Prezentace aplikace PowerPoint - Polyx · Model vývoje dvou populací v Jaderském moři: oběť x...

Nelineární systémy

Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

Zimní semestr 2006 SRI | M. Šebek | FEL ČVUT 2

Numerická konstrukce fázových portrétů

Pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic existuje mnoho programů Můžeme je použít ke kreslení fázových portrétů Několik praktických rad, jak nakreslit hezké portréty (další rady v literatuře)


Výpočet trajektorie

Trajektorii (řešení) rovnice , která prochází bodem najdeme tak, že 1. řešíme rovnici z bodu kupředu,

tj. v rostoucím (kladném) čase 2. řešíme rovnici z bodu dozadu,

tj. v klesajícím (záporném) čase a to tak, že v kladném (normálním) čase řešíme rovnici

Platí totiž

( )x f x=

( )x f x= 0x

0(0)x x=

0( ), (0)x f x x x−= =

( )x f x= 0(0)x x=

( ) ( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ( ))( ) ( )

dx t dx t dx tx f x t f x t f x tdt d t d t

− −= = → = − → = − −

−


fwd=dsolve('Dx=exp(x)','x(0)=-2'), ezplot(fwd), hold on fwd = -log(-t+exp(2)) bwd=dsolve('Dx=-exp(x)','x(0)=-2'),ezplot(bwd) bwd = -log(t+exp(2))

Příklad

Rovnice řešíme dopředu a dozadu

2( ) ln, (0) 2 ( )x xx e x t t e= − −− → += =2( ) ln( ), (0) 2x xx te tx e= − = − → = − +

, (0) 2xx e x= = −


Použití pro fázový portrét

Fázový portrét systému

kreslíme takto: 1. vyberme jeden bod trajektorie 2. část trajektorie, vycházející z tohoto bodu („dopředu“)

vypočteme integrací rovnic s počátečními podmínkami

3. část trajektorie, končící v tomto bodě („dozadu“) vypočteme integrací rovnic s počátečními podmínkami

1 1 1 2

2 2 1 2

( , )( , )

x f x xx f x x==

1 2[ , ]P Px x

1 1 1 2

2 2 1 2

( , )( , )

x f x xx f x x==

1 1 2 2(0) , (0)P Px x x x= =

1 1 1 2

2 2 1 2

( , )( , )

x f x xx f x x= −= −

1 1 2 2(0) , (0)P Px x x x= =


Další důležité věci

Uvedený postup je jedinou možností, jak dostat hezký portrét v okolí nestabilních uzlů, nestabilních ohnisek nestabilních cyklů

Důležitou věcí je také správně zvolit rozsahy: aby portrét obsahoval všechny zajímavé jevy všechna ekvilibria a aby v něm všude integrační metoda fungovala když toho dopředu moc nevíme, postupujeme iteračně


Přehled

Tlumené kyvadlo – podle Newtona Oscilátor – podle Van der Pola Nosník – podle Eulera Klarinet a housle – podle Reyleigho Dravci a oběti – podle Volterry Tunelová dioda Vítr DW oscilátor Adaptivně řízený systém další příklady

Příklady nelineárních systémů

Tlumené kyvadlo – podle Newtona

Isaac Newton Rovnice Simulink

Fázový portrét


Sir Isaac Newton 1643 – 1727


Isaac Newton

Newton [njútn], sir Isaac, * 4. 1. 1643, † 31. 3. 1727, anglický fyzik, matematik a astronom; člen, v letech 1703 – 27 předseda Královské spol. v Londýně. Roku 1705 povýšen do šlechtického stavu. Zakladatel klasické mechaniky. Objevil gravitační zákon, podílel se (souběžně s G. W. Leibnizem) na vytvoření infinitezimálního počtu. Prováděl optické výzkumy, objasnil rozklad světla, zkonstruoval zrcadlový dalekohled. Zabýval se též alchymií.

V díle Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematické základy přírodovědy) formuloval tři základní zákony dynamiky (dnes nazývány Newtonovy).


Tlumené kyvadlo - rovnice

Pohybová rovnice v tečném směru Pro stavové proměnné dostaneme model

sinml mg klϕ ϕ ϕ= − −

1 2,x xϕ ϕ= =

1 2

2 2 1sin( )

x xk gx x xm l

=

= − −

Podobné rovnice:

• synchronní generátor připojený na nekonečné vedení

• Josephsonovy obvody


Tlumené kyvadlo - Simulink

1 2, 0π= =x x

cokoli jiného

Model v Simulinku pend_damp


Tlumené kyvadlo - fázový portrét

fázový portrét tlumeného kyvadla

demoph2

Oscilátor – podle van der Pola

Balthasar van der Pol Oscilátor

Fázový portrét


Balthasar van der Pol

Balthasar van der Pol, 1889-195918 Holandský elektroinženýr. Jako jeden z prvních studoval experimentálně dynamiku v laboratoři v dvacátých a třicátých letech. Zkoumal elektrické obvody s vakuovými lampami a objevil, že mohou mít stabilní oscilace, dnes nazývané limitní cykly. V rovce 1927 publikoval (s kolegou van der Markem) v Nature článek o „nepravidelném šumu“, který pozoroval pro některé budící frekvence. Z rekonstrukce jeho pokusí dnes víme, že objevil deterministický chaos. Sestrojil mnoho elektronkových modelů lidského srdce a na nich studoval jeho dynamiku. Zkoumal vliv buzení analogický vlivu kardiostimulátoru. Snažil se najít způsob, jak stabilizovat srdeční arytmie.


Oscilátor

RLC obvod s lineárními L, C a nelineárním rezistorem s kubickou charakteristikou

Pro stavy jsou stavové rovnice

2( 1)i v vα= −

1 2,L Cx i x v= =

( )1 2

22 1 2 2

1

1 ( 1)

x xL

x x x xC

α

=

= − + −


Oscilátor - fázový portrét

Fázový portrét pro triviální řešení periodické řešení

1L C= =

nestabilní ekvilibrium

limitní cyklus

demophVanDerPol

Nosník – podle Eulera

Leonard Euler Rovnice

Netlumený nosník Malé zatížení Větší zatížení

Ekvilbria Bifurkace

Tlumený nosník


Leonard Euler 1707 – 1783


Leonard Euler

Euler [ojlr] Leonhard * 15. 4. 1707, † 18. 9. 1783, švýcarský matematik, fyzik a astronom. Působil v Petrohradě a v Berlíně. Napsal řadu učebnic matematiky. Pracoval v teorii čísel a integrálů; zabýval se diferenciálními rovnicemi, variačním počtem, exponenciálními a goniometrickými funkcemi i úlohami geometrickou tematikou.

Známá je např. Eulerova hypotéza (později přesně dokázaná), že tzv. úloha o 36 důstojnících nemá řešení. Pro geofyziku má význam zejména jeho studie rotace tuhého tělesa. Viz též Eulerova perioda.


Ohnutý nosník – rovnice

Pohybová rovnice ve směru x Pro stavové proměnné dostaneme model

3 0mx dx x x xµ λ+ − + + =

1 2,x x x x= =

1 2

32 2 1 1

1x x

dx x x xm m m

µ λ=

−= − + −

tlumení zatížení pružná síla v nosníku


Nosník netlumený - malé zatížení

Pro malé zatížení se nosník stlačí, ale neprohne

µ λ<demophBuckledBeam1eq

Hamiltonovský systém

0d =


Nosník netlumený - větší zatížení

Pro velké zatížení se nosník prohne

µ λ>demophBuckledBeam2eq

0d =


Ohnutý nosník - ekvilibria

23

2 1 1

0

0 ( )µ λ

=

= − + − −

xdx x x

2 12

2 1

0, 0

0,

x xx x µ λ

= =

= = −

1 2

32 2 1 1

1x x

dx x x xm m m

µ λ=

−= − + −

1 2

1 2

: 0

: 0, ; 0

x x

x x

µ λ

µ λ µ λ

≤ = =

> = ± − =

1 ekvilibrium

3 ekvilibria


Nosník - Bifurkace

µ λ>

µ λ<

µ λ=

Přechod mezi neohnutým a ohnutými stavy

Bifurkace


Nosník - tlumený

není Hamiltonovský

0.310.8

dλµ

===

demophBuckledBeam1eqDumped


Nosník – tlumený, větší zatížení

0.313

dλµ

===

demophBuckledBeam2eqDumped

Klarinet a housle – podle Rayleigho

Baron Rayleigh Zvuk hudebních nástrojů

Foukání na klarinet Vliv parametrů

Smyčec a housle Fázový portrét

Zimní semestr 2006 SRI | M. Šebek | FEL ČVUT 29 John William Rayleigh, 1842 – 1919


Baron Rayleigh

Rayleigh [rejli] John William, baron, 12. 11. 1842, † 30. 6. 1919, britský fyzik; profesor na univerzitě v Cambridgi. 1879 – 84 ředitel Cavendishovy laboratoře, člen a 1905 – 08 ředitel Královské společnosti v Londýně. Zabýval se optikou, akustikou a elektromagnetismem, objevil (spolu s W. Ramsayem ) argon a zákon o záření absolutně černého tělesa. Rayleighovy výzkumy přispěly k rozšíření fyzikálních znalostí o stavu hmoty. Nobelova cena v roce 1904 za výzkumy o hustotě nejdůležitějších

plynů a za objev argonu.


Teorie zvuku hudebních nástrojů

J. W. Rayleigh: The Theory of Sound: Vols. I and II. Dover (1945 edition), 1887.

Rayleigh rozlišuje dva druhy hudebních nástrojů:

„perkusní (bicí)“: bubny, kytary, piána modeluje tlumenými oscilacemi, jednoduchá dynamika vlastně jen přechod do ustáleného stavu „udržované“: smyčcové a dechové moduluje „udržovanými oscilacemi“ = uzavřenými orbity


Foukání na klarinet – podle Rayleigho

Rayleigh popisuje jazýček klarinetu jako lineární oscilátor a efekt klarinetistova foukání členem na pravé straně (záporné tlumení pro malé a kladné pro velké). Tedy celkem nebo

0x kx+ =

3( ) , , 0x xα β α β− >

x

3( ) 0x x x kxα β− + + =

1 23

2 2 2 1

x xx x x kxα β

=

= − −


Klarinet - fázový portrét

Fázový portrét demophClarinet


Klarinet – Vliv parametrů na zvuk

1kα β= = =

tužší jazýček (tužší pružina, větší k)

bohatší tón , 1, 3kα β = =

tvrdší foukání (širší charakteristika tření, menší )

hlasitější zvuk , 1, 0.5kα β= =

β

demophClarinet,demophClarinet2,demophClarinet3


Rayleigh navrhl model analogický systému hmotnost-pružina položenému na pásovém dopravníku s konstantní rychlostí Tedy celkem

nebo stavově

Smyčec a houslová struna

( ) 0mx kx f x b+ + − =

1 2

2 1 21 ( )

x xkx x f x bm m

=

= − − −

struna bez smyčce ~ hmotnost-pružina

použití smyčce ~ tření mezi pásem a tělesem


Smyčec a struna - fázový portrét

limitní cyklus - asi špatně kreslí ?

demophBowingString

Dravci a oběti – podle Volterry

Vito Volterra Dravec a oběť Omezený růst

Soutěžící populace


Vito Volterra 1860-1940


Vito Volterra

Vito Volterra, 1860 - 1940

Volterra publikoval články o parciálních diferenciál-ních rovnicích, zejména o rovnicích cylindrických vln. Nejslavnější je jeho práce o integrálních rovnicích, zejména o té, které se dnes říká „Volterrova integrální rovnice“. Další info na:

www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Volterra.html


Dravec a oběť

Hrabě Vito Volterra: Model vývoje dvou populací v Jaderském moři: oběť x dravec y Model je velmi zjednodušený. Možno přidat např.

omezený růst (o. bez d. a d. s o.) kvůli sociálním faktorům soutěžící druhy (každý druh jí ten druhý)

x ax bxyy cxy dy= −= −

, , , , , 0a b c d x y >

( )( )

x a by x xy cx d y y

λµ

= − −= − −

, , , , , 0a b c d λ µ >

x ax bxyy dy cxy= −= −


Dravec a oběť

další kvadranty nemají fyzikální smysl

(0,0);(1,1);ex =

oběti

drav

ci


Dravec a oběť s omezeným růstem

(0,0);(1,0); (0, 1)ex = −

drav

ci

oběti


Soutěžící populace

(0,0);(1,1);ex =

druh1

druh

2


Obvod s tunelovou diodou

RLC obvod s tunelovou diodou

cC

LL

dvi Cdtdiv Ldt

=

=

( )R Ri h v=

( )

( )

1 1 2

2 1 2

1 ( )

1

x h x xC

x x Rx uL

= − +

= − + +


Charakteristika tunelové diody

Polynomiální charakteristika ( )R Ri h v=

2 3 4 5( ) 17.76 103.79 229.62 226.31 83.72R R R R R Rh v v v v v v= − + − +

až 3 rovnovážné stavy podle zátěže


Fázový portrét

x=0:.01:1;plot(x,tunneldiode(x))

demophTunnel

[ ]Rv V

[ ]Ri mA


Počet rovnovážných stavů

Vítr – podle

Oscilace vynucené větrem


Systém s oscilacemi vynucenými větrem

Sastry, s. 342

tlumení rozladění

1 1 1 2 2 1 2

2 22 2 1 1 2 1 2

1 ( )2

x x x x x

x x x x x

µ µ

µ µ

= − − +

= − + +

1

2

01

µµ

==


Vítr

případ limitní cykly (heteroklinické orbity)

(-2,0),(0, 0)ex =

1

2

01

µµ

==


Vítr

případ

(-2.383,0.704),(0, 0)ex =

1 2 1µ µ= =

Double Well oscilátor

Rovnice Vliv buzení

Chaos Citlivost na počáteční podmínky

Poincarého řez Bifurkace


Double Well oscilátor

magneto-elastický mechanický systém v klidu má 2 ustálené stavy periodická budící síla popsán Duffingovou rovnicí tlumení amplituda budící síly budící frekvence

3 cos( )x bx x x F tω+ − + =

bFω

1 23

2 2 1 1 cos( )

x xx bx x x F tω=

= − + − +


DW Oscilátor - bez buzení

Bez buzeni 0.05

01

bFω

===

0, 1ex = ±

double well = dvojitá jáma


DW Oscilátor

Bez buzeni

1 20.05, 0, 1 ( (0) 1.5, (0) 1)b F x xω= = = = = 0, 1ex = ±

DWoscilatorMS


DW Oscilátor - malé buzení

Malé buzeni

2 stabilní limitní cykly

0.250.221

bFω

===


DW Oscilátor

Malé buzeni

1 20.25, 0.22, 1 ( (0) 1, (0) 0)b F x xω= = = = =

DWoscilatorMS

Stabilní limitní cyklus

je tam ještě jeden


DW Oscilátor - větší buzení

Větší buzeni – přechodný chaos

jako dříve 2 stabilní limitní cykly ale přechodový jev je chaotický při malé změně počát. podmínek může skončit na druhé straně hranice oblastí počátečních podmínek vedoucích k jednotlivým cyklům jsou složité: mají fraktální charakter

0.250.2451

bFω

===


DW Oscilátor

Větší buzeni

1 20.25, 0.245, 1 ( (0) 1, (0) 0)b F x xω= = = ≅ =

1(0) 1x =

1(0) 1.01x =

1(0) 0.985x =

1(0) 1.02x =


DW Oscilátor

Ještě větší buzeni - chaos

chaotické chování

0.250.41

bFω

===


DW Oscilátor

Ještě větší buzeni

1 20.25, 0.4, 1 ( (0) 1, (0) 0)b F x xω= = = = =

Chaos


DW

Při dalším zvětšování buzení se chování zase mění Např. pro F = 0.5 se zdá být zase limitní cyklus obdobně při změnách dalších parametrů zkuste sami 0.15, 0.3, 1b F ω= = =


DW Citlivost na počáteční podmínky

Co to znamená velká citlivost na počáteční podmínky?

0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 a 4.0

Jak se rozpliznou blízké počáteční stavy po

cyklech délky 2*pi


DW Citlivost na počáteční podmínky

A takhle to vypadá po 25 cyklech: Poznáte, kde to začalo?

Poznámka: Výpočet těchto 25

cyklů při 200 krocích integrace v cyklu pro 40000

počátečních podmínek trval přes 7 hodin na rychlém počítači

s 9000 mips! www.apmaths.uwo.ca/ ~bfraser/


DW

další zajímavý obrázek: extrém vs. extrém

extrém v kroku i


DW – Poincarého řezy

Přidáme-li jako třetí rozměr velikost budící síly, dostaneme třírozměrný fázový portrét. Jeho dvourozměrný řez (třeba pro sílu ) odhalí, že to je (3-D) podivný atraktor. je překvapivé že po 2pi skáče po tak hezké křivce (srovnej obr

cos(2 )f F n Fπ= =


I zde jsou bifurkace

1, [1.0,1.1], 1b F ω= ∈ =

animace bifurkací

Date post:	21-Jun-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

Prezentace aplikace PowerPoint - Polyx · Model vývoje dvou populací v Jaderském moři: oběť x...

Documents