Číslicové řízení procesů

učební text VOŠ a SPŠ Kutná Hora

Ing. Luděk Kohout

Základní pojmy číslicového řízeníu Rozdělení řízení podle průběhu signálů

l logické řízeníu binární signály (TRUE, FALSE)

l analogové řízeníu spojité signály v daném intervalu

l diskrétní řízeníu signály jsou definované pouze v určitých časových okamžicích daných tzv. periodou vzorkování

a reprezentovány jako datové slovo. Základem řídicího členu je mikropočítačová výpočetní jednotka.

u Vlastnosti systémů číslicového řízeníl Centralizace a decentralizace řídicích prostředků

u Rozdělení řídicího obvodu na několik vzájemně spolupracujících celků propojených průmyslovými komunikačními linkami.

u Vznik tzv. distribuovaného řídicího systému charakterizovaného víceúrovňovou hierarchickou strukturou.

Struktura distribuovaného systému

PC

Panelyoperátora

PLC Kompaktníregulátory

Inteligentnímoduly

IPC PC +ZMD

IPC PCPLC

ŘÍZENÝ PROCESSNÍMAČE, AKČNÍ ČLENY

(management..)

Řídicí úroveň

Technologickáúroveň

Informační úroveň

Průmyslová sběrnice

Lokální síť

Vrcholová úroveň

Vlastnosti číslicového řízení - dokončeníu Spolehlivost

l Spolehlivost se vyjadřuje tzv. střední dobou mezi poruchami, příp. střední dobou mezi opravami (řádově 104 až 105 hodin)

u Snadná změna struktury “regulátorů”l Algoritmus řízení není narozdíl od klasických automatizačních prostředků určen

pevným zapojením elektronických součástek či pneumatických, příp. hydraulických prvků, ale je tvořen programově. Řídicí počítače a programovatelné automaty umožňují požadovanou strukturu regulačního členu sestavit vhodnou kombinací počítacích bloků.

u Programové nastavení parametrů regulátorůu Minimální drift nulyu Snadný přenos informace na velké vzdálenostiu Snadné nastavení, oživení a montáž řídicích systémů, diagnostika

Základní principy číslicové regulaceu Obecné schéma regulačního obvodu

zpět k příkladu 4

Blokové schéma číslicového regulačního obvodu

Vzorkovacíčlen

A / DpřevodníkZesilovač

Centrálníjednotka

D / Apřevodník

Tvarovacíčlen

Akčníčlen

Regulovanásoustava

w

-+

y(t)

u(t)u(k)u(k)2e(k)2e(k)e(t)

u Řídicí obvod je realizován výpočetním systémem sestávajícím ze:l vstupní jednotky sloužící k načtení všech vstupních signálů (vzorkování) a převodu

do číslicové podoby srozumitelné centrální jednotce výpočetního členul výpočetního členu, který zpracovává vstupní signály a počítá např. regulační

odchylku e, akční veličinu PID )1(

dtdeTdte

Teku d

iR ⋅∫ +⋅⋅+⋅=

l výstupní jednotky, jejímž úkolem je převést číslicový signál na signál srozumitelný akčnímu členu (D/A převod, tvarování alarmová hlášení atd.)

Vstupní obvody číslicového systémuu Vzorkování vstupních signálů

l periodické testování vstupního signálul číslicový systém v pravidelných intervalech odebírá vzorky vstupního signálu

(regulované veličiny) a "zmrazí" je až do dalšího odběru vzorkul čas mezi dvěma sousedními odběry se nazývá perioda vzorkování T

t

e(t)

e(k)

T 2T 3T 4T 5T nT t1 2 3 4 5 n k

Principy vzorkováníu vzorkovač vytváří ze spojitého signálu obdélníkové pulsy se zanedbatelnou

šířkou a s amplitudou rovnou okamžité hodnotě vstupního signáluu určení periody vzorkování

l perioda vzorkování musí být konstantní a dostatečně dlouhá - regulátor musí v intervalu T provést:u načtení všech vstupů (řádově až tisíce)u výpočty v reálném čase (výpočet e(t), výpočet x(t), alarmy, další výpočty)u tvarování výstupních signálů atd.

l zvětšováním periody vzorkování se zhoršuje přesnost zpracovávaného signálu,T volíme s ohledem na:u přesnost analogových přístrojů pro získání informaceu přesnost digitálních přístrojů (A/D převodníků)u dynamiku řízeného systému

Výpočet optimální periody vzorkováníu Pro jeden vzorkovaný signál platí:

τ .. časová konstanta řízeného systémuTp.. celková chyba inform. řetězceymax - ymin .. rozsah měření

u Celková chyba informačního řetězce:

TA chyba analogových přístrojůTD chyba digitálních přístrojů

2D

2Ap TTT +=

minmax

50yyT

T popt −

⋅⋅=

τ

u Chyba analogových přístrojů

Tpi třídy přesnosti analogových přístrojů

2pi

22p

21pA TTTT +++= K

u Chyba digitálních přístrojů

n … počet bitů A/D převodníku

[ ]%12350T nD

−

⋅=

Funkce vstupních obvodů - dokončeníu Zesílení vstupního signáluu Analogově - digitální převod

l Šířka datového slova určuje rozlišující schopnost převodníku a ovlivňuje přesnost celé regulační smyčky.

l Řídicí systémy pracují většinou s datovým slovem s šířkou 8 až 16 bitů

u Multiplexování vstupůl Vstupní obvody zpracovávají řádově

desítky až tisíce signálů l Zpracování samostatnými vzorkovacími

obvody by bylo neúměrně drahé.l Pro skupinu vstupů se použije jeden

analogový obvod, na který se pomocí analogového multiplexeru postupně vstupní signály připojují.

Zpracování signálu v centrální jednotceu Přepočet snímaných signálů do odpovídajících fyzikálních jednotek

l Cílem výpočtu je převést digitalizovaný signál ze snímačů teploty, tlaku, polohy, příp. objemového toku na °C, kPa, m, příp. m3 /s (příklad)

u Kontrola mezních hodnotl programová kontrola vybraných stavových veličinl při překročení mezních stavů se generují tzv. alarmyl alarmy informují obsluhu formou optické, případně akustické signalizacel použití prostředků třídy SCADA/HMI

u Řízení DSCl V režimu DSC (Digital Setpoint Control) řídicí počítač generuje signál sloužící

pro nastavení řídicí veličiny podřízeného regulačního systémuu Přímé číslicové řízení DDC

l V režimu DDC (Direct Digital Control) jsou naměřené stavové veličiny použity k výpočtu akčních veličin

u Monitorování technologického procesul operátorské panelyl dispečerské SCADA software

Zpracování signálu v centrální jednotce -dokončeníu Optimalizační výpočty

l Naměřené hodnoty jsou použity pro statickou a dynamickou optimalizaci procesuu Materiálové a energetické výpočty

l Naměřené hodnoty slouží k bilančním výpočtům spotřeby materiálu a energií. l S rostoucími cenami energií nabývají na důležitosti především výpočty týkající se

spotřeby elektrické energie. l V praxi se často používá tzv. regulace spotřeby

u Archivace datl V paměti počítače se uchovávají informace charakterizující řízený proces

(průběhy stavových veličin, zásahy obsluhy...)

Funkce výstupních obvodůu převádí informace vypočtené centrální jednotkou na signály použitelné pro

buzení akčních členůu základem výstupní analogové jednotky je D/A převodník transformující

datové výstupní slovo CPU na diskrétní signálu tvarovač upraví signál do využitelné podoby:

l stupňovitý signáll šířkově modulovaný signáll frekvenčně modulovaný signál

0 1 2 3 4 5 6 7 k

0 1 2 3 4 5 6 7 k

u(k)

x(t)

stupňovitý signálk

0 1 2 3 4 5 6 7 k

u(k)

x(t)

0 1 2 3 4 5 6 7

šířkově modulovaný signál

Teorie číslicového řízení - diferenční rovnice

u spojitý regulační obvod je popsán diferenciálními rovnicemil proměnné jsou definovány spojitě v čase

u číslicový regulační obvod je popsán diferenčními rovnicemil proměnné jsou definovány jen v určitých časových okamžicích daných

násobky periody vzorkováníl rovnice nejsou funkcí času t, nýbrž proměnné k.T nebo častěji jen k

u T je perioda vzorkování

l diferenční rovnice umožní postupný výpočet okamžitých hodnot výstupní veličiny v časech t = k. T ; k = 0, 1, 2, 3, ...…

l okamžité hodnoty výstupní veličiny lze vypočítat pomocí transformace Zl z rovnice diferenciální lze pomocí Laplaceovy transformace s nenulovými

počátečními podmínkami odvodit rovnici diferenční

Odvození diferenční rovnice jednokapacitní soustavy

RSTvarovačy(t)u(t)u(k)

Regulovaná soustava s tvarovačem

diferenciální rovnice soustavy )t(uK)t(y)t(yT S1 ⋅=+′⋅

obrazový přenos1

STp1

K)p(F⋅+

=

Průběhy veličin

t

t

k

y(t))

u(t))

u(k))

1 2 3 4 5

Průběhy veličin

k+1k

u(k)

Tτ

y(τ)

} y(0) = y(k)

Průběhy veličin v k-tém intervalu

Převod diferenciální rovnice na diferenčníLaplaceova transformace pro nenulové počáteční podmínky y(0) ≠ 0:

{ } )0(f)0(pf........)0(fp)0(fp)p(Fp)t(fL )1n()2n(2n1nn)n( −−−− −−′−−=

v našem případě

1

1S

S11

pT1)0(yT)p(UK)p(Y

)p(UK)p(Y)0(yT)p(pYT

++

=

=+−

Z knihovny Laplaceových obrazů známe

{ }

=

pkonstkonstL

Počáteční podmínka: y(0)=y(k) po dosazení:

1

1

1 11 pT)k(yT

)pT(p)k(uK)p(Y S

++

+=

{ })p(YL)(y k1−=τ

průběh y v k-tém intervalu:111 TT

Sk e)k(ye)k(uK)y(τ

−τ

−+

−=τ

chceme znát y(τ) v okamžiku (k+1), tj. pro τ = T

označíme: a po dosazení získáme diferenční rovnici:De TT

=−

1

)k(ub)k(ya)k(y)k(y.D)D).(k(uK)k(y S

⋅=⋅+++−−⋅=+

1111

1

1

TT

S

eD

)D(Kb;Da

−=

−=−=nebo častěji:

1)u(kb1)y(kay(k) −⋅=−⋅+

Diferenční rovnice RSu Diferenční rovnice popisuje, jaké budou hodnoty výstupního signálu y(k) v

okamžicích k=0,1,2,3,4,...... atd.u Koeficienty ai a bi vyjadřují vlastnosti soustavyu Číselné hodnoty koeficientů ai a bi platí pouze pro určitou vzorkovací

frekvenci.u Rovnice zahrnuje i přenos tvarovače nultého řádu!u Diferenční rovnice vyšších řádů můžeme vyjádřit obdobným způsobem.

Diferenční rovnice regulované soustavy n-tého řádu

∑ −⋅∑ =−⋅+==

n

ii

n

ii )ik(ub)ik(ya)k(y

11

Řešení diferenční rovniceu Numerická metoda

l postupný výpočet funkčních hodnotl Pro výpočet hodnoty v okamžiku k musí být známy

hodnoty y v okamžicích k-1, k-2, .... , k-n (n= řád soustavy).

l Nevýhoda - pro výpočet např. 1000. vzorku musíme vypočítat 999 předchozích hodnot

Příklad 1Vyšetřete přechodovou charakteristiku jednokapacitníRS s parametry:Ks = 2, T1 = 1s, perioda vzorkování T = 0,2s, y(0) = 0

Přechodová charakteristika RS

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15y(k) 0 0,18 0,33 0,45 0,55 0,63 0,70 0,75 0,80 0,83 0,86 0,89 0,91 0,92 0,94 0,95u(k) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

k

y(k)

Diferenční rovnice:

1)y(k0,821)u(k0,18 −⋅+−⋅=⇒−⋅=−⋅ y(k)1)u(k1)y(k-y(k) 180820 ,,

K řešení použijeme tabulkovýprocesor MS-Excel

Příklad 2

Regulovaná soustava je popsaná diferenční rovnicí

Vypočtěte odezvu na impulz u(t) podle obrázku )1(35,0)1(55,0)( −=−⋅− kukyky

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 k

1

u(k)

Výpočet pomocí MS-Excel

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 2 4 6 8 10 12 14 16

y(k)

Dvoukapacitní statická RSDiferenční rovnice RS druhého řádu :

)u(kb1)u(kb2)y(ka1)y(kay(k) 2121 2−⋅+−⋅=−⋅+−⋅+

( )

−

−−

+⋅=

−

−−

+=

⋅=+−===

−−

12

11

12

12212

12

12

12

111

212211

21

1

21

TTTD

TTTDDDKb

TTTD

TTTDKb

DDaDDaeDeD

SS

TT

TT

Příklad 3Vyšetřete přechodovou charakteristiku dvoukapacitní RS s parametry:Ks = 20, T1 = 2s, T2 = 6s, perioda vzorkování T = 0,2s, y(0) = 0, y’(0) = 0

T1 T2 T Ks a1 a2 b1 b2 D1 D22 6 0,2 20 -1,872 -0,875 0,032 0,031 0,905 0,967

K řešení použijeme tabulkovýprocesor MS-Excel

Pro RS s přenosem

( ) ( ) ( )11 21 +⋅+=

pTpTKpF S

platí pro ai, bi:

Diferenční rovnice regulátorů

Diferenční rovnice regulátoru udává vztah mezi u(k) a e(k)

Algoritmus výpočturegulátoru

e(k) u(k)

Regulátor PVe spojité oblasti je proporcionální regulátor popsán rovnicí RKrtertu =⋅= 00 )()(

Diferenční rovnici odvodíme z rozdílu výstupního signálu v k tém a k-1 tém vzorku:

)()()()(

0

011 −⋅=−

⋅=kerku

kerku

[ ][ ] 1)u(k1)e(ke(k)ru(k) 0 −+−−⋅=

−−⋅=−− )()()()( 0 11 kekerkuku

Odečtením u(k) a u(k-1) dostaneme:

Diferenční rovnice regulátoru I

Regulátor IVe spojité oblasti je integrační regulátor popsán rovnicí

Diferenční rovnici odvodíme z rozdílu výstupního signálu v k tém a k-1 tém vzorku:

Odečtením u(k) a u(k-1) dostaneme:

i

RTKrdttertu =∫ ⋅⋅= −− 11 )()(

1)u(ke(k)Tru(k) 1 −+⋅⋅=

⋅⋅=−−

−

− )()()( 1 keTr1kuku

∑⋅⋅=−

∑⋅⋅=

−

=−

=−

1k

j

k

j

jeTr1ku

jeTrku

01

01

)()(

)()(

Diferenční rovnice složky D

Složka DVe spojité oblasti je derivační složka popsána rovnicí:

Diferenční rovnici odvodíme z rozdílu výstupního signálu v k tém a k-1 tém vzorku:

Odečtením u(k) a u(k-1) dostaneme:

dR TKrdt

tdertu ⋅=⋅= 11)()(

[ ]

[ ]2)e(k1)e(kTr=1)u(k

1)e(ke(k)Tru(k)

1

1

−−−⋅−

−−⋅=

[ ] 1)u(k2)e(k1)e(k2-e(k)Tr=u(k) 1 −+−+−⋅⋅

−+−⋅⋅− 2)e(kTr1)e(k

Tr2-e(k)

Tr=1)u(k-u(k) 111

Diferenční rovnice sdružených regulátorů PI, PD, PID

Diferenční rovnice sdružených regulátorů vychází ze základních složek P, I, D.

Regulátor PI:

1)u(k1)e(kr-e(k)T)r(ru(k) 010 −+−⋅⋅⋅+= −

Regulátor PD:

1)u(k)e(kr+1)e(kr(r-e(k))r(ru(k) 110

10 −+−⋅−⋅+⋅+= 2

T)

T2

T

Regulátor PID:

1)u(k2)e(kTr1)e(k)

Tr2(re(k))

TrTr(ru(k) 11

01

10 −+−⋅+−⋅+−⋅+⋅+= −

Rozbor číslicového regulačního obvodu

Příklad 4Určete diferenční rovnici regulátoru, regulované soustavy a diferenční rovnici určující závislost regulované veličiny y(k) a řídicí veličiny w(k).Ve spojité oblasti jsou členy regulačního obvodu popsány přenosy:Regulovaná soustava:

Regulátor:

Regulační obvod obsahuje vzorkovač s T=5s a tvarovač nultého řádu.

p1015)p(FS ⋅+

=

p04,0)p(FR =

Řešení příkladu 4Diferenční rovnice složek regulačního obvodu:Regulovaná soustava:

Regulátor:

Porovnávací člen:

)1k(ub)1k(ya)k(y −⋅=−⋅+ [1]

)k(y)k(w)k(e −= [3]

1)u(ke(k)Tru(k) 1 −+⋅⋅= − [2]

Algoritmus řízení - diferenční rovnice uzavřeného regulačního obvodu: y(k) = fce[w(k)]

řešíme soustavou diferenčních rovnic:• do rovnice RS [1] vložíme rovnici regulátoru [2] pro vzorek k-1

[ ])2u(k1)e(kTrb)1k(ya)k(y 1 −+−⋅⋅⋅=−⋅+ −

• z rovnice rozdílového členu [3] dosadíme za e(k-1)[ ][ ])2u(k)1k(y)1k(wTrb)1k(ya)k(y 1 −+−−−⋅⋅⋅=−⋅+ −

• roznásobíme a dosadíme z rovnice [1] za b.u(k-2))2y(ka)1y(k)1k(yTrb)1k(wTrb)1k(ya)k(y 11 −⋅+−+−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=−⋅+ −−

• rovnici upravíme a dosadíme skutečné koeficienty a = -0,606, b = 1,971)w(k0,3942)y(k0,6061)y(k1,212y(k) −⋅=−⋅+−⋅−

K řešení použijeme tabulkovýprocesor MS-Excel

Transformace Z - vlastnostiTransformace Z se používá k řešení diferenčních rovnic analogicky s použitím Laplaceovy transformace ve spojité oblasti.Základní vlastnosti transformace ZDefinice obrazu Z:

∑=∞

=

−

0k

1k)k( z.f)z(F

)z(F.a..........)z(F.a)z(F.a)z(F.a)z(F)k(f.a..........)k(f.a)k(f.a)k(f.a)k(f

nn332211

nn332211++++=++++=

F(z) obraz Zf(k) originální diskrétní fcez operátor z

Věta o linearitě:

Věta o posunutí v originálu:

{ }{ }{ } )z(F.z)nk(fZ

)z(F.z)1k(fZ

)z(F)k(fZ

n

1

−

−

=−

=−

=

Transformace Z - dokončení

[ ])z(F).1z(lim)k(flim

)z(Flim)k(flim

1zk

z0k−=

=

→∞→

∞→→

Věty o počáteční a koncové hodnotě funkce:

Obrazy vybraných funkcí:

)k(1 1zz−

ka azz−

1ka −az

1−

( ) kk a.1− azz+

Originál Obraz

Zpětná transformace Zu Úkol zpětné transformace Z

l převést obraz Z na diskrétní funkciu Metody zpětné transformace Z

l dělení polynomůl zpětná transformace Z s použitím knihovny obrazůl zpětná transformace Z s použitím vzorce

Příklad 5 :Pomocí transformace Z určete obraz zadané diferenční rovnice a vypočtěte odezvu RS najednotkový skok.

)1u(k1,0)1y(k9,0y(k) −⋅=−⋅−

0,9z0,1−

=−

==

=−

−

−

−−

1

1

11

z9,01z.1,0

)z(U)z(Y)z(F

)z(U.z.1,0)z(Y.z9,0)z(YDiferenční rovnice RS: Transformace Z:

Odezva soustavy na jednotkový skokObraz výstupu:

9,0z1,0

1zz)z(F).z(U)z(Y

−⋅

−==

Po úpravě:

( ) ( ) )z(Q)z(P

9,0z1zz1,0)z(Y =−⋅−

⋅= Q(z) = 0 .......... charakteristická rovnice

Vztah pro výpočet hodnot y(k) získáme zpětnou transformací Z :

Metoda dělení polynomů P(z) : Q(z)Hodnoty y(k) jsou dány odpovídajícími koeficienty podílu polynomů P(z) a Q(z)

Zpětná transformace Z metodou dělení polynomů

( ) ( ) 9,0z9,1zz1,0

9,0z1zz1,0)z(Y 2 +−

⋅=

−⋅−⋅

=9,0z9,1z)z(Q

z1,0)z(P2 +−=

⋅=

0,1z : z2 - 1,9z + 0,9 = 0,1z-1 + 0,19z-2 + 0,271z-3 .......0,1z -0,19 +0,09z-1

+0,19 -0,09 z-1

+0,19 -0,361z-1 +0,171z-2

+0,271z-1 -0,171z-2

Hodnoty y(k) jsou dány odpovídajícími koeficienty podílu polynomů P(z) a Q(z).y(1) = 0,1 y(2) = 0,19y(3) = 0,271........ atd.

Zpětná transformace Z s použitím knihovny obrazů• výraz rozložíme na parciální zlomky• upravíme do potřebné podoby• převedeme pomocí knihovny obrazů

( ) ( )9,011,0)(

−⋅−⋅

=zzzzYV našem případě vyjdeme z výrazu ve tvaru:

Výraz rozložíme na parciální zlomky

( ) ( ) 9,019,011,0)(

−+

−=

−⋅−⋅

=z

Bz

AzzzzY

( ) ( )

9,0B,1ABA1,0

BA9,001zB9,0zAz1,0

−==+=

−−=−⋅+−⋅=

Po dosazení dostaneme vztah pro výpočet k-tého vzorku:

( ) ( ) ( ) 1)(k0,90,91 −−− ⋅−=⋅+= 11 909,01 kk ,kyVypočítáme hodnoty y(k) y(1)=0,1 y(2)=0,19 y(3)=0,271 ...…y(50)=0,994.....

Zpětná transformace Z pomocí vzorce

Zpětnou transformaci Z provedeme aplikací vztahu:

{ } ∑ ⋅′

===

−− n

1i

1ki

i

i1 z)z(Q)z(P)z(YZ)k(y kde zi kořeny charakteristické rovnice

Q’(zi) derivace charakteristické rovnicen řád charakteristické rovnice

v našem případě:

P(z) = 0,1 z

Q(z) = z2 - 0,19 z + 0,9 Q’(z) = 2z - 1,9

z1 = 1, z2 = 0,9

( ) ( ) 1)(k0,90,91 −− ⋅−=⋅−

+⋅= 1k9,01,0

09,011,01,0ky

Po dosazení dostaneme vztah pro výpočet k-tého vzorku:

( ) ( )( )

( )( )

)1k(

i

i)1k(

i

i 9,09,0z'Q9,0zP1

1z'Q1zPky −− ⋅

==

+⋅==

=

Přenosy číslicového regulačního obvodu

FTFS(z)

FR(z)W(z)

Y(z)

E(z)

ZY(z) ZU(z)

U(z)

ZU(z) porucha vstupující do RO v místě akční veličiny

ZY(z) porucha vstupující do RO v místě regulované veličiny

)z(W)z(Y)z(FW =

Přenos řízení

)z(F1)z(FF)z(F

)z(FF)z(F1)z(FF)z(F)z(F

O

STR

STR

STRW +

⋅=

⋅+⋅

=je přenos otevřené smyčky

)z(FF)z(F)z(F STRO ⋅=kde

Přenosy číslicového regulačního obvodu - dokončeníPřenos poruchy ZY

)z(Z)z(Y)z(F

YY =

)z(Z)z(Y)z(F

UU =

)z(F11

)z(FF)z(F11)z(F

OSTRY +

=⋅+

=

)z(F1)z(FF

)z(FF)z(F1)z(FF)z(F

O

ST

STR

STU +

=⋅+

=

0)z(F1 O =+

Blokové schéma RO

Charakteristická rovnice:

Přenos poruchy ZU

Řešení regulačního obvodu pomocí transformace Z

Příklad 5Určete přenos řízení FW(z) regulačního obvodu a vypočtěte průběh regulačního pochodu vyvolaného skokovou změnou řídicí veličiny w(k)=5.Regulační obvod obsahuje vzorkovač s T=5s a tvarovač nultého řádu.Regulovaná soustava:Statická 1. řádu: Ks = 5; T1 = 10s

Regulátor:Integrační: KR = 0,1; Ti = 22s

Přenosy členů regulačního obvodu

)z(F1)z(F

)z(FF)z(F1)z(FF)z(F)z(F

O

O

STR

STRW +

=⋅+

⋅=

Vyjdeme ze vztahu pro přenos řízení

Diferenční rovnice RSRegulovaná soustava

)1k(u97,1)1k(y606,0)k(y −⋅=−⋅−

0,606z1,97−

=−

== −

−

1

1ST

z606,01z.97,1

)z(U)z(Y)z(FFPřenos RS

Regulátor

Diferenční rovnice

Přenos regulátoru

1)u(ke(k)0227,0u(k) −+⋅=

1zz0,0227

−⋅

=−

== −1Rz1

0227,0)z(E)z(U)z(F

Přenos F0(z) )z(FF)z(F)z(F STRO ⋅=( ) ( )0,606z1z

z0,0448−⋅−

⋅=

−⋅

−⋅

=0,606z

1,971z

z0,0227

( ) ( )

( ) ( )0,606z1zz0,04481

0,606z1zz0,0448

(z)FW

−⋅−⋅

+

−⋅−⋅

= ( )0,6061,561zzz0,0448

2 +−

⋅=Přenos řízení

Výpočet regulačního pochodu zpětnou transformací

=⋅= )z(W)z(F)z(Y W

Obraz regulované veličiny Y(z)

Rozložením kvadratického polynomu získáme:

Rozklad na parciální zlomky

Pomocí knihovny obrazů získáme výsledný vztah

Výpočet souvislé řady hodnot nám usnadní MS-Excel

( ) ( ) ( )1z0,6061,561zzz0,224

1zz5

0,6061,561zzz0,0448

2

2

2 −⋅+−

⋅=

−⋅

⋅+−

⋅

( ) ( ) ( )1z0,838z0,722zz0,224(z)F

2W −⋅−⋅−

⋅=

0,722z3,671

0,838z8,447

1z5Y(z)

−+

−−

−=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1k1k 0,7223,6710,8388,4475 −−

−−−

⋅+⋅−=

⋅+⋅−⋅= 1k1k1k 0,7223,6710,8388,44715ky

Stabilita číslicového regulačního obvoduStabilita je nutná (nikoli postačující) podmínka správné funkce RORegulační obvod se spojitým regulátorem je stabilní:

všechny kořeny charakteristické rovnice 1 + Fo(p) = 0jsou reálné zápornéjsou komplexně sdružené se zápornou reálnou částíkořeny tedy leží v levé polorovině Gaussovy roviny

Regulační obvod s číslicovým regulátoremmezi kořeny charakteristických rovnic platí vztah

Tpi iez ⋅=

zi kořeny charakteristické rovnice uzavřeného číslicového ROpi kořeny charakteristické rovnice uzavřeného spojitého ROT perioda vzorkování

Regulační obvod se spojitým regulátorem je tedy stabilní:všechny kořeny charakteristické rovnice 1 + Fo(z) = 0 leží uvnitř jednotkové kružnice se středem v počátku Gaussovy roviny

Příklad - měření teploty odporovým snímačemRϑ

Svorkovnice vstupní jednotky

1mAUϑ

ComIn2In1Iref

Převod vstupních dat na napětí

1n2rozsahvstupníLSB

2In1InIn

LSBInu

−=

−=

⋅=ϑ In ….. vstupní dataLSB…inkrement napětín ……počet bitů převodníku

Výpočet teploty

( )

0RIref0RIrefu

1RRRIrefU

0

⋅⋅⋅−

=

⋅+=

⋅=

αϑϑ

ϑαϑ

ϑϑ

α ….teplotní koeficien odporul Měřící odpor (např. PT 100) připojený ke svorkovnici analogové vstupní jednotky.

l Proudový okruh napájený konstantním proudem

l Odpor se nesmí ohřívat vlastní výkonovou ztrátou

zpět