Jádro

Objevili Rutherford, Geiger, Marsden—rozptyl alfa částic na zlaté folii

Asi 100 000krát menší než atom, obsahuje většinu hmoty atomu

Skládá se z protonů a neutronů souhrnně nazývaných nukleony

Drží pohromadě jadernou silou, kterou zprostředkovávají částice zvané mezony neboli piony

Připomínám, co jsme se dozvěděli na druhé hodině:

Víme:

Takže je něco musí přitahovat k sobě

Při tom zprostředkování se piony rodí a zanikají a tím předávají energii

Vztah mezi hmotou a energií dává teorie relativity, kterou budeme potřebovat k popisu síly

𝐸2 = 𝑝𝑐 2 + 𝑚č 𝑐2 2

𝐸 =𝑚č 𝑐

2

1 −𝑣𝑐

2

𝑝 =𝑚č 𝑣

1 −𝑣𝑐

2=

𝑚č 𝑐2

1 −𝑣𝑐

2 𝑣

𝑐2= 𝐸

𝑣

𝑐2⟹ 𝑝𝑐 = 𝐸

𝑣

𝑐

𝐸2 − 𝑝𝑐 2 = 𝐸2 1 −𝑣

𝑐

2

=𝑚č 𝑐

2 2

1 −𝑣𝑐

2 1 −𝑣

𝑐

2

= 𝑚č 𝑐2 2

Relativita: už jsme potkali na cvičení v příkladu elektronového mikroskopu

Pro částici typu „č“ s klidovou hmotností 𝑚č v klidu je energie rovna klidové energii

takže rychlost můžeme vyloučit

takže energie pohybující se částice je:

𝑚č𝑐2

a hybnost je rovna nule

Když se nyní částice pohybuje rychlostí 𝑣, pak její hmotnost vzroste na 𝑚č

1 −𝑣𝑐

2

a hybnost:

Dostáváme tak relativistické vyjádření energie pomocí hybnosti

Pokud je první člen pod odmocninou podstatně menší než druhý, jsme v nerelativistické limitě a můžeme udělat přiblížení

𝐸 = 𝑚č 𝑐2 1 +

𝑝𝑐 2

𝑚č 𝑐2 2 ≅ 𝑚č 𝑐

2 1 +1

2

𝑝𝑐 2

𝑚č 𝑐2 2 = 𝑚č 𝑐

2 +1

2

𝑝𝑐 2

𝑚č 𝑐2 = 𝑚č 𝑐

2 +𝑝2

2𝑚č

Odtud: 𝐸 = 𝑝𝑐 2 + 𝑚č 𝑐

2 2

Takže v nerelativistické limitě je energie částice rovna součtu klidové energie a nerelativistické kinetické energie, jak bychom čekali

Podíváme se na chování této závislosti energie na hybnosti

Jak se hybnost zvětšuje, první člen nabírá na důležitosti oproti druhému, až převládne a nárůst energie je pak lineární v hybnosti

𝐸 ≅ 𝑝𝑐 pro 𝑝𝑐 ≫ 𝑚č 𝑐2

Tím jsme dostali ultrarelativistickou limitu, kdy vztah mezi energií a hybností je jako u nehmotného fotonu

𝜓𝜋 = exp𝑖

ℏ𝑝𝑥 − 𝐸𝑡

Na dlouhých vzdálenostech se vlnová funkce chová jako rovinná vlna

Ale pro statický potenciál, tj. pro nulovou frekvenci 𝜔 = 0 dostaneme pro energii

𝐸 = ℏ𝜔 = 0 ⟹ 𝑝𝑐 2 + 𝑚𝜋𝑐2 2 = 0 ⟹ 𝑝2 = − 𝑚𝜋𝑐

2

𝑝 = 𝑖𝑚𝜋𝑐

Obecně vztah mezi energií a hybností je přes klidovou energii 𝑚č 𝑐2 ,

což je minimální možná energie

Konkrétně pro pion 𝑚𝜋𝑐2 ≅ 140MeV

Takže jsme dostali imaginární hybnost, jako při tunelování

Tím pádem, stejně jako při tunelování, se z komplexní exponenciály stane reálná

𝜓𝜋 = exp −𝑚𝜋𝑐

ℏ𝑥 = exp −

𝑥

ƛ𝜋

ƛ𝜋 =ℏ

𝑚𝜋𝑐= ƛ𝑒

𝑚𝑒

𝑚𝜋= ƛ𝑒

𝑚𝑒𝑐2

𝑚𝜋𝑐2≅ 4 × 10−13m

0,5MeV

140MeV=

1

70× 10−13m ≅ 1,4fm

-je nezávislá na náboji, stejná pro protony a neutrony -má krátký dosah několika fm, proto ji nepozorujeme v makrosvětě na rozdíl od elektromagnetické síly na těchto vzdálenostech přitažlivá. -na kratších vzdálenostech než asi fm je naopak odpudivá kvůli Pauliho principu: nukleony jsou fermiony a nechtějí být v jednom stavu. To je zřejmé pro dva protony a dva neutrony, ale platí to i pro proton a neutron --náznak toho, že protony a neutrony nejsou elementární, nýbrž jsou složeny ze stejných částic zvaných kvarky, viz dále

Na dlouhých vzdálenostech tedy dostáváme exponenciální pokles

kde redukovaná Comptonova délka pionu ƛ𝜋 se dá vyjádřit pomocí redukované Comptonovy délky elektronu ƛ𝑒

Odtud vlastnosti jaderné síly:

Má podobný průběh jako potenciální energie mezi atomy, jak jsme ji potkali při studiu molekul —další náznak, že nukleony jsou složené částice jako atomy, a že jaderná síla je druhotným projevem síly, která drží pohromadě nukleony

Charakteristická vzdálenost fm a charakteristická energie desítky MeV oproti necelému nm a desítkám meV pro atomy (pro reaktivnější atomy H jsme měli jednotky eV)

Potenciální energie jaderné síly

Atom: mnohoelektronová vlnová funkce, všichni přitahovaní k jádru, vzájemně se odpuzovali

−ℏ2

2𝑚𝛻1

2 + 𝛻22 +

𝑒2

4𝜋휀0−

2

𝑟1−

2

𝑟2+

1

𝑟 1 − 𝑟 𝟐𝜓f 𝑟 1, 𝑆𝑧,1, 𝑟 2, 𝑆𝑧,2 =

= 𝐸𝜓f 𝑟 1, 𝑆𝑧,1, 𝑟 2, 𝑆𝑧,2

Připomínám pro He

Tady podobné: mnohanukleonová vlnová funkce splňující Schrodingerovu rovnici

Rozdíly: -jádro samotné nemá žádné jádro, jen působení nukleonů mezi sebou jako elektronů -zato nukleony dvojího druhu—protony a neutrony -komplikovaný potenciální energie oproti 1/𝑟 v atomu -elektrické odpuzování 1/𝑟 jako u elektronů v atomu je navíc jen mezi protony, ale uvidíme, že je menší

Jako u atomů přiblížení pohybu nukleonů ve střední potenciální energii ostatních, tj. převedení na jednočásticovou Schrodingerovu rovnici, kde ale potenciál závisí na vlnové funkci

Přibližně 3d harmonický oscilátor, plus vazba spinu na orbitální moment hybnosti—viz cvičení

Potenciálová jáma, k protonové se připočte Coulomb a tím ji trochu změní

V jámě vznikají diskrétní hladiny energie, jak už víme

Výsledné hladiny: orbitální (s,p,d,…) plus spin-orbit štěpení vede na celkový moment hybnosti

-viz cvičení

Tyto hladiny teď zaplňujeme od zdola nahoru, jako elektrony v atomu

Počet protonů v jádře se značí Z = protonové, nábojové číslo, počet neutronů se značí N = neutronové číslo

Hmotnosti protonu a neutronu jsou si velmi blízké

𝑀𝑃 ≅ 1,6726 × 10−27kg ≅ 938,3MeV/𝑐2

𝑀𝑁 ≅ 1,6749 × 10−27kg ≅ 939,6MeV/𝑐2

Rozdíl méně než 0,15%

Proto se zavádí hmotnostní číslo A=Z+N Značení prvku AZkratka prvku

Názvosloví: jádrům se stejnou hodnotou jednoho z čísel se říká iso-něco stejné Z isotopy, určuje prvek a tím chemii, stejné N isotony, stejné A isobary

Příklady uvidíme dále

Zavádí se proto tzv. isotopický spin, zkráceně isospin, který má hodnotu +1/2 pro proton a hodnotu -1/2 pro neutron

Takže zaplňujeme hladiny od nejnižší nahoru částicemi s různým spinem a isospinem

nebo, ekvivalentně, dva soubory hladin energie, jeden pro protony, druhý pro neutrony

Kromě toho, že protony a neutrony mají skoro stejnou hmotnost, jaderná síla na ně působí stejně, jak už víme, jenom elektrická trochu jinak (viz trochu jiné potenciální energie)

Proto se proton a neutron v jádře chovají jako dva různé stavy stejné částice, podobně jako dva různé spinové stavy elektronů v atomu, kterým tím pádem Pauliho princip dovolil být na stejné hladině

Nejméně stabilní licho-lichá. Stabilní jen první čtyři

Nejvíce stabilní—zaplněné slupky, obdoba atomů inertních plynů

Říká se jim magická čísla. Dokonce mohou být dvakrát magická, pro protony a neutrony

2p+2n= 4He 8p+8n= 16O 20p+20n= 40Ca

20p+28n= 48Ca

Dál začne být dvojí magické obsazení obtížné, protože jádra by chtěla přebytek neutronů, ale jenom malý, jak uvidíme dále

Ještě stabilní je i když přebytek neutronů je velký

Když už Z a N nejsou magická, tak stabilitě pomáhá, když jsou aspoň sudá kvůli Pauliho principu: Sudý počet částic—párování —spinová část antisymetrická, orbitální symetrická, jako dva elektrony v základním stavu He —tady to vede k silnějšímu přitahování

Sudo-sudá jádra stabilnější než sudo-lichá nebo licho-sudá

1p+1n= 2H=2D 3p+3n=6Li 5p+5n=10B 7p+7n=14N

např.

Zaplnění slupek se projeví spinem jádra, což je celkový moment hybnosti, složený jako vektorový součet z orbitálního a spinového jednotlivých nukleonů. Kvůli tendenci k párování bývá malý, max. 6

Se spinem je spojený magnetický moment

Proton, neutron mají spin ½, jsou to fermiony

Magnetický moment protonu, neutronu nebo jádra 𝜇 = 𝛾𝐼

ℏ𝜇𝑁

Tady je

𝜇𝐵 =𝑒ℏ

2𝑚𝑒≅ 0,9 × 10−23Am2

𝜇𝑁 =𝑒ℏ

2𝑚𝑃≅ 5,1 × 10−27Am2 jaderný magneton

Obdoba dříve zavedeného Bohrova magnetonu

Ve jmenovateli hmotnost protonu pro 𝜇𝑁 místo hmotnosti elektronu pro 𝜇𝐵. Elektron je asi 2000 krát lehčí, takže jaderný magneton je asi 2000 menší než Bohrův Proto na elektronovou spinovou resonanci jsou pro pole řádu Tesla potřeba frekvence GHz, kdežto na jadernou jenom MHz, jak jsme viděli.

𝐼 je spin, 𝛾 je gyromagnetický moment, číslo řádu jednotek

Pro proton 𝜇 ≅ 2,79282𝜇𝑁 Pro neutron 𝜇 ≅ −1,91304𝜇𝑁

Pro elektron koeficient je 1 nebo 2, kdežto tady to jsou takhle vachrlatá čísla —další náznak toho, že obě částice jsou složené. Navíc neutron by neměl magnetický moment vůbec, kdyby nebyl složený—nemá žádný náboj

Spin a magnetický moment některých jader

Slupkový model nejlépe funguje blízko magických čísel; uzavřená slupka dá nulu

1p(1/2)+2n(0)=3H 2p(0)+1n(1/2)=3He

7p(1/2)+8n=15N

8p+9n(5/2)=17O

jádro 𝑰/ℏ 𝝁/𝝁𝑵 jádro 𝑰/ℏ 𝝁/𝝁𝑵

n 1/2 -1.91 p 1/2 2.79

2H 1 0.86 3H 1/2 3

3He 1/2 -2.1 6Li 1 0.82

7Li 3/2 3.3 9Be 3/2 -1.2

10B 3 1.8 13C 1/2 0.7

14N 1 0.4 15N 1/2 -0.28

170 5/2 -1.9 19F 1/2 2.6

U těchto dvou jsou magnetické momenty blízké magnetickým momentům protonu a neutronu

Tady do uzavřené slupky chybí proton, takže magnetický moment má opačné znaménko než magnetický moment protonu. Má menší absolutní hodnotu, protože orbitální a spinový jdou proti sobě kvůli spin orbitální vazbě

Tady je nad uzavřenými slupkami jeden neutron, který má magnetický moment jen od spinu, protože nemá náboj. Proto magnetický moment je velmi blízký neutronu.

Můžeme analyzovat pomocí slupkového modelu

3p(3/2)+4n(0)=7Li

U čtyřech stabilních licho-lichých jader se spiny většinou sčítají

1p(1/2)+1n(1/2)= 2H

3p(3/2)+3n(3/2)=6Li

5p(3/2)+5n(3/2)=10B 7p(1/2)+7n(1/2)=14N

U zbylých licho-sudých nebo sudo-lichých jader víceméně funguje párování a tím vyrušení v sudé části

4p(0)+5n(3/2)=9Be

6p(0)+7n(1/2)=13C

9p(5/2)+10n=19F

Magnetický moment velmi blízký součtu magnetických momentů protonu a neutronu, protože orbitální pohyb nepřispívá

Tady se nesčítají

Sčítají se

V 14N chybí jeden proton a jeden neutron do uzavřené slupky, proton má zmenšený magnetický moment o orbitální část, proto kladný celkový magnetický moment

Všichni mají kladný magnetický moment

V jiných případech složitější

Znaménka magnetických momentů odpovídají lichému protonu a lichému neutronu

Znaménko magnetického momentu odpovídá chybějícímu neutronu do uzavřené slupky

Dva neutrony nad uzavřenou slupkou interagují s jedním protonem a zmenší spin jádra na ½ magnetický moment jako od spinu protonu

Náboj uzavřené slupky je sféricky symetrický

Odchylky od sférické symetrie popisuje kvadrupólový moment

𝒂

𝒃

𝑄 =2

5𝑎2 − 𝑏2 𝑍𝑒

𝑄 > 0 𝑄 = 0 𝑄 < 0

Měření:

Červeně vyznačená magická čísla, kde Q=0

Pole jádra v atomu nemá dno, proto elektrony hustěji a hustěji v atomech a velikost atomu zůstává zhruba stejná

U jádra zůstává zhruba stejná vzdálenost mezi sousedními nukleony daná minimem v pionové interakci Odtud stálá hustota a zvětšující se jádro

𝜌 =𝜌0

exp(𝑟 − 𝑅

𝑎 ) + 1

𝜌0 = 0,17u/fm3 ≅ 2,8 × 1017kg/m3

𝑅 ≅ 𝑟0𝐴1/3

Hustota jádra až do povrchové vrstvy

Poloměr jádra kde 𝑟0 ≅ 1,2fm

𝑎 ≅ 0,6fm Tloušťka povrchové vrstvy

u = 1g/𝑁A ≅ 1,6605 × 10−27kg Atomová hmotnostní jednotka

Prostorové rozložení hustoty

Význam veličin

Graf prostorového rozložení hustoty:

Atomová hmotnostní jednotka

u = 1g/𝑁A ≅ 1,6605 × 10−27kg ≅ 931,5MeV/𝑐2

𝑀𝑃 ≅ 1,6726 × 10−27kg ≅ 938,3MeV/𝑐2

𝑀𝑁 ≅ 1,6749 × 10−27kg ≅ 939,6MeV/𝑐2

Jak to?

Hmotnosti obou částic se mezi sebou liší asi o 1MeV, ale oba o 7 − 8MeV větší než u

je blízká hmotnosti protonu a neutronu,

Rozdíly:

𝐸 = 𝑚𝑐2

Uvidíme znovu, až budeme probírat štěpení

𝑀 𝐴, 𝑍 = 𝑍𝑀𝑃 + 𝑁𝑀𝑁 − 𝑊 𝐴, 𝑍 /𝑐2 která je tedy 7 − 8MeV na nukleon

Tato hodnota vyhovuje též požadavku, že potenciální energie je řádově rovna kinetické

—viz odhady energie základního stavu atomu vodíku a harmonického oscilátoru na cvičení

𝐸𝑘𝑖𝑛 ≅ℏ2

2𝑢𝑅2=

ℏ2

2𝑚𝑎𝐵2

𝑚

𝑢

𝑎𝐵

𝑅

2

= Ry𝑚

𝑢

𝑎𝐵

𝑅

2

≅

≅ 13,6eV0,51MeV

930MeV

0,53 × 10−10m

1,2 × 10−15m

2

= 13,6eV0,51

0,93

0,53

1,2

2

× 1010−3 ≅ 15MeV

což řádově souhlasí s jednotkami MeV; pro poloměr jsme vzali dolní odhad 𝑅 = 𝑟0

Opět kvůli Pokles hmotnosti je projevem vazebné energie W

Odhad kinetické energie:

Vazebná energie na nukleon 𝑊 𝐴, 𝑍 /𝐴 pro většinu prvků skutečně je kolem 8MeV

Křivka má maximum—lehká jádra se můžou slučovat, těžká štěpit a uvolní se energie —o tom ještě bude řeč

Zuby spojené s diskrétními hladinami a s paritou více vidět pro malá A

—kapkový model, Weizsacker

Výsledek kvantové mechaniky, který se dá popsat poloempirickou formulí

Kapkový model—členy s názorným fyzikálním významem plus odhad jejich velikosti

Klasické členy

1. Vazba nukleonů v jádře je přibližně konstantní—příspěvek k vazebné energii

𝑊1 = 𝑎1𝐴

2. Nukleony na povrchu jsou vázány méně—jednotka povrchu stojí energii povrchového napětí 𝜎, které vede ke kulatému tvaru kapky. Proto se vazebná energie sníží

𝑊2 = −𝜎 × 4𝜋𝑅2 = − 4𝜋𝑟2𝜎 𝐴2/3 ≡ −𝑎2𝐴2/3

3. Protony se odpuzují: vazebná energie se sníží o energii rovnoměrně nabité koule, kterou jsme spočítali na cvičení

𝑊3 = −3

5×

𝑍𝑒 2

4𝜋휀0𝑅= −

3

5×

𝑒2

4𝜋휀0𝑟0

𝑍2

𝐴1/3≡ −𝑎3

𝑍2

𝐴1/3

Lineární kvůli krátkému dosahu sil—každý nukleon interaguje jen se sousedy, jinak by bylo kvadratické, jako elektrická níže—každý s každým

Víme, že Ry =1

2×

𝑒2

4𝜋휀0𝑎𝐵 t.j.

𝑒2

4𝜋휀0= 2Ry𝑎𝐵

takže

𝑎3 =3

5×

𝑒2

4𝜋휀0𝑟0=

3

5× 2Ry

𝑎𝐵

𝑟0=

=3

5× 2 × 13,6eV ×

0,53 × 10−10m

1,2 × 10−15m=

3 × 2

5 × 1,2× 1,36 × 0,53MeV ≅ 0,72MeV

Odtud můžeme spočítat tuto poslední konstantu 𝑎3

Vazebná energie je řádu 10MeV, takže elektrická energie je dosti malá oprava, jak už jsme čekali

Hrubý odhad: Viděli jsme na cvičení, že klasický poloměr elektronu je řádově 1fm ≅ 𝑟0, takže 𝑎3 by mělo vyjít řádově klidová energie elektronu rovná zhruba 0,5MeV

Přesnější výpočet

Kvantové členy

4. Asymetrie stojí energii kvůli Pauliho principu

Matematicky: energie, na kterou přidáme další částici, roste s počtem částic

Říká se jí chemický potenciál, značí se písmenem 𝜇 a platí pro ni

𝐸 𝑍 + 1 − 𝐸 𝑍 = 𝜇 𝑍 Pro protony

Pro neutrony 𝐸 𝑁 + 1 − 𝐸 𝑁 = 𝜇 𝑁

a navíc 𝜇 je kvůli Pauliho principu rostoucí funkce svého argumentu

Pro oba druhy částic přibližně stejná závislost

Když je závislost energie na počtu částic dostatečně hladká, můžeme přiblížit rozdíl derivací

a totéž pro 𝑁

Takže

Odtud integrací 𝐸 𝑍 = d𝑍 𝜇 𝑍

𝑍

0

a totéž pro 𝑁

𝐸 𝑍 + 1 − 𝐸 𝑍 ≅d𝐸 𝑍

d𝑍= 𝐸′ 𝑍

𝐸′ 𝑍 = 𝜇 𝑍

Takže Taylorův rozvoj dá 𝐸 𝑍 + 𝐸 𝑁 = 𝐸

𝑍 + 𝑁

2+

𝑍 − 𝑁

2+ 𝐸

𝑁 + 𝑍

2+

𝑁 − 𝑍

2=

= 𝐸𝐴

2−

𝑁 − 𝑍

2+ 𝐸

𝐴

2+

𝑁 − 𝑍

2≅

≅ 𝐸𝐴

2+ 𝐸′

𝐴

2× −

𝑁 − 𝑍

2+

1

2𝐸′′

𝐴

2−

𝑁 − 𝑍

2

2

+

+𝐸𝐴

2+ 𝐸′

𝐴

2× +

𝑁 − 𝑍

2+

1

2𝐸′′

𝐴

2+

𝑁 − 𝑍

2

2

Konstantní a kvadratické členy se sečtou, lineární se odečtou

𝐸 𝑍 + 𝐸 𝑁 ≅ 2𝐸𝐴

2+ 𝐸′′

𝐴

2

𝑁 − 𝑍

2

2

Ovšem 𝐸′𝐴

2= 𝜇

𝐴

2 takže 𝐸′′

𝐴

2= 𝜇′

𝐴

2

𝐸 𝑍 + 𝐸 𝑁 ≅ 2𝐸𝐴

2+ 𝜇′

𝐴

2

𝑁 − 𝑍

2

2

Chemický potenciál kvůli Pauliho principu roste s počtem částic, takže 𝜇′𝐴

2> 0

𝐸𝐴

2 roste zhruba lineárně s argumentem, kvůli krátkodosahové síle

Derivace je zhruba dělení argumentem, takže první derivace 𝐸 tj. 𝜇 roste pomalu

𝜇′𝐴

2≅

𝐶

𝐴2

a druhá derivace 𝐸 tj. první derivace 𝜇 klesá jako mínus první mocnina

Přírůstek k energii od asymetrie proto zhruba je

𝐶

𝐴2

𝑁 − 𝑍

2

2

=𝐶

2

𝑁 + 𝑍 − 2𝑍 2

𝐴=

𝐶

2

𝐴 − 2𝑍 2

𝐴

Takže asymetrií se vazebná energie se sníží o energii

𝑊4 = −𝐶

2

𝐴 − 2𝑍 2

𝐴≡ −𝑎4

𝐴 − 2𝑍 2

𝐴

Ale roste pomalu:

Odtud vidíme, že při zadaném poměru protonů a neutronů energie od asymetrie roste lineárně s počtem nukleonů, tak jako objemový člen vazebné energie

𝐶

2

𝐴 − 2𝑍 2

𝐴=

𝐶

2

𝐴 − 2𝑍 2

𝐴2 𝐴 =𝐶

21 −

2𝑍

𝐴

2

𝐴

5. Parita ovlivňuje energii kvůli párování:

Už jsme říkali, že nejstabilnější jsou sudo-sudá jádra, pak sudo-lichá a licho-sudá

Licho-lichá jsou až na první čtyři nestabilní

Závislost na paritě klesá s rostoucím hmotnostním číslem, zhruba jako 𝐴−3/4

Matematické vyjádření

𝑊5 =

+𝛿

𝐴3/4

0

−𝛿

𝐴3/4

sudo-sudá

sudo-lichá a licho-sudá

licho-lichá

Celkově:

𝑊 𝐴, 𝑍 = 𝑎1𝐴 − 𝑎2𝐴2/3 − 𝑎3

𝑍2

𝐴1/3− 𝑎4

𝐴 − 2𝑍 2

𝐴+ 𝑊5

Weizsackerova formule

Prozkoumáme na cvičení

Už víme, že 𝑎3 ≅ 0,72MeV

Vazebná energie kolem 10MeV znamená, že 𝑎1 bude též někde kolem 10MeV, o něco větší protože ostatní členy od ní odečítají. 𝑎2 má stejný původ, takže bude mít podobnou velikost

Skutečně to takhle vyjde. Hodnoty v MeV:

Koeficienty 𝑎4 a 𝛿 jsou odvozeny od celkové energie, nejen potenciální, a proto budou větší, i když stejného řádu

𝑎1 ≅ 15,8 𝑎2 ≅ 17,8

𝑎4 ≅ 23,7 𝛿 ≅ 34

Graficky: podíl jednotlivých členů na vazebné energii na nukleon 𝑊 𝐴, 𝑍 /𝐴

𝑊 𝐴, 𝑍

𝐴= 𝑎1 −

𝑎2

𝐴1/3− 𝑎3

𝑍2

𝐴4/3− 𝑎4

𝐴 − 2𝑍 2

𝐴2+

𝑊5

𝐴

konst klesá roste zhruba konst

malé

Asymetrický člen ve skutečnosti mírně roste, protože trochu roste nadbytek neutronů na jeden nukleon—prozkoumáme na cvičení

To bude mít zásadní význam pro štěpnou reakci, kterou probereme později

Weizsackerova formule určuje tvar nuklidového diagramu

Čára nejstabilnějších jader začíná diagonálně a pak se odklání k N-rich

Obdoba periodické tabulky prvků pro jádra

Červeně magická čísla

Ještě názorněji, když vynášíme na třetí osu rozdíl vazebné energie nejstabilnějšího isobaru a daného nuklidu, takže nejstabilnější isobary jsou na dně údolí, které má parabolický tvar—viz cvičení

Do údolí padají jádra prostřednictvím 𝛽 rozpadů: 𝛽− z neutron-rich a 𝛽+ z proton-rich

Na konci údolí 𝛼 rozpad, jak je ukázáno na předešlé stránce

Tím se dostáváme k radioaktivitě

--to bude také na cvičení