Pohyby v centrálním poli
Uvažujme pohyby v centrálním poli – tedy takovém, kde síla směřuje do středu a závisí jen na vzdálenosti od středu a nikoliv na otočení (izotropní pole). Je zjevné, že pro popis v tomto poli budou extrémně vhodné sférické souřadnice :
x
y
z
precese
rotace
r
dddrrdzdydx
rz
ry
rx
sin
cos
sinsin
cossin
2
Pozn. : Jacobián viz doplňková průsvitka.Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]).
Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
do vaší budoucnosti
x
y
z
rotace
rF
Pohyby v centrálním poli
Síla míří vždy směrem do centra (se kterým spojíme počátek vztažné soustavy), je tedy rovnoběžná s polohovým vektorem. Zaveďme dvě nové veličiny, které popisují rotační pohyb kolem nějakého středu. Jsou to p
FrM
Moment síly
prl
Moment hybnosti
Tyto veličiny jsou samozřejmě definované obecně, nejen pro centrální pole. Udávají, jak moc se síla resp. hybnost podílí na rotačním pohybu. Je zjevné, že moment síly je pro centrální pole nulový – vektorový součin dvou rovnoběžných vektorů je nula. Působící síla tedy neudílí hmotnému bodu rotaci kolem středu.
0 rrFrrF
x
y
z
rotace
rF
Pohyby v centrálním poli
Oproti tomu moment hybnosti je obecně nenulový, ale pro jeho derivaci platí :
p
000
)(
Mvvm
MvmvFrpv
dt
pdrp
dt
rd
dt
prd
dt
ld
a tedy
.0 konstldt
ld
Fakt, že moment hybnosti se zachovává (je konstantní v čase) má závažné důsledky :
prl
je-li směr vektoru l konstantní, pak r i p jsou stále kolmé na jeden pevně daný směr a to znamená, že se pohybují v rovině. Částice v izotropním centrálním poli tedy vykonává vždy rovinný pohyb.
Pozn. : pro planety této rovině říkáme rovina ekliptiky.
Pohyby v centrálním poli
Nyní se podívejme, co se děje s dalšími veličinami. Díky zachovávajícímu se momentu hybnosti se můžeme omezit na dvě souřadnice – pohyb probíhá v rovině. Popišme jej tedy polárními souřadnicemi v rovině :
sincos
)cos(
rr
dt
rdxvx
Rychlost v této soustavě vypadá následovně:
ddrrdydxry
rx
sin
cos
cossin
)sin(
rr
dt
rdyvy
A pokud tyto vektory otočíme, získáme rychlost ve směru radiálním (normálovém) a tečném: x
y
r
vvx
vy
vφ
vr
y
xr
v
v
v
v
cossin
sincos
Pohyby v centrálním poli
Dosadíme :
cossin
sincos
cossin
sincos
rr
rr
v
vr
rr
rrrrvr
22
22
sincos
cossinsincossincos
rr
rrrrv22
22
sincos
cossincossinsincos
Tedy
Pozn. : Na rozdíl od jednoduchého pohybu po kružnici zde jak r, tak ω jsou funkcemi času!
2222
rrv
rrv
rvrRychlost vzdalování/přibližování HB od středu
Rychlost pohybu HB po kružnici s poloměrem r (ω je úhlová rychlost).
Kvadrát velikosti vektoru rychlosti
Pohyby v centrálním poli
Zrychlení se spočítá obdobně:
dt
rrdva
dt
rrdva
yy
xx
)cossin(
)sincos(
y
xr
a
a
a
a
cossin
sincos
rraa
rraa
t
nr
2
2Normálové (radiální) zrychlení
Tečné zrychlení
Pohyby v centrálním poli
Pohyb je vykonáván v rovině kolmé na moment hybnosti. Velikost momentu hybnosti je ale také konstantní a musí platit
0,,0,,
.
yx vvyxm
vrmprlkonst
Nuly na z-tových souřadnicích vyjadřují, že HB se drží v jedné rovině, kterou jsme si pro tento výpočet představili jako rovinu XY. Pozor, tato rovnice by neplatila bez absolutních hodnot, směr momentu hybnosti je jinak zcela obecný! Dopočítejme:
xyxyyx vyvxxvvyvvyx ,00,000,,0,,
.
cossinsincossin
cossincos
2
22
konstrm
rrmrrr
rrrmvyvxmvrml xy
Veličina se tedy zachovává. Absolutní hodnotu můžeme pominout – veličina se zachovává při pohybu jak po směru, tak proti směru hodinových ručiček a znaménka nemění (pohyb nemůže jen tak změnit směr). Po kratším zamyšlení zjistíme, že toto je vlastně Keplerův zákon o stálé plošné rychlosti planety.
2rm
l
Pohyby v centrálním poli
Johannes Kepler 1571 - 1630
Planety se pohybují po elipsách a platí, že za stejný čas T urazí planeta takovou dráhu, že obsah plochy
uzavřené elipsou a spojnicemi se sluncem je konstantní.
Pohyby v centrálním poli
d
rd
r
dS
Víme, že velikost vektorového součinu je číselně rovna velikosti plochy rovnoběžníku, určenému vektory v součinu. Vezmeme-li tedy infinitezimální úhel dφ, určující posun dr (který můžeme pova-žovat za úsečku), dostáváme
rdrdS
21
Časová derivace plochy je potom
.2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22 konstrrmm
lm
prm
vmrm
vrdt
rdr
dt
dSS
Plocha se tedy vyvíjí v čase lineárně, což je jen trochu přeformulované tvrzení, že za stejnou dobu je plocha opsaná planetou vždy stejná :
0StS
Pohyby v centrálním poli
Prozkoumejme nyní, jak vypadá potenciální energie v izotropním centrálním poli. Síla směřuje vždy do středu a její velikost závisí pouze na vzdálenosti r. Potom ale musí platit, že
0,0,,,dr
dUUU
r
UUF
Síla je tedy potenciální a existuje pro ni potenciální energie ve formě funkce jedné proměnné:
dr
rdUrF
)()(
Pohybové rovnice pak vypadají takto:
0)2(
)()( 2
rrmam
rFrrmam r
Už na první pohled působí dojmem neřešitelnosti . Na druhou stranu si můžeme pomoct tím, že známe dvě zachovávající se veličiny : energii a moment hybnosti.
Pohyby v centrálním poli
0)2(
)()( 2
rrm
rFrrm
.)()()(
.222
212
21
2
konstrUrrmrUvmE
konstrml
Povšimněme si blíže výrazu pro energii. Druhý výraz v závorce lze upravit na
2
2
2
24222
21
22 rm
l
rm
rmrm
což je ale funkce závislá výhradně na r a lze ji spojit s potenciální energií :
.)()(2
221
2
22
21 konstrUrmrU
rm
lrmE ef
Nyní je do efektivní potenciální energie Uef zahrnuta i energie rotačního pohybu a kinetická se redukuje na energii vzdalování resp. přibližování k centru.
Pohyby v centrálním poli
Místo složitých pohybových rovnic tak můžeme vyjít s výrazu pro energii
Provést separaci proměnných (což pro naše praktické účely znamená formálně „vynásobit“ výraz diferenciálem dt a upravit:
))(()( 2221 rUE
dt
drrrUrmE efmef
a obě strany zvlášť zintegrovat – levou podle t a pravou podle r :
drrUE
dtefm ))((
12
drrUE
tefm
))((
12
Tak získáme čas jako funkci vzdálenosti od centra a dopočítáme inverzní funkci r(t). Obdobný integrál bychom dostali pro φ. Pro konkrétní případ je samozřejmě nutné znát konkrétní podobu funkce Uef a hodnotu celkové energie E.
Pohyby v centrálním poli
Položme si otázku, kdy bude mít trajektorie tělesa tvar uzavřené křivky. Výpočty ukazují, že trajektorie může být uzavřená, má-li potenciální energie tvar
2)(nebo)( rrUr
rU
První z nich odpovídá klasickému gravitačnímu nebo elektrickému poli, druhý případ pak prostorovému harmonickému oscilátoru. V jiných polích může být trajektorie omezena, ale nebude na sebe „navazovat“ :
Podobnou trajektorii opisuje například Merkur – kromě vlivů okolních objektů se v jeho dráze projevují i efekty obecné teorie relativity (stáčení perihelia Merkuru je považováno za jeden z důkazů platnosti OTR).
008.1)(
rrU
Pohyby v centrálním poli
Pro pohyb v gravitačním poli (Keplerova úloha) má Uef tvar
Mmrmr
lrU ef
2
2
2)(
Zderivováním zjistíme minimum této funkce :
2
2
min
2
min23
2
2,0)(
l
mU
m
lr
rmr
lrU ef
Ve funkci Uef(r) je tedy potenciálová jáma, která umožňuje finitní pohyb. Tečkovaně je vynesen tvar potenciální energie, kdyby síla byla odpudivá (elektrické pole, stejné náboje). Vidíme, že zde žádná jáma umožňující stálý pohyb není.
Uef
r
Uefmin
rmin
Pohyby v centrálním poli
Chování tělesa v gravitačním poli závisí na jeho celkové energii.Minimální možná energie HB je označena jako E1, která odpovídá minimu Uef. Při této energii se nemění vzdálenost od centra – těleso se pohybuje na kruhové orbitě.
Uef
r0
E1
E2
rmaxrmin
E3
E4
r’min
Toto samozřejmě neznamená, že kruhová orbita je jen jedna. Uef(r) nezávisí pouze na gravitační síle, ale také na momentu hybnosti tělesa! Jelikož
m
lr
2
0
platí, že pro každý moment hybnosti existuje právě jedna kruhová orbita (po které se těleso může pohybovat tam nebo zpět). Moment hybnosti tělesa ale může být libovolný, tj. kruhových orbit je nekonečně mnoho.
Dopočítejme pro daný kruhový orbit o poloměru r0 oběžnou rychlost a dobu oběhu.
Pohyby v centrálním poli
Gravitační konstanta je součástí Newtonova gravitačního zákona a její hodnota je dopočítána z pozorovaných pohybů planet. Dosaďme do kruhového orbitu za moment hybnosti a vyjádřeme rychlost:
2311110672.6 smkgMm
tj. pro rychlost platí
0
22
2220
20
2
0
)(
r
Mv
Mm
vmr
Mmm
pr
m
lr
122231
0
21
][
mssm
m
kgsmkgv
r
Mv
Jednotky sedí, vzorec vypadá O.K. A jelikož délka kruhového orbitu o poloměru r0 je 2πr0, potom
M
rT
r
M
T
r
T
sv
3
0
0
0 22
Rozměrovou analýzu proveďte sami. Vidíme, že jak oběžná rychlost, tak doba oběhu nezávisí na hmotnosti tělesa, což je v souladu s pozorováním i se „zdravým selským rozumem“ (ZSR).
Příklad Spočítejte výšku geostacionární oběžné dráhy nad povrchem země. Mz = 5,9736×1024 kg
Pohyby v centrálním poli
Má-li těleso energii větší, než E1, ale menší, než E3, pohybuje se v prostoru omezeném vzdálenostmi od centra rmin a rmax. Dá se spočítat, že trajektorie tělesa bude eliptická se středem gravitace v jednom z ohnisek.
Uef
r0
E1
E2
rmaxrmin
E3
E4
r’min
Pohyby v centrálním poli
Pokud je energie tělesa těsně pod E3, je elipsa velmi protáhlá. Takovou dráhu mají například komety. Dosáhne-li energie přesně E3, pohyb přejde v infinitní – elipsa se změní v parabolu. Při vzrůstající energii je pak dráha hyperbolická. Těleso s ke gravitujícímu centru přiblíží nejvýše na vzdálenost r’min. J-li síla odpudivá, pak vidíme, že pohyb tělesa může být jenom hyperbolický.
Uef
E1
E2
E3
E4
r’min
Kosmické rychlosti
a) Rychlost je nízká, těleso se pohybuje po elipse tak, že dopadá na povrch. Pro nás nezajímavé.
b) Rychlost je taková, že se těleso pohybuje po kruhové dráze a vrátí se do původního bodu. Pokud je výška nad povrchem zanedbatelná, dosáhli jsme 1. kosmické rychlosti 7,912 km.s-1. Jedná se vlastně o kruhovou rychlost kolem Země ve výšce r0 = 6378 m 1).
Udělíme-li tělesu v nějaké výšce nad povrchem Země (kterou aproximujeme gravitujícím bodem) počáteční rychlost, může nastat několik možností:
c) Při vzrůstající rychlosti se těleso stále vrací do původního bodu, pohybuje se ale po více a více protáhlejších elipsách.
d) Těleso se již nevrátí – dosáhlo rychlosti potřebné pro parabolickou dráhu. Této rychlosti, která má pro Zemi hodnotu 11,18 kms-1 a pro Slunce 42,1 kms-1 říkáme 2. kosmická rychlost nebo také úniková.
e) Rychlosti, kterou je tělesu třeba udělit, aby opustilo nejen Zemi, ale i Sluneční soustavu, se říká 3. kosmická a má velikost 16.6 kms-1. Takto nízká je díky rychlosti Země kolem Slunce.
1) Abychom si vybavili toto číslo, stačí si v duchu říct „Šetři se, osle!“
Pohyby v neinerciální soustavě
Neinerciální soustavu lze popsat jako inerciální, pokud do ní vneseme vnější, setrvačné síly. Takové síly působí na všechna tělesa v soustavě a nelze jim přisoudit žádného původce.
Pokud jedoucí autobus prudce zabrzdí nebo do něčeho narazí, začne na pasažéry působit značně velká síla, která je vrhne vpřed po směru jízdy. Z hlediska vztažné soustavy autobusu ji nelze nijak vysvětlit. Rakouský fyzik E. Mach se pokusil existenci setrvačných sil vysvětlit celkovým rozložením hmoty ve vesmíru (tzv. Machův princip). V denní praxi však tuto sílu přisuzujeme spíše neobratnosti řidiče než působení vzdálených galaxií.
Ernst Mach1838 - 1916
Pohyby v neinerciální soustavě
Pokud se soustava S2 pohybuje vůči soustavě S1 se zrychlením, souřadné osy však zůstávají ve svém směru (žádná ze soustav nerotuje), je snadné systém popsat. Do pohybových rovnic v soustavě S2 zaneseme zrychlení transformací :
x1
y1z1
x2
y2z2
AS1 S2
Amamam SS
12
V neinerciální soustavě S2 se tak v pohybové rovnici objeví další síla, odpovídající Fs = -mA :
AmFamFFFam SSsS
,,
12
Pohyby v neinerciální soustavě
Typickým příkladem je podobné soustavy je Einsteinova zdviž. Tento myšlený!! pokus je jednoduchý – jedná se o výtah, kterému prasklo závěsné lano. V ten moment se začíná pohybovat směrem k zemi se zrychlením a = g = 9.81 ms-2. Totéž zrychlení ale působí na všechny předměty v kabině. Spojíme-li vztažnou soustavu přímo s výtahem, pak na pasažéry kromě pravé síly Fg působí ještě síla nepravá, která je dána zrychlením kabiny :
a
a
0
gmgmFFam s
Vůči kabině výtahu je tedy pasažér v beztížném stavu. Tohoto faktu se dá i konstruktivně využít – při tzv. parabolickém letu lze simulovat sníženou gravitaci či stav beztíže pro vědecké experimenty, výcvik kosmonautů či filmové efekty.
Pohyby v neinerciální soustavě
Zajímavý je rovněž rotační pohyb soustavy. Předpokládejme, že soustava S2 vůči soustavě S1 rotuje konstantní úhlovou rychlostí ω (pro jednoduchost uvažujeme rotaci kolem společné osy z).
Pootočí-li se soustava o infinitezimální úhel, změní se polohový vektor o dr, což lze vyjádřit jako rdrd
kde úhel s šipkou rozumíme vektor, který rovnoběžný s osou otáčení a jeho velikost odpovídá velikosti úhlu. Je zjevné, že dr je tak kolmý jak na směr otáčení, tak na polohový vektor. Pro obvodovou rychlost pak platíx1
x2
y1
y2
z1 = z2
d
rd
r
d
rrt
d
t
rdv
Pohyby v neinerciální soustavě
Nyní předpokládejme, že se těleso v rotující soustavě pohybuje (běžíme na kolotoči, pohybujeme se po povrchu rotující Země). Pohrajeme-li si s vektory a vektorovými součiny, zjistíme, že v rotující soustavě působí dvě setrvačné síly :
vmF
rmF
C
o
2
odstředivá síla
Coriolisova síla
Známý příklad – házení míčů na Lochneské dráze. Zasáhnout koš je velmi obtížné, neboť na pohybující se míč působí Coriolisova síla, která jej vychyluje z dráhy.
Nad touto silou se lze zamyslet i jinak. Při pohybu od okraje kotouče do středu se mění obvodová rychlost – tj. na těleso působí zrychlení a tedy síla.
obvv obvv
Mechanika soustavy těles
Sledujme nyní soustavu hmotných bodů. Mějme celkem n částic, z nichž každá má svůj polohový vektor, hmotnost, hybnost a rychlost :
nipvrm iiii ,,2,1,,,
Předpokládejme, že soustava, v níž částice studujeme, je inerciální, tedy v ní působí jen pravé síly. Ty mohou mít původ v nějakém poli (externí síly) a nebo částice mohou působit silově mezi sebou navzájem (interní síly). Pokud vnější síly na částice nepůsobí, je soustava izolovaná. Pro pravé síly platí Newtonovy zákony. Celkovou sílu, která působí na jednotlivou i-tou částici, lze rozepsat jako
n
jij
celki FF
1
.
kde Fij je síla působící mezi částicemi i a j a kde zřejmě platí, že Fii = 0. Pohybovou rovnici pro částici i pak lze zapsat jako
vnejsii
n
jij
vnejsii
celkiii
i FFFFamdt
pd
1
.
Mechanika soustavy těles
Těchto rovnic je celkem n :
Udělejme s nimi teď „špinavý trik“ – všechny tyto rovnice sečteme :
niFFFFamdt
pd vnejsii
n
jij
vnejsii
celkiii
i ,,2,11
.
vnejsii
n
i
n
jij
n
i
n
i
i FFdt
pd
1111
Nyní lze provést několik elementárních úprav :
vnejsin
jij
n
i
n
ii FFP
dt
dp
dt
d
111
kde P je celková hybnost soustavy a F vnejsi celková vnější síla. Nyní si uvědomme, že díky zákonu akce a reakce se všechny vnitřní síly v součtu vykompenzují, neboť Fij = -Fji. Dvojitá suma je tedy vlastně nulová a zůstává nám zákon o změně celkové hybnosti:
vnejsiFdt
Pd Změna celkové hybnosti je rovna výslednici vnějších sil
1. věta impulzová
Mechanika soustavy těles
Pokud na soustavu nepůsobí žádné vnější síly, je derivace P nulová a celková hybnost je tedy konstantní – zachovává se v čase.
Zkoumejme nyní, jak se změní celková hybnost systému částic, přejdeme-li k jiné inerciální soustavě, která se vzhledem k té původní pohybuje s rychlostí V :
vnejsiFdt
Pd Změna celkové hybnosti je rovna výslednici vnějších sil
1. věta impulzová
VMPmVPVmvmVvmvmPn
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
1111
)(
kde M je celková hmotnost všech částic v systému. Položíme-li P’ = 0, tj. přejdeme do soustavy, ve které je celková hybnost nulová, získáme rovnost
n
ii
n
iii
n
ii
n
i
ii
n
ii
n
iii
m
rm
tm
tr
m
m
vmVVMP
1
1
1
1
1
1 1
Mechanika soustavy těles
Podíváme-li se na zlomek se sumami pozorně, zjistíme, že se vlastně jedná o vážený průměr – průměrná poloha vážená hmotností částice.
Rm
rmtV n
ii
n
iii
1
1
Podíváme-li se na zlomek se sumami pozorně, zjistíme, že se vlastně jedná o vážený průměr – průměrná poloha vážená hmotností částice. To a předchozí výpočty nás opravňují k tvrzení, že v každé soustavě částic existuje význačný bod, ve kterém je jakoby soustředěna celá hmotnost systému. Vnější síly pak mění rychlost a tudíž hybnost tohoto bodu. Také je zjevné, že nepůsobí-li na částice žádné vnější síly, rychlost tohoto bodu se zachovává. Bod nazýváme těžištěm.
n
ii
n
iii
m
rmR
1
1
Těžiště systému částic
Vztažné soustavě, ve které platí, že celková hybnost je nulová a která je tedy pevně spojena s těžištěm systému částic, se říká těžišťová soustava. Matematické výpočty jsou v ní obvykle jednodušší, než v jiných.
Mechanika soustavy těles
Prozkoumejme další aspekt. Každou jednotlivou pohybovou rovnici vynásobme vektorově zleva polohovým vektorem
vnejsiii
n
jiji
vnejsiii
celkiiiii
ii FrFrFrFrarm
dt
pdr
1
.
a opět je všechny sečtěme :
vnejsiii
n
i
n
jiji
n
i
n
i
ii FrFr
dt
pdr
1111
Levou stranu upravíme podle věty o součinu derivace :
n
iii
n
iii
n
iii
n
ii
iiin
i
ii pr
dt
dpvpr
dt
dp
dt
rd
dt
prd
dt
pdr
11111
)(
nula, vektory jsou rovnoběžnéVýsledek je povědomý, a pokud označíme li = ri x pi, pak
dt
Ldl
dt
dpr
dt
d
dt
pdr
n
ii
n
iii
n
i
ii
111
pak levá strana je zjevně rovna časové derivaci celkového momentu hybnosti systému částic.
Mechanika soustavy těles
Na pravé straně sečtených rovnic je
MMFrr
MFrFrMFrFr
MFrFrFr
ij
n
jji
n
i
n
jijjiji
n
i
n
jjijiji
n
i
n
jiji
n
i
vnejsiii
n
i
n
jiji
n
i
11
1111
11111
2
1
2
1
2
1
nula, síla působí podél spojnice obou částic, a to je právě ri-rj
Vyšlo nám tedy
Mdt
Ld
Změna celkového momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil
2. věta impulzová
Jsou-li vnější síly nebo jejich celkový moment nulový, celkový moment hybnosti se zachovává.
Mechanika soustavy těles
Zabývejme se nyní energií systému částic. Vynásobme každou z pohybových rovnic skalárně rychlostí
ivnejsiii
n
jiji
vnejsiii
celkiiiii
i vFvFvFvFvamvdt
pd
1
.
a opět je sečtěme :
ivnejsii
n
ii
n
jij
n
ii
in
i
vFvFvdt
pd
1111
Levou stranu upravme pomocí vztahu pro derivaci složené funkce:
dt
dEvm
dt
d
dt
vdmv
dt
vdmv
dt
vdm k
ii
n
i
ii
n
ii
ii
n
ii
ii
n
i
221
1
2
111
)(
2
12
2
1
a vidíme, že celá levá strana je vlastně derivace celkové kinetické energie podle času.
Mechanika soustavy těles
Pravou stranu upravíme následovně :
QvFvFvF ii
n
ii
vnejsii
n
ii
n
jij
n
i
1111
kde Q jsme označili celkový výkon vnějších sil. Předpokládejme dále, že všechny vnitřní síly jsou potenciální (pokud ne, tak jsme s výpočty skončili). Potenciální energie soustavy je ale funkcí všech souřadnic všech částic :
nnn
n y
U
y
U
x
UF
z
U
y
U
x
UF
z
U
y
U
x
UF ,,,,,,,,
2222
1111
a platí, že
),,,,,,,,,( 222111 nnn zyxzyxzyxUU
zde nás zajímá jen celková síla působící na částici
Po dosazení
Qdt
dUQ
dt
dz
z
U
dt
dy
y
U
dt
dx
x
UQvF
n
i
i
i
i
i
i
iii
n
i
11
Mechanika soustavy těles
Získali jsme tedy rovnost Q
dt
dU
dt
dEk
kterou upravíme na
dt
dE
dt
dU
dt
dEQ k
tedy celkový výkon vnějších sil je roven změně celkové energie systému částic. Je-li systém izolovaný a Q = 0, pak se celková energie soustavy zachovává a platí
.konstUEk
Přejděme nyní k jiné vztažné soustavě :
221
1
221
1
221
1
221
1
221 )(
MVVPE
MVVvmvmVvmvmE
k
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iiik
V těžišťové soustavě (P’=0) je pak , tj. kinetická energie lze rozložit do energie pohybu částic vůči sobě a energie pohybu systému jako celku.
221MVEE kk
Mechanika soustavy těles
Odvodili jsme si tedy zákony zachování pro celkem deset veličin :
• 3 souřadnice celkové hybnosti
• 3 souřadnice celkového momentu hybnosti
• 3 souřadnice celkové rychlosti těžiště
• 1 skalární veličina celkové energie
P
L
V
V
Lze ukázat, že tyto zákony souvisejí s vlastnosti prostoru a času, a to
z.z. hybnosti souvisí s homogenitou prostoru (symetrie vůči posunu – vlastnosti prostoru se při posunu nemění )
z.z. momentu hybnosti souvisí s izotropií prostoru (symetrie vůči rotaci – vlastnosti prostoru se při rotaci nemění )
z.z. momentu hybnosti souvisí se symetrií prostoru vůči přechodu mezi vztažnými soustavami (Galileiho transformace)
z.z. energie souvisí s homogenitou času (symetrie vůči posunu v čase – fyzikální zákony se nemění, pokud je pozorujeme dříve či později )
Mechanika soustav - Raketová rovnice
Konstantin Eduardovč Ciolkovskij
1857-1935
Země je kolébka lidstva, člověk ale nemůže v kolébce zůstat věčně.
Ruský vědec, teoretik kosmických letů. Propočítal mnohé aspekty kosmické mechaniky s ohledem na možnost cestování vesmírem. Jako první navrhl myšlenku kosmického výtahu. Vydal přes 500 prací včetně vědeckofantas-tických novel. Na jeho práci navázal jak německý raketový program, tak později i ruský a americký.
Mechanika soustav - Raketová rovnice
Na pohyb rakety je třeba se dívat jako na pohyb systému částic. Jednou z částic (těles) je samotná raketa, další pak částice žhavých plynů, které opouštějí trysku. Celková hybnost soustavy se v daný okamžik musí zachovat a tedy hybnost, se kterou plyny opouští motor získá i samotná raketa – jen v opačném směru. Předpokládejme, že motor kosmické lodi vystřeluje žhavé plyny relativní rychlostí u (rychlost vůči trysce). Spočítejme, jak se raketa chová.
Vyjděme nejprve z Newtonova zákona síly a spočítejme změnu hybnosti systému raketa-plyn :
vmuvdvdmvdvdmmdp
)()()(
změna hmotnosti rakety – palivo ubývá
raketa zvýšila rychlost
vystř
elené
palivo
rychlost vystřele-ného paliva půvo
dní
hybnost
Rovnici upravme
dmuvdm
vmudmvddmvdmvddmvdmvdmvmdp
A dosaďme do 2. Newtonova zákona : F
dt
dmu
dt
vdm
dt
dp
Mechanika soustav - Raketová rovnice
Rovnici lze přepsat i do jiného tvaru :
Fdt
dmuv
dt
vmd
Odtud lze vycházet i pro jiné úlohy, například pro pohyb náklaďáku, ze kterého se sype písek. Pak je rychlost u = 0, další výpočet je ale stejný. Předpokládejme nyní, že výslednice vnějších sil je nulová (F = 0) a rychlost výtoku plynů je opačná ke směru letu rakety (raketa je urychlována), tj. . Potom je problém jednorozměrný a
Fdt
dmu
dt
vdm
dt
dp
0,0,uu
dt
dmu
dt
dvm
dt
dmu
dt
dvm 0)(
Opět díky principu separace proměnných můžeme s diferenciály zacházet jako s čísly a tedy upravíme na tvar
m
dmudv Ciolkovského raketová rovnice
Mechanika soustav - Raketová rovnice
Provedeme integraci : dmm
udv1
Cmuv ln
Za počátečních podmínek v = 0, m = m0 (startovací hmotnost) získáme
00 lnln0 muCCmu a tedy
uv
emmm
muv 0
0 ,ln
To má pro konstruktéry raket důležitý dopad – maximální rychlost rakety je dána rychlostí výtoku plynů a tedy teplotou spalování (maximum rychlost světla u fotonových pohonů) a poměrem startovací a konečné hmotnosti. Tento poměr má také meze, vždy musí v raketě zůstat alespoň posádka.
Mechanika soustav – Úloha dvou těles
Řešit pohybové rovnice dvou těles, které na sebe vzájemně působí, znamená poprat se s řešením soustavy šesti diferenciálních rovnic druhého řádu, kde konkrétní řešení bude záviset na dvanácti integračních konstantách. To zní špatně – naštěstí ale deset z nich máme daných zákony zachování (P,L,V,E). Na obrázku jsou dvě gravitující tělesa. jejich celkovou energii můžeme zapsat jako
212222
12112
1 rrUvmvmE
Dále využijeme zákon zachování celkové hybnosti a těžiště a přesuneme se do těžišťové soustavy :
00 21121
2211
rmrmmm
rmrmR
02211 vmvmP
Mechanika soustav – Úloha dvou těles
Označme dále vektor spojující polohy částic a jejich vzájemnou rychlost jako :
dt
rdvvvvrrr
2121
Potom lze vyjádřit pro polohy
21
211212211
21
1222212211
)(0
)(0
mm
mrrrmrmrmrm
mm
mrrmrrmrmrm
a pro rychlosti
vmm
mvv
mm
mv
21
12
21
21
Energie pak bude
)(
)()(
2
21
2121
2
2
21
122
12
2
21
212
12222
12112
1
rUvmm
mm
rUvmm
mmv
mm
mmrUvmvmE
Mechanika soustav – Úloha dvou těles
Problém jsme tak převedli na pohyb jednoho tělesa v centrálním poli U(r) s parametry :
21
21
21
21
mm
mmm
vvv
rrr
poloha fiktivního tělesa
rychlost fiktivního tělesa
hmotnost fiktivního tělesa, tzv. redukovaná hmotnost
Úlohu pro jedno těleso už známe a umíme řešit. Polohy a rychlosti v původní soustavě získáme prostým přičtením polohy a rychlosti těžiště:
21
12
21
21 mm
mr
mm
mr
v
mm
mvv
mm
mv
21
12
21
21
RrrRrr
2211 VvvVvv
2211
Pozn. : je-li jedno těleso významně těžší, je redukovaná hmotnost skoro rovna jeho hmotnosti a lehčí obíhá kolem něj. Jsou-li tělesa stejně těžká, obíhají kolem společného těžiště. Viz simulace.
Mechanika soustav – Úloha dvou těles
Problém jsme tak převedli na pohyb jednoho tělesa v centrálním poli U(r) s parametry :
21
21
21
21
mm
mmm
vvv
rrr
poloha fiktivního tělesa
rychlost fiktivního tělesa
hmotnost fiktivního tělesa, tzv. redukovaná hmotnost
Úlohu pro jedno těleso už známe a umíme řešit. Polohy a rychlosti v původní soustavě získáme prostým přičtením polohy a rychlosti těžiště:
21
12
21
21 mm
mr
mm
mr
v
mm
mvv
mm
mv
21
12
21
21
RrrRrr
2211 VvvVvv
2211
Pozn. : je-li jedno těleso významně těžší, je redukovaná hmotnost skoro rovna jeho hmotnosti a lehčí obíhá kolem něj. Jsou-li tělesa stejně těžká, obíhají kolem společného těžiště. Viz simulace.
Mechanika soustav – Úloha tří těles
Důležitější úloha pro praktické využití je pohyb tří těles, například Země-Měsíc-raketa. Tento problém je ale analyticky neřešitelný – závislosti poloh na čase pro jednotlivá tělesa nelze vyjádřit jako elementární funkce. Je nutné používat přibližné výpočty – což v reálném čase zvládnou jen počítače. Proto se bez nich kosmické lodi neobejdou – na rychlých výpočtech závisí veškerá kosmická navigace.
Mechanika soustav – Srážky těles
Důležitá úloha mechaniky je určit chování dvou částic či těles při časově omezené interakci – srážce. Výpočty srážek se využívají nejenom pro popis dějů v makrosvětě (kulečník), ale zejména v jaderné a subjaderné fyzice, kde jsou srážky částic v podstatě jedinou možností, jak provádět výzkum.
Mechanika soustav – Srážky těles
Ve vší obecnosti má srážka tři fáze :
a) Částice se k sobě přibližují konstantními rychlostmi. Nepůsobí na sebe silově – nebo je síla tak malá, že ji můžeme zanedbat.
b) Částice procházejí srážkou. Působí na sebe intenzivními silami, které ale trvají pouze po omezenou dobu.
c) Po srážce se částice mohou, ale nemusejí přeměnit na jiné (produkty srážky). Výsledné částice pak odlétají pryč opět konstantními rychlostmi a nepůsobí na sebe silami.
Mechanika soustav – Srážky těles
Při srážce předpokládáme, že částice tvoří izolovanou soustavu (nepůsobí na ně vnější síly). Dále lze srážky rozlišit na
pružné - mezi částicemi působí pouze takové síly, které zachovávají mechanickou energii (potenciální + kinetickou). V makrosvětě jsou takové srážky možné, pouze pokud se tělesa přímo nedotknou (působí na sebe na dálku). V přímých srážkách se vždy část kinetické energie přemění na teplo – pružným se mohou jen více či méně blížit (hopík + ocelová deska).
nepružné - část mechanické energie se přemění na jinou (teplo). Toto je případ všech srážek na dotyk v makrosvětě. V mikrosvětě se může část kinetické energie částic přeměnit na exitační či ionizační práci.
přímý rázsrážkový parametr b = 0
šikmý rázsrážkový parametr b > 0
b
Mechanika soustav – Srážky těles
Důležité je, odkud se na srážku díváme. Zajímají nás obvykle dvě vztažné soustavy - laboratorní a těžišťová.
Laboratorní soustava je pevně spojená s experimentální aparaturou (či kulečníkovým stolem). Na obrázku je častý případ, kdy jedna částice je před srážkou nehybná, těžiště soustavy se ale pohybuje.
v1 > 0v2 = 0VT > 0
v1 > 0v2 > 0VT = 0
Těžišťová soustava je pevně spojená s těžištěm systému částic. Celková hybnost je zde nulová a do kinetické energie se započítává pouze vzájemný pohyb částic – ta je pak zodpvědná za reakce či deformace částic.
v2 = 100 km/hv1 = 110 km/h v2 = 100 km/hv1 = 110 km/h
Vzájemná rychlost v těžišťové soustavě je nízká – deformace budou lehké.
Vzájemná rychlost v těžišťové soustavě je vysoká – deformace budou fatální.
Mechanika soustav – Srážky těles
Co se děje při během srážky většinou nevíme – při srážkách elementárních částic většinou ani neznáme tvar potenciálu U(r) – ten je obvykle předmětem našeho zkoumání. Z rozdělení kinematických veličin před a po srážce lze do jisté míry odvodit, jaké síly na částice působily.
PříkladNa obrázcích máte nakreslené dráhy tvrdých kuliček, které se odrážejí od různých geometrických útvarů. Určete, jaké útvary to jsou.
Interakční oblast
Interakční oblast
Interakční oblast
Toto je v nejhrubších obrysech princip všech experimentů čás-ticové fyziky .
Mechanika soustav – Srážky těles
Interakční oblast
Binární srážka v LS
1v
2v
1v
2v
TV
TV
Podívejme se podrobněji na pruž-nou binární srážku (jen dvě částice neprocházející přeměnou, mecha-nická energie se zachovává). Situace v laboratorní soustavě je naznačena na zákresu. Dvě čás-tice se k sobě přiblíží rychlostmi popsanými vektory v1 a v2, srazí se a odletí pryč rychlostmi popsanými vektory v1’ a v2’. Čáry zde nezna-menají derivace, ale označují situa-ci „po srážce“. Částice mají samo-zřejmě i hybnosti a platí
2222
12112
121
2211
222111
222111
,
,
vmvmEEE
vmvmVMP
vmpvmp
vmpvmp
kk
TT
Před srážkou a po srážce je potenciální energie nulová, celková energie je tedy součet kinetických energií obou částic a je před srážkou i po srážce stejná (z.z.E). Také celková hybnost obou částice se před a po srážce nemění – a tedy ani rychlost těžiště.
1
2
1
2
Mechanika soustav – Srážky těles
Interakční oblast
Binární srážka v TS
TSv1
V těžišťové soustavě je celková hybnost nulová, a protože částice jsou jen dvě, musí být jejich hybnosti stejně velké a opačného směru. V TS tedy srážka vlastně znamená pouze otočení spojnice, po které částice letí, o úhel χ. Tento úhel se nazývá úhel rozptylu v těžišťové soustavě.
Víme-li, že
21
2211
21
2211
mm
vmvmV
mm
rmrmR
T
T
lze snadno převést mezi rychlostmi a polohami v TS a LS. Srážku je obvykle mnohem snadnější propočítat v TS a do LS, kde budeme děj pozorovat, jen přetransformovat výsledky. Někdy je ale výhodné použít i jiné soustavy, například pevně spojené s jednou z částic.
TSv2
TSv1
TSv2
Mechanika soustav – Srážky těles
PříkladSpočítejte, kolik energie předá jedna částice druhé při pružné binární srážce, je-li jedna z částic před srážkou v klidu. Zkonkrétněte pro případ stejně těžkých částic a ukažte, že probíhá-li srážka po přímce, je předání energie 100% . Ověřte srážením mincí stejné hodnoty.
121
1
21
22111
21
1
21
2211 vmm
m
mm
vmvmVr
mm
m
mm
rmrmR TT
2222
12112
12112
1
221111
0
0
vmvmEvmE
vmvmPvmP
kk
2222
1222112
112
12112
11
22111
1
1
1
vmvmvmm
mvmE
vmvmm
vPP
k
chceme poměr
1
2
k
k
E
E
Mechanika soustav – Srážky těles
kde θ je úhel, který spolu svírají vektory v1 a v’2. Podíváme-li se na tuto rovnici pozorně, zjistíme, že z ní plyne rovnost
2222
1
1
21212
2112
1
2222
122
2221211
21
1
2222
1222112
112
12112
11
cos
22
1
1
vmm
mmvvmvm
vmvmvvmmvmm
vmvmvmm
mvmEk
21
21212 cos kEm
mmvvm
a tedy
cos2121
212 vv
mm
mmEk
Pomocí rozměrové analýzy ověřte, že tento výraz má opravdu rozměr energie.
Mechanika soustav – Srážky těles
Celý problém si můžeme dále ozřejmit na vektorovém diagramu srážky, který vychází ze zákona zachování hybnosti. Víme, že
211 pppPP
což lze zobrazit pomocí trojúhelníku
1p
1p
2p
Na to, abychom tento trojúhelník dali dohromady, potřebujeme znát tři věci. Velikost p1 (známe určitě) a například úhel θ a velikost p2. Vzorec pro Ek2 tedy dává opravdu smysl – pro určení všech kinematických veličin je třeba kromě p1 určit alespoň dvě další (zde m2v’2 a θ) a z nich pak dopočítáme cokoliv.
Také to znamená, že částice při srážce mají z pohledu kinematických zákonů na výběr – při srážce jsou úhel θ a rychlost v’2 náhodně určené a ostatní veličiny se pak řídí podle nich. Omezení tvoří pouze maximální hodnota η = 1. Vzhled pravděpodobnostních rozdělení těchto veličin závisí už na konkrétním potenciálu U(r) při srážce. Změříme-li tvar rozdělení pomocí opakovaných pokusů, je možné U(r) odvodit (pokusy částicové fyziky na urychlovačích).
Mechanika soustav – Srážky těles
Poměr předané energie je tedy
cos2
cos
1
2
21
22112
1
2121
21
1
2
v
v
mm
m
vm
vvmmmm
E
E
k
k
a speciálně pro stejně těžké koule
cos1
2
v
v
Pohybují-li se po přímce, je zjevně θ = 0, ale rychlost v’2 už také nebude libovolná. Ze z.z. hybnosti a z.z. energie získáme soustavu rovnic se dvěmi řešeními
2222
12112
12112
1
221111
vmvmvm
vmvmvm
121
211
,0
0,
vvv
vvv
z nichž první je fyzikálně nezajímavé (ke srážce nedošlo), a druhé znamená, že se první z částic zcela zastavila a celou svou energii (a hybnost) předala druhé.
Mechanika soustav – Srážky těles
Srážkový diagram lze doplnit o úhel rozptylu v těžišťové soustavě. Jelikož
121
211
21
22222222
121
11111111
pmm
mpp
mm
mpVmvmvmp
pmm
mpVmvmvmp
TSTST
TS
TST
TS
vidíme, že hybnosti po srážce se dají zapsat jako poměrná část z vektoru p1 plus (resp. minus) vektor hybnosti v TS. To se nám v nákresu projeví následovně :
121
1 pmm
m
1p
2p
TSp1
121
2 pmm
m
Velikost vektoru v TS je stejná jako druhá část z p1, neboť pokud první z částic stála, pak VT je
21
11
mm
vmVT
a potom platí
121
2
21
211
21
111111 1
pmm
m
mm
mvm
mm
mvmVvmp T
TS
Z tohoto nákresu srážky pak lze snadno odvodit převody kinematických veličin přes kosinovou větu a další geometrické výpočty.
Mechanika soustav – Srážky těles
PříkladRozeberte případy, kdy těžší částice nalétává na lehčí, lehčí na těžší a kdy jsou částice obě stejné. Nakreslete srážkové diagramy a odvoďte omezení kinematických veličin. Odvoďte vztah mezi rozptylem v těžišťové soustavě a úhly částic v laboratorní soustavě po srážce.
Shrnutí
• Pohyby v centrálním poli, obecné řešení v kvadraturách
• Pohyby v centrálním gravitačním poli, Keplerovy zákony
• Keplerova úloha, trajektorie v gravitačním poli
• Kosmické rychlosti
• Pohyby v neinerciální soustavě
• Mechanika soustavy těles, zákony zachování
• Raketová rovnice
• Úloha dvou těles
• Pružné binární srážky
• Srážkový diagram
Jacobián sférické transformace
sinsincossinsincoscossin
sinsincossinsincoscoscossin
sinsincossinsinsincoscossincos
cossinsinsin
sinsincossinsin
cossinsincos
sinsincoscoscos
cossinsinsin
sinsincossinsin
cossinsincos
sinsincoscoscos
0sincos
cossinsincossinsin
sinsincoscoscossin
22222222
232222222
232322222
2
rr
r
r
r
r
rr
rr
rr
r
rr
rr
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
zz
r
z
yy
r
y
xx
r
x
rD det),,(