorným souborem parametrů pro popis hvězdných drah v systémech s dominantnímcentrálním tělesem. První dva elementy definují tvar dráhy a jsou jimi velká poloosa aa výstřednost či excentricita e, dobře známé z analytické geometrie. Dalšími dvěmajsou úhly popisující natočení roviny dráhy v prostoru: sklon či inklinace I a délkavýstupného uzlu Ω. Posledním elementem je argument pericentra ω, který udává na-točení dráhy v této rovině; střední anomálie udávající pozici hvězdy na dráze je totižpro naše účely irelevantní. Význam úhlových Keplerových elementů je znázorněn naobr. 1.

V obou následujících příkladech je ústřední zkoumanou složkou uvažovaného systé-mu disk několika set až tisíců hvězd obíhajících kolem centrální černé veledíry, je-jichž úhrnná hmotnost je rovna řádově desetinám procenta hmotnosti centra. Provlastní numerickou integraci pohybových rovnic byl použit volně dostupný programNBODY6 [1], který je založen na Hermiteově metodě čtvrtého řádu.

2.1. Vázaný vývoj drah z disku v poli vzdálené, osově symetrické poruchy

Kromě již zmíněné hvězdné složky se v centru naší Galaxie rovněž pozorují různéplynné objekty. Jedním z nich je cirkumjaderný disk (zkratka CND z anglického cir-cumnuclear disc). V prvním přiblížení jde o plynný torus s charakteristickým polo-měrem zhruba 2 pc obepínající oblast mladých hvězd s černou veledírou Sgr A⋆ vesvém středu. Otázka jeho celkové hmotnosti je stále otevřená, ale v úvahu připadářádové rozpětí 104–106 slunečních hmotností, což z cirkumjaderného disku dělá možnývýznamný zdroj poruchového gravitačního potenciálu pro dynamický vývoj disku mla-dých hvězd. Díky jeho rozměrům jej rovněž lze považovat za zdroj vzdálený, u kteréhonedochází k blízkým setkáním s hvězdami disku, a tím pádem ani k narušení hierar-chického uspořádání celého systému.

Zahrnutí vzdáleného, osově symetrického gravitačního poruchového potenciálu doN -částicového modelu hvězdného disku kolem černé veledíry vede k vývoji znázorněné-



0

360

0

180

Obr. 2. Vývoj prostorových orientací rovin drah hvězd disku v prostoru elementů Ω (hori-zontální osa) a I (vertikální osa) v N-částicovém modelu. Referenční rovinou je rovina kolmána osu symetrie poruchy. Zobrazeny jsou jen dráhy nejhmotnějších hvězd z disku, jelikoži v centru Galaxie se doposud pozorují kvůli velké vzdálenosti pouze velmi hmotné hvězdy.Počáteční stav je označen prázdným kroužkem, křížky označují stav po několika milionechlet dynamického vývoje (při škálování na parametry hvězdného systému kolem Sgr A⋆). Pře-kresleno z výsledků práce [8].

mu na obr. 2. Na něm jsou jednotlivé dráhy z disku vyobrazeny v prostoru elementů Ω(horizontální osa) a I (vertikální osa) s referenční rovinou zvolenou kolmou k ose syme-trie poruchy — cirkumjaderného disku. Jinými slovy řečeno, obr. 2 ukazuje prostorovéorientace rovin těchto drah. Jelikož v disku mají jednotlivé dráhy podobnou prostoro-vou orientaci svých rovin, tvoří takové dráhy v tomto zobrazení kompaktní skupinu,což je vidět především u počátečního stavu s typickým sklonem 70 (označen prázd-ným kroužkem). V průběhu vývoje disku dochází k tomu, že jeho vnitřní — hustší— části drží pohromadě a zvyšují svůj sklon k 90 [16], [8]. Naproti tomu ve vnějšíchčástech sklon drah spíše klesá a disková struktura je postupně rozbíjena precesí Ω, jejížrychlost je odlišná v různých částech disku (tzv. diferenciální precese).

Vysvětlení popsaného N -částicového vývoje je možné nalézt pomocí zjednoduše-ného analytického modelu, který zahrnuje pouze dvě hvězdy z disku (na kruhovýchdrahách) vzájemně gravitačně interagující v potenciálu centrální černé veledíry a vzdá-lené, osově symetrické poruchy [9]. V závislosti na relativní síle této interakce vůčivlivu poruchy (dáno separací jednotlivých částí systému a jejich hmotnostmi) mohoudráhy těchto hvězd procházet dvěma kvalitativně odlišnými typy vývoje. Pokud jeinterakce silná, výstupné uzly obou drah vázaně precedují v poli poruchy. Při slabéinterakci je naopak tato precese nezávislá. V obou případech rovněž dochází k více čiméně významným oscilacím sklonů drah. Při zobecnění tohoto modelu na libovolnýpočet hvězd v disku pak mohou různé hvězdy či skupiny hvězd vzájemně interagovatv odlišných režimech. To je znázorněno na obr. 3, který odpovídá případu se čtyřmi



55

60

65

70

75

80

85

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

t (miliony let)

I

−700

−600

−500

−400

−300

−200

−100

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

t (miliony let)

Ω

Obr. 3. Sekulární vývoj čtyř vzájemně interagujících drah v analytickém modelu. Vlevo jezobrazen vývoj sklonů jednotlivých drah vůči referenční rovině poruchy. Vpravo je pro stejnédráhy vykreslen vývoj délek výstupných uzlů. Plné křivky popisují vnitřní dvojici drah, čár-kované vnější dvojici. Vzhledem k vázanosti precese výstupných uzlů v rámci každé dvojiceleží příslušné křivky nerozlišitelně přes sebe. Časové jednotky odpovídají škálování problémuna parametry hvězdného systému kolem Sgr A⋆. Překresleno z výsledků práce [9].

hvězdami. Jak je vidět, jedná se o dvě dvojice silně interagujících hvězd, které spolunaopak interagují ve slabém režimu. Ve všech případech platí, že je to právě vnitřníhvězda (či skupina — dvojice hvězd), tedy hvězda na dráze s menší velkou poloosou,která zpočátku sklon své dráhy vůči referenční rovině (rovině poruchy) zvyšuje. Získa-nými poznatky z analytického modelu lze tak již snadno vysvětlit vývoj N -částicovéhomodelu z obr. 2.

Poznamenejme ještě, že popsaný vývoj hvězdného disku v poruchovém gravitačnímpotenciálu plynného cirkumjaderného disku přirozeně vede k jejich vzájemné kolmosti— prostorové orientaci, která je pro tyto objekty pozorována v jádře naší Galaxie.

2.2. Kozaiovy–Lidovovy cykly jednotlivých drah v excentrickém disku

V dosavadních modelech byla jedním ze zjednodušujících předpokladů počáteční kru-hovost drah hvězd kolem černé veledíry. Z modelování procesu formování disků hvězdkolem černé veledíry však spíše vyplývá, že dráhy nově vzniklých hvězd by byly mírněexcentrické [14]. Ačkoli v případě našeho N -částicového modelu docházelo díky přiro-zenému vývoji k postupnému zvyšování excentricity těchto drah, otázkou stále zůstává,jaký vliv na vývoj disku hvězd obíhajících černou veledíru by měla počáteční excent-ricita jejich drah. Dále se proto pro jednoduchost omezme na systém bez přítomnostiosově symetrické poruchy (plynného cirkumjaderného disku) a uvažujme pouze diskhvězd obíhajících černou veledíru po excentrických drahách, jejichž pericentra jsou napočátku natočena do stejného směru. Při takovém uspořádání je celkový gravitačnípotenciál disku na počátku rovněž excentrický.3

Při N -částicovém modelování vývoje takového systému je možné pozorovat, narozdíl od osově symetrických disků, nezanedbatelný počet hvězd dostávajících se dovelmi těsné blízkosti centrální černé veledíry. To může nastat jen tehdy, pokud se

3Uvědomme si, že při pericentrech s rovnoměrně rozděleným úhlem natočení by i přes nenulovouexcentricitu jednotlivých drah byl celkový potenciál disku osově symetrický.



0

1

π/2

π

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

t (miliony let)

e,I

0

1

π/2

π

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

t (miliony let)

Obr. 4. Příklady sekulárního vývoje excentricity e (čárkovaně) a sklonu I (plně; v radiánech)jednotlivých vnitřních drah z excentrického disku hvězd kolem černé veledíry. V levém paneluje zobrazeno koplanární přetočení dráhy v průběhu excentrických Kozaiových–Lidovovýchcyklů. Pravý panel ukazuje klasické Kozaiovy–Lidovovy cykly s náhodným přetočením díkytěsnému přiblížení jiné hvězdy v případě, kdy je disk zanořen do dodatečného sféricky symet-rického gravitačního potenciálu. Časové jednotky odpovídají škálování problému na parame-try hvězdného systému kolem Sgr A⋆. Překresleno z výsledků práce [7].

jejich dráhy stanou prakticky radiálními, tj. pokud jejich excentricita dosáhne hodnotvelmi blízkých 1. Ukazuje se, že tento nárůst excentricity je důsledkem sekulárníhovývoje jednotlivých drah v celkovém excentrickém gravitačním potenciálu samotnéhodisku [7], který tak slouží nejen jako rezervoár porušených drah, ale současně i jakozdroj poruchového potenciálu.

Vývoj excentricity a sklonu pro dvě dráhy z vnitřních částí disku prodělávajícíchzřejmý sekulární vývoj je uveden na obr. 4. Dráha v levém panelu prochází tzv. kopla-nárním přetočením v rámci excentrických Kozaiových–Lidovových cyklů, jevem poprvénedávno popsaným pro hierarchický problém tří těles v práci [12] a majícím uplatněnípředevším ve studiu dynamiky exoplanetárních systémů. Během tohoto přetočení sevlivem vzdálené excentrické poruchy skokově mění sklon dráhy z hodnoty I ≈ 0

na I ≈ 180 (π v radiánech) a její excentricita dosahuje extrémních hodnot e → 1.V pravém panelu je vykreslen vývoj vnitřní dráhy z disku, který je navíc zanořen do do-datečného sféricky symetrického gravitačního potenciálu (pocházejícího např. od staréhvězdokupy v jádře Galaxie). Od času t ≈ 6 milionů let tato dráha prodělává vázanéoscilace hodnot e a I v režimu klasických Kozaiových–Lidovových cyklů, známých jižvíce než půl století z dynamiky planetek sluneční soustavy [11], [13]. Zatímco v čistépodobě těchto cyklů v hierarchickém problému tří těles není možné překročit hraniciI = 90 (π/2 v radiánech), u sledované dráhy toto nastane v čase t ≈ 11 milionů let.Je to umožněno působením N -částicového prostředí, tedy těsnými přiblíženími jinýchhvězd, jejichž gravitace naruší sekulární cykly sledované dráhy. Obdobná narušení jemožné pozorovat pro obě dráhy v podobě šumu na sekulárních křivkách v průběhucelého jejich vývoje.

Zmiňme ještě, že Kozaiovy–Lidovovy cykly nezávisí na násobnosti systému (počtutěles) obíhajících po sledované dráze. To znamená, že jsou stejným způsobem schopnydopravit do těsné blízkosti centrální černé veledíry i dvojhvězdu, která se vlivem je-jího silného slapového působení může roztrhnout. Jedna složka obvykle zůstane na



velmi těsně vázané dráze kolem černé veledíry, zatímco druhá je vymrštěna ze systémuvysokou rychlostí, nezřídka přesahující únikovou rychlost nejen od černé veledíry, alei z celé galaxie. Tento mechanismus byl poprvé popsán v práci [10] několik let před tím,než byly skutečně pozorovány příklady obou zmíněných skupin hvězd: tzv. S-hvězdytěsně vázané k černé veledíře Sgr A⋆ v centru naší Galaxie [5] a prchající hvězdy v je-jím halu (hypervelocity stars; [3]). Z přímého N -částicového modelování excentrickéhohvězdného disku kolem černé veledíry pak vyplývá, že vymrštěné prchající hvězdy byměly být na obloze rozmístěny anizotropně [17], čemuž současná pozorování skutečněnapovídají.

3. Závěr

Na příkladu hvězdokupy pozorované v jádře naší Galaxie jsme v tomto článku demon-strovali existenci N -částicových astrofyzikálních systémů, které díky svému vhodnémuvnitřnímu uspořádání vykazují ve svém dynamickém vývoji zřetelné stopy sekulárníhovývoje jednotlivých hvězdných drah či jejich skupin. Ukázali jsme rovněž, že v pří-padě prvotní identifikace těchto sekulárních trendů metodami přímého N -částicovéhomodelování je možné k nalezení jejich fyzikálního vysvětlení s úspěchem využít po-ruchových metod klasické nebeské mechaniky. Tímto postupem lze velice efektivněminimalizovat riziko záměny numerických artefaktů, které se přirozeně vyskytují přinumerickém modelování stochastických systémů, za reálné fyzikální procesy.

Poděkování. Autor děkuje Ladislavu Šubrovi za diskuzi, která vedla k tématutohoto článku, a rovněž Michalu Švandovi za cenné komentáře k předběžné verzi textu.Tento článek vznikl za podpory České fyzikální společnosti JČMF.

L i t e r a t u r a

[1] Aarseth, S. J.: Gravitational N-body simulations. 1st edition, Cambridge UniversityPress, Cambridge, UK, 2003.

[2] Boekholt, T., Portegies Zwart, S.: On the reliability of N-body simulations. Comput.Astrophys. Cosmol. [online] 2 (2015), paper No. 2.

[3] Brown, W. R., Geller, M. J., Kenyon, S. J.: MMT Hypervelocity star survey III.

The complete survey. Astrophys. J. [online] 787 (2014), paper No. 89.

[4] Genzel, R., Eisenhauer, F., Gillessen, S.: The galactic center massive black hole

and nuclear star cluster. Rev. Modern Phys. 82 (2010), 3121–3195.

[5] Ghez, A. M., Salim, S., Hornstein, S. D., et al.: Stellar orbits around the galactic

center black hole. Astrophys. J. 620 (2005), 744–757.

[6] Haas, J.: Symmetries and dynamics of star clusters. 1st edition, Springer InternationalPublishing, 2014.

[7] Haas, J., Šubr, L.: Rich Kozai-Lidov dynamics in an initially thin and eccentric stellar

disk around a supermassive black hole. Astrophys. J. [online] 822 (2016), paper No. 25.

[8] Haas, J., Šubr, L., Kroupa, P.: The coupling of a young stellar disc with the molecular

torus in the galactic centre. Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. 412 (2011), 1905–1912.

[9] Haas, J., Šubr, L., Vokrouhlický, D.: Secular theory of the orbital evolution of

the young stellar disc in the galactic centre. Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. 416

(2011), 1023–1032.



[10] Hills, J. G.: Hyper-velocity and tidal stars from binaries disrupted by a massive galactic

black hole. Nature 331 (1988), 687–689.

[11] Kozai, Y.: Secular perturbations of asteroids with high inclination and eccentricity.Astronom. J. 67 (1962), 591–598.

[12] Li, G., Naoz, S., Kocsis, B., et al.: Eccentricity growth and orbit flip in near-coplanar

hierarchical three-body systems. Astrophys. J. [online] 785 (2014), paper No. 116.

[13] Lidov, M. L.: The evolution of orbits of artificial satellites of planets under the action

of gravitational perturbations of external bodies. Planet. Space Sci. 9 (1962), 719–759.

[14] Mapelli, M., Hayfield, T., Mayer, L., et al.: In situ formation of SgrA⋆ stars via

disk fragmentation: parent cloud properties and thermodynamics. Astrophys. J. [online]749 (2012), paper No. 168.

[15] Mapelli, M., Gualandris, A.: Star formation and dynamics in the galactic centre.Lecture Notes in Phys. 905 (2016), 205–272.

[16] Šubr, L., Schovancová, J., Kroupa, P.: The warped young stellar disc in the galactic

centre. Astronom. Astrophys. 496 (2009), 695–699.

[17] Šubr, L., Haas, J.: The properties of hypervelocity stars and S-stars originating from

an eccentric disk around a supermassive black hole. Astrophys. J. [online] 828 (2016),paper No. 1.



Reprezentovatelnost částek

ve dvoumincových systémechJan Hamáček, Praha

Abstrakt. Máme-li neomezené množství mincí o předepsaných hodnotách, může se stát, že

pomocí nich nelze složit některé částky. Pro jednoduchost se omezíme na případ, kdy máme

k dispozici mince pouze dvou různých hodnot. V takovém případě je totiž možné poměrně

snadno odvodit vzorce pro největší nereprezentovatelnou částku a zjistit počet všech takových

částek. Ukážeme, jak lze ke stejnému cíli dospět různými postupy: nejprve odvodíme vzorec

pro zjištění počtu všech nereprezentovatelných částek za pomoci rovinné geometrie. Ve druhé

části dokážeme oba zmíněné vzorce užitím dělitelnosti. Ve třetí části použijeme ke stejnému

účelu vytvořující funkce.

Řekneme, že částka n ∈ N0 je reprezentovatelná v systému mincí o hodnotácha, b ∈ N, pokud existují x, y ∈ N0, pro která platí rovnost

n = xa + yb.

Jsou-li čísla a, b soudělná a d je jejich největší společný dělitel, pak v danémsystému mohou být reprezentovatelné pouze násobky d. Konkrétně platí, že částka kdje reprezentovatelná v systému a, b právě tehdy, když částka k je reprezentovatelnáv systému a/d, b/d. Bez újmy na obecnosti se tedy můžeme omezit na systémy mincío nesoudělných hodnotách a, b. Ukážeme, že v takových systémech existuje pouzekonečně mnoho nereprezentovatelných částek, a najdeme jejich počet a vzorec pronejvětší nereprezentovatelné číslo (tzv. Frobeniovo číslo).

1. Geometrické odvození

Nejprve zjistíme počet nereprezentovatelných částek v systému mincí o dvou nesou-dělných hodnotách a, b ∈ N. Čerpáme přitom z [3, kap. 13].

Počet reprezentací částky n v systému mincí o hodnotách a, b je roven počtu dvojicx, y ∈ N0 takových, že

n = xa + yb.

Jednoduchými úpravami získáme ekvivalentní vyjádření

y =−a

bx +

n

b,

což je rovnice přímky protínající souřadnicové osy v bodech A = [n/a, 0] a B = [0, n/b].

Mgr. Jan Hamáček, Katedra softwaru a výuky informatiky, MFF UK v Praze, Malostranskénáměstí 25, 118 00 Praha 1, e-mail: [email protected]



Částka n je proto v systému mincí reprezentovatelná právě tehdy, když na úsečce ABleží bod s celočíselnými souřadnicemi [x, y].

Na obrázku 1 je příklad reprezentovatelné částky n = 19 v systému mincí s a = 5a b = 7. Na úsečce AB leží jediný bod X s celočíselnými souřadnicemi [1, 2], neboťčástku 19 lze reprezentovat jedině pomocí jedné mince o hodnotě 5 a dvou mincío hodnotě 7.

y

x0 1 2 3 4

0

1

2

319

7

19

5

A

B

X

Obr. 1. Příklad reprezentovatelné částky 19 v systému mincí a = 5, b = 7

Lemma 1. Leží-li bod X = [x, y] s celočíselnými souřadnicemi na přímce

p : n = xa + yb,

kde a, b ∈ N jsou nesoudělná, pak na stejné přímce leží i body Y1 = [x + b, y − a]a Y2 = [x−b, y +a]. Mezi body X a Y1 ani mezi body X a Y2 na přímce p neleží žádnýdalší bod s celočíselnými souřadnicemi.

Důkaz. Bod Y1 leží na přímce p, protože

a(x + b) + b(y − a) = ax + ab + by − ba = ax + by = n.

Podobně bod Y2 leží na přímce p, protože

a(x − b) + b(y + a) = ax + by = n.

Druhou část tvrzení dokážeme sporem. Nechť mezi body X a Y1 leží bodQ = [x + u, y − v] s celočíselnými souřadnicemi. Konstanty u, v proto musí splňovatu, v ∈ N, 1 ≤ u < b a 1 ≤ v < a. Platí

a(x + u) + b(y − v) = ax + by + au − bv = n.



Dalšími úpravami této rovnice získáme

n + au − bv = n,a

b=

v

u.

Zlomek ab je v základním tvaru, protože a a b jsou nesoudělná. Všechny zlomky

vyjadřující stejné racionální číslo jsou proto ve tvaru mamb , kde m ∈ Z, m 6= 0. Zlomek v

uvšak v tomto tvaru není, neboť 1 ≤ v < a a 1 ≤ u < b.

Stejným způsobem bychom mohli dokázat, že mezi body X a Y2 na přímce neležíbod Q′ = [x − u, y + v], kde opět u, v ∈ N, 1 ≤ u < b a 1 ≤ v < a.

Víme-li, že na přímce p z lemmatu 1 leží alespoň jeden bod s celočíselnými sou-řadnicemi, pak opakovaným užitím tohoto lemmatu ověříme, že jich na přímce p ležínekonečně mnoho.

Věta 2. Jsou-li a, b ∈ N nesoudělná a n ∈ N0, pak na přímce

p : n = xa + yb

leží nekonečně mnoho bodů s celočíselnými souřadnicemi. Vzdálenost každých dvousousedních bodů s celočíselnými souřadnicemi na přímce p je rovna

s =√

a2 + b2.

Důkaz. Nejprve dokážeme, že na přímce p leží alespoň jeden bod s celočíselnými sou-řadnicemi. Jelikož jsou a, b nesoudělná, existují na základě Bézoutovy věty [6, věta 3.3]celá čísla x′, y′

∈ Z taková, žeax′ + by′ = 1.

Vynásobením této rovnosti číslem n ∈ N vznikne anx′ + bny′ = n. Bod [nx′, ny′] protoleží na přímce p.

Podle lemmatu 1 leží na přímce p nekonečně mnoho bodů s celočíselnými sou-řadnicemi v pravidelných intervalech. Vzdálenost dvou sousedních bodů X = [x, y]a Y1 = [x + b, y − a] je

s =√

(x − x − b)2 + (y − y + a)2 =√

a2 + b2.

Ke stejnému závěru dojdeme i při volbě sousedních bodů X a Y2 = [x − b, y + a].

Na obrázku 2 je znázorněna přímka p odpovídající volbě n = 30, a = 5 a b = 7.Vyznačené body X1, X2 a X3 na přímce p jsou tři po sobě jdoucí body s celočíselnýmisouřadnicemi. Jejich vzdálenosti jsou podle věty 2

|X1X2| = |X2X3| =√

52 + 72 =√

74.

Věta 3. Mějme systém mincí s nesoudělnými hodnotami a, b. Částka n = ab jev tomto systému reprezentovatelná dvěma způsoby. Všechny částky n > ab jsou repre-zentovatelné. Částky n < ab jsou reprezentovatelné nejvýše jedním způsobem.



x

y

0−2 2 4 6 8 10 12 14

−6

−4

−2

2

4

6

X1

X2

X3

Obr. 2. Přímka s vyznačenými body s celočíselnými souřadnicemi pro a = 5, b = 7 a n = 30

Důkaz. Pokud je úsečka AB s krajními body A = [n/a, 0] a B = [0, n/b] delší než√

a2 + b2, pak na ní podle věty 2 leží alespoň jeden bod s celočíselnými souřadnicemi.Délka úsečky AB přitom roste s n lineárně, neboť pro n ≥ 0 platí

|AB| =

√

(n

a

)2

+(n

b

)2

= n ·

√

(

1a

)2

+(

1b

)2

.

Pro n = ab je A = [b, 0], B = [0, a] a |AB| =√

a2 + b2. Podle věty 2 na tétoúsečce leží nejvýše dva body s celočíselnými souřadnicemi. Jsou právě dva a jsou jimibody A, B.

Pro n > ab je odpovídající úsečka delší než vzdálenost sousedních bodů s celočísel-nými souřadnicemi, leží na ní proto alespoň jeden z nich. Pro n < ab je odpovídajícíúsečka kratší než vzdálenost sousedních bodů s celočíselnými souřadnicemi, a protona ní leží nejvýše jeden z nich.

V následujících odstavcích popíšeme vztah mezi počtem bodů s celočíselnými sou-řadnicemi a počtem reprezentovatelných a nereprezentovatelných částek.

Označíme body A′ = [b, 0], B′ = [0, a] a počátek O = [0, 0]. Body A′ a B′ jsoukrajními body úsečky pro n = ab. Z věty 3 vidíme, že každé reprezentovatelné částce nmenší než ab odpovídá úsečka s krajními body A′′ = [n/a, 0] a B′′ = [0, n/b], na kteréleží právě jeden bod s celočíselnými souřadnicemi. Odtud plyne, že reprezentovatelných



částek n menších než ab je nejvýše tolik, jako bodů s celočíselnými souřadnicemi, kteréleží uvnitř trojúhelníku OA′B′ nebo na jeho obvodu, nepočítáme-li body A′ a B′.

Počet reprezentovatelných částek by byl ostře menší než počet popsaných bodů,kdyby existoval bod s celočíselnými souřadnicemi, který neleží na žádné z úseček. V ná-sledující větě dokážeme, že tomu tak není. Počet bodů s celočíselnými souřadnicemije proto roven počtu reprezentovatelných částek.

Na obrázku 3 jsou na příkladu systému mincí s a = 5 a b = 7 znázorněny všechnyúsečky odpovídající číslům n ∈ 1, 2, . . . , 5 · 7 = 35. Úsečky, na kterých leží bod s ce-ločíselnými souřadnicemi, a odpovídají tedy reprezentovatelným částkám, jsou znázor-něny plnou čarou. Úsečky, na kterých žádný bod s celočíselnými souřadnicemi neleží,a odpovídají tedy nereprezentovatelným částkám, jsou znázorněny čárkovaně.

x

y

O 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5B′

A′

C

Obr. 3. Úsečky AB pro a = 5, b = 7 a n ∈ 0, 1, . . . , 35

Věta 4. Mějme nesoudělná a, b ∈ N. Pro každý bod X = [x, y] se souřadnicemix, y ∈ N0 existuje n ∈ N0 takové, že X leží na úsečce s krajními body A = [n/a, 0],B = [0, n/b].

Důkaz. Výraz ax + by je jistě celočíselný. Zvolíme proto

n = ax + by. (1)

Pokud se na vztah (1) budeme dívat jako na rovnici přímky, snadno ověříme, že protíná



osy v bodech A = [n/a, 0] a B = [0, n/b]. Bod X na této přímce leží. Leží i naúsečce AB, neboť se nachází v prvním kvadrantu.

Věta 5. Počet všech nereprezentovatelných částek v systému mincí o nesoudělnýchhodnotách a, b ∈ N je

(a − 1)(b − 1)2

.

Důkaz. Počet všech částek menších než ab, včetně nuly, je ab.Zvolme A′ = [b, 0], B′ = [0, a], O = [0, 0] a C = [b, a]. Z vět 3 a 4 plyne, že

počet reprezentovatelných částek menších než ab je roven počtu bodů s celočíselnýmisouřadnicemi, které leží uvnitř trojúhelníku OA′B′ nebo na jeho obvodu, vyloučíme-lioba body A′ a B′. Těch je polovina z počtu bodů s celočíselnými souřadnicemi ležícíchv obdélníku OA′CB′, vyloučíme-li oba body A′ a B′.

Počet reprezentovatelných částek menších než ab je proto

(a + 1)(b + 1) − 22

.

Počet nereprezentovatelných částek menších než ab vypočítáme odečtením počtu re-prezentovatelných od počtu všech:

ab −

(a + 1)(b + 1) − 22

= ab −

ab

2−

a

2−

b

2+

12

=(a − 1)(b − 1)

2.

Z věty 3 víme, že každá částka větší nebo rovná ab je reprezentovatelná, proto tytočástky neovlivní počet nereprezentovatelných částek. Počet všech nereprezentovatel-ných částek je tedy

(a − 1)(b − 1)2

.

2. Počet nereprezentovatelných částek pomocí dělitelnosti

V této části budeme nejprve hledat odpověď na stejnou otázku jako v části předchozí.Britský matematik James Joseph Sylvester použil k popisu problému známky dvouhodnot namísto mincí dvou hodnot. Náš postup vychází z jeho myšlenek. V literatuřeproto můžeme problémy popsané v této kapitole nalézt pod názvem „The StampProblem“, viz např. [5]. V následujícím textu vycházíme z [4, kap. 6].

Otázka. Máme neomezené množství mincí o hodnotách a a b, přičemž čísla a, b jsounesoudělná. Kolik různých částek menších než ab nedokážeme pomocí těchto mincíreprezentovat?

Obecnější verze této otázky neobsahuje omezení na částky menší než ab. Ve větě 3jsme však ukázali, že všechny částky větší nebo rovné ab jsou v systému mincí a, breprezentovatelné; tuto skutečnost později odvodíme i pomocí dělitelnosti.

Vytvoříme tabulku obsahující všechny reprezentovatelné částky menší než ab. Hod-notou v u-tém řádku a v-tém sloupci bude u · b + v · a. Pro hodnoty a = 5 a b = 9takto vznikne tabulka 1.



uv

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 451 9 14 19 24 29 34 39 44 49 542 18 23 28 33 38 43 48 53 58 633 27 32 37 42 47 52 57 62 67 724 36 41 46 51 56 61 66 71 76 815 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Tab. 1. Reprezentovatelné částky pro hodnoty a = 5, b = 9

Definice 6. Mějme nesoudělná a, b ∈ N. Uvažujme matici o a + 1 řádcích a b + 1sloupcích, kde pro u, v ∈ N0, u ≤ a, v ≤ b, je prvek matice v u-tém řádku a v-témsloupci roven

u · b + v · a.

Tuto matici označme Aa,b. Prvek matice Aa,b v u-tém řádku a v-tém sloupci budemeznačit Aa,b(u, v).

Tabulka 1 podle této definice odpovídá matici A5,9.Počet všech nereprezentovatelných částek menších než ab můžeme spočítat pomocí

počtu všech reprezentovatelných. Platí totiž rovnost(

početreprezentovatelných

)

+(

početnereprezentovatelných

)

=(

početvšech

)

. (2)

Zbývá zjistit, kolik je v tabulce (matici Aa,b) různých reprezentovatelných částekmenších než ab.

Tabulka 1 obsahuje tři části. V levé horní části jsou hodnoty menší než ab = 45.V pravé dolní části jsou hodnoty větší než 45. Ve zbylých dvou rozích jsou potom právědvě hodnoty 45. Navíc platí, že hodnot menších než 45 je v tabulce stejný počet jakohodnot větších než 45.

Ověříme, že uvedená tvrzení platí nejen pro hodnoty a = 5 a b = 9, ale i v obecnémpřípadě. Z následující věty plyne, že v matici Aa,b je částek menších než ab stejně jakočástek větších než ab.

Věta 7. Nechť a, b ∈ N jsou větší než 1. Potom pro u, v ∈ N0, u ≤ a, v ≤ b platí

Aa,b(u, v) + Aa,b(a − u, b − v) = 2ab.

Důkaz. Rozepsáním levé strany rovnosti pomocí definice 6 dostaneme tvrzení věty.

Věta 8. Jsou-li čísla a, b ∈ N nesoudělná, pak se v matici Aa,b žádná hodnota kromě abnevyskytuje více než jednou. Hodnota ab se v matici vyskytuje právě dvakrát.

Důkaz. Aby se hodnota n vyskytovala v matici Aa,b více než jednou, musí se vysky-tovat v řádku u1 a sloupci v1 a zároveň v řádku u2 a sloupci v2. Musí tedy existovatu1, u2, v1, v2 ∈ N0 taková, že platí u1, u2 ≤ a, v1, v2 ≤ b a n můžeme vyjádřit dvěmazpůsoby

n = u1b + v1a, n = u2b + v2a.



Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že u2 < u1. Musí proto platit v2 > v1.Odečtením předchozích rovností dostaneme

b · (u1 − u2) = a · (v2 − v1). (3)

Odtud plyne, že a dělí b ·(u1 −u2). Hodnoty a a b jsou nesoudělné. Platí proto, že a dělíu1 − u2. To můžeme interpretovat tak, že čísla řádků u1, u2 se musí lišit o násobek a.

Stejným způsobem z rovnosti (3) plyne, že b dělí a · (v2 − v1), tedy b dělí v2 − v1.Čísla sloupců v1, v2 se proto musí lišit o násobek b.

V matici Aa,b jsou takové hodnoty pouze čtyři v rozích matice. Rozborem případůzjistíme, že jediné stejné hodnoty v matici jsou rovny ab a jsou to prvky Aa,b(a, 0)a Aa,b(0, b).

Nyní můžeme využít vzorec (2) k určení počtu všech nereprezentovatelných částekmenších než ab.

Věta 9. Jsou-li a, b ∈ N nesoudělná, pak je počet všech nereprezentovatelných částekmenších než ab roven

(a − 1)(b − 1)2

.

Důkaz. V matici Aa,b je celkem (a + 1)(b + 1) hodnot. Dvě z nich jsou podle předchozívěty rovny ab. Polovina ze zbylých hodnot je podle věty 7 menší než ab. Tyto hodnotyjsou navíc podle věty 8 různé.

Počet všech různých reprezentovatelných částek menších než ab je tedy

(a + 1)(b + 1) − 22

=ab + a + b − 1

2.

Počet všech nereprezentovatelných částek menších než ab je proto

ab −

ab + a + b − 12

=(a − 1)(b − 1)

2.

K tomuto závěru dospěl i Sylvester [4, str. 172]. Z předchozí části víme, že všechnyvětší částky jsou reprezentovatelné. Odtud plyne, že každá nereprezentovatelná částkaje menší než ab. Nalezením největší z nich se budeme zabývat v následující kapitole.

3. Největší nereprezentovatelná částka pomocí dělitelnosti

Nyní odvodíme vzorec pro výpočet Frobeniova čísla ve dvoumincovém systému po-mocí dělitelnosti. Postup si nejprve ukážeme na konkrétním případě pro systém mincío nesoudělných hodnotách a = 5, b = 9.

Z tabulky 1 vypustíme poslední řádek a sloupec. Navíc od každého čísla většíhonež ab = 45 odečteme 45. Výsledkem bude tabulka 2.

Tabulka 2 obsahuje všechna čísla mezi 0 a ab − 1 včetně. Jsou v ní proto všechnyreprezentovatelné i nereprezentovatelné částky menší než ab. Žádné číslo se v ní navícneopakuje. V levé horní části tabulky (světle šedá pole) jsou všechny reprezentovatelnéčástky.

V pravé dolní části tabulky (tmavě šedá pole) tedy musí být všechny nereprezento-vatelné částky. Největší nereprezentovatelná částka menší než ab se nachází v pravém



uv

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 5 10 15 20 25 30 35 401 9 14 19 24 29 34 39 44 42 18 23 28 33 38 43 3 8 133 27 32 37 42 2 7 12 17 224 36 41 1 6 11 16 21 26 31

Tab. 2. Reprezentovatelné a nereprezentovatelné částky pro hodnoty a = 5, b = 9

dolním rohu. Je jí hodnota 31. Mezi 31 a ab = 45 je 14 reprezentovatelných částek. Při-čtením vhodného násobku pěti k nějaké z nich tak můžeme reprezentovat libovolnoučástku vyšší než 45.

Nyní zopakujeme tento postup pro libovolný systém mincí o nesoudělných hodno-tách a, b.

Definice 10. Nechť a, b ∈ N jsou nesoudělná čísla. Uvažujme matici o a řádcícha b sloupcích, kde pro čísla u, v ∈ N0 taková, že u < a a v < b, je prvek matice v u-témřádku a v-tém sloupci roven

u · b + v · a pro u · b + v · a < ab,u · b + v · a − ab pro u · b + v · a ≥ ab.

Tuto matici budeme označovat A∗

a,b. Hodnotu v jejím u-tém řádku a v-tém sloupcibudeme značit A∗

a,b(u, v).

Matice A∗

a,b odpovídá obsahu tabulky 2.

Věta 11. Jsou-li a, b ∈ N nesoudělná, pak jsou v matici A∗

a,b všechna čísla různá.

Důkaz. Z věty 8 plyne, že v matici Aa,b bez posledního řádku a sloupce jsou všechnačísla různá.

Na pozicích (u, v), kde ub + va < ab, se matice A∗

a,b od Aa,b neliší. Žádná dvojicečísel z této části proto není stejná.

Na pozicích (u, v), kde ub + va ≥ ab, je v matici A∗

a,b hodnota

ub + va − ab = Aa,b(u, v) − ab.

Žádná dvojice čísel z této části proto také není stejná.Zbývá zjistit, jestli nemůže existovat číslo z první části stejné jako číslo z druhé

části. Takové číslo n by muselo být v první části na pozici (u1, v1) s reprezentací

n = u1b + v1a.

Zároveň by muselo být na pozici (u2, v2) v druhé části s reprezentací

n = u2b + v2a − ab.

Odečtením těchto rovností dostaneme:

(v1 − v2 + b)a = (u2 − u1)b. (4)



Vidíme, že a dělí (u2 − u1)b. Protože a, b jsou nesoudělná, a dělí u2 − u1, řádkovéindexy u1 a u2 se tedy liší o násobek a. Protože matice A∗

a,b má a − 1 řádků, musí býttento násobek roven 0, je tedy u1 = u2.

Z rovnosti (4) také vidíme, že b dělí (v1 −v2 +b)a. Protože a, b jsou nesoudělná, takb dělí v1 −v2 +b. Odtud b dělí v1 −v2, sloupcové indexy v1 a v2 se tedy liší o násobek b.Protože matice A∗

a,b má b − 1 sloupců, musí být tento násobek roven 0, v1 a v2 jsouproto stejné.

Oba prvky rovné témuž číslu n tedy leží v matici A∗

a,b na stejné pozici, což je všakve sporu s předpokladem, že leží v různých částech matice. V matici A∗

a,b proto nejsoudvě stejná čísla.

Matice A∗

a,b obsahuje ab čísel. Všechna jsou menší než ab. Podle věty 11 jsou navícvšechna čísla v matici různá. Matice A∗

a,b proto obsahuje všechny reprezentovatelnéi nereprezentovatelné částky menší než ab.

Věta 12. Mějme a, b ∈ N nesoudělná. Částka na pozici (u, v) v matici A∗

a,b je repre-zentovatelná právě tehdy, když platí

ub + va < ab.

Důkaz. Na pozici (u, v) takové, že ub + va < ab, je částka ub + va, je proto reprezen-tovatelná.

Ukážeme naopak, že žádná částka na pozici (u, v) splňující ub+va ≥ ab není repre-zentovatelná. Matice Aa,b obsahovala všechny reprezentovatelné částky menší než ab.Odebráním posledního řádku a sloupce jsme žádnou z nich neodstranili. Odečtením abod hodnot ub + va ≥ ab jsme částky menší než ab nijak nezměnili. Matice A∗

a,b protostále obsahuje všechny reprezentovatelné částky menší než ab.

Podle věty 11 jsou navíc v matici A∗

a,b všechny hodnoty různé. Na pozicích (u, v),kde ub + va ≥ ab, proto nemůže být reprezentovatelná částka.

Věta 13. V systému mincí o nesoudělných hodnotách a, b ∈ N je největší nereprezen-tovatelná částka menší než ab rovna

ab − a − b.

Důkaz. Největší nereprezentovatelná částka menší než ab je v pravém dolním rohumatice A∗

a,b, tedy na pozici (a − 1, b − 1). Její hodnota je

A∗

a,b(a − 1, b − 1) = (a − 1)b + (b − 1)a − ab = ab − a − b.

Nyní jsme se dostali do stejné situace jako v předchozí části. Našli jsme řešenís omezením na částky menší než ab. Ve větě 3 jsme už dokázali, že všechny větší částkyjsou reprezentovatelné. Pro zajímavost to dokážeme ještě jednou použitím poznatkůz této části.

Věta 14. V systému mincí o nesoudělných hodnotách a, b ∈ N jsou všechny částkyvětší nebo rovné ab reprezentovatelné.

Důkaz. Mezi největší nereprezentovatelnou částkou ab − a − b a ab je a + b − 1 repre-zentovatelných částek. Přičtením vhodného násobku čísla b k některé z nich získámereprezentaci libovolné částky větší nebo rovné ab.



Příklad 15. Ve dvoumincovém systému mincí o hodnotách a, b, kde a < b, je 35 ne-reprezentovatelných částek, z nichž jedna je 58. Jaké jsou hodnoty a, b? [3, kap. 13]

Řešení. Hodnoty a, b jsou nesoudělné. Kdyby tomu tak nebylo, pak by existovalonekonečně mnoho nereprezentovatelných částek. Dále víme, že

(a − 1)(b − 1)2

= 35, (5)

tedy (a − 1)(b − 1) = 70.Hledáme tedy čísla k, l ∈ N tak, aby platilo kl = 70 a k < l. Řešením úlohy je

dvojice (a, b) taková, že a = k + 1 a b = l + 1, a, b jsou nesoudělná a částka 58 neníreprezentovatelná v systému mincí o hodnotách a, b.

Číslo 70 můžeme rozložit na součin dvou přirozených čísel pomocí rozkladu nasoučin prvočísel:

70 = 2 · 5 · 7.

Všechny dvojice přirozených čísel (a, b), pro které platí rovnice (5) a a < b, jsoutedy: (2, 71), (3, 36), (6, 15) a (8, 11).

Dvojice (3, 36) a (6, 15) vyřadíme, neboť jde o dvojice soudělných čísel. Dvo-jici (2, 71) vyřadíme, neboť 58 = 2 · 29, částka 58 je tedy reprezentovatelná.

V reprezentaci částky 58 v systému (8, 11) musíme použít sudý počet mincí 11,neboť jde o sudou částku. Rozborem všech možností zjistíme, že částka 58 je v sys-tému (8, 11) nereprezentovatelná. Dvojice (8, 11) proto splňuje všechny požadavky a je-diným řešením je a = 8 a b = 11.

4. Metoda vytvořujících funkcí

V této části pomocí metody vytvořujících funkcí vyřešíme následující obecný problém:Pro libovolnou částku n zjistíme, kolika způsoby ji lze reprezentovat v systému dvoumincí. Jako důsledky pak opět získáme vzorce pro počet nereprezentovatelných částeka hodnotu největší z nich. Čerpáme přitom z [1, kap. 1].

Připomeňme, že vytvořující funkce posloupnosti an

∞

n=0 je mocninná řada defi-novaná předpisem

f(x) =∞∑

n=0

anxn.

Pro systémy s jedinou mincí je zjištění posloupnosti an

∞

n=0 počtu způsobů re-prezentace částky n jednoduché. Posloupnost počtu způsobů, jak reprezentovat částkynapříklad pro systém s jedinou mincí o hodnotě 3, je

(1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, . . .).

První jednička (nultý člen) přitom vyjadřuje, že částku 0 lze složit jediným způsobem.Obecně pro systémy s jedinou mincí o hodnotě c bude pro posloupnost počtu způsobůreprezentace an

∞

n=0 platit

an =

1 pokud c dělí n,0 jinak.



Vytvořující funkce této posloupnosti je

∞∑

i=0

xic =1

1 − xc.

Mějme systém mincí o nesoudělných hodnotách a, b. Posloupnost počtu repre-zentací částek pro tento systém mincí označíme cn

∞

n=0. K nalezení členů této po-sloupnosti využijeme součin vytvořujících funkcí posloupností jednomincových sys-témů s mincemi o hodnotách a, b.

Označíme an

∞

n=0 posloupnost počtu reprezentací částek v jednomincovém sys-tému a. Analogicky označíme bn

∞

n=0 posloupnost počtu reprezentací částek v jed-nomincovém systému b. Počet způsobů, jak reprezentovat částku n ve dvoumincovémsystému a, b je potom

cn =n∑

i=0

aibn−i.

To odpovídá koeficientu u xn v součinu vytvořujících funkcí obou jednomincovýchsystémů. Platí tedy:

∞∑

n=0

cnxn =

(

∞∑

n=0

anxn

)

·

(

∞∑

n=0

bnxn

)

=1

(1 − xa)(1 − xb).

Nyní budeme hledat jednodušší vyjádření koeficientů c0, c1, c2, . . . ∈ N0.Nechť p ∈ N0 je libovolné pevně zvolené číslo. Hledání koeficientu cp můžeme

zjednodušit tak, že budeme hledat konstantní člen rozvoje funkce

f(x) =1

(1 − xa)(1 − xb)xp=

c0

xp+

c1

xp−1+ · · · + cp + cp+1x + cp+2x2 + . . . .

Začneme rozkladem na parciální zlomky. K nalezení rozkladu funkce f potřebujemenejprve najít všechny kořeny polynomu (1 − xa)(1 − xb)xp v oboru komplexních čísel.

Kořeny polynomu 1 − xq jsou všechny q-té odmocniny z 1, tedy komplexní čísla1, ξq, ξ2

q , . . . , ξq−1q , kde

ξq = cos2π

q+ i sin

2π

q. (6)

Všechny kořeny polynomu (1 − xa)(1 − xb)xp a jejich násobnosti jsou tedy

• kořen x = 0 s násobností p,

• kořen x = 1 s násobností 2,

• kořeny ξa, ξ2a, . . . , ξa−1

a s násobností 1,

• kořeny ξb, ξ2b , . . . , ξb−1

b s násobností 1.

Kořeny ξka a ξl

b jsou pro všechna k ∈ 1, 2, . . . , a − 1 a l ∈ 1, 2, . . . , b − 1 různé,protože a a b jsou nesoudělná čísla.

Pro nalezení rozkladu funkce f na parciální zlomky hledáme konstanty

A1, A2, . . . , Ap, B1, B2, C1, C2, . . . , Ca−1, D1, D2, . . . , Db−1



takové, že

1(1 − xa)(1 − xb)xp

=A1

x+

A2

x2+ · · · +

Ap

xp+

B1

x − 1+

B2

(x − 1)2+

+C1

x − ξa+

C2

x − ξ2a

+ · · · +Ca−1

x − ξa−1a

+

+D1

x − ξb+

D2

x − ξ2b

+ · · · +Db−1

x − ξb−1

b

.

(7)

Z rozvoje funkce f plyne, že platí A1 = cp−1, A2 = cp−2, . . . , Ap = c0. Uvidíme, žepro nalezení cp nejsou hodnoty těchto konstant podstatné.

Najdeme konstantu B2. Obě strany rovnosti (7) vynásobíme výrazem (x − 1)2,čímž získáme

(x − 1)2

(1 − xa)(1 − xb)xp=

p∑

k=1

Ak(x − 1)2

xk+ B1(x − 1) + B2+

+a−1∑

k=1

Ck(x − 1)2

x − ξka

+b−1∑

k=1

Dk(x − 1)2

x − ξkb

.

Limita pravé strany pro x jdoucí k 1 je B2. Platí proto

B2 = limx→1

(x − 1)2

(1 − xa)(1 − xb)xp=

= limx→1

(x − 1)2

(1 − x)(1 + x + · · · + xa−1)(1 − x)(1 + x + · · · + xb−1)xp=

1ab

.

Konstantu B1 získáme podobným způsobem. Obě strany rovnice (7) vynásobímex − 1, čímž získáme

x − 1(1 − xa)(1 − xb)xp

=p∑

k=1

Ak(x − 1)xk

+ B1 +B2

x − 1+

+a−1∑

k=1

Ck(x − 1)x − ξk

a

+b−1∑

k=1

Dk(x − 1)x − ξk

b

.

Po odečtení B2/(x − 1) od obou stran rovnosti je limita pravé strany pro x jdoucík 1 rovna B1. Platí proto

B1 = limx→1

x − 1(1 − xa)(1 − xb)xp

−

1

ab

x − 1= lim

x→1

(x − 1)2−

1

ab (1 − xa)(1 − xb)xp

(1 − xa)(1 − xb)(x − 1)xp=

= limx→1

(x − 1)2−

1

ab (1 − x)(1 + x + · · · + xa−1)(1 − x)(1 + x + · · · + xb−1)xp

(1 − x) (1 + x + · · · + xa−1)︸︷︷︸

→a

(1 − x) (1 + x + · · · + xb−1)︸︷︷︸

→b

(x − 1) xp︸︷︷︸

→1

.

Zkrátíme (x − 1)2 a pomocí pravidel pro počítání limit získáme

B1 =−1ab

limx→1

1

ab (1 + x + · · · + xa−1)(1 + x + · · · + xb−1)xp− 1

x − 1.



Definujme funkci h předpisem

h(x) =1ab

(1 + x + · · · + xa−1)(1 + x + · · · + xb−1)xp.

Platí h(1) = 1, tedy

B1 =−1ab

limx→1

h(x) − h(1)x − 1

=−1ab

h′(1).

Vypočítáme derivaci funkce h podle pravidla o derivování součinu:

h′(x) =1ab

[

(1 + 2x + 3x2 + · · · + (a − 1)xa−2)(1 + x + x2 + x3 + · · · + xb−1)xp+

+ (1 + x + x2 + x3 + · · · + xa−1)(1 + 2x + 3x2 + · · · + (b − 1)xb−2)xp+

+ (1 + x + x2 + x3 + · · · + xa−1)(1 + x + x2 + x3 + · · · + xb−1)pxp−1]

.

Hodnota B1 je tedy

B1 =−1ab

(

(1 + 2 + · · · + (a − 1))bab

+a(1 + 2 + · · · + (b − 1))

ab+

abp

ab

)

=

=−1ab

(

a − 12

+b − 1

2+ p

)

=1ab

−

12a

−

12b

−

p

ab.

Koeficienty C1, . . . , Ca−1 získáme analogicky. Budeme hledat koeficient Cl. Vyná-sobením obou stran rovnosti (7) výrazem x − ξl

a získáme

x − ξla

(1 − xa)(1 − xb)xp=

p∑

k=1

Ak(x − ξla)

xk+

B1(x − ξla)

x − 1+

B2(x − ξla)

(x − 1)2+

+l−1∑

k=1

Ck(x − ξla)

x − ξka

+ Cl +a−1∑

k=l+1

Ck(x − ξla)

x − ξka

+b−1∑

k=1

Dk(x − ξla)

x − ξkb

.

Limita pravé strany pro x jdoucí k ξla je Cl. Platí proto

Cl = limx→ξl

a

x − ξla

(1 − xa)(1 − xb)xp=

1

ξlpa (1 − ξlb

a )lim

x→ξl

a

x − ξla

1 − xa

l’H=1

ξlpa (1 − ξlb

a )

−1

aξl(a−1)a

.

V posledním kroku výpočtu jsme použili l’Hospitalovo pravidlo. Platí, že ξaa = 1, neboť

ξa je a-tá odmocnina z jedné. Proto

ξlpa ξl(a−1)

a = ξlaa ξlp−l

a = ξl(p−1)a .

Použitím popsaných úprav získáme

Cl =−1

aξl(p−1)a (1 − ξlb

a ).

Stejným postupem zjistíme, že

Dl =−1

bξl(p−1)

b (1 − ξlab )

.



Uvažujme nyní funkci g definovanou předpisem

g(x) =∞∑

n=0

cp+nxn.

Naším cílem je najít hodnotu cp = g(0). Pro x 6= 0 platí

g(x) = f(x) −

c0

xp− · · · −

cp−1

x=

B1

x − 1+

B2

(x − 1)2+

+C1

x − ξa+

C2

x − ξ2a

+ · · · +Ca−1

x − ξa−1a

+

+D1

x − ξb+

D2

x − ξ2b

+ · · · +Db−1

x − ξb−1

b

.

(8)

Funkce g je spojitá v bodě nula. Limitním přechodem pro x → 0 tedy dospějemek rovnosti

cp = g(0) = −B1 + B2 −

C1

ξa−

C2

ξ2a

− · · · −

Ca−1

ξa−1a

−

D1

ξb−

D2

ξ2b

− · · · −

Db−1

ξb−1

b

.

Dosazením za konstanty Bi, Cj , Dk získáme

cp = g(0) =12a

+12b

+p

ab+

1a

a−1∑

k=1

1

ξkpa (1 − ξkb

a )+

1b

b−1∑

k=1

1

ξkpb (1 − ξka

b ). (9)

Našli jsme výraz udávající počet způsobů reprezentace cp částky p v systému s ne-soudělnými hodnotami a, b.

Pokusíme se nalezený vzorec (9) dále zjednodušit. Začneme hledáním jednoduššíhozpůsobu zápisu pro

1a

a−1∑

k=1

1

ξkpa (1 − ξkb

a ). (10)

Podíváme se na systém mincí o hodnotách a a 1. Počet způsobů, jak reprezentovatčástku p, označíme c′

p. Každá reprezentace částky p použije k-krát minci o hodnotě aa zbytek částky doplní mincemi o hodnotě 1. Počet způsobů reprezentace p je tedyroven počtu možností, jak zvolit k ∈ N0, aby ka < p, a tedy i k < p/a. Proto platí

c′

p =⌊p

a

⌋

+ 1. (11)

Symbol ⌊x⌋ přitom označuje dolní celou část x ∈ R, tj. největší celé číslo menšínebo rovné x.

Počet způsobů reprezentace částky p můžeme získat také dosazením b = 1 dovztahu (9):

c′

p =12a

+12

+p

a+

1a

a−1∑

k=1

1

ξkpa (1 − ξk

a). (12)



Ze vztahů (11) a (12) vyjádříme

1a

a−1∑

k=1

1

ξkpa (1 − ξk

a)= −

p

a

+12

−

12a

. (13)

Značení x zde má význam desetinné části čísla x, tedy x = x − ⌊x⌋.Hledaný výraz (10) stále není ve stejném tvaru jako (13). Předtím, než ho do

podobného tvaru upravíme, dokážeme následující lemma.

Lemma 16. Pro libovolnou funkci h1 : C → C a nesoudělná čísla a, m ∈ N platí

a−1∑

j=1

h1(ξja) =

a−1∑

j=1

h1(ξjma ),

kde ξa je dáno vztahem (6).

Důkaz. Zobrazení f : N0 → C s předpisem f(j) = ξjma má periodu a. Stačí proto

dokázat, že

1, 2, . . . , a − 1 = mj (mod a); j ∈ 1, 2, . . . , a − 1.

To plyne z nesoudělnosti a, m.

Zavedeme funkci h předpisem

h(x) =1

xp(1 − xb).

Hledaný výraz (10) je pak roven

1a

a−1∑

k=1

h(ξka).

Volme nyní b′∈ N nejmenší takové, že bb′

≡ 1 (mod a). Existence takového b′ plynez nesoudělnosti a, b a z Eulerovy věty [6, věta 3.10]. Čísla a, b′ jsou navíc nesoudělná.Podle lemmatu 16 platí

1a

a−1∑

k=1

h(ξka) =

1a

a−1∑

k=1

h(ξkb′

a ) =1a

a−1∑

k=1

1

ξkpb′

a (1 − ξka)

.

Použitím vztahu (13), kde místo p píšeme pb′, získáme jednodušší vyjádření vztahu (10):

1a

a−1∑

k=1

1

ξkpa (1 − ξkb

a )=

1a

a−1∑

k=1

1

ξkpb′

a (1 − ξka)

= −

pb′

a

+12

−

12a

. (14)

Stejným způsobem můžeme zjednodušit druhou sumu z výrazu (9): zkoumánímsystému mincí o hodnotách 1, b bychom došli k závěru, že

1b

b−1∑

k=1

1

ξkpb (1 − ξka

b )= −

pa′

b

+12

−

12b

. (15)

Dosazením získaných výrazů (14) a (15) do (9) obdržíme následující větu.



Věta 17. Počet reprezentací částky p v systému mincí o nesoudělných hodnotácha, b ∈ N je

cp =p

ab+ 1 −

pb′

a

−

pa′

b

,

kde a′, b′ jsou nejmenší přirozená čísla taková, že

aa′

≡ 1 (mod b),

bb′

≡ 1 (mod a).

Příklad 18. Zjistěte počet reprezentací částky 42 v systému mincí o hodnotách 5 a 7.

Řešení. Příklad vyřešíme dvěma způsoby. Nejprve odhadneme řešení prostým zkou-šením. Potom najdeme počet způsobů užitím věty 17.

Po krátkém zkoušení zjistíme, že částku 42 můžeme reprezentovat pomocí šestimincí o hodnotě 7, nebo pomocí jedné mince o hodnotě 7 a sedmi mincí o hodnotě 5.Našli jsme tedy dva způsoby, jak částku reprezentovat.

Dalším zkoušením bychom jistě přišli i na to, že žádný jiný způsob reprezentaceneexistuje. Ověříme tuto skutečnost ještě pomocí věty 17.

Víme, že a = 5, b = 7 a p = 42. Vypočítáme čísla a′, b′. Podle Eulerovy věty platí

a′

≡ aϕ(b)−1 (mod b),

b′

≡ bϕ(a)−1 (mod a).

Protože ϕ(7) = 6 a ϕ(5) = 4, dostáváme

a′

≡ 55≡ 3 (mod 7),

b′

≡ 73≡ 3 (mod 5).

Zbývá tedy dosadit do vzorce ve větě 17 a vypočítat výsledek:

c42 =4235

+ 1 −

42 · 35

−

42 · 37

=

=4235

+ 1 −

1265

− 6 · 3 =65

+ 1 −

15

− 0 = 2.

Počet způsobů, jak reprezentovat částku 42, je roven 2.

Pomocí vzorce z věty 17 nyní zjistíme počet nereprezentovatelných částek a největšínereprezentovatelnou částku v systému mincí o dvou nesoudělných hodnotách a, b.

Nejprve najdeme největší nereprezentovatelnou částku. Vlastně znovu zformulu-jeme větu 13. Pro důkaz ale tentokrát použijeme poznatky z této kapitoly.

Věta 19. V systému mincí o nesoudělných hodnotách a, b ∈ N je největší nereprezen-tovatelná částka rovna

ab − a − b.



Důkaz. Potřebujeme ukázat, že ab − a − b není reprezentovatelná a že každá většíčástka reprezentovatelná je. Pro počet reprezentací cab−a−b platí

cab−a−b =ab − a − b

ab+ 1 −

(ab − a − b)b′

a

−

(ab − a − b)a′

b

.

Nejprve upravíme

(ab − a − b)b′

a

=

(b − 1)b′

−

bb′

a

=

(b − 1)b′

− k −

1a

.

Poslední rovnost využívá toho, že pro nějaké k ∈ N0 je bb′ = 1 + ka. To vyplývá přímoze zavedení b′ pomocí kongruence. Dále si uvědomíme, že

(b − 1)b′

− k −

1a

=

1 −

1a

= 1 −

1a

.

Po dosazení získáme

cab−a−b =ab − a − b

ab+ 1 − 1 +

1a

− 1 +1b

= 0.

Zbývá dokázat, že každá větší částka je reprezentovatelná, tedy že pro každé n ∈ N

platí cab−a−b+n > 0. Využijeme toho, že pro m ∈ Z platím

a

≤

a − 1a

.

Nyní odhadneme

cab−a−b+n ≥

ab − a − b + n

ab+ 1 −

a − 1a

−

b − 1b

=n

ab> 0.

Dále najdeme počet nereprezentovatelných částek v systému mincí o nesoudělnýchhodnotách a, b.

Lemma 20. Mějme systém dvou mincí o nesoudělných hodnotách a, b ∈ N a číslon ∈ 1, 2, . . . , ab − 1, které není násobkem a ani b. Potom je právě jedna z částek n,ab − n reprezentovatelná.

Důkaz. Dokážeme, že součet počtů reprezentací čísel n a ab − n je 1, tedy

cn + cab−n = 1.

Budeme upravovat výraz cab−n:

cab−n =ab − n

ab+ 1 −

(ab − n)b′

a

−

(ab − n)a′

b

=

= 2 −

n

ab−

bb′

−

nb′

a

−

aa′

−

na′

b

=

= 2 −

n

ab−

−

nb′

a

−

−

na′

b

=

= −

n

ab+

nb′

a

+

na′

b

= 1 − cn.

Využili jsme skutečnosti, že pokud x není celé číslo, pak 1 − x = −x.



Nyní zopakujeme větu 9 a dokážeme jí pomocí poznatků z této kapitoly.

Věta 21. Jsou-li a, b ∈ N nesoudělná, pak počet všech nereprezentovatelných částekmenších než ab je

(a − 1)(b − 1)2

.

Důkaz. Všech částek n ∈ 1, 2, . . . , ab − 1 je ab − 1. Z nich a − 1 je násobkem ba b − 1 je násobkem a. Z nesoudělnosti a a b plyne, že žádná z částek není společnýmnásobkem a i b. Částek n ∈ 1, 2, . . . , ab − 1, které nejsou násobkem a ani b, je proto

ab − 1 − (a − 1) − (b − 1) = a(b − 1) − (b − 1) = (a − 1)(b − 1).

Podle lemmatu 20 je právě polovina z nich nereprezentovatelná.

5. Závěr

Dokázali jsme, že v systému mincí o dvou nesoudělných hodnotách a, b je Frobeniovočíslo ab − a − b. Počet všech nereprezentovatelných částek je roven

(a − 1)(b − 1)2

.

Tuto skutečnost jsme odvodili několika způsoby.Podobné otázky má smysl řešit také ve vícemincových systémech. V diplomové

práci autora [2], ze které tento článek vychází, popisujeme například algoritmus nale-zení Frobeniova čísla nebo algoritmus pro zjištění počtu reprezentací částky v obecnýchsystémech.

Poděkování. Rád bych poděkoval doc. Antonínu Slavíkovi za cenné připomínkya rady při vypracovávání diplomové práce, ze které tento článek vychází.

L i t e r a t u r a

[1] Beck, M., Robins, S.: Computing the continuous discretely. Integer-point enumeration

in polyhedra. Springer, New York, 2007.

[2] Hamáček, J.: Kombinatorické úlohy o mincích. Diplomová práce. MFF UK,Praha, 2016. Dostupné z: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_hamacek_

dp/ulohy-o-mincich.pdf

[3] Honsberger, R.: Mathematical gems II. The Mathematical Association of America,Washington, DC, 1976.

[4] Michael, T.: How to guard an art gallery and other discrete mathematical adventures.Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2009.

[5] Petković, M.: Famous puzzles of great mathematicians. American Mathematical Soci-ety, Providence, 2009.

[6] Stanovský, D.: Základy algebry. MatfyzPress, Praha, 2010.



Štatistické modelovanie javu El Niño —

Južná oscilácia v klimatológii

Nikola Jajcay, Milan Paluš, Praha

Abstrakt. Pri modelovaní v klimatológii a meteorológii rozlišujeme dva základné druhy mo-

delov — dynamické a štatistické. Dynamické modely majú fyzikálny základ, ktorý pozostáva

z diskretizovaných diferenciálnych rovníc a súčasného stavu ako počiatočnej podmienky a ná-

sledne modelujú stav systému integrovaním týchto rovníc v čase. Štatistické modely sú už

v základe odlišné: ich fungovanie sa nezakladá na fyzikálnych mechanizmoch tvoriacich dyna-

miku modelovaného systému, ale sú odvodené z analýzy chodu počasia v minulosti. V tomto

článku opíšeme príklad štatistického modelu, ktorý modeluje atmosféricko-oceánsky jav El

Niño — Southern Oscillation. Zvýšenú pozornosť venujeme modelovaniu nelineárnych me-

dziškálových interakcií. Okrem štatistických vlastností modelu sa tiež zaoberáme parametri-

záciami šumu. Taktiež zvažujeme možnosť použitia štatistických modelov nízkej komplexity

ako surogátnych modelov na generovanie dát za účelom štatistického testovania hypotéz.

1. Modelovanie v atmosférických vedách

Klimatické a atmosférické modely, ktoré používajú kvantitatívne metódy na simulo-vanie interakcií v klimatickom systéme, sú jedným z najdôležitejších nástrojov prepredikciu a porovnanie klímy v budúcnosti, alebo štúdium klímy v minulosti. Takmerkaždý sa denne stretáva s použitím dynamických modelov v predpovedi počasia. Vovšeobecnosti sa používajú dva hlavné typy modelov: dynamické a štatistické. Prin-cíp dynamického modelovania spočíva v použití diferenciálnych rovníc (udávajúcichvzťah medzi časovým vývojom rôznych veličín), ktoré sú numericky integrovanév čase z tzv. počiatočného stavu. Počiatočný stav reprezentuje východzie podmienkypri integrácii. Asi najznámejším príkladom použitia dynamických modelov sú globálneklimatické modely (GCM — general circulation model). Sú to v princípe matematickémodely cirkulácie atmosféry a oceánov v planetárnom merítku, ktoré na modelovaniepoužívajú Navier-Stokesove rovnice na rotujúcej sfére (reprezentujúce zachovanie hyb-nosti v kvapaline), rovnicu kontinuity (zachovanie hmoty v kvapaline) a iné základnérovnice dynamiky a statiky tekutín spolu s termodynamickými členmi na vyjadrenieenergetických zdrojov a prepadov. Takto zostrojené modely sa používajú v numerickej

Mgr. Nikola Jajcay, Oddělení nelineární dynamiky a složitých systémů, Ústav informa-tiky AV ČR, v. v. i., Pod Vodárenskou věží 2, 182 07 Praha 8, Katedra fyziky atmosféry,Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, V Holešovičkách 2, 180 00 Praha 8, e-mail:[email protected]; RNDr. Milan Paluš, DrSc., Oddělení nelineární dynamiky a složitýchsystémů, Ústav informatiky AV ČR, v. v. i., Pod Vodárenskou věží 2, 182 07 Praha 8, e-mail:[email protected]



predpovedi počasia, na vytváranie dát (datasetov) minulého počasia, tzv. reanalýzya taktiež na projekcie klímy do budúcnosti vo veľkých porovnávacích projektoch akoje CMIP3 [15] alebo CMIP5 [22].

Denne sa však stretávame s chybami pri modelovaní (koľkokrát už nevyšla predpo-veď počasia?). Pri klimatickom modelovaní za pomoci dynamických modelov sa stre-távame s dvoma druhmi chýb: prvý typ súvisí s počiatočnou chybou (chyby v iniciali-zácii počiatočného stavu klimatického systému), druhý je priamo naviazaný na chybymodelu (rozlíšenie — či už časové alebo priestorové, chyby spojené s diskretizáciou di-ferenciálnych rovníc apod.) [2]. Problémy s chybami v počiatočnom stave sa väčšinouriešia rozšírením jednej predpovede (jednej integrácie) na súbor predpovedí s miernesa líšiacimi počiatočnými podmienkami, kde sa na konci vyhodnocuje štatistika (na-príklad priemer a rozptyl) daného súboru. S chybami spojenými priamo s modelom touž je zložitejšie — sú „vstavané“ do modelu prostredníctvom exponenciálneho rastuchyby (kde rast chyby znamená citlivosť na počiatočné podmienky — dve integrá-cie, ktoré sú v čase t0 veľmi blízko pri sebe, sa v čase od seba môžu exponenciálnevzďaľovať). Táto vlastnosť súvisí s chaotickým správaním, ktoré je spojené s nelineari-tami v diskretizovaných diferenciálnych rovniciach [13] a so systematickými chybami,kde vo všeobecnosti dochádza k posunu a deformáciam štatistických rozdelení simu-lovaných veličín. Práve toto je hlavný dôvod obmedzenia prediktability numerickýchpredpovedných modelov na cca 6 až 10 dní (napr. [26]).

Druhým hlavným typom modelov, výrazne rozdielnym od dynamických, sú štatis-tické modely. Nie sú priamo založené na fyzikálnych mechanizmoch, ktoré ovladajúdynamiku modelovaného systému, ale sú odvodené z analýz chodu počasia v minulosti(v jazyku stále populárnejšieho strojového učenia by sme povedali, že sú „naučené“ naminulých dátach). Pravdepodobne najpoužívanejším konceptom v štatistickom mode-lovaní je inverzný stochastický model [18], pri ktorom sa najskôr model navrhne, potomnatrénuje pomocou dát z minulosti a nakoniec sa stochasticky (v procese figuruje ná-hodná premenná — šum) integruje do budúcnosti. Tento typ modelu má samozrejmetiež svoje slabiny — musíme správne vybrať premenné tak, aby čo najvernejšie zachy-tili dynamiku systému, ktorý sa snažíme modelovať. Ďalším typickým problémom šta-tistických modelov je nestacionarita modelovaného systému. Keďže štatistický modelsa nezakladá na fyzikálnych mechanizmoch zodpovedných za vývoj dynamiky, model,ktorý je natrénovaný na podmnožine dát, nemusí správne reprodukovať všetky možnéstavy systému (matematicky môžeme povedať, že nemusí navštíviť všetky oblasti fázo-vého priestoru). Stále však platí, že štatistické modely majú svoje veľké opodstatnenie,hlavne v prípade, kedy je dynamika systému neznáma a zostrojenie dynamického mo-delu takmer nemožné. Ďalšou výhodou štatistických modelov je skutočnosť, že užívateľsi môže prispôsobiť komplexitu modelu podľa potreby. S tým súvisí aj motivácia použiťštatistický model na štúdium systému s neznámou dynamikou — zostrojíme štatistickýmodel a pokiaľ nám vie správne modelovať rôzne aspekty systému, tak je jednoduchšieštudovať samotný model, v ktorom presne vieme, ktoré procesy — a ako konkrétne— sa podieľajú na dynamike študovaného systému. V nasledujúcej časti textu vybu-dujeme štatistický model javu El Niño — Southern Oscillation (ENSO) a špeciálnebudeme klásť dôraz na parametrizáciu šumu.



2. Štatistický model ENSO

V tejto sekcii vybudujeme model na predikciu javu El Niño — Southern Oscillation.Spomedzi atmosférických a oceánskych javov s viac ako ročnou periódou vykazujenajsilnejší signál a má veľký socioekonomický dopad. Jeho najvýraznejším prejavomje nepravidelná oscilácia teploty povrchu Tichého oceánu v rovníkovej oblasti a s týmsúvisiace zmeny atmosférickej a aj oceánskej cirkulácie.

2.1. Fenomén ENSO

Fenomén ENSO a jeho tri fázy — neutrálna (normálne podmienky), teplá (El Niño)a studená (La Niña) — sú zobrazené na obr. 1. V neutrálnej fáze (obr. 1 hore), ktoráreprezentuje normálne podmienky v Pacifiku, tvorí základ teplý oceán v západnomPacifiku (pri pobreží Austrálie) a studený oceán vo východnom Pacifiku (pri pobrežíPeru). Vieme, že nad teplým oceánom (západný Pacifik) existuje silný výpar a keďžeteplý vzduch je ľahší a stúpa nahor, v oblasti západného Pacifiku vzniká hlboká kon-vekcia a pásmo permanentných zrážok. S tým je spojené aj pásmo nižšieho tlaku nadzápadným Pacifikom. Tento teplý vzduch stúpa nahor, často až k hranici troposférya následne vrchnou troposférou smeruje na východ, kde klesá k povrchu a tvorí pásmovysokého tlaku (nad východným Pacifikom). Potom, v súlade s pasátmi, fúka po povr-chu späť na západ a tým dokončuje slučku známu ako Walkerova cirkulácia. Otázkouostáva, prečo je v západnom Pacifiku teplejšia voda ako vo východnom. Vysvetleniesúvisí s povrchovými vetrami, ktoré vejú smerom na západ, čiže na západe je „viac“vody a termoklína (prechodová vrstva, v ktorej rýchlo klesá teplota s hĺbkou a pod ňouzačína studený, hlboký oceán) sa musí tomuto efektu prispôsobiť naklonením. Vďakapasátom vzniká tiež povrchový prúd v oceáne, ktorý smeruje k pólom na oboch hemi-sférach a tento úbytok vody sa vyrovnáva tzv. upwellingom, alebo pumpovaním vodyna povrch oceánu, ktorý sa v rovníkovej oblasti deje z hĺbky cca 50 metrov. Termoklínaje položená hlbšie na západe rovníkového Pacifiku, čiže voda vypumpovaná na povrchje stále teplá. Avšak na východe je termoklína položená v nižšej hĺbke ako je hranicaupwellingu, čiže na povrch sa dostáva studená voda z tzv. hlbokého oceánu.

Pri teplej fáze ENSO (obr. 1, dole vľavo) sa teplejšia voda presúva smerom navýchod k pobrežiu Peru, termoklína sa vyrovnáva a absencia studeného upwellingu eštezvýrazňuje teplú anomáliu. S tým súvisí aj oslabenie Walkerovej cirkulácie a presunoblasti permanentných zrážok na východ, kde teraz pokrýva takmer celý rovníkovýPacifik.

Naopak, pri studenej fáze (obr. 1 dole vpravo) sa teplejšia voda posúva ešte viacna západ, až k pobrežiu Austrálie, termoklína je strmšia ako bežne a konvektívnacirkulácia nad Pacifikom je taktiež zosilnená. Za pôvodom ENSO síce stojí spojenádynamika atmosféry a oceánu v ekvatoriálnom (rovníkovom) Pacifiku [20], jeho efektyna všeobecnú cirkuláciu a interakciu medzi oceánom a pevninou sú však dobre bada-teľné aj mimo tropického pásu (oblasť medzi obratníkmi, čiže cca 23.5 severnej šírkyaž 23.5 južnej šírky), pretože sa prenášajú poväčšine za pomoci telekonekcií [1].

Obe extrémne fázy (teplá aj studená) môžu viesť k extrémnym klimatickým pod-mienkam v princípe na celej Zemi. Ako príklad nám poslúži priemerná globálna teplota,ktorá je dočasne vyššia počas teplej fázy ENSO a naopak dočasne nižšia počas stude-nej fázy ENSO [25]. Okrem globálnej teploty ovplyvňuje tento atmosféricko-oceánsky



Obr. 1. ENSO — normálne podmienky (hore), teplá fáza (dole vľavo) a studená fáza (dolevpravo). Obrázky prevzaté z [3].

fenomén samozrejme aj lokálnu teplotu (teplá fáza ENSO napríklad prináša zvýšenieteploty na stredozápade a východe USA, na juhu Brazílie a v celej juhovýchodnej Áziia studenšie podmienky na Floride, kým studená fáza funguje presne opačne) a taktiežovplyvňuje zrážky (suché podmienky v juhovýchodnej Ázii, Austrálii a v Indii počasteplej fázy ENSO a naopak zvýšené zrážky na tých istých miestach počas studenejfázy). Okrem už spomenutých javov súvisí teplá fáza ENSO tiež so slabšími vetramiokolo rovníka, so zvýšenou konvekciou pozdĺž ekvatoriálneho Pacifiku a zniženým ri-zikom hurikánov v Karibskej oblasti. Obrátene, počas studenej fázy ENSO môžemepočítať so silnejšími vetrami okolo rovníka, zníženou konvekciou a taktiež s vyššoupravdepodobnosťou výskytu hurikánov v Karibskej oblasti [6].

Dôležitým aspektom ENSO je skutočnosť, že teplá fáza — El Niño — sa vyznačujeväčšou magnitúdou (veľkosťou) ako jej náprotivok — La Niña. Táto štatistická nerov-nosť čiastočne napovedá, že na dynamike ENSO sa podieľajú aj nelineárne procesy [5].Napriek tomu aj najdetailnejšie numerické dynamické modely podceňujú tieto neline-árne efekty [8], čiže kvalita predpovede je stále nedostatočná. Ešte pred rokom 2000bola väčšina modelov ENSO lineárna a nelineárne modely začali nadobúdať popularituiba pomerne nedávno (viz napr. [24]).



2.2. Inverzný stochastický model

Koncept inverzného stochastického modelu použijeme ako štartovací bod pri stavanímodelu ENSO. Táto časť je prevažne prevzatá z [11]. Nech x(t) je stavový vektoranomálií nejakej veličiny, čiže x(t) = X(t) − X(t), kde X(t) je klimatický stavovývektor danej veličiny a X(t) je jeho klimatológia — časový priemer.

V našom prípade môže byť X(t) vektor teplôt povrchu oceánu vo vybraných bodochv čase t. S ohľadom na veľké množstvo dát je však výhodnejšie časové rady teplôtnajskôr transformovať metódou analýzy hlavných komponent (tzv. PCA rozklad). Tátoslúži k dekorelácii dát a následným zanedbaním málo významných komponent môžemeznížiť dimenziu problému. Je to vlastne rozklad kovariančnej matice dát pomocousingulárnej dekompozície na priestorové komponenty nemenné v čase a k nim priradenéčasové rady.

Časová evolúcia anomálií x sa dá vyjadriť ako

x = Lx + N(x), (1)

kde L je lineárny operátor, N reprezentuje nelineárne zložky a bodkou značíme časovúderiváciu (explicitnú závislosť stavového vektora x(t) na čase už neuvádzame). Tátorovnica reprezentuje všeobecný inverzný model, o ktorom predpokladáme, že má li-neárnu zložku reprezentovanú operátorom L a nelineárnu zložku reprezentovanú ope-rátorom N, ktorý závisí od stavového vektora x. Tieto operátory vo všeobecnostinezávisia od času.

Najjednoduchším typom inverzných modelov sú lineárne inverzné modely (linear

inverse models — LIM [18]). Za pomoci predpokladu N(x)dt ≈ Tx dt+dr(0), kde T jematica, ktorá reprezentuje lineárnu spätnú väzbu nerozlíšených (skrytých) procesovv x, a dr(0) je šumový proces, zjednodušíme rovnicu na lineárnu. Šumový proces jepri odhadovaní parametrov rezíduum — zvyšok po odhadnutí, ktorý sa nedá vysvetliťlineárnym odhadom, a ako uvidíme neskôr, pri následnom integrovaní modelu sa z nehostane biely šum. Vďaka nášmu predpokladu môžeme rovnicu (1) prepísať ako

dx = B(0)xdt + dr(0), B(0) = L + T. (2)

Maticu B(0), reprezentujúcu lineárne spätné väzby, a kovariančnú maticu šumuQ ≡ 〈r(0)r(0)T

〉, ktorú budeme potrebovať pri integrácii modelu, môžeme priamoodhadnúť z pozorovania veličiny x (z dát) pomocou viacnásobnej lineárnej regresie [28].Samozrejme predpokladáme, že reziduály r(0) majú nulovú strednú hodnotu. Stavovývektor x pozostáva z časových radov hlavných komponent a tzv. vektor odoziev xpozostáva z ich tendencií.

2.3. Nelineárny viac-stupňový model

Predpoklady o lineárnej, stabilnej dynamike a o aditívnom bielom šume, ktoré smepoužili pri predstavovaní lineárnych inverzných modelov, sú, bohužiaľ, platné iba pripríliš veľkej aproximácii. Konkrétne, rezíduum po lineárnom odhade dr(0) obsahujev sebe autokorelácie, čo je v rozpore s definíciou šumového procesu — rezíduum má byťtzv. biely šum, čiže náhodný signál s rovnomerne rozdeleným spektrálnym výkonom.Okrem toho, matice B(0) a Q, ktoré sme získali odhadom z dát, vykazujú silnú závislosť



na samotnom procese x a z definície by mali byť nezávislé [19]. V nasledujúcom texteteda predstavíme dve modifikácie nášho modelu, ktoré adresujú nelinearitu a taktiežspôsob, ako sa zbaviť korelácií v v rezíduách (prevzaté z [11]).

Prvú modifikáciu dosiahneme uvažovaním polynomiálneho tvaru N(x) v rovni-ci (1), presnejšie kvadratického polynómu. i-tu komponentu Ni(x) môžeme písať ako

Ni(x)dx ≈

(

xT Aix + tix + c(0)

i

)

dt + dr(0)

i , (3)

kde matice Ai reprezentujú bloky tenzoru tretieho rádu, kým vektory b(0)

i = li + ti

sú riadkami matice B(0) = L + T (presne ako v rovnici (2)). Tieto matice, podobneako zložky vektoru c(0), môžeme odhadnúť pomocou viacnásobnej polynomiálnej re-gresie [14].

Druhá modifikácia sa vysporadúva s problémom korelácií v reziduálnom šume.Ak pri odhadovaní modelu zistíme, že rezíduá po odstránení kvadratickej a lineárnejzložky nie sú biely šum, tak tieto rezíduá odhadneme, teraz už len lineárne, pridanímďalšieho stupňa do modelu. Konkrétne, i-tu zložku prvého, tzv. hlavného stupňa nášhoinverzného stochastického modelu, môžeme písať ako

dxi =(

xT Aix + b(0)

i x + c(0)

i

)

dt + dr(0)

i , (4)

kde x = xi je stavový vektor a matice Ai, vektory b(0)

i , zložky c(0)

i vektoru c(0),rovnako ako zložky r

(0)

i vektoru reziduálneho šumu r(0), zistíme pomocou metódynajmenších štvorcov. Ďalší stupeň modelu je pridaný na modelovanie známych časo-vých inovácií (tendencií) dr(0) ako lineárnej funkcie tzv. rozšíreného stavového vektoru,

[x, r(0)] ≡

(

xT , r(0)T)T

. Rezíduá tohto stupňa opäť zistíme pomocou metódy najmen-ších štvorcov. Rovnakým spôsobom pridáme ďalšie a ďalšie stupne modelu, až pokiaľrezíduá L-tého stupňa, r(L+1), nie sú biele v čase (vzájomne nezávislé a ich autokore-lácia je nulová). Matematicky môžeme dodatočné stupne modelu písať ako

dr(0)

i = b(1)

i [x, r(0)]dt + r(1)

i dt,

dr(1)

i = b(2)

i [x, r(0), r(1)]dt + r(2)

i dt,

. . .

dr(L)

i = b(L+1)

i [x, r(0), . . . , r(L)]dt + r(L+1)

i dt. (5)

Rovnice (4) a (5) reprezentujú širokú paletu procesov, kde potrebujeme expli-citne modelovať spätnú väzbu modelovaného procesu x na jeho šume. Lineárny viac-stupňový model dostaneme predpokladom Ai ≡ 0 a c(0)

≡ 0 v rovnici (4). Detailymetodológie a taktiež diskusia rôznych aspektov tohto modelu je uvedená v pôvodnomčlánku [12].

V konkrétnom prípade modelovania ENSO (následujúci princíp sa dá zovšeobec-niť a použiť aj na iné účely) využijeme tiež fakt, že teplá i studená fáza zvyknú maťsvoje maximum v novembri a decembri. Je viacero ciest, ako podobnú synchronizáciuzahrnúť do modelu. My, v súlade s [12], zahŕňame sezónnu závislosť do dynamic-kej časti hlavného stupňa modelu. Rigorózne povedané, predpokladáme, že maticová



funkcia B(0)(t) a vektorová funkcia c(0)(t) sú časovo závislé a periodické s periódouT = 12 mesiacov:

B(0)(t) = B0 + Bs sin(2πt/T ) + Bc cos(2πt/T ),

c(0)(t) = c0 + cs sin(2πt/T ) + cc cos(2πt/T ), (6)

čiže v našom prípade použijeme celú dostupnú dĺžku dát na odhad štyroch sezónnezávislých koeficientov. Model (čiže jeho parametre — tenzor A, matice B(i) a vek-tory c(i)) odhadneme v priestore komponent z PCA rozkladu (pripomíname, že PCAje rozklad časovo-priestorových dát pomocou singulárnej dekompozície kovariančnejmatice na priestorové módy, ktoré vysvetľujú najviac variancie; z rozkladu dosta-neme časovo-nemenné, priestorové komponenty a k nim priradené časové rady) [7]teplôt povrchu oceánu tropického Pacifiku. Optimálna (v zmysle podobnosti modelua skutočných dát) dimenzionalita modelu (počet zložiek vektoru x), na ktorých mo-del natrénujeme, sa určuje heuristicky, pomocou kros-validácie, kedy skúšame rôznemožnosti a vyberieme možnosť s najvyššou podobnosťou voči reálnym dátam.

3. Výsledky: porovnanie modelu s dátami

V porovnávaní výsledkov nášho modelu sa zameriame na jeden z indexov opisujúcichfenomén ENSO, a to konkrétne tzv. NINO3.4 index. Tento je definovaný ako časovýrad priestorového priemeru povrchovej teploty oceánu v boxe ohraničenom 5 južnej až5 severnej šírky a 120 až 170 západnej dĺžky. Daný index sa zakladá na HadISST1datasete [21], ktorý predstavuje súbor dát povrchových teplôt oceánu a koncentrácieľadovcov s mesačným rozlíšením od roku 1871, vzorkovaných pri rozlíšení 5

× 5. Akpoužijeme model a značenie z predchádzajúcej sekcie, potom X(t) je vektor teplôtpovrchu oceánu v bodoch mriežky v čase t, ktorý meriame v mesiacoch, X(t) je vektorpriemerných teplôt v danom mesiaci a vektor x(t) = X(t) − X(t) popisuje anomálieteplôt. Pripomíname, že s ohľadom na zníženie dimenzie problému nepracujeme priamos vektormi teplôt, ale s ich PCA transformáciami.

V prvej fáze porovnávania sa zameriame na základné charakteristiky indexuNINO3.4 — jeho veľkosť, sezónnu závislosť a spektrum.

3.1. Základné charakteristiky

Ako prvú porovnáme amplitúdu (veľkosť) NINO3.4 indexu. Definujeme ju ako štan-dardnú odchylku (STD) anomálií (odchýliek od priemeru za celé obdobie, pre ktorémáme dáta k dispozícii) teploty povrchu oceánu (SSTA — sea surface temperature

anomalies) v boxe NINO3.4. Na obr. 2 môžeme vidieť amplitúdu indexu NINO3.4z dát ako tučnú čiernu čiaru a po 20 realizácií (20 nezávislých integrácií modelu z rôz-nych náhodných počiatočných podmienok a za použitia náhodného bieleho šumu priintegrácii) z lineárneho (tmavo-šedé guličky) a kvadratického modelu (bledo-šedé gu-ličky). Oba modely boli natrénované na podmnožine prvých 20 priestorových kompo-nent z PCA rozkladu a integrované v čase, aby sme dosiahli to, že časové rady budúmať rovnakú dĺžku ako reálne dáta.

Z obrázku vyplýva, že lineárny model ľahko preceňuje amplitúdu ENSO a kvadra-tický model naopak amplitúdu mierne podceňuje. Niektoré realizácie oboch modelov



Obr. 2. Amplitúda ENSO, ako štandardná odchýlka NINO3.4 anomálií v pozorovaných dá-tach (čierna čiara) a v 20 realizáciach lineárneho (tmavo-šedé guličky) a kvadratického (bledo-šedé guličky) modelu. V rovnakých farbách je vykreslený aj súborový priemer ako štvorec pretieto modely.

sa reálnej amplitúde ENSO veľmi približujú, na základe čoho môžeme tvrdiť, že tátozávisí na počiatočných podmienkach a na šume dodanom počas integrácie. Súborovépriemery lineárneho ako aj kvadratického modelu sa celkovo s dostatočnou presnosťoupribližujú reálnej amplitúde.

Ďalšou základnou a dôležitou charakteristikou ENSO je jeho sezónnosť. Ako bolospomenuté vyššie, ENSO sa vyznačuje tendenciou vrcholiť v zime na severnej pologuli,čo sa preukazuje zvýšenou varianciou počas zimných mesiacov a zníženou variancioupočas jari a leta na severnej pologuli. Ako charakteristiku teda zvolíme štandardnúodchýlku SSTA za jednotlivé mesiace a tieto charakteristiky pre reálne dáta a takistoaj pre naše modely môžeme vidieť na obr. 3.

Vidíme, že oba modely dobre reprezentujú sezónnosť ENSO v zmysle zvýšenejvariancie v zimných mesiacoch s minimom na jar na severnej pologuli. Je potrebnépodotknúť, že v reálnych dátach je rozdiel v mesačných varianciách väčší ako v obochmodeloch. Opäť platí, že súborové priemery oboch modelov dostatočne dobre repre-zentujú sezónnosť, akú môžeme nájsť v dátach.

Poslednou, ale nemenej dôležitou charakteristikou je frekvenčné spektrum teplot-ných anomálií, z ktorého sa dozvieme typické periodicity (frekvencie) signálu. Feno-mén ENSO nemá veľmi konkrétnu periodicitu, väčšinou sa v literatúre stretávames pojmom „ENSO band“, ktorý reprezentuje fakt, že periodicita ENSO nie je pevnedefinovaná (jeho spektrum nemá jasné maximum) a uvádza sa v rozmedzí 3–7 rokov.Tento spektrálny pás môžeme vidieť aj na obr. 4 (spektrálna hustota bola počítanáWelchovou metódou [27]) s mierne výrazným maximom na 9 rokoch.



Obr. 3. Sezónnosť ENSO, ako štandardná odchýlka NINO3.4 anomálií za mesiac v pozorova-ných dátach (čierna čiara) a v 20 realizáciach lineárneho (tmavo-šedé čiary) a kvadratického(bledo-šedé čiary) modelu. V rovnakých farbách je vykreslený súborový priemer ako tučnéčiary pre tieto modely.

Oba modely relatívne dobre kopírujú spektrum NINO3.4 indexu — či už jednotlivérealizácie, alebo súborové priemery. Vo výsledku môžeme tvrdiť, že štatistický modelintegrovaný na rovnaké obdobie ako dáta verne modeluje fenomén ENSO a dokážekopírovať jeho základné (lineárne) štatistiky.

4. Vylepšenia modelu: parametrizácia šumu

Po navrhnutí dizajnu a natrénovaní štatistického modelu nasleduje samotná integrá-cia, počas ktorej pridávame do modelu šum. Tento šum môže mať priestorovú štruk-túru v zmysle korelácií medzi jednotlivými zložkami, ktorá by mala ostať rovnakáako v dátach. Ako bolo spomenuté vyššie, model obsahuje toľko stupňov, aby rezí-duá posledného stupňa boli biele v čase. To však neznamená, že tento šum nemôžebyť v priestore nejako korelovaný. V najzákladnejšom a najintuitívnejšom nastavenísi jednoducho spočítame kovariančnú maticu rezíduí z posledného stupňa a následnejej Choleského dekompozíciu na spodnú trojuholníkovú maticu a k nej konjugovanútransponovanú maticu R (tento krok je potrebný kvôli stabilite integrácie). Pri integ-rácii si v každom časovom kroku vyrobíme náhodnú realizáciu bieleho šumu o časovejdĺžke 1 a tento náhodný vektor prenásobíme maticou R, z čoho dostaneme realizáciupriestorovo korelovaného bieleho šumu, ktorý dosadíme do modelu. Tomuto procesuhovoríme parametrizácia šumu. V praxi sa však ukazuje, že aj pri vysokostupňovýchmodeloch je stále možné, že rezíduá budú mať nejakú zložitú štruktúru (autokoreláciepri vysokých oneskoreniach, sezónnosť apod.) a parametrizácia za pomoci priestorovejkorelácie by nebola dostatočná. V tom prípade môžeme siahnuť po jednej zo zložitej-ších parametrizácií.



( )

Obr. 4. Spektrum ENSO, odhad spektrálnej hustoty pomocou Welchovej metódy NINO3.4anomálií v pozorovaných dátach (čierna čiara) a v 20 realizáciach lineárneho (tmavo-šedéčiary) a kvadratického (bledo-šedé čiary) modelu. V rovnakých farbách je vykreslený súborovýpriemer ako tučné čiary pre tieto modely.

Jedno z vylepšení parametrizácie šumu vychádza z konceptu modelovania klima-tických procesov, ktoré vykazujú variabilitu na nízkych frekvenciách (LFV — low

frequency variability). Princíp tejto metódy spočíva v hľadaní vzoriek (časových úse-kov) v rezíduách (tzv. noise snippets), ktoré sa objavovali v systéme už v minulosti,vo fáze LFV, tesne pred práve pozorovaným stavom. Tieto (alebo informácie, ktoréz nich získame) následne použijeme na integráciu nášho systému do budúcnosti. Tátometóda je popísaná v [10].

Šumové vzorky, ktoré nájdeme v minulých stavoch systému, môžeme použiť dvomarôznymi spôsobmi: prvým je priame použitie týchto vzoriek z minulého stavu systémuna integráciu modelu do budúcnosti (ako to je použité v [10]) ako súboru viacerýchintegrácií. Napríklad, ak nájdeme 4 rôzne časové intervaly, ktoré pripomínaju súčasnýstav LFV systému, tak použijeme priamo všetky 4 vzorky ako šum pri integrácii a ná-sledne integračný výsledok spriemerujeme. Druhý spôsob (použitý v našej štúdii) jenájdenie daného počtu vzoriek (napríklad 100) z minulosti systému, ktoré sú najbližšiesúčasnému stavu LFV systému a vytvorenie kovariančnej matice z týchto 100 vzoriek.Následne vytvoríme maticu R pomocou Choleského dekompozície a náhodný šumovývektor sa touto maticou vynásobí. Bez ohľadu na to, ktorý z vyššie uvedených spôso-bov použijeme, existuje viacero možností, ako odhadnúť súčasný stav systému. Jednouz najpoužívanejších je odhad pomocou korelácie SSA časových radov (SSA — singu-

lar spectrum analysis [4] je rozklad kovariančnej matice, ktorá je navyše rozšírenáo rôzne časové oneskorenia, v princípe podobný PCA), ktoré vytvoríme z časovýchradov hlavných komponent vstupov do modelu. Druhý spôsob spočíva v použití eukli-dovskej vzdialenosti v podpriestore modelu prvých pár hlavných komponent.



Obr. 5. Amplitúda ENSO (hore) a sezónnosť ENSO (dole), dáta ako čierna čiara, lineárnymodel v tmavo-šedej farbe, lineárny model so šumom závislým na stave systému v bledo-šedejfarbe.

Na obr. 5 môžeme vidieť porovnanie klasického lineárneho modelu (s bielym šumoms klasickou kovariančnou maticou tvorenou z celých dát) a lineárneho modelu so šumoms kovariančnou maticou závislou na súčasnom stave systému. V našom prípade bolsúčasný stav systému odhadnutý pomocou metódy SSA. Ako je zrejmé z obrázku,iná parametrizácia šumu amplitúde nepomohla, avšak pri sezónnosti môžeme vidieťlepší prechod medzi zimou na severnej pologuli s vysokou varianciou, a naopak, jaroua letom na severnej pologuli s nízkou varianciou práve v modeli so šumom závislýmna stave systému.



5. Nelineárne interakcie v dátach a v modeli

Fenomén ENSO je modelovaný počas viacerých dekád a rôzne modely majú svoje vý-hody a nevýhody, ale v princípe všetky dosahujú veľmi dobré výsledky v predpovedi na3 mesiace vopred. My sme náš model chceli zostrojiť tak, aby verne kopíroval neline-árne interakcie v dynamike ENSO. Tým, že model je jednoduchší ako realita, je tentokrok dôležitý v hľadaní mechanizmov, ktoré stoja za nelineárnymi interakciami. Nászaujímajú nelineárne interakcie medzi rôznymi časovými škálami v dynamike ENSO,konkrétne sa zameriame na fázovú synchronizáciu a kauzalitu.

5.1. Metódy

Najskôr musíme NINO3.4 index, ktorý je v princípe časovou radou teplotných anomáliív oceáne, rozložiť na jednotlivé zložky, kde každá reprezentuje časť signálu na konkrét-nej časovej škále. Z dát si pomocou pásmového filtra vieme získať napríklad ročnúzložku, ktorej typická periodicita je jeden rok a iné frekvencie sa v nej — až na maléodchýlky — nevyskytujú. Z pôvodného časového radu s tak získame škálovú zložku sf

o frekvencii f . Najjednoduchším spôsobom, ako odhadnúť jej fázu a amplitúdu, jevypočítať jej imaginárnu zložku sf pomocou Hilbertovej transformácie (lineárna ope-rácia, pomocou ktorej sa počíta analytická reprezentácia signálu). Potom môžemepísať

sf (t) + isf (t) = Af (t) exp(iφf (t)), (7)

kde

φf (t) = arctgsf (t)sf (t)

(8)

je fáza oscilačného signálu s frekvenciou f a

Af (t) =√

s2f (t) + s2

f (t) (9)

je jeho amplitúda.Vyššie popísané dva kroky — filtrovanie a následnú Hilbertovu transformáciu —

môžeme zjednodušiť na jeden použitím waveletovej transformácie. Waveletová trans-formácia je vlastne konvolúcia vopred predpísanej vlny o určitej perióde s dátami, čímvznikajú oscilačné časové rady na frekvencii predpísanej vlny. Výstupom komplexnejwaveletovej transformácie sú reálna a imaginárna zložka časového radu, z ktorých mô-žeme priamo vypočítať fázu a amplitúdu škálovej zložky o danej frekvencii (perióde);pre detaily metodológie odporúčame [16].

Našim hlavným cieľom bolo odhadnúť kauzálne vzťahy medzi oscilačnými zložkamina rôznych periódach. Existuje viacero metód na rozpoznávanie synchronizácie a kau-zality, my používame nástroj z teórie informácie, konkrétne vzájomnú informáciu a jejpodmienenú verziu. Vzájomná informácia sa v prípade diskrétnych vstupných veličínpočíta ako

I(X ; Y ) =∑

x

∑

y

p(x, y) logp(x, y)

p(x)p(y), (10)

kde p(x, y) je združená pravdepodobnosť náhodných veličín X , Y a p(x), p(y) sú mar-ginálne pravdepodobnosti veličín X a Y . Vzájomná informácia v podstate vyjadruje(ako už jej názov napovedá), koľko informácie zdieľajú dve rôzne veličiny, X a Y .



Ak nezdieľajú žiadnu spoločnú informáciu (sú nezávislé), ich združená distribučnáfunkcia sa rovná súčinu jednotlivých marginálnych distribučných funkcií a v sumeje logaritmus 1, čo sa rovná 0. Vzájomná informácia nemá vrchnú hranicu, je zhoraneobmedzená. Na rozdiel, napríklad od korelácie, odhalí aj nelineárne vzťahy medzináhodnými premennými a preto je niekedy prezývaná aj „nelineárna korelácia“.

O vzájomnej informácii môžeme hovoriť nie iba v prípade náhodných veličín, aletiež v prípade dvojice časových radov x(t) a y(t), t ∈ T . Značíme ju opäť I(x(t); y(t))a počítame podľa vzorca (10), kde príslušné distribučné funkcie odhadneme pomocouhistogramov; pre prehľad rôznych odhadov vzájomnej informácie odporúčame [9].

Ešte zaujímavejším konceptom je podmienená vzájomná informácia, ktorá udáva,koľko spoločnej informácie máme v dvoch náhodných veličinách, ak si odmyslíme pôso-benie tretej veličiny. Pomocou podmienenej vzájomnej informácie môžeme odhadovaťmimo iného aj kauzálne vzťahy medzi dvoma veličinami a to tak, že za tretiu veli-činu, na ktorú podmieňujeme, dosadíme minulosť jednej z prvých dvoch veličín, čížeefektívne počítame vzájomnú informáciou medzi dvoma veličinami, podmieňujúc naminulosť jednej z nich.

V tejto štúdii pozorujeme dve miery nelineárných vzťahov: fázovú synchronizá-ciu a fázovo-amplitúdovú kauzalitu. Fázová synchronizácia je jednoducho vzájomnáinformácia medzi fázami dvoch oscilačných zložiek na rôznych frekvenciách. Môže násnapríklad zaujímať fázová synchronizácia medzi oscilačnou zložkou s ročnou periódoua zložkou pomalšieho, 5-ročného cyklu. Matematicky píšeme I(φf1

(t); φf2(t)).

Fázovo-amplitúdová kauzalita je už trocha zložitejšia a v jej počítaní používamekoncept podmienenej vzájomnej informácie. V našom prípade počítame kauzalitu sme-rom od fáz k amplitúde. V princípe počítame vzájomnú informáciu fázy φ1 v čase tna amplitúdu A2 v budúcnosti (v čase t + τ , čiže počítame ako nám znalosť momen-tálnej fázy pomôže predpovedať amplitúdu v budúcnosti). Zároveň však podmieňu-jeme na prítomnú a minulú amplitúdu A2 v časoch t, t − η, . . . (tu závisí na di-menzii podmienky, my používame 3-dimenzionálnu podmienku), čím sa zbavujemejej pôsobenia. Celkovo píšeme, že odhad kauzality od fáz k amplitúde počítame akoI(φf1

(t); Af2(t + τ) | Af2

(t), Af2(t − η), Af2

(t − 2η)).

5.2. Surogátne dáta

Predtým, ako prejdeme priamo k výsledkom našich analýz, vysvetlíme metódu su-rogátnych dát. Surogátnymi dátami (surrogate data alebo analogous data) nazývamemetódu na generovanie umelých časových radov, ktoré zachovávajú niektoré vybranéštatistické vlastnosti pôvodných dát, kým ostatné znáhodnia konzistentne s nulovouhypotézou. Ich najčastejšie využitie je v štatistickom testovaní významnosti. Najskôrsi zvolíme nulovú hypotézu, ktorá opisuje nejaký proces, a následne vygenerujeme sú-bor surogátnych dát zodpovedajúcich nulovej hypotéze použitím Monte Carlo metód(opakované náhodné vzorkovanie). Jednou z najpoužívanejších techník na generovaniesurogátnych dát sú tzv. fourierovské surogáty (Fourier transform surrogates [23]), ktorézachovávajú lineárne korelácie v dátach (spektrum alebo periodogram a taktiež autoko-reláciu), ale znehodnotia akékoľvek interakcie medzi nimi. Pri tvorbe týchto surogátovdáta pretransformujeme do frekvenčného priestoru pomocou Fourierovej transformá-cie, ich fázy znáhodníme a následne späť pretransformujeme inverznou Fourierovoutransformáciou do priestoru reálneho času.



Metódu a jej použitie ilustrujeme na jednoduchom príklade — predstavme si dvaprepojené dynamické systémy (napríklad Lorenzov systém), kde jeden z nich ovládadruhý v kauzálnom zmysle (to znamená, že v rovniciach pre druhý systém sa vyskytujepremenná z prvého systému). Tento systém naintegrujeme a máme k dispozícii merania— časové rady z oboch systémov. Chceme zistiť, či a ako sú prepojené a ak sú, chcemevedieť smer kauzality. Na tento účel použijeme napríklad podmienenú vzájomnú infor-máciu. Z analýzy vzájomnej informácie dostaneme výsledok — jedno číslo. Toto námvšak na zistenie výsledku nestačí — hodnotu sme mohli dostať aj „náhodou“. Zaúčelom štatistického testovania si teda vytvoríme súbor surogátnych dát (napríkladuž zmienených Fourierových surogátov) a analýzu podmienenej vzájomnej informáciezopakujeme pre každý člen súboru zvlášť. Z hodnôt vzájomných informácií pre každýčlen zostrojíme histogram a pozrieme sa, kam padne hodnota z dát. Ak prekročí vopredzvolený percentil (často to býva 95 %), povieme, že kauzálny vzťah je signifikantný.

5.3. Interakcie v dátach

Pri študovaní nelineárnych interakcií v dátach sa najskôr zameriame na fázovú syn-chronizáciu. Fázovou synchronizáciou rozumieme vo všeobecnosti proces, v ktorom dvaalebo viac cyklických signálov oscilujú s opakujúcou sa sekvenciou fázových rozdielov.V našom klimatickom príklade to znamená, že dve rôzne oscilačné zložky systému súspolu zosynchronizované — ak dôjde k zmene jednej, simultánne by sa mala zme-niť aj druhá. Fázovú synchronizáciu počítame pomocou vyššie zavedenej vzájomnejinformácie ako I(φf1

(t); φf2(t)), kde φi(t) je časový rad fázy i-tej oscilačnej zložky.

Výsledky môžeme vidieť na obr. 6 vľavo. Pre každú dvojicu periód odhadneme vzá-jomnú informáciu ich fáz a porovnávame ju so súborom synteticky vyrobených dátzodpovedajúcich nulovej hypotéze. Nulová hypotéza v našom prípade zodpovedá line-árnemu stochastickému procesu s rovnakým spektrom ako dáta, v ktorom ale žiadnemedziškálové interakcie neexistujú. V prípade, že hodnota vzájomnej informácie jev dátach vyššia ako daný percentil (často 95 %) z distribúcie surogátnych dát, nulováhypotéza je zamietnutá a tvrdíme, že vzájomná informácia je štatisticky významná.Podobne si zobrazíme aj výsledky z kauzálnej interakcie medzi fázou a amplitúdouako na obr. 6 vpravo.

Ako je zrejmé z obr. 6, v observačných dátach môžeme vidieť synchronizáciu roč-ného cyklu s periódami tesne pod jedným rokom, tzv. kombinačnými tónmi a taktiežfázovú synchronizáciu 2:1, čiže tzv. bienálneho (dvojročného) cyklu s ročným. Čo satýka kauzalít, tvrdíme, že fáza pomalého cyklu s periódou 5–6 rokov kauzálne vplývana amplitúdu bienálneho cyklu.

5.4. Interakcie v modeli

V nasledujúcich riadkoch sa pozrieme na podobné interakcie, ale tentoraz v modeloch.Či dokážeme nájsť rovnaké interakcie v modeloch a v observačných dátach je dôle-žité z hľadiska ozrejmenia mechanizmov stojacich za týmito interakciami. Komplexitamodelov je na rozdiel od prírody značne znížená a model môžeme navyše rozložiť najeho jednotlivé zložky a sledovať, z akých interakcií v modeli náš výsledok vychádza.Na test synchronizácie a kauzality sme opäť integrovali lineárny model v súbore, prekaždú realizáciu zo súboru sme spravili štatistický test oproti surogátnym časovým



Obr. 6. Fázová synchronizácia (vľavo) a kauzalita fáza → amplitúda (vpravo) v časovejrade NINO3.4 indexu. Zobrazené sú stupne významnosti ako stupne šedi (od 95% percen-tilu) z odhadu vzájomnej informácie. Štatistický test významnosti oproti 500 syntetickým,surogátnym časovým radom.

radom, takéto grafy sme binarizovali (ak bol daný bod na grafe významný, tak smemu pridelili hodnotu 1, v opačnom prípade 0) a nakoniec sčítali. Výsledky ukazujemena obr. 7.

Ako vidno z ľavej časti obr. 7, fázová synchronizácia je správne modelovaná a obsa-huje obe synchronizačné pásma, menovite synchronizáciu ročného cyklu s kombinač-nými tónami a synchronizáciu ročného a bienálneho cyklu. S kauzalitou fáza-amplitúdato už je horšie – túto interakciu model nedokázal zachytiť. Dôvodom môže byť nízkakomplexita modelu, alebo absencia nejakých nelineárnych interakcií v modeli, ktoréobservačné dáta (a tým pádom dynamika ENSO) obsahujú.

6. Modelovanie surogátnych dát pomocou štatistického modelu

Už sme si vysvetlili, čo sú surogátne dáta a na čo sa používajú. V poslednej častitohoto článku ukážeme, ako generovať surogátne dáta pomocou nášho štatistickéhomodelu. Pri štúdiu nelineárnych interakcií použitím metód ako vzájomná informácia,je použitie surogátnych dát na testovanie štatistickej významnosti nutné. Samozrejme,môžeme použiť už spomenuté fourierovské surogátne dáta, čím sa nulovou hypotézoustane lineárny proces s rovnakým spektrom. Môžeme však vytvoriť sofistikovanejšiunulovú hypotézu, využívajúc možnosti štatistických modelov: ak vezmeme lineárnymodel, zanedbáme dynamickú sezónnosť členov B(0) a c(0) v rovnici (6) a použijemezákladnú parametrizáciu šumu (vezmeme do úvahy iba priestorové korelácie), tentomodel bude kopírovať základné (lineárne) štatistické vlastnosti modelovaných časovýchradov, ale nebude umožňovať napríklad nelineárne interakcie. Týmto spôsobom homôžeme využiť ako nulovú hypotézu.



( )

Obr. 7. Suma 5 členov súboru pre fázovú synchronizáciu (vľavo) a kauzality fáza → ampli-túda (vpravo) v v časovom rade modelovaného NINO3.4 indexu zo súboru lineárneho modelu.Ukázané sú hladiny významnosti (od 95% percentilu) z odhadu vzájomnej informácie. Šta-tistický test významnosti oproti 500 syntetickým, surogátnym časovým radom.

Použitie štatistického modelu na vytváranie nulových hypotéz v praxi môžeme vi-dieť na obr. 8. Keď porovnáme riadky (odlišné typy surogátov, čiže odlišné nulovéhypotézy), v oboch máme rovnaké významné interakcie. Konkrétne sa jedná o syn-chronizáciu fáz ročného cyklu s kombinačnými tónmi a ročného cyklu s bienálnym.Taktiež pozorujeme kauzalitu fáza — amplitúda, kde fáza pomalého cyklu (5–6 rokov)kauzálne ovplyvňuje amplitúdu bienálneho cyklu. Pri použití štatistického modelu níz-kej komplexity ako nulovej hypotézy vidíme — hlavne pri kauzálnych interakciách —že model tohto typu má menej štatistických „fluktuácií“, resp. falošných pozitív, akofourierovské surogáty. Toto je očakávateľné, pretože model verne kopíruje základnú(lineárnu) štruktúru dát a vynecháva iba sezónnu závislosť na ročnom cykle a neline-árne interakcie. Použitím štatistického modelu na testovanie hypotéz dostávame lepšiupredstavu o významných interakciách, zároveň je takýto test prísnejší (nulová hypotézaje konkrétnejšia), čo má za následok zníženie počtu falošne pozitívnych výsledkov.

7. Zhrnutie

Štatistickým modelom v klimatológii sa dostáva čoraz väčšej pozornosti, aj z dôvodu,že ich použitie nie je limitované iba na predpovedné účely (napríklad spomenutéhofenoménu ENSO), ale aj na identifikáciu interakcií v zložitých systémoch. Keďže súväčšinou zostrojené v redukovanom fázovom priestore s nízkou dimenzionalitou, iden-tifikácia zdrojov týchto interakcií sa stane jednoduchšou.

Ukázali sme, že štatistické modely s vhodným nastavením (ktoré súvisí so základ-ným pochopením modelovaného javu) vedia generovať syntetické časové rady mo-delovaného systému (u nás to bolo ENSO), ktoré kopírujú vlastnosti observačnýchdát — lineárne aj nelineárne. Ďalej sme sa venovali rôznym parametrizáciam šumu.



Obr. 8. Porovnanie nulových hypotéz: fázová synchronizácia (vľavo) a kauzalita fáza →

amplitúda (vpravo) v časovom rade NINO3.4 indexu. Zobrazené sú hladiny význam-nosti (od 95% percentilu) z odhadu vzájomnej informácie. Štatistický test významnostioproti 500 (hore) fourierovským surogátnym časovým radom a (dole) časovým radom z nízko-komplexného štatistického modelu.

Keďže stochasticita je dôležitým aspektom štatistických modelov, správne zvolený šummôže mať veľký vplyv na výsledné modelovanie. V našom konkrétnom prípade námaj zložitejšia parametrizácia šumu pomohla. Záverom sme predstavili spôsob, ako zoštatistických modelov nízkej komplexity vytvárať modely na štatistické testovanie hy-



potéz, ktoré v našom prípade ukázalo lepšie výsledky ako použitie známych metód(napr. fourierovských surogátov).

Budúcnosť štatistických modelov sa môže vyvíjať viacerými smermi. Jedným z nichmôže byť vývoj štatistických modelov ako takých — experimentovanie s rôznymi pre-mennými v modeli, kombinovanie meteorologických premenných na vstupe, rôzne me-tódy a varianty preprocessingu a pod. Ďalším môže byť prepojenie štatistických mo-delov s dynamickými. Ako konkrétny príklad uveďme možnosť použitia štatistickýchmodelov na parametrizáciu javov s menším rozlíšením ako je mriežka (sub-grid pheno-

mena) pri dynamických modeloch, napríklad mikrofyziku oblakov, lokálne konvekčnéprocesy a pod.

Poďakovanie. Autori ďakujú za cenné pripomienky anonymným recenzentoma Lucii Hraškovej za gramatické a štylistické korektúry. Tento článok vznikol za pod-pory Ministerstva školstva, mládeže a telovýchovy v rámci projektu KONTAKT II,číslo LH14001.

L i t e r a t ú r a

[1] Alexander, M. A., Bladé, I., Newman, M., Lanzante, J. R., Lau, N. -C.,

Scott, J. D.: The atmospheric bridge: The influence of ENSO teleconnections on air–sea

interaction over the global oceans. J. Climate 15 (2002), 2205–2231.

[2] Bjerknes, V.: Dynamic meteorology and hydrology, Part II. Kinematics. Gibson, Car-negie Institute, New York, 1911.

[3] El Niño–Southern Oscillation diagrams [cit. 13. 12. 2016]. Dostupné z:http://www.pmel.noaa.gov/tao/proj_over/diagrams/index.html

[4] Ghil, M., Allen, M. R., Dettinger, M. D., Ide, K., Kondrashov, D., Mann,

M. E., et al.: Advanced spectral methods for climatic time series. Reviews Geophys. 40,(2002), 1–41.

[5] Ghil, M., Robertson, A. W.: Solving problems with GCMs: General circulation models

and their role in the climate modeling hierarchy. Academic Press, 2000, 285–325.

[6] Global patterns — El Nino-Southern Oscillation (ENSO) [cit. 29. 11. 2016]. Dostupné z:http://climate.ncsu.edu/climate/patterns/ENSO.html

[7] Hannachi, A., Jolliffe, I. T., Stephenson, D. B.: Empirical orthogonal functions

and related techniques in atmospheric science: A review. Int. J. Climatol. 27 (2007),1119–1152.

[8] Hannachi, A., Stephenson, D. B., Sperber, K. R.: Probability-based methods for

quantifying nonlinearity in the ENSO. Clim. Dyn. 20 (2003), 241–256.

[9] Hlaváčková-Schindler, K., Paluš, M., Vejmelka, M., Bhattacharya, J.: Causa-

lity detection based on information-theoretic approaches in time series analysis. Phys.Rep. 441 (1) (2007), 1–46.

[10] Chekroun, M. D., Kondrashov, D., Ghil, M.: Stochastic systems by noise sampling,

and application to the El Nino-Southern Oscillation. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 108

(2011), 11766–11771.

[11] Kondrashov, D., Kravtsov, S., Robertson, A. W., Ghil, M.: A hierarchy of data-

based ENSO models. J. Climate 18 (2005), 4425–4444.



[12] Kravtsov, S., Kondrashov, D., Ghil, M.: Multilevel regression modeling of nonlinear

processes: Derivation and applications to climate variability. J. Climate 18 (2005), 4404—4424.

[13] Lorenz, E. N.: Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 20 (1963), 130–141.

[14] McCullagh, P., Nelder, J. A.: Generalized linear models. Chapman and Hall, 1989.

[15] Meehl, G. A., Covey, C., Delworth, T., Latif, M., McAvaney, B., Mit-

chell, J. F. B., Stouffer, R. J., Taylor, K. E.: The WCRP CMIP3 multi-model

dataset: A new era in climate change research. A Bull. Amer. Meteor. Soc. 88 (2007),1383–1394.

[16] Paluš, M.: Multiscale atmospheric dynamics: Cross-frequency phase-amplitude coupling

in the air temperature. Phys. Rev. Lett. 112 (2014), 1–5.

[17] Paluš, M.: From nonlinearity to causality: statistical testing and inference of physical

mechanisms underlying complex dynamics. Contemp. Phys. 48 (2007), 307–348.

[18] Penland, C.: Random forcing and forecasting using principal oscillation pattern analy-

sis. Mon. Weath. Rev. 117 (1989), 2165–2185.

[19] Penland, C., Ghil, M.: Forecasting northern hemisphere 700-mb geopotential height

anomalies using empirical normal modes. Mon. Weath. Rev. 121 (1993), 2355–2372.

[20] Philander, S. G. H.: El Nino, La Nina, and the southern oscillation. Academic Press,1990.

[21] Rayner, N. A., Parker, D. E., Horton, E. B., Folland, C. K., Alexander, L. V.,

Rowell, D. P., Kent, E. C., Kaplan, A.: Global analyses of sea surface temperature,

sea ice, and night marine air temperature since the late nineteenth century. J. Geophys.Res. 108 (2003), 4407.

[22] Taylor, K. E., Stouffer, R. J., Meehl, G. A.: An overview of CMIP5 and the expe-

riment design. A Bull. Amer. Meteor. Soc. 93 (2012) 485–498.

[23] Theiler, J., Eubank, S., Longtin, A., Galdrikian, B., Farmer, J. D.: Testing for

nonlinearity in time series: The method of surrogate data. Phys. D 58 (1992), 77–94.

[24] Timmermann, A., Voss, H. U., Pasmanter, R.: Empirical dynamical system modeling

of ENSO using nonlinear inverse techniques. J. Phys. Oceanogr. 31 (2001), 1579–1598.

[25] Trenberth, K. E., Caron, J. M., Stepaniak, D. P., Worley, S.: Evolution of El

Nino–Southern Oscillation and global atmospheric surface temperatures. J. Geophys.Res.: Atmospheres 107 (2002), 4065.

[26] Van den Dool, H. M.: Long-range weather forecasts through numerical and empirical

methods. Dyn. Atmos. Oceans 20 (1994), 247–270.

[27] Welch, P. D.: The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra:

A method based on time averaging over short, modified periodograms. IEEE Trans. AudioAU-15 (1967), 70–73.

[28] Wetherill, G. B.: Regression analysis with applications. Chapman and Hall, 1986.



Zprávy

oznámení

OSMDESÁTINY PROFESORASTANISLAVA MÍKY

V dubnu 2017 oslaví osmdesáté naro-zeniny prof. RNDr. Stanislav Míka, CSc.Narodil se 5. dubna 1937 v NalžovskýchHorách. V letech 1952 až 1955 studoval naVrchlického gymnáziu v Klatovech. V ro-ce 1959 ukončil studium matematiky a fy-ziky na Fakultě přírodních věd Vysokéškoly pedagogické v Praze. V letech 1959až 1962 působil jako pedagog na jednác-tileté střední škole — střední všeobecněvzdělávací škole v Tachově. V roce 1962přešel na Vysokou školu strojní a elektro-technickou v Plzni.

Po listopadu 1989 byl jedním z otců--zakladatelů Fakulty aplikovaných věd(FAV) a posléze Západočeské univerzityv Plzni (ZČU). Zastával řadu významnýchakademických funkcí na univerzitní i fa-kultní úrovni. Byl prvním předsedou aka-demického senátu ZČU, v letech 1992až 1999 děkanem FAV a v letech 1999až 2003 vedoucím katedry matemati-ky FAV.

Jméno Stanislava Míky zůstane na-vždy spojeno se zavedením a rozvojem no-vých matematických studijních oborůna ZČU. Přednášel řadu předmětů,mj. numerické metody, speciální numeric-ké metody, numerickou optimalizaci, par-ciální diferenciální rovnice a matematickémodelování.

Vytvořil koncepci výuky numerickýchmetod a matematického modelování. Jeautorem nebo spoluautorem učebních tex-tů Matematická analýza I (spoluautor Pa-vel Drábek, ZČU, 1991), Matematická

analýza II (spoluautor Pavel Drábek,ZČU, 1991), Matematická analýza III

(ZČU, 1993), Numerické metody algebry

(SNTL, 1982), Okrajové úlohy pro ODR

(spoluautor A. Kufner, SNTL, 1979), Par-

ciální diferenciální rovnice (spoluautorA. Kufner, SNTL, 1983), Numerické me-

tody řešení obyčejných diferenciálních rov-

nic (spoluautor Petr Přikryl, ZČU, 1994),Numerické metody řešení parciálních di-

ferenciálních rovnic (spoluautor Petr Při-kryl, ZČU, 1995).

V odborné oblasti se věnoval numeric-kým metodám pro parciální diferenciálnírovnice, publikoval například články za-měřené na numerické modelování dynami-ky tekutin a monografii věnovanou mode-lování transportu částic.

Profesor Míka založil tradici meziná-rodních seminářů IMAMM (IndustrialMathematics and Mathematical Model-ling) a byl klíčovou postavou při realizacimezinárodních konferencí Modelling.

Stanislav Míka po dobu aktivního pů-sobení na katedře matematiky vychovalněkolik svých následovníků, kteří působív akademické i aplikační sféře.

Jubilant je stále aktivní a občas před-náší zajímavé partie z matematického mo-



delování studentům FAV ZČU. Je takévždy připraven poskytnout cenné radymladším kolegům.

Milý Stando, přejeme Ti do dalších letpevné zdraví, štěstí a životní optimismus.

Marek Brandner, Pavel Drábek

ZA FRANTIŠKEM MATYÁŠKEM

Dne 18. ledna 2017 jsme se v prostě-jovském kostele sv. Cyrila a Metoděje roz-loučili s naším dlouholetým kolegou a takévedoucím Katedry matematiky na Pe-dagogické fakultě Univerzity Palackéhov Olomouci, RNDr. Františkem Matyáš-kem, CSc. Šlo nejen o našeho kolegu, aletaké o výraznou osobnost fakulty, a protobychom chtěli připomenout několik údajůz jeho života.

František Matyášek se narodil 17. pro-since 1931 v Mostě v Čechách, ale brzyse jeho rodina přestěhovala na Moravu doProstějova, kde František absolvoval reál-né gymnázium. Po maturitě v roce 1950odešel do Prahy studovat matematikua deskriptivní geometrii na Matematicko--fyzikální fakultu Univerzity Karlovy. Vy-sokoškolská studia ukončil v roce 1954.Svou pedagogickou činnost zahájil jakoučitel na jedenáctileté střední školev Ostrově nad Ohří a po čtyřech letechbyl na vlastní žádost přeložen do Uničova.Od září roku 1960 pak působil na Středníprůmyslové škole strojnické v Prostějově.

Jeho hluboký zájem o matematiku seprojevil v tom, že v roce 1964 úspěšně slo-žil přijímací zkoušky k zařazení do externíaspirantury na Přírodovědecké fakultě UPv Olomouci (obor algebra a teorie čísel).V roce 1966 byl přijat jako odborný asis-tent na Katedru matematiky Pedagogickéfakulty UP, kde vyučoval algebru a geo-metrii.

V roce 1972 složil František Matyášekna Matematicko-fyzikální fakultě UK ri-

gorózní zkoušky v oboru algebra a teo-rie čísel a získal titul RNDr. Ve studiusvého oboru pokračoval, ale až za dlou-hých deset let mohl obhájit svou kandi-dátskou disertaci v oboru algebra a teoriečísel, a to na téma Některé vlastnosti ter-

nárních algebraických struktur.V roce 1984 mu byl na Matematicko-

-fyzikální fakultě UK udělen titul CSc.V listopadu roku 1989 obdržel společněs dalšími 77 pracovníky Pedagogické fa-kulty UP morální rehabilitaci a bylo mudoporučeno habilitační řízení.

V roce 1990 se stal vedoucím Katedrymatematiky na Pedagogické fakultě UP,aktivně se zapojil do života fakulty i uni-verzity, stal se členem Akademického se-nátu Pedagogické fakulty UP a brzy potébyl zvolen předsedou fakultního Akade-mického senátu.

Svou odbornou činnost shrnul večtyřech monografiích, publikoval všaki odborné stati, především ve sborní-cích UP, a pro posluchače matematiky při-pravil vhodné studijní materiály. Beze-sporu zaujme i jeho přístup k řešení nejenodborných, ale také metodických otázek,souvisejících s výukou matematiky. Celýmjeho dílem proniká hluboký zájem o filo-zofii matematiky. Zvláštní pozornost vě-noval F. Matyášek i historii matematiky.Svých znalostí využíval rovněž při půso-bení na letních školách mladých matema-tiků. Angažoval se jako člen Jednoty čes-kých matematiků a fyziků a za jeho prácimu bylo v roce 2014uděleno čestné uznání.

Všichni spolupracovníci i přátelé, kteříse s Františkem Matyáškem setkávali, sina něj zachovají vzpomínku jako na pra-covitého, skromného a čestného člověka,ochotného vždy poradit i pomoci, na člo-věka se zvláštním osobitým humorem. Rá-di jsme s ním spolupracovali a děkujememu za všechno, co nám stačil předat.

Milan Kopecký a kolektiv spolupracovníků



PROFESOR JAROSLAV ZEMÁNEK(3. 9. 1946 – 18. 2. 2017)

Z Varšavy přišla smutná zpráva, že ze-mřel významný matematik profesor Jaro-slav Zemánek.

Jaroslav Zemánek se narodil v ro-ce 1946 v Praze. Od mládí projevoval vel-ký zájem a talent pro matematiku. Pra-videlně se účastnil matematických olym-piád a v letech 1963 a 1964 úspěšně i mezi-národního kola. Po absolvování MFF UKpracoval v letech 1969–1982 v Matema-tickém ústavu ČSAV jako odborný a vě-decký pracovník. Souběžně byl doktoran-dem prof. W. Żelazka v Matematickémústavu Polské akademie věd, kde obhájilsvou doktorskou práci v roce 1977.

Od roku 1982 pak působil v Matema-tickém ústavu Polské akademie věd, kterýje prestižním matematickým centrem.V roce 1985 se zde habilitoval a v roce 1996se stal profesorem.

Jaroslav Zemánek je autorem celkem74 vědeckých prací, které byly publiko-vány v předních mezinárodních časopi-sech. Jeho centrálním oborem zájmu bylyBanachovy algebry, kde dosáhl hlubokýchvýsledků. Uveďme alespoň jeho charak-teristiku komutativních algeber pomocíspektrálních vlastností nebo výsledkyo idempotentech a quasinilpotentech v Ba-nachových algebrách. Další významné vý-sledky se týkají konvergence výrazů typulimn→∞ ‖g(T n)‖1/n, kde T je operátorv Banachově prostoru a g vhodná geomet-rická charakteristika operátoru (jde o ana-logii známého vzorce pro spektrální polo-měr). Prof. Zemánek se dále zabýval nu-merickými obrazy operátorů, ergodickouteorií, semigrupami operátorů a v poslednídobě Volterrovým operátorem.

Jaroslav Zemánek byl editorem 6 ma-tematických časopisů včetně Czechoslovak

Mathematical Journal a Mathematica Slo-

vaca. Dlouhodobě vedl seminář Teorie

operátorů v Matematickém ústavu ve Var-

šavě a byl školitelem 7 doktorandů. Bylorganizátorem četných matematickýchkonferencí, laureátem Hlavní ceny Polskématematické společnosti a koordinátoremprogramu TODEQ (Marie Curie, Evrop-ská unie). Po celý život zůstal členemJČMF, o jejíž činnost se vždy zajímala úzkostlivě dbal, aby nezmeškal zaplatitvčas členské příspěvky (v tom může býtpříkladem i pro nás domácí členy).

Pro Jaroslava byla vždy matematikastředem zájmu a jeho nejoblíbenějším mís-tem byla matematická knihovna. Měl ne-obyčejně rozsáhlou znalost literatury.Myslím, že jedním z důvodů jeho přestě-hování do Polska byla proslulá varšavskámatematická knihovna. V knihovně se se-známil i se svou manželkou, se kterou mělaž dojemně hezký vztah. Jeho manželkazemřela jen pár týdnů před ním.

Kromě matematiky byla velkou láskouJaroslava astronomie. Doma měl hvězdář-ský dalekohled, navštěvoval pravidelněodborné přednášky a vždy se zajímalo místa spojená s historií astronomie, pře-devším s působením Koperníka, TychonaBrahe a Keplera.

Další láskou Jaroslava byly knihy. Vevelkém množství nakupoval knihy v růz-ných jazycích s tím, že si je přečte, až budev penzi. Bohužel to asi nestihl.

Vladimír Müller

PROF. MIKULÁŠEK ZÍSKALNUŠLOVU CENU

Prof. RNDr. Zdeněk Mikulášek, CSc.,získal dne 13. prosince 2016 Nušlovu cenuČeské astronomické společnosti. Z lauda-tia vyjímáme:

Zdeněk Mikulášek vystudoval fyzikuna Přírodovědecké fakultě MU v Brně v le-tech 1965–1970. Po promoci působil nej-prve jako asistent v oboru fyzika na VUT



v Brně a v letech 1972–1990 jako odbornýpracovník na Hvězdárně a planetáriuM. Koperníka v Brně. V roce 1980 obhájilv Astronomickém ústavu ČSAV v Ondře-jově kandidátskou práci Studium pekuliár-

ní hvězdy CQ UMa a o rok později získalakademický titul RNDr. na UK v Praze.Hned po převratu byl na základě výběro-vého řízení jmenován ředitelem Hvězdárnya planetária M. Koperníka v Brně, kterouneobyčejně povznesl na významné osvě-tové, ale i odborné astronomické zařízení.Již od roku 1995 však začal souběžně před-nášet jako odborný asistent na Přírodo-vědecké fakultě MU astronomii a astro-fyziku. V roce 2001 se na MU habilito-val na základě práce Úvod do fyziky hvězd

a hvězdných soustav, roku 2012 byl jme-nován profesorem.

Ve své vědecké práci se věnoval zejmé-na výzkumu chemicky pekuliárních hvězd,zákrytovým proměnným hvězdám a stu-diu změn astroklimatu. Jako dlouhole-tý garant astronomické a astrofyzikálnívýuky v rámci studijního programu fyzikana Přírodovědecké fakultě MU se stalautorem řady kurzů a skript napsanýchvelmi moderně a pro studenty atraktivně,což vedlo k vysokému nárůstu studentůastronomie a astrofyziky na MU. Před je-ho příchodem totiž subkatedra astronomieskomírala.

Od roku 2002 byl hlavním řešitelemřady projektů GA ČR, školitelem bakalář-ských, magisterských i doktorských stu-dentů a od roku 2009 je předsedou komisepro státní rigorózní zkoušky na Přírodově-decké fakultě MU. Působí také jako opo-nent a člen atestačních komisí v dalšíchčeských i slovenských astronomických in-stitucích. Je členem Mezinárodní astrono-mické unie i České astronomické společ-nosti.

Jeho druhou profesí je pěstování vážnéhudby. V roce 1994 založil hudební souborKomorní dechová harmonie Brno a až do-

sud je jeho uměleckým vedoucím. Soubornezřídka vystupuje i na národních či me-zinárodních astronomických akcích.

Prof. Mikulášek publikoval od r. 1969do současnosti podle databáze ADS172 vědeckých prací, které až dosud zís-kaly 709 citací, tj. 4,1 citace na práci. JehoHirschův index H je roven 14. V řadě pracíje prvním autorem a týmy, které se napublikacích podílejí, jsou často výrazněmezinárodní — jeho spoluautory jsou slo-venští, němečtí, čínští, ruští, italští, japon-ští, chorvatští, turečtí aj. astronomové.Brněnské univerzitní pracoviště se tak sta-lo významným současným českým vědec-kým centrem, jak o tom svědčí i meziná-rodní konference pořádané v Brně nebobrněnskými astronomy organizovanénapř.v Litomyšli.

Prof. Mikulášek se rovněž významnězasloužil o popularizaci astronomie. Je je-diným žijícím spoluautorem českého uni-kátu — knihy „tří Zdeňků“ Sto astrono-

mických omylů uvedených na pravou míru,vydané nakladatelstvím Svoboda v ro-ce 1988 v rekordním nákladu 135 tisíc vý-tisků. Je však také oblíbeným řečníkempři veřejných přednáškách i na astrono-mických konferencích, který dokáže doslo-va uhranout své posluchače originálnímizpůsoby, jak jim přiblížit astrofyzikální te-matiku. Právem také získal v roce 2008cenu ČAS Littera astronomica. Od r. 2000nese jeho jméno planetka č. 11124.

Prof. Mikulášek je příkladem badatelese širokým rozhledem, který mohl uplatnitnaplno své vědecké, pedagogické a řídícíschopnosti teprve od svých 43 let. Stálepracuje na plný úvazek a stal se význam-nou postavou naší současné astronomie.To jsou důvody, pro které mu Česká astro-nomická společnost uděluje své nejvyššíocenění — Nušlovu cenu ČAS za rok 2016.

Jiří Grygar



UDĚLENÍ CENY PROFESORA IVABABUŠKY ZA ROK 2016

Ve čtvrtek 22. prosince 2016 udělilyČeská společnost pro mechaniku a Jed-nota českých matematiků a fyziků již potřiadvacáté Cenu profesora Iva Babuškyza nejlepší práci v oboru počítačových vědpro studenty a mladé vědecké pracovníky.Cenu založil v roce 1994 významný čes-ký matematik Ivo Babuška. Od podzi-mu 1968 působí profesor Babuška ve Spo-jených státech amerických, nyní v Insti-tute for Computational Engineering andSciences, University of Texas, Austin.U příležitosti 90. narozenin prof. Babuškyse na University of Texas konala ve dnech21. a 22. března 2016 mezinárodní vědeckákonference Advances in Mathematics of

Finite Elements.Cenu profesora I. Babušky za rok 2016

získal RNDr. Adam Kosík, Ph.D., z Mate-maticko-fyzikální fakulty UK v Praze zadoktorskou disertační práci Fluid-structu-

re interaction. V práci se zkoumají me-tody numerického modelování 2D inter-akce proudící stlačitelné vazké tekutinya elastického tělesa. Diskretizace úlohy jeprovedena nespojitou Galerkinovou meto-dou. Mezi numerickými experimenty uvá-dí autor i modely kmitání lidských hlasi-vek.

Současně byla udělena další čestnáuznání. Druhé místo přisoudila komiseIng. Radku Štefanovi, Ph.D., z Fakultystavební ČVUT v Praze za disertaciTransport processes in concrete at high

temperatures. Třetí a čtvrté místo obsadilirovným dílem Ing. Václav Hapla, Ph.D.,se svou doktorskou disertací Massively pa-

rallel quadratic programming solvers with

applications in mechanics a Ing. MichalMerta, Ph.D., s prací Parallel boundary

element methods in space and time. Obasvé práce obhájili na Fakultě elektrotech-niky a informatiky VŠB-TU Ostrava.

Čestné uznání bylo uděleno též v ka-

tegorii diplomových a bakalářských prací.Rozhodnutím hodnotitelské komise je zís-kal Bc. Jakub Kružík z Fakulty elektro-techniky a informatiky VŠB-TU Ostravaza svou bakalářskou práci Parallelizations

of TFETI-1 coarse problem.Cena i uznání jsou udíleny každoročně

a jsou spojeny s finanční odměnou.

Karel Segeth

novéknihy

JOHANNES KEPLER:O ŠESTIÚHELNÉ SNĚHOVÉVLOČCE — POUTAVÉ ČTENÍO „NIČEM“

Z latiny přeložil Petr Daniš

Matfyzpress, Praha, 2016, 94 stran,

ISBN 978-80-7378-328-0

Útlá knížečka malého formátu (A6) je za-jímavě uspořádaná. Po krátké předmluvěz pera prof. Valvody následuje vlastníKeplerův text ve dvou jazykových verzíchuspořádaných po dvojicích stránek. Nej-prve se nalézá originální latinský text a na



protilehlé stránce jeho český překlad.V závěru čtenář najde stručnou poznámkupřekladatele a především ho potěší bez-prostředně navazující doplněk Aleny Šol-cové Kepler a Praha. Najde zde četné za-jímavé informace, mj. i jakéhosi průvodceve smyslu „kudy chodil Kepler po Praze“.Zde evidentně jde o nezanedbatelný pří-spěvek z hlediska pražské historie a kul-turních dějin naší metropole.

Nyní však již stručně k vlastnímuKeplerovu textu. Nebyl autorem zřejměmíněn jako vědecká práce, a to ani v do-bovém smyslu. Je adresován jako osobnínovoroční dárek „Veleváženému kancléřiJeho Císařské Milosti panu Janu Matou-šovi Wackerovi z Wackenfelsu, rytířiZlaté ostruhy, podporovateli literátů a fi-losofů, mému pánu a patronu“. Tomuodpovídá i styl autorova psaní, jenž velmičasto zabíhá do osobních poloh. Kepler ve-lice půvabným způsobem vyjadřuje svojisnahu pojednat o ničem — chce zejménaudělat adresátovi potěšení, a právě k tomuse nicotné jeví jako vhodné, neboť musíbýt sice malé, bezcenné a pomíjivé, aleprávě proto může být půvabně lehké a ve-sele hravé. V mysli nám zde mohou vy-tanout slova „malé je hezké“ či „malé jemilé“ a s nimi jedna z kultovních knihdruhé poloviny 20. století (E. F. Schuma-cher: Small is beautiful: a study of eco-

nomics as if people mattered, Harper &Row, 1973). V dnešním smyslu bychommohli říci, že Kepler takto velebí zdán-livě maličké detaily v rámci ohromující,ale chladné celkové reality. Někomu se zdemožná vybaví zajímavé peripetie z histo-rického vývoje vědeckého poznání, kdy semnohdy zdálo, že téměř vše je vyřešeno,chybí pouze zodpovědět několik drobností.Avšak právě tyto zdánlivé drobnosti po-sléze otevřely dveře do nových, dříve zcelanetušených, sfér poznání světa a vedlyk novým paradigmatům vědy.

Kepler ve smyslu dobového chápání

světa zmiňuje čtyři živly, půvabnými argu-menty pak z nich pro svůj účel vybírá vo-du, konkrétně její kapku, jež se může jevitjako nicotná, ale již svým tvarem slibujerozpravu o geometrii. Od kapky je pak jižjen malý myšlenkový krůček k šestiúhelnézmrzlé vločce. Kepler dále připomíná pří-hodu, kdy mu na oděvu ulpělo několik pa-dajících ledových hvězdiček o šesti paprs-cích. Právě tato celkově bezvýznamnáudálost se zřejmě fakticky stala mocnýmimpulsem pro jeho hloubavou mysl. Kvan-titativně největší část právě uvažovanéhoKeplerova dílka se zabývá roztomilýmiúvahami o geometrických tvarech trojroz-měrných těles nebo rovinných (dvouroz-měrných) obrazců. Zde se evidentně jevíautorova pochopitelná ideová závis-lost na dobových platonských předsta-vách o ideálních tělesech, obrazcích a je-jich tvarech. Znalci historie astronomie sizde možná připomenou, jak se obdobnáschémata u Keplera rovněž uplatňovalapři jeho zdůvodňování a interpretacích zá-konitostí oběžných drah planet, kteréovšem fakticky formuloval na základěobjektivních pozorování.

Pozoruhodné jsou Keplerovy úvahyohledně úloh, jak různá tělesa (koule,mnohostěny) nebo plošné obrazce (kruhy,čtyřúhelníky, mnohoúhelníky) mohouoptimálně (co nejefektivněji) vyplnit pro-stor či rovinu. V těchto souvislostech lzeformulovat řadu matematických úloh,o čemž možno v historii matematiky na-lézt četné doklady. Pro poučení v tomtosměru můžeme čtenáři doporučit např.článek T. C. Hales: Dělové koule a včelí

plásty, PMFA 46 (2001), 101–118. Sympa-ticky působí zejména zřejmá živelná chuťa radostná hravost, s nimiž Kepler k úva-hám tohoto druhu přistupuje a doslova sezde bezprostředním způsobem vyžívá. Zazvláštní zmínku rovněž stojí jeho důrazkladený na přirozenou krásu zákonitostíve světě přírody, mnohdy se dokonce zdá,



že hlediska krásy preferuje nad hlediskyúčelnosti. Krása však nikdy u něho neníprotikladem účelu, spíše naopak.

Co však na právě zmiňovaném Keple-rově způsobu uvažování nejvíce vyzdvih-nout? Dle názoru autora této recenze pře-devším skutečnost, že Kepler spatřuje tvaršesticípé hvězdice sněhové vločky jako vý-slednici „vnitřních snah vodní páry“a vnějšího působení. Oba tyto okruhy vli-vů naplňuje obsahem s četnými detaily, ježpochopitelně plně vycházejí z dobových fi-losofických a estetických představ založe-ných na interpretacích antických (přede-vším platonských) myšlenek. Vezmeme-livšak za svůj takto vytvořený formální rá-mec, můžeme ho konkrétně naplnit i sou-dobou fyzikou. Onou vnitřní složkou půso-bení je pak, nám již delší dobu známá, ne-obyčejná schopnost molekul vody vytvá-řet složité a mnohočetné struktury svýchsíťových uspořádání, a to jak v kapalnévodě, tak především ve strukturách ledu.U základu všech takovýchto podivuhod-ných vlastností stojí specifická, prostorovětrojúhelníková podoba molekuly vodní pá-ry a její elektrická polarita. Zde jenom propřipomenutí: V právě zmíněné trojúhelní-kové molekule vody se atomy vodíku na-lézají ve vrcholech při základně rovnora-menného trojúhelníku a atom kyslíku másvoji polohu ve třetím vrcholu. Celá mole-kula pak představuje elektrický dipól, při-čemž se její vodíkový konec jeví jako klad-ný, zatímco kyslíkový konec jako zápornýpól.

Jako vnější faktory působení ve smysluKeplerova uvažování můžeme dnes zahr-nout termodynamiku fázových přechodů,o níž pochopitelně Kepler ve své době napřelomu 16. a 17. století nemohl nic vědět.Dnešní fyzika oblaků však v této souvis-losti dospěla během svého vývoje v prů-běhu 20. století k jasnému pochopení vzta-hů tvarů vyvíjejících se ledových oblač-ných částic a vnějších podmínek daných

teplotními a vlhkostními parametry ob-lačného vzduchu. Velký počet postupněuskutečněných experimentálních měření,jak v laboratorních podmínkách, takv reálných oblacích, i dnešní náročné po-čítačové simulace, vycházející z teoretic-kých termodynamických zákonitostí, uka-zují, že ledové částice ve tvaru šesticípéhvězdice se nejvíce vytvářejí při teplotáchoblaku kolem −15 C a koncentracích vod-ní páry odpovídajících několikaprocentní-mu přesycení vůči fázovému rozhraní led–vodní pára. Tomu v našich zeměpisnýchšířkách zpravidla dobře vyhovují typickézimní podmínky v oblacích. Za poněkudjiných teplotních a vlhkostních poměrů sehojně objevují i tvary šestibokých sloupkůnebo šestiúhelníkových destiček, a tov mnoha dílčích detailních variantách(např. sloupky zakončené jehlanci) a vzá-jemných kombinacích.

Ze všech právě dotčených i dalších dů-vodů lze Keplerův drobný spisek doporu-čit všem fyzikálně gramotným čtenářům,a to nejen pro ušlechtilou zábavu, ale zřej-mě i pro užitečná poučení rozšiřující obzo-ry obecného poznání. Čtenáři, který by sechtěl blíže informovat o soudobé proble-matice vzniku a formování ledových částicv oblacích (a též o jejím vývoji v průběhu20. století), lze mj. doporučit následujícítři obsáhlé monografie učebnicového cha-rakteru:

Podzimek, J.: Fysika oblaků a srážek.Nakl. ČSAV, Praha, 1959.

Curry, J. A., Webster, P. J.: Thermo-

dynamics of atmospheres and oceans. Aca-demic Press, 1999.

Řezáčová, D., a kol.: Fyzika oblaků

a srážek. Academia, Praha, 2007.

Jan Bednář



ZE IVOTA JÈMF

JUBILEA

60 let

Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc.(Praha)20. 4. 2017RNDr. Miroslav Mašláň, CSc.(Olomouc)6. 5. 2017

Prof. Ing. Radim Briš, CSc.(Praha)19. 5. 2017Doc. RNDr. Roman Kubínek, CSc.(Olomouc)5. 6. 2017

Miloslav Machálek(Brno)18. 6. 2017doc. RNDr. Marek Wolf, CSc.(Praha)30. 6. 2017

65 let

RNDr. Milada Hudcová

(Brno)2. 4. 2017

Prof. RNDr. Jan Kohout, CSc.(Brno)7. 4. 2017

Mgr. Jana Hanušová(Středočeská pobočka)5. 5. 2017RNDr. Stanislav Žák, CSc.(Praha)9. 5. 2017

PhDr. Michaela Kaslová(Praha)21. 5. 2017Prof. RNDr. Pavel Pudlák, DrSc.(Praha)30. 5. 2017

Doc. RNDr. Josef Benda, CSc.(Praha)2. 6. 2017Mgr. František Šíma, Ph.D.(České Budějovice)2. 6. 2017

RNDr. Helena Husová, CSc.(Praha)3. 6. 2017PaedDr. Bc. František Jáchim

(České Budějovice)21. 6. 2017

70 let

Mgr. Jiřina Bouchalová

(Opava)3. 4. 2017

Prof. RNDr. Jiří Rachůnek, DrSc.(Olomouc)4. 4. 2017

Mgr. Marie Hladíková

(Pardubice)2. 5. 2017

RNDr. Vojtěch Kadlčík

(České Budějovice)4. 5. 2017



Doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc.(Praha)6. 5. 2017

RNDr. Jan Petrů, CSc.(Praha)16. 5. 2017Marie Hellmuthová

(Pardubice)26. 5. 2017

Doc. RNDr. Jaroslav Seibert, CSc.(Hradec Králové)3. 6. 2017RNDr. Jan Maršák, CSc.(Praha)11. 6. 2017

Doc. RNDr. Pavel Burda, CSc.(Ostrava)14. 6. 2017Prof. RNDr. Pavel Pták, DrSc.(Praha)17. 6. 2017

RNDr. Anna Mašková, CSc.(Praha)19. 6. 2017Prof. RNDr. Jiří Rohn, DrSc.(Praha)19. 6. 2017

RNDr. Miloš Demjanenko, CSc.(Praha)21. 6. 2017RNDr. Ivan Sklenář, CSc.(Praha)22. 6. 2017

75 let

RNDr. Vladislav Navrátil(Brno)6. 4. 2017Ing. Arnošt Veselý, CSc.(Praha)7. 4. 2017

Prof. Ing. Zdeněk Votruba, CSc.(Praha)22. 4. 2017

Prof. RNDr. Svatoslav Staněk, CSc.(Olomouc)23. 4. 2017RNDr. Jaroslav Pančocha

(Zlín)27. 4. 2017

Prof. Ing. Ivan Wilhelm, CSc.(Praha)1. 5. 2017Mgr. Tomáš Denkstein

(Ústí nad Labem)17. 5. 2017

Prof. RNDr. Josef Pešák, CSc.(Olomouc)21. 5. 2017Prof. RNDr. Petr Přikryl, CSc.(Praha)28. 5. 2017

Prof. RNDr. Pavel Tománek, CSc.(Brno)9. 6. 2017Prof. Ing. Antonín Víteček, CSc.(Ostrava)9. 6. 2017

Mgr. Pavel Hrkal(České Budějovice)21. 6. 2017Doc. RNDr. Jan Obdržálek, CSc.(Praha)27. 6. 2017

PhDr. Jan Rezek, CSc.(Praha)30. 6. 2017

80 let

Prof. RNDr. Stanislav Míka, CSc.(Plzeň)5. 4. 2017



Prof. Ing. Bohumil Vybíral, CSc.(Hradec Králové)7. 4. 2017

RNDr. Luděk Bočánek(Brno)12. 4. 2017Ing. Libuše Pajasová

(Praha)24. 4. 2017

Vladimír Valenta(Hradec Králové)1. 5. 2017RNDr. Alena Brožková

(Ostrava)15. 5. 2017

prom. mat. Anastázie Kovářová(Liberec)16. 5. 2017RNDr. Stanislav Synek, CSc.(Brno)27. 5. 2017

Prof. RNDr. František Neuman, DrSc.(Brno)28. 5. 2017Milada Hlaváčová

(Praha)2. 6. 2017

85 let

Pavel Fejfar(Ústí nad Labem)8. 4. 2017Prof. RNDr. Vlastislav Červený, DrSc.(Praha)26. 4. 2017Prof. RNDr. Jan Fischer, CSc.(Praha)26. 4. 2017RNDr. Stanislav Maloň, CSc.(Praha)5. 5. 2017

Prof. RNDr. František Kuřina, CSc.(Hradec Králové)15. 6. 2017

doc. Ing. Ladislav Krlín, DrSc.(Praha)19. 6. 2017

90 let

Prof. RNDr. Ladislav Štourač, DrSc.(Praha)30. 5. 2017

95 let

Prof. Ing. Felix Kolmer, DrSc.(Praha)3. 5. 2017

Jubilantům srdečně blahopřejepředsednictvo výboru JČMF



Časopis PMFA lze zakoupit v knihovně Matematického ústavu AV ČR,

Žitná 25, Praha 1 a v nakladatelství MatfyzPress, http://matfyzpress.cz.

SMĚRNICE PRO AUTORY

Časopis Pokroky matematiky, fyziky a astronomie uveřejňuje články psané v českém neboslovenském jazyce zaslané redakci časopisu; o jejich otištění rozhoduje redakční rada zpra-vidla na základě jednoho či více recenzních posudků. Příspěvky, jejichž obsah nebo formaneodpovídá zaměření časopisu, mohou být zamítnuty bez recenzního řízení.

Redakce přijímá články jen v elektronické podobě. Nejvhodnější jsou příspěvkynapsané v jakékoli standardní formě TEXu, nejlépe v LATEXu. Autoři mohou použít stylPMFA, který je k dispozici na adrese www.cs.cas.cz/hanka/pmfa/styl. Přijatelné jsou téžtexty připravené dalšími běžně rozšířenými programy, jako je např. MS Word.

Příspěvky se zasílají výkonné redaktorce dr. Pavle Pavlíkové na e-mailovou adresu

[email protected].

V průvodním dopise autor uvede název příspěvku v češtině a v angličtině, své jméno a příjmeníse všemi tituly, adresu pracoviště nebo bydliště včetně PSČ, e-mailovou adresu a telefon. Jevyžadováno prohlášení, že text dosud nebyl publikován ani souběžně zaslán k posouzení dojiného časopisu.

V případě překladu autor dodá redakci kopii cizojazyčného originálu včetně přesné citacezdroje. Není-li to zřejmé z textu, doplní též adresu zahraničního autora, resp. prohlášení o jehosouhlasu s překladem; rovněž tak adresu vlastníka copyrightu, pokud je třeba o copyrightpožádat.

Úprava rukopisu: Na začátku je uveden název příspěvku a pod ním jméno autora spolus názvem města (obce), kde autor pracuje, resp. bydlí. Vzor:

Některé zajímavosti z teorie grafůJan Vrchol, Brno

Každý článek začíná abstraktem o délce maximálně 150 slov, který stručně a výstižněshrnuje obsah textu.

Odkazy na literaturu se v textu číslují, čísla se píší v hranatých závorkách. Položky v sezna-mu literatury na konci článku se uvádějí v abecedním pořadí podle příjmení autorů či editorů.Odkaz na knihu obsahuje příjmení autora, iniciály křestního jména, název knihy, vydavatele,místo a rok vydání, např. [1] Andrle, P.: Nebeská mechanika. Academia, Praha, 1987. Odkazna článek v časopise musí obsahovat příjmení autora, iniciály křestního jména, název článkua standardní zkratku časopisu, svazek, ročník a stránky, např. [10] Wiles, A.: Modular elliptic

curves and Fermat’s Last Theorem. Ann. of Math. 141 (1995), 443–551.

Obrázky autor přiloží vždy jako samostatné soubory. Pro fotografie se doporučuje formátJPEG, pro čárovou grafiku jsou preferovány vektorové formáty EPS nebo PDF. Přijatelné jsoui bitmapové formáty s bezeztrátovou kompresí, např. PNG, TIFF aj. U obrázků a zejménau fotografií je nutno uvést jejich autora. Redakce předpokládá, že autor článku má souhlasautora obrázků s jejich publikací v PMFA.

Příspěvky nesplňující výše uvedená pravidla budou autorům vráceny k přepracování.

Jazyková úprava: Redakce zajišťuje odbornou jazykovou úpravu rukopisu. Ta můžezahrnovat i drobné stylistické úpravy.


Obsah (Contents)

Joanna Rose: Nobelova cena za fyziku v roce 2016 — podivné jevy v plochémsvete

(The Nobel Prize in Physics 2016 – Strange Phenomena in Matter’s Flatlands),

preložil Miloš Rotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

Martin Otava: Strucný pruvodce statistickými intervaly

(A Brief Guide to Statistical Intervals) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Tomáš Mrkvicka: Globální obálkové testy aneb jak otestovat vhodnost statistic-

kého modelu na základe funkcionální charakteristiky

(Global Envelope Tests, or How to Statistically Test a Model on the Base ofa Functional Characteristic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Jaroslav Haas: Na stope nebeské mechaniky vN -cásticovém jádre Mlécné dráhy(Tracking Celestial Mechanics in the N -Body Nucleus of the Milky Way) . . . . . . 24

Jan Hamácek: Reprezentovatelnost cástek ve dvoumincových systémech(Representable Values in the Coin Problem for Two Denominations) . . . . . . . . . 33

Nikola Jajcay, Milan Paluš: Štatistické modelovanie javu El Niño — Južná oscilá-

cia v klimatológii(Statistical Modelling of El Niño—Southern Oscillation in Climatology) . . . . . . 52

Zprávy a oznámení (News and Announcements) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Nové knihy (New Books) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

Jubilea (Jubilees) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Cena 60,– Kc

Rocní predplatné pro cleny JCMF 180,– Kc



Pokroky matematiky,

fyziky a astronomie

Ročník 62 (2017)

číslo 1

Vydává Jednota českýchmatematiků a fyziků a Jednotaslovenských matematikov a fyzikovvlastním nákladem s finančnípodporou Akademie věd ČR

Vedoucí redaktor:Antonín Slavík

Redaktor pro část matematickou:Antonín Slavík

Redaktor pro část fyzikální:Miloš Rotter

Výkonný redaktor:Pavla Pavlíková

Technický redaktor:Hana Bílková

Jazyková úprava:Karel Segeth

Redakce:Jednota českých matematiků a fyzikůŽitná 25, 110 00 Praha 1

Redakční rada:

Vojtech BálintMartina BečvářováJaroslav BielčíkZdeněk DrozdJiří DvořákĽubomíra DvořákováZdeněk HalasMichal KřížekMiroslav LávičkaJan MlynářIvan NetukaPetr PišoftJaromír PlášekJiří PodolskýVojtěch PravdaPetr StehlíkJán SvoreňRobert ŠámalMichal Švanda

Obálka: Jiří Ledr

© 2017 JČMF, Praha MK ČR E4644Adresa vydavatele:Jednota českých matematiků a fyzikůŽitná 25, 110 00 Praha 1tel.: 222 211 100, 222 090 708-9

e-mail: [email protected]://www.jcmf.cz

Vychází čtyřikrát ročně. — Předplatné a distri-buci v České republice vyřizuje v zastoupení vy-davatele firma MYRIS TRADE, s. r. o.P. O. Box 2, V Štíhlách 1311, 142 01 Praha 4tel.: 296 371 202

fax: 296 371 201

e-mail: [email protected]

Tisk zajišťuje: Petr Beran

International orders are executed exclusively byagency:

MYRIS TRADE Ltd.P.O. Box 2V Štíhlách 1311142 01 Prague 4Czech Republicphone: +420 296 371 202

fax: +420 296 371 201

e-mail: [email protected]

Information on subscription prices is availableon request.


Date post:	25-Dec-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Nobelova cena za fyziku v roce 2016 — podivné jevy v ... · Tato teorie byla původně vyvinuta...

Documents