Použití metody konečných prvků v úlohách elasticity s malou stlačitelností
Jana Cibulková
Obor Matematické modelování v technice
Školitel: Ing. Jiří Plešek, CSc.
Konzultant: RNDr. Marta Čertíková
Klasická formulace smíšené úlohy pružnosti
Na oblasti s jednou spojitě diferencovatelnou hranicí Γ hledáme složkykde
splňující
Lamého rovnice pro homogenní a izotropní materiál v Ω, i=1,2:
Okrajové podmínky:
λ, μ Lamého konstanty τij tenzor napětí: vektor vnějších sil eij tenzor malé deformace
zadaný vektor napětí na Γt νi vektor jednotkové vnější normályzadané posunutí na Γu
2
0ji i
i j
uu f
x x
1 2 , 1, 2i u tu C C C i ,t u t u
1
0
0
i
i t
i u
f C
T C
u C
( ) ( ) ( ),
( ) ( ),
ij j oi t
i oi u
T
u u
x x = x x
x x x
( ) ( ) 2 ( )ij kk ij ije e x x x
2R
Slabá formulace a její aproximace MKP
1)
2) ( ) (v) v v pro vt
i oi
ij ij i i oi i i
u u V
u dV f dV T dS Ve
Hledáme složky splňující
Prostor testovacích funkcí
Nechť Vh je konečně rozměrný podprostor V s bází . Řešení hledáme ve tvaru
Výsledkem je systém rovnic pro neznámý vektor posunutí U v uzlech
Zde B je matice derivací testovacích funkcí a E je matice elastických konstant.
1iu H
d d d
T T ΤoB EBU V Φ f V Φ T S
1
Nnod
i i
h hVu
1u: Τr na V H v v
1
, RnodN
h i i ii
U U
u
Uzamknutí (locking) a jeho odstraněníLocking je označení situace, kdy tvarové funkce prvku nepřenesou žádaný deformační mod.
Hlavní typy uzamknutí smykové uzamknutí (shear locking) objemové uzamknutí (volumetric locking)
Projevy uzamknutí výskyt fiktivních napětí zvýšení tuhosti výrazné změny hodnot napětí na elementu
Metody odstranění uzamknutí smíšené a hybridně – smíšené metody podintegrování a stabilizace
Numerické experimenty
známé analytické řešení pole napětí nezávisí na Poissonově čísle
Q4 – bilineární isoparametrický element se 4 uzly obdélníková a čtyřúhelníková síť
Konvergence numerického řešení k anlytickému se zjemněním sítě pro Q4
Obr. 2: Konvergence numerického řešení
a): 16 elementů b): 64 elementů
c): 256 elementů d): 1024 elementů
Obr. 1: Regulární zahušťení sítě
Q4 a podintegrace Plná Gaussova integrace: 2x2 Gaussovy body Redukovaná integrace : 1 Gaussův bod ve středu elementu
Mod 1 - 3: pohyb tuhého tělesa Mod 4 - 6: konstatní deformace Mod 7 - 8: ohyb
Obr. 3: Nezávislé mody posunutí elementu Q4
Referenční příklady
1. příklad – pevná deska Jednoosá napjatost Okrajové podmínky
Analytické řešení
Očekáváme mody nulové energie
00, , 0x y xy
0u x,0 =0, v 0,y =0, (x,10)=1.0 MPa
1. referenční příklad
Obr. 4: Vývoj napětí na desce
2x2 integrace
Poissonovo číslo ν = 0.3 ν = 0.4998
1x1 integrace
Poissonovo číslo ν = 0.3 ν = 0.4998
Referenční příklady
2. příklad – pevná deska s dírou Okrajové podmínky
Analytické řešení (s pomocí Airyho funkce napětí) podél osy x
Maximální hodnota napětí
Očekáváme objemové uzamknutí pro rostoucí Poissonovo číslo
2 4 2 40 0
2 4 2 43 3 , 2 3 , 0
2 2x y xy
a a a a
x x x x
0,0 3y a
0u x,0 =0, v 0,y =0, (x,10)=1.0 MPa
2. referenční příklad - 2x2 integrace
Obr. 5: Vývoj napětí na descepro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998
2. referenční příklad - 2x2 integrace
Obr. 6: Vývoj napětí podél osy x
pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998
2. referenční příklad - Podintegrace
Obr. 7: Vývoj napětí na desce
pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998
2. referenční příklad - Podintegrace
Obr. 8: Vývoj napětí podél osy x
pro hodnotu Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998
Chyba numerických výsledků
Obr. 9: Vývoj chyby pro maximum napětí σy
a hodnoty Poissonova čísla ν = 0.3 - 0.4998
Závěr
Hlavní výsledky práce vývoj vlastního MKP programu pro testování uzamykání a metod
pro jeho odstranění, implementace metody podintegrace testovací úlohy pro objemové uzamknutí porovnaní analytického řešení a podintegrace na desce s dírou
Získané poznatky demonstrace projevů objemového uzamknutí podintegrace postačuje k zabránění uzamknutí na složitější síti pointegrovaní nestačí pro pravidelnou obdélníkovou síť a vyžaduje
stabilizaci v posunutí
Práce byla součástí grantového projektu 101/06/0914.