POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

Martin Fajkus

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně,

Fakulta aplikované informatiky, Ústav matematiky,

Nad Stráněmi 4511, 760 05 Zlín, Česká republika

fajkus@fai.utb.cz

Abstrakt: Předkládaný příspěvek se zabývá tvorbou grafů některých funkcí dvou proměnných. Porovnává (ne)výhody jednotlivých alternativ, jimiž jsou a) již hotové programy, či aplety, které je možné stáhnout z internetu, případně přímo interaktivně použít, b) komerční software jako např. Mathematica a c) běžně dostupný Excel. Vše je demonstrováno na příkladech konkrétních grafů. Klíčová slova: funkce dvou proměnných, graf, Excel, Mathematica, aplety

Graphs of the functions of two variables – Comparison of several SW.

Abstract: The paper deals with creation of graphs of several functions of two variables. It also compares (dis)advantages of several alternatives like a) programs or applets one can download from the internet or simply use them interactively, b) commercial software e.g. Mathematica and c) MS Excel. The comparison is demonstrated by use of graphs of functions of two variables. Key words: function of two variables, graph, Excel, Mathematica, applets

62

1. Úvod

Využití počítače ve výuce se stává běžnou věcí. Snad každá učebna je vybavena počítačem a dataprojektorem. Stále častěji se vyskytuje technické vybavení Smart, buď jako tabule SmartBoard, nebo dotekový monitor SmartScreen. O využití výpočetní techniky tedy již nerozhoduje technické vybavení, ale stává se záležitostí učitele. Otázkou se pak stává, chce-li počítač použít pouze vyučující pro demonstraci, nebo má-li být nástrojem v rukou každého studenta. I když dnes má již téměř každý student svůj notebook (nebo je možné mít hodinu matematiky v počítačové učebně tak, aby každý student mohl pracovat samostatně na počítači), přece se využití počítače ve výuce matematiky omezuje spíš jen na přednášejícího. Ten ho pak využívá od pouhé prezentace „statických“ slidů až k interaktivním zobrazováním a výpočtům. Takové využití závisí nejen od možností a schopností vyučujícího, ale i od dostupnosti softwaru. Podívejme se na několik možností jak interaktivně zobrazit graf funkce dvou proměnných. (O grafech funkce jedné proměnné pojednává např. [1]). Můžeme použít: – na internetu volně dostupné programy nebo aplety – komerční software (Matlab, Mathematica, …) – běžně dostupný Excel 2. Volně přístupné programy a aplety Z volně šířených programů můžeme použít třeba Math3D z ČVUT Brno (http://mathonline.fme.vutbr.cz/)

Obr.1

63

Na Obr.1 je znázorněný graf rotačního paraboloidu 44

22 yxz += .

V programu Math3D je možné obrázek otáčet i posouvat. Nemůžeme-li z jakýchkoli důvodů instalovat SW na daném počítači, můžeme použít aplety, které nevyžadují instalaci, ale zobrazují graf přímo; např. Online 3-D Function Grapher (http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php). Výhodou je, že všechno je již připraveno. Nevýhodou zase to, že aplety je potřeba vyhledat a vyučujícímu nemusí „sedět“. 3. Mathematica Rozhodneme-li se pro komerční software (Matlab, Mathematica, …), máme možnost naprogramovat si to, co potřebujeme podle svých požadavků. Nevýhodou je pořizovací cena. Licenci může naštěstí obstarat univerzita, a to i pro studenty. Pokud chceme program pouze pro demonstrační účely, v případě SW Mathematica stačí pro cílovou skupinu jen Mathematica Player, který je zdarma. Uživatel ovšem musí umět v daném prostředí programovat. To může studenty odradit od případného zájmu vyzkoušet si udělat něco podobného tomu, co viděli na přednášce. Zobrazit graf funkce, ve kterém je možné měnit parametry je záležitostí několika málo příkazů. Intuitivní ovládání a přehledný výstup pomůže studentovi pochopit probíranou tematiku.

a1

0

a2

2

b1

0

b2

2

p -1 1

Obr.2

64

Na Obr.2 vidíme, jak docela krátký programový kód umožňuje vykreslit grafy funkcí jak

eliptického, tak hyperbolického paraboloidu, tedy 22

21

22

21 )()(

bby

aaxz −

±−

= .

Příkaz Plot3D (s příslušnými parametry) kreslí graf zadané funkce a příkaz Manipulate se postará o interaktivitu:

Manipulate[ Plot3D[(x–a1)^2/a2)^2+p*(y–b1)^2/b2)^2,{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange→Automatic], {{a1,0},–5,5},{{a2,2},1,5},{{b1,0},–5,5},{{b2,2},1,5},{p,{–1,1}}]

Znaménko + nebo – (má-li být zobrazen graf paraboloidu eliptického nebo hyperbolického) a taky parametry a1, a2, b1, b2 může uživatel libovolně měnit a sledovat, jak se změna projeví na grafu funkce. 4. Excel V Excelu je situace podobná jako v případě komerčního software. Rozdíl je v tom, že Excel je běžně dostupný a velká část studentů se se základy Excelu obeznámila již na nižších stupních školního vzdělávání a často i v prvním ročníku VŠ studia. A tak v podstatě každý student může s minimem námahy sám vytvořit interaktivní graf libovolné funkce dvou proměnných.

Obr.3

65

Na Obr.3 vidíme opět graf funkce 44

22 yxz += . Interaktivita je zde zajištěna pomocí

posuvníků a přepínače, pomocí kterých je možné opět grafy funkcí jak eliptického, tak

hyperbolického paraboloidu, tedy 22

21

22

21 )()(

bby

aaxz −

±−

= . Uživatel tak nemusí zadávat

údaje z klávesnice; stačí mu klikání myší. Posuvníky vložíme pomocí: Vývojář → Ovládací prvky → Vložit → Posuvník Přepínače vložíme podobně: Vývojář → Ovládací prvky → Vložit → Přepínač Vzhledem k tomu, že minimální hodnota na posuvníku je 0 a minimální přírůstek je 1, musíme tyto hodnoty přetransformovat na hodnoty, které potřebujeme pro příslušný parametr. Protože výstupní hodnota posuvníku je propojená se zvolenou buňkou, stačí, aby se transformovala hodnota v této buňce. Chceme-li transformovat interval <A, B> na interval <a, b> se stejným počtem dělení, tak pro hodnotu h z intervalu <a, b> platí:

ABAbaBH

ABabh

−−

+⋅−−

= , po úpravě: AB

AbaBabHh−

−+−⋅=

)(

kde H je hodnota z intervalu <A, B>, tedy hodnota z posuvníku. Například: chceme-li, aby se hodnota některého parametru pohybovala v intervalu <–5, 5> s krokem 0.1, tak nastavíme hodnoty posuvníku (H) od 0 do 100 a transformujeme je na nové

hodnoty 0100

5.0100.50100)5(5

−−−

+⋅−−−

= Hh , tedy 51.0 −= Hh

Podobně přepínače mají pouze hodnoty, kterými jsou přirozená čísla (je-li zaškrtnutý n-tý přepínač, nastaví se hodnota v příslušné buňce, se kterou je propojený na n). Chceme-li tedy měnit znaménko +,–, musíme transformovat hodnoty 1, 2 na hodnoty +1, –1. To opět snadno uděláme lineární transformací 32 +−= Hh , kde H je hodnota přepínače (tedy 1 nebo 2) a h je pak požadované znaménko.

[1] Fajkus M.: Využití výpočetní techniky pro zobrazení grafů funkcí, Sborník příspěvků část 1 – matematika; 7. Konference o matematice a fyzice na vysokých školách technických; Brno 2011

66

Martin Fajkus

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Ústav matematiky

Nad Stráněmi 4511, 760 05 Zlín, Česká republika

e-mail: fajkus@fai.utb.cz

67