Úvod
Předmět klasické mechaniky
(dále jen mechaniky) = mechanický pohyb, jeho popis v prostoru
a v čase a jeho příčiny.
Mechanický pohyb:
= změna vzájemné polohy těles v prostoru a v čase.
Klasická mechanika: rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost
světla ve vakuu
c = 3 x 108 m/s
MECHANIKA
Popis v prostoru a čase bez
uvažování příčin pohybu a
jeho změn
Studium příčin pohybu a jeho
změn
STATIKA
Zvláštní část mechaniky
(pohyb nenastává)
1. TŘENÍ
Ve statice jsme vazby uvažovali jako útvary s dokonale hladkými
styčnými místy a s reakcemi kolmými ke styčným plochám či křivkám.
Ve skutečnosti jsou styčná místa vazeb víceméně drsná.
Vzniklé reakce jsou obecně odchýlené od normál styčných ploch (křivek).
Pasivní odpory se projevují reakcemi, které mají tečné složky.
V charakteru těchto tečných složek rozlišujeme 2 případy.
1) Jestliže jde o vzájemný pohyb útvarů, obecně mluvíme o smykovém
tření.
2) Relativnímu klidu přísluší tečné reakce.
Jiné pasivní odpory: odporové účinky při valení tělesa, při navíjení vláken
(lan, řetězů), třecí brzda apod.
Tření
-často užitečné, bez tření by nebyla možná chůze, rozjezd a brzdění
vozidel, přenos energie řemeny
- často škodlivé, neboť snižuje výkonnost strojů, pak se mu bráníme
tím, že třecí plochy necháme potáhnout vrstvou přilnavé kapaliny
(mazadla) a tím tření zmenšujeme, neboť tření pevných látek nahradíme
třením kapalinným (menší).
Všeobecně platí, že třecí síla (smykové tření) působí ve směru a
proti smyslu relativní rychlosti stýkajících se bodů
1.1. Tření smykové
Vznik tečných reakcí vysvětlován nerovnostmi styčných ploch.
Tření je jev fyzikálně velmi složitý.
Závisí: - na materiálu,
- na stavu styčných ploch,
- na síle, která tyto plochy přitlačuje,
- na velikosti ploch,
- na teplotě,
- jiné poměry jsou za klidu, jiné za pohybu.
Těleso nepohybuje → tření brání uvedení tělesa do pohybu
- nastává tření v klidu.
Těleso se pohybuje → tření se uplatňuje jako síla brzdící pohyb
- nastává tření v pohybu
V 18. století formuloval fyzik Coulomb 2 empirické zákony o smykovém
tření.
1. zákon o smykovém tření za klidu
Tření smykové v klidu nemůže přestoupit určitou hodnotu, která je
úměrná normálové složce, jíž jsou tělesa k sobě přitlačována.
Statický součinitel tření závisí převážně na drsnosti ploch.
T je velikost třecí složky reakce
s je součinitel tření za klidu
N je normálová složka reakce na styku
obou těles
NT s kde
2. zákon o smykovém tření za pohybu
Tření za pohybu vyvozuje tečnou složku reakce, která je úměrná
normálové složce reakce.
Kinematický součinitel tření (závisí převážně na drsnosti ploch a
nezávisí na rychlosti)
Platí:
ks
(platnost vztahu je ověřena výsledky
experimentů - viz obrázek)
T je velikost třecí složky reakce
k je součinitel tření za klidu
N je normálová složka reakce na styku
obou těles
NT k kde
T(N)
F(N)
sN
kN
Úloha 1.1.1:
Těleso na vodorovné rovině, na které působí síla F, která svírá s normálou
třecí plochy úhel .
1.a) Je-li rovina ideálně hladká, těleso je v rovnováze
pouze tehdy, je-li síla F kolmá k rovině ( = 0 )
b) Odkloněním síly F o úhel se dá těleso do
pohybu pod účinkem hnací síly F" = F sin.
2.a) Je-li rovina drsná, může vzdorovat nejen silám k
nim kolmým, ale i tečným silám až do velikosti NT s
Při působení síly F odkloněné o úhel bude těleso tak dlouho v
rovnováze, pokud tečná složka síly F" bude menší než maximální hodnota
vodorovné reakce T.
F F
F
0v
s s
NRn
TRt
R
čili pokud úhel bude menší než úhel s , pro který platí sstg , kde s
je úhel smykového tření v klidu. Udává krajní polohy vnější síly F, při
nichž vazba působí.
b) Přestoupí-li úhel hodnotu s , dá se těleso do pohybu. Hnací silou zde
bude výslednice vnější síly a reakce vedení
V této rovnici je již místo s součinitel k a protože se těleso pohybuje je
sk .
s
s
sss
tg
FF
FFNFF
cos
sin
cossin
cossin
kFFTF cossin
Ekvivalence:
Protože se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený,
je nutno do výpočtu zahrnout setrvačnou sílu.
Pohybová rovnice tělesa bude
úhel k , jehož kktg , se nazývá úhel tření za pohybu.
Třecí kužel - vyšrafovaná oblast mezi čerchovanými hranicemi
vymezenými úhlem s od svislé osy. Pokud paprsek síly leží uvnitř
třecího kuželu, je těleso ve stabilní poloze (v klidu).
s
F
F
F
NRn R
TRt
am
k
tg
tgFam
Fam
TFam
k
k
1sin
cossin
Pohyb se bude zrychlovat, pokud platí tgtg k , klesne-li úhel pod
hodnotu k , bude těleso brzděno a časem se zastaví.
Materiál s s k k
ocel na ledě 0,027 1o36´ 0,014 48´
ocel na oceli 0,11 - 0,3 6o20´ - 16
o40´ 0,07 - 0,25 4
o - 14
o
kov na dřevě 0,2 - 0,55 11o20´ - 29
o 0,2 - 0,5 11
o20´ - 26
o30´
dřevo na dřevě 0,43 - 0,62 23o - 32
o 0,19 - 0,48 12
o - 25
o
Nutnou a postačující podmínkou aby těleso na nakloněné rovině bylo ve
stabilní rovnováze, je, aby paprsek výslednice vnějších působících sil
(zde tíha) ležel uvnitř třecího kužele.
Chování tělesa o tíze G nakloníme-li rovinu, na které leží kvádr
a)
b)
G
R
G
R cosGN
ss
sinGF
0 s bez tření
bez pohybu, STABILNÍ
c)
d)
s
s
s
s
G
G
cosGN
cosGN
sinGF
sinGFR
R
k
s bez pohybu, ale pohyb možný,
LABILNÍ
ks POHYB
třecí kužel
1.2. Tření valivé
Dokonale hladká podložka → smýkání
Hrubá podložka → smýkání válce po podložce brání tření, podložka
kromě svislé reakce působí i silou vodorovnou, která brání posunu
dotykového bodu válce. Tento dotykový bod zůstává na místě a válec se
kolem něho točí - valí se.
GF
N
v
G
N
T
F
v
r
a) dokonale hladká podložka b) tření
Moment roztáčející válec má velikost F⋅r a velice malá hnací síla F by
měla stačit k uvedení válce do pohybu.
Ve skutečnosti klade těleso odpor i proti valení.
Vysvětlení:
Reakce podložky se poněkud posune vpřed proti
směru pohybu o
jistou délku e (stejně jako u radiálního čepu v
nepřiléhajícím ložisku)
Váha tělesa vzhledem ke středu otáčení působí
brzdícím momentem G⋅e.
Jev se nazývá tření valivé, délka e je parametr
tření valivého (ačkoliv ke tření tu nedochází).
Tření valivé je de facto odpor proti valení tělesa.
Prakticky:
Účinek tření valivého se podobně jako u tření smykového vyjadřuje
brzdící silou T, která je násobkem svislého tlaku.
G
N
e
r
F
v
T
Součtové podmínky rovnováhy
momentová podmínka rovnováhy ke středu
kde v je koeficient tření valivého, který je značně menší než u tření
smykového.
Zjednodušující předpoklady (Coulomb)
- parametr e je nezávislý na poloměru válce a jeho výšce
- parametr e je nezávislý na síle, kterou je válec tlačen k podkladu
G
N
e
r
F
v
T
NGTF
N-GTF
0 0
vGTr
eGT
r
eNT
rTeN
0
1.3. Tření v čepech Vyšetříme moment potřebný k překonání odporu v čepu
1.3.1. Čep tvaru V Součinitel tření v klidu je charakterizován třecím úhlem s a valivý
odpor parametrem valivého tření e. Sklon ramen V čepu je dán úhlem
V místě dotyku kruhového průřezu a hran čepu vznikají neznámé reakce
21 , RR , třetí neznámou je velikost momentu maxM .
Mmax
r
G
Mmax
R1
R2
e
e
xx
p
A1
A2
B1
B2
P
Sestavíme součtové podmínky rovnováhy tuhé desky v rovině ve
vodorovném a svislém směru:
0coscos 0sinsin 2121 ssss RRGRR
Řešením obou rovnice dostaneme
tan
sincos
sin
sin
tan
sincos
11
s
ss
s
s
s
ss
G
RG
R
Výsledky mají smysl, pokud s . Pokud to neplatí, jedná se o úlohu
řešící pohyb kola na nakloněné rovině. Neznámou hodnotu momentu
vypočteme z momentové výminky rovnováhy ke středu kruhu.
0sincos21max ss reRRM
Dosazením za reakce 21 ,RR získáme
ssk reGM sincos
Pokud by byl tento moment překonán, změnil by se třecí úhel statický na
kinematický a V čep by kladl odpor vyjádřený momentem
kkk reGM sincos
1.3.2. Válcový čep Odpor pohybu klade jednak tření valivé a jednak tření smykové. Součet
těchto odporů se nazývá tření čepové a pro úhel čepového tření za klidu
můžeme přibližně předpokládat kkčkvsčs
Sestavíme podmínky rovnováhy válce v čepu. 0sin 0cos čstčsn GRGR
a momentová podmínka rovnováhy k ose válce 0max rRM t
Řešením rovnic pak dostaneme
sin sin cos max čsčstčsn rGMGRGR
Opět při pohybu klade čep odpor vyjádřený momentem
čkk eGM
1.3.3. Axiální a radiální čep hřídele Čepy jsou části hřídelů uložené do ložisek, které umožňují otáčení.
Svislé hřídele, zatížené osovou silou způsobenou
vahou rotujícího tělesa, mají čepy axiální.
Vodorovné hřídele, zatížené převážně kolmo ke
své ose, mají čepy radiální.
1. Axiální čep tvaru rotačního komolého kužele
zatížený osovou silou, která se rozděluje
rovnoměrně na dosedací plochu. Při otáčení
hřídele se po sobě posunují plošné elementy čepu
a dosedací plochy ložiska, při němž vznikají
vodorovné síly tření proti směru pohybu. Ty mají
na celém čepu k ose otáčení moment, který toto otáčení brzdí – nazývá se
moment čepového tření.
Plášť srrp 12 pro komolý kužel
Dosedací plocha čepu
21
22
2112
sin22
sinrr
rrrrA
Celková síla kolmá na povrch čepu
sin sin
QNQN sin
ds
dx
Prstencový plošný element
sin22
dxxdsxdA
Elementární normálová síla
dxx
rr
Q
dxx
rr
QdA
A
NdN
sin
2
sin2
sin
sin
21
22
21
22
Tření působící na plošném elementu bude
dxx
rr
QdNdT k
k
sin
22
122
Moment sil tření po celé ploše čepu k jeho ose
21
22
31
322
21
22
sin3
2
sin
22
1
2
1rr
rrQdxx
rr
QdTxM k
r
r
k
r
r
č
Má-li se těleso otáčet rovnoměrně, musí na ně působit hnací moment této
velikosti. V opačném případně se těleso účinkem čepového tření zastaví.
2. Radiální čep zatížený svislou silou Q a uložený v nepřiléhajícím ložisku
(průměr čepu je o něco menší než průměr ložiska)
Pokud se hřídel neotáčí, bude čep spočívat
v nejnižší poloze ložiska A. Reakce R bude svislá
v rovnováze se silou Q. Při otáčení hřídele dojde
v bodě dotyku ke smýkání ploch ložiska a čepu,
vyvodí se tečná složka reakce, který způsobí, že
výsledná síla nebude kolmá k ploše ložiska.
Protože velikost a směr reakce je dán velikostí a
směrem síly Q, posune se působiště síly (dvojice sil)
tak, aby výslednice R byla svislá (čep naběhne proti
směru otáčení).
Za pohybu nejsou síly Q a R v rovnováze, musí působit moment velikosti
Q , aby se udržel rovnoměrný chod hřídele.
Tento moment je opět moment čepového tření.
RQ součtová výminka
NQT kk sin kr sin
čkč rQrQQM sin
kde č je koeficient tření čepového 21
sin
k
kkč
3. Radiální čep v těsném ložisku. Reakce ložiska působí po celém obvodě
čepu, není však rozdělena rovnoměrně. V každém
bodě ložiska bude tato reakce svírat s normálou úhel
tření za pohybu k .
Elementární reakce budou obalovat kružnici o
poloměru kr sin , tzv. třecí kružnice.
dRMč musí na otáčející se hřídel působit
k překonání tření v čepu
0 dRQ součtová podmínka rovnováhy
Protože platí, že integrál z absolutních hodnot je vždy menší než absolutní
hodnota integrálu
RdRd bude QdR pro těsné ložisko pak QdR , kde
1
QrM kč sin resp. rQM čč
Kde 21
sin
k
kkč
Jestliže na radiální čep bez tření, v klidu, bude působit vnější síla kolmá
k jeho ose, nevyvodí otáčení jen v tom případě, bude-li ji protínat (nulový
moment k ose). Jakmile bude mít vnější síla k ose čepu nějaký moment,
způsobí otáčení.
Bez uvažování tření však může síla působit mimo osu hřídele, aniž vyvodí
pohyb (moment působí síly čF MM ), tj. bude-li tato síla protínat třecí
kružnici.
1.4. Tření lana přes kruhový válec Lano je vedeno přes kruhový válec, mezi lanem a povrchem válce je tření.
Hledáme největší možný rozdíl mezi velikostmi sil F1 a F2, aby lano
dotýkající se kruhového válce v délce určené úhlem (viz obrázek),
neproklouzlo. Součinitel smykového tření za klidu mezi materiály lana a
válce je s.
F2
F1
r
d
dF
F
tR
nR
d
Ve směru vnější normály kruhového průřezu válce potom sestavíme
součtovou podmínky rovnováhy
0
0 0sin
ddFdFR
ddFRddFR
n
nn
( protože pro malý úhel dd sin ).
Zanedbáme veličinu druhého řádu a potom 0 dFRn
Podobně výminka rovnováhy v místě ve směru tečny má tvar
0 0cos tt RFdFRFddF
( protože pro malý úhel 1cos d )
Třecí síla
dFRR snst .
Dosazením do předchozí rovnice a úpravou dostaneme
0
F
d
FdFs
což představuje lineární diferenciální rovnici 1. řádu
0
F
d
dFs .
Řešením rovnice získáme sílu seCF 1 .
Integrační konstantu C1 získáme z okrajové podmínky 10 FF , tedy
seFF 1
Z vypočteného vztahu lze zodpovědět zadání, že maximální možný rozdíl
mezi silami F1 a F2 je
11max12 seFFF .
