Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Oddelovacı axiomy v bezbodove topologii
Karel Ha
Matematicko-fyzikalnı fakulta,Univerzita Karlova v Praze
20. cervna 2013
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiom T0
Definice (T0)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina U takova, zex ∈ U 63 y nebo x 6∈ U 3 y.
x y
U
x y
U
nebo
Predpokladejme, ze je vzdy splnen.(Ztotoznenı bodu nerozlisitelnych otevrenymi mnozinami.)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiom T0
Definice (T0)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina U takova, zex ∈ U 63 y nebo x 6∈ U 3 y.
x y
U
x y
U
nebo
Predpokladejme, ze je vzdy splnen.(Ztotoznenı bodu nerozlisitelnych otevrenymi mnozinami.)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Subfitness
Definice (T1)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina Ux takova, zex ∈ Ux 63 y.
x yUxUy
Definice (Sfit)
a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c
Slabsı vlastnost: (T1)⇒ (Sfit)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Subfitness
Definice (T1)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina Ux takova, zex ∈ Ux 63 y.
x yUxUy
Definice (Sfit)
a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c
Slabsı vlastnost: (T1)⇒ (Sfit)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Subfitness
Definice (T1)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina Ux takova, zex ∈ Ux 63 y.
x yUxUy
Definice (Sfit)
a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c
Slabsı vlastnost: (T1)⇒ (Sfit)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Hausdorffuv axiom
Definice (T2)
Pro kazda x 6= y existujı disjunktnı otevrene mnoziny U, Vtakove, ze x ∈ U, y ∈ V .
x yUV
V bezbodove topologii je nekolik alternativ...
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Hausdorffuv axiom
Definice (T2)
Pro kazda x 6= y existujı disjunktnı otevrene mnoziny U, Vtakove, ze x ∈ U, y ∈ V .
x yUV
V bezbodove topologii je nekolik alternativ...
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Dalsı varianty
(T<)&(S2)
(T 2) ≡ (T<) (S2)
(T ′2) (DS-Haus)
(S<)
(S) (Sw)
(Sww) (S′2)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Dalsı varianty
(T<)&(S2)
(T 2) ≡ (T<) (S2)
(T ′2) (DS-Haus)
(S<)
(S) (Sw)
(Sww) (S′2)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Definice (T3)
Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze x ∈ V1, A ⊆ V2.
x AV1
V2
Pozorovanı:
(T3)⇐⇒ ∀U ∈ Ω(X) : U =⋃V ∈ Ω(X) | V ⊆ U
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Definice (T3)
Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze x ∈ V1, A ⊆ V2.
x AV1
V2
Pozorovanı:
(T3)⇐⇒ ∀U ∈ Ω(X) : U =⋃V ∈ Ω(X) | V ⊆ U
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U
(lze popsat bezbodove)
Definice (Reg)
Frame L je regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺ a
pro a ∈ L.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U (lze popsat bezbodove)
Definice (Reg)
Frame L je regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺ a
pro a ∈ L.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U (lze popsat bezbodove)
Definice (Reg)
Frame L je regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺ a
pro a ∈ L.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Uplna regularita
Definice (T3 12)
Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existuje spojitafunkce ϕ : X → I takova, ze
1. ϕ(x) = 0
2. ϕ[A] = 1
Definice (CReg)
Frame L je uplne regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺≺ a
pro a ∈ L.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Uplna regularita
Definice (T3 12)
Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existuje spojitafunkce ϕ : X → I takova, ze
1. ϕ(x) = 0
2. ϕ[A] = 1
Definice (CReg)
Frame L je uplne regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺≺ a
pro a ∈ L.
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Normalita
Definice (T4)
Pro kazde dve disjunktnı uzavrene A,B existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze A ⊆ V1, B ⊆ V2.
A BV1
V2
Prımocary preklad. . .
Definice (Norm)
a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Normalita
Definice (T4)
Pro kazde dve disjunktnı uzavrene A,B existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze A ⊆ V1, B ⊆ V2.
A BV1
V2
Prımocary preklad. . .
Definice (Norm)
a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Normalita
Definice (T4)
Pro kazde dve disjunktnı uzavrene A,B existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze A ⊆ V1, B ⊆ V2.
A BV1
V2
Prımocary preklad. . .
Definice (Norm)
a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit)
⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit)
⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg)
⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg)
⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit)
⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit)
⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Dekujiza
pozornost!
