最適設計技術の基礎 - jsme.or.jpdHd d d††† †T 0 for 0 →ヘッ Semi‐Positive...

1

2011年11月24日2011年11月24日

革新的ものづくりのための最適設計法入門

最適設計技術の基礎最適設計技術の基礎

京都大学大学院

工学研究科機械理工学専攻

西脇眞二

シラバスシラバス2

１最適化と最適設計問題とは１．最適化と最適設計問題とは

２．最適化問題の定式化と最適化モデルの作成方法

３．最適性の一次の必要条件と二次の十分条件の導出

３．１無制約最小化問題

３．２等式制約のある最小化問題

３３不等式制約のある最小化問題ＫＫＴ条件３．３不等式制約のある最小化問題，ＫＫＴ条件

４．最適設計問題への適用

４．１全応力設計の考え方

構造最適設計問題定式化とゴズム４．２構造最適設計問題の定式化とアルゴリズム

４．３感度解析の方法

４．４最適化の方法

５．メタヒューリスティックスと近似・代理モデル

５．１メタヒューリスティックス

５２近似代理モデル５．２近似・代理モデル

６．複合領域最適化と多目的最適化

１．最適化と最適設計問題とは3

最適化とは最適化とは

最適化

4

最適化=Optimization

数学的な方法により，目的とする関数（目的関数）を最大化あるいは最小化すること，あるいはその方法

この意味で，実験計画法は最適化の方法ではない．実験計法は統計処理方法験計画法は統計処理の方法

体系的な調和の思想＝オプティミズム

自然現象の多くの基本法則は最適化の概念に基づく

フェルマーの原理光は時間的距離が最小となる経路を伝達する．

ハミルトンの原理グジ停留すう動生ラグランジェアンの停留するように運動は生じる．

全ポテンシャルエネルギ最小化問題

最適設計とは最適設計とは

適定適

5

設計問題を最適化問題として定式化し，最適化の方法を用いて最適な設計解を求めること，あるいはその方法

最適システム設計最適システム設計

構造最適化

力学的解析と最適化の方法により最適な構造を求めることある力学的解析と最適化の方法により，最適な構造を求めること，あるいはその方法

最適設計の歴史

1950年代コンピュータの導入，線形計画法

1960年代有限要素法，非線形計画法，寸法最適化

1970年代形状最適化

1980年代トポロジー（形態）最適化

1990年代複合領域最適設計応答曲面法ロバスト設計 1990年代複合領域最適設計，応答曲面法，ロバスト設計

2000年代レベルセット法に基づく構造最適化．．．

最適設計問題の例最適設計問題の例6

与えられた容量をもつ円筒を最小限の薄板で設計する．

r 表面積 2, 2 2f r h hr r →最小化

体積 2, 0h h r r h V

h 側面制約L Ur r r r r r L Uh h h

最適設計の手順最適設計の手順7

最適化問題の定式化

最適化モデルの作成

最適化手法の選択

最適化の実行最適化の実行

最適解の検討

最適化問題の定式化と２．最適化問題の定式化と最適化モデルの作成方法

8

定式化定式化9

設計変数 T 設計変数

決定した変数←→設計パラメータ

1 2 ...T

nd d dd

目的関数 →最小化あるいは最大化 f d 目的関数 →最小化あるいは最大化

評価特性，性能，コスト等

f d

等式制約 1 ,..., 0T

mh h h d d d

T 不等式制約

通常はNegative Null Form

1 ,..., 0T

pg g g d d d

g

側面制約 L Ui i id d d

最適設計のモデル最適設計のモデル10

最適設計のモデルは，評価したい性能（目的関数）と設計変数の関係を十分に表現できるものなけれと，設計変数の関係を十分に表現できるものなければならない．

単純なモデルの方が力学的な考察が容易単純なモデルの方が，力学的な考察が容易．

複雑なモデルの方が，対象としている現象を厳密に表現可能．

最適化設計のモデルは，解析モデル（例えば，有限最適化設計のデルは，解析デル（例えば，有限要素モデル）と同一の必要はない．

最適化のモデル最適化のモデル11

モデルの要素• モデルの要素– システム変数：物理的状態量など

変位圧力• 変位，圧力

– システムパラメータ：特定の値で，一定値をとる量大気圧温度• 大気圧，温度

– システム定数：全ての現象に関して定数である量弾性係数熱伝導係数• 弾性係数，熱伝導係数

– 数学的関係：上の量を関連づける等式，あるいは不等式等式• 平衡方程式，釣合いの関係

構造最適化の場合構造最適化の場合12

寸法最適化（1960～）板厚断面形状特性

H1 H1H1 H1

板厚，断面形状特性

形状最適化（1970～）穴の位置と直径

L1 L2L1 L2

穴の位置と直径

有限要素の節点

補間関数のコントロルポイント補間関数のコントロールポイント

形態（トポロジー）最適化（1980～）穴の数と形状穴の数と形状

材料分布問題への置き換え

最適化問題の分類最適化問題の分類13

的関数目的関数

単目的or多目的関数or数値（汎関数）

微分可能or微分不可能

設計変数設計変数

設計変数の数が有限個o無限個

連続変数or離散変数or混合連続変数or離散変数or混合

制約条件

有り無し有りor無し

関数or数値（汎関数）

３最適性の次の必要条件と３．最適性の一次の必要条件と二次の十分条件の導出

14

３．１無制約最小化問題

３２等式制約のある最小化問題３．２等式制約のある最小化問題

３．３不等式制約のある最小化問題，ＫＫＴ条件

最適化の必要・十分条件最適化の必要十分条件15

最適化問題数学的な意味に理解最適化問題の数学的な意味についての理解．

小規模な問題の解析的な求解． f

例えば， 1

1 minimize d

f d

ここで，fは2階までの微分可能として，

1 df d

*1 1d d

1d

最適性の一次の必要条件

*1 1

1

1

0d d

f

dd

最適性の二次の十分条件 *

21

21

0

d f d

dd

*1 1

1 d d

数学的標記数学的標記16

勾配ベクト勾配ベクトル

f f ff

ヘッセ行列1 2

....n

fd d d

2 2

2

f f

d d d

…1 1

2 2

nd d d

f f

H2 2

21n n

f f

d d d

…

無制約最小化問題無制約最小化問題17

個設計変数 Td d dd n個の設計変数

目的関数fは，少なくとも2階まで微分可能とする．

1 2 ... nd d dd

minimize fd

d

を中心に一次までのテーラー級数展開0 0 0 01 2 ...

T

nd d d d

0

0 0 0n f

d 0 0 0

1i i

i i

ff f d d o

d

d d d d

とすれば，0 , d d d 0f f f d d

0f f d d d 0f f o d d d


が，において，局所的最小値をとれば，f *d d *f

したがて

* * * * *0 for 0f f f f d d d d d

したがって，

* * *

** * *

1 2

....n

f f ff

d d d

d 0

上式が，一次の必要条件である．

1 2 n


を中心に二次までのテーラー級数展開0 0 0 01 2 ...

T

nd d d d

0

0 0

1

n

i ii i

ff f d d

d

d

d d

2 0

20 0 0

1 1

1

2

n n

i i j ji j i j

fd d d d o

d d

d

d d

すなわち，

20 01 Tf f o d d d H d d d 2

f f o d d d H d d d


ここで，がfの停留点であれば，†d † 0f d

さらに， † † † †0 for 0T d H d d d

であれば， 2† † † † †10

2Tf o d H d d d

上式が二次の十分条件である

2f

上式が，二次の十分条件である．


† † † †0 for 0T d H d d d

→ ヘッセ行列が正定値(Positive Definite)

→ ヘッセ行列の全ての固有値が正→ ヘッセ行列の全ての固有値が正

→ ヘッセ行列の最低次の固有値が正

セ行列が半正定値( f )

† † † †0 for 0T d H d d d

→ ヘッセ行列が半正定値(Semi‐Positive Definite)

例題１（無制約最小化問題）例題１（無制約最小化問題）22

2 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

,minimize , 3 12 6 10

d df f d d d d d d d

最適性の一次の必要条件最適性の次の必要条件

* * *1 2* *

1 2

6 12 6 0 0f f

f d dd d

d * *1 22, 3d d

1 2

最適性の二次の十分条件

2 2

†2 † †1 1 2† 6 0

f f

d d d

1 1 2†

2 2

† † †22 1 2

6 0

0 1

d d d

f f

d d d

H d

†

† † † † † 11 2 †

6 0

0 1T d

d dd

d H d d

局所的最小値2

†2 †2 †1 2

0 1

6 0 for 0

d

d d

d

局所的最小値

等式制約のある最小化問題等式制約のある最小化問題23

i i i f d minimize fd

d

0 f 1 ( )h jd

制約条件

0 for 1,..., ( )jh j m m n d

上式は，以下のようにベクトル表示してもよい．

1 ,..., 0T

mh h h d d d

設計変数dを，等式制約により決定されてしまうm個の設計変数Sと制約条件に関係なく決定できるm-n個の設計変数Dに分けるに分ける．

for 1,...,i iS d i m

for 1,...,i iD d i m n


制約条件に関係なく決定できる設計変数Dに対して，目的関数fの最適性の一次の必要条件を導けば，

0df f f d

d d

S

D D S D

右辺第2項は，設計変数Sは設計変数Dを決定することにより，等式制約を介して自動的に決定されるため必要となる．り，等式制約を介して自動的に決定されるため必要となる．

等式制約についても，同様に設計変数Dに対して微分して，次式を得る．

0d d

h h h S

0d d

D D S D

等式制約のある最小化問題等式制約のある最小化問題

d d h h h S 1d

S h h

25

0d d

d d

h h h S

D D S Dd

d

S h h

D S D

0df f f d

d d

S

D D S D代入

1

0df f f

h h

0Tf h0

d D D S S D

ここで

0 D D

ここで，1

T f

h 0Tf

h

S S S S

S S とすれば，


結局，設計変数Sは設計変数Dの設定に関係なくまとめられ，

Tf h0Tf

h

d d

となることがわかる．すなわち，上式を満足するとdが存在することが，最適性の一次の必要条件となる．なおは般にラグランジ乗数と呼ばれるなお，は一般にラグランジェ乗数と呼ばれる．

ここでラグランジェアンLを以下のように定義するここで，ラグランジェアンLを，以下のように定義する．

,m

j jL f f h d d h d d d 1

, j jj

f f


最適性次必条件最適性の一次の必要条件

がで，局所的最小値で正規点であれば，f *d d

* * *0

L f

h

d d d * 0

L

h d

0

なるが存在する．

d d d

� 制約条件の正規性約条件規

勾配ベクトルが1次独立であればそのdは正規点(regular point)と呼ばれる．

1 2, ,..., mh h hd d d

等式制約のある最小化問題等式制約のある最小化問題

最適性次十分は目的関数階微分を求めると

28

最適性の二次の十分は，目的関数の2階微分を求めることにより，得られる．

2

2

T Td f f f d f f d d

d d d d

S S S

D D D S D S D S D D2

2

2 2

T T T T Tf f d f d d f d f d d

d d d d d d

f f d f

S S S S S

D D S D S D D S D D S S D D

S 2 2 2T Td d f d f d S S S S2 2

2

f f d f

d

S

D D S D S

2 2 2

2 2

2 2

d d f d f d

d d d d

f f

S S S S

D D S D D S D

I22

22 2

2

,T

f fd f d

dd df f

d

IS SD D SI SD S D

D2 S D S ．．．



実行可能領域内の点において，†d d

† ††0

L f

h

d d d †

0L

h d

が成立するが存在し，

d d d

dに関するラグランジェアンのヘッセ行列2 2

2 2 2m

TfL L f h h

λ 2 2 22 2

1

Tj j

j

fL L f h

dd λd d


がの接平面上，すなわち，†d d

において正定値，

, 0nT R d y h d y

において正定値，

0 for 0T L ddd d d

であればは局所的最小値である．†d

例題２（等式制約のある最小化問題）例題２（等式制約のある最小化問題）31

2 2 1 2

2 2

1 2 1 2,

minimize , 1 1d d

f f d d d d d

制約条件 2 1 0h h d d d dd制約条件 1 2 1 2, 2 1 0h h d d d d d

2 2

1 2 1 21 1 2 1L f h d d d d d d として


1 2 1 2f

L f h 11 1 1

2 1 0L f h

dd d d

L f h

13

5d

22 2 2

2 1 2 0L f h

dd d d

L

21

5d

41 22 1 0

Ld d

45

例題２（等式制約のある最小化問題）例題２（等式制約のある最小化問題）32

適性次条件最適性の二次の十分条件

2 2

1 2 1 21 1 2 1L f h d d d d d d 1 2 1 21 1 2 1L f h d d d d d d

2 2 2 2 2 2

2 2 2

L L f f h h

d d d d d d d d d

2 2 21 1 2 1 1 2 1 1 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

d d d d d d d d dL

L L f f h h

d d d d d d d d d

dd

2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 0 0 0 2 0

0 2 0 0 0 2

d d d d d d d d d

0 2 0 0 0 2

局所的最小値0 for 0T L d d d 局所的最小値0 for 0L ddd d d

例題３（等式制約のある最小化問題）例題３（等式制約のある最小化問題）

2i i i 2 2f h h

制約条件

2

,minimize , 2 2

r hf r h hr r

2 0h h r r h V

r

制約条件

2 21, , 2 2L f r h h h r hr r r h V

1 , 0h h r r h V h

最適性の一次の必要条件として 33

1

1 2 4 2 0hL f

h r rhr r r

hf

3

2

Vr

1

21 2 0hL f

r rh h h

L

34Vh

1

2 0L

r h V

322

V

例題３（等式制約のある最小化問題）例題３（等式制約のある最小化問題）34


2 2L L 2

2 2

4 2 2 2 4 2

2 2 0 2 0

L Lrh rr r hLrL L

dd

2

2 2 0 2 0rL L

h r h

から

4 2

4T rL r h r r h

d d 4

2 0L r h r r h

h

ddd d

例題３（等式制約のある最小化問題）例題３（等式制約のある最小化問題）35


h h 21 11 2 0

r rh hh rh r

h hr h

dまた，

からから

4h r

24 12 0T L h d d

よって，

局所的最小値0 f 0T L d d d

24 12 0T L r r h r ddd d

局所的最小値0 for 0T L ddd d d

不等式制約のある最小化問題不等式制約のある最小化問題36

i i i f d minimize fd

d制約条件

0 f 1kd (Negative Null Form)

上式は，以下のようにベクトル表示してもよい．

0 for 1,..., kg k p d (Negative Null Form)

1 ,..., 0T

pg g g d d d

不等式制約の中で，において等式が成り立っている制約，

すなわち活性(Active)な制約を活性でない制約を g d

*d d g dすなわち活性(Active)な制約を，活性でない制約を

とする．

g d

ˆ0, 0 g d g d

g


*d d

(a) 活性な制約について， g d

で局所的最小値となり，正規点であればd d で局所的最小値なり，規点であれば

* *0

f

g

μd d

d


を中心に次までのテラ級数展開すれば*d d g d を中心に一次までのテーラー級数展開すれば，d d

* * 0o g d g d g d d d * 0 g d d

実行可能性(F ibilit )の条件実行可能性(Feasibility)の条件


* *fが局所的最値をとるとすれば

* * * * 0f f f f d d d d

*d d ffがで局所的最小値をとるとすれば

最適性(Optimality)の条件

f f f f

* *f d

*d*d*d d

g d

最適性(Optimality)の条件実行可能性(Feasibility)の条件


* *0

f

g

μd d

* 0 g d d * * 0f d d d d

0μ 不等式制約が活性

(b) 活性でない制約について， g d

* * *

ˆ0

f f

g

μd d d

0with

とすればよい．


したがって，不等式制約を活性の場合と活性でない場合に区別することなく次式が成り立つことになる．区別するとなく次式が成り立とになる

* *0

f

g

μd d

d d

さらに，0μ 不等式制約が活性である0μ 不等式制約が活性である

0μ 不等式制約が活性でない

*0 and 0 g d 0 and 0 g d


ラグランジェアンLを，以下のように定義して，

p

L f f d d d d d

最適性次必要条件

1

, k kk

L f f g

d d g d d d



* * *0

L f

g

d d d * 0

L

g d

0 * 0g d


等式・不等式制約のある最小化問題等式不等式制約のある最小化問題42

制約条件

minimize fd

d

0 for 1,..., ( )jh j m m n d

0 for 1,..., kg k p d

ラグランジェアンL

, ,kg p

, ,L f d d h d g d

1 1

pm

j j k kj k

f h g

d d d



（Karush‐Kuhn‐Tucker(KKT)条件）（Karush‐Kuhn‐Tucker(KKT)条件）


** * *0

L f

h g

d d dd

* 0L

h d

* 0

L

g d

なるが存在する

0 0 * 0g d

なる，が存在する．



等式制約のみのある場合とほぼ同じ等式制約のみのある場合とほぼ同じ

ラグランジェアンのヘッセ行列が以下のように異なる．

2 2 2

2 2 2T Tf

L

dd

h gλ μ

d d d

2 2 2 2

1 1

pm

i i k kj k

L f h g

1 1j k

0 for 0T L ddd d d 局所的最小値dd

例題４（不等式制約のある最小化問題）例題４（不等式制約のある最小化問題）45

1 2

2 2

1 2 1 2,

minimize , 4 3d d

f f d d d d d

制約条件 1 1 2 1 2, 2 8 0g d d d d

2 3 12 0g d d d d 2 1 2 1 2, 2 3 12 0g d d d d

1 1 2 2L f g g

として 2 2

1 2 1 1 2 2 1 24 3 2 8 2 3 12d d d d d d

例題４（不等式制約のある最小化問題）例題４（不等式制約のある最小化問題）

最適性次必要条件

46


1 1 22 4 2 2 0L

d 2 1 22 3 3 0

Ld

1 1 21

2 4 2 2 0dd

2 1 22

2 3 3 0dd

1 22 8 0L

d d

1 22 3 12 0

Ld d

1 21

1 22

1 0 2 0 1 1 22 8 0d d 2 1 22 3 12 0d d

上式から最適解の候補を得るため，以下の場合わけをする．

ととも活性(Ⅰ) → ととも活性(Ⅱ) → だけ活性(Ⅲ) → だけ活性

1 20, 0 1 20, 0

0 0

1g 2g

1g

2g(Ⅲ) → だけ活性(Ⅳ) → ととも活性でない

1 20, 0 1 20, 0

2g

1g 2g


(Ⅰ) 1 20, 0

1 23, 2d d 1 2

1 1,

2 2

2 2

(Ⅱ) 1 20, 0

14 12 6 4L1 2 1

14 12 6, ,

5 5 5d d 1 2

2

42 3 12 0

5

Ld d

(Ⅲ) 0 0 (Ⅲ) 1 20, 0

1 2 2

42 24 10, ,

13 13 3d d 1 2

42 8 0

13

Ld d

1 2 2, ,13 13 3

1 21 13

(Ⅳ) 1 20, 0 L L

1 24, 3d d 1 2 1 21 2

2 8 3 0, 2 3 12 5 0L L

d d d d



1 1 2 2L f g g

2 2

2 2

1 2 1 1 2 2 1 24 3 2 8 2 3 12d d d d d d

2 2

21 1 2

1 22 2

2 0 0 0 0 0 2 0

0 2 0 0 0 0 0 2

L L

d d dL

L L

dd 2 2

22 1 2

0 2 0 0 0 0 0 2L L

d d d

は局所的最小値

0 for 0T L ddd d d* *3 2d d は局所的最小値1 23, 2d d

例題４（不等式制約のある最小化問題）

49

49

例題５（トラス構造の最適設計）例題５（トラス構造の最適設計）50

図に示すように二本のトラスで構成される構造物の下端に荷重Fを

鉛直下方向に負荷する場合を考える．このとき，断面積を設計変数

l

として，応力制約を満足しながら，トラスの重量を最小にするように構造物を設計する．

l

トラス１断面積：A

l1 l2

トラス２断面積：A2

1 2

断面積：A12 断面積：A2

Fy

x

例題５（トラス構造の最適設計）

51

二本のトラスの長さl1，l2 断面積はA1，A2 軸力をN1，N2

重量密度は両方とも許容応力は両方ともa

l

1 2

トラス１断面積：A1

l1 l2

トラス２断面積：A2

Fy

x


52

1 2

1 2 1 1 2 2,min ,A A

f A A l A l A

応力制約 1 0N

2 0N

トラスの重量を目的関数

応力制約 11

1

0agA

22

2

0agA

0g A 0g A 幾何条件 3 1 0g A 4 2 0g A 幾何条件

L f

1 1 2 2 3 3 4 4

1 21 1 2 2 1 2a a

L f g g g g

N Nl A l A

1 1 2 2 1 21 2

3 1 4 2

a aA A

A A

としてとして，


53

最適性の一次の必要条件（KKT条件）

1 11 1 32

1 1 1

0N NL

lA A A

2 2

2 2 422 2 2

0N NL

lA A A

1 0a

NL

A

2

2 2

0a

NL

A

13

0L

A

2

4

0L

A

1 1A 2 2A 3 4

1 0 2 0 3 0 4 0

11 0a

N

22 0a

N

3 1 0A 4 2 0A 1

1aA

22

aA

3 1 4 2


1 20, 0A A は工学的に意味がないので， 1 20, 0A A

すなわち 3 40, 0 の場合のみ考える．すなわち， 3 40, 0 の場合のみ考える．

さらに本問題は静定問題なので設計変数（断面積）の変化にさらに，本問題は静定問題なので，設計変数（断面積）の変化に対して，軸力が変化しない．すなわち，

1 2

1 2

0N N

A A

最適設計の観点からの静定問題の意味


もも活性であるから，

(Ⅰ) 1 20, 0

1g 2g 1 20, 0a a

N N

A A もも活性であるから，1g 2g

1 2a aA A

よって，1 2N N

A A 1 1 2 2N l N l 1 2,

a a

A A

1 1 2 21 22 2

1 2

, A A

(Ⅱ) 1 20, 0

L

(Ⅲ) 1 20, 0

0L

l

(Ⅳ) 1 20, 0

0 0L L

l l

22

0L

lA

1

1

0L

lA

1 2

1 2

0, 0l lA A



1 12 0 0N l 1 13

11 2 2 23

2 0 000 0

200 0

0 0

N l

AL N l

A

dd

2

3 4

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

A

0 0 0 0

0 for 0T L ddd d d

は局所的最小値

0 o 0 ddd d d

* *1 21 2,

a a

N NA A

a a

例題５（トラス構造の最適設計）例題５（トラス構造の最適設計）

最適解意味

57

最適解の意味

N N N l N l* *1 21 2,

a a

N NA A

1 1 2 2

1 22 21 2

, N l N l

A A

最小重量設計はそれぞれの応力が許容応力値に達したときに達成される．全応力設計の考え方力設計考方

静定問題 1 2

1 2

0N N

A A

1 2


不静定問題では NN N 不静定問題では， 31 2

1 2 3

0, 0, 0NN N

A A A

ぞが容値

トラス３

最小重量設計はそれぞれの応力が許容応力値に達したときに達成されるとは言えない．

トラス３断面積：A3l

トラス１ l トラス２

1 2

l3トラス１断面積：A1

l1 l2

トラ断面積：A2

Fy F

x

y

４．構造最適設計問題への適用59

４．１全応力設計の考え方

４．２最適設計問題の定式化とアルゴリズム４．２最適設計問題の定式化とアルゴリズム

４．３感度解析の方法

４．３最適化の方法最法

全応力設計全応力設計60

n本のトラス要素で構成される構造を，応力制約のもとで最小重量設計する場合を考える．

構造内のi番目のトラス要素の断面積はAi，長さはli ．

重量密度と許容応力は，全てのトラス要素について同一で，それぞれとれぞれとa ．

i番目のトラス要素に作用する軸力がNi，応力がi

Ai

Ni

li F



minimizen

f A l


1

minimizei

i iA

i

f A l

制約条件制約条件 0 1, 2,...,i i ag i n

は断面積が上ある制約は省略

ラグランジアンを

ここでは，断面積が０以上である制約は，省略．

ラグランジェアンを

n

in N

lAL

i

ii

ii

ii AlAL

11

として，


最適性の一次の条件（KKT‐条件）

21

0, 1, 2,...n

j ij j i

ij j j

N NLl i n

A A A

1ij j j

0, 1,2,...jNL

i n 0, 1, 2,...a

j j

i nA

N 0, 1, 2,...ii i

i

Ni n

A

0, 1, 2,...i i n


仮定１

静定構造，つまり，ある部材の断面積が変化しても内力の静定構造，つまり，ある部材の断面積が変化しても内力の変化がない．→静定問題と同等な扱い．

iN

仮定２→全応力

0

j

i

A

N

仮定２→全応力

最適解では，すべての部材において応力制約が活性となっている．→数学的，物理的にもこの解しかありえない．なっている．→数学的，物理的にもの解しかありえない．

0 a

jN a

jA


A以上より , 1, 2,...

j j j

ja a

N AA i n

以上より，

が得られる．実際には，仮定１と仮定２は静定構造でしか成立しないため，以下の漸化式に基づいて断面積を更新して，最適しないため，以下の漸化式に基づいて断面積を更新して，最適構造を得る．

t

tj

tjt

j

AA

1

tj

j

しかし，不静定構造物では，上の式では最適構造が得られな場合が多全応力設計限界い場合が多い．→全応力設計の限界

全応力設計の考え方は，ＫＫＴ条件のヒューリスティックな解法ともいえる →最適化基準法へ発展ともいえる．→最適化基準法へ発展全応力設計の考え方は，ＣＡ，ＥＳＯによる最適化と同じ．

構造最適化問題の定式化構造最適化問題の定式化65

剛性最大化問題定式化剛性最大化問題の定式化

– 最も一般的に取り扱われる最適化問題

– 静的釣合い状態 KU=F • K:剛性マトリクス，U:変位ベクトル，F:荷重ベクトル

– 体積制約もとでの剛性の最大化

→平均コンプライアンスの最小化 F→平均コンプライアンスの最小化

d

F

. .T T

m cl F U U KU

= ひずみエネルギの最小化 K

最適化アルゴリズム最適化アルゴリズム66

設計領域と境界条件の設定

データ入力

設計感度を利用した方が，収束性がよい

最適化のためのパラメータと設計変数の設定

収束性よ

有限要素離散化と数値解析

目的関数と体積（面積）の計算設計感度を用いた最適設計法の利用

収束条件の判定

終了Yes

目的関数体積（面積）計算設計法の利用

判定

目的関数と体積の設計感度の計算

No

設計変数と目的関数の更新

設計感度設計感度67

ある設計変数が変化した場合に，目的間数あるいは制約条件が，どれぐらい変化するかの尺度は制約条件が，どれぐら変化するかの尺度

ある設計変数をdとすれば， f g,

d d

ただし，目的関数が汎関数の場合には，設計感度は微分では得られない．変分をとる必要がある．

: :f d

u D u

設計感度設計感度

衡方程式もと関数設計感度

68

f 平衡方程式のもと関数の設計感度を求める．

Ku f ,f u d

差分法による方法

f f f u d u u d d u d

半解析的な方法

, , ,

i i

f f f

d d

u d u u d d u d

半解析的な方法

直接法：設計変数の数が少なく，制約条件の数が多い場合に有効い場合に有効

随伴変数法：設計変数の数が多く，制約条件の数が少ない場合に有効少ない場合に有効

直接法直接法69

平衡方程式 Ku f のもと関数の設計感度を求める ,f u d平衡方程式 Ku f のもと，関数の設計感度を求める． ,f u d

1,df f f d f f d d u d u f K 1,df f f d f f d d

d d d d

u d u f KK u

d d u d d u d d

剛性マトリクスの逆行列を感度解析ごとに計算しなければならない．

随伴法(Adjoint Method)随伴法(Adjoint Method)

平衡方程式 Ku f のもと，関数の設計感度を求める． ,f u d

1d d d

u f KK u

d d d

K u

x x x から，

1,df f f d f f d d

d d d d

u d u f KK u

d d u d d u d d

ここで，f

K = z （随伴方程式）とすれば，

u

,df f f d f d d u d u f K

ud d d d

u

d d u d d d d

目的関数が平均コンプライアンス場合目的関数が平均コンプライアンス場合71

プ合平均コンプライアンスの場合

変位ベクトル Uの随伴変数をU*

*. .

T Tm cl F U U KU F として，

* * *. . T T T T Tm cl

d d d d d d

U K U U K

F U U K F U K U U

* 0T T F KU であるから，→自己随伴形式

*. . T Tm cl

d d d

K K

U U U Ud d d

固有値問題の場合固有値問題の場合72

2 , 1Ti i i i M K 0 M として，平衡方程式

22Ti M K

固有値の感度

2Tii i id d d

M K

2i

M K

固有ベクトルの感度

22

2 1

ii i

i iT

d d d

M K M

M 0 M

1

2i Ti

i id d

M 0 M

最適解の性質最適解の性質73

均プイ場合平均コンプライアンスの場合

総体積Vに上限値VUを設定して

. .minimize Tm c

df d l F U

制約条件 0Ug d V V 制約条件

UL f d V V として L f d V V として，

最適性の一次の条件（KKT‐条件）

0f g

d d

0Ug d V V

0 0UV V

最適解の性質最適解の性質74

均プイ場合平均コンプライアンスの場合

総体積Vに上限値VUを設定して

0f g

d d

ここで，一般的な構造では，

d d

0, 0Tf g

d d d

K

U U

0 d d d

よって，

すなわち，最適構造は体積制約が必ず活性になる．

最適化の方法最適化の方法75

設計変数が連続変数場合設計変数が連続変数の場合

線形問題

目的関数および全ての制約条件が線形

線形計画法Ｓｉｍｐｌｅｘ法（Dantzig)

内点法(Karmarkar)

非線形問題非線形問題

無制約問題

制約付き問題制約付きの問題

無制約最適化問題無制約最適化問題76

設計変数更新方法設計変数の更新方法

探索方向1k k k d d s探索方向

ステップ幅

minimize k kf d s によりを決定 f

によりを決定

ラインサーチラインサチ


1 最急降下法

目的関数の一次の項までのテーラー級数展開

1. 最急降下法

0 0f f f d d d d

ここで k k kここで， k k kf s g d とする．

k k 例ば minimize k kf

d s より，例えば，

0kT k kff

s d skT k

k kg s 0f

s d s

この場合探索方向は勾配方向に直交

k kkT k k

g

ss H s

この場合探索方向は，勾配方向に直交.収束性はよくない.


1 最急降下法 2 2i i i ( ) 10f1. 最急降下法 2 21 2 1 2minimize ( , ) 10f x x x x

停止条件: 41.0 10k g停止条件: 1.0 10k g

ラインサーチ:ヘッセ行列の利用

kT kk k

kT k k

g ss

s H s

繰り返し回数: 10 最適解: (-0.0026x10-4, 0.2633x10-4)1

0.5

10

12

-0.5

0

12

4

6

8

-1 -0.5 0 0.5 1-1

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

0

2


1 最急降下法 2 2i i i ( ) 10f1. 最急降下法 2 21 2 1 2minimize ( , ) 10f x x x x

停止条件: 41.0 10k g停止条件: 1.0 10k g

ラインサーチ: Armijo’s rule

繰り返し回数: 53 最適解: (0.0304x10-4, 0.2663x10-4)

1

10

120.5

12

4

6

8

-0.5

0

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

0

2

-1 -0.5 0 0.5 1-1

0.5


1 最急降下法 2 2 2i i i ( ) 100( ) ( 1)f1. 最急降下法

停止条件: 41.0 10k g Rosenbrock function

2 2 21 2 1 2 2minimize ( , ) 100( ) ( 1)f x x x x x

停止条件: 1.0 10k g


繰り返し回数: 9396 最適解: (0.9998, 0.9999)2

1

3000

3500

4000

-1

0

500

1000

1500

2000

2500

-2 -1 0 1 2-2

-2-1

01

2 -2

-1

0

1

20


2 共役勾配法

n×n対称行列Qに対して，k個のベクトルが，

2. 共役勾配法1 2 ,..., kd d d

ここで Qを正定値対称行列として目的関数を

0 for iT j i j d Qd Qに対して共役方向という．

ここで，Qを正定値対称行列として，目的関数を以下のように二次関数近似する．

1T T 1

2T Tf q a d d b d d Qd

共役ベクトルの方向に沿て

minimize k kq

d s

共役ベクトルの方向に沿って，

により一次元探索を行と，次の関係が成り立つ．


2 共役勾配法2. 共役勾配法

n×n正定値対称行列Qに関して，n次元ベクトル1 2 ,..., nd d d

(1) 1 0 for 1 2k jq j k d s 1k k kd d

Qが，与えられたとして，k=1,2,…,nに対して，

(1) 0 for 1, 2,...,q j k d s

(2) 1 2 ...k k k kq q q d s d s d s 1k 1 1 2 k

1k k k d d s

(3) は，上における二次関数のの最小点である．

1kd 1 1 2span , ,... kd s s s

ここで，

1 2span 1 2k

k j j j R j k s s s s s s

1

span , ,... , , 1, 2,...,j

R j k

s s s s s s


2 共役勾配法

一次元探索をn回うことにより得られる点は

2. 共役勾配法

1nd次元探索をn回うことにより得られる点は，近似した二次関数のRn上の最小値となる．

たが互共役な方向沿探索を繰り返ば

d

したがって，互いに共役な方向に沿って探索を繰り返せば，n個の変数の２次関数の最小点は，たかだかn回の探索で求められる求められる．

共役方向を求める方法•Powellの方法→導関数を用いない方法•Fletcher-Reevesの方法→共役勾配法

無制約最適化問題84


2 共役勾配法

Fletcher‐Reevesの公式による共役方向ベクトルの生成方法

2. 共役勾配法

1

1

kTk k j j

j

q

s d s として， 0 for iT j i j d Qd から，

1 1 Tqs d

21k

1 1 Tk k k kq s d s ここで，

1

2

k

k

k

q

q

d

d

q

Fletcher‐Reevesの方法は，準ニュートン法の一つであるともFletcher Reevesの方法は，準トン法のつであるともいえる．


2 共役勾配法 2 22. 共役勾配法

停止条件: 41.0 10k g

2 21 2 1 2minimize ( , ) 10f x x x x



繰り返し回数: 151

最適解: (-0.1197x10-5, 0.4870x10-5)

10

12

0.5

12

4

6

8

-0.5

0

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

0

2

-1 -0.5 0 0.5 1-1


2 共役勾配法 2 2 2i i i ( ) 100( ) ( 1)f2. 共役勾配法

停止条件: 41.0 10k g

2 2 21 2 1 2 2minimize ( , ) 100( ) ( 1)f x x x x x

Rosenbrock function停止条件: 1.0 10k g


繰り返し回数: 83 最適解: (0.9999, 0.9999)

2

1

3000

3500

4000

-1

0

20

500

1000

1500

2000

2500

-2 -1 0 1 2-2

1-2

-10

12 -2

-1

0

10


3 ニュトン法目的関数をテーラー級数展開により二次関数近似

3. ニュートン法

1 0 0 01

2Tf f f d d d d d H d d

停留条件より，

0 0 1

1k k k k k k

0 00 f d H d d

これより，

10 0f d H d d

1k k k k k kf f s g H d d B d d とする．

k kプ次に minimize k kf

d s より，ステップ幅を求める．

（修正ニュートン法）

次に，

法収束性が非常ニュートン法は，収束性が非常によい．ヘッセ行列の逆行列を求めるのが困難→準ニュートン法 kB d


2 2i i i ( ) 10f3 修正ニトン法

停止条件: 41.0 10k g

2 21 2 1 2minimize ( , ) 10f x x x x 3. 修正ニュートン法


ラインサーチ:ヘッセ行列の利用

kT kk k

kT k k

g ss

s H s

繰り返し回数: 1 最適解: (0.0, 0.0)

1

10

120.5

12

4

6

8

-0.5

0

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

0

2

-1 0 1-1


2 2i i i ( ) 10f3 修正ニトン法

停止条件: 41.0 10k g

2 21 2 1 2minimize ( , ) 10f x x x x 3. 修正ニュートン法



繰り返し回数: 9 最適解: (-0.2532x10-6, 0.2532x10-6)1

10

120.5

12

4

6

8

-0.5

0

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

0

2

-1 -0.5 0 0.5 1-1


3 修正ニトン法 2 2 2i i i ( ) 100( ) ( 1)f

停止条件: 41.0 10k g

3. 修正ニュートン法

Rosenbrock function

2 2 21 2 1 2 2minimize ( , ) 100( ) ( 1)f x x x x x




2

最適解: (1.0000, 1.0000)

3000

3500

40001

500

1000

1500

2000

2500

-1

0

-2-1

01

2 -2

-1

0

1

20

-2 -1 0 1 2-2


4 準ニトン法

ヘッセ行列の逆行列を近似関数により求める．

4. 準ニュートン法

kB d

k kT k k kT kB B

(a) Davidon‐Fletcher‐Powell(DFP)法

1k kT k k kT k

k kkT k kT k k

p p B q q B

B Bp q q B q

双対関係(b) Broydon‐Fletcher‐Goldfarb‐Shanno(BFGS)法

1k kT k kT k kT

k k

p q p q p pB I B I

双対関係

1k kkT k kT k kT k

p q p q p pB I B I

q p q p q p

ここで， 1, k k k k k kf f p s q d d


2 2i i i ( ) 10f4 準ニトン(BFGS))法

停止条件: 41.0 10k g

2 21 2 1 2minimize ( , ) 10f x x x x 4. 準ニュートン(BFGS))法




最適解: (-0.4228x10-5, 0.4087x10-5)

10

120.5

12

4

6

8

-0.5

0

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

0

2

-1 -0.5 0 0.5 1-1

0.5


4 準ニトン(BFGS))法

停止条件: 41 0 10 g

4. 準ニュートン(BFGS))法2 2 2

1 2 1 2 2minimize ( , ) 100( ) ( 1)f x x x x x 停止条件: 1.0 10k g

Rosenbrock functionラインサーチ: Armijo’s rule

繰り返し回数: 43 最適解: (1.0000, 1.0000)2

1

3000

3500

4000

-1

0

500

1000

1500

2000

2500

-2 -1 0 1 2-2

-2-1

01

2 -2

-1

0

1

20

制約付き最適化問題制約付き最適化問題94

次線

目的関数と制約条件を，信頼領域(Trust Region)において，

1. 逐次線形計画法(Sequential Linear Programming)

k kf f f d d d d

( g )線形近似し，線形計画法により逐次解を求める．

目的関数 f f f d d d d

0 for i 1,..., k ki i ig g g p d d d d

目的関数

制約条件

信頼領域k d d d k k d d d

はムブリミットこの値の設定が重要は，ムーブリミット．この値の設定が重要．


最適化問題を信頼領域(T t R i )において二次計

2. 逐次二次計画法(Sequential Quadratic Programming)

最適化問題を，信頼領域(Trust Region)において，二次計画問題に近似し，準ニュートン法により逐次解を求める．

1

2k k T kf f f d d d d d H d d

目的関数

0 for i 1,..., k ki i ig g g p d d d d

信頼領域

制約条件

信頼領域k d d d k k d d d

は，ムーブリミット．この値の設定が重要．


1k k T k

2. 逐次二次計画法(Sequential Quadratic Programming)

1

2k k T kq f s d s s B d s

0 for i 1k kg g g p d d d s

目的関数

制約条件 0 for i 1,..., i i ig g g p d d d s制約条件

ラグランジェアン

1,

2k T k T k k

i iL f g g s d s s B d s d d s

とし，無制約問題に置き換えて準ニュートン法により最適解を得る．


逐次凸関数近似法

媒介変数の導入

3. 逐次凸関数近似法

i iy x 媒介変数に基づく線形近似

i i

0 0n

idxff f y x y x

x x

01i i

i i i ii i i x x

f f y x y xx dy

x x

0 0n dxg

感度の正負によって媒介変数を変えることにより目的関数

0

0 0

1i i

ii i i i

i i i x x

dxgg g y x y x

x dy

x x

感度の正負によって媒介変数を変えることにより，目的関数と制約関数を凸関数近似する．

d df f 0 0

0 0 0

i i i i

i ii i i i i i i i

i i i ix x x x

dx dxf ff f y x y x y x y x

x dy x dy

x x


逐次凸関数近似法

凸関数近似の方法

3. 逐次凸関数近似法

CONLIN（Convex Linearization)

if 0i i iy x f x if 0 for =1,...,

1 if 0

i i ii

i i i

y x f xy i n

y x f x

MMA(Method of Moving Asymptotes)

=1 if 0for =1

i i i iy U x f xy i n

双対問題へ変換→通常の最適化法で解く

for =1,...,

1 if 0i

i i i i

y i ny x L f x

双対問題へ変換→通常の最適化法で解く

設計変数が数個の問題へ変換


そ他その他に，

一般化縮約勾配 (Generalized Reduced Gradient)法

制約条件を，目的関数の中に縮約して取り扱う．

．．．

構造最適化構造最適化

状最適化

100

形状最適化

態ポジ最適形態(トポロジー)最適化

㈱くいんとのご好意による

101

トポロジカルデリバティブトポロジカルデリバティブ101

物体領域中に設けた微小な空洞領域に関する目的汎関数の感度

\ ,lim

\r

J B r JG

B

xx

B

meas \ , measr B r x

ここではを中心とした半径の空洞領域 ,B rxここで，は，xを中心とした半径rの空洞領域

平均コンプライアンス（剛性最大化）最小化問題では平均コンプライアンス（剛性最大化）最小化問題では，

: : 2G x u D u b u : : 2G x u D u b u

余談余談102

最適化の方法を使わず，ＣＡＥの評価結果のみで剛性を確保しながら軽量化をすすめるには．剛性を確保しながら軽量化をすすめるには．

線形な静解析な場合，歪エネルギ密度を，計算，評価すればよい評価すればよい．

歪エネルギ密度が小さい箇所は，剛性に寄与しないのでとり除いてもよいので，とり除いてもよい．

線形な静解析な場合，トポロジカルデリバティブは，

歪エネルギ密度と致する歪エネルギ密度と一致する．

形状最適化＋Bubble Method103

形状最適化＋Bubble Method

日産自動車(株) 山本氏の結果日産自動車(株) 山本氏の結果

初期構造最適構造

５．メタヒューリスティックスと近似・代理モデル104

５．１メタヒューリスティックス

５２近似代理モデル５．２近似・代理モデル

最適化手法(数理計画法)の問題点最適化手法(数理計画法)の問題点105

仮定した初期点から出発して，最適解を勾配などの情報を得て探索するため局所解しか得られない情報を得て探索するため，局所解しか得られない．

設計空間が複数に分割されている場合，個々の設計空間を移動して，最適解を求めることができない．

最適設計問題に離散変数を含む場合には，効率良く最適設計問題に離散変数を含む場合には，効率良く最適解を得る方法がない．

NP‐困難問題 NP 困難問題

メタヒューリスティックスメタヒュリスティックス

ヒリスティクス

106

ヒューリスティックス

発見的手法

特定の問題に対して試行錯誤的に作られた方法

メタヒューリスティックス

特定の問題に限定されず，汎用的に利用可能な試行錯誤的に作られた方法錯誤法

遺伝的アルゴリズム(Genetic Algorithms)

焼きなまし法(Simulated Annealing)焼な法( g)

蟻コロニー最適化(Ant Colony Optimization)

粒子群最適化(Particle Swarm Optimization)粒子群最適化(Particle Swarm Optimization)

…

Particle Swarm Optimization(PSO)Particle Swarm Optimization(PSO)

集団を構成する個々の情報を共有しながら進化を続けてい

107

集団を構成する個々の情報を共有しながら進化を続けているということを基にした方法．

鳥や魚などの群れの行動，さらには人間の社会活動鳥魚な群れ行動，さ間社会活動

連続型多峰性関数(C0級）の大域的最適解，もしくはそれに相当する準最適解を求める手法．

個体（Particle)が持つ最良の情報（p‐best)

その個体から形成されるグループ（Swarm)の最適値（g‐best)

直前探索履を考慮直前の探索履歴を考慮

Particleは「位置」と「速度」を持つ．

デルが多用 g‐bestモデルが多用．

PSOは多点探索法の一つ．

GAなどと同じではあるが，連続変数に向いている．

制約条件の考慮に難しさがある．

Particle Swarm Optimization(PSO)Particle Swarm Optimization(PSO)108

1 ( ) ( )k k k k k k

1 1k k kd d d x x v位置 :

速度1

1 1 2 2( ) ( )k k k k k kd d d d g dw c r c r v v p x p x速度 :

慣性項Parameters

1 2r r ：random number [0 1]1 2,r r ：random number [0,1]

1 2 4c c A. Carlisle, and G. Dozier (2001)k

個体がま探索訪れた最良値kdpkgp

：個体dがk回目までの探索で訪れた最良値

：k回目の探索における群れ(Swarm)の中の最良値g

群れはg-bestへ向って移動する

Particle Swarm Optimization(PSO)Particle Swarm Optimization(PSO)109

1 ( ) ( )k k k k k kw c r c r v v p x p x

1 1k k kd d d x x v 群れはg-bestへ向って移動

1 1 2 2( ) ( )d d d d g dw c r c r v v p x p x

1k1kv

1kk gbest2pbest

11kx1

2kx

1k

kx1

b t

gbest

1k

k

11kx 1pbest 1

2kx

kkx2

kv2最終的にg-bestが大域的最適解へと到達する可能性をもつ．

近似法はなぜ必要か?近似法はなぜ必要か?110

設計解の改善

初期設計近似法の発展

構造応答最適化

・最適化手法は多数回，目的関数，制約関数値，

制約条件の

構造応答解析・各種応答解析

最適化アルゴリズム

目的関数，制約関数値，設計感度を呼び出す．

制約条件のスクリーニング

応答解析

設計感度近似モデル

設計感度解析

FE Code

近似モデルの構成・近似問題を構成して，

応答解析，解析回数を極力削減（計算負荷の軽減） FE Code力削減（計算負荷の軽減）

局所近似と全体近似局所近似と全体近似111

局所近似 Local Approximation

１点または少数の点の関数値と設計感度の局所情報の利用

近似点近傍のみで有効

移動限界の導入

例 : Taylor 級数展開, 逆変数近似，節点力近似...

全体(大域）近似 Global Approximation 全体(大域）近似 Global Approximation

設計空間全域の多数点の情報を用いて多項式近似

空間内の多数点での関数評価が必要空間内の多数点での関数評価が必要

２，３の設計変数問題のみに利用可能と信じられてきた

例 : 応答曲面近似, 実験計画法，NN近似...

局所近似 (1)局所近似 (1)112

直接テーラー級数展開 (Schmit & Farshi 1974)f (X) f (X0) +Tf (X0) (X – X0) min

Subject to g j(X) g j(X0) + Tg j(X0) (X – X0) (j = 1,2, , m) XL X XU

where

X X X

f(X) = (

f

x,f

x, )T , gj(X) = (

gj

x,gj

x, )T

•展開点X0の１次設計感度が必要

x1 x2j x1 x2

展開点X0の１次設計感度が必要

•基本的かつ少数の設計変数問題で多用

•展開点X に近い設計変数Xに対しても不正確•展開点X0に近い設計変数Xに対しても不正確

局所近似(2)局所近似(2)

問題点を克服するために

113

問題点を克服するために,

逆変数近似 (Schmit & Miura1976) (中間変数近似)

直接設計変数を用いないで中間変数でテーラー展開

CONLIN, MMAへの展開

ハイブリド近似 (S & H f k 1979 Fl & ハイブリッド近似 (Starners & Haftka1979, Fleury & Braibant1986, …etc.) :

直接変数と逆変数を混合制約条件に対して保守的な近似（安全側）直接変数と逆変数を混合，制約条件に対して保守的な近似（安全側）

多点近似 (midrange approximation)

(Fadel et al 1990 Wang & Grandhi1995 Wang et al 1996 (Fadel et al.1990, Wang & Grandhi1995, Wang et al.1996 , Salajeheh1997, Guo et al.1999) : 設計空間の非線形性を考慮するために２点，３点の局所情報を利用

局所近似(3)局所近似(3)

節点力近似

114

節点力近似 (Vanderplaats & Salajeheh1989)

有限要素の内部節点力を設計変数で直接近似，近似範囲が広い構造最適化ソフトGENESISに採用広い, 構造最適化ソフトGENESISに採用．

静的応答近似

)()()()( 0T

00 bbbFbFbF eee

eee KdF静的応答近似

微分方程式に基づく近似

),2,1(

jbbb

e

jj

e

jd

KdK

F

微分方程式に基づく近似 (Pritchard & Adelman1991) :

設計感度方程式の右辺を定数項とみなして積分．

高次級数展開近似高次テーラ級数展開近似

計算コストがかかりすぎるため，実用の最適設計では用いられないない．

全体近似 (1)全体近似 (1)115

応答曲面近似

実験計画法などによって選んだ多数点で関数評価実験計画法などによって選んだ多数点で関数評価

最小二乗法などによって多項式近似

応答の近似に線形または非線形回帰モデルを利用応答の近似に線形または非線形回帰モデルを利用

近似した応答曲面を最適設計の関数評価の際に利用

通常は設計感度を用いないので汎用解析ソフトがあれ通常は設計感度を用いないので，汎用解析ソフトがあれば容易に最適化ソフトに統合が可能

問題点：如何にして設計空間内のサンプリング点を選択問題点：如何にして設計空間内のサンプリング点を選択するか？

応答曲面近似の構成 (1)応答曲面近似の構成 (1)116

設計変数応答をとすると， 1 2, ,...,T

ndx x xx y f x

多項式回帰モデル

•二次回帰モデル

y = 0 + 1x 1 + 2x 2 + 3x2 + 4x

2 + x 1x 2 + y 0 + 1x 1 + 2x 2 + 3x 1 + 4x 2 + 5x 1x 2 +

•線形回帰モデル線帰

y = 0 + 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 +

応答曲面近似の構成(2)応答曲面近似の構成(2)

今 k個の回帰変数があるとすれば

117

今，k個の回帰変数があるとすれば， y = 0 + 1x 1 + 2x 2 + + kx k +

マトリクス形式では，

ここで，

y xb eここで，

1 11 11 1 1 1

2 21 22 2 2 2

1

1k

k

y x x x b

y x x x b

b

1 2

, , ,

1

k

ky x x x b

y x b e

最小自乗法により誤差eを最小化すれば，

1 21n n n nk n ny x x x b

1T Tb x x x y


クギグデ

118

クリギングモデル

本来の関数が，大域的な挙動を表す関数と，( )F x( )局所的な変動を表す関数に分離して表現．

)()()(ˆ xxx zFy

( )z x

ただし，は，

)()()(y

0))(( xzE( )z x

を満たす統計的確率過程でと仮定する

),()(),( 2 xwwx RzzCov

を満たす統計的確率過程でと仮定する．

は，ガウス課程

が最もよく用いられる

( , )R w x 2

)( R が最もよく用いられる． exp)( xwxw R


動径基底関数

119

動径基底関数(Radial Basis Function (RBF))

n

jj gay )(ˆ xxここで，

なる動径基底関数

j

jj gay1

)( xx

gg xxx なる動径基底関数

例えば，線形距離関数：

jj gg xxx

j jg x x x

ガウス関数： 2

2exp

2j

jgc

x xx

コンパクトサポート応答の局所性の考慮

実験計画法 (1)実験計画法 (1)

験統プグ験

120

実験計画法：統計的サンプリングの原理の応用によって実験点の数を最小にし，予測応答曲面の分散を最小にするための方法

全数組合せ実験計画(F ll F t i l E i t l D i ) 全数組合せ実験計画(Full Factorial Experimental Design)

y = 0 + i

nd

x i + nd

n + j + k 1nd

x jxk

2次近似の場合の未知係数とその数:

y 0 ii = 1

xi j = 1

n + j + k – 1k = j

x jxk

仮定した多項式の次数までのすべての設計変数の組合せ

0, 1, , k k = (n d+ 1)(n d+ 2) / 2

仮定した多項式の次数までのすべての設計変数の組合せ．

２レベルに離散化（線形近似）→2nd 個の設計点で応答解析

３レベル（上下限と中間値）に離散化（二次近似）→3nd 個

nd =3, k =10 →33 = 27 回. nd> 10, k > 66→ 60 000 回以上.

実験計画法 (2)実験計画法 (2)

高連成響が無視が

121

高次連成項の影響が無視できることが予測できる場合：

全設計点の組合せの一部のみを用いて各変数の主効果と低次の連成効果を組込んだ近似式を構成次の連成効果を組込んだ近似式を構成．

ＣＣＤ法（Central Composite Design）, D-最適基準

直交表による実験計画直交表による実験計画. x3

ＣＣＤ法

x2

法

•二次の応答曲面実験計画法

•サンプリング設計点を２レベル（上下限）

x1

x2•サンプリング設計点を２レベル（上下限）全数組合せ点2nd 個，上下限の外の軸上の点2nd 個および中央点1個→2nd+2nd+1 x1

直交表による実験計画(1)直交表による実験計画(1)122

直交表を用いて特性値（応答）に対する要因（設計変数）の影響度を効率的に解析する方法.

直交表設計れら交作直交表の列に設計要因x1, x2,…やそれらの交互作用の項x1x2, x2x3,…などを割当て，残りの列を誤差項に割り当て．

直交表 L9(34)

• 行を設計水準の組合せと応答値設計組合設計要因１

設計要因２

設計要因３

設計要因４• 行を設計水準の組合せと応答値

に割当て．• 数値1, 2, 3は予め定めた設計変

数の水準の下限中間値上限

設計組合

123

要因１

111

123

123

123

要因２要因３要因４

数の水準の下限，中間値，上限の離散値に対応．

• L9(34)は９種類の応答解析で４設答

3456

1222

3123

3231

3122

計要因までの応答曲面を構成 …9

…3

…3

…2

…1

直交表による実験計画(2)直交表による実験計画(2)

プ

123

直交表は応答曲面の構成に必要な設計サンプル点の数を劇的に減少３水準（二次近似）の場合

m = 2nd+1を超える３の倍数の組合せL81(340), L243(3121)など

設計要因まで ( 4) ９通りの組合せ全数組合せ 44設計要因までL9 (34) ９通りの組合せ << 全数組合せ 34=81

２水準（線形近似）では, L16(215) など

水準（次近似）など４水準（三次近似）では，L16(45) など

A th i bl th lA three variable orthogonalexperimental design (9 points)


n:,)( 2

1ijij

n

jiji yyyS

設計Xiの変動：要因Xiのみ変化させた

ときの平均

分散 iSV 水準数分散： :, i

i

ii n

nV 水準数 - 1

全変動： 2)(nd n

yyS 全変動：

1 1

)( iji j

ijT yyS

誤差変動： :, kSSSk

iTe 設計要因と，考慮する交互作用成分の誤差変動 ,1i

iTe 合計自由度

誤差分散： :, ee

e nn

SV 全体自由度ー要因自由度の総計

en分散比： ),,1( ki

V

VF

e

ii

求まったFi値を，Ｆ検定表の限界比Ffxfe（fxは表の分子自由度で各要因の

自由度に相当，feは表の分母の自由度で誤差の自由度に相当）と比較


分散分析：各設計変数，設計変数間の交互作用項の変動が応答値に与える影響度を分析．有意性のある項のみで近似式を構成

Designfactors

Sum ofsquares, s.s.

Degrees offreedom, d.f.

Mean square, m.s.

Variance ratio

XA SA

SA1

Φ A = a-1Φ A1 = 1

VA = SA/Φ A

VA1 = SA1/Φ A1

FA =VA/ Ve

FA1 =VA1/ Ve

XB

SA1

......SA(a-1)

SB

SB1

Φ A1 1......Φ A(a-1) = 1Φ B = b-1Φ B1 = 1

VA1 SA1/Φ A1

......VA(a-1) = SA(a-1)/Φ A(a-1)

VB = SB/Φ B

VB1 = SB1/Φ B1

FA1 VA1/ Ve

......FA(a-1) =VA(a-1)/ Ve

FB =VB/ Ve

FB1 =VB1/ Ve

XA×XB

B1

......SB(b-1)

SA×B

SA1×B1

Φ B1

......Φ B(b-1) = 1Φ A×B =(a-1)(b-1)Φ A1×B1 = 1

B1 B1 Φ B1

......VB2 = SB(b-1)/Φ B(b-1)

VA×B= S A×B/Φ A×B

VA1×B1= S A1×B1/Φ A1×B1

B1 B1 e

......FB(b-1) =VB(b-1)/ Ve

FA×B =VA×B / Ve

FA1×B1 =VA1×B1 / Ve

Error

×

......SA(a-1)×B(b-1)

Se

×

......Φ A(a-1)×B(b-1) = 1Φ e = ab(r-1)

× × ×

......VA(a-1)×B(b-1)=S A(a-1)×B(b-1) / 1Ve= Se/Φ e

× ×

......FA(a-1)×B(b-1)=VA(a-1)×B(b-1) /Ve

Total S Φ = abr-1

X XA B, : 設計変数. a, b : ⽔準数 r : 測定回数

直交表による実験計画(5)直交表による実験計画(5)

直交多項式を用いて有意性のある項についての近似式を構成•直交多項式を用いて有意性のある項についての近似式を構成.

２変数の場合2 1

y b b A A b A Aa

h

b B B b B Bb

h

A

B

00 10 20

22

2

01 02

22

2

1

121

12

( ) {( ) }

( ) {( ) }

: Design v ariables

Number of levels of

:Interval o f design l evelsA

A,B

a, b A,B

h hB

:

, b A A B B ......

b A Aa

h B Bb

h n A B

11

22

2 22

21

12

1

12

( )( )

{( ) )}{ ( ) }

ここで

: Mean leve lsA , B

Table of t he paramet ers W and sここで，

bW y

r S h bha

i ijj

b

i

a

A A B

n

ab

0

11 1 1 ( )

( )( ,..., ) a, b 2 3 4

l 1 1 2 1 2 3

Table of t he paramet ers Wi and s

bW y

rah S hn b

W W y

n

j iji

a

j

b

A B B

n

ba

0

11 1 1

( )

( )( ,..., )

{ ( )}'

l 1 1 2 1 2 3

W1 -1 -1 1 -3 1 -1

W2 1 0 -2 -1 -1 3

bW W y

r S h S hn

i j ijji

A A B B

n 11

{ ( )}

( ) ( )( 1 1 1 1,..., ; ,..., )a n b

W3 1 1 3 1 1

λ s 2 2 10 4 6

Ｉ型断面はりの設計例Ｉ型断面はりの設計例127

設計変数： H, t, Af

目的関数： (2Af + tH) L → 最小

柏村・白鳥・干：実験計画法による非線形問題の最適化朝倉書店より

制約条件：応力制約

（許容応力）PLM

適化，朝倉書店より

（許容応力）の推定式

2.235Z

PLZM

H 71寸法制約

P= 9.8x104 N

両側制約：

tH 71寸法制約

900100

9010

H

t L=10,000 mm

H

000,19000,1 fA t


⽔準表⽔準１⽔準２⽔準３

t (mm)

H (mm)10

100

50

500

90

900

直交表L27に割付けAf (mm2) 1,000 10,000 19,000

組合せ t H t x H Af t x Af H x Af e e H x Af e e Z組合せ t H t x H Af t x Af H x Af e e H x Af e e Z

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 116,6672 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,016,6673 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 916 6673 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1,916,6674 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 916,667 5 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 5,416,667 , ,

27 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 29,250,000


要因t1t2

H1

変動S1.0177x1014

2.1600x10- 6

9 6800 1014

⾃由度1 11

分散V1.0177x1014

2.1600x10- 6

9 6800 1014

分散⽐F**1.2950x1020

2.7480x1000

**1 2310 1021

寄与率6.02

057 27

I型断⾯はり

H1H2Af1Af2

t1 H1

9.6800x1014

1.0667x1013

3.6450x1014

2.0166x10- 7

8 5333 1013

11101

9.6800x1014

1.0667x1013

3.6450x1014

2.0166x10- 7

13

**1.2310x1021

**1.3570x1019

**4.6370x1020

0.0000x1000

57.270.63

21.560

5 05はりの分散分析表

t1xH1t1xH2t2xH1t2xH21 A 1

8.5333x1013

4.5511x1012

1.2550x10- 7

2.1675x10- 6

3 0000 10 8

11010

8.5333x1013

4.5511x1012

1.2550x10- 7

2.1675x10- 6

**1.0860x1020

**5.7900x1018

0.0000x1000

2.7570x1000

5.050.27

000析表 t1xAf1

t1xAf2t2xAf1t2xAf2

3.0000x10- 8

1.0000x10- 8

1.4400x10- 6

2.1333x10- 7

0010

3.0000x10- 8

1.0000x10- 8

1.4400x10- 6

2.1333x10- 7

0.0000x1000

0.0000x1000

1.8320x1000

0.0000x1000

0000

H1xAf1H1xAf2H2xAf1H2xAf2

1.5552x1014

0.0000x1000

8.1000x10- 7

4.0333x10- 7

1100

1.5552x1014

0.0000x1000

8.1000x10- 7

4.0333x10- 7

**1.9780x1020

0.0000x1000

0.0000x1000

0.0000x1000

9.20000

ErrorTotal

1.1791x10- 5

1.6903x1015

1526

7.8606x10- 7

**1%危険率で有意

0100.0%


断面係数Zの推定式：

)500(33318)50(444592009722 HtZ

)00010(500}670106)500{(3333.8

)500(33318)50(4445920097222

fAH

HtZ

)00010)(500(}670106)500{(

)50(70166.0)500)(50(67.1662

fAHH

tHt

))((}){( f

最適解： t = 10.74 mm, H = 762.7 mm, Af = 4097.0 mm2最適解 , , f

（厳密解：全断面積：ウェッブ断面積：フランジ断面積＝４：２：１）

６．複合領域最適化と多目的最適化131

複合領域設計複合領域設計

複合領域最適設計

132

複合領域最適設計(MDO: Multidisciplinary Design Optimization) とは

１つの製品設計を工学，経済学，社会学など複合的かつ統一的な視点から最適化を図る設計

工学：構造問題，熱・流体問題，制御問題，電磁気問題，情報通信問題など

グローバルな視点：環境問題，経済問題，国際問題など例：航空機の設計（翼設計，機体設計，エンジン設計，制御系，通信系の設

計）自動車の設計など計‥‥），自動車の設計，など

翼形状・構造設計：空力弾性解析から揚力，構造解析から応力，たわみ→構造設計・流体設計→構造設計流体設計

多目的最適設計多目的最適設計133

設計問題の定義が不明確、制約値が決められない場合がある．

構想設計では，多くの性能に関する可能性を検討したい．

制約の効き方を考慮して，バランスのとれた1つの最終案を選択したい．最終案を選択したい．

多目的最適設計の導入

パレート最適解パレト最適解134

多目的最適化問題の解は，パレート最適解（非劣解）素集合として得られる．

多目的問題では，二つ以上の目的関数の関係にトレードオフ関係が存在する場合が多い．

2f

実行可能領域パレート最適解集合

1f0

パレート最適解を求める方法パレト最適解を求める方法

線加重和法または重

135

線形加重和法(weighted sum method)または重み係数法（weighting method）

最も簡単な方法，ただしパレート解が凹である場合には

0 1 2(1 ) 0 1f wf w f w 最簡単方法，解あ場合求められない．

ε制約法(ε‐constraint method)または制約変換法( )(bounded objective function method)

2minimize f

subject to

2minimize f

1f

パレート最適解を求める方法パレト最適解を求める方法

多的

136

多目的ＧＡ非劣解

劣解f

・GAの多点探索である性質を利用

2f・パレート最適解の全方向に探索を同時的に進める．

非劣解を優先して次の世代に残す

交叉

1f0突然変異

一度の最適化計算で，パレート最適解集合の全容が得られる．

参考文献参考文献137

1. Papalambors, P. Y. and Wilde, D. J., Principles of Optimal Design Modeling and Computation Second Edition, Cambridge University Press 2000Cambridge University Press, 2000.

2. Arora, Introduction to Optimum Design Second Edition, Elsevier Academic Press 2004Elsevier Academic Press, 2004.

3. Belegundu, A. D. and Chandrupatｌa, T. R., Optimization Concepts and Applications in Engineering, Prentice Hall,Concepts and Applications in Engineering, Prentice Hall, 1999.

4. 坂和正敏，数理計画法の基礎，森北出版，1999．坂和敏，数理計画法基礎，森北出版，

5. 柏村孝義・白鳥正樹・于強，実験計画法による非線形問題の最適化 ―統計的設計支援システム―，朝倉書店，1998.

Date post:	16-Aug-2020
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