Binomické rozdělení
Házím N-krát korunou (N sudé). Jaká je pravděpodobnost že mi padne N/2-krát panna?
• každá sekvence pannen a orlů stejně pravděpodobná
N
N
NP
2
1
!2
!2
• počet sekvencí kdy padne N/2 pannen: 2
!2
!
!2
!2
!
N
N
NNN
N
k
0 5 10 15 20
P(k
| N
,p)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Binomické rozdělení
Házím N-krát korunou (N sudé). Jaká je pravděpodobnost že mi padne N/2-krát panna?
• každá sekvence pannen a orlů stejně pravděpodobná
0.176
9.510-7
N
N
NP
2
1
!2
!2
• počet sekvencí kdy padne N/2 pannen: 2
!2
!
!2
!2
!
N
N
NNN
N
• obecný případ k-krát panna:
kNk ppkNk
NpNkP
1
!!
!,
NpppkNk
NkkE
N
k
kNk
0
1!!
!
pNpkEkEkV 1222
N = 20
p = 0.5
Binomické rozdělení
Házím N-krát korunou (N sudé). Jaká je pravděpodobnost že mi padne N/2-krát panna?
• každá sekvence pannen a orlů stejně pravděpodobná
N
N
NP
2
1
!2
!2
• počet sekvencí kdy padne N/2 pannen: 2
!2
!
!2
!2
!
N
N
NNN
N
• obecný případ k-krát panna:
kNk ppkNk
NpNkP
1
!!
!,
NpppkNk
NkkE
N
k
kNk
0
1!!
!
pNpkEkEkV 1222 k
0 5 10 15 20
P(k
| N
,p)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
N = 20
p = 0.2
N = 20
p = 0.5
k
0 5 10 15 20
Fp,N
(k)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Binomické rozdělení
Házím N-krát korunou (N sudé). Jaká je pravděpodobnost že mi padne N/2-krát panna?
• každá sekvence pannen a orlů stejně pravděpodobná
N = 20
p = 0.2
N
N
NP
2
1
!2
!2
• počet sekvencí kdy padne N/2 pannen: 2
!2
!
!2
!2
!
N
N
NNN
N
• obecný případ k-krát panna:
kNk ppkNk
NpNkP
1
!!
!,
NpppkNk
NkkE
N
k
kNk
0
1!!
!
pNpkEkEkV 1222
N = 20
p = 0.5
• distribuční funkce
Poissonovo rozdělení
2D Graph 1
k
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
Col 2
n = 5
Np = n = konst., N , p 0
nn
n
0 !k
k
ek
kkE
nn
n n
0
22
!k
k
ek
kkV
nnn e
kkP
k
!
Poissonovo rozdělení
2D Graph 1
k
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
Col 2
Col 4
n = 5
n = 10
Np = n = konst., N , p 0
nn
n
0 !k
k
ek
kkE
nn
n n
0
22
!k
k
ek
kkV
nnn e
kkP
k
!
Poissonovo rozdělení
n = 5
n = 10
Np = n = konst., N , p 0
nn
n
0 !k
k
ek
kkE
nn
n n
0
22
!k
k
ek
kkV
nnn e
kkP
k
!
k
0 5 10 15 20 25
Fn(k
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
n = 5
n = 10
• distribuční funkce:
Poissonovo rozdělení
x
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
n = 2, p = 0.5
x
0 2 4 6 8 10 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
n = 4, p = 0.25
x
0 2 4 6 8 10 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
n = 16, p =0.0625
x
0 2 4 6 8 10 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
n = 50, p = 0.02
nnn e
kkP
k
!1n
Irvine-Michigan-Brookhaven detektor
• bazén 17 17.5 23 m3
(6 842 500 l) ultra čisté vody
• v solném dolu 600 m pod zemí
• 2048 fotonásobičů
• detektor Čerenkovova záření
Irvine-Michigan-Brookhaven detektor
6.5 × 1034 roku
simulace
experiment
není to rozpad protonu
• rozpad protonu: p+ e+ + p0
Detekce neutrin
7 mionů z kosmického záření mion vytvořený neutrinem
Detekce neutrin
Irvine-Michigan-Brookhaven, 23.2. 1987
No. of events 0 1 2 3 4 5 6 7 8
No. of intervals
1042 860 307 78 15 3 0 0 1
• detekce neutrin: interval = 10 s
Jaká je pravděpodobnost, že v jednom intervalu bude detekováno 8 nebo více neutrin?
7 mionů z kosmického záření mion vytvořený neutrinem
Detekce neutrin
Irvine-Michigan-Brookhaven, 23.2. 1987
No. of events 0 1 2 3 4 5 6 7 8
No. of intervals
1042 860 307 78 15 3 0 0 1
• detekce neutrin: interval = 10 s
Jaká je pravděpodobnost, že v jednom intervalu bude detekováno 8 nebo více neutrin?
vážený průměr:
(01042+1860+2307+378+415+53+60+70+81) /(1042+860+307+78+15+3+1)=0.777
Poissonovo rozdělení :
Počet intervalů: N = 2306
Detekce neutrin
Irvine-Michigan-Brookhaven, 23.2. 1987
No. of events 0 1 2 3 4 5 6 7 8
No. of intervals
1042 860 307 78 15 3 0 0 1
Poisson prediction
1061 824 320 83 16 2 0.3 0.04 0.003
• detekce neutrin: interval = 10 s
Poissonovo rozdělení :
Počet intervalů: N = 2306
supernova SN1987a
Velké Magellanovo
mračno
51 kpc
P = 1.7 × 10-6
Pravděpodobnost, že detekujeme 8 nebo ještě více neutrin
Detekce neutrin
záblesk neutrin
~2.5 h před
světelným
zábleskem
před
Velké Magellanovo
mračno
51 kpc
SNEWS: SuperNova Early Warning System
supernova SN1987a
po
