Obraz — matematický objekt

I Spojitý obrazfc : (Ωc ⊆ R2)→ R

I Diskrétní obraz

fd : (Ω ⊆ 0 . . . n1 × 0 . . . n2)→ 0 . . . fmax

Další rozšíření:I Okrajové podmínkyI Vektorové obrazy

Obraz — matematický objekt

I Spojitý obrazfc : (Ωc ⊆ R2)→ R

I Diskrétní obraz

fd : (Ω ⊆ 0 . . . n1 × 0 . . . n2)→ 0 . . . fmax

Další rozšíření:I Okrajové podmínkyI Vektorové obrazy

Obraz — matematický objekt

I Spojitý obrazfc : (Ωc ⊆ R2)→ R

I Diskrétní obraz

fd : (Ω ⊆ 0 . . . n1 × 0 . . . n2)→ 0 . . . fmax

Další rozšíření:I Okrajové podmínkyI Vektorové obrazy

Digitalizace

I Vzorkování & kvantizace hodnoty obrazové funkce (téžintenzity).

I Digitální obraz se obvykle reprezentuje maticí.I Pixel = akronym, angl. picture element.

DistribuceI Operátor

⟨u, ϕ

⟩→ R

I 1D Dirac δ (bod): ⟨δ, f (x)

⟩x = f (0)

δ(x) = limξ→∞

ξ rect(ξx)

I Vlastnosti:I Linearita,I Nezávislost na posunutíI SpojitostI Testovací funkce ‘husté’ např. v L2I Dirac δ je identitou konvoluce.

I Na co si dát pozor:I Nelze je vyhodnocovat v bodech (δ(0) =?)I Nelze je násobit (δδ =?)I Derivace (

⟨δ′, ϕ

⟩= −

⟨δ, ϕ′⟩)

I Změna měřítka (⟨δ(αx), ϕ

⟩= ϕ(0)/α)

I Fourierova transformace jen pro ‘temperované distribuce’,(‘kompaktní’ ϕ). (F(δ) = 1)

DistribuceI Operátor

⟨u, ϕ

⟩→ R

I 1D Dirac δ (bod): ⟨δ, f (x)

⟩x = f (0)

δ(x) = limξ→∞

ξ rect(ξx)

I Vlastnosti:I Linearita,I Nezávislost na posunutíI SpojitostI Testovací funkce ‘husté’ např. v L2I Dirac δ je identitou konvoluce.

I Na co si dát pozor:I Nelze je vyhodnocovat v bodech (δ(0) =?)I Nelze je násobit (δδ =?)I Derivace (

⟨δ′, ϕ

⟩= −

⟨δ, ϕ′⟩)

I Změna měřítka (⟨δ(αx), ϕ

⟩= ϕ(0)/α)

I Fourierova transformace jen pro ‘temperované distribuce’,(‘kompaktní’ ϕ). (F(δ) = 1)

DistribuceI Operátor

⟨u, ϕ

⟩→ R

I 1D Dirac δ (bod): ⟨δ, f (x)

⟩x = f (0)

δ(x) = limξ→∞

ξ rect(ξx)

I Vlastnosti:I Linearita,I Nezávislost na posunutíI SpojitostI Testovací funkce ‘husté’ např. v L2I Dirac δ je identitou konvoluce.

I Na co si dát pozor:I Nelze je vyhodnocovat v bodech (δ(0) =?)I Nelze je násobit (δδ =?)I Derivace (

⟨δ′, ϕ

⟩= −

⟨δ, ϕ′⟩)

I Změna měřítka (⟨δ(αx), ϕ

⟩= ϕ(0)/α)

I Fourierova transformace jen pro ‘temperované distribuce’,(‘kompaktní’ ϕ). (F(δ) = 1)

DistribuceI Operátor

⟨u, ϕ

⟩→ R

I 1D Dirac δ (bod): ⟨δ, f (x)

⟩x = f (0)

δ(x) = limξ→∞

ξ rect(ξx)

I Vlastnosti:I Linearita,I Nezávislost na posunutíI SpojitostI Testovací funkce ‘husté’ např. v L2I Dirac δ je identitou konvoluce.

I Na co si dát pozor:I Nelze je vyhodnocovat v bodech (δ(0) =?)I Nelze je násobit (δδ =?)I Derivace (

⟨δ′, ϕ

⟩= −

⟨δ, ϕ′⟩)

I Změna měřítka (⟨δ(αx), ϕ

⟩= ϕ(0)/α)

I Fourierova transformace jen pro ‘temperované distribuce’,(‘kompaktní’ ϕ). (F(δ) = 1)

2D Dirac

I 2D Dirac (bod): ⟨δ, f (x , y)

⟩(x ,y) = f (0, 0)

δ(x , y) = limξ→∞

ξ2 rect(ξx , ξy)

δ(x , y) = δ(x)δ(y)

I Ve 2D lze definovat mnoho 1D ‘Diraců’ (např. přímka,kruh,. . .)

2D Dirac

I 2D Dirac (bod): ⟨δ, f (x , y)

⟩(x ,y) = f (0, 0)

δ(x , y) = limξ→∞

ξ2 rect(ξx , ξy)

δ(x , y) = δ(x)δ(y)

I Ve 2D lze definovat mnoho 1D ‘Diraců’ (např. přímka,kruh,. . .)

VzorkováníI Vzorkovací rastr

(b)(a)

I Vzorkovací funkce(pro uniformní pravoúhlou síť)

fij =⟨φ(x − hx i , y − hy j), f

⟩(x ,y)

φ(x , y) = δ(x , y) −→ ideální vzorkování

fij = f (hx i , hy j)

I Hustota vzorkování h(Shannonova věta o vzorkování).

VzorkováníI Vzorkovací rastr

(b)(a)

I Vzorkovací funkce(pro uniformní pravoúhlou síť)

fij =⟨φ(x − hx i , y − hy j), f

⟩(x ,y)

φ(x , y) = δ(x , y) −→ ideální vzorkování

fij = f (hx i , hy j)

I Hustota vzorkování h(Shannonova věta o vzorkování).

VzorkováníI Vzorkovací rastr

(b)(a)

I Vzorkovací funkce(pro uniformní pravoúhlou síť)

fij =⟨φ(x − hx i , y − hy j), f

⟩(x ,y)

φ(x , y) = δ(x , y) −→ ideální vzorkování

fij = f (hx i , hy j)

I Hustota vzorkování h(Shannonova věta o vzorkování).

První scanner obrazu, 1956

R. Kirsch, ‘SEAC and the start of image processing at the NationalBureau of Standards. In: Annals of the history of computing, IEEE,vol. 20 (1998), p 7-13.)

Vzorkování, příklad

Originál 256× 256 256× 256

Vzorkování, příklad

Originál 256× 256 128× 128

Vzorkování, příklad

Originál 256× 256 64× 64

Vzorkování, příklad

Originál 256× 256 32× 32

Vzorkování a interpolace

Spojitý obraz Diskrétní obraz

vzorkování

interpolace

I Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) —rychlé, špatná kvalita

I lineární, kvadratická, kubická, . . .I souhra vzorkování a interpolaceI (o interpolaci více později)

Vzorkování a interpolace

Spojitý obraz Diskrétní obraz

vzorkování

interpolace

I Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) —rychlé, špatná kvalita

I lineární, kvadratická, kubická, . . .I souhra vzorkování a interpolaceI (o interpolaci více později)

Vzorkování a interpolace

Spojitý obraz Diskrétní obraz

vzorkování

interpolace

I Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) —rychlé, špatná kvalita

I lineární, kvadratická, kubická, . . .

I souhra vzorkování a interpolaceI (o interpolaci více později)

Vzorkování a interpolace

Spojitý obraz Diskrétní obraz

vzorkování

interpolace

I Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) —rychlé, špatná kvalita

I lineární, kvadratická, kubická, . . .I souhra vzorkování a interpolace

I (o interpolaci více později)

Vzorkování a interpolace

Spojitý obraz Diskrétní obraz

vzorkování

interpolace

I Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) —rychlé, špatná kvalita

I lineární, kvadratická, kubická, . . .I souhra vzorkování a interpolaceI (o interpolaci více později)

Kvantování, příklad

Originál 256 jasových úrovní 256 jasových úrovní

Kvantování, příklad

Originál 256 jasových úrovní 64 jasových úrovní

Kvantování, příklad

Originál 256 jasových úrovní 16 jasových úrovní

Kvantování, příklad

Originál 256 jasových úrovní 4 jasové úrovně

Kvantování, příklad

Originál 256 jasových úrovní 2 jasové úrovně

Histogram hodnot jasu

Histogram hodnot jasu je odhadem hustoty pravděpodobnosti jevu,že pixel bude mít určitou jasovou hodnotu.

0 50 100 150 200 250

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

výchozí obraz histogram hodnot jasu

Histogram (2)

I Spojitý × diskrétní

I Výpočet histogramuI Volba počtu binůI Dodatečné vyhlazováníI Váhovací jádroI Problémy ve vyšších dimenzích

Histogram (2)

I Spojitý × diskrétníI Výpočet histogramu

I Volba počtu binůI Dodatečné vyhlazováníI Váhovací jádroI Problémy ve vyšších dimenzích

Histogram (2)

I Spojitý × diskrétníI Výpočet histogramuI Volba počtu binů

I Dodatečné vyhlazováníI Váhovací jádroI Problémy ve vyšších dimenzích

Histogram (2)

I Spojitý × diskrétníI Výpočet histogramuI Volba počtu binůI Dodatečné vyhlazování

I Váhovací jádroI Problémy ve vyšších dimenzích

Histogram (2)

I Spojitý × diskrétníI Výpočet histogramuI Volba počtu binůI Dodatečné vyhlazováníI Váhovací jádro

I Problémy ve vyšších dimenzích

Histogram (2)

I Spojitý × diskrétníI Výpočet histogramuI Volba počtu binůI Dodatečné vyhlazováníI Váhovací jádroI Problémy ve vyšších dimenzích

Kvantizace (2)

u → uq : tk ≤ u < tk+1 ⇒ uq(u) = rk

I Rovnoměrná (uniformní)

I Optimální

I Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE)J = E

(u − uq)2

I Známe p(u)

I J =∑i

i+1∫i(u − ri )2p(u) du

I Podmínky optimality:

tk = (rk + rk+1)/2

rk = Eu|tk ≤ u < tk+1

I Nemá přímé řešení, iterační postupy.

Kvantizace (2)

u → uq : tk ≤ u < tk+1 ⇒ uq(u) = rk

I Rovnoměrná (uniformní)I Optimální

I Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE)J = E

(u − uq)2

I Známe p(u)

I J =∑i

i+1∫i(u − ri )2p(u) du

I Podmínky optimality:

tk = (rk + rk+1)/2

rk = Eu|tk ≤ u < tk+1

I Nemá přímé řešení, iterační postupy.

Kvantizace (2)

u → uq : tk ≤ u < tk+1 ⇒ uq(u) = rk

I Rovnoměrná (uniformní)I Optimální

I Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE)J = E

(u − uq)2

I Známe p(u)

I J =∑i

i+1∫i(u − ri )2p(u) du

I Podmínky optimality:

tk = (rk + rk+1)/2

rk = Eu|tk ≤ u < tk+1

I Nemá přímé řešení, iterační postupy.

Kvantizace (2)

u → uq : tk ≤ u < tk+1 ⇒ uq(u) = rk

I Rovnoměrná (uniformní)I Optimální

I Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE)J = E

(u − uq)2

I Známe p(u)

I J =∑i

i+1∫i(u − ri )2p(u) du

I Podmínky optimality:

tk = (rk + rk+1)/2

rk = Eu|tk ≤ u < tk+1

I Nemá přímé řešení, iterační postupy.

Kvantizace (2)

u → uq : tk ≤ u < tk+1 ⇒ uq(u) = rk

I Rovnoměrná (uniformní)I Optimální

I Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE)J = E

(u − uq)2

I Známe p(u)

I J =∑i

i+1∫i(u − ri )2p(u) du

I Podmínky optimality:

tk = (rk + rk+1)/2

rk = Eu|tk ≤ u < tk+1

I Nemá přímé řešení, iterační postupy.

Kvantizace (2)

u → uq : tk ≤ u < tk+1 ⇒ uq(u) = rk

I Rovnoměrná (uniformní)I Optimální

I Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE)J = E

(u − uq)2

I Známe p(u)

I J =∑i

i+1∫i(u − ri )2p(u) du

I Podmínky optimality:

tk = (rk + rk+1)/2

rk = Eu|tk ≤ u < tk+1

I Nemá přímé řešení, iterační postupy.

Kvantizace (2)

u → uq : tk ≤ u < tk+1 ⇒ uq(u) = rk

I Rovnoměrná (uniformní)I Optimální

I Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE)J = E

(u − uq)2

I Známe p(u)

I J =∑i

i+1∫i(u − ri )2p(u) du

I Podmínky optimality:

tk = (rk + rk+1)/2

rk = Eu|tk ≤ u < tk+1

I Nemá přímé řešení, iterační postupy.