ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE - CORE · 2017. 12. 19. · Ideální stopa (IS) v...

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

FAKULTA STAVEBNÍ

KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE

Diplomová práce

PRAHA 2017 Bc. Matouš VONDRÁČEK

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

FAKULTA STAVEBNÍ

STUDIJNÍ PROGRAM

GEODÉZIE A KARTOGRAFIE

STUDIJNÍ OBOR

GEODÉZIE A KARTOGRAFIE

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Geodetické práce při značení atletických oválů

Geodetic Works in Marking of Athletic Ovals

Vedoucí práce: Dr. Ing. Zdeněk Skořepa

Leden 2017 Bc. Matouš Vondráček

Čestné prohlášení

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně, pouze

za odborného vedení vedoucího diplomové práce Dr. Ing. Zdeňka Skořepy.

Dále prohlašuji, že veškeré podklady, ze kterých jsem čerpal, jsou uvedeny

v seznamu použité literatury.

V Praze dne ……………………………. ………………………….

Bc. Matouš Vondráček

Poděkování

Mé velké díky patří vedoucímu diplomové práce Dr. Ing. Zdeňkovi Skořepovi

za odborné vedení a pomoc při zpracování této práce. Dále bych chtěl poděkovat

Ing. Lubomíru Smržovi, který mi byl vždy ochotný poradit, často i při svých pracovních

cestách do zahraničí. Děkuji také mé rodině za podporu během celého studia.

Abstrakt

Tato práce popisuje problematiku geodetických prací a výpočtů potřebných pro značení

atletických oválů. Jedná se zejména o postup při ověřování rozměrů atletických oválů se

složenými oblouky a výpočty potřebné k tvorbě digitálního výkresu značení.

Dále jsou v práci vypočteny rozbory přesnosti při použití modelové primární sítě

k vytyčení nebo zaměření podrobného bodu.

Velká část práce je věnována výpočtům zakřivených linií – evolvent, které jsou

nedílnou součástí každého atletického oválu.

Výsledkem práce je GUI aplikace vytvořená ve výpočetním programu MATLAB, jejíž

výstupem jsou údaje a souřadnice bodů nutné pro vytvoření digitálních výkresů

atletických oválů.

Klíčová slova

ideální stopa (teoretická dráha běžce), nestandardní ovál, složený oblouk, evolventa,

tečna, redukce

Abstract

This thesis describes the issues of geodetic works and calculations needed for marking

athletic ovals. In particular, the procedure for checking the dimensions of the athletic

oval with compound curves and calculations needed to create a digital drawing of

marking.

In the thesis, there are also calculated analysis the accuracy in using the model primary

network, which is used for laying out and surveying points.

Big part of the work is devoted to calculations curved lines - involute, which are an

inseparable part of any athletic ovals.

The result of this thesis is a GUI application that was created in a computing program

MATLAB. Its outputs include informations and coordinates of points necessary to

create digital drawings of athletic ovals.

Keywords

Ideal track (theoretical running line), non-standard oval, compound curve, involute,

tangent, reduction

Obsah ÚVOD ............................................................................................................................... 7

1. Sportoviště .................................................................................................................... 8

1.1. Rozměry ................................................................................................................. 9

2. Nestandardní ovály ..................................................................................................... 11

2.1. Projekty IAAF - Tvary a rozměry oválů se složenými oblouky .......................... 12

2.2. Ověření rozměrů .................................................................................................. 16

2.3. Vyhodnocení kontrolních měření ........................................................................ 18

3. Výpočet délky běhu .................................................................................................... 19

3.1. Kontrola délek běhu oválů navržených IAAF ..................................................... 20

3.2. Úpravy projektů IAAF ......................................................................................... 21

4. Polohové bodové pole ................................................................................................. 24

4.1. Určení souřadnic bodů primární sítě a jejich přesnost ......................................... 25

4.2. Výpočet souřadnic přechodného stanoviska s připojením na body primární sítě 28

4.2.1. Výpočet vyrovnání MNČ - bez uvážení vlivu podkladu .............................. 28

4.2.2. Výpočet vyrovnání MNČ - s uvážením vlivu podkladu ............................... 32

4.3. Modelový příklad ................................................................................................. 34

4.3.1. Zaměření bodů primární sítě a určení jejich přesností .................................. 35

4.3.2. Výpočet souřadnic přechodného stanoviska ................................................. 37

4.3.3. Přesnost zaměřovaného (vytyčovaného) bodu. ............................................ 41

5. Určení středů a poloměrů ze zaměření ....................................................................... 44

5.1. Určení středů – CADsystémy .............................................................................. 44

5.2. Určení středů – výpočet MATLAB ..................................................................... 45

5.2.1. Testování výpočtu na modelových souřadnicích, podmíněnost výpočtu ..... 47

6. Značení oválu .............................................................................................................. 54

7. Běžecké disciplíny ...................................................................................................... 55

7.1. Sprinty .................................................................................................................. 56

7.2. Středně dlouhé tratě ............................................................................................. 57

7.3. Dlouhé tratě .......................................................................................................... 58

7.4. Překážkové závody .............................................................................................. 61

7.5. Závody štafet ........................................................................................................ 63

8. Evolventa kružnice ..................................................................................................... 65

8.1. Evolventy na atletických oválech ........................................................................ 66

8.1.1. Části evolvent začínající na evolutě .............................................................. 66

8.1.2. Části evolvent jejichž začátek odpovídá určitému úhlu odvalení ................. 67

8.1.3. Linie tvořené částmi více evolvent ............................................................... 68

9. Výpočty potřebné pro vytvoření digitálního výkresu plánu značení .......................... 69

9.1. Teoretické dráhy běhu ......................................................................................... 70

9.2. Posuny startů a polohy překážek ......................................................................... 71

9.2.1. 100 m překážek ............................................................................................. 71

9.2.2. 110 m překážek ............................................................................................. 71

9.2.3. Starty závodu na 200 m ................................................................................ 71



9.2.6. Starty závodu na 4x 400 m ........................................................................... 73

9.2.7. Předávková území 4x 100 m ......................................................................... 74

9.2.8. 400 m překážek ............................................................................................. 75

9.3. Linie souběhu (Breakline) ................................................................................... 76

9.3.1. Redukce ........................................................................................................ 77

9.3.2. Breakpoint ..................................................................................................... 78

9.3.3. Linie souběhu standardního oválu ................................................................ 79

9.4. Starty závodů na 5 000 m a 10 000 m .................................................................. 80

9.4.1. Hlavní starty závodů ..................................................................................... 80

9.4.2. Posunuté starty závodů ................................................................................. 81

9.5. Start závodu na 1 míli .......................................................................................... 85

9.6. Start závodu na 1 500 m ...................................................................................... 86

9.7. Starty závodů steeplechase .................................................................................. 88

9.7.1. Určení středů přechodových oblouků a výpočet zkrácení dráhy běhu (VM) 91

9.7.2. Start závodu 2 000 m Steeplechase ............................................................... 96

9.7.3. Start závodu 3 000 m Steeplechase ............................................................... 97

9.8. Výpočetní funkce a GUI aplikace ........................................................................ 98

9.8.1. Výpočetní funkce .......................................................................................... 98

9.8.2. GUI aplikace ................................................................................................. 99

10. Digitální výkres plánu značení ............................................................................... 102

11. Postup práce na atletických oválech ....................................................................... 104

Závěr ............................................................................................................................. 107

Použitá literatura ........................................................................................................... 109

Seznam obrázků ............................................................................................................ 110

Seznam tabulek ............................................................................................................. 112

Seznam příloh ............................................................................................................... 114

Přílohy ........................................................................................................................... 115

ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Katedra speciální geodézie

Diplomová práce

7

ÚVOD

Tato diplomová práce (DP) navazuje na bakalářskou práci [1]. Obě práce se

zabývají problematikou atletických oválů, konkrétně ověřováním rozměrů a následného

značení čar na jejich površích.

Bakalářská práce byla zaměřena na „Standardní ovál“ (angl. 400 m Standard Track),

jehož tvar je v současnosti, hlavně kvůli snadnější konstrukci, preferován Mezinárodní

asociací atletických federací IAAF.

Geodetickou kanceláří AZIMUT CZ s.r.o., ve které jsem zaměstnán od roku

2011, mi bylo umožněno podílet se na několika zakázkách, jejichž cílem bylo vyznačení

bodů potřebných pro následné značení čar na atletických oválech. Poprvé jsem tuto

práci prováděl v červenci 2014, kdy jsem ve slovinském městě Kamnik asistoval

kolegovi Tomáši Hustopeckému při výpočtech a následném vytyčování. Tato první

zkušenost přišla po ukončení mého bakalářského studia, kdy jsem se již teoreticky

orientoval v problematice standardních atletických oválů. Zmíněný ovál je ovšem

z kategorie nestandardních, kdy jsou jednotlivé zatáčky složeny ze tří obloukových částí

o dvou poloměrech. Výpočty pro mě tedy byly opět něčím novým.

Vzhledem k tomu, že počet projektů v tomto nevšedním odvětví geodézie je omezený,

naskytla se mi další příležitost práce tohoto druhu v létě 2016. Podílel jsem se

na značení oválů ve Znojmě, Mladé Boleslavi a polském Krakově. Dále jsem se účastnil

geodetických prací při stavbě nového areálu stadionu Přátelství na pražském Strahově.

Přestože nevím, zda budu moci někdy v budoucnu uplatnit znalosti problematiky

spojené s atletickými ovály, rozhodl jsem se v této diplomové práci zabývat výpočty

a úkony spojenými s nestandardními atletickými ovály. To jsou všechny ovály lišící se

rozměrově od standardního oválu, zejména pak ovály, jejichž zatáčky jsou tvořeny

dvěma poloměry.

Výsledky mého několikaměsíčního studia, přemýšlení a výpočtů jsou uvedeny v textu a

obrázcích na následujících stranách.


Diplomová práce

8

1. Sportoviště

Mezinárodní asociací atletických federací (IAAF) byla v roce 2008 vydána

příručka pro sportovní zařízení IAAF Track and Field Facilities Manual (manuál) [2].

V této příručce, která je oficiálně pouze v anglickém jazyce, jsou popsána kritéria

a předpisy, které musí sportoviště splňovat.

Všechny disciplíny lehké atletiky, kromě maratonského běhu a závodů v chůzi

na dlouhé vzdálenosti, se odehrávají uvnitř sportovních arén (stadionů). Základním

prvkem každého stadionu je atletický ovál. Ovál je sportoviště navržené pro běžecké

disciplíny, které se skládá ze dvou přímých úseků (rovinek) a dvou obloukových úseků

(zatáček). Rozměry každého oválu jsou dány vnitřním obrubníkem, resp. jeho vnější

hranou. Od obrubníku se odvíjí délka podél teoretické dráhy běhu (ideální stopy)

v první dráze. Ideální stopa (IS) v první (nejbližší) dráze k obrubníku je teoretická dráha

běžce ve vzdálenosti 0,30 m od obrubníku.

Ovály se mezi sebou mohou lišit např. v délce rovinek a v poloměrech zatáček.

Zatáčky standardního oválu jsou tvořeny jedním poloměrem R = 36,50 m, zatímco

zatáčky nestandardních oválů mají poloměr jiný, nebo jsou dokonce složeny z částí

oblouků o dvou různých poloměrech. Všechny ovály by ovšem měly splňovat kritérium,

že délka podél ideální stopy v první dráze je 400,00 m + 0,04 m.

Sportoviště pro pořádání oficiálních závodů, jako jsou Letní olympijské hry

(LOH), Mistrovství světa v lehké atletice (MS) a národní soutěže, jsou rozděleny do pěti

konstrukčních kategorií (I – V). Tyto kategorie nejsou vztaženy pouze k vybavení

sportovišť pro běžecké disciplíny, ale i k vybavení pro další disciplíny (skokanské

a vrhačské) a zázemí stadionu.

Manuál také uvádí, jakou konstrukční kategorii musí sportoviště splňovat pro

pořádání konkrétních závodů.


Diplomová práce

9

1.1. Rozměry

Cílem IAAF je vytvoření jednotných kritérií pro uspořádání 400 m oválu, a to

nejen kvůli sportovcům, ale také kvůli zjednodušení konstrukce, zkoumání a certifikace

zařízení.

Zkušenosti ukázaly, že nejvhodnější 400 m oválné dráhy jsou konstruovány s poloměry

zatáček mezi 35 m a 38 m, optimálně 36,50 m. IAAF tedy doporučuje, aby všechny

budoucí dráhy byly konstruovány podle projektu "400 m Standard Track" (standardní

ovál).

Obr. 1: Rozměry standardního oválu [m]

Ne vždy je ovšem možné, resp. nutné konstruovat standardní ovál. Ať už kvůli

nedostatečným rozměrům plochy, na které má být ovál postaven, nebo pro záměr

využívat plochu uvnitř oválu k jiným než k atletickým účelům. Prostor může například

sloužit jako hrací plocha pro jiné sporty nebo pouze jako plocha pro komerční účely.

Proto byly IAAF navrženy tři různé projekty oválů se složenými oblouky, které jsou

v manuálu také uvedeny. Oblouky se mezi sebou liší v délce rovinek a poloměrů

a ve velikosti středových úhlů pro konkrétní obloukové části. Tím se tedy mění jejich

vnitřní i vnější rozměry.


Diplomová práce

10

V následujících tabulkách jsou uvedeny délky rovinek a poloměrů a vnitřní rozměry

všech oválů navržených IAAF. Dále pak povolené a standardní rozměry hřišť pro

jednotlivé sporty včetně rozměrů jejich bezpečnostních zón.

Tab. 1: Vnitřní rozměry 400 m oválů (převzato z manuálu IAAF)

Tab. 2: Rozměry vnitřní plochy 400 m oválu využívané pro ostatní sporty (převzato z manuálu IAAF)

Z výše uvedených tabulek je patrné, že ne do všech navržených oválů je možné umístit

jakékoliv hřiště. Např. hřiště na ragby se nevejde do plochy uvnitř oválu s poloměry

R1 = 40,022 m, R2 = 27,082 m a délkou rovinky G = 97,256 m.

Dalším kritériem je dodržení rozměrů bezpečnostních zón. Do nich mohou být zahrnuty

i části oválu, které ale musí být ve stejné výškové úrovni jako hrací plocha uvnitř něj.


Diplomová práce

11

2. Nestandardní ovály

Jako nestandardní ovály lze označit ovály se zatáčkami složenými z více

poloměrů, nebo ovály se zatáčkami tvořenými jedním poloměrem, jehož délka je jiná

než R = 36,50 m.

Jelikož výpočty spojené s nestandardními ovály tvořené jedním poloměrem jsou

obdobné jako výpočty u standardního oválu, v dalších kapitolách jsou pod pojmem

„nestandardní ovál“ uvažovány pouze ovály se složenými oblouky.

Nestandardním oválům není bohužel v manuálu věnována žádná pozornost. Jsou

zde pouze uvedeny rozměry zmíněných tří projektů oválů se složenými oblouky. Proto

bylo pro další potřeby této práce vytvořeno následující značení jednotlivých vzdáleností

(d1, d2, d3), středů (S1, S2, S3, S4, S5, S6 ), poloměrů (R1, R2 ) a úhlů (

Obr. 2: Univerzální značení konstrukčních prvků nestandardního oválu [m]

Pro zjednodušení byly v dalším textu zatáčky a rovinky očíslovány ve směru běhu (proti

směru hodinových ručiček). Zatáčka č. 1 je mezi body A a D, zatáčka č. 2 mezi body C a B.

Rovinka č. 1 je mezi body D a C a rovinka č. 2 je mezi body B a A. Toto označení je

převzato z projektu standardního oválu.

V každé zatáčce jsou dále vyznačeny body (H, G, F, E), které určují obloukové části

o různých poloměrech.


Diplomová práce

12

Na každém oválu se také nachází prodloužená cílová rovinka (č. 2), která je určena

pro závody na 100 a 110 metrů. K ní náleží 3 m dlouhý prostor před startem a 17 m

dlouhá doběhová bezpečnostní zóna za cílem.

2.1. Projekty IAAF - Tvary a rozměry oválů se složenými oblouky

Ovál č. 1

Obr. 3: Ovál se složenými oblouky (R1= 34,000m; R2= 51,543m)


Diplomová práce

13

Ovál č. 2


Ovál č. 3



Diplomová práce

14

Uvedené rozměry určují vnější hranu vnitřního obrubníku, resp. vnitřní okraj

první dráhy. Obrubník by měl být bílý, vysoký 0,05 m – 0,065 m a široký 0,05 m – 0,25

m. Ideální stopa běžce v první dráze určuje délku oválu. Je to linie měřená 0,30 m

od hrany obrubníku. V každé další dráze je IS běžce měřena 0,20 m od vnitřní hrany

dané dráhy (Obr. 6). Pokud by se na oválu nenacházel vnitřní obrubník, ale bílá čára

(lajna1), byla by IS počítána také pouze 0,20 m od její vnější hrany. Tento případ ale

není příliš častý.

Ovály mají nejčastěji 4, 6 nebo 8 závodních drah. Dráhy jsou číslovány vzestupně

směrem od vnitřního obrubníku. Rovné dráhy pro závody na 100 m a 110 m překážek

jsou prodloužením druhé rovinky směrem od cíle. Cílová čára se nachází na konci druhé

rovinky, začíná v bodě A (Obr. 2) a je vyznačena kolmo přes všechny dráhy. Každá

běžecká dráha je široká 1,22 m ± 0,01 m, měřeno od vnější hrany sousední levé dráhy

(v první dráze od obrubníku). V šířce dráhy je zahrnuta i vnější bílá čára (lajna), široká

0,05 m.

Ovál by měl mít také bezpečnostní zóny široké 1,00 m na vnitřní i vnější straně oválu.

Dále je požadovaný 3,00 m dlouhý prostor před startovní čarou závodu na 110 m

překážek (Obr. 2 vlevo od bodu B) a minimálně 17,00 m dlouhý doběhový prostor za

cílem (Obr. 2 vpravo od bodu A).

Pro pořádání závodu 3 000 m (2 000 m) Steeplechase musí ovál obsahovat zabudovaný

vodní příkop o rozměrech 3,66 m x 3,66 m a hloubce 0,50 m – 0,70 m. Příkop je

umístěn uvnitř nebo vně druhé zatáčky. Jeho pozice není ale striktně předepsaná.

Výpočty spojené se závody Steeplechase budou popsány v kapitole 9.7.

1 Lajna je ve sportovním slangu pojmenování pro čáru na hřišti (sportovišti).


Diplomová práce

15

Obr. 6: Ideální stopy


Diplomová práce

16

2.2. Ověření rozměrů

Jak již bylo zmíněno, manuál se nestandardním oválům prakticky vůbec nevěnuje.

Z dokumentu pro certifikaci atletických oválů vydaného IAAF, byl ing. Lubomírem

Smržem poskytnut návod na ověření jejich rozměrů.

Rozměry oválu se ověřují provedením 32 měření (Obr. 7). Při ověřování je nutné znát

středy jednotlivých částí oblouků.

Obr. 7: Kontrolní měření na oválu se složenými oblouky

Středy by měly být podle manuálu stabilizovány (Obr. 8) kovovými trny o průměru

cca 12 mm, odolnými proti korozi. Vrchol trnu by měl být 0,15 m nad konečným

povrchem. Tyto trny se zasouvají do trubek, které se nacházejí v základech

pod povrchem. Trny jsou pouze dočasnou signalizací, která se po ukončení prací vyjme,

aby nebránila sportům provozovaným na ploše uvnitř oválu. Základy by měly být

uloženy v hloubce minimálně 1,0 m, aby se zabránilo pohybu vlivem teplotních změn.

Horní hrana základů by se měla nacházet 0,20 m pod konečným povrchem.


Diplomová práce

17

Obr. 8: Stabilizace středu

Na starších stadionech, na kterých se provádí pouze retoping2, může nastat situace, kdy

střed nelze pod povrchem nalézt a umístit do něj trn, nebo střed vůbec není

vybudovaný. V tomto případě je nutné střed určit početně z měření a případně ho

dočasně signalizovat. Této problematice je věnována kapitola 5.

2 Retoping je výměna stávajícího povrchu za nový.


Diplomová práce

18

2.3. Vyhodnocení kontrolních měření

Při vyhodnocování rozměrů oválu se vychází z 32 měření (Obr. 7). Na rozdíl

od standardního oválu zde není zmíněno kritérium pro kontrolu délky mezi středy

oblouků. U standardního oválu by měla být vzdálenost středů, resp. délka rovinek

d ± 0,005 m.

Ostatní kritéria pro nestandardní ovály jsou již stejná, jako pro standardní ovál.

Kontrolní měření musí dosahovat následujících hodnot.

1. Vzdálenost mezi body na začátku a konci obou rovinek (měření 15 a 30) je

projektovaná délka d ± 0,005 m (podle obr. 2 je d = d1 + 2 · d2).

2. Vzdálenost od středu k bodu na vnější hraně obrubníku příslušného oblouku je

R ± 0,005 m (měření 1-14 a 16-29)

3. Rozdíl vzdáleností mezi body na začátcích a koncích obou rovinek, měřené

podél vnitřního obrubníku (měření 15 a 30) a podél vnější lajny poslední dráhy,

(měření 31 a 32) by neměl překročit hodnotu 0,01 m.


Diplomová práce

19

3. Výpočet délky běhu

Následující tabulky, převzaté z dokumentu pro certifikaci, slouží k výpočtu

délky teoretické dráhy běžce v první dráze a její odchylky. Velikosti úhlů by měly

odpovídat hodnotám z projektů (Obr. 3, Obr. 4, Obr. 5).

Permitted tolerance of the running length: +0.040m max. Distance Angle Length

Average radius curve A – H m gon m (+)

Average radius curve H – G m gon m (+)

Average radius curve G – D m gon m (+)

Average radius curve C – F m gon m (+)

Average radius curve F – E m gon m (+)

Average radius curve E – B m gon m (+)

Straight C - D N/A N/A m (+)

Straight A - B N/A N/A m (+)

Length of the inside border N/A N/A m (=)

Tab. 3: Formulář na vyhodnocení kontrolního měření - délka podél obrubníku

Deviation from the running length: Lane 1 Distance Angle Length

Average deviation from desired value A - H m gon m (+)

Average deviation from desired value H - G m gon m (+)

Average deviation from desired value G - D m gon m (+)

Average deviation from desired value C - F m gon m (+)

Average deviation from desired value F - E m gon m (+)

Average deviation from desired value E - B m gon m (+)

Straight C – D N/A N/A m (+)

Straight A – B N/A N/A m (+)

Length of the inside border N/A N/A m (=)

Tab. 4: Formulář na vyhodnocení kontrolního měření - odchylka délky běhu

Calculation of the Running Distance: Length of inside border m (+)

Theoretical running line (0.30m) 0,300 x x 2 1,885m (+)

Theoretical Running Distance (TRD) m (=)

Tab. 5: Délka podél teoretické dráhy běhu


Diplomová práce

20

3.1. Kontrola délek běhu oválů navržených IAAF

Před dalšími kroky této práce byly zkontrolovány délky ideálních stop v prvních

drahách u všech oválů navržených IAAF, zda splňují předepsaná kritéria. Při výpočtu

byly převedeny hodnoty úhlů ze stupňů na gony3 (vydělením převodním koeficientem

0,9) a uvažována hodnota π = 3,1416, jak je tomu u kontroly rozměrů standardních

oválů.

Ovál č. 1 (Obr. 3)

Vzdálenost Úhel Délka Průměrný poloměr oblouku A - H 34,000 m 77,7778 gon 41,5389 m (+)

Průměrný poloměr oblouku H - G 51,543 m 44,4444 gon 35,9839 m (+)

Průměrný poloměr oblouku G - D 34,000 m 77,7778 gon 41,5389 m (+)

Průměrný poloměr oblouku C - F 34,000 m 77,7778 gon 41,5389 m (+)

Průměrný poloměr oblouku F - E 51,543 m 44,4444 gon 35,9839 m (+)

Průměrný poloměr oblouku E - B 34,000 m 77,7778 gon 41,5389 m (+)

Rovinka C - D N/A N/A 79,996 m (+)

Rovinka A - B N/A N/A 79,996 m (+)

Délka vnitřního obrubníku N/A N/A 398,1154 m Tab. 6: Ovál č. 1 - délka podél obrubníku

Délka vnitřního obrubníku 398,1154 m (+)

Teoretická dráha běhu (0.30m) 0,300 x x 2 1,885m (+)

Délka podél teoretické dráhy běhu (TRD) 400,0004 m (=)

Tab. 7: Ovál č. 1 - délka podél teoretické dráhy běhu













Délka podél teoretické dráhy běhu (TRD) 399,9872 (=)


3 Při převodu na gony byly hodnoty úhlů v jednotlivých obloucích zaokrouhleny logicky tak, aby se jejich

součet rovnal 200 gon.


Diplomová práce

21













Délka podél teoretické dráhy běhu (TRD) 399,9840 m


Z výše uvedené tabulky č. Tab. 7 je patrné, že projekt oválu č. 1 splňuje kritérium délky

podél ideální stopy běžce v první dráze d = [ 400,000 m ; 400,040 m ]. Naopak

z tabulek č. 9 a č. 11 je jasné, že projekty oválů č. 2 a č. 3 kritérium nesplňují.

3.2. Úpravy projektů IAAF

Projekty oválů č. 2 a č. 3 byly upraveny tak, aby splňovaly požadované

kritérium délky teoretické dráhy běhu. Byla navržena úprava, kdy rozměry obloukových

částí zůstaly zcela zachovány, a proto musely být prodlouženy rovinky. Tento způsob je

jednodušší, než kdyby byly měněny poloměry a středové úhly kružnicových oblouků.

Po pečlivé kontrole rozměrů všech projektů navržených IAAF byly objeveny

další chyby v kótování některých rozměrů. V CAD systému MicroStation V8i proto

byly vytvořeny nové projekty oválů (Obr. 9, Obr. 10, Obr. 11), které již vyhovují

kritériu d = [ 400,000 m ; 400,040 m ].


Diplomová práce

22

POZNÁMKA:

O přítomnosti chyb byl informován ředitel technické sekce IAAF Imre Mátraházi,

kterému byly odeslány nově vytvořené projekty.

Pan Mátraházi přiznal, že si je IAAF chyb vědomo. Byl také velice vděčný za poskytnuté

informace a projekty, které prý porovná s projekty vytvořenými technickou sekcí IAAF

před novým vydánín manuálu.

Ovál č. 1

Obr. 9: Upravený projekt oválu se složenými oblouky (R1= 34,000m; R2= 51,543m)


Diplomová práce

23

Ovál č. 2


Ovál č. 3



Diplomová práce

24

4. Polohové bodové pole

Pro geodetické účely se na stadionech budují bodová pole, jejichž body jsou

signalizovány nejčastěji odraznými štítky (Obr. 12), upevněnými na stabilních

konstrukcích (zábradlí, sloupy plotů atd.) v okolí oválu. Souřadnice štítků se určují

totálními stanicemi v lokálním souřadnicovém systému.

Obr. 12: Samolepící odrazný štítek

Při tvorbě bodového pole je důležité zvolit dostatečný počet bodů a rozmístit je tak, aby

bylo možné se na ně orientovat z jakéhokoliv místa uvnitř oválu. Nutné je také počítat

s možným přemisťováním sportovních pomůcek, které by mohly bránit ve viditelnosti

na jednotlivé štítky.

Jako ideální se jeví počet minimálně 8 bodů (obr. 13), kdy 3 jsou pravidelně rozmístěny

v každém ze dvou oblouků a další dva se nacházejí přibližně v polovině rovinek.

Obr. 13: Bodové pole - rozmístění bodů


Diplomová práce

25

4.1. Určení souřadnic bodů primární sítě a jejich přesnost

Realizace lokálních prostorových pravoúhlých souřadnic z měřených

vodorovných a svislých úhlů a šikmých délek je v současné době totálních stanic velice

snadná.

Řešení se vztahuje k referenční soustavě souřadnic, která má počátek ve středu přístroje

(x0 = y0 = h0 = 0). Osa +x je určena směrem nuly na neorientovaném horizontálním

děleném kruhu. Soustavu souřadnic doplňuje osa +y a svislice, která představuje

vertikální osu (osy jsou vzájemně kolmé).

Z volného postavení, kdy je totální stanice umístěna přibližně uprostřed plochy uvnitř

oválu, se v jedné skupině zaměří vodorovné směry, zenitové úhly a šikmé délky

na všechny body signalizované zpravidla odraznými štítky. Zpracováním měřených

veličin z obou poloh dalekohledu dochází k eliminaci osových chyb přístroje (kolimační

a úklonné) a dále chyby indexové.

Ke zpracování zápisníku měřených veličin je možné využít jakýkoliv geodetický

software (např. Groma), ve kterém lze zpracovávat měření z obou poloh, popř. je možné

výsledky vypočítat „ručně“.

výsledný vodorovný směr: 𝜓 = 𝜓1 + (𝜓2 ± 200𝑔)

2

výsledný zenitový úhel: 𝑧 =4𝑅 + 𝑜1 − 𝑜2

2

výsledná šikmá délka: 𝑑𝑠 = 𝑑𝑠1 + 𝑑𝑠2

2

Výsledné veličiny se použijí k výpočtu rovinných souřadnic bodů v referenční soustavě.

Při běžných geodetických pracích spojených s lajnováním atletických oválů není nutné

zabývat se prostorovou skladbou, postačí tedy určit souřadnice bodů bodového pole

pouze polohově. Prostorové souřadnice je nutné určit například při stavbě nového oválu,

kde se musí při vytyčování dodržovat projektované spády.

Takováto lokální síť nenavazuje na žádnou trigonometrickou síť (např. JTSK), není tedy

nutné zavádět např. redukci délek ze zobrazení nebo z nadmořské výšky.


Diplomová práce

26

Rovinné souřadnice se vypočtou ze vztahů

𝑥 = 𝑥𝐾 + 𝑑ℎ ∙ cos 𝜓

𝑦 = 𝑦𝐾 + 𝑑ℎ ∙ sin 𝜓, (1)

kde 𝑦𝐾 , 𝑥𝐾 jsou libovolně volené konstanty

𝑑ℎ je vodorovná délka vypočtená ze vztahu 𝑑ℎ = 𝑑𝑠 ∙ sin 𝑧.

Obecný nelineární matematický model měření souřadnic cílového bodu:

F (L, X) = 0 : 𝑥𝐾 + 𝑑𝑠 sin 𝑧 cos 𝜓 − 𝑥 = 0𝑦𝐾 + 𝑑𝑠 sin 𝑧 sin 𝜓 − 𝑦 = 0

(2)

(rovnice nezahrnují vliv zakřivení Země a refrakce),

kde

𝐋 = (𝐿1, 𝐿2, 𝐿3)𝑇 je vektor bezchybných hodnot měřených prvků o rozměru 3 × 1;

L1 = ds (šikmá délka), L2 = ψ (vodorovný směr), L3 = z (zenitový úhel)

𝐗 = (𝑥, 𝑦)𝑇 je vektor bezchybných hodnot lokálních souřadnic cílového bodu v rovině.

Pro malé hodnoty skutečných chyb měřených prvků a souřadnic (vektory skutečných

chyb mají charakter náhodných vektorů) platí (Taylorův rozvoj):

𝐃 𝚫𝐋 + 𝐀 𝚫𝐗 = 𝟎, matice 𝐀 = −𝐄2 = [−1 00 −1

].

Odtud

𝚫𝑿 = 𝐃 𝚫𝑳,

kde

𝚫𝑳~ 𝑁(0, 𝚺𝑳) je náhodný vektor skutečných chyb měřených prvků,

𝚺𝑳 je diagonální kovarianční matice měření, která jsou nekorelovaná

𝚫𝑿~ 𝑁(0, 𝚺𝑿) je náhodný vektor skutečných chyb souřadnic cílového bodu.

Matice D typu 2×3 je matice parciálních derivací funkčních vztahů (2) podle měřených

prvků.


Diplomová práce

27

𝐃 = (sin 𝑧 cos 𝜓 − 𝑑𝑠 sin 𝑧 sin 𝜓 𝑑𝑠 cos 𝑧 cos 𝜓sin 𝑧 sin 𝜓 𝑑𝑠 sin 𝑧 cos 𝜓 𝑑𝑠 cos 𝑧 sin 𝜓

)

Kovarianční matice 𝚺𝑿 má tvar

𝚺𝑿 = 𝐃 𝚺𝑳𝐃𝐓, 𝚺𝑳 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎𝑑2, 𝜎𝐻𝑧,𝑉

2, 𝜎𝐻𝑧,𝑉2),

kde délková přesnost je vyjádřena střední chybou 𝜎𝑑 a úhlová přesnost (směru nebo

zenitového úhlu) střední chybou 𝜎𝜓 = 𝜎𝑧 = 𝜎𝐻𝑧,𝑉.

Prvky kovarianční matice 𝚺𝑿

𝚺𝑿 = (𝜎𝑥

2 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) 𝜎𝑦2 ) (3)

𝜎𝑥2 = 𝜎𝑑

2 sin2 𝑧 cos2 𝜓 + 𝜎𝐻𝑧,𝑉2 𝑑𝑠

2(sin2 𝑧 sin2 𝜓 + cos2 𝑧 cos2 𝜓)

𝜎𝑦2 = 𝜎𝑑

2 sin2 𝑧 sin2 𝜓 + 𝜎𝐻𝑧,𝑉2 𝑑𝑠

2(sin2 𝑧 cos2 𝜓 + cos2 𝑧 sin2 𝜓)

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =1

2 sin 2𝜓 (𝜎𝑑

2 sin2 𝑧 + 𝜎𝐻𝑧,𝑉2 𝑑𝑠

2 cos 2𝑧).

Indikátorem kvality souřadnic cílových bodů je střední polohová chyba 𝜎2𝐷. Tato chyba

vyjadřuje pouze vnitřní přesnost měření (přístroj, měřič a vliv prostředí) a vypočte se:

𝜎2𝐷 = √𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦

2 = √𝑡𝑟 𝚺𝑿 = √𝑡𝑟 (𝐃𝐓𝐃 𝚺𝑳) = √𝜎𝑑2 sin2 𝑧 + 𝑑𝑠

2𝜎𝐻𝑧,𝑉2 (4)

Názorně je možné přesnost určení polohy bodu vyjádřit pomocí elipsy chyb, jejíž

parametry (poloosy a, b, směrník hlavní poloosy α) se vypočtou:

𝑎 = √0,5(𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦

2 + 𝑐 )

𝑏 = √0,5 (𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦

2 − 𝑐 )

𝑐 = √(𝜎𝑥2 − 𝜎𝑦

2)2

+ 4 𝑐𝑜𝑣2 (𝑥, 𝑦)

tan 2𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑣 (𝑥,𝑦)

𝜎𝑥2−𝜎𝑦

2 (5)


Diplomová práce

28

4.2. Výpočet souřadnic přechodného stanoviska s připojením na body

primární sítě

Po vybudování primární sítě, jejím zaměření, výpočtu souřadnic bodů a jejich

přesností, je možné se na tyto body orientovat. Výpočet souřadnic přechodného

stanoviska lze provést více způsoby. Úlohami bez vyrovnání, např. protínáním z délek,

rajónem zpět, protínáním zpět. Je-li více orientací, je možné řešení pomocí transformace

souřadnic nebo vyrovnáním měřených veličin metodou nejmenších čtverců. Při těchto

metodách jsou k výpočtu používány měřené vodorovné směry, šikmé délky a zenitové

úhly.

Dnešní totální stanice jsou vybaveny softwary, které k výpočtu souřadnic stanoviska

používají při nadbytečném počtu měřených veličin metodu nejmenších čtverců (MNČ).

Totální stanice ovšem při výpočtu neuvažují přesnost podkladu, která může výsledné

souřadnice stanoviska ovlivnit. Pokud by souřadnice stanoviska byly určeny

s nedostatečnou přesností, byla by tím ovlivněna i přesnost zaměřovaných

(vytyčovaných) bodů. Jelikož polohová tolerance pro ověřování rozměrů oválů zadaná

IAAF je ±5 mm, je nutné určit souřadnice přechodného stanoviska co nejpřesněji.

4.2.1. Výpočet vyrovnání MNČ - bez uvážení vlivu podkladu

Při výpočtu dochází k vyrovnání zprostředkujících měření, tedy délek a směrů.

Neznámými jsou souřadnice stanoviska P a orientační posun op, popř. souřadnice

podrobných bodů. Výsledkem vyrovnání jsou souřadnice a jejich přesnost.

Funkční vztahy:

𝑑𝑃𝐴 − √(𝑥𝐴 − 𝑥𝑃)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝑃)2 = 0

𝜓𝑃𝐴 − (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦𝐴−𝑦𝑃

𝑥𝐴−𝑦𝑃− 𝑜𝑝) = 0

(6)

Po linearizaci funkčních vztahů dostaneme rovnice oprav

𝒗 = 𝑨 ∙ 𝒅𝒙 − 𝒍, (7)

kde A je matice plánu

l je vektor redukovaného měření.


Diplomová práce

29

Měřené veličiny jsou různorodé a mají obecně různou přesnost. Proto je nutné sestavit

matici vah P, která je diagonální (měření jsou nekorelovaná).

Volba vah vychází ze vztahu:

𝑝𝜓 ∙ 𝜎𝜓2 = 𝑝𝑑 ∙ 𝜎𝑑

2 = 𝜎02 ⇒ 𝑝𝜓 =

𝜎02

𝜎𝜓2

𝑟𝑒𝑠𝑝. 𝑝𝑑 =𝜎0

2

𝜎𝑑2

Hodnotu apriorní směrodatné odchylky 𝜎0 je možné volit libovolně, zvykem je zvolit

𝜎0 = 1 (obecně je to fiktivní měření o váze 1).

Prvky matice plánu A jsou parciální derivace funkčních vztahů (6) (v pořadí délka,

směr, atd.) podle neznámých, v pořadí YP, XP, op. Matice A je tedy rovna

1)(

0)()(

1)(

0)()(

20

0

20

0

0

0

0

0

20

0

20

0

0

0

0

0

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

PA

PA

PA

PA

PA

PA

PA

PA

d

yy

d

xx

d

xx

d

yy

d

yy

d

xx

d

xx

d

yy

A . (8)


Diplomová práce

30

Pokud je požadován výpočet souřadnic (popř. pouze jejich přesnosti) podrobného bodu,

je nutné rozšířit matici plánu A o derivace funkčních vztahů podle souřadnic daného

podrobného bodu Y1, X1 (poslední dva řádky). Rozšířená matice A je rovna

20

1

0

1

20

1

0

1

20

1

0

1

20

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

20

0

20

0

0

0

0

0

20

0

20

0

0

0

0

0

)(1

)(

0)()(

001)(

000)()(

001)(

000)()(

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

PA

PA

PA

PA

PA

PA

PA

PA

d

yy

d

xx

d

yy

d

xx

d

xx

d

yy

d

xx

d

yy

d

yy

d

xx

d

xx

d

yy

d

yy

d

xx

d

xx

d

yy

A , (9)

kde 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 … 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 jsou souřadnice orientačních bodů primární sítě

𝑥𝑃0, 𝑦𝑃

0 jsou přibližné souřadnice přechodného stanoviska

𝑑𝑃𝐴0 … 𝑑𝑃𝑖

0 , popř. 𝑑𝑃10 jsou délky vypočtené z přibližných souřadnic

𝑥1, 𝑦1 jsou souřadnice podrobného bodu.

Dále je nutné rozšířit matici vah P o váhy odpovídající přesnosti měření podrobného

bodu.

Vektor redukovaných měření je roven

𝒍 = (𝑑𝑃𝐴

𝑚 − √(𝑥𝐴 − 𝑥𝑃0)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝑃

0)2

𝜓𝑃𝐴𝑚 − (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑦𝐴−𝑦𝑃0

𝑥𝐴−𝑥𝑃0 − 𝑜𝑝)

), (10)

kde 𝑑𝑃𝐴𝑚, 𝜓𝑃𝐴

𝑚 jsou měřené veličiny

op = 0 je orientační posun osnovy směrů na volném stanovisku.


Diplomová práce

31

Podmínkou MNČ je 𝒗𝑻𝑷 𝒗 = min. Z této podmínky plyne

(𝑨 ∙ 𝒅𝒙 − 𝒍)𝑇 ∙ 𝑷 ∙ (𝑨 ∙ 𝒅𝒙 − 𝒍) = min.

Po úpravě a derivaci dostaneme výsledný vzorec pro výpočet přírůstků

𝑨𝑇 ∙ 𝑷 ∙ 𝑨 ∙ 𝒅𝒙 − 𝑨𝑇 ∙ 𝑷 ∙ 𝒍 = 0

𝑵 ∙ 𝒅𝒙 = 𝑨𝑇 ∙ 𝑷 ∙ 𝒍

𝒅𝒙 = 𝑵−1 ∙ 𝑨𝑇 ∙ 𝑷 ∙ 𝒍. (11)

Z korekcí přibližných hodnot neznámých dx se určí hledané neznámé

𝑿 = 𝑿𝟎 + 𝒅𝒙. (12)

Kovarianční matice vyrovnaných neznámých se vypočte

𝚺𝑿 = 𝜎02(𝑨𝑇 ∙ 𝑷 ∙ 𝑨)−1. (13)

Pro kontrolu správné linearizace se provede druhý výpočet oprav

𝒗2 = 𝑭(�̂�) − 𝑳 = �̂� − 𝑳, (14)

kde �̂� je vektor vyrovnaných měření vypočtených z vyrovnaných hodnot

neznámých dosazených do nelineárních vztahů pro délku a směr

L je vektor měření.

Aposteriorní střední chyba jednotková se vypočte ze vzorce

𝜎´0 = √𝒗𝑻𝑷 𝒗

𝑛´, 𝑛´ = 𝑚 − 𝑛, (15)

kde m je počet měření

n je počet neznámých

n´ je počet nadbytečných měření, tj. stupňů volnosti.


Diplomová práce

32

Aby bylo možné ověřit, zda aposteriorní střední chyba odpovídá předpokládané apriorní

přesnosti, lze vypočítat interval spolehlivosti ze vztahu

𝑃 {√𝜒𝑛´2 (1−𝛼/2)

𝑛´ ≤

𝜎´0

𝜎0≤ √𝜒𝑛´

2 (𝛼/2)

𝑛´} = 1 − 𝛼, (16)

kde je riziko zvoleno 𝛼 = 5%. Kritické hodnoty mají rozdělení chí-kvadrát.

4.2.2. Výpočet vyrovnání MNČ - s uvážením vlivu podkladu

Vzorce uvedené v předchozí podkapitole neuvažují vliv podkladu, je tedy považován

za bezchybný. V kapitole 4.1 byl popsán výpočet kvality souřadnic bodů primární sítě,

který vychází z vnitřní přesnosti měření. Výsledkem tohoto výpočtu jsou kovarianční

matice 𝜮𝑿𝒊, jejichž prvky určují přesnost daných bodů.

Při uvážení vlivu podkladu je nutné výpočet popsaný v předchozí kapitole upravit.

Rovnice oprav vychází ze vzorce

𝒗 = 𝑨 ∙ 𝒅𝒙𝟏 + 𝑩 ∙ 𝒅𝒙𝟐 − 𝒍,

kde 𝑨 ∙ 𝒅𝒙𝟏 vyjadřuje vliv měření a 𝑩 ∙ 𝒅𝒙𝟐 vyjadřuje vliv podkladu.

Velikost neznámých se vypočte

𝒅𝒙 = (𝑨𝑇 ∙ 𝚺𝒍´−𝟏 ∙ 𝑨)

−1∙ 𝑨𝑇 ∙ 𝚺𝒍´

−𝟏 ∙ 𝒍, (17)

kde 𝚺𝒍´ = 𝜎02 ∙ 𝑷−𝟏 + 𝑩 ∙ 𝚺𝑿𝟐

∙ 𝑩𝑇 je matice vyjadřující vlivy přesnosti měření

a přesnosti bodů podkladu,

𝜎02 ∙ 𝑷−𝟏 popisuje vliv přesnosti měření

𝑩 ∙ 𝚺𝑿𝟐∙ 𝑩𝑇 popisuje vliv přesnosti bodů podkladu.


Diplomová práce

33

Matice B obsahuje parciální derivace funkčních vztahů (6) dle souřadnic orientačních

bodů (podobně jako v matici A)

20

0

20

0

0

0

0

0

20

0

20

0

0

0

0

0

)(0000

0000

0000

0000

0000)(

0000

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

Pi

PA

PA

PA

PA

PA

PA

PA

PA

d

yy

d

xx

d

xx

d

yy

d

yy

d

xx

d

xx

d

yy

B . (18)

Matice 𝚺𝑿𝟐 je blokově diagonální, jejímiž prvky jsou kovarianční matice (2x2)

popisující přesnosti bodů podkladu (3)

22

22

22

)(000

000

00)(0

000)(

xXi

xX

xX

B

A

2XΣ . (19)

Pokud je požadován výpočet souřadnic (popř. pouze jejich přesnosti) podrobného bodu,

je nutné rozšířit matici plánu A i matici vah P stejně jako při výpočtu bez uvážení vlivu

podkladu. Dále je nutné rozšířit matici B o nulové řádky (derivace funkčních vztahů

pro orientační body podle souřadnic podrobného bodu).

Kovarianční matice vyrovnaných neznámých se vypočte

𝚺𝑿 = 𝑴 ∙ 𝚺𝒍´ ∙ 𝑴𝑻, (20)

kde 𝑴 = (𝑨𝑇 ∙ 𝚺𝒍´−𝟏 ∙ 𝑨)

−1∙ 𝑨𝑇 ∙ 𝚺𝒍´

−𝟏.

Výpočty oprav (7, 14), aposteriorní střední chyby jednotkové (15) a jejího intervalu

spolehlivosti (16) jsou stejné jako v případě výpočtu bez uvážení vlivu podkladu.


Diplomová práce

34

4.3. Modelový příklad

Za účelem ověření dosažitelných přesností bylo provedeno zaměření bodů

modelové sítě v okolí stavební fakulty ČVUT, jejíž body jsou signalizované odraznými

fóliemi. Podle postupu uvedeném v kapitole 4.1 byly z volného postavení přístroje

měřeny vodorovné směry, zenitové úhly a šikmé délky (na 5 bodů) v obou polohách

přístroje. Z naměřených veličin byly vypočteny souřadnice bodů, včetně jejich

přesností, charakterizovaných kovariančními maticemi.

Dále byly z jiného postavení totální stanice opět zaměřeny body primární sítě. Tato

měření sloužila k určení souřadnic a jejich přesností přechodného stanoviska. Výpočet

byl nejprve proveden bez uvážení vlivu podkladu (kap. 4.2.1), poté i s jeho uvážením

(kap. 4.2.2). Výsledky obou výpočtů byly mezi sebou porovnány.

Nakonec byla určena přesnost fiktivního zaměřovaného (vytyčovaného) bodu.

Veškeré výpočty byly provedeny ve výpočetním programu MATLAB.

Specifikace totální stanice

Při měření byla použita totální stanice Leica TS 06 (s.č. 1342535).

Nominální přesnost přístroje je:

𝜎𝐻𝑧,𝑉 = 0,6 𝑚𝑔𝑜𝑛

𝜎𝑑 = 5 𝑚𝑚 + 2 𝑝𝑝𝑚 (při měření na odraznou fólii)

𝜎𝑑 = 1,5 𝑚𝑚 + 2 𝑝𝑝𝑚 (při standardním měření na odrazný hranol)

POZNÁMKA:

Pro kratší záměry (d<100m) je možné uvažovat horší přesnost při měření směrů.

Přesnost měřeného směru (pro bod určený rajónem) lze určit početně ze vzorce pro

směrodatnou odchylku souřadnicovou 𝜎𝑋𝑌 = √0,5 ∗ (𝜎𝑋2 + 𝜎𝑌

2) =

√0,5 ∗ (𝜎𝑑2 + 𝑑𝑠

2 ∙ 𝜎𝜔2). Za předpokladu, že přesnosti měření v podélném a příčném

směru jsou si rovny je výsledný vzorec pro směrodatnou odchylku směru

𝜎𝜓𝑐𝑐 =

𝜎𝑑

𝑑𝑠 ∙ √2∙ 𝜌𝑐𝑐 .


Diplomová práce

35

Prakticky při všech geodetických pracích spojených s atletickými ovály se kvůli úspoře

času používají robotizované totální stanice, které disponují funkcemi automatického

cílení a automatického sledování cíle. V případě jejich užití není pro kratší záměry

nutné uvažovat horší přesnost měřených směrů.

Informace o přesnosti automatického cílení poskytl ing. Daniel Šantora, oddělení

prodeje Geodetických a GIS přístrojů společnosti GEFOS a.s.

4.3.1. Zaměření bodů primární sítě a určení jejich přesností

Výsledné hodnoty měřených veličin

(měření v obou polohách dalekohledu)

Číslo bodu ψ [gon] z [gon] ds [m]

1 89,6011 83,4223 48,409

2 127,9533 84,5581 51,905

3 196,7708 97,9621 164,789

4 312,3358 75,6917 30,879

5 385,3329 93,9509 99,043 Tab. 12: Výsledné hodnoty měřených veličin – primární síť (seznam měření viz příloha 1)

Souřadnice bodů byly vypočteny podle vzorce (1). Jako konstanty byly zvoleny

𝑦𝐾 = 500

𝑥𝐾 = 1000.

Souřadnice bodů primární sítě

Číslo bodu Y [m] X [m]

1 546,154 1007,607

2 545,606 978,580

3 508,351 835,507

4 471,881 1005,518

5 477,485 1095,991 Tab. 13: Souřadnice bodů primární sítě


Diplomová práce

36

Kovarianční matice bodů charakterizující přesnost bodů primární sítě byly vypočteny

podle (3).

Kovarianční matice

Číslo bodu

1 8,0689·10-07 3,7165·10-06

3,7165·10-06 2,2744·10-05

2 4,4447·10-06 -8,9833·10-06

-8,9833·10-06 1,9352·10-05

3 2,4919·10-05 -1,1427·10-06

-1,1427·10-06 2,4677·10-06

4 8,6894·10-07 -4,0564·10-06

-4,0564·10-06 2,0745·10-05

5 2,3535·10-05 -5,3178·10-06

-5,3178·10-06 2,1108·10-06 Tab. 14: Kovarianční matice charakterizující přesnost bodů primární sítě

Z kovariančních matic byly podle (3, 4, 5) vypočteny střední chyby a parametry elips

chyb.

Střední chyba polohová a parametry elips chyb

Číslo

bodu 2D [m] X [m] Y [m] a [m] b [m] [gon]

1 0,0049 0,0009 0,0048 0,0048 0,0004 89,6011

2 0,0049 0,0021 0,0044 0,0049 0,0005 127,9533

3 0,0052 0,0050 0,0016 0,0050 0,0016 196,7708

4 0,0046 0,0009 0,0046 0,0046 0,0003 112,3358

5 0,0051 0,0049 0,0015 0,0050 0,0009 185,3329 Tab. 15: Střední chyby a elipsy chyb charakterizující přesnost bodů primární sítě

Body primární sítě s elipsami chyb jsou zobrazeny na Obr. 14.

Obr. 14: Body primární sítě s elipsami chyb


Diplomová práce

37

4.3.2. Výpočet souřadnic přechodného stanoviska

Výsledné hodnoty měřených veličin

(měření v obou polohách dalekohledu)

Číslo bodu ψ [gon] z [gon] ds [m]

1 90,4552 83,9766 49,866

2 127,4813 85,1130 53,602

3 195,8152 97,9891 165,525

4 311,2415 74,3825 29,264

5 385,9387 93,9188 98,050 Tab. 16: Výsledné hodnoty měřených veličin – protínání (seznam měření viz příloha 2)

Přibližné hodnoty souřadnic Y0, X0 byly vypočteny protínáním z délek z bodů 2 a 3.

Tato úloha je podrobně popsána např. v [3].

𝑦𝑃0 = 498,3627

𝑥𝑃0 = 1000,6479

Dále byla vytvořena matice plánu A (8) a vektor redukovaných měření l (10).

Prvky matice vah P vycházejí z nominální přesnosti přístroje.

Poté bylo postupováno podle výpočtů uvedených v kapitolách 4.2.1. a 4.2.2.

Výsledky vyrovnání bez uvážení podkladu:

Přibližné hodnoty neznámých

Yp [m] 498,3627

Xp [m] 1000,6479

op [gon] 0,0000 Tab. 17: Přibližné hodnoty neznámých

Výsledné neznámé (přírůstky)

Y [m] -0,0003

X [m] -0,0007

op [gon] 0,33817 Tab. 18: Výsledné přírůstky - MNČ bez vlivu podkladu

Výsledné neznámé (souřadnice)

Yp [m] 498,3624

Xp [m] 1000,6472

op [gon] 0,33817 Tab. 19: Výsledné neznámé - MNČ bez vlivu podkladu


Diplomová práce

38

Kovarianční matice neznámých - X

4,3911·10-07 -7,3532·10-08 -4,8107·10-10

-7,3532·10-08 5,5254·10-08 7,6369·10-11

-4,8107·10-10 7,6369·10-11 1,8293·10-11 Tab. 20: Kovarianční matice charakterizující přesnost neznámých - MNČ bez vlivu podkladu

Přesnost neznámých

𝜎𝑌 [m] 0,0007

𝜎𝑋 [m] 0,0002

𝜎𝑜𝑝 [gon] 0,00027

Tab. 21: Přesnost neznámých - MNČ bez vlivu podkladu

Výsledné opravy (dvojí výpočet)

v1 v2

dP1 [m] 0,0012 0,0012

P1 [gon] 0,00059 0,00056

dP2 [m] -0,0001 -0,0001

P2 [gon] -0,00084 -0,00086

dP3 [m] -0,0007 -0,0007

P3 [gon] 0,00073 0,00072

dP4 [m] -0,0010 -0,0010

P4 [gon] -0,00004 0,00001

dP5 [m] -0,0001 -0,0001

P5 [gon] -0,00043 -0,00042

Tab. 22: Výsledné opravy - MNČ bez vlivu podkladu

Pro výpočet aposteriorní střední chyby jednotkové podle vzorce (15) byly použity

opravy v1, počet měření m = 10, počet neznámých n = 3 → počet nadbytečných měření n´= 7.

𝜎´0 = 0,8454

Nakonec byl podle (16) vypočten interval spolehlivosti pro aposteriorní střední chybu

(resp. pro poměr 𝜎´0

𝜎0, kde 𝜎0= 1). Interval spolehlivosti je (0,4913; 1,5125). Z jeho

hodnot je patrné, že aposteriorní střední chyba odpovídá apriorní chybě.

Výsledky vyrovnání s uvážením podkladu:

Přibližné hodnoty neznámých

Yp [m] 498,3627

Xp [m] 1000,6479

op [gon] 0,0000 Tab. 23: Přibližné hodnoty neznámých


Diplomová práce

39

Výsledné neznámé (přírůstky)

Y [m] -0,0002

X [m] -0,0007

op [gon] 0,33817 Tab. 24: Výsledné přírůstky - MNČ s vlivem podkladu

Výsledné neznámé (souřadnice)

Yp [m] 498,3625

Xp [m] 1000,6472

op [gon] 0,33817 Tab. 25: Výsledné neznámé - MNČ s vlivem podkladu


8,6346·10-07 -1,4746·10-07 -9,6960·10-10

-1,4746·10-07 1,1470·10-07 2,2214·10-10

-9,6960·10-10 2,2214·10-10 3,6837·10-11 Tab. 26: Kovarianční matice charakterizující přesnost neznámých - MNČ s vlivem podkladu

Přesnost neznámých

𝜎𝑌 [m] 0,0009

𝜎𝑋 [m] 0,0003

𝜎𝑜𝑝 [gon] 0,00039

Tab. 27: Přesnost neznámých - MNČ s vlivem podkladu

Výsledné opravy (dvojí výpočet)

v1 v1

dP1 [m] 0,0011 0,0011

P1 [gon] 0,00057 0,00054

dP2 [m] -0,0001 -0,0002

P2 [gon] -0,00082 -0,00082

dP3 [m] -0,0007 -0,0007

P3 [gon] 0,00074 0,00076

dP4 [m] -0,0010 -0,0009

P4 [gon] -0,00005 -0,00004

dP5 [m] -0,0001 0,0000

P5 [gon] -0,00046 -0,00049

Tab. 28: Výsledné opravy - MNČ s vlivem podkladu

𝜎´0 = 0,6059

Hodnoty intervalu spolehlivosti pro aposteriorní střední chybu jsou stejné, tedy

i při tomto výpočtu odpovídá aposteriorní střední chyba chybě apriorní.


Diplomová práce

40

Zhodnocení výsledků:

Porovnání výsledků z obou výpočtů

Y [m] X [m] op [gon] 𝜎𝑌 [m] 𝜎𝑋 [m] 𝜎𝑜𝑝

[gon] 𝜎0

bez uvážení

vlivu podkladu 498,3625 1000,6472 0,33817 0,0007 0,0002 0,00027 0,8454

s uvážením

vlivu podkladu 498,3624 1000,6472 0,33817 0,0009 0,0003 0,00039 0,6059

Tab. 29: Porovnání výsledků MNČ bez, resp. s uvážením vlivu podkladu

Výpočet s uvážením vlivu podkladu neovlivní (v rámci uvažovaných přesností)

výsledné souřadnice, ale projeví se na jejich přesnosti.

Při neuvážení vlivu podkladu je přesnost vztažena k okolním bodům podkladu, které

jsou považovány za bezchybné. Pro dosažení objektivních charakteristik je logickou

a správnou úvahou podklad při výpočtu uvážit, pak je přesnost vztažena k počátku

soustavy souřadnic.


Diplomová práce

41

4.3.3. Přesnost zaměřovaného (vytyčovaného) bodu.

Z výsledných souřadnic přechodného stanoviska P byly polární metodou

vypočteny souřadnice fiktivního bodu, jež by měl ve skutečnosti představovat podrobný

bod k vytyčení. Vzdálenost bodu od stanoviska byla zvolena d = 50,000 m. Tato

hodnota odpovídá reálným vzdálenostem, na které se body na atletických oválech

vytyčují (zaměřují).

Souřadnice fiktivního bodu jsou: 𝑦1 = 543,933

𝑥1 = 1021,223

Bez uvážení vlivu podkladu

Jak bylo zmíněno v kapitole 4.2.1., pro výpočet přesnosti zaměřovaného

(vytyčovaného) bodu je nutné rozšířit matici plánu A (9) a matici vah P.

Do matice plánu A je nutné přidat řádky, které obsahují derivace funkčních vztahů (6)

podle souřadnic podrobného bodu. Matice vah P je na diagonále rozšířena o váhu

měřené délky, která vychází z nominální přesnosti přístroje při standardním měření

délky na odrazný hranol. Váha měřeného směru je stejná.

Jelikož souřadnice podrobného bodu nevstupují do vyrovnání, je výpočet přesnosti jeho

určení jednoduchý, vypočte se podle vzorce (13) 𝜮𝑿 = 𝜎02(𝑨𝑇 ∙ 𝑷 ∙ 𝑨)−1.

Výsledná kovarianční matice má rozměr 5×5, kde poslední dva prvky na její diagonále

jsou zjišťované přesnosti 𝜎𝑌2, 𝜎𝑋

2.


4,3911·10-07 -7,3532·10-08 -4,8107·10-10 4.2921·10-07 -5.1610·10-08

-7,3532·10-08 5,5254·10-08 7,6369·10-11 -7.1961·10-08 5.1774·10-08

-4,8107·10-10 7,6369·10-11 1,8293·10-11 -1.0470·10-10 -7.5723·10-10

4.2921·10-07 -7.1961·10-08 -1.0470·10-10 2.3337·10-06 6.9338·10-07

-5.1610·10-08 5.1774·10-08 -7.5723·10-10 6.9338·10-07 6.5174·10-07 Tab. 30: Kovarianční matice charakterizující přesnost fiktivního bodu - MNČ bez vlivu podkladu

Přesnosti podrobného bodu

𝜎𝑌 [m] 0,0015

𝜎𝑋 [m] 0,0008

𝜎2𝐷 [m] 0,0017 Tab. 31: Přesnost fiktivního - MNČ bez vlivu podkladu


Diplomová práce

42

S uvážením vlivu podkladu

Tento výpočet je popsán v kapitole 4.2.2.

Kovarianční matice, jejímiž prvky jsou také kvadráty směrodatných odchylek souřadnic

podrobného bodu, se vypočte podle vzorce (20) 𝚺𝑿 = 𝑴 ∙ 𝚺𝒍´ ∙ 𝑴𝑻.

Výsledkem je stejně jako v předchozím případě kovarianční matice o rozměrech 5×5

s hledanými prvky na diagonále.


8,6346·10-07 -1,4746·10-07 -9,6960·10-10 8.4352·10-07 -1.0328·10-07

-1,4746·10-07 1,1470·10-07 2,2214·10-10 -1.4289·10-07 1.0458·10-07

-9,6960·10-10 2,2214·10-10 3,6837·10-11 -2.1169·10-10 -1.4565·10-09

8.4352·10-07 -1.4289·10-07 -2.1169·10-10 2.7458·10-06 6.2733·10-07

-1.0328·10-07 1.0458·10-07 -1.4565·10-09 6.2733·10-07 7,3642·10-07 Tab. 32: Kovarianční matice charakterizující přesnost fiktivního bodu - MNČ s vlivem podkladu

Přesnosti podrobného bodu

𝜎𝑌 [m] 0,0017

𝜎𝑋 [m] 0,0009

𝜎2𝐷 [m] 0,0019 Tab. 33: Přesnost fiktivního - MNČ s vlivem podkladu

Zhodnocení výsledků:

Hodnoty polohových směrodatných odchylek 𝜎2𝐷 podrobného bodu (při uvážení i bez

uvážení vlivu podkladu) se blíží k hodnotě 2 mm.

K této hodnotě je ovšem nutné připočítat ještě polohovou přesnost cíle (angl. pointing

accuracy). Například u všesměrného odrazného minihranolu GRZ101 uvádí výrobce

Leica přesnost 1,5 mm.


Diplomová práce

43

Obr. 15: Leica GRZ101 - 360° minihranol Obr. 16: edding - značkovací fix

Při vytyčování je také nutné neopomenout chybu z realizace. Její velikost závisí hlavně

na preciznosti geodeta, tloušťce a kvalitě hrotů značkovacích fix, které se pro značení

atletických oválů používají. Například výrobce edding u svých fix uvádí tloušťku hrotu

2 – 4 mm.

Vyznačení bodů může také negativně ovlivnit kvalita povrchu atletického oválu. Jelikož

se nejedná o povrch rovný a hladký, ale o povrch tvořený gumovým granulátem spojený

speciálními pojivy, není vyznačení bodu vždy jednoduché.

POZNÁMKA:

Z vlastní zkušenosti se domnívám, že lze uvažovat chybu z realizace v rozmezí 2 - 3 mm.

Při uvážení všech vlivů působících na přesnost vytyčovaného bodu (měření, přesnost

v poloze cíle, realizace) je výsledkem možná chyba dosahující hodnoty

𝜎 = √22 + 1,52 + 32 = 3,9 𝑚𝑚.

V případě pouhého zaměření podrobného bodu je chyba nižší, konkrétně

𝜎 = √22 + 1,52 = 2,5 𝑚𝑚.


Diplomová práce

44

5. Určení středů a poloměrů ze zaměření

Jak již bylo zmíněno, na některých stadionech, zejména těch starších, může

nastat situace, kdy středy oblouků nelze nalézt nebo nejsou vůbec vybudovány. Pokud

nejsou známy středy nebo poloměry oblouků, je ověření rozměrů oválu a následné

značení čar zcela nemožné. Tato situace také znesnadňuje pouhé určení začátků a konců

rovinek.

Středy resp. poloměry je tedy nutné určit početně ze zaměření vnější hrany vnitřního

obrubníku, popř. bílé lajny. Všechny zaměřené body se musí nacházet na oblouku.

Jelikož místo, kde končí rovinka a začíná oblouk, není zcela rozeznatelné, je vhodné

zaměřit první bod tam, kde si je geodet průběhem oblouku zcela jist.

U nestandardních atletických oválů s jednoduchým obloukem je středový úhel vždy

180° (200 gon), zatímco u složených oblouků jsou velikosti středových úhlů i poloměrů

jednotlivých částí různé, proto je určení jejich středů a poloměrů komplikovanější.

5.1. Určení středů – CADsystémy

Po zaměření bodů lze středy a poloměry oblouků určit pomocí výpočetních

funkcí dnes běžně používaných CAD systémů (např. Microstation, AutoCAD). Po

zobrazení bodů v grafickém prostředí daného programu je možné poloměr určit po

použití několika funkcí.

Nejjednodušším způsobem je oblouk nejprve zkonstruovat. Funkcí Umístit oblouk

(Microstation) lze metodou Počátek, bod, konec lze zkonstruovat libovolný oblouk

procházející třemi body (3 body jsou potřeba pro jednoznačné určení kružnice). Po jeho

vytvoření lze funkcí Změřit poloměr zobrazit hodnotu poloměru. Střed lze zkonstruovat

například nakreslením normály k vytvořenému oblouku o délce zjištěného poloměru,

nebo vytvořením více normál, kdy střed je jejich průsečíkem.

Tento způsob je vhodný například v situaci, kdy se jedná o jednoduchý oblouk

a zaměřené body slouží pouze k ověření jeho známých rozměrů. V případě, že by se

jednalo o oblouk složený, k němuž nejsou k dispozici žádné informace, byl by výše

popsaný postup značně zdlouhavý. Bylo by nutné vytvořit mnoho dílčích oblouků


Diplomová práce

45

procházejících zaměřenými body a hledat přechod mezi částmi oblouků o různých

poloměrech. Po jejich nalezení by bylo ještě nutné vypočítat středové úhly konkrétních

obloukových výsečí. K tomu by bylo možné použít funkci Změřit úhel.

5.2. Určení středů – výpočet MATLAB

Pro zjednodušení výpočtu středů a poloměrů jednotlivých částí oblouků byl

vytvořen výpočetní skript v programu MATLAB. Výpočet středů a poloměrů probíhá

metodou nejmenších čtverců, která vychází z následujících vzorců:

Středová rovnice kružnice: (𝑥 − 𝑥𝑠)2 + (𝑦 − 𝑦𝑠)2 = 𝑟2, (21)

kde 𝑥𝑠, 𝑦𝑠 jsou souřadnice středu kružnice

r je poloměr kružnice

tvar po úpravě: 𝑥2 − 2𝑥𝑥𝑠 + 𝑥𝑠2 + 𝑦2 − 2𝑦𝑦𝑠 + 𝑦𝑠

2 = 𝑟2

dále se označí: 𝐷 = −2𝑥𝑠

𝐸 = −2𝑦𝑠

𝐹 = 𝑥𝑠2 + 𝑦𝑠

2 − 𝑟2 =1

4(𝐷2 + 𝐸2) − 𝑟2

souřadnice středu: 𝑆 [𝑥𝑠; 𝑦𝑠] → 𝑆 [−1

2𝐷;

−1

2𝐸]

hodnota poloměru: 𝑟 =1

2√𝐷2 − 4𝐹 + 𝐸2

středová rovnice po substituci: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

vyrovnání zprostředkujících měření metodou MNČ:

[

𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1∙ ∙ ∙

𝑥𝑛 𝑦𝑛 1

] ∙ [𝐷𝐸𝐹

] = − [

𝑥12 + 𝑦1

2

𝑥22 + 𝑦2

2

∙𝑥𝑛

2 + 𝑦𝑛2

] → 𝐴 ∙ 𝑥 = −𝑏

𝑥 = −(𝐴𝑇𝐴)−1 ∙ 𝐴𝑇𝑏


Diplomová práce

46

Vstupními hodnotami pro výpočet jsou souřadnice zaměřených bodů na hraně vnitřního

obrubníku.

Výpočet je navržen tak, že po načtení prvních tří bodů proběhne první výpočet.

Výsledkem jsou tedy souřadnice středů kružnicového oblouku a délka poloměru. Dále

je vypočtena vzdálenost od vypočteného středu k dalšímu zaměřenému bodu

na obrubníku a porovnána s vypočteným poloměrem. Pokud je absolutní hodnota

rozdílu vzdálenosti a poloměru menší než hodnota tolerance4, kterou lze libovolně

zadat, je bod použit pro nový výpočet souřadnic středu a délky poloměru.

Tímto způsobem probíhá výpočet (vyrovnávání) do té doby, dokud není rozdíl délky

poloměru a vzdálenosti od středu k následujícímu zaměřenému bodu větší než zadaná

tolerance. V momentě, kdy tato situace nastane, se dá předpokládat, že daný bod leží

na části oblouku příslušící jinému poloměru. Výpočet pro první část je tedy ukončen

a následuje výpočet pro část další.

Opět jsou tedy načteny souřadnice tří bodů (následujících za posledním bodem

použitým pro výpočet první části) a proběhne první výpočet souřadnic středu a délky

poloměru druhé části oblouku. Výpočet dále probíhá stejným způsobem, jako je

uvedeno výše, až do určení prvního bodu poslední obloukové části.

Zde jsou opět načteny souřadnice tří bodů a výpočet vyrovnáním se opakuje až

do použití posledního zaměřeného bodu.

Výsledkem jsou tedy souřadnice středů S1, S2, S3 a délky poloměrů 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3. Dále jsou

pomocí výsledných souřadnic středů (z rozdílů směrníků) vypočteny středové úhly

příslušných obloukových částí.

4 Výchozí hodnota tolerance je 10 mm. Byla volena záměrně jako dvojnásobek povolené odchylky pro

kontrolní měření u kružnicových oblouků. Měla by tak eliminovat možné chyby vzniklé při stavbě

obrubníku a chyby při zaměření bodů na jeho hraně.


Diplomová práce

47

5.2.1. Testování výpočtu na modelových souřadnicích, podmíněnost výpočtu

Pro kontrolu výpočtu byly v programu MATLAB vytvořeny modelové souřadnice

středů a fiktivních bodů, které by měly simulovat zaměřené podrobné body na oblouku.

Modelový příklad rozměrově odpovídá nestandardnímu oválu se složeným obloukem

navrženému IAAF (R1 = 51,543 m ; R2 = 34.000 m) se souřadnicemi středů:

X [m] Y [m]

S2 147,026 100,000

S3 163,511 106,000

S6 163,511 94,000 Tab. 34: Výchozí hodnoty - souřadnice středů

Obr. 17: Určení středů - fiktivní body


Diplomová práce

48

Po otestování vytvořeného výpočetní skriptu na modelových souřadnicích (za použití

výchozí hodnoty tolerance) bylo zjištěno, že výsledné souřadnice středů a poloměry

jednotlivých obloukových částí se neshodují s výchozími hodnotami, pomocí kterých

byly modelové podrobné body zkonstruovány. Přestože je kružnice jednoznačně

definována třemi body, výsledky z vyrovnání při použití prvních 3 bodů se od

správných hodnot lišily i o desítky centimetrů.

Při dalších vyrovnáních, během nichž počet bodů použitých k výpočtu narůstal, se

výsledky sice blížily, avšak spíše oscilovaly kolem správných hodnot. Vše je patrné

z následujících tabulek.

Výsledky z vyrovnání – 1. část oblouku

Počet

bodů

X = 163,511 m Y = 94,000 m R = 34,000 m

X´ X – X´ Y´ Y – Y´ R´ R – R´

3 163,4957 0,0153 94,2489 -0,2489 34,2489 -0,2489

4 163,5077 0,0033 94,0276 -0,0276 34,0276 -0,0276

5 163,5100 0,0010 93,9976 0,0024 33,9975 0,0025

6 163,5078 0,0032 94,0194 -0,0194 34,0194 -0,0194

7 163,5070 0,0040 94,0256 -0,0256 34,0256 -0,0256

8 163,5082 0,0028 94,0175 -0,0175 34,0174 -0,0174

9 163,5086 0,0024 94,0151 -0,0151 34,0150 -0,0150

10 163,5104 0,0006 94,0062 -0,0062 34,0060 -0,0060

11 163,5109 0,0001 94,0039 -0,0039 34,0036 -0,0036

12 163,5118 -0,0008 94,0006 -0,0006 34,0003 -0,0003

13 163,5130 -0,0020 93,9962 0,0038 33,9959 0,0041

14 163,5130 -0,0020 93,9961 0,0039 33,9958 0,0042

15 163,5133 -0,0023 93,9953 0,0047 33,9949 0,0051

16 163,5127 -0,0017 93,9970 0,0030 33,9967 0,0033

17 163,5123 -0,0013 93,9980 0,0020 33,9977 0,0023

18 163,5117 -0,0007 93,9995 0,0005 33,9993 0,0007

19 163,5116 -0,0006 93,9996 0,0004 33,9994 0,0006

20 163,5119 -0,0009 93,9989 0,0011 33,9986 0,0014

21 163,5122 -0,0012 93,9983 0,0017 33,9980 0,0020

22 163,5118 -0,0008 93,9992 0,0008 33,9990 0,0010 Tab. 35:Vyrovnání MNČ bez redukce - 1.oblouková část


Diplomová práce

49


Počet

bodů

X = 147,026 m Y = 100,000 m R = 51,543 m

X´ X – X´ Y´ Y – Y´ R´ R – R´

3 147,0646 -0,0386 99,9934 0,0066 51,5041 0,0389

4 147,1222 -0,0962 99,9778 0,0222 51,4444 0,0986

5 147,1200 -0,0940 99,9784 0,0216 51,4467 0,0963

6 147,0629 -0,0369 99,9916 0,0084 51,5052 0,0378

7 147,0375 -0,0115 99,9970 0,0030 51,5312 0,0118

8 147,0154 0,0106 100,0013 -0,0013 51,5535 -0,0105

9 147,0256 0,0004 99,9995 0,0005 51,5432 -0,0002

10 147,0109 0,0151 100,0019 -0,0019 51,5581 -0,0151

11 147,0188 0,0072 100,0007 -0,0007 51,5501 -0,0071

12 147,0255 0,0005 99,9999 0,0001 51,5434 -0,0004

13 147,0267 -0,0007 99,9998 0,0002 51,5422 0,0008

14 147,0225 0,0035 100,0002 -0,0002 51,5464 -0,0034

15 147,0193 0,0067 100,0004 -0,0004 51,5495 -0,0065

16 147,0188 0,0072 100,0004 -0,0004 51,5500 -0,0070 Tab. 36:Vyrovnání MNČ bez redukce - 2. oblouková část


Počet

bodů

X = 163,511 m Y = 106,000 m R = 34,000 m

X´ X – X´ Y´ Y – Y´ R´ R – R´

3 163,5406 -0,0296 106,0087 -0,0087 33,9694 0,0306

4 163,3958 0,1152 105,9365 0,0635 34,1311 -0,1311

5 163,4551 0,0559 105,9678 0,0322 34,0642 -0,0642

6 163,4992 0,0118 105,9925 0,0075 34,0138 -0,0138

7 163,5025 0,0085 105,9945 0,0055 34,0099 -0,0099

8 163,5118 -0,0008 106,0003 -0,0003 33,9990 0,0010

9 163,5060 0,0050 105,9965 0,0035 34,0059 -0,0059

10 163,5064 0,0046 105,9967 0,0033 34,0055 -0,0055

11 163,5054 0,0056 105,9961 0,0039 34,0066 -0,0066

12 163,5054 0,0056 105,9960 0,0040 34,0067 -0,0067

13 163,5068 0,0042 105,9972 0,0028 34,0049 -0,0049

14 163,5072 0,0038 105,9975 0,0025 34,0044 -0,0044

15 163,5100 0,0010 106,0000 0,0000 34,0008 -0,0008

16 163,5115 -0,0005 106,0014 -0,0014 33,9987 0,0013

17 163,5122 -0,0012 106,0020 -0,0020 33,9978 0,0022

18 163,5119 -0,0009 106,0017 -0,0017 33,9982 0,0018

19 163,5113 -0,0003 106,0011 -0,0011 33,9990 0,0010

20 163,5112 -0,0002 106,0010 -0,0010 33,9992 0,0008 Tab. 37: Vyrovnání MNČ bez redukce - 3. oblouková část


Diplomová práce

50

Při hledání chyby ve výpočtech, bylo zjištěno, že matice A obsahující souřadnice

podrobných bodů je špatně podmíněna5. Tato skutečnost není chybou při programování

výpočetního skriptu, ale navržením samotného výpočtu.

POZNÁMKA:

Problematika podmíněnosti matic byla konzultována s odborným asistentem katedry

matematiky Mgr. Milanem Boříkem, Ph.D, který problém u daného výpočtu potvrdil.

Dále mi jím bylo vysvětleno, jakých hodnot by mělo číslo podmíněnosti nabývat. Údajně

v žádné odborné literatuře není výpočet maximální hodnoty čísla podmíněnosti popsán,

vše je prý otázkou zkušeností z mnohých výpočtů.

Mezi matematiky se uvádí, že by maximální hodnota čísla podmíněnosti měla být nižší

než převrácená hodnota nejnižší platné cifry zaokrouhlovaného řádu vstupních dat.

Tedy pokud jsou vstupními hodnotami souřadnice zaokrouhlené na mm, nemělo by číslo

podmíněnosti překročit hodnotu 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥=

1

0,001= 1000.

Během jednotlivých výpočtů dosahuje číslo podmíněnost hodnot až 10 12, což potvrzuje

velkou míru nestability.

Jelikož číslo podmíněnost matice A je závislé na velikosti jejích hodnot, kterými jsou

souřadnice bodů, je možným řešením tohoto problému redukce souřadnic. Ty mohou

být redukovány např. k těžišti nebo odečtením zvolených konstant.

Dalším možným zlepšením podmíněnosti výpočtu, je vložení vstupních hodnot na více

platných cifer, tedy souřadnice podrobných bodů určit na desetiny mm. Pokud by

software totální stanice takovýto výpočet souřadnic neumožňoval, bylo by nutné

souřadnice vypočítat z přímo měřených veličin v některém geodetickém programu.

Tento způsob výpočtu by byl v současné době vcelku neobvyklý, ovšem měl by vést

5 Podle [4] je podmíněnost výpočtu charakterizována číslem podmíněnosti Cp, jež je mírou citlivosti

relativní chyby řešení na relativní chybě vstupních dat. Číslo podmíněnosti lze vypočítat 𝐶𝑝 = ‖𝑨−1‖‖𝑨‖

nebo

𝐶𝑝 =𝜆𝑚𝑎𝑥(𝑨)

𝜆𝑚𝑖𝑛(𝑨), kde 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝑨) resp. 𝜆𝑚𝑖𝑛(𝑨) je maximální, resp. minimální vlastní číslo matice. V případě

že A není čtvercová regulární matice, je nutné do vzorců dosadit ATA.


Diplomová práce

51

k dosažení lepších výsledků bez nutnosti zaměření velkého množství podrobných bodů

na hraně obrubníku.

Hodnoty matice A byly upraveny - souřadnice modelových bodů byly vypočteny

na desetiny mm a poté před naplněním matice zredukovány k těžišti.

Z následujících tabulek je patrné, že výsledné hodnoty z vyrovnání (středy a poloměry

částí oblouků) se s očekávanou přesností blížily k těm výchozím dříve - při použití

nižšího počtu bodů.


Počet

bodů

X = 163,511 m Y = 94,000 m R = 34,000 m

X´ X – X´ Y´ Y – Y´ R´ R – R´

3 163,5095 0,0015 94,0233 -0,0233 34,0233 -0,0233

4 163,5106 0,0004 94,0034 -0,0034 34,0034 -0,0034

5 163,5104 0,0006 94,0060 -0,0060 34,0060 -0,0060

6 163,5106 0,0004 94,0040 -0,0040 34,0040 -0,0040

7 163,5110 0,0000 94,0009 -0,0009 34,0009 -0,0009

8 163,5112 -0,0002 93,9993 0,0007 33,9992 0,0008

9 163,5114 -0,0004 93,9985 0,0015 33,9985 0,0015

10 163,5112 -0,0002 93,9993 0,0007 33,9993 0,0007

11 163,5113 -0,0003 93,9990 0,0010 33,9990 0,0010

12 163,5112 -0,0002 93,9993 0,0007 33,9993 0,0007

13 163,5112 -0,0002 93,9994 0,0006 33,9994 0,0006

14 163,5111 -0,0001 93,9996 0,0004 33,9996 0,0004

15 163,5111 -0,0001 93,9998 0,0002 33,9997 0,0003

16 163,5110 0,0000 93,9999 0,0001 33,9999 0,0001

17 163,5110 0,0000 94,0000 0,0000 34,0000 0,0000

18 163,5110 0,0000 94,0000 0,0000 34,0000 0,0000

19 163,5109 0,0001 94,0001 -0,0001 34,0001 -0,0001

20 163,5110 0,0000 94,0001 -0,0001 34,0001 -0,0001

21 163,5110 0,0000 94,0000 0,0000 34,0000 0,0000

22 163,5109 0,0001 94,0001 -0,0001 34,0001 -0,0001 Tab. 38: Vyrovnání MNČ s redukcí k těžišti - 1. oblouková část


Diplomová práce

52


Počet

bodů

X = 147,026 m Y = 100,000 m R = 51,543 m

X´ X – X´ Y´ Y – Y´ R´ R – R´

3 147,0606 -0,0346 99,9906 0,0094 51,5072 0,0358

4 147,0406 -0,0146 99,9960 0,0040 51,5279 0,0151

5 147,0213 0,0047 100,0008 -0,0008 51,5478 -0,0048

6 147,0186 0,0074 100,0015 -0,0015 51,5505 -0,0075

7 147,0219 0,0041 100,0008 -0,0008 51,5472 -0,0042

8 147,0239 0,0021 100,0004 -0,0004 51,5451 -0,0021

9 147,0257 0,0003 100,0000 0,0000 51,5433 -0,0003

10 147,0261 -0,0001 100,0000 0,0000 51,5429 0,0001

11 147,0264 -0,0004 100,0000 0,0000 51,5427 0,0003

12 147,0263 -0,0003 100,0000 0,0000 51,5427 0,0003

13 147,0264 -0,0004 99,9999 0,0001 51,5426 0,0004

14 147,0260 0,0000 100,0000 0,0000 51,5430 0,0000

15 147,0259 0,0001 100,0000 0,0000 51,5431 -0,0001

16 147,0259 0,0001 100,0000 0,0000 51,5431 -0,0001 Tab. 39: Vyrovnání MNČ s redukcí k těžišti - 2. oblouková část


Počet

bodů

X = 163,511 m Y = 106,000 m R = 34,000 m

X´ X – X´ Y´ Y – Y´ R´ R – R´

3 163,5234 -0,0124 106,0064 -0,0064 33,9860 0,0140

4 163,5152 -0,0042 106,0023 -0,0023 33,9952 0,0048

5 163,5059 0,0051 105,9974 0,0026 34,0057 -0,0057

6 163,5120 -0,0010 106,0008 -0,0008 33,9987 0,0013

7 163,5103 0,0007 105,9998 0,0002 34,0007 -0,0007

8 163,5111 -0,0001 106,0003 -0,0003 33,9998 0,0002

9 163,5116 -0,0006 106,0006 -0,0006 33,9992 0,0008

10 163,5111 -0,0001 106,0003 -0,0003 33,9997 0,0003

11 163,5114 -0,0004 106,0005 -0,0005 33,9994 0,0006

12 163,5112 -0,0002 106,0003 -0,0003 33,9997 0,0003

13 163,5112 -0,0002 106,0003 -0,0003 33,9997 0,0003

14 163,5113 -0,0003 106,0004 -0,0004 33,9995 0,0005

15 163,5114 -0,0004 106,0005 -0,0005 33,9994 0,0006

16 163,5113 -0,0003 106,0004 -0,0004 33,9995 0,0005

17 163,5112 -0,0002 106,0004 -0,0004 33,9996 0,0004

18 163,5112 -0,0002 106,0003 -0,0003 33,9997 0,0003

19 163,5111 -0,0001 106,0002 -0,0002 33,9998 0,0002

20 163,5112 -0,0002 106,0003 -0,0003 33,9997 0,0003 Tab. 40: Vyrovnání MNČ s redukcí k těžišti - 3. oblouková část


Diplomová práce

53

Jak již bylo zmíněno, podmíněnost matice A závisí na velikosti jejích hodnot a není tedy

předem možné určit minimální počet bodů potřebný k dosažení požadovaných

výsledků.

Výsledky také ovlivňuje rozmístění zaměřených bodů. Pokud jsou body použité

k výpočtu blízko sebe (na kruhové výseči s malým středovým úhlem), nejsou výsledky

tak přesné, jako kdyby byly rozmístěny po celé kružnici. Tato situace ovšem není

na atletických oválech reálná, zaměřené body budou vždy tvořit pouze půlkružnici,

popř. u složených oblouků budou části kružnice ještě menší.

POZNÁMKA:

Pokud by byla známa místa, kde přechází jedna oblouková část v druhou, nebylo by

nutné zaměření velkého množství bodů. Např. pokud by byly k výpočtu použity pouze 1.,

11. a 22. bod (v případě 1. části oblouku.), výsledky z vyrovnání by

odpovídaly výchozím hodnotám s očekávanou přesností jak při výpočtu s redukcí, tak

i bez ní (viz následující tabulka).

Výsledky z vyrovnání – 1. část oblouku (body 1, 11, 22)

Počet

bodů Redukce X = 163,511 m Y = 94,000 m R = 34,000 m

X´ X – X´ Y´ Y – Y´ R´ R – R´

3 NE 163,5115 -0,0005 94,0000 0,0000 34,0000 0,0000

3 ANO 163,5108 0,0002 94,0004 -0,0004 34,0004 -0,0004 Tab. 41:Vyrovnání MNČ - 1. oblouková část (body 1, 11, 22)

Jako výsledné souřadnice a poloměr jednotlivých obloukových částí lze označit buď

výsledek z posledního výpočtu vyrovnání, nebo vypočítat pro soubor všech výsledných

hodnot některý statistický ukazatel. Nejvhodnějším ukazatelem by mohl být například

medián, který dělí řadu vzestupně seřazených hodnot na dvě stejně početné poloviny.

Jeho výhodou je, že není ovlivněn extrémními hodnotami.

Po určení středů jednotlivých obloukových částí je možné ověřit rozměry atletického

oválu, viz kapitoly 2.2. a 2.3.


Diplomová práce

54

6. Značení oválu

Značení nestandardních oválů je stejné jako u oválu standardního.

Pro účely této DP je v příloze č. 3 k nahlédnutí IAAF 400 Metre standard track,

Marking Plan (plán značení standardního oválu), který je součástí manuálu.

V plánu značení jsou vyznačena a popsána barevná provedení všech čar, které musí

na oválu být.

Všechny čáry jsou 0,05 m široké.

Běžecké dráhy jsou vyznačeny bílými vodícími čarami. Lajna na pravé straně (ve směru

běhu) každé dráhy je zahrnuta v měření šířky dané dráhy.

Všechny startovní čáry, s výjimkou zakřivených startů, a cílová čára musí být

vyznačeny kolmo k vodícím čárám.

Dále jsou na atletických oválech vyznačeny umístění překážek, zóny akcelerace (ZA),

začátky (ZS), středy (ZM) a konce (ZE) předávkových území. Nesmí chybět linie a bod

souběhu. Veškeré značení musí barevně a rozměrově odpovídat plánu značení.

V každé dráze, před startem závodu na 110 m překážek a před cílem, by mělo být

vyznačeno číslo dané dráhy. Velikost čísla by měla být minimálně 0,50 m. Jak již bylo

zmíněno, dráhy jsou číslovány vzestupně od vnitřního obrubníku k vnějšímu.

Volitelně mohou být uprostřed každé dráhy vyznačeny 0,03 m široké a 0,80 m dlouhé

bílé čáry ve vzdálenostech 1, 3 a 5 m před cílem.

Pro správné umístění záznamového zařízení a usnadnění při vyhodnocování jeho

výsledků, by měly být černě vyznačeny průsečíky cílové čáry s vodícími lajnami.

Pokud by byla barva povrchu jiná než červená a nebylo by tak možné jasné vyznačení

některých lajn, je změna barevného schéma povolena. Např. na modrém povrchu jsou

modré prvky značeny červenou barvou.


Diplomová práce

55

7. Běžecké disciplíny

Pro porozumění značení oválů a schopnost určit polohu jakékoliv čáry, je třeba

znát průběh všech běžeckých disciplín, které se na oválu konají. Běžecké disciplíny

lehké atletiky se rozdělují do pěti kategorií – sprinty, středně dlouhé tratě, dlouhé tratě,

překážkové závody a závody štafet.

Vzdálenosti závodů jsou měřeny vždy ve směru hodinových ručiček od hrany cílové

čáry blíže ke startu až po hranu startovní čáry vzdálenější od cíle.

Povolená odchylka délky každého závodu je v intervalu < 0,00 , 0,0001L > , kde L je

délka závodu v metrech. (Z této podmínky vyplývá i maximální povolená odchylka

oválu 400 m + 0,04 m.)

V následujících odstavcích jsou zmíněny pouze mezinárodní běžecké disciplíny, které

jsou uvedeny na plánu značení. Některé země mají i své národní disciplíny. Jedná se

převážně o závody v juniorských kategorií. Výpočty spojené s těmito závody jsou pouze

modifikací uvedených výpočtů.

Pro účely této práce byla vytvořena výpočetní funkce v programu MATLAB, jejíž

výstupy jsou souřadnice bodů jednotlivých linií a údaje potřebné pro vytvoření plánu

značení atletického oválu. Postupy výpočtů budou popsány v kapitole 9.


Diplomová práce

56

7.1. Sprinty

Jako sprinty se označují závody na 100 m, 200 m a 400 m. Všechny tyto závody

se startují ze startovních bloků a každý závodník běží celý závod ve své dráze.

Jelikož se vzrůstajícím číslem dráhy se zvětšují i poloměry oblouků v dané dráze, jsou

starty ve 2. - 8. dráze posunuty. Posun startů se provádí vždy tak, aby délka do cíle

podél IS dané dráhy byla stejná jako podél IS v dráze první.

1a) Závod na 100 m

Závod na 100 m se běží celý na přímém úseku k tomu určeném. Tím je prodloužení

2. rovinky. Startovní čára je pro všechny závodníky stejná, vyznačena kolmo přes

všechny dráhy.

1b) Závod na 200 m

Závod na 200 m se běží již v drahách oválu, konkrétně druhé zatáčky a druhé rovinky.

Start v první dráze je umístěn na konci 1. rovinky – v polovině oválu (Obr. 2 - bod C).

Starty ve 2. – 8. dráze jsou posunuty ve směru běhu podél IS dané dráhy tak, aby byla

vzdálenost od startu do cíle stejná jako v dráze první.

1c) Závod na 400 m

Start závodu na 400 m je v první dráze totožný s cílovou čarou. Starty ve 2. – 8. dráze

jsou posunuty ve směru běhu podél IS dané dráhy tak, aby byla vzdálenost od startu

do cíle stejná jako v dráze první.


Diplomová práce

57

7.2. Středně dlouhé tratě

Jako středně dlouhé tratě jsou označeny závody na 800 m, 1000 m, 1 500 m,

1 míli, 2 000 m a 3 000 m. Závody na 800 m a 1 500 m se konají například na MS

a LOH. Zbylé disciplíny nejsou tolik obvyklé.

2a) Závod na 800 m

Při závodě na 800 m běžci obkrouží ovál celkem dvakrát. Závod na 800 m je specifický

v tom, že závodníci startují každý ve své dráze (bez startovních bloků) a na začátku

první rovinky se sbíhají do první dráhy. Místo, kde se mohou začít sbíhat, je vyznačeno

zelenou linií souběhu (angl. Breakline). Breakline je navržena tak, aby od ní do cíle byla

vzdálenost pro všechny běžce stejná. Toto kritérium zaručuje křivka – evolventa. (Této

křivce je věnována 8. kapitola). Délka podél IS v první dráze je tedy 2 x 400 m. Starty

ve 2. – 8. dráze jsou posunuty ve směru běhu podél IS tak, aby byla vzdálenost od startu

do cíle stejná jako v dráze první. Pro výpočet posunů je nutné znát přesné hodnoty

redukcí (Obr. 24) v každé dráze, tj. vzdáleností podél IS od začátku 1. rovinky k linii

souběhu. Hodnoty redukcí pro konkrétní ovály navržené IAAF jsou uvedeny

v tabulkách Tab. 53, Tab. 54, Tab. 55.

2b) Závody na 1 500 m a 1 míli

Startovní čáry závodů na 1 500 m a 1 míli jsou křivky. Z těchto křivek se závodníci

ihned po startu sbíhají do první dráhy. Startovní čáry mají vlastnosti evolventy. Poloha

startů těchto závodů bude vysvětlena v kapitolách 9.5 a 9.6.

2c) Závody na 1 000 m a 3 000 m

Starty závodů na 1 000 m resp. 3 000 m jsou totožné se startem závodu na 5 000 m

(viz. kap. 7.3, odst. 3a).

2d) Závod na 2 000 m

Start závodu na 2 000 m je totožný se startem závodu 10 000 m (viz. kap. 7.3, odst. 3b).


Diplomová práce

58

7.3. Dlouhé tratě

Jako dlouhé tratě se označují závody na 5 000 m a 10 000 m. Tyto závody jsou

olympijskými disciplínami.

3a) Závod na 5 000 m

Start závodu na 5 000 m (1 000 m, resp. 3 000 m) je vyznačen křivkou č. 1 začínající

v bodě C (Obr. 18). Z této křivky se závodníci ihned po startu sbíhají do první dráhy.

Křivka má vlastnosti evolventy. Ze startovní čáry může startovat maximálně 12

závodníků.

Pro případ vyššího počtu závodníků je vytvořena další, posunutá, startovní čára č. 2.

Ta je vyznačena přes čtyři vnější dráhy (Obr. 18). Z této startovní čáry se sbíhá druhá

skupina závodníků do páté dráhy, ve které běží až na začátek druhé rovinky. Zde je

signalizován bod souběhu (angl. Breakpoint). Breakpoint je signalizován na vodící lajně

mezi 4. a 5. dráhou a splňuje stejné vlastnosti jako Breakline. Je to vlastně bod

evolventy, stejně vzdálený od začátku druhé rovinky, jako Breakline v témže bodě

od začátku rovinky první. Od tohoto bodu se závodníci běžící v páté dráze (druhá

skupina) mohou sbíhat do dráhy první. Zbytek závodu již všichni závodníci běží v první

dráze.

Rozdíl v závodech na 5 000 m (1 000 m, resp. 3 000 m) je pouze v počtu uběhnutých

kol.


Diplomová práce

59

Obr. 18: Start závodu na 5 000 m pro standardní ovál (převzato z manuálu)

3b) Závod na 10 000 m

Start závodu na 10 000 m resp. 2 000 m je vyznačen křivkou č. 2 od bodu A (Obr. 19).

Z této křivky se závodníci ihned po startu sbíhají do první dráhy. Křivka má vlastnosti

evolventy. Ze startovní čáry může startovat maximálně 12 závodníků.

Pro případ vyššího počtu závodníků je vytvořena další, posunutá, startovní čára č. 3.

Ta je vyznačena přes 4 vnější dráhy. Začátek této křivky navazuje na začátek startovní

čáry závodu na 800 m v páté dráze. Ze startovní čáry se sbíhá druhá skupina závodníků


Diplomová práce

60

do páté dráhy, ve které běží až na začátek první rovinky. Zde se od Breakline závodníci

běžící v páté dráze mohou začít sbíhat do dráhy první. Zbytek závodu již všichni

závodníci běží v první dráze.

Rozdíl v závodech na 10 000 m (2 000 m) je pouze v počtu uběhnutých kol.

Obr. 19:Start závodu na 10 000 m pro standardní ovál (převzato z manuálu)


Diplomová práce

61

7.4. Překážkové závody

Jako překážkové závody jsou označeny závody, ve kterých závodníci musejí při

běhu skákat přes překážky. Konkrétně to jsou závody na 100 m překážek, na 110 m

překážek, na 400 m překážek a Steeplechase.

4a) Závod na 100 m překážek

Tento závod je určen pro ženy. Odehrává se na prodloužené 2. rovince, kdy každá

závodnice startuje z bloků a běží ve své dráze, ve které je rozmístěno 10 překážek.

Vzdálenosti mezi překážkami a jejich rozměry jsou uvedeny v manuálu (Tab. 42).

4b) Závod na 110 m překážek

Tento závod je určen pro muže. Odehrává se na prodloužené 2. rovince, kdy každý

závodník startuje z bloků a běží ve své dráze, ve které je rozmístěno 10 překážek.

Vzdálenosti mezi překážkami a jejich rozměry jsou uvedeny v manuálu (Tab. 42).

4c) Závod na 400 m překážek

Při závodě každý závodník startuje z bloků a běží ve své dráze. Starty jsou totožné

se starty při závodu na 400 m. V každé dráze je rozmístěno 10 překážek. Vzdálenosti

mezi překážkami a jejich rozměry jsou uvedeny v manuálu (Tab. 42).

Tab. 42: Vzdálenosti a výšky překážek


Diplomová práce

62

4d) Závod Steeplechase (běh na 3 000 m resp. 2 000 m překážek)

Závod Steeplechase se nejčastěji běhá ve dvou variantách, 3000 m (LOH, MS) a

2000 m. Při tomto závodě závodníci překonávají v rámci jednoho okruhu 4 překážky a

zabudovaný vodní příkop. Starty závodů Steeplechase jsou vyznačeny křivkou, která

má vlastnosti evolventy. Její poloha ovšem není pevně daná. Upravuje se podle zkrácení

resp. prodloužení standardní dráhy o dráhu uběhnutou přes vodní příkop.

Tento závod je popsán v samostatné kapitole 9.7.


Diplomová práce

63

7.5. Závody štafet

Jako závody štafet se označují závody na 4x 100 m a 4x 400 m. Těchto závodů

se účastní čtyřčlenná družstva, jejichž členové si v průběhu závodu předávají mezi

sebou štafetový kolík. Kolík musí být předán v tzv. předávkovém území. U štafety

na 4x 100 m je před předávkovým územím vyznačeno ještě území pro akceleraci.

5a) Štafeta 4x 100 m

Při tomto závodu si všichni běžci mezi sebou předají štafetový kolík v rámci jednoho

okruhu. Celý závod běží každé družstvo v jedné dráze. Starty závodu jsou totožné

se starty závodu na 400 m. První běžci startují ze startovních bloků.

Vzdálenost mezi startem a cílem podél IS každé dráhy je rozdělena na 4 stejně dlouhé

úseky (100 m), které jsou na dráze vyznačeny. Ve vzdálenosti 10,00 m před i za čarami

rozdělujícími dráhu na 100 m úseky je vyznačeno předávkové území. 10,00 m

před začátkem každého předávkového území je vyznačeno ještě území pro akceleraci

druhých (třetích, resp. čtvrtých) běžců.


Diplomová práce

64

5b) Štafeta 4x 400 m

Při tomto závodu si všichni běžci mezi sebou předají štafetový kolík po uběhnutí celého

kola. Start závodu v první dráze je totožný se startem závodu na 400 m. Starty v 2. – 8.

dráze jsou posunuty ve směru běhu podél IS konkrétní dráhy. Hodnoty posunů jsou

součtem posunů pro závody na 400 m a 800 m v konkrétních drahách. Tato skutečnost

je snadno odůvodnitelná po pochopení průběhu závodu.

První běžci startují ze startovních bloků a běží celé kolo ve své dráze. Pro předání

štafetového kolíku mezi prvním a druhým běžcem je vyznačeno 20 m dlouhé

předávkové území, které je vyznačeno liniemi 10 m před a 10 m za starty závodu na

800 m.

Druhý běžec běží od předávky ve své dráze až k Breakline, odkud se může začít sbíhat

do dráhy první. V té závod pokračuje až do konce. Pro další předávky je vyznačen

začátek předávkového území 10 m před cílem přes všechny dráhy. Konec předávkého

území je vyznačen rovnoběžně s cílem ve vzdálenosti 10 m od něj, ovšem pouze přes

2. – 5. dráhu. V první dráze zůstává značení předávkového území ze stejné, tedy kolmo

k vodícím čarám.


Diplomová práce

65

8. Evolventa kružnice

Evolventa kružnice:

Při valení tečny (o délce r·) po dané kružnici (Obr. 20) opisuje každý koncový bod

tečny evolventu kružnice (evoluty). Rovnice evolventy kružnice je

𝑥 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑)

𝑦 = 𝑟(𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑)

kde r je poloměr dané kružnice (evoluty) a je úhel odvalení.

Rovnice evolventy kružnice v polárních souřadnicích podle Obr. 20 je

𝜑 = 𝛼 + 𝛿

𝑟 ∙ 𝜑 = 𝑟 ∙ (𝛼 + 𝛿) = 𝑟 ∙ tan 𝛼

𝛿 = tan 𝛼 − 𝛼

tan 𝛼 =√𝜌2 − 𝑟2

𝑟= √

𝜌2

𝑟2− 1

𝛿 = tan 𝛼 − 𝛼 = √𝜌2

𝑟2− 1 − arctg√

𝜌2

𝑟2− 1. (23)

𝑡 = 𝑟 ∙ 𝜑 (24)

Z Obr. 20 je patrné, že délka tečny evoluty, resp. normály evolventy se rovná 𝑡 = 𝑟 ∙ 𝜑.

Délka oblouku kružnice (evoluty) se rovná také 𝑑 = 𝑟 ∙ 𝜑.

Uvedené vzorce tedy dokazují, že závodník běžící v první dráze (po evolutě) uběhne

stejnou vzdálenost jako běžec, který do ní sbíhá (po normále evolventy) z jakékoliv

další dráhy.

Na atletických oválech jsou evolutami vždy teoretické dráhy běžce v zatáčkách. Jejich

poloměry tedy jsou poloměry ideálních stop v 1. nebo 5. dráze v obloucích.


Diplomová práce

66

Obr. 20: Evolventa kružnice

8.1. Evolventy na atletických oválech

Na atletických oválech se vyskytují tři případy, kdy jsou linie částmi evolvent.

8.1.1. Části evolvent začínající na evolutě

První případem jsou startovní linie (evolventy), kdy běžec v 1. (5.) dráze běží

přímo po evolutě (kružnici). Začátek evolventy je tedy přímo na evolutě a pro jejich

výpočet platí, že délka tečny, resp. velikost úhlu odvalení je 𝜑 = 0. Souřadnice prvního

bodu evolventy se vypočtou podle vzorce (22), kdy je nutné dosadit poloměr evoluty r a

úhel odvalení 𝜑 = 0.

Tato situace je zobrazena na Obr. 21 červenou barvou.

Taková to evolventa, resp. její část, tvoří například starty závodů na 5 000 m

a 10 000 m.


Diplomová práce

67

8.1.2. Části evolvent jejichž začátek odpovídá určitému úhlu odvalení

Druhým případem jsou části evolvent, jejichž začátek odpovídá určitému úhlu

odvalení . Tato situace platí například pro startovní linii závodu na 1 míli a pro linii

souběhu (Breakline), kdy běžec v 1. dráze neběží přímo po evolutě, ale sbíhá se na ní po

její tečně (normále evolventy).

Výpočet hodnoty úhlu odvalení vychází ze vzorce (24), kde je nutné znát poloměr

evoluty a délku její tečny, resp. normály evolventy v 1. dráze. Po výpočtu hodnoty úhlu

odvalení je možné vypočítat souřadnice prvního bodu evolventy dosazením do vzorce

(22).

Tato situace je zobrazena na Obr. 21 modrou barvou.

Obr. 21: Evolventy na atletických oválech


Diplomová práce

68

8.1.3. Linie tvořené částmi více evolvent

Posledním případem jsou linie, které tvoří části dvou evolvent odpovídajícím

dvěma evolutám. Tento případ je kombinací předchozích dvou, kdy je začátek linie

částí evolventy začínající na jí příslušné evolutě. V určitém bodě přejde linie v část

druhé evolventy, jejíž začátek odpovídá úhlu odvalení pro délku tečny k jiné evolutě.

Takovýto průběh má například linie startu na 1 500 m nacházející se v první zatáčce

oválu. Běžci blíže k vnitřnímu obrubníku se sbíhají do první dráhy, kterou je evoluta

v první zatáčce. Zatímco běžci blíže k vnějšímu obrubníku se sbíhají do první dráhy,

kterou je evoluta v druhé zatáčce oválu.

U některých oválů se složenými oblouky nastává podobná situace u linií posunutých

startů závodů na 5 000 m a 10 000 m, kdy změnu evolut způsobují rozdílné poloměry

obloukových částí.

Konkrétní výpočty evolvent, tvořící linie na atletických oválech budou popsány

v následující kapitolách.


Diplomová práce

69

9. Výpočty potřebné pro vytvoření digitálního výkresu plánu

značení

Všechny následující výpočty byly provedeny v programu MATLAB. Výpočetní

skripty byly navrhovány pro nestandardní atletické ovály s jednoduchými i složenými

oblouky obecných rozměrů.

Všechny výpočty jsou u oválů s jednoduchými oblouky vztaženy ke středům S1 a S2,

jejichž souřadnice jsou:

X [m] Y [m]

S1 100,000 100,000

S2 100,000 + d 100,000 Tab. 43: Středy - ovál s jednoduchými oblouky

U oválů se složenými oblouky jsou výpočty vztaženy ke všem středům, jejichž

souřadnice jsou:

X [m] Y [m]

S1 100,000 100,000

S2 100,000 + d1 100,000

S3 XS2 + d2 YS2 + 0,5 · d3

S4 XS1 - d2 YS1 + 0,5 · d3

S5 XS1 - d2 YS1 - 0,5 · d3

S6 XS2 + d2 YS2 - 0,5 · d3 Tab. 44: Středy - ovál se složenými oblouky

Označení poloměrů jednotlivých obloukových částí a jim příslušných středových úhlů

je stejné jako na obrázku Obr. 2. U nestandardních oválů s jednoduchými oblouky je

logicky pouze jeden poloměr se středovým úhlem = 200 gon.

Dále budou popsány výpočty spojené pouze s ovály se složenými oblouky. Tyto

výpočty jsou složitější. Výpočty spojené s nestandardními ovály s jednoduchými

oblouky jsou analogické k výpočtům uvedeným v [1].


Diplomová práce

70

9.1. Teoretické dráhy běhu

Se vzrůstajícím číslem dráhy se prodlužuje délka teoretické dráhy běhu v dané

dráze. To je logicky způsobeno změnou poloměrů ideálních stop pro jednotlivé dráhy.

Následující výpočty uvažují variantu oválu, jehož rozměry určuje vnitřní obrubník.

Ideální stopa běžce v první dráze je tedy uvažována 0,30 m od obrubníku. V každé další

dráze jsou ideální stopy uvažovány 0,20 m od bílé lajny. Šířka každé dráhy je 1,22 m.

Teoretická dráha běžce v první dráze určuje délku oválu a vypočte se (podle Obr. 2):

𝐿1 = 2 ∙ 𝑑1 + 4 ∙ 𝑑2 + 4 ∙ 𝛼[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅1 + 0,30) + 2 ∙ 𝛽[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅2 + 0,30)

Např. pro ovál č.1 (Obr. 9) je délka teoretické dráhy běžce v 1. dráze rovna

𝐿1 = 400,0004 𝑚.

Délky podél ideálních stop v následujících drahách se vypočtou:

𝐿𝑖 = 2 ∙ 𝑑1 + 4 ∙ 𝑑2 + 4 ∙ 𝛼[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅1 + (𝑖 − 1) ∙ 1,22 + 0,20)

+2 ∙ 𝛽[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅2 + (𝑖 − 1) ∙ 1,22 + 0,20),

kde i je číslo dráhy.

Logicky by měly být rozdíly mezi délkami podél ideálních stop v jednotlivých drahách

na všech stadionech stejné. Běžec vždy uběhne na celém oválu o ∆ = 2 ∙ 𝜋 ∙ ∆𝐼𝑆 více,

kde ∆𝐼𝑆 je vzdálenost ideálních stop konkrétní drah (měřeno po normále).

Např. pro ovál č.1 (Obr. 9) je délka teoretické dráhy běžce v 2. dráze rovna

𝐿2 = 407,0376 𝑚.

Vzdálenost ideálních stop v 1. a 2. dráze je 1,12 m. Rozdíl délek podél ideálních stop je

tedy

∆ = 𝐿2 − 𝐿1 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 1,12 = 7,0372 𝑚.


Diplomová práce

71

9.2. Posuny startů a polohy překážek

9.2.1. 100 m překážek

Start závodu je dán linií vyznačenou ve vzdálenosti 100 m od cíle přes všechny

dráhy na prodloužení druhé rovinky. Poloha překážek je ve všech drahách stejná.

Vzdálenost první překážky od startu závodu, resp. vzdálenost mezi dalšími překážkami

a vzdálenost od poslední překážky do cíle, je uvedena v Tab. 42.

Tolerance v poloze překážek v závodě na 100 m je ±0,01 m.


Start závodu je dán linií vyznačenou ve vzdálenosti 110 m od cíle přes všechny

dráhy na prodloužení druhé rovinky. Poloha překážek je ve všech drahách stejná.

Vzdálenost první překážky od startu závodu, resp. vzdálenost mezi dalšími překážkami

a vzdálenost od poslední překážky do cíle, je uvedena v Tab. 42.


9.2.3. Starty závodu na 200 m

Délka závodu na 200 m odpovídá polovině délky oválu a pro první dráhu se vypočte:

𝐿200𝑚 = 𝑑1 + 2 ∙ 𝑑2 + 2 ∙ 𝛼[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅1 + 0,30) + 𝛽[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅2 + 0,30)

Start v první dráze se nachází na konci druhé rovinky, ostatní starty jsou posunuty podél

ideálních stop ve směru běhu.

Posuny startů jsou podle manuálu uváděny vždy od začátku 2. zatáčky podél ideální

stopy v dané dráze. Posuny by měly být na všech stadionech stejné (Tab. 45) a lze je

vypočítat buď z rozdílů délek podél ideálních stop v první a dané dráze nebo ze vzorce

𝑝𝑖 = 𝜋 ∙ ∆𝐼𝑆𝑖,

kde ∆𝐼𝑆𝑖 je vzdálenost ideálních stop v první a i-té dráze (měřeno po normále).


Diplomová práce

72

dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9

∆𝐼𝑆𝑖 [m] 1,12 2,34 3,56 4,78 6,00 7,22 8,44

𝑝𝑖 [m] 3,519 7,351 11,184 15,017 18,850 22,682 26,515

Tab. 45: Posuny startů - 200 m


Délka závodu na 400 m odpovídá délce oválu, která se vypočte:

𝐿1 = 𝐿400𝑚 = 2 ∙ 𝑑1 + 4 ∙ 𝑑2 + 4 ∙ 𝛼[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅1 + 0,30) + 2 ∙ 𝛽[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅2 + 0,30)

Start v první dráze je totožný s cílovou lajnou, ostatní starty jsou posunuty podél



stopy v dané dráze. Posuny by měly opět být na všech stadionech stejné (Tab. 46) a lze

je vypočítat buď z rozdílů délek podél ideálních stop v první a dané dráze nebo

ze vzorce

𝑝𝑖 = 2 ∙ 𝜋 ∙ ∆𝐼𝑆𝑖,

kde ∆𝐼𝑆𝑖 je vzdálenost ideálních stop v první a i-té dráze (měřeno po normále).

dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9

∆𝐼𝑆𝑖 [m] 1,12 2,34 3,56 4,78 6,00 7,22 8,44

𝑝𝑖 [m] 7,037 14,703 22,368 30,034 37,699 45,365 53,030 Tab. 46: Posuny startů - 400 m


Délka závodu na 800 m odpovídá dvojnásobku délky oválu (𝐿800𝑚 = 2 ∙ 𝐿1).

Start závodu v první dráze je totožný s cílovou lajnou, ostatní starty jsou posunuty podél



stopy v dané dráze. Pro výpočet posunů je nutné znát průběh linie souběhu, resp.

hodnoty redukcí 𝑟𝑖 v konkrétních drahách (jejich výpočet bude popsán v kapitole 9.3.1).

Z průběhu závodu je jasné, že od linie souběhu uběhnou do cíle všichni závodníci

stejnou vzdálenost. Ta je rovna hodnotě 𝐿𝐵𝑟 = 1,5 ∙ 𝐿1 + 2 ∙ 𝑑2 + 𝑑1. Zbylou


Diplomová práce

73

vzdálenost (od startu k Breakline) běží závodníci podél ideálních stop ve svých drahách.

Tato vzdálenost se vypočte odečtením hodnoty 𝐿𝐵𝑟 od délky závodu

(𝐿𝑆𝑡 = 𝐿800𝑚 − 𝐿𝐵𝑟). Odečtením redukce pro konkrétní dráhu od vzdálenosti 𝐿𝑆𝑡 se

vypočte vzdálenost, kterou závodník uběhne na oblouku (𝐿𝑂𝑖= 𝐿𝑆𝑡 − 𝑟𝑖). Posun startu

v i-té dráze se vypočte odečtením hodnoty 𝐿𝑂𝑖 od délky podél ideální stopy dané dráhy

v oblouku 𝑝𝑖 = (2 ∙ 𝛼[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅1 + (𝑖 − 1) ∙ 1,22 + 0,20) + 𝛽[𝑟𝑎𝑑] ∙ (𝑅2 + (𝑖 − 1) ∙

1,22 + 0,20)) − 𝐿𝑂𝑖.

Z postupu výpočtu je jasné, že posuny startů jsou pro ovály s různými rozměry odlišné.

V následujících tabulkách (Tab. 47, Tab. 48, Tab. 49) jsou uvedeny hodnoty posunů

pro nestandardní ovály navržené IAAF s opravenými rozměry (Obr. 9, Obr. 10,

Obr. 11).

Ovál se složenými oblouky (R1 = 34,000 m; R2 = 51,543 m)

dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9

𝑝𝑖 [m] 3,527 7,385 11,263 15,159 19,073 23,004 26,955 Tab. 47: Posuny startů - 800 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 34,000m; R2 = 51,543m)


dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9



dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9


9.2.6. Starty závodu na 4x 400 m

Z průběhu závodu na 4x 400 m je patrné, že posuny startů v tomto závodě jsou

součtem posunů pro starty závodů na 400 m a 800 m v konkrétních drahách. Tento fakt

je snadno odůvodnitelný - pomyslným cílem pro 1. běžce jsou startovní linie závodu na

800 m a první závodník k nim musí uběhnout vzdálenost 400 m.


stopy v dané dráze.


Diplomová práce

74

Jelikož do výpočtu posunů vstupují hodnoty posunů závodu na 800 m, je jasné, že

posuny startů závodu na 4x 400 m jsou pro ovály s různými rozměry odlišné.

V následujících tabulkách (Tab. 50, Tab. 51, Tab. 52) jsou uvedeny hodnoty posunů pro

nestandardní ovály navržené IAAF s opravenými rozměry (Obr. 9, Obr. 10, Obr. 11).


dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9

𝑝𝑖 [m] 10,564 22,088 33,631 45,193 56,772 68,369 79,985 Tab. 50: Posuny startů - 4x400 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 34,000m; R2 = 51,543m)


dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9

𝑝𝑖 [m] 10,562 22,082 33,616 45,166 56,731 68,310 79,905 Tab. 51: Posuny startů - 4x400 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 24,000m; R2 = 48,000m)


dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9

𝑝𝑖 [m] 10,563 22,082 33,617 45,168 56,733 68,314 79,909 Tab. 52: Posuny startů – 4x400 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 27,082m; R2 = 40,022m)

Předávková území

Jak bylo popsáno v kapitole 7.5, první předávková území jsou vyznačena ve všech

drahách liniemi 10 m před a 10 m za starty závodu na 800 m. Území pro následující

předávky jsou vyznačena vždy 10 m před a 10 m za cílem.

9.2.7. Předávková území 4x 100 m

Poloha linií startů (ZS), středů (ZM) a konců (ZE) předávkových území a linie

akcelerace (ZA) se v jednotlivých drahách vypočte jako staničení podél ideálních stop

od startů závodu na 400 m.

Délka jednotlivých úseků (od startu závodu ke středu prvního předávkového území,

resp. mezi středy předávkových území) se vypočte jako jedna čtvrtina délky oválu

(𝑍𝑀 = 0,25 ∙ 𝐿1). Všechny začátky a konce předávkových území jsou 10 m před,

resp. 10 m za linií ZM. Území pro akceleraci určuje linie, která se nachází ještě 10 m

před linií ZS.


Diplomová práce

75


Poloha překážek je v jednotlivých drahách dána staničením podél ideálních stop.

Vzdálenost první překážky od startu závodu na 400 m, resp. vzdálenost mezi dalšími

překážkami a vzdálenost od poslední překážky do cíle, je uvedena v Tab. 42.


POZNÁMKA:

Pro usnadnění tvorby digitálního výkresu značení byly všechny posuny a staničení

přepočítány také tak, aby odpovídaly staničení v příslušné části oválu, ve které se

nachází. Očíslování částí oválu 1 – 8 je patrné z Obr. 22.

Obr. 22: Části oválu


Diplomová práce

76

9.3. Linie souběhu (Breakline)

Jak již bylo zmíněno v kapitole 8.1.2., linie souběhu je částí evolventy, jejíž

začátek odpovídá určitému úhlu odvalení . Úhel odvalení se vypočte ze vzorce 𝜑 =𝑡

𝑟,

kde t je délka tečny a r je poloměr evoluty.

Na atletických oválech je evolutou vždy teoretická dráha běžce v první nebo v druhé

zatáčce. V případě Breakline je evolutou ideální stopa 1. dráhy ve druhé zatáčce. Délka

tečny t je vždy rovna délce rovinky.

Pro nestandardní ovály je poloměr evoluty roven 𝑟 = 𝑅1 + 0,30 𝑚 a délka tečny rovna

𝑡 = 2 ∙ 𝑑2 + 𝑑1. Úhel odvalení pro začátek části evolventy je tedy 𝜑 =2∙𝑑2+𝑑1

𝑅1+0,30 𝑚.

Dosazením vypočteného úhlu odvalení a poloměru evoluty do vzorce (22) je vypočten

pouze první bod evolventy. Jelikož poloměr evoluty se nemění, je výpočet souřadnic

bodů evolventy závislý pouze velikosti úhlu odvalení. Pro výpočet dalších bodů je tedy

nutné hodnotu úhlu odvalení zvyšovat.

POZNÁMKA:

V této práci jsou všechny body evolvent počítány s krokem 1 mgon od počáteční

hodnoty úhlu odvalení.

Vypočtenou část evolventy, která se nachází v obecné poloze, je ještě nutné správně

umístit do soustavy oválu. Umístění (transformace) bodů se skládá ze dvou kroků.

Nejprve jsou souřadnice bodů evolventy otočeny o úhel Ten má stejnou hodnotu jako

počáteční úhel odvalení k němuž je přičtena hodnota (±𝜋/2) zajišťující správné

otočení vzhledem k natočení oválu. Poté jsou body evolventy posunuty o hodnoty

souřadnic středu její evoluty.


Diplomová práce

77

Výpočet části evolventy v obecné poloze a její následné umístění je patrné z Obr. 23.

Obr. 23: Umístění Breakline

9.3.1. Redukce

Redukcí je označena vzdálenost podél ideální stopy od začátku 1. rovinky k linii

souběhu (Obr. 24).

Obr. 24: Redukce


Diplomová práce

78

Následující tabulky potvrzují, že tvary evolvent na oválech s různými rozměry jsou

odlišné.


dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9

𝑟𝑖 [m] 0,008 0,0034 0,079 0,142 0,223 0,322 0,440 Tab. 53: Redukce (Ovál se složenými oblouky (R1 = 34,000m; R2 = 51,543m)


dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9



dráha (i) 2 3 4 5 6 7 9


9.3.2. Breakpoint

Breakpoint (bod souběhu) je čtverec o rozměrech 0,05 x 0,05 m vyznačený

zelenou barvou na vodící lajně mezi 4. a 5. dráhou. Prakticky se jedná o bod linie

souběhu, který je stejně vzdálený od začátku druhé rovinky, jako Breakline v témže

bodě od začátku rovinky první.

Vzdálenosti bodů souběhu od začátku druhé rovinky na jednotlivých oválech jsou

uvedeny v následující tabulce.

Ovál vzdálenost Breakpointu [m]

Ovál č. 1 (R1 = 34,000 m; R2 = 51,543 m) 0,129

Ovál č. 2 (R1 = 24,000 m; R2 = 48,000 m) 0,105

Ovál č. 3 (R1 = 27,082 m; R2 = 40,022 m) 0,106 Tab. 56: Breakpoint


Diplomová práce

79

9.3.3. Linie souběhu standardního oválu

V manuálu je konstrukce linie souběhu popsána pomocí tečen evoluty (IS v 1.

dráze) viz Obr. 25 a Tab. 57.

Obr. 25: Konstrukce linie souběhu podle manuálu (převzato z manuálu, rozměry pro standardní ovál)

Tab. 57: Konstrukce linie souběhu podle manuálu (jednotky m/gon)


Diplomová práce

80

9.4. Starty závodů na 5 000 m a 10 000 m

Jak bylo popsáno v kapitole 7.3, starty závodů na 5 000 m a 10 000 m jsou

taktéž částmi evolvent. Z kapitoly 8.1 je možné určit, že se jedná o části evolvent, které

začínají na evolutě, popř. se jedná o evolventy složené ze dvou částí.

Výpočet jak hlavních, tak posunutých startů závodů na 5 000 m a 10 000 m je téměř

identický. Poloměry evolut hlavních, resp. posunutých závodů jsou stejné. Rozdíl je

pouze při umisťování.

9.4.1. Hlavní starty závodů

Hodnotami pro výpočet prvního bodu hlavních startovních linií je úhel odvalení

𝜑 = 0 a poloměr evoluty 𝑟 = 𝑅1 + 0,30 𝑚.

Po výpočtu příslušné části evolventy je nutné ji opět otočit kolem evoluty a posunout

do požadované polohy. To je patrné z následujících obrázků (obr. 26, Obr. 27).

Obr. 26: Umístění linie hlavního startu závodu na 5 000m


Diplomová práce

81

Obr. 27: Umístění linie hlavního startu závodu na 10 000m

9.4.2. Posunuté starty závodů

Z posunutých startů se běžci sbíhají do 5. dráhy. Hodnotami pro výpočet prvního

bodu posunutých startovních linií je úhel odvalení 𝜑 = 0 a poloměr evoluty

𝑟 = 𝑅1 + 4 ∙ 1,22 + 0,20.

Po výpočtu příslušné části evolventy je nutné ji opět otočit kolem evoluty a posunout

do požadované polohy. V tomto případě je ještě nutné vypočítat úhel otočení 𝛼𝐺𝑆, který

odpovídá posunu startu závodu na 800 m v 5. dráze. Tento výpočet vyplývá z faktu, že

závodníci běží v 5. dráze až k linii, popř. bodu souběhu. Závodníci se tedy do 1. dráhy

sbíhají stejně jako běžec při závodě na 800 m startující v 5. dráze.

Úhel otočení se vypočte 𝛼𝐺𝑆 =𝑝800(5)

𝑅1+4∙1,22+0,20.. Následující umístění vypočtených částí

probíhá stejně jako v případě hlavních startů. Pouze se k úhlům, o které se linie otáčí do

správné polohy (±𝜋/2), přičte hodnota 𝛼𝐺𝑆.


Diplomová práce

82

Posunuté starty složené z částí dvou evolvent

Jak bylo zmíněno v kapitole 8.1.3., u posunutých startů závodů může nastat situace, kdy

jsou linie těchto startů tvořeny z částí dvou evolvent. To je způsobeno změnou

poloměrů jednotlivých obloukových částí.

Zda se linie startu skládá z části jedné nebo z částí dvou evolvent je možné určit pomocí

vzorců uvedených v kapitole 8. Je třeba postupovat následovně:

Z rozdílu středového úhlu odpovídajícímu poloměru R1 a úhlu otočení 𝛼𝐺𝑆 se vypočte

doplňkový úhel 𝛼𝐷 = 𝛼 − 𝛼𝐺𝑆.

Dále se určí maximálního hodnota průvodiče (vzdálenost od středu obloukové části

k okraji oválu) 𝜌 = 𝑅1 + 9,76 𝑚.

Ze vzorce (23) se vypočte hodnota tan 𝛼𝑀 = √𝜌2

(𝑅1+4∙1,22+0,20)2 − 1.

Poté se určí samotná hodnota 𝛼𝑀.

Z rozdílu těchto hodnot se vypočte úhel 𝛿𝑀 = tan 𝛼𝑀 − 𝛼𝑀.

Nakonec se vypočte hodnota maximálního úhlu odvalení pro maximální délku

průvodiče 𝜑𝑀 = 𝛼𝑀 + 𝛿𝑀.

Pokud je hodnota 𝜑𝑀 menší než hodnota 𝛼𝐷, tvoří linii startu část pouze jedné

evolventy. Pokud je hodnota 𝜑𝑀 větší než 𝛼𝐷, skládá se linie startu z částí dvou

evolvent.


Diplomová práce

83

V případě, že je 𝜑𝑀 větší než 𝛼𝐷, je nutné určit počáteční úhel odvalení 𝜑2 pro část

druhé evolventy. Ten se vypočte pomocí délky tečny 𝑡𝑀, která je zároveň, jak poslední

tečnou obloukové části odpovídající středovému úhlu s poloměrem R1, tak první

tečnou obloukové části odpovídající středovému úhlu s poloměrem R2.

Tečna se vypočte 𝑡𝑀 = 𝛼𝐷 ∙ (𝑅1 + 4 ∙ 1,22 + 0,20).

Počáteční úhel odvalení části druhé evolventy se vypočte 𝜑2 =𝑡𝑀

(𝑅2+4∙1,22+0,20).

Linie posunutých startů složené z částí dvou evolvent jsou například u nestandardních

oválů č. 2 a 3, s rozměry R1 = 24,000 m; R2 = 48,000 m, resp. R1 = 27,082 m;

R2 = 40,022 m (viz následující obrázky).

Obr. 28: Umístění linie posunutého startu závodu na 5 000m - části dvou evolvent


Diplomová práce

84

Obr. 29: Umístění linie posunutého startu závodu na 10 000m - části dvou evolvent


Diplomová práce

85

9.5. Start závodu na 1 míli

Linie startu závodu na 1 míli se určí podobně jako linie souběhu. Rozdíl pouze

v délce tečny, resp. v hodnotě počátečního úhlu odvalení, a při umisťování.

Vzdálenost 1 míle je rovna 1609,344 m a odpovídá tedy délce čtyř celých oválů

a 9,344 m.

Z tohoto faktu lze odvodit délku tečny 𝑡 = 9,344 𝑚, pomocí které se vypočte úhel

odvalení pro první bod linie startu 𝜑 =9,344 𝑚

𝑅1+0,30 𝑚.

Z linie souběhu, se běžci sbíhají do druhé zatáčky, na evolutu se středem S4. Z linie

startu závodu na 1 míli se závodníci sbíhají do zatáčky první, konkrétně na evolutu

se středem S6 (Obr. 30).

Obr. 30: Umístění linie startu závodu na 1 míli


Diplomová práce

86

9.6. Start závodu na 1 500 m

Délka závodu na 1 500 m odpovídá délce tří celých oválů a ¾ délky oválu. Start

závodu je tedy 100 m před koncem první rovinky.

Jak bylo zmíněno v kapitole 8.1.3. jedná se vždy o linii, která je tvořena částmi dvou

evolvent (Obr. 31). Pouze pokud by byly rovinky oválu delší než 100 m, jednalo by se

o část jedné evolventy.

POZNÁMKA:

Pokud by byla délka rovinky oválu rovna přesně 100 m, byly by linie startu závodu na

1 500 m s linií souběhu totožné.

Část první evolventy začíná vždy na evolutě a je podél ní pouze otočena o vzdálenost,

která se vypočte z rozdílu vzdáleností 100 m a délky rovinky

(𝑑 = 100𝑚 − (2 ∙ 𝑑2 + 𝑑1)). Úhel otočení se následně vypočte 𝛼 =𝑑

𝑅1+0,30 𝑚. Z této

části evolventy se běžci sbíhají na evolutu v první zatáčce se středem S3.

Část druhé linie, ze které se běžci sbíhají na evolutu se středem S4, začíná v bodě,

ze kterého závodník může běžet rovně až nakonec první rovinky. Ve skutečnosti se jedná

o prodloužení ideální stopy běžce v první dráze. Tečna má tedy délku t = 100 m.

Následující výpočty jsou totožné jako při výpočtech a umístění bodů tvořící linii

souběhu.


Diplomová práce

87

Obr. 31: Umístění linie startu závodu na 1 500 m - části dvou evolvent


Diplomová práce

88

9.7. Starty závodů steeplechase

Jak již bylo zmíněno, při závodech steeplechase 3 000 m (resp. 2 000 m)

překonávají běžci v rámci jednoho okruhu 5 překážek. Jednou z nich je zabudovaný

vodní příkop, k němuž náleží pevná překážka těsně před ním (Obr. 32). Ostatní

překážky na trati jsou přenositelné. Jejich rozměry jsou patrné z Obr. 33, kde M je

výška při závodech mužů a W při závodech žen. Rozmístění těchto překážek na ovále

není striktně dáno, odvozuje se z délky oválu běžené přes vodní příkop. Vzdálenost

mezi všemi překážkami včetně vodního příkopu by měla být stejná.

Obr. 32: Steeplechase - rozměry vodního příkopu


Diplomová práce

89

Obr. 33: Steeplechase - překážka na trati

Pro potřeby vyznačení linií startů a rozmístění překážek je tedy nutné znát skutečnou

polohu příkopu.

Existují dvě varianty umístění vodního příkopu, které jsou uvedeny v manuálu:

7a) Vodní příkop uvnitř druhé zatáčky (Obr. 34)

Toto umístění je častější. Uvnitř druhé zatáčky je vytvořena dráha, široká 3,66 m, která

se skládá z rovinky a přechodových oblouků. Dráha je vyznačena po obou stranách

bílými lajnami (vnitřní lajna může být nahrazena obrubníkem), širokými 0,05 m.

Na rovince je umístěn vodní příkop s rozměry 3,66 m (± 0,02 m) x 3,66 m (± 0,02 m) x

0,50 m – 0,70 m (Obr. 34). Z Obr. 32 je patrné, že se délka vodního příkopu měří

od hrany překážky umístěné před ním.

Pokud je dráha vlevo (ve směru běhu) ohraničena bílou lajnou, je IS v této části oválu

měřena 0,20 m od vnitřní bílé čáry.


Diplomová práce

90

Obr. 34: Vodní příkop uvnitř druhé zatáčky (převzato z manuálu, rozměry pro standardní ovál)

7b) Vodní příkop vně druhé zatáčky (Obr. 35)

Toto umístění vodního příkopu je ojedinělé.

Obr. 35: Vodní příkop vně druhé zatáčky (převzato z manuálu, rozměry pro standardní ovál)


Diplomová práce

91

9.7.1. Určení středů přechodových oblouků a výpočet zkrácení dráhy běhu (VM)

Jelikož je vodní příkop málokdy budován vně druhé zatáčky, jsou v dalším textu

uvedeny výpočty a postupy spojené pouze s vodním příkopem umístěným uvnitř

zatáčky.

V případech, kdy je vodní příkop umístěn uvnitř zatáčky, je uběhnutá vzdálenost

přes příkop kratší, než délka podél IS v první dráze. Proto je nutné určit zkrácení

teoretické dráhy běžce.

Nejprve je nutné navrhnout značení dráhy přes vodní příkop. Vše je závislé na jeho

skutečné poloze, proto je nutné jeho zaměření.

Rovinka č. 3 (Obr. 36) musí být kolmá na osu oválu (spojnici středů S1, S2). Vnější

hrana bílé lajny ohraničující rovinku vlevo (blíže ke středu oblouku) je v místě vodního

příkopu totožná s jeho hranou (Obr. 32 A). Vnější hrana druhé lajny ohraničující

rovinku je totožná s druhou hranou příkopu. Tím je dán průběh rovinky.

Obr. 36: Vodní příkop uvnitř zatáčky - detail (převzato z manuálu, rozměry pro standardní ovál)


Diplomová práce

92

Dále je nutné určit průběh a středy přechodových oblouků mezi vnitřním obrubníkem

oválu a rovinkou vedoucí přes vodní příkop. IAAF preferuje poloměry těchto oblouků

o délce R = 16,000 m. U nestandardních oválů se složenými oblouky je určení středů

komplikovanější, jelikož není předem jasné, v jaké obloukové části se přechodové

oblouky napojí na vnitřní obrubník oválu.

Středy přechodových oblouků se určí následovně (Obr. 37):

Jak bylo uvedeno v 2. kapitole, druhý oblouk tvoří dvě části se středy S4, S5,

o poloměrech R1 a středových úhlech Třetí (prostřední) část má střed v bodě S1,

poloměr R2 a středový úhel

Linie L1, která představuje levou bílou lajnu rovinky, se rovnoběžně zkopíruje

ve vzdálenosti 16,000 m, čímž vznikne linie L2. Poté se vytvoří oblouky o poloměru

r = R1 - 16,000 m se středy v bodech S4 a S5 tak, aby protnuly linii L2.V průsečících

těchto oblouků (zobrazeny červenou barvou) a linie L2 (tyrkysová b.) vzniknou středy

S(R1). Z těchto středů se opět vytvoří oblouky (červená b.) o poloměru R = 16,000 m.

Dále se vytvoří oblouk (růžová b.) se středem S1 a poloměrem r = R2 – 16,000 m tak,

aby protnul linii L2. Tím vzniknou středy S(R2). Z těchto středů se opět vytvoří oblouky

(růžová b.) o poloměru R = 16,000 m.

Tímto jsou vytvořeny přechodové oblouky o poloměrech R = 16,000 m. Z obrázku je

patrné, že hledanými přechodovými oblouky pro tento ovál, jsou oblouky se středy

S(R1) nakreslené červenou barvou, jelikož se napojují na vnitřní obrubník oválu a tvoří

tak dohromady složený oblouk. Oblouky nakreslené růžově obrubník protínají.

Na jiných oválech se složenými oblouky může nastat situace opačná, kdy by správným

přechodovým obloukům odpovídaly oblouky růžové. Vše závisí na umístění vodního

příkopu, poloměrech a středových úhlech obloukových částí oválu.

Pro určení správné hodnoty zkrácení VM je ještě nutné určit středové úhly a ,

a polovinu délky rovinky c (zobrazeny červenou barvou na Obr. 38). Středový úhel

přísluší přechodovému oblouku, zatímco středový úhel přísluší části oblouku, kdy

běžec běží v první dráze oválu. Toto značení je převzato z formulářů pro certifikaci


Diplomová práce

93

atletických oválů (viz. Obr. 39). Hodnoty středových úhlů a délky rovinky, resp. její

poloviny, lze jednoduše odměřit z vytvořeného digitálního výkresu konkrétní situace.

Obr. 37: Steeplechase - určení středů přechodových oblouků (hodnoty v m)

Obr. 38: Steeplechase - výpočet VM


Diplomová práce

94

C. The Steeplechase Track 1. Track Details with inside Water Jump:

Measured Standard IAAF

Radius of inner lane: R = 36.50m

Theoretical running line of

the track: L = 0.30m 0.30m

The steeplechase track has

an inside kerb. Y N

Theoretical running line of

the steeple: l = 0.20m

Axis: S = 84.39m

Radius of steeplechase

kerb/inside line: r = 16,000m 16.00m

Angle 1 Track: = 47.2806 gon 42.5525 deg

Angle 2 Steeplechase: = 52.7194 gon 47.4475 deg Tab. 58: Parametry dráhy přes vodní příkop (převzato z dokumentu pro certifikaci atletických oválů)

Obr. 39: Steeplechase - výpočet VM (převzato z dokumentu pro certifikaci atletických oválů)


Diplomová práce

95

a) Calculation of the Steeplechase Lap (Water jump inside)

Measured Standard

IAAF Formula

Length curve 1 (Running

track): a (+) 27.331 m (+)

x x (R+L)

180

Length curve 2

(Steeplechase): b (+) 13.415 m (+)

x x (r+l)

180

Length c: c (+) 15.101 m (+)

z (=) 55.847 m (=) = a + b + c

Steeplechase curve: (=) 111.694 m (=) = z x 2

Normal curve: d (+) 115.610 m (+)

Steeplechase curve: e (-) 111.694 m (-)

Shortening measure: VM (=) 3.916 m (=) = d-e

Steeplechase lap: (=) 396.084 m = 400-VM Tab. 59: Steeplechase – výpočet VM (převzato z dokumentu pro certifikaci atletických oválů)

Postup výpočtu VM je patrný z tabulek Tab. 58 a Tab. 59.

b) Steeplechase Start Positions (Water jump inside)

Theoretical

5/7 VM Measured

Difference

Standard

IAAF Location

2000 m Steeplechase

5 VM 19.580 m

in front of

A

3000 m Steeplechase

7 VM 27.412 m

in front of

C Tab. 60: Steeplechase - pozice startů (převzato z dokumentu pro certifikaci atletických oválů)

Výpočet pozice startů závodů 2 000 m a 3 000 m steeplechase je patrný z Tab. 60.


Diplomová práce

96

9.7.2. Start závodu 2 000 m Steeplechase

Při závodě 2 000 m Steeplechase překonávají běžci vodní příkop celkem 5krát.

Proto je start závodu posunut v první dráze o hodnotu 5·VM před cílovou lajnou.

Hodnota 5·VM je zároveň délkou tečny t, z níž se určí počáteční úhel odvalení.

Následující výpočty jsou totožné s výpočty pro linii startu na 1 míli.

Obr. 40: Umístění linie startu závodu 2 000m Steeplechase


Diplomová práce

97

9.7.3. Start závodu 3 000 m Steeplechase

Při závodě 3 000 m Steeplechase překonávají běžci vodní příkop celkem 7krát.

Proto je start závodu posunut v první dráze o hodnotu 7·VM před cílovou lajnou.

Hodnota 7·VM je zároveň délkou tečny t, z níž se určí počáteční úhel odvalení.

Následující výpočty jsou totožné s výpočty pro linii souběhu.

Obr. 41: Umístění linie startu závodu 3 000m Steeplechase


Diplomová práce

98

9.8. Výpočetní funkce a GUI aplikace

9.8.1. Výpočetní funkce

Pro všechny výše popsané výpočty byly vytvořeny výpočetní skripty, které byly

vloženy do funkce. Vstupními hodnotami výpočetní funkce jsou rozměry oválu (d1, d2,

d3), poloměry obloukových částí (R1, R2) a jim příslušné středové úhlů (Dále

do výpočtů vstupuje hodnota VM, pomocí které se určují startovní linie závodů

Steeplechase. Pořadí při zadávání vstupních hodnot je následující: R1, R2, d1, d2, d3,

VM.

Pro nestandardní ovály s jednoduchými oblouky byly výpočetní skripty upraveny.

Z nich byla opět vytvořena výpočetní funkce.

Po zadání vstupních hodnot proběhne výpočet poloh všech zmíněných startovních linií,

posunů startů, staničení překážek, staničení předávkových území a území akcelerace.

Další výstupem je graf, ve kterém je zobrazen tvar oválu a polohy jednotlivých

startovních linií. Dále jsou do příslušný textových souborů uloženy hodnoty potřebné

pro vytvoření výkresu plánu značení. Těmi jsou souřadnice bodů evolvent tvořící

jednotlivé linie, hodnoty posunů startů, staničení překážek a předávkových území,

a informace o délce oválu a o složených evolventách. Všechny textové soubory

se souřadnicemi startovních linií na konci obsahují i souřadnice středů S1, S2. Ty jsou

zde uvedeny kvůli případné transformaci.

Např. po zadání hodnot odpovídajícím oválu č. 1 s rozměry R1 = 34,000 m,

R2 = 51,543 m se po výpočtu objeví v příkazovém okně následující informace:

Breakline je cast jedne evolventy

Do souboru "Breakline.txt" bylo ulozeno 49 bodu evolventy ve vzdalenosti 20cm +

souradnice stredu S1, S2.

Do souboru "Redukce_800m.txt" byly ulozeny hodnoty redukci a vzdalenost

Breakpointu.

Delka podel IS bezce v 1. draze je 400.000m. Vyhovuje kriteriu IAAF.

Do souboru "Starty_zavodu.txt" byly ulozeny hodnoty posunu startu zavodu podel IS v

jednotlivych drahach.

Do souboru "Starty_zavodu_casti_ovalu.txt" byly ulozeny hodnoty posunu startu zavodu

podel IS v jednotlivych drahach a v konkretnich castech ovalu.

Startovni linie "Group Start 1000m, 3000m, 5000m" se sklada z 1 evolventy.


Diplomová práce

99

Do souboru "Group_Start_1000m.txt" bylo ulozeno 26 bodu evolventy ve vzdalenosti

20cm + souradnice stredu S1, S2.

Startovni linie "Group Start 2000m, 10 000m" se sklada z 1 evolventy.

Do souboru "Group_Start_2000m.txt" bylo ulozeno 26 bodu evolventy ve vzdalenosti

20cm + souradnice stredu S1, S2.

Startovni linie "Start 1 Mile" je cast jedne evolventy

Do souboru "Start_1_Mile.txt" bylo ulozeno 52 bodu evolventy ve vzdalenosti 20cm +


Startovni linie "Start 1000m, 3000m, 5000m" se sklada z 1 evolventy.

Do souboru "Start_1000m.txt" bylo ulozeno 55 bodu evolventy ve vzdalenosti 20cm +


Startovni linie "Start 2000m, 10 000m" se sklada z 1 evolventy.



Startovni linie "Start 1500m" se sklada ze dvou evolvent



Startovni linie "Start 2000m Steeplechase" je cast jedne evolventy

Do souboru "Start_2000m_Steeplechase.txt" bylo ulozeno 50 bodu evolventy ve

vzdalenosti 20cm + souradnice stredu S1, S2.

Startovni linie "Start 3000m Steeplechase" je cast jedne evolventy

Do souboru "Start_3000m_Steeplechase.txt" bylo ulozeno 49 bodu evolventy ve

vzdalenosti 20cm + souradnice stredu S1, S2.

9.8.2. GUI aplikace

Výpočetní program MATLAB umožňuje také vytvoření GUI aplikace. GUI

(Graphical User Interface), neboli grafické uživatelské rozhraní je rozhraní, v němž

uživatel pracuje s grafickými ovládacími prvky (formuláře, tlačítka, atd.). Pro méně

zdatné uživatele jsou GUI aplikace pohodlnější při ovládání, jelikož nemusí programy

ovládat psanými příkazy.

V programu MATLAB tedy byla vytvořena GUI aplikace (Obr. 42), která pracuje stejně

jako vytvořená výpočetní funkce. Zadávání vstupních hodnot je ovšem logičtější a není

třeba znát pořadí, v jakém je nutné vstupní hodnoty zadávat. Aplikace také obsahuje

okno, ve kterém se zobrazí tvar oválu a vypočtené startovní linie. Informace o výpočtu

a uložených souborech jsou uloženy ve zvláštním textovém soboru.


Diplomová práce

100

Obr. 42: GUI aplikace

Po zadání vstupních hodnot a stisknutím tlačítka Výpočet se v okně zobrazí tvar oválu

s liniemi startů a v adresáři, ze kterého byla aplikace spuštěna, se vytvoří textové

soubory s příslušnými informacemi a souřadnicemi linií.


Diplomová práce

101

Příklad zobrazení tvaru oválu a startovních linií po zadání hodnot odpovídajícím oválu

č. 1 je na Obr. 43.

Obr. 43: GUI aplikace – hodnoty oválu č. 1

Další výhodou GUI aplikace je, že ji je možné zkompilovat jako Standalone aplikaci,

kterou lze používat i na počítačích, ve kterých není nainstalován MATLAB. Standalone

(samostatně stojící) aplikace v sobě nese informace potřebné pouze k výpočtům,

pro které je naprogramována.


Diplomová práce

102

10. Digitální výkres plánu značení

Pro potřeby realizace značení oválu je nutné vytvořit výkres (projekt). K tvorbě

projektů byl zvolen CAD software MicroStation V8i (MS).

Výhodou digitálního projektu je, že z něj lze kdykoliv získat souřadnice požadovaného

bodu nebo linie a následně je exportovat například do výpočetního systému Groma,

se kterým MS komunikuje.

Další výhodou je přehlednost projektu. Všechny linie a body lze ve výkresu umístit

do příslušných vrstev. Ty lze dle potřeby snadno zobrazovat nebo skrývat.

Projekty jednotlivých oválů byly konstruovány ve skutečné velikosti. Při jejich kreslení

byly použity vypočtené hodnoty posunů a staničení a souřadnice bodů tvořící startovní

linie.

Při vytváření projektů byly nejprve konstruovány prvky, které lze v MS snadno

nakreslit. Nejdříve byly vytvořeny středy všech obloukových částí a osa oválu. Poté

byly vytvořeny linie určující jednotlivé obloukové části. Následovala konstrukce linií

obrubníku oválu, všech vodících čar oválných drah a drah prodloužené druhé rovinky.

Na ní byly zkonstruovány linie startů závodů na 100 m a 110 m překážek a linie cíle.

Poté byly vytvořeny teoretické dráhy běhu ve všech oválných drahách. Ty byly

vytvořeny pro potřebu konstrukce posunutých startů, předávkových území a pozic

překážek.

Dále byly vytvořeny starty závodů na 200 m, 400 m, 800 m a závodu štafet

na 4x 400 m. Následovalo vytvoření potřebných linií pro štafetové závody – vyznačení

všech předávkových území a území pro akceleraci.

Poté byly vytvořeny linie pozic překážek pro všechny zmíněné překážkové závody

kromě překážek pro závody Steeplechase. Ty jsou dány skutečnou polohou vodního

příkopu.

Nakonec byl prostřednictvím prostředí MDL aplikací k MS připojen geodetický systém

Groma. V něm byly otevřeny textové soubory se souřadnicemi bodů jednotlivých

startovních linií. Z vytvořených seznamů souřadnic byly souřadnice naimportovány


Diplomová práce

103

do výkresů. Zde byly body spojeny B-spline křivkou (aproximační křivka), která se jeví

jako nejvhodnější pro zobrazení průběhu evolvent.

Vytvořené digitální výkresy nestandardních oválů jsou přiloženy k této práci viz přílohy

4, 5, 6.


Diplomová práce

104

11. Postup práce na atletických oválech

POZNÁMKA:

Tato kapitola popisuje mé zkušenosti při práci na atletických oválech.

Nejdříve je nutné vybudovat bodové pole. Jak bylo zmíněno v kapitole 0, body

jsou nejčastěji signalizovány odraznými štítky. Někteří geodeti signalizují body pouze

fixem. V tomto případě je nutné volit kontrastní barvu k povrchu, na kterém je bod

vyznačen, a používat přístroj s bezhranolovým režimem měření délek. (Některé totální

stanice dokonce měří délku v bezhranolovém módu s vyšší přesností, než při měření

na odraznou fólii.)

Po vybudování bodového pole je nutné jej zaměřit a určit tak souřadnice bodů.

Při tomto kroku si někteří geodeti usnadňují práci a body zaměřují pouze v jedné poloze

dalekohledu. Souřadnice bodů jsou tedy vypočteny z pouze jednou měřených veličin,

které mohou být zatíženy osovými chybami přístroje a indexovou chybou.

Po orientaci přístroje na body bodového pole je nutné zaměřit skutečný stav oválu,

jedná se zejména o středy oblouků (obloukových částí) a hranu vnitřního obrubníku,

od které se odvíjí délka oválu. Dále je také nutné zaměřit vodní příkop, pokud se

na oválu nachází.

Pro ověření rozměrů oválu je potřeba zaměřené body zobrazit v příslušném CAD

systému. Po ověření rozměrů oválu je možné vypočítat hodnoty a souřadnice bodů

potřebné k vytvoření digitálního výkresu značení.

Z vytvořeného projektu značení je nutné exportovat souřadnice podrobných bodů, které

jsou potřeba vytyčit při značení oválu. V tomto případě je nutné dobře znát softwarové

vybavení totální stanice, která bude při vytyčování použita. Některé přístroje disponují

funkcemi, které umožňují např. vytyčovat oblouk bez znalosti středu, vytyčovat

staničení po oblouku, vytyčovat linii, atd.

Při vytyčování je přístroj nejčastěji postaven na ploše uvnitř oválu. Po jeho orientaci

na body bodového pole je možné začít vytyčovat.


Diplomová práce

105

Jak již bylo zmíněno, k vytyčování bodů se nejčastěji používají robotizované totální

stanice. Body jsou vytyčovány polární metodou, kdy přístroj sám počítá polární

vytyčovací prvky z importovaných souřadnic podrobných bodů.

Samotná realizace vytyčených bodů na povrchu atletických oválů je vzhledem k jeho

struktuře dosti náročná. Je tedy nutné pracovat co nejpečlivěji.

Vzhledem k tomu, že se práce na atletických oválech uskutečňují převážně v letních

měsících, je nutné počítat s možnými změnami teplot během dne. Je dobré nechat

totální stanici a stativ před jejich používáním temperovat.

Při vytyčování není přístroj většinou ničím stíněn. Zahřátím stativu často dochází k jeho

pohybu a následné změně polohy totální stanice. Je tedy nutná častá kontrola její

polohy. Ta se může kontrolovat například opakovaný měřením na stabilní bod

signalizovaný odrazným hranolem, který je nutný před vytyčováním z konkrétního

stanoviska zaměřit a určit tak jeho souřadnice. Při opakovaných zaměřeních odrazného

hranolu totální stanice vyhodnotí odchylky od souřadnic, které byly určeny prvním

zaměřením před vytyčováním. Vysoké hodnoty případných odchylek naznačují, že se

přístroj pohnul a je nutné jej znovu orientovat.

Po vytyčení všech bodů přichází na řadu lajnování (Obr. 44). Lajnování provádí

specializované firmy strojem k tomuto úkonu určeným. Přesnost lajnování závisí

především na zkušenostech lajnaře.

V případě, že má být stadion certifikován, provádí geodet ještě zaměření skutečného

stavu nalajnovaných linií podle certifikačního formuláře6 IAAF.

POZNÁMKA:

Vytyčování bodů lajn na atletických oválech je fyzicky hodně náročné. Při vytyčení

jednoho bodu udělá geodet minimálně jeden dřep. Denně jich tedy udělá několik set

a nachodí tisíce metrů. Někteří proto vymýšlejí způsoby, jak si pohyb po ovále ulehčit.

Například při vytyčování vodících linií v obloucích, kdy je potřeba vytyčovat body i po

0,50 m, se osvědčil obyčejný skateboard (Obr. 45), na kterém se geodet v sedě pohybuje

6 Certifikační formulář REPORT FORMS - Measurement Report Forms – Outdoor je k dispozici na

http://www.iaaf.org/about-iaaf/documents/technical


Diplomová práce

106

po oválu. Nicméně i při tomto pohybu jsou potřeba určité zkušenosti při držení

odrazného hranolu a signalizování vytyčeného bodu.

Obr. 44: Lajnování atletického oválu

Obr. 45: Skateboard


Diplomová práce

107

Závěr

Tato diplomová práce popisuje podrobnou metodiku postupu při úkonech

spojených s lajnováním nestandardních atletických oválů se složenými oblouky.

V práci je popsán postup při budování bodového pole a výpočty souřadnic včetně jejich

přesností. Vše je ukázáno na modelovém příkladu vycházejícím z reálného měření.

V kapitole 4.2. byly vypočteny rozbory přesnosti pro výpočet souřadnic přechodného

stanoviska vyrovnáním zprostředkujících měření MNČ bez uvážení a s uvážením vlivu

podkladu. Na závěr byla vypočtena přesnost fiktivního vytyčovaného bodu.

Dále je zde popsán výpočet souřadnic středů obloukových částí ze zaměření obrubníku

oválu. U tohoto výpočtu je věnována pozornost zejména špatné podmíněnosti matice

a možným úpravám vstupních hodnot vedoucím ke zlepšení stability výpočtu.

Hlavní částí této práce je popis výpočtů potřebných pro určení souřadnic bodů a hodnot

posunů, resp. staničení jednotlivých linií, které se na atletických oválech nacházejí.

Výpočty byly navrhovány tak, aby je bylo možné použít pro nestandardní ovály

obecných rozměrů. Z jednotlivých výpočetních skriptů byla vytvořena funkce. Dále

byla vytvořena GUI aplikace, která k výpočtům používá zmíněnou funkci. Zadávání

vstupních hodnot do aplikace by mělo být více „user-friendly“ neboli uživatelsky

přívětivější. Výhodou GUI aplikace je také to, že jde zkompilovat do Standalone

aplikace. Tu lze spouštět i na počítačích, na kterých není nainstalován výpočetní

program MATLAB, ve kterém byly všechny výpočty vytvořeny.

Výsledky těchto výpočtů jsou dále použity při vytváření digitálních výkresů plánu

značení pro nestandardní ovály, které byly v rámci této práce také vytvořeny v CAD

systému MicroStation V8i. Z projektů plánu značení lze získat požadované souřadnice

bodů a linií, které se následně vytyčují.

Problematika atletických oválu mne velice zaujala již při psaní mé bakalářské práce,

která se věnovala standardnímu oválu. Při psaní této diplomové práce jsem si rozšířil

znalosti ohledně výpočtů spojených se značením nestandardních oválů se složenými

oblouky.


Diplomová práce

108

Problematice atletických oválů bych se rád nadále věnoval. Dalším krokem by pro mne

mohlo být vytvoření sofistikovaného programu, který by počítal přímo souřadnice bodů

všech linií. Nebylo by tedy vůbec nutné vytvářet digitální výkres plánu značení.

Zajímavým tématem je také problematika výpočtů spojených se značením „indoor“

oválů, které mají klopené zatáčky. Délky drah jsou zde počítány v prostoru, tudíž jsou

výpočty náročnější než u běžných atletických oválů.


Diplomová práce

109

Použitá literatura

[1] VONDRÁČEK, Matouš. Bakalářská práce: Vytyčování atletických drah. Praha:

Fakulta stavební ČVUT, 2014.

[2] IAAF Track and Field Facilities Manual 2008 Edition – Chapters 1 – 3 Dostupné

z http://www.iaaf.org/about-iaaf/documents/technical

[3] VOBOŘILOVÁ, Pavla a Zdeněk SKOŘEPA. Geodézie 1, 2: návody pro

cvičení. Vyd. 2., přeprac. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2004.

ISBN 80-01- 02869-0.

[4] MÍKA, Stanislav. Numerické metody algebry. 2. vyd. Praha: Nakladatelství

technické literatury, 1985. Matematika pro vysoké školy technické, 4.

http://www.iaaf.org/about-iaaf/documents/technical


Diplomová práce

110

Seznam obrázků

Obr. 1: Rozměry standardního oválu [m] ......................................................................... 9 Obr. 2: Univerzální značení konstrukčních prvků nestandardního oválu [m] ................ 11 Obr. 3: Ovál se složenými oblouky (R1= 34,000m; R2= 51,543m) ............................... 12 Obr. 4: Ovál se složenými oblouky (R1= 24,000m; R2= 48,000m) ............................... 13 Obr. 5: Ovál se složenými oblouky (R1= 27,082m; R2= 40,022m) ............................... 13

Obr. 6: Ideální stopy ....................................................................................................... 15 Obr. 7: Kontrolní měření na oválu se složenými oblouky .............................................. 16 Obr. 8: Stabilizace středu ................................................................................................ 17 Obr. 9: Upravený projekt oválu se složenými oblouky (R1= 34,000m; R2= 51,543m) 22 Obr. 10: Upravený projekt oválu se složenými oblouky (R1= 24,000m; R2= 48,000m)

........................................................................................................................................ 23 Obr. 11: Upravený projekt oválu se složenými oblouky (R1= 27,082m; R2= 40,022m)

........................................................................................................................................ 23

Obr. 12: Samolepící odrazný štítek ................................................................................. 24 Obr. 13: Bodové pole - rozmístění bodů ......................................................................... 24 Obr. 14: Body primární sítě s elipsami chyb .................................................................. 36

Obr. 15: Leica GRZ101 - 360° minihranol Obr. 16: edding - značkovací fix ............. 43 Obr. 17: Určení středů - fiktivní body ............................................................................ 47 Obr. 18: Start závodu na 5 000 m pro standardní ovál (převzato z manuálu) ................ 59

Obr. 19:Start závodu na 10 000 m pro standardní ovál (převzato z manuálu) ............... 60 Obr. 20: Evolventa kružnice ........................................................................................... 66

Obr. 21: Evolventy na atletických oválech ..................................................................... 67 Obr. 22: Části oválu ........................................................................................................ 75

Obr. 23: Umístění Breakline ........................................................................................... 77 Obr. 24: Redukce ............................................................................................................ 77

Obr. 25: Konstrukce linie souběhu podle manuálu (převzato z manuálu, rozměry pro

standardní ovál) ............................................................................................................... 79 Obr. 26: Umístění linie hlavního startu závodu na 5 000m ............................................ 80 Obr. 27: Umístění linie hlavního startu závodu na 10 000m .......................................... 81

Obr. 28: Umístění linie posunutého startu závodu na 5 000m - části dvou evolvent ..... 83 Obr. 29: Umístění linie posunutého startu závodu na 10 000m - části dvou evolvent ... 84 Obr. 30: Umístění linie startu závodu na 1 míli .............................................................. 85 Obr. 31: Umístění linie startu závodu na 1 500 m - části dvou evolvent ........................ 87 Obr. 32: Steeplechase - rozměry vodního příkopu ......................................................... 88

Obr. 33: Steeplechase - překážka na trati ....................................................................... 89 Obr. 34: Vodní příkop uvnitř druhé zatáčky (převzato z manuálu, rozměry pro

standardní ovál) ............................................................................................................... 90 Obr. 35: Vodní příkop vně druhé zatáčky (převzato z manuálu, rozměry pro standardní

ovál) ................................................................................................................................ 90 Obr. 36: Vodní příkop uvnitř zatáčky - detail (převzato z manuálu, rozměry pro

standardní ovál) ............................................................................................................... 91

Obr. 37: Steeplechase - určení středů přechodových oblouků (hodnoty v m) ................ 93 Obr. 38: Steeplechase - výpočet VM .............................................................................. 93 Obr. 39: Steeplechase - výpočet VM (převzato z dokumentu pro certifikaci atletických

oválů) .............................................................................................................................. 94 Obr. 40: Umístění linie startu závodu 2 000m Steeplechase .......................................... 96 Obr. 41: Umístění linie startu závodu 3 000m Steeplechase .......................................... 97 Obr. 42: GUI aplikace ................................................................................................... 100


Diplomová práce

111

Obr. 43: GUI aplikace – hodnoty oválu č. 1 ................................................................. 101

Obr. 44: Lajnování atletického oválu ........................................................................... 106 Obr. 45: Skateboard ...................................................................................................... 106


Diplomová práce

112

Seznam tabulek

Tab. 1: Vnitřní rozměry 400 m oválů (převzato z manuálu IAAF) ................................ 10 Tab. 2: Rozměry vnitřní plochy 400 m oválu využívané pro ostatní sporty (převzato z

manuálu IAAF) ............................................................................................................... 10 Tab. 3: Formulář na vyhodnocení kontrolního měření - délka podél obrubníku ............ 19 Tab. 4: Formulář na vyhodnocení kontrolního měření - odchylka délky běhu .............. 19

Tab. 5: Délka podél teoretické dráhy běhu ..................................................................... 19 Tab. 6: Ovál č. 1 - délka podél obrubníku ...................................................................... 20 Tab. 7: Ovál č. 1 - délka podél teoretické dráhy běhu .................................................... 20 Tab. 8: Ovál č. 2 - délka podél obrubníku ...................................................................... 20 Tab. 9: Ovál č. 2 - délka podél teoretické dráhy běhu .................................................... 20

Tab. 10: Ovál č. 3 - délka podél obrubníku .................................................................... 21 Tab. 11: Ovál č. 3 - délka podél teoretické dráhy běhu .................................................. 21 Tab. 12: Výsledné hodnoty měřených veličin – primární síť (seznam měření viz příloha

1) ..................................................................................................................................... 35 Tab. 13: Souřadnice bodů primární sítě .......................................................................... 35 Tab. 14: Kovarianční matice charakterizující přesnost bodů primární sítě .................... 36

Tab. 15: Střední chyby a elipsy chyb charakterizující přesnost bodů primární sítě ....... 36 Tab. 16: Výsledné hodnoty měřených veličin – protínání (seznam měření viz příloha 2)

........................................................................................................................................ 37

Tab. 17: Přibližné hodnoty neznámých .......................................................................... 37 Tab. 18: Výsledné přírůstky - MNČ bez vlivu podkladu ............................................... 37

Tab. 19: Výsledné neznámé - MNČ bez vlivu podkladu ................................................ 37 Tab. 20: Kovarianční matice charakterizující přesnost neznámých - MNČ bez vlivu

podkladu .......................................................................................................................... 38 Tab. 21: Přesnost neznámých - MNČ bez vlivu podkladu ............................................. 38

Tab. 22: Výsledné opravy - MNČ bez vlivu podkladu ................................................... 38 Tab. 23: Přibližné hodnoty neznámých .......................................................................... 38 Tab. 24: Výsledné přírůstky - MNČ s vlivem podkladu ................................................. 39 Tab. 25: Výsledné neznámé - MNČ s vlivem podkladu ................................................. 39

Tab. 26: Kovarianční matice charakterizující přesnost neznámých - MNČ s vlivem

podkladu .......................................................................................................................... 39 Tab. 27: Přesnost neznámých - MNČ s vlivem podkladu .............................................. 39 Tab. 28: Výsledné opravy - MNČ s vlivem podkladu .................................................... 39 Tab. 29: Porovnání výsledků MNČ bez, resp. s uvážením vlivu podkladu .................... 40

Tab. 30: Kovarianční matice charakterizující přesnost fiktivního bodu - MNČ bez vlivu

podkladu .......................................................................................................................... 41

Tab. 31: Přesnost fiktivního - MNČ bez vlivu podkladu ................................................ 41 Tab. 32: Kovarianční matice charakterizující přesnost fiktivního bodu - MNČ s vlivem

podkladu .......................................................................................................................... 42 Tab. 33: Přesnost fiktivního - MNČ s vlivem podkladu ................................................. 42 Tab. 34: Výchozí hodnoty - souřadnice středů ............................................................... 47

Tab. 35:Vyrovnání MNČ bez redukce - 1.oblouková část ............................................. 48 Tab. 36:Vyrovnání MNČ bez redukce - 2. oblouková část ............................................ 49 Tab. 37: Vyrovnání MNČ bez redukce - 3. oblouková část ........................................... 49 Tab. 38: Vyrovnání MNČ s redukcí k těžišti - 1. oblouková část .................................. 51 Tab. 39: Vyrovnání MNČ s redukcí k těžišti - 2. oblouková část .................................. 52 Tab. 40: Vyrovnání MNČ s redukcí k těžišti - 3. oblouková část .................................. 52 Tab. 41:Vyrovnání MNČ - 1. oblouková část (body 1, 11, 22) ...................................... 53


Diplomová práce

113

Tab. 42: Vzdálenosti a výšky překážek .......................................................................... 61

Tab. 43: Středy - ovál s jednoduchými oblouky ............................................................. 69 Tab. 44: Středy - ovál se složenými oblouky .................................................................. 69 Tab. 45: Posuny startů - 200 m ....................................................................................... 72 Tab. 46: Posuny startů - 400 m ....................................................................................... 72 Tab. 47: Posuny startů - 800 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 34,000m; R2 =

51,543m) ......................................................................................................................... 73 Tab. 48: Posuny startů - 800 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 24,000m; R2 =

48,000m) ......................................................................................................................... 73 Tab. 49: Posuny startů - 800 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 27,082m; R2 =

40,022m) ......................................................................................................................... 73

Tab. 50: Posuny startů - 4x400 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 34,000m; R2 =

51,543m) ......................................................................................................................... 74

Tab. 51: Posuny startů - 4x400 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 24,000m; R2 =

48,000m) ......................................................................................................................... 74 Tab. 52: Posuny startů – 4x400 m (Ovál se složenými oblouky (R1 = 27,082m; R2 =

40,022m) ......................................................................................................................... 74 Tab. 53: Redukce (Ovál se složenými oblouky (R1 = 34,000m; R2 = 51,543m) .......... 78

Tab. 54: Redukce (Ovál se složenými oblouky (R1 = 24,000m; R2 = 48,000m) .......... 78 Tab. 55: Redukce (Ovál se složenými oblouky (R1 = 27,082m; R2 = 40,022m) .......... 78

Tab. 56: Breakpoint ........................................................................................................ 78 Tab. 57: Konstrukce linie souběhu podle manuálu (jednotky m/gon) ............................ 79 Tab. 58: Parametry dráhy přes vodní příkop (převzato z dokumentu pro certifikaci

atletických oválů) ............................................................................................................ 94 Tab. 59: Steeplechase – výpočet VM (převzato z dokumentu pro certifikaci atletických

oválů) .............................................................................................................................. 95 Tab. 60: Steeplechase - pozice startů (převzato z dokumentu pro certifikaci atletických

oválů) .............................................................................................................................. 95


Diplomová práce

114

Seznam příloh

1 Seznam měření pro určení souřadnic bodů primární sítě

2 Seznam měření – určení souřadnic přechodného stanoviska

3 IAAF Track and Field Facilities Manual 2008 Edition - Marking Plan 400m

Standard Track (plán značení standardního oválu)

4 Výkres plánu značení – ovál č. 1 (R1 = 34,000m; R2 = 51,543m)



7 Výpočetní skripty z programu MATLAB (souřadnice a přesnost bodů

polohového bodového pole, vyrovnání MNČ)


Diplomová práce

115

Přílohy

č. 1 Seznam měření pro určení souřadnic bodů primární sítě

Zakázka: Měřič:

Lokalita: Stroj:

Projekt: Datum:

Předmět: Čas:

Měřítko: Teplota:

Souč. konst.: Tlak:

Popis:

Číslo bodu Hz Z Šik. délka Převýšení Signál Popis

poč. 0.0062 0.000

1 89.6014 83.4227 48.410 0.000

2 127.9539 84.5585 51.903 0.000

3 196.7719 97.9621 164.787 0.000

4 312.3359 75.6915 30.878 0.000

5 385.3330 93.9507 99.045 0.000

poč. 0.0047 0.000

poč. 200.0052 0.000

1 289.6007 316.5781 48.408 0.000

2 327.9527 315.4422 51.906 0.000

3 396.7697 302.0380 164.791 0.000

4 112.3357 324.3082 30.879 0.000

5 185.3328 306.0490 99.041 0.000

poč. 200.0032 0.000

28.06.2016

S E Z N A M M Ě Ř E N ÍMatouš Vondráček

Praha - Dejvice Leica TS 06 (č. 1342535)

10:00

1.000000000000 24 °C

0.000 985 hPa


Diplomová práce

116

č. 2 Seznam měření – určení souřadnic přechodného stanoviska

Zakázka: Měřič:

Lokalita: Stroj:

Projekt: Datum:

Předmět: Čas:

Měřítko: Teplota:

Souč. konst.: Tlak:

Popis:

Číslo bodu Hz Z Šik. délka Převýšení Signál Popis

poč. 0.0049 0.000

1 90.4541 83.9761 49.866 0.000

2 127.4794 85.1120 53.599 0.000

3 195.8139 97.9891 165.523 0.000

4 311.2403 74.3822 29.263 0.000

5 385.9376 93.9183 98.051 0.000

poč. 0.0038 0.000

poč. 200.0056 0.000

1 290.4564 316.0228 49.866 0.000

2 327.4831 314.8860 53.604 0.000

3 395.8165 302.0109 165.527 0.000

4 111.2426 325.6173 29.264 0.000

5 185.9398 306.0806 98.048 0.000

poč. 200.0057 0.000

10:20

1.000000000000 24 °C

0.000 985 hPa

S E Z N A M M Ě Ř E N ÍMatouš Vondráček

Praha - Dejvice Leica TS 06 (č. 1342535)

28.06.2016


Diplomová práce

117

č. 7 Výpočetní skript z programu MATLAB (souřadnice a přesnost bodů polohového

bodového pole)

clc; clear;

format long g

gon= 200/pi;

rad= pi/200;

%% zpracovani mereni

smery = [ 0 0.0062 200.0052

1 89.6014 289.6007

2 127.9539 327.9527

3 196.7719 396.7697

4 312.3359 112.3357

5 385.3330 185.3328

0 0.0047 200.0032];

zenitky=[ 1 83.4227 316.5781

2 84.5585 315.4422

3 97.9621 302.0380

4 75.6915 324.3082

5 93.9507 306.0490];

sikme_delky= [ 1 48.410 48.408

2 51.903 51.906

3 164.787 164.791

4 30.878 30.879

5 99.045 99.041];

for i=1:length(smery)

vysledne_smery(i,1)= smery(i,1);

if smery(i,3)>=200

vysledne_smery(i,2)= (smery(i,2)+

smery(i,3)-200)/2;

else

vysledne_smery(i,2)= (smery(i,2)+

smery(i,3)+200)/2;

end

end

vysledne_smery= roundn(vysledne_smery,-

4);

for i=2:(length(smery)-1)

Vysledne_smery(i-1,1)=

vysledne_smery(i,1);

Vysledne_smery(i-1,2)=

vysledne_smery(i,2);

end

Vysledne_smery;

for i=1:length(zenitky)

vysledne_zenitky(i,1)=zenitky(i,1);

vysledne_zenitky(i,2)=((400 -

zenitky(i,3))+zenitky(i,2))/2;

indexova_chyba(i)= (400 -

(zenitky(i,3)+zenitky(i,2)))/2;

end

Vysledne_zenitky=

roundn(vysledne_zenitky, -4);

Indexove_chyba= (roundn(indexova_chyba,

-4))';

for i=1:length(sikme_delky)

vysledne_sikme_delky(i,1)=sikme_delky(i,

1);

vysledne_sikme_delky(i,2)=(sikme_delky(i

,3)+sikme_delky(i,2))/2;

end

Vysledne_sikme_delky=

roundn(vysledne_sikme_delky, -3);

%% vypocet souradnic bodu primarni site

a jejich presnosti

Stanovisko= [500 1000]; % [y x]

for i=1:length(Vysledne_smery)

souradnice(i,1)= Stanovisko(1) +

sin(Vysledne_smery(i,2)*rad) *

(sin(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)*(Vysledn

e_sikme_delky(i,2)));

souradnice(i,2)= Stanovisko(2) +

cos(Vysledne_smery(i,2)*rad) *

(sin(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)*(Vysledn

e_sikme_delky(i,2)));

end

souradnice = (roundn(souradnice, -4));

% poradi y,x

Sig_d= 0.005;

Sig_HzV = 0.0006 *rad;

for i=1:length(souradnice)

%Kovariancni matice

(Sig_X,cov(x,y),cov(y,x),Sig_Y)

Kov_X(1,1,i)= Sig_d^2 *

sin(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)^2 *

cos(Vysledne_smery(i,2)*rad)^2 +

Sig_HzV^2 * Vysledne_sikme_delky(i,2)^2

* (sin(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)^2 *

sin(Vysledne_smery(i,2)*rad)^2 +

cos(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)^2 *

cos(Vysledne_smery(i,2)*rad)^2);

Kov_X(2,2,i)= Sig_d^2 *

sin(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)^2 *

sin(Vysledne_smery(i,2)*rad)^2 +


* (sin(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)^2 *

cos(Vysledne_smery(i,2)*rad)^2 +

cos(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)^2 *

sin(Vysledne_smery(i,2)*rad)^2);

Kov_X(1,2,i)= 0.5 *

sin(2*(Vysledne_smery(i,2)*rad)) *

(Sig_d^2 *

sin(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)^2 +


* cos(2*(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)));

Kov_X(2,1,i)= 0.5 *

sin(2*(Vysledne_smery(i,2)*rad)) *

(Sig_d^2 *

sin(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)^2 +


* cos(2*(Vysledne_zenitky(i,2)*rad)));

Sig_X(i) = sqrt(Kov_X(1,1,i));

Sig_Y(i) = sqrt(Kov_X(2,2,i));

Sig_2D(i) =

sqrt(trace(Kov_X(:,:,i)));

vl_cisla(i,:) =

(eig(Kov_X(:,:,i)))';

poloosa_a(i) = sqrt(vl_cisla(i,2));

poloosa_b(i) = sqrt(vl_cisla(i,1));

alfa(i)= atan2(2*Kov_X(1,2,i),

(Kov_X(1,1,i) - Kov_X(2,2,i)));

if alfa(i)<=0

alfa(i)= alfa(i)+2*pi;

end

alfa(i)=0.5*alfa(i);

end

Kov_X;


Diplomová práce

118

Sig_X = (roundn(Sig_X, -4))';

Sig_Y = (roundn(Sig_Y, -4))';

Sig_2D = (roundn(Sig_2D, -4))';

poloosa_a = (roundn(poloosa_a, -4))';

poloosa_b = (roundn(poloosa_b, -4))';

alfa = (roundn(alfa*gon, -4))';

%% Stanovisko - vyrovnani

smery_2 = [ 0 0.0049 200.0056

1 90.4541 290.4564

2 127.4794 327.4831

3 195.8139 395.8165

4 311.2403 111.2426

5 385.9376 185.9398

0 0.0038 200.0057];

zenitky_2 =[ 1 83.9761 316.0228

2 85.1120 314.8860

3 97.9891 302.0109

4 74.3822 325.6173

5 93.9183 306.0806];

sikme_delky_2 = [ 1 49.866

49.866

2 53.599 53.604

3 165.523 165.527

4 29.263 29.264

5 98.051 98.048];

for i=1:length(smery_2)

vysledne_smery_2(i,1)= smery_2(i,1);

if smery_2(i,3)>=200

vysledne_smery_2(i,2)=

(smery_2(i,2)+ smery_2(i,3)-200)/2;

else

vysledne_smery_2(i,2)=

(smery_2(i,2)+ smery_2(i,3)+200)/2;

end

end

vysledne_smery_2=

roundn(vysledne_smery_2,-4);

for i=2:(length(smery_2)-1)

Vysledne_smery_2(i-1,1)=

vysledne_smery_2(i,1);

Vysledne_smery_2(i-1,2)=

vysledne_smery_2(i,2);

end

Vysledne_smery_2;

for i=1:length(zenitky_2)

vysledne_zenitky_2(i,1)=zenitky_2(i,1);

vysledne_zenitky_2(i,2)=((400 -

zenitky_2(i,3))+ zenitky_2(i,2))/2;

indexova_chyba_2(i)= (400 -

(zenitky_2(i,3)+ zenitky_2(i,2)))/2;

end

Vysledne_zenitky_2=

roundn(vysledne_zenitky_2, -4);

Indexove_chyba_2=

(roundn(indexova_chyba_2, -4))';

for i=1:length(sikme_delky_2)

vysledne_sikme_delky_2(i,1)=sikme_delky_

2(i,1);

vysledne_sikme_delky_2(i,2)=(sikme_delky

_2(i,3)+ sikme_delky_2(i,2))/2;

end

Vysledne_sikme_delky_2=

roundn(vysledne_sikme_delky_2, -3);

%% protinani z delek...priblizne

souradnice

d_P2= sin(Vysledne_zenitky_2(2,2)*rad) *

Vysledne_sikme_delky_2(2,2); %

vodorovna delka na bod 2

d_P3= sin(Vysledne_zenitky_2(3,2)*rad) *

Vysledne_sikme_delky_2(3,2); %

vodorovna delka na bod 3

bod_2= souradnice(2,:);

bod_3= souradnice(3,:);

smernik_23 = atan2(bod_3(1)-

bod_2(1),bod_3(2)-bod_2(2));

if smernik_23 < 0

smernik_23 = smernik_23 + 2*pi;

end

smernik_23*gon;

d_23 = sqrt( (bod_3(2)-bod_2(2))^2 +

(bod_3(1)-bod_2(1))^2 );

u = (d_23^2 + d_P2^2 - d_P3^2)/(2*d_23);

k = sqrt(d_P2^2 - u^2);

y_P= bod_2(1) + k*((bod_3(2)-

bod_2(2))/d_23) + u*((bod_3(1)-

bod_2(1))/d_23);

yy_P = bod_2(1) + k*cos(smernik_23) +

u*sin(smernik_23);

x_P= bod_2(2) + u*((bod_3(2)-

bod_2(2))/d_23) - k*((bod_3(1)-

bod_2(1))/d_23);

xx_P = bod_2(2) + u*cos(smernik_23) -

k*sin(smernik_23);

%% vyrovnani_bez uvazeni vlivu podkladu

% f1: S_PA - sqrt( (xA - xP)^2 + (yA -

yP)^2 ) = 0

% f2: Psi_PA - (artct((yA - yP)/(xA -

xP)) - Op) = 0

Sig_d;

Sig_HzV;

souradnice;

pribl_y = (roundn(y_P, -4)) ;

pribl_x = (roundn(x_P, -4)) ;

Op=0;

pribl_sour = [pribl_y pribl_x Op ];

P_d = 1/Sig_d^2;

P_HzV = 1/Sig_HzV^2;

% poradi souradnic y,x

j=1;


d_0(i) = sqrt((souradnice(i,2) -

pribl_sour(2))^2 + (souradnice(i,1) -

pribl_sour(1))^2 );

smernik_0(i) =

atan2((souradnice(i,1) -

pribl_sour(1)),(souradnice(i,2) -

pribl_sour(2)));

if smernik_0(i) < 0

smernik_0(i) = smernik_0(i) +

2*pi;

end

A(j,1)= -(souradnice(i,1) -

pribl_sour(1))/d_0(i);

%derivace podle yP


Diplomová práce

119

A(j,2)= -(souradnice(i,2) -

pribl_sour(2))/d_0(i);

%derivace podle xP

A(j,3)= 0;

A(j+1,1)= -(souradnice(i,2) -

pribl_sour(2))/d_0(i)^2; %derivace

podle yP

A(j+1,2)= (souradnice(i,1) -

pribl_sour(1))/d_0(i)^2; %derivace

podle xP

A(j+1,3)= -1;

%derivace podle Op

L0(j) = d_0(i);

L0(j+1) = smernik_0(i);

L(j)=

sin(Vysledne_zenitky_2(i,2)*rad) *

Vysledne_sikme_delky_2(i,2);

L(j+1)= Vysledne_smery_2(i,2)*rad;

P(j,j)= P_d;

P(j+1,j+1) = P_HzV;

j=j+2;

end

A;

L0;

L;

P;

l=L-L0;

N= A'*P*A;

n= A'*P*l';

dx = inv(N)*n

v1= A*dx - l';

X_vyr = pribl_sour' + dx;

yP_vyr = (roundn(X_vyr(1), -4));

xP_vyr = (roundn(X_vyr(2), -4));

Op_vyr_gon = roundn(X_vyr(3)*gon,-5);

Vysledne_nezname = [yP_vyr, xP_vyr,

Op_vyr_gon]

% presnost podrobneho bodu

Kov_neznamych = (inv(A'*P*A));

presnost_neznamych =

sqrt(Kov_neznamych);

presnost_neznamych_Y_X_Op =

[roundn(presnost_neznamych(1,1), -4),

roundn(presnost_neznamych(2,2), -

4),roundn(presnost_neznamych(3,3)*gon, -

5)]

j=1;



xP_vyr)^2 + (souradnice(i,1) - yP_vyr)^2

);

smernik_0(i) =


yP_vyr),(souradnice(i,2) - xP_vyr));

if smernik_0(i) < 0


2*pi;

end

L_X(j) = d_0(i);

L_X(j+1) = smernik_0(i) -

(X_vyr(3));

j=j+2;

end

L_X';

v2= (L_X - L)';

for i=1:2:length(v1)

v11(i)= (roundn(v1(i), -4));

v11(i+1)= (roundn(v1(i+1)*gon, -5))

;

end

v11'; % opravy v1 v metrech a

gonech

v1;

for i=1:2:length(v2)

v22(i)= (roundn(v2(i), -4));

v22(i+1)= (roundn(v2(i+1)*gon, -5))

;

end

v22'; % opravy v2 v metrech a

gonech

v2;

v= (v1 - v2);

for i=1:2:length(v)

v(i)= v(i);

v(i+1)= v(i+1)*gon;

end

v;

n=2*length(souradnice); % pocet

mereni

k=3; % pocet

neznamych

sig_0_apost =sqrt((v1'*P*v1)/(n-k))

dolni_mez = sqrt(chi2inv(0.025,7)/(n-k))

horni_mez = sqrt(chi2inv(0.975,7)/(n-k))

%% fiktivni bod k vytyceni

d_30 = 50; % 50m

psi_73 = 73; %73 gon

y_A = X_vyr(1) + sin((psi_73 ) *rad) *

d_30;

x_A = X_vyr(2) + cos((psi_73 ) *rad) *

d_30;

%% vliv podkladu

[m,n,p]=size(Kov_X);

%Kovariancni matice pro vsechny body

podkladu

j=1;

for i=1:(p)

Kov_X2(j,j)= Kov_X(2,2,i);

% kovariancni matice musi byt

otocena...derivace jsou v poradi Y,X

Kov_X2(j,j+1)= Kov_X(1,2,i);

% covariance jsou stejne

Kov_X2(j+1,j)= Kov_X(2,1,i);

Kov_X2(j+1,j+1)= Kov_X(1,1,i);

j=j+2;

end

Kov_X;

Kov_X2;

% matice planu s derivacemi funkcich

vyztahu podle souradnic pokladu

j=1;


d_0_2(i) = sqrt((souradnice(i,2) -

pribl_sour(2))^2 + (souradnice(i,1) -

pribl_sour(1))^2 );


Diplomová práce

120

B(j,j)= (souradnice(i,1) -

pribl_sour(1))/ d_0_2(i);

%derivace podle y1

B(j,j+1)= (souradnice(i,2) -

pribl_sour(2))/ d_0_2(i);

%derivace podle x2

B(j+1,j)= (souradnice(i,2) -

pribl_sour(2))/ d_0_2(i)^2;

%derivace podle y1

B(j+1,j+1)= -(souradnice(i,1) -

pribl_sour(1))/ d_0_2(i)^2;

%derivace podle x2

j=j+2;

end

B;

Kov_LL = 1 * inv(P)+B*Kov_X2*B';

% kovariancni matice zahrnujici vlivy

mereni a podkladu

[t,u]=size(Kov_LL);

NN= A'*inv(Kov_LL)*A;

nn= A'*inv(Kov_LL)*l';

dxx= inv(NN) * nn % prirustky

vv1= A*dxx - l';

n=2*length(souradnice); % pocet

mereni

k=3; % pocet

neznamych

sig_0_apost_2

=sqrt((vv1'*inv(Kov_LL)*vv1)/(n-k))

X_vyr_2 = pribl_sour' + dxx;

yP_vyr_2 = (roundn(X_vyr_2(1), -4));

xP_vyr_2 = (roundn(X_vyr_2(2), -4));

Op_vyr_2_gon = (roundn(X_vyr_2(3)*gon, -

5));

Vysledne_nezname_2 = [yP_vyr_2,xP_vyr_2,

Op_vyr_2_gon]

Kov_neznamych_2=(inv(A'*inv(Kov_LL)*A));

presnost_neznamych_2 =

sqrt(Kov_neznamych_2);

presnost_neznamych_Y_X_Op_2 =

[roundn(presnost_neznamych_2(1,1), -4),

roundn(presnost_neznamych_2(2,2), -

4),roundn(presnost_neznamych_2(3,3)*gon,

-5)];

M=inv(NN)*A'*inv(Kov_LL);

Kov_neznamych_3= M*Kov_LL*M';

presnost_neznamych_3 =

sqrt(Kov_neznamych_3);

presnost_neznamych_Y_X_Op_3 =

[roundn(presnost_neznamych_3(1,1), -4),

roundn(presnost_neznamych_3(2,2), -

4),roundn(presnost_neznamych_3(3,3)*gon,

-5)]

j=1;



xP_vyr_2)^2 + (souradnice(i,1) -

yP_vyr_2)^2 );

smernik_0(i) =


yP_vyr_2),(souradnice(i,2) - xP_vyr_2));

if smernik_0(i) < 0


2*pi;

end

L_X_2(j) = d_0(i);

L_X_2(j+1) = smernik_0(i) -

X_vyr_2(3);

j=j+2;

end

L_X_2';

vv2= (L_X_2 - L)';

for i=1:2:length(vv1)

vv11(i)= vv1(i);

vv11(i+1)= vv1(i+1)*gon;

end

vv11'; % opravy vv1 v metrech a

gonech

for i=1:2:length(vv2)

vv22(i)= vv2(i);

vv22(i+1)= vv2(i+1)*gon;

end

vv22'; % opravy vv2 v metrech a

gonech

vv= (vv11 - vv22);

for i=1:2:length(vv)

vv(i)= vv(i);

vv(i+1)= vv(i+1)*gon;

end

vv';

%% elipsy chyb

% bez uvazeni vlivu podkladu

varyy=Kov_neznamych(1,1);

varxx=Kov_neznamych(2,2);

covxy=Kov_neznamych(2,1);

c=sqrt((varxx-varyy)^2 + 4*(covxy)^2);

a=sqrt(0.5*(varxx + varyy +c));

b=sqrt(0.5*(varxx + varyy -c));

alfa=zarad2pi((0.5*(atan((2*

covxy)/(varxx - varyy)))))*gon;

elipsa_bez_P = [roundn(a,-4), roundn(b,-

4), roundn(alfa,-5)]

% s uvazenim vlivu podkladu

varyy_2=Kov_neznamych_3(1,1);

varxx_2=Kov_neznamych_3(2,2);

covxy_2=Kov_neznamych_3(2,1);

c_2=sqrt((varxx_2-varyy_2)^2 +

4*(covxy_2)^2);

a_2=sqrt(0.5*(varxx_2 + varyy_2 +c_2));

b_2=sqrt(0.5*(varxx_2 + varyy_2 -c_2));

alfa_2=zarad2pi((0.5*(atan((2*

covxy_2)/(varxx_2 - varyy_2)))))*gon;

elipsa_s_P = [roundn(a_2,-4),

roundn(b_2,-4), roundn(alfa_2,-5)]

Date post:	21-Nov-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE - CORE · 2017. 12. 19. · Ideální stopa (IS) v...

Documents