PR1ME - Aristotle University of...

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 73 79 83 89 97 101 10 131 137 139 149 151 15 9 181 191 193 197 199 21 3 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821

the

PR1ME magazineτο περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Α.Π.Θ.

Τεύχος: 5 / Μαϊ-Ιουν 2017

the

PR1ME magazine

ΕΝΤΟΣ:ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ

ΜΑΪ-IOYN 2017

ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή,

ολική, μερική ή περιληπτική, ή κατά παράφραση, ή διασκευή του

περιεχομένου του περιοδικού με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό,

ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλον, χωρίς την

προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη.

Νόμοι 238/1970, 4301/1979, Ν.100/1975, Ν.Δ 3565/1956 και 4254

και κανόνες του Διεθνούς Δικαίου

79_ Rudolf E. Kalman: Ο θεμελιωτής της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου

23_Αν4λυσ3 το

31_Το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg

101_Θεωρία Παιγνίων: Μικτές Στρατηγικές

127_Μαθηματική Προτυποποίηση του καρκίνου

137_(Παρα)Λογισμός

Color Code Zones: Προπτυχιακοί φοιτητές, Πτυχιούχοι

Μεταπτυχιακοί φοιτητές, Κάτοχοι μεταπτυχιακού

Διδακτορικοί φοιτητές, Διδάκτορες

Ειδικοί συνεργάτες

Ιστορικά - Αφιερώματα

19_Brain’s anatomy

07_Τα εν οίκω

11_90 χρόνια Σχολή Θετικών Επιστημών

41_myAuth mobile app: Η νέα εφαρμογή για τους φοιτητές του ΑΠΘ

53_Ήξερε ο Mozart πιθανότητες;

67_ Δείκτης Νοημοσύνης IQ: Τι είναι; Πως μετριέται;

109_Θεωρίες μάθησης (Β)

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 73 79 83 89 97 101 10 131 137 139 149 151 15 9 181 191 193 197 199 211 223 227 229 57 26 311 31 67 373 379 383 389 21 431 433 439 44 63 467 21 523 7 587 31 641 83 691 51 7 69 773 787 797 809 811 821the prime magazine_2

149_Εφαρμογές της Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική: Κόμβοι και DNA 157_Δυσαριθμησία: Η διαταραχή των Μαθηματικών 167_Ταξιδεύοντας με το μυαλό και το σώμα:

Πράγα

173_Math Art by Coral Fang

Το prime magazine αποτελεί πρωτοβουλία φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Τμήματος της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.

Είναι διαθέσιμο δωρεάν μέσω Διαδικτύου στην ηλεκτρονική σελίδα:

Η επίσημη σελίδα του περιοδικού στο facebook είναι:

Το e-mail του περιοδικού είναι στη διάθεσή σας για επικοινωνία με τους συντάκτες, σχόλια, παρατηρήσεις, λύσεις των ασκήσεων / γρίφων κάθε ενότητας ή ακόμα για να εκδηλώσετε το ενδιαφέρον σας, ώστε να συμμετέχετε στη συντακτική ομάδα του περιοδικού. Τα ονόματα των λυτών θα ανακοινώνονται στο επόμενο τεύχος.

[email protected]

ΦΤεύχος 5ο

ΣΣ

the

PR1ME magazine

A

the prime magazine_3

Ν

https://www.facebook.com/theprimemagazine/

http://the-prime-magazine.math.auth.gr

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 73 79 83 89 97 101 10 131 137 139 149 151 15 181 191 193 197 199 211 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

υντακτική Ομάδα: Γεωργία Γιαμλόγλου Ευάγγελος Ιωαννίδης Αθανάσιος Κουρούπης Αθανάσιος Μπεσλίκας Βύρων Μπουλούμης Λάζαρος Μωυσής Αθηνά Νησιώτη Ίρις Παπαδοπούλου Αγγελική Παναγιωτίδου Δέσποινα Τερζοπούλου Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Κατερίνα Χατζηγεωργίου Ευσταθ. - Κων/νος Χρόντσιος - Γαρίτσης

ωτογράφος: Γεωργία Ευαγγελίδη

κιτσογράφος: Μάγδα Παπαθανασίου

ομική σύμβουλος: Ελένη Βαρβαρούση

ρχισυνταξία: Βασίλειος Καλέσης

%20https://www.facebook.com/theprimemagazine/

http://the-prime-magazine.math.auth.gr

Editorial

Βασίλειος Καλέσης

Φτάσαμε αισίως στο 5ο και τελευταίο τεύχος της ακαδημαϊκής χρονιάς 2016-17. Κλείνοντας αυτόν τον πρώτο κύκλο του περιοδικού των “πρώτων” νιώθουμε την ανάγκη να ευχαριστήσουμε όλους αυτούς τους ανθρώπους που συντέλεσαν στην επιτυχία της πρώτης μας χρονιάς. Αρχικά, ευχαριστούμε θερμά τον πρόεδρο του Τμήματος, καθηγητή κύριο Καραμπετάκη για την πίστη που έδειξε στο εγχείρημά μας, την αρωγή με την οποία το πλαισίωσε αλλά και τις υπέροχες φωτογραφίες που μας διέθεσε για να διακοσμήσουμε τις σελίδες του. Ευχαριστούμε επίσης, τον κοσμήτορα της Σχολής Θετικών Επιστημών, καθηγητή κύριο Χαρίτoνα Σαρλ Χιντήρογλου για την στήριξη που μας παρείχε καθώς και την καθηγήτρια του Τμήματος κυρία Χαρά Χαραλάμπους για τη συμμετοχή της στη συγγραφική ομάδα. Ευχαριστούμε τους συνεντευξιαζόμενους για τις συνεντεύξεις που μας παραχώρησαν, τους φίλους που επικοινώνησαν μαζί μας με παρατηρήσεις, σχόλια και λύσεις αλλά και όλους αυτούς που προώθησαν το περιοδικό μέσω των κοινωνικών καναλιών δικτύωσης και όχι μόνο. Τέλος, ευχαριστούμε εσάς, τους αναγνώστες μας, που αγαπήσατε το περιοδικό και το φτάσατε να αριθμεί πάνω από 6 χιλιάδες μοναδικά downloads, σε μόλις 4 τεύχη.

Σε αυτό το 5ο τεύχος θα περιηγηθείτε στις υπηρεσίες του ΑΠΘ μέσω του νέου mobile application (σελ: 41), θα μάθετε αν ο Μότζαρτ ήξερε πιθανότητες (σελ: 53), θα διαβάσετε για την μαθηματική προτυποποίηση του καρκίνου (σελ: 127), θα προβληματιστείτε με το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg (σελ: 31), θα διεκδικήσετε 10 βιβλία των εκδόσεων Κανδύλα λύνοντας τον γρίφο του Brain’s Anatomy (σελ: 19), θα ταξιδέψετε νοερά στην Πράγα (σελ: 167), θα γνωρίσετε τον Kalman, τον θεμελιωτή της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου (σελ: 79), θα αναλύσετε τον δίσκο του Poincare (σελ: 23), θα αναθεωρήσετε τις μεικτές στρατηγικές σας (σελ: 101), θα διαβάσετε τη συνέχεια των θεωριών μάθησης (σελ: 109), θα γιορτάσετε μαζί μας την επέτειο των 90 χρόνων της Σχολής Θετικών Επιστημών (σελ: 11), θα παραλογιστείτε με το Πρόβλημα της Βασιλείας (σελ: 137), θα μάθετε για την δυσαριθμησία (σελ: 157), την εφαρμογή της Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική (σελ: 149) και τέλος θα γνωρίσετε τα βασικά χαρακτηριστικά του IQ (σελ: 67).

Καλή ανάγνωση, καλή εξεταστικήκαι καλό καλοκαίρι!


37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821

Editorial

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11

4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

τά ἐν οἴκῳΟι διακρίσεις:

uΣυγχαρητήρια στην ομάδα ποδοσφαίρου του Τμή-ματος, η οποία κατάφερε να φτάσει ως την προημιτελική φάση του Πανεπιστημιακού Πρωταθλήματος του ΑΠΘ.

Τα νέα:uΣτις 1/6/2017 και ώρα 10πμ έγινε σε Συνέλευση του Τμήματος η εκλογή του Τομέα της Μαθηματικής Ανάλυσης στο γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματική Ανάλυση, με έμφαση στην Αρμονική Ανάλυση ή Γεωμετρική Ανάλυση ή Διαφορικές Εξισώσεις με μερικές παραγώγους ή Θεωρία Τελεστών ή Μιγαδική Ανάλυση ή Συναρτησιακή Ανάλυση. Εκλέχθηκε με πλειοψηφία στη θέση αυτή ο κ. Ιωάννης Παρίσσης. Καλωσορίζουμε τον κύριο Παρίσση και του ευχόμαστε καλή ακαδημαϊκή σταδιοδρομία στο Τμήμα!

uΣτις επόμενες ημέρες θα προκηρυχθούν 6 θέσεις μεταδιδακτόρων στα γνωστικά αντικείμενα : Υπολογιστικές Μέθοδοι στην Άλγεβρα και στην Αλγεβρική Γεωμετρία (Τομέας Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Λογικής) Γενική Τοπολογία (Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης) Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης (Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης) Γραμμική Γεωμετρία Ι (Τομέας Γεωμετρίας) Υπολογιστική Γεωμετρία (Τομέας Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης) Στατιστική Συμπερασματολογία (Τομέας Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας).

uΠρόσκληση υποβολής υποψηφιοτήτων στο ΠΜΣ του Τμήματος για το ακαδημαϊκό έτος 2017-18. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να υποβάλουν αιτήσεις από 6-6-2017 έως 3-7-2017. Περισσότερες πληροφορίες στο site:

http://www.math.auth.gr/el/node/2466

uΠροκήρυξη μιας (1) κενής θέσης διδάσκοντα στη βαθμίδα του καθηγητή πρώτης βαθμίδας με γνωστικό αντικείμενο «Αριθμητική Ανάλυση – Υπολογιστικά Μαθηματικά και εφαρμογές αυτών». Περισσότερες πληροφορίες στο site:

http://www.math.auth.gr/el/node/2460

uΣε Επίτιμο Καθηγητή του Τμήματος Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του ΑΠΘ αναγορεύτηκε ο απόφοιτος του Τμήματος (1981) και Καθηγητής του Πανεπιστημίου Tübingen, Κωνσταντίνος Δ. Κόκκοτας. Η Τελετή Αναγόρευσης πραγματοποιήθηκε την Τρίτη 23 Μαΐου 2017 και ώρα 18:00, στην αίθουσα Τελετών της παλαιάς Φιλοσοφικής Σχολής του ΑΠΘ.

uΗ ορκωμοσία του Τμήματος θα πραγματοποιηθεί την Τετάρτη 19 Ιουλίου 2017 και ώρα 9.30 π.μ. στην Αίθουσα Τελετών του Α.Π.Θ.

uΕν έτει 2017 με την παρουσία MOOC και e-learning όλο και πιο έντονη στην καθημερινότητα ενός σπουδαστή, η ύπαρξη on-line σημειώσεων, ασκήσεων, παλαιότερων θεμάτων και λύσε-ων είναι πιο επιτακτική από ποτέ

Η online-supporting κοινότητα

για μια σχολή που θέλει να ακολουθεί από κοντά τις εξ-ελίξεις στον τομέα του e-learning. Όταν μάλιστα αυτό το υλικό παρέχεται *ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΔΩΡΕΑΝ* σε όλους τους σπουδαστές αποτελεί αναπόφευκτα το σημείο αναφοράς της φοιτητικής κοινότητας. Για τον λόγο αυτό εγκαινιάστηκε ο ΤρελόςΦοιτητής (http://www.trelosfoititis.gr) το Νο1 βοηθητικό φόρουμ φοιτητών, με περισσότερα απο 4000(!) θέματα εξεταστικών, σημειώσεις μαθημάτων, αξιολογήσεις καθηγητών και λύσεις θεμάτων από 63 σχολές από 17 ΑΕΙ/ΤΕΙ της χώρας με την λίστα αυτή να μεγαλώνει καθημερινά. Γραφτείτε τώρα δωρεάν και χρησιμοποιήστε το υλικό που θα βρείτε εκεί για την καλύτερη προετοιμασία σας για την επερχόμενη εξεταστική!



ΙΣΤΟΡΙΚΟ

Φυσικομαθηματική Σχολή, η οποία μετέπειτα μετονομάστηκε σε Σχολή Θετικών Επιστημών, ξεκίνησε να λειτουργεί το 1927 με πρώτο τμήμα αυτό της Δασολογίας. Η σύσταση της δε, προβλέπεται στον ιδρυματικό του καθιδρύματος νόμο 3341 της 14ης Μαΐου 1925. Στεγάζεται από αρχής στο κτίριο του Ιδαδιέ (σημερινό κτίριο Παλαιάς Φιλοσοφικής Σχολής) μαζί με τη Φιλοσοφική Σχολή, έως το 1961, οπότε και εγκαινιάζεται το σημερινό κτίριο της Φυσικομαθηματικής. Το πρώτο Τμήμα της Σχολής, αποτέλεσε το τμήμα της Δασολογίας το οποίο αποσπάστηκε το 1937 και μαζί με το τμήμα της Γεωπονίας δημιούργησαν τη Γεωπονοδασολογική Σχολή. Το ακαδημαϊκό έτος 1928-1929 αρχίζει η λειτουργία των Τμημάτων Μαθηματικών και Φυσικής και η Σχολή δέχεται τους πρώτους εισακτέους της, πέντε σε αριθμό. Παράλληλα με τη σταδιακή αύξηση των εισακτέων, το ακαδημαϊκό έτος 1930-1931 αυξάνεται το διδακτικό προσωπικό, η βιβλιοθήκη εξοπλίζεται με τα πρώτα της βιβλία, περιοδικά και δημιουργείται Σύλλογος Φοιτητών Φυσικής και Μαθηματικών. Κατά την περίοδο της κατοχής επιτάσσεται ο Ιδαδιές, ο οποίος μετατρέπεται σε στρατιωτικό νοσοκομείο και οι παραδόσεις των μαθημάτων γίνονται σε ιδιωτικούς χώρους. Το γεγονός αυτό δημιούργησε λειτουργικά προβλήματα καθώς είχε ως αποτέλεσμα τη μεγάλη αύξηση του αριθμού των εγγεγραμμένων φοιτητών, λόγω της κατάργησης των εξετάσεων. Τόσο το Μαθηματικό Τμήμα, όσο και το Φυσικό κα-τά τη μεταπολεμική περίοδο επιχειρούν να διευρύνουν τις προοπτικές τους και τα ερευνητικά ενδιαφέροντα, αποκτώντας μεγάλα όργανα όπως μικροσκόπιο και εγκαθιστώντας ηλεκτρονικό υπολογιστή (1964).

Κατά τη διάρκεια των ετών 1975-1981 υλοποιήθηκε και η επέκταση του κτιρίου της Φυσικομαθηματικής. Στο Τμήμα Φυσικής λειτούργησε το πρώτο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών της Σχολής Θετικών Επιστημών, διετούς φοίτησης στην Ηλεκτρονική Φυσική και Ραδιοηλεκτρολογία το 1965. Σήμερα το Τμήμα καλύπτει ένα μεγάλο εύρος επιστημονικών πεδίων και επιλέγει να συνεργάζεται με εθνικούς και διεθνείς φορείς, ώστε οι απόφοιτοί του να έχουν τα καλύτερα εφόδια τόσο για τη συνέχιση των σπουδών τους, όσο και για την επαγγελματική τους αποκατάσταση.Τομείς: Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής, Πυρηνικής Φυσικής και Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων, Φυσικής Στερεάς Κατάστασης, Ηλεκτρονικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, Εφαρμογών Φυσικής και Φυσικής ΠεριβάλλοντοςΜεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Ηλεκτρονικής Φυσικής (Ραδιοηλεκτρολογίας), Φυσικής και Τεχνολογίας Υλικών, Φυσικής Περι-βάλλοντος, Νανοεπιστήμες και Νανοτεχνολογίες

Από τη δεκαετία του ‘70 ξεκινά η υπέρβαση των καθαρά θεωρητικών μαθηματικών και της θεωρητικής κατεύθυνσης του Τμήματος με ένα άνοιγμα στο χώρο των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών το οποίο έδωσε διαφορετική μορφή στο Τμήμα. Σήμερα, το Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ, παρέχει ένα Πρόγραμμα Σπουδών το οποίο ανταποκρίνεται στην εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης και στην ανάγκη παροχής υψηλού επιπέδου γνώσης στους φοιτητές του.

90 χρόνια Σχολή Θετικών Επιστημών

2 3 5 17 19 23 4 01 10 51 15 99 211 7 26 11 31 7 37 21

Η

γράφει η Γεωργία Γιαμλόγλου Μαθηματικός ΑΠΘ

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21

Tο έμπειρο διδακτικό, ερευνητικό και διοικητικό προσωπικό συμβάλει στην ύπαρξη φοιτητών με υψηλές επιδόσεις εισαγωγής και με δυνατότητες για εξ ίσου υψηλές επιδόσεις κατά τη διάρκεια των σπουδών τους.Τομείς:Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Λογικής, Μαθηματικής Ανάλυσης, Γεωμετρίας, Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης, Στατιστικής και Επιχειρηματικής ‘ΈρευναςΜεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών:Θεωρητικά Μαθηματικά, Στατιστική και Μοντε-λοποίηση, Θεωρητική Πληροφορική και Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου, ΔΠΜΣ στα Πολύπλοκα Συστήματα και Δίκτυα (των Τμημάτων Μαθηματικών - Βιολογίας - Γεωλογίας - Οικονομικών Επιστημών)

Μολονότι το αντικείμενο της Χημείας διδάσκεται στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης από την ίδρυση της Φυσικομαθηματικής Σχολής, η ίδρυση του Χημικού τμήματος ανάγεται στο 1943 με το νομοθετικό διάταγμα 430 της 3ης Αυγούστου. Τα εργαστήρια του Χημικού Τμήματος αρχικά υλοποιούνταν στο Άσυλο του Παιδιού, ενώ καθοριστική για το Τμήμα εξέλιξη ήταν η εγκατάσταση του στο κτίριο της Φυσικομαθηματικής το 1956, την οποία ακολούθησε η εγκατάσταση μεγάλων οργάνων και η στελέχωση των εργαστηρίων. Η εγκαινίαση του οκταωρόφου κτιρίου Χημείας γίνεται το 1979.Τομείς:Γενικής και Ανόργανης Χημείας, Οργανικής Χημείας και Βιοχημείας, Φυσικής, Αναλυτικής και Περιβαλλοντικής Χημείας, Χημικής Τεχνολογίας και Βιομηχανικής ΧημείαςΜεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών:Ανόργανη Χημεία και Χημεία Ανόργανων Υλικών, Κβαντική και Υπολογιστική Χημεία, Βιοχημεία, Οργανική Σύνθεση - Φυσικά Προϊόντα και Εφαρμογές, Χημική Ανάλυση - Βιοανάλυση, Χημεία και Έλεγχος Ρύπανσης του Περιβάλλοντος, Χημεία Υλικών, Χημική και Περιβαλλοντική Τεχνολογία, Επιστήμη και Τεχνολογία Πολυμερών και Νανοσύνθετων Υλικών , Χημεία, Τεχνολογία και Έλεγχος Τροφίμων, Χημική Εκπαίδευση και Τεχνολογίες Πληροφορικής και Επικοινωνίας

Με το ίδιο νομοθετικό διάταγμα θεσμοθετείται και η ίδρυση του Φυσιογνωστικού Τμήματος. Η μεγάλη ανάπτυξη των φυσιογνωστικών σπουδών κατά την πρώτη εικοσιπενταετία είχε ως αποτέλεσμα το διαχωρισμό τους σε Βιολογικό και Γεωλογικό το 1973 - 1974 με μεγάλη αύξηση του αριθμού των σπουδαστών. Το Γεωλογικό Τμήμα όπως και το Βιολογικό αναπτύσσονται ταχύτητα δημιουργώντας ενδιαφέρον για τους νέους σύγχρονους τομείς. Σήμερα το Τμήμα Γεωλογίας εργάζεται ερευνητικά σε όλους σχεδόν τους τομείς των γεωεπιστημών. Η εμπειρία και κατάρτιση του διδακτικού και ερευνητικού προσωπικού προσφέρει στους φοιτητές τη δυνατότητα να ασχοληθούν με ένα ευρύ φάσμα γνωστικών αντικειμένων. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι το Τμήμα βρίσκεται στην πρώτη δεκάδα των Τμημάτων του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης ως προς την εισροή πόρων από ερευνητικά προγράμματα.Τομείς:Γεωλογίας, Ορυκτολογίας - Πετρολογίας - Κοιτα-σματολογίας, Γεωφυσικής, Μετεωρολογίας και Κλιματολογίας, Φυσικής και Περιβαλλοντικής ΓεωγραφίαςΜεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών:Εφαρμοσμένη και Περιβαλλοντική Γεωλογία, Με-τεωρολογία, Κλιματολογία και Ατμοσφαιρικό Περιβάλλον, Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυ-χιακών Σπουδών των Τμημάτων Βιολογίας, Γεωλο-γίας και Πολιτικών μηχανικών A.Π.Θ., Έρευνα και Εκμετάλλευση Υδρογονανθράκων του Τμήματος Γεωλογίας Α.Π.Θ., της Σχολής Μηχανικών Μετα-λλείων - Μεταλλουργών Ε.Μ.Π. του Τμήματος Οικονομικών του Δ.Π.Θ. και του Τμήματος Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος Ε.Κ.Π.Α.

Το εννεαώροφο κτίριο Βιολογικών Σπουδών εγκαινιάζεται το 1987 και σήμερα στεγάζει πολυάριθμους φοιτητές. Οι υψηλού επιπέδου σπουδές διασφαλίζονται από την ενσωμάτωση των πιο σύγχρονων διδακτικών μεθόδων και την έμφαση στη θεωρητική κατάρτιση των φοιτητών και στην πρακτική άσκηση στο εργαστήριο ή στο πεδίο. Τα μέλη του Τμήματος παρουσιάζουν πλούσια ερευνητική δραστηριότητα, τόσο στη βασική όσο και την εφαρμοσμένη έρευνα, η οποία υποστηρίζεται από σημαντική υποδομή σε επιστημονικό εξοπλισμό.



Τομείς:Βοτανικής, Γενετικής, Ανάπτυξης και Μοριακής Βιολογίας, Ζωολογίας, ΟικολογίαςΜεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών:Εφαρμοσμένη Γενετική και Βιοδιαγνωστική, Βιο-τεχνολογία - Μοριακή και Μικροβιολογική Ανάλυση Προϊόντων και Τροφίμων, Υδατοκαλλιέργειες, Καινοτομία και Βιωσιμότητα, Αλιευτική Βιολογία και Διαχείριση, Οικολογία και Βιολογία Διατήρησης, ΔΠΜΣ Οικολογική Ποιότητα και Διαχείριση Υδάτων σε Επίπεδο Λεκάνης Απορροής, ΔΠΜΣ Ειδίκευση στην Περιβαλλοντική Εκπαίδευση.

Παρότι η ίδρυση του Φαρμακευτικού Τμήματος προβλέπεται από τον ιδρυματικό του πανεπιστημίου, το τμήμα ιδρύεται το 1955 με το βασιλικό διάταγμα 226, της 17ης Αυγούστου. Τα πρώτα χρόνια της λειτουργίας του αντιμετώπισε αρκετά προβλήματα και είχε μικρό αριθμό διδακτικού προσωπικού και φοιτητών ενώ τελικά αποσπάστηκε από τη Σχολή το 1982 και προσαρτήθηκε στη Σχολή Επιστημών Υγείας με βάση το νόμο 1286 της 16ης Ιουλίου.

Σε αυτό το κτίριο στεγάζεται και το Τμήμα Πληροφορικής το οποίο ιδρύθηκε το 1991 με το προεδρικό διάταγμα 200 και δέχεται φοιτητές από το ακαδημαϊκό έτος 1992 - 1993.Παρότι το Τμήμα Πληροφορικής λειτουργεί μόλις μια εικοσιπενταετία, η εξέλιξη του είναι μεγάλη. Αυτό φαίνεται και με την κατάταξη του ΑΠΘ στα 200 καλύτερα πανεπιστήμια στην κατηγορία “Επιστήμη Υπολογιστών και Πληροφοριακά Συστήματα” σύμφωνα με πρόσφατη έρευνα της εταιρίας QS., τον μεγάλο αριθμό πρωτότυπων δημοσιεύσεων σε έγκριτα διεθνή επιστημονικά περιοδικά και συνέδρια και τη συγγραφή και έκδοση μεγάλου αριθμού βιβλίων Πληροφορικής. Επίσης είναι σημαντικός ο αριθμός χρηματοδοτούμενων ερευνητικών και αναπτυξιακών προγραμμάτων που έχει αναλάβει το Τμήμα τόσο από την Ευρωπαϊκή Ένωση όσο και από Ελληνικούς φορείς.

Πληροφορική και Διοίκηση των Τμημάτων Πληροφορικής και Οικονομικών Επιστημών του Α.Π.Θ., Ιατρική Πληροφορική των τμημάτων Πληροφορικής, Ιατρικής και Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Α.Π.Θ.

Η Φυσικομαθηματική το 1982 μετονομάσθηκε σε Σχολή Θετικών Επιστημών και απέκτησε νέα διοικητική δομή. Το νέο αυτό σχήμα που αποτελείται από τα τμήματα Μαθηματικών, Φυσικής, Χημείας, Βιολογίας, Γεωλογίας και Πληροφορικής έχει ως έμβλημα την προτομή του αρχαίου φιλόσοφου Θεόφραστου (372 π.Χ. - 287 π.Χ.), ο οποίος υπήρξε υποδειγματικός δάσκαλος των Φυσικών Επιστημών και της Φιλοσοφίας. Η Σχολή στεγάζεται στα κτίρια Α, Β & Δ Φυσικομαθηματικής, κτίριο Χημείας (Παλαιό Α & Νέο Β), κτίριο Βιολογίας και κτίριο Γραμματειών ΣΘΕ.

ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΧΟΛΗΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ• Τμήμα Μαθηματικών: 10.360• Τμήμα Φυσικής: 10.250• Τμήμα Χημείας: 6.082• Τμήμα Γεωλογίας: 2.898• Τμήμα Βιολογίας: 3.402• Τμήμα Πληροφορικής: 1.556

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 3 4 01 10 51 15 99 211 7 26 11 31 7 37 21 4 634 21

Τομείς:Πληροφοριακά Συστήμα-τα, Δίκτυα–Επικοινωνίες–Αρχιτεκτονική Συστημά-των, Ψηφιακά Μέσα, Τεχνολογίες Πληροφοριών και Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση (Τεχνολογίες Μάθησης)Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών:Πληροφορική και Επικοινωνίες, Διαδίκτυο και Παγκόσμιος Ιστός,

Βιβλιογραφία: [1] 75 χρόνια Φυσικομαθηματικής Σχολής Α.Π.Θ., (2003) επετειακός τόμος, συλλογικό έργο, Θεσσαλονίκη.[2] Σχολή Θετικών Επιστημών | Faculties | ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. (2017). https://www.auth.gr/sci προσπελάστηκε 5/5/2017. [3] Καστάνης, Ν. (1999). Η 70χρονη πορεία του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη: Ζήτη.


Λύση γρίφου 4ου τεύχους: Τα βιβλία είναι ποτισμένα με δηλητήριο και οι μοναχοί σαλιώνουν το δάχτυλο για να γυρίσουν σελίδα.

<Break the code:/>

γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ

1,

3,

4,

2,

1,

2,

1,

2,

1,

3,

1,

3,

3,

1,

1,

1,

13,

107,

79,

37,

17,

107,

7,

59,

19,

13,

13,

61,

7,

17,

41,

41,

2,

1,

1,

2,

1,

1,

1,

1,

1,

1,

1,

1,

2,

2,

2,

2,

5,

16,

1,

33,

3,

27,

39,

2,

26,

21,

4,

5,

7,

2,

21,

22,

3,

6,

9,

2,

6,

4,

8,

8,

2,

2,

3,

5,

7,

4,

7,

1.

Σπάστε τον κώδικα και στείλτε την απάντησή σας στο e-mail του περιοδικού:

[email protected]

Οι 10 πρώτοι που θα στείλουν τη σωστή απάντηση θα κερδίσουν ένα βοήθημα Μαθηματικών Γ Λυκείου,

των εκδόσεων Κανδύλα, χωρίς κλήρωση!

Λεπτομέρειες και όροι του διαγωνισμού στο facebook group του περιοδικού:

https://www.facebook.com/theprimemagazine

3ος Διαγωνισμός

4 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821

(Αν4λυσ3)τ0

γράφει ο Θάνος Μπεσλίκας προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού


προπτυχιακοι

οι

γρα ουνφ

Ο δίσκος του Poincare και η Υπερβολική Γεωμετρία

O d–skoc tou Poincare kai h uperbolik† gewmetr–a(MËroc A')

8 MaÚou 2017

Per–lhyh

Sto àrjro autÏ thc st†lhc mac ja anaferjo‘me ston d–sko tou Poincare , Ëna basikÏ

montËlo thc uperbolik†c gewmetr–ac. Ja parousiàsoume meriko‘c basiko‘c orismo‘c ,Ïpwc oi

gewdaisiakËc tou d–skou, h uperbolik† yeudometrik† kai metrik† ston d–sko autÏn, ja d∏soume

kàpoia basikà jewr†mata, kai ja parajËsoume merikà sq†mata-eikÏnec ta opo–a ja mac boh-

j†soun na katano†soume kal‘tera tic gewmetrikËc Ënnoiec pou diËpoun autÏ to montËlo. To [1]

e–nai basikÏc odhgÏc tou àrjrou auto‘.

Xekinàme me meriko‘c basiko‘c orismo‘c:

OrismÏc 1: Wc d–skoc tou Poincare onomàzetai o monadia–oc d–skoc D = z 2 C : |z| < 1 e-fodiasmËnoc me thn uperbolik† metrik†.

OrismÏc 2: Wc gewdaisiakËc tou sunÏlou D or–zoume tm†mata k‘klwn tou C = C [ 1ta o-po–a tËmnoun kàjeta ton monadia–o k‘klo.

Sto sq†ma 1 blËpete merikËc gewdaisiakËc tou D.

Sto shme–o autÏ ja or–soume thn Ënnoia tou m†kouc enÏc tm†matoc m–ac gewdaisiak†c pou en∏neid‘o shme–a tou monadia–ou d–skou.

OrismÏc 3: Gia to uperbolikÏ m†koc enÏc uperboliko‘ eujugràmmou tm†matoc γ stonmonadia–o d–sko isq‘ei o parakàtw t‘poc:

lengthD(γ) =

Z

2|dz|1− |z|2 =

Z

λD(z)|dz|

OrismÏc 5 H uperbolik† yeudometrik† or–zetai wc ex†c:

D(z, w) =

z − w

1− wz

, z, w 2 D

Sto [1] ja bre–te analutikà ton orismÏ gia thn yeudometrik†.

1Αναφορές:

[1] James W. Amderson (2003) Faculty Of Mathematical Studies ,University of Southampton , Highfield: Springer

(μέρος Α)

(Αν4λυσ3)τ0


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 64 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

Je∏rhma 2.2.1 Gia thn uperbolik† metrik† ston monadia–o d–sko isq‘ei o parakàtw t‘poc:

dD(z, w) = log

1 + D(z, w)

1− D(z, w)

,

ApÏdeixh: Arqikà ja to de–xoume gia −1 < x < y < 1 . TÏte gia m–a kamp‘lh γ(t) = u(t)+iv(t), t 2[0, 1] h opo–a en∏nei ta x, y isq‘ei Ïti:

lengthD(γ) =

Z 1

0

2|γ0(t)|dt

1− |γ(t)|2 ≥Z 1

0

2u0(t)dt

1− u2(t)

Upolog–zontac to pr∏to olokl†rwma Ëqoume Ïti:

lengthD(γ) ≥ log

1 + y

1− y

1− x

1 + x

= log

1 +

y−x

1−xy

1 +

y−x

1−xy

!

Ant–stoiqa jewro‘me kai thn γ(t) = x+t(y−x) kai Ëqoume àmesa thn isÏthta. T∏ra ja to de–xoume giaopoiad†pote z, w 2 D. ApÏ prohgo‘meno je∏rhma gnwr–zoume Ïti opoiod†pote ze‘goc shme–wn z, wston monadia–o d–sko isq‘ei Ïti oi strofËc wc apeikon–seic apotelo‘n upos‘nolo thc omàdac Aut(D)kàti pou shma–nei Ïti apotelo‘n isometr–ec tou q∏rou mac.Jewro‘me thn sunàrthsh f(z) = z−w

1−wz

. Hf 2 Aut(D) kai epeid† dD(0, z) = dD(0, |z|) gia kàje z 2 D Ëqoume Ïti:

dD(z, w) = dD(w, z) = dD(f(w), f(z))

= dD(0, f(z)) = dD(0, |f(z)|) = dD(0, D(z, w))

Kai Ëqoume to apotËlesma.Parathr†ste Ïti :

dD(0, z) = log

1 + |z|1− |z|

= 2 tanh

−1 |z|

Sq†ma 1: GewdaisiakËc ston monadia–o d–sko.

AnaforËc

[1] James W. Amderson (2003) Faculty Of Mathematical Studies ,University of Southampton, Highfield: Springer − V erlag London Berlin Heidelberg.

2

Σχήμα 1: Γεωδαισιακές στον μοναδιαίο δίσκο

13 17 19 23 29 31 37 41 43

10 1521 2631374452 586697 69 773 787 797the prime magazine_31

Τον 18ο αιώνα η σημερινή πόλη Καλίνινγκραντ της Ρωσίας ονομαζόταν Königsberg και άνηκε στην Πρωσία. Η πόλη μέχρι και σήμερα είναι γνωστή για τον πανέμορφο ποταμό της, τον Pregel, ο οποίος δημιουργεί στο κέντρο της δύο μικρές νησίδες. Εκείνη την εποχή υπήρχαν 7 γέφυρες που συνέδεαν τις όχθες του ποταμού μεταξύ τους και τις νησίδες με την στεριά. Οι κάτοικοι προσπαθούσαν να δουν εάν ήταν εφικτό να περάσουν όλες τις γέφυρες του ποταμού διασχίζοντας καθεμία μόνο μια φορά. Παρόλες τις προσπάθειες τους, όμως, πάντα υπήρχε μια γέφυρα που δεν μπορούσαν να προσεγγίσουν. Οπότε είχαν καταλήξει στα εξής συμπεράσματα: ή το παραπάνω πρόβλημα είναι αδύνατο ή δεν είχαν βρεί ως τότε τον τρόπο που θα τους επέτρεπε να τις διασχίσουν όλες από μια φορά. Την λύση στο πρόβλημα τους έδωσε ο Euler και με αυτόν τον τρόπο εγκαινίασε την θεωρία Γραφημάτων και την Τοπολογία.

Λίγα λόγια για την θεωρία Γραφημάτων:

Μία ακμή μπορεί να είναι κατευθυνόμενη ή μη-κατευθυνόμενη. Η κατευθυνόμενη ακμή e=(v1,v2) λέμε ότι συνδέει την κορυφή v1 με την κορυφή v2. Η κορυφή v1 ονομάζεται ουρά της ακμής και η κορυφή v2 κεφαλή της ακμής. Η μη-κατευθυνόμενη ακμή e=(v1,v2) λέμε ότι συνδέει τις κορυφές v1 και v2, οι

οποίες ονομάζονται και άκρα της. Τέλος δύο κορυφές που συνδέονται με ακμή ονομάζονται γειτονικές. Σε ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα ο βαθμός που αντιστοιχεί σε κάθε κορυφή v είναι το πλήθος των ακμών που εφάπτονται στην κορυφή v και συμβολίζεται με d(v), ενώ σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα διακρίνουμε τον βαθμό εισόδου που είναι ο αριθμός των ακμών που καταλήγουν στην κορυφή v και συμβολίζεται με din(v) και τον βαθμό εξόδου που είναι ο αριθμός των ακμών που ξεκινούν από την κορυφή v και συμβολίζεται με dout(v).

• Μονοπάτι P = (v1,…,vn) μήκους n είναι μια ακολου-θία από κορυφές έτσι ώστε να υπάρχουν οι ακμές (vi ,vi+1) με 1 < i < n-1, όπου όλες οι κορυφές είναι διαφορετικές.

• Κύκλος C = (v1,…,vn,v1) είναι ένα μονοπάτι όπου ξεκινάει και τελειώνει με την ίδια κορυφή.

• Μονοπάτι Euler είναι ένα μονοπάτι που περιέχει μια φορά ακριβώς όλες τις ακμές.

• Κύκλος Euler είναι ένας κύκλος που περιέχει όλες τις ακμές ακριβώς μία φορά και όλες τις κορυφές τουλάχιστον μία φορά.

Το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg

γράφει η Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Μαθηματικός M.Sc.

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ

οι

φ ουνγρα

Εικόνα 1: Κατευθυνόμενο γράφημα

Γράφημα είναι οτιδήποτε μπορεί να παρασταθεί με σημεία (κορυφές) και γραμμές (ακμές). Δηλαδή ένα γράφημα είναι ένα ζεύγος G = (V,E),όπου V = v1, …,vn, το σύνολο των κορυφών και Ε = e1,…,em το σύνολο των ακμών. Ένα γράφημα χαρακτηρίζεται από τον αριθμό των κορυφών του |V| = n και το πλήθος των ακμών του |Ε| = m.

Εικόνα 2: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα

11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 0151 99 7 11 7 21 63 21 7 3 83 51

69 773 787 797 21

Λύση του προβλήματος των γεφυρών από τον Euler

Το σημαντικό άλμα που πραγματοποίησε ο Euler ήταν να συνειδητοποιήσει ότι οι πραγματικές διαστάσεις της πόλης δεν είχαν καμία απολύτως σχέση με την λύση του προβλήματος. Ο Euler αντικατέστησε τις 4 χερσαίες περιοχές με σημεία ενώ τις 7 γέφυρες με γραμμές που ένωναν τα σημεία όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.

Έτσι λοιπόν για να μπορεί να διασχίσει κάποιος κάθε γέφυρα μία μόνο φορά θα έπρεπε να υπάρχει μία γραμμή που ξεκινάει από κάθε σημείο και μια που καταλήγει στο ίδιο σημείο. Δηλαδή ο βαθμός κάθε κορυφής θα έπρεπε να είναι ζυγός αριθμός! Οι μόνες εξαιρέσεις ήταν τα σημεία εκκίνησης και τερματισμού όπου οι βαθμοί των κορυφών αυτών θα ήταν 1.

Σύμφωνα με τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε:

d(B) = d(C) = d(D) = 3 και d(A) = 5

Για αυτό και ο εν λόγω περίπατος ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί

Σε ποιες περιπτώσεις η λύση του συγκεκριμένου προ-βλήματος θα ήταν εφικτή;

Η μαθηματική ανάλυση του Euler έδειξε ότι εάν υπήρχαν ακριβώς δύο κορυφές με ζυγό βαθμό τότε ένα μονοπάτι θα ήταν εφικτό. Ξεκινάς από το ένα και καταλήγεις στο άλλο έχοντας διασχίσει και τις ενδιάμεσες γραμμές (γέφυρες). Επομένως το πρόβλημα θα λύνονταν εάν δεν υπήρχε η γραμμή που ενώνει τα σημεία C και D ή η γραμμή που ενώνει τα σημεία B και D ή τέλος η γραμμή που ενώνει τα σημεία A και D. H ιστορία των γεφυρών του Königs-berg γέννησε έναν νέο τρόπο προσέγγισης του χώρου και της γεωμετρίας. Αντί να ενδιαφερόμαστε για τις αποστάσεις, τις διαστάσεις και τις γωνίες μεταξύ γεωμετρικών οντοτήτων, εστιάζουμε στον τρόπο που είναι συνδεδεμένες μεταξύ τους. Αυτή είναι και η αρχή της τοπολογίας ενός από τα πιο ισχυρά παρακλάδια της μαθηματικής επιστήμης. Επίσης έκτοτε αναπτύχθηκε περαιτέρω και η θεωρία γραφημάτων.


Βιβλιογραφία:[1] Βασικές έννοιες της θεωρίας γραφημάτων, Δημήτρης Φωτάκης, τμήμα ΗΜΜΥ-ΕΜΠ[2] Εισαγωγή στην θεωρία γραφημάτων, Αλέξανδρος Νανόπουλος[3] Οι γέφυρες του Königsberg, Γιώργος Καρουζάκης, Θαλής και φίλοι[4]Οι γέφυρες του Königsberg, Κώστας Γιαννακός[5] Πιθανοθεωρητική προσωμοίωση και γραφήματα, Πολυχρόνης Μωυσιάδης

Εικόνα 3: Königsberg in 1736

Εικόνα 4: Γραφική αναπαράσταση του Euler

Που συναντάμε τα γραφήματα καθημερινά;


νέο app “myAuth” που ανέπτυξε το Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης (ΚΗΔ) του ΑΠΘ, σε συνεργασία με τους εκπαιδευομένους φοιτητές του, έχει ως στόχο την άμεση και προσωποποιημένη ενημέρωσή των φοιτητών του ΑΠΘ για όλα τα θέματα της φοιτητικής τους καθημερινότητας[1].

Έτσι λοιπόν, μέσω μιας ειδοποίησης στο smart-phone τους, θα μπορούν πλέον οι φοιτητές του ΑΠΘ να ενημερώνονται σε πραγματικό χρόνο για τα διάφορα θέματα που αφορούν την φοίτησή τους στο πανεπιστήμιο, όπως για παράδειγμα:

Η πρώτη εφαρμογή για κινητά, το “ΑΠΘ mo-bile”, δημιουργήθηκε το 2012 και αφορούσε γενική πληροφόρηση για το πανεπιστήμιο. Η πληροφόρηση που παρείχε το “ΑΠΘ mobile” ήταν αντίστοιχη αυτής που παρέχεται στην κύρια ιστοσελίδα του ΑΠΘ. Δεν υπήρχε δηλαδή η λεγόμενη «άμεση και προσωποποιημένη πληροφόρηση» για τουςφοιτητές. «Πάρα πολύ μεγάλο μέρος της δουλειάς που έγινε, βασίζεται στην ερ-γασία εκπαιδευόμενων φοιτητών. Τρεις φουρνιές φοιτητών εργάστηκαν στο συγκεκριμένο project, σε διάφορες φάσεις, για να φτάσουμε στο σημερινό αποτέλεσμα» ανέφερε στο ΑΠΕ-ΜΠΕ ο Δημήτρης Δασκόπουλος, υπεύθυνος

2 3 5 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 6 69 7 69 773 787 797 809

ΔΙΔΑΚΤΟρικοι

οι

φ ουνγρα

γράφει ο Ευάγγελος Ιωαννίδης Μαθηματικός, Ph.D candidate

myAuth mobile app

Το

Εικόνα 1: Ο σχεδιασμός του “myAuth” έγινε με γνώμονα την άμεση και προσωποποιημένη ενημέρωση των φοιτητών.

Η νέα εφαρμογή για τους φοιτητές του ΑΠΘ

•

•

•

•

•

•

•

•

•

πληροφορίες για τα τρέχοντα μαθήματα

προβολή του προγράμματος μαθημάτων, καθώς και τυχόν έκτακτες αλλαγές αυτού

οδηγίες για τις αίθουσες μαθημάτων και τον χώρο που βρίσκονται

το πρόγραμμα εξεταστικής

εάν πέρασαν και με τι βαθμό, κάποιο συγκεκριμένο μάθημα στην εξεταστική τους

αν έχουν προσκομίσει τα απαραίτητα δικαι-ολογητικά για κάποια συγκεκριμένη αίτηση προς την γραμματεία του τμήματος (π.χ. ορκωμοσία).

τις ανακοινώσεις του τμήματος, των μαθημάτων, και των καθηγητών από το elearning.auth.gr

το μενού της λέσχης

τα στοιχεία επικοινωνίας της γραμματείας σου

Το “myAuth” εξασφαλίζει ότι η χρήση των στοιχείων του ιδρυματικού λογαριασμού των φοιτητών γίνεται μόνο μέσα από τα ασφαλή κανάλια επικοινωνίας των ηλεκτρονικών υπηρεσιών του ΑΠΘ[1]. H εφαρμογή είναι διαθέσιμη σε Android στο Google Play Store από τον σχετικό σύνδεσμο[2], και μετρά ήδη περισσότερες από 1.000 λήψεις με ιδιαίτερα θετικές αξιολογήσεις.


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 5 7

31 64 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

του Τμήματος Υπηρεσιών στο Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης (ΚΗΔ) του ΑΠΘ[3]. Όπως εξήγησε ο κ. Δασκόπουλος, πριν από 4 χρόνια με την πρώτη εφαρμογή «ΑΠΘ Mobile» το 2012, δεν υπήρχε όλη αυτή η πληροφορία συγκεντρωμένη. Ως εκ τούτου, όλα τα δεδομένα έπρεπε να συλλεχθούν και να καταχωρηθούν σε μία νέα ενιαία βάση. «Στο εξωτερικό κάποια πανεπιστήμια διαθέτουν τέτοιες εφαρμογές, οπότε υπήρξε αυτό το όραμα, μίας αντίστοιχης υπηρεσίας στους φοιτητές του ΑΠΘ και ιδιαίτερα σε ξένους φοιτητές, οι οποίοι έρχονται εδώ χωρίς να γνωρίζουν τη γλώσσα ή τους χώρους, και αναζητώντας πληροφορίες “από στόμα σε στόμα” προσπαθούν να κινηθούν στο πανεπιστήμιο» σημείωσε ο κ. Δασκόπουλος[3].

Η ομάδα του ΚΗΔ του ΑΠΘ εργάζεται ήδη πάνω σε διορθώσεις της νέας εφαρμογής «myAuth», τις οποίες τις έχουν προτείνει οι χρήστες της διάρκειας 6 μηνών δοκιμαστικής BETA λειτουργίας της εφαρμογής. Επίσης, σχεδιάζουν τον εμπλουτισμό της με νέες κατηγορίες πληροφοριών, με υπηρεσίες ειδοποίησης (notifications), και εργάζονται για την έκδοση της εφαρμογής σε περισσότερες γλώσσες. Στο σημείο αυτό, αξίζει να σημειωθεί ότι ήδη έχει ξεκινήσει η διαδικασία για τη διάθεσή της νέας εφαρμογής «myAuth» και μέσω του App Store για συσκευές με λειτουργικό iOS.

Εικόνα 2: Στο “myAuth” μπορείς να δεις εάν περάστηκαν και με τι βαθμό, τα μαθήματα της εξεταστικής σου.

Εικόνα 4: Η εφαρμογή ενσωματώνει χάρτη της πανεπιστημιού-πολης του ΑΠΘ

Εικόνα 3: Το “myAuth” μετρά ήδη περισσότερες από 1.000 λήψεις και οι αξιολογήσεις είναι ιδιαίτερα θετικές.


Αναμένεται ότι η νέα υπηρεσία προσωπικών ειδο-ποιήσεων που σχεδιάζεται, μέσω της αμεσότητας που θα εξασφαλίζει, θα συμβάλλει σημαντικά στην εξοικονόμηση του χρόνου και στην αποτε-λεσματικότητα της επικοινωνίας των φοιτητών με τις γραμματείες των Σχολών τους είτε με τους καθηγητές τους.

Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης ΑΠΘ

Τηλεφωνική εξυπηρέτηση: 2310 999000Ηλεκτρονική Διεύθυνση: [email protected]Δικτυακός τόπος: http://it.auth.gr

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52586697 69 773 787 797 809

Εικόνα 5: Η εφαρμογή “ΑΠΘ Mobile”, ήταν η πρώτη εφαρμογή για κινητά που αναπτύχθηκε από το ΑΠΘ το 2012, η οποία συνεχίζει να είναι διαθέσιμη στο Play Store και στο App Store.

Αναφορές: [1] https://www.auth.gr/news/articles/23890[2] https://play.google.com/store/apps/details?id=gr.auth.myAuth[3] ιστότοπος foititikanea.gr εντοπίστηκε την 15/5/2017 στο http://bit.ly/2rvtdGv

Εικόνα 6: Το “myAuth” είναι διαθέσιμο σε Android στο Google Play Store από τον σχετικό σύνδεσμο.[2]


α ακουγόταν ουτοπικό αν κάποιος σας έλεγε ότι μπορείτε να συνθέσετε το δικό σας μουσικό κομμάτι, καθώς ίσως πιστεύετε ότι απαιτούνται πολλές μουσικές σπουδές, ταλέντο και έμπνευση. Κι όμως... Το μόνο που χρειάζεται είναι δύο ζάρια.

Κατά το τέλος του 18ου αιώνα στην Ευρώπη οι μουσι-κές εκδόσεις ήταν ένας ταχύτατα αναπτυσσόμενος κλάδος. Οι εκδότες προσπαθούσαν λοιπόν να κάνουν τη μουσική προσιτή σε όλους με διάφορους τρόπους. Ένας καινοτόμος τρόπος ήταν να δημοσιεύουν συστήματα που θα επέτρεπαν ακόμη και σε αυτούς που δεν γνώριζαν θεωρία της μουσικής να συνθέτουν. Έτσι πολλοί ήταν οι γνωστοί συνθέτες οι οποίοι προσπαθούσαν να βρουν τρόπους σύνθεσης της μουσικής βασιζόμενοι στα τυχερά παιχνίδια, τα οποία ήταν επίσης διαδεδομένα εκείνη την εποχή. Ένας από αυτούς ήταν και ο Mozart, ο οποίος δημιούργησε μία φημισμένη και επιτυχή σύνθεση την Musikalisches Würfelspiel Ο Mozart πίστευε ότι η μουσική δεν είναι μόνο για τους διανοούμενους γι’αυτό και προσπαθούσε να την κάνει προσιτή σε όλους. Έλεγε δε “Αν τύχει και βρεθούν δύο ζάρια παραδίπλα σου, ρίξτα και ξεκίνα”. Η μουσική του σύνθεση Musikalisches Würfelspiel εκδόθηκε για πρώτη φορά στο Βερολίνο το 1792 (ένα χρόνο μετά το θάνατό του) και πρόκειται για ένα μουσικό παιχνίδι με ζάρια, που αποσκοπούσε στη διασκέδαση και έδινε την ευκαιρία σε όλους να συνθέτουν μουσική. Αποτελείται από 176 + 96 = 272 μουσικά μέτρα τα οποία ο ίδιος έγραψε. Τα 16 x 11 = 176 μουσικά μέτρα αριθμημένα τοποθετήθηκαν από τον Mozart σε ένα πίνακα 16 στηλών και 11 γραμμών. Επίσης τα υπόλοιπα 16 x 6 = 96 τοποθετήθηκαν σε ένα δεύτερο πίνακα με 6 γραμμές και 16 στήλες. Από τον πρώτο πίνακα προκύπτουν τα μινουέτα και από το δεύτερο τα Trio, καθένα από τα οποία αποτελείται από 16 μέτρα (1)...

Για να φτιάξουμε ένα μινουέτο ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Ρίχνουμε δύο ζάρια και προσθέτουμε τις ενδείξεις τους. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των ενδείξεων των δύο ζαριών βρίσκεται μεταξύ του 2 και του 12. Ο πίνακάς μας, όμως, έχει 11 γραμμές γι αυτό και κάθε φορά από το άθροισμα αφαιρούμε 1. Πηγαίνουμε τώρα και βρίσκουμε το στοιχείο της πρώτης στήλης που αντιστοιχεί στον αριθμό μας. Αυτό θα είναι και το πρώτο μέτρο της σύνθεσής μας. Για παράδειγμα για να συντεθεί το πρώτο μέτρο ενός μινουέτου ρίχνουμε 2 ζάρια και έστω ότι το άθροισμα των ενδείξεων είναι 7. Πηγαίνουμε λοιπόν στον πί-νακα και βρίσκουμε το στοιχείο της πρώτης στήλης και της 7 - 1 = 6ης γραμμής. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία άλλες 15 φορές και έτσι έχουμε καταλήξει σε μία αλληλουχία 16 μέτρων που συνιστούν ένα μινουέτο. Το δικό μας μινουέτο! Στη συνέχεια κά-νουμε το ίδιο με ένα ζάρι αυτή τη φορά, για να συνθέσουμε ένα Trio.

Ήξερε ο Mozart πιθανότητες;

γράφει η Αθηνά Νησιώτη προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 43 4 01

51 99

21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 5864 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

Θ

(1) Είδη μουσικών κομματιών


Εύλογα, λοιπόν, μπορεί να μας δημιουργηθούν κάποια ερωτήματα μαθηματικής φύσης. Αρχικά αναρωτιόμαστε πόσες μπορεί να είναι οι διαφορε-τικές συνθέσεις που προκύπτουν. Χρησιμοποιώντας γνώσεις συνδυαστικής παρατηρούμε ότι το μινουέτο μπορεί να προκύψει με 1116 διαφορετικούς τρόπους (όσες είναι οι διατάξεις με επανάληψη των 11 ανά 16) ενώ το Trio με 616 τρόπους (όσοι οι διατάξεις με επανάληψη των 6 ανά 16) Έτσι, σύμφωνα με τη “Θεμελιώδη Αρχή της Απαρίθμησης” μπορούν να συντεθούν:

δηλαδή 130 οκτάκις εκατομμύρια συνθέσεις. Σημειώνουμε ότι η γη έχει πληθυσμό 7,3 δισεκα-τομμύρια ανθρώπους (2013). Έτσι βλέπουμε ότι σε κάθε κάτοικο του πλανήτη αντιστοιχούν:

διαφορετικές συνθέσεις, δηλαδή είναι σχεδόν απί-θανο δύο διαφορετικά άτομα που παίζουν το ίδιο παιχνίδι να κάνουν την ίδια σύνθεση. Έχει μάλιστα υπολογιστεί ότι είναι πιο πιθανό να κερδίσει κάποιος το Τζόκερ 62.164.442 φορές παρά να συνθέσει το ίδιο κομμάτι 2 φορές. Υπολογίζουμε επίσης ότι, αν ένα κομμάτι έχει μέση διάρκεια 30 δευτερόλεπτα, τότε για να τα ακούσουμε όλα απαιτούνται:

Εικόνα 1: Παράδειγμα σύνθεσης με τη βοήθεια ζαριών

11"# ∙ 6"# = 1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+

1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+ = 1,7 ∙ 10"+

𝑡𝑡 = 1,3 ∙ 10*+ ∙ 30 sec = 1,3 ∙ 3 ∙ 1023

3600ℎ =

=. . . = 1,23 ∙ 10*2 χρόνια.

Δηλαδή 1,23 ∙ 10*" αιώνες

𝑃𝑃 7 = 𝑃𝑃 1,6 + 𝑃𝑃 2,5 + 𝑃𝑃 3,4 +

+𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 5,2 + 𝑃𝑃 1,6 =6

36 =16

𝑃𝑃 2 = 𝑃𝑃 1,1 =1

36

11"# ∙ 6"# = 1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+

1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+ = 1,7 ∙ 10"+

𝑡𝑡 = 1,3 ∙ 10*+ ∙ 30 sec = 1,3 ∙ 3 ∙ 1023

3600ℎ =

=. . . = 1,23 ∙ 10*2 χρόνια.


𝑃𝑃 7 = 𝑃𝑃 1,6 + 𝑃𝑃 2,5 + 𝑃𝑃 3,4 +

+𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 5,2 + 𝑃𝑃 1,6 =6

36 =16

𝑃𝑃 2 = 𝑃𝑃 1,1 =1

36

11"# ∙ 6"# = 1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+

1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+ = 1,7 ∙ 10"+

𝑡𝑡 = 1,3 ∙ 10*+ ∙ 30 sec = 1,3 ∙ 3 ∙ 1023

3600ℎ =

=. . . = 1,23 ∙ 10*2 χρόνια.


𝑃𝑃 7 = 𝑃𝑃 1,6 + 𝑃𝑃 2,5 + 𝑃𝑃 3,4 +

+𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 5,2 + 𝑃𝑃 1,6 =6

36 =16

𝑃𝑃 2 = 𝑃𝑃 1,1 =1

36

11"# ∙ 6"# = 1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+

1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+ = 1,7 ∙ 10"+

𝑡𝑡 = 1,3 ∙ 10*+ ∙ 30 sec = 1,3 ∙ 3 ∙ 1023

3600ℎ =

=. . . = 1,23 ∙ 10*2 χρόνια.


𝑃𝑃 7 = 𝑃𝑃 1,6 + 𝑃𝑃 2,5 + 𝑃𝑃 3,4 +

+𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 5,2 + 𝑃𝑃 1,6 =6

36 =16

𝑃𝑃 2 = 𝑃𝑃 1,1 =1

36

ακόμη κι αν καθημερινά ακούμε συνεχώς καινούριες συνθέσεις. Παρατηρούμε επίσης ότι τα μέτρα στομινουέτο δεν έχουν την ίδια πιθανό-τητα να εμφανιστούν. Για παράδει-γμα η πιθανότητα να έχουμε άθροι-σμα ενδείξεων των δύο ζαριών 7είναι:

ενώ να έχουμε άθροισμα 2 είναι:

Δηλαδή η πιθανότητα να έχουμε στη σύνθεσή μας μέτρο από τη γραμμή 6 (= 7 - 1) είναι 6 φορές μεγαλύτερη από το να έχουμε μέτρο από την 1 (= 2 - 1). Τίθεται, λοιπόν, το ερώτημα, αν ο Mozart είχε τις κατάλληλες γνώσεις πιθανοτήτων ώστε να το προβλέψει αυτό ή αν θεωρούσε όλα τα γεγονότα ισοπίθανα. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δε μπορεί να δοθεί με σιγουριά.

11"# ∙ 6"# = 1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+

1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+ = 1,7 ∙ 10"+

𝑡𝑡 = 1,3 ∙ 10*+ ∙ 30 sec = 1,3 ∙ 3 ∙ 1023

3600ℎ =

=. . . = 1,23 ∙ 10*2 χρόνια.


𝑃𝑃 7 = 𝑃𝑃 1,6 + 𝑃𝑃 2,5 + 𝑃𝑃 3,4 +

+𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 5,2 + 𝑃𝑃 1,6 =6

36 =16

𝑃𝑃 2 = 𝑃𝑃 1,1 =1

36

11"# ∙ 6"# = 1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+

1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+ = 1,7 ∙ 10"+

𝑡𝑡 = 1,3 ∙ 10*+ ∙ 30 sec = 1,3 ∙ 3 ∙ 1023

3600ℎ =

=. . . = 1,23 ∙ 10*2 χρόνια.


𝑃𝑃 7 = 𝑃𝑃 1,6 + 𝑃𝑃 2,5 + 𝑃𝑃 3,4 +

+𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 5,2 + 𝑃𝑃 1,6 =6

36 =16

𝑃𝑃 2 = 𝑃𝑃 1,1 =1

36

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 4 10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 64 69 7 69 773 787 797 809


Τα τυχερά παιχνίδια με ζάρια υπήρχαν από την αρχαιότητα και απασχολούσαν τους ανθρώπους.Την εποχή μάλιστα που έζησε ο Mozart ο κλάδος των πιθανοτήτων βρι- σκόταν υπό συνεχή εξέλιξη. Μάλιστα ήδη από το 1620 διασώζεται ένα από- σπασμα του Γαλιλαίου στο οποίο απαριθμούνται με σωστό τρόπο οι ρί- ψεις τριών ζαριών. Οπότε ο Mozart εί- ναι πολύ πιθανό να γνώριζε πιθανότητες και να καταλάβαινε ότι οι διαδικασίες επιλο- γής των μουσικών μέτρων δεν είναι ισοπίθα- νες. Όπως και να έχει, όποια και να ήταν η σχέση του Mozart με τα μαθηματικά, κανένας δεν μπορεί να αμφισβητήσει ότι ήταν μία μουσική ιδιοφυία που το έργο του ακόμη και σήμερα μαγεύει τους ανθρώπους. Πολλοί μάλιστα είναι αυτοί που ισχυρίζονται ότι η σονάτα του για δύο πιάνα σε Ρε Ματζόρε (Κ 448) έχει θετική επίδραση στη λειτουργία του εγκεφάλου και βοηθά στην επίλυση λογικών και μαθηματικών προβλη- μάτων (Mozart effect). Ας την ακούσουμε λοιπόν και ας βγάλουμε τα δικά μας συμπεράσματα...

Εικόνα 4: Χειρόγραφη παρτιτούρα του Mozart

Εικόνα 2: Sonata I

Εικόνα 3: Η υπογραφή του Mozart

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51

7 761 769 773 787 797 21

Βιβλιογραφία: [1] Σπυρίδης, Χ. (χ.η.) Musikalisches Würfelspiel. ανακτήθηκε την 25/5/2017 από τον ιστότοπο: http://users.uoa.gr/~hspyrid-is/mozartzaria.pdf [2] Δρούγας, Αθ. (2012). Μαθηματικά αξιοπερίεργα: Ο Μότζαρτ και τα μουσικά αξιοπερίεργα. ανακτήθηκε την 25/5/2017 από τον ιστότοπο: http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/08/blog-post_25.html[3] Ελούλ, Ι. (2011). Αλγοριθμική σύνθεση Ιστορική αναδρομή και βασικές τεχνικές. (Εργασία Μαθήματος). Ιόνιο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Ηχου και Εικόνας: Κέρκυρα.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 43 4 10 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821the prime magazine_67

Tο πρώτο ολοκληρωμένο τεστ νοημοσύνης εκπονήθηκε από τον ψυχολόγο Alfred Binet και τον συνεργάτη του, επίσης ψυχολόγο, Theodore Simon, το 1905, όταν του ζητήθηκε από τους αξιωματούχους του γαλλικού Υπουργείου Παιδείας να δημιουργήσει ένα τεστ το οποίο θα εντοπίζει τους «αδύνατους» μαθητές. Τα τεστ νοημοσύνης αποτελούνται από ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ή και συμπλήρωσης, με εκφωνήσεις σαφείς και σύντομες, ενώ είθισται η πρώτη ερώτηση να δίνεται απαντημένη ως παράδειγμα.

Σύμφωνα με τη θεωρία του ψυχολόγου Louis L. Thurstone (Thurstone, σ. 3) αντί να αντιμετωπίζουμε τη νοημοσύνη ως μια ενιαία γενική ικανότητα, επικεντρωνόμαστε σε 7 διαφορετικές «πρωτογενείς νοητικές ικανότητες» τις οποίες και εντοπίζουμε-μετρούμε με το τεστ νοημοσύνης για να βγάλουμε γενικό συμπέρασμα. Αυτές είναι:

1. Η λεκτική κατανόηση (Verbal comprehension)2. Η αιτιολόγηση (Reasoning)3. Η ταχύτητα αντίληψης (Perceptual speed)4. Η αριθμητική ικανότητα (Numerical ability)5. Η ευφράδεια λόγου (Word fluency)6. Η συνειρμική μνήμη (Associative memory)7. Η χωρική απεικόνηση - αντίληψη (Spatial visuali- zation)

Δείκτης Νοημοσύνης:

γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ

Ο ψυχολόγος Wilhelm Stern, που καθιέρωσε την έννοια του IQ, χαρακτήρισε τη νοημοσύνη ως η «ικανότητα του ανθρώπου να προσαρμόζει συνειδητά τον νου του σε νέες απαιτήσεις, η πνευματική ικανότητα προσαρμογής σε νέα καθήκοντα και νέους όρους ζωής» (Stern, σ. 2). Στην ίδια λογική ο αμερικανός ερευνητής David Wechsler συμπληρώνει: «Νοημοσύνη είναι η ικανότητα του ατόμου να ενεργεί αποφασιστικά, να σκέφτεται λογικά και να αντιμετωπίζει με επιτυχία το περιβάλλον του» (Wechsler σ. 3). Βάσει των παραπάνω συγγραφέων και των θεωρητικών πλαισίων που αποδίδουν στην έννοια της νοημοσύνης, είναι δόκιμο να ισχυριστούμε ότι νοημοσύνη είναι η ικανότητα αποτελεσματικής μάθησης και διαχείρισης του καινούριου, του νέου. Συμπέρασμα, λοιπόν, το οποίο συνεπάγεται είναι πως ένα άτομο το οποίο μπορεί να λύσει γρήγορα τον κύβο του Rubik, δεν είναι απαραίτητα άτομο υψηλής νοημοσύνης. Αντιθέτως, το άτομο το οποίο έμαθε να λύνει γρήγορα τον κύβο, μέσα σε μικρό χρονικό διάστημα και μετά από λίγες επαναλήψεις, χαρακτηρίζεται άτομο υψηλής νοημοσύνης. Εργαλείο μέτρησης της νοημοσύνης αποτελούν τα τεστ νοημοσύνης (IQ tests) τα οποία περιγράφονται παρακάτω:

Τι είναι; Πως μετριέται;IQ

Για τη νοημοσύνη έχουν δοθεί πολλοί ορισμοί κατά καιρούς: η ικανότητα ενός ατόμου να αντιλαμβάνεται και να αφομοιώνει με ταχύτητα, να κρίνει σωστά, να ενεργεί αποτελεσματικά, να σκέφτεται, να εκλογικεύει, να αντιλαμβάνεται αφηρημένες έννοιες – ομοιότητες – διαφορές – σχέσεις, να λύνει προβλήματα, να μαθαίνει, να κατανοεί, να προβλέπει και να προσαρμόζεται σε νέες καταστάσεις. Στην επιστήμη της ψυχολογίας ορίζεται ως το σύνολο των πνευματικών λειτουργιών που χρησιμοποιούμε για να αντιμετωπίσουμε νέες καταστάσεις και να λύσουμε προβλήματα, αξιοποιώντας προηγούμενες εμπειρίες.

Τεστ νοημοσύνης (IQ tests)

Παράδειγμα_1:Δίνονται τρεις λέξεις. Ψάχνουμε μια τέταρτη λέξη που να συσχετίζεται με την τρίτη λέξη, κατά τρόπο ανάλογο μ’εκείνον που σχετίζεται η δεύτερη λέξη με την πρώτη.

υγεία : ασθένεια = ημέρα : ........................

α] ήλιος β] μεσημέρι γ] φως δ] νύχτα

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21the prime magazine_71

Ανάλογα με την ηλικιακή ομάδα που θέλουμε να εξετάσουμε ή τη νοητική ικανότητα που θέλουμε να μετρήσουμε, υπάρχουν διαφορετικά τεστ με ερωτήσεις που στοχεύουν σε μια ή περισσότερες από τις παραπάνω νοητικές ικανότητες. (WAIS, WISC, Stanford-Binet.., με τις αντίστοιχες κλίμακές τους).

Οι δείκτες νοημοσύνης, ανάλογα με τη σωματική ηλικία ενός ατόμου, χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, το παιδικό και το ενήλικο iq.

Παιδικό IQ

Για παιδιά ηλικίας μικρότερης των 15 ετών, ο δείκτης νοημοσύνης προκύπτει από το κλάσμα με αριθμητή την πνευματική ηλικία προς τη σωματική, πολλαπλασιαζόμενο επί 100.

Για παράδειγμα, ένα 10χρονο παιδί με νοητικές ικανότητες 14χρονου έχει δείκτη νοημοσύνης 140.

Ενήλικο IQ

Aντίστοιχα, για άτομα άνω των 15 ετών, (ενήλικο iq) ορίζεται ως η σπανιότητα μιας πνευματικής επίδοσης ενός ατόμου στο γενικό πληθυσμό. Η σπανιότητα της επίδοσης ορίζεται από την απόσταση της επίδοσης iq από τον μέσο όρο που είναι το IQ 100. Η κατανομή τιμών του iq ακολουθεί την κατανομή του Gauss (Gaussian distribution).

Παράδειγμα_2:

χωρική αντίληψη


λεκτική κατανόηση

Από τις τέσσερις λέξεις που δίνουμε, οι τρεις έχουν παραπλήσιο νόημα, ενώ η μια δεν ταιριάζει με τις άλλες. Ζητάμε αυτή τη λέξη:

α] τρέχω β] πηδάω γ] κουτσαίνω δ] κάθομαι


αριθμητική ικανότητα

Βρείτε το σωστό αποτέλεσμα κατ’εκτίμηση και με απλούς αριθμητικούς συλλογισμούς.

3251 + 4523 + 2512 = ?

α] 9955 β] 9782 γ] 10533 δ] 9843 ε] 10286

Απαντήσεις: Παράδειγμα_1: δ] νύχταΠαράδειγμα_2: σχήμα ΒΠαράδειγμα_3: δ] κάθομαιΠαράδειγμα_4: ε] 10286

Δείκτης Νοημοσύνης (IQ)

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ή 𝜂𝜂𝜂𝜂𝜋𝜋𝜋𝜋ί𝜋𝜋𝜎𝜎𝜎𝜎𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ή 𝜂𝜂𝜂𝜂𝜋𝜋𝜋𝜋ί𝜋𝜋 ∙ 100

1410 ∙ 100 = 140

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ή 𝜂𝜂𝜂𝜂𝜋𝜋𝜋𝜋ί𝜋𝜋𝜎𝜎𝜎𝜎𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ή 𝜂𝜂𝜂𝜂𝜋𝜋𝜋𝜋ί𝜋𝜋 ∙ 100

1410 ∙ 100 = 140

IQ

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821the prime magazine_73

Stephen Hawking (IQ 160) θεωρητικός φυσικός, κοσμολόγοςAlbert Einstein (IQ 160-190) φυσικός, νόμπελ φυσικήςJudit Polgar (IQ 170) σκακίστρια, Grandmaster μόλις 15 ετώνGarry Kasparov (IQ 194) σκακιστής, πολιτικός ακτιβιστήςEvangelos Katsioulis (IQ 205) ψυχίατρος, ψυχοθεραπευτήςKim Ung-Yong (IQ 210) πολιτικός μηχανικός, μίλησε 6 μηνών, 3 ετών διάβαζε 4+ γλώσσες, Guinness recordChris Hirata (IQ 225) αστροφυσικός, 16 ετών προσελήφθη στη NASATerence Tao (IQ 225-230) μαθηματικός, 20 ετών διδακτορικό, 24 ετών ακαδημαϊκός UCLA, Fields Medal

Για παράδειγμα, αν 2 άτομα στα 100 ενός τυχαίου πληθυσμού, μπορούν να περατώσουν μια νοητική δοκιμασία σε προκαθορισμένο χρονικό διάστημα, τότε τα άτομα αυτά διαθέτουν IQ > 130.Κάθε τεστ έχει τη δική του κλίμακα αξιολόγησης. Στις μέρες μας τα πιο διαδεδομένα τεστ είναι αυτά των Stanford-Binet (SB5) και Wechsler (WAIS-IV, WISC-V, 2008).Σύμφωνα με το σκορ που επιτυγχάνει κάθε άτομο, κατατάσσεται σε μια από τις παρακάτω κατηγορίες:

Άτομα με εξαιρετικά υψηλό IQ

Ποσ

οστό

πλη

θυσμ

ού

IQ score

5"

Σύµφωνα µε το σκορ που επιτυγχάνει κάθε άτοµο, κατατάσσεται σε µια από τις παρακάτω κατηγορίες:

Stanford - Binet Fifth Edition (SB5) classification IQ Range IQ classification

160+ Extremely gifted 145-160 Very gifted - Highly advanced 130-144 Gifted - Very Advanced 120-129 Superior 110-119 High average 90-109 Average 80-89 Low average 70-79 Borderline 55-69 Mildly impaired 40-54 Moderately impaired

(Πηγή: Kaufman σ. 112)

Ανάλογη είναι και η κλίµακα Wechsler (WAIS–IV, WISC–V, WPPSI–IV), KAIT 1993, KABC-II 2004

Άτοµα µε εξαιρετικά υψηλό δείκτη νοηµοσύνης • Stephen Hawking (IQ 160) θεωρητικός φυσικός, κοσµολόγος • Albert Einstein (IQ 160-190) φυσικός, νόµπελ φυσικής • Judit Polgar (IQ 170) σκακίστρια, Grandmaster µόλις 15 ετών • Garry Kasparov (IQ 194) σκακιστής, πολιτικός ακτιβιστής • Evangelos Katsioulis (IQ 205) ψυχίατρος, ψυχοθεραπευτής • Kim Ung-Yong – (IQ 210) πολιτικός µηχανικός, µίλησε 6 µηνών, 3 ετών διάβαζε 4+ γλώσσες, Guinness record • Chris Hirata (IQ 225) αστροφυσικός, 16 ετών προσελήφθη στη NASA • Terence Tao (IQ 225-230) µαθηµατικός, 20 ετών διδακτορικό, 24 ετών ακαδηµαϊκός UCLA, Fields Medal

•

•

•

•

•

•

•

•

Ανάλογη είναι και η κλίμακα Wechsler (WAIS–IV, WISC–V, WPPSI–IV), KAIT 1993, KABC-II 2004

Βιβλιογραφία: [1] Flanagan P. Dawn , Harrison, L. Patti (2012). Contemporary Intellectual Assessment, Theories, Tests, and Issues, Third edition, New York: The Guilford Press[2] Groth-Marnat, G. (2009). Handbook of Psychological Assessment. 5th Edition, Hoboken. New Jersey: Wiley.[3] Kaufman, Alan S. (2009). IQ Testing 101. p. 112, 151–153 New York: Springer Publishing.[4] Silverman, H. L. & Krenzel, K. (1964). Alfred Binet: Prolific Pioneer in Psychology. The Psychiatric quarterly. Supplement 38, p. 323–335.[5] Stangor, C. (2013). Introduction to Psychology, v.1.0.Εντοπίστηκε στην ιστοσελίδα στις 30/01/2016: http://catalog.flatworldknowledge.com/bookhub/reader/127?e=stangor- ch09_s02[6] Stern, W. (1914). The phychological methods of testing intelligence, p. 2. Baltimore: Warwick & York, Inc.Thurstone, L. L. (1938). Primary mental abilities, p.3 Chicago: University of Chicago Press.Wechsler, D. (1939). The Measurement of Adult Intelligence, p. 3. Baltimore: Williams & Witkins.

Εικόνα 1: Πίνακας κατανομής IQ

πηγή: Kaufman σ. 112


Ο Rudolf Emil Kalman (1930-2016) υπήρξε ένας από τους επιδραστικότερους επιστήμονες και μηχανικούς του περασμένου αιώνα, και ο θεμελιωτής της μοντέρνας θεωρίας συστημάτων ελέγχου. Η σύγχρονη θεωρία συστημάτων ελέγχου είναι ένας ευρύς κλάδος της μηχανικής και των μαθηματικών που ασχολείται με δυναμικά συστήματα που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών, τη μελέτη της συμπεριφοράς τους (ανάλυση) αλλά και τη χειραγώγηση των ελέγξιμων παραμέτρων ή εισόδων ενός συστήματος με σκοπό την επίτευξη της επιθυμητής συμπεριφοράς του (σύνθεση). Κατά τη διάρκεια της μακρόχρονης και δραστήριας επιστημονικής του καριέρας, ο Kalman κατάφερε όχι μόνο να θέσει τα θεμέλια αυτού του κλάδου, αλλά και να κατευθύνει με τις ιδέες του την ανάπτυξή του για πολλές δεκαετίες[1,2,7,16].

Ο R.E. Kalman γεννήθηκε στη Βουδαπέστη στις 19 Μαΐου το 1939 και μετακόμισε στην Αμερική στην ηλικία των δεκατριών χρόνων. Έλαβε το πτυχίο και το μεταπτυχιακό του από το Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (MIT) το 1953 και 1954 και το διδακτορικό του δίπλωμα από το Πανεπιστήμιο της Κολούμπια το 1957. Οι επόμενες θέσεις που κατείχε ήταν αυτές του ερευνητή στο RIAS (Research Center for Advanced Study) στη Βαλτιμόρη (1958-1964), του καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ (1964-1971), του ερευνητή καθηγητή στο Center for Mathematical System Theory στο Πανεπιστήμιο της Φλόριντα (1971-1992) και ταυτόχρονα του προέδρου της Mathematical System Theory στο Swiss Federal Institute of Technology στη Ζυρίχη (1973-1997).

Από τις πιο σημαντικές συνεισφορές του Kal-man υπήρξε η ανάπτυξη του φίλτρου Kalman[11-13]. Το φίλτρο Kalman είναι ένας αλγόριθμος που εφαρμόζεται σε συστήματα που διέπονται από εξωτερικές διαταραχές (θορύβους), με σκοπό τον «καθαρισμό» των μετρήσεων που γίνονται και την απόκτηση μιας νέας εκτίμησης της κατάστασης του συστήματος, απογυμνωμένη από διαταραχές. Το φίλτρο αρχικά αναπτύχθηκε σε διακριτό χρόνο και η επέκταση του στον συνεχή έγινε αργότερα σε συνεργασία με τον R. Bucy[12]. Η ανάπτυξη αυτής της τεχνικής για την εκτίμηση των καταστάσεων ενός συστήματος που υπόκειται σε διαταραχές μπορεί να θεωρηθεί χωρίς υπερβολή μια από τις σημαντικότερες θεωρητικές και τεχνολογικές ανακαλύψεις του προηγούμενου αιώνα. Αυτό γίνεται κατανοητό αν αναλογιστεί κανείς πως στις περισσότερες μηχανικές και τεχνολογικές εφαρμογές οι μετρήσεις είναι θορυβώδεις και υπάρχει συνεχώς η ανάγκη για την απόκτηση καλύτερων εκτιμήσεων, ώστε να εξασφαλίζεται η ορθή λειτουργία τους. Το φίλτρο Kalman επομένως βρίσκει εφαρμογές στην οικονομετρία, στη σεισμολογία, στην μετεωρολογία, στη μηχανική όραση (computer vision), στον έλεγχο στατικής επάρκειας (structural health monitor-ing), στον έλεγχο κινητήρων, σε όργανα GPS, σε προγράμματα αυτόματης πλοήγησης, στην πλοήγηση δορυφόρων, σε ραντάρ, σε ατομικά ρολόγια (atomic clocks) και σε αναρίθμητες ακόμη εφαρμογές[2,4-6,15]. Ξεχωριστή σημασία ανάμεσα στο πλήθος των παραπάνω εφαρμογών, έχει η ιστορική πρώτη αποστολή ανθρώπων στο φεγγάρι το 1969 με το Apollo 11, στην επιτυχία της οποίας το φίλτρο Kalman έπαιξε καίριο ρόλο, συμβάλλοντας στον ακριβή υπολογισμό των τροχιών του επανδρωμένου αεροσκάφους. Η αρχή της συνεργασίας αυτής ξεκίνησε όταν S. F. Schmidt, ο οποίος ήταν διευθυντής στο Τμήμα Δυναμικής Ανάλυσης της NASA στο Ames Research Center στην Καλιφόρνια προσκάλεσε τον Kalman να τους παρουσιάσει τις ιδέες του, και πίστεψε πως η μεθοδολογία του Kal-man θα μπορούσε να εφαρμοστεί στη βελτίωση του προγράμματος πλοήγησης του υπό κατασκευή διαστημικού σκάφους.

ΔΙΔΑΚΤΟρεσ

οι

φ ουνγρα

γράφει ο Λάζαρος Μωυσής Μαθηματικός, Ph.D

Εικόνα 1: Λογότυπο του προγράμματος Apollo

13 17 19 23 29 31

10 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 64 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

Rudolf E. Kalman Ο θεμελιωτής της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου


Πέρα από το ομώνυμο φίλτρο, ο R. Kalman συνέβαλε με την έρευνα του σε πάρα πολλά πεδία των μαθηματικών, παρουσιάζοντας συνεχώς νέες ιδέες, αλλά και θέτοντας νέα ερωτήματα των οποίων η απάντηση οδηγούσε σε νέες καινοτομίες[3,7,8,10]. Η ανάπτυξη της θεωρίας των συστημάτων του χώρου των καταστάσεων (state space systems) και των εννοιών της ελεγξιμότητας (controllability) και παρατηρησιμότητας (observability)[14] άλλαξε ριζικά τη μελέτη των δυναμικών συστημάτων και έθεσε τις βάσεις για τη μελέτη νέων μεθόδων σύνθεσης ελεγκτών (LQR), την απόρριψη διαταραχών (dis-turbance rejection) και τη δημιουργία παρατηρητών κατάστασης (state observers). Σημαντική ήταν επίσης η συμβολή του στο πρόβλημα της πραγμάτωσης

(realization) και της αναγνώρισης συστημάτων (sys-tem identification), που μελετάει την κατασκευή της κατάστασης ενός συστήματος χρησιμοποιώντας μετρήσεις της εισόδου και της εξόδου[3,9,15]. Για τη συνολική του συμβολή στην επιστήμη, ο R. Kalman τιμήθηκε κατά τη διάρκεια της ζωής του με τα IEEE Medal of Honor (1974), το IEEE Centennial Medal (1984), το Rufus Oldenburger Medal (1976), το Kyoto Prize in Advanced Technology (1985), το Steele Prize της American Mathematical Society (1987), το Richard Bellman Control Heritage Award (1997), το Charles Stark Draper Prize for Engineer-ing (2008) και το National Medal of Science (2008) των Η.Π.Α.

Αναφορές:[1] Antoulas, A., Georgiou, T. T., Khargonekar, P. P., Ozguler, A. B., Sontag, E. D., & Yamamoto, Y. (2017). A Tribute to Rudolf Kalman: His Research, Life, and Influence [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 37(2), 153-153.[2] Antoulas, A., Georgiou, T. T., Khargonekar, P. P., Ozguler, A. B., Sontag, E. D., & Yamamoto, Y. (2017). Prof. Rudolf Emil Kalman [Obitu ary]. IEEE Control Systems, 37(1), 151-152.[3] Antoulas, A. (Ed.). (1991). Mathematical system theory: the influence of RE Kalman. Springer Science & Business Media.[4] Galleani, L., & Tavella, P. (2010). Time and the Kalman filter. IEEE Control Systems, 30(2), 44-65.[5] Gelb, A. (1974). Applied optimal estimation. MIT press.[6] Grewal, M. S., & Andrews, A. P. (2010). Applications of Kalman filtering in aerospace 1960 to the present [historical perspectives]. IEEE Control Systems, 30(3), 69-78.[7] Isidori, A. (2017). Kalman: The Scientist Who Defined Our Field [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 37(2), 166-168.[8] Kalman, R. (2010). Old and new directions of research in system theory. In Perspectives in Mathematical System Theory, Control, and Signal Processing (pp. 3-13). Springer Berlin Heidelberg.[9] Kalman, R. E. (1982). Identification from real data. In Current developments in the interface: Economics, Econometrics, Mathematics (pp. 161-196). Springer Netherlands.[10] Kalman, R. (2003). Discovery and invention: The newtonian revolution in systems technology. Journal of guidance, control, and dynamics, 26(6), 833-837.[11] Kalman, R. E. (1963). Mathematical description of linear dynamical systems. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathemat ics, Series A: Control, 1(2), 152-192.[12] Kalman, R. E., & Bucy, R. S. (1961). New results in linear filtering and prediction theory. Journal of basic engineering, 83(3), 95-108.[13] Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of basic Engineering, 82(1), 35-45.[14] Kalman, R. (1959). On the general theory of control systems. IRE Transactions on Automatic Control, 4(3), 110-110.[15] Pincus, S., & Kalman, R. E. (2004). Irregularity, volatility, risk, and financial market time series. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 101(38), 13709-13714.[16] Sontag, E. (2010). Rudolf E. Kalman and His Students [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 30(2), 87-88.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821

Εικόνα 2: Απονομή του National Medal of Science. Source: Ryan K. Morris/National Science & Technology Medals Foundation.

Ο R. Kalman έφυγε από τη ζωή στις 2 Ιουλίου 2016, σε ηλικία 86 χρονών.

Εικόνα 3: National Medal of Science

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝπροπτυχιακοι

οι

φγρα ουν

γράφει ο Βύρων Μπουλούμης προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού


Ας δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα.

Παράδειγμα:Δύο πλοία, ένα εμπορικό και ένα πολεμικό, κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και πλησιάζουν το ένα το άλλο όπως φαίνεται στο σχήμα. Μεταξύ τους υπάρχει ένα νησί.

Τα δύο πλοία μπορούν να επιλέξουν αν θα περάσουν βόρεια (Β) ή νότια (Ν) του νησιού. Η στρατηγική μορφή του παιγνίου είναι:

Το πολεμικό επιθυμεί να κάνει την ίδια ακριβώς διαδρομή με το εμπορικό, ενώ το εμπορικό θέλει να αποφύγει το πολεμικό.

Μικτές Στρατηγικές

Αν το πολεμικό μπορούσε να προβλέψει με ακρίβεια την επιλογή (στρατηγική) του εμπορικού θα προσάρμοζε ανάλογα τη δική του στρατηγική ώστε να κερδίσει το παίγνιο. Για παράδειγμα, αν το πολεμικό γνώριζε ότι το εμπορικό κάνει πάντοτε την επιλογή Β θα έκανε και αυτό την επιλογή Β. Είναι λοιπόν προς το συμφέρον του εμπορικού πλοίου να κάνει τη συμπεριφορά του απρόβλεπτη επιλέγοντας κάποιες φορές τη διαδρομή Β και άλλες τη διαδρομή Ν. Η αβεβαιότητα που θα αντιμετωπίσει σε μια τέτοια περίπτωση το πολεμικό πλοίο μοντελοποιείται μαθηματικά ως μικτή στρατηγική από την πλευρά του εμπορικού πλοίου.

Έστω ότι ο χώρος των διαθέσιμων αμιγών στρα-τηγικών του παίκτη i είναι:

Η μικτή στρατηγική του i είναι μια κατανομή πιθανότητας

πάνω στις αμιγείς στρατηγικές του, με

Στο παραπάνω παίγνιο το εμπορικό δεν επιλέγει την αμιγή στρατηγική Β ή την αμιγή στρατηγική Ν αλλά την πιθανότητα με την οποία θα ακολουθήσει το δρομολόγιο Β. Η μεικτή στρατηγική γράφεται ως Β,Ν;p (εννοείται ότι το Ν επιλέγεται με πιθανότητα 1-p). Γενικότερα, ο παίκτης επιλέγει μια κατανομή πιθανότητας πάνω στις αμιγείς στρατηγικές του. Μέχρι στιγμής δεν ασχοληθήκαμε καθόλου με τις συναρτήσεις απόδοσης. Θεωρούμε για λόγους ευκολίας, ότι στο παίγνιο λαμβάνουν μέρος δύο παίκτες με χώρους αμιγών στρατηγικών:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 4 10 5 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

Οι στρατηγικές με τις οποίες έχουμε ασχοληθεί μέχρι τώρα χρησιμοποιούνται από τους παίκτες με βεβαιότητα 100%. Τέτοιες στρατηγικές ονομάζονται αμιγείς στρατηγικές. Ωστόσο υπάρχουν παίγνια στα οποία τα συμφέροντα των παικτών είναι διαμετρικά αντίθετα και κάθε παίκτης είναι δυνατό να αποκομίσει όφελος αν καταφέρει να προκαλέσει σύγχυση στον αντίπαλο σχετικά με τις επιλογές του.

Β

Ν

ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΠΟΛΕΜΙΚΟ

Πολεµικό Β Ν

Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f

f ssuppssupppp ∑∑∑∑= ===

==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−

Ορισμός: Η μικτή στρατηγική για έναν παίκτη σε ένα στρατηγικό παίγνιο είναι μια κατανομή πιθανοτήτων ως προς τις ενέργειες του παίκτη.


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 1 51 15 99 21 7 2 11 31 7 37 21 4 63 4 52 58 31 64 83 69 7 69 773 the prime magazine_103

και

Αν η μικτή στρατηγική του παίκτη 2 είναι η:

ο παίκτης 1 χρησιμοποιώντας την αμιγή στρατηγική s1

f ενάντια στη μικτή του 2 έχει υπoσυνθήκη προσδο-κώμενη απόδοση:

Όμως ο 1 στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί τη μικτή στρατηγική:

αντί για την αμιγή s1f.

Συνεπώς, η προσδοκώμενη απόδοση του 1 είναι:

ενώ η προσδοκώμενη απόδοση του 2 είναι:

Υπάρχουν παίγνια τα οποία δεν έχουν ισορροπία Nash σε αμιγείς στρατηγικές. Αποδεικνύεται όμως ότι για κάθε πεπερασμένο παίγνιο (δηλαδή παίγνιο με πεπερασμένο αριθμό παικτών όπου κάθε παίκτης έχει πεπερασμένο αριθμό αμιγών στρατηγικών) υπάρχει μία τουλάχιστον ισορροπία Nash πιθανά σε μικτές στρατηγικές (θεώρημα ύπαρξης ισορροπιών Nash).

Η ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές είναι η κατατομή:

για την οποία ισχύει:

Όπως και αυτή σε αμιγείς, η ισορροπία Nash σε μικτές αποτελεί την αμοιβαία άριστη αντίδραση, με την έννοια ότι κάθε παίκτης υιοθετεί μια άριστη μικτή στρατηγική, με δεδομένες τις μικτές στρατηγικές των υπολοίπων.


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−


Εµπορικό Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1

,...,,..., 1 Ki

kiii sssS =

,...,,..., 1 Ki

kiii pppp =

10 ≤≤ kip

Kk ,,2,1 !=∀ και .11

=∑=

K

k

kip

,...,,..., 11

111

Ff sssS =

.,...,,..., 22122

Kk sssS =

,...,,..., 22122

Kk pppp =

).,()( 211

12kf

K

k

k ssup∑=

,...,,..., 21111

Ff pppp = fs1

),())(()),(()(),( 21121 1

1211

121

1211kfk

F

f

K

k

fkfK

k

kF

f


==π

),()()(),( 21221 1

1212kfk

F

f

K

k

f ssupppp ∑∑= =

=π

),.......,,,.....,( **

1**

1*1 Niii ppppp +−

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **1

*1

*1

**1

**1

*1 NiiiiNiiii pppppppppp +−+− ≥ππ ii Pp ∈∀ , .i∀

Β

(q) (1-q) Αριστερά (L) Δεξιά (R)

A (p) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.8, 0.2 (1-p) Δεξιά (R) 0.7, 0.3 0.3, 0.7

Β Αριστερά (L) Δεξιά (R) Α Αριστερά (L) (p)(q) (p)(1-q)

Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

Η ισορροπία Nash σε μικτές είναι και η λύση του παιγνίου. Η αμοιβαία άριστη αντίδραση υποδεικνύει μια μέθοδο λύσης η οποία βασίζεται στις αντιστοιχίες άριστης αντίδρασης τα σημεία τομής των οποίων δίνουν όλες (τόσο σε αμιγείς όσο και σε μικτές στρατηγικές) τις ισορροπίες Nash.

Παράδειγμα: Ο παίκτης Α της ομάδας Χ ετοιμάζεται να εκτε-λέσει ένα πέναλτι σε βάρος της ομάδας Υ με τερματοφύλακα τον Β. Είναι γνωστό ότι αν ο Α σκοπεύσει στην αριστερή γωνία του τέρματος και ο Β προετοιμάσει τον εαυτό του να πέσει στην αριστερή γωνία, ο Α θα σκοράρει με πιθανότητα 0.2, ενώ αν (για την ίδια επιλογή του Α) ο Β προετοιμάσει τον εαυτό του να πέσει στη δεξιά γωνία ο Α θα σκοράρει με πιθανότητα 0.8. Αν ο Α σκοπεύσει στη δεξιά γωνία και ο Β προετοιμάσει τον εαυτό του να πέσει στην αριστερή (δεξιά) γωνία, ο Α θα σκοράρει με πιθανότητα 0.7 (0.3). Η στρατηγική μορφή του παιγνίου είναι:

Κανένας από τους παίκτες δεν έχει αυστηρά κυριαρχούμενη στρατηγική και δεν υπάρχει ισορ-ροπία Nash σε αμιγείς στρατηγικές.

Έστω ότι είναι η μικτή στρατηγική του Α και είναι η μικτή στρατηγική του Β. Η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας τότε είναι:

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL


και από αυτή, η προσδοκώμενη απόδοση για τον Α (δηλαδή, η πιθανότητα επιτυχίας τέρματος) υπολογίζεται ως:

ενώ η προσδοκώμενη απόδοση για τον Β (πιθανότητα απόκρουσης) υπολογίζεται ως:

Στο σχήμα παρουσιάζονται οι αντιστοιχίες άριστης αντίδρασης. Από αυτές προκύπτει ότι η ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές είναι:

Η υποσυνθήκη προσδοκώμενη απόδοση του Α όταν χρησιμοποιεί την L είναι (0.2)(q)+(0.8)(1-q) και όταν χρησιμοποιεί την R είναι (0.7)(q)+(0.3)(1-q).

Από την εξίσωση των δύο προκύπτει q = 0.5. Η υποσυνθήκη προσδοκώμενη απόδοση του Β όταν χρησιμοποιεί την L είναι (0.8)(p)+(0.3)(1-p) και όταν χρησιμοποιεί την R είναι (0.2)(p)+(0.7)(1-p). Από την εξίσωση των δύο προκύπτει p = 0.4, επιβεβαιώνοντας το αποτέλεσμα από την λύση με τις αντιστοιχίες άριστης αντίδρασης.

2 3 5 7 11 4 10 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51

787 797 21

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

),.......,,,.....,(),.......,,,.....,( **

1*1

*1

**1

**1


Β




Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q)

3.0))(4.0()5.0)(()1)(1)(3.0())(1)(7.0()1)()(8.0())((20.0(),(

++−

=−−+−+−+=

qqpqpqpqpqpqpAπ

7.0)(5.0)4.0)(()1)(1)(7.0())(1)(3.0()1)()(2.0())()(8.0(),(

+−−

=−−+−+−+=

ppqqpqpqpqpqpBπ

).5.0;,(),4.0;,( RLRL

Βιβλιογραφία:1] Martin J. Osborne (2010), Εισαγωγή στη θεωρία παιγνίων, Εκδόσεις: Κλειδάριθμος.2] Σημείωσεις του καθηγητή Φουσέκη Π. για το μάθημα Θεωρία Παιγνίων του Οικονομικού Τμήματος του ΑΠΘ.

13 17 19 23 29 31 37

10 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821the prime magazine_109

νώ στην Αμερική άνθιζε ο συμπεριφορισμός, στην Ευρώπη νέα ρεύματα ψυχολογίας άρχιζαν να εμφανίζονται. Η μορφολογική ψυχολογία, η ψυχανάλυση του Freud και η γνωστικό-εξελεγκτική ψυχολογία ενέπνευσαν νέες θεωρίες μάθησης. Ανάμεσα στο ερέθισμα και στην αντίδραση, παρεμβάλλονται πλέον λειτουργίες του ανθρώπινου νου, όπως η μνήμη, η κριτική και δημιουργική σκέψη, η αντίληψη, η κατανόηση, η γλώσσα, η επίλυση προβλημάτων και η λήψη αποφάσεων. Εμφανίζονται λοιπόν ο γνωστικισμός και ο εποικοδομισμός, κλασσικός και κοινωνικός, θεωρίες που στηρίζονται στο φιλοσοφικό πλαίσιο του John Dewey, ο οποίος υποστήριζε τη διδασκαλία με επίκεντρο το μαθητή.

Οι κυριότεροι αντιπρόσωποι αυτών των θεωριών μάθησης είναι ο Jean Piaget, ο Jerome Bruner, ο Al-bert Bandura και ο Lev Vygotsky.

Λογικομαθηματική μάθησηΣύμφωνα με τον Piaget, η μάθηση είναι μία εσωτερική ανάγκη και όχι αποτέλεσμα εξωτερικών ερεθισμάτων. Ο άνθρωπος μαθαίνει στην προσπάθειά του να προσαρμοστεί στο περιβάλλον. Η νοημοσύνη του είναι οργανωμένη σε δομές, οι οποίες είναι μοντέλα δράσεων που ο άνθρωπος χρησιμοποιεί σε παρόμοιες καταστάσεις. Όταν τα μοντέλα αυτά δεν επαρκούν, τότε ο άνθρωπος έρχεται σε μία κατάσταση ανισορροπίας και χρησιμοποιεί δύο διαδικασίες, την αφομοίωση και τη συμμόρφωση για να αναπτύξει τη νοημοσύνη του και να πετύχει μία νέα ισορροπία. Ο Piaget ασχολήθηκε με την εξελεγκτική διαδικασία

που ακολουθεί η γνώση και εισήγαγε τέσσερα στάδια ανάπτυξης του παιδιού. • Αισθησιοκινητική περίοδος • Περίοδος προλογικής σκέψης • Περίοδος συγκεκριμένων λογικών πράξεων • Περίοδος τυπικών λογικών πράξεων

Ανακαλυπτική μάθησηΟ Brunner υποστήριξε ότι η μάθηση είναι δημιουργία κατηγοριών, ομαδοποίησης και ταξινόμησης, που βοηθούν τον άνθρωπο να μειώσει την πολυπλοκότητα του περιβάλλοντος. Με την κατηγοριοποίηση, το άτομο μαθαίνει τα στοιχεία που συγκροτούν μία έννοια σε δύο φάσεις. Πρώτα ταξινομεί τη νέα γνώση πιο γενικά και έπειτα μελετά αναλυτικά τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητές της. Ο Brunner πρότεινε την ανακαλυπτική μάθηση η οποία γίνεται με βάση τρεις διαδικασίες: • Ανακάλυψη των γνώσεων και των εννοιών • Μετασχηματισμός των γνώσεων • Αξιολόγηση, εκτίμηση και έλεγχος των γνώσεων.Η ανακαλυπτική μάθηση επηρεάζεται από τα κίνητρα, την ετοιμότητα και το γνωστικό επίπεδο του μαθητή, καθώς και από τη δομή της γνώσης. Ο μαθητής για να κατανοήσει τις πληροφορίες χρησιμοποιεί: την πραξιακή, την εικονική και τη συμβολική αναπαράσταση και για να μάθει χρησιμοποιεί τη διαισθητική και την αναλυτική σκέψη. Ο Brunner πρότεινε την σπειροειδή διάταξη της ύλης, όπου κάθε

Οι σημαντικότερες θεωρίες μάθησης

γράφει η Κατερίνα Χατζηγεωργίου Μαθηματικός M.Sc.


οι

φ ουνγρα (Μέρος Β)

Ε

Εικόνα 1: John Dewey

Εικόνα 2: Jean Piaget

7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51

15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

θέμα παρουσιάζεται μία φορά, και ανά τακτά χρονικά διαστήματα παρουσιάζεται και πάλι σε πιο προχωρημένο επίπεδο κάθε φορά.

Κοινωνική μάθηση Ο Αμερικανός ψυχολόγος Albert Bandura είναι ο εισηγητής της κοινωνικής μάθησης και επηρέασε τη μετάβαση από το συμπεριφορισμό στη γνωστική ψυχολογία. Η κύρια θέση του είναι ότι ο άνθρωπος μαθαίνει μέσω της παρατήρησης των άλλων, παρακολουθώντας τη συμπεριφορά τους. Η παρατήρηση όμως, έχει μόνο πληροφοριακό χαρακτήρα, αφού ο ίδιος ο άνθρωπος, έπειτα από μία σειρά γνωστικών λειτουργιών, θα επιλέξει αν θα εκδηλώσει ή όχι τη παρατηρούμενη συμπεριφορά. Η κοινωνικογνωστική θεωρία του Bandura διαμορφώνεται με βάση τις ακόλουθες διαδικασίες:

Κοινωνικοπολιτισμική μάθησηΕισηγητής των κοινωνικοπολιτισμικών θεωριών είναι ο Lev Vygotsky. Υποστήριξε ότι η μάθηση είναι μία διαδικασία κοινωνικής αλληλεπίδρασης, όπου βασικό ρόλο παίζει η γλώσσα, η οποία αναπτύσσεται σε τρία στάδια, κοινωνική, εγωκεντρική και εσωτερική γλώσσα. Για να μεταβεί η γλώσσα από την κοινωνική στην εσωτερική, είναι σημαντικός ο προσωπικός μονόλογος. Η κοινωνία και ο πολιτισμός παίζουν τον πρωτεύοντα ρόλο στη διαδικασία της μάθησης, αφού διαμορφώνουν τις δεξιότητες και τις γνώσεις που χρειάζεται να αναπτύξει ο μαθητής, ο οποίος με τις πράξεις του, διαμορφώνει τη γνωστική του πραγματικότητα, μετατρέποντας τις κοινωνικές του σχέσεις σε νοητικές λειτουργίες. Σημαντική θέση στη θεωρία του Vygotsky κατέχει η «Ζώνη Επικείμενης Ανάπτυξης», οι δυνατότητες δηλαδή που έχει ο κάθε μαθητής και που μπορεί να τις αξιοποιήσει με τη βοήθεια των συνομηλίκων του ή του δασκάλου, ο οποίος μέσα στο «πλαίσιο στήριξης» τον βοηθάει να δώσει νόημα αλλά και να εσωτερικεύσει όλα όσα του χρειάζονται για να αναπτυχθεί.Πώς επηρέασαν οι γνωστικές και οι κοινωνι-κοπολιτισμικές θεωρίες την εκπαίδευση;


•

•

•

Προσοχή, η οποία εξαρτάται από τη σαφήνεια, τη χρησιμότητα και τη συναισθηματική αξία της παρεχόμενης γνώσης.Διατήρηση της μάθησης με επανάληψη και οργάνωση των γνώσεων.Παραγωγή, η οποία απαιτεί τις απαραίτητες δεξιότητες καθώς και ανατροφοδότηση σε περίπτωση μη αναμενόμενου αποτελέσματος.

Εικόνα 3: Lev Vygotsky

Ο μαθητής αποκτά ενεργητικό ρόλο αφού οικοδομεί τις γνώσεις του.Αναδείχθηκε η σημασία των σχέσεων που αναπτύσσονται μεταξύ του δασκάλου και του μαθητή αλλά και των μαθητών μεταξύ τους, προάγοντας τη συνεργατική μάθηση.Στόχος του δασκάλου είναι ο μαθητής να αναπτύξει ικανότητες αυτοαξιολόγησης αλλά και να μάθει πώς μαθαίνει. Προτείνεται η σταδιακή μείωση της βοήθειας από το δάσκαλο, ώστε ο μαθητής να γίνεται σιγά σιγά όλο και πιο αυτάρκης. Ο δάσκαλος λειτουργεί ως πρότυπο, αφού οι μαθητές μαθαίνουν μιμούμενοι τη συμπεριφορά του. Δόθηκε έμφαση στη διαδικασία της σκέψης και στις γνωστικές λειτουργίες.

•

•

•

•

•

•

[1] Μόνικα. Α Παπά, Ο Albert Bandura: Η κοινωνικογνωστική μάθηση μέσω προτύπων: παιδαγωγική και ψυχολογική διάσταση, θεωρία και πράξη, Περιοδική ηλεκτρονική έκδοση του Ελληνικού ινστιτούτου εφαρμοσμένης παιδαγωγικής και εκπαίδευσης, τεύχος 6. [2] Ε. Καραδήμας, Πανεπιστημιακές σημειώσεις του μαθήματος «Συμπεριφοριστικές και γνωστικές θεωρίες προσωπικότητας», Εθνικό και Καποδιστριακό πανεπιστήμιο Αθηνών.[3] Ελληνιάδου, Κλεφτάκη, Μπαλκίζας, Η συμβολή των παιδαγωγικών προσεγγίσεων για την κατανόηση του φαινομένου της μάθησης, Πανεπιστημιακό κέντρο επιμόρφωσης Αθήνας.[4] Βασίλης Κουλαϊδής, Σύγχρονες Διδακτικές Προσεγγίσεις για την Ανάπτυξη Κριτικής - Δημιουργικής Σκέψης για τη δευτερο- βάθμια εκπαίδευση.

• Κίνητρα, τα οποία διακρίνονται σε εξωγενή (κοινωνική αναγνώριση, υλικές απολαβές, βαθμοί) και ενδογενή (συνέπειες, αυτοενίσχυση, προσωπικοί στόχοι).

Βιβλιογραφία:

13 17 19 23 29

10 51 15 9921 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821the prime magazine_127

Τα μαθηματικά είναι μία επιστήμη, η οποία έχει βοηθήσει σημαντικά πολλούς κλάδους των θετικών και τεχνολογικών επιστημών, ανάμεσά τους η βιολογία, η φυσική, η ιατρική και η χημεία. Αυτό επιτυγχάνεται με ποικίλους τρόπους και ένας από αυτούς είναι μέσω της μαθηματικής προτυποποίησης μοντέλων που περιγράφουν και επιλύουν προβλήμα-τα αυτών των κλάδων. Τα στάδια που ακολουθούνται για την επίτευξη αυτής της προτυποποίησης είναι τα εξής: 1] μελέτη των συνθηκών του προβλήματος, 2] συγκέντρωση όλων των πληροφοριών, 3] καθορισμός των άγνωστων παραμέτρων, 4] μετατροπή του προβλήματος σε μαθηματικό πρό- βλημα, και έπειτα 5] έλεγχος καλής τοποθέτησης του προβλήματος και 6] εύρεση μαθηματικής τεχνικής για την επίλυση.

Μια από τις πιο γνωστές ασθένειες του αιώνα μας που τα μεγαλύτερα επιστημονικά κέντρα του πλανήτη μας προσπαθούν να βρουν την θεραπεία είναι ο καρκίνος. Πρόκειται για μία γενετική ασθένεια που προκύπτει από μεταλλάξεις σε συγκεκριμένα γονίδια για αυτό και θεωρείται νόσος των κυττάρων. Τις τελευταίες δεκαετίες μεγάλος αριθμός επιστημών έχει συγκεντρωθεί γύρω από την έρευνα του καρκίνου. Τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να λείπουν από αυτή την προσπάθεια κατανόησης και γιατί όχι και θεραπείας αυτής της νόσου. Δεν είναι λίγοι οι ερευνητές που έχουν ήδη προχωρήσει στην μαθηματική προτυποποίηση του καρκίνου. Σε αυτό το άρθρο θα περιγράψουμε το μοντέλο που μελετούν οι Donatelli D και Trivisa K. στο paper με τίτλο “On an Nonlinear model for tumor growth with drug ap-plication”.Στην εικόνα 1 βλέπουμε τον υγιή ιστό καθώς και τη περιοχή του όγκου (Ω(t)) και στην εικόνα 2 απεικονίζεται αναλυτικά η δομή του καρκινικού όγκου, που όπως βλέπουμε αποτελείται από το φλοιό

των πολλαπλασιαστικών κυττάρων, το φλοιό των αδρανών κυττάρων και τον πυρήνα των νεκρών κυττάρων.

Στο σημείο αυτό να τονίσουμε ότι όλα τα κύτταρα ακολουθούν την γενική εξίσωση συνέχειας. Επομένως ο νόμος διατήρησης της μάζας για τις πυκνότητες των πολλαπλασιαστικών P, αδρανών Q και νεκρών κυττάρων D, παίρνει την παρακάτω μορφή στο χωρίο του όγκου:

Μαθηματική Προτυποποίηση του καρκίνουγράφει η Αγγελική Παναγιωτίδου Μαθηματικός, graduate student


οι

φ ουνγρα

Εικόνα 1: Yγιής ιστός και περιοχή του όγκου Ω(t)

Εικόνα 2: Δομή του καρκινικού όγκου

1

∂P

∂t+ div(Pv) = GP (1)

∂Q

∂t+ div(Qv) = GQ (2)

∂D

∂t+ div(Dv) = GD (3)

GP = [KBC −KQ(C − C)−KA(C − C)]P +KPCQ− i1G1(W )P (4)

GQ = KQ(C − C)P − [KPC +KD(C − C)]Q− i2G2(W )Q (5)

GD = KA(C − C)P +KD(C − C)Q−KRD + i1G1(W )P + i2G2(W )Q (6)

∂C

∂t= v1∆C − [K1KPCP +K2KQ(C − C)Q]C (7)

∂W

∂t= v2∆W − [µ1G1(W )P + µ2G2(W )Q]W (8)

(v −V) · n|Γτ= 0, ∀ τ ≥ 0 (9)

[S · n]tan|Γτ= 0 (10)

C(x, t)|Γτ= 0,W (x, t)|Γτ

= 0 (11)

P (0, ·) = P0, Q(0, ·) = Q0, D(0, ·) = D0

C(0, ·) = C0 ≤ C, W (0, ·) = W0 στο Ω0

(12)

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 0110 5115 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

όπου

όπου ο πρώτος όρος είναι η αύξηση του αριθμού των κυττάρων λόγω νέων γεννήσεων με τη διαθέσιμη τροφή, ο δεύτερος όρος η απώλεια που οφείλεται στην αλλαγή φάσης από πολλαπλασιαστική σε ηρεμίας λόγου έλλειψης τροφής, ο τρίτος όρος η απώλεια λόγω απόπτωσης, εφ όσων τα κύτταρα ολοκλήρωσαν τον κύκλο ζωής τους, ο τέταρτος όρος η αύξηση των πολλαπλασιαστικών κυττάρων που παράγονται από αδρανή κύτταρα, τα οποία βρέθηκαν σε περιβάλλον πλούσιο σε τροφή ώστε να είναι ικανά προς πολλαπλασιασμό και ο τελευταίος όρος είναι ο ρυθμός που τα πολλαπλασιαστικά κύτταρα ή αλλοιώνονται ή μετατρέπονται σε νεκρά λόγω της επίδρασης του φαρμάκου.

Ομοίως:

Η γραμμική εξίσωση για την εξέλιξη των θρεπτικών ουσιών δίνεται από την σχέση:

όπου u1 είναι η ταχύτητα των μορίων του οξυγόνου (η θρεπτική μας ουσία).

Η γραμμική εξίσωση για την εξέλιξη του φαρμάκου δίνεται από την σχέση:

όπου u2 είναι η ταχύτητα των μορίων του φαρμάκου.

Το μαθηματικό μοντέλο των Donatelli και Trivisa συμπληρώνεται από τις ακόλουθες συνοριακές και αρχικές συνθήκες:

όπου v είναι η ταχύτητα του κυττάρου, V η ταχύτητα του γεωμετρικού συνόρου της ογκικής περιοχής Ω(t), Γτ το σύνορο της ογκικής περιοχής την χρονική στιγμή τ και S ο τανυστής πίεσης.

Με την πάροδο του χρόνου οι μαθηματικές προτυποποιήσεις του καρκίνου ορίζουν όλο και καλύτερα τον καρκίνο. Φυσικά δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι ένα τόσο πολύπλοκο ιατρικό ζήτημα περιλαμβάνει πολλές παραμέτρους τις οποίες αν τις λάβουμε όλες υπόψιν μας θα προκύψει, όπως είναι αναμενόμενο, ένα πολύ σύνθετο μαθηματικό πρόβλήμα. Παρ’όλα αυτά η επιστήμη δεν θα πάψει ποτέ να προσπαθεί και να κάνει το αδύνατο δυνατό.


Αναφορές:[1] Donatelli D. & Trivisa K (2015). On an Nonlinear model for tumor growth with drug application. Nonlinearity, 28, 1463-1481.

1

∂P


∂Q


∂D





∂C


∂W

∂t= v2∆W − [µ1G1(W )P + µ2G2(W )Q]W (8)

(v −V) · n|Γτ= 0, ∀ τ ≥ 0 (9)

[S · n]tan|Γτ= 0 (10)


= 0 (11)

P (0, ·) = P0, Q(0, ·) = Q0, D(0, ·) = D0

C(0, ·) = C0 ≤ C, W (0, ·) = W0 στο Ω0

(12)

1

∂P


∂Q


∂D





∂C


∂W

∂t= v2∆W − [µ1G1(W )P + µ2G2(W )Q]W (8)

(v −V) · n|Γτ= 0, ∀ τ ≥ 0 (9)

[S · n]tan|Γτ= 0 (10)


= 0 (11)

P (0, ·) = P0, Q(0, ·) = Q0, D(0, ·) = D0

C(0, ·) = C0 ≤ C, W (0, ·) = W0 στο Ω0

(12)

1

∂P


∂Q


∂D





∂C


∂W

∂t= v2∆W − [µ1G1(W )P + µ2G2(W )Q]W (8)

(v −V) · n|Γτ= 0, ∀ τ ≥ 0 (9)

[S · n]tan|Γτ= 0 (10)


= 0 (11)

P (0, ·) = P0, Q(0, ·) = Q0, D(0, ·) = D0

C(0, ·) = C0 ≤ C, W (0, ·) = W0 στο Ω0

(12)

1

∂P


∂Q


∂D





∂C


∂W

∂t= v2∆W − [µ1G1(W )P + µ2G2(W )Q]W (8)

(v −V) · n|Γτ= 0, ∀ τ ≥ 0 (9)

[S · n]tan|Γτ= 0 (10)


= 0 (11)

P (0, ·) = P0, Q(0, ·) = Q0, D(0, ·) = D0

C(0, ·) = C0 ≤ C, W (0, ·) = W0 στο Ω0

(12)

1

∂P


∂Q


∂D





∂C


∂W

∂t= v2∆W − [µ1G1(W )P + µ2G2(W )Q]W (8)

(v −V) · n|Γτ= 0, ∀ τ ≥ 0 (9)

[S · n]tan|Γτ= 0 (10)


= 0 (11)

P (0, ·) = P0, Q(0, ·) = Q0, D(0, ·) = D0

C(0, ·) = C0 ≤ C, W (0, ·) = W0 στο Ω0

(12)

1

∂P


∂Q


∂D





∂C


∂W

∂t= v2∆W − [µ1G1(W )P + µ2G2(W )Q]W (8)

(v −V) · n|Γτ= 0, ∀ τ ≥ 0 (9)

[S · n]tan|Γτ= 0 (10)


= 0 (11)

P (0, ·) = P0, Q(0, ·) = Q0, D(0, ·) = D0

C(0, ·) = C0 ≤ C, W (0, ·) = W0 στο Ω0

(12)

4

51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 64 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821

[Παρα-Λoγισμός]2

γράφουν οι Θάνος Μπεσλίκας προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού Θανάσης Κουρούπης προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού


προπτυχιακοι

οι

γρα ουνφ

Το Πρόβλημα της Βασιλείας

Στη στήλη του Παραλογισμού για αυτό το τεύχος, ο Θανάσης και ο Θανάσης μελέτησαν ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα στην ιστορία των μαθηματικών, το Πρόβλημα της Βασιλείας. Το πρόβλημα αυτό ονομάστηκε έτσι από την Ελβετική πόλη της Βασιλείας. Επιλύθηκε πρώτα από τον L.Euler το 1734. Θα παρουσιάσουμε 2 διαφορετικούς τρόπους λύσεις του προβλήματος με τεχνικές Λογισμού ΙΙ και με τεχνικές Μιγαδικής Ανάλυσης.

To prÏblhma thc Basile–ac.

25 MaÚou 2017

Per–lhyhSth st†lh tou 'Paralogismo‘ ' gia autÏ to te‘qoc, o Janàshc kai o Janàshc melËthsan Ëna

apÏ ta shmantikÏtera probl†mata sthn istor–a twn majhmatik∏n, to PrÏblhma thc Basile–ac.To

prÏblhma autÏ onomàsthke Ëtsi apÏ thn Elbetik† pÏlh thc Basile–ac. Epil‘jhke pr∏ta apÏ

ton L.Euler to 1734. Ja parousiàsoume 2 diaforetiko‘c trÏpouc l‘seic tou probl†matoc me

teqnikËc Logismo‘ 2 kai me teqnikËc Migadik†c Anàlushc.

To prÏblhma: Bre–te to àjroisma thc seiràcP1

n=11n

2

L‘sh me teqnikËc Logismo‘ 2 Gia thn l‘sh ja qreiasto‘me kàpoiec basikËc sqËseic :

• arcsin(x) =P1

n=0(2n)!

22n(n!)2x

2n+1

2n+1

•R/2

0(sin(x))2n+1dx =

22n(n!)2

(2n+1)!

Parathro‘me Ïti: Z 1

0

x2n+1

p1− x2

dx =

Z/2

0

(sin(y))2n+1dy =

2

2n(n!)2

(2n+ 1)!

, (1)

qrhsimopoi∏ntac thn allag† metablht†c x = sin(y). AkÏmh Ëqoume Ïti:

Z 1

0

arcsin(x)p1− x2

dx =

1X

n=0

(2n)!

2

2n(n!)2

1

2n+ 1

Z 1

0

x2n+1

p1− x2

dx

me th parapànw sqËsh na prok‘ptei apÏ th dunamoseira thc arcsin(x) h opo–a sugkl–nei omoiÏmorfasto [−1, 1] , kai Ëtsi dikaiologe–tai h enallag† àjroishc-olokl†rwshc. T∏ra me qr†sh thc (1) sthnprohgo‘menh sqËsh, lambànoume:

1X

n=0

1

(2n+ 1)

2=

Z 1

0

arcsin(x)p1− x2

dx =

2

8

Q∏r–zontac àrtiouc kai peritto‘c Ëqoume Ïti

1X

n=1

1

n2=

1X

n=0

1

(2n+ 1)

2+

1

4

1X

n=1

1

n2

kai me aplËc pràxeic katal†goume sto apotËlesma pou e–nai

1X

n=1

1

n2=

2

6

1

[Παρα-Λoγισμός]2


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 64 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21

L‘sh me teqnikËc Migadik†c Anàlushc: Ja upolog–soume to olokl†rwma thc sunàrthshc

f(z) = cot(z)

z2

se Ëna kleistÏ tetràgwno me korufËc ta shme–a ±(N +

12 ) ± (N +

12 )i. ApÏ je∏rhma upolo–pwn

Ëqoume Ïti:Z

CN

cot(z)

z2dz = 2i

X

k

Res(f, zk

)

!

, me zk

ta an∏mala shme–a thc f sto eswterikÏ auto‘ tou tetrag∏nou. Oi pÏloi thc oloklhrwtËacsunàrthshc br–skontai se kàje jetikÏ akËraio, afo‘ cot(z) =

cos(z)sin(z) . ApÏ th jewr–a, Ëqoume Ïti

Res

cos(z)

sin(z) , n=

cos(z)cos(z) = 1. 'Ara Ëqoume:

Z

CN

cot(z)

z2dz = 2i

NX

n=N

1

(zk

)

2+Res(f(z), 0)

!, (1)

OpÏte, an de–xoume Ïti to olokl†rwma ep– thc kamp‘lhc t†nei sto mhdËn Ïso to N ! 1 ja ËqoumeÏti:

+1X

n=1

1

n2= −Res(f(z), 0)

Gia na to kànoume autÏ mporo‘me na skefto‘me wc ex†c: Ja de–xoume Ïti h f(z) =

cot(z)z

2 e–naifragmËnh sto tetràgwno mac kai ja qrhsimopoi†soume to l†mma ekt–mhshc. Isq‘ei Ïti | cot(z)| < 2

gia Re(z) = N + 1/2 kai | cot(z)| < 1 gia Im(z) = N + 1/2, (af†nontai wc àskhsh ston ana-gn∏sth.)Sunep∏c apÏ to l†mma ekt–mhshc Ëqoume Ïti: An L to m†koc thc kamp‘lhc olokl†rwshc,tÏte L = 8N + 4. 'Ara

Z

CN

f(z) = cot(z)

z2dz

(8N + 2)2 max

z2CN

1

z2

= C max

z2CN

1

z

! 0

Ïso to N ! 1. 'Ara apÏ thn (1) Ëqoume Ïti1X

n=1

1

n2= −Res(f(z), 0)

ApÏ to anàptugma Laurent thc f(z) = cot(z)z

2 =

1z

3 −

2

3z − ...Ëqoume Ïti Res(f(z), 0) = −

2

3 ,

epomËnwc,1X

n=1

1

n2=

2

3

kai epeid†1X

n=1

1

n2= 2

1X

n=0

1

n2,

Ëqoume to apotËlesma.

'Opoioc e–nai arketa tolmhrÏc ac prospaj†sei na upolog–sei to àjroisma thc seiràcP1

n=11n

3 . Kaian brei th l‘sh tou na thn d∏sei se emàc pr∏ta gia na th dhmosie‘soume sto periodikÏ mac (kai naplout–soume fusikà , diÏti apotele– akÏma anoiqtÏ prÏblhma!)

2

2 3 5 7 13 17 19 23 29 31 37 414

1521 26 311 31 67 37 21 4 634 2152 7 58 316 8369 517 69 773 787 797 809 811 821the prime magazine_149

γράφει ο Χρόντσιος - Γαρίτσης Ευστάθιος - Κωνσταντίνος προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Εφαρμογές της Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική:

Αρχικά, είναι σημαντικό να δώσουμε κάποιους βασικούς ορισμούς:

Ορισμός 1. Έστω ένας κόμβος Κ. Το πλήθος των διασταυρώσεων του διαγράμματος του Κ, στο οποίο υπάρχουν οι ελάχιστες δυνατές διασταυρώσεις, ονομάζεται αριθμός διασταυρώσεων (crossing num-ber) του Κ.

Εξορισμού του, ο αριθμός διασταυρώσεων ενός κόμβου είναι μια αναλλοίωτος, η οποία δυστυχώς είναι τις περισσότερες φορές εξαιρετικά δύσκολο να βρεθεί, ειδικά εάν ο κόμβος δεν είναι ένας εκ των γνωστών. Να σημειωθεί ότι όλοι οι γνωστοί έως σήμερα διαφορετικοί κόμβοι έχουν ταξινομηθεί με βάση δύο τους χαρακτηριστικά, με τον αριθμό διασταυρώσεων και με τη σειρά με την οποία ανακαλύφθηκαν. Για παράδειγμα, τον τρίτο σε σειρά κόμβο που ανακαλύφθηκε με 7 διασταυρώσεις τον συμβολίζουμε με 73.

Μία εξίσου χρήσιμη έννοια είναι η παρακάτω:

Ορισμός 2. Έστω ένας κόμβος Κ με αριθμό διασταυρώσεων N > 0, δηλαδή ο Κ δεν είναι ο τετριμμένος κόμβος. Σε κάθε τυχαίο διάγραμμα του Κ αποδεικνύεται ότι αλλάζοντας κάποιες από τις διασταυρώσεις από άνω σε κάτω και αντίστροφα, μπορεί το εν λόγω διάγραμμα να μετατραπεί σε διάγραμμα ενός ή παραπαπάνω τετριμμένων κόμβων. Αποδεικνύεται επίσης ότι υπάρχει διάγραμμα του Κ στο οποίο το πλήθος των διασταυρώσεων που πρέπει

να αλλάξουν ώστε να προκύψουν τετριμμένοι κόμβοι ελαχιστοποιείται. Το ελάχιστο αυτό πλήθος των διασταυρώσεων που χρειάζεται να αλλάξουμε ώστε να προκύψουν τετριμμένοι κόμβοι ονομάζεται αριθμός επίλυσης ή λύσεως (unknotting number) του Κ και είναι πάντα μικρότερος του Ν : 2.

Έχοντας τα παραπάνω υπόψη, ας δούμε πως μπορούν οι κόμβοι να εφαρμοστούν στη μελέτη του DNA. Για την πραγματοποίηση σημαντικών λειτουργιών όπως η αντιγραφή, η μεταγραφή και η μετάφραση το DNA χρειάζεται να αλληλεπιδράσει με συγκεκριμένα ένζυμα, τα οποία τροποποιούν τοπολογικά την έλικα. Το ένζυμο το οποίο θα εξεταστεί για το υπόλοιπο του άρθρου είναι η τοποϊσομεράση, ένζυμο απαραίτητο για τη διαδικασία της αντιγραφής του DNA.

Έχοντας ένα μόριο DNA, η τοποϊσομεράση δρα με τρόπο τέτοιον ώστε να το παραμορφώνει με έναν ή παραπάνω από τους παρακάτω τρόπους:

Έτσι, έχοντας ένα κυκλικό μόριο DNA, το οποίο μπορούμε να το δούμε σαν τον τετριμμένο κόμβο, μετά τη δράση ενός ενζύμου σε αυτό θα προκύψει ένα πιο μπερδεμένο και περίπλοκο μόριο, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ένας άλλος κόμβος πιθανότατα μη ισοδύναμος με τον τετριμμένο.

Στο προηγούμενο τεύχος του περιοδικού είχε παρουσιαστεί μία καθημερινή εφαρμογή της Θεωρίας Κόμβων και πιο συγκεκριμένα ένας εύκολος τρόπος να χρησιμοποιηθούν οι μαθηματικοί κόμβοι στην κρυπτογραφία μηνυμάτων. Ωστόσο, όπως έχει ήδη αναφερθεί σε παλαιότερο άρθρο, η Θεωρία Κόμβων έχει ακόμα περισσότερες εφαρμογές σε άλλες επιστήμες. Στο παρόν άρθρο θα εξεταστεί μία εφαρμογή στην Ιατρική και όπως πάντα όσο απλά και εκλαϊκευμένα γίνεται χωρίς απώλεια της μαθηματικής αυστηρότητας.

Εισαγωγή:

Σχήμα: 1

Κόμβοι και DNA

Σχήµα 1.

΄Ετσι, έχοντας ένα κυκλικό µόριο DNA, το οποίο µπορούµε να το δούµε

σαν τον τετριµµένο κόµβο, µετά τη δράση ενός ενζύµου σε αυτό ϑα προκύψει

ένα πιο µπερδεµένο και περίπλοκο µόριο, το οποίο µπορεί να ϑεωρηθεί ένας

άλλος κόµβος πιθανότατα µη ισοδύναµος µε τον τετριµµένο.

Πράγµατι, για να διαπιστωθεί εάν δύο ένζυµα δρουν µε τον ίδιο τρόπο

στο DNA, οι επιστήµονες τα αφήνουν να δράσουν σε κυκλικά µόρια DNA

και εξετάζουν τους κόµβους που προκύπτουν. Εάν δύο ένζυµα προκαλούν

µη ισοδύναµους κόµβους, τότε οι δράσεις τους στο DNA δίνουν διαφορετικά

αποτελέσµατα. Για παράδειγµα, έχοντας ένα κυκλικό µόριο και εφαρµόζοντας

τα ένζυµα Ε1 και Ε2 εάν οι δύο κόµβοι που προκύπτουν είναι µη ισοδύναµοι,

τότε τα δύο ένζυµα ϑα έχουν διαφορετικές ιδιότητες.

Σχήµα 2.

Υπολογίζοντας το πολυώνυµο Alexander για τους Κ1 και Κ2 όπως παρου-

σιάστηκε στο προηγούµενο άρθρο και παίρνοντας τις τιµές τους για t = 1,

ϑα προκύψει ότι |PK1(1)| = 33 ενώ |PK2(1)| = 25. Εποµένως οι Κ1 και

Κ2 είναι διαφορετικοί, πράγµα που σηµαίνει ότι τα ένζυµα Ε1 και Ε2 έχουν

διαφορετικές ιδιότητες.

΄Ενας άλλος τρόπος µε τον οποίο η Θεωρία Κόµβων εφαρµόζεται στη µελέτη

του DNA είναι κάνοντας χρήση του αριθµού λύσεως ενός κόµβου. ΄Εστω ένα

µπλεγµένο µόριο DNA, δηλαδή ένας κόµβο ή κρίκος (όπως ονοµάζονται 2 ή

παραπάνω κόµβοι µπλεγµένοι µεταξύ τους). Εάν ϑέλουµε να προκαλέσουµε

συγκεκριµένες αλλαγές εφαρµόζοντας διάφορα ένζυµα σε αυτό, είναι σηµα-

ντικό να γνωρίζουµε τον αριθµό διασταυρώσεως και τον αριθµό λύσεως του

αντίστοιχου κόµβου. Για παράδειγµα, ο κόµβος Κ1 στο σχήµα 2 είναι ο κόµ-

ϐος 815 (πράγµα που µπορούµε να καταλάβουµε υπολογίζοντας το Alexander

πολυώνυµό του) µε αριθµό διασταυρώσεων ίσο µε 8 και αριθµό λύσεως ίσο µε

2 (στοιχεία που µπορούµε να αντλήσουµε από υπάρχουσα κατηγοριοποίηση

γνωστών κόµβων, όπως η ιστοσελίδα [3] της ϐιβλιογραφίας). Αυτό µας δείχνει

2

7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7

26 11 31 7 37 4 4 21 52 7 58 3164 8369 51 757 761 769 21the prime magazine_151

Πράγματι, για να διαπιστωθεί εάν δύο ένζυμα δρουν με τον ίδιο τρόπο στο DNA, οι επιστήμονες τα αφήνουν να δράσουν σε κυκλικά μόρια DNA και εξετάζουν τους κόμβους που προκύπτουν. Εάν δύο ένζυμα προκαλούν μη ισοδύναμους κόμβους, τότε οι δράσεις τους στο DNA δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα. Για παράδειγμα, έχοντας ένα κυκλικό μόριο και εφαρμόζοντας τα ένζυμα Ε1 και Ε2 εάν οι δύο κόμβοι που προκύπτουν είναι μη ισοδύναμοι, τότε τα δύο ένζυμα θα έχουν διαφορετικές ιδιότητες.

Υπολογίζοντας το πολυώνυμο Alexander για τους Κ1 και Κ2 όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο άρθρο και παίρνοντας τις τιμές τους για t = −1, θα προκύψει ότι |PK1(−1)| = 33 ενώ |PK2(−1)| = 25. Επομένως οι Κ1 και Κ2 είναι διαφορετικοί, πράγμα που σημαίνει ότι τα ένζυμα Ε1 και Ε2 έχουν διαφορετικές ιδιότητες.

Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο η Θεωρία Κόμβων εφαρμόζεται στη μελέτη του DNA είναι κάνοντας χρήση του αριθμού λύσεως ενός κόμβου. Έστω ένα μπλεγμένο μόριο DNA, δηλαδή ένας κόμβο ή κρίκος (όπως ονομάζονται 2 ή παραπάνω κόμβοι μπλεγμένοι μεταξύ τους). Εάν θέλουμε να προκαλέσουμε συγκεκριμένες αλλαγές εφαρμόζοντας διάφορα ένζυμα σε αυτό, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τον αριθμό διασταυρώσεως και τον αριθμό λύσεως του αντίστοιχου κόμβου. Για παράδειγμα, ο κόμβος Κ1 στο σχήμα 2 είναι ο κόμβος 815 (πράγμα που μπορούμε να καταλάβουμε υπολογίζοντας το Alex-ander πολυώνυμό του) με αριθμό διασταυρώσεων ίσο με 8 και αριθμό λύσεως ίσο με 2 (στοιχεία που μπορούμε να αντλήσουμε από υπάρχουσα κατηγοριοποίηση γνωστών κόμβων, όπως η ιστοσελίδα[3] της βιβλιογραφίας). Αυτό μας δείχνει ότι ένζυμα που προκαλούν την πρώτη μεταβολή από το σχήμα 1 θα δράσουν με παρόμοιο τρόπο σε μόρια που έχουν ισοδύναμη μορφή με αυτήν του Κ1.

Επίλογος:

Όπως έχει ήδη αναφερθεί λοιπόν, με εργαλεία που δεν απαιτούν ιδιαίτερη μαθηματική εξειδίκευση μπορεί κανείς να βοηθήσει στην ανάπτυξη της Θεωρίας Κόμβων. Με αυτόν τον τρόπο, μόνο με υπομονή και έφεση στους γρίφους έχει τη δυνατότητα να συμβάλει στην πρόοδο και άλλων επιστημονικών κλάδων κοντινότερων στον άνθρωπο, όπως στη Βιοχημεία, τη Φαρμακευτική και την Ιατρική.

Βιβλιογραφία: [1] Charles Livingston, Knot Theory[2] Colin Conrad Adams, The knot book[3] http://katlas.org/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table[4] http://www.tiem.utk.edu/ gross/bioed/webmodules/DNAknot.html [5] Kunio Murasugi, Knot Theory and its applications

Σχήµα 1.

΄Ετσι, έχοντας ένα κυκλικό µόριο DNA, το οποίο µπορούµε να το δούµε

σαν τον τετριµµένο κόµβο, µετά τη δράση ενός ενζύµου σε αυτό ϑα προκύψει

ένα πιο µπερδεµένο και περίπλοκο µόριο, το οποίο µπορεί να ϑεωρηθεί ένας

άλλος κόµβος πιθανότατα µη ισοδύναµος µε τον τετριµµένο.

Πράγµατι, για να διαπιστωθεί εάν δύο ένζυµα δρουν µε τον ίδιο τρόπο

στο DNA, οι επιστήµονες τα αφήνουν να δράσουν σε κυκλικά µόρια DNA

και εξετάζουν τους κόµβους που προκύπτουν. Εάν δύο ένζυµα προκαλούν

µη ισοδύναµους κόµβους, τότε οι δράσεις τους στο DNA δίνουν διαφορετικά

αποτελέσµατα. Για παράδειγµα, έχοντας ένα κυκλικό µόριο και εφαρµόζοντας

τα ένζυµα Ε1 και Ε2 εάν οι δύο κόµβοι που προκύπτουν είναι µη ισοδύναµοι,

τότε τα δύο ένζυµα ϑα έχουν διαφορετικές ιδιότητες.

Σχήµα 2.

Υπολογίζοντας το πολυώνυµο Alexander για τους Κ1 και Κ2 όπως παρου-

σιάστηκε στο προηγούµενο άρθρο και παίρνοντας τις τιµές τους για t = 1,

ϑα προκύψει ότι |PK1(1)| = 33 ενώ |PK2(1)| = 25. Εποµένως οι Κ1 και

Κ2 είναι διαφορετικοί, πράγµα που σηµαίνει ότι τα ένζυµα Ε1 και Ε2 έχουν

διαφορετικές ιδιότητες.

΄Ενας άλλος τρόπος µε τον οποίο η Θεωρία Κόµβων εφαρµόζεται στη µελέτη

του DNA είναι κάνοντας χρήση του αριθµού λύσεως ενός κόµβου. ΄Εστω ένα

µπλεγµένο µόριο DNA, δηλαδή ένας κόµβο ή κρίκος (όπως ονοµάζονται 2 ή

παραπάνω κόµβοι µπλεγµένοι µεταξύ τους). Εάν ϑέλουµε να προκαλέσουµε

συγκεκριµένες αλλαγές εφαρµόζοντας διάφορα ένζυµα σε αυτό, είναι σηµα-

ντικό να γνωρίζουµε τον αριθµό διασταυρώσεως και τον αριθµό λύσεως του

αντίστοιχου κόµβου. Για παράδειγµα, ο κόµβος Κ1 στο σχήµα 2 είναι ο κόµ-

ϐος 815 (πράγµα που µπορούµε να καταλάβουµε υπολογίζοντας το Alexander

πολυώνυµό του) µε αριθµό διασταυρώσεων ίσο µε 8 και αριθµό λύσεως ίσο µε

2 (στοιχεία που µπορούµε να αντλήσουµε από υπάρχουσα κατηγοριοποίηση

γνωστών κόµβων, όπως η ιστοσελίδα [3] της ϐιβλιογραφίας). Αυτό µας δείχνει

2

Σχήμα: 2

21 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821the prime magazine_157


οι

φ ουνγρα

Δυσαριθμησία (Η διαταραχή των Μαθηματικών)

γράφει η Δέσποινα Τερζοπούλου Μαθηματικός, M.Sc.

Μαθητές με αναπηρία και ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες, σύμφωνα με το άρθρο 3 του νόμου 3699/2008, θεωρούνται:

Η διαταραχή των μαθηματικών, γνωστή ως δυσαριθμησία, ανήκει στο πλαίσιο το ειδικών μαθησιακών δυσκολιών που αφορούν το γνωστικό αντικείμενο της αριθμητικής. Εισηγητής του όρου της δυσαριθμησίας (dyscalculia) ήταν ο R. Cohn με άρθρο του το 1961 στο περιοδικό Archives of Neu-rology. Ο νευρολόγος όρισε τη δυσαριθμησία σαν μια δυσλειτουργία του κεντρικού νευρικού συστήματος που είναι υπεύθυνη για την ανεξήγητη δυσκολία που παρουσιάζουν κάποια παιδιά στην πρόσκτηση των μαθηματικών εννοιών και δεξιοτήτων και παρουσιάζει παρόμοια αποτελέσματα με τις επίκτητες εγκεφαλικές κακώσεις των ενήλικων. Τα επόμενα χρόνια που ακολούθησαν έγιναν μια σειρά από μελέτες πάνω στο θέμα της δυσαριθμησίας από ερευνητές, όπως οι Johnson & Myklebust (1967), Kosc (1974) και πολλοί άλλοι. Η ανάγκη όλο και περισσότερο για μελέτη πάνω στο τομέα της ειδικής μαθησιακής δυσκολίας στα μαθηματικά, γίνεται εμφανής αν αναλογιστεί κανείς ότι εκτιμάται περίπου το 6% του πληθυσμού πάσχει από δυσαριθμησία (Badian, 1983). Ως προς το φύλο και την εμφάνιση της δυσαριθμησίας οι έρευνες μέχρι στιγμής είναι αντικρουόμενες. Ορισμένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι δεν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των φύλων και άλλοι ότι η δυσαριθμησία εμφανίζεται περισσότερο στα αγόρια. Ως προς την κληρονομικότητα, το 2001 οι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα παιδιά με γονείς που έχουν δυσαριθμησία έχουν 10 φορές μεγαλύτερη πιθανότητα να εμφανίσουν και τα ίδια, καθώς και όσα άτομα έχουν αδέρφια με δυσαριθμησία, το 50% αυτών αντιμετωπίζει κάποιο σοβαρό θέμα στα μαθηματικά. Ο πρώτος ορισμός της δυσαριθμησίας ήρθε από τον Kosc, το 1974. Σύμφωνα με αυτόν, η δυσαριθμησία είναι «μια δομική διαταραχή των μαθηματικών ικανοτήτων, που έχει τις ρίζες της σε μια γενετική ή εκ γενετής διαταραχή εκείνων των τμημάτων του εγκεφάλου, που είναι άμεσα ανατομικο-φυσιολογικά

α) οι μαθητές που για ολόκληρη ή ορισμένη περίοδο της σχολικής τους ζωής εμφανίζουν σημαντικές δυσκολίες μάθησης εξαιτίας αισθητηριακών, νοητικών, γνωστικών, ανα-πτυξιακών προβλημάτων, ψυχικών και νευρο-ψυχικών διαταραχών οι οποίες, σύμφωνα με τη διεπιστημονική αξιολόγηση, επηρεάζουν τη διαδικασία της σχολικής προσαρμογής και μάθησης. Συγκαταλέγονται ιδίως όσοι παρουσιάζουν νοητική αναπηρία, αισθητηριακές αναπηρίες όρασης (τυφλοί, αμβλύωπες με χαμηλή όραση), αισθητηριακές αναπηρίες ακοής (κωφοί, βαρήκοοι), κινητικές αναπηρίες, χρόνια μη ιάσιμα νοσήματα, διαταραχές ομιλίας-λόγου, ειδικές μαθησιακές δυσκολίες όπως δυσλεξία, δυσαριθμησία, δυσαναγνωσία, δυσορθογραφία, σύνδρομο ελλειμματικής προσοχής με ή χωρίς υπερκινητικότητα, διάχυτες αναπτυξιακές διαταραχές(φάσμα αυτισμού), ψυχικές διαταραχές και πολλαπλές αναπηρίες. Στην κατηγορία μαθητών με αναπηρία και ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες δεν εμπίπτουν οι μαθητές με χαμηλή σχολική επίδοση που συνδέεται αιτιωδώς με εξωγενείς παράγοντες, όπως γλωσσικές ή πολιτισμικές ιδιαιτερότητες. β) οι μαθητές με σύνθετες γνωστικές, συναισθηματικές και κοινωνικές δυσκολίες, παραβατική συμπεριφορά λόγω κακοποίησης, γονεικής παραμέλησης και εγκατάλειψης ή λόγω ενδοοικογενειακής βίας γ) οι μαθητές που έχουν μία ή και περισσότερες νοητικές ικανότητες και ταλέντα ανεπτυγμένα σε βαθμό που υπερβαίνει κατά πολύ τα προσδοκώμενα για την ηλικιακή τους ομάδα.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 2152 7 58 31 6 83 69 51757 761 769 773 787 797 21the prime magazine_163

υποστρώματα της ωρίμανσης των μαθηματικών ικανοτήτων, ανάλογα με την ηλικία, χωρίς μια ταυτόχρονη διαταραχή της γενετικής νοητικής λειτουργίας». Με τα χρόνια παρουσιάστηκαν διάφοροι ορισμοί της, ωστόσο αυτός που εμφανίζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι του Geary το 2004. Σύμφωνα με αυτόν «μια μαθηματική μαθησιακή αναπηρία μπορεί να εκδηλωθεί με τη μορφή ελλείψεων στις ικανότητες χειρισμού εννοιών ή διαδικασιών που καθορίζουν το πεδίο των μαθηματικών και που, θεωρητικά, οφείλονται σε υποκειμενικές ελλείψεις στην κεντρική εκτελεστική λειτουργία ή στα γλωσσικά συστήματα αναπαράστασης και διαχείρισης πληροφοριών ή στο οπτικοχωρικό πεδίο». Οι δύο αυτοί ορισμοί, του Kosc και Geary παρουσιάζουν ενδιαφέρον, διότι ο πρώτος εστιάζει στο νευρολογικό πλαίσιο της διαταραχής, ενώ ο δεύτερος στις διαδικασίες επεξεργασίας των πληροφοριών. Για να μπορούμε να μιλάμε για δυσαριθμησία θα πρέπει η μαθηματική ικανότητα του ατόμου να είναι σημαντικά κάτω από το αναμενόμενο, δεδομένης της ηλικίας του, της νοημοσύνης του και της εκπαίδευσης στο επίπεδο της ηλικίας του. Επίσης, η μαθηματική αυτή δυσκολία θα πρέπει να εμποδίζει σημαντικά την σχολικά επίδοση του ατόμου ή τους τομείς της ζωής του που απαιτούν μαθηματικές ικανότητες. Η δυσαριθμησία, όπως και η δυσλεξία, εμφανίζουν ποίκιλες μορφές. Ήδη από το 1974 ο Kosc πρότεινε έξι μορφές. Η λεκτική μορφή σχετίζεται με την κατανόηση, χρήση μαθηματικών όρων και λεκτική απόδοση των σχέσεων. Η πρακτογνωστική μορφή σχετίζεται με το μαθηματικό χειρισμό αντικειμένων και εικόνων. Η τρίτη μορφή που όρισε καλείται λεξιλογική και σχετίζεται την αναγνώριση μαθηματικών συμβόλων, ενώ η γραφολογική μορφή αφορά τη γραπτή απόδοση των μαθηματικών συμβόλων. Η ιδεογνωστική μορφή εμφανίζεται στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών και σχέσεων. Τέλος, η έκτη μορφή καλείται λειτουργική και αφορά την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων.

Η πρώτη αναλυτική περιγραφή της συμπτωματο-λογίας της δυσαριθμησίας έγινε το 1967 από τους Johnson & Myklebust. Σύμφωνα με αυτούς το άτομο εμφανίζει τα εξής προβλήματα - αδυναμίες:

Αυτή η έρευνα αποτέλεσε τη βάση για τα επόμενα χρόνια, στην περιγραφή των συμπτωμάτων των ατόμων με δυσαριθμησία. Οι νέες μελέτες, διατήρησαν τα παραπάνω στοιχεία, ενώ άλλες πρόσθεσαν νέα χαρακτηριστικά. Τέλος η αξιολόγηση του ατόμου που πάσχει από δυσαριθμησία είναι ένα πολύπλοκο και ακόμα προς εξερεύνηση πεδίο για τους ερευνητές, καθώς τα μαθηματικά αποτελούν ένα σύνθετο γνωστικό αντικείμενο.

Βιβλιογραφία: [1] Αγαλιώτης, Ι. (2011). Διδασκαλία Μαθηματικών στην Ειδική Αγωγή και Εκπαίδευση. Φύση και εκπαιδευτική διαχείριση των μαθηματικών δυσκολιών. Αθήνα: Γρηγόρης.[2] Badian, N.A. (1983). Dyscalculia and nonverbal disorders of learning. In H.R.Myklebust (Ed.), Progress in Learning Disabilities, 5, (pp.235-264). New York: Grune & Stratton, Inc.[3] Cohn, R. (1961). Dyscalculia. Archives of Neurology, 4, 301-317.[4] Geary, D.C. (2004). Mathematics and Learning Disabilities. Journal of Learning Disabilities, 37, 1, 4-15.[5] Johnson, D. & Myklebust, H. (1967). Learning Disabilities. New York: Grune & Stratton.[6] Kosc, L. (1974). Developmental Dyscalculia. Journal of Learning Disabilities, 7, 164-177.[7] ΦΕΚ 199/Α’/08, Νόμος υπ’αριθμό 3699.

στο σχηματισμό αντιστοιχίσεων ένα προς έναστη σύνδεση συμβόλων με ποσότητεςστη σύνδεση ακουστικών και οπτικών συμβόλωνστην ερμηνεία των τακτικών και απόλυτων αρι-θμώνστις σχέσεις μέρους - όλουστην έννοια διατήρησης της ποσότηταςστην εκτέλεση πράξεωνστην κατανόηση και διάκριση των συμβόλων στις πράξειςστη θεσιακή αξία των αριθμώνστους αλγόριθμουςστις μετρήσεις μεγεθών, ποσοτήτων, όγκωνστην ερμηνεία γραφικών παραστάσεων και χαρτώνστην επίλυση προβλημάτων

••••

••••

••••

ΔΙΔΑΚΤΟρεσ

οι

φ ουνγρα

γράφει η Ίρις Παπαδοπούλου Μαθηματικός, Ph.D.


Πράγα ή «Η Πόλη του Κάφκα» αποτελεί εδώ και χρόνια έναν «κλασσικό» προορισμό και είναι ανάμεσα στις πρώτες σε επισκεψιμότητα ευρωπαϊκές πόλεις. Παρόλο που την είχα επισκεφτεί το καλοκαίρι του 1999, μαθήτρια ακόμα, αποφασίσαμε να πάμε και πάλι.

Η Πράγα, πρωτεύουσα της Τσεχίας και η μεγαλύτερή της πόλη, έχει πληθυσμό 1,2 εκατομμύρια κατοίκους και είναι χτισμένη πάνω στον ποταμό Μολδάβα. Όποιος επισκέπτεται την πόλη αξίζει να περιπλανηθεί στο ιστορικό της κέντρο, το οποίο ανήκει από το 1992 στον κατάλογο μνημείων παγκόσμιας κληρονομιάς της UNESCO. Εκεί θα θαυμάσει την πολύ εντυπωσιακή Πλατεία της Παλιάς πόλης με το μεσαιωνικό Δημαρχείο, το αστρονομικό ρολόι και την οικία του Τσεχοεβραίου συγγραφέα Φραντς Κάφκα. Επίσης μπορεί να δει το γοτθικό Πύργο της πυρίτιδας, το Πανεπιστήμιο του Καρόλου, την όπερα, την πλατεία Václavské και να περιπλανηθεί στην Εβραϊκή συνοικία. Δεν πρέπει να παραλείψει κανείς να διασχίσει την πέτρινη γέφυρα του Καρόλου, σήμα κατατεθέν της πόλης, η οποία είναι στολισμένη με 30 αγάλματα αγίων και να επισκεφτεί την Καστρούπολη και το Κάστρο. Εκεί θα δει, μεταξύ άλλων, το Προεδρικό μέγαρο και τον επιβλητικό ναό του Αγίου Βίτου. Αξίζει κάθε επισκέπτης να κάνει βόλτα στον Μολδάβα με ένα καραβάκι, να θαυμάσει τα εντυπωσιακά κτήρια της πόλης και να περάσει με το καραβάκι κάτω από τη γέφυρα του Καρόλου. Μπορεί, ακόμα, να παρακολουθήσει μια παράσταση του φημισμένου «Μαύρου Θεάτρου της Πράγας», το οποίο είναι ένα μείγμα κινησιολογίας, χορού, μουσικής και παντομίμας και βασίζεται, σήμερα, στον φωτισμό του υπεριώδους φωτός. Αξίζει ακόμα να κάνει κανείς μια βόλτα στην οδό Parizská, στην οποία υπάρχουν η μια δίπλα στην άλλη μπουτίκ όλων των παγκοσμίως γνωστών οίκων μόδας και χρυσοχοΐας. Υπάρχουν ακόμα πολλά μουσεία μεταξύ των οποίων είναι το Μουσείο Σοκολάτας και το Μουσείο Κέρινων Ομοιωμάτων.

Ένα από τα πράγματα που αξίζει να κάνει κανείς στην Πράγα είναι να δοκιμάσει τσέχικη μπύρα, η οποία είναι φθηνότερη από το εμφιαλωμένο νερό και πολύ καλής ποιότητας. Σε απόσταση περίπου μιάμισης ώρας από την Πράγα, στην καταπράσινη κοιλάδα του ποταμού Τέπλα, βρίσκεται η πολύ γνωστή και γραφική λουτρόπολη Karlovy Vary, η οποία ιδρύθηκε το 14ο αιώνα από τον Κάρολο τον Δ΄ και είναι επίσης γνωστή για το διεθνές φεστιβάλ κινηματογράφου. Ο επισκέπτης μπορεί να δει τις ιαματικές πηγές και να πιεί νερό από αυτές. Μπορεί ακόμα να δει το κτήριο του θεάτρου, να περπατήσει μέσα στην πόλη πλάι στο ποτάμι αλλά και να επισκεφτεί το πολύ γνωστό Grandhotel Pupp και να δοκιμάσει ένα από τα φημισμένα γλυκά του.Σε απόσταση 2 ωρών από την Πράγα, χτισμένη πάνω στον ποταμό Έλβα, βρίσκεται η Δρέσδη, πόλη της Γερμανίας και πρωτεύουσα του ομόσπονδου κρατιδίου της Σαξονίας. Η ιστορία της πόλης είναι μακρόχρονη διότι αποτελούσε την έδρα των Σαξόνων βασιλιάδων. Κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου καταστράφηκε ολοσχερώς αλλά πολλά σημαντικά κτήρια χτίστηκαν και πάλι σύμφωνα με τα ιστορικά σχέδια. Μεταξύ αυτών βρίσκεται η εντυπωσιακή εκκλησία Frauenkirche, την οποία αξίζει να επισκεφτεί κανείς. Μπορεί ακόμα να περιπλανηθεί στο ιστορικό της κέντρο, να δει το βασιλικό συγκρότημα Zwinger, την Brühl Terrace και το «Τείχος των διαδόχων». Από το 2004 η Δρέσδη και το τμήμα της κοιλάδας του ποταμού Έλβα αποτελεί μνημείο παγκόσμιας κληρονομιάς της UNESCO.Η Πράγα μου άρεσε (και πάλι) πολύ ως προορισμός λόγω της ζωντάνιας της και της ομορφιάς της. Συγκρίνοντας τις αναμνήσεις που είχα από την πρώτη μου επίσκεψη με αυτά που έβλεπα σχεδόν 18 χρόνια αργότερα, παρατήρησα ότι είναι πολύ περισσότερο τουριστική σε σχέση με τότε. Σύμφωνα με αρκετούς ντόπιους τότε ήταν μια διαφορετική πόλη και οι συνθήκες ζωής ήταν διαφορετικές.

Η 99

21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 9 773 787 797 809 811 821

Πράγα

Ταξιδεύοντας... με το σώμα και το μυαλό


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821

Date post:	22-Sep-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

PR1ME - Aristotle University of...

Documents