SKOŘEPINY

Skořepiny jsou plošné konstrukce“

jejich tloušťka je mnohonásobně menší než zbývající dva rozměry

jejich střednicová plocha je zakřivená

Používají se jako

nosné části konstrukcí ohraničující nějaký objem (báně, střechy, kapotáž)

jako samostatné konstrukce s objemem (nádrže, potrubí, tlakové nádoby).

Při daném zatížení vznikají po

tloušťce skořepiny napětí, jejichž

charakter a průběh je obdobný jako

u stěn a desek.

Integrací napětí po tloušťce skořepiny

lze vyjádřit vnitřní síly vztažené ke

střednicové ploše – normálové síly,

posouvající síly a ohybové momenty.

x

y

z

0

xN

xN

yN

yN xyN

xyN

yxN

yxN

yQ

yQ

xQ

xQ

xyM

xyM

yxM

yxM

xM

xM

yM

yM

zp

Jedná se tedy opět o převedení výpočtu v trojrozměrném prostoru (3D) na úlohu

v dvojrozměrném prostoru (2D).

Na rozdíl od desek a stěn na element skořepiny působí všechny vnitřní síly, proto u

skořepin mluvíme o tzv. deskostěnovém působení konstrukce.

Napjatost skořepin

Membránový stav napjatosti. - Vlivem tvaru skořepiny a také charakteru zatížení se v některých případech téměř na

celé skořepině vliv ohybových momentů neuplatňuje (jsou nulové nebo zanedbatelně

malé)

- významných hodnot nabývají zejména normálové síly a částečně posouvající či

smykové síly.

Momentový stav napjatosti vlivem tvaru a charakteru zatížení se výrazně uplatňují ohybové momenty

silně se uplatňují také posouvající síly a normálové síly

Rozdíl je zřejmý z definice vnitřních sil:

- Při momentovém stavu napjatosti se normálová napětí (která jsou pro

namáhání konstrukce nejvýznamnější) po tloušťce mění (se vzdáleností od

střednicové plochy).

- Při membránovém stavu napjatosti se normálová napětí po výšce nemění, jsou

konstantní.

V místě podepření skořepiny, tj. v okrajových řezech, dochází k porušení

membránového stavu napjatosti a v hraniční oblasti vzniká momentový stav napjatosti.

Ten se zpravidla s rostoucí vzdáleností od kraje rychle utlumí.

Podobně dochází k lokálnímu porušení pouze membránové napjatosti vlivem defektů

skořepiny (náhlá změna tloušťky v omezené oblasti, lokální zboulení) nebo při zatížení

osamělými silami či momenty.

Membránová teorie

a) Rotační skořepiny

Tvar skořepiny vzniká rotací meridiánu kolem osy. Uplatňují se v řadě technických

aplikací, např. nádrže, zásobníky, tlakové nádoby, kupole).

Rovnice pro výpočet vnitřních membránových sil se odvozují z podmínek rovnováhy

na elementu skořepiny.

rpr

N

r

N

rrpNrN

rrN

rrpNrN

rrN

21

111

111

0cos

0cos

V praktických úlohách se často vyskytuje osová symetrie zatížení (tlak plynu, vody apod.),

takže úloha se zjednoduší a mluvíme o tzv. rotačně symetrické napjatosti.

rpr

N

r

N

rrpNrrNd

d

21

11 0cos

Příklady rotačních skořepin:

Zvláštním případem rotačně symetrických skořepin jsou trouby s vnitřním (vnějším)

přetlakem. Jsou tzv. cylindrické (válcové) skořepiny s uzavřeným průřezem.

kupole tlaková nádoba nádrž

x r

p

p N N

prN

b) Skořepina libovolného tvaru

Střednicová plocha je popsána v soustavě pravoúhlých souřadnic funkcí yxfz , .

Rovnice pro řešení skořepiny se dostanou z rovnic rovnováhy sil na elementu:

x

xyx py

N

x

N

y

yxyp

y

N

x

N

y

zp

x

zpp

y

zN

yx

zN

x

zN yxzyxyx

2

22

2

2

2

Příklady

eliptický paraboloid konoid

hyperbolický paraboloid rotační hyperbolický paraboloid (část)

c) Ploché skořepiny

Tvar skořepiny popsaný funkcí yxfz , je důležitý pro to, zda řešící rovnice složitý

nebo jednodušší tvar. V technické praxi jsou významné tzv. ploché skořepiny, u nichž

poměr vzepětí skořepiny k menšímu půdorysnému rozměru je menší než 1/5. Potom tvar

rovnic pro vnitřní síly je jednodušší a řešení méně obtížné.

Momentová teorie

K narušení membránové napjatosti dochází vlivem zatížení a okrajových podmínek.

Příklady:

Částečné naplnění trouby

tekutinou. V úrovni hladiny

dochází k vzniku ohybových

momentů.

Vznik ohybových momentů u

válcové nádrže ve vetknutí

stěny do dna.

Uzavření tlakové válcové nádoby dnem ve tvaru

kulového vrchlíku. Na spojení válce a vrchlíku

vznikají ohybové momenty, které se ve větší

vzdálenosti utlumí.

Momentová teorie opět byla rozpracována pro základní typy skořepin technické praxe.

Řešení se zavedením fyzikálních rovnic převádí na řešení průhybu a posunutí bodů

střednicové plochy (obdoba deskové a stěnové rovnice) a funkce napětí pro vyjádření

membránových sil.

Plocha se zápornou Gaussovou

křivostí

Příklad plochy se zápornou

Gaussovou křivostí

Odbavovací hala autobusového

nádraří Hradec Králové

Opera v Sydney

Stabilita skořepinových konstrukcí

Ztráta stability (zboulení) tenkostěnné skořepinové konstrukce:

dojde vlivem zatížení v její stěně k nadměrnému tlakovému napětí

dochází k přerozdělení rovnováhy v tlaku na rovnováhu v tlaku a ohybu, tzv.

bifurkace – rozdvojení rovnováhy

tuhost membránová je mnohem větší než ohybová

dochází k přeměně membránové energie napjatosti na společnou membránovou a

ohybovou energii napjatosti

vznikají výrazné deformace v podobě vln a výrazné snížení únosnosti

Jsou popsány dva základní typy boulení

- lineární, při kterém dochází v bifurkačním bodě k rozdvojení rovnováhy

o skořepina se zdeformuje do nového tvaru, který odpovídá kritickému zatížení

o úloha se převede na problém vlastních čísel nebo tvarů, kterým odpovídá pro

nejmenší hodnotu kritické břemeno

o kritická hodnota je pouze teoretická, v praxi jí nemůže být dosaženo a je

korigována redukčním součinitelem

- nelineární kolaps (prolomení, snap-through)

o namáhání je již zpočátku částečně membránové i momentové

o tuhost skořepiny vlivem membránových tlakových sil klesá

o po dosažení vrcholu se konstrukce prolomí

BL – bod bifurkace

OAC – rovnovážná křivka

OBN1D, OBN2E – sekundární křivky

nového rovnovážného stavu

Závislost posunutí na růstu zatížení

skořepinové konstrukce

Příklady ztráty stability válcových zásobníků

Na hodnotu kritického zatížení má vliv geometrie skořepiny, použitý materiál, okrajové

podmínky a také výrobní imperfekce – nedokonalosti tvaru. Kritické hodnoty zatížení se

zjišťují:

- experimentálně

- numerickou simulací

Příklad stanovení kritického zatížení kuželové skořepiny (Ing. Doubravka Středová 2012)

Experiment

Zkušební zařízení Zkušební vzorek po experimentu

Numerická simulace metodou konečných prvků

Numerické modely celého a komolého modelu

Zatěžovací analýza – geometricky i materiálově nelineární analýza

Grafické výstupy

Výsledná posunutí – krok výpočtu 7 Výsledná posunutí – krok výpočtu 12

Výsledná posunutí – krok výpočtu 150 Výsledná posunutí – krok výpočtu 250

Hodnotu kritického zatížení lze někdy zvýšit vyztužením skořepiny

Produktovody Tranzitní plynovody

Základní napjatost – kotlový vzorec – vnitřní přetlak plymu

Napětí obvodové v troubě t

pr

Základní napjatost narušují další vlivy

Výrobní imperfekce – ovalita

Korozní vady

Chyby v uložení potrubní linie

Sesuvné území

x r

p

p N N

prN

Nekruhovitost (ovalita) průřezu

Ovalita průřezu má výrazný vliv na změnu stavu napětí a deformace v potrubí. Je

definována vztahem:

00

00200DD

DDU

kde:

ubkyprůrůřezu průrůmě minimální je

ubkyprůrůřezu průrůmě maximální je

procentech vovalita je

D

D

U

Při experimentálních měřeních je obtížné ovalitu zkušebních tlakových nádob přesně

měřit. Proto se úvahy o vlivu ovality obracejí k numerickým metodám.

Základní předpoklad je, že průřez trubky má tvar elipsy. Pro malé ovality do 5% lze potom

uvažovat ve výpočtu, že při stejném obvodu kružnice a elipsy jsou rozdíly velké a malé

poloosy elipsy od poloměru kružnice stejné.

Potom změna poloměru 200

.

400

. rUDU

Přídavné napětí od vyrovnání ovality ( tzn.od ohybového momentu, vyvolaného změnou

křivosti průřezu trubky přechodem elipsy na kruh )

212

Et

kde 2

2

2

128

DD

D pro vedlejší poloosu elipsy

2

2

2

128

DD

D pro hlavní poloosu elipsy

2/DDD

je průměr střednice ideální trubky bez ovality.

r je poloměr ideální trubky bez ovality

t je tloušťka stěny potrubí

-100

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8

stre

ss

f [

MP

a]

press of gas [ MPa ]

outer surface ( 2% ovality )

inner surface ( 2% ovality )

outer surface ( 5% ovality )

inner surface ( 5% ovality )

napětí dle kotlového vzorce

252

254

256

258

260

262

264

266

268

0 2 4 6 8 10

size

of

sem

iaxis

[ m

m ]

press of gas [ MPa ]

major semiaxis ( 2% ovality )

minor semiaxis ( 2% ovality )

major semiaxis ( 5% ovality )

minor semiaxis ( 5% ovality )

Maximální obvodové napětí y při

růstu vnitřního tlaku do teoretického

vyrovnání ovality

Vyrovnávání délek poloos eliptického

průřezu s růstem vnitřního tlaku plynu

Řešení metodou konečných prvků

Druhý způsob řešení napětí a deformací v prstenci zatíženém vnitřním přetlakem je

pomocí metody konečných prvků. S využitím symetrie lze modelovat čtvrtinu prstence,

nejlépe s použitím rovinného prvku popisujícího rovinnou deformaci.

Pracovní diagram oceli trubky

f426/6 mm

Model prstence

251

252

253

254

255

256

257

0 2 4 6 8 10

rad

ius

of

the

pip

e [m

m]

press of gas [MPa]

major semiaxis minor semiaxis

Změna poloos

eliptického průřezu

trubky f426/6 mm s

2% ovalitou

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

stre

ss [

MP

a]

press of gas [MPa]

outer surface inner surface

membrane stress

Změna obvodového napětí f ve vrcholu vedlejší poloosy eliptického průřezu

trubky f426/6 mm při změně vnitřního přetlaku

Po odlehčení klesají napětí prakticky

lineárně, dochází k přerozdělení

deformací a napětí v celém objemu a

po úplném odlehčení se projevují

jako zbytková napětí v průřezu.

Tato zbytková napětí mohou hrát

příznivou roli při následném

zatěžování, kdy závislost mezi

vnitřním přetlakem a napětím je

podstatně déle lineární, a v případě

některých korozních vad, kdy

zbytková napětí vyvolávají kolem

nich sevření, která působí jako

bariéry proti šíření trhlin.

Obr.9.8. Zbytkové napětí f ve stěně trubky f 426/6 mm po odlehčení

Studie chování korozních důlků

Důležitou součástí při posuzování únosnosti a zbytkové životnosti dlouhodobě

provozovaných plynovodních potrubí je vyšetření účinků koroze.

Korozní vady jsou velmi častou geometrickou imperfekcí, která ovlivňuje napjatost

cylindrické skořepiny. Korozní poškození můžeme rozlišovat:

samostatný korozní důlek - tvar obvodu je blízký kružnici

blízké důlky - středy důlků jsou vzdáleny do 1,5 násobku průměru důlku

plošná koroze - plošné rozměry vady jsou větší než 3 tloušťky skořepiny

Model samostatného korozního důlku

na trubce pro MKP.

Průběh obvodového napětí y = f kolem

osamělého důlku.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 20 40 60 80

coef

fici

ent

k t

coordinate z [ mm ]

v=4mm v=3mm v=2mm

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 20 40 60 80

coef

fici

ent

k t

coordinate z [ mm ]

v=4mm v=3mm v=2mm

Grafy průběhů koeficientů kt koncentrace obvodového napětí f pro osamělý důlek.

Vliv svaru na napětí ve stěně trubky

Při tlakování plynovodní trubky se spirálovým svarem byl pozorován i pouhým okem vliv

svaru na změnu tvaru.

Trubka se jevila jako dlouhý nafouknutý dětský balónek ovinutý provázkem. Svar působí

ztužujícím vlivem, který způsobuje, že v jeho okolí má příčný průřez trouby při zatížení

vnitřním přetlakem menší průměr.

Experimentální měření ukázala, že v těsné blízkosti dochází ke změně obvodového a

podélného napětí v plášti trouby a k natáčení os hlavních napětí. Obtížné však je určit,

jaký podíl má na těchto změnách vliv svaru a jaký podíl mají další vlivy, např.

geometrické imperfekce ( ovalita, mírné lokální zvlnění ), vnitřní pnutí a pod. Pro

vyhodnocení vlivu svaru se opět nabízí numerický výpočet metodou konečných prvků.

. Změna vydutí trubky v okolí svaru v podélném řezu

Změna obvodového napětí f v okolí svaru

Plastická zóna na okraji svaru při přechodu svaru do

základního materiálu

Uvedené příklady ukazují, že:

Vlivem ovality se zvyšují napětí na obvodu trouby

Ve stěně trouby zůstávají zbytková napětí při zplastizování některých částí průřezu

Korozní důlky a jiné korozní vady způsobují koncentrace napětí, převyšující

nominální napětí od vnitřního přetlaku.

Také kolem svarů díky různé kvalitě materiálu dochází ke koncentraci napětí a prudké

změně napjatosti v okolí svaru.

Vlivem tlakování plynu dochází k cyklické změně úrovně tlaku a tím i ke změně

napjatosti a ke změnám úrovně napětí.

Zjištění rozkmitu napětí v koncentracích napětí slouží k posouzení vzniku a růstu

trhlin a posouzení zbytkové životnosti plynovodu.