PROF.ING MILOŠ STARÝ CSC HYDROLOGIE -...

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

PROF.ING. MILOŠ STARÝ, CSC.

HYDROLOGIE MODUL 01

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Hydrologie · Modul 01

- 2 (213) -

© Miloš Starý, Brno 2005

Obsah

- 3 (213) -

OBSAH

1 Úvod 7 1.1 Cíle ........................................................................................................7 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................7 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................7 1.4 Klíčová slova.........................................................................................7

2 Vývoj, význam a základní pojmy ................................................................8 2.1 Význam a rozdělení hydrologie ............................................................8 2.2 Vývoj hydrologie ..................................................................................9 2.3 Rozdělení vody na zemi ......................................................................10 2.4 Koloběh vody na zemi ........................................................................11 2.5 Povodí .................................................................................................12

2.5.1 Povodí v České Republice ....................................................14 2.6 Vodní útvary .......................................................................................14

2.6.1 Vymezení útvarů povrchových vod ......................................15 2.6.2 Vymezení útvarů podzemních vod .......................................19

2.7 Srážkoodtokový proces v povodí ........................................................20 2.8 Základní bilanční rovnice....................................................................23

3 Klimatičtí činitelé........................................................................................23 3.1 Vlhkost ovzduší...................................................................................24 3.2 Výpar...................................................................................................25 3.3 Srážky..................................................................................................27

3.3.1 Vznik a druhy........................................................................27 3.3.2 Extrémní deště ......................................................................28 3.3.3 Závislost intenzity deště na velikosti zasažené plochy .........30 3.3.4 Měření srážek........................................................................31 3.3.4.1 Měření srážek pomocí srážkoměrů .......................................32 3.3.4.2 Radarová měření ...................................................................38 3.3.4.3 Satelitní měření .....................................................................41 3.3.5 Zpracování výsledků měření ze srážkoměrů.........................43 3.3.6 Předpovědi srážek .................................................................46 3.3.6.1 Numerické modely................................................................47 3.3.6.2 Nowcasting ...........................................................................58 3.3.7 Syntetické deště ....................................................................64 3.3.8 Extrémně vydatné srážky v ČR.............................................76 3.3.9 Plošné rozložení srážky v povodí .........................................78 3.3.9.1 Krigeho metody ................................................................80 3.3.10 Sněhová pokrývka.................................................................91 3.3.10.1 Výpočet zásoby sněhu na území ...........................................92 3.3.10.2 Tání sněhové pokrývky.........................................................92 3.3.11 Získání potřebných údajů o měřených srážkách...................94

4 Geografičtí činitelé......................................................................................95


- 4 (213) -

4.1 Fyzikálně-geometričtí činitelé ............................................................ 95 4.2 Geologické vlastnosti povodí ............................................................. 97

4.2.1 Infiltrace ............................................................................... 98 4.2.2 Měření potenciální infiltrace ................................................ 99 4.2.2.1 Vyhodnocení měření .......................................................... 101 4.2.3 Vztahy mezi srážkou, infiltrací a odtokem......................... 109 4.2.4 Influkčně infiltrační schopnost půdy.................................. 113 4.2.5 Navlhání ............................................................................. 116 4.2.6 Povrchová retence .............................................................. 116

4.3 Vegetační pokryv.............................................................................. 116 4.4 Říční síť ............................................................................................ 117

5 Vodní stavy a průtoky ............................................................................. 119 5.1 Vodní stavy a jejich pozorováni ....................................................... 119 5.2 Měření průtoků ................................................................................. 121

5.2.1 Přímé měření ...................................................................... 121 5.2.2 Nepřímé měření.................................................................. 121

5.3 Měrná křivka průtoku (MKP)........................................................... 125 6 Vodní nádrže ............................................................................................ 127 7 Zpracování hydrologických dat.............................................................. 130

7.1 Popisující charakteristiky základního souboru................................. 131 7.1.1 Pravděpodobnostní funkce ................................................. 131 7.1.1.1 Hustota pravděpodobnosti.................................................. 131 7.1.1.2 Distribuční funkce .............................................................. 132 7.1.1.3 Funkce pravděpodobnosti překročení ................................ 132 7.1.2 Statistické charakteristiky .................................................. 133 7.1.2.1 Parametry základního souboru ........................................... 133

7.2 Popisující charakteristiky náhodného výběru................................... 136 7.2.1 Empirické pravděpodobnostní funkce................................ 137 7.2.1.1 Velký počet prvků v souboru ............................................. 137 7.2.1.2 Malý počet prvků v souboru............................................... 138 7.2.2 Stanovení výběrových charakteristik ................................. 139 7.2.2.1 Velký počet prvků v souboru ............................................. 139 7.2.2.2 Malý počet prvků v souboru............................................... 140

7.3 Aproximace empirických rozdělení teoretickými ............................ 141 7.3.1 Normální rozdělení............................................................. 141 7.3.2 Lognormální rozdělení (logaritmicko-normální rozdělení) 142 7.3.3 Rozdělení Pearson III ......................................................... 143 7.3.4 Obecný postup při aproximaci empirických rozdělení

teoretickými........................................................................ 144 7.4 Užití regresní analýzy v hydrologii .................................................. 144

7.4.1 Metody optimalizace .......................................................... 146 7.4.1.1 Statistická optimalizace...................................................... 146 7.4.1.2 Numerická optimalizace..................................................... 147 7.4.2 Posouzení úspěšnosti odhadu ............................................. 151

Obsah

- 5 (213) -

7.4.2.1 Koeficient korelace .............................................................151 7.4.2.2 Koeficient determinace .......................................................152 7.4.2.3 Směrodatná chyba odhadu (směrodatná odchylka) ...........152

7.5 Neuronové sítě ..................................................................................152 7.5.1 Základní pojmy ...................................................................154 7.5.1.1 Přenosové funkce ................................................................158 7.5.1.2 Způsob učení (trénování) ....................................................161 7.5.1.3 Metoda zpětného šíření .......................................................162 7.5.1.4 Příklad užití metody zpětného šíření...................................167 7.5.1.5 Topologie neuronových sítí ................................................173 7.5.1.6 Standardizace dat ................................................................178 7.5.2 Neuronové sítě a regrese.....................................................179 7.5.3 Možnosti nasazení neuronových sítí v hydrologii ..............180

7.6 Časové řady v hydrologii ..................................................................184 7.6.1 Průtokové řady....................................................................184 7.6.2 Dekompozice hydrologických řad ......................................186 7.6.3 Vnitřní struktura hydrologických řad..................................189 7.6.4 Spektrální hustota................................................................190 7.6.5 Průtoky v toku jako náhodné procesy.................................190 7.6.5.1 Klasifikace náhodných procesů ..........................................191 7.6.6 Zvýšení reprezentativnosti průtokových řad.......................191

7.7 Rozdělení průtokových řad ...............................................................192 7.8 Odvozování průtokových řad............................................................193

7.8.1 Odvozování v poměru dlouhodobých průměrných průtoků193 7.8.2 Odvozování pomocí srážkoodtokových úhrnných křivek ..193

7.9 Generování umělých průtokových řad..............................................194 7.9.1 Požadavky na matematické modely náhodných řad ...........195 7.9.2 Generátory...........................................................................195 7.9.2.1 Model absolutně náhodné posloupnosti..............................195 7.9.2.2 Lineární regresní stochastické modely................................196 7.9.2.3 Matematické modely vycházející z Box-Jenkinsovy

metodologie.........................................................................197 7.9.2.4 Periodické modely ..............................................................198 7.9.2.5 Desagregační modely..........................................................199

7.10 Nejistoty ............................................................................................202 7.10.1 Postup vyhodnocení nejistot při měřeni a kalibracích ........203 7.10.2 Děleni typu nejistot .............................................................203 7.10.2.1 Výpočet nejistoty typu A ....................................................203 7.10.2.2 Výpočet nejistoty typu B ....................................................204 7.10.3 Možné zdroje nejistot typu B..............................................204 7.10.3.1 Postup při určování nejistot typu B :...................................205 7.10.4 Kombinovaná standardní nejistota......................................206 7.10.5 Rozšířená standardní nejistota U ........................................206 7.10.6 Výklad - standardní a rozšířená nejistota............................206


- 6 (213) -

7.10.7 Případy standardní a rozšířené nejistoty můžeme ilustrovat pro normální rozděleni. ...................................................... 207

7.10.8 Odhad rozdělení pro složky nejistoty typu B ..................... 207 7.10.9 Shrnutí postupu výpočtu nejistoty...................................... 210 7.10.10 Zdroje nejistoty měřeni ...................................................... 213

- 7 (213) -

1 Úvod

Hydrologie je věda zabývající se zákonitostmi výskytu a oběhu vody v přírodě. Pro její pochopení je nutno seznámit se s pojmy jako jsou: hydrosféra, povodí, srážkoodtokový proces v povodí a jeho složky, činitelé ovlivňující srážkoodtokový proces, hydrologické ztráty a jejich kvantifikace, staniční síť, přístrojová technika, srážky, výpar, evapotranspirace, vlhkost ovzduší, vodní stavy a průtoky , zpracování hydrologických dat, toky a říční síť, maximální a minimální průtoky, plaveniny a splaveniny, stavy podzemních vod a podzemní odtok, bilance povrchových a podzemních vod, stochastická hydrologie, teorie náhodných procesů, pravděpodobnostní a statistické metody užívané v hydrologii pro zpracování hydrologických dat, reálné a umělé průtokové řady, operativní hydrologie, simulační a predikční modely srážkoodtokového procesu a odtoku vody z povodí, modelování odtoku vody z povodí za povodní.

1.1 Cíle

Hydrologie je jedním ze základních teoretických předmětů studijního oboru Vodní hospodářství a vodní stavby. Jejím obsahem je poskytnout posluchači základní informace o:

• základních znalostech vztahujících se k výskytu a oběhu vody v přírodě, • přehled o základních hydrologických veličinách v povodí, • kvantifikaci hydrologických veličin a jejich vzájemné souvislosti, • modelování srážkoodtokového procesu, • metodách předpovědí vodních stavů a průtoků, • vodních útvarech v duchu legislativy EU.

1.2 Požadované znalosti

Základní znalosti z vyšší matematiky, základní znalosti z fyziky, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky, základy hydrauliky

1.3 Doba potřebná ke studiu

Průběžně jeden semestr.

1.4 Klíčová slova

Hydrosféra, povodí, srážkoodtokový proces, hydrologické ztráty, staniční síť, toky a říční síť, extrémní průtoky, stochastická hydrologie, simulace a předpovědi srážkoodtokového procesu, podzemní vody, splaveniny.


- 8 (213) -

2 Vývoj, význam a základní pojmy

Hydrologie je věda, která se systematicky, vlastními metodami a prostředky zabývá zákonitostmi výskytu a oběhu vody v přírodě. Ty jsou pak využívány v mnoha oblastech lidské činnosti. Hydrologie je v současné době velmi rozsáhlý vědní obor, který se zvláště v posledních letech, vlivem úkolů, které na ni lidstvo klade a vlivem rozvoje měřící a výpočetní techniky velmi rychle rozvíjí.

2.1 Význam a rozdělení hydrologie

Význam a úloha hydrologie plyne z nepostradatelnosti vody pro vše živé, pro život a činnost člověka. Získané znalosti o zdrojích vod, o vzniku a rozdělení odtoku vod na povrchu i pod povrchem zemským, mohou pak být využity pro zlepšení podmínek života na Zemi. Hydrologické údaje, obsahující důležité charakteristiky vodního režimu toku, jsou podkladovým materiálem, na jehož základě je třeba navrhnout koncepčně správné, hospodárné a dobře fungující vodohospodářské dílo, jsou potřebnými podklady, umožňujícími provést takové vodohospodářské zásahy, aby znamenaly zlepšení dosavadních vodních poměrů.

Na výsledcích hydrologie staví hydrotechnika, zabývající se problematikou využití vodní energie, výstavbou přehrad, jezů, splavněním toků a všemi otázkami vodních cest. Kromě přehrad jsou to též úpravy toků, kterými lze do určité míry zajistit zlepšení odtokových poměrů a ochranu přilehlých území před povodněmi. Dále to jsou hydromeliorace, v jejichž rámci budujeme závlahy a odvodnění zemědělských pozemků, provádí se protierozní opatření v postižených nebo na erozi náchylných územích. Do této oblasti patří též hrazení bystřin a zakládání rybníků. Dále je to zdravotní inženýrství, pro které hydrologie poskytuje podklady, nutné k řešení všech otázek spojených s problematikou lázeňství, odvádění a čištění odpadních vod, zajišťováním sídlišť a průmyslu pitnou a užitkovou vodou atd.

Potřeba a spotřeba vody neustále narůstá. Vzhledem k omezenému množství vody je třeba nároky společnosti plánovat tak, aby vodní zdroje byly pro různé národohospodářské účely využívány racionálně a optimálním způsobem. Tuto celkovou řídící a koncepční úlohu zastává vodní hospodářství. Jeho činnost je prakticky nemyslitelná bez dobrých a spolehlivých hydrologických podkladových materiálů.

Hydrologie spolupracuje a využívá poznatky mnoha styčných oborů. Především je to:

meteorologie, zkoumající fyzikální změny a děje v ovzduší, kde se odehrává přeměna par na vodní srážky, transport vláhy na velké vzdálenosti apod.,

klimatologie, zkoumající dlouhodobý režim počasí. O něm víme, že má zásadní vliv nejen na hydrologické poměry dané oblasti.

pedologie, geologie a hydrogeologie, zabývající se prostředím, do kterého voda po dopadu na zemský povrch infiltruje,

hydraulika, zabývající se klidem a pohybem vody,

- 9 (213) -

a řada dalších jako agrotechnika, atd.

Kromě toho využívá postupy, metody a prostředky teoretických vědních oborů jako matematika, statistika, teorie pravděpodobnosti, fyzika, chemie a pod.

Hydrologii lze rozdělit na hydrologii moří a hydrologii pevnin. Tu můžeme dále dělit na hydrologii atmosféry (hydrometeorologie), hydrologii tekoucích vod (potamologie), hydrologii stojatých vod (limnologie) , hydrologii podzemních vod a hydrologii ledovců (glaciologie).

Hydrologie se dělí na několik oddílů. Ta část, zabývající se pozorováním, cílevědomým shromaždováním, klasifikací, tříděním a zpracováváním získaného materiálu, se nazývá hydrografie. Základním předpokladem činnosti je měření hydrologických prvků. Proto další oddíl, zvaný hydrometrie, se věnuje návrhu vhodných přístrojů, metod měření a samotnému měření v terénu.

Část hydrologie, která poskytuje potřebná data a informace pro projekční činnost, provozní činnost a údržbu vodohospodářských děl a stavební činnosti člověka vůbec, se nazývá inženýrská hydrologie. Kromě toho slouží a je potřebná pro veškeré aktivity, sloužící k zachování stávajícího dobrého, případně zlepšení již poškozeného životního prostředí určité oblasti.

2.2 Vývoj hydrologie

Význam vody pro život chápali lidé již odedávna. Pozorování kolísání hladin řek, pozorování pohybu vody bylo spojeno hlavně s hospodářskou činností člověka. Úroveň hladiny a jí odpovídající rozsah zatopení přilehlých oblastí vodou, bohatou na živiny, umožňovaly již starým Egypťanům předpovídat budoucí úrodu. Rovněž u nás se zachovaly zprávy v kronikách o pozorování vodních hladin, zvláště v období velkých povodní. Ještě dnes mnohé vodní stavby v Čechách (mlýny, jezy, systémy rybníků), z nichž některé si zachovaly svou funkci dodnes, svědčí o velmi dobrých znalostech našich předků o základních zákonech hydrologie a hydrauliky.

Vývoj hydrologie se prakticky až do minulého století kryje s vývojem jiných věd, především fyzického zeměpisu, geofyziky a hydrauliky. V rámci těchto věd prošla hydrologie dlouhou vývojovou cestu od období intuice a dohadů (asi do r. 1400), přes jednotlivá období pozorování, měření, experimentů, modernizace a matematizace (r. 1800-1900), přes období empirie, kdy začíná existovat jako samostatná věda (r. 1900-1930). Léta 1930-1950 jsou obdobím vlivu exaktních věd až k současnému stavu, kdy v období hydrologického laboratorního pokusu se často složité otázky oboru řeší matematickými i jinými modely. Období let 1930-1950 bylo obdobím zvláště výrazného rozvoje hydrologie inženýrské.

Uvedli jsme, že dříve hydrologie nebyla samostatnou vědou. Základním předpokladem jejího dalšího vývoje byla znalost toho, jak určit nejdůležitější prvek - průtok.

K tomu, že hydrologie začala vznikat jako samostatný vědní obor značně přispěly některé objevy, které přispěly k zpřesnění měření, resp. výpočtu nejdůležitějšího hydrologického prvku, tj. průtoku. Sem patří:


- 10 (213) -

Toricelli, který jako první (v 17 stol.) uskutečnil měření průtoku vody výtokem z otvoru nádoby,

Perreault, který v r. 1650 určil z přibližného měření průtoků řeky Seiny v Paříži první kvantitativní vztahy v oběhu vody v přírodě,

Pitot, který v r. 1732 objevil možnost změřit místní rychlost proudu pomocí trubice,

Chézy, který v r. 1775 uveřejnil způsob výpočtu střední průtočné rychlosti,

Woltmanna, který vynalezl hydrometrickou vrtuli. Tou bylo možno měřením zjistit rychlostní pole v průtočném průřezu a vyhodnotit průtok i v přirozeném korytě toku.

2.3 Rozdělení vody na zemi

Souhrn vody na zemi nazýváme hydrosférou a její objem pokládáme prakticky za stálý. Celkový objem vody se odhaduje na 1,33.109 km3. Má pro přírodu základní význam - jednak se účastní převažující, většiny procesů fyzikálních, chemických i biologických, jednak je ve všech svých formách činitelem, který má závažnou účast při formování zemského povrchu. Světová moře a oceány zaujímají plochu 70,5% zemského povrchu a je v nich obsaženo asi 1,3.109 km3 vody. To je asi 96,5%. Z celkového množství vody na zemi připadá na vodu pevniny a vodu v atmosféře jen nepatrná část - kolem 1 %.

V jezerech je asi 0,75.106 km3 vody a v řekách 1,2.104 km3. Množství vody, které ročně z povrchu zemského odteče, činí asi 37.103 km3. Z toho se velká většina bezprostředně vrací do moře a jen asi 700 km3 ročního odtoku připadá na vnitrozemské oblasti bez odtoku do moře.

Z celkových zásob sladké vody je více než 68 % v ledu a ledovcích. Dalších 30 % sladké vody se nachází v zemi. Povrchové zdroje sladké vody, jako jsou řeky a jezera, obsahují zhruba 93 000 krychlových kilometrů, což je jen zlomek procenta celkového objemu vody na Zemi. Celkový objem podzemní vody (PV) na Zemi je 23,4 mil. krychlových kilometrů, což z celkového objemu světových zásob vody tvoří 1,7%. Rozdělení zásob vody na Zemi popisuje tab.2.1 a obr.2.1.

Tab. 2.1: Rozdělení zásob vody na Zemi

km3 %oceány a moře 1 338 000 000 96,537ledovce 24 064 000 1,736podzemní voda 23 400 000 1,688půdní vlhkost 16 500 0,001jezera 176 400 0,013voda v atmosféře 12 900 0,001voda v řekách 2 120 0,000ostatní 312 590 0,023celkový objem vody na Zemi 1 386 000 000 100,0

Objem vody procento z celkového objemu vodyVýskyt vody

- 11 (213) -

Obr. 2.1: Rozdělení zásob vody na Zemi

2.4 Koloběh vody na zemi

Působením sluneční energie se voda nepřetržitě vypařuje v množství, jež se odhaduje ročně na 519 000 km3. Hlavním zdrojem výparu jsou světová moře. Vypařená voda je transportována vzdušnými proudy. Část par po čase kondenzuje a ve formě srážek padá buď zpět na mořskou hladinu, nebo až na pevninu. Tam se pak vsakuje do půdy a tvoří podzemní vodu nebo stéká po povrchu (povrchová voda), postupně se koncentruje - vytváří vodní toky a jimi se vrací z největší části zpět do moří a oceánů. Přitom se neustále vypařuje. Vzniká tak v prvém případě jen v dosahu moří malý oběh vody, v druhém případě velký oběh vody. Celkem malá část objemu této vody, asi v hodnotě 7700 km3, se účastní oběhu v bezodtokových vnitrozemských oblastech. Schematicky je oběh vody v přírodě znázorněn na obr. 2.2.

Celkovou bilanci oběhu vody mezi pevninou a oceánem můžeme zjednodušeně vyjádřit jednoduchými rovnicemi dle obr. 2.3.

V dlouhodobém průměru bude roční objem vody Vo, který se vypaří z oceánů, roven ročnímu objemu srážek So, které nad nimi spadly, zvětšenému o roční objem vody P, který přitekl z pevniny:

Vo = So + P. (2.1)

Průměrný roční objem výparu z pevniny Vp, je roven objemu vody se spadlých srážek Sp zmenšenému o objem odtoku vody do moří P:

Vp = Sp – P. (2.2)

Vyjádřením P z obou předchozích vztahů a jejich porovnáním dostaneme:

Vo + Vp = So + Sp. (2.3)

Tedy roční objem vody, vypařené na celém povrchu země, se vyrovnává s ročním objemem vody spadlým ve formě srážek na zemský povrch.


- 12 (213) -

Obr. 2.2 Oběh vody na zemi

Obr. 2.3 Malý a velký koloběh vody

2.5 Povodí

Povodí je základní pracovní jednotkou v hydrologii. Je to území, ze kterého všechna voda stéká k určitému místu na toku (závěrový profil). Jedná se tedy o sběrnou oblast toku. Jde přitom o veškerý odtok - povrchový i podzemní. Povrchový odtok obvykle převládá. Podzemní povodí se od povrchového odchyluje zpravidla jen nepatrně. V takovémto případě je postačující určit povodí vyhledáním oblasti, z níž voda stéká z nejvyšších míst k nižším podle tvaru a výškové členitosti povrchu území. Hranice oblasti, která se určuje z topografických map 1:25 000 až 1:100 000 a tvoří uzavřenou čáru, se nazývá rozvodnice. Probíhá po nejvyšších místech a odděluje území, z něhož voda odtéká k sousedním tokům. Takto stanovené povodí je povodí orografické. Jeho plochu je možno určit planimetrováním.

- 13 (213) -

Ne vždy je možno rozdíl mezi plochou orografického povodí a podzemního povodí zanedbat. Vzniká tak nutnost pracovat se skutečným - hydrologickým povodím, které je sběrnou oblastí celkového odtoku vody z povodí a jehož vymezení může být značně problematické, zejména v oblastech vyskytujících se krasových jevů.

Povodí je třeba vždy označit závěrovým (závěrným, uzávěrovým) profilem na toku. Bez bližšího označení uvažujeme vždy povodí celého toku až k ústí.

Obr. 2.4: Orografické povodí

Obr. 2.5: Orografické povodí a hydrologické povodí


- 14 (213) -

2.5.1 Povodí v České Republice

Česká republika je významnou pramennou oblastí evropského kontinentu a z hydrologického hlediska ji můžeme označit za "střechu" Evropy. Leží na rozvodnici tří moří: Severního, Baltského a Černého. Tvoří ji tři hlavní hydrologická povodí: povodí Labe, povodí Odry a povodí Dunaje - obr. 2.6. Prakticky všechny její významnější toky odvádějí vodu na území sousedních států. Důsledkem této skutečnosti je naprostá závislost našich vodních zdrojů na atmosférických srážkách.

Naše významné vodní toky většinou pramení a tečou až k hraničnímu profilu výlučně po území České republiky. Vzhledem k velikosti území České republiky jsou dále hlavní povodí dělena do pěti oblastí povodí, které spravuje pět stejnojmenných státních podniků Povodí: Povodí Vltavy, s.p., Povodí Ohře, s.p., Povodí Labe, s.p., Povodí Odry, s.p., a Povodí Moravy, s.p.

Hydrologickou síť tvoří 76 000 km vodních toků (s přirozenými i upravenými koryty). Významné vodní toky České republiky mají délku 15 390 km. Úhrnná délka drobných vodních toků činí přes 60 000 km.

Obr. 2.6: Rozdělení území ČR na hydrologická povodí

2.6 Vodní útvary

Účelem Rámcové směrnice 2000/60/EC je stanovit rámec pro ochranu vnitrozemských povrchových vod a podzemních vod, který zabrání dalšímu zhoršování a zlepší stav vodních ekosystémů a také suchozemských ekosystémů a mokřadů, přímo závislých na vodních ekosystémech.

Hlavními nástroji Rámcové směrnice jsou Plány Povodí a Programy opatření. Současná fáze implementace může být chápána jako přípravná fáze zpracování Plánů Povodí. Rámcová směrnice používá pro zpracování a realizaci Plánů Povodí dva základní pojmy (jednotky):

- 15 (213) -

Oblast povodí: Je vymezena primárně geograficky s korekcí na dělení podzemních vod včetně příbřežních a brakických vod. Na území ČR se nacházejí národní části mezinárodních oblastí povodí Labe, Dunaje a Odry.

Vodní útvar povrchové vody a vodní útvar podzemní vody je pro Rámcovou směrnici základní jednotkou v oblasti povodí. Pro ČR v národních částech jsou to oblasti povodí Labe, Dunaje a Odry. Pro vodní útvary jako pro jednotky jsou stanoveny: ekologický stav (potenciál), chemický resp. kvalitativní stav a environmentální cíle. Pro vodní útvary a dosažení environmentálních cílů jsou přijímána opatření a je prováděna kontrola jejich plnění. Na vhodném vymezení vodních útvarů a stanovení příslušných environmentálních cílů tedy závisí úspěch Rámcové směrnice.

Základním dokumentem pro vymezování vodních útvarů je „Průvodce HGIWB“, zpracovaný v rámci Společné implementační strategie (CIS) - Identification of Water Bodies. (Horizontal guidance on the application of the term „water body“ in the context of the WaterFramework Directive (WFD)). Ten, kromě návrhů základního postupu, zdůrazňuje, že:

• vodní útvar je (v rámci oblasti povodí) hlavní jednotkou pro management povodí,

• vodní útvar musí být „koherentní podjednotka“ v rámci oblasti povodí, na kterou lze aplikovat environmentální cíle WFD, čili vymezení vodních útvarů musí umožňovat řádný popis jejich stavu a jeho srovnávání s environmentálními cíli.

Environmentální cíle Rámcové směrnice pokrývají všechny vody v oblasti povodí. Vymezování vodních tvarů je stálý iterativní proces. Výchozí identifikace, vyžadovaná k 22. prosinci 2004, je jen první krok, vymezení musí být dále zpřesňováno až do zahájení prvního Plánu povodí.

Vodní útvary je tedy nutno považovat za jeden ze základních nástrojů umožňujících plnění cílů Rámcové směrnice. Musí tedy být vymezeny efektivně vzhledem k cílům i technickým možnostem států, správců povodí i veřejnosti.

V rámcové směrnici jsou rozlišovány tři samostatné celky:

• vodní útvary povrchových vod • vodní útvary podzemních vod • pohraniční vody a vodní útvary v oblasti státních hranic (s dělením na

povrchové a podzemní vody)

2.6.1 Vymezení útvarů povrchových vod

Základem postupu při vymezování vodních útvarů je Směrnice Rady 86/280/EHS (dále Guidance) - Společné implementační strategie č. 2 "Vymezování vodních útvarů".

Zásady jsou: • Vodní útvar povrchové vody musí představovat oddělený prvek

povrchových vod, zahrnující pouze sousedící dílčí prvky a nepřekrývající se s dalšími vodními útvary, který musí být charakterizován v jedné kategorii a v jednom typu.


- 16 (213) -

• Základním podkladem pro vymezování jsou geografické a hydromorfologické charakteristiky, např. soutok řek je důvodem pro vymezení hranice vodního útvaru.

• Dalším důvodem po tomto kroku jsou obecně možnosti stanovení environmentálních cílů pro vodní útvar, které mohou v první řadě souviset s působením antropogenních vlivů: Analýza vlivů může vést k určení vodního útvaru jako silně ovlivněného, nebo k jeho rozdělení na části s významně odlišným stavem, s odlišnými tlaky, v souvislosti s hranicemi chráněných území apod.

• Členské státy mají volnost v rozhodování o koncepci vymezení vodních útvarů, je však třeba vyvarovat se přílišné podrobnosti vedoucí k atomizaci systému vodních útvarů, která vede k nemožnosti stanovit pro ně environmentální cíle v Plánech povodí.

• Postup vymezování vodních útvarů proto není uzavřen a bude se vyvíjet až do vyhlášení prvních Plánů povodí.

V České republice se mohou vyskytovat vodní útvary povrchových vod kategorie "řeka" nebo "jezero", nebo útvary identifikované jako vodní útvary povrchových vod umělé nebo silně ovlivněné.

Vymezení vodních útvarů povrchových vod vychází z těchto zásad/předpokladů:

• Vzhledem k tomu, že charakterizace vodních útvarů umělých a silně ovlivněných se provede podle popisných charakteristik té kategorie povrchových vod, která je nejblíže příslušnému umělému nebo silně ovlivněnému vodnímu útvaru, je začlenění kteréhokoliv vodního útvaru povrchových vod do kategorie řeka nebo jezero zásadní.

• V České republice existují jen tři významná jezera přirozeného původu, která ovšem (vzhledem k malé velikosti, typu a lokalizaci v chráněných oblastech) není třeba vyhlásit za samostatné vodní útvary a jsou součástí vodních útvarů tekoucích vod. Všechny vyhlášené vodní útvary kategorie "jezero", tedy splňující obsah článku 2(5) Rámcové směrnice, jsou antropogenního původu a budou identifikovány jako silně ovlivněné vodní útvary, případně umělé (pokud nevznikly modifikací úseku toku).

Vymezení vodních útvarů povrchových tekoucích vod na území ČR bylo připravováno současně se základní typologií a vychází z členění hydrografické sítě toků na řády podle Strahlera, tj. hierarchického systému se stoupající číselnou hodnotou "charakteristiky" od pramene po ústí do moře. Princip členění hydrografické sítě podle Strahlera vychází z předpokladu, že řád toků se začne počítat od pramene jako řád 1 a bude se zvyšovat vždy při soutoku s tokem stejného řádu. Není tedy důležité který tok (řád) se vlévá do moře, ale v tocích stejného řádu můžeme ve stejných (antropogenně neovlivněných) geografických, klimatických a geologických podmínkách nalézt srovnatelná společenstva vodních organismů, stejné fyzikální podmínky nebo stejné nebo velmi podobné pozaďové (neovlivněné) koncentrace chemických látek. Řád toku podle Strahlera je v ekologické literatuře používán jako základní souhrnná typologická charakteristika. Obecné korelace s řádem toku jsou pro vzdálenost od pramene, sklon, průtok atd. Princip stanovení řádu toků podle Strahlera je naznačen na obr. 2.7.

- 17 (213) -

Obr.2.7: Princip stanovení řádu toku podle Strahlera

Pro vymezení vodních útvarů je nutné zvolit vhodnou podrobnost, která zajistí na jedné straně přiměřenou homogenitu (či heterogenitu) vodního útvaru s možností hodnotit ekologický a chemický stav útvaru jako celku a na druhé straně zajistí dostatečnou přehlednost a možnost zpracování výsledků na úrovni celé oblasti povodí, zejména pro účely Plánů povodí.

V přípravném období vymezování vodních útvarů (2002-3) byly testovány dvě varianty - se základní jednotkou povodí toku 5. řádu a povodí toku 4. řádu. Na základě postupného projednání návrhu metodiky vymezování vodních útvarů (ve dnech 28.2.2003, 30.4.2003, 4.6.2003) a samostatné schůzky s experty Českého hydrometeoro-logického ústavu byla zvolena varianta založená na dělení hydrografické sítě toků na území ČR na vodní útvary a jejich povodí, kde nejmenší samostatnou jednotkou je tok řádu 4 podle Strahlera a jemu odpovídající povodí. Z toho vyplývá, že toky řádu 1-3 budou zahrnuty v povodí toku 4. řádu a nebudou vymezeny jako samostatné vodní útvary. Vodní útvary toků 4. řádu podle Strahlera označujeme jako „horní“, protože výše už neleží žádný samostatný vodní útvar a jejich rozvodnice tvoří hranici s jinými povodími toků 4. nebo vyššího řádu. Toky vyšších řádů (5-8) jsou považovány za samostatné („průtočné“) vodní útvary včetně jejich mezipovodí. Do celkové plochy povodí těchto útvarů musí být započítány i plochy povodí útvarů ležících výše. Na rozdíl od vodních útvarů „horních“ mohou být „průtočné“ vodní útvary dále děleny. Samozřejmým důvodem je změna řádu toku, dále soutok s významným přítokem nižšího řádu, dále mohou být důvodem významné změny přirozeného charakteru toku (např. významné morfologické změny – rozdělení na úsek přirozený a silně modifikovaný). U toků vyšších řádů (> 6) bude nutno postupně (obecně v horizontu roku 2006 a podle postupu rozpracovaní Plánů povodí) uvážit oprávněnost či účelnost zahrnutí menších přítoků (řád < 4) do


- 18 (213) -

vodního útvaru, vzhledem k přirozeně rozdílným environmentálním cílům. Již zmíněným důvodem dělení jsou vodní útvary stojatých vod (nádrže, rybníky), přerušující primárně geograficky vymezené vodní útvary tekoucích vod.

Hlavní rysy a výhody/nevýhody zvoleného systému a jeho podrobnosti:

• Použitím řádu toku 4 podle Strahlera jako nejmenší jednotky pro vodní útvary se u ploch povodí dostáváme na minimální úroveň cca 10 km2, což je v systému typologie "A" dolní hranice pro typ vodního útvaru podle plochy povodí (příloha II, čl. 1.2.1). Pokud bychom zvolili řád 3 nebo nižší, odpovídající plochy povodí by se zmenšily a dostali bychom se do řádově větší podrobnosti než požaduje WFD pro typologii. A samozřejmě by došlo k nežádoucí "atomizaci" systému. Pokud bychom naopak zvolili řád vyšší (5-6), velikostní kategorie povodí 10-100 km2 by byla zastoupena jen minimálně, a obecně bychom dostali vodní útvary velmi nehomogenní, pro které bychom nedokázali stanovit environmentální cíle, ekologický a chemický stav, atd.

• Řád toku 4 podle Strahlera odpovídá v zavedeném hydrologickém členění území ČR (podle Základní vodohospodářské mapy 1:50 000) jednomu a více povodím IV. řádu. Jen ve výjimečných případech nemá tok 4. řádu (podle Strahlera) adekvátní hydrologické povodí.

• Menší jednotky vodních útvarů, založené na členění již od úrovně řádu 4 umožňují stanovit menší množství jednoznačně definovaných typů vodních útvarů a posléze i výběr vhodných referenčních lokalit pro hodnocení stavu vodního útvaru.

• Sousedící vodní útvary, příslušející do stejného typu, lze pro některé specifické účely, např. pro charakterizaci a určení rizikových vodních útvarů, sloučit do skupin, které mohou být posuzovány společně, včetně určení environmentálních cílů, systému monitoringu apod.

• Při malém počtu vodních útvarů hrozí riziko, že všechny nebo jejich většina budou označeny jako útvary, kde hrozí riziko nedosažení environmentálních cílů do roku 2015. V případě podrobnějšího členění území budou alespoň některé vodní útvary vyhodnoceny jako nerizikové.

• Volba menší územní jednotky (vodního útvaru) je výhodná pro přímou komunikaci se samosprávou a s lidmi či organizacemi, kterých se stav vodního útvaru přímo dotýká. Je to výhodné i z pohledu rozhodování na místní úrovni a pro veřejné projednávání Plánů řízení oblastí povodí.

"Jezero" čili vodní útvar stojaté vody je vymezen pro objekty stojaté vody, které mají plochu hladiny větší než 0,5 km2 a průměrnou dobu zdržení > 5 dní, a přerušují říční síť na toku 4. - 8. řádu. Tyto objekty jsou vymezeny jako silně ovlivněný vodní útvar.

Objekty splňující tyto podmínky, které leží mimo říční síť, resp. na tocích řádu < 4, jsou identifikovány jako umělý vodní útvar (v současné době 2 případy).

Ostatní stojaté vody (menší rybníky a zdrže) budou posuzovány jako vliv (pressure) na toku, čili jako součást vodního útvaru tekoucí vody, a hodnocení tohoto útvaru může vést k jeho identifikaci jako silně ovlivněný vodní útvar, ovšem beze změny kategorie.

- 19 (213) -

Vlastní postup vymezení vodních útvarů tedy obsahuje následující kroky:

Základní systém útvarů povrchových vod tekoucích: Dílčí povodí resp. mezipovodí útvaru je definováno prostřednictvím závěrných profilů, ve kterých dochází k dále uvedené změně řádu toku podle Strahlera. Uzávěrné profily útvarů byly určeny:

• Na konci úseků toků 4. a vyššího řádu podle Strahlera, na který navazuje úsek toku vyššího řádu.

• Na konci úseku toků 6. a vyššího řádu před soutokem s tokem o jeden řád nižším.

• Na konci úseku toků 8. řádu před soutokem s tokem o 2 řády nižším.

Vymezení vodních útvarů povrchových vod stojatých:

• Výběr stojatých vod (nádrží apod.) splňujících kritéria (plocha hladiny, doba zdržení).

• Jejich začlenění do systému vodních útvarů v říční síti jako prvků přerušujících vodní útvary tekoucích vod a vymezení dalších vodních útvarů tekoucích vod nad a pod "jezery", tedy neomezených změnou řádu toku jako prvním kritériem Guidance.

Sumárně je v ČR vymezeno 1103 vodních útvarů povrchových vod. V Oblasti povodí Odry je vymezeno 111 vodních útvarů. 103 vodních útvarů spadá do kategorie "řeka" a 8 vodních útvarů do kategorie "jezero".

2.6.2 Vymezení útvarů podzemních vod

Vymezení útvarů podzemních vod je iterativním procesem. Tento proces vymezení vyplývá z textu Rámcové směrnice (WFD) a z navazujících Guidance dokumentů. První krok tohoto vymezení vychází z přírodních podmínek podzemních vod jako je systém proudění a hranice hydrogeologických struktur. Základním podkladem pro vymezování útvarů podzemních vod v ČR je využití hydrogeologické rajonizace. Hydrogeologická rajonizace se v ČR používá již více než 40 let a hydrogeologické rajony jsou základní jednotky pro bilanci množství podzemních vod. Z hlediska přírodních charakteristik dělíme útvary podzemních vod na vlastní útvary a skupiny útvarů. V útvarech podzemních vod plošně převládá jeden vymezitelný kolektor případně více kolektorů pod sebou, skupiny útvarů podzemních vod jsou charakterizovány pestrou směsí lokálních kolektorů. V útvarech podzemních vod se většinou vyskytuje tzv. souvislé zvodnění, které se v případě pánevních struktur realizuje nezávisle na nejbližší erozní bázi (tj. nikoliv do nejbližšího toku) a prakticky to znamená, že hydrogeologická rozvodnice má jiný průběh než hydrologická. Takovéto útvary jsou většinou významné z vodohospodářského hlediska jako zdroje vody pro pitné účely. Naproti tomu skupiny útvarů mají pouze lokální zvodnění, tj. jejich kolektory jsou zpravidla odvodněny do nejbližší erozní báze - do nejbližšího většinou drobného toku. Tyto struktury mají pouze místní vodohospodářský význam. Hranice útvarů se souvislým zvodněním jsou převážně generalizované hranice významných kolektorů (tj. geologické hranice), případně hydraulické hranice,


- 20 (213) -

na rozdíl od skupin útvarů s nesouvislým zvodněním, kde lze využít hranice hydrologické. Za útvar podzemní vody není považován každý existující kolektor, ale každý takovýto útvar se skládá z jednoho nebo více významných kolektorů (hranice kolektorů jsou pro zjednodušení totožné s hranicí celého útvaru). Významnost kolektoru, tedy jeho zařazení pro potřeby WFD se určovalo podle využívání podzemní vody. Více kolektorů mají pouze křídové útvary. Na základě analýzy byly zpracovány hranice útvarů podzemních vod. Tyto útvary jsou zpracovány do jednotlivých vrstev ležících nad sebou:

• útvary podzemních vod - svrchní (kvarter, coniak) • útvary podzemních vod - hlavní • útvary podzemních vod - hlubinné (bazální kolektor cenomanu)

2.7 Srážkoodtokový proces v povodí

Množství vody odtékající z povodí určitým profilem toku je výslednicí řady činitelů, z nichž rozhodující v našich podmínkách jsou atmosférické srážky, které svým množstvím a časovým rozdělením předurčují časový průběh toku. Vztah mezi srážkami a odtokem není však přímý. Je modifikován jednak aktivně ostatními klimatickými faktory, jejich dynamikou vývoje, jednak pasivně ostatními fyzickogeografickými činiteli, kteří jsou v daném povodí stálé. Mimo to se projevuje i vliv člověka.

Z klimatických faktorů se uplatňuje rozhodující mírou sluneční záření, teplota a vlhkost vzduchu, intenzita výměny vzdušných mas, které ve svém komplexu ovlivňují výparnost, a tím bilanční poměry v povodí.

Na rozdělení celkového odtoku mezi povrchový a podzemní působí činitelé ovlivňující vsak, tj půdní a geologické poměry, vegetační kryt, úprava půdy na velkých výměrách při zemědělském a lesním hospodářství.

Geologické podloží a jeho propustnost má význam při utváření odtoku v období bezdeští. Ovšem nepropustné vrstvy (krystalické horniny, ruly, slíny, břidlice) s málo mocným půdním překryvem snižují celkovou retenční kapacitu povodí a spolupůsobí při prudkém stoupání průtoků při vydatnějších deštích.

Hustota vodí sítě a s jejím uspořádáním související geometrické vlastnosti povodí (tvar, délka, údolnice) a spádové poměry rozhodují o rychlosti odtoku v povodí, jeho koncentraci v určitém profilu toku. Tedy tyto faktory působí především při utváření extrémních průtoků. Velikost povodí jednoznačně uplatňuje při tvorbě maximálního kulminačního průtoku Qmax za povodní. Se vzrůstem plochy povodí pak klesá maximální specifický odtok. Rovněž lze konstatovat, že čím je menší povodí toku, tím nerovnoměrněji je rozdělen odtok v roce.

Srážkoodtokovým procesem v povodí rozumíme postupnou transformaci srážky dopadající na povodí až na odtok vody závěrovým profilem povodí – obr. 2.8. Je zřejmé, že se jedná o velmi složitý proces, který je ovlivněn řadou činitelů. Především je to skupina klimatických činitelů. Sem patří vlastní časový a prostorový průběh spadlé příčinné srážky, vlhkost ovzduší, výpar, teplota ovzduší, rychlost a směr větru, atmosférický tlak apod. Druhou skupinu

- 21 (213) -

tvoří geografičtí činitelé povodí. To jest: plocha, velikost, střední nadmořská výška, tvar, reliéf, říční síť, hydrogeologické poměry, vegetační pokryv apod. První skupinu tvoří vedle příčinné srážky zejména meteorologické veličiny ovlivňující především celkový výpar vody z povodí. Druhá skupina popisuje prostředí, ve kterém se vlastní proces odehrává. Určuje dynamické (přenosové) vlastnosti povodí, které jsou rozhodující pro způsob, jakým se bude časový průběh srážky daného prostorového rozložení transformovat na časový průběh odtoku vody závěrovým profilem.

Obr. 2.8: Schéma srážkoodtokového procesu v povodí

Vlastní srážkoodtokový proces se skládá ze dvou dílčích transformací -obr.2.9. V průběhu první - hydrologické transformace - jsou od srážky dopadající na povodí postupně odečítány hydrologické ztráty. Sem patří ztráta výparem - evapotranspirace (celkový výpar z povrchu rostlin, z pórů rostlin a z půdy), ztráta vlivem intercepce (zdržení vody na povrchu vegetace), ztráta navlháním, ztráta infiltrací vody do půdy a ztráta povrchovou retencí (plošný povrchový odtok nastane až po zaplnění nerovností terénu vodou). Postupnou separací hydrologických ztrát od časového průběhu intenzity srážky získáme efektivní intenzitu srážky. Množství vody takto spadlé na povrch terénu pak odtéká z povodí ve formě plošného povrchového odtoku. Tím je započata druhá - hydraulická transformace. Plošný povrchový odtok se postupně koncentruje v ronových a erozních rýhách a následně v říční síti až na odtok závěrovým profilem. Není to však celkový odtok, který závěrovým profilem protéká. Část celkového odtoku tvoří podzemní odtok - voda, která se dostala do podzemí převážně infiltrací srážky. Z podzemí pak odtéká buď z nenasycené zóny nad hladinou podzemní vody nebo z nasycené zóny pod souvislou hladinou podzemní vody ve formě podzemního odtoku do říční sítě.


- 22 (213) -

Obr. 2.9: Hydrologická a hydraulická transformace

V nenasycené zóně zemědělsky obdělávaných povodích bývá půda do obdělávané hloubky značně nakypřená a má tudíž značně větší propustnost než půda pod tímto horizontem. Proto dochází k odtoku po rozhraní mezi těmito hloubkami a voda může vytékat na svazích na povrch půdy. V takovémto případě mluvíme o hypodermickém odtoku. Celkový odtok vody z povodí pod povrchem terénu se nazývá plošným podzemním odtokem a je analogií plošnému povrchovému odtoku. Voda se v nasycené zóně pohybuje po relativně nepropustném podloží. Někdy však proniká vlivem puklin apod. z nepropustné zóny do značných hloubek a pak může vyvěrat v jiném povodí, než na které dopadla příčinná srážka. Takovýto průnik se nazývá perkolací.

Poznámka: Matematické modelování srážkoodtokového procesu je značně složitým problémem. Existující modely převážně směřují k simulaci srážkoodtokového procesu v povodí. Ne vždy je však možné jít při řešení tohoto problému do detailů. Přílišná podrobnost řešení vede na velmi složité modely, které většinou zápasí s "krizí dat", kdy jim není možno poskytnout všechny požadované informace a řadu vstupních dat je třeba odhadnout. Tím je snížena i jejich kvalita a použitelnost. Tyto problémy se výrazně projeví při modelování srážkoodtokového procesu v rozsáhlých povodích. Značně zjednodušené modely však poskytují jen velmi hrubé odhady průběhu průtoku v závěrovém profilu. Vždy je třeba hledat přijatelnou formu zjednodušení.

- 23 (213) -

2.8 Základní bilanční rovnice

Vztah mezi úhrnem srážek spadlých (výška vodního sloupce v mm vytvořená na bezodtokové oblasti za určité období), úhrnem výparu a úhrnem odtoku je možno pro povodí vyjádřit jednoduchou, ale velmi důležitou relací, tzv. základní bilanční rovnicí:

vso HHH −= . (2.4)

Rovnice platí pro povodí bez nádrží a pro povodí bez přítoku a odtoku vody ze sousedních povodí. Musí však být použita pro období, která jsou delší nebo rovna jednomu roku. Se zkracujícím se obdobím, za které je bilance provedena, rovnice přestává platit. Na pravou stranu rovnice je pak třeba doplnit opravný člen HR, který se nazývá členem retenčním. Ten zohledňuje např. změnu zásob podzemních vod v uvažovaném povodí a jiné hydrologické jevy, které mohou způsobit neplatnost uvedené rovnice. Rovnice (2.4) pak přechází na tvar:

..Rvso HHHH ±−= (2.5)

Kontrolní otázky

2.1. Co rozumíme srážkoodtokovým procesem?

2.2. Jací činitelé ovlivňují srážkootokový proces?

3 Klimatičtí činitelé

Hydrologie je vědní obor, který úzce souvisí s meteorologií a klimatologií. Meteorologie je nauka, zabývající se všestranným studiem jevů, probíhajících v zemské atmosféře. Momentální stav atmosféry, definovaný hodnotami souvisejících faktorů jakými je např. tlak, teplota a vlhkost vzduchu, intenzita slunečního záření, oblačnost apod., určuje počasí. Meteorologie je dnes rozsáhlá vědecká disciplína, která při studiu využívá fyzikálních poznatků a metod řešení fyziky atmosféry. Má široké praktické uplatnění člení se na dynamickou meteorologii, studující dynamiku a termodynamiku atmosféry, aby mohla poskytnout vědecky zdůvodněnou předpověď počasí, na synoptickou meteorologii, sledující a analyzující jevy v atmosféře, důležité pro předpověď počasí. Fyzikální meteorologie zkoumá fyziku oblaků, tvorbu srážek, záření, optické, elektrické a další jevy odehrávající se v atmosféře. Pod tzv. aplikovanou meteorologii patří např. zemědělská meteorologie, letecká meteorologie apod.

Klimatologii můžeme charakterizovat jako vědu, která zkoumá a zabývá se dlouhodobým chodem počasí a jeho zákonitostmi - je to nauka o podnebí (klimatu). Jejím úkolem je:

a) studium toho, jak se utvářelo podnebí na naší Zemi, dále pak popis a objasnění podnebných zvláštností jednotlivých světadílů i menších území, b) klasifikace podnebí a vymezování klimatických oblastí,


- 24 (213) -

c) studium podnebí v dřívějších dobách historických a geologických, studium kolísání a změn klimatu.

Tyto poznatky mají v poslední době sloužit snahám předpovědět budoucí změny klimatu na Zemi, vyvolané činností člověka. Klimatologie je rovněž značně rozsáhlý vědní obor, dělící se dnes na klimatologii obecnou, regionální, teoretickou a aplikovanou (sem patří např. klimatologie letecká, technická, zemědělská a klimatologie měst). V dalším textu se budeme zabývat vybranými klimatickými činitely, které mají ve srážkoodtokovém procesu rozhodující význam. Jsou to vlhkost ovzduší, výpar a ovzdušné srážky.

3.1 Vlhkost ovzduší

Vodní páry se dostávají do ovzduší při každé teplotě bud výparem, nebo sublimací. Vlhkost vzduchu je dána množstvím vodních par v ovzduší, jež silně kolísá. Obsah par v ovzduší charakterizujeme především absolutní vlhkostí vzduchu. Je to okamžitá skutečná vlhkost. Vyjadřuje množství vodních par obsažených při dané teplotě ve vzduchu. Buď se značí ϕ [g/m3] a vyjadřuje hmotnost vodních par v gramech obsažených v 1 m3 vzduchu nebo se značí e a vyjadřuje tlak vodních par v kPa, resp. v torrech (dříve mm rtuťového sloupce).

Nasycení vzduchu vodními parami závisí na jeho teplotě. Při dané teplotě může tedy ovzduší obsahovat nanejvýš určité množství par, jež udává maximální vlhkost ϕmax , resp. E. Poměr mezi absolutní vlhkostí e a maximální vlhkostí E při dané teplotě je relativní vlhkostí r [%]:

.100.Eer = (3.1)

Množství vodních par, které vzduch za určité teploty může ještě přijmout, je sytostní doplněk d [kPa]:

eEd −= . (3.2)

Hodnoty maximální vlhkosti vzduchu za různých teplot jsou znázorněny na obr. 3.1. Rosný bod je teplota; na kterou se musí vzduch ochladit, aby byl daným obsahem par nasycen. Je tedy hranicí teploty, při které nastává srážení čili kondenzace vodních par. Neviditelná vodní pára se začne vylučovat jako nepatrné vodní kapičky nebo ledové krystalky, které se v ovzduší mohou udržet jako mraky.

Vlhkost ovzduší se měří pomocí vlhkoměrů (Assmanův, Augustův, kondenzační, vlasový). Způsoby měření byly součástí výuky na nižších stupních škol (např. fyzika).

Obecně platí, že absolutní vlhkost koresponduje s teplotou. U relativní vlhkosti je tomu naopak.

Rozlišujeme časové a prostorové rozložení vlhkosti na naší planetě. Časové rozložení v konkrétním místě vyjadřuje denní a roční chody vlhkosti. Absolutní vlhkost směrem od rovníku k pólům klesá. U relativní vlhkosti by tomu mělo

- 25 (213) -

být naopak. Její hodnoty však spíše ovlivňuje přítomnost velkých vodních ploch a nadmořská výška.

Obr. 3.1: Závislost maximální vlhkosti na teplotě

3.2 Výpar

Vypařování vyplývá z neustálého pohybu molekul vody, který se stupňuje při nárůstu teploty. Některé molekuly přitom překonávají přitažlivost molekul sousedních a přecházejí do ovzduší. Opačný proces je kondenzace. Pronikání vodních par do ovzduší nastává buď difůzí, nebo vzdušnými proudy.

Výpar je proces složitý, závislý na celé řadě činitelů, např.: velikost plochy, její tvar, barva, vegetace, zásoba vody, teplota a vlhkost vzduchu, barometrický tlak, síla větru. Rozeznáváme výpar z volné vodní hladiny, výpar z půdy a výpar rostlinami či transpiraci rostlin.

Výpar z vodní hladiny je poměrně nejjednodušší. U vodních nádrži je nejvýznamnější složkou ztrát vody. Tento výpar se v našich podmínkách pohybuje v rozmezí cca 1 až 3 mm za den a 200 až 800 mm za rok, především v závislosti na teplotě a nadmořské výšce. Pro odhad průměrného denního výparu lze použít řadu vzorců, které jsou většinou závislé na sytostním doplňku. Průměrný denní úhrn výparu Hv,d [mm] můžeme podle Šermera počítat ze vztahu:

,20,0931,0, += dH dv (3.3)

kde d je průměrná měsíční hodnota sytostního doplňku v torrech.

Pro měření výparu se dříve používalo Wildova výparoměru založeného na principu listovních vah. Rozšířený byl i rozdílový výparoměr Rónův s výparnou nádobou o půdorysné ploše 2000 cm2. Dnes se využívá standardně


- 26 (213) -

výparoměr Šermerův o půdorysné výparné ploše 3000 cm2 - viz. obr. 3.2. Poloha vodní hladiny se odečítá pomocí Byretky.

Obr. 3.2: Šermerův výparoměr

Výparnost je hodnota výparu naměřená přímo na určitém typu výparoměru. Ty jsou však zatíženy příslušnými konstrukčními nedostatky. Zejména se jedná o malou plochu vodní hladiny, ze které je výpar měřen. Proto se hodnoty naměřené na výparoměru násobí opravnými redukčními součiniteli, přiřazenými k použitému typu výparoměru. Po této opravě se získá hodnota skutečného výparu. V dnešní době je trend budovat pro měření výparu výparoměry s velkou vodní hladinou - bazénové výparoměry. U těch se od průměru 3,5 m naměřené hodnoty považují za výpar a další oprava se neprovádí. Pro výzkumné účely se někdy budují výparoměry plovoucí přímo na vodní hladině nádrží. Ty mají výparoměrné nádoby připevněny společně.se srážkoměrem na dřevěném rámu v úrovni hladiny.

Výpar z půdy závisí jednak na meteorologických podmínkách, jednak na vlastnostech půdy. Souhrnně je možno říci, že výpar je tím menší, čím silnější je povrchová vrstva vysušené půdy a čím pomaleji se vlhkost doplňuje ze spodních vrstev (kapilarita). Drsný a zvlněný povrch přispívá k výparu více než povrch rovný a hladký. Větší výpar mají tmavé půdy. Důležitý je i vliv polohy. Největší je výpar na jihozápadních svazích, menší na východních a nejmenší na severních. Zvětšení sklonu zvětšuje výpar na jižních a východních svazích a snižuje jej na západních a severních. Podstatný vliv na zmenšení výparu má zastínění půdy. Např. zastínění rostlinstvem může zmenšit výpar až na hodnotu 20 %. Přitom však rostlinstvo zase naopak k výparu přispívá přímým vypařováním vláhy z povrchu listí - transpirací.

Transpirace je projevem životního procesu rostlin. Kořeny rostlin se nasává podzemní voda, v níž jsou rozpuštěny živiny, a pak se listy částečně vypařuje. Živiny a část vody vytváří rostlinnou tkáň. Množství vody v gramech, kterého je zapotřebí pro vytvoření 1 g sušiny tkáně, je tzv. transpirační součinitel. Pohybuje se v mezích 250 až 700 g, nejčastější hodnota pro zemědělské kultury je 300 až 450 g.

Jak bylo uvedeno výše, celkový výpar z povrchu rostlin, z pórů rostlin a z půdy se nazývá evapotranspirací.

Měření výparu z půdy a transpirace je úlohou velmi složitou, měřící zařízení je třeba přizpůsobit přírodním poměrům. Všechny způsoby měření, výpočty i

- 27 (213) -

příklady platí převážně pouze pro poměry, v nichž byly odvozeny, a zdaleka nevystihují skutečnost. Výpar z půdy se měří pomocí lyzymetrů. Je to sada zpravidla tří válcových nádob, naplněných rostlým vzorkem půdy a zapuštěných do země. Manipulace s nimi je vzhledem ke značné hmotnosti obtížná a využívají se proto kladkostroje. Na hodnotu výparu za určité období (zpravidla den) se usuzuje z úbytku hmotnosti nádoby při převážení. Přitom se zohledňuje množství naměřených srážek spadlých za stejné období.

Obr. 3.3: Schéma lyzymetru Popova

Pro hydrologii je však nejdůležitější odhadnutá hodnota celkového výparu z povodí (klimatický výpar). Její stanovení umožňuje základní bilanční rovnice popsaná v kapitole 2. Pro výpočet úhrnu výparu Hv je třeba znát hodnotu úhrnu srážek Hs a úhrnu odtoku Ho. Pro odhad ročního úhrnu klimatického výparu z povodí, v závislosti na ročním srážkovém úhrnu a střední nadmořské výšce povodí, je možno využít vztahy Kellera a Ogijevského.

3.3 Srážky

3.3.1 Vznik a druhy

Ochlazováním ovzduší stoupá jeho nasycenost vodními parami. Když teplota klesne pod teplotu rosného bodu, sráží se část obsažené páry kolem kondenzačních jader, což jsou ionizované částice prachu, kouře, pylu nebo i molekuly plynů. Vznikají nepatrné kapičky vody nebo sněhové vločky, které tvoří oblaka a mlhy. Za vhodných podmínek se zvětšují a padají k zemi jako ovzdušné srážky.

Pokles teploty, který vede ke srážkám, může nastat třeba vyzařováním tepla do ovzduší za jasných nocí nebo stykem vzduchu s chladnými předměty; tak vzniká rosa, jinovatka nebo přízemní mlhy. Na pobřeží moří je příčinou ochlazení míšení s chladnými proudy vzduchu. Nejčastěji však vzniká ochlazování rozpínáním vzduchu při výstupu do výšky. Takový výstup nastává ohřátím vzduchu za slunečných dnů nebo při usměrnění vzdušného proudu překážkami na zemském povrchu, hlavně horskými hřebeny. Srážky pak


- 28 (213) -

spadnou především na návětrné straně hor, v závětří vzniká suchá oblast (dešťový stín); příkladem může být Rakovnicko a Krušné hory.

Někdy se zvlášť uvádějí jako "srážky horizontální" ty, které vznikají přímo na zemském povrchu a které se nezachytí obvyklými srážkoměrnými přístroji; jsou to rosa, jinovatka, námraza a náledí. Jejich vydatnost je poměrně malá - u rosy činí asi 2 až 3 % ročních srážek. Jinak se srážky dělí na kapalné (déšť, mlha) a tuhé (sníh, kroupy, ledovatka či zmrzlý déšť). Množství srážek vyjadřujeme pomocí úhrnu Hs [mm] jako vrstvu, která by vznikla, kdyby déšť spadl na vodorovnou nepropustnou bezodtokovou rovinu, a kdyby nepodléhal výparu.

3.3.2 Extrémní deště

Deště charakterizujeme dobou trvání τ v minutách nebo hodinách a intenzitou i, což je množství vody, které spadne za jednotku času. Intenzitu vyjadřujeme v mm/min, v mm/h anebo jako specifickou vydatnost v l/s/ha či m3/s/km2. Podle trvání a intenzity dělíme deště na regionální a přívalové.

Regionální deště jsou dlouhodobé deště s velkou rozlohou. Obvykle mívají menší intenzitu. V nižších polohách nepřesahuje 80 mm za den. V horských krajích však může podstatně stoupnout: 30.7.1897 spadlo v Nové Louce v Jizerských horách 345 mm za den. Tyto deště způsobují povodně v rámci velkých povodí.

Přívalové deště neboli lijáky jsou velmi vydatné krátkodobé deště, které zasahují poměrně malé plochy. Způsobují proto prudké rozvodnění malých toků a projevuje se při nich nejsilněji splavování ornice (vodní eroze).

Mají velký význam v hydrotechnické praxi, zvláště bystřinářské. Mají rozhodující vliv na vznik extrémních přívalových průtoků na bystřinách a povodích malé plošné výměry vůbec. Podle HELLMANA jsou to deště s dobou trvání do 180 minut a s výškou srážek 10 - 80 mm. Pro povodí Labe, Odry a Moravy stanovil největší intenzity dešťů různé doby trvání TRUPL (1958).

Tab. 3.1: Největší intenzity dešt'ů různé doby trvání pro ČR Trvání deště

[mim] Intenzita deště

[mm.min-1] Specifická vydatnost

[1. s-1. ha-1]

5 5,16 861 10 3,32 554 15 2,64 440 20 2,46 410 I 30 1,98 330 40 1,68 281 60 1,36 227 90 1,07 179

100 0,97 163

Intenzita deště během jeho trvání velmi kolísá. Pro hydrotechnické výpočty průběh skutečného deště zjednodušujeme a nahrazujeme jej modelovým

- 29 (213) -

deštěm konstantní intenzity různé doby trvání, ale tak, aby měl stejný účinek jako původní déšť. Tento modelový déšť nazýváme náhradním deštěm stálé intenzity s různou dobou trvání. Stanoví se z ombrografických záznamů metodou podle REINHOLDA (viz také např. DUB, NĚMEC, 1969).

Pozorování dešťů prokázala některé závislosti. Především, že intenzita bývá největší brzy po začátku deště a pak při jeho dalším trvání klesá. Čím větší je intenzita lijáku, tím menší je jím zasažená plocha, takže podle rozlohy lijáku můžeme odhadnout i největší intenzitu deště, který určitou plochu může cele zasáhnout. Nejdůležitější je poznatek, že všeobecně intenzita lijáku klesá s jeho trváním. Tuto závislost vyjádřil Reinhold výrazem:

( )CBtAi

+= , (3.4)

kde i je intenzita [mm/min], t - doba trvání deště [min], A, B a C – jsou regresní koeficienty, které je možno určit pro určité povodí z řady pozorování kalibrací.

Srážky jsou obdobně jako ostatní hydrologické hodnoty jevy náhodné veličiny a závisí na přírodních podmínkách. V jejich výskytu však jsou určité zákonitosti a platí i jistá pravděpodobnost výskytu. K zpracování.takovýchto jevů používáme teorie pravděpodobnosti a metody matematické statistiky. Vychází se z dlouhodobého pozorování. Pozorované veličiny se zpracovávají do příslušných pravděpodobnostních čar, nejčastěji čáry překročení a následně se určuje pravděpodobnost překročení hodnoty určité velikosti.

Přívalové deště zpravidla charakterizujeme periodicitou neboli průměrnou roční frekvencí p’. Je to číslo, které udává, kolikrát v průměru je déšť určité intenzity v rámci jednoho roku dosažen nebo překročen:

Mmp =′ . (3.5)

Převrácenou hodnotou periodicity je průměrná doba opakování N. Udává průměrný počet let, ve kterých je déšť určité intenzity dosažen nebo překročen.

mM

pN =

′=

1. (3.6)

V uvedených vztazích značí: m - počet výskytů sledovaného jevu za dobu pozorování (v našem případě překročení nebo dosažení), M – počet roků pozorování.

V ČR pro povodí Labe, Moravy a Odry zpracoval ombrografická pozorování TRUPL (1958) z 98 stanic pro dobu trvání 5-120 minut a periodicitu 2-0,1 ( ve zdravotně technické praxi termín periodicita deště p’ znamená, že určitý déšť dané doby trvání byl dosažen nebo překročen n-krát za rok; periodicita p’ = 2 tedy odpovídá dešti, který byl dosažen nebo překročen 2-krát za rok, při p‘ = 0,5 jednou za 2 roky atd.).

Při stanovení intenzity deště určité doby trvání a periodicity pro libovolné místo v Čechách a na Moravě můžeme použít mapu izočar koeficientu α a mapu intenzit 15 minutových dešťů pro p = 1 podle TRUPLA.


- 30 (213) -

Pro povodí Labe je možno použít pro výpočet intenzity deště vztahu odvozeného NĚMCEM ( 1964 ) z Truplova materiálu ( viz blíže např. DUB, NĚMEC, 1969).

Pro povodí Labe a Odry (příp. i Moravy) lze použít rovnici odvozenou Němcem z Truplova materiálu (NĚMEC, 1964 ):

(3.7) nebo

(3.8)

kde: i - náhradní ( konstantní) intenzita deště doby trvání t a opakování jednou za N let, Hs - výška srážek ( mm ), t - do ba trvání deště v min., N - počet let, za který se intenzita v dlouhodobém průměru opakuje; tedy např. déšt' vyskytující se v průměru jednou za 100 let N = 100, a, n - parametry pro jednotlivé srážkoměrné stanice.

Obecný vztah mezi trváním, intenzitou a periodicitou deště podle Trupla je znázorněn na obr. 3.4.

Obr. 3.4: Vztah mezi trváním, intenzitou a periodicitou deště

3.3.3 Závislost intenzity deště na velikosti zasažené plochy

Přívalové deště zasahují malá území. Přitom jejich intenzita na ploše není rovnoměrně rozložena, ale od jádra deště, kde je největší intenzita, k jeho okrajům se snižuje. Obecně je možno konstatovat, že čím je déšť intenzivnější, tím menší území zasáhne. Z toho plyne, že s rostoucí plochou povodí je třeba zjištěnou intenzitu redukovat. Zatím. nejsou ve světě vypracovány spolehlivé metody redukce. Řešení tohoto problému poskytuje Frühlingův vzorec:

(3.9)

kde: ipr - plošně průměrná intenzita v kruhu o poloměru L ( m ), ib - max. bodová intenzita v jádru deště.

- 31 (213) -

Nebo zjednodušeně Frühling uvádí, že intenzita přívalového deště klesá se vzdáleností od jádra deště, a to tak, že ve vzdálenosti 3 km od jádra klesá na polovinu. Přitom v prostoru představuje průběh intenzity deště přibližně rotační paraboloid.

Pro ČR je možno přibližně použít Reinholdova závěru, že vypočítanou intenzitu lze pro povodí do 10 km2 snížit o 5 %, do 25 km2 o 10 % ( DUB-NĚMEC, 1969, str. 105).

3.3.4 Měření srážek

Měření srážek patří k nejdůležitějším měřením v hydrologii. Získat kvalitní věrohodná data není ale tak jednoduché, jak se na první pohled může zdát. Srážková činnost je totiž variabilní v čase a prostoru.

Měření atmosférických srážek je jedním z klíčových prvků, a to nejen při predikci extrémních hydrologických situací. Spolehlivá data o srážkách jsou globálně nutná pro porozumění a monitorování hydrologického cyklu, regionálních vlivů variability a změn klimatu a pro hydrologické a klimatické modely. Znalost srážkové činnosti je neméně důležitá pro potřeby zemědělství.

Hydrologické předpovědi jsou v současnosti v České republice zajišťovány Českým hydrometeorologickým ústavem ve spolupráci se správami povodí. Předpovědi vychází z pozorování v hlásné síti vodoměrných stanic a ze znalosti spadlých, případně předpovězených srážek. Měření srážek je zdrojem cenných reálných dat pro srážkoodtokové předpovědní modely, které jsou u nás používány na jednotlivých povodích (např. AquaLog, HYDROG, MIKE s moduly NAM). Jedním z cílů těchto modelů je v reálném čase a s dostatečným časovým předstihem určit průtoky v tocích a umožnit tak včasné varování obyvatelstva a snížení povodňových škod. V operativní hydrologii mají informace o srážkách značný význam. Předstih klasických hydrologických předpovědí je v našich podmínkách limitován poměrně krátkou dobou doběhu průtoků a dosahuje pouze 6 až 12 hodin. Proto jsou co nejpřesnější měření srážek a spolehlivý přenos informací o nich tak důležité.

V roce 1995 bylo na světě v provozu přibližně 200000 operativních srážkoměrných stanic. V České republice je současná hustota hlásné srážkoměrné sítě pro sledování regionálních srážek v dolních částech povodí postačující, ve vyšších a horských oblastech však již ne. Pro vystižení lokálních přívalových srážek nebude bohužel tato síť pozemních stanic pravděpodobně nikdy dost hustá. Ve správě ČHMÚ je cca 800 stanic měřících srážky, z toho přes sto stanic pracuje v operativním režimu a předává 24 hodinové úhrny, a jen cca 40 stanic je profesionálních. Do budoucna se předpokládá zvýšení hustoty srážkoměrné sítě a profesionalizace všech operativních stanic. Nabízí se také využití stávající srážkoměrné sítě státních podniků Povodí.

Klasická měření pozemních stanic jsou omezena na pozorovací stanoviště nebo jejich blízké okolí. Do popředí proto v poslední době vystupují nové metody měření srážek pomocí meteorologických družic a meteorologických radarů, které již poskytují prostorově spojitou informaci, získávanou v diskrétních časech. Tyto nové metody významně přispívají ke zlepšení předpovědní a zejména varovné služby při extrémních povodních.


- 32 (213) -

Vyvíjeny jsou však stále i další metody stanovištních měření, jako jsou např. optické srážkoměry. Všechny metody měření srážek jsou však více či méně nepřesné a zatížené různými typy chyb. Důležitá je znalost příčin, typů a velikostí těchto odchylek od skutečných hodnot srážek. Detailní popis těchto jevů u každého typu měření a metody jejich kalibrace jsou již velmi náročné a specifické, jsou většinou prováděny ve spolupráci s výrobci měřící techniky a překračují rozsah výukového textu.

3.3.4.1 Měření srážek pomocí srážkoměrů

Srážky se měří v síti srážkoměrných stanic srážkoměrem (dešťoměrem) neboli ombrometrem. Ombrometr se skládá ze záchytné nálevky, jejíž okraj je 100 cm nad zemí a má plochu 500 cm2. Nálevka zasahuje do sběrné nádoby, umístěné uvnitř ochranné nádoby. K vybavení patří ještě skleněná kalibrovaná nádoba, v níž se odměřuje zachycená voda. Měření se provádí pravidelně každý den v 7 hodin ráno nebo i po jednotlivých větších deštích. Dělení odměrky ukazuje přímo úhrn Hs [mm] srážkové výšky s přesností na 0,1 mm.

Dokonalejší údaje dostáváme zapisujícím srážkoměrem, ombrografem. Ze záchytné nálevky o ploše obvykle 500 cm2 (dříve 250 cm2) stéká voda do nádobky s plovákem, na kterém je připevněno pisátko přiléhající na papír navinutý na bubnu. Ten se otáčí pomocí hodinového strojku. Papír má na vodorovné ose označen čas v hodinách a na svislé výšku spadlého deště v mm. Když je nádobka plná vody, vyprázdní se násoskou do podstavené sběrné nádoby, pisátko přitom rychle poklesne a zápis (ombrogram) je přerušen téměř svislou čarou. Ombrogram je tedy součtovou čarou a umožňuje stanovit nejen průběh jednotlivých dešťů a jejich celkovou výšku, ale i intenzitu podle strmosti záznamu (směrnice tečny).

Na těžko přístupných místech, hlavně v horách, se měří celkový úhrn srážek za delší období pomocí totalizátoru. Jeho výška nad terénem je 3 až 5 m. Zachycené pevné srážky se v něm rozpustí v roztoku chloridu vápenatého (CaCl2) a chrání se před výparem vrstvou vaselinového oleje. Sběrná válcovitá nádoba musí mít dostatečný obsah, aby bezpečně zachytila srážky za celé měrné období. Nad ní je kuželovitá část se sběrnou plochou a ta je před vlivem turbulentního účinku větru chráněna širokým plechovým kuželem (Nipherův kužel).

Impulsní srážkoměr je složen z kruhové záchytné plochy, vlastního pláště, stojanu, tlumiče kinetické energie kapek vody a překlopné nádržky o objemu několika mililitrů s elektromagnetickým počítáním impulsů. Vstupní nálevka zachycuje srážky a nasměruje je na jednu z lopatek překlopného mechanismu. Po naplnění objemu lopatky dojde k překlopení mechanismu, je vyslán elektrický impuls a začíná se plnit další lopatka mechanismu. Srážkoměr bývá vytápěn pro celoroční funkci. Záchytné plochy jsou obvykle 200 nebo 500 mm2.

Srážkoměry jsou v České republice vyráběny několika firmami, např. Anemo, s.r.o., DHI Hydroinform, s.r.o., METEOSERVIS v.o.s., NOVI, s.r.o., atd. Srážkoměry obdobné konstrukce a proporcí jsou vyráběny firmami po celém světě.

Srážkoměry s periodickým vážením jsou obdobou totalizátorů, jejich součástí je však mechanismus, který v určitých časových intervalech váží hmotnost

- 33 (213) -

vody v rezervoáru. Srážkoměr může být na dálku ovládán a lze tak měnit periodu vážení srážkové vody. Data o srážkách jsou pak obdobně jako u překlopných srážkoměrů odesílána různými druhy přenosu na vyhodnocení. Je zřejmé, že z těchto dat lze získat informaci jak o celkovém objemu srážek za určitý čas, tak informaci o intenzitě deště.

Obr. 3.5: Ombrometr, ombrograf a totalizátor

Obr. 3.6: Ombrogram


- 34 (213) -

Obr. 3.7: Impulsní srážkoměr

Obr. 3.8: Typ SR03 Obr. 3.9: Typ S50V Obr. 3.10: Typ SR49

Srážkoměry mohou být také vytápěny. Někteří výrobci – viz.obr. 3.11 - řeší problém nízkých teplot tím, že nádobu, v níž se voda akumuluje, částečně naplní nemrznoucím tekutým prostředkem. Na povrchu je pak film z oleje s nízkou viskozitou, čímž se zabraňuje vypařování vody z nádoby a následným chybám. Některé přístroje bývají také vybaveny různými clonami proti turbulentním účinkům větru – Nipherův kužel. Tyto clony se objevují i u jiných typů srážkoměrů.

Optické srážkoměry měří srážky pomocí infračerveného paprsku. Jsou složeny z vysílače paprsku a přijímače, mezi nimiž je volný prostor. Charakter prostředí v tomto prostoru má vliv na infračervený paprsek, po příjmu a vyhodnocení paprsku jsou zpětně vypočteny charakteristiky prostředí. Tyto přístroje jsou silně závislé na správné kalibraci. Na obr. 3.12 je optický srážkoměr používaný v Okinawa Subtropical Environment Remote-Sensing Center.

- 35 (213) -

Obr. 3.11: Srážkoměr Geonor T-200 firmy GEONOR A/S, Norsko

Obr. 3.12: Optický srážkoměr

Chyby při měření srážek Při měření srážek klasickými pozemními metodami může vzniknout a vzniká celá řada chyb. Odborníci společně s výrobci měřících přístrojů se snaží tyto chyby minimalizovat a to s nasazením prostředků odpovídajících důležitosti měření. Pro různé typy přístrojů jsou vyvíjeny kalibrační metody, které jsou následně verifikovány velice přesnými pokusy. Správná kalibrace měřících přístrojů je důležitá pro minimalizaci chyb. Různorodost, respektive mnoho různých typů měřících přístrojů má bohužel za následek rozdrobení snahy a nesystémovost ve snaze zpřesnit měření srážek. Kalibrace a verifikace musí probíhat na každém přístroji zvlášť Apriorní použití byť jen podobných kalibračních vztahů pro dva různé typy srážkoměrů může být velmi zrádné. Odhaduje se, že celkové průměrné podhodnocení všech měřených srážek na celém světě dosahuje až 11%. Příčiny chyb při měření klasickými pozemními metodami lze rozdělit do několika skupin:


- 36 (213) -

Jedním ze zásadních problémů a tedy zdrojů chyb je malá půdorysná plocha měřících přístrojů. Ta se pohybuje průměrně kolem 400 cm2 a pomocí dat z těchto přístrojů se potom určuje, odhaduje nebo extrapoluje srážková činnost na územích velkých stovky čtverečních kilometrů. Volba typu extrapolace je tedy zásadním rozhodnutím. Je proto vhodné upředňostňovat přístroje s větší plochou, protože výsledky pak budou zatíženy menší chybou.

Vzhledem k prostorové variabilitě srážek, zvláště za povodní, je ovšem zřejmé, že bodová měření, i kdyby byla sebepřesnější, nám nemohou podat kvalitní informaci o skutečném ději.

Chyba vzniklá při extrapolaci bodových měření na skutečné plochy území je udávána ve výši 5 – 15 %, pro dlouhodobé srážkové úhrny potom 3 – 30 %. S velkými chybami až 75 % potom musíme počítat pro srážky v bouřkách a pro sněhové srážky.

Malé plochy přístrojů jsou obzvlášť nevhodné pro měření sněhových srážek. U menších přístrojů také ulpí větší podíl vody na stěnách a chyba je potom větší. Menší přístroje mají také větší relativní ztráty vody výparem, protože voda v menší nádobě se rychleji zahřeje.

Vítr větru patří k nejdůležitějším faktorům ovlivňujícím přesnost měření srážkoměrů a je tedy jedním z největších zdrojů chyb. Kolem ústí srážkoměrů vznikají turbulence, které vychylují kapky deště a vločky sněhu. Pomocí numerických softwarových simulací se vypočítávají odchylky, resp. podhodnocení srážkových úhrnů při různých povětrnostních podmínkách. Tyto simulace poskytují informace pro kalibraci přístrojů, případně pro korekci již naměřených dat.

V okolí srážkoměrů se pro redukci chyb v exponovaných lokalitách instalují více či méně účinné větrové clony, jako např. na obr. 3.13. Vhodné je také využívat přirozených větrolamů v okolí stanoviště, výběr lokace je tedy z tohoto hlediska velice důležitý. Nejlepším teoretickým řešením by bylo instalovat srážkoměry v předem vyhloubených dírách. Při tomto řešení by však musela být provedena opatření proti zanášení splachem z povrchu. Tato možnost je evidentně problematická teké z hlediska dostupnosti, údržby apod.

Při měření sněhových srážek v zimním období nebo v horských oblastech je nutné zajistit, aby ústí srážkoměru bylo vždy nad povrchem sněhové pokrývky, což bývá velmi problematické.

Obr. 3.13: Větrná clona, model 260-952 fimy GENEQ Inc., Kanada

- 37 (213) -

Při použití větrných clon naměřeno o 20 – 70 % a dokonce až o 90 % více sněhových srážek, než bez nich. U dešťových srážek pak tento rozdíl činí cca 20 %.

Použitím větrných clon je však do srážkoměrných záznamů vnesena jistá diskontinuita, která je závislá na rychlosti větru, teplotě a typu srážek. Abychom obdrželi kvalitní homogenní data o srážkách, je nutná jistá korekce této nespojitosti. Pro různé typy větrných clon jsou již popsány vztahy mezi poměrem naměřených srážek s clonou a bez a rychlostí větru a teplotou. Mezi daty o srážkách naměřenými s použitím větrné clony a bez byly regresní analýzou v závislosti na typu srážkoměru odvozeny lineární, případně exponenciální závislosti. Tyto závislosti se mění podle typů srážek. Touto cestou by mohly být korigovány data ze srážkoměrů nechráněných větrnými clonami.

Snížení chyby měření lze dosáhnout výběrem vhodného umístění srážkoměru. Nejlepší jsou poměrně malá volná prostranství obklopená vegetací, nebo jinými objekty, které eliminují nepříznivý vliv větru. Kolem srážkoměru by nejlépe měl být volný kónický prostor pod úhlem 45 stupňů od svislice. Současně by žádný objekt neměl stát blíže, než dvojnásobek jeho převýšení nad přístrojem.

Dalším problémem je umístění měřících stanovišť v horských oblastech. Zkreslení vzniká tím, že tato měřící stanoviště jsou umisťována spíše v údolích, než zcela náhodně, jak by bylo potřeba. To má za následek vznik chyb při určování srážek v závislosti na nadmořské výšce.

Výpar z nádob srážkoměrných přístrojů je zdrojem chyb zejména v letních měsících, kdy je výpar vlivem zahřátí vody zvyšován. Tomuto se zabraňuje úzkými hrdly nádob, případně přidáním oleje s nízkou viskozitou, který vytvoří na hladině vody v rezervoáru mastný film. Tímto opatřením se zabrání úniku molekulám vody, které se uvolňují z hladiny. Chyby vypařováním jsou minimální u překlopných srážkoměrů, u kterých se vyskytují pouze v obdobích velmi slabých srážek.

Chyby vzniklé špatnou funkcí přístrojů jsou v podstatě omezeny na záznamové srážkoměry, u kterých jsou díky konstrukci přístroje tyto mechanické, případně elektrické závady možné. Chyby systematické například vlivem špatné kalibrace jsou naopak očekávatelné zejména u překlopných srážkoměrů. U všech přístrojů se samozřejmě mohou objevit hrubé chyby vzniklé poruchou nebo naprostým selháním přístroje například vnějším zásahem apod. Tyto chyby se však dají lehce detekovat a eliminovat.

Chyby vzniklé např. špatným odečtem obsluhy mohou být náhodné. Těmto chybám se však úplně předejít nedá. Během dlouhého časového období se však nadhodnocení a podhodnocení pravděpodobně vzájemně vyrovnávají.

Pokud jsou tyto chyby systematické, dochází-li k dlouhodobému nadhodnocování nebo podhodnocování, pak jsou tyto chyby závažné a bohužel těžko detekovatelné. Možným řešením je např. dočasná výměna obsluhy.

Hrubé chyby obsluhy jsou podobně jako hrubé chyby u přístrojů snadno odstranitelné.


- 38 (213) -

Volba časové periody odečtu hodnoty na všech typech přístrojů mimo ombrografy je zásadní věc, která ovlivňuje charakter a kvalitu měřených dat. V dnešní době můžeme s výhodou volit tento časový krok na dálku. O to důslednější by tedy volba měla být, měla by vycházet z kvalitní úvahy a zkušeností a odpovídat charakteru současné, nebo očekávané srážky.

Měření množství vody, která se na povrch dostane prostřednictvím mlhy, rosy, námrazy nebo jinovatky je pro standardní přístroje obtížné až nemožné. Tato množství jsou však vzhledem k ostatním formám srážek v podstatě zanedbatelná. Měření těchto druhů srážek má význam pouze v oblastech, kde jsou tyto srážky dominantní. Takovými oblastmi jsou pouště, polopouště případně jiné oblasti s extrémním klimatem. Například v oblasti Kaskádových hor v americkém státě Washington tvoří voda z námraz a jinovatky až 50 mm z ročního úhrnu srážek.

Poměrně velká chyba nastává při deštích s malou intenzitou a malým celkovým úhrnem. V případě velmi malých srážek už nejsou srážkoměry vůbec schopny správně měřit. V severní Aljašce představují tyto stopové srážky až třetinu celkového ročního úhrnu. Arktické stanice vykazují potom až 80 % srážek v této formě, a to ve formě ledových krystalků.

Výrobci překlopných srážkoměrů udávají chybu měření v rozsahu 0,5 - 8 % pro běžný rozsah srážek, přičemž chyba je závislá nejen, ale zřetelně na intenzitě deště a s jejím růstem se zvětšuje.

3.3.4.2 Radarová měření

Atmosférické srážky mají v době svého trvání spojitý charakter v prostoru i v čase. Klasická měření pozemních stanic mohou být sice spojitá v čase, jsou však omezena na pozorovací stanoviště. Měření meteorologických radarů (radiolokátorů) však poskytují prostorově spojitou informaci, získávanou v diskrétních časech. Sítě digitálních radarů byly v jednotlivých evropských zemí vytvářeny během 70. a 80. let, v průběhu 90. let se formovala mezinárodní výměna operativních radarových dat.

Meteorologické radiolokátory jsou schopny zjišťovat rozložení okamžitých intenzit atmosférických srážek na velké ploše do vzdálenosti 100 - 200 km. Bouřkovou činnost jsou schopny detekovat do cca 250 - 300 km. Jejich funkce je založena na schopnosti srážkových částic v atmosféře odrážet mikrovlny.

Vysílač radaru generuje krátké pulsy s vysokým okamžitým výkonem. Elektromagnetická energie je vysílána parabolickou anténou o průměru několika metrů ve tvaru úzkého svazku do atmosféry, kde dochází ke zmiňovanému odrazu části energie od meteorologických i nemeteorologických cílů. Část odražené energie je opět přijata anténou, zesilována a detekována přijímačem radaru.

Měřená radiolokační odrazivost má přímý vztah k okamžité intenzitě srážek v daném místě. Časovou integrací těchto intenzit potom získáváme radiolokační odhady sum srážek.

Radarová měření díky plošnému pokrytí a dobrému prostorovému i časovému rozlišení dat vhodně doplňují síť pozemních stanic.

- 39 (213) -

V současné době je většina území České republiky pokryta měřením dvou civilních meteorologických radarů v Brdech u Prahy (dříve Praha-Libuše) a ve Skalce u Boskovic. Měření probíhají nepřetržitě ve stanovených časových intervalech (obvykle 10 až 20 min).

Obr. 3.14: Radarový odhad srážek z 20.4.2004 v 08:00 SEČ z radarů ČHMÚ

Chyby měření Radarová pozorování srážek mají oproti klasickým sítím srážkoměrů výhodu měření na velké ploše z jediného místa v téměř reálném čase, a to přesněji v diskrétních časových intervalech. Srážková pole mají ale velkou proměnlivost v prostoru i v čase, okamžité intenzity se na vzdálenosti několika km nebo během velmi krátké doby mohou řádově lišit. Nejlepší odhad radiolokačních srážek lze získat v případě znalosti odrazivosti blízko nad Zemí, neboť ta nejlépe reprezentuje srážkové částice dopadající na zemský povrch.

Při stanovení množství srážek za delší období musíme počítat s kumulací chyb. Pro jejich snížení je žádoucí maximálně zkrátit časový interval měření na minuty. Celkové chyby při určování intenzit srážek pomocí radaru jsou v řádu desítek až stovek procent. Částečně mohou být tyto chyby sníženy vhodným zpracováním dat. Radarová měření tedy nekonkurují klasickým srážkoměrným sítím, ale poskytují okamžitý přehled o rozložení intenzit srážek na velké ploše.

Chyby měření a jejich příčiny

• v blízkém okolí radaru do cca 40 km je obvykle pozorováno slabé nadhodnocování srážek;

• s rostoucí vzdáleností se zvyšuje podhodnocení srážek, které je způsobeno především nedostupností nejnižších partií oblačnosti způsobené zakřivením zemského povrchu, kde se radarový paprsek vzdaluje od povrchu. Radiolokační odrazivost většiny meteorologických cílů tedy rychle klesá s výškou;


- 40 (213) -

• další podhodnocení je způsobeno útlumem radarového paprsku ve srážkách, nejvýraznější podhodnocení na území České republiky je pozorováno v horských oblastech Beskyd a Jeseníků, které je způsobeno umístěním radiolokátorů a orografickým zesílením srážek;

• radarový signál se s rostoucí vzdáleností rozšiřuje, zvyšuje se práh zachycení echa, zároveň radarový svazek již nebývá homogenně zaplněn srážkovými částicemi;

• dalším zdrojem nepřesností je proměnlivost spektra velikostí srážkových částic, která znesnadňuje určení vztahu mezi odrazivostí a intenzitou srážek, navíc ve vrstvě tání srážek pod nulovou izotermou může docházet k přechodnému zvýšení odrazivosti;

• určování intenzit srážek je nepříznivě ovlivněno také terénními předměty v dráze radarového paprsku, eliminace pozemních odrazů je prováděna buď pomocí zapamatované mapy průměrného rozložení za pěkného počasí, nebo na základě faktu, že jejich dopplerovská rychlost je přibližně nulová. Pozemní odrazy jsou také odlišitelné podle výrazné textury;

• odrazy části energie vyzářené bočními laloky antény mimo směr hlavního paprsku zkreslují polohu odrazů;

• echa z oblastí za dosahem radaru způsobená odrazem od velmi vzdálených intenzívních cílů při předcházejícím pulsu, jsou rozeznatelná jako velmi úzké a nízké, radiálně protažené odrazy.

Opatření pro zlepšení odhadu srážek:

• zajistit přesnost hardwarové kalibrace a stabilitu radaru;

• korigovat data na vertikální profily odrazivosti, tedy získat nejlepší odhad radiolokátorové odrazivosti v přízemní vrstvě, extrapolace radiolokační odrazivosti z vyšších hladin k zemskému povrchu pomocí průměrných vertikálních profilů by mohla v budoucnu vést ke zlepšení radiolokačních odhadů intenzit srážek;

• optimalizovat výpočet intenzity srážek;

• kombinovat radarový odhad s pozemním měřením srážek;

• zavést dostatečně účinné procedury eliminace nemeteorologických pozemních radarových odrazů. V v současné době se aplikují různé algoritmy pro čištění získávaných obrazů odrazivostí;

• kombinovat data z více radiolokátorů propojených do sítě.

Celkově lze pozorovat mírné podhodnocení skutečných srážek radarovými odhady. Průměrná hodnota podílu radar/srážkoměr je 0,69. Neocenitelná hodnota těchto radarových odhadů srážek je však v jejich plošném pokrytí a aktuálnosti informací z nich.

- 41 (213) -

3.3.4.3 Satelitní měření

Pro území České republiky jsou využitelné informace z geostacionární družice METEOSAT a amerických družic NOAA. Český hydrometeorologický ústav má k dispozici data z obou zdrojů.

METEOSAT Geostacionární družice METEOSAT patří západoevropské mezivládní organizaci EUMETSAT, sídlící v německém Darmstadtu. Družice METEOSAT patří do skupiny družic geostacionárních, tj. obíhajících Zemi ve výšce necelých 36 tisíc kilometrů v rovině zemského rovníku jednou za 24 hodin. Z hlediska pozorovatele na Zemi se tak zdá, jako by družice visela nad Zemí ve stále stejném bodě. Tato vlastnost umožňuje družici snímat stále stejnou část povrchu Země za stejných geometrických podmínek.

Obr. 3.15: Satelitní snímek z 21.4.2004 v 08:00 SEČ z družice METEOSAT

Družice METEOSAT je "zavěšena" nad Guinejským zálivem, odkud je schopna zobrazit celou Evropu a Afriku, západní Asii, část Jižní Ameriky a většinu Atlantského oceánu. Data jsou poskytována ve 3 spektrálních kanálech. V oblasti střední Evropy je horizontální rozlišení snímků přibližně 6 x 9 km. Její orientace v prostoru je zajištěna rotací o rychlosti 100 otáček za minutu. Hlavním zařízením na palubě je tříkanálový skanující radiometr.

Družice snímá celý zemský disk každých 30 minut, přičemž začátky snímání jsou vždy ve 30. a 60. minutě, snímání trvá 25 minut a dalších 5 minut má družice na návrat do výchozí pozice. Všechna obrazová data jsou nejprve předána k předzpracování do centra v Darmstadtu, odkud jsou opět přes METEOSAT předávána koncovým uživatelům.


- 42 (213) -

NOAA NOAA je zkratkou pro National Oceanic and Atmospheric Administration, americké vládní agentury která tyto družice provozuje. Snímky družic NOAA jsou dostupné cca 4x denně v 5ti spektrálních kanálech. Družice NOAA se často označují jako "družice polární", nebo jako "družice na (kvasi)polární dráze". Oběžná dráha ta má sklon vůči rovině zemského rovníku 98 až 99 stupňů, výška dráhy se pohybuje v rozmezí 810 až 870 km, čemuž odpovídá oběžná doba přibližně 100 minut. Hlavním přístrojem družic NOAA je skenující radiometr, označovaný AVHRR (Advanced Very High Resolution Radiometer).

Geometrické rozlišení je pro oblast pod družicí 1,1 x 1,1 km, pro okraj snímaného pásu území cca 2,5 x 5 km. Družice snímá nepřetržitě pás území široký přibližně 3000 km, data jsou v plném rozlišení vysílána uživatelům v reálném čase. Kromě toho družice zaznamenává veškerá naměřená data s uměle sníženým rozlišením (4x4 km, tzv. Global Area Coverage, GAC formát) a vybraná území v plném rozlišení (Local Area Coverage, LAC formát) na palubní záznamová média a na výzvu řídícího střediska je předá k trvalé archivaci pro různé klimatické studie.

Obr. 3.16: Satelitní snímek RGB z 20.4.2004 v 12:40 SEČ z družice NOAA

Pokud je systém polárních družic kompletní, jsou v provozu vždy dvě družice, jejichž roviny oběžných drah jsou vůči sobě stočeny o 90 stupňů. Tím je docíleno snímání libovolného místa na Zemi nejméně 4x za 24 hodin

ČHMÚ poskytuje zpracované snímky ze všech přijatých přeletů družic NOAA v podobě několikadenního archivu. Podle geografické polohy přeletů se vytvářejí snímky až ve třech různých geografických projekcích: Evropa, Střední Evropa a Česká republika.

- 43 (213) -

Využití satelitů pro měření srážek Horší rozlišovací schopnost a menší počet spektrálních kanálů ve srovnání s družicemi NOAA jsou jedinou nevýhodou družic METEOSAT, jejich zásadní výhodou je relativně vysoká frekvence snímání (48x za 24 hodin). Právě vysoká frekvence snímání umožňuje využívání obrazových dat pro sledování dynamiky atmosferických procesů, jako je pohyb a vývoj frontálních systémů, bouřkové oblačnosti případně tropických cyklónů.

Snímky z polárních družic NOAA mají naopak výhodu v lepším horizontálním rozlišení a ve větším počtu spektrálních kanálů, proto jsou tyto snímky vhodné k detailnějšímu studiu struktury oblačnosti případně zemského povrchu.

Pomocí družic nejsou přímo měřeny srážky. Satelitní snímky však poskytují velmi kvalitní informace v podstatě v reálném čase o okamžitém výskytu, rozložení a vývoji oblačnosti nad zájmovým územím. Výskyt oblačnosti je přirozeně přímo svázán se srážkovou činností. Využití těchto informací v oboru měření srážek je zejména v jejich predikci a v možnosti připravit na dálku klasické pozemní srážkoměrné stanice na očekávané srážky, tedy např. změnit časovou periodu měření. Díky této operativnosti lze zvýšit přesnost minimalizací chyb při měření srážek.

Závěr Kvalitní měření srážek není v hydrologii triviálním úkolem. Zejména s přihlédnutím k rozvoji měřící techniky v minulých desetiletích. Každé měření je zatíženo větším či menším výskytem chyb. Pro úspěšnou minimalizaci těchto chyb je nutný správný popis a pochopení příčin a zdrojů těchto nepřesností. Zkvalitnění výsledků měření srážek je při současném stavu srážkoměrné sítě a presenci metod dálkové detekce úkolem hydrologů současnosti a budoucnosti.

Současně je žádoucí takové doplnění srážkoměrné pozemní sítě, aby její hustota odpovídala orografickým a srážkovým poměrům dané lokality.

Neméně důležité je potom spojení metod dálkové detekce a klasických měření. Kombinace výhod radarového a satelitního měření jako je plošné pokrytí, operativní dostupnost aktuálních dat a možnost zobrazení dynamiky oblačných systémů formou animací s přesností lokálních pozemních stanic přinese zkvalitnění výstupních dat obou skupin metod. Radarové odhady srážek vykazující globálně určitá podhodnocení pak mohou být korigována měřením srážkoměrných pozemních stanic.

3.3.5 Zpracování výsledků měření ze srážkoměrů

Výsledkem a cílem zpracování dešťoměrných záznamů (údajů) především pro jednodušší, dříve aplikované postupy (racionální metody) je získání průkazných závislostí mezi intenzitou i, trváním t a periodicitou deště p;

Poznámka Vedle veličiny intenzita deště se používá někdy termín vydatnost deště - symbol q. Vydatnost se většinou udává v [l. s-l.ha-1], intenzita v rozměrových jednotkách úhrnu deště za čas - např. [mm.min-1, mm.h-1]. Ve skutečnosti se jedná o shodnou hydrologickou veličinu lišící se kvantitativním vyjádřením.


- 44 (213) -

Základním pracovním postupem vyhodnocení dešťoměrných údajů je zpracování součtové čáry deště zaznamenané srážkoměrem - viz. obr. 3.17. (rozbor ombrogramu jednoduchého deště), které spočívá ve vyhledávání tzv. maximálních průměrných intenzit, které nastaly v průběhu daného deště (existují i deště vícenásobné - pro zpracování vícenásobných dešťů existuje řada metodologických postupů). Způsob zpracování dešťů v současné době velmi podstatně ovlivňuje také přístrojové vybavení usnadňující digitální vyhodnocení srážek do podoby hyetogramů v historických dešťových řadách.

Obr. 3.17: Průběh jednoduchého deště

Rozhodující při analýze průběhu deště je stanovení závislosti intenzity idt deště na čase; okamžitá intenzita deště je daná vztahem:

,dtidtdhtg ==α (3.10)

kde h je srážková výška [mm], t je doba trvání v [min].

Intenzita deště se v jeho průběhu mění. Pro účely stokování (zejména pro jednoduché postupy výpočtu) je nutné získat tzv. náhradní řady dešťů se stálou (průměrnou) intenzitou. Pro určitý časový interval dt (při sestavování náhradních čar intenzit pro účely stokování - přívalové deště - se volí intervaly zpracování v rozmezí 5 - 120 min) pro které se vyhledává maximální strmost úseku součtové čáry (ze všech dešťů zaznamenaných za určité souvislé měrné období v dané dešťoměrné stanici). Maximální průměrná intenzita idt pro zvolený interval dt je pak dána tangentou. Volbou různé délky časového intervalu a jí odpovídajícími intenzitami získáme sestupnou náhradní řadu intenzit - konstrukce - obr. 3.18, která je tedy řadou průměrných intenzit. Trvá-li déšť 60 minut, pak v tomto období napršelo 12 pětiminutových úseku, ale pouze jeden úsek uvnitř udává maximální hodnotu 5. minutového deště. Dále si představme, že máme k dispozici dešťoměrné pozorování za 10 let a v každém roce pršelo pouze jedenkrát. Maximální intenzity zvolených intervalů (ze všech dešťů) se tabelárně seřadí sestupně podle velikosti a stanoví se periodicita p tak, že například pro období 10 let bude mít největší z vyhodnocených intenzit hodnotu p = 0,1 (je dosažena nebo překročena průměrně 1 x za 10 let), druhá největší má periodicitu p = 0,2 (jedenkrát za 5 let), až k p = 1, kdy daná intenzita je dosažena nebo překročena 1 rok-1. Spojíme-li body vyjadřující

- 45 (213) -

průměrné intenzity deště téže periodicity (např. p = 0,1, p = 0,2 atd.), získáme tzv. neuspořádanou sestupnou náhradní řadu srážek - obr. 3.18.

Obr. 3.18: Neuspořádané sestupné čáry náhradních intenzit srážek

Neuspořádané sestupné řady je nutné „vyrovnat“ do podoby uspořádaných sestupných řad. Pro matematickou definici závislostí mezi trváním, intenzitou a periodicitou krátkodobých dešťů byla odvozena na základě dlouhodobých pozorování řada empirických vztahů: mezi nejznámější a nejjednodušší vyjádření intenzity dané periodicity v závislosti na čase patří vztah Lindleyův:

,ατCi = (3.11)

kde i = intenzita deště, α, C = empirické konstanty, t = doba trvání deště; grafickým znázorněním Lindleyova vztahu v logaritmické soustavě je přímka. Z řady dalších vztahů bývá nejčastěji pro náhradu neuspořádané sestupné náhradní řady dešťů řadou uspořádanou pro danou periodicitu uváděn Reinholdův vztah:

,)( αBt

Ci+

= (3.12)

kde B je další empirický součinitel.

Pro účely zajištění bezpečnosti vodních děl je však nutno dále zkoumat nejen srážkové intenzity denních úhrnů, nýbrž studovat i případy s kratší i delší dobou trvání. Tím se konkrétně rozumí doba trvání srážek asi od jedné hodiny do pěti dnů (u vícedenních srážek dochází již jen k nepodstatnému nárůstu celkových úhrnů za toto období).

Trupl (1958) zjistil na rozsáhlém ombrografickém materiálu, že intenzity dešťů kratšího trvání než 1 h jsou často při stejné četnosti výskytu větší v nížinách a


- 46 (213) -

středních polohách než na horách. Teprve deště trvající více než hodinu mají v horských oblastech větší vydatnost než v nízkých polohách. Autor ale zjišťoval tyto intenzity s trváním přívalového deště pouze do 2 h.

3.3.6 Předpovědi srážek

V předpovědní meteorologické službě se používají data, která informují především o aktuálním stavu počasí (atmosféry), a dále produkty numerických předpovědních modelů. Mezi ty první patří přízemní pozorování na meteorologických stanicích a výšková data (sondážní výstupy), družicová a radarová měření a data ze systému detekce blesků.

Družicové snímky ukazují vývoj a postup oblačných systémů, které mohou být spojeny se srážkami, radary postup a vývoj srážkově významné oblačnosti, včetně bouřkové činnosti spojené s intenzivními srážkami nebo i kroupami. Zároveň umožňují radiolokační odhad srážek za uplynulé období. Na základě všech těchto dat si meteorolog udělá představu o aktuální povětrnostní situaci i jejím vývoji v nejbližších hodinách.

Předpovědi srážek je možno rozdělit následujícím způsobem:

• Rozdělení dle doby předpovědi 1) Nowcasting – doba předpovědi je 0 až 2 hodiny – využívá metod detekce (radary, družice), koncepční modely (synoptické modely). Nowcasting je možno zařadit do velmi krátkodobých předpovědí.

2) Velmi krátkodobá předpověď – doba předpovědi je 0 až 12 hodin – využívá numerických předpovědních modelů, metod dálkové detekce a koncepční modely.

3) Krátkodobá předpověď – doba předpovědi je 1 až 3 dny – využívá zásadně numerické předpovědní modely.

4) Střednědobá předpověď – doba předpovědi 3 až 10 (15) dní – dominantní využití numerických předpovědních modelů, využití poznatků z teorie deterministického odhadu pravděpodobnosti jednotlivých jevů.

5) Dlouhodobá předpověď – doba předpovědi měsíce, sezóny – využívá poznatků jednotlivých vazeb klimatického systému.

6) Předpověď klimatu – doba předpovědi desetiletí, staletí (nejedná se o klimatickou předpověď).

• Rozdělení dle účelu 1) Všeobecná – určená pro nejširší veřejnost, běžně dostupná

2) Speciální – pro specializované uživatele, přizpůsobuje se jim forma předpovědi (hydrologická předpověď, předpověď pro letectví aj.)

• Rozdělení dle rozsahu předpovědi 1) Lokální – předpověď pro malou oblast (město, povodí)

2) Regionální – předpověď pro celý region

3) Globální – předpověď pro celou atmosféru země

- 47 (213) -

• Rozdělení dle informací nutných pro tvorbu předpovědi 1) Informace ze sítě pozemních (oceánských) stanic – meteorologické veličiny měřené alespoň každých 6 hodin (nejčastěji každou hodinu) a informace jsou odesílány ve formě kódu SYNOP (v budoucnu bude nahrazeno kódem BUFR a CREX). Kód SYNOP (tab.1) je číselné vyjádření meteorologických dat [3].

2) Informace z aerologických stanic – měří základní meteorologické prvky (teplota, tlak vzduchu, vítr) alespoň jedenkrát denně.

3) Informace získané metodami dálkové detekce – jedná se především o meteorologické družice, meteorologické radary, detekce blesků.

4) Podnebné charakteristiky – jsou dány lokalitou.

Tab.3.2: Meteorologické radary pro Českou republiku. ; Skalky u Protivanova Brdy - Praha

Oblastt střední Morava střední Čechy

Nadmoř.výška 730 m 860 m

Výška antény n.m. 767 m 916 m

Interval měření 10 min. 10 min.

V provozu od 1995 od 2000

Typ radaru Gematronik METEOR 360AC EEC DWSR-2501 C

Průměr antény 4,2 m 4,27 m

Polarizace lin. horizontální lin. horizontální

Vlnová délka 5,31 cm 5,3 cm

Délka pulsu 2 mikrosekundy 0,8 mikrosekundy

Max.vzdálenosti 260 km 256 km

• Rozdělení dle metody předpovídání 1) Klasická norská předpověď – jde o synoptickou metodu předpovídání založenou na teoretické znalosti termodynamiky a hydrodynamiky vzduchových hmot, atmosférických front, tlakových níží a výší a všeobecné cirkulaci atmosféry.

2) Numerické modelování – vlastní předpovídání meteorologických veličin se provádí různými typy numerických předpovědních modelů. Jejich princip vychází ze systému rovnic popisujících pohyb atmosféry a z příslušných fyzikálních zákonů. Jednotlivé typy předpovědních modelů pracují s odlišným časovým krokem, plošným krokem a různou dobou předstihu.

3.3.6.1 Numerické modely

Prvním krokem predikce je analýza současného stavu atmosféry za použití meteorologických balónů, družic - obr.13.19 a radarů - obr.3.20. Po


- 48 (213) -

provedení analýzy jsou k dispozici počáteční hodnoty polí hmoty, teploty, proudění větru a vlhkosti v uzlových bodech pravidelné sítě modelu. Pak je zahájen vlastní výpočet modelu, který se provádí postupnou integrací prognostických rovnic pro vítr, teplotu, přízemní tlak, vlhkost, kapalnou a tuhou vodní fázi a oblačnost po jednotlivých časových krocích.

Obr. 3.19: Záznam z družicového snímání

Obr. 3.20: Záznam z radarového snímání.

Globální modely a modely na omezené oblasti Globální modely simulují stav a pohyb celé atmosféry země. Jde například o globální numerický model ARPEGE. Horizontální rozlišní je 50 km (snahou je dosáhnout rozlišení 20 km). Model ECMWF (European Centre

- 49 (213) -

for Medium-Range Weather Forecasts), který je určen pro středně dobou předpověď, má horizontální rozlišení přibližně 60 km (4 154 868 plošných uzlů ve volné atmosféře).

Modely na omezené oblasti jsou numerické předpovědní LAM modely (Local Are Model). Údaje některých v současné době využívaných modelů jsou uvedeny v tab.3.3. Časovým krokem je zde míněn časový interval, za který je předpovídán úhrn srážek spadlých na modelovanou oblast. Krok sítě vyjadřuje velikost plošného členění oblasti. Doba předstihu je doba, na kterou se vydávají předpovědi srážek. Tab. 3.3: Parametry předpovědních modelů.

Model Německý

Evropa model Britský

LAM modelNěmecký

DWD model

Model

ALADIN

Krok sítě 50 km 50 km 10 km 9 km

Časový krok 4,6, 12, 24 h 3, 6 h 2, 6 h 3, 6, 12, 24 h

Doba

předstihu 78 h 36 h 48 h 48 h

Největším problémem je v současné době určení počátečních podmínek pro asimilaci dat, které jsou ovlivněny kvalitou dat, nerovnoměrným rozložením měření, aj.

Praví se, že „Zamávání motýlích křídel nad Pekingem může způsobit bouři nad Washingtonem“. To znamená, že jestliže se do modelu zadají jen o trochu pozměněné vstupní údaje (tlaku, teploty), výsledky modelu se mohou podstatně lišit. Tato vlastnost vedla k simulaci výpočtu s pozměněnými vstupními hodnotami a dává nám informaci o predikovaném budoucím počasí s různými pravděpodobnostními scénáři. Z technických a praktických důvodů je vhodné předpovídat maximálně na dobu 10 až 15 dnů.

Metody zpracování výstupů z numerických modelů Jedná se o metodu postprocessing. Pro operativní předpověď je možné přímé výstupy modelu využívat také pro dodatečné zpracování. Znamená to, že se hodnoty meteorologických prvků určují podle statisticky zjištěných vazeb mezi předpovědí a naměřenými hodnotami. Podle koncepce rozlišujeme metody:

1) Perfect Prog Method (PPM) - předpokládá se, že numerický model „přesně“ předpovídá v daném uzlu. Jiné meteorologické veličiny se odvodí z „přesně“ předpovídaného údaje.

2) Model Output Statistics (MOS) – vychází z dlouhodobějších vztahů (měsíce, roky) mezi naměřenými veličinami a výstupními hodnotami z numerického modelu. Tato metoda je nejčastěji používaná i přes časté úpravy a korekce numerických předpovědních modelů (používá ČHMÚ pro model ALADIN) - obr.3.21.


- 50 (213) -

3) Metody založené na Kalmanově filtru, což je optimální rekursivní algoritmus odhadu.

Obr. 3.21: Grafický výstup MOS (USA).

Pro předpověď na období delší než 6 hodin má meteorolog k dispozici výsledky simulace budoucího vývoje atmosféry, které jsou spočteny pomocí numerických modelů.

V předpovědní službě ČHMÚ se používá výstupů z několika takových modelů. Pro krátkodobou předpověď počasí (na 1. až 2. den) je základním modelem model ALADIN a lokální model (LM) Německé meteorologické služby (DWD). Počítají se dvakrát denně a to vždy na 48 hodin dopředu. Výstupy jsou k dispozici ve 3 a 6hodinových intervalech, a to včetně předpovědi srážek.

Pro střednědobou předpověď (na 3. až cca 8. den) je základem model Evropského centra pro střednědobou předpověď v Readingu, model Německé meteorologické služby (DWD) a model z Washingtonu. Výstupy z těchto globálních modelů jsou k dispozici obvykle dvakrát denně s předpovědním obdobím maximálně na 10 dnů dopředu. Jejich výstupy má meteorolog k dispozici převážně ve 12 hodinových intervalech, a to až do konce předpovědního období modelů, včetně předpovědi srážek.

Určitá meteorologická situace vedoucí např. k intenzivním srážkám je zpravidla nejdříve předpovídána na základě globálního modelu v rámci střednědobé předpovědi počasí. S blížícím se termínem jevu je jeho průběh, intenzita i regionalizace postupně upřesňována především na základě lokálních modelů s větším rozlišením (v rozsahu krátkodobé předpovědi), které zpravidla dokáží lépe postihnout vliv orografie na srážky. V rozsahu velmi-krátkodobé předpovědi (0–12 hodin) se upřesňuje podle vývoje aktuální srážkové činnosti na základě pozorování na meteorologických stanicích a radarových měření,

- 51 (213) -

včetně radarových odhadů srážek. Přitom se bere v úvahu i aktuální vývoj celkové povětrnostní situace.

Výstupy z modelů jsou nepostradatelným podkladem pro předpověď srážek, nikoli však jediným; konečné rozhodnutí vždy zůstává na meteorologovi. Ten může na základě aktuálního synoptického vývoje, chování modelu a své zkušenosti vlastní předpověď korigovat, nebo i předpověď některého z modelů odmítnout.

Asimilace dat - klasickou metodou je tzv. optimální interpolace, tj. interpolace nově naměřených hodnot na základě autokorelačních analýz (analýz průměrného „informačního vlivu“ nově naměřených hodnot vzhledem k chybám měření a variability analyzovaných polí) do tzv.předběžného pole. Jako předběžné pole se používá výstup z předchozího běhu modelu (obvykle se jedná o výstup 6h starý, ale může to být třeba klimatická analýza zachovávající fyzikální konzistenci), do kterého se matematickými technikami zavádějí nově naměřené hodnoty a pole meteorologických veličin se opravují. U této metody se analyzují synoptická data, tj. data z jednoho termínu (např. 00, 12, 18 h UTC). Současný trend je asimilace netradičních, nesynoptických dat metodou 4-dimenzionální variační analýzy (4DVAR) zahrnující čtvrtý rozměr čas; mezi tato data patří především údaje z družic s polární drahou, z letadel, atd. Pro modely využívající 4DVAR, např.model Evropského střediska pro střednědobou předpověď (European Centre for Medium-Range Weather Forecast, ECMWF) se nejdůležitějším zdrojem dat stávají družice s (pseudo)polární drahou.

Inicializace dat – úkolem je „vyladit“ pole meteorologických veličin tak, aby v modelu nevytvářely nereálné vlny (gravitační, zvukové) znehodnocující výpočet.

Integrace základních rovnic - je možno provádět pouze numericky metodou konečných diferencí, popřípadě spektrálními metodami, kdy se proměnné reprezentují na základě konečného (diskrétního) Fourierova rozvoje. V současné době se v numerických modelech upřednostňují spíše spektrální metody. Numerické metody jsou pouze přibližným řešením, tudíž jejich aplikace je dalším zdrojem nepřesností předpovědi.

Globální modely ARPEGE a modely na omezené oblasti ALADIN Modely globální (ARPEGE) - rozlišení sítě kolem 60 km na rovníku, 31 horizontálních hladin, 4 154 868 uzlů ve volné atmosféře a 134 028 uzlů na zemi. Údaje o současném operativním modelu: Rozlišení kolem 50 km na rovníku, 60 hladin. Největší problém je s počátečními podmínkami (kvalita dat, nerovnoměrné rozmístění měření) - pro asimilaci dat se spotřebuje stejné množství času jako pro výpočet vlastní 10-denní předpovědi.

Modely na omezené oblasti (Local Area Model – LAM) - např. HIRLAM, ALADIN. Horizontální rozlišení (vzdálenost sousedních uzlů) globálních modelů se nyní pohybuje kolem 50 km a přibližuje se 20 km, u lokálních modelů se rozlišení pohybuje kolem 10 km a bude se přibližovat několika kilometrům (proto se LAM modely nazývají též modely s jemným rozlišením). V roce 2003 činilo rozlišení modelu ALADIN 9 km. Vertikální rozlišení se pohybuje od několika desítek metrů v nejnižších hladinách až po několik


- 52 (213) -

kilometrů na horní hranici modelu. Model ALADIN počítal v závěru roku 1999 se 43 hladinami. Údaje o modelu, který se do roku 1999 počítal ve Středisku pro střednědobou předpověď ( ECMWF):

Obr. 3.22: Výstupy globálních numerických modelů (ECMWF, Globální model Německé povětrnostní služby, model U.S. NCEP atd.) - na další dny.

ALADIN

Model ALADIN (Aire Limitée, Adaptation Dynamique, Development International) je numerický předpovědní model počasí na omezené oblasti. Je určený pro krátkodobou předpověď, dva dny, atmosférických procesů, řádově s rozměrem 10 km.

Model je vyvíjen od roku 1991 v mezinárodní spolupráci vedené francouzskou povětrnostní službou Météo-France. Do současnosti se do vývoje zapojilo celkem patnáct evropských a afrických států.

- 53 (213) -

Obr. 3.23: Výstupy numerických modelů (LAM model ALADIN, popř. jeho statistická interpretace) pro krátkodobou předpověď.

Model je v běžném provozu v řadě členských zemí konsorcia ALADIN a jeho vývoj probíhá v rámci řady národních a evropských projektů. V současné době byl zahájen v rámci projektu ALADIN-2 vývoj nové generace modelu pro předpovídání v mezo-gamma měřítku (s prostorovým krokem okolo 2km) (AROME), určeného k operativním provozu okolo roku 2008-2010, jakož i inovované verze modelu pro předpovídání v mezo-beta měřítku (ALARO) - nástupce ALADINa pro příští desetiletí.


- 54 (213) -

Původně byl koncipován jako adaptace výsledků předpovědi globálního modelu ARPEGE. Pozornost byla soustředěna na vyšší rozlišení. Dochází ke zpřesnění popisu intenzivních atmosférických procesů s velkou prostorovou proměnlivostí a procesů vázaných na detailní popis parametrů zemského povrchu, jako jsou výška terénu, půdní a vegetační parametry apod. V posledních letech jsou v modelu rovněž intenzivně vyvíjeny metody zpřesnění počátečních podmínek Jde zejména o přizpůsobení se pozorování, jako např. třídimensionální variační přeměna dat, a kombinaci globální analýzy a simulace mezo-měřítkových struktur (metody míchání - blending).

ALADIN je založen na systému základních rovnic řešených spektrální metodou. Řešení je na omezené oblasti semi-implicitním semi-lagrangeovským schématem. Integrační oblast modelu je vytyčena na mapě ve vzájemně jednoznačných zobrazení, ve vertikále je použit hybridní souřadnicový systém. Procesy, které nejsou popisovány základním dynamickým jádrem modelu, jsou simulovány v soustavě fyzikálních parametrizací.

Hlavní rysy modelu ALADIN Jelikož model probíhá neustálým vývojem, následující rysy se vztahují k produkční verzi modelu:

• Numerický předpovědní model počasí v mezo-beta měřítku (s prostorovým krokem okolo 10 km).

• Formulace rovnic v konformním zobrazení na rovinu. • Vertikální hybridní n-systém. • Horizontální spektrální reprezentace prognostických polí na omezené oblasti

metodou bi-fourierovské transformace s eliptickým ořezáváním a lineární sítí.

• Hydrostatická i nehydrostatická verze dynamické části modelu. • Semi-lagrangeovské dvouhladinové advekční schéma. • Semi-implicitní nebo implicitní iterativní schéma stabilizace gravitačních a

zvukových vln. • Boční okrajové podmínky z řídicího modelu (ARPEGE) pomocí Daviesovy

techniky s daným intervalem aktualizace (zpravidla 3 h). • Počáteční stav vytvořen metodou blendingu digitálním filtrem z analýzy

ARPEGE a 6-ti hodinové předpovědi ALADIN z předchozí analýzy, tzv. variační asimilační schéma ve fázi testování.

Organizace provozu modelu ALADIN Model ALADIN se v ČHMÚ provozně počítá v konfiguraci ALADIN/CE na oblasti pokrývající střední, jižní a část západní Evropy (oblast LACE). Jak vyplývá z jeho koncepce, cílem výpočtu modelu ALADIN je zpřesnění výsledků globálního modelu v cílové oblasti.Výpočet probíhá v několika hlavních krocích:

• Výpočet globálního modelu ARPEGE v Météo-France (Toulouse), extrakce výsledků na modelovou oblast ALADINa a jejich přenos do ČHMÚ.

• Interpolace polí z rozlišení ARPEGE na vyšší rozlišení ALADINa a příprava počátečních dat metodou blendingu digitálním filtrem.

• Výpočet vlastní předpovědi modelu ALADIN (=integrace) na 54h, při kterém se zapisují průběžné výsledky každou hodinu předpovědi.

- 55 (213) -

• Hrubé výsledky předpovědi se zpracovávají do finálních produktů, kreslí se mapy, vytvářejí se speciální datové soubory pro další aplikace, počítají se různé diagnostické veličiny aj.

Veškeré procesy probíhají v reálném čase a jsou paralelizované (souběžné), a tak jsou dílčí výsledky zpracovány v okamžiku jejich vytvoření. Díky tomu se výrazně zkrátí celková doba výpočtu všech kroků tvorby výsledných předpovědních produktů. Předpověď se počítá v současné době dvakrát denně ze stavu atmosféry v 00 a 12 UTC (Coordinated Universal Time) s délkou předpovědi na 54 hodin. Výsledky se zapisují s časovou periodou 1 hodina.

Parametry provozní verze modelu Současná verze modelu ALADIN, počítaná v ČHMÚ, má následující charakteristiky: krok horizontální sítě 9 km, 309×277 uzlových bodů předpovědní oblasti, 320×288 uzlových bodů sítě, lineární eliptické oříznutí spektra na 159×143 vln, 43 hladin hybridního souřadnicového systému, délka časového kroku 360 s, délka předpovědi 48 h, průběžné výsledky každou hodinu předpovědi, produkční předpověď dvakrát denně z analýz 00 a 12 UTC, boční okrajové podmínky z ARPEGE s periodou 3 h, cyklus blendingu analýz ARPEGE a předpovědi ALADIN každých 6 hodin.

Finální produkty modelu V průběhu výpočtu předpovědi jsou průběžné výsledky každou hodinu zapsány do tzv. historických souborů. Informace jsou zapsány v maximálně komprimované podobě, tj. pouze prognostické veličiny (u výškových polí ve spektrálních koeficientech na modelových hladinách), protože jakékoli diagnostické veličiny z nich lze kdykoli později znovu odvodit (např. geopotenciál z přízemního tlaku, výškové teploty a specifické vlhkosti). Historické soubory jsou základními interními produkty modelu. Synchronně s hlavní předpovědí jsou data z historických souborů zpracovávána modelovou konfigurací FullPOS, jejíž výsledkem jsou prognostické a diagnostické veličiny na požadovaných tlakových, izentropických atd. hladinách. Data jsou zapsána v interním formátu FA* modelu ARPEGE/ALADIN.

Vybrané prognostické a diagnostické veličiny jsou ve formě horizontálních polí na mapě v originální modelové Lambertově projekci zakódována do formátu GRIB a odeslána do telekomunikačního počítače.

Vybrané prognostické a diagnostické veličiny jsou konvergovány do pravidelné geografické sítě, zapsány do formátu netCDF a vystaveny pro anonymní ftp (file transfer protocol). Ve vybraných bodech je vytvořen simulovaný vertikální profil teploty, tlaku, vlhkosti a větru a zakódován do modifikovaného formátu TEMP MOBIL. Tyto prognostické vertikální profily jsou odeslány do telekomunikačního počítače a vystaveny pro anonymní ftp (file transfer protocol).

Ve vybraných bodech s předepsanými nadmořskými výškami jsou pakextrahovány předpovědní hodnoty atmosférických veličin. U přízemních parametrů teplota a vítr je provedena vertikální korekce z modelové na předepsanou nadmořskou výšku terénu. Tyto bodové předpovědi jsou zapsány


- 56 (213) -

do souborů ve formátu netCDF a vystaveny pro anonymní ftp (file transfer protocol).

Oblast LACE se rozkládá asi od Skotska po Petrohrad. Následující tři obrázky charakterizují mapy, parametry a data orografie České republiky.

-

Obr. 3.24: Oblast LACE

Obr. 3.25: Barevná mapa ČR orografie

Zprávy GRIB modelu ALADIN

Vybrané prognostické a diagnostické veličiny jsou ve formě horizontálních polí na mapě v originální modelové Lambertově projekci zakódována do formátu GRIB a odeslána do telekomunikačního počítače. Měřeny jsou především následující veličiny: teplota, složka větru na východ, složka větru na sever, tok srážek za dobu od počátku předpovědi, tok sněhových srážek za dobu od počátku předpovědi, tlak přepočítaný na hladinu moře, relativní

- 57 (213) -

vlhkost, geopotenciál. Ve vybraných bodech je vytvořen simulovaný vertikální profil teploty, tlaku, vlhkosti a větru a zakódován do modifikovaného formátu TEMP MOBIL.

Obr. 3.26:. Mapa uzlových bodů a výšky orografie

Aktuální otázky dalšího rozvoje modelu ALADIN

• Předpověď plošných srážek využitím statistického postprocessingu modelu ALADIN-LACE. Statistické postprocessingové modely výstupů NWP modelů jsou vyvíjeny ke zlepšení předpovědi plošných srážek akumulovaných za 6 hodin. Postprocessingové modely využívají prognostické pole NWP modelu ALADIN/LACE a předpověď je počítána pro teplou polovinu roku a šest vybraných oblastí. Srážkové úhrny byly stanoveny pro následující délky integrace NWP modelu: +12, +18, +24, +30,+36, +42 a +48 hodin. Pro výpočet odhadu denních úhrnů srážek byly využity data srážkoměrných stanic a odvozené radarové srážky. Pro vytvoření a ověření postprocessingových modelů byly využity údaje ze tří teplých sezon (duben – září, 1999 –2001). Tři regresní modely, zaměřené na předpověď významných srážkových úhrnů, byly vyvinuty s použitím přístupu MOS (model output statistics) a jejich výsledky byly porovnány s předpověďmi NWP modelu. Na rozdíl od standardní aplikace MOS, vyvinuté regresní modely zlepšují přesnost předpovědi plošných srážek NWP modelu. Nejlepší regresní model snižuje RMSE chybu přibližně o 20 % a pro průměrné plošné srážkové úhrny > 1 mm a > 5 mm o 15 %. Pokud při verifikaci uvažujeme všechny předpovědi, kdy skutečnost nebo předpověď (regresního modelu nebo NWP modelu) přesáhne nebo je rovna prahovým hodnotám 1 mm a 5 mm, pak relativní zlepšení přesnosti předpovědi je 35 % a 45 %.

• Algoritmus pro nalezení optimální Lambertovy mapy pro předpovědní model na omezené oblasti. Jedná se o popis iteračního algoritmu pro nalezení optimální hodnoty základního parametru K Lambertovy mapy pro


- 58 (213) -

danou obdélníkovou oblast. Lambertovou mapou je míněno konformní zobrazení vzniklé projekcí zemské sféry na kužel, který se dotýká zemské sféry na rovnoběžce o zeměpisné šířce φo . Tato šířka je svázána s parametrem K vztahem K = sin φo. Optimální mapou danou parametrem K míníme takovou mapu, jejíž zkreslení se v zobrazované obdélníkové oblasti mění co nejméně.

• Polohu obdélníkové oblasti konformní mapy zadáme zeměpisnou délkou základního poledníku, s jehož obrazem na mapě jsou dvě strany obdélníka rovnoběžné. Vzhledem k obrazu tohoto poledníku je také obdélníková oblast symetrická. Poloha oblasti je zadána ještě zeměpisnou šířkou nejsevernějšího bodu oblasti - středu severní strany, který leží na základním poledníku. Velikost oblasti zadáme počtem uzlových bodů výpočetní sítě M, N a délkou kroku sítě na mapě. Velikost oblasti je zadána v podstatě „implicitně“ neboť její rozměry jsou dány vzdálenostmi na mapě, a mapa je určena teprve zadáním parametru K, který hledáme. Proto výpočet hodnoty parametru K i skutečné přesné polohy a rozměrů oblasti je prováděn iteračním procesem.

3.3.6.2 Nowcasting

Předpokladem úspěšné předpovědi počasí je co nejpodrobnější znalost aktuálního stavu atmosféry, potřebná pro budoucí modelování předpovědí počasí. Úspěšná budoucí predikce je závislá na výběru předpovědního modelu (doby předpovědi, účelu aj.) a hodnotách do nich vstupujících.

Vývoj v oblasti numerických modelů směřuje ke zmenšování nedostatků, mezeru našich znalostí o budoucím vývoji počasí je však potřeba vyplnit metodami, které numerické simulace vhodně doplňují. To se stává úkolem nowcastingu, jehož pojetí se tím rozšiřuje. V současné době se tedy pod nowcastingem rozumí souhrn objektivních a subjektivních postupů vedoucích k předpovědi počasí s dobou platnosti do 2 hodin.

Termín nowcasting vyjadřuje zkráceně velmi krátkodobou předpověď. Jedná se o extrapolační predikce s dobou platnosti 0-2 hodin.

Nowcasting by měl především doplňovat mezeru našich znalostí o vývoji atmosféry v případech, kdy novou aktuální předpověď nemůžeme získat z numerických modelů, především v době do zpracování výsledků numerických modelů. V současné době je to několik hodin po termínu měření, ale i v případech, kdy dochází k velkým rozdílům předpovědí numerických modelů a současného stavu.

Nedostatky při předpovědi počasí Nejdůležitějším nástrojem pro předpověď počasí se staly numerické modely, které jsou schopny předvídat počasí ve stále větším měřítku. V současné době používané numerické modely, přestože velmi dokonalé, mají následující nedostatky:

1) Spin-up efekt – zpoždění predikce o 2 – 4 hodiny při inicializace, nejnápadnější u parametrů jako je oblačnost, vertikální rychlosti a srážky.

- 59 (213) -

2) Numerické výpočty je možné provádět z naměřených dat, které se získávají pouze 2x, nejvýše 4x denně. V současné době se zpracovávají též informace z meteorologických družic a meteorologických radarů.

3) Konvekce se v hydrostatických modelech vyjadřuje pouze přibližnou parametrizací.

Systémy nowcastingu Systémy (GANDOLF a NIMROD) kombinují výpočty numerických modelů s aktuálními daty. Jedná se o data z dálkové detekce (družice, radary). V systému GANDOLF se využívají koncepční modely, které umožňují částečně simulovat i nelineární vývoj konvektivní oblačnosti.

Ve většině meteorologických služeb však tvoří nowcasting zmíněný souhrn objektivních a subjektivních metod.

V souvislosti s budoucím nasazením družice Meteosat Second Generation (MSG) připravuje EUMETSAT společně s některými národními službami v rámci projektu Nowcasting-SAF (Satellite Application Facilities) balík diagnostických produktů (přítomnost oblaků, přítomnost oblačnosti s vypadávajícími srážkami, vektor větru, dynamické procesy v souvislosti s bouřkovými jevy). Projekt Nowcasting - SAF je směřován k využití mezoměřítka (kilometry až desítky kilometrů) a klade důraz především na diagnostiku konvektivních procesů.


- 60 (213) -

Obr. 3.27: Grafické výstupy SAF (Evropa)

Postupy nowcastingu

Metody nowcastingu se používají především pro předpověď jevů, které jsou často relativně nebezpečné (nebezpečné cyklóny, silná konvekce, nízká oblačnost, explozivní změna počasí, přechod front, srážky). Prvním krokem se tedy stává včasné rozpoznání výskytu příslušného nebezpečného jevu => včasné varování.

Včasné varování obsahuje veškeré informace, důležité pro vývoj počasí v příštích 12ti hodinách. Jedná se o předběžný odhad, který je vytvářen pomocí předpovědí numerických modelů a analýzou celkové synoptické situace. Pro včasné varování se používají data z těchto zdrojů:

1) základní výstup numerického modelu (tlak, teplota, vlhkosti, míra instability), 2) lokální výstup numerického modelu - jedná se většinou o jinou formu výstupů numerického modelu (meteogramy), 3) synoptická a aerologická data.

Aktuální monitoring počasí, který je hlavní součástí nowcastingu, znamená důkladný přehled stavu a vývoje atmosféry v „reálném“ čase a okamžitou analýzu atmosférických jevů. Aktuální monitoring proto vyžaduje rychlé telekomunikační sítě, počítačové zpracování a prezentace dat, software pro kombinace dat a možnosti dalších výpočtů.

- 61 (213) -

Zdroje dat pro aktuální monitoring jsou konvenční data ze sítě synoptických a aerologických stanic a metody dálkové detekce - údaje meteorologických družic a radarů, systémy detekce blesků.

V operativní praxi se předchozí složky nowcastingu pravidelně aktualizují podle dostupných údajů, což je první úloha monitoringu nowcastingu. Druhou úlohou je určení úspěšnosti předpovědi jednotlivých metod a s ní spojená korekce modelu.

Ze zmíněných zdrojů dat se vypracovává nowcasting následujícího vývoje s využitím nástrojů pro extrapolaci (objektivní a subjektivní metody).

Mezi subjektivní metody patří: lineární extrapolace, nelineární extrapolace s pomocí koncepčních modelů, využití znalosti místních (orografických) vlivů.

Mezi objektivní metody patří: lineární a nelineární extrapolace pro predikci přesunu a vývoje atmosférických jevů, kombinace koncepčních modelů s numerickými modely, statistické metody pro extrapolaci a vývoj, 1D modely, rozhodovací stromy, expertní systémy, využití neuronových sítí.

Extrapolace je nejznámější metodou, která se nejvíce používá pro předpověď pravděpodobného pohybu atmosféry, zjištění času příchodu nebo začátku určitého atmosférického jevu v daných lokalitách.

Lineární extrapolace znamená, že vývoj bude pokračovat beze změny rychlosti a vnitřního vývoje. Nelineární extrapolace mění vektor rychlosti a vývoj povětrnostních jevů. V dnešní době není ještě známo, která z těchto metod má úspěšnější předpověď.

Pro zjištění aktuálního vývoje a pohybu atmosféry se často používá metoda stopování. Stopování znamená, že se (pomocí software) zaznamenávají stopy z různých meteorologických jevů indikující stadia vývoje počasí. Tyto informace pak slouží jako základní parametry extrapolace.

Koncepční modely jsou důležitým nástrojem pro odhad nelineárního vývoje se stávají koncepční modely. Koncepční modely popisují atmosférické jevy typické struktury, životní cykly a s nimi spojené povětrnostní jevy. Nejznámější koncepční modely jsou modely fronty, cyklóny, konvektivních systémů. Koncepční modely využívá systém GANDOLF UK MetOffice a s pomocí numerického modelu vytváří předpověď na několik hodin.

Statistické metody se využívají pro stanovení pravděpodobnosti výskytu a vývoje určitého atmosférického jevu (bouřek, cyklon). Mezi hlavní parametry patří: údaje z numerických modelů, konvenční informace (synoptická a aerologická měření), satelitní informace, klimatologie oblasti (např. ve vztahu k orografii).

1D modely se využívají v těch situacích, kdy jsou využívány pouze lokální parametry vývoje. Numerická simulace je omezena na simulaci vývoje ve vertikálních souřadnicích. Ve Skandinávii se tyto modely využívají pro předpověď mlhy a nízké oblačnosti.

Rozhodovací stromy jsou založeny na logických rozhodnutích (ANO/NE), které jsou založeny na překročení prahových hodnot příslušných parametrů. Tímto způsobem je možné dojít k jednoznačnému výsledku. Tato metoda byla vytvořena pro předpověď bouřek.


- 62 (213) -

Neuronové sítě se často používají v metodách rozpoznávání obrazců. Testují se pro předpověď pravděpodobnosti bouřek nebo mlh.

Předpovědi konvekce Nowcasting bouřek (cyklon, větru) má následující problémy a způsoby jejich řešení:

1) bouřky se vyvíjejí velmi rychle a provází je zpravidla řada nebezpečných povětrnostních jevů, 2) pro nowcasting bouřek byly vyvinuty detailní koncepční modely popisující strukturu, životní cyklus a příslušné povětrnostní jevy, 3) bouřky mohou být pozorovány všemi konvenčními metodami a metodami dálkové detekce.

Pro nowcasting bouřek se využívají všechny informační zdroje. Podle výsledků projektu COST-78 je nowcasting silné konvekce rozdělen do následujících fází: včasné varování, detekce a identifikace konvekce, předpověď vývoje konvekce a s ní spojeného počasí.

Hlavní úlohou včasného varování vzniku konvekce je předpovědět územní a časové rozdělení pravděpodobnosti silné konvekce, dále odhad pravděpodobného typu konvekce (struktury, měřítko, nebezpečnost příslušných povětrnostních jevů). Bouřky se vyvíjejí spontánně a pak se většinou rozšiřují z místa svého původního vzniku. Proto je předmětem zájmu předpověď místa a času jejich vzniku (což je nejen důležité, ale též velmi obtížné).

Velkou důležitost při detekci a identifikaci bouřek mají metody dálkové detekce jako jsou družicové údaje, údaje meteorologických radarů, údaje ze systémů detekce blesků.Metodami dálkové detekce lze získat velmi zřetelné struktury identifikující bouřky. Tyto struktury vykazují posun a vývoj, čímž umožňují extrapolaci, a to lineární, nelineární, kvalitativní i kvantitativní. Pro nowcasting bouřek je důležité přiřazení příslušného koncepčního modelu a též znalost vlivu orografie.

Za účelem predikce silné konvekce jsou v 1-hodinovém intervalu vytvářeny tyto produkty, tj. druh konvekce a druh srážek.

Jednobuněčné bouřky

Uvedený typ je nejjednodušší formou bouřky, vyvíjejí se jako izolované buňky v teplých vzduchových masách, nejvíce v oblasti slabých tlakových gradientů, často pod nevýrazným vlivem tlakových výší. Jejich životní cyklus má tři fáze: stádium růstu, zralosti a rozpadu.

Celý uvedený cyklus netrvá většinou dlouho, typická doba se pohybuje od 30 minut do 1 hodiny. Horizontální průměr této bouřky je většinou 5-10 km. Bouřka se pohybuje poměrně pomalu ve směru průměrného vektoru větru.

Kromě vydatných srážek a nárazů větru se u jednoduché bouřky většinou nevyskytují žádné významnější nebezpečné povětrnostní jevy.

- 63 (213) -

.Obr. 3.28: Vektory větru z numerických modelů (není DWD)

Vícebuněčné bouřky a supercely

Uvedené bouřky (multicely) jsou nejčetnějším typem ve střední Evropě. Jejich struktura je poněkud komplikovanější. V jednom systému se vyskytuje několik bouřkových buněk, které mohou podstupovat výše uvedený životní cyklus. Průměr mnohobuněčných bouřek může dosahovat 20 - 30 km nebo i více. Životnost celého systému je delší než životnost jedné buňky a může dosáhnout až několika hodin. Oproti jednobuněčným se mnohobuněčné bouřky nemusejí nutně pohybovat podle vektoru větru ve střední troposféře. Mnohobuněčné bouřky mají tendenci vytvářet častěji bouřky na své pravé straně (vlivem Coriolisových sil).

Multicely se vyvíjejí především před přicházející studenou frontou nebo výškovou brázdou nižšího tlaku vzduchu, na rozdíl od jednobuněčných bouřek se tedy vyvíjejí ve frontální zóně, v důsledku čehož se též pohybují rychleji.

V multicelách se obecně vyskytují vyšší nárazy větru než v jednobuněčných bouřkách; vyšší je i pravděpodobnost intenzivních přívalových dešťů a krupobití. Radarová odrazivost obvykle dosahuje vysokých hodnot.

Úloha orografie při vývoji bouřek

Určující faktory vývoje bouřek je současná povětrnostní situace a územní rozdělení parametrů (teplota, vlhkost). Pro vlastní předpověď vzniku bouřek je důležité odhadnout případný vliv orografie. Z klimatologie bouřek je známé, že určité oblasti s typickou orografií mají více bouřek než jiné regiony, což pomáhá při stanovení oblastí s větší pravděpodobností vzniku bouřek při vlastní předpovědi.

Z pozorování je zřejmé, že orografií může být též významně ovlivněn vývoj a pohyb bouřek. Svahy obrácené do jižní stranu vytvářejí oblast relativně


- 64 (213) -

přehřátého vzduchu, který se začíná pohybovat vzhůru. Pánve či údolí s vhodnou konfigurací terénu se mohou stát místy s poměrně velkým množstvím teplého vzduchu, což může vést k náhlému konvektivnímu vývoji. Na návětrných stranách se tvoří výstupné proudy vzduchu, zatímco na závětrných jsou tyto proudy sestupné. Vynucený výstup vzduchu může být důležitý při uvolnění energie potenciální instability.

Velké vodní plochy vytvářejí ve dne většinou relativní stabilitu, zatímco v noci spíše instabilitu. Někdy se u pobřeží vytváří zóna konvergence ve formě přímořské fronty.

Bouřky se vyvíjí především nad oblastmi středně vysokých hor a na kraji velehor (Alpy) a rovněž v přímořských oblastech.

Orografie má svůj vliv i na denní chod bouřkové činnosti. Bouřky na pevnině se nejvíce vyskytují v pozdním odpoledni. Dřívější vývoj nastává ve vyšších polohách. Na pobřeží je hlavní maximum bouřek oproti pevnině opožděné s maximem v pozdních večerních hodinách. Důležité odchylky od normálního denního chodu bouřek se objevují v oblasti severně od Alp. Velmi často kulminuje bouřková činnost až pozdě večer. Za příčiny tohoto chování bouřek se považují následující faktory:

• příkré severní svahy Alp se od Slunce ohřívají významně až v době od poledne do brzkého odpoledne,

• synoptické situace vytvářející bouřky jsou nejčastěji charakterizovány jihozápadním prouděním; vzduch se při svém přechodu přes Alpy na závětrné straně vysušuje, čímž potlačuje vznik bouřek,

• s přibližující se studenou frontou od západu se vyvíjejí bouřky až s vlastním příchodem fronty, nikoliv před ní. Tím se celý vývoj bouřek v této oblasti opožďuje.

V budoucnu lze předpokládat, že využití předpovědí typu nowcasting dosáhne značného rozšíření. Zejména s rozvojem družicového snímání atmosféry (vertikálního snímání atmosférických jevů) a rozvojem numerických modelů dojde k významnému posunu meteorologických předpovědí, které budou, doufejme, včas a přesně určovat výskyt extrémních krátkodobých meteorologických jevů.

3.3.7 Syntetické deště

Pro řešení dešťových stokových sítí a sítí jednotných soustav jsou rozhodující místní přívalové deště. Spolu s hydrologickými údaji tvoří nejpodstatnější vstupní údaj pro stanovení průtoku ve stokové síti. závisí na nich výsledek posudku, příp. návrh nové stoky.

S vývojem výpočetní techniky a postupným aplikováním nestacionárních srážko-odtokových modelů se začalo pracovat na moderních postupech, u kterých bylo povodí zatěžováno přívalovými dešti proměnného charakteru. Tyto deště lépe svým tvarem odpovídají realitě a to tím, že mají reálný počátek, vzestupnou větev, jedno nebo více hrotových maxim a větev sestupnou.

- 65 (213) -

Syntetické deště se od sebe navzájem odlišují svými tvary, protože autoři vycházejí z různých závislostí i = f(t). Nejčastěji se používá funkce konstantní, lineární nebo exponenciální. Modelováním tvaru deště se však sníží pravděpodobnost výskytu tohoto deště, se kterou už je stanovena čára náhradních intenzit .

• Šifaldův déšť (1973) Šifalda pro výpočtové modely zpracoval statistiku přívalových dešťů. Na základě IDF křivek sestrojil modelový déšť v podstatě trojúhelníkového tvaru - obr.3.29. Déšť byl vymodelovaný jako průměr historických dešťů, které měly trvání od 5 minut a které měly vyšší periodicitu než jedna. Šifalda vyhodnotil dešťoměrné záznamy ze stanic v Praze, v Plzni a v Brně, které pocházely z období cca 30 let a dostal 91 záznamů. Intenzita byla počítána s časovým krokem 2,5 minuty. Srážky, které spadly před deštěm a jejich intenzita nepřekročila 0,1 mm·hod-1 a úhrn deště byl menší než 0,5 mm nebyly brané v úvahu. Také srážky na konci deště nebyly brané v úvahu pokud jejich intenzita nepřekročila 0,1 mm·hod-1 a jejich úhrn byl menší než 0,5 mm za další 5 minutovou periodu. Po sobě jdoucí deště byly hodnocené jako separované periody, pokud bezdeštná perioda byla delší než první dešťová epizoda.

Výsledky statistického vyhodnocení českých přívalových dešťů byly zveřejněny v roce 1973 a daly podnět k obdobné statistice v Bavorsku a později ve Švédsku. Výsledky obou těchto pozdějších vyhodnocení jsou s českými dešti natolik souhlasné, že lze usoudit, že dešťový profil má obecnou platnost.

Šifalda rozdělil modelový déšť na tři části a to na předdéšť (I), hlavní déšť (II) a následný déšť (III). Hlavnímu dešti danému parametry ip a T, kde ip je průměrná intenzita v intervalu T, může předcházet předdéšť o stejné době trvání, jehož průměrná intenzita nepřekročí hodnotu 0,25 ip. Po odeznění hlavního deště nastává výrazný pokles intenzity, zhruba k hodnotě 0,435 ip . Proto pro výpočet průběhu plnění posuzovaného průřezu stoky postačí zahrnout pouze úseky I+II. Vyhoví-li stokový průřez pro tyto dva úseky, není třeba k úseku III přihlížet, i když na konci úseku II je akumulační kapacita sítě již vyčerpána. Charakteristika Šifaldova deště: z celkového objemu spadlých srážek obsahuje hlavní část 56%, předdéšť obsahuje 14% a následný dešť 30%.

Objem tohoto deště by se měl rovnat blokovému dešti, neboť objem blokového deště je určen ze statistického vyhodnocení skutečných dešťů a má jistou pravděpodobnost výskytu. Aplikace tohoto deště je výhodná zejména tam, kde chceme ověřit pravděpodobné chování systému při extrémních deštích, o kterých nemáme dostatečně podrobné dešťové záznamy a tam, kde provádíme koncepční úvahu s jednoduchými simulačními modely a s menším nárokem na přesnost výsledků. Hlavní výhodou Šifaldova deště je jeho jednoduchá konstrukce. Maximální vydatnost je poměrně vysoká, což může způsobit mírné předimenzování stok a zvýšení ekonomických nákladů na stavbu stoky. Vzhledem k tomu, že déšť je používán převážně pro prvotní koncepční úvahy, není tento nedostatek příliš podstatný.


- 66 (213) -

Obr. 3.29: Šifaldův déšť

• Čížkův déšť U nás se tvorbou matematického modelu deště zabýval Čížek, který tento model odvodil z čáry blokových dešťů vyjádřených pomocí rov. (3.14) -obr.3.30. Pro matematickou definici závislosti mezi trváním a intenzitou krátkodobých dešťů určité periodicity byla odvozena na základě dlouhodobých pozorování řada empirických vztahů, které se snaží o pokud možno přesnou náhradu neuspořádaných řad plynulými. Tyto vzorce však mají pouze lokální význam a nemají bližší určení pravděpodobnosti překročení hodnot, které definují. Příkladem takovéhoto empirického vztahu nám může být Hellmannova rovnice:

,Bt

Ki a += (3.14)

kde značí:

i………...intenzitu deště [mm·min-1] t………...dobu trváni deště [min] a, B, K….empirické hodnoty (regresní koeficienty).

Tato rovnice vystihuje mírně zakřivený tvar čáry intenzit v logaritmických souřadnicích. Rovnice modelového deště s monotónně klesající funkcí s časovou polohou maximální intenzity na začátku deště má tvar:

( ) ( ) 1

++

−+

= aa BttKa

BtKI (3.15)

Stoupající část modelového deště v rozsahu t<tmax upravenou vyjadřuje vztah:

- 67 (213) -

. 1

1

1

1

1

1

1

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= aav

BT

TtTT

TTtTTKa

BT

TtTT

KI (3.16)

Obr. 3.30: Čížkův déšť.

Klesající část modelového deště v rozsahu tmax <t <T vyjadřuje vztah:

.

( )

( )

( ),

1

2

21

21

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

= aaz

BTTTt

TTTtKa

BTTTt

KI

(3.17)

kde značí: T1…... dobu trvání vzestupné části [min] , T1 = tmax, T2… ...doba trvání sestupné části [min], T… … celkovou dobu trvání modelového deště [min], t… …. čas od začátku modelového deště [min], Iv, Iz…. intenzitu modelového deště [mm.min-1].

• Déšť firmy DORSCH CONSULT Firma provádějící výpočty generelů kanalizace několika desítek velkých měst, vyvinula metodu pro modelování syntetického deště, která využila historické dešťové řady a to řadu dostatečně dlouhou cca dvaceti let s dostatečně malým časovým krokem menším než 10 minut. Pro vybrané dešťové oddíly - obr.3.31, které mají dobu trvání T a průběh intenzity je funkcí času stanovíme objem deště jako:


- 68 (213) -

. 0∫=T

dtiV (3.18)

Vybrané oddíly mají zcela rozdílné objemy, protože jde o skutečné deště. Rozdíly mezi absolutními velikostmi pořadnic intenzit by do zpracování vnášely chybu a proto se jednotlivé deště znormují podle objemu následujícím způsobem - obr.3.32:

TiViir ,0 , ∈= (3.19)

ir ... relativní pořadnice i ... .skutečná pořadnice intenzity V…objem dešťového oddílu (hyetogramu)

Obr. 3.31: Vybrané dešťové oddíly Obr. 3.32: Znormované dešťové oddíly.

Znormované hyetogramy s relativními pořadnicemi ir jsou srovnané pro všechny vybrané dešťové oddíly.

Dalším krokem je určení časové souřadnice těžišť jednotlivých hyetogramů. Určíme časový krok Δt, čímž je časová osa rozdělena na hodnoty t1 až tn, kterým odpovídají hodnoty relativních intenzit ir1 až irn. Pro časovou pořadnici těžiště pak platí:

∑

∑

=

=

Δ

Δ= n

iri

n

iiri

t

ti

ttit

1

1

. (3.20)

- 69 (213) -

Tento postup zopakujeme pro všechny vybrané hyetogramy.

V dalším kroku srovnáme hyetogramy tak, aby časové pořadnice těžišť všech hyetogramů byly pod sebou v jednom časovém intervalu - obr.3.33. Tím bylo dosaženo to, že časové rozdělení intenzity bude respektováno. Tento krok zároveň rozšířil časovou osu, protože některé hyetogramy se posunuly doprava, jiné doleva.

Obr. 3.33: Srovnání podle těžišť.

Obr. 3.34: Čára překročení v i-tém časovém kroku.

Rozšířenou časovou osu rozdělíme na malé časové kroky (1 min) a pro každý časový krok získáme v jednotlivých hyetogramech hodnoty intenzit iri. Dostaneme tak pro každý časový krok množinu pořadnic relativních intenzit iri, z nichž pak je možno určit výslednou relativní intenzitu irvi pro každý časový krok. Tato hodnota však nebude průměr z iri v jednom časovém kroku, neboť by byla příliš ovlivněna maximálními a minimálními hodnotami, ale bude


- 70 (213) -

určena mediánem, tedy hodnotou, která má stejnou pravděpodobnost nedosažení nebo překročení (50 %) - obr. 3.34.

Tyto hodnoty tvoří hyetogram návrhového deště. Hyetogram má však stále ještě relativní pořadnice intenzit v důsledku znormování dešťových oddílů podle objemu. Tvar hyetogramu však již vystihuje charakteristický průběh deště v oblasti dešťoměrné stanice. Vzhledem k tomu, že posouváním podle těžišť se rozšířila časová osa, byly v počátcích časových intervalů pouze u malého počtu iri nenulové hodnoty, a proto i mediánové hodnoty irvi jsou pro první časové intervaly rovny nule. Tím je způsobeno, že u výsledného hyetogramu nenarůstají intenzity hned od počátku časové osy. Při následném použití hyetogramu při výpočtech počáteční nulové hodnoty nemají žádný význam, a je možno celý hyetogram přesunout tak, aby intenzity vzrůstaly již od prvních časových kroků.

Zbývá určit objem modelového deště a tím i skutečné pořadnice intenzit. Objem namodelovaného deště určíme pomocí čáry náhradních vydatností s přidáním předdeště a následného deště - obr.3.35. Budeme předpokládat, že třicetiminutový úsek vymodelovaného deště s největším objemem bude mít stejný objem jako 90% blokového deště stejné doby trvání. Tím jsou změněny relativní pořadnice irvi na skutečné pořadnice ir a syntetický déšť je vytvořen. Stejným způsobem je možno postupovat pro stanovení dešťů s jinou dobou trvání.

Obr. 3.35: Určení skutečných intenzit modelového deště.

Uvedená metoda je vhodná pro lokality, kde jsou srážky rovnoměrně rozděleny a jejich průběh je pravidelný. Modelování dešťů s delší dobou trvání je možné tímto způsobem provádět, máme-li dostatečně dlouhou dešťovou řadu, protože pro zpracování můžeme vybírat pouze ty deště, které mají dobu trvání stejnou nebo delší, než je doba trvání modelového deště, a počet dešťů pro statistické zpracování se délkou deště snižuje.

• Déšť VÚV Podle velikosti srážkového úhrnu má syntetický déšť VÚV několik tvarů:

Je-li úhrn deště: h ≤ 0,5 mm – syntetický déšť má tvar blokového deště o konstantní intenzitě i0 = 0,05 mm.min-1 a době trvání t0 = h/0,05 min,

Je-li úhrn deště: 0,5 mm< h ≤25 mm - obr.3.36,

nejprve se odhaduje doba trvání t0 syntetického deště dle vzorce:

- 71 (213) -

bO hat ⋅= , (3.21)

kde značí

h… …je úhrn srážky, pro kterou má být syntetický déšť tvořen, a, b… jsou konstanty vypočtené regresivní metodou z úhrnů a dob trvání každého deště řady historických dešťů, která má být doplňo- vána (např. a = 14, b = 0,525).

Potom se vypočte průměrná intenzita syntetického deště dle vzorce:

O

O thi = (3.22)

a odhaduje se maximální intenzita syntetického deště dle vzorce:

Om ici ⋅= , (3.23)

c - jeprůměrná hodnota podílu maximálních a průměrných intenzit každého deště z řady historických dešťů (nebo se volí hodnota převzatá ze syntetického deště podle Šifaldy, tj. c = 2,3).

Nakonec se odhadne časová pořadnice tm vrcholu maximální intenzity od začátku syntetického deště dle vzorce:

Om tmt ⋅= (3.23a)

m – je průměrná hodnota podílu časových pořadnic maximálních intenzit a doby trvání každého deště z řady historických dešťů (nebo se volí m = 0,33),

(konstanty a, b, c, m jsou počítány jen z dešťů splňujících podmínku 0,5 < h ≤ 25 mm).

Syntetický déšť pak tvoří jednoduchý déšť iteračně vypočtený ze vzorce:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= mt

tpp

mm e

ttiti

1

)( [l·s-1·ha-1], (3.24)

p – je parametr, který je hledán iterací tak, aby platila nerovnost:

005.0 )( 0

0

≤− ∫t

tih [mm], (3.25)

Je-li úhrn deště: h >25 mm, vyhledají se všechny parametry t0, i0, im, tm jako v předchozím případě, syntetický déšť pak tvoří násobný déšť, načtený ze dvou jednoduchých dešťů, kde:

1. část syntetického deště má tm1 = t0/4 s max. intenzitou im1 = 2,3 · i0, 2. část syntetického deště má tm2 = t0 · 3/4 s max. intenzitou im2 = im1/2.


- 72 (213) -

Obr. 3.36: Déšť VÚV (pro t0 = 30 min, tm = 5 min, tv = 10 min.

• Kanadský déšť Pro sestavení deště použil autor třicetiletou řadu dešťů z Albertville (Kanada). Do analýzy zařadil deště, které splnily kritérium pro výšku srážky dt (mezní hodnoty jsou brány z čáry náhradních intenzit periodicity p = 0,5 pro Calgary, t je doba trvání v hodinách), a to pro celou dobu trvání nebo pro část deště. Podle těchto kritérií rozdělil deště do skupin ( t = 0,5, 2, 4, 12, 24 hod) a v nich určoval parametry tc …celková doba srážky, tp …doba vzestupu, Hmax …max. intenzita pětiminutové srážky, D … výška srážky, b … podíl srážky před vrcholem, p … špičatost. V každé skupině deště rozdělil na deště s vrcholem na začátku a na konci. Tvar vychází z rovnice dle Watta:

Obr. 3.37: Kanadský déšť

- 73 (213) -

vzestupná část t<tp n

ptthi ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= , (3.26)

sestupná část t>tp pc

pm tt

ttk

ehi −

−−

= (3.27)

kde km = f(tp, tc, p) ... součinitel rozložení srážky.

Oproti původním rovnicím upřesnil lineární vztah pro vzestupnou část deště umocněním, hodnotu n stanoví pro každou skupinu podle průměrných sledovaných hodnot. Pro každou skupinu určil parametry potřebné k sestrojení návrhového deště.

• Desbordesův déšť (1978)

Desbordes navrhl modelový déšť (obr.3.38), který má podobné charakteristiky jako modelový déšť podle Šifaldy. Déšť je definovaný třemi parametry a to maximální intenzitou im (T), která je v intenzivní periodě deště T a je kritická pro dimenzování městského povodí, dále maximální konstantní intenzitou im (4h-T) během periody 4h-T a časovou polohou T1 intenzivní periody T během celého trvání 4h.

Obr. 3.38: Desbordesův déšť.

• Déšť Pilgrim a Cordery Jejich metoda stanovení modelového deště - obr.3.39 s proměnným průběhem je založena na statistické metodě, která analyzuje totožnost dešťových jevů.


- 74 (213) -

Obr. 3.39: Déšť Pilgrim a Cordery.

• Déšť Yen, Chow (1980) Výsledkem jejich práce je modelový déšť trojúhelníkového tvaru - obr.3.40, jehož objem se odvozuje z blokového deště a matematických závislostí.

Obr. 3.40 Déšť Yen a Chov.

- 75 (213) -

Déšť byl popsán a testován Wenzelem a Vorheesem. Parametry popisující trojúhelníkový tvar jsou:

,3 / Tta −= (3.28)

,aTb −= (3.29)

,2 1−⋅= TVh (3.30)

kde V je celkový objem modelového deště a t´ je první moment ramene hyetogramu, vztažený k začátku deště. Celkový objem se stanoví pomocí matematické závislosti z blokového deště.

• Huffův déšť Ke své analýze použil Huff údaje ze 49 srážkoměrných stanic ve východní centrální části státu Illinois, které byly získány za období jedenácti let. Hyetogramy byly z časového hlediska roztříděny do čtyř skupin podle toho, zda se maximální intenzita vyskytovala v první, druhé, třetí nebo čtvrté čtvrtině trvání přírodního deště. Tímto rozdělením se zjistilo, že deště s krátkou dobou trvání byly převážně zařazeny do skupiny s max. intenzitou v první a druhé čtvrtině trvání deště. Huffův způsob vyhodnocení modelových dešťů se použil i při odvozování modelového deště ISWS (Illinois Stare Water Survey) a aplikoval se s výskytem maximální intenzity v první čtvrtině deště ve srážkovém modelu ILLUDAS.

Obr. 3.41: Huffův déšť.


- 76 (213) -

3.3.8 Extrémně vydatné srážky v ČR

Extrémně vysoké srážky v červenci 1997 zapříčinily v ČR dosud největší povodeň na horní a střední Moravě a Odře. (projevila se i v Polsku a východním Německu) nemající ve 20. století obdoby co do kulminačních průtoků, délky trvání, rozsahu postiženého území, ztráty na životech (52 osob) a materiálních škod (62,6 miliard Kč). Tato katastrofická událost opětně obrátila nejen pozornost hydrologů k povodním, ale byla motivací i pro meteorology a klimatology znovu se systematicky zabývat problematikou extrémních srážek, které se v minulosti dostalo do pozadí.

Extrémně vydatné srážky, vyznačující se krátkodobějším působením, vyvolávají mimořádné situace (viz Roční odchylky srážek v Příloze 1) v podobě povodňových stavů na vodních tocích, které jsou doprovázeny výraznými erozivními a akumulačními procesy, jež značně mění tvar povrchu v postižené oblasti (splach orné půdy, nánosy, protržení hrází atd.). Příkladem těchto účinků může být např. povodeň v červenci 1997. Kdy severní část Moravy, Slezska a částečně i severní část východních Čech zasáhly extrémně vydatné srážky, které trvaly několik dní a v povodích Moravy, Odry a horního Labe vyvolaly vysoké průtoky s nebývale objemnou a setrvalou povodňovou vlnu.

Šlo vlastně o dvě povodně, neboť kulminace extrémních průtoků se na tocích opakovaly znovu zhruba po 14-ti dnech. Počínaje 4.červencem byly během 5-ti dnů na řadě meteorologických stanic ČHMÚ naměřeny deště s průměrnou intenzitou o vysokém úhrnu. Například v povodí Odry na stanici Lysá hora spadly srážky o 5-ti denním úhrnu 586 mm, na Pradědu 454 mm a v Ostravě - Porubě 263 mm, což odpovídá zhruba polovině průměrného ročního úhrnu srážek. V povodí řeky Moravy po její soutok s Dyjí bylo na stanici Valašské Meziříčí během těchto 5-ti dnů naměřeno 375 mm srážek. Odtok v tocích mnohde přesáhl úroveň 100 - leté vody (lze porovnat s ročním srážkovým úhrnem - viz . obr.3.42).

Extrémně vydatné srážky způsobily také povodeň v srpnu 2002, která byla složena ze dvou epizod. Tato povodeň postihla spíše povodí středních a větších plošných rozsahů. Počátek první epizody byl 6. srpna a druhé 11. srpna. Výsledkem bylo, že první vlna způsobila takovou nasycenost zasažených povodí, že další spadlé srážky nemohla tato povodí již svojí přirozenou retenční schopností zadržet. Nejvíce bylo zasaženo povodí Vltavy a byl zde zaznamenán výskyt největších kulminačních průtoků za celé období pozorování v mnoha vodoměrných profilech. Právě na tomto území a na povodí Berounky se zformovaly povodňové vlny, které svým střetem na hranici intravilánu hlavního města Prahy způsobily povodňovou katastrofu na dolních tratích Vltavy a Labe. První vlna povodně, která zasáhla postupně území celého regionu, byla nejvýraznější na povodí Malše, horní Lužnice a střední Otavy s přítoky Volyňkou a Blanicí. Doba opakování kulminačních průtoků dosahovala na Malši a Černé 200 až 500 let.

- 77 (213) -

Obr. 3.42: Normály ročních srážkových úhrnů v letech 1961 – 1990

Nejvyšších koeficientů odtoku bylo dosaženo v povodí Malše, kde z objemu spadlých srážek za obě srážkové vlny přímo odteklo více než 70 %, přičemž z objemu srážek v první vlně to bylo 65 %, ale ve druhé vlně až 90 %. V Praze odteklo Vltavou necelých 50 % objemu srážek.

Druhá, hlavní povodňová vlna se začala vytvářet bezprostředně po nástupu druhé srážkové epizody v odpoledních hodin dne 11. srpna. Nejvyšší srážkové úhrny se v rámci regionu vyskytly zejména na horní Blanici, Spůlce, na drobných tocích v okolí Českého Krumlova, na povodí horní Otavy a na části povodí Lomnice a Skalice. Srážky trvaly souvisle až do odpoledne 13. srpna. Jejich velikost a plošný rozsah v kombinaci s vysokým nasycením všech povodí po první srážkové vlně způsobily vývoj průtoků, které na většině pozorovaných toků dosud za celou dobu pozorování (posledních 100–130 let) nebyly vůbec dosaženy. Většina toků dosáhla svými kulminačními průtoky hodnot 100letých i vyšších.

Tab. 3.4: Charakteristiky největších známých koeficientů povrchového odtoku pro území ČR v srpnu 2002

Profil Tok Srážky [mm] Odtok [mm] Koef. odtoku

Březí Vltava 273,6 165,0 0,60

Kaplice Malše 324,0 240,1 0,74

Líčov Černá 395,2 299,0 0,76

České Budějovice Vltava 289,5 185,4 0,64


- 78 (213) -

Další údaje pozorování a analýza extrémních denních srážkových úhrnů na území ČR v období 1879 – 2000, kdy denní srážkový úhrn na jedné stanici dosáhl hodnoty ≥ 150 mm, jsou uvedeny v literatuře [6]. Závěrem lze konstatovat, že výskyt extrémních denních úhrnů byl vázán především na horské oblasti Moravskoslezských Beskyd, Hrubého Jeseníku, Krkonoš a Jizerských hor a v podstatně menší míře na další pohraniční hory ČR. Mimo horské oblasti se tyto případy vyskytovaly spíše ojediněle. Souvisí to s tím, že limitní hodnota 150 mm srážek za den představuje pro nížinné a pahorkatinné polohy opakovatelnost jednou za 500-1000 let. Extrémní srážky se nejvíce vyskytují mezi 16. květnem a 12. zářím, nejčastěji pak v měsíci červenci. V četnostech jejich výskytu se v posledních 120 letech neprojevily výraznější trendy.

Absolutní denní maximum srážek na území ČR 345,1 mm bylo zjištěno dne 29. července 1897 na stanici Nová Louka (780 m) v jizerských horách.

Ve většině případů našly extrémní denní srážky odezvu v případě povodní doprovázených i ztrátami lidských životů a velkými materiálními škodami.

Extrémní srážky trvalého charakteru byly spojeny s teplotně asymetrickými cyklonami (přetočený teplý vzduch) a s hodnotami tlaku kolem 1005 – 1000 hPa.

Závěrem je možno konstatovat, že ČR má oblast srážkoměrných pozorování velmi dobře propracovanou. Značnou zásluhu na tom má Trupl, který zjišťoval intenzity přívalových dešťů do dvou hodin. Z pozorování vyplynulo, že v období listopad - březen se u nás vyskytuji přívalové deště jen velmi zřídka. Extrémní srážky se nejvíce vyskytují mezi 16. květnem a 12. zářím, nejčastěji pak v měsíci červenci. Na závěr je nutné konstatovat, že předpovídat extrémní srážky je i v dnešní době věcí značně složitou a i s nejmodernější technikou věcí nesnadnou. ČHMÚ zpracoval studii na toto téma z které vyplynulo, že použití střednědobé předpovědi počasí pro dostatečně přesnou prognózu extrémních případů je nemožné, což v praxi znamená, že tyto jevy nelze s větším časovým předstihem zjistit. Ve střednědobém výhledu nelze uvažovat s podstatným prodloužením časového předstihu předpovědi extrémních srážek.

3.3.9 Plošné rozložení srážky v povodí

Při hydrologických výpočtech nevystačíme se srážkoměrnými údaji jedné stanice. Ve většině případů musíme stanovit průměrné množství srážek spadlých v povodí (obecně je možno uvažovat jakoukoliv přesně vymezenou plochu), tj. výšku vodního sloupce, který by srážky při jejich rovnoměrném rozprostření na ploše povodí vytvořily za předpokladu, že se nevsakují, nevypařují a neodtékají. Tuto výšku nazýváme průměrnou srážkou v povodí (popř. určitého území). Při jejím stanovení vycházíme ze srážko měrných údajů sítě stanic ležících na uvažované ploše a v jejím bezprostředním okolí tak, aby spojnice okolních stanic ohraničovaly celou zájmovou plochu.

V prvním případě jednoduše vypočteme průměrnou srážku v povodí jako aritmetický průměr všech uvažovaných stanic. Výsledek však může sloužit pouze jako orientační hodnota.

- 79 (213) -

Velmi výhodnou, zvláště s ohledem na pracnost při stanovení řady hodnot průměrných srážek v povodí (např. měsíčních), je metoda polygonová (také zvaná Hortonova nebo Thiessenova ).

Obr. 3.43: Metoda Hortonova (Thiessenova)

Při této metodě spojíme všechny srážkoměrné stanice do trojúhelníkové sítě (triangulace) a středy těchto stran vedeme kolmice, které ohraničí plochu Si, pro niž je srážkový úhrn Hsi určité stanice reprezentativní (obr.3.43). Pak průměrná srážka v povodí Hs se rovná :

(3.31)

Zde Σ Si představuje plochu povodí Sp. S výhodou lze pro tutéž srážkoměrnou síť v povodí stanovit podíly jednotlivých dílčích ploch Si a celé plochy povodí Sp :

Si . Sp-1 = ki (3.32)

a základní vztah 4.7. upravit na:

, (3.33)


- 80 (213) -

přičemž musí být splněna kontrolní podmínka Σki = 1,0. Máme-li k dispozici mapu izohyet, popř. po jejím vykreslení (konstrukce izohyet viz např. NOSEK, 1954 ), vypočteme průměrnou srážku v povodí běžnou technickou metodou podle vzorce:

(3.34)

kde: Si - plocha omezená dvěma sousedními izohyetami Hi a Hi+l a rozvodnicí, Sp - plocha povodí

3.3.9.1 Krigeho metody V poslední době se ve světě stále častěji používají pro aproximaci průběhu srážek nad povodím metody Krigeho. Tyto metody vycházejí z následujících myšlenek. Měření, prováděná ve skutečném prostředí, nedokáží vždy toto prostředí zcela nahradit číselnými charakteristikami popisujícími některé z vybraných vlastností tohoto prostředí. Tyto ne zcela popsané oblasti, například z důvodu technických možností nebo jednoduše z důvodu nedostupnosti těchto dat, je možné doplnit požadovanými daty pomocí interpolace na základě okolních číselných hodnot. Z tohoto důvodu je také interpolace hodnot důležitým faktorem pro vykreslování naměřených dat. Mimo obyčejných interpolací existují i značně složitější a přesnější interpolace jako je například Krigeho metoda neboli Kriging. Krigeho metoda vznikla pro účely stanovení rudných ložisek inženýrem D.G. Krigem, pocházejícího z Jižní Afriky. Jedná se o interpolační metodu předpovídající neznámé číselné hodnoty ze známých naměřených dat.

Obr. 3.44: Srážkové pole

- 81 (213) -

Obr. 3.45: Rozložení srážkového pole nad jižní Evropou a částí jihozápadní Asie

K vyjádření prostorové odchylky užívá tato metoda exploraci dat a fitovaná křivka variogramu se stává předpisem pro dopočet chybějících dat.

Krigeho metodu lze použít také v mnoha oblastech:

Hydrogeologie a hydrologie • interpolace hladiny nadmořské výšky zvodní • zvýšení významu managementu podzemní vody při jejím nedostatku • vytváření srážkových polí - obr. 3.44 a 3.45 Monitorování stavu životního prostředí • použití moderní statistické interpolace metody a GIS k odhalení vzájemného

vztahu mezi prostorovými distribucemi radioaktivního znečištění a chorob

Geologie a zemědělství • vyšetření půdní kvality a odhad prostorové distribuce fosforu • vytváření povrchů z jednotlivých měření - obr. 3.47 a 3.48

Ekologie • aplikace univerzálního krigingu na ekologické data; respektive jde o

porozumění ekologických vztahů


- 82 (213) -

Obr. 3.46: Mapa kontaminace solí 123Cs v blízkosti Černobylu v roce 1995

Obr. 3.47: Vykreslení reliéfu terénu za pomoci krigingu

Obr. 3.48: Využití Krigeho metod v geologii

- 83 (213) -

Princip Krigeho metody Obecně se provádí dva kroky Krigeho interpolace. První krok je konstrukce variogramu. Variogram ukazuje, jak se průměrný rozdíl mezi hodnotami v místě mění se vzdáleností mezi body. Druhým krokem je počítání odhadů za užívání modelu variogramu.

Variogram se sestavuje ze známých hodnot jako empirický variogram a poté se jím proloží některá teoretická funkce (lineární, sférická, exponenciální nebo Gaussova křivka) - viz obr. 3.49.

Obr. 3.49: Vytvoření vzorového variogramu za pomoci vstupních dat

Tímto získáme teoretický variogram respektive vzorový variogram. Tento variogram je pak charakterizován třemi hodnotami:

• Prahová hodnota C0 + C – jedná se o maximální hodnotu variogramu • Akční prostor a – je to vzdálenost, kdy variogram dosáhne roviny • A tzv. „nugget efekt“ C0 - reprezentuje omezenou datovou

proměnlivost nebo možné chyby

Obr. 3.50: Charakteristické hodnoty variogramu

Nejužívanějšími variogramy jsou lineární, sférické a exponenciální variogramy.


- 84 (213) -

a) Lineární variogram – je nejednodušším z variogramů, je určen rovnicí

hCCh ⋅+= 0)(γ , (3.35)

h reprezentuje vzdálenost mezi známým bodem a bodem předpovídaným

Obr. 3.51: Lineární variogram

b) Sférický variogram – nejčastěji užívaný, je určen rovnicí

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

<⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅+=

ahCC

ahah

ahCCh

,

5,05,1)(

0

3

0γ , (3.36)

Obr. 3.52: Sférický variogram

c) Exponenciální variogram – je určen rovnicí

- 85 (213) -

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−−+

=

=0

3exp1

00)(

0 ha

hCC

hhγ . (3.37)

Obr. 3.53: Exponenciální variogram

Při samotném výpočtu se uvažuje, že interpolovaná data jsou prostorově proměnná. Po sestavení modelu se přistupuje k vypočtení vah. Tyto váhy jsou závislé na vzdálenosti mezi známým a odhadovaným bodem. Při samotném výpočtu se užívá lineárně regresních rovnic.

Obr. 3.54: Ukázka různých typů variogramů

Druhy Krigeho metod

• Základní Krigeho metoda Prvním krokem Základní Krigeho metody je sestavení variogramu ze souboru vstupních dat. Tímto získáme výběrový (experimental) variogram - viz


- 86 (213) -

obr.3.55. Tento se počítá jako druhé mocnina rozdílů měřených dat pro všechny dostupné vzdálenosti. Z tohoto výběrového variogramu se zjistí zda-li vykazuje prostorové závislosti.

Obr. 3.55: Výběrový (Experimental) a vzorový (Model) variogram

V případě že variogram vykazuje známky prostorové závislosti, je pak dalším krokem jeho proložení matematickou funkcí, která kopíruje jeho trend, a tím získáme vzorový variogram. Z Variogramu je patrné, že při dostatečně malých vzdálenostech h dosahují hodnoty interpolace )(hγ dostatečně malých hodnot, neboli body blízko sebe mají přibližně stejnou hodnotu interpolace )(hγ . Po určitém stupni separace se hodnota odchylky )(hγ ustálí na průměrné odchylce, tedy na prahové hodnotě C0 + C. Sestavený vzorový variogram je použit ke stanovení vah podle základní rovnice:

μγγ +⋅= ∑=

)()(1

0 ij

n

jji hwh (3.38)

pro všechna i v intervalu 1 < i < n, kde n je počet sousedních členů, hij je Eukleidovská vzdálenost mezi body i a j, jw jsou váhy přiřazené k těmto členům a μ je Lagrangeův součinitel (multiplikátor). Pro výpočet vah je potřeba ještě jedna rovnice:

11

=∑=

n

jjw . (3.39)

Kombinací rovnice (3.38) a (3.39) dostáváme sadu rovnic, kterou můžeme zapsat maticovém tvaru:

DCw ⋅= −1

kde se matice C skládá z variace mezi vstupními známými body, matice D se skládá z variace mezi vstupními a odhadnutými body.

- 87 (213) -

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

μnw

w

wM

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0111)()(

1)()(

1

111

L

L

MMOM

L

nnn

n

hh

hh

Cγγ

γγ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1)(

)(

0

10

nh

h

Dγ

γM

, (3.40)

Výpočtem vektoru w získáme optimální váhy, které jsou nestrannými odhady a mají tedy minimální rozptyl. Pomocí těchto vah poté můžeme vypočítat odhadované body pomocí rovnice:

)()()(ˆ1

00 i

n

ii ssws νν ∑

=

⋅= , (3.41)

kde )(ˆ 0sν je odhadovaná hodnota v bodě s0, )( isν je hodnota v bodě si, n je počet bodů užitých k výpočtu a )( 0swi je váha v bodě si pro výpočet hodnoty v bodě s0.

• Jednoduchá Krigeho metoda V Jednoduché Krigeho metodě se při výpočtu na rozdíl od Základní Krigeho metody neužívá rovnice (3.41). Jednoduchá metoda používá průměr z celého vstupního souboru dat. Základní Krigeho metoda používá průměr bodů z nejbližšího okolí, což má za následek menší přesnost odhadnuté hodnoty. Metoda se užívá v případě, kdy odhadovaná proměnná je isotropní a variogram je pouze funkcí času.

• Univerzální Krigeho metoda Stanovený předpoklad Krigeho metody je, že odhadnuté body jsou stacionární. Univerzální Krigeho metoda bere v potaz i „významný prostorový trend“. Tento trend si můžeme představit jako klesající část svahu nebo například rovinnou část terénu. Proto jako vstupní hodnoty bereme jen ty data z nejbližšího okolí, která nám charakterizují tento prostorový trend. Metoda se užívá v případě anisotropních odhadovaných proměnných a variogram je funkcí vzdálenosti a směru z intervalů vzdálenosti.

Obr. 3.56: Ukázka prostorových trendů na části terénu (konstantní a měnící se

trend)


- 88 (213) -

Příklad základní Krigeho metody Jsou dány 3 vrty s hodnotami hladiny podzemní vody. Odhadněte hladinu podzemní vody v bodě P dle daného schématu viz obr. 3.57.

Vrt 1

Vrt 2

Vrt 3

P

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1 2 3 4 5 6 7

Obr. 3.57: Rozložení známých hodnot v prostoru

Tab. 3.5: Poloha vrtů

X uřadnice

Y uřadnice

Hladina dy (m)

Vrt 1 3 4 120

Vrt 2 6.3 3.4 103

Vrt 3 2 1.3 142

Místo p 3 3 ?

Následně sestavíme variogram z hodnot vzdáleností mezi body.

Tab. 3.6: Vzdálenost mezi jednotlivými vrty Vrt 1 Vrt 2 Vrt 3 Místo p

Vrt 1 0 3.35 2.88 1

Vrt 2 0 4.79 3.32

Vrt 3 0 1.97

Pomocí těchto hodnot sestavíme lineární variogram.

- 89 (213) -

Variogram

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7

Vzdálenost mezi body

Obr. 3.58: Lineární variogram

Z variogramu odečteme příslušné hodnoty, které použijeme pro výpočet vah a odhadnuté hodnoty v bodě P.

Tab. 3.7: Hodnoty odečtené z variogramu

Nejdříve musíme stanovit hodnotu vah w1, w2 a w3 pro výpočet odhadované hodnoty v bodě P. Tyto váhy stanovíme z těchto rovnic:

)()()()()()()()(

)()()()(

,33,332,321,31

,23,232,221,21

,13,132,121,11

P

P

P

hhwhwhwhhwhwhw

hhwhwhw

γγγγγγγγ

γγγγ

=++

=++

=++

, (3.42)

kde γ(hi,j) je variace mezi body i a j a odpovídající vzdálenosti h mezi nimi. Je zřejmé, že hodnoty na hlavní diagonále jsou rovny 0 a zbylé hodnoty jsou odečteny z variogramu, sestaveného ze vstupních hodnot. Přidáme další rovnici pro nestranný výpočet vah:

1321 =++ www (3.43)

Vrt 1 Vrt 2 Vrt 3 Místo p

Vrt 1 0 13.42 11.52 4

Vrt 2 0 19.14 13.3

Vrt 3 0 7.89


- 90 (213) -

Navíc přidáme Langrangeův součinitel λ pro získání minimální směrodatné odchylky a tedy i optimálního odhadu vah. Po dosazení rovnice (9) a přidání součinitele λ dostaneme soustavu rovnic:

10)()()()()()()()(

)()()()(

321

,33,332,321,31

,23,232,221,21

,13,132,121,11

=⋅+++

=+++

=+++

=+++

λγλγγγγλγγγ

γλγγγ

wwwhhwhwhwhhwhwhw

hhwhwhw

P

P

P

. (3.44)

Tyto rovnice můžeme zapsat vhodněji v maticovém tvaru: DwC =⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1)()()(

01111)()()(1)()()(1)()()(

,3

,2

,1

3

2

1

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

P

P

P

hhh

www

hhhhhhhhh

γγγ

λγγγγγγγγγ

. (3.45)

Hodnoty matic C a D dosadíme z tab. 3.7.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

19.71.12

4

0111101.185.1111.1802.1215.112.120

3

2

1

λwww

Po výpočtu získáme hodnoty vah:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7298.03071.00975.05954.0

3

2

1

λwww

Nyní již můžeme odhadnout hodnotu v místě P za pomocí vzorce:

332211, YwYwYwY PE ⋅+⋅+⋅= . (3.46)

Po dosazení:

mY PE 1.1251423071.01030975.01205954.0, =⋅+⋅+⋅=

Závěr Krigeho metod mají široké využití v mnoha oblastech lidského výzkumu. Jedná se především o oblasti, kde by obyčejná interpolace nebrala v úvahu jednotlivé změny hodnot po ploše. Proto je také obsažena v mnohých programových prostředcích pro zpracování různých typů dat, jako například prostředí GIS, pro vykreslování terénu a pro výpočty založené na prostorových

- 91 (213) -

souřadnicích. Dalšími programy jsou například Surfer, který je vhodný pro vytváření 2D a 3D reliéfů, program Matlab a další moduly pro různé programy. Samotné užití v hydrologii má převedším význam při stanovení průběhu srážkových polí, kdy obyčejná interpolace zejména v horských oblastech značně podhodnocuje průměrné srážky.

Literatura (kap.3.3.9.1): [1] Chao-yi Lang – Kriging Interpolation, Computer Science, Cornell University [2] Jiří Horák – Prostorová analýza dat, http://gis.vsb.cz/pad/index.htm [3] Kun Lu, Steve Goddard - GRASS-based High Performance Spatial Interpolation

Component for Spatial Decision Support Systems [4] Zdeněk Blažek – VaV/740/02/00, Úkol DU01 Zhodnocení optimalizace stávající

staniční sítě a verifikace návrhu sítě ověřovacím měřením [5] Jaroslav Fiala – VaV/740/3/02 Integrované hodnocení a řízení kvality ovzduší v

návaznosti na dceřiné směrnice týkající se TK, PAHs, PM10 a benzenu [6] Wim van Bedra, Jack Kleijnen - Kriging interpolation in simulation a survey [7] Colin Childs – Interpolating surfaces in ArcGIS Spatial Analyst, ESRI Education

service [8] Konstantin Krivoruchko - GIS and Geostatistics: Spatial Analysis of Chernobyl

Consequences in Belarus, http://www.ncgia.ucsb.edu/conf/sa_workshop/papers/krivoruchko_old.html

[9] Ulrike Weise - Kriging – a statistical interpolation method and its applications, GEOG 516

3.3.10 Sněhová pokrývka

Sníh je pevná forma atmosférických srážek, které se tvoří ve sněhovém oblaku sublimací při teplotě pod O °C v podobě ledových krystalků. Množství napadlého sněhu se měří srážkoměrem, z něhož se v zimním I vyjme nálevka z konvice. V teple se zachycený sníh dá pozvolna roztát a změř vody ze sněhu. Mimoto se měří sněhoměrnou latí i výška sněhové pokrývky v ráno. Alespoň jednou týdně se měří vodní hodnota sněhu.

Poměr výšky vody získané ze sněhu k výšce sněhové pokrývky, popř. poměr objemu vody ze sněhu VVO k jeho původnímu objemu (sněhu) VSN udává vodní hodnotu sněhu.

.VS

VO

VV

=δ (3.47)

Vyjádříme-li množství vody získané z určitého objemu sněhu váhově, tedy v kg.m-3, získáme specifickou váhu sněhu – objemovou hustotu.

.SN

SN

Vm

=ρ (3.48)

Dub a Němec ( 1969) udávají vodní hodnotu sněhu pro nově napadlý sníh od 0,02 do 0,27, pro lehlý sníh 0,20 až 0,40 a pro starý firnový sníh 0,25 až 0,50. Podle Linsleye (1962) můžeme uvažovat pro čerstvě napadlý sníh v průměru objemovou hustotu v hodnotě 0,10.


- 92 (213) -

Při měření hustoty sněhu v terénu používáme váhové sněhové hustoměry. Jsou založeny na shodě hustoty a specifické váhy sněhu. Jsou to trubice o ploše základny 50 cm2 a délce 50 cm, které je možno složit na žádoucí délku podle výšky sněhové pokrývky. Pro zmrzlé nebo ulehlé sněhové pokrývky je nutno použít váhový sněhoměr s menším průměrem a vrtnou korunkou na proražení tvrdých sněhových vrstev.

V poslední době se stanoví vodní hodnota sněhu radiozotopy. Měřítkem hodnoty sněhu je stupeň oslabení paprsků použitého zdroje záření.

3.3.10.1 Výpočet zásoby sněhu na území Rozložení sněhové pokrývky na ploše povodí není rovnoměrné. Uplatňuje se především vliv větru a reliéf terénu. Proto sněhoměrná měření na jedné stanici nevystihují dostatečně poměry v povodí a je nutno měření doplňovat podrobnějším průzkumem. Na malých plochách ( např. v porostu) postupujeme nejvhodněji metodou plošné nivelace.

V malých povodích se u význačnějších míst (snadno identifikovatelných na mapě) stanoví výška sněhu a u menšího počtu i její hustota váhovým hustoměrem. Hustotu sítě volíme tak, aby vystihovala sněhové poměry a umožňovala sestrojit sněhoměrný vrstevnicový plán a z něho obdobně jako u srážek stanovit potřebné hodnoty.

U velkých povodí se volí metoda sněhoměrných snímků.

3.3.10.2 Tání sněhové pokrývky

Tání sněhu - přeměna tuhého skupenství vody v kapalné při teplotě nad 0°C - probíhá pod vlivem kombinovaného působení různých klimatických činitelů (Holý, 1994) :

• při oblačném počasí s teplotou vzduchu nad 0°C taje sníh působením teploty vzduchu (advektivní typ tání),

• při jasném počasí nad 0°C přistupuje sluneční záření (advektivně solámí typ tání),

• při deštivém počasí bez slunečních dnů taje sníh působením teploty dešťové vody (pluviální typ tání),

• při střídání sluněčného a deštivého počasí nastává solámě pluviální typ tání, • při slunečném počasí s teplotami slabě pod 0°C taje sníh působením

slunečního záření (solámí typ tání).

Intenzitu tání sněhu, doporučuje Kovzel, A.G. (1979), stanovovat pro kratší časové úseky 2 hodin. Množství roztáté vody v mm za 2 hodiny M se pak vypočte podle vztahu:

,])1).([(15 RriJuM −−++=αγ (3.49)

kde značí: α - geografický parametr rovnající se pro oblasti na jih od 52°sever. šířky hodnotě 0,075. γ = (t 200 - tc ) + 1,75 ( e200 – e0 ), t200 - teplota vzduchu ve °C ve výšce meteorol. budky - 200 cm, e200 - vlhkost vzduchu v mb ve výšce meteorol. budky - 200 cm, t0- teplota povrchu sněhu v 0°C, e0 - maximální napětí vodních par při teplotě t0 v mb, u - rychlost větru ( m.s·-1 ) ve výši

- 93 (213) -

anemometru, (J + i) - úhrné (přímé a rozptýlené) sluneční záření v cal.cm-

2.min - stanovené pyranometrem, r - koeficient albeda sněhového povrchu z pozorování na pyranometru nebo albedometru, R - efektivní záření sněhové pokrývky podle pozorování efektivního pyranometru v caI.cm-2.min.

Prvý člen vztahu (3.49) vyjadřuje výšku vrstvy roztáté vody podmíněné výměnou tepla s atmosférou (turbulentní tok tepla, výpar a kondenzace), druhý člen vyjadřuje výšku roztáté vody podmíněné výměnou tepla zářením (radiační přítok a výdej tepla).

Pro tání sněhu odvodil podle pozorování pro bývalou ČSFR Kozlík, V. (1959) vztah:

,0' bath −= (3.50)

kde h'- výška sloupce vody ze sněhu (mm.h-1), t0- průměrná teplota vzduchu (°C), a,b - činitele závislé na podmínkách tání sněhu. Pro advektivní typ tání je a = 0,5; b = 0,5. Pro advektivně solární typ tání je a = 0,8; b = 3,0 .

Pro výpočet tání sněhu za delší období platí pro advektivní typ tání vztah :

,)( 0' nbtah −+= ∑ (3.51)

kde Σ(+ t0) je součet kladných teplot vzduchu (°C), n - počet hodin trvání kladných teplot vzduchu

Pro solární typ tání sněhu uvádí V. Kozlík vztah:

,)()( 0' bmntah −−+= ∑ (3.52)

kde n - počet hodin časového úseku v němž zjišťujeme tání, m - počet hodin s teplotami °C a nižšími ve stejném časovém úseku.

Maximální intenzita tání sněhu (Kasprzak, K., 1975) činí v průměru 0,0758 mm.min-1.

Při stanovení velikosti odtoku při tání sněhu je nutno vzít v úvahu, že sněhová pokrývka může zadržet 20 - 30 % zásoby vody, které představuje. O toto množství se zvyšuje na počátku odtok při tání sněhu.

Metoda stupeň-den (metoda teplotního faktoru)

Pro výšku vodního sloupce HV, který vznikne po roztání sněhové pokrývky o výšce HSN dle (3.47) platí

..δSNV HH = (3.53)

Z této výšky vodního sloupce dle metody stupeň-den za 1 den odtaje výška vodního sloupce

,..72,45 DkHT = (3.54)

kde značí: k – koeficient závislý na geografických činitelích, ale též na expozici svahu, barvě sněhu apod.. k∈<0,02; 0,3>. V našich podmínkách vyhovuje k=0.06,


- 94 (213) -

resp. 0.07. Pomocí k je možno zjednodušeně zohlednit i vliv větru, který urychluje tání, pokud modely neumožňují zavést vliv větru vhodnějším způsobem, D – je počet stupňů-dnů. Počítají se jen dny, kdy je průměrná teplota vzduchu nad nulou. Např. pokud je jeden den průměrná teplota 3 °C a druhý den 2 °C, je celkový počet stupňů-dnů D = 5.

Veličina HT představuje potenciální možné tání sněhu. Tato hodnota může odtát jen pokud je HV větší nebo rovna HT. Jinak odtaje pouze výška vodního sloupce HV .

Vztah (3.54) počítá s průměrnou výškou vody v povodí, a ta se přepočítává na celkový objem vody, který z povodí vlivem tání sněhu za jeden den odteče. Proto je nutno přepočítat různé teploty, naměřené v odlišných srážkoměrných stanicích situovaných v povodí, na průměrnou teplotu ve střední nadmořské výšce povodí. Zde se vychází z předpokladu, že na přírůstek nadmořské výšky 100 m klesne teplota přibližně o 0,7 °C (odvozeno z experimentů). Pro přepočtenou teplotu Ti do střední nadmořské výšky povodí z i-té stanice pak platí

,)(100

7,0,, iPTiPi HHTT −−= (3.55)

kde značí: HT - střední nadmořská výška povodí, Hp,i , Tp,i - nadmořskou výšku a teplotu ovzduší ve stanici s pozorováním.

Pro průměrnou teplotu vzduchu ve střední nadmořské výšce povodí pak platí

,nT

T i∑= (3.56)

kde n je počet srážkoměrných stanic použitých pro přepočet.

3.3.11 Získání potřebných údajů o měřených srážkách

Srážky patří k základním hydrologickým veličinám, které mají nejdelší pozoro' řadu a nejhustší síť pozorovacích stanic. To umožňuje poměrně velmi přesně stanovit potřebné výchozí údaje i pro území, kde chybí ostatní pozorování. Potřebná srážkoměr data získáme např. u pracovišť:

• Českého hydrometeorologického ústavu v Praze (Komořany) pro celou republiku,

• Českého hydrometeorologického ústavu v Brně (Kroftova ul. 43 ) pro povodí Moravy,

• Českého hydrometeorologického ústavu v Ostravě (Svinov, K myslivně 1) pro povodí Odry.

Kromě toto již zpracované hodnoty srážkových úhmů nalezneme v publikaci Podnebí ČSSR, ČHMÚ Praha, a ve Státním vodohospodářském plánu, VÚV, Praha).

Kontrolní otázky

3.1. Jakými přístoji měříme vlhkost a výpar?

- 95 (213) -

3.2. Jaké přístroje slouží pro měření srážek?

3.3. Jaké metody existují pro předpověď srážek?

3.4. Co je Nowcasting?

3.5. Jaké znáte metody pro stanovení plošného rozdělení srážek v povodí?

3.6. K čemu slouží metoda stupeň-den a jaký je její princip?

4 Geografičtí činitelé

Odtok vody z povodí je co do velikosti i co do časového rozdělení ovlivněn řadou činitelů geografických. Patří sem fyzikálně-geometričtí činitelé, geologické vlastnosti povodí, vegetační pokryv a říční síť. Geografičtí činitelé určují hydrodynamické (přenosové) vlastnosti povodí. Určují jakým způsobem se v čase a prostoru nerovnoměrná srážka dopadající na povodí postupně transformuje až na časový průběh odtoku vody závěrovým profilem povodí.

4.1 Fyzikálně-geometričtí činitelé

Fyzikálně-geografické vlastnosti povodí mají značný vliv na průběh odtoku vody z povodí.

Zeměpisná poloha povodí - je dána zeměpisnými souřadnicemi, mezi kterými se povodí nalézá. Je značný rozdíl mezi tím, zda povodí leží v subarktických oblastech, v mírném pásmu nebo v subtropech, apod. Rozdíl je rovněž v tom, zda povodí leží v nížinách nebo je horským povodím.

Průměrná nadmořská výška povodí - určí se z hypsometrické čáry, což je grafické znázornění vztahu mezi nadmořskou výškou a plochou území ležícího nad příslušnou nadmořskou výškou. Průměrná nadmořská výška nám společně se zeměpisnou polohou povodí implicitně určuje klimatické a meteorologické charakteristiky povodí, jako teplotu vzduchu, srážkové úhrny, vlhkost vzduchu, výpar sluneční záření atd.

Obr. 4.1: Vykreslení hypsometrické čáry


- 96 (213) -

Obr. 4.2: Vykreslení distribuční funkce

Obr. 4.3: Vykreslení hustoty pravděpodobnosti

Průměrná nadmořská výška povodí - určí se z hypsometrické čáry, což je grafické znázornění vztahu mezi nadmořskou výškou a plochou území ležícího nad příslušnou nadmořskou výškou. Průměrná nadmořská výška nám společně se zeměpisnou polohou povodí implicitně určuje klimatické a meteorologické charakteristiky povodí, jako teplotu vzduchu, srážkové úhrny, vlhkost vzduchu, výpar sluneční záření atd.

Plocha povodí je určována z map vhodného měřítka planimetrováním a je definována jako plocha půdorysného průmětu povodí do vodorovné roviny. Je udávána v km2

. Velikost povodí je výrazným činitelem, který významně ovlivňuje základní hydrologické veličiny daného povodí, např. průměrný odtok, extrémní průtoky, specifické odtoky, apod.

Tvar povodí - přirozené povodí má zpravidla tvar symetrického nebo nesymetrického listu, více nebo méně protáhlého. Tvar povodí při daném časovém a plošném rozdělení příčinné srážky rozhodujícím způsobem ovlivňuje tvorbu povodňových průtoků. Charakteristikami tvaru povodí jsou:

- 97 (213) -

Střední šířka povodí b - je podíl plochy v km2 a délky v km od rozvodnice k danému profilu. Zjišťujeme ji ze vztahu:

,1L

Sb P= (4.1)

kde: SP – plocha povodí v km2, L1 – délka údolnice v km (v případě, že sahá tok až k rozvodnici L1 = L).

Koeficient tvaru povodí α - lze jej charakterizovat poměrem plochy povodí ke čtverci délky.

,21L

SP=α (4.2)

kde význam symbolů je shodný jako u předchozího vzorce.

Je-li α = 0,07 – 0,24 ….. povodí je protáhlé, a = 0,25 – 0,50 ……povodí je vějířovité.

Průměrný sklon povodí I – obvykle se počítatá z délek vrstevnic a jejich odlehlosti. Může se však zjednodušeně odhadnout jako (Herbstův sklon):

,minmax

PSHHI −

= (4.3)

kde značí: Hmax – maximální nadmořská výška povodí, Hmin – minimální nadmořská výška povodí, SP – plocha povodí v m2.

Nejnázornější představu o spádových poměrech dává mapa sklonitosti, na níž zakreslíme plochy stejného sklonu, udávaného intervalem, např. 0 – 5%, 5,1 až 10,0 %.

4.2 Geologické vlastnosti povodí

Půdní a geologické poměry v povodí ovlivňují především infiltrované množství vody do půdy, a tím rozdělení množství vody získané ze srážek na plošný odtok povrchový a plošný odtok podzemní. Nepropustné horniny nebo horniny, z nichž vznikají nepropustné zvětraliny (flyš na východní Moravě) způsobují rychlý povrchový odtok a v území je pak nedostatek podzemní vody. Vodnost toků v takovém povodí prudce kolísá. Podstatně vyrovnanější jsou průtoky na řekách s povodím propustným.

Vsakování dešťové vody samozřejmě závisí i na velikosti a intenzitě srážek. Do suché půdy je vsakování největší, ale až po navlhnutí povrchu půdy. Méně intenzivní deště pak mohou vsáknout do půdy téměř úplně, kdežto při velké intenzitě odtéká podstatná část deště po povrchu. Značný vliv má tedy i počáteční vlhkost půdy. Zpočátku nejvyšší infiltrace v čase klesá. Postupně se naplní všechny póry v zemině a rychlost vsaku se ustálí na hodnotě hydraulické vodivosti v nasyceném prostředí. Zamrznutí půdy zamezí takřka úplně vsaku


- 98 (213) -

vody i u půd a hornin nejpropustnějších, takže na zmrzlé půdě je odtok vysoký a rychlý.

4.2.1 Infiltrace

Jedním ze základních úkolů při řešení hydrologických, hydromelioračních nebo hydrogeologických problémů je stanovení infiltrace vody do půdního profilu. Infiltrační schopnost půdy hraje, vedle charakteristik reliéfu a způsobu obhospodařování půdy, rozhodující úlohu při formulaci kritérií pro posouzení rozdílnosti různých povodí z hlediska vytváření odtoku. Vedle celkového množství vody, vsáklého při infiltraci, je důležité znát i časový průběh infiltrace na půdním povrchu, proudění vody v půdním profilu a průběh vlhkostí v celém profilu po dobu infiltračního procesu. Bez podrobných znalostí o infiltraci není možné stanovit průběh efektivní srážky, používané v modelech povrchového odtoku. Níže uvedený text vychází především z prací Kutílka (Kutílek, 1978) a Císlerové (Císlerová, 1989).

Infiltrací rozumíme proces vsakování vody do půdy, které nastává při srážkách nebo při zavlažování. Faktory, které ovlivňují infiltraci, jsou následující:

• fyzikálně-vodní vlastnosti a stav půdy, • transport vody závisí především na velikosti, množství, spojitosti a

geometrii kanálků v půdě, které určují propustnost půdy. Ta je tedy závislá na velikosti půdních částic, na stupni agregace mezi jednotlivými půdními částicemi a na uspořádání půdních částic a agregátů,

• vegetační kryt půdního povrchu, • počáteční vlhkost půdy, • intenzita a trvání srážek, • chemické látky přidané do půdy.

Pro praktické potřeby potřebujeme znát pojmy:

intenzita infiltrace (rychlost) v [mm/min], [l/s/ha] - množství, které se vsákne do půdy za jednotku času, velikost infiltrace (kumulativní infiltrace, tloušťka vrstvy infiltrované vody) i [mm] - je množství vody, které se vsákne do půdy od počátku vsaku do doby t (pozn.: označení veličiny je zažité v hydropedologii a je shodné s označením intenzity srážky používaným v hydrologii. Mezi těmito veličinami je třeba důsledně rozlišovat), potenciální infiltrace je maximální možná intenzita vsaku při optimálním režimu sycení, aktuální infiltrace je okamžitá intenzita vsaku do půdy za konkrétní hydrologické situace. Podle tlakových poměrů na povrchu půdy se rozlišuje: tlaková infiltrace - probíhá pod vlivem výšky vodního sloupce z rezervoáru na povrchu (z poldru, rybníku, nádrže, vodního toku, závlahového příkopu), nebo na povrch je přiváděno více vody, než stačí infiltrovat (intenzita srážky je větší než intenzita vsaku), beztlaková (volná) infiltrace - když na povrch je přiváděno jen tolik srážek, kolik jich stačí infiltrovat.

- 99 (213) -

Podle stability okrajových podmínek se rozlišuje:

ustálená infiltrace (systém je v rovnováze) - může nastat tehdy, jestliže čelo infiltrující vody dosáhne hladinu podzemní vody, za předpokladu že: hladina podzemní vody se udržuje na konstantní úrovni, přítok vody na povrch je konstantní, intenzita infiltrace se rovná průtoku vody v každém bodě půdního profilu, vlhkost půdy v každém bodě vyšetřovaného půdního profilu je po dobu infiltrace konstantní. Ustálené infiltrace se prakticky dosahuje jen v laboratorních podmínkách. neustálená infiltrace (přechodový jev mezi rovnovážnými stavy systému) - intenzita infiltrace se s průběhem času mění, tj. v = f(t). Závislost se nazývá vsakovací schopnost půdy a její grafické vyjádření vsakovací křivka půdy, kde na ose X se udává doba trvání infiltrace t [min] a na ose Y se udává intenzita infiltrace v [mm/min]. Charakteristické jsou hodnoty:

- vi - počáteční infiltrace - vc - ustálená (trvající) infiltrace, vc ≈ K, kde K je hydraulická vodivost v nasyceném prostředí.

Intenzita a velikost infiltrace se při řešení praktických úloh počítá podle empirických rovnic.

4.2.2 Měření potenciální infiltrace

K experimentálnímu stanovení průběhu potenciální infiltrace v polních podmínkách slouží infiltrační pokus. V průběhu pokusu se zpravidla udržuje uvnitř kruhového infiltračního válce tenká vrstva vody a měří se rychlost, kterou voda zasakuje. Při infiltračním pokusu určujeme závislost infiltrační schopnosti i na čase t buď v infiltračním válci nebo ve dvou soustředných válcích, příp. ve velkých infiltrometrech různých půdorysných tvarů. Snažíme se vždy dosáhnout svislého proudění vody do půdy bez roztékání, takže velikost infiltrometru volíme co největší. Při malých rozměrech se projevuje vliv roztékání, které zvyšuje infiltrační schopnost a rychlost až několikanásobně proti skutečným hodnotám. Pro písčité půdy volíme minimální průměr válce (vnějšího válce u soustředných infiltrometrů) 50-60 cm, pro hlinité, středně propustné půdy 80-100 cm, pro těžké půdy více jak 100 cm. Hloubku zaražení válce volíme pro zamezení roztékání co největší, prakticky používáme hloubky 10-20 cm. Při srovnání naměřených hodnot přihlížíme vždy ke geometrickým rozměrům válců.

Při měření v soustředných válcích měříme ve vnitřním válci, ve vnějším vodu doplňujeme na stejnou úroveň. Velikost přetlaku vody volíme co nejmenší, prakticky od 1,0 do 3,0 cm a udržujeme ji buď Mariottovou lahví pro dlouhá měření anebo hrotovými měřidly pro krátkodobá měření. Vliv hloubky vody na povrchu (okrajová podmínka) je pro střední a těžké půdy zanedbatelný, u lehkých půd však zejména v počátcích měření zvyšuje hodnoty infiltrační schopnosti a rychlosti.

Poměr plochy vnitřního a vnějšího válce volíme obvykle 1:2 až 1:3. Při měření s hrotovými měřítky používáme dva hroty vzdálené od sebe konstantně 0,5 cm.


- 100 (213) -

Množství dolévané vody potřebné pro nasycení 10 cm půdy pro vlhkost bodu vadnutí [BV] a polní kapacity [PK] pro různé druhy půd udává tab. 4.1.

Tab. 4.1: Vlhkost BK a PV u různých půd

BV PK BV PK BV PK35,7 10 0,5 4,0 2,5 3,5 2,0 2,0 1,043,7 15 0,8 6,0 3,75 5,25 3,0 3,0 1,550,5 20 1,0 8,0 5,0 7,0 4,0 4,0 2,061,8 30 1,5 12,0 7,5 105,0 6,0 6,0 3,071,4 40 2,0 16,0 10,0 14,0 8,0 8,0 4,079,8 50 2,5 20,0 12,5 17,5 10,0 10,0 5,087,4 60 3,0 24,0 15,0 21,0 12,0 12,0 6,094,4 70 3,5 28,0 17,5 24,5 14,0 14,0 7,0100,8 80 4,0 32,0 20,0 28,0 16,0 16,0 8,0

množství vody pro nasycení 10cm půdy lehké střední těžképrůměr

válce [cm]plocha [dm2]

množství vody na 0,5cm [l]

Poznámka Bodem vadnutí rozumíme vlhkost v půdě, kdy rostlina není dostatečně zásobena vodou a vadne. Vodu nad bodem vadnutí označujeme jako fyziologicky využitelnou, pod bodem vadnutí jako vodu fyziologicky nevyužitelnou, čili mrtvou. Polní kapacitou se rozumí množství vody, které je udržováno půdou v málo pohyblivém stavu. Její hodnota závisí kromě charakteru zeminy i na hloubce hladiny podzemní vody, vlhkosti půdy a homogenitě profilu.

Měříme-li s Mariottovou lahví, používáme pro průměr vnitřního válce 35,7 cm láhev objemu 20-30 l, pro válec 87,4 cm láhev 100-120 l. Výšku vody ve válci regulujeme seškrcením přívodní hadice. Povrch zeminy ve válci zakrýváme buď ochrannou děrovanou deskou nebo pískovou vrstvou 1-1,5 cm. Před každým měřením stanovujeme momentální vlhkost.

Před měřením pečlivě očistíme povrch půdy a vyrovnáme ho do vodorovné pomocí libely. Válce zatlačíme nejlépe nakládáním zátěže na horní vyztužený okraj. Utěsníme zeminu kolem stěn válců a osadíme ochrannou deskou s hroty nebo posypeme zeminu ochrannou vrstvou písku. Při měření s hroty vycházíme z hladiny v úrovni horního hrotu, podle výšky hrotu nad zeminou nalijeme počáteční množství vody. Po vynoření spodního hrotu změříme čas a nalijeme odměrkou zvolené množství vody. Ve vnějším válci pravidelně doplňujeme hladinu na stejnou úroveň. Při měření s Mariottovou láhví zapisujeme čas a čtení na láhvi. Měření provádíme buď do ustálení, které trvá někdy i několik dnů nebo častěji zkracujeme na 3-5 hod. a další průběh určujeme výpočtem. Při dlouhodobých měřeních válce zakrýváme pro zabránění výparu. Princip osazení válců do terénu je znázorněn na obr. 4.4.

Při měření je třeba si dávat pozor zejména na následující chyby:

• porušení půdy při zatlačování válců – utěsníme štěrbinu zeminou

• voda vsakuje otvorem po kořínku, trhlinou apod. – změníme místo pokusu průběh infiltrace nesplňuje teoretické vzorce Philipovy, může to být způsobeno bobtnáním a rozpadem agregátů, roztékáním vody při malém průměru válců a malé hloubce zaražení, existencí vrstev

- 101 (213) -

s různými vlastnostmi v půdním profilu (zlom na infiltrační křivce) vlivem stlačeného vzduchu nad hladinou podzemní vody nebo nad nepropustným horizontem, nerovnoměrným rozdělením vlhkosti. V tomto případě nelze stanovit z měření koeficient filtrace.

Obr. 4.4: Měření infiltrace se soustřednými válci A-hrotová měřidla,

B-Mariottova láhev

4.2.2.1 Vyhodnocení měření

Jestliže je k povrchu půdy přiváděna voda právě takovou rychlostí, jakou se vsakuje, zjišťujeme maximální hodnotu rychlosti infiltrace, nazývanou též vsakovací schopnost. Rychlost infiltrace je potom proměnná

dtA

dVv⋅

= , (4.4)

kde V je objem vody přiváděný na plochu A v čase t. Celkové množství vody, které zasáklo do půdy od začátku infiltrace, se nazývá kumulativní infiltrace

AVi = , (4.5)

tedy

dtdivdtvi

t

=⋅= ∫ ,0

. (4.6)

Vztahy v(t), i(t) jsou v obecné formě na obr.4.5A. Jsou ovlivněny i počáteční vlhkostí Θi před začátkem infiltrace. Po delším čase se rychlost infiltrace již prakticky nemění, je konstantní o hodnotě vc a kumulativní infiltrace potom vzrůstá s časem lineárně. Tento stav se někdy označuje jako kvazistacionární. Voda vniká do homogenní půdy jako píst, který se s postupem času zasunuje hlouběji do půdy. Místní nehomogenity tuto pravidelnost sice narušují, viz obr. 4.5B, jestliže však vlhkosti zprůměrňujeme na větší ploše, stále dostáváme téměř krabicové či stupňovité profily dle obr. 4.5Ca. Na vlhkostním profilu rozeznáváme zónu nasycení, do níž zahrnujeme i přechodnou zónu. Obě dohromady mají mocnost několik mm až cm. Zdá se, že tato zóna vzniká v důsledku zhutnění povrchu a ztráty struktury, tedy v homogenní půdě by vlhkostní profil více odpovídal poměrům v obr.4.5Cb. Pod touto zónou je


- 102 (213) -

mocná zóna přenosu, kde 0=Θ dzd . Mocnost této zóny vzrůstá s trváním infiltrace. Celý vlhkostní profil je ukončen zónou zvlhčení, která je zespodu ohraničená čelem zvlhčení. Ve skutečných poměrech bývá čelo zvlhčení ukloněno, viz obr.4.5Cb.

V mnoho případech se vlhkostní profil v terénu liší od popsaného schématu, zvláště když půda není homogenní, když je před čelem zvlhčení uzavřený vzduch, který nemá možnost uniknout, nebo když je počáteční vlhkost více proměnná s hloubkou. V teoretickém řešení se však zaměříme na jednodušší poměry. Závislost v(t), popřípadě i(t) se stanoví výše popsaným infiltračním pokusem.

Důležitá je především proměnná hodnota rychlosti infiltrace v čase, a proto byly dlouho opomíjeny fyzikální aspekty infiltrace a byla dávána přednost empirickým rovnicím. Přehled těchto rovnic je uspořádán v tab.4.2. V odvození se vyskytly dva směry.

Obr. 4.5: A - infiltrační a kumulativní křivka, B - zvlhčení půdy ve třech různých profilech, C - časový průběh vlhkosti v závislosti na hloubce při

infiltraci vody do půdy

První směr vychází z hyperbolického tvaru křivky (Kostjakova rovnice).

Kostjakov

v = vi* . t-α , (4.7)

kde značí:

vi* - počáteční infiltrace (závislá na počáteční vlhkosti půdy, sklonu území,

intenzitě srážek), α - exponent závislý na půdních poměrech = 0,2-0,6 (pro ulehlé a písčité půdy 0,2 ; pro půdy s vyvinutou strukturou v humózním horizontu 0,2-0,4 ; pro půdy hlinité a těžší 0,4-0,6)

Protože však pro ∞→t není 0→v , ale cvv → , posunul Mezencev souřadnici hyperboly a Dvořák definoval fyzikální význam jednotlivých koeficientů.

- 103 (213) -

Druhý směr předpokládá analogii s přírodními procesy probíhajícími podle exponenciálního vztahu. Rychlost, s níž se proměnná přibližuje své konečné podobě je úměrná zbytku (tj. rozdílu mezi momentální a konečnou hodnotou proměnné). Tímto postupem odvodili Gardner a Widtsoe rovnici podobnou jako později Horton.

Horton

v = vc + (vi – vc) e-γt (4.8) kde značí: vi - počáteční infiltrace vc - ustálená (trvající) infiltrace γ - exponent závislý na vodních vlastnostech půdy

Kostjakova rovnice je vhodná pouze pro začátek infiltrace. Empirický koeficient α má hodnotu 0,2-0,8 podle vlastností půdy a počáteční vlhkosti. Při vzrůstu počáteční vlhkosti Θi klesá α podobně jako v1 (infiltrační rychlost na konci první časové jednotky, obvykle 1 min.). Podobný průběh mají i koeficienty β a v1 v Mezencevově rovnici, i když rozmezí hodnot β je menší.

Tab. 4.2: Empirické infiltrační rovnice

Metody popsané v tab.4.2 zjednodušeně popisují pouze časový průběh infiltrace vody do půdy. Celý proces infiltrace je však mnohem složitější a závisí na počátečním rozdělení vlhkosti vody v půdním horizontu a na hydraulických vlastnostech půdy. Pro přesnější popis procesu se proto využívají rovnice Richardsona, Greena-Ampta a další.

Rovnice Richardse

Prodění vody v nanasycené půdní zóně popisuje rovnice Richardse, kterou je možno psát pro jeden rozměr pro vlhkost půdy θ(x,t) nebo tlak vody v půdě h(x,t). Pro změnu tlaku vody v půdě h(x,t) platí


- 104 (213) -

,1.)(..)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂

=∂∂

dxdhhK

dxthhC (4.9)

kde • C(h) = dθ/dh je retenční vlhkostní kapacita. Závislost h(θ) je retenční

křivka půdy, která se stanovuje experimentálně (tlakový přístroj, pískový tank, Richardsonův přístroj),

• K(h) je hydraulická vodivost v nenasyceném prostředí, • x, t jsou hloubka od povrchu terénu a čas. Řešení uvedené rovnice představuje řešení evolučního problému. Je třeba zadat počáteční podmínku, kterou představuje h(x,0) okrajové podmínky h(0,t) a h(L,t), kde L je hloubka modelovaného půdního profilu.

Protože oba koeficienty C(h) a K(h) jsou funkcí řešené veličiny, je numerické řešení úlohy obtížné. Vedle diferenčních metod, resp. kombinace diferenční metody a metody konečných prvků se při krokování úlohy může využít metoda predikce-korekce.

Rovnice Richardse poskytuje poměrně spolehlivé výsledky především pro písčité a hlinitopísčité půdy. Pro řešení těžkých a jílovitých půd je její použití problematické.

Metoda Greena a Ampta Z fyzikálních popisů je nejjednodušší metoda Greena a Ampta, kdy se předpokládá, že vlhkostní profil má tvar krabice nebo schodu. Metoda je dobře použitelná pro výpočty v rámci matematických modelů srážkoodtokového procesu v povodí a stala se v modelech tohoto typu určitým standardem.

Předpokládejme homogenní půdní profil s konstantní počáteční vlhkostí, kdy 0=Θ dzd i , s hladinou vody na povrchu o konstantní úrovni .0 konsth =

Vlhkostní profil při infiltraci Θ(z) má krabicový tvar s přesně definovaným čelem zvlhčení na hloubce Lf. Index f používáme pro všechny hodnoty na čele zvlhčení. Velký gradient potenciálu, který zde působí a který urychluje proudění, nahradíme tlakovou výškou Hf.

Její hodnota je dle Benetina totožná s účinnou nebo náhradní kapilární výškou, pro jejíž určení byla vypracovaná grafická a výpočtová metoda. Vychází se z retenční čáry a z počáteční vlhkosti půdy. Přibližně se rovná 50% maximální kapilární výšky při nízké počáteční vlhkosti půdy. Lze odvodit vztah

∫ ⋅=fH

f dHkK

H0

1 . (4.10)

Dosazením za k(H) z rovnice

( )HcKk ⋅⋅= exp , (4.11)

kde K … hydraulická vodivost k … nenasycená vodivost c … empirická konstanta v rozmezí 0,1-0,005 cm-1 H … tlaková výška

- 105 (213) -

dostáváme pro 310−≤iH cm přibližný výraz 1−≈ cH f . U suchých půd je Hf v rozmezí 10-100 cm, se vzrůstem vlhkosti klesá hodnota Hf. V metodě Greena a Ampta se předpokládá, že nad čelem zvlhčení je konstantní vlhkost a půda je nasycena, takže zde platí zákonitosti nasyceného proudění. Tyto předpoklady se blíží skutečnosti u písčitých půd, zatímco u hlinitých a těžších půd je čelo zvlhčení difúzní a profil vlhkosti není krabicový (obr.4.6). Odchylky tohoto typu popsal Císler (Semotán, Císler, Kutílek, 1967).

Teoreticky je postup založen na odhadu tvaru řešení. Odhad je vložen do integrálu proměnné, která má být eliminována. Z Richardovy rovnice v difúzním tvaru

zd

dkz

Dzt ∂

Θ∂⋅

Θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Θ∂

∂∂

=∂Θ∂ , (4.12)

je tedy vyřazena proměnná Θ a předpokládaný krabicový profil vlhkosti se tvarově nemění během proudění, ale pouze posunuje ve směru proudění.

Obr. 4.6: Odvození základních parametrů rovnice Greena a Ampta

Podle Darcyho vztahu platí

f

ff

LLHh

Kv+−

⋅= 0 . (4.13)

Při zanedbání vlivu gravitace, což je buď vyhovující zjednodušení pro počáteční období infiltrace, nebo platná úvaha pro infiltraci ve vodorovném směru dle (4.6)

f

f

LHh

Kdtdi −

⋅= 0 . (4.14)

Protože ( )iff LLi Θ−Θ⋅=ΔΘ⋅= 0 , kde Θi je počáteční vlhkost, Θ0 je vlhkost na povrchu, se rovná vlhkosti nasycení, bude


- 106 (213) -

dtdL

dtdi fΔΘ= , (4.15)

a kombinací těchto rovnic

∫∫ ΔΘ−

=t

fL

ff dtHh

KdLLf

0

0

0

. (4.16)

Po integraci

21

02 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

ΔΘ

−= t

HhKL f

f , (4.17)

tedy postup čela zvlhčení závisí na t1/2 a

( )[ ] 21

02 tHhKi f ⋅ΔΘ−= , (4.18)

( )[ ] 21

21

0221 −

⋅ΔΘ−= tHhKv f , (4.19)

což je analogie Kostjakovy rovnice (viz tab.4.2), jestliže

21

=α , (4.20)

( )[ ] 210

*1 2

21

ΔΘ−= fHhKv . (4.21)

Jestliže nezanedbáváme gravitaci, je (4.13) upravena:

f

f

LHh

KKv−

+= 0 , (4.22)

fLBAv 1

+= , (4.23)

( )fHhKBKA −== 0, . (4.24)

Kombinací s (4.6) a (4.14) dostáváme

f

ff

LBLA

dtdL +⋅

=ΔΘ . (4.25)

Po separaci proměnných, integrací v mezích (0, t), (0, Lf) a po zpětném dosazení za A, B dostáváme

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−−

ΔΘ=

f

fff Hh

LHhL

Kt

00 1ln . (4.26)

Použijeme-li bezrozměrné parametry

( )fHhtKT

−ΔΘ⋅

=0

* , (4.27)

- 107 (213) -

( )fHhiJ−ΔΘ

=0

* , (4.28)

obdržíme

( )*** 1ln JJT +−= . (4.29)

Rovnice (4.29) je obdobou Philipova odvození. Rovnice se vyhodnocuje graficky, metodou popsanou Semotánem (Semotán, Císler, Kutílek, 1967).

Grafická Philipova metoda Philipova rovnice (1957) lépe vystihuje fyzikální proces infiltrace:

tBtSi ⋅+⋅= 21

, (4.30)

BtSv +⋅= − 21

21 . (4.31)

Vyneseme hodnoty i a t v normálním měřítku a z vyrovnané křivky zvolíme dvě dvojice hodnot i1, t1, i2, t2. Hodnoty B a S vypočteme ze dvou rovnic o dvou neznámých. Hodnota S se nazývá sorptivita [ 2

1−⋅TL ] a je charakteristická pro počáteční vsak podobně jako hodnota B v Kostjakově rovnici. Philipova konstanta B charakterizuje dlouhodobou infiltraci, není však rovna koeficientu filtrace.

Obr. x Vyhodnocení časového průběhu infiltrace dle Philipových rovnic

Obr. 4.7: Časový průběh infiltrace dle Philipových rovnic

Jako rovnici, z níž lze stanovit koeficient filtrace, lze použít druhou Philipovu rovnici:


- 108 (213) -

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅=

ZiZiYt 1ln , (4.32)

jež platí pro infiltraci v homogenní půdě s konstantní počáteční vlhkostí m0. Hodnota Y a Z,

mmHPZ

KY

−+

==0

;1 , (4.33)

kde P je kapilární tlak v cm, působící při infiltraci, H výška vody na povrchu, m vlhkost půdy po prosáknutí vody. Parametry Y a Z určíme opět z vyrovnané křivky i, t a ze dvou hodnot i1, t1, i2, t2 vybraných tak, aby poměr α=12 ii , kde α = 1,5; 2,0; 2,5. Poměr odpovídající časům 12 tt je dán vztahem:

α

αα

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅⋅

−=

Zi

iZ

Zi

iZ

tt

1

1

1

1

1

2

1ln1

1ln1. (4.34)

Hodnotu 12 tt spočítáme z pomocných grafů pro α = 1,5; 2,0; 2,5. Stanovíme odpovídající poměr Zi1 z rovnice (4.34). Z obr.4.8 odečteme:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−=

Zi

iZ 1

1

1ln1β . (4.35)

Hodnotu koeficientu propustnosti K a parametru Z stanovíme ze vztahů:

ZiiZ

tiK

1

1

1

1 ; =⋅= β . (4.36)

Za skutečně exaktní řešení infiltrace lze považovat pouze postupy, jimiž se řeší fyzikální rovnice proudění typu nasyceně-nenasycené zóny pro okrajové podmínky a počáteční podmínky infiltrace. Tyto rovnice (Fokker-Planckovy) jsou silně nelineární a jejich analytické řešení v uzavřené formě není možné. Je třeba využít numerické metody.

- 109 (213) -

Obr. 4.8: Monogram pro vyhodnocení infiltrace dle Philipovy rovnice

Existuje několik typů řešení:

• Na základě podobnosti s použitím Boltzmannovy transformace se řeší pro horizontální infiltraci rovnice v difúzním tvaru. Výsledky jsou použitelné u všech půd při počátečním stadiu infiltrace a u těžkých půd jako obecné řešení infiltrace. Postup je stejný jako při řešení difúzní rovnice s proměnnou difuzivitu D.

• U pertubační metody se zabýváme nejprve jedním členem difúzní rovnice, obvykle je to difúzní člen, potom se bere v úvahu gravitační člen a řešení se opravuje o tento krok atd. K nejznámějším postupům patří metoda Philipova, dále ji použil Parlange a ve značně změněné úpravě podle metody deformace souřadnic ji rozvinuli Morel-Seytoux a Noblanc, kteří naopak v prvním kroku zanedbali difúzní člen. Philipovo řešení lze pokládat za pionýrský čin v půdní fyzice.

• V asymptotickém řešení pomocí rázové vlny se předpokládá, že dolů postupuje vlna o konstantním tvaru.

• Kirchhoffovou transformací lze docílit linearizace rovnice pro určité případy okrajových podmínek a pro heterogenní prostředí.

• U integrální metody se předpokládá podobnost vlhkostních profilů a z diferenciální rovnice se takto eliminuje proměnná Θ. K této metodě patří i postup podle Greena a Ampta.

4.2.3 Vztahy mezi srážkou, infiltrací a odtokem

Ve všech uvedených teoriích a postupech se předpokládá, že půdní vzduch vytváří kontinuum se vzduchem atmosférickým. Jestliže je před čelem zvlhčení méně propustná vrstva s vyšší vlhkostí nebo hladina podzemní vody, stlačuje se vzduch mezi nasycenými zónami a působí jako bariéra proti dalšímu postupu čela zvlhčení a infiltrované vody. Rychlost infiltrace se proto řádově snižuje. Jestliže tlak půdního vzduchu překročí vstupní hodnotu vzduchu HV v zóně přenosu, probublá vzduch vzhůru, půda se mírně drénuje a ihned potom nastává prudké zvýšení rychlosti infiltrace viz obr.4.9. Infiltrace se v tomto případě řeší jako dvoufázové proudění vody a vzduchu.

V teoretickém řešení se zatím vychází z makroskopických měření a předpokládá se, že v čase t=0 se povrchová vlhkost zvýší z Θi na Θ0. Avšak infiltrace ze srážek má zcela jiný průběh. Na povrch dopadají jednotlivé kapky, půda se v oddělených ploškách zvlhčuje a před dalším dopadem kapky drénuje, takže infiltrace probíhá jako řada přerušovaných mikroprocesů zvlhčení a odvodnění se zřetelnou hysterezí. Navíc podmínka změny vlhkosti na povrchu z Θi do Θ0 skokem neodpovídá skutečným procesům. Znamená to tedy, že popsaná fyzikální teorie je exaktní pouze pro přijatý model, který po určitém zjednodušení nahrazuje skutečnou situaci. Při infiltraci ze srážky je ještě třeba změnit okrajovou podmínku, na z=0, pro t>0 je zadán průtok.


- 110 (213) -

Obr 4.9: Infiltrační čára v(t) při uzavření vzduchu před čelem zvlhčení, v závislosti

na tlaku vzduchu p(t)

Infiltrací je rozdělena srážka na podíl doplňující zásoby půdní vody v profilu a na podíl vody povrchově odtékající. Na infiltračním přítoku závisí růst vegetace, dále je infiltrace zdrojem pro doplňování podzemních vod. Ta část srážkové vody, která se vsákne, protéká půdním profilem, horninovým podložím a rezervoáry podzemních vod, než se její podíl dostane do vodních toků. Protože tento průtok půdním a horninovým porézním prostředím je velmi pomalý ve srovnání s rychlostí povrchového odtoku, způsobuje velká infiltrace zpomalení oběhu vody. Toto zpomalení je obecně příznivý jev, zatímco urychlení hydrologického cyklu při malé infiltraci je nežádoucí. Proveďme proto stručný rozbor vztahů mezi srážkou, infiltrací a povrchovým odtokem. Tím bude zároveň ukázáno, jak lze používat základní poznatky o infiltraci.

Z hydrologického hlediska rozeznáváme dva typy vztahů mezi infiltrací a intenzitou srážky. Na obr. 4.10 je znázorněna infiltrační čára z výtopy čárkovaně jako v(t). Do stejného grafu je zakreslena intenzita srážky vs, pro jednoduchost je v obr. 4.10 vs=konst.

Intenzita srážky cs vv ≤ . Povrchový odtok nenastává, celá srážka se zasákne; značeno jako A.

Intenzita srážky cs vv > . Rozeznáváme dvě fáze: B1- srážka v této fázi nezpůsobuje povrchový odtok a zasákne se. Tato fáze je časově vázána na interval ptt ≤<0 . B2- určitý podíl ze srážky se vsakuje, avšak s časem vzrůstá podíl povrchového odtoku, jestliže vs=konst. Přechod mezi B1 a B2, značený symbolem tp, nazývejme počátek výtopy. Přibližně odpovídá počátku povrchového odtoku. Hodnota xp tt > , kde tx je časový úsek odpovídající průsečíku čáry infiltrace v(t) s čárou srážky vs(t). Čára infiltrace i v této úvaze značí rychlost pro poměry tlakové výšky na povrchu 00 →h , tj. prakticky je stanovena výtopou při velmi nízké výšce hladiny výtopové vody nad povrchem půdy.

Vlhkost půdy a tlaková výška H0 půdní vody na povrchu ve fázi B1 vyplývají z Darcyho-Buckinghamovy rovnice

- 111 (213) -

00

1kv

dzdH s−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

, (4.37) kde indexem 0 označíme poměry na povrchu půdy, tedy pro z=0. Protože vs>vc, neboli vs>K při Kvc ≈ , a protože K>k0, platí nerovnost vs/k0>1. Potom tedy (dH/dz)<0. Použijeme-li Green-Amptovu rovnici, platí pro skutečnou rychlost probíhající infiltrace dané srážky vi=vs vztah

( )f

ffi L

HHLHkv 0

0

+−= , (4.38)

kde H0 je záporná tlaková výška na povrchu půdy. Pro 0→t je 0→fL a proto fo HH → . Aby se dodržela pro t<tp podmínka vi=vs=konst., musí H0 s časem vzrůstat, až při t=tp je H0=0. Proto také ve fázi B1 platí (dΘ/dt)0>0, podobně je i ( ) 0<dtdH f .

Obr. 4.10: Infiltrační čára v(t), čára intenzity srážky vs(t) a z nich vyplývající čas počátku výtopy tp

Počátek výtopy (nebo povrchového odtoku, kdy povrch je ideálně rovný) tp se stanoví z podmínky, že kumulativní srážka v čase tp se rovná kumulativní infiltraci v čase tx, kdy se protíná čára rychlosti infiltrace s čárou intenzity srážky, neboli rychlost infiltrace ze srážky v čase tp musí být stejná jako rychlost infiltrace z výtopy v čase tx.

Použijeme-li infiltrační teorii Green-Ampta, předpokládáme, že půda je v čase tp plně nasycena do hloubky Lf=vstp/(Θs- Θi) a s použitím rovnice (4.13), v níž uvážíme v=vs, se obdrží pro Hf=-1/c


- 112 (213) -

Obr. 4.11: Grafické řešení počátku výtopy převedené do bezrozměrného tvaru

( )KvvcKt

ssp −

ΔΘ⋅= , (4.39)

kde empirická konstanta c = 0,1-0,005cm-1. Rovnice (4.39) je vynesena v bezrozměrném tvaru v obr. 4.11. Jestliže intenzita srážky vs není konstantní, jsou výpočty tp podstatně obtížnější a postupně se iterují.

Rychlost infiltrace pro t>tp lze odvodit pomocí metody Greena a Ampta pro 1−≈ cH f . Dosazením do

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+⋅=

fLcKv 11 , (4.40)

za ΔΘ= iL f se obdrží

iic

cKv ΔΘ+⋅

⋅= , (4.41)

a pro dtdiv = se po separaci proměnných získá

∫∫ ΔΘ+⋅=

> i

i

tt

t p

p

p

diic

idtcK . (4.42)

Integrací, dosazením za tp, ip a úpravou se obdrží .

( )**** 1ln IIII iiit −+−= . (4.43)

Rovnice je formálně podobná rovnici (4.29), ovšem výrazy pro bezrozměrné parametry jsou odlišné:

- 113 (213) -

ΔΘ⋅⋅⋅

=ΔΘ⋅

ΔΘ⋅−⋅⋅=

ΔΘ=

sII

sI v

KiciK

KvicitKct *** ;; . (4.44)

Podstatně jednodušší je upravený empirický vztah, který byl odvozen z Mezencevovy rovnice – tab.4.2:

( ) ( )[ ] β−−−−+= xpcc tttvvvv **1 . (4.45)

Rovnice vystihuje poměry pouze přibližně, v přesném postupu bychom vycházeli z difúzní rovnice, kterou bychom řešili pro okrajovou podmínku průtoku vs na z = 0 při t > 0. Tyto a podobné úkoly se řeší pomocí numerických metod, zejména diferenční metodou.

Jestliže voda vsakuje do rozpukané půdy, může dojít k povrchovému odtoku teoreticky až po vyplnění všech puklin vodou. Ke kumulativní infiltraci vody do půdy je proto ještě třeba přičíst objem vody v puklinách.

Při přesnějším způsobu řešení je nutné uvážit i zvětšení plochy, na níž dochází k infiltraci, o poměrné číslo n.

α⋅⋅= rc Aln 02 . (4.46)

Po určitém zjednodušení obdržíme pro postup podle Greena a Amora

(4.47)

(4.48)

kde: Ac0 … plocha puklin na topografickém povrchu Ar … reprezentativní plocha α … koeficient v mezích 0,02-0,1 cm-1 lco … délka sítě puklin na reprezentativní ploše

Z praxe víme, že povrchový odtok někdy nastává u rozpukaných půd dříve, než se puklin zcela zaplní vodou, zvláště když síť puklin není příliš hustá. Každá puklina má potom vlastní „povodí“, které je opět závislé na mikroreliéfu, vegetaci a někdy i na intenzitě srážky. V takovém případě vyrovnaná rychlost infiltrace vc závisí na intenzitě srážky.

Počátek zatopení povrchu a přibližně i počátek povrchového odtoku bude mít hodnotu uvnitř intervalu jehož meze jsou dány vztahy (4.39) a (4.47).

4.2.4 Influkčně infiltrační schopnost půdy

V souvislosti s obdobím, kdy se vyskytovaly nadnormální srážky a povodňové situace, se v odborných kruzích začalo hovořit o hydrologických funkcích krajiny. Influkčně infiltrační schopnost půdy je definována jako maximální možná rychlost vnikání vody do půdního prostředí všemi existujícími dutinami,

sssp v

Bcv

KBBcv

Kt 1212 11 +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−+ΔΘ⋅⋅

=α

0

02

01

2;c

c

r

c

AlB

AAB ⋅

=⋅

=α


- 114 (213) -

bez ohledu na jejich původ, velikost a tvar v půdně-litologickém prostředí, dosažená bez tlakové výšky na povrchu terénu.

Hlavními nositeli této vlastnosti jsou pedohydatody, neboli nejúčinnější póry v půdním prostředí, které jsou představovány různými dutinami či plochými prvky diskontinuity prostředí, vznikající např. v důsledku objemových změn a především póry biogenního původu (dutiny po kořenech rostlin, chodbičky živočichů).

Z tohoto hlediska jsou významné zejména tzv. anecické druhy žížal, jejichž spontánní předdešťová migrace do svrchních vrstev půdy způsobuje bezprostřední přípravu a otevření rozhodujících cest srážkové vody.

Z výše uvedeného je zřejmé, že pohyb vody nelze charakterizovat jako laminární proudění s platností Darcyho zákona, ale rychlost vody je již úměrná k mocninnému vyjádření hydraulického spádu. Na obr. 4.12 je pro lepší představu znázorněn průběh skutečné a teoretické infiltrace.

Při měřeních je nutno dodržovat zcela specifická opatření a postupy. Jako nejvhodnější způsob měrného zařízení je doporučeno dvourámové měřící zařízení - obr.4.13. Místo vnějšího rámu lze ve vhodných podmínkách použít zahrázkování.

Zařízení musí být schopno udržet reprezentativní měrnou plochu, která může být, na rozdíl od měření infiltrační schopnosti, různě velká. Minimální plochu měření určujeme dle zastoupení živočišných pedohydatod. Nejrychleji se tato plocha stanoví dle grafu, kam vynášíme počet živočichů v závislosti na ploše výskytu. Před měřením povrch zásadně neurovnáváme.

Obr. 4.12: Skutečný průběh infiltrace a teoretický průběh infiltrace stanovený

na základě numerického řešení dle Philipa

Návrhová influkčně-infiltrační rychlost se určí ze vztahu:

- 115 (213) -

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅

−⋅=

∑∑∑

∑∑∑∑

===

====n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iN

Hv

Hvn

Hvv

Hv

V

111

1111

2

1ln1ln

1lnln1lnexp44,1 , (4.49)

kde: VN - nflukčně infiltrační rychlost (m/den) v - vyrovnaná influkčně infiltrační rychlost vypočítaná z experimentálně

získaných rychlostí (mm/min) H -vyrovnaná kumulativní influkčně infiltrační výška vypočítaná

z experimentálnězískaných hodnot (mm) n - počet dvojic v a H uplatněných ve výpočtu

Obr. 4.13: Dvourámové měřící zařízení

Influkčně infiltrační schopnost půdy je jednou z charakteristik, která ovlivňuje přeměnu povrchového odtoku na odtok podzemní a v návaznosti tedy celkové odtoko-průtokové poměry, distribuci vody v území, drenáž vody, změnu vodního režimu krajiny, rozmanitost rostlinných druhů, společenstev a typů prostředí a ovlivňuje tudíž i ekologicky definovaný rovnovážný stav krajiny.

V praxi je např. základním výpočtovým parametrem pro návrh vsakovacích pásů, průlehů, příkopů, základním podkladem pro přímé výpočty tzv. srážkové sorpce (velikost srážkového úhrnu, při kterém ještě nenastává povrchový odtok), při hodnocení a určování množství srážko-odtokových poměrů území, hodnocení vhodnosti zón území pro tvorbu podzemních vod apod.

Literatura (kap. 4.1) [1] J.Semotán, J.Císler, M.Kutílek: Praktikum vodohospodářské pedologie, SNTL 1967


- 116 (213) -

[2] M.Kutílek: Vodohospodářská pedologie, Praha, SNTL 1978 [3] M.Císlerová: Inženýrská hydropedologie, Praha, ČVUT 1989 [4] VÚMOP: Vědecké práce 11, Praha, VÚMOP 2000, ISSN 1210-1672 [5] VÚMOP: Soil And Water 2/2003, Praha, VÚMOP 2003, ISSN 1213-8673

4.2.5 Navlhání

Dle Pechera činí tato hydraulická ztráta pro poměrně hladký a nepropustný povrch půdy cca 0,2 mm. Pro propustné půdy a drsný povrch pak činí cca 0,5 mm.

4.2.6 Povrchová retence

Pechera, Niemcovič a Kidd uvádí pro tuto hydraulickou ztrátu pro poměrně hladký a nepropustný povrch půdy cca 0,2 mm. Pro propustné půdy a drsný povrch pak cca 5 mm. Povrchová retence je však závislá na sklonu terénu. Pro větší sklony je nižší a naopak.

Způsob zemědělského obdělávání může podstatně ovlivnit povrchovou retenci (zadržování vody na povrchu půdy). Orba po svahu plošný povrchový odtok zrychluje, kdežto orba po vrstevnicích zadržuje spadlou vodu, dochází k postupnému vsakování a povrchový odtok je zpomalován. Zároveň je potlačována eroze půdy a splavováni půdních částic.

4.3 Vegetační pokryv

Vzhledem k celkové složitosti působení jsou rozdílné názory na vliv vegetačního pokryvu na odtok. Půda zakrytá vegetací je odolnější proti erozi, a proto je takový kryt vodohospodářsky výhodný. Tráva zdrsňuje povrch, zmenšuje proto rychlost odtoku a zvyšuje vsakování. Přijímá prosáklou vodu z půdy pro transpiraci a vrací ji do ovzduší. Nejdůležitějším z vegetačních činitelů je les. Nesporný je vyrovnávací účinek lesního porostu na rozdělení odtoku, zejména na sníženi velkých vod. Les poskytuje velmi důležitou ochranu půdy před půdní erozí. Příznivé účinky jsou však podmíněny správnou skladbou a polohou lesa. Nejlépe působí smíšený les, ve kterém je půda chráněna dobrým zápojem porostu a dostatečnou vrstvou humusu. Nejlepší vsakovací účinek má porost dubový a lipový, střední účinek mají modříny a břízy. Nejméně vody zadržují z dlouhotrvajících srážek smrkové porosty. Lesní hrabanka a humus pohlcují dešťovou vodu i tající sníh a chrání půdu před promrzáním, takže zlepšují jímací schopnost půdy pro vodu. Nejméně vhodný účinek na odtok má jednotný les smrkový a vůbec jehličnatý, který zatím v našich krajinách převládá.

Lesy mají zaujímat nejvyšší polohu v povodí, to jest zónu tvorby povodňových průtoků. Je to místo největších srážek a největšího sklonu, které potřebuje nejlepší ochranu proti erozi a nejlepší podmínky pro nejúčinnější vsáknutí vody dešťové i zimní vláhy. Právě v lesích se sníh nejrovnoměrněji rozprostírá a nejdéle se zde udržuje. Vzniklý proud podzemní vody zásobuje nižší polohy, rozhojňuje prameny a vyrovnává průtoky na tocích.

- 117 (213) -

4.4 Říční síť

Vodní tok, je koryto s vodou, která odtéká z povodí, a to trvale nebo po delší část roku. Jeho délkou, tedy délkou toku, rozumíme vzdálenost ústí od pramene měřenou po střednici toku. Ústí považujeme za počátek, vzdálenosti měřené na střednici od tohoto počátku označujeme jako staničení.

Začátek řeky tvoří pramen, ve velehorách často pramen ledovcový, někdy však řeka vytéká z jezera nebo z močálu. Horní tok řeky má velký sklon, řeka zde koryto vymílá, pak se však sklon zmírňuje a v dolní části se pevný materiál unášený vodou ukládá. Mezitím je úsek rovnováhy, kde nastává jen přenos materiálu bez další erozivní činnosti. Geologické složení ovlivňuje sklon i tvar údolí, na němž se mimo působení vody po výšce projevuje i boční eroze. Tato činnost vody nastává hlavně za velkých vod, a to nejen ve vlastním korytě, ale i v inundačním (zaplavovaném) území. Trasa říčního koryta nebývá přímočará, vine se v obloucích, které bývají protisměrné. Tato vlastnost toků se nazývá křivolakostí a označuje se koeficientem křivolakosti. Různé toky mají zpravidla rozdílnou vlnitost. Ta se při určování délky toků z mapových podkladů zohledňuje přenásobením délek příslušnými koeficienty - viz. obr. 4.14.

Obr. 4.14: Křivolakost toků - násobné koeficienty

Pohybujeme-li se po toku směrem dolů, přechází proudnice, tj. čára spojující místa největších hloubek, od jednoho břehu k druhému. Vlivem příčné cirkulace vody se u vnějšího (vypouklého - konkávního) břehu se koryto vymílá a u vnitřního (vydutého - konvexního) se vytváří nános. Přechod mezi oblouky tvoří brod. Zde je zpravidla koryto toku nejširší a voda tu proudí při malé hloubce.


- 118 (213) -

Obr. 4.15: Konkávní a konvexní břeh

Souhrn všech toků v určitém celkovém povodí tvoří říční síť. Tok, který se vlévá do moře je tokem 1. řádu. Příkladem může být Labe v Čechách. Do něj se vlévají toky 2. řádu, jejich přítoky jsou pak toky 3. řádu atd. Velký hlavní tok, který ústí do moře, je veletok. Obvyklé střední a větší toky nazýváme řekami. Horské potoky, které mají velký sklon, prudce se rozvodňují a silně vymílají koryto, nazýváme bystřinami.

Obr. 4.16: Řády toků

Hustota říční sítě je podíl Σ L na P, tj. součet délek všech povrchových toků povodí v km, dělený plochou celého povodí v km2.

.PLhrs

Σ= (4.49)

Celkové uspořádání říční sítě závisí na geologickém složení území. Příklady typických povodí jsou uvedeny na obr. 3.4.

- 119 (213) -

Vějířovité povodí je pro odtok velkých vod v dolní části nebezpečnější než povodí protáhlé. Zde se často ve stejném čase střetávají povodňové průtoky ze všech přítoků. Vliv uspořádání říční sítě se projevuje výrazně za povodní. Nepříznivé je, když doba postupu povodňové vlny na hlavním toku a na přítocích je přibližně stejná. Po soutoku se obě povodňové vlny střetnou a vznikne podstatně vyšší výsledná povodňová vlna. K střetnutí povodňových vln dochází např. u vějířovité říční sítě (Mže, Úhlava, Úslava a Radbuza u Plzně). U protáhlé stromovité říční sítě takovéto nebezpečí nehrozí.

Obr. 4.17: Typy říční sítě: a) asymetricky uspořádané, b) stromovité, c)

vějířovité, d) radiální, e) anulární, f) pravoúhlé

Kontrolní otázky

4.1. Vyjmenujte fyzikálně geometricé čínitele ovlivňující SOP?

4.2. Které metody můžete využít pro stanovení infiltrace?

4.3. Jak ovlivňuje vegetační pokryv SOP?

4.4. Vyjmenujte typy říční sítě.

5 Vodní stavy a průtoky

5.1 Vodní stavy a jejich pozorováni

V důsledku srážkoodtokového procesu v povodí se průtoky v říční síti neustále mění. To se nejzřetelněji projevuje klesáním hladin. Vztah mezi polohou hladiny vody v toku v určitém profilu (vodní stav) a odpovídajícím průtokem je


- 120 (213) -

při rovnoměrném ustáleném proudění jednoznačný a je dán měrnou křivkou (konsumpční křivka). Aby bylo možno určit průběh průtoku vody v určitém profilu, zřizují se na tocích měrné profily (vodočetné stanice), v nich se nepřetržitě měří vodní stavy a z nich se pak odvodí odpovídající průtoky. Měření vodních stavů má proto v hydrologii základní význam.

Vodočetné stanice mají výstižně charakterizovat určitý úsek toku a musí mít stabilní a pravidelné koryto; proudění zde nemá ovlivňovat žádná překážka nebo hladina druhého toku, průtok má být soustředěn v jednom korytě. Na hlavních tocích se stanice umísťují nad většími přítoky i pod nimi. Často také se měří hladiny u vodních děl: přepadů, plavebních komor.

Nejjednodušším zařízením pro měření vodních stavů jsou laťové vodočty. Jsou to dřevěná nebo plechová (smaltovaná) měřítka se zřetelným dělením výšky po 2 cm. Bývají svislé (na nábřežních zdech, pilířích nebo pilotách) nebo šikmé (na svazích břehů). Na vodních stavbách se někdy dělení vyhloubí přímo do betonu. Nulu vodočtu dáváme pod nejnižší známou hladinu, takže na rozdíl proti starším vodočtům, které měly nulu v jakési „střední hladině“, jsou všechny vodní stavy kladné. Pro každý vodočet je třeba znát staničení místa vodočtu, plochu povodí k profilu vodočtu a výšku nuly vodočtu vztaženou k třem pevným výškovým bodům.

Na důležitých vodočetných stanicích se zřizují limnigrafy, zapisující spojitě vodní stav na speciálním grafikonu, limnigramu. Nejčastější formou provedení je plovákový limnigraf.

Obr. 5.1: Limnigrafická stanice Ve svislé šachtě, která je vodorovným potrubím spojena a řečištěm, se při kolísání hladiny pohybuje plovák. Jeho svislý pohyb se ve vhodném zmenšení přenáší na buben s děleným papírem, otáčený hodinovým strojem. Záznamový papír se vyměňuje každý týden. V dočasných zařízeních stačí místo nákladné stavby jen prostá trouba, na kterou se osadí malý, plechem zakrytý limnigraf Záznamy v limnigrafu se musí pravidelně srovnávat s laťovým vodočtem, který se u limnigrafu vždy umísťuje. Pozorování na laťových vodočetných stanicích se provádí pravidelně třikrát denně, za povodně podle potřeby i po hodinách. V současnosti se limnigrafické stanice vybavují tlakovými sondami, které pomocí piezokrystalu určují tlak vody. Ten se pak v napojených

- 121 (213) -

registračních přístrojích (např. NOEL) po zvolených časových krocích zaznamenává a přepočítává na výšku vodního sloupce. Probíhá vzorkování. Vzniklý záznam vodního stavu je tedy vzorkovaný a je možno jej z registračního přístroje za určité období sejmout pomocí přenosného mikropočítače, nebo pomocí přenosných jednotek dálkově odečítat.

Poněvadž včasná znalost vodních stavů a průtoků je důležitá pro plavbu, využití vodní energie i pro stavby na řekách, podávají se informace o nich denně rozhlasem. Oznamují se přitom i jiné důležité jevy na řekách, třeba tvoření a odchod ledů. Zvlášť významná je varovná služba za velkých vod jako součást ochranné povodňové služby, na jejíž správné organizaci závisí bezpečnost pobřežních obyvatel, a která může zabránit velkým škodám.

Stále většího významu nabývá i služba předpovědní, která z pozorování předpovídá vývoj vodních stavů i průtoků. Hydrologické předpovědi jsou operativní, krátkodobé, střednědobé a dlouhodobé. V posledních letech nabývají na významu zejména předpovědi operativní a krátkodobé, které předpovídají povodňové průtoky na hodiny až dny dopředu a slouží zejména pro potřeby varovné služby a pro operativní řízení odtoku vody z povodí. Střednědobé a dlouhodobé předpovědí odhadují vývoj průtoku v následujících měsících, ročních obdobích nebo letech. Např. vodnosti v jarních měsících se předpovídají z podzimních a hlavně zimních srážek, ze sněhové pokrývky.

5.2 Měření průtoků

5.2.1 Přímé měření

Pouze v malých potocích nebo pramenech je možno určit průtok přímým měřením nádobou. V tomto případě odečítáme dobu t, za kterou se naplní nádoba známého objemu V:

tVQ = . (5.1)

Proud vody se buď zachytí korýtkem, nebo se přepaží stěnou s otvorem a tím pak soustředěně odtéká voda do nádoby. Měření se opakuje nejméně třikrát a vypočte se průměrný průtok.

5.2.2 Nepřímé měření

Ostatní nepřímé způsoby určení průtoku buď vycházejí z měření polohy hladin u přepadů, z poznatků hydrauliky o stanovení střední rychlosti, z měření rychlostí a konstrukce rychlostního pole, nebo vycházejí ze zředění přidávaných látek (dávkování chemikálií).

Pro měření přepadem se používá často ostrohranný obdélníkový přelivu Bazina nebo trojúhelníkový Thomsona. Výpočet Q na základě změřené přepadové výšky h se provede podle příslušných vzorců.

Pokud v pravidelných úsecích koryt toků považujeme proudění vody za ustálené rovnoměrné, dá se odhadnout Q podle vztahů platných pro tento


- 122 (213) -

způsob proudění, např. Chézyho rovnicí. Je třeba proměřit (sondovací tyčí nebo nivelací) příčný průřez A [m2]. Nivelací polohy hladiny ve 2 průřezech je pak nutno určit rozdíl hladin ΔH [m]. Sklon hladiny i = ΔH/L , kde L je vzdálenost těchto průřezů. Obvykle je obtížné správně zvolit součinitel drsnosti n.

Obvykle se Q určuje na základě měření rychlostí. Vzhledem ke složitosti proudění vody bude nejméně přesné měření rychlosti plovákem. To slouží jen k přibližným odhadům rychlosti, ale je velmi jednoduché a lze jej využít při neplánovaných měřeních. Změří se největší povrchová rychlost vp v proudnici. Směrem potoku se vytyčí tři profily. V průřezu 1 se hodí do vody plovák a stopkami se zjistí doba t potřebná k proplutí dráhy L mezi průřezy 2 a 3. Vzdálenost L má být minimálně rovna šířce koryta, dráha rozběhu je větší, aby se plovák ustálil v proudnici. Měření platí pro průřez 2, jehož tvar a velikost A musíme proměřit. Odhad střední profilové (průřezové) rychlosti v dostaneme vynásobením vp součinitelem k:

kvv p≈ , (5.2)

kde pro běžné vodní toky k = 0,9 pro h ≥ 1,0 m a k = 0,66 pro h < 1,0 m. Nejpoužívanější přístroj určený pro měření bodových rychlostí u je hydrometrická vrtule, viz. obr. 5.2. Skládá se z vrtule v podobě šroubové plochy, která je připevněna k otáčecí ose s kuličkovým ložiskem. Obsahuje nekonečný šroub, který zabírá do ozubeného kolečka. Protože jeden kontakt přístroje je spojen s kostrou, kdežto druhý je odizolován, uzavře se po určitém počtu otáček vrtule kolíčkem elektrický okruh baterie, a to je zaznamenáno na počitadle.

Nové typy vrtulí, napojené na mikropočítač, udávají na displeji přímo bodovou rychlost proudící vody. Rychlost otáčení vrtule je úměrná rychlosti proudící vody v místě vrtule a pro bodovou rychlost u platí vztah:

Nu β+α= , (5.3)

TaN = ,

kde α a β jsou konstanty, N je počet otáček za sekundu, a naměřený počet otáček za dobu měření T. Konstanty α a β se určují ocejchováním v kalibračních žlabech.

Hydrometrickou vrtulí se měří bodové rychlosti v různých místech příčného průřezu koryta. Při menších hloubkách vody je vrtule připevněna pomocí posuvné objímky k vodicí tyči s měřítkem. Tyč má dole připevněnu zarážku, která zamezuje zaboření.

Hydrometrická vrtule může mít kapesní provedení pro měření malých rychlostí při malých hloubkách. Může však mít i masivnější provedení určené pro měření při větších hloubkách až do 5 m a rychlostech až do 3,0 m/s.

Při ještě větších hloubkách se používá těžké torpédové vrtule na lanovém závěsu. Poněvadž vrtule musí být postavena kolmo k měrnému průřezu, má taková vrtule kormidlo, které ji také vyvažuje.

- 123 (213) -

Po určité době provozu se musí vrtule přetárovat, konstanty rovnice se mohou vlivem opotřebení změnit.

Hydrometrická vrtule se nehodí pro měření ve velmi mělkých nebo balvanitých korytech a v zarostlých korytech (zde se využívá měření pomocí indukční sondy).

Měřením v měrném profilu se určuje pole bodových rychlostí. Měření se provádí v několika svislicích obvykle pravidelně rozmístěných po šířce profilu.

Obr. 5.2: Hydrometrické vrtule

V každé svislici se měří bodová rychlost u povrchu, u dna a v několika bodech mezilehlých - doporučuje se rozvrhnout 2 až 5 bodů. Při měření se odečítá i vodní stav, není-li u měrného průřezu vodočet stálý, zřídí se jednoduchý vodočet prozatímní. Když vodní stav během měření kolísá, je třeba stanovit střední hladinu, ke které se pak hodnoty vztahují. Při větší změně stavu než o 5 cm v průběhu měření se doporučuje výsledky měření anulovat. Současně s měřením rychlostí se zaznamenává i hloubka dna pod vodní hladinou. Výsledky měření se zaznamenávají do speciálně upraveného hydrometrického zápisníku.

Průtok Q je možno stanovit jako objem průtokového tělesa, které bychom získali, kdyby se vynesla v každém bodě průtočného profilu bodová rychlost u ve směru proudění. To by znamenalo, pokud bychom zavedli v profilu pravoúhlý souřadnicový systém xy (x značí směr vodorovný a y směr svislý), znát průběh rychlosti u(x,y) v celém průtočném profilu. Pokud bychom označili nekonečně malý element průtočné plochy dx dy, celkový průtok profilem by pak byl dán následujícím integrálem:

∫∫ ==AA

QyxyxuQ ddd),( . (5.4)

V praxi však jsou (po provedeném hydrometrickém měření) k dispozici pouze naměřené bodové rychlosti ve svislicích. Převedou-li se rychlostní svislice (grafikony znázorňující proměnu rychlostí ve svislicích) na rovnoploché obdélníky, tj. obdélníky o výšce h, udává šířka těchto obdélníků střední rychlost ve svislici vs - viz. obr. 5.3.


- 124 (213) -

Vyneseme-li kolmo nahoru nad hladinu vody v každé svislici součin As=vs h a aproximujeme-li tento průběh dostatečně hladkou křivkou (v nejjednodušším případě graficky od oka pomocí křivítka), je možno podle Harlachera získat celkový průtok průtočným profilem jako integrál:

∫ ∫==B B

ss BABvhQ0 0

dd , (5.5)

kde h je hloubka a B je celková šířka profilu.

Pokud bychom stanovovali průtok početně-graficky, získali bychom tento průtok zplanimetrováním plochy omezené shora křivkou As a zdola hladinou vody. Střední profilovou (průřezovou) rychlost bychom pak získali podělením průtoku Q průtočnou plochou A: v = Q/A.

Obr. 5.3: Stanovení průtoku při měření hydrometrickou vrtulí

- 125 (213) -

Střední svislicové rychlosti vs se často odhadují pomocí tzv. bodových vzorců, resp. se průběhy bodových rychlostí aproximují funkcí a numericky integrují, a získané plochy pak podělí hloubkou ve svislici. Integrály (5.4), resp. (5.5) se v praxi vyčíslují pomocí různých metod, převážně za použití výpočetní techniky. Např.v integrálním vztahu (5.5) se nekonečně malé diferenciály šířky dB nahrazují konečně velkými diferencemi ΔB a integrální vztah se nahrazuje tvarem součtovým. Celkový průtok je pak dán součtem diferencí průtoku na všech získaných elementech, přičemž na každém elementu šířky je hloubka a střední svislicová rychlost považována za konstantní. Takto se dá průtok stanovit přímo v hydrometrickém zápisníku. Trend v posledních letech v naší republice však směřuje k aproximaci průběhu bodových rychlostí nad plochou průtočného profilu (rychlostní pole) funkcí (např. optimalizované kubické spliny) a určení průtoku numerickou integrací.

Pro stanovení průtoku se v současnosti začíná používat metoda ADCP, která vychází z měření ultrazvukem. Příslušné zařízení je umístěno na člunu nebo plováku, kterým se přejede v měrném profilu napříč tokem. Poloha plováku je fixována pomocí kompasu nebo lépe pomocí satelitu. Metoda je značně rychlá a poměrně přesná. Využití nachází zejména za povodní.

Ultrazvukové metody využívají firmy Ott, Stork, resp.Quantum. Jejich zařízení jsou pevně fixována v měrném profilu.

V balvanitých korytech horských toků se dá těžko zjistit tvar příčného průřezu, a proto se nedá dobře použít dřívějších způsobů měření. Pak provádíme měření dávkováním roztoků solí a barviv do toku. Podmínkou však musí být, že se přidávané roztoky s vodou v toku dobře a rovnoměrně promísí. Někdy je postačující použití roztoku kuchyňské soli. Ze změny koncentrace chemikálie těsně nad profilem, do kterého dávkujeme chemikálii a dostatečně oddáleným profilem, aby došlo k promísení, je pak možno odhadnout jednoduchým výpočtem hledaný průtok. Chemikálie se dávkuje buď konstantním způsobem, nebo jednorázově. Na použitém způsobu pak závisí i způsob vyhodnocování průtoku.

5.3 Měrná křivka průtoku (MKP)

Ve vodočetných stanicích na tocích se pravidelně odčítají vodní stavy h a měřením stanovují odpovídající průtoky Q.

Uvedený vztah musí být jednoznačný, tzn. každé hodnotě vodního stavu je přiřazena pouze jedna hodnota průtoku. MKP se sestrojuje na základě výsledků hydrometrických měření v daném profilu nebo hydraulického výpočtu. Profil nesmí být v dosahu vzdutí pohyblivého jezu nebo kolísavého vzdutí recipientu. MKP se vyjadřuje graficky nebo tabelárně, výjimečně analytickými rovnicemi.

Pokud odpovídající body (Q,h) vyneseme do pravoúhlého souřadnicového systému Qh a tyto body proložíme regresní křivkou, získáme měrnou neboli konsumpční křivku. Ta udává závislost mezi vodními stavy a průtoky Q = f(h). Umožňuje převést spojitý průběh naměřených vodních stavů h(t) za určité údobí na spojitý průběh odpovídajících průtoků Q(t).

V praxi se na přirozených vodních korytech pro proložení obvykle používají regresní funkce v mocninném tvaru:


- 126 (213) -

( ) cbhaQ += , (5.6)

resp. polynomy druhého stupně:

2hchbaQ ++= . (5.7)

Obr. 5.4: Měrná (konzumpční) křivka průtoku

V obou vztazích jsou a, b a c regresní koeficienty a získávají se kalibrací. V případě složitých průtočných profilů, resp. inundací se měrná křivka vynáší jako lomená. Pro každou část křivky pak platí jiná rovnice.

S určitou opatrností je možno průběh měrné křivky prodloužit (extrapolovat) i za rozsah provedených měření průtoků. I když se snažíme vybrat vodoměrné profily tak, aby byly stálé, přesto se průtokové poměry v korytě mění (usazování, vymílání, zarůstání). Vykreslená měrná křivka platí tedy jen dočasně a její tvar se musí neustále upřesňovat novým měřením průtoků. Musíme si být vědomi i toho, že za povodní není průběh měrné křivky jednoznačný, protože ta platí pro ustálené rovnoměrné proudění. Při průchodu povodňové vlny příčným průřezem se při stoupání hladiny zvětšuje sklon, takže nejdřív nastává největší sklon hladiny, pak největší rychlost, potom největší průtok a nakonec nejvyšší vodní stav. Při klesání hladiny je za stejného vodního stavu sklon menší než při stoupání. Měrná křivka pak vytváří smyčku - zdvojuje se (hystereze). Chyba ve stanoveném průtoku za povodní bývá odhadována v intervalu ± 10%. Platnost MKP tedy závisí na stabilitě hydraulických podmínek v daném úseku toku a je časově omezena. Může se měnit v důsledku změn příčného nebo podélného profilu toku po každé větší povodni. V některých profilech, kde je velký vliv stav vegetace, se užívají různé MKP pro letní a zimní období. Informace o platnosti MKP je důležitý doprovodný údaj, který nesmí být přehlédnut.

- 127 (213) -

Průběh měrné křivky je při absenci měření možno odhadnout i pomocí vztahů pro ustálené rovnoměrné proudění - např. pomocí Chézyho rovnice. Opakovaně pro postupně se zvětšující průtočnou hloubku vypočteme průtok a příslušné body (Q,h) vyneseme do grafu. Takto stanovená křivka je hladká a je postačující ji proložit čarou (parabola). Největším problém však u přirozených koryt představuje odhad drsnosti koryta v uvažovaném profilu. Zde se často uchylujeme k tabulkovým hodnotám, které však mohou být zavádějící. Vždy je dobré takto teoreticky stanovené průběhy měrných křivek v důležitých případech alespoň orientačně ověřit pomocí několika naměřených bodů (Q,h), získaných hydrometrováním.

Kontrolní otázky

5.1. Jaké znáte metody pro měření vodních stavů?

5.2. Co rozumíme hydrometrováním v měrném profilu?

5.3. Jak měříme průtok vody v toku?

5.4. K čemu slouží měrná křivka?

6 Vodní nádrže

Pokud v povodí existují vodní nádrže, je vodní režim toků, které protékají těmito nádržemi směrem po toku ovlivněn. K tomuto ovlivnění dochází ať již jde o nádrže přirozené (jezera), nebo umělé (rybníky, údolní přehrady). Účel budování vodních nádrží je obvykle mnohostranný. Vodní nádrže plní řadu účelů: zásobování obyvatelstva a průmyslu vodou, ochrana uzemí pod nádržemi před povodněmi, využití vodní energie, vyrovnávání průtoků v toku pod nádrží, získání vody pro závlahy, plavba, rekreace a vodní sporty, chov ryb a vodní drůbeže apod. Pokud nádrž plní více účelů souběžně, mluvíme o víceúčelové vodní nádrži. To je typické zejména pro velké údolní vodní nádrže.

Okamžitý vztah mezi přítokem vody do nádrže Q(t), odtokem vody z nádrže O(V(t)) a objemem vody v nádrži V(t) popisuje tzv. základní rovnice nádrže. Lze ji odvodit podle obr. 6.1.

Obr. 6.1: Časový průběh přítoku a odtoku vody z nádrže


- 128 (213) -

Za nekonečně malý časový krok dt se objem vody v nádrži (plnění) změní o:

dV = [Q(t) - O(V(t))] dt . (6.1)

Odtud plyne:

tV

dd

= Q(t) - O(V(t)). (6.2)

Rovnice (6.2) je základní diferenciální rovnicí prvního řádu. Napsaný vztah plyne ze zákona zachování hmotnosti a protože považujeme vodu za velmi málo stlačitelnou, potažmo ze zákona zachování objemů, je vlastně rovnicí kontinuity napsanou pro nádrže. Odtok vody z nádrže při nastavených polohách regulačních uzávěrů (určují dynamické vlastnosti) jednoznačně závisí na plnění nádrže. Proto je v uvedených vztazích odtok funkcí objemu v čase t. Rovnici (6.2) je možno psát rovněž ve tvaru diferenčním. Často nás nutí k tomuto zápisu popis přítoku vody do nádrže, to jest hydrologický popis kapacity vodního zdroje, který není možno analyticky zapsat a je k dispozici pouze ve formě průtokové řady jejíž členy jsou na konečně velkém časovém kroku Δt konstantní. Jedná se o řadu průměrných hodinových průtoků, průměrných denních průtoků, průměrných měsíčních průtoků apod. Základní rovnici nádrže je možno psát též ve tvaru integrálním, resp. součtovém. V tomto případě nám vyjadřuje, jak se při zadaném počátečním objemu vody v nádrži a při daném přítoku a odtoku vody z nádrže změní za určité období její plnění.

Základní funkcí nádrže je tedy časová redistribuce průtoku. Nádrž je schopna jímat nadbytečný průtok vody v toku a shromažďovat jej pro pozdější využití, což se projevuje jejím plněním. V málovodém období je naopak schopna nalepšovat malé průtoky vody v toku, což se projeví jejím prázdněním. Analogicky při průchodu povodně se v nádrži hromadí nadbytečné množství vody, což přispívá ke snížení průtoků vody v toku. Tato voda se pak bezpečně z nádrže vypouští až po skončení povodňových průtoků.

Obr. 6.2: Batygrafické křivky

- 129 (213) -

Morfologie údolí každé nádrže je popsána chrakteristikami nádrže (batygrafickými křivkami) – obr.6.2. Jsou to čára zatopených ploch A(H) a čára zatopených objemů V(H). Udávají závislost mezi nadmořskou výškou vodní hladiny H a její plochou A a mezi nadmořskou výškou vodní hladiny H a příslušným plněním nádrže V. Čára zatopených ploch se určuje převážně z vrstevnicového plánu. Čára zatopených objemů se odvozuje z čáry zatopených ploch.

Pro plnění zásobní funkce nádrže a dalších účelů jsou v nádržích vymezeny tzv. funkční prostory. Typické uspořádání funkčních prostorů v údolní nádrži je znázorněno na obr. 6.3.

V nejnižší části nádrže se nachází prostor stálého nadržení As, má objem Vs a hladinu MS. Tento prostor se běžně nevyužívá a voda v něm, i když má nejnižší kvalitu, slouží jako tzv. "železná rezerva". Jeho součástí je mrtvý prostor Am (ostatní označení je analogické ). Ten leží pod úrovní spodních výpustí a nelze jej vyprázdnit gravitačně.

Nad prostorem stálého nadržení leží velmi důležitý zásobní prostor Az. Ten slouží k zásobení převážně obyvatelstva, průmyslu a zemědělství vodou. Využívá se rovněž hydroenergeticky.

Nad ním leží prostory ochranné. To jest retenční prostor ovladatelný ARO (pro manipulaci s odtokem vyžaduje přítomnost obsluhy). A retenční prostor neovladatelný ARN, který leží nad korunou pevného bezpečnostního přelivu. Odtok z něj probíhá automaticky. Ne všechny prostory musí v takovéto nádrži existovat. Zejména retenční prostor ovladatelný může absentovat.

Obr. 6.3: Funkční prostory v nádrži

Odtok vody z nádrže je převážně řízen, což vyžaduje přítomnost lidské obsluhy. Pouze u malých vodních nádrží - zejména rybníků, které plní jiné účely, není trvalá přítomnost obsluhy vyžadována. Takovéto nádrže jsou chráněny proti přelití pouze bezpečnostním přelivem.

Transformační účinek povodňového průtoku retenčním prostorem neovladatelným je patrný z obr. 6.4. Dochází při něm ke snížení kulminačního odtoku z nádrže Omax. Tato kulminace vždy leží na sestupné větvi hydrogramu přítoku Q(t) (je dosaženo maximálního plnění nádrže) rovněž dochází k celkovému zploštění povodně. Po dosažení kulminace je odtok z nádrže vyšší než přítok a retenční prostor neovladatelný se postupně prázdní.


- 130 (213) -

Zploštění povodňové vlny způsobí i rozlití do inundací toku, které zadržují vodu obdobně jako velká ochranná nádrž. K vodním nádržím patří jak bylo uvedeno i rybníky. Jejich množství bylo v našich zemích ve feudálním období značné. Později se hodně rybníků z různých důvodů zrušilo. Přesto však (např. na Lužnici) výrazně ovlivňují a vyrovnávají průtoky. Význam rybníků tkví kromě chovu ryb ve zvlhčování okolního ovzduší, zvyšování množství podzemní vody a rovněž tvoří určitou zásobu vody pro místní potřeby uživatelů.

Obr. 6.4: Transformace povodně retenčním prostorem neovladatelným

Kontrolní otázky

6.1. Napište základní rovnici nádrže.

6.2. Co vyjadřují batygrafické křivky nádrže?

6.3. Jaké jsou základní funkce nádrže?

7 Zpracování hydrologických dat

Hydrologické jevy jsou ve své podstatě náhodné (stochastické). Není možné stanovit přesně výskyt náhodného jevu, jsme schopni pouze odhadnout pravděpodobnost tohoto výskytu. Při popisu náhodných jevů se využívá poznatků z teorie pravděpodobnosti, resp. statistiky. Náhodné jevy dělíme na náhodné veličiny a náhodné procesy (jsou funkcí času).

Náhodná veličina X nezávisí na čase, jednotlivé hodnoty x1, x2, …. xn, kterých může nabývat, nazýváme realizacemi náhodné veličiny.

Náhodný proces X(t) je náhodná veličina, která je funkcí času. Jeho realizace jsou funkce x1(t), x2(t), … ,xn(t) – viz.obr.7.1.

- 131 (213) -

Obr. 7.1: Realizace náhodného procesu

7.1 Popisující charakteristiky základního souboru

Základní soubor má nekonečně mnoho realizací nebo konečný počet realizací, když jsou k dispozici všechny, co mohou existovat.

Popisující charakteristiky, které se v hydrologii používají pro popis souborů hydrologických dat jsou pravděpodobnostní funkce a statistické charakteristiky.

7.1.1 Pravděpodobnostní funkce

7.1.1.1 Hustota pravděpodobnosti

Hustota pravděpodobnosti je funkce, která vyjadřuje pravděpodobnost výskytu realizace náhodné veličiny. Pro danou realizaci A platí

( ) [ ]AxPAf == (7.1)

Hustota pravděpodobnosti může být zleva i zprava uzavřená (a, b jsou příslušné meze) nebo otevřená. Velikost plochy pod křivkou je rovna jedné (viz. obr. 7.2).

Hustota pravděpodobnosti patří do skupin tzv. diferenciálních čar. Jejími integrálními tvary jsou další pravděpodobnostní křivky – distribuční funkce a funkce pravděpodobnosti překročení výskytu daného jevu.


- 132 (213) -

Obr. 7.2: Graf hustoty pravděpodobnosti.

7.1.1.2 Distribuční funkce

Distribuční funkce popisuje, s jakou pravděpodobností bude náhodná veličina X menší nebo rovna hodnotě A.

( ) [ ] ( )∫=≤=A

a

dxxfAxPAF (7.2)

Distribuční funkce je neklesající funkce, nabývá hodnoty od nuly do jedné.

7.1.1.3 Funkce pravděpodobnosti překročení

Funkce pravděpodobnosti překročení (čára překročení) určuje, s jakou pravděpodobností bude náhodná veličina větší nebo rovna hodnotě A. Tato funkce v praxi například udává, s jakou pravděpodobností bude dosažen nebo překročen určitý průtok v daném profilu na toku. Platí

( ) [ ] ( )∫=≥=A

b

dxxfAxPAP (7.3)

Čára překročení je tedy nerostoucí funkce a nabývá hodnoty od jedné do nuly. Mezi distribuční funkcí a funkcí pravděpodobnosti překročení je vztah

( ) ( ) 1=+ APAF (7.4)

Hustota pravděpodobnosti, distribuční funkce a čára překročení podávají vyčerpávající informace o náhodné veličině. Pokud je k dispozici jedna z nich, je možné ostatní dvě odvodit.

Graf distribuční funkce F(x) a funkce pravděpodobnosti překročení P(x) je uveden na obr. 7.3.

- 133 (213) -

Obr.7.3: Graf distribuční funkce F(x) a funkce pravděpodobnosti překročení

P(x).

7.1.2 Statistické charakteristiky

Statistické charakteristiky vypovídají o tvaru grafu hustoty pravděpodobnosti. Statistické charakteristiky, které popisují základní soubor, se nazývají parametry základního souboru. Mezi nejčastěji užívané patří střední hodnota, disperze, směrodatná odchylka, koeficient variace, koeficient asymetrie a koeficient špičatosti.

7.1.2.1 Parametry základního souboru

Statistické charakteristiky lze zapsat pomocí obecných a centrálních momentů.

Obecný moment se počítá ke svislici procházející počátkem (osa p) a je definován vztahem

( )( )

( )

( )( )∫

∫

∫

∫===

b

a

k

b

a

k

b

a

b

a

k

k dxxfxdxxfx

dxxf

dxxfxxm

1 pro k = 1, 2,… (7.5)

Centrální moment se počítá ke svislici procházející těžištěm T hustoty pravděpodobnosti a se stanoví podle vztahu

( ) [ ]

( )

( ) ( )( ) ( )∫

∫

∫−=

−=

−=

b

a

kk

b

a

kk

b

a

xkk dxxfx

dxxfx

dxxf

xmxM μ

μμ

1 (7.6)


- 134 (213) -

pro k = 1, 2,…

Střední hodnota Hodnota prvního obecného momentu (k=1) se nazývá střední hodnotou, značíme ji μx a platí:

( ) [ ] [ ] ( )∫====b

ax dxxxfxmxx 1μμμ (7.7)

Střední hodnota patří k tzv. charakteristikám polohy, její hodnota je x-ovou souřadnicí těžiště hustoty pravděpodobnosti – obr.7.4.

Obr. 7.4: Střední hodnota je x-ovou souřadnicí těžiště hustoty

pravděpodobnosti.

Disperze (rozptyl)

Hodnota druhého centrálního momentu (k=2) se nazývá disperze neboli rozptyl. Značí se Dx, pro její výpočet platí:

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=−====b

akxx dxxfxxmxMxDxDD 2

22 μμ (7.8)

Pokud se hodnota disperze blíží nule, je tvar grafu hustoty pravděpodobnosti úzký a špičatý, pokud roste hodnota disperze do nekonečna, je plochý a nízký.

Směrodatná odchylka

Odmocnina z disperze se nazývá směrodatná odchylka (někdy se nazývá střední kvadratická odchylka). Značí se σx.

( ) [ ] xx Dxx === σσσ (7.9)

- 135 (213) -

Poznámka

Disperze, směrodatná odchylka a koeficient variace vychází z druhého centrálního momentu.

Koeficient variace Koeficient variace Cv,x je definován jako podíl směrodatné odchylky a střední hodnoty.

x

xxvC

μσ

=, (7.10)

Koeficient variace se používá k vzájemnému porovnání souborů, ve kterých se hodnoty náhodných veličin se liší např. o jeden nebo více řádů.

Koeficient asymetrie (šikmost) Koeficient asymetrie Cs,x vyjadřuje míru asymetrie jevů okolo aritmetického průměru. Určí jako podíl třetího centrálního momentu a třetí mocniny směrodatné odchylky.

( )( )xxM

C xs 33

, σ= (7.11)

( ) ( ) ( ) ( )∫ −=−=b

akx dxxfxxmxM 3

33 μμ (7.12)

Pokud je Cs>0, naklání se křivka hustoty pravděpodobnosti doleva, pro Cs=0 je symetrický, pro Cs<0 se naklání doprava.

Obr. 7.5: Hodnota koeficientu asymetrie vypovídá o naklonění grafu hustoty

pravděpodobnosti

Koeficient špičatosti

Koeficient špičatosti Ex (excess) je definován vztahem


- 136 (213) -

( )( ) 34

4 −=xxMEx σ

(7.13)

( ) [ ] ( ) ( )∫ −=−=b

akx dxxfxxmxM 4

44 μμ (7.14)

Podíl ( )( )xxM

44

σ je u normálního rozdělení roven 3. Proto je špičatost normálního

rozdělení rovna nule. Více plochá rozdělení než normální rozdělení mají Ex<0, pro více špičatá rozdělení je Ex>0.

Vyšších hodnot centrálních momentů se v hydrologické praxi většinou nepoužívá. Je to dáno malými počty realizací, které musí být k dispozici, aby příslušná statistická charakteristika byla stanovena s chybou maximálně 10%.

V tab.7.1 jsou uvedeny nutné počty realizací pro stanovení dané charakteristiky s chybou menší nebo rovnou ±10%.

Tab. 7.1: Nutný počet realizací pro odhad statistické charakteristiky s chybou ±10%.

Stat. charakteristika Počet relizací

μx 20

Dx, σx, Cv,x 40

Cs,x 80

Ex 300

M5[x] 1200

7.2 Popisující charakteristiky náhodného výběru

Náhodný výběr tvoří realizované hodnoty náhodně vybrané ze základního souboru (náhodný výběr tvoří tedy např. měřená data). Náhodný výběr popisujeme pomocí pravděpodobnostních funkcí, které nazýváme empirické pravděpodobnostní funkce, a statistických charakteristik, které nazýváme výběrovými charakteristikami.

• Empirické pravděpodobnostní funkce jsou odhadem pravděpodobnostních funkcí základního souboru, značíme je f*(x), F*(x) a P*(x).

• Výběrové charakteristiky jsou odhadem parametrů základního souboru. Výběrovým charakteristikám přibližně odpovídají charakteristiky základního souboru – viz. Tab. Hodnoty disperze a koeficientů variace, asymetrie a špičatosti zůstávají v podstatě stejné, zpravidla se značí hvězdičkou.

Čím je náhodný výběr reprezentativnější, tím víc se empirické pravděpodobnostní funkce popisující náhodný výběr blíží

- 137 (213) -

pravděpodobnostním funkcím základního souboru a tím víc se výběrové charakteristiky náhodného výběru blíží parametrům základního souboru.

Tab. 7.2: Terminologie statistických charakteristik

Výběrová charakteristika náhodného

výběru

Odpovídající charakteristika základního

souboru

x - aritmetický průměr μx

sx – směrodatná odchylka σx

D*x Dx

C*v,x Cv,x

C*s,x Cs,x

E*x Ex

Konstrukce empirické hustoty pravděpodobnosti vychází z početně-grafického řešení.

7.2.1 Empirické pravděpodobnostní funkce

7.2.1.1 Velký počet prvků v souboru

Pokud je v souboru velký počet prvků (30-40 intervalů, tj. min. 200 prvků), lze použít ke konstrukci empirické hustoty pravděpodobnosti způsob naznačený v tab. 7.3 a obr. 7.6. V tabulce značí xmin a xmax minimální a maximální hranici dílčích intervalů, i značí pořadí intervalu, k je celkový počet intervalů. Veličina x se nazývá třídní znak a je průměrnou hodnotou každého dílčího intervalu. Počet prvků (realizací) ležících v v každém dílčím intervalu je roven m. Celkový počet prvků je roven n.

Tab. 7.3: Výpočet pořadnic empirických pravděpodobnostních čar

i xmin xmax x m nmp = ( ) ∑

=

=k

ipxF

1

* ( ) ∑=

=1

*

kipxP

1

2

…

…

k


- 138 (213) -

Obr. 7.6: Vynesení empirických pravděpodobnostních čar

7.2.1.2 Malý počet prvků v souboru

Pokud je v souboru málo prvků, počítají se pořadnice bodů podle postupu uvedeného v tab. 7.4 a obr. 7.7.

Tab. 7.4: Výpočet pořadnic empirické čáry překročení

i x 4,03,0

+−

=nip

1 xmax

2

…

…

k xmin

Pro sestrojení distribuční křivky třídíme hodnoty x vzestupně, pro sestrojení čáry překročení sestupně. Souřadnice bodů čáry překročení tvoří dvojice (x, p).

Pro výpočet hustoty pravděpodobnosti je možné použít následujících vztahů:

4,03,0

+−

=nip (Čegodajev)

(7.15)

- 139 (213) -

1+

=n

ip (Gold)

Obr. 7.7: Odvození integrálních pravděpodobnostních čar

7.2.2 Stanovení výběrových charakteristik

Výběrové charakteristiky je možné stanovit (odhadnout) pomocí metody momentů, metody kvantilů nebo metody maximální věrohodnosti.

7.2.2.1 Velký počet prvků v souboru

Metoda momentů

Integrály v obecných vzorcích jsou nahrazeny sumami.

n

xx

n

ii∑

== 1 (7.16)

( )1

1

2

−

−=

∑=

n

xxs

n

ii

x (7.17)

( )1

1

2

, −

−==

∑=

n

xk

xs

C

n

ii

xxv ,

xx

k ii = (7.18)


- 140 (213) -

( )

( ) 3,

1

3

, 1

1

xv

n

ii

xs Cn

kC

⋅−

−=

∑= (7.19)

344* −=

xx s

ME , ( )

n

xxM

n

ii∑

=

−= 1

4

4 (7.20)

7.2.2.2 Malý počet prvků v souboru

Metoda kvantilů Metoda kvantilů se používá tehdy, kdy je k dispozici pouze malý počet prvků v náhodném výběru. Zhodnocuje navíc zkušenosti zpracovatele.

Kvantil je realizace volená tak, že všechny ostatní realizace, které jsou k dispozici a jsou menší nebo větší než tato, tvoří předepsaný díl daného souboru. Např. kvartil znamená, že ¼ všech realizací je menší a ¾ větší než volená realizace (podobně kvintil, sextil atd.). V dané metodě se volí tři kvantily dle pravděpodobnosti překročení (p = 5%, 50% a 95%).

Obr.7.8: Odečet kvantilů

Z hodnot kvantilů se stanoví pomocná veličina

955

50955 2xx

xxxS−

−+= . (7.21)

z TAB (Alexejev) se pak odečtou veličiny: C*s,x , Φ5-Φ95 a Φ50 .

Pro Pearsonovo III rozdělení platí vztahy:

955

955

Φ−Φ−

=xxsx (7.22)

5050 Φ⋅−= xsxx (7.23)

- 141 (213) -

xs

C xxv =*

, (7.24)

Pro jiná rozdělení jsou definované jiné výpočtové vztahy.

7.3 Aproximace empirických rozdělení teoretickými

V hydrologii se prokládají empirická rozdělení pravděpodobnosti teoretickými čarami. Ve střední části teoretická čára empirickou „vyhlazuje“ a v koncových částech objektivizuje její extrapolaci. Zejména extrapolace rozdělení je velmi důležitá, protože z koncových částí pravděpodobnostních čar se odečítají extrémní hydrologické veličiny, např. extrémní průtoky.

7.3.1 Normální rozdělení

Obr.7.9: Normální (Laplaceovo) rozdělení

Rovnice normálního rozdělení (tzv. Laplaceova funkce):

( )2

21

21 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

⋅= x

xx

x

exf σμ

πσ (7.25)

Uvedená funkce je transcendentní funkce, určitý integrál funkce existuje. Integrální funkce se však musí počítat z hustoty pravděpodobnosti numerickou integrací.

Graf funkce je symetrický, Cs,x=0.

Normální rozdělení je zleva i zprava otevřené

Platí pravidlo 3σ, plocha pod křivkou v intervalu (-3σ, 3σ) je téměř rovna jedné (0,9975..)

Rozdělení má dva parametry - μx a σx . Zkráceně se značí N(μx, σx).


- 142 (213) -

Tzv. normované (standardizované) normální rozdělení má parametry N(0,1), získá se následující transformací:

x

xxz

σμ−

= , ( )2

21

21 z

ezf−

⋅=π

(7.26)

Normální rozdělení se v hydrologii v čisté podobě nepoužívá, data jsou většinou nesymetrická. Na normální rozdělení se ale transformují jiná rozdělení.

7.3.2 Lognormální rozdělení (logaritmicko-normální rozdělení)

( ) xyf ln= , ( )yyN σμ , (7.27)

Jedná se o silně asymetrické rozdělení. Používá se např. při vyhodnocování maximálních (extrémních) průtoků.

Nejprve se provede transformace veličiny x na y. Používané transformační vztahy jsou následující:

( ) xyf ln= , (7.28)

( ) axyf += ln , (7.29)

( ) xyf log= , (7.30)

( ) ( )minlog xxyf −= , (7.31)

( )xbaxyf

−−

= log , kde a je minimální hodnota, b je maximální hodnota

(Johnoson)

Získaná veličina y musí mít po transformaci normální rozdělení f(y). Potom se případně dále transformuje na normované normální rozdělení.

Obr.7.10: Lognormální (logaritmicko-normální) rozdělení

- 143 (213) -

7.3.3 Rozdělení Pearson III

Pearson III je nejčastěji používaná křivka v hydrologii. Vychází z Γ funkce, f(x) je funkce transcendentní.

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

xx

xx

exxxx

exf⋅−

−

−

⋅+−⋅⋅⋅Γ

⋅= σ

αα

α

ασ

αμα

μσασα

α 1

2

2

2

22

, ( )xCs

2=α (7.32)

má 3 parametry: μx - střední odchylka σx - směrodatná odchylka Cs,x - součinitel asymetrie

Vlastnosti:

• Hustota pravděpodobnosti může být z jedné strany otevřená, resp. z obou stran otevřená - v závislosti na koeficientu asymetrie.

• Pokud je:

Cs,x = 0, přechází rozdělení Pearson III do normálního rozdělení. Cs,x > 0, je rozdělení Pearson III zleva ohraničené a zprava otevřené Cs,x < 0, je rozdělení Pearson III zprava ohraničené a zleva otevřené

Obr. 7.11: Vliv hodnoty koeficientu asymetrie na tvar hustoty

pravděpodobnosti

• Vztah mezi Cs a Cv určuje při Cs > 0 polohu dolní hranice:

Cs = 2Cv – nejmenší hodnota rozdělení je rovna nule Cs > 2Cv – nejmenší hodnota je větší než nula Cs < 2Cv – nejmenší hodnota je menší než nula

U malých souborů se v hydrologii často odhaduje Cs = 2Cv .


- 144 (213) -

Obr.7.12: Vliv poměru mezi Cs a Cv na průběh hustoty pravděpodobnosti

7.3.4 Obecný postup při aproximaci empirických rozdělení teoretickými

Postup: • Volba typu rozdělení (normální, lognormální, Pearson III) - metoda

pokusů a omylů, zkušenosti, používá se pravděpodobnostní papír (čára překročení se srovná do přímky)

• Stanovení statistických charakteristik (parametrů pravděpodobnostních čar)

• Proložení teoretické křivky empirickou čárou překročení (shlukem bodů) • Vizuální test shody (resp. testy dobré shody – Kolmogorov-Smirnov,

Pearson). Pokud není shoda uspokojivá, postup se opakuje.

7.4 Užití regresní analýzy v hydrologii

Obecně lze říci, že mezi proměnnými X a Y existují tyto typy vzájemné závislosti:

• Žádná závislost – viz. obr.7.13 • Funkční závislost Y=f(X) - viz. obr.7.14 • Pravděpodobnostní závislost – viz. obr.7.15

V případě pravděpodobnostní závislosti lze body proložit regresní křivku.

- 145 (213) -

Obr. 7.13: Mezi proměnnými X a Y není žádná závislost

Obr. 7.14: Mezi proměnnými X a Y je funkční závislost

Obr. 7.15: Mezi proměnnými X a Y je pravděpodobnostní závislost


- 146 (213) -

Obr. 7.16: Lineární regrese – regresní křivkou je přímka

Postup při prokládání regresní křivky shlukem bodů:

• Určení typu regresní rovnice (lineární, nelineární) • Kalibrace regresní rovnice (určení neznámých koeficientů) řeší se

optimalizací Hledá se vektor neznámých koeficientů

( )naaax ...,, 10 (7.33) Volí se kritérium kalibrace π, podle něhož se bude křivka prokládat: např.

∑=

=n

ii

11 επ (7.34)

resp.

∑=

=n

ii

1

22 επ apod. (7.35)

Nejlepe je hledat odchylky kolmo na křivku, ale tato metoda je složitá.

• Sestrojení regresní křivky • Posouzení způsobu proložení – záleží na hodnotě kriteria, velmi často se

používá prosté vizuální posouzení.

7.4.1 Metody optimalizace

• analytická (statistická) • numerická (gradientní a bezgradientní metody) • subjektivní

7.4.1.1 Statistická optimalizace

Je vhodná tehdy, pokud je regresní rovnice lineární. Vychází se z analytického řešení stanovení regresních koeficientů. Kriteriální funkce se opakovaně parciálně derivuje podle neznámých regresních koeficientů a výsledné derivace se položí rovny nule. Získá se tak soustava normálových (normálních) rovnic:

- 147 (213) -

00

=∂∂aπ (7.36)

01

=∂∂aπ (7.37)

Soustava normálových rovnic vede na řešení lineárních rovnic, pokud je ( )XfY =ˆ lineární

7.4.1.2 Numerická optimalizace

Mřížková metoda (grid) Oblast možných hodnot je prohledávána pravidelně s pevným krokem. Přesnost stanovení správné hodnoty regresních koeficientů závisí na velikosti zvoleného kroku prohledávání.

Obr. 7.17: Princip mřížkové metody při hledání jednoho regresního

koeficientu, např. v rovnici aXY =ˆ

Obr. 7.18: Princip mřížkové metody při hledání dvou regresních koeficientů na

různých rozlišovacích úrovních, např. v rovnici XaaY 10ˆ +=

Pro dosažení vysoké přesnosti řešení je třeba volit malý krok prohledávání. Značnému počtu řešených variant je možno čelit řešením na více rozlišovacích


- 148 (213) -

úrovních. Nejdříve započneme prohledávání s hrubým krokem. Po nalezení řešení prohledáváme jeho okolí s jemnějším krokem. Uvedený postup postupného zjemňování opakujeme až po nalezení řešení s požadovanou přesností.

Metoda Monte Carlo Random(x) – výběr náhodných čísel. Metoda spočívá v odstřelování oblasti <amin, amax> konečným dostatečným počtem náhodně volených regresních koeficientů. je vysoká pravděpodobnost, že jeden ze zásahů bude do minima kriteriální funkce, resp.jeho blízkého okolí. Pro transformaci generovaných náhodných čísel ξ ∈ < 0,1> na hodnotu regresního koeficientu je možno použít následující vztah

.)( minmaxmin ii aaaa ξ⋅−+= (7.38)

Pro generování náhodných čísel se na počítačích využívají procedury Random(ξ)

Obr. 7.19: Užití metody Monte Carlo

U kvalitních generátorů náhodných čísel je hustota pravděpodobnosti generovaných náhodných čísel tzv. „bílý šum“. Mezi náhodnými čísly neexistuje žádná závislost (nulová autokorelační funkce) a jsou generovány se stejnou pravděpodobností.

Obr. 7.20: Hustota pravděpodobnosti „bílého šumu“

Po dosažení řešení je možno opět prohledávat okolí dosaženého regresního koeficientu opakovaným postupem při zmenšení intervalu <amin, amax>.

- 149 (213) -

Poznámka Obě popsané metody je možno snadno analogickým postupem rozšířit na řešení vícerozměrných úloh.

Gradientní metody (metody největšího spádu)

Programy určují směr postupu z bodu do bodu při prohledávání oblast pomocí gradientu. Ten počítají buď analyticky (je nutno mít možnost derivovat kriteriální funkci) nebo numericky (tato metoda je obecnější a pro praxi vhodnější). Metoda umožňuje lokální optimalizaci - funkce proto musí být spojitá a mít pouze jeden extrém. Při startu řešení je nutno zadat počáteční polohu bodu v prohledávané oblasti – násadu.

Obr. 7.21: Princip gradientní metody

Metoda konjugovaných gradientů - tato metoda složí poslední dva vektory směrů postupu dohromady a postupuje korigovaným směrem.

Obr. 7.22: Princip konjugovaných gradientů.

Negradientní metody

Negradientní metody postupují při prohledávání oblasti z bodu do bodu jinými než gradientními metodami. Možný postup je naznačen na následujícím obrázku.


- 150 (213) -

Obr. 7.23: Možné hledání směru postupu v negradientní metodě

Subjektivní optimalizace

V subjektivní optimalizaci určuje postup prohledávání oblasti zpracovatel samostatně – dnes nejčastěji s využitím PC. Postupně volí regresní koeficienty a zadává je do počítače. Ten ke každé volbě vykreslí průběh regresní křivky proložené shlukem bodů a vypočte odpovídající hodnotu jednoho nebo více kritérií současně. Metodou pokusů-omylů se zpracovatel poměrně rychle dobere správného řešení.

Obr. 7.24: Ukázka vizuálních výstupů při postupném přibližování pomocí

subjektivní optimalizace.

Tato zdánlivě triviální metoda je velmi jednoduchá a účinná a lze ji využít při vícekriteriální optimalizaci.

Úspěšná je však i v případech složitého tvaru regresní funkce, kdy klasické volby tvaru kriteriální funkce mohou selhávat. Typickým případem je např. proložení empirické retenční křivky půdy, jejíž body jsou získány měřením např. na pískovém tanku, odpovídající regresní rovnicí. Dvojité zakřivení retenční křivky komplikuje volbu kriteriální funkce.

- 151 (213) -

Obr. 7.25: Proložení retenční křivky půdy regresní rovnicí dle Genuchtena

7.4.2 Posouzení úspěšnosti odhadu

7.4.2.1 Koeficient korelace

Koeficient korelace r - značí míru lineární vazby mezi dvěma soubory

∑∑

Δ⋅Δ

Δ⋅Δ=

22 YX

YXr , 1,1−∈r (7.39)

XXX i −=Δ (7.40) YYY i −=Δ (7.41)

Posouzení dosažené korelace

• 1=r nejlepší - funkce • 0=r nejhorší – žádný vztah • 1−=r nejlepší - funkce • 6,0>r - významný vztah mezi soubory

Obr. 7.26: Příklady grafického rozpoznávání vztahu mezi soubory dat

Obr. 7.27: Příklad selhání rozpoznání vztahu mezi soubory dat pomocí

koeficientu korelace


- 152 (213) -

7.4.2.2 Koeficient determinace

Koeficient determinace R2 nezávisí na počtu X-ových prvků ( )( )∑

∑−

−−= 2

22

ˆ1

ii

ii

YY

YYR (7.42)

Obr. 7.28: Měřený a modelovaný průtok

7.4.2.3 Směrodatná chyba odhadu (směrodatná odchylka)

Směrodatná chyba odhadu σ se stanoví podle vztahu

( )1

ˆ 2

−−

−= ∑

knYY iiσ , (7.43)

kde značí: k - počet regresních koeficientů, n- počet prvků v souboru.

7.5 Neuronové sítě

Složitost srážkoodtokového procesu je v posledních letech umocněná očekávanými a částečně se již projevujícími vlivy změn klimatu, spojenými se změnou vydatnosti a časového rozložení vodních zdrojů, které se projevují nejen vznikem katastrofálních povodní, ale i vznikem extrémně málovodých období. Uvedená problematika často nutí vodohospodáře řešit problémy, na které ne vždy mají dostatečně propracované metodické postupy a nástroje. Zejména se jedná o nutnost rozvíjení nestrukturálních opatření v povodí souvisejících s operativní hydrologií, tj. operativním předpovídáním a operativním řízením odtoku vody z povodí, pokud v povodí existují vhodné regulační prvky, především vodní nádrže.

Je nutno si uvědomit, že řešení uvedených problémů probíhá za výrazných podmínek neurčitosti. Neurčitost chápeme jako vlastnost některých jevů a procesů vyznačujících se buď jejich nahodilostí, nebo vágností. Pro zkoumání nahodilosti se rozvíjí od poloviny 17. století teorie pravděpodobnosti a od

- 153 (213) -

přelomu 19. a 20. století teorie náhodných procesů. Pro formalizaci vágnosti položil základy L. Zadeh (1965). Jeho teorie fuzzy množin zobecňuje Cantorovu klasickou teorii množin a ve spojení s fuzzy vícehodnotovou logikou a fuzzy regulací umožňuje řešit ve vodním hospodářství například modely operativního řízení vodohospodářských soustav (Nacházel, Starý, Zezulák, 2004).

Neurčitost se projevuje při řízení vodohospodářských systémů tím, že neznáme přesný průběh vstupů řešení (přítoky do systému, srážky nad povodím apod.). Vstupy jsou převážně náhodné procesy, jejichž průběh v minulosti je zatížen náhodnou chybou měření a predikovaný budoucí průběh vstupních hydrologických veličin je navíc zatížen náhodnou chybou předpovědního modelu. Neurčitost je obsažena i v matematických modelech použitých pro operativní řízení (schematizace systému, nevhodná volba numerického modelu, stanovení parametrů modelu kalibrací, chyby vstupů modelu stanovené měřením a zpracováním). Zejména při řízení v reálném čase je třeba srážkoodtokové modely výrazně zjednodušit v zájmu přijatelné rychlosti výpočtu, protože rychlost výpočtu je v operativní hydrologii pro praktické nasazení modelů veličinou determinující. Model pak spolehlivě zobrazuje jen část reality a pouze výsledky dosažené v praxi jsou mírou přijatelnosti použitého zjednodušení.

V oblasti vývoje metod umělé inteligence se v současnosti projevuje úsilí o řešení problematiky rozhodování za podmínek neurčitosti (inteligentní řízení). Řídící systémy musí být vybaveny schopností využívat zkušenosti a znalosti popsané jen vágně a reagovat na neurčité a předem neznámé situace. Adaptivní přístup, uplatněný při operativním řízení za popsaných podmínek neurčitosti, je určitou cestou jak tyto dopady vhodnou konstrukcí řídících algoritmů do určité míry eliminovat. Výsledky dosažené v praxi výhody uplatnění adaptivního přístupu k řešení jednoznačně potvrzují, ať již se jedná o jeho uplatnění ve spojitosti s klasickými řídícími algoritmy, založenými na ryze optimalizačních principech, nebo ve spojitosti s řídícími algoritmy využívajícími metody umělé inteligence.

Složitost srážkoodtokového procesu a neurčitost, obsažená v hydrologii téměř na každém kroku, předurčuje metody umělé inteligence k využití ke konstrukci srážkoodtokových modelu, ale i k řešení různých dílčích hydrologických problémů. Minimálně je lze nasadit všude tam, kde se využívá regresní analýza.

Umělé neuronové sítě (dále jen neuronové sítě - NS), dominují v rozpoznávání okamžité závislosti ze vzorů vstupně výstupních vztahů. Tím se liší od expertních systémů, které dosahují výborných výsledků v posloupnosti logických operací a fuzzy logických metod, které se vyznačují schopností reprezentovat znalosti.

První informace o NS bývá spojována se jmény McCullocha & Pittse (1943), kteří sestavili první neuronový model (McCulloch, Pitts,1943). V roce 1949 navrhl Donald Hebb ve své knize Organization of Behaviour (Hebb,1949) model založený na biologické podobnosti, který je schopný učení. Na popsaných principech je založena řada moderních učících se síťových mechanizmů. Dominantní postavou 50. let se v oblasti NS stal Frank Rosenblatt. Vyvinul třídu neuronů nazývaných "Perceptrony"


- 154 (213) -

(Rosenblat,1958). Jeho přístup výrazně posunul vpřed teorii založenou na rozpoznávání vzorů a na asociativním učení. Na přelomu 60. a 70. let pokračovala intenzívně ve vývoji NS řada vědců. K nejznámějším patří Steven Grossberg, Geoffery Hinton, Teuvo Kohonen, Kunihiko Fukushima a J. A. Anderson.

V roce 1982 publikoval John Hopfield, profesor chemie a biologie v Kalifornii v Technologickém institutu články o NS (Hopfield,1982), které byly natolik významné, že stimulovaly řadu vědců a roztočily další kolo rozvoje neuronových sítí. Objevilo se v nich několik klíčových momentů jako popis zpětné vazby mezi neurony, nelinearita přenosových funkcí, koncept globální energetické funkce, teorie energetických stavů a teorie minimalizace energetického toku. V roce 1986 napsal Rumelhart se svým kolektivem první knihu o neuronových sítích (Rumelhart, Hinton, Williams,1986). V témže roce se objevily první aplikace teorie zpětného šíření (back-propagation) při učení NS a byly popsány v článku Sejnowského (Sejnowski, Rosenberg,1988). V roce 1992 bylo vyvinuto první hardwarové řešení neuronových sítí - neuronové karty (LORAL - USA), které se vkládají do počítače. Dosud byly všechny neuronové sítě řešeny softwarovou simulací. Hardwarové řešení značně urychlilo proces učení. Řádově až tisíckrát i více. V roce 1993 se objevily obdobné komerčně dostupné hardwarové karty (CNAPS), vyvinuté firmou Adaptive Solution rovněž v USA, které je možno využít jako akcelerátor při trénování neuronových sítí.

V naší odborné veřejnosti je možno zaznamenat první články a publikace týkající se obecného popisu NS až po roce 1988. Z autorů je možno vzpomenout např. Hořejše a Kufudaki (Hořejš, Kufudaki,1988), Nováka (Novák,1992), Bílu (Bila,1995) a Křivana (Křivan,1995).

Co se týká publikací našich autorů zaměřených na užití NS ve vodním hospodářství, je možno uvést příspěvek Nacházela a Tomana (Nacházel, Toman,1997), zaměřený na problematiku NS a jejich užití pro optimalizaci výroby elektrické energie v soustavě vodních elektráren. Kromě toho lze uvést některé práce Starého, publikované samostatně nebo se spolupracovníky. Z nich je možno vzpomenout (Starý, Jacobsen, Dahl,1993) , ve kterém je uveden popis užití NS při operativním řízení kanalizační sítě v Kodani, dále příspěvek (Starý, Rec,1993), zaměřený na užití NS při modelování změny kvality vody po délce toku Bystřička pod výustí z ČOV Bystřice n/P. V (Starý,1996) je popsáno použití NS při modelování hydrogramů povodňových průtoků v systému stanic. Ze zahraničních publikací je možno vzpomenout (Starý,1995), kde byly shrnuty některé zkušenosti s užitím NS v aplikované hydrologii. Článek (Starý, Diviš,1997) je zaměřen na předpověď průběhů hydrogramů odtoků z přívalových srážek z povodí řeky Morávka s uzávěrovým profilem Morávka. Fošumpaur se ve své doktorské disertační práci (Fošumpaur,1998) zabývá využitím NS pro operativní předpovědi odtoku vody z povodí.

7.5.1 Základní pojmy

Pro pochopení funkce NS je třeba uvést některé základní pojmy (Novák,1992). Lidský mozek sestává ze sítě mnoha biliónů speciálních buněk, které se nazývají neurony. Typický neuron znázorněný na obr.1 se skládá z těla neuronu (soma), z něhož vybíhá nervové vlákno (axón). To je zakončené

- 155 (213) -

rozvětvením směřujícím k ostatním neuronovým buňkám v síti, s jejichž těly tvoří elektrochemickou vazbu (synapse).

Obr. 7.29: Biologický neuron

Dentrity, které spojují neuron s ostatními pomocí synapsí, přenášejí podráždění (vstupní signály) do somy. Zde jsou tyto signály sečteny a je rozhodnuto podle jejich síly a povahy, zda budou propuštěny a s jakou silou (filtrace přes membránu - hillock) do axonu. Ten pak přenáší signál do ostatních neuronů přes boutony s různou velikostí a zpožděním. Každá neuronová buňka se chová jako extrémně jednoduchý počítač (Lawrence,1994), jehož schéma je uvedeno na obr.7.30.

Obr. 7.30: Umělý neuron

SOMA

AXON

DENTRIT

HILLOC

BOUTO

VSTUPVÝSTUP SOUČET

A

TRANSFORMACE


- 156 (213) -

Umělý neuron přijímá vstupní signály (vstupy) a vysílá výstupní signál (výstup). každý neuron přijímá vstupy z mnoha jiných neuronů. Definujme umělou NS jako orientovaný graf G(N,H), ve kterém množinu vrcholů N tvoří

těla neuronů (ni) a množinu hran H tvoří spojnice neuronů (hi,j). Nechť jsou v tomto grafu jednotlivé neurony uspořádány do vrstev podle obr. 7.31 tak, že vstupní vrstvu tvoří vstupní neurony, dále následuje skrytá vrstva neuronů (může být více vrstev) a vrstva výstupních neuronů. Neurony jsou v NS průběžně očíslovány. Každý neuron v libovolné skryté vrstvě je spojen hranou s každým neuronem vrstvy předchozí i vrstvy následné.

Obr. 7.31: Umělá neuronová síť

Funkci typického neuronu v umělé NS je možno popsat na příkladu neuronu nj, vyjmutého ze skryté vrstvy, který je znázorněn na obr. 7.32. Zde jsou současně zobrazeny tři neurony ni z předchozí vrstvy, které mu signál předávají a symbolicky dva neurony nk z následující výstupní vrstvy, které od něj signál přijímají. Na obrázku značí u počáteční a v koncové číslo neuronu ni předávajícího signál j-tému neuronu podle průběžného číslování neuronů v NS. Označme Oi signál vystupující z i-tého neuronu a Oij signál procházející hranou hij. Platí, že dolní indexy znázorňují směr postupu signálu Oi,j hranami hi,j z i-tého neuronu ni do j-tých neuronů nj, jejichž počáteční číslo značí r a koncové s. Nechť Wi,j a Wj,k jsou synoptické váhy, kterými je přenásobena velikost signálu Oi,j a Oj,k, a to vždy na konci příslušné spojnice. Pro signál Oj (stav neuronu) vystupující z j-tého neuronu platí:

VSTUPY VÝSTUPY

VSTUPNÍ

VRSTVA

SKRYTÁ

VRSTVA

VÝSTUPNÍ

VRSTVA

n1

n2

n3

n4

n5

n6

n7

n8

h1,4 h4,7

h3,6 h6,8

- 157 (213) -

Obr.7.32: Neuron nj vyjmutý ze skryté vrstvy

∑=

−=v

uijjijijj OWTFO ),..( ,, θ (7.44)

kde TFj(.) značí přenosovou funkci j-tého neuronu a θj značí tzv. práh j-tého neuronu. Nazývejme v dalším textu

jji

v

uijij OWA θ−= ∑

=,, . c (7.45)

aktivační funkcí (potenciálem) neuronu nj. Pokud je aktivační funkce kladná, dochází ke vzplanutí neuronu (neuron je excitován) a propustí signál dále. Pokud jsou váhy kladné, přispívají ke vzplanutí, pokud jsou záporné, působí proti vzplanutí. Je zřejmé, že ke vzplanutí může dojít až když ΣWi,j.Oi,j překročí mezní hodnotu - práh θj, tj., když platí

j

v

uijiji OW θ∑

=

>,, . (7.46)

Z formálních důvodů je práh někdy označován jako nultý vstup do j-tého neuronu s hodnotou signálu -1 a s vahou θj. Umělá NS nemůže pracovat spojitě. Umožňuje pouze pro dané hodnoty vstupních signálů vstupujících do vstupních neuronů poskytnout odpovídající hodnoty signálů výstupních. Aby byla schopna plnit tuto funkci, je třeba znát minimálně hodnoty vah Wi,j, parametry přenosových funkcí (pokud mají složitější tvar a tyto parametry obsahují) a hodnoty prahů, při kterých dochází ke vzplanutí neuronů. Při složitějších typech neuronových sítí může být těchto

nj

ni

ni

ni

nk

nk

Vyjmutý

neuron

-neurony nj -

Výstupní vrstva

-neurony nk - Skrytá nebo vstupní vrstva

-neurony ni -


- 158 (213) -

neznámých veličin více. Smyslem učení (trénování) NS je najít hodnoty těchto veličin. Podle toho, zda přenosová funkce je lineární nebo nelineární, je možno vytvořit modely lineárních nebo nelineárních neuronových sítí. V nejjednodušším případě je možno u lineárního modelu rovnici (7.44) přepsat do tvaru, ve kterém je přenosová funkce rovna aktivační funkci:

∑=

−==v

uijjijijj OWAO .. ,, θ (7.47)

Pokud jsou vrcholy a hrany grafu G(N,H) uspořádány jako na obr.3 a signál tedy postupuje pouze jedním směrem - zleva doprava, mluvíme o jednosměrných NS (feedforward networks). Pokud signál vstupuje do neuronů současně i zprava doleva, nazývá se neuronová síť zpětnovazební (feedback networks). Podle autorů nebo uspořádání byla nazvána řada typických modelů: Hopfieldova, BAM, ART, Perceptron, Kohonenova atd.

7.5.1.1 Přenosové funkce

Jako přenosové funkce TF(A) se v umělých neuronových sítích nejčastěji používají následují typy funkcí (BrainMaker ver.3.1.+GTO Software pro emulaci umělých neuronových sítí,1996):

• Sigmoida Z nelineárních funkcí se nejčastěji užívá jako přenosová funkce

logistická sigmoidální funkce (sigmoida), jejíž obecný tvar je následující:

( ) ( )( )( ) .

1 * LOWe

LOWHIGHATF CENTERAGAIN ++

−= −− (7.48)

Význam použitých symbolů plyne z obr. 7.33. Pokud dosadíme za HIGH=1, LOW=0, GAIN=β=1 a CENTER=0, redukuje se její tvar na (Rumelhart, 1986):

( ) .1

1Ae

ATF −+= (7.49)

Její derivace TF´(A) je pak rovna:

( ) ( ) .1

´ 2A

A

eeATF

−

−

+

−= (7.50)

Po rozepsání tedy platí

( ) A

A

A ee

eATF −

−

− +−

+=

1.

11´ (7.51)

a následně

( ) ( ) ( )( ).1.´ ATFATFATF −= (7.52)

Při použití této funkce se často používá označení β =GAIN, které nazýváme strmostí. Sigmoida pak má tvar:

- 159 (213) -

(7.53)

Na obr. 7.33, je znázorněna sigmoida pro β =0.25.

Obr.7.33: Sigmoida, β=0.25

Za použití sigmoidy jako přenosové funkce pak rovnice (7.44) přechází do tvaru:

.)]..(exp[1

1

,,∑ −−+=

ijjiji

j

OWO

θβ (7.54)

Sigmoidální funkce je nelineární, spojitá a spojitě diferencovatelná. Lze ji snadno derivovat jak už bylo uvedeno výše. Má mnoho žádoucích vlastností vhodných pro využití v neuronových sítích. Metoda zpětného šíření aplikovaná na sítě s těmito funkcemi velmi rychle konverguje ke správnému řešení minimalizačního problému. Pokud se strmost β blíží 1, sigmoida se stává téměř skokovou funkcí. Pokud se však strmost blíží 0, sigmoida se tvarem blíží lineární přenosové funkci - přechází do přímky. • Skoková přenosová funkce

Funkce je limitována dvěma možnými hodnotami – obr. 7.34. Pod prahovou hodnotou je její hodnota rovna LOW a nad prahovou hodnotou je rovna HIGH. Velmi často je v aplikacích LOW=0 a HIGH=1. Středem této funkce je vždy hodnota vstupu, při kterém se hodnota výstupu změní skokem z LOW na HIGH. Vzhledem k nespojitosti je funkcí nelineární.

Obr. 7.34: Skoková přenosová funkce

.1

1)( .AeATF ββ −+

=


- 160 (213) -

Neuronové sítě, které využívají tuto funkci, mohou poskytovat velmi zajímavé výsledky. Hodí se zejména do aplikací, kde neurony v neuronové síti fungují jako přepínače. Tyto typy funkcí byly často využívány v počátečních aplikacích neuronových sítí. Často jsou využívány v Hopfieldových neuronových sítích. Je prokázáno, že metoda zpětného šíření funguje na sítích využívajících tyto funkce. Trénování však nebude rychlé a vždy úspěšné. Příčinou je, že algoritmus této metody vyžaduje zadání prvních derivací této funkce. Z důvodu nespojitosti je však nelze definovat. • Lineární prahová funkce Funkce je nelineární – její průběh je zleva vodorovný a má hodnotu 0, resp. jinou zadanou hodnotu (LOW). Pak přechází do šikmého úseku, ve kterém je výstup násobkem

. Obr.7.35: Lineární prahová přenosová funkce

vstupu (dle zadaného sklonu), a následně pokračuje hodnotou 1, resp. jinou zadanou hodnotou (HIGH). Středem je hodnota vstupu, pro který výstup dosahuje hodnoty (Low+HIGH)/2. Jako GAIN se označuje sklon lineární šikmé části křivky.

Neuronové sítě používající tuto funkci jsou schopny aproximovat značně složitější vstupně výstupní vztahy než lineární neuronové sítě. • Gausova přenosová funkce Gaussovy přenosové funkce jsou známé jako zvonové funkce – obr. 7.36. Jejich užití je však dosti omezené. Tato funkce je spojitá a spojitě diferencovatelná. Proto může být využívána stejně jako sigmoida. Poskytuje však velmi nezvyklé a nekonzistentní výsledky. Oblasti jejího užití jsou zatím předmětem výzkumu.

Obr. 7.36: Gaussova přenosová funkce

- 161 (213) -

7.5.1.2 Způsob učení (trénování)

Nechť je dána tréninková matice A, ve které jsou do určitých sloupců zapsány hodnoty vstupních signálů a do zbývajících hodnoty výstupních signálů. Vždy jeden řádek odpovídá jednomu vztahu mezi vstupem a výstupem - tvoří jeden vzor. Schema takovéto matice je znázorněno v tab.7.5. Vstupní veličiny X1, X2, X3 a X4, jsou zapsány do vstupních sloupců označených symbolem ↓, výstupní veličiny Y1 a Y2 jsou pak uvedeny ve sloupcích výstupních, označených symbolem↑. Číslo uvedené ve sloupci i udává pořadí příslušného vzoru. Tab.7.5: Schéma tréninkové matice.

V průběhu učení (trénování) vstupují postupně po řádcích do NS vstupní signály (tréninkové vzory). V závislosti na velikostech vah a prahů pak vystupují z výstupních neuronů hodnoty výstupních signálů. Postup se opakuje podle počtu řádků tréninkové matice. Zadané výstupní signály a NS vypočtené signály vykazují odchylku. Součet čtverců těchto odchylek vypočtený pro každý vzor zvlášť je chybou vzoru Ev. Součet chyb vypočtených ze všech vzorů je celková chyba E. V procesu trénování se hledají takové hodnoty vah, aby pro všechny řádky tréninkové množiny tyto odchylky nepřekročily povolenou toleranci. Trénování NS současně pro všechny uvažované vzory představuje minimalizační problém, při kterém se minimalizuje celková chyba E, vypočtená ze všech vzorů. Úloha vede na optimalizaci, při které je vektorem neznámých vektor W, jehož prvky tvoří neznámé váhy, resp. i parametry přenosových funkcí a hodnoty prahů. Úkolem je nalézt takovou hodnotu vektoru W, při které všechny uvedené odchylky nebo předepsané procento odchylek (kriteriem může být i součet čtverců odchylek, směrodatná odchylka, průměrná odchylka nebo koeficient determinace apod.) nepřekročí zadanou toleranci. Protože dokonce i malé NS mají stovky a tisíce spojnic, mluvíme o "minimalizaci skalárního pole na vektorovém prostoru se stovkami dimenzí". Pro řešení popsaného problému může být použita řada optimalizačních metod. Nejužívanější metody, vhodné pro nalezení minima kriteriální funkce, jsou gradientní metody. Metoda gradientního poklesu zahrnuje změnu proměnných s malým krokem změn směrem dolů ve směru lokálního gradientu. Uvedený postup je analogický s představou lyžaře, který sjíždí ze svahu v pohoří - neustále po největším sklonu, dokud nedosáhne nejnižšího bodu. Postup má jeden podstatný nedostatek.. Gradientní metoda může snadno najít lokální minimum řešení na místo globálního maxima, jehož nalezení je cílem řešení.

↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑ i X1 X2 X3 X4 Y1 Y2 1 0.4 12.7 5.1 26.5 6.8 0.3 2 0.8 15.6 3.8 21.7 3.3 0.2 3 0.6 11.1 4.3 29.6 4.4 0.5 . . . . . . . . . . . . . . n 0.3 8.5 3.7 18.9 5.1 0.4


- 162 (213) -

Opustit oblast takovéhoto lokálního minima a pokračovat v dalším řešení může být obtížné. Problému může napomoci přidání určitého ,,šumu” k hodnotám vah, který pak vede k "rozkmitání" řešení. Postup umožní vyskočit z oblasti lokálního "falešného minima" a pokračovat v řešení a nalézt globální minimum.

Obr. 7.37: Lokální minima a globální minimum kriteriální funkce

7.5.1.3 Metoda zpětného šíření

V oblasti jednosměrných NS se velmi často používá metoda zpětného šíření (back-propagation) (Sejnowski, Rosenberg, 1988), kterou je možno přiřadit mezi gradientní metody. Podrobný popis metody uvádí např. Lawrencová (Lawrencová,1994) nebo Šíma a Neruda (Šíma, Neruda, 1996). Při jejím užití se síť postupně učí pomocí korekce vah v závislosti na odchylce mezi zadanou a vypočtenou hodnotou výstupních signálů ve výstupních neuronech neuronové sítě. Korekce signálů (vah) pak probíhá sítí zpětně od výstupní vrstvy neuronů po vrstvu vstupní - podle toho získala název.

Proces trénování sestává z postupně opakovaných výpočtů výstupů z NS při daných vahách pro každý vzor, kdy signály postupují od vstupní do výstupní vrstvy neuronů (forwards) a je vypočtena chyba vzoru Ev. Následně pak probíhá zpětným směrem (backward) postupný výpočet oprav jednotlivých vah. Je zřejmé, že algoritmus nemůže implementovat celkový (opravdový ) gradientní pokles chyby E. Jednotlivé váhy jsou měněny po každé postupné implementaci příslušného vzoru. Praxe však ukazuje, že metoda je funkční v naprosté většině testovaných příkladů.

Pokud zavedeme do řešení hodnoty prahů θ jako nulté vstupy do neuronů s hodnotou signálu -1 a s vahou θ, pak se hodnota signálu u každého neuronu v průběhu trénování nemění a zůstává rovna -1. Opravy změn prahů se pro každý vzor počítají způsobem obdobným jako u změn vah.

Předpokládejme, že máme dán neuron nj z obr. 7.32. Ten získává

vsupní signály pouze z neuronů ležících v předchozí vrstvě (i-té neurony) a posílá svůj výstupní signál do neuronů ležících v následující vrstvě (k-té neurony). Každá vrstva neuronů tak může být popsaná vektorem svých

- 163 (213) -

výstupních signálů. Nechť vektor W je vektorem vah, kterým se přenásobují tyto signály před vstupem do další vrstvy neuronů. Wi,j pak reprezentuje váhu spojnice neuronu ni s neuronem nj.

Mějme k dispozici N vstupně-výstupních vzorů a číslo vzoru označme jako p, kde p=1,2, ... N. Označujme p-tý vektor vstupů do neuronové sítě jako Ip=Inputp a odpovídající vektor požadovaných výstupů jako jako PAp=Patternp. Vektor výstupů z neuronové sítě budeme označovat jako Outp=Outputp. Úkolem je nalézt takové hodnoty všech vah, při kterých bude neuronová síť na vektor vstupů Inputp odpovídat vektorem Outputp, jehož prvky se s povolenou tolerancí budou shodovat s prvky vektoru Patternp, a to pro všechny vzory p.

Označme výstup z k-tého neuronu nk ve výstupní vrstvě jako Outputk a aktivační funkci tohoto neuronu jako Ak. Pak výstup z neuronu Outpujk = TF(Ak).

Nechť Patternpk označuje požadovaný výstup z k-tého neuronu, ležícího ve výstupní vrstvě neuronové sítě v p-tém trénovacím vzoru. Outputpk pak bude aktuálním výstupem k-tého neuronu v p-tém vzoru. Outputpk zpočátku (při zahájení trénování) nebude shodný s Patternpk, protože síť není natrénovaná.

Definujme chybu v p-tém vzoru pro k-tý neuron výstupní vrstvy jako

( ) .21 2

pkpkpkpk OutputPatternErrorE −== (7.55)

Mocnina na druhou zabezpečuje, že všechny chyby budou kladné a zlomek 1/2 přispěje v dalším textu k zjednodučení postupu. Celková chyba v p-tém vzoru pak bude vypočtena dle vztahu:

( ) ,21 2∑ −==

kpkpkpp OutputPatternErrorE (7.56)

kde součet se provádí pro všechny neurony ve výstupní vrstvě. Celková chyba pro všechny vzory je pak součtem chyb jednotlivých vzorů.

( )∑ ∑∑ −===p p k

pkpkp OutputPatternErrorErrorE .2/1 2 (7.57)

Trénování neuronové sítě současně pro všechny uvažované vzory pak je třeba chápat jako minimalizační problém, při kterém se minimalizuje celková chyba Error vypočtená ze všech vzorů. Neznámé proměnné, které budou vypočteny takovýmto postupem, jsou hodnoty vah jednotlivých hran Wi,j odpovídající příslušným spojnicím neuronů. Protože dokonce i malé neuronové sítě mají stovky a tisíce spojnic, mluvíme o "minimalizaci skalárního pole na vektorovém prostoru se stovkami dimenzí".

Uvažujme dále vnitřní neuron nj. Označíme-li změnu váhy Wij ve vzoru p symbolem Δp.Wij , pak ji můžeme vyjádřit pomocí parciální derivace chyby Epj podle příslušné váhy Wij následujícím vztahem:

,.ij

pjijp W

EW

∂

∂=Δ η (7.58)

kde η je zvolená konstanta určující rychlost učení neuronové sítě. Pro opravenou hodnotu váhy pak platí:


- 164 (213) -

)..( pjpj ATFO =

( ) ( ),1−+Δ= pWWpW ijijpij (7.59)

kde výraz v závorce značí hodnotu váhy v p-tém vzoru.

Poznámka

Protože platí

,∑ ∂

∂=

∂∂

p jk

pk

jk WE

WE (7.60)

je zřejmé, že algoritmus nemůže implementovat celkový (opravdový ) gradientní pokles chyby E. Jednotlivé váhy jsou měněny po každé postupné implementaci příslušného vzoru. Praxe však ukazuje, že metoda je funkční v naprosté většině testovaných příkladů.

Řetězcové pravidlo Nechť platí pro neuron nj vnitřní vrstvy platí:

..ij

pj

pj

pj

ij

pj

WA

AE

WE

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ (7.60)

V předchozím textu bylo uvedeno, že

,.∑=j

pijijpj OWA (7.61)

takže

.ij

pjpj W

AO

∂

∂= (7.62)

Definujme chybový faktor neuronu nj jako:

.pj

pjpj A

E∂

∂−≡δ (7.63)

Vztah (7.58) pak je možno s přihlédnutím k (7.60) a (7.62) přepsat do tvaru:

... pijpjijp OW δμ−=Δ (7.64)

Protože chyba nj neuronu Epj je funkcí výstupního signálu z neuronu Opj a aktivační funkce Apj ovlivňuje přes přenosovou funkci Opj, je možno psát:

pj

pj

pj

pj

pj

pj

AO

OE

AE

∂

∂

∂

∂=

∂

∂. (7.65)

a

(7.66)

Vztah pro výpočet chybového faktoru je tedy možno přepsat ve tvaru:

- 165 (213) -

( ).´. pjpj

pjpj ATF

OE

∂

∂−=δ (7.67)

Neuron ve výstupní vrstvě Pokud neuron leží ve výstupní vrstvě, je tedy výstupním neuronem nk, je možno derivaci ∂Εpk/∂Οpk určit ve vztahu (7.55) bezprostředně z definice Epk

( ) ,21 2

pkpkpk OutputPatternError −= (7.68)

zkráceně zapsáno:

( ) .21 2

pkpkpk OPAE −= (7.69)

Po derivaci pak získáme:

( ).pkpkpk

pk OPAOE

−−=∂

∂ (7.70)

Z uvedeného vztahu je zřejmé, proč byl ve vztahu (7.55) uvedena 1/2. Nyní ve vztahu ( 7.70 ) došlo po provedené derivaci k jejímu vykrácení.

Protože :

( ),ATFO = (7.71)

platí

( ) .kpk

pk

dAAdTF

AO

=∂

∂ (7.72)

Z tohoto důvodu je třeba volit takové tvary přenosových funkcí TF(A), aby byly spojité a aby je bylo možno spojitě derivovat. Pro chybový faktor neuronu ve výstupní vrstvě pak platí:

( ),´. pkpk

pkpk ATF

OE

∂

∂−=δ (7.73)

( ) ( ).´. pkpkpkpk ATFOPA −=δ (7.75)

Je tedy možno konstatovat, že chybový faktor δk neuronu nk je roven součinu absolutní chyby tohoto neuronu (bude nadále označováno jako AEpk) AEpk= (PApk-Opk) a derivace přenosové funkce TF'(Apk). Pak platí:

( ) ..´ pkpkpk AEATF=δ (7.76)

Změny vah odpovídajících hranám vstupujícím do nk neuronu se pak určí ze vztahu:

... pjkpkjkp OW δμ=Δ (7.77)


- 166 (213) -

Neuron ve vnitřní vrstvě Pokud neuron nj leží ve vnitřní vrstvě a předává výstupní signál do výstupní vrstvy neuronů nk , platí:

∑ ∂∂

=∂∂

k pj

pk

pj

pj

OE

OE

, (7.78)

kde součet se provádí přes všechny výstupní neurony. Protože chyba Epk neuronu nk závisí na aktivační funkci tohoto neuronu Apk a aktivační funkce neuronu nk závisí na výstupním signálu z neuronu nj, je možné psát:

,.∑ ∂∂

∂∂

=∂∂

k pj

pk

pk

pj

pj

pj

OA

AE

OE

(7.79)

( )..∑ −=∂∂

kjkpk

pj

pj WOE

δ (7.80)

Pro chybový faktor neuronu vnitřní vrstvy nj pak v návaznosti na (7.67) platí:

( ) ( )...´ ∑=k

jkpkpjpj WATF δδ (7.81)

Výrazy v sumě jsou známé jako k-té lokální chybové signály a při trénování postupují (jsou propagovány) od výstupní vrstvy neuronů k vrstvě výstupní. Odtud získala metoda "backspace propagation“ svůj název. Je zřejmé, že součet lokálních signálů je analogicky (7.76) roven absolutní chybě neuronu nj. Pro chybový faktor neuronu nj pak opět platí:

( ) ..´ pjpjpj AEATF=δ (7.82)

Proces trénování v zásadě sestává z opakovaných výpočtů výstupů z neuronové sítě při daných vahách pro každý vzor, kdy signály postupují od vstupní do výstupní vrstvy neuronů (forwards). Následně pak probíhá postupný výpočet chybových faktorů zpětným směrem (backward) a oprav jednotlivých vah dle rovnice:

(7.83)

Pro výpočet změny vah se často užívá modifikovaný tvar podle Sejnovského a Rosenberga:

( )( ),....1. 1 ijppipjijp WOW −Δ+−=Δ ηδημ (7.84)

kde η je dalším zavedeným parametrem, který je známý jako "vyhlazovací faktror“. Ten zlepšuje konvergenci řešení. Ovšem i pro η = 0 řešení konverguje, ale konvergence trvá poněkud déle.

Poznámka

Pokud zavedeme do řešení hodnoty prahů jako nulté vstupy do neuronů s hodnotou signálu -1 a s vahou θ, pak se hodnota signálu u každého neuronu v průběhu trénování nemění a zůstává rovna -1. Na základě odpovídajících

... pipjijp OW δμ=Δ

- 167 (213) -

chybových faktorů se pro každý vzor počítají změny prahů Δpθ a mění se pouze hodnoty prahů θ způsobem obdobným, jak bylo popsáno u změn vah.

7.5.1.4 Příklad užití metody zpětného šíření

V této kapitole je naznačen postup aplikace metody zpětného šíření na známý početní problémem, tj. výpočet exkluzivní XOR funkce se dvěma logickými vstupy. Naznačený postup je pouze demonstrativní a je určen k názornému pochopení principu této metody. Funkce XOR odpovídá na zadané hodnoty vstupních dat následujícím způsobem. Pokud jsou oba vstupní signály rovny 1 nebo 0, je logický výstupní signál roven 0. Pokud jsou vstupy různé 1 nebo 0, je logický výstup roven 1. Tento vztah mezi vstupy a výstupem je uveden v následující tabulce:

Tab. 7.6: Vzory dat pro trénování sítě

Obr. 7.38: Neuronová síť pro aproximaci pravdivostní tabulky XOR

Biologové matematicky dokázali, že XOR funkce nemůže být aproximována neuronovou funkcí se dvěmi vstupními a jedním výstupním neuronem. Tato aproximace však může být provedena pomocí neuronové sítě se dvěma vstupními neurony, dvěma neurony ve skryté vrstvě a s jedním neuronem ve vrstvě výstupní.

Uspořádání takovéto sítě je znázorněno grafem na obr. 7.38. Čísla u hran grafu odpovídají vahám, které byly přiřazeny těmto hranám pro nastartování řešení

Pravdivostní tabulka

Vstupy Výstup

1 1 0

0 0 0

1 0 1

0 1 1

n1

n2

n3

n4

n5Vstupy

Výstup

-4.9

4.6

5.0

-5.1

2.2

2.5

Váha


- 168 (213) -

náhodným výběrem, což je nejlepší způsob počátečního určení vah. Tyto hodnoty budou v průběhu trénování postupně modifikovány.

Nechť neurony v takovéto síti fungují jako prahové jednotky. Předpokládejme, že práh každého neuronu bude zadán konstantní hodnotou 0.01. Pokud součet vstupních signálů z předchozí vrstvy neuronů (vynásobených odpovídajícími vahami) v každém neuronu překročí tuto hodnotu, výstupem neuronu bude hodnota 1. V opačném případě bude výstupem neuronu hodnota 0. Takovouto funkci neuronu nám zabezpečí užití skokové přenosové funkce.

Protože však skoková funkce nemá definovanou spojitou derivaci, protože je nespojitá, zavedeme do řešení zjednodušení a položíme tuto hodnotu v dalším textu rovnu 1, tj. TF'(Aj) =1, čímž její vliv při výpočtu chybového faktoru eliminujeme. Chybový faktor neuronu tak bude záviset pouze na absolutní chybě neuronu. Numericky je prokázáno, že i takovéto zjednodušení při užití metody zpětného šíření konverguje ke správnému výsledku řešení. Dále předpokládejme, že rychlost učení μ bude pro jednoduchost rovna 1, a že hodnoty prahů se v průběhu řešení nebudou měnit.

Pokud aplikujeme na takovouto síť vzor dat z prvního řádku tab.7.6, je postup výpočtu průchodu signálů neuronovou sítí naznačen na obr.7.39. Postup výpočtu výstupů z každého neuronu skryté a výstupní vrstvy je uveden u příslušného neuronu. Hodnoty signálů na výstupu z každého neuronu jsou uvedeny vždy u příslušného neuronu.

Obr. 7.39: Výpočet výstupů z neuronů

Neuron n3 dostává dva signály, jeden z neuronu n1 a druhý z neuronu n2. Váha odpovídající hraně h13 bude značena W13 a její hodnota je -4.9. Signál vycházející z neuronu n1 je roven 1. Váha odpovídající hraně h23 bude značena W23 a její hodnota je 5.0. Signál vycházející z neuronu n2 je roven 1. Po vynásobení výstupů z neuronů n1 a n2 odpovídajícími vahami získáme aktivační funkci v neuronu n3 rovnu 0.1. Ta je větší než prahová hodnota 0.01. Proto hodnota výstupu z neuronu n3 je rovna 1. Obdobně budeme postupovat u neuronu n4 . Aktivační funkce tohoto neuronu však je záporná. Proto je výstupem tohoto neuronu 0. Postup u neuronu n5 je analogický. Aktivační

n1

n2

n3

n4

n5 Vstupy

Výstup

1

1

1

0

Váha -4.9+5.0=0.1

4.6-5.1=-0.5

2.2+0=2.2

1

- 169 (213) -

funkce tohoto neuronu však je kladná a větší než prahová hodnota. Proto je výstupem tohoto neuronu 1.

Je zřejmé, že u výstupního neuronu v prvním vzoru vznikla chyba. Správná hodnota je 0. My jsme však výpočtem získali hodnotu výstupního signálu 1. Opravu vah, jejichž velikosti byly stanoveny náhodně provedeme pomocí metody zpětného šíření. Nejdříve vypočteme chybové faktory odpovídající jednotlivým neuronům a následně provedeme opravu vah, a to zpětně od výstupního neuronu po neurony vstupní. Vždy provedeme výpočet pro jednu vrstvu současně. Takovýmto způsobem provedeme zpětnou propagaci chybového faktoru.

Výstupní vrstva Nejdříve vypočteme změnu váhy ve výstupním neuronu n5. Tato změna závisí na dvou veličinách. První je výstupní absolutní chyba neuronu a druhou je velikost vstupního signálu do tohoto neuronu přes hranu, ve které provedeme opravu váhy. Absolutní chyba neuronu AE5 je rovna rozdílu mezi požadovaným a skutečným výstupem: AE5 = 0-1 = -1. Chybový faktor dle (7.75) je tedy roven součinu této absolutní chyby, vynásobené derivací přenosové funkce: δ5 = AE5 . TF'(Aj) = -1 * 1 = -1.

Opravu váhy pak vypočteme ve dvou krocích. V prvním chybový faktor δ5 vynásobíme hodnotou výstupního signálu z neuronu z vyšší vrstvy do hrany, pro kterou počítáme opravu váhy. Například změnu váhy ve hraně h35 vypočteme jako součin rychlosti učení, chybového faktoru v neuronu n5 a signálu vystupujícího z neuronu n3, tj. ΔW35 = μ*δ5*O3 = 1*(-1)*1=-1. Ve druhém kroku je přičtena změna váhy ve hraně h35 k hodnotě původní váhy: W35(1)=ΔW35+W35(0)=-1+2.2=1.2. Získáme tak novou hodnotu váhy, která je použita při učení na dalším vzoru vstupně výstupních dat. Analogicky vypočteme změnu váhy ve hraně h45: ΔW45=μ*δ5*O4=1*(-1)*0=0. Nová hodnota váhy v této hraně bude rovna: W45(1)=ΔW45+W45(0)=0+2.5=2.5. Hodnota této váhy se tedy nezmění.

Skrytá vrstva V dalším kroku se posuneme do skryté vrstvy neuronů. V ní leží neurony n3 a n4. Protože do neuronu n3 vstupuje z výstupní vrstvy pouze jedna hrana h35 s původní váhou W35, je absolutní chyba tohoto neuronu rovna AE3=δ5 *W35. Chybový faktor neuronu n3 v této vrstvě pak bude vypočten podle (7.81): δ3

=TF'(A3)*δ5 *W35. Po dosazení tedy získáme δ3=1*(-1)*2.2=-2.2. Změna váhy ve hraně h13: ΔW13=μ*δ3*O1=1*(-2.2)*1=-2.2. Nová hodnota váhy v této hraně bude rovna: W13(1)=ΔW13+W13(0)=-2.2-4.9=-7.1. Změna váhy ve hraně h23: ΔW23=μ*δ3*O2=1*(-2.2)*1=-2.2. Nová hodnota váhy v této hraně bude rovna: W23(1)=ΔW23+W23(0)=-2.2+5=2.8.

Analogicky vypočteme i změnu váhy ve hraně h24. Protože do neuronu n4 vstupuje z v ýstupní vrstvy pouze jedna hrana h45 s původní váhou W45, je absolutní chyba tohoto neuronu rovna AE4=δ5 *W45. Chybový faktor neuronu n4 v této vrstvě tedy bude: δ4 =TF' (A4)*δ5 *W45, Po dosazení tedy získáme δ4

=1*(-1)*2.5=-2.5. Změna váhy ve hraně h14: ΔW14=μ*δ4*O1=1*(-2.5)*1=-2.5.


- 170 (213) -

Nová hodnota váhy v této hraně bude tedy rovna: W14(1)=ΔW14+W14(0)=-2.5+4.6=2.1. Změna váhy ve hraně h24: ΔW24=μ*δ4*O2=1*(-2.5)*1=-2.5. Nová hodnota váhy v této hraně bude tedy rovna: W24(1)=ΔW24+W24(0)=-2.5-5.1=-7.6.

Opravené váhy

Nové hodnoty vah jsou znázorněny na obr. 7.40. Po opravách vah je v neuronové síti proveden výpočet pro další vzor dat v pořadí - číslo 2. Pokud při na výstupech neuronové sítě po aplikaci na všechny vzory vznikne chyba, posloupnost zpětného šíření chyby a korekce vah bude zopakována. Pokud chyba nevznikne a všechny vstupy a výstupy neuronové sítě nabudou hodnot dle uvedené pravdivostní tab.7.6, proces trénování se zastaví a neuronová síť bude připravena pro řešení XOR problému.

Obr. 7.40: Neuronová síť po opravě vah

Pokud metodu zpětného šíření implementujeme na složité neuronové sítě se sigmoidálními přenosovými funkcemi a změnou strmosti a sítě se změnou prahových hodnot, které zavedeme jako nulté vstupy neuronů, bude proces trénování značně složitější. Algoritmus zpětného šíření chyby však bude obdobný.

Vstupy a výstupy, které tvoří vzory neuronové sítě nejsou na běžných sítích 0 nebo 1, ale jsou to zcela obecná čísla. V takovémto případě je třeba zadat povolenou toleranci pro definovanou chybu mezi vypočtenými a požadovanými výstupy neuronové sítě. Pokud vypočtená chyba klesne pod zadanou toleranci, trénování je ukončeno.

BrainMaker a genetické algoritmy Nejnovější verze simulátorů neuronových sítí umožňují trénování

pomocí genetických algoritmů. Např. BrainMaker Professional (BrainMaker ver.3.1.+GTO, 1996) tuto možnost poskytuje pomocí dodatečně zakoupené rutiny - GTO (Genetic Training Option). Algoritmus, který řídí proces učení, vychází ze dvou výše popsaných operací - mutace a křížení. Aplikujeme-li

n1

n2

n3

n4

n5 Vstupy

Výstup

-7.1

2.1

2.8

-7.6

1.2

2.5

Váha

- 171 (213) -

genetické algoritmy na neuronové sítě, je možno nahlížet na spojnice (hrany) mezi neurony a jejich váhy jako na DNA řetězce v živých organizmech.

Mutace vyžaduje pouze jednoho rodiče. Během ní je náhodné procento neuronů změněno modifikací vah ve hranách, které je spojují. Frekvence změn a velikost jejich změny je zadána uživatelem, resp. se mohou využít přednastavené hodnoty. Obr. 7.41 znázorňuje neuronovou síť rodiče a neuronovou síť potomka. Na tomto příkladě skrytý neuron n3 mutoval z rodiče na potomka. Váhy u příslušných hran, které směřují do tohoto neuronu, se změnily.

Obr. 7.41: Schéma mutace neuronové sítě

Křížení vyžaduje dva rodiče. V neuronové síti je možno jej implementovat tak, že ze dvou neuronových sítí - rodičů vytváříme třetí - potomka. Na obr. 7.42 je znázorněno křížení dvou neuronových sítí. Potomek obdržel skrytý neuron n3 od druhého rodiče a první skrytý neuron od prvního rodiče (rozumí se váhy u příslušných hran).

Po provedené mutaci nebo křížení je testován potomek - nová neuronová síť. Pokud vykazuje potomek lepší vlastnosti než jeden nebo oba rodiče, nová neuronová síť nahradí rodiče nebo jednoho z rodičů. Přenáší tak informace na budoucí generace neuronových sítí. GTO umožňuje kombinovat mutace a křížení. Protože mutace a křížení jsou aplikovány na váhy hran v neuronové síti, je třeba při spuštění GTO vycházet z již natrénované nebo

n1

n2

n3

n4

n5Vstupy

Výstup

n1

n2

n3

n4

n5Vstupy

Výstup

RODIČ

POTOMEK


- 172 (213) -

částečně natrénované neuronové sítě, tj. mít dostatečný zásobník neuronových sítí - rodičů.

Obr. 7.42: Schéma křížení neuronových sítí

GTO umožňuje kromě užití genetických algoritmů optimalizovat sestavení a trénování neuronové sítě mřížkovou metodou. Řada parametrů, které se zadávají v BrainMakeru (např. počet neuronů ve skrytých vrstvách a počet skrytých vrstev atd.), se zadává nikoliv jednou hodnotou, ale intervalem možných hodnot. Ke každému intervalu je zadán pevný krok změn příslušného parametru. Neuronová síť je pak opakovaně trénována pro všechny možné kombinace hodnot parametrů. Z nich jsou vybrány takové, pro které je NS

n1

n2

n3

n4

n5 Vstupy

Výstup

n1

n2

n3

n4

n5 Vstupy

Výstup

RODIČ 1

POTOMEK

n1

n2

n3

n4

n5 Vstupy

Výstup

RODIČ 2

- 173 (213) -

natrénována s nejvyšší přesností. Nevýhodou tohoto přístupu je značná spotřeba strojového času.

7.5.1.5 Topologie neuronových sítí

Jedním ze zásadních problémů při konstrukci neuronové sítě je určení její topologie. Především je nutno zvážit k jakému účelu bude neuronová síť sloužit, jaké budeme zadávat veličiny vstupní a co bude výstupem. Je třeba dobře promyslet, které veličiny mohou mít vliv na výstup neuronové sítě. V této fázi je třeba zapomenout na různé procedury, pravidla nebo vzorce. Je třeba uvažovat o veličinách a jejich možných vztazích jako takových. Různorodost vstupních dat s vazbou na veličinu výstupní zvyšuje šanci nalézt významnou korelaci mezi veličinami. Dále je třeba si uvědomit, zda budeme mít k dispozici dostatek vzorů obsahujících veličiny vybrané jako vstupy a výstup neuronové sítě. Je zřejmé, že při určení počtu neuronů ve vstupní a výstupní vrstvě se po provedení těchto úvah nevyskytnou žádné větší problémy. Jejich počet je dán počtem vstupních a výstupních veličin. Dimenze vstupní a výstupní vrstvy je tedy dána charakterem řešené úlohy

Problémy však nastávají při určení počtu skrytých vrstev neuronů a počtu neuronů v těchto vrstvách. Problém volby počtu skrytých vrstev a skrytých neuronů je záležitostí každého řešitele. Např. Kosko v (Kosko,1992) tvrdí, že libovolná funkce může být aproximována třívrstvou neuronovou sítí s 2m+1 neurony ve skryté vrstvě, kde m je počet vstupních neuronů. Takovouto síť pak je možno považovat za univerzální aproximátor. Je však třeba uvést, že pro zodpovězení otázky, týkající se počtu skrytých neuronů, neexistuje žádný univerzální magický vzorec. Jedno doporučení říká, abychom ve skryté vrstvě určili počet neuronů jako průměrnou hodnotu z počtu vstupních a výstupních neuronů. Jiné doporučení navrhuje započít s trénováním při menším počtu neuronů ve skryté vrstvě a tento počet postupně zvyšovat, až se přesnost natrénované neuronové sítě přestane zvyšovat.

Jedno z pravidel doporučuje volit počet parametrů modelu (vah neuronové sítě) menší než počet všech vzorků v trénovacím souboru, Kůrková (Kůrková,1998). V opačném případě hrozí přetrénování (overfiting) a ztráta generalizační schopnosti neuronové sítě, tj. síť má příliš mnoho spojů mezi neurony a není schopna dosáhnout zobecnění vztahu mezi vstupy a výstupy. Příliš mnoho skrytých neuronů může tedy způsobit, že si neuronová síť "zapamatuje" vzory, místo aby se podle nich učila. Neuronová síť bude velmi dobře trénovat, s jejími testy to však bude podstatně horší. Ve spojitosti s tímto jevem se užívá termín, že neuronová síť je "převážená".

Pro dosažení správných výsledků je lepší trénovat "hubenější" neuronovou síť s menším počtem skrytých neuronů, ale pro trénink použít dostatečný počet vstupních vzorů dat, rovnoměrně pokrývajících řešenou oblast vstupních dat.

Pokud má neuronová síť problémy s dosažením správných výsledků, může být jednou z příčin malý počet tréninkových vzorů. Tento problém je statistického rázu. Když poměr počtu tréninkových vzorů k počtu neuronů klesá, narůstá pravděpodobnost vzniku "libovolného" vztahu mezi vstupy a výstupy. To se dá vyjádřit ještě jednodušším způsobem. Čím méně tréninkových vzorů v porovnání s počtem neuronů máme k dispozici, tím je větší pravděpodobnost, že síť sice natrénujeme, nebude však naučená správně.


- 174 (213) -

Nutný počet tréninkových vzorů, který minimalizuje takovéto selhávání závisí na velikosti neuronové sítě. Čím je neuronová síť větší (především čím více má skrytých neuronů), tím je třeba většího počtu tréninkových vzorů. Pro odhad nutného počtu tréninkových vzorů (TV) ve vztahu k počtu skrytých neuronů (SN), povolené toleranci (PT) a počtu vstupních neuronů (VN), je možno použít vztah dle Lawrencové (Lawrence,1994):

..VNPTSNTV = (7.85)

Běžná praxe však ukazuje, že počet tréninkových vzorů by měl být přinejmenším roven součinu počtu skrytých neuronů a reciproké hodnoty požadované tolerance. Například, pokud máme 10 skrytých neuronů a požadovanou toleranci rovnu 0.1, počet tréninkových vzorů by měl být přinejmenším 100=10*(1/0.1).

Otázkou je, jaký počet skrytých neuronů je tedy nejlepší. Velký počet skrytých neuronů tedy může vést k "zapamatování" si vzorů. Jestliže však máme malý počet neuronů, neuronová síť se nedá dostatečně natrénovat. Je možno konstatovat, že neexistuje žádný univerzální vzorec pro vyřešení daného problému. Existuje však několik cest vedoucích k určení postačujícího počtu skrytých neuronů. Jedním řešením je natrénovat několik neuronových sítí s různým počtem skrytých neuronů a vybrat z nich tu, která dává při testování nejlepší výsledky. Druhým řešením je započít trénování s menším počtem skrytých neuronů a pokud se nedaří síť na požadovanou toleranci natrénovat, postupně přidávat další skryté neurony, dokud se schopnost učení nezlepší. V praxi se ukazuje, že pro odhad nejnižšího nutného počtu skrytých neuronů (SN) je možno použít vztah:

(7.86)

kde význam symbolů je stejný jako v (7.85).

Rovněž je možné zpočátku trénovat neuronovou síť s větším počtem skrytých neuronů a pak vyjmout ty spojnice, nebo celé neurony, které poskytují velmi malé výstupní signály. Pak je třeba znovu započít s trénováním neuronové sítě s takto zmenšeným počtem skrytých neuronů. Tato technika se nazývá "prostřih". Je však třeba s ní zacházet velmi obezřetně. Pokud vyjmeme příliš mnoho spojnic, resp. skrytých neuronů, můžeme se vrátit k řešení opačného problému spojeného s malým počtem skrytých neuronů v neuronové síti. Proto je dobré vždy před prováděním těchto operací topologii původní neuronové sítě nahrát na disk. Prostřih pak provádět vždy jen pro malý počet spojnic, resp. skrytých neuronů a raději postupovat po velmi malých částech až získáme vyhovující strukturu neuronové sítě.

Jednou z dalších otázek týkajících se topologie neuronové sítě je, kolik skrytých vrstev je vhodné používat v neuronových sítích (Lawrence,1994). Pro použití nejjednodušších třívrstvých sítí se přiklání řada autorů, nicméně téměř stejný počet autorů aplikuje více skrytých vrstev. Praxe však ukazuje, že je vhodné započít trénování s jedinou vrstvou skrytých neuronů. Pokud navrhujeme neuronovou síť s více skrytými vrstvami, prodlužujeme především podstatně dobu trénování. Přitom není jednoznačně prokázané, že více skrytých vrstev, vede jednoznačně k lepším výsledkům. Pokud takovouto neuronovou síť

,.PTVNTVSN =

- 175 (213) -

navrhneme, dostáváme se do méně prozkoumané oblasti a musíme postupovat obezřetně. Čím více skrytých vrstev do neuronové sítě vložíme, tím déle tedy probíhá proces učení. Pokud takovouto síť navrhneme a nejde natrénovat, je vhodné zmenšit počet těchto vrstev a znovu započít s trénováním.

Přidání náhodného "šumu" k tréninkovým datům může napomoci procesu učení neuronové sítě. To umožní poněkud změnit data, kdykoliv jsou předložena k trénování. Přidání náhodného šumu nutí neuronovou síť v procesu trénování rozpoznávat závislosti mezi údaji dokonce i když vypadají poněkud odlišně.

Přidání šumu je obzvláště užitečné, pokud máme omezený počet vzorů dat (Lawrence,1994). Některé programy užívají šum s Gaussovým rozdělením, kdy většina vstupů má malý šum a zbytek údajů má šum větší. Které vstupy mají větší nebo menší šum se mění v každém běhu v procesu učení. Pokud je šum příliš velký, může ně který tréninkový vzor vykazovat špatné výsledky v jednom běhu a špatné výsledky zase v jiném vzoru v příštím běhu. V konečném důsledku to může vést k špatnému natrénování sítě. Nejvhodnější velikost šumu činí proces trénování obtížnějším, ale ne nemožným. Přidání šumu ke vstupním datům se osvědčuje, když tréninková data obsahují mnoho nulových hodnot. Neuronové sítě se mnohem lépe učí, pokud vstupní vzory obsahují místo nul malé hodnoty čísel. Někdy se osvědčuje po natrénování neuronové sítě přidat šum ke vstupním datům a pokračovat v trénování. Takto dotrénované neuronové sítě v praxi často vykazují velmi dobré výsledky. Neuronová síť totiž mohla uváznout v pasti lokálního minima kriteriální funkce a "rozkmitání" vstupních dat jí může pomoci z takovéto pasti vyváznout.

Kombinace zašumění vstupních dat a prostřihování skrytých neuronů napomáhá k zobecňování závislostí mezi daty ve vstupních vzorech.

Jak bylo výše uvedeno, základní postup pro optimalizací topologie neuronové sítě je začít s malou sítí a postupně přidávat další skryté neurony popřípadě vrstvy, dokud chyba aproximace neuronovou sítí neklesne pod požadovanou hodnotu. Celý postup lze automatizovat do algoritmu. Pak je však nezbytné definovat bod, kdy je nutné přidat další skrytý neuron, protože učení stávající sítě již nepřináší žádný další užitek. Tímto způsobem vznikla metoda dynamické neuronové sítě (Dynamic Node Creation) (Lawrence,1994), která svou topologii tvoří během učení. Po přidání nového neuronu jsou opět inicializovány váhy a trénink začíná znovu. Chyba sítě pak bud' poklesne pod požadovanou mez přesnosti nebo je učení opět bez užitku a vytvoří se další nový neuron.

Opačný postup představuje metoda, kdy se napřed navrhne velká dobře konvergující sít' a pak z ní postupně odstraňují zbytečné neurony. Předimenzovaná síť obsahuje množství zbytečných neuronů a má slabé generalizační schopnosti. Pro odhalení těchto zbytečných neuronů existuje několik technik.

První možností je sledovat výstupy z jednotlivých skrytých neuronů. Jestliže jsou výstupy u některého neuronu neustále vysoké popřípadě neustále nízké, pak je zřejmé, že tento neuron nereaguje na variabilitu vstupních vzorků a může být odstraněn. V případě, že dva skryté neurony dávají pro všechny vzorky stejné výstupy, lze jeden z nich také bez obav odstranit. Druhá etapa odstraňování zbytečných neuronů představuje poněkud pokročilejší metody,


- 176 (213) -

které založeny na kvantifikaci efektivity jednotlivých neuronů. Jedním z používaných metod pro tento účel je tzv. skeletonizace.

Skeletonizace je algoritmus, který vyhledává zbytečné neurony v síti a byl představen Mozerem a Smolenskym (Mozer, Smolensky,1989). Užitečnost neuronu ni je posuzována podle toho, jaký má tento neuron vliv na neurony v další vrstvě, do které vedou jeho výstupní hrany. Užitečnost neuronu se definuje jako rozdíl chyby sítě mezi případem, kdy je neuron ni ve funkci a případem kdy není použit. Algoritmus učí neuronovou síť učí neuronovou síť pomocí metody backpropagation dokud má učení efekt. Potom se vyhodnotí efektivita každého skrytého neuronu pomocí koeficientu užitečnosti. Neuron s nejmenším koeficientem je odstraněn a postup se opakuje.

Konstrukce neuronové sítě rovněž vyžaduje určení typu přenosových funkcí a jejich rozsahů, určení koeficientu rychlosti učení a vyhlazovacího faktoru. Rychlost učení určuje velikost oprav neznámých veličin v procesu učení (váhy, prahy, strmosti, atd.). Vyhlazovací faktor určuje míru vlivu, se kterým jsou uvažovány minulé korekce opravovaných veličin, a míru vlivu, se kterým jsou uvažovány korekce nově vypočtené (konjugované gradienty).

Rekurentní sítě a rekurentní neurony

Dosud byla popsána základní stavba vrstvené neuronové sítě. V této síti tvoří neurony vrstvy a u neurony dvou sousedních vrstev jsou propojeny systémem hran každý s každým. Existuje však řada dalších možných architektur vrstvených neuronových sítí, které uvedený základní systém rozšiřují a doplňují dalšími spoji mezi neurony. Příkladem jsou rekurentní sítě (Lawrence,1994). Rekurentní neuronové sítě se snaží zdokonalit proces učení zavedením spojů mezi neurony jednotlivých neuronových vrstev. Systém má zabránit tomu, toto doplnění má zabránit tomu, aby dva neurony z téže vrstvy reagovaly na vstupní data totožným způsobem. Neuronová síť' je rekurentní, protože v čase t je každý neuron ovlivněn výstupem z ostatních neuronů ze své vrstvy v čase t-l, což vede v důsledku k tomu, že je ovlivněn sám svým výstupem v čase t-2. Rekurentní neuronová síť nesmí být zaměňována s rekurentními neurony, které jsou obsahem další kapitoly.

Rekurentní neurony vznikly jako pokus obohatit neuronové sítě o časový rozměr. Neuronové sítě s rekurentními neurony se hodí pro zpracovávání dat, která tvoří časové řady. Každý neuron ve skryté vrstvě má svůj vlastní rekurentní neuron, který zpracovává svůj předešlý výstup. Spoj do rekurentních neuronů je proveden izolovaně vždy pro každou dvojici, kterou tvoří skrytý neuron a rekurentní neuron zvlášť. Na každém takovémto spoji je fixní váha rovna 1,0. Mezi vrstvou rekurentních neuronů a skrytou vrstvou je již síť opět propojena systémem každý s každým. Tento postup vytváří paměť systému, protože každý neuron je ovlivněn svým výstupem z předchozího kroku řešení. Informací o stavu systému v předešlých krocích řešení se v neuronové síti uchovává tím více, čím více má síť skrytých vrstev.

Neuronové sítě s dynamickou architekturou Dynamické neuronové sítě mají schopnost měnit běhen tréninku dynamicky svou strukturu. V případě potřeby přidávají nové neurony a nebo odstraňují neurony, které jsou zbytečné. Nejznámější dynamickou sítí je Fahlmanova sít'

- 177 (213) -

označovaná jako Cascade Correlation Architecture (Fahlman,1988). Síť se začíná učit pouze se vstupní a výstupní vrstvou a postupně přidává nové neurony podle potřeby. Každý nový neuron je napřed předtrénován za účelem maximalizace korelace mezi výstupy z neuronu a chyby sítě pro všechny trénovací vzorky. Sít' také obsahuje rekurentní vazby mezi neurony v jedné vrstvě. Dalším vylepšením sítě je použití rekurentních neuronů (Reccurent Cascade Correlation).

Optimalizace topologie neuronových sítí Software BrainMaker Professional (BrainMaker ver.3.1.+GTO Software pro emulaci umělých neuronových sítí,1996) umožňuje optimalizovat topologii a postup trénování neuronové sítě pomocí mřížkové (grid) metody. Řada parametrů, které popisují její topologii (např. počet skrytých vrstev neuronů, počet neuronů ve skrytých vrstvách, atd.), se zadává nikoliv jednou hodnotou, ale intervalem možných hodnot. Ke každému intervalu je pak zadán pevný krok změn příslušného parametru. Neuronová síť je pak opakovaně trénována pro všechny možné kombinace hodnot parametrů. Z nich je na závěr vybrána taková kombinace parametrů, pro kterou je neuronová síť natrénována při zadaném kritériu s nejvyšší přesností. Za takovýto komfort návrhu neuronové sítě zaplatíme značnou spotřebou strojového času počítače. Zejména u rozsáhlých neuronových sítí je opakovaně trénován značný počet možných variant neuronových sítí, lišících se různou topologií. Při progresivně se zrychlující výpočetní technice je však možno tuto cenu akceptovat. Postup je však zatím možno rozumně využít jen u méně rozsáhlých neuronových sítí.

Kompetiční model Podle topologie je možno rozlišit řadu různých typů neuronových sítí. Užitečnou může být stručná zmínka o kompetičním modelu s Kohonenovou mřížkou, který může pomoci k redukci rozsáhlých dat, obsažených v tréninkové množině (Křivan,1995).

Kompetiční model je dvouvrstvá síť, jejíž učení probíhá bez učitele, takže tréninková množina obsahuje pouze vstupy. Model klasifikuje předkládané vzory z hlediska kategorií, které jsou dány charakterem vzorů obsažených v tréninkové množině.

Síť v průběhu procesu učení na vzorech z tréninkové množiny provede rozklad vstupního prostoru vzorů do výše uvedených kategorií. Naučená síť pak libovolný předložený vzor vstupů oklasifikuje příslušnou kategorií.

Interpretujeme-li výstupní vrstvu jako dvourozměrnou tzv. Kohonenovu mřížku, pak během samoučení se vektory synaptických vah, odpovídající vždy příslušnému neuronu v Kohonenově mřížce (při dostatečně velkém počtu předkládaných vzorů), rozmístí ve vstupním prostoru analogicky s předkládanými vzory (rozmístí se ve shodě s distribuční funkcí pravděpodobnosti výskytu vzorů ve vstupním prostoru). Budou-li tedy vstupy tréninkové množiny náhodně rozděleny ve vstupním prostoru v souladu s nějakou distribuční funkcí, pak po naučení sítě budou váhové vektory rozděleny ve vstupním prostoru v souladu se stejnou distribuční funkcí.

Předložíme-li pak naučené neuronové síti jako vstup tréninkovou množinu, na které byla natrénovaná, pak mapa četnosti excitací neuronů výstupní mřížky


- 178 (213) -

(tzv. Kohonenova mapa) nám vykreslí do sebe transformované shluky vstupů tréninkové množiny v n-rozměrném vstupním prostoru.

Kompetiční model s Kohonenovou mapou tedy provádí shlukovou analýzu tréninkové množiny, tj. určení počtu shluků vstupů tréninkové množiny a jejich rozmístění ve vstupním prostoru. Model je možno použít jako reduktoru mohutnosti tréninkové matice. Matici nahradíme v tomto případě vektory synaptických vah (které jsme získali v procesu trénování) s rozdělením shodným s rozdělením informací v tréninkové množině. Takto redukovaná tréninková množina tedy bude mít stejné proporce, co se týká charakteru obsažených informací, jako původní neredukovaná tréninková množina.

Kompetiční model se vstřícným šířením vah lze rovněž aplikovat jako filtr šumu náhodně zkreslujícího určitý počet vzorů při jejich opakovaném pozorování ukládaném do tréninkové množiny a tvořícím shluky okolo jejich skutečných hodnot, tj. reprezentantů odpovídajících shluků získaných adaptaci sítě na uvedenou tréninkovou množinu.

7.5.1.6 Standardizace dat

Standardizací vstupních dat rozumíme transformaci, která tato data převede na požadované intervaly. Tyto intervaly mohou být různé a mohou se odlišovat podle toho, zda se jedná o vstupy nebo výstupy neuronové sítě. Pak mluvíme o standardizaci vstupních nebo výstupních dat. V zásadě může být tato transformace nelineární nebo lineární Transformaci je nutno provést ještě před započetím trénování neuronové sítě a v řadě případů je podmínkou úspěšného trénování (Lawrence,1994).

Například při použití sigmoidy jako nelineární přenosové funkce, jejíž výstupy leží v intervalu (0,1), je transformace výstupních dat nutností a plyne z definice této funkce. Požadovaná výstupní data je třeba přetransformovat rovněž na interval (0,1). Po natrénování neuronové sítě a provedeném výpočtu pro nová vstupní data jsou pak výstupy neuronové sítě inverzní transformací převedeny na interval skutečných hodnot výstupních dat. Vstupní data by teoreticky nemusela být pro sigmoidu standardizována, protože definiční obor sigmoidální přenosové funkce je (-∞, +∞). Ve skutečnosti je však standardizace vstupů vhodná. Ukázalo se, že učení neuronové sítě je mnohem rychlejší, když jsou vstupní data symetrická. Proto se transformují nejčastěji do symetrického intervalu kolem nuly. Dále se doporučuje, aby vstupní data byla přetransformována do menších hodnot. Důvodem je malá citlivost sigmoidální funkce při větších absolutních hodnotách vstupů.

Pokud vzory dat určené pro trénování zapíšeme do matice, jak bylo uvedeno v kap. , jsou v zásadě možné dva způsoby standardizace. Jednak je to standardizace po sloupcích matice a jednak standardizace po řádcích matice. Nejčastěji se používá standardizace po sloupcích, kdy standardizujeme každý sloupec zvlášť. Každý vstup do neuronové sítě je tvořen obecně jinou veličinou, která má svůj vlastní fyzikální či jiný význam. Je proto přirozené, že také rozdělení každého vstupu je jiné a má i jiný rozsah hodnot. Standardizace po řádcích není příliš častá, protože při ní dochází ke ztrátě informace. Záměrně však lze využít této ztráty například při redukci vzorů v rozsáhlé neuronové síti. Příkladem může být Kohonenova neuronová síť.

- 179 (213) -

Standardizace se provádí transformací dat převážně do malého intervalu symetricky kolem nuly. Je nutné standardizovat každou veličinu zvlášť, protože každá má jiné rozdělení a rozsah hodnot. Jestliže má jedna veličina rozsah hodnot od 1 do 10, zatímco jiná má rozsah od 1 do 1000, pak dojde k potlačení významu první veličiny. V případech, kdy je jasné, že jedna veličina je pro danou transformaci mnohem důležitější než druhá, je možno tuto veličinu transformovat na větší interval a tím zdůraznit její důležitost.

7.5.2 Neuronové sítě a regrese

Pokud je čitatel alespoň částečně obeznámen s vícerozměrnými regresními rovnicemi, jistě rychle nalezne alespoň částečnou analogii mezi regresními rovnicemi a neuronovými sítěmi. Zejména vícerozměrná lineární regresní rovnice ve tvaru:

(7.87)

kde Y je předpovězená veličina ze vstupních veličin X1, X2, X3 až Xp a a1, a2, a3 až ap jsou regresní koeficienty, připomíná svým tvarem vztah psaný pro výstupní neuron jednosměrné lineární neuronové sítě s jedinou vrstvou vstupních neuronů, jediným výstupním neuronem a s nulovým prahem u všech neuronů. Nahradíme-li totiž regresní koeficienty a vahami W ve hranách hjk, spojujících vstupní neurony nj s výstupním neuronem nk, můžeme v souladu s kapitolou 7.5.1 a vztahem (7.44) pro výstupní signál Ok, který nahradí Y psát:

(7.88)

kde O1k, O2k, O3k jsou vstupní signály do neuronu nk a pro výstupní signály Oj z neuronů vstupní vrstvy nj platí O1 =X1, O2 =X2 až Op =Xp. Platí tedy:

.......... 332211 ppkkkkk XWXWXWXWYO ++++== (7.89)

Je zřejmé, že analogicky je možno sestavit neuronové sítě, které mohou nahradit i vícerozměrné nelineární regresní rovnice. Jedná se například o polynomické regresní rovnice, mocninné regresní rovnice i další velmi složité typy regresních rovnic. Srovnáním obou typů modelů se zabývala celá řada autorů. Například Sarle v (Sarle,1994) uvádí: "Výzkumníci z oboru neuronových sítí znovu vynalezli metody známé ze statistické nebo matematické literatury desetiletí či století, ale často nechápou, jak tyto metody fungují". Částečně je možno s tímto názorem souhlasit. Jak bylo uvedeno výše, neuronové sítě a regresní rovnice mají mnoho společného. Zejména to však platí pro velmi jednoduché jednosměrné vrstevnaté neuronové sítě. Kdo však s regresními rovnicemi přišel do styku v běžné praxi, mi dá určitě za pravdu, že největším problémem je zvolit u vícerozměrných nelineárních úloh správný typ regresní rovnice. Takovéto vztahy se nedají znázornit jednoduchým grafem a řešitel často sklouzne do oblasti intuitivní a uvedený problém řeší metodou pokusů a omylů. Opřít se tu může jenom o své zkušenosti z předchozích prací, literaturu a zkušenosti svých kolegů. Samostatným problémem je v nelineárním regresní rovnici výpočet regresních koeficientů (kalibrace). Řešitel musí být dobře obeznámen s nelineární optimalizací a musí mít dostatečně obecně napsaný software umožňující provést kalibraci takovéto regresní rovnice. Problémem k je i volba kriteriální funkce, podle které bude regresní rovnice okalibrována, a která má pro způsob proložení regresní křivky množinou

,......... 332211 pp XaXaXaXaY ++++=

,......... 332211 pkpkkkkkkkk OWOWOWOWO ++++=


- 180 (213) -

naměřených bodů rozhodující význam. Tento problém je však obdobný i u neuronových sítí. Pokud u nelineární regrese změníme tvar regresní funkce, nutně musíme přepsat i použitý algoritmus pro kalibraci. Pokud pro tento účel použijeme komerční software, dostaneme se do pasti nabídky tvaru regresních funkcí, která nemusí být postačující.

Výhody neuronových sítí oproti regresním rovnicím je možno shrnout do následujících bodů:

• Neuronové sítě nevyžadují volbu regresní závislosti. Vyžadují pouze volbu počtu skrytých vrstev, počtu neuronů v těchto vrstvách a volbu tvaru přenosových funkcí. Při určitých zkušenostech s jejich použitím však sklouznou tyto volby do oblasti rutinní. Navíc lze vícevrstvé nelineární neuronové sítě použít k aproximaci téměř libovolné nelineární funkce. Stávají se tak univerzálními aproximátory.

• Učení (trénink) neuronové sítě je analogickým termínem pro kalibraci regresní rovnice. Neuronové sítě jsou však v procesu učení mnohem obecnější, samy si vyberou, kterému vstupu a parametru mají určit větší váhu a optimalizují větší počet parametrů.

• Neuronové sítě mohou obsahovat více výstupů, jejichž hodnotami odpovídají na zadané hodnoty vstupů, což je pro běžné regresní rovnice nedostižné.

Závěrem je možné shrnout, že pro jednoduché úlohy se lépe hodí použít klasické statistické regresní modely. Technika kalibrace těchto modelů je značně propracovaná. Navíc umožňují určit meze spolehlivosti, konfidenční interval a řadu dalších důležitých údajů, jejichž určení se u komerčních softwarů, emulujících neuronové sítě, vyskytuje jen zřídka. Pro složitější úlohy z oblasti vícerozměrné nelineární regrese se však jeví jako vhodnější použít neuronové sítě, zejména pokud požadujeme souběžně více výstupů. Mnoho však záleží na názorech a zkušenostech řešitele a na dostupnosti použitelného softwaru. Řešitel se sám musí rozhodnout jakou technologii pro řešení zvolí.

7.5.3 Možnosti nasazení neuronových sítí v hydrologii

Typické vlastnosti neuronových sítí jsou rozhodující pro využití v aplikacích v hydrologii. Lawrencová z California Scientific Software v (Lawrence, 1994) shrnuje tyto vlastnosti do bodů, které byly v řešených aplikacích potvrzeny: • Neuronové sítě jsou vynikajícím prostředkem pro rozpoznávání závislostí

mezi vstupními a výstupními údaji. Pokud potřebujete nějakou závislost rozpoznat a oklasifikovat, neuronová síť daný problém vyřeší vždy rychleji a přesněji než člověk. Neuronová síť dokáže opticky rozpoznat cokoliv a určit, co to je dokonce, i když část dat je neúplných nebo jsou neplatná. Tato vlastnost se s velkým úspěchem využívá v medicíně při určování diagnóz (rozpoznávání rakovinných buněk při analýze provedených snímků), při identifikaci letadel z odražených radarových signálů, ale i trhlin v betonu z odražených zvukových vln, apod.

• Pokud není možno popsat vztah mezi soubory dat exaktním vztahem, ale pokud je známo, které veličiny jsou vstupní a mají vliv na veličiny výstupní, neuronové sítě mohou nalézt požadovaný vztah. Ať už je absence

- 181 (213) -

exaktního vztahu dána jeho značnou složitostí nebo prostě tím, že není znám.

• Neuronové sítě nevynikají přesností. Pokud se neuronové sítě zeptáte, kolik je součet ze 4.01 a 4.02, získáte pravděpodobně hrubou odpověď, že 8. Pokud tedy potřebujete provádět výpočty s vysokou přesností, neuronové sítě nebudou vhodným prostředkem.

• Pokud však bude rychlost výpočtu důležitější než přesnost, neuronové sítě jsou tím pravým prostředkem pro řešení.

Uvedené vlastnosti neuronových sítí je možno rozšířit i na problematiku aplikované hydrologie a vodního hospodářství vůbec: • Vlastnosti rozpoznávat závislost mezi vstupními a výstupními údaji lze

využít ve vodním hospodářství při konstrukci varovných systémů před povodňovými průtoky v ohrožených lokalitách, kdy mohou pomoci odhalit hrozící nebezpečí a zároveň je kvantifikovat stupněm ohrožení. Sestavení tréninkových matic pomocí jiných technik řešení pak je nezbytnou podmínkou zejména v povodích s nádržemi, z nichž je odtok řízen. V povodích bez nádrží pak je podmínkou úspěšnosti dostatečné množství naměřených dat.

• Vlastnosti aproximovat i silně nelineární vztahy mezi soubory dat, které nejsou exaktně dány, resp. jsou velmi složité a problematické, je možno využít při filtraci měřených meteorologických a hydrologických dat, prověřování jejich věrohodnosti, při rozpoznávání závislosti mezi různými hydrologickými veličinami, například mezi srážkou a odtokem vody z povodí, mezi průtoky v různých profilech v říční síti, apod. Důležitou oblastí využití pak je možnost extrapolace těchto veličin v čase, neboli konstrukce předpovědních modelů. Důkazem perspektiv užití neuronových sítí v této oblasti jsou již vyvinuté srážkoodtokové simulační a předpovědní modely, předpovědní modely průtoků v systému stanic v říční síti, apod. Uvedené aplikace prokázaly, že nasazení neuronových sítí pro konstrukci předpovědních modelů odtoků vody z povodí, resp. předpovědi průtoků vody v říční síti má smysl. S výhodou je možno využívat schopnosti neuronových sítí počítat souběžně několik výstupních veličin. Například kromě kulminačního průtoku, který je při předpovědi odtoku vody z povodí rozhodující pro pobřežníky, je možno paralelně získat odhad objemu povodňové vlny, který je rozhodující pro řízení odtoku vody z povodí nádrží.

• Vlastnost týkající se rychlosti výpočtu při použití natrénované neuronové sítě najde svoje uplatnění při řešení problémů, jejichž matematický model je znám a existují modely umožňující jeho řešení. Vlastní výpočet však při jejich použití vyžaduje i při současné úrovni rozvoje výpočetní techniky značnou spotřebu strojového času. Trvání výpočtu pak znehodnocuje dosažené výsledky z hlediska jejich aktuálnosti. Ve vodním hospodářství se nabízí využití této vlastnosti při operativním řízení vodohospodářských objektů a soustav, které probíhá za značných podmínek neurčitosti. Mám zde na mysli především operativní řízení odtoku z povodí nádržemi za povodňových situací, kdy může být výpočet řídících průtoků, resp. nastavení poloh regulačních uzávěrů, při použití řídících algoritmů zkonstruovaných na bázi simulační techniky, velmi zdlouhavý a tudíž nevyhovující. Analýza stavů řízených systémů klasickými optimalizačními


- 182 (213) -

nástroji a výpočet nastavení regulačních uzávěrů může překročit svým trváním přípustné zpoždění, které limituje použitelnost řídícího algoritmu pro operativní řízení systému. Zde je použití neuronové sítě pro aproximaci matice cílového chování, resp. využití neuro-regulátorů, případně fuzzy-regulátorů možným řešením. Výpočty na natrénovaných neuronových sítích probíhají řádově v milisekundách.

Dosažené výsledky byly ve všech uvedených aplikacích hodnoceny individuálně a je možno je považovat za velmi nadějné. Závěry však nedoporučuji přeceňovat. U neuronových sítí velmi záleží na nastavení parametrů užitých při trénování. Jedná se zejména o volbu kriteria, povolenou toleranci, nastavený počet skrytých vrstev neuronů, volbu typu přechodové funkce atd. Jejich úspěšné použití vyžaduje určité zkušenosti a intuici. Přes uvedené nesporné klady mají neuronové sítě i svoje problematická místa související s jejich konstrukcí (topologií), trénováním a způsobem použití v aplikacích.

Především je třeba mít na mysli, že neuronové sítě nevynikají přesností při extrapolaci, tj. použijeme-li natrénovanou neuronovou síť pro vstupní údaje, které leží mimo tréninkovou oblast. V některých aplikacích, kdy tréninková matice byla sestavena přímo z měřených dat a nebyl dostatek měření, bylo dosaženo lepších výsledků po dodatečném vložení řádků s byť i odhadnutou relací mezi vstupními a výstupními veličinami. Které však pokrývaly oblast možné extrapolace mimo tréninkovou oblast. Znovu natrénovaná rozšířená neuronová síť pak poskytovala lepší výsledky. Často uváděnou výhodou neuronových sítí je, že pokud se proces, který řídíme, resp. analyzujeme a vyhodnocujeme poněkud změní, je postačující doplnit nové tréninkové vzory do tréninkové matice a provést dotrénování neuronové sítě. Aplikace neuronových sítí však ukázaly, že i s takovýmto postupem se mohou vyskytnout problémy. V případech, kdy máme již natrénovanou neuronovou síť na sérii vstupních vzorů a postupně získáváme např. měřením nebo doplňujícími výpočty nové vzory vstupních dat, se nabízí rozšíření tréninkové matice o tyto vzory a dotrénování neuronové sítě. Praxe však ukazuje, že takovýto opakovaný postup se může zdařit pouze několikrát. Strojový čas potřebný na dotrénování se začne postupně neúměrně prodlužovat, až neuronová síť nepůjde dotrénovat vůbec. Pokud tento jev nastane, je řešením neuronovou síť kompletně znovu přetrénovat. Je to však podstatně jednodušší, než sestavení nového výpočetního vzorce, resp. provedení případných změn pravidel použitých pro řízení systému a s tím spojeného následného přepisu řídících programů. Někdy jde sestavená neuronová síť velmi dobře zpočátku trénovat. Pak se však proces trénování zastaví a není schopna dosáhnout předepsané tolerance. Proces učení se značně zpomalí až zastaví. Tento jev může být způsoben existencí špatných vzorů dat v tréninkové matici. V takovémto případě je vhodné proces učení ukončit a posoudit úspěšnost procesu učení ve "špatných vzorech". Vypočtené výstupy se mohou lišit od požadovaných výstupů jen velmi málo, nebo mohou být odchylky značné. V prvním případě je možno ponechat natrénovanou síť ve stavu ukončení tréninku a otestovat ji na nových datech s případně mírně zvětšenou tolerancí. Pokud testování dopadne dobře, je možno natrénovanou neuronovou síť prakticky používat "tak jak je". Případně ji můžeme dotrénovat s povolením určitého procenta vzorů, ve kterých nebude

- 183 (213) -

splněna požadovaná tolerance. Tak vyloučíme špatné vzory z procesu učení. Pokud však si jsme jisti, že uvedené "špatné" vzory nemůžeme z dat vyloučit, protože jsou v nich obsaženy vztahy mezi daty, které by neuronová síť měla umět aproximovat, je třeba vyzkoušet možnost doplnění počtu skrytých neuronů. Může se totiž stát, že počet skrytých neuronů je malý pro naučení neuronové sítě aproximovat složité vztahy mezi vstupními a výstupními soubory dat. Tento problém se často vyskytuje, když máme velký počet tréninkových vzorů. Cestou pro vyřešení výše uvedeného problému je rovněž snížení zadané tolerance. Naše požadavky mohou být vzhledem ke kvalitě dat příliš vysoké. To umožní provést neuronové síti větší korekce v méně obvyklých vzorech a menší ve vzorech, ve kterých je vztah mezi vstupy a výstupy jednodušší. Pokud žádné z navržených řešení nepřispěje ke zlepšení procesu učení, může tréninková matice obsahovat chybné vzory, které není možno natrénovat. Takovéto vzory je třeba z dalšího tréninku vyloučit. Někdy však je řešením i rozšíření tréninkové matice o další vzory, které "zdánlivě špatné" vzory v procesu trénování podpoří a "donutí" neuronovou síť zobecnit vztah mezi vstupy a výstupy i v jiné oblasti prostoru vstupně výstupních dat. Pokud užíváme pro simulaci neuronové sítě software BrainMaker Professional, je možno při analýze vstupně výstupních dat použít datový analyzátor. Ten otestuje, zda se v tréninkové matici nevyskytují vzory, které pro obdobné hodnoty vstupních dat nemají zcela odlišné hodnoty dat výstupních. Pokud by tento stav nastal, není možno na těchto vzorech neuronovou síť natrénovat a je třeba chybné vzory vyloučit.

Určitou nevýhodou neuronových sítí (pří použití softwarové verze) je poměrně vysoká spotřeba strojového času ve stadiu jejich učeni. To se projevuje zejména při trénování složitých neuronových sítí, především pak při jejich trénování za použití genetických algoritmů (GTO). I přes značný nárůst strojového času spojeného s trénováním neuronových sítí pomocí genetických algoritmů se jejich užití ukázalo jako velmi přínosné. Je zřejmé, že klasická metoda zpětného šíření chyby snadno uvázne při složitějších průbězích kriteriální funkce v "pasti" lokálního extrému. Genetické algoritmy se s tímto problémem vypořádají mnohem lépe. Proces trénování se však provádí v předstihu před praktickým nasazením neuronové sítě a dá se eliminovat užitím rychlého čítače. Hardwarové neuronové karty, jejichž vývoj intenzivně probíhá, tréninkovou fázi procesu značně urychlují. Natrénovanou neuronovou síť pak je možno zkompilovat a spouštět mimo vývojové prostředí samostatně nebo pomocí runtime modulu, dle možností konkrétního použitého softwaru.

Pokud se s nasazením neuronových síti při řešení uvedených aplikací vyskytly problémy, vždy se ukázalo, že chyby byly v použitých datech, resp. v jejich chybné aplikaci, resp. interpretaci, případně i v nepochopení hydrologické podstaty problému. Vlastní neuronové sítě vycházely z řešení převážně jako vítěz.

Sestavování modelů na bázi neuronových sítí určitým způsobem zpětně ovlivňuje myšlení subjektu. Nutí jej více přemýšlet o podstatě problému jako takového, o vztazích mezi vstupními a výstupními veličinami, o veličinách, které mohou mít vliv na řešený problém apod. Řešitel při aplikaci neuronových sítí na modelování složitých vodohospodářských problémů pocítí určitou volnost a svobodu ve srovnání s použitím klasických modelů. Ty jsou založeny na použití přesně formulovaných rovnic, vycházejících z fyzikálních zákonů


- 184 (213) -

zachování a stavových rovnic. Zde pak řešitel často skončí v pasti řešení soustavy parciálních diferenciálních rovnic a je více matematikem než odborníkem v daném oboru. Bez náležitých znalostí a zkušeností, resp. při absenci již zpracovaného software, není schopen samostatně pokračovat.

Neuronové sítě představují mocný a perspektivní nástroj, který je svojí podstatou předurčen pro užití v mnoha oblastech aplikované hydrologie. Aby se však mohl projevit při řešených problémů v plné síle, je třeba mít k dispozici dostatečné množství kvalitních informací, popisujících vstupně-výstupní vztahy. Ať již jsou tyto informace získány měřením na reálných systémech, nebo za použití jiných, především simulačních technik výpočtu. I když nasazení neuronových sítí v aplikované hydrologii a ve vodním hospodářství vůbec zaznamenalo v posledním desetiletí poměrně značný nárůst, přesto není takové, jak by mohlo být. Je třeba, aby se informace o řešených aplikacích a o snadném použití tohoto nástroje trvale dostávaly do povědomí odborné veřejnosti s větší intenzitou a přesvědčovaly potenciální uživatele o svých možnostech. Zasluhují si, stejně jako ostatní metody umělé inteligence, větší publicitu.

7.6 Časové řady v hydrologii

7.6.1 Průtokové řady

Dlouhodobé pozorování vodních stavů a průtoků ve vodočetných stanicích poskytuje obraz o vodnosti i o časovém rozdělení průtoku ve sledovaném profilu. Jeho typický průběh, variační rozpětí, sled suchých a vlhkých roků, pozorované extrémní hodnoty průtoku, charakteristická období výskytu povodní nebo naopak nízkých průtoků v různých ročních obdobích nebo i v jednotlivých měsících, to vše nazýváme obecně režimem vodních toků. Vodní režim toku je odrazem konkrétní specifické kombinace klimatických a geografických činitelů existujících v daném povodí.

Výsledkem pozorování ve vodočetné stanici je spojitý průběh vodního stavu, resp. průtoku.

• Časový průběh této veličiny se pro potřeby dalšího zpracování a archivace přepočítává na průměrné hodinové stavy, resp. průtoky Qh.

• Jejich aritmetickým průměrem za každý den je pak průměrný denní průtok Qd.

• Vypočtením průměru ze všech Qd za příslušný měsíc získáme průměrný měsíční průtok Qm.

• Vypočtením průměru ze všech Qm za příslušný rok získáme průměrný roční průtok Qr.

• Vypočtením průměru ze všech Qr za velmi dlouhé období měření, které máme k dispozici (přesahující desetiletí) získáme dlouhodobý průměrný průtok Qa (někdy také dlouhodobý průměrný roční průtok).

Hydrologické (časové) řady jsou zvláštním druhem statistických souborů, jejichž jednotlivé členy tvoří posloupnost.

- 185 (213) -

Obr. 7.43: Průtoková řada Qt

V závislosti na délce časového kroku ∆t, na kterém nahradíme spojitý průtok průměrnou hodnotou, získáme:

• ∆t = 1 hodina …………………..Qh řadu prům. hodinových průtoků • ∆t = 1 den ……….……………..Qd řadu prům. denních průtoků • ∆t = 1 měsíc …………………...Qm řadu prům. měsíčních průtoků • ∆t = 1 rok …………..…………..Qr řadu prům. ročních průtoků • ∆t = celá délka měř. období …...Qa dlouhodobý průměrný průtok

Obr. 7.44: Průběh průměrných hodinových průtoků,průměrných denních průtoků a dlouhodobý průměrný průtok (Berounka-Křivoklát, 1937)

Příslušné průměrné průtoky seřazené chronologicky za sebe vytvářejí hydrologické řady (posloupnosti). Přitom takovéto průtočné řady je pak třeba považovat za jediné realizace náhodného procesu jež máme k dispozici (z nekonečně mnoha možných, které mohly nastat), které byly odvozeny z měření. Ty jsou pak nositelkami všech dostupných informací pro další


- 186 (213) -

zpracování dat. Ukázka grafického znázornění takové řady (posloupnosti) průměrných denních průtoků Qd je na obr. 7.45.

Rozdělení průtoků v průběhu roku O rozdělení průtoků během roku, které je v našich poměrech rok od roku odlišné, nás tedy informuje chronologická čára okamžitých průtoků, řada průměrných hodinových průtoků, řada průměrných denních průtoků a řada průměrných měsíčních průtoků.

Obr. 7.45: Průměrné denní průtoky – stanice Děčín

7.6.2 Dekompozice hydrologických řad

Za základní metodický postup analýzy časových řad se obvykle považuje jejich dekompozice. Rozkládáme časovou řadu na několik složek k lepšímu poznání vlastností řady. Důraz je kladen na systematické složky (tj. trendovou, sezónní a cyklickou složku) a na práci s nimi. Základním předpokladem je jejich vzájemná nekorelovatelnost.

Z dekompozice neboli rozkladu na několik složek se dají lépe stanovit tendence v chování řad nežli v jejich původním tvaru. Rozklad tak pomáhá proniknout do minulosti a umožňuje i extrapolaci do budoucnosti. Časové řady se rozkládají na trend Tr,t, sezónní složku St, cyklickou složkou Ct a reziduální složkou et.

Trend Tr,t odráží dlouhodobé změny v průměrném chování časové řady. Nejjednodušší a nejrychlejší je metoda grafická – proložení průběhu trendu „od oka“, která je však zatížena subjektivní chybou. Z tohoto důvodu se užívají pro proložení trendové složky analytické funkce, pro které se hledají příslušné parametry matematickými metodami (lineární regresní analýza, metoda nejmenších čtverců). Takto odhadnutá křivka poté vyjadřuje při extrapolaci i budoucí průběh řady.

- 187 (213) -

Obr. 7.46: Trendová složka

Základními typy analytických funkcí pro vyjádření trendu je např. přímka

btaT tr +=, , (7.90)

kvadratická funkce 2

, ctbtaT tr ++= , (7.91)

exponenciála bta

tr eT +=, . (7.92)

S-křivka (sigmoida)

cttr beaT −+

=1, , (7.93)

kde a, b, c jsou parametry modelů a t argument času. Ten se zpravidla uvažuje v délce t = 1, . . . n-m, kde n je původní délka řady a m je její zkrácení rovné předpovědnímu období.

Další v hydrologii snad nejužívanějšími metodami stanovení trendové složky jsou metody klouzavých průměrů (např. aritmetický průměr z okolních hodnot, který se postupně posouvá).

Sezónní (periodická )složka St vyjadřuje periodické změny v řadě (velmi často během jednoho roku). Pro zkoumání jejích vlastností se zpravidla užívají chronologické řady průměrných měsíčních hodnot dané veličiny. Hlavním znakem jsou opakující se tendence změn v časové řadě (např. zvýšené jarní průtoky, nižší průtoky v letním období nebo na konci zimního období).


- 188 (213) -

Obr. 7.47: Periodická a cyklická složka

Pro odhad periodické složky lze podobně jako pro trend aplikovat řadu metodických postupů. (např. klouzavé průměry, aproximaci periodickými funkcemi atd.). Pro stanovení délky skrytých period se používá spektrální hustota – viz další text.

Cyklická složka Ct vyjadřuje dlouhodobé kolísání okolo trendu. Odhaduje se obtížně a ke spolehlivému odhadu je nezbytné dlouhodobé pozorování, nejvhodnější jsou metody spektrální a filtrační analýzy.

Reziduální složka et tvoří zbytkové (reziduální) hodnoty členů řady po odečtení trendu, sezónní a cyklické složky. Zpravidla si ji představujeme jako bílý šum s jistým rozložením pravděpodobnosti (např. normálním). Při konstrukci matematického modelu řady usilujeme o minimalizaci této složky.

Obr. 7.48: Reziduální složka

Dekompozice může být buď aditivní, kdy hodnota členů řady yt v čase t se rovná součtu všech složek

ttttt eCSTQ +++= , (7.94)

nebo multiplikativní, kdy hodnoty yt se rovnají součinu všech složek

ttttt eCSTQ ⋅⋅⋅= . (7.95)

Při aditivní dekompozici se složky uvažují ve skutečných hodnotách a mají rozměr řady yt. Při multiplikativní dekompozici se v absolutní hodnotě zpravidla uvažuje jen trend, ostatní složky se berou v relativních hodnotách vzhledem k trendu a jsou bezrozměrné.

- 189 (213) -

7.6.3 Vnitřní struktura hydrologických řad

Časová řada má svoji vnitřní strukturu, kterou popisuje autokorelační funkce (samokorelační funkce), která určuje stupeň lineární závislosti např. hodnoty průtoku na svých předchozích hodnotách.

Obr. 7.49: Autokorelační funkce r(τ)

Autokorelační funkci vypočteme jako závislost koeficientu korelace na počtu posunů dle následujícího schématu:

Posun o 1 člen nahoru

Y X Q i-1 Q i ↑ ↑

Q i-2 Q i-1

↑ ↑ Q i-3 Q i-2

↑ ↑ Q i-4 Q i-3

↑ ↑ Q i-5 Q i-4

Obr. 7.49a: Schéma vytvoření vstupních souborů pro výpočet koeficientu

korelace (první řád autokorelační funkce)

Podle počtu posunů τ sloupce Y směrem nahoru je určen řád autokorelační funkce. Koeficient korelace se opakovaně vypočte pro vzniklé soubory X aY. Při nulovém posunu souboru Y oproti X jsou obě řady identické a koeficient korelace je roven 1. Tímto způsobem se odlišuje autokorelační funkce od funkce korelační (křížová korelce mezi průtokovými řadami ve dvou odlišných profilech na toku nebo dvou různých tocích).


- 190 (213) -

7.6.4 Spektrální hustota

Spektrální hustota umožňuje určit délku skrytých period obsažených v náhodném procesu (posloupnosti). Na délku a význam skrytých period se usuzuje podle polohy extrémů a jejich velikosti na této funkci.

Obr. 7.50: Spektrální hustota

Spektrální hustota se určuje jako Fourierova transformace autokorelační funkce

)]([)( τrFTS = (7.96)

a platí

,)]([)( 1 TSFr −=τ (7.97)

kde T je délka periody udávaná nejčastěji v počtu let.

7.6.5 Průtoky v toku jako náhodné procesy

Průtoky a vůbec všechny hydrologické veličiny, které se účastní ve srážkoodtokového procesu v povodí, jsou náhodné procesy. Jsou to náhodné veličiny, které jsou funkcí času. Je to dáno tím, že náhodnými procesy jsou již příčinné srážky nad povodím a ostatní klimatičtí činitelé.

Obr. 7.51: Možné realizace průtoku vody v daném profilu, červená realizace je měřená

- 191 (213) -

7.6.5.1 Klasifikace náhodných procesů

Náhodný proces (posloupnost) se v libovolném čase t popisuje pravděpodobnostními funkcemi, statistickými charakteristikami a autokorelační funkcí (souhrnně – sestava popisujících veličin). Uvedené veličiny se liší od popisu souboru náhodné veličiny tím, že jsou funkcí času, např. f(Q,t), F(Q,t), P(Q,t), μ(Q,t), D(Q,t), σ(Q,t), CV(Q,t), CS(Q,t), E(Q,t), r(τ,t).

Stacionární náhodný proces

Když všechny popisující veličiny jsou v čase konstantní je hydrologický náhodný proces (posloupnost) stacionární.

Nestacionární náhodný proces

Popisující všechny popisující veličiny nejsou v čase konstantní. Je postačující, aby nebyla konstantní alespoň jedna z nich.

Kvazistacionární náhodný proces V hydrologii jsou všechny hydrologické veličiny z dlouhodobého pohledu nestacionární. Je to dáno především pozorovaným měnícím se klimatem. Z hlediska zjednodušení řešení se však považují za stacionární. Především z pohledu průměrných ročních veličin (průměrných ročních průtoků). K popisu průměrných ročních průtoků pak je postačující jedna sestava popisujících veličin. Na úrovni průměrných měsíčních průtoků pak je třeba mít k dispozici dvanáct sestav popisujících veličin, které jsou přiřazeny ke každému měsíci zvlášť. Autokorelační funkce pak je nahrazena autokorelační maticí.

Poznámka Soubory vstupních dat na úrovni měsíců tvoří např. lednové průměrné měsíční průtoky, z nichž se stanoví lednová sestava popisujících veličin. Dále pak únorová, březnová, atd.

Ergodický náhodný proces Popisující veličiny, vypočtené z kterékoliv možné realizace náhodného procesu, se s vysokou pravděpodobností blíží průměrným hodnotám těchto veličin, stanoveným ze zbývajících možných realizací. Sestavy popisujících veličin, stanovených z naměřené realizace, pak je možno považovat za reprezentativní pro celý náhodný proces (posloupnost). Tato skutečnost je zásadním předpokladem pro možnost uvažovat např. naměřenou průtokovou řadu jako dostatečně reprezentativní podklad pro další řešení – např. na obr.7.51 červená realizace. To se týká i dalších hydrologických veličin.

7.6.6 Zvýšení reprezentativnosti průtokových řad

Pro zvýšení reprezentativnosti průtokových řad je doporučeno:

• Pokud bude daná časová řada použita jako podklad k dalším výpočtům, je nutno ji použít v plné dostupné délce. Je nepřípustné z ní vyjímat jakákoliv reprezentativní období a ty používat jako podklad řešení.

• Vždy používat pro stavení statistických charakteristik metodu momentů. Metodu kvantilů lze použít jen u krátkých časových řad.


- 192 (213) -

• Vždy prověřovat homogenitu průtokových řad (srovnání s korespondujícími průtoky v jiných profilech na stejném toku, resp. s korespondujícími srážkami nad povodím.

• Opravit extrémní průtoky. Nejlépe je toto provést v čárách překročení

Obr. 7.52: Oprava extrémní hodnoty průtoku

• Provést opravu vychýlení statistických charakteristik - e. Oprava se provádí pomocí diagramů Rozděstvenského, resp. v našich podmínkách pomocí diagramů Nacházela. Chyba je způsobena krátkou délkou řady, která je k dispozici. Na obr.7.53 značí CS koeficient asymetrie velmi dlouhé průtokové řady průměrných ročních průtoků. U krátkých průtokových řad je koeficient CS

* tím více vychýlen, čím je reálná řada kratší.

Obr. 7.53: Oprava vychýlení koeficientu asymetrie

7.7 Rozdělení průtokových řad

Průtokové řady dělíme dle následujícího schématu:

Obr. 7.54: Schéma rozdělení průtokových řad

Průtoková řada Umělá (syntetická)

Reálná Měřená

Odvozená

- 193 (213) -

7.8 Odvozování průtokových řad

Průtokové řady odvozujeme metodami analogie. V analogovém povodí musí být :

• podobní klimatičtí (musí ležet co nejblíže) a geografičtí činitelé, • v analogovém povodí musí byt k dispozici všechna měření.

7.8.1 Odvozování v poměru dlouhodobých průměrných průtoků

Méně přesná metoda odvozování průtokových řad je odvozování v poměru dlouhodobých průměrných průtoků.

• Řada průměrných ročních průtoků

xir

Air

xa

Aa

QQ

KQQ

,

,== , pro i = 1, 2, … n, (7.98)

kde n je počet členů průtokové řady v analogovém povodí.

• Řada průměrných měsíčních průtoků

xim

Aim

xa

Aa

QQ

KQQ

,

,== , pro i = 1, 2, … n, (7.99)

kde n je počet členů průtokové řady v analogovém povodí.

V uvedených vzorcích značí: AaQ - dlouhodobý průměrný průtok v analogovém povodí A, xaQ - dlouhodobý průměrný průtok v uvažovaném povodí X, A

irQ , , AimQ , - člen řady průměrných ročních, měsíčních průtoků v analogovém

povodí A, x

irQ , , ximQ , - člen řady průměrných ročních, měsíčních průtoků v uvažovaném

povodí X, K – konstanta.

7.8.2 Odvozování pomocí srážkoodtokových úhrnných křivek

Vyšších přesností dosahuje metoda využívající pro odvození srážkoodtokové úhrnné křivky.

• Řada průměrných ročních průtoků V analogovém povodí se za období pozorování zpracují pro roční úhrny srážek odpovídající roční úhrny odtokové výšky. Odpovídající hodnoty těchto veličin považujeme za souřadnice bodů v pravoúhlém souřadnicovém systému Hs,r ,

Ho,r . Uvedenou množinou bodů proložíme regresní křivku ( )Ars

A

ro HH ,,

∧

. Tu pak přeneseme z analogového povodí A do povodí X.


- 194 (213) -

Pro dané měřené roční srážkové úhrny XrsH , v povodí X pak z ní opakovaně

odečítáme pro všechny roky r odpovídající X

roH ,∧

. Průměrný roční odtok z povodí Qr (průtok) pak je v každém roce r roven

[ ]13, −

∧

⋅⋅

= smSH

Q p

X

ro

r τ , (7.100)

kde za úhrn odtoku X

roH ,

∧

dosazujeme odtokovou výšku v příslušném roce r v metrech, SP je plocha povodí v m2 a τ je trvání příslušného roku v sekundách.

• Řada průměrných měsíčních průtoků Použije se analogicky předchozí postup. Odlišnost však spočívá v tom, že

regresní křivku ( )Ams

A

mo HH ,,

∧

vynášíme pro každý měsíc v roce zvlášť. Příslušné

odtokové výšky X

moH ,∧

pak odečítáme z regresní křivky odpovídající příslušnému měsíci v roce. Průměrný měsíční odtok z povodí Qm (průtok) pak je v každém měsíci m roven

[ ]13, −

∧

⋅⋅

= smSH

Q p

X

mo

m τ , (7.101)

kde za úhrn odtoku X

moH ,

∧

dosazujeme odtokovou výšku v příslušném měsíci m v metrech, SP je plocha povodí v m2 a τ je trvání příslušného měsíce v sekundách.

7.9 Generování umělých průtokových řad

Cílem matematického modelování náhodných řad je simulace chování náhodných veličin v čase, který je podstatně delší než délka jejich pozorování a měření. Modelování je založeno na identifikaci a odhadu pravděpodobnostních vlastností reálných řad, které jsou podkladem pro odvození matematického modelu. Namodelované posloupnosti náhodných veličin se označují jako řady syntetické, umělé. Členy umělých řad jsou řazeny chronologicky, avšak nemají vazbu na reálný čas. Proto se někdy označují jako pseudochronologické posloupnosti.

Náhodné řady se ve vodním hospodářství využívají především pro řešení úloh hospodaření s vodou v nádržích a ve vodohospodářských soustavách. Při porovnání s jinými pravděpodobnostními metodami vytvářejí spolehlivější hydrologický podklad, v některých případech ani nelze jiné pravděpodobnostní metody použít a to především z důvodu složitosti řízení odtoku nebo složitosti hydrologického režimu, popřípadě nejsou vůbec k dispozici.

Namodelovanou řadu můžeme chápat jako jednu konkrétní realizaci náhodné posloupnosti, která umožňuje lépe poznat vlastnosti studovaného procesu v jiných časových úsecích. Řešení úloh aproximujeme metodami, které

- 195 (213) -

vycházejí z předpokladu nekonečně mnoha možných kombinací hodnot náhodných veličin v jejich chronologickém uspořádání, a to s vysokým stupněm spolehlivosti.

S namodelovanými řadami lze pracovat jako s reálnými řadami a proto jsou využívány při algoritmizaci a programování vodohospodářských úloh a mají zpravidla charakter vstupů.

7.9.1 Požadavky na matematické modely náhodných řad

Faktor, který charakterizuje vhodnost matematického modelu, resp. kvalitu, je jeho přiléhavost k dané reálné časové řadě. Přiléhavost modelu se prokazuje srovnáním statistických charakteristik reálné řady s parametry řady namodelované. Základními charakteristikami jsou momenty rozložení a autokorelační funkce. Faktory, které ovlivňují náročnost odvození matematického modelu i numerického generování náhodných řad, jsou především zkracující se časový interval (rok – měsíc – den), počet závislých profilů a délka namodelovaných řad.

Při generování náhodných řad se většinou přijímá předpoklad stacionarity hydrologických procesů. Důležitým požadavkem je také homogenita výchozího hydrologického podkladu.

Přestože se pro modelování průtokových řad využívají exaktní matematické metody, zobrazujeme realitu a není proto možno odstranit neexaktnost, popř. mlhavost výchozích předpokladů o vlastnostech reálné řady, které vyplývají z faktu, že se jedná o časově omezené pozorování náhodných veličin v přírodě a s ohledem na spolehlivost vlastního měření.

Kvalita modelu též závisí na reprezentativnosti výchozí reálné řády, z niž je odvozen. Protože u syntetické řady se požadují tytéž pravděpodobnostní vlastnosti jako u reálné řady, je zřejmé, že syntetická řada nemůže být reprezentativnější než výchozí řada.

7.9.2 Generátory

7.9.2.1 Model absolutně náhodné posloupnosti Tento model je základním a nejjednodušším modelem náhodné posloupnosti, je určen pouze statistickými parametry a rozložením pravděpodobnosti. Autokorelační funkce je nulová pro všechna τ ≠ 0.

Její model můžeme vyjádřit v jednoduchém tvaru např. pro průměrné roční průtoky

)( rr PQ ε= , (7.102)

kde εr je bílý šum s nulovou střední hodnotou a jedničkovým rozptylem.

Postup generování syntetické posloupnosti je jednoduchý. Sestrojíme teoretickou čáru překročení pro vypočítané statistické parametry nebo pro standardizované členy řady. Z této čáry se pak odečítají její pořadnice, a to v pořadí podle pseudonáhodných čísel (viz. obr. 7.55).


- 196 (213) -

Protože chronologický průběh syntetické posloupnosti závisí pouze na pseudonáhodných číslech a nezávisí na autokorelační funkci, stačí pro generování odhadnout parametry rozložení pravděpodobnosti. Této výhody lze využít v metodách hydrologické analogie, kde pro profil s nedostatkem pozorování není třeba zkoumat chronologický průběh reálné průtokové řady.

Obr. 7.55: Stanovení Qr z čáry překročení průměrných ročních průtoků.

7.9.2.2 Lineární regresní stochastické modely

Matematické modely hydrologických řad s autoregresními vztahy mezi členy začaly využívat v 60. letech. Jejich základní postup se skládá z následujících kroků: Transformace ročních průtoků na veličinu s normálním rozdělením, tj. bude se jednat o posloupnost se všemi předepsanými korelačními vztahy, avšak s normálním rozdělením; je možno použít např. logaritmicko-normální transformaci ( )0ln xxy −= , které převádí rozdělení náhodných veličin x na normální. Výpočty se zjednoduší provede-li se standartizace, podle výrazu

( )y

yyzσ

μ−= , kde ( )yμ je střední hodnota a yσ směrodatná odchylka.

Namodelovanou posloupnost zpětně transformujeme na posloupnost s daným rozdělením pravděpodobnosti. Při vyjádření matematického modelu ročních průtoků se vychází z předpokladu, že mezi daným průtokem v čase t a průtoky v předcházejících okamžicích (rocích) t-1, t-2, ... t-k platí jistý lineární vztah. Ten je dán statistickými vlastnostmi reálné posloupnosti a počet těchto předcházejících okamžiků odpovídá řádu Markovova řetězce. Matematický model můžeme tedy vyjádřit základním vzorcem

tktkttt zbzbzbz ε+⋅+⋅+⋅= −−− ...2211 , (7.103)

kde b1, b2 ... jsou regresní koeficienty závislé na korelační funkci, zt-1, zt-2 jsou střední roční průtoky v předcházejících rocích, εt je náhodná odchylka s normálním rozdělením a střední hodnotou rovnou nule.

εr

- 197 (213) -

Neznámé koeficienty bi určíme metodou nejmenších čtverců z podmínky, aby náhodná odchylka εt byla minimální.

Postup výpočtu:

1. provedeme rozbor základních statistických parametrů dané reálné řady ročních průtoků xt a v případě nutnosti ji transformujeme na řadu yt s normálním rozdělením pravděpodobnosti;

2. vypočteme střední hodnotu a směrodatnou odchylku transformovaných průtoků yt a tuto řadu standartizujeme na řadu zt;

3. zvolíme maximální délku Markovova řetězce M, kterou budeme dále uvažovat a vypočteme pomocnou hodnotu 1−−= MTp , kde T je počet let pozorování.

4. vypočteme koeficienty korelační funkce pro různý časový posun

( ) ∑+=

−⋅=T

Mtitt zz

pir

1

1 pro Mi ,...,2,1= , (7.104)

5. vyřešíme koeficienty bi;

6. vypočteme reziduální směrodatnou odchylku

( )∑=

−=M

ii irbs

1

1 , (7.104a)

7. volíme postupně o 1 menší délku Markovova řetězce, opakujeme předchozí dva kroky, dokud nedosáhneme minima s;

8. náhodné průtoky zt pak modelujeme dle

tktkttt zbzbzbz ε+⋅+⋅+⋅= −−− ...2211 , (7.105)

Ttk ≤≤+1 ;

9. provedeme zpětnou transformaci.

Model vytváření umělých měsíčních průtoků je opět lineární regresní model. Je však podstatně složitější, neboť v tomto modelu se respektují statistické parametry průtoků v jednotlivých kalendářních měsících a jejich vzájemné korelační vztahy.

mkmcmkmcmmcmmc zbzbzbz ε+⋅+⋅+⋅= −−− ,,2,,21,,1, ... , (7.106)

kde m = 1,2, ..., 12 je příslušný měsíc, c = 1,2, ..., T/12 je počet cyklů, T je celkový počet všech měsíců, εm je náhodná odchylka v měsíci m. Rozdíl proti modelování ročních průtoků je v tom, že pro regresní model je třeba vyřešit 12 rovnic typu (7.103).

7.9.2.3 Matematické modely vycházející z Box-Jenkinsovy metodologie

Velký význam pro řešení vodohospodářských úloh má Boxova-Jenkinsova metodologie modelováni časových řad (dále B-J metodologie), která se utvářela od 70. let. Vychází z korelační analýzy náhodných procesů a vytváří modely dle autokorelačních vlastností náhodných veličin a vlastností jejich


- 198 (213) -

reziduální složky. Modely mají charakter stochastických modelů a modelují trend a sezónnost i reziduální složku.

Tři základními kroky jsou:

1. identifikace modelu, 2. odhad parametrů modelu, 3. ověřování modelu.

Základem je stacionární náhodná veličina yt (s nulovou střední hodnotou) jako lineární kombinace hodnot bílého šumu εt v současném okamžiku t a v minulých okamžicích t-j ve tvaru

...2211 +++= −− tttty εψεψε , (7.107)

kde ψj jsou parametry, εt je bílý šum.

Rovnice (7.107) se nazývá lineární proces. A lze jej také přepsat úspornějším zápisem při užití tzv. operátor zpětného posunuti B, který se definuje jako

1−= tt yBy , (7.108)

Lineární proces (7.107) lze pak přepsat

( ) tt By εψ= , (7.109)

kde

( ) ∑∞

=

+=+++=1

221 1...1

j

jj BBBB ψψψψ , (7.110)

Užívají se zjednodušené případy obecného lineárního procesu, ve kterých se volí konečný počet členů s nejmenším počtem parametrů. Nejvíce se využívají stacionární procesy MA (Moving Average), AR (Autoregressive Models) a ARMA, popř. i nestacionární ARIMA.

Výhodou modelu AR(q) je, že jej můžeme aplikovat jak na roční průtokové řady, tak na řady měsíčních průtoků. Nejprve se provede transformace a standardizace vektorů průtoků v jednotlivých kalendářních měsících na průtoky s normálním rozložením. Poté je nutné stanovit vztahy mezi vektory průtoků v daném měsíci a v měsících předchozích. Model tedy tvoří 12 regresních rovnic.

Lineární autoregresní model nelze mechanicky aplikovat na řady průměrných denních průtoků. Další nevýhodou je, že nezachovává charakteristiky průměrných ročních průtoků. Nedostatek lze řešit spojením metody fragmentů a autoregresního modelu. Metodou autoregresního modelu se zvlášť generuje řada ročních průtoků a zvlášť řada měsíčních průtoků, která je dále využita jako zdrojová řada pro metodu fragmentů.

Spojením modelu MA(q) a modelu AR(p) vznikl smíšený model značený jako ARMA (p, q) (Autoregressive Moving Average Model) a jeho varianta pro nestacionární případ ARIMA.

7.9.2.4 Periodické modely

Jedná se o zcela odlišný metodický přistup od předchozích. Vychází z představy, že zkoumanou řadu tvoří směs sinusových a kosinusových křivek s

- 199 (213) -

různými amplitudami a frekvencemi. Základem je analýza vlastností periodogramu, resp. spektrální hustoty, pro kterou se hledá nejpřiléhavější model ve tvaru součtu různých periodických složek. Za nejlepší odvození přiléhavého modelu se považuje aproximace s minimálním reziduálním rozptylem.

Při odvození modelu se postupuje tak, že se původní řada nejprve centruje dle výrazu xxy tt −= k vyloučení trendu. A pro posloupnost náhodných veličiny yt se hledá aproximace ve tvaru

( )∑=

′+′=′p

kkkkkt bay

1sincos λλ , (7.111)

kde p je počet statisticky významných period, λ jsou tyto periody a neznámé parametry se hledají metodou nejmenších čtverců.

7.9.2.5 Desagregační modely

Řeší nevýhodu klasických B-J modelů. Roční průtoky se generují předem, nezávisle na řadě s kratším časovým krokem, poté se pak vygenerované hodnoty ročních průtoků rozloží do kratších intervalů. Tento princip se hodí i pro generování řad v systému stanic.

Desagregačními modely se obecně rozumí modely, jejichž konstrukce je založena na postupném rozkládání posloupnosti průměrných ročních hodnot na posloupnosti s kratším časovým intervalem (např. na posloupnosti čtvrtletních, měsíčních, týdenních nebo denních hodnot). Tyto modely vycházejí podobně jako regresní a periodické modely z posloupnosti daných reálných empirických hodnot. Liší se však podstatně tím, že dodržují pravděpodobnostní vlastnosti nejen pro nejkratší požadovaný interval, ale i pro delší interval. Liší se rovněž postup generování syntetických řad, při kterém se nejdříve vytvářejí roční řady a z nich se dále odvozuji řady s kratším intervalem.

Metoda fragmentů První byl vyvinut model Svanidzeho (1964). Princip Svanidzeho metody fragmentů je velmi jednoduchý. Fragment se definuje jako dvanáctice relativních hodnot reálných průměrných měsíčních průtoků v každém roce. Fragmenty se pak náhodně přiřazují (např. s využitím generátoru pseudonáhodných čísel) k předem nagenerovaným průměrným ročním průtokům. Tím lze získat libovolně dlouhou umělou řadu průměrných měsíčních průtoků.

Výhodou metody je především její jednoduchost a snadná algoritmizovatelnost. Metoda dodržuje statistické parametry (včetně autokorelační funkce) řady průměrných ročních průtoků. Korelace mezi měsíčními průtoky uvnitř jednotlivých roků jsou také zachovány, jsou porušeny jen na mezích fragmentů.

Princip metody lze snadno aplikovat na řady průměrných denních průtoků. Fragment se pak definuje jako posloupnosti 365 relativních hodnot průměrných denních průtoků a je pak náhodně přiřazován k umělým ročním průtokům.

Jako nevýhoda této metody se ukazuje především omezený počet fragmentů, který je dán počtem let pozorování. Umělá řada libovolné délky je pak


- 200 (213) -

kombinace střídajících se lineárně transformovaných fragmentů reálné řady. Tato metoda však nedodržuje korelace mezi vektory měsíčních průtoků v různých kalendářních měsících (tedy např. mezi vektory lednových a únorových průtoků, únorových a březnových průtoků atd.), protože každá dvojice těchto průtoků se v různých rocích jinak transformuje. Tímto se podstatně liší od regresních modelů.

Určité úskalí představuje mechanická aplikace této metody. Lze tak získat nereálné výsledky, např. při náhodném střetu extrémního roku s extrémním fragmentem. Při jejich přiřazováni se mohou vyskytnout extrémní a netypické hodnoty průtoků, jejichž pravděpodobnostní vlastnosti neodpovídají vlastnostem původní řady. Tento nedostatek lze do jisté míry zmírnit tím, že se přihlédne k vzájemným vztahům mezi průměrnými ročními průtoky a rozdělením měsíčních průtoků během roku.

Jako nejjednodušší postup přiřazováni fragmentů k rokům je podle Svanidzeho rozdělení křivky překročení ročních průtoků na 3 - 5 částí a roztřídění odpovídajících fragmentů do samostatných skupin - obr. 7.56. Fragmenty se pak losují z takové skupiny, do které nagenerovaný roční průtok padne.

Obr. 7.56: Rozdělení křivky překročení průměrných ročních průtoků na 5

částí pro přiřazování fragmentů.

Současné metody si ponechaly základní ideu původní Svanidzeho metody, tj. spolehlivě reprodukovat parametry řad průměrných ročních průtoků, ve své metodice již značně postoupily. K popisu rozdělení vodnosti během roku se dnes využívají nástroje regresní analýzy, kterými lze vyjádřit korelační vztahy jak mezi sezónními hodnotami náhodných veličin uvnitř roku, tak i mezi sezónními a ročními hodnotami veličin. Při generování syntetických řad tím odpadá problém omezeného počtu reálných fragmentů a jejich přiřazování k řadám průměrných ročních průtoků.

Desagregaci lze řešit současně pro celou soustavu závislých stanic a je tak důležitým nástrojem při řešení vodohospodářských soustav. A při této metodě

- 201 (213) -

se dosahuje uspokojivá shoda statistických parametrů posloupností ročních i sezónních hodnot náhodných veličin.

Současné desagregační modely sledují dva základní čile. Při časové desagregaci se rozkládají roční časové řady na sezónní řady. Sezónou se v tomto případě rozumí období libovolně kratší než jeden rok, tedy např. čtvrtletí, měsíc, týden nebo den. Proces desagregace přitom nemusí probíhat v jedné úrovni (jednorázově), ale postupně v několika úrovních. Tak např. nejdříve se mohou rozložit roční řady na čtvrtletní, ty pak na měsíční atd.

Desagregační techniky lze rozdělit do dvou hlavních kroků: 1. Odvození modelu a následná generace syntetických ročních řad. 2. Odvození modelu desagregace a následná generace syntetických sezónních řad. Numerické aplikace jsou v obou případech dosti náročné. Nezbytnou podmínkou jejich zvládnuti je výkonný počítač.

Pro odvození modelů v soustavě stanic jsou nezbytné reálné průtokové řady ve společném období pozorování. Není-li tomu tak, je třeba chybějící úseky doplnit metodami hydrologické analogie.

Nejjednodušším desagregačnim modelem je model sezónních, např. průměrných měsíčních průtoků v izolované stanici. Vektor ročních průtoků se rozkládá na vektory průtoků v jednotlivých měsících pomocí regresních vztahů

tttt CBZAXY ε++= , (7.112)

kde Yt je centrovaný vektor průměrných měsíčních průtoků v měsíci i, ( )121 ,..., ttt YYY = a v roce t, Xt je centrovaný roční průtok v roce t, ( )111 ,..., ttt εεε = je vektor reziduí (nezávislých standardizovaných náhodných

veličin), A je matice délky 12 a C je kovarianční matice rozměru 12 x 11, Zt je p-rozměrný vektor reprezentující posledních p průtoků v předchozím roce t-1, B je matice rozměru 12 x p.

Použité termíny Autokorelační funkce - vyjadřuje korelační závislost mezi hodnotami procesu v různých časových okamžicích t1 a t2.

Bílý šum - je tvořen náhodnými vzorky s rovnoměrným rozložením, které jsou vzájemně nekorelované.

Homogenita časové řady - hodnoty jednotlivých členů pozorované řady odrážejí jen přirozenou proměnlivost studované veličiny a nejsou ovlivněny vnějšími vlivy

Korelace - znamená lineární závislost náhodných veličin. K měření intenzity této závislosti jsou používány korelační koeficienty.

Markovův řetězec – odvozen pro závislé náhodné proměnné, definuje, že na budoucí vývoj procesu již nemá vliv případná další znalost minulého průběhu pozorovaného procesu.

Stacionarita (v širšmí slova smyslu) – proces je stacionární, když má konstantní střední hodnost a rozptyl a jeho autokorelační funkce je funkcí časového rozdílu.


- 202 (213) -

Spektrální analýza - je založena na předpokladu, že časová řada je součtem funkcí sin a cos o různých amplitudách a frekvencích. Umožňuje nalézt významná cyklická kolísání

Literatura (kap.7.9) [1] Budík, L., Budíková, M., Statistické zpracování měsíčních a ročních srážkových a odtokových charakteristik povodí řeky Moravy, Praha, ČHMU Praha 2001 [2] Likeš, J., Machek, J., Matematická statistika, Praha, SNTL 1988 [3] Likeš, J., Machek, J., Počet pravděpodobnosti, Praha, SNTL 1981 [4] Nacházel, K., Stochastické metody ve vodním hospodářství, Doplňkové skriptum, Praha, ČVUT Praha 1993 [5] Nacházel, K., Votruba, L., Základy teorie stochastických procesů a jejich aplikace ve vodním hospodářství, Praha, ČVUT Praha 1971 [6] Nacházel, K., Statistické metody ve vodním hospodářství, Praha, EXPERT Ostrava 1998 [7] Starý, M., Užití umělých neutronových sítí v aplikované hydrologii, Zkrácená verze habilitační práce, Brno, VUTIUM 2004

7.10 Nejistoty

Účelem stanovení nejistot při měření je zjištění intervalu hodnot okolo výsledku měření, který lze přiřadit k hodnotě měřené veličiny. Nejistota měření zjištěná při kalibraci je základem pro zjištění nejistot měření ve výrobě, kontrole a zkušebně.

Nejistoty měření se do běžné praxe kalibračních laboratoři dostaly poměrně nedávno - přibližné okolo roku 1990. V tomto roce byl vydán dokument WECC 19/90, který představoval jeden z prvních jednotících předpisů pro nejistoty, závazný pro akreditované laboratoře v rámci organizace WECC (Západoevropského kalibračního sdružení). Krátce poté je již výsledek bez uvedené nejistoty považován za naprosto nedostačující. Vztah mezi chybou měření a nejistotou lze dokumentovat i na grafickém znázorněni výsledku měření při kalibraci:

Obr. 7.57: Základní schéma

Pojmy: Uind rozšířená nejistota indikace zkoušeného měřidla; Us rozšířená nejistota konvenčně pravé hodnoty;

- 203 (213) -

Uc rozšířená nejistota měření Δx chyba měření Xind indikace zkoušeného přistroje xs konvenčně pravá hodnota uc standardní kombinovaná nejistota chyby měření (2 x uc = Uc) uxind standardní nejistota hodnoty x ind uxs standardní nejistota hodnoty x •.

7.10.1 Postup vyhodnocení nejistot při měřeni a kalibracích

Na počátku jakéhokoli vyhodnocení nejistot stojí detailní porozumění podstatě prováděného měřeni, popsaného (nebo popsatelného) modelem měření.

To samozřejmé neznamená nutnost detailní znalosti principů, funkcí a konstrukčních detailů každého měřicího přístroje, ale znalost metody měření a schopnost rozhodnout, jaké vlivy mohou působit v průběhu měření jako zdroje nejistoty a ovlivnit výsledek. Mnohdy jsou tyto infonnace obsaženy v návodu k použiti konkrétních přístrojů, nebo v popisu již prověřených metod měření.

Model měření tedy musí být schopen popsat nejen vlastni měření, ale též i to, jak se do výsledku promítají ovlivňující vlivy z okolí, které představuji jednotlivé zdroje výsledné nejistoty. Někdy jde o naprosto triviální modely, s jednoduchými vazbami, jindy může mít i zdánlivé jednoduché měřeni velice komplikovaný model a vazby ovlivňujících veličin se ani nemusí podařit přesně popsat. Vlakových případech je nutné se uchýlit k odhadům na základě zkušeností, nebo dostupných infonnaci z literatury, dřívějších měření a podobných zdrojů.

7.10.2 Děleni typu nejistot

Existuje základní rozděleni nejistot podle způsobu, kterým byly získány, a to na nejistoty

• typu A • typu B

Z matematické statistiky byla jako míra nejistoty zvolena směrodatná odchylka příslušného rozdělení pravděpodobnosti pro jednotlivé zdroje nejistot. Nejistoty typu A a typu B se liší jen způsobem, jakým je tato směrodatná odchylka získána.

7.10.2.1 Výpočet nejistoty typu A

Definice pro nejistotu typu A říká, že tato je stanovena výpočtem z opakované provedených měření dané veličiny. Každý se již zřejmé setkal se skutečností, že pokud provede opakovaný odečet hodnoty neměnné měřené veličiny a má k dispozici měřicí přístroje s dostatečným rozlišením, bude v takto provedených odečtech patrný jistý rozptyl. Přitom se předpokládá že během tohoto opakovaného odečtu se nemění ani měřená veličina, ani ovlivňující podmínky, které mohou na měření působit. Je uvedeno, že mírou nejistoty typu A je výběrová směrodatná odchylka výběrového průměru. (Výběrová proto, že naměřené hodnoty představuji určitý malý výběr z prakticky nekonečného množství hodnot, kterých by mohla měřená veličina nabývat. Výběrového


- 204 (213) -

průměru proto, že hodnota, která se uvádí jako výsledek měření, se získá výpočtem průměrné hodnoty takto opakovaně provedených odečtu, tedy sečtením všech hodnot a vydělením součtu počtem provedených odečtu). Tomuto matematickému názvu též odpovídá příslušný vztah, podle kterého se standardní nejistota typu A vypočte.

, (7.113)

kde . (7.114)

Aby však tento vztah platil, předpokládá se provedeni alespoň 10 opakovaných měření, ze kterých je pak nejistota typu A vypočtena. Není-li možné dodržet tuto podmínku, je nutno provést doplňkovou korekci, která zohlední malý počet opakování měření.

Pokud je počet opakovaných měření n < 10 a není možné učinit kvalifikovaný odhad na základě zkušeností, lze standardní nejistotu typu A stanovit ze vztahu:

, (7.115)

kde ks je koeficient, jehož velikost závisí na počtu měření n, viz tab.7.7.

Tab. 7.7: Opravné koeficienty n 9 8 7 6 5 4 3 2

ks 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,7 2,3 7,0

7.10.2.2 Výpočet nejistoty typu B

Na rozdíl od nejistoty typu A, která byla stanovena z opakovaných měření, pro složky nejistoty typu B platí, že jsou stanoveny jinak než opakovaným měřením. Rozdíl mezi typem A a typem B je tedy jasný, problém však je v tom. jak “jinak“ je tedy nejistota typu B stanovena Zde je nutné nejprve najit všechny možné zdroje nejistot.

7.10.3 Možné zdroje nejistot typu B

Pro většinu případů měření veličin, které jsou nejčastěji vhodnými převodníky převedeny na elektrické signály (což je v poslední době případ většiny měřeni), je možné vybírat z následujících zdrojů:

• Vlivy vázané na použité přístroje, etalony a vybavení Nejistoty kalibrace nebo ověřeni; stabilita (časová specifikace) přístrojů; dynamické chyby přístrojů; zanedbané systematické chyby; vnitřní třeni v přístrojích; rozlišitelnost/rozlišeni odečtu z přístrojů (v některých případech

- 205 (213) -

muže nahradit nejistotu typu A); hystereze; mrtvý chod; specifikace výměnných částí přístrojů.

• Vlivy okolního prostředí a jejich změny Tlak, změna tlaku; relativní vlhkost; magnetické pole; elektrické pole; osvětleni, příp. jeho frekvence a tepelné vyzařování; hustota vzduchu; čistota prostředí, ovzduší, prašnost...; napájecí napětí, stabilita, frekvence, harmonické zkreslení; zemní smyčky.

• Vlivy metody Ztráty, svodové proudy; interakce s měřeným předmětem; nejistoty použitých konstant; vlivy reálných parametrů oproti ideálním, uvažovaným v modelech; vlastní ohřev; odvod či přestup tepla;

• Vlivy operátora Nedodrženi metodik; paralaxa; elektrostatické pole; tepelné vyzařováni; osobní zvyklosti;

• Ostatní vlivy

Náhodné omyly při odečtech nebo zápisu hodnot; těžko postihnutelné globální vlivy (vliv Měsíce, vlivy ročních období, vlivy denní doby, vliv polohy ionosféry a podobně).

7.10.3.1 Postup při určování nejistot typu B :

Vytipují se možné zdroje nejistot Z1, Z2 ... Zn.

Určí se standardní nejistoty typu B UBZjk každého zdroje nejistot (převzetím hodnot z technické dokumentace /kal.listy, technické nonny, údaje výrobce ... /, nebo odhadem).

Postup:

Odhadne se maximální rozsah změn ± Δzmax (např. od měřené hodnoty). Velikost Δzmax se volí tak, aby její překročení bylo málo pravděpodobné.

Uváží se, které rozdělení pravděpodobností nejlépe vystihuje výskyt hodnot v intervalu ± Δzmax a z tabulky rozdělení pravděpodobností odečteme konstantu K - někdy se používá značení (χ). Je-li pravděpodobnost výskytu hodnot v okolí středu intervalu vyšší než výskyt hodnot v krajích intervalu použijeme normální rozdělení. V případě že rozdělení pravděpodobností odchylek v intervalu ± Δzmax je příbližně stejné, nebo je není možné zodpovědně posoudit, předpokládá se stejná hodnota pravděpodobnosti pro všechny odchylky, tzn. volíme rovnoměrné rozdělení.

Určí se nejistoty typu B z jednotlivých zdrojů Zj ze vztahu:

(7.116)

kde K (X) se zvolí dle rozdělení. Tato konstanta udává poměr maximální hodnoty Δzmax ku směrodatné odchylce normálního rozdělení.


- 206 (213) -

Celková nejistota typu B je dána geometrickým průměrem nejistot jednotlivých zdrojů:

(7.117)

7.10.4 Kombinovaná standardní nejistota

Kombinovaná standardní nejistota výsledku měření je geometrickým průměrem nejistoty typu A a nejistoty typu B.

(7.118)

7.10.5 Rozšířená standardní nejistota U

Standardní kombinovaná nejistota u byla určena s pravděpodobností P = 68 % , tj. pro koeficient rozšíření K = 1. Pro jinou pravděpodobnost se nejistota přepočte vynásobením koeficientem rozšíření K zvoleným dle tabulky "Koeficienty rozšíření".

(7.119) Tab.7.8: Koeficienty rozšíření

Koeficient rozšíření k

PravděpodobnostP

1 68%

2 95%

2,58 99%

3 99,7%

V praxi se často uvádí nejistota výsledku měření rozšířená koeficientem rozšíření k = 2, což pro normální rozdělení odpovídá pravděpodobnosti pokrytí asi 95 %. Pro zajištění přehlednosti je doporučeno uvádět všechny údaje analýzy nejistot tabulkou (viz příloha č.1). Tento postup stanovení nejistot vychází z předpokladu že vstupní veličiny nejsou korelované a jedná se o přímé měření.

7.10.6 Výklad - standardní a rozšířená nejistota

Jak již bylo v textu uvedeno, výše popsaným postupem se získá standardní kombinovaná nejistota. Standardní znamená, že při skládáni byly použity hodnoty směrodatných odchylek. Při splnění jistých předpokladu je možné považovat rozděleni takto určené nejistoty za přibližné normální.

- 207 (213) -

Z toho pak vyplývá, že takto vypočtená nejistota pokrývá asi 67 % možných výsledků, jinak řečeno, že asi 1/3 výsledku muže padnout mimo takto stanovené pole nejistot.

Jelikož z metrologického hlediska je takováto situace dosti těžko přijatelná, přistupuje se k vynásobeni standardní nejistoty rozšiřujícím koeficientem, který umožní získat pokryti možných výsledku s vyšší pravděpodobností. K rozšiřování nejistoty lze přistupovat několika způsoby.

Buď se rozšiřující koeficient stanoví poměrně komplikovaným postupem tak, aby odpovídal požadované pravděpodobnosti pokrytí výsledku (např. 90%, 95% nebo 99,7%), přičemž se vychází z určení efektivního počtu stupňů volnosti měření a tabulek koeficientu Studentova rozdělení - (postup je uveden v dokumentu EA-4/02).

Jinou možností je určeni rozšiřujícího koeficientu dohodou pro určitou hrubě odhadovanou pravděpodobnost pokrytí výsledku. Tento druhý postup je obvyklý v běžné praxi a z paralely s normálním rozdělením jsou vžité dva základní koeficienty 2 a 3 pro pravděpodobnosti pokryti přibližné 95 % resp. 99,7 %.

7.10.7 Případy standardní a rozšířené nejistoty můžeme ilustrovat pro normální rozděleni.

pásmo ±σ představuje standardní nejistotu, pásmo ±b představuje rozšířenou nejistotu pro k = 2, pásmo ±a představuje rozšířenou nejistotu pro k = 3.

Obr. 7.58: Normální (Gaussovo) rozdělení

7.10.8 Odhad rozdělení pro složky nejistoty typu B

Pokud se již podařilo k seznamu možných zdrojů nejistoty typu B stanovit krajní meze, kterých tyto mohou nabývat, ještě stále není možné pustit se do vlastního vyhodnoceni souhrnné nejistoty typu B z těchto zdrojů. Je to proto, jak již bylo uvedeno dříve, že k tomuto vyhodnocení potřebujeme mít směrodatné odchylky odpovídající rozděleni pravděpodobností příslušného těmto zdrojům. Je třeba se tedy rozhodnout, jak bude rozdělena pravděpodobnost, se kterou mohou tyto zdroje nejistoty či ovlivňující veličiny


- 208 (213) -

nabývat] jednotlivých hodnot mezi svými již známými krajními mezemi. Předpokládá se vesměs, že tyto meze jsou symetrické, tj. nulová nebo ustálená hodnota zdroje nejistoty leží uprostřed mezi oběma krajními mezemi (viz následující grafy). Například tedy vliv rozlišeni odečtu na stupnici nebo displeji přístroje bude uvažován jako ± 1/2 hodnoty rozlišitelnosti nebo digitu. V nabídce možných rozdělení, která lze použít, se také nejvíce liší jednotlivé materiály uvedené v přehledu dostupné literatury.

Nejčastěji používaná rozdělení jsou uvedena v následujícím textu, kde jsou uvedena grafická znázornění jednotlivých rozdělení. Pro každé z nich je zde koeficient κ, sloužící k přepočtu mezní hodnoty ovlivňující veličiny na směrodatnou odchylku příslušného vybraného rozdělení. Směrodatná odchylka je hodnotou standardní nejistoty. Přepočet se provádí podle jednoduchého vztahu:

. (7.120)

• Normální (Gaussovo) rozdělení – viz obr.7.58.

• Trojúhelníkové (Simpsonovo) rozdělení

Obr. 7.59: Trojúhelníkové rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení s κ=3, trojúhelníkové (Simpsonovo) rozdělení s κ =2,45 a normální rozdělení s κ=2 dávají možnost volby pro takové případy, kdy je pravděpodobnost malých či velmi malých odchylek značná, zatímco pravděpodobnost velkých odchylek, rovných mezím, je zanedbatelná (pak κ= 3) nebo velmi malá (pak κ = 2).

Normální rozdělení se též předpokládá pro výsledek výpočtu nejistoty typu A, případně pro výsledek výpočtu kombinované standardní nejistoty (kdy podle centrální limitní věty má rozděleni vzniklé složením několika obecných rozdělení charakter normálního rozdělení).

Simpsonovo rozděleni lze použit například u specifikaci stability v době mezi kalibracemi, pokud je dlouhodobým sledováním potvrzeno, že skutečné chyby jsou prakticky stále podstatně nižší, než výrobcem uváděné hodnoty.

- 209 (213) -

• Bimodálni - trojúhelníkové rozdělení

Obr. 7.60: Bimodální trojúhelníkové rozdělení

• Bimodální - Diracovo rozdělení

Obr. 7.61: Bimodální Diracovo rozdělení

V opačném případě, kdy je bud' pravděpodobnost odchylek blízkých mezím velká a klesá směrem ke správné hodnotě, nebo prakticky vždy dosahuji některé z mezních hodnot, se voli bimodální (trojúhelníkové) rozděleni κ = √2, resp. Bimodální (Diracovo) rozdělení κ = 1.

Diracovo rozdělení lze použít například pro ohodnocení pravděpodobnosti vlivu hystereze měřícího přístroje, která se prakticky vždy uplatni jako zdroj nejistoty v plné výši, tj. směrodatná odchylka je přímo rovna krajní mezI.

Bimodální (trojúhelníkové) rozdělení lze použít pro ohodnocení pravděpodobnosti chybného odečtu např. při odečítání na noniu posuvného měřítka či mikrometru (pokud jsou rysky pevné a pohyblivé části proti sobě, je pravděpodobnost omylu nulová, zatímco čím blíže je ryska pohyblivé části ke středu mezi dvěma ryskami na pevné části, tím je pravděpodobnost omylu vyšší).

• Rovnoměrné (Pravoúhlé) rozdělení

Ve většině běžných případů lze uvažovat, že hodnota ovlivňujících veličiny muže ležet kdekoli mezi oběma mezními hodnotami, aniž by byla kterákoli hodnota upřednostňována. Tehdy volíme rovnoměrné rozdělení κ = √3.


- 210 (213) -

Obr. 7.62: Pravoúhlé rozdělení

• Lichoběžníkové rozdělení

Obr. 7.63: Pravoúhlé rozdělení

Pokud se v určité oblasti hodnot chová ovlivňující veličina podle rovnoměrného rozděleni, ale i mimo tuto oblast se též mohou vyskytovat hodnoty ovlivňující veličiny, ovšem s klesající pravděpodobností směrem k mezním hodnotám, muže se zvolit některé z uvedených lichoběžníkových rozdělení s κ = 2.04 až 2.32. (Praktickým příkladem muže být například teplota v laboratoří, při použití klimatizační jednotky dimenzované na běžné teploty venkovního prostředí, ale nepostačující pokrýt teplotní extrémy.)

7.10.9 Shrnutí postupu výpočtu nejistoty

Pří výpočtu nejistot lze postupovat dle následujících kroků.

• provedou se opakovaná měření (pokud je to možně) a zaznamenají se hodnoty ovlivňujících veličin (teplota, tlak. vlhkost, ... ), které jsou složkami nejistoty typu B;

• na odečtené hodnoty se aplikují veškeré nutné korekce (napf. známých systematických chyb měřících přístrojů);

• stanoví se průměrná hodnota korigovaných odečtu a nejistota typu A; • určí se všechny zdroje nejistoty typu B;

- 211 (213) -

• pro každý zdroj nejistoty typu B se určí jeho krajní meze, mezi nimiž by se měla nacházet jeho skutečná hodnota;

• pro každý zdroj nejistoty typu B se určí předpokládané rozdělení pravděpodobnosti výskytu jeho hodnot mezi krajními mezemi;

• pomocí koeficientu κ pro určená rozdělení se přepočtou krajní meze na hodnoty směrodatných odchylek, jako míry nejistoty;

• pro jednotlivé složky nejistoty typu B (případné lež nejistoty typu A u nepřímých měření) se určí převodní (citlivostní) koeficienty vyjadřující vazbu mezi zdrojem nejistoty a měřenou veličinou;

• posoudí se vzájemná vazba mezi jednotlivými zdroji nejistot a pokud je významná, určí se korelační (vazební) koeficienty pro každý pár vzájemně se ovlivňujících složek;

• pomocí Gaussova (příp. rozšířeného) zákona šířeni nejistot se vypočítá celková nejistota typu B a následně kombinovaná standardní nejistota;

• urči se koeficient rozšíření pro požadovanou pravděpodobnost pokrytí a urči se rozšířená nejistota;

• do protokolu se uvede výsledek měřeni, nejistota, koeficient rozšíření a další doplňující údaje s respektováním výše uvedených zásad pro desetinná místa, platné cifry a zaokrouhlováni.

Tab. 7.9: Přehled některých důležitých termínů Termín Vysvětlení

Aritmetický průměr Součet hodnot dělený jejich počtem

Nejlepší měřící schopnost

Nejmenší nejistota měření, které může v rámci akreditace laboratoř dosahovat pří provádění více či méně rutinních kalibrací téměř ideálních měřících etalonů s cílem definovat, realizovat, uchovat či reprodukovat jednu či více jednotek dané veličiny, nebo které může dosahovat pří více či méně rutinně prováděných kalibracích téměř ideálních měřících zařízení určených pro měření dané veličiny

Korelace Vztah mezi dvěma či několika náhodnými proměnnými v rámci jejich rozdělení hodnot.

Korelační koeficient Míra vzájemné relativní závislosti dvou náhodných proměnných, která je rovná podílu jejich kovariance a druhé kladné odmocniny součinu jejich rozptylů.

Kovariance Míra vzájemné závislosti dvou náhodných proměnných, která je rovná očekávané hodnotě součinu odchylek dvou náhodných veličin od jejich očekávaných hodnot

Koeficient rozšíření Číslo, kterým se po vynásobení standardní nejistoty měření získá rozšířená nejistota měření

Pravděpodobnost pokrytí

Podíl (obvykle velký) z rozdělení hodnot, které mohou být jako výsledek měření přiřazeny měřené veličině

Výběrová směrodatná odchylka

Kladná druhá odmocnina výběrového rozptylu.


- 212 (213) -

Rozšířená nejistota Veličina definující interval okolo výsledku měření, do kterého lze zařadit velkou část z rozdělení hodnot měřené veličiny

Výběrový rozptyl Veličina charakterizující rozptýlení výsledků série n pozorování stejné měřené veličiny. Hodnota výběrového rozptylu se stanoví dle vztahu (3.2) z tohoto dokumentu.

Odhad hodnoty vstupní veličiny

Odhad hodnoty vstupní veličiny použitý pro stanovení výsledku měření

Vstupní veličina Veličina, na které vzhledem ke způsobu stanovení výsledku měření závisí měřená veličina

Měřená veličina Určitá veličina, která je předmětem měření.

Odhad hodnoty výstupní veličiny

Výsledek měření vypočítaný z odhadů hodnot vstupních veličin pomocí funkce zachycující model měření

Výstupní veličina Veličina, která pří vyhodnocování měření reprezentuje měřenou veličinu

Odhad rozptylu z velkého počtu měření

Odhad výběrového rozptylu, který je získán z dlouhé série pozorování stejné měřené veličiny, kdy měření je dobře popsáno a statisticky vyhodnocováno

Hustota pravděpodobnosti

Funkce udávající pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabývá určitých hodnot nebo leží v určité množině hodnot.

Náhodná proměnná Proměnná, která může nabývat jakékoliv hodnoty ze specifikované množin hodnot a které ie přiřazena hustota pravděpodobnosti.

Relativní standardní

nejistota měření

Standardní nejistota určité veličiny dělená odhadem hodnoty této veličiny.

Standardní nejistota určité veličiny dělená odhadem hodnoty této veličiny.

Diference změny hodnoty výstupní veličiny vyvolaná změnou odhadu hodnoty vstupní veličiny dělená změnou odhadu hodnoty vstupní veličiny

Směrodatná odchylka Kladná druhá odmocnina rozptylu náhodné veličiny.

Standardní nejistota

měření Nejistota měření vyjádřená jako směrodatná odchylka.

Stanovení nejistoty typu A

Metoda stanovení nejistoty měření založená na statistickém vyhodnocení série pozorování

Stanovení nejistoty typu B

Metoda stanovení nejistoty měření založená na jiném principu, než je statistické vyhodnocení série pozorování.

Nejistota měření Parametr vztahující se k výsledku měření, který charakterizuje rozptýlení hodnot jež je možné přiřadit k měřené veličině

Rozptyl Očekávaná hodnota druhých mocnin odchylek náhodné veličiny od její očekávané hodnoty

- 213 (213) -

7.10.10 Zdroje nejistoty měřeni

Nejistota výsledku měření odráží omezenou možnost znalosti hodnoty měřené veličiny. Kompletní znalost by vyžadovala nekonečné množství informace. Jevy přispívající k nejistotě a způsobující, že výsledek měření nemůže být charakterizován pouze jedním číslem, jsou nazývány zdroji nejistot. V praxi existuje mnoho možných zdrojů nejistot měření, zahrnujících např.: • nekompletní definici měřené veličiny, • nedokonalou realizaci definice měřené veličiny, • nereprezentativní vzorkování - naměřené hodnoty nemusí reprezentovat

definovanou měřenou veličinu, • nedostatečnou znalost vlivů okolního prostředí nebo jejich nedokonalé

měření, • vliv lidského faktoru při odečítání analogových měřidel, • omezené rozlišení měřicího přístroje nebo práh rozlišení, • nepřesné hodnoty měřících etalonů a referenčních materiálů, • nepřesné hodnoty konstant a dalších parametrů získaných z externích zdrojů

a použitých při výpočtu, • aproximace a zjednodušení obsažené v měřící metodě a postupu, • změny v opakovaných pozorováních měřené veličiny, která jsou prováděna

za zjevně shodných podmínek. Literatura (kap.7.10) [1] Šindelář, V., Tůma, Z.: Metrologie, její vývoj a současnost. ČMS, Praha 2002 [2] Zákon č. 505/1990 Sb., O metrologii [3] Meloun M., Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat, East Publishing,

Praha 1998. [4] ČSN 01 0115:1996 Mezinárodní slovník základních a všeobecných termínů v

metrologii [5] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika – Slovník a značky. Část 1: Pravděpodobnost a

obecné statistické termíny (01 0216)

Kontrolní otázky

7.1. Jaké znáte popisující veličiny souborů hydrologických dat a náhodných procesů?

7.2. Co rozumíme kalibrací regresních rovnic a jaké znáte metody?

7.3. V čem spočívají výhody umělých neuronových sítí oproti užití regresních metod?

7.4. Co rozumíme kvazistacionárním ergodickým náhodným procesem?

7.5. Jak vyjadřujeme nejistoty naměřených dat v hydrologii?

Date post:	12-Sep-2018
Category:	Documents
Upload:	ngotuyen
View:	218 times
Download:	0 times

PROF.ING MILOŠ STARÝ CSC HYDROLOGIE -...

Documents