Obsah přednášky :

Obsah přednášky :

dynamika hmotného bodu, pohybová rovnice,

d’Alembertův princip,

dva druhy úloh v dynamice,

zákony o zachování / změně

Doba studia :

asi 1,5 hodiny

Cíl přednášky :

seznámit studenty se základními zákonitostmi dynamiky bodu

Dynamika bodu. Základy mechaniky, 12. přednáška

m – hmotnost [kg]

m a Fi

a – zrychlení [m/s2]

F – síla [N]

základní pohybová rovnice

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

Dynamika hmotného bodu

a

Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

m·a = F

Základní pohybová rovniceurčuje vztah mezi silami,působícími na hmotný objekt,a pohybem, těmito silami způsobeným.

Základy mechaniky, 12. přednáška

m a Fi

základní pohybová rovnice

Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

fm

G

F

N

Ty

xa

TNFGFam i

G, F - akční sílyN - normálová reakceT = f·N - třecí síla

TFGFam xix cossin

fNFGam cossin

0FGNFam yiy sincosay = 0

ax = a

sincos FGN

sincoscossin FGfFGam

sincoscossin fFfGam

vlastní pohybová rovnice vznikne ze základní vyloučením reakcí

Základní pohybová rovnicemá na pravé straně všechny působící síly.

Vektorovou rovnici rozložíme na složky dle zvoleného souřadného systému.

Vyloučením reakcí získámetzv. vlastní pohybovou rovnici.

Základy mechaniky, 12. přednáškaDynamika hmotného bodu

m a Fi Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

přímý (Newtonův) způsob sestavení pohybové rovnice

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

a

m·a = F

Tomuto způsobu sestavení pohybové rovnice,kdy na levé straně rovniceje součin hmotnosti a zrychlení,a ten je na pravé straněroven součtu působících vnějších sil,říkáme přímý, nebo též Newtonůvzpůsob sestavení pohybové rovnice.


Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).

m a Fi

0amFi

Dam

0DFi

d’Alembertův princip

amD

0DFi

amD

rovnice rovnováhy

1.

2.

a

mF D

F - D = 0D = m·a

m·a = F

Součin hmotnosti a zrychlenípřevedeme na opačnou stranu rovnice.

Zavedeme substituci.

Takto vzniklá rovnicemá formálně charakter rovnice rovnováhy.

Tomuto postupu říkáme d’Alembertův princip.Můžeme jej rozložit do dvou kroků :1. Zavedeme tzv. d’Alembertovu sílu.

Její velikost je rovna součinuhmotnosti a zrychlení.Její směr je opačný než je směr zrychlení.

2. Silová soustava vnějších sil, doplněná od’Alembertovu sílu, je v rovnováze.Rovnováhu vyjádříme rovnicemi rovnováhy.Po dosazení D=m·apak dostáváme pohybovou rovnici.




amD

0DFi

amD

rovnice rovnováhy

1.

2.

mF

a

D

F - D = 0D = m·a

m·a = F

Poznámka k filosofii mechaniky.D’Alembertova síla ve skutečnosti neexistuje.Jestliže při jízdě autem šlápneme na brzdunebo jedeme do zatáčky,zdá se nám, že pociťujeme sílu,která nás tlačí kupředu, resp. do strany.To je právě ona d’Alemberova síla.

Ve skutečnosti žádná taková síla neexistuje,jde pouze o subjektivní pocit.Ve skutečnosti se naše tělo „chce“pohybovat rovnoměrně přímočaře,zatímco přední sklo se na nás „tlačí“ zepředu,resp. dveře auta zboku.Tato skutečnost se nám pouze subjektivně jevíjako by na nás působila d’Alembertova síla.

Přestože d’Alembertova síla neexistuje,postup zde uvedený je samozřejměv plném rozsahu správný.


m a Fi Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).


amD

0DFi

amD

rovnice rovnováhy

D - d’Alembertova síla, dynamická síla,doplňková síla, setrvačná síla.

Působí proti směru zrychlení, její velikost je rovna součinu hmotnosti a zrychlení.

1.

2.

mF

a

D

přímý (Newtonův) způsob sestavení pohybové rovnice

F - D = 0D = m·a

m·a = F

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

a

m·a = F

Oba tytopostupy

jsousamozřejm

ěsprávné,

alenesmí senavzájem

kombinovat!

m·a = F-D




amD

0DFi

amD

rovnice rovnováhy

1.

2.

f

y

xa

m

G

F

N

T

D

amD amD1.

2. 0Fi

0DfNFGDTFGFxi cossincossin

0Fxi 0Fyi

0FGNFyi sincos

sincos FGN

0DFGfFG sincoscossin 0DfFfG sincoscossin amD 0amfFfG sincoscossin

sincoscossin fFfGam

Proti směru zrychlenízavedeme d’Alembertovu sílu.

Sestavíme rovnice rovnováhy.


sincoscossin fFfGam

úloha 1. druhu - kinetostatická úloha 2. druhu - dynamická

je dán požadovaný pohyb, zrychlení avypočtěte sílu F=?, potřebnou k dosažení požadovaného pohybu

sincos

cossin

f

amfGF

je dána síla F

vypočtěte jak se těleso bude pohybovat a=?

m

fFfGa

sincoscossin

amD rovnice rovnováhy - algebraické

sa rovnice diferenciální

0Fi

m

G

Ff

Na

y

x

Tdva druhy úloh v dynamice


m a F

a

dv

dt

Fdt

vdm

d m v

dtF

d m v F dt

d m v m v m v F dtm v

m v t

0

1

1 0

0

p m v

I F dtt

t

0

p p p I 1 0

hybnost hmoty

impuls síly

[kg·m·s-1]

[N·s kg·m·s-1]

0p

pppp 01

zákon o změně hybnosti

Zákony o změně

Úpravy pohybové rovnice nás přivedouk definování dalších fyzikálních veličin.

Je-li síla konstantní,lze ji z integrálu vytknouta vyjádřit impuls sílyjednodušeji : tFI

01 pppZměna hybnosti

znamená změnu velikosti,změnu směru nebo obojí.

Zde p0 je hybnost na začátku vyšetřovaného děje,p1 je hybnost na konci vyšetřovaného děje.


L r p

t

0

tM dtMI

M r F

moment hybnosti (točivost) [kg·m2·s-1]

impuls momentu [N·m·s kg·m2·s-

1]

moment síly [N·m]

M01 ILLL

zákon o změně momentu hybnosti

Zákony o změně

r

polohový vektor [m]


m a F

ds

vd

2

1a

2

F

ds

vd

2

1m

2

F

ds

vmd 221

dsFvmd 221

s

202

1212

1

vm

vm

221 dsFvmvmvmd

212

1

202

1

221

K vmE

s

dsFA

kinetická energie

práce

[J kg·m2·s-2]

[N·m kg·m2·s-2]

AEEE 0K1KK

zákon o změně kinetické energie

Zákony o změně

Úpravy pohybové rovnice nás přivedouk definování dalších fyzikálních veličin.

Zde EK0 je kinetická energie na začátku vyšetřovaného děje,EK1 je kinetická energie na konci vyšetřovaného děje.

Je-li síla konstantní,lze ji z integrálu vytknouta vyjádřit prácijednodušeji : sFA


s

dsFA

skalární součin

cossFsFA

F

s

NF

PF

F

s

cosFFP sinFFN

pracovní složka síly nepracovní složka síly

sFsFA P cos

90

90

kladná práce – práce vykonaná

záporná práce – práce spotřebovaná

Zákony o změně

0

90

10cos

090 cos práce se nevykonává

090 cos

180 1180 cos

práce Práce je skalární součin síly a dráhy, je tedy třeba vzít v úvahu rovněž úhel mezi směrem dráhy a směrem síly :

K vyjádření práce můžeme přistoupit i jinak. Sílu rozložíme na složky ve směru dráhy (pracovní) a kolmo ke směru dráhy (nepracovní) :

0sFA

0sFA cos

0A

0sFA cos

sFA


PdA

dt

F ds

dtF v

výkon

[N·m·s-1 W]

Zákony o změně

s

dsFA

práce [N·m kg·m2·s-2]

PF

NF

F

F

v

v

cosvFvFP

cosFFP sinFFN

vFvFP P cos


potenciální energieAsdFEs

P

hgmdygmdygmdyFAh

0

h

0

h

0

gmGF y 2 31

0EP zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“

Zákony o změně

hgmEP potenciální energie (polohová)

G

F=Gm

Potenciální energie je rovna práci,kterou musíme vykonat,abychom těleso přemístiliz jedné polohy do druhé.

K přemístění může dojít po různých trajektoriích - integračních cestách. Obecně platí,že hodnota křivkového integrálu závisí na integrační cestě. V případě pohybu v gravitačním polipráce síly F nezávisí na integrační cestě. Při přemístění po jakékoliv trajektorii je práce síly Fvždy stejná. Potenciální energie je rovna této práci.Silové pole, které má tuto vlastnost (práce nezávisí na integrační cestě)nazýváme konzervativní silové pole.

Potenciální energie je spojenas polohou tělesa nad povrchem Země.

G

F=Gm

G

F=Gm


G

F=Gm

Země R

y 2

2

22 yR

Rgm

yR

mM

r

mMG

= 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,R = 6 378 km - poloměr Země,r - vzdálenost od středu Země,y - výška nad povrchem Země.

0EP


P

Zákony o změně

na povrchu Země platí :

22

RgM gmR

mMG

Ve skutečnosti tíhová síla G, a tedy ani tažná síla F=G,nejsou konstantní.

h

0

y dyFA

Práci je tedy třeba určit integrálem.


Země R

y

h

02

h

0

y dyyR

mMdyFA

hR

Rhgm

hRR

hmMA

0EP


P

Zákony o změně

hR

1

R

1mM

yR

1mMA

h

0

E m g hR

R hP

pro h«R 1hR

R

hgmEP

potenciální energie (polohová)

AEP potenciální energie je rovna této práci

Pro malou výšku nad Zemí pak přibližně platí :

G

F=Gm

2RgM



P

Zákony o změně

y

F

F = k·y

yFykdyykdyFA 212

21

y

0

y

0

yFykE 2

1221

P

k - tuhost

potenciální energie (deformační)

JE3

Fy

3

- délka nosníku,

E - modul pružnosti v tahuJ - moment setrvačnosti

3

JE3k

Potenciální energie nemusí být spojena vždy jens polohou hmotného objektu nad povrchem Země.

Působíme-li na vetknutý nosník silou F, nosník se prohne o průhyb y.Působiště síly se posune a síla F tedy koná práci.

Pro výpočet práce je však třeba mít na paměti, že síla F=k·y není konstantní.Pro průhyb o první milimetr stačí pouze malá síla F. Na druhý milimetr je již síla F větší.Teprve při úplném prohnutí dosahuje síla F své konečné hodnoty.Práci je tedy třeba určit integrováním :

AEP Potenciální energie je spojenas deformací poddajného objektu (nosníku).


zákon o zachování celkové mechanické energie

konst PKC EEE

m

h

v0 = 0

EK0 = 0

EP0 = m·g·h

EP1 = 0

EK1 = ½·m·v12

konst PKC EEE

1P1K0P0K EEEE

0vmhgm0 212

1

hg2v1

v1 ≠ 0

0EP

Celková mechanická energie se zachovává.

Součet kinetické a potenciální energieje celková mechanická energie.Soustavu, jejíž celková mechanická energie se zachovává, nazýváme konzervativní soustava.

zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“


zákon o změně celkové mechanické energie

v

AEE 0C1C

h

s

m

G

F

T N

EP1 = m·g·h

EK1 = ½·m·v12

EP0 = 0

EK0 = ½·m·v02

sTsFvm0vmhgm 202

1212

1 cos

hgmsTsFvm0vm 202

1212

1 cos

m

hgmsTsFvmv

21

202

1

1

cos

konst PKC EEE

EC1 EC0 A

sinsh

Změna celkové mechanické energie je rovna práci nekonzervativních sil.

Soustavu, jejíž celková mechanická energie se mění, nazýváme nekonzervativní soustava.

(to jest sil, které nevytvářejí potenciální energii)

sincos FGN

NfT


v h

s

m

G

F

T N

m

h

Způsob výpočtu dynamiky,založený na rozboru celkové mechanické energie,se nazývá energetická bilance.


Obsah přednášky :

dynamika hmotného bodu, pohybová rovnice,

d’Alembertův princip,

dva druhy úloh v dynamice,

zákony o zachování / změně


Date post:	08-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	hiroko
View:	31 times
Download:	0 times

Obsah přednášky :

Documents