Posuvy, rychlosti a zrychlení

Pole posuvů

• Vektorové pole posuvů U(X,t) je funkcí referenční pozice X a času t, je v materiálovém (Lagrangeovském) popisu

U(X,t) = x(X,t) - X

• Vektorové pole posuvů u(x,t) v prostorovém (Eulerovském) popisu je funkcí okamžité polohy x a času t

u(x,t) = x - X(x,t)

U(X,t) = u(x,t)

obě funkce mají stejné hodnoty, avšak jsou to funkce

rozdílných argumentů

Pole rychlostí a zrychlení v materiálovém popisu

• V mechanice pevných těles jsou pohyb a deformace kontinua popsány pomocí pole posuvů

• V mechanice tekutin jsou hlavní veličiny pole rychlosti a zrychlení

• První a druhá derivace pohybu χ(X,t) jsou při X konstantním:

2 2

2 2

, ,, , .

, , ,, .

,často zapisujeme materiálovou časovou derivaci jako

konst konst

konst konst konst

konst

t tt t

t t

t t tt

t t t

f tDf

Dt t

X X

X X X

X

x X Xx X V X

V X x X XA X

X

Rychlost a zrychlení v prostorových souřadnicích

1

1 1

, ,

, , , , , , , , , ,

t t

t t t t t t t t

x X X x

V X V x v x A X A x a x

Prostorovou rychlost v(x,t) a zrychlení a(x,t) dostaneme dosazením prostorových souřadnic x za X do materiálových veličin V(X,t) a A(X,t)

Příklad: Stanovme rychlost a zrychlení v materiálovém a prostorovém popisu: Je dáno: x1=X1(1+αt3), x2=X2, x3=X3, kde α >0 je konst. Rychlost dostaneme derivací složek xk podle času při konstantních složkách Xj: Rychlost v materiálovém popisu:V1= 3αt2X1 , V2 = V3 = 0, Rychl. v prost. Popisu dostaneme dosazením za X1: v1= x13αt2/(1+αt3) Zrychl. v mater. pop. : A1= 6αtX1 , A2 = A3 = 0, Zrychl. v prostor. pop. po dosazení za X1 : a1= x16αt/(1+αt3) Rychlost a zrychlení se musí v obou popisech shodovat: kupř. částice, která byla v čase t=0 v bodě X( 1,1,1), je v čase t=2 v bodě x(1+8α,1,1). V1= 12α, v1= (1+8α)12α/(1+8α) = 12α, A1= 12α, a1= (1+8α)12α/(1+8α) = 12α,

Příklad:Jsou dány prostorové složky rychlosti kontinua, určete rychlost v materiálovém popisu a zrychlení v materiálovém i prostorovém popisu.

1

2

3

1 2 31 2 1

11

1 11 1 1 2 3

1 1 1 1 2 3 1

2 3, , ,

1 1 1

,, to je diferenciální rovnice prvního řádu

1 , , , 1

počát. podm. v čase t=0 je , , ,

a tedy:

konst

X konstX konstX kons

x x xv v v

t t t

x tDx

Dt t

Dx xx t f X X X

Dt t

x X f X X X X

X

X

2 3

1 1 2 2 3 3

2

1 1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

1 a podobně 1 , 1 .

Dalším derivováním podle t při konst dostaneme rychlost a zrychlení

v materiálovém popisu:

, 2 1 , 3 1 .

0, 2 , 6 1 .

Po dosazení prostoro

x t X x t X x t X

v X v t X v t X

a a X a t X

X

vých souřadnic x za X dostaneme veličiny v prostor. pop.k k

Materiálová derivace v prostorovém popisu

Mějme funkci v prostorovém popisu , , , .

Mater. derivace podle času při konst:

,

,

,

konst konst t konst konst

konst

konst

konst

t konst

t t t

t

t t t

t t

D

t Dt

t

X x X

x

X

X

x

x x X

X

x

x

xv

x

.D

gradDt t t

x xv v

Příklad: v bodě x prostorové konfigurace je jistá fyzikální veličina φ spojená s pohybem kontinua dána výrazem:

2

1 1 2 2 2 3 2 3

1exp , 0, ,

Pole rychlosti v prostorovem popisu: , , .

at r a konstr

v x x t v x t v x x t

x

Určete materiálovou rychlost změny φ v bodě (0,a,0).

1

23

1 2 3

3

2

2

,

1, , exp ,

exp , exp ,

1exp , v bodě 0, ,0 1 exp .

Dgrad

Dt t t

x

grad at xx x x r

x

tx agrad at at

r t r

D Da x t at a t at

Dt r Dt

x x

T

x

x

v v

v

Příklad: kotouč rotuje konstantní úhlovou rychlostí ω, určete obvodovou rychlost a dostředivé zrychlení částice, která se nachází na poloměru r.

Částice, která byla v čase t=0 v bodě P je v čase t v bodě P’. Stanovme x(X,t):

1 1 2

2 1 2

1 1 2 1 2

2 1 2 2 1

2 2 2 2

1 2 1 2

, cos cos sin ,

, sin sin cos ,

, sin cos , ,

, cos sin , ,

, ,

x t r t X t X t

x t r t X t X t

V t X t X t v t x

V t X t X t v t x

x x r X X r

X

X

X x

X x

v V

1 2

2 2

1 1 2 1 1

2 2 2

2 1 2 2 2

1 1

1 2

2

Složky zrychlení dostaneme derivací a , nebo také pomocí grad jako materiál. derivaci :

, cos sin , ,

, sin cos , , .

DV V

Dt

A t X t X t a t x

A t X t X t a t x r

v v

x xgrad

v

vv

X x

X x A a

v2 12

1 22

1 2

0 0 0, .

0 0 0

x xDgrad

x xv Dt t

x x

v va v v

Jak se mění některá tenzorová pole s časem

Prostorový gradient rychlosti l(x,t) je nesymetrický tenzor druhého řádu

,

, , .aab

b

t vt grad t l

x

v xl x v x

x

Materiálová časová derivace deformačního gradientu je rovna materiálovému gradientu rychlosti

, , ,

, , .aaA

A

t t tD vt Grad t F

Dt t t X

X X V XFF X V X

X X X

V důsledku postupného parciálního derivování složené funkce dostaneme:

1 1, , ,

,t t t

tt

v x X XXl x F FF F lF

x X x X

Aditivní rozklad gradientu rychlosti na symetrickou a antisymetrickou část

, 1 1, , , , , ,

2 2

1 1 1,

2 2 2

Tenzor rychlosti deformace je symetrický , ,

a vírový tenzor , nebo také spin, je ant

T T

j ji iij ij ji ij

j i j i

T

tt t t t

v vv vd l l w

x x x x

t t

v xl x l x d x w x l l l l

x

d x d x

isym. , , . Tt t w x w x

Materiálová časová derivace některých tenzorů přetvoření

, , ,

12 ,

2

T T T T T T T T

T T

F lF C F F C F F F F F l F F lF F l l F

C F dF E C I E F dF

Směrová derivace (derivace ve směru vektoru u)

Mějme funkci Φ(x)=Φ(x1, x2, x3). Izoplocha funkce je místo bodů, pro něž je Φ(x)=konst. Normála n k izoploše má stejný směr jako gradient funkce Φ(x) v daném bodě. Zvolme nějaký jednotkový vektor u v daném bodě, pak směrová derivace Φ(x) ve směru vektoru u je skalární součin gradientu Φ a vektoru u – je to tedy velikost průmětu gradientu Φ do směru u. Obrázek vpravo je znázorněním následujícího příkladu.

Příklad

2

1 2 3

1

3 1 3 2

2

0

3 , vypočtěte směrovou derivaci v bodě x 2, 1,0 ve směru

1 2 11 1 1

1 . 3 1 2 3 3 ,3 3 3

1 3 1

12, 1,0 .

3

Ekvivalentni definice:

u

u

u

x x x

x

D grad x x x x

x

D

dD

d

x

u x u

x x u

2

1 2 3

1 2 3

1 1 13 ,

3 3 3

1 12 3 .

3 3u

x x x

D x x x

x u

x

Clear %body v okolí (2,-1,0) x1=-3:7; x2=-6:4; x3=-5:5; [X,Y,Z] = meshgrid(x1,x2,x3); %vytvoření pravid sítě fi=X.^2+3*Y.*Z; % funkce fi figure isosurface(X,Y,Z,fi,4) % vykreslení izosurface pro fi=4 %fi=4 je hodnota funkce v bodě (2,-1,0) grid on hold %vykreslení daného bodu na izoploše plot3(2,-1,0,'r*') %vykreslení gradientu fi (modře) plot3([2 4],[-1 0],[0 -3],'LineWidth',2) %vykreslení směru u (červeně) plot3([2 2+10/sqrt(3)],[-1 -1+10/sqrt(3)],[0 10/sqrt(3)],'r','LineWidth',2) % vykreslení jednotkového vektoru u (černě) plot3([2 2+1/sqrt(3)],[-1 -1+1/sqrt(3)],[0 1/sqrt(3)],'k','LineWidth',2)

Derivace deformačního gradientu ve směru vektoru rychlosti v

00

,

Materiálová časová derivace je rovna směrové derivaci

,ve směru vektoru rychlosti : , .

Platí obecně projakékoli materiálové pole , :

d dD t Grad

d d

D tD t

Dt

t

D

v

v

x v vF X x v

X X X

F

F Xv F X

X

,, .

Př.:derivace Greenova tenzoru přetvoření ,

1 1, .

2 2

T T T

tD t

Dt

t

D t D D D

v

T

v v v v

XX

E X

Ε X F F I F F F F F d F