金子真

機構学演習問題と解答例

課題４は講義の際に解き方を説明しています．課題１１，課題１２（３）は試験範囲外とします．※：ここに入っている問題以外も演習問題として講義で出しています．そちらもしっかり目を通しておいてください．

課題４は講義の際に解き方を説明しています．課題１１，課題１２（３）は試験範囲外とします．※：ここに入っている問題以外も演習問題として講義で出しています．そちらもしっかり目を通しておいてください．

ｎ個

課題0：球関節がｎ個連なったらFkは？

課題0：球関節がｎ個連なったらFkは？

３自由度！！球関節の自由度球関節の自由度

課題０の答え

ｎ個

1 nNnJ

nfi 3

nfJNF i 3)1(6

課題１

ｎ個

（A)

（B)ｍ個

機構の自由度は？

課題１の答え

ｎ個

（A)

（B)ｍ個

mnN )1(2

mnJ

ifJNF )1(6 mnnmmn 31)1(26

mnm 366

課題１の答え

ｎ個

（A)

（B)ｍ個

2)1(2 mnN2 mnJ

ifJNF )1(66)122(6

0

1n2m のとき

でも実際の自由度はゼロじゃない！

0F でも自由度がゼロにならない例

この軸周りに回転可

課題２

地面に固定

機構の自由度は？

地面に固定

課題２の答え

10N9J

9if

ifJNF )1(69

課題３

地面に固定

機構の自由度は？

地面に固定

課題３の答え

11N13J

12439 if

ifJNF )1(63

課題４：４節リンク機構課題４：４節リンク機構

P(x,y)

l1l1

l1

l2

l3

点Pの軌跡を計算する基礎式は？

21

211

21

22

22 4)1cos2( llkkkyx

cossin

1 ky

x

3

21 llk

1

32 llk

課題5：自転車型４節リンク機構課題5：自転車型４節リンク機構

P(x,y)

l1l1

l2

l3 x

y

(x,y)を求めよ

課題5：自転車型４節リンク機構課題5：自転車型４節リンク機構

),( yxP

y

x

1l1l

3l

2l

y

x

),( 11 yx

),( 22 yx

),( yxP

課題5：自転車型４節リンク機構課題5：自転車型４節リンク機構

y

x

),( 11 yx

),( 22 yx

),( yxP cos321 llx sin31 ly

)cos(21

322 llx

sin21

32 ly

課題5：自転車型４節リンク機構課題5：自転車型４節リンク機構

y

x

),( 11 yx

),( 22 yx

),( yxP 1sin

21

)cos(21

sin21

)cos(21

3

32

3

32

l

ll

ly

llx

23

232

21 sin

41)cos(

41 llll

2

32 )cos(21

llx

23 )sin

21( ly

課題6：歩行ロボットの機構の自由度課題6：歩行ロボットの機構の自由度

Fk=９(1)Fk=6

(2)n本足ロボットが全脚接地の場合のFk=6

(3)独立な閉loopの数mとFkの関係を示せ?Fk=-6m+Σfi

課題6：補足説明課題6：補足説明

(1)全脚接地：N=3x4+2=14,J=4x4=16Fk=6(N-J-1)+Σfi=-18+6X4=6

(2)N=3n+2,J=4n,Fk=6(N-J-1)+Σfi=-6n+6+6n=6(nに依存しない点に注意！）

(3) 閉loopがないときはN-J-1=0になる．閉ループの数mとすると，Fk=-6m+Σfiとなる．

３脚接地:N=3x4+2=14,J=4x3+3=15　Fk=6(N-J-1)+Σfi=-12+6X3+3=9

1

課題7：絶対系にモータがついている場合の２リンク

ロボットについて以下の問いに答えよ．

課題7：絶対系にモータがついている場合の２リンク

ロボットについて以下の問いに答えよ．

2

),( 21

１．ヤコビ行列Ｊを求めよ．

２．特異姿勢を与える

を求めよ．

リンク長：

＊リンクの幅は無視してよい．

x

y

l

l

1

2

(x, y)

課題8：２リンクロボットに対して次の問いに答えよ課題8：２リンクロボットに対して次の問いに答えよ

ロボット先端を(Δx, Δy)=(0.1, 0.1)[m]移動させるのに必要な各関

節の角度変化　　　　　　　　　　を求めよ．

][1 m

6/21

),( 21

x

y

l

l

1

2

-1Jdθ d x )0J( if

2

1

12121

12121

dd

lclclc

lslsls

dydx

　　

　　

1111 sin,cos sc

21122112 sin,cos sc

121121

12121-

J1J

lslslclclslc

　　

　　　　

121211212121212J cscscscsl

22 sinl

dθd Jx

(x, y)

x

y

l

l

1

2

(x, y)

課題9：２リンクロボットに対して次の問いに答えよ課題9：２リンクロボットに対して次の問いに答えよ

ロボット先端に(fx, fy)=(1.0, 1.0)[N]発生させるためには関節トルク　　　　　　　を何[Nm]加えたらよいか．

][1 m

6/21

),( 21

xf

yfl

y

x

ff

f

l1

2

1x

y

y

x

ff

lclslclclsls

1212

121121

2

1

11 sins 11 cosc)sin( 2112 s )cos( 2112 c

Jを使って表すと・・・Jを使って表すと・・・

fτ tJ

2

1

12121

12121

dd

lclclclslsls

dydx

θx Jdd

手先位置・姿勢(x, y, φ)に対して特異姿勢を求め図示せよ．

課題10：３リンクロボットについて以下の問いに答えよ課題10：３リンクロボットについて以下の問いに答えよ

0J

022sinl n 2

課題10：　解答

11112312312123121

12312312123121

321

321123211211

321123211211

)()(

)()(

lClClClClClClSlSlSlSlSlS

dddddddlCddlCdlCdydddlSddlSdlSdx

J

)cos(),cos(,cos

)sin(),sin(,sin

321123211211

321123211211

CCC

SSS

θJx dd

課題11：柔軟関節と能動関節を組み合わせた

触覚センシングについて以下の問いに答えよ．

課題11：柔軟関節と能動関節を組み合わせた

触覚センシングについて以下の問いに答えよ．

(1)どの関節を柔らかくして，どの関節を能動関節に選べば

このような動作が実現できるか．(2)ハンドの幅を無視して，接触点位置を求めよ．ただし，関節角度は測れるものとし，各リンクの長はそれぞれ1.0[m]とする．

x

y1

2'1

課題１２：図の３自由度ロボットについて以下の問いに答えよ．

1. 関節角度（1, 2 3）と先端位置(x,y)との関係を示せ．2. 関節角度変位ベクトルと先端変位ベクトルを対応づけ

るヤコビ行列を示せ．3. 手先を(0.1, 0.1)t[m]動かすときの関節角度変位の一例を示せ．ただし，リンク要素の長さは1[m]とする．

課題１２：　解答

)cos(),cos(,cos

)sin(),sin(,sin

321123211211

321123211211

CCC

SSS

θJx dd

12312312123121

12312312123121

321123211211

321123211211

)()()()(

lClClClClClClSlSlSlSlSlS

dddlCddlCdlCdydddlSddlSdlSdx

J

1

1

(1/2,1/2)

bb

b

tt

tt

1

1

][2121

][

aaaa

aaax

byx

yx

ax

111

1この方程式の解は？？？

課題１２：　解答

θJx dd

00

020

)(),(

],,[

0)(

21

θJxλ

λJθWθ

θJxλθWθλθ

λ

θJxθWθθ

dddG

ddG

dddddG

dddddG

t

tt

tm

t

　より　　

　より　　

の極値条件を解く

を用いて数　ラグランジュの未定定

の下で最小化する問題を，制約条件

xJJJθW

xJJWJWθxJJWλxλJJW

λJWθ

dd

dddd

d

tt

tt

t

t

t

1

111

11

1

1

)(

)()(22)(

21

　　

を単位行列とすると

　　

　　

　　　

　　

課題１３：ワイヤ駆動ロボットの先端に力Fが作用するとき，それとバ

ランスするモータ１，モータ２のトルクを求めよ．ただし，モータ１のみ微小角回転させた場合，第２リンクの方向は変わらないように設計されている．

モータ１

モータ２

F

課題１３：　解答

FLFL

2

1

FLFLdFdxd

1

111

F

upR

lowR

upR

lowR

R R

upR lowR

0e

e

2i1i2i

R

e

0eR

upR

lowR1i

演習問題１４：ひずみゲージを弾性板の上下に貼った場合の各ブリッジ出力eを求めよ．ただしEはアース点とし，Rup=R+ΔR，Rlow=R-ΔR，　（R>> ΔR）とする．

ff

E E

upR

lowR

upR

lowR

R R

upR lowR

0e

e

2i1i2i

R

e

0eR

upR

lowR1i

02e

RRe

l1l2

l4l3

e1 e2

e3

m

fy

fx

l1 = 2[m]l2 = 1[m]l3 = 1[m]l4 = 2[m]

課題1５３軸力センサに対して下記の問いに答えよ．

(1)eiがその点にかかるモーメントに比例（比例定数ki)するものとしてeiとm, fx, fyとの

関係を求めよ．(2)e=Cfの関係を行列で標記

せよ．(3)ki=1, 幾何学パラメータが右記で与えられる場合のCの

逆行列を求めよ．

l1l2

l4l3

e1 e2

e3

m

fy

fx

l1 = 2[m]l2 = 1[m]l3 = 1[m]l4 = 2[m]

mlfke

mlflfke

mlflfke

x

yx

yx

333

2422

1411

mff

klkklklkklklk

eee

y

x

333

22242

11141

3

2

1

0

3

2

11

eee

mff

y

x

C

1,1,2,2 2341 llll

101112122

1011

3

24

14

lllll

C1

041022

C

221011121

11

CC

221011121

側面R R

R R

上面

下面

課題1６：ブリッジの出力eを求めよ

側面R R

R R

上面

下面

課題1６：ブリッジの出力eを求めよ

0eRRe