+ All Categories
Home > Documents > Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Date post: 12-Jan-2016
Category:
Upload: suchin
View: 60 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
Description:
Pohyby v centrálním poli. Uvažujme pohyby v centrálním poli – tedy takovém, kde síla směřuje do středu a závisí jen na vzdálenosti od středu a nikoliv na otočení (izotropní pole). Je zjevné, že pro popis v tomto poli budou extrémně vhodné sférické souřadnice :. z. precese. r. y. rotace. - PowerPoint PPT Presentation
58
Pohyby v centrálním poli Uvažujme pohyby v centrálním poli – tedy takovém, kde síla směřuje do středu a závisí jen na vzdálenosti od středu a nikoliv na otočení (izotropní pole). Je zjevné, že pro popis v tomto poli budou extrémně vhodné sférické souřadnice : x y z precese rotace r d d dr r dz dy dx r z r y r x sin cos sin sin cos sin 2 Pozn. : Jacobián viz doplňková průsvitka. Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Transcript
Page 1: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Uvažujme pohyby v centrálním poli – tedy takovém, kde síla směřuje do středu a závisí jen na vzdálenosti od středu a nikoliv na otočení (izotropní pole). Je zjevné, že pro popis v tomto poli budou extrémně vhodné sférické souřadnice :

x

y

z

precese

rotace

r

dddrrdzdydx

rz

ry

rx

sin

cos

sinsin

cossin

2

Pozn. : Jacobián viz doplňková průsvitka.Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]).

Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Page 2: Pohyby v centrálním poli

x

y

z

rotace

rF

Pohyby v centrálním poli

Síla míří vždy směrem do centra (se kterým spojíme počátek vztažné soustavy), je tedy rovnoběžná s polohovým vektorem. Zaveďme dvě nové veličiny, které popisují rotační pohyb kolem nějakého středu. Jsou to p

FrM

Moment síly

prl

Moment hybnosti

Tyto veličiny jsou samozřejmě definované obecně, nejen pro centrální pole. Udávají, jak moc se síla resp. hybnost podílí na rotačním pohybu. Je zjevné, že moment síly je pro centrální pole nulový – vektorový součin dvou rovnoběžných vektorů je nula. Působící síla tedy neudílí hmotnému bodu rotaci kolem středu.

0 rrFrrF

Page 3: Pohyby v centrálním poli

x

y

z

rotace

rF

Pohyby v centrálním poli

Oproti tomu moment hybnosti je obecně nenulový, ale pro jeho derivaci platí :

p

000

)(

Mvvm

MvmvFrpv

dt

pdrp

dt

rd

dt

prd

dt

ld

a tedy

.0 konstldt

ld

Fakt, že moment hybnosti se zachovává (je konstantní v čase) má závažné důsledky :

prl

je-li směr vektoru l konstantní, pak r i p jsou stále kolmé na jeden pevně daný směr a to znamená, že se pohybují v rovině. Částice v izotropním centrálním poli tedy vykonává vždy rovinný pohyb.

Pozn. : pro planety této rovině říkáme rovina ekliptiky.

Page 4: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Nyní se podívejme, co se děje s dalšími veličinami. Díky zachovávajícímu se momentu hybnosti se můžeme omezit na dvě souřadnice – pohyb probíhá v rovině. Popišme jej tedy polárními souřadnicemi v rovině :

sincos

)cos(

rr

dt

rdxvx

Rychlost v této soustavě vypadá následovně:

ddrrdydxry

rx

sin

cos

cossin

)sin(

rr

dt

rdyvy

A pokud tyto vektory otočíme, získáme rychlost ve směru radiálním (normálovém) a tečném: x

y

r

vvx

vy

vr

y

xr

v

v

v

v

cossin

sincos

Page 5: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Dosadíme :

cossin

sincos

cossin

sincos

rr

rr

v

vr

rr

rrrrvr

22

22

sincos

cossinsincossincos

rr

rrrrv22

22

sincos

cossincossinsincos

Tedy

Pozn. : Na rozdíl od jednoduchého pohybu po kružnici zde jak r, tak ω jsou funkcemi času!

2222

rrv

rrv

rvrRychlost vzdalování/přibližování HB od středu

Rychlost pohybu HB po kružnici s poloměrem r (ω je úhlová rychlost).

Kvadrát velikosti vektoru rychlosti

Page 6: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Zrychlení se spočítá obdobně:

dt

rrdva

dt

rrdva

yy

xx

)cossin(

)sincos(

y

xr

a

a

a

a

cossin

sincos

rraa

rraa

t

nr

2

2Normálové (radiální) zrychlení

Tečné zrychlení

Page 7: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Pohyb je vykonáván v rovině kolmé na moment hybnosti. Velikost momentu hybnosti je ale také konstantní a musí platit

0,,0,,

.

yx vvyxm

vrmprlkonst

Nuly na z-tových souřadnicích vyjadřují, že HB se drží v jedné rovině, kterou jsme si pro tento výpočet představili jako rovinu XY. Pozor, tato rovnice by neplatila bez absolutních hodnot, směr momentu hybnosti je jinak zcela obecný! Dopočítejme:

xyxyyx vyvxxvvyvvyx ,00,000,,0,,

.

cossinsincossin

cossincos

2

22

konstrm

rrmrrr

rrrmvyvxmvrml xy

Veličina se tedy zachovává. Absolutní hodnotu můžeme pominout – veličina se zachovává při pohybu jak po směru, tak proti směru hodinových ručiček a znaménka nemění (pohyb nemůže jen tak změnit směr). Po kratším zamyšlení zjistíme, že toto je vlastně Keplerův zákon o stálé plošné rychlosti planety.

2rm

l

Page 8: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Johannes Kepler 1571 - 1630

Planety se pohybují po elipsách a platí, že za stejný čas T urazí planeta takovou dráhu, že obsah plochy

uzavřené elipsou a spojnicemi se sluncem je konstantní.

Page 9: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

d

rd

r

dS

Víme, že velikost vektorového součinu je číselně rovna velikosti plochy rovnoběžníku, určenému vektory v součinu. Vezmeme-li tedy infinitezimální úhel dφ, určující posun dr (který můžeme pova-žovat za úsečku), dostáváme

rdrdS

21

Časová derivace plochy je potom

.2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22 konstrrmm

lm

prm

vmrm

vrdt

rdr

dt

dSS

Plocha se tedy vyvíjí v čase lineárně, což je jen trochu přeformulované tvrzení, že za stejnou dobu je plocha opsaná planetou vždy stejná :

0StS

Page 10: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Prozkoumejme nyní, jak vypadá potenciální energie v izotropním centrálním poli. Síla směřuje vždy do středu a její velikost závisí pouze na vzdálenosti r. Potom ale musí platit, že

0,0,,,dr

dUUU

r

UUF

Síla je tedy potenciální a existuje pro ni potenciální energie ve formě funkce jedné proměnné:

dr

rdUrF

)()(

Pohybové rovnice pak vypadají takto:

0)2(

)()( 2

rrmam

rFrrmam r

Už na první pohled působí dojmem neřešitelnosti . Na druhou stranu si můžeme pomoct tím, že známe dvě zachovávající se veličiny : energii a moment hybnosti.

Page 11: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

0)2(

)()( 2

rrm

rFrrm

.)()()(

.222

212

21

2

konstrUrrmrUvmE

konstrml

Povšimněme si blíže výrazu pro energii. Druhý výraz v závorce lze upravit na

2

2

2

24222

21

22 rm

l

rm

rmrm

což je ale funkce závislá výhradně na r a lze ji spojit s potenciální energií :

.)()(2

221

2

22

21 konstrUrmrU

rm

lrmE ef

Nyní je do efektivní potenciální energie Uef zahrnuta i energie rotačního pohybu a kinetická se redukuje na energii vzdalování resp. přibližování k centru.

Page 12: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Místo složitých pohybových rovnic tak můžeme vyjít s výrazu pro energii

Provést separaci proměnných (což pro naše praktické účely znamená formálně „vynásobit“ výraz diferenciálem dt a upravit:

))(()( 2221 rUE

dt

drrrUrmE efmef

a obě strany zvlášť zintegrovat – levou podle t a pravou podle r :

drrUE

dtefm ))((

12

drrUE

tefm

))((

12

Tak získáme čas jako funkci vzdálenosti od centra a dopočítáme inverzní funkci r(t). Obdobný integrál bychom dostali pro φ. Pro konkrétní případ je samozřejmě nutné znát konkrétní podobu funkce Uef a hodnotu celkové energie E.

Page 13: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Položme si otázku, kdy bude mít trajektorie tělesa tvar uzavřené křivky. Výpočty ukazují, že trajektorie může být uzavřená, má-li potenciální energie tvar

2)(nebo)( rrUr

rU

První z nich odpovídá klasickému gravitačnímu nebo elektrickému poli, druhý případ pak prostorovému harmonickému oscilátoru. V jiných polích může být trajektorie omezena, ale nebude na sebe „navazovat“ :

Podobnou trajektorii opisuje například Merkur – kromě vlivů okolních objektů se v jeho dráze projevují i efekty obecné teorie relativity (stáčení perihelia Merkuru je považováno za jeden z důkazů platnosti OTR).

008.1)(

rrU

Page 14: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Pro pohyb v gravitačním poli (Keplerova úloha) má Uef tvar

Mmrmr

lrU ef

2

2

2)(

Zderivováním zjistíme minimum této funkce :

2

2

min

2

min23

2

2,0)(

l

mU

m

lr

rmr

lrU ef

Ve funkci Uef(r) je tedy potenciálová jáma, která umožňuje finitní pohyb. Tečkovaně je vynesen tvar potenciální energie, kdyby síla byla odpudivá (elektrické pole, stejné náboje). Vidíme, že zde žádná jáma umožňující stálý pohyb není.

Uef

r

Uefmin

rmin

Page 15: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Chování tělesa v gravitačním poli závisí na jeho celkové energii.Minimální možná energie HB je označena jako E1, která odpovídá minimu Uef. Při této energii se nemění vzdálenost od centra – těleso se pohybuje na kruhové orbitě.

Uef

r0

E1

E2

rmaxrmin

E3

E4

r’min

Toto samozřejmě neznamená, že kruhová orbita je jen jedna. Uef(r) nezávisí pouze na gravitační síle, ale také na momentu hybnosti tělesa! Jelikož

m

lr

2

0

platí, že pro každý moment hybnosti existuje právě jedna kruhová orbita (po které se těleso může pohybovat tam nebo zpět). Moment hybnosti tělesa ale může být libovolný, tj. kruhových orbit je nekonečně mnoho.

Dopočítejme pro daný kruhový orbit o poloměru r0 oběžnou rychlost a dobu oběhu.

Page 16: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Gravitační konstanta je součástí Newtonova gravitačního zákona a její hodnota je dopočítána z pozorovaných pohybů planet. Dosaďme do kruhového orbitu za moment hybnosti a vyjádřeme rychlost:

2311110672.6 smkgMm

tj. pro rychlost platí

0

22

2220

20

2

0

)(

r

Mv

Mm

vmr

Mmm

pr

m

lr

122231

0

21

][

mssm

m

kgsmkgv

r

Mv

Jednotky sedí, vzorec vypadá O.K. A jelikož délka kruhového orbitu o poloměru r0 je 2πr0, potom

M

rT

r

M

T

r

T

sv

3

0

0

0 22

Rozměrovou analýzu proveďte sami. Vidíme, že jak oběžná rychlost, tak doba oběhu nezávisí na hmotnosti tělesa, což je v souladu s pozorováním i se „zdravým selským rozumem“ (ZSR).

Příklad Spočítejte výšku geostacionární oběžné dráhy nad povrchem země. Mz = 5,9736×1024 kg

Page 17: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Má-li těleso energii větší, než E1, ale menší, než E3, pohybuje se v prostoru omezeném vzdálenostmi od centra rmin a rmax. Dá se spočítat, že trajektorie tělesa bude eliptická se středem gravitace v jednom z ohnisek.

Uef

r0

E1

E2

rmaxrmin

E3

E4

r’min

Page 18: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v centrálním poli

Pokud je energie tělesa těsně pod E3, je elipsa velmi protáhlá. Takovou dráhu mají například komety. Dosáhne-li energie přesně E3, pohyb přejde v infinitní – elipsa se změní v parabolu. Při vzrůstající energii je pak dráha hyperbolická. Těleso s ke gravitujícímu centru přiblíží nejvýše na vzdálenost r’min. J-li síla odpudivá, pak vidíme, že pohyb tělesa může být jenom hyperbolický.

Uef

E1

E2

E3

E4

r’min

Page 19: Pohyby v centrálním poli

Kosmické rychlosti

a) Rychlost je nízká, těleso se pohybuje po elipse tak, že dopadá na povrch. Pro nás nezajímavé.

b) Rychlost je taková, že se těleso pohybuje po kruhové dráze a vrátí se do původního bodu. Pokud je výška nad povrchem zanedbatelná, dosáhli jsme 1. kosmické rychlosti 7,912 km.s-1. Jedná se vlastně o kruhovou rychlost kolem Země ve výšce r0 = 6378 m 1).

Udělíme-li tělesu v nějaké výšce nad povrchem Země (kterou aproximujeme gravitujícím bodem) počáteční rychlost, může nastat několik možností:

c) Při vzrůstající rychlosti se těleso stále vrací do původního bodu, pohybuje se ale po více a více protáhlejších elipsách.

d) Těleso se již nevrátí – dosáhlo rychlosti potřebné pro parabolickou dráhu. Této rychlosti, která má pro Zemi hodnotu 11,18 kms-1 a pro Slunce 42,1 kms-1 říkáme 2. kosmická rychlost nebo také úniková.

e) Rychlosti, kterou je tělesu třeba udělit, aby opustilo nejen Zemi, ale i Sluneční soustavu, se říká 3. kosmická a má velikost 16.6 kms-1. Takto nízká je díky rychlosti Země kolem Slunce.

1) Abychom si vybavili toto číslo, stačí si v duchu říct „Šetři se, osle!“

Page 20: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v neinerciální soustavě

Neinerciální soustavu lze popsat jako inerciální, pokud do ní vneseme vnější, setrvačné síly. Takové síly působí na všechna tělesa v soustavě a nelze jim přisoudit žádného původce.

Pokud jedoucí autobus prudce zabrzdí nebo do něčeho narazí, začne na pasažéry působit značně velká síla, která je vrhne vpřed po směru jízdy. Z hlediska vztažné soustavy autobusu ji nelze nijak vysvětlit. Rakouský fyzik E. Mach se pokusil existenci setrvačných sil vysvětlit celkovým rozložením hmoty ve vesmíru (tzv. Machův princip). V denní praxi však tuto sílu přisuzujeme spíše neobratnosti řidiče než působení vzdálených galaxií.

Ernst Mach1838 - 1916

Page 21: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v neinerciální soustavě

Pokud se soustava S2 pohybuje vůči soustavě S1 se zrychlením, souřadné osy však zůstávají ve svém směru (žádná ze soustav nerotuje), je snadné systém popsat. Do pohybových rovnic v soustavě S2 zaneseme zrychlení transformací :

x1

y1z1

x2

y2z2

AS1 S2

Amamam SS

12

V neinerciální soustavě S2 se tak v pohybové rovnici objeví další síla, odpovídající Fs = -mA :

AmFamFFFam SSsS

,,

12

Page 22: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v neinerciální soustavě

Typickým příkladem je podobné soustavy je Einsteinova zdviž. Tento myšlený!! pokus je jednoduchý – jedná se o výtah, kterému prasklo závěsné lano. V ten moment se začíná pohybovat směrem k zemi se zrychlením a = g = 9.81 ms-2. Totéž zrychlení ale působí na všechny předměty v kabině. Spojíme-li vztažnou soustavu přímo s výtahem, pak na pasažéry kromě pravé síly Fg působí ještě síla nepravá, která je dána zrychlením kabiny :

a

a

0

gmgmFFam s

Vůči kabině výtahu je tedy pasažér v beztížném stavu. Tohoto faktu se dá i konstruktivně využít – při tzv. parabolickém letu lze simulovat sníženou gravitaci či stav beztíže pro vědecké experimenty, výcvik kosmonautů či filmové efekty.

Page 23: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v neinerciální soustavě

Zajímavý je rovněž rotační pohyb soustavy. Předpokládejme, že soustava S2 vůči soustavě S1 rotuje konstantní úhlovou rychlostí ω (pro jednoduchost uvažujeme rotaci kolem společné osy z).

Pootočí-li se soustava o infinitezimální úhel, změní se polohový vektor o dr, což lze vyjádřit jako rdrd

kde úhel s šipkou rozumíme vektor, který rovnoběžný s osou otáčení a jeho velikost odpovídá velikosti úhlu. Je zjevné, že dr je tak kolmý jak na směr otáčení, tak na polohový vektor. Pro obvodovou rychlost pak platíx1

x2

y1

y2

z1 = z2

d

rd

r

d

rrt

d

t

rdv

Page 24: Pohyby v centrálním poli

Pohyby v neinerciální soustavě

Nyní předpokládejme, že se těleso v rotující soustavě pohybuje (běžíme na kolotoči, pohybujeme se po povrchu rotující Země). Pohrajeme-li si s vektory a vektorovými součiny, zjistíme, že v rotující soustavě působí dvě setrvačné síly :

vmF

rmF

C

o

2

odstředivá síla

Coriolisova síla

Známý příklad – házení míčů na Lochneské dráze. Zasáhnout koš je velmi obtížné, neboť na pohybující se míč působí Coriolisova síla, která jej vychyluje z dráhy.

Nad touto silou se lze zamyslet i jinak. Při pohybu od okraje kotouče do středu se mění obvodová rychlost – tj. na těleso působí zrychlení a tedy síla.

obvv obvv

Page 25: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Sledujme nyní soustavu hmotných bodů. Mějme celkem n částic, z nichž každá má svůj polohový vektor, hmotnost, hybnost a rychlost :

nipvrm iiii ,,2,1,,,

Předpokládejme, že soustava, v níž částice studujeme, je inerciální, tedy v ní působí jen pravé síly. Ty mohou mít původ v nějakém poli (externí síly) a nebo částice mohou působit silově mezi sebou navzájem (interní síly). Pokud vnější síly na částice nepůsobí, je soustava izolovaná. Pro pravé síly platí Newtonovy zákony. Celkovou sílu, která působí na jednotlivou i-tou částici, lze rozepsat jako

n

jij

celki FF

1

.

kde Fij je síla působící mezi částicemi i a j a kde zřejmě platí, že Fii = 0. Pohybovou rovnici pro částici i pak lze zapsat jako

vnejsii

n

jij

vnejsii

celkiii

i FFFFamdt

pd

1

.

Page 26: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Těchto rovnic je celkem n :

Udělejme s nimi teď „špinavý trik“ – všechny tyto rovnice sečteme :

niFFFFamdt

pd vnejsii

n

jij

vnejsii

celkiii

i ,,2,11

.

vnejsii

n

i

n

jij

n

i

n

i

i FFdt

pd

1111

Nyní lze provést několik elementárních úprav :

vnejsin

jij

n

i

n

ii FFP

dt

dp

dt

d

111

kde P je celková hybnost soustavy a F vnejsi celková vnější síla. Nyní si uvědomme, že díky zákonu akce a reakce se všechny vnitřní síly v součtu vykompenzují, neboť Fij = -Fji. Dvojitá suma je tedy vlastně nulová a zůstává nám zákon o změně celkové hybnosti:

vnejsiFdt

Pd Změna celkové hybnosti je rovna výslednici vnějších sil

1. věta impulzová

Page 27: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Pokud na soustavu nepůsobí žádné vnější síly, je derivace P nulová a celková hybnost je tedy konstantní – zachovává se v čase.

Zkoumejme nyní, jak se změní celková hybnost systému částic, přejdeme-li k jiné inerciální soustavě, která se vzhledem k té původní pohybuje s rychlostí V :

vnejsiFdt

Pd Změna celkové hybnosti je rovna výslednici vnějších sil

1. věta impulzová

VMPmVPVmvmVvmvmPn

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

1111

)(

kde M je celková hmotnost všech částic v systému. Položíme-li P’ = 0, tj. přejdeme do soustavy, ve které je celková hybnost nulová, získáme rovnost

n

ii

n

iii

n

ii

n

i

ii

n

ii

n

iii

m

rm

tm

tr

m

m

vmVVMP

1

1

1

1

1

1 1

Page 28: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Podíváme-li se na zlomek se sumami pozorně, zjistíme, že se vlastně jedná o vážený průměr – průměrná poloha vážená hmotností částice.

Rm

rmtV n

ii

n

iii

1

1

Podíváme-li se na zlomek se sumami pozorně, zjistíme, že se vlastně jedná o vážený průměr – průměrná poloha vážená hmotností částice. To a předchozí výpočty nás opravňují k tvrzení, že v každé soustavě částic existuje význačný bod, ve kterém je jakoby soustředěna celá hmotnost systému. Vnější síly pak mění rychlost a tudíž hybnost tohoto bodu. Také je zjevné, že nepůsobí-li na částice žádné vnější síly, rychlost tohoto bodu se zachovává. Bod nazýváme těžištěm.

n

ii

n

iii

m

rmR

1

1

Těžiště systému částic

Vztažné soustavě, ve které platí, že celková hybnost je nulová a která je tedy pevně spojena s těžištěm systému částic, se říká těžišťová soustava. Matematické výpočty jsou v ní obvykle jednodušší, než v jiných.

Page 29: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Prozkoumejme další aspekt. Každou jednotlivou pohybovou rovnici vynásobme vektorově zleva polohovým vektorem

vnejsiii

n

jiji

vnejsiii

celkiiiii

ii FrFrFrFrarm

dt

pdr

1

.

a opět je všechny sečtěme :

vnejsiii

n

i

n

jiji

n

i

n

i

ii FrFr

dt

pdr

1111

Levou stranu upravíme podle věty o součinu derivace :

n

iii

n

iii

n

iii

n

ii

iiin

i

ii pr

dt

dpvpr

dt

dp

dt

rd

dt

prd

dt

pdr

11111

)(

nula, vektory jsou rovnoběžnéVýsledek je povědomý, a pokud označíme li = ri x pi, pak

dt

Ldl

dt

dpr

dt

d

dt

pdr

n

ii

n

iii

n

i

ii

111

pak levá strana je zjevně rovna časové derivaci celkového momentu hybnosti systému částic.

Page 30: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Na pravé straně sečtených rovnic je

MMFrr

MFrFrMFrFr

MFrFrFr

ij

n

jji

n

i

n

jijjiji

n

i

n

jjijiji

n

i

n

jiji

n

i

vnejsiii

n

i

n

jiji

n

i

11

1111

11111

2

1

2

1

2

1

nula, síla působí podél spojnice obou částic, a to je právě ri-rj

Vyšlo nám tedy

Mdt

Ld

Změna celkového momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil

2. věta impulzová

Jsou-li vnější síly nebo jejich celkový moment nulový, celkový moment hybnosti se zachovává.

Page 31: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Zabývejme se nyní energií systému částic. Vynásobme každou z pohybových rovnic skalárně rychlostí

ivnejsiii

n

jiji

vnejsiii

celkiiiii

i vFvFvFvFvamvdt

pd

1

.

a opět je sečtěme :

ivnejsii

n

ii

n

jij

n

ii

in

i

vFvFvdt

pd

1111

Levou stranu upravme pomocí vztahu pro derivaci složené funkce:

dt

dEvm

dt

d

dt

vdmv

dt

vdmv

dt

vdm k

ii

n

i

ii

n

ii

ii

n

ii

ii

n

i

221

1

2

111

)(

2

12

2

1

a vidíme, že celá levá strana je vlastně derivace celkové kinetické energie podle času.

Page 32: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Pravou stranu upravíme následovně :

QvFvFvF ii

n

ii

vnejsii

n

ii

n

jij

n

i

1111

kde Q jsme označili celkový výkon vnějších sil. Předpokládejme dále, že všechny vnitřní síly jsou potenciální (pokud ne, tak jsme s výpočty skončili). Potenciální energie soustavy je ale funkcí všech souřadnic všech částic :

nnn

n y

U

y

U

x

UF

z

U

y

U

x

UF

z

U

y

U

x

UF ,,,,,,,,

2222

1111

a platí, že

),,,,,,,,,( 222111 nnn zyxzyxzyxUU

zde nás zajímá jen celková síla působící na částici

Po dosazení

Qdt

dUQ

dt

dz

z

U

dt

dy

y

U

dt

dx

x

UQvF

n

i

i

i

i

i

i

iii

n

i

11

Page 33: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Získali jsme tedy rovnost Q

dt

dU

dt

dEk

kterou upravíme na

dt

dE

dt

dU

dt

dEQ k

tedy celkový výkon vnějších sil je roven změně celkové energie systému částic. Je-li systém izolovaný a Q = 0, pak se celková energie soustavy zachovává a platí

.konstUEk

Přejděme nyní k jiné vztažné soustavě :

221

1

221

1

221

1

221

1

221 )(

MVVPE

MVVvmvmVvmvmE

k

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iiik

V těžišťové soustavě (P’=0) je pak , tj. kinetická energie lze rozložit do energie pohybu částic vůči sobě a energie pohybu systému jako celku.

221MVEE kk

Page 34: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustavy těles

Odvodili jsme si tedy zákony zachování pro celkem deset veličin :

• 3 souřadnice celkové hybnosti

• 3 souřadnice celkového momentu hybnosti

• 3 souřadnice celkové rychlosti těžiště

• 1 skalární veličina celkové energie

P

L

V

V

Lze ukázat, že tyto zákony souvisejí s vlastnosti prostoru a času, a to

z.z. hybnosti souvisí s homogenitou prostoru (symetrie vůči posunu – vlastnosti prostoru se při posunu nemění )

z.z. momentu hybnosti souvisí s izotropií prostoru (symetrie vůči rotaci – vlastnosti prostoru se při rotaci nemění )

z.z. momentu hybnosti souvisí se symetrií prostoru vůči přechodu mezi vztažnými soustavami (Galileiho transformace)

z.z. energie souvisí s homogenitou času (symetrie vůči posunu v čase – fyzikální zákony se nemění, pokud je pozorujeme dříve či později )

Page 35: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav - Raketová rovnice

Konstantin Eduardovč Ciolkovskij

1857-1935

Země je kolébka lidstva, člověk ale nemůže v kolébce zůstat věčně.

Ruský vědec, teoretik kosmických letů. Propočítal mnohé aspekty kosmické mechaniky s ohledem na možnost cestování vesmírem. Jako první navrhl myšlenku kosmického výtahu. Vydal přes 500 prací včetně vědeckofantas-tických novel. Na jeho práci navázal jak německý raketový program, tak později i ruský a americký.

Page 36: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav - Raketová rovnice

Na pohyb rakety je třeba se dívat jako na pohyb systému částic. Jednou z částic (těles) je samotná raketa, další pak částice žhavých plynů, které opouštějí trysku. Celková hybnost soustavy se v daný okamžik musí zachovat a tedy hybnost, se kterou plyny opouští motor získá i samotná raketa – jen v opačném směru. Předpokládejme, že motor kosmické lodi vystřeluje žhavé plyny relativní rychlostí u (rychlost vůči trysce). Spočítejme, jak se raketa chová.

Vyjděme nejprve z Newtonova zákona síly a spočítejme změnu hybnosti systému raketa-plyn :

vmuvdvdmvdvdmmdp

)()()(

změna hmotnosti rakety – palivo ubývá

raketa zvýšila rychlost

vystř

elené

palivo

rychlost vystřele-ného paliva půvo

dní

hybnost

Rovnici upravme

dmuvdm

vmudmvddmvdmvddmvdmvdmvmdp

A dosaďme do 2. Newtonova zákona : F

dt

dmu

dt

vdm

dt

dp

Page 37: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav - Raketová rovnice

Rovnici lze přepsat i do jiného tvaru :

Fdt

dmuv

dt

vmd

Odtud lze vycházet i pro jiné úlohy, například pro pohyb náklaďáku, ze kterého se sype písek. Pak je rychlost u = 0, další výpočet je ale stejný. Předpokládejme nyní, že výslednice vnějších sil je nulová (F = 0) a rychlost výtoku plynů je opačná ke směru letu rakety (raketa je urychlována), tj. . Potom je problém jednorozměrný a

Fdt

dmu

dt

vdm

dt

dp

0,0,uu

dt

dmu

dt

dvm

dt

dmu

dt

dvm 0)(

Opět díky principu separace proměnných můžeme s diferenciály zacházet jako s čísly a tedy upravíme na tvar

m

dmudv Ciolkovského raketová rovnice

Page 38: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav - Raketová rovnice

Provedeme integraci : dmm

udv1

Cmuv ln

Za počátečních podmínek v = 0, m = m0 (startovací hmotnost) získáme

00 lnln0 muCCmu a tedy

uv

emmm

muv 0

0 ,ln

To má pro konstruktéry raket důležitý dopad – maximální rychlost rakety je dána rychlostí výtoku plynů a tedy teplotou spalování (maximum rychlost světla u fotonových pohonů) a poměrem startovací a konečné hmotnosti. Tento poměr má také meze, vždy musí v raketě zůstat alespoň posádka.

Page 39: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Úloha dvou těles

Řešit pohybové rovnice dvou těles, které na sebe vzájemně působí, znamená poprat se s řešením soustavy šesti diferenciálních rovnic druhého řádu, kde konkrétní řešení bude záviset na dvanácti integračních konstantách. To zní špatně – naštěstí ale deset z nich máme daných zákony zachování (P,L,V,E). Na obrázku jsou dvě gravitující tělesa. jejich celkovou energii můžeme zapsat jako

212222

12112

1 rrUvmvmE

Dále využijeme zákon zachování celkové hybnosti a těžiště a přesuneme se do těžišťové soustavy :

00 21121

2211

rmrmmm

rmrmR

02211 vmvmP

Page 40: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Úloha dvou těles

Označme dále vektor spojující polohy částic a jejich vzájemnou rychlost jako :

dt

rdvvvvrrr

2121

Potom lze vyjádřit pro polohy

21

211212211

21

1222212211

)(0

)(0

mm

mrrrmrmrmrm

mm

mrrmrrmrmrm

a pro rychlosti

vmm

mvv

mm

mv

21

12

21

21

Energie pak bude

)(

)()(

2

21

2121

2

2

21

122

12

2

21

212

12222

12112

1

rUvmm

mm

rUvmm

mmv

mm

mmrUvmvmE

Page 41: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Úloha dvou těles

Problém jsme tak převedli na pohyb jednoho tělesa v centrálním poli U(r) s parametry :

21

21

21

21

mm

mmm

vvv

rrr

poloha fiktivního tělesa

rychlost fiktivního tělesa

hmotnost fiktivního tělesa, tzv. redukovaná hmotnost

Úlohu pro jedno těleso už známe a umíme řešit. Polohy a rychlosti v původní soustavě získáme prostým přičtením polohy a rychlosti těžiště:

21

12

21

21 mm

mr

mm

mr

v

mm

mvv

mm

mv

21

12

21

21

RrrRrr

2211 VvvVvv

2211

Pozn. : je-li jedno těleso významně těžší, je redukovaná hmotnost skoro rovna jeho hmotnosti a lehčí obíhá kolem něj. Jsou-li tělesa stejně těžká, obíhají kolem společného těžiště. Viz simulace.

Page 42: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Úloha dvou těles

Problém jsme tak převedli na pohyb jednoho tělesa v centrálním poli U(r) s parametry :

21

21

21

21

mm

mmm

vvv

rrr

poloha fiktivního tělesa

rychlost fiktivního tělesa

hmotnost fiktivního tělesa, tzv. redukovaná hmotnost

Úlohu pro jedno těleso už známe a umíme řešit. Polohy a rychlosti v původní soustavě získáme prostým přičtením polohy a rychlosti těžiště:

21

12

21

21 mm

mr

mm

mr

v

mm

mvv

mm

mv

21

12

21

21

RrrRrr

2211 VvvVvv

2211

Pozn. : je-li jedno těleso významně těžší, je redukovaná hmotnost skoro rovna jeho hmotnosti a lehčí obíhá kolem něj. Jsou-li tělesa stejně těžká, obíhají kolem společného těžiště. Viz simulace.

Page 43: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Úloha tří těles

Důležitější úloha pro praktické využití je pohyb tří těles, například Země-Měsíc-raketa. Tento problém je ale analyticky neřešitelný – závislosti poloh na čase pro jednotlivá tělesa nelze vyjádřit jako elementární funkce. Je nutné používat přibližné výpočty – což v reálném čase zvládnou jen počítače. Proto se bez nich kosmické lodi neobejdou – na rychlých výpočtech závisí veškerá kosmická navigace.

Page 44: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Důležitá úloha mechaniky je určit chování dvou částic či těles při časově omezené interakci – srážce. Výpočty srážek se využívají nejenom pro popis dějů v makrosvětě (kulečník), ale zejména v jaderné a subjaderné fyzice, kde jsou srážky částic v podstatě jedinou možností, jak provádět výzkum.

Page 45: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Ve vší obecnosti má srážka tři fáze :

a) Částice se k sobě přibližují konstantními rychlostmi. Nepůsobí na sebe silově – nebo je síla tak malá, že ji můžeme zanedbat.

b) Částice procházejí srážkou. Působí na sebe intenzivními silami, které ale trvají pouze po omezenou dobu.

c) Po srážce se částice mohou, ale nemusejí přeměnit na jiné (produkty srážky). Výsledné částice pak odlétají pryč opět konstantními rychlostmi a nepůsobí na sebe silami.

Page 46: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Při srážce předpokládáme, že částice tvoří izolovanou soustavu (nepůsobí na ně vnější síly). Dále lze srážky rozlišit na

pružné - mezi částicemi působí pouze takové síly, které zachovávají mechanickou energii (potenciální + kinetickou). V makrosvětě jsou takové srážky možné, pouze pokud se tělesa přímo nedotknou (působí na sebe na dálku). V přímých srážkách se vždy část kinetické energie přemění na teplo – pružným se mohou jen více či méně blížit (hopík + ocelová deska).

nepružné - část mechanické energie se přemění na jinou (teplo). Toto je případ všech srážek na dotyk v makrosvětě. V mikrosvětě se může část kinetické energie částic přeměnit na exitační či ionizační práci.

přímý rázsrážkový parametr b = 0

šikmý rázsrážkový parametr b > 0

b

Page 47: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Důležité je, odkud se na srážku díváme. Zajímají nás obvykle dvě vztažné soustavy - laboratorní a těžišťová.

Laboratorní soustava je pevně spojená s experimentální aparaturou (či kulečníkovým stolem). Na obrázku je častý případ, kdy jedna částice je před srážkou nehybná, těžiště soustavy se ale pohybuje.

v1 > 0v2 = 0VT > 0

v1 > 0v2 > 0VT = 0

Těžišťová soustava je pevně spojená s těžištěm systému částic. Celková hybnost je zde nulová a do kinetické energie se započítává pouze vzájemný pohyb částic – ta je pak zodpvědná za reakce či deformace částic.

v2 = 100 km/hv1 = 110 km/h v2 = 100 km/hv1 = 110 km/h

Vzájemná rychlost v těžišťové soustavě je nízká – deformace budou lehké.

Vzájemná rychlost v těžišťové soustavě je vysoká – deformace budou fatální.

Page 48: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Co se děje při během srážky většinou nevíme – při srážkách elementárních částic většinou ani neznáme tvar potenciálu U(r) – ten je obvykle předmětem našeho zkoumání. Z rozdělení kinematických veličin před a po srážce lze do jisté míry odvodit, jaké síly na částice působily.

PříkladNa obrázcích máte nakreslené dráhy tvrdých kuliček, které se odrážejí od různých geometrických útvarů. Určete, jaké útvary to jsou.

Interakční oblast

Interakční oblast

Interakční oblast

Toto je v nejhrubších obrysech princip všech experimentů čás-ticové fyziky .

Page 49: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Interakční oblast

Binární srážka v LS

1v

2v

1v

2v

TV

TV

Podívejme se podrobněji na pruž-nou binární srážku (jen dvě částice neprocházející přeměnou, mecha-nická energie se zachovává). Situace v laboratorní soustavě je naznačena na zákresu. Dvě čás-tice se k sobě přiblíží rychlostmi popsanými vektory v1 a v2, srazí se a odletí pryč rychlostmi popsanými vektory v1’ a v2’. Čáry zde nezna-menají derivace, ale označují situa-ci „po srážce“. Částice mají samo-zřejmě i hybnosti a platí

2222

12112

121

2211

222111

222111

,

,

vmvmEEE

vmvmVMP

vmpvmp

vmpvmp

kk

TT

Před srážkou a po srážce je potenciální energie nulová, celková energie je tedy součet kinetických energií obou částic a je před srážkou i po srážce stejná (z.z.E). Také celková hybnost obou částice se před a po srážce nemění – a tedy ani rychlost těžiště.

1

2

1

2

Page 50: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Interakční oblast

Binární srážka v TS

TSv1

V těžišťové soustavě je celková hybnost nulová, a protože částice jsou jen dvě, musí být jejich hybnosti stejně velké a opačného směru. V TS tedy srážka vlastně znamená pouze otočení spojnice, po které částice letí, o úhel χ. Tento úhel se nazývá úhel rozptylu v těžišťové soustavě.

Víme-li, že

21

2211

21

2211

mm

vmvmV

mm

rmrmR

T

T

lze snadno převést mezi rychlostmi a polohami v TS a LS. Srážku je obvykle mnohem snadnější propočítat v TS a do LS, kde budeme děj pozorovat, jen přetransformovat výsledky. Někdy je ale výhodné použít i jiné soustavy, například pevně spojené s jednou z částic.

TSv2

TSv1

TSv2

Page 51: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

PříkladSpočítejte, kolik energie předá jedna částice druhé při pružné binární srážce, je-li jedna z částic před srážkou v klidu. Zkonkrétněte pro případ stejně těžkých částic a ukažte, že probíhá-li srážka po přímce, je předání energie 100% . Ověřte srážením mincí stejné hodnoty.

121

1

21

22111

21

1

21

2211 vmm

m

mm

vmvmVr

mm

m

mm

rmrmR TT

2222

12112

12112

1

221111

0

0

vmvmEvmE

vmvmPvmP

kk

2222

1222112

112

12112

11

22111

1

1

1

vmvmvmm

mvmE

vmvmm

vPP

k

chceme poměr

1

2

k

k

E

E

Page 52: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

kde θ je úhel, který spolu svírají vektory v1 a v’2. Podíváme-li se na tuto rovnici pozorně, zjistíme, že z ní plyne rovnost

2222

1

1

21212

2112

1

2222

122

2221211

21

1

2222

1222112

112

12112

11

cos

22

1

1

vmm

mmvvmvm

vmvmvvmmvmm

vmvmvmm

mvmEk

21

21212 cos kEm

mmvvm

a tedy

cos2121

212 vv

mm

mmEk

Pomocí rozměrové analýzy ověřte, že tento výraz má opravdu rozměr energie.

Page 53: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Celý problém si můžeme dále ozřejmit na vektorovém diagramu srážky, který vychází ze zákona zachování hybnosti. Víme, že

211 pppPP

což lze zobrazit pomocí trojúhelníku

1p

1p

2p

Na to, abychom tento trojúhelník dali dohromady, potřebujeme znát tři věci. Velikost p1 (známe určitě) a například úhel θ a velikost p2. Vzorec pro Ek2 tedy dává opravdu smysl – pro určení všech kinematických veličin je třeba kromě p1 určit alespoň dvě další (zde m2v’2 a θ) a z nich pak dopočítáme cokoliv.

Také to znamená, že částice při srážce mají z pohledu kinematických zákonů na výběr – při srážce jsou úhel θ a rychlost v’2 náhodně určené a ostatní veličiny se pak řídí podle nich. Omezení tvoří pouze maximální hodnota η = 1. Vzhled pravděpodobnostních rozdělení těchto veličin závisí už na konkrétním potenciálu U(r) při srážce. Změříme-li tvar rozdělení pomocí opakovaných pokusů, je možné U(r) odvodit (pokusy částicové fyziky na urychlovačích).

Page 54: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Poměr předané energie je tedy

cos2

cos

1

2

21

22112

1

2121

21

1

2

v

v

mm

m

vm

vvmmmm

E

E

k

k

a speciálně pro stejně těžké koule

cos1

2

v

v

Pohybují-li se po přímce, je zjevně θ = 0, ale rychlost v’2 už také nebude libovolná. Ze z.z. hybnosti a z.z. energie získáme soustavu rovnic se dvěmi řešeními

2222

12112

12112

1

221111

vmvmvm

vmvmvm

121

211

,0

0,

vvv

vvv

z nichž první je fyzikálně nezajímavé (ke srážce nedošlo), a druhé znamená, že se první z částic zcela zastavila a celou svou energii (a hybnost) předala druhé.

Page 55: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

Srážkový diagram lze doplnit o úhel rozptylu v těžišťové soustavě. Jelikož

121

211

21

22222222

121

11111111

pmm

mpp

mm

mpVmvmvmp

pmm

mpVmvmvmp

TSTST

TS

TST

TS

vidíme, že hybnosti po srážce se dají zapsat jako poměrná část z vektoru p1 plus (resp. minus) vektor hybnosti v TS. To se nám v nákresu projeví následovně :

121

1 pmm

m

1p

2p

TSp1

121

2 pmm

m

Velikost vektoru v TS je stejná jako druhá část z p1, neboť pokud první z částic stála, pak VT je

21

11

mm

vmVT

a potom platí

121

2

21

211

21

111111 1

pmm

m

mm

mvm

mm

mvmVvmp T

TS

Z tohoto nákresu srážky pak lze snadno odvodit převody kinematických veličin přes kosinovou větu a další geometrické výpočty.

Page 56: Pohyby v centrálním poli

Mechanika soustav – Srážky těles

PříkladRozeberte případy, kdy těžší částice nalétává na lehčí, lehčí na těžší a kdy jsou částice obě stejné. Nakreslete srážkové diagramy a odvoďte omezení kinematických veličin. Odvoďte vztah mezi rozptylem v těžišťové soustavě a úhly částic v laboratorní soustavě po srážce.

Page 57: Pohyby v centrálním poli

Shrnutí

• Pohyby v centrálním poli, obecné řešení v kvadraturách

• Pohyby v centrálním gravitačním poli, Keplerovy zákony

• Keplerova úloha, trajektorie v gravitačním poli

• Kosmické rychlosti

• Pohyby v neinerciální soustavě

• Mechanika soustavy těles, zákony zachování

• Raketová rovnice

• Úloha dvou těles

• Pružné binární srážky

• Srážkový diagram

Page 58: Pohyby v centrálním poli

Jacobián sférické transformace

sinsincossinsincoscossin

sinsincossinsincoscoscossin

sinsincossinsinsincoscossincos

cossinsinsin

sinsincossinsin

cossinsincos

sinsincoscoscos

cossinsinsin

sinsincossinsin

cossinsincos

sinsincoscoscos

0sincos

cossinsincossinsin

sinsincoscoscossin

22222222

232222222

232322222

2

rr

r

r

r

r

rr

rr

rr

r

rr

rr

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

zz

r

z

yy

r

y

xx

r

x

rD det),,(


Recommended