Obecný prostorový pohyb- prostorové křivky, plochy

- jednotlivé body tělesa vytváří při svém pohybu (obecně různé) prostorové křivky.

- Šroubový pohyb

- Sférický pohyb

Šroubový pohyb

Křivka, která je dráhou bodu A při šroubovém pohybu se nazývá šroubovice.

Je-li v prostoru dána přímka o, pak pohyb, který vznikne složením dvou rovnoměrných pohybů – otáčení kolem přímky o a posouvání podél přímky o – se nazývá šroubový pohyb.

Dva typy šroubového pohybu:pravotočivý a levotočivý

Šroubový pohyb je pohyb složený z rotace (otáčení) a translace (posunutí).

Šroubový pohyb

Jednoznačné určení šroubovice

Jednoznačné zadání šroubovice:osa o, typ pohybu, bod A, výška závitu v nebo redukovaná výška závitu vo

Závit – část šroubovice vzniklá při otočení o úhel 2Výška závitu v – velikost posunutí při otočení o úhel 2Redukovaná výška závitu vo – velikost posunutí při otočení o úhel 1 rad

Platí v=2vo.

Aplikace• architektura a stavitelství - schodiště• elektrotechnika – zesilovače, kabely, pružiny,topné spirály• biologie – zvířecí rohy, stonky popínavých rostlin, také honící se veverky

Pravotočivá šroubovice: • strojírenství - standardní šrouby, matice, vruty (kde se otáčivý pohyb mění na posuvný nebo obráceně)• lékařství - molekula DNA

Statické geometrické charakteristiky

Statický moment, těžiště, momenty setrvačnosti

Jsou funkcí geometrických a hmotnostních parametrů tělesa, říká se jim proto také geometricko-hmotnostní charakteristiky.

Tuhá tělesa

• volné těleso má 6 stupňů volnosti v prostoru, • 3 stupně volnosti v rovině

Jsou definována svou:• hmotností m [kg],• polohou těžiště [m]

Statický moment tělesa (hmotného bodu) [ kg.m ] vzhledem k bodu, přímce nebo rovině, je součin hmotnosti tělesa (hmotného bodu) a jeho kolmé vzdálenosti k danému bodu, přímce nebo rovině.

Statický moment plochy U [ m3, mm3 ]je statická veličina třetího stupně, která se používá při určování souřadnic těžiště u ploch průřezů nebo při určování polohy neutrální osy průřezů namáhaných současně tahem a tlakem apod. Početně je statický moment plochy rovný součtu součinů plošných elementů dS a jejich vzdálenosti od bodu nebo osy.

dSyU x . dSxU y .

Jestliže se plocha dá rozdělit na konečný počet částí n, pak celkový statický moment se rovná součtu jednotlivých statických momentů, tzn. matematicky:

i

n

iiy xSU .

1

i

n

iix ySU .

1

dS

y

x

S

Těžiště

Těžiště je velmi důležitý bod tělesa, se kterým se budete v mechanice často setkávat.Těžiště je působiště výslednice tíhových sil.Představme si, že těleso je složeno z několika menších těles (v některých případech dokonce z nekonečně mnoha nekonečně malých těles).Na každé dílčí těleso působí dílčí tíhová síla. Jejich součet pak dává tíhu celého tělesa. Ta však, jako výslednice silové soustavy, má i své působiště; a to je právě těžiště.Je zřejmé, že pro stanovení těžiště využijeme poznatky, se kterými jsme se seznámili při určování výslednice silové soustavy s různými působišti.

Určování polohy těžiště:

• U stejnorodého geometrického pravidelného tělesa leží těžiště v jeho geometrickém středu (geometrickém těžišti).

• Těžiště leží v průsečíku těžnic při postupném zavěšení tělesa v nejméně dvou různých bodech (experimentální zjišťování).

• Výpočtem (jednotlivé souřadnice xT, yT, zT těžiště se počítají nezávisle na sobě):

m

dmxxT

.

m

xmx

n

iii

T

1

.

- neboli podíl integrace x-ové souřadnice bodu tělesa podle hmotnosti pro celou hmotnost tělesa m (statický moment)a hmotnosti tělesa

Pro konečný počet částí:kde mi je hmotnost i-té části tělesa, xi je poloha těžiště v i-té části,

Σ představuje součet pro všechna i, m je hmotnost celého tělesa.

Těžiště může ležet i mimo těleso (například v jeho dutině).

Jestliže spojíme dvě tělesa v jedno, bude jeho těžiště ležet na úsečce spojující těžiště obou částí.

Těžiště plochy Určení těžiště u složené plochy

Momentová věta

Momentová věta

Na dvou příkladech jsme ukázali postup určení souřadnic těžištětělesa, které lze považovat za dvourozměrný objekt (plochu).Zobecníme-li tento postup, dospějeme ke vztahům pro souřadnice těžiště v podobě:

Výraz ve jmenovateli je celková hmotnost tělesa. Plocha, která je ve skutečnosti prázdná,se jak v čitateli, tak ve jmenovateli dosazuje jako záporná. Pokud je celé těleso ze stejného materiálu, lze hustotu v čitateli a jmenovateli vykrátit.

V tomto případě představuje výraz ve jmenovateli celkový objem tělesa. Pokud je tloušťka tělesa všude stejná, lze ji vykrátit. Dostáváme pak výrazy v nejjednodušší možné podobě.

Vztahy pak mají tvar :

Suma ve jmenovateli je přirozeně celková plocha tělesa.

Těžiště čáryPosledním typem objektu, jehož těžištěm se budeme zabývat, je čára.I v tomto případě bude základní postup stejný, jako u plochy a objemu(čáru si můžeme představit jako drát určitého tvaru).

I v tomto případě bude základní postup stejný, jako u plochy(čáru si můžeme představit jako drát určitého tvaru).

Existuje prakticky jediný typ jednoduché čáry, jejíž těžiště je přímo známo - úsečkas těžištěm ve svém středu. Těžiště jiných typů čar (kruhový oblouk apod.) je třeba stanovit (vypočítat).Jestliže jednotlivé jednoduché čáry jsou dráty odlišných průřezů, je třeba do výrazůpro souřadnice těžiště doplnit průřez jednotlivých čar Si.

Těžiště čáryPostup si ukážeme na výpočtu souřadnic těžiště dvakrát zalomené čáry o rozměrechB=40 cm, H=30 cm, b=20 cm a h=10 cm (viz obrázek).

Při řešení pohybu těles mají základní fyzikální význam osové momenty setrvačnosti. Jestliže bude s tělesem pevně spojený kartézský souřadnicový systém (O, x, y, z) a v bodě tělesa o souřadnicích x, y, z bude bodové těleso o elementární hmotnosti dm, pak osové momenty setrvačnosti k osám souřadnicového systému jsou pak definovány vztahy

kde rx, ry, rz představují vzdálenosti elementární hmotnosti od os x, y, a z.

Momenty setrvačnosti

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení.

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení.

Úhlová rychlost ω všech bodů je stejná. Moment setrvačnosti lze vypočítat ze vztahu:

Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy

mají větší moment setrvačnosti.

[kg . m2 ]J = mi ri2

Příklady momentů setrvačnosti

Snadno určíme například moment setrvačnosti malé kuličky o hmotnosti m, kterou točíme na tenkém provázku délky l. Jestliže je kulička dostatečně malá a hmotnost provázku můžeme zanedbat je moment setrvačnosti kuličky

Podobně uhádneme bez počítání i moment setrvačnosti tenkého prstence o hmotnosti m a poloměru R, který se otáčí kolem osy procházející středem kolmo na rovinu prstence.Všechna hmota je soustředěna (je-li prstenec zanedbatelně silný) ve vzdálenosti R od osy otáčení a moment setrvačnosti bude tedy

Z uvedeného vyplývá, že moment setrvačnosti není dán pouze tvarem tělesa, ale také polohou osy kolem které těleso rotuje. Pokud by se prstenec otáčel vůči jiné ose, byla by každá jeho část jinak vzdálena od osy a výpočet momentu setrvačnosti vůči této ose by byl složitější.

U těles jiného tvaru než jsou zmiňované příklady už se výpočtu nevyhneme. Ukažme si, jak takový výpočet vypadá například při určování momentu setrvačnosti homogenního disku o hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose procházející kolmo k disku jeho středem. Využijeme toho, že známe moment setrvačnosti tenkého prstence a rozdělíme si disk na mnoho tenkých soustředných prstenců. Ty budou představovat kousky hmoty rozprostřené stejně daleko od osy a sečtením jejich momentů setrvačnosti

tedy získáme celkový moment setrvačnosti disku viz vztah J = mi ri2.

Zbývá vyřešit problém, na kolik prstenců máme rozdělit disk. Čím přesněji chceme počítat, tím větší počet prstenců musíme zvolit a sečíst jejich momenty setrvačnosti. Pokud chceme počítat zcela přesně, musíme disk rozdělit na nekonečně mnoho nekonečně tenkých prstenců. To jde skutečně udělat, použijeme-li takzvaný určitý integrál, který nám v tomto případě zjednodušeně

řečeno nahrazuje sumu a umožňuje sčítání nekonečně malých kousků.

Hmotnost m(r) prstence o poloměru r můžeme vyjádřit jako m(r) = ρ.2π.r.dr kde symbol dr znamená nekonečně malou tloušťku prstence.

Součin 2π.r.dr vyjadřuje plochu prstence a veličina

                          

(12)

je tedy plošná hustota disku, to je hmotnost disku o ploše jednoho metru čtverečního.Moment setrvačnosti disku pak vypočítáme jako

                                                                                                                                                                                                                                         

                         

2.R

m

Moment setrvačnosti koule o hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose procházející jejím středem je

 

                                    

Podobným způsobem bychom mohli vypočítat moment setrvačnosti dalších homogenních těles. Například moment setrvačnosti tenké tyče o hmotnosti m a délky L vůči ose procházející kolmo na tyč jejím středem vyjde

                                      

Moment setrvačnosti jsme počítali pro tenký disk, ale je zřejmé že tloušťka disku by na výpočtu nic nezměnila, protože hmotnost

jsme vyjadřovali pomocí plošné hustoty ρ závisející pouze na ploše podstavy (tloušťka disku se nám vykrátila).            Vypočítali jsme tak zároveň moment setrvačnosti pro libovolně vysoký válec o hmotnosti m a poloměru podstavy R vzhledem k ose válce.

Příklady momentů setrvačnosti

r

m

tenká kruhová deska

a

m

b

tenká obdélníková deska

x

z y

r

ma

válec

r

m

kužel jehlan

a

m

b

r

m

koule

241 rmJT

2312

41 armJT 2

103 rmJT 22

201 bamJT

252 rmJT

22121 bamJTz

2121 amJTy

2121 bmJTx

Někdy se moment setrvačnosti k určité ose o vyjadřuje pomocí tzv. poloměru setrvačnosti i. To je vzdálenost od osy o, ve které když soustředíme celou hmotnost tělesa dostaneme k příslušné ose stejný osový moment setrvačnosti jako má těleso. Moment setrvačnosti pak je tedy součin celkové hmotnosti tělesa m a čtverce jisté střední vzdálenosti i.

J = m . i 2

Vzdálenost i se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Poloměr setrvačnosti i tělesa je definován jako vzdálenost od osy rotace, v níž by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa m, aby moment setrvačnosti byl jako při daném rozložení hmoty.

m

Ji

poloměr setrvačnosti sevynáší kolmo k ose, které se týká

Moment setrvačnosti plochy [ m4, mm4 ]

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině plošný moment setrvačnosti.U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme z = 0. Hmotnostní element dm je pak nahrazován plošným elementem dS.

Plošné momenty setrvačnosti k osám x,y:

Jx = ∫ y2 dS Jy = ∫ x2 dS

Dxy = ∫ xy dS

S S

S dSx

y

Deviační moment, je moment vztažený současně k ose x a y.

Vztahy pro momenty setrvačnosti průřezů (ploch) různých tvarů k ose x, y:

x

y

xx x

y

h

b

y

y

Moment setrvačnosti Jx (Jy) je vztažen k ose, která prochází těžištěm a je rovnoběžná s osou X (Y).

Polární moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

S

dSx

yρ

S

Jp = Jx + Jy + Jz = ∫ (x2 + y2+ z2) dm = ∫ ρ3 dm

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou z) je

Jp = Jx + Jy = ∫ (x2 + y2) dS = ∫ ρ2 dS

m m

P

Momenty setrvačnosti při změně souřadnicového systému

Transformace při posunutých souřadnicových systémech

0

01

Momenty setrvačnosti pro sytém (O1, x1, y1, z1)

lze určit z momentů setrvačnosti k systému O, x, y, z přičtením momentu setrvačnosti hmoty tělesa soustředěné v těžišti. Tuto skutečnost formulujeme  jako tzv. Steinerovu větu                                                                

Steinerova věta umožňuje vyjádřit moment setrvačnosti libovolného tělesa vůči ose o, jestliže známe moment setrvačnosti J tohoto tělesa vůči jiné ose, procházející těžištěm, která je s osou o rovnoběžná ve vzdálenosti rT.

ω

Kde J je moment setrvačnosti vůči ose, vzdálené rT od těžiště JT je moment setrvačnosti tělesa pro osu procházející těžištěm, která je s ní paralelní

m je hmotnost tělesa,

rT je vzdálenost obou rovnoběžných os.

J = JT + m.rT2