STATIKA HMOTNÝCH OBJEKTŮ

Statika tuhé desky

1) Kyvný prut – odebírá 1 stupeň volnosti

(r = 1) . Jedna složka reakce.

2) Pevný kloub– ruší 2 stupně volnosti

(dvojná vazba), (r = 2). Umožňuje pootočení.

Vyvozuje 2 složky reakcí a lze jej nahradit

2 kyvnými pruty.

3) Posuvný kloub tzv. vedení po přímce –

ruší 1 stupeň volnosti (r = 1), umožňuje

posun a pootočení. Vyvozuje 1 složku reakcí

v normále k přímce (resp. ke křivce) posunu.

Lze jej v jistých mezích nahradit kyvným

prutem.

4) Vetknutí – pevné spojení tuhé desky

s podkladem. Ruší všechny 3 stupně volnosti

(r = 3) tuhé desky v rovině.

x

y

a

b

R1x

R1y

R1

R2

Pevný a posuvný kloub

podporující desku

Rozbor účinku vazeb - kritérium podepření.

Označujeme:

m - počet stupňů volnosti volného hmotného objektu

r - počet stupňů volnosti, které jsou schopny odebrat (zrušit) použité vazby

rms - kritérium podepření jako číslo, které charakterizuje polohovou

variabilitu hmotného objektu.

Podle hodnoty kritéria podepření s rozlišujeme objekty

Podepření je doplňující

podmínka

tvarově staticky

s

> 0 neurčité přeurčité

= 0 určité 0Adet < 0 přeurčité neurčité

Výpočet reakcí desky:

1. Posouzení statické určitosti.

2. Přerušíme vazby a nahradíme jejich působení složkami reakcí.

3. Sestavíme podmínky rovnováhy

Konstrukční prvky

Prut (přímý, zakřivený) je kon-strukční

prvek u něhož jeden rozměr převládá nad

dvěma zbývajícími. Důležitou čárou je

střednice prutu, která spojuje ve směru

převládajícího rozměru těžiště všech

příčných průřezů daného prutu.

Stěna je konstrukční prvek, jehož jeden

rozměr je výrazně menší než zbývající

dva rozměry. Zatížení působí ve

střednicové rovině (paprsky sil leží v této

rovině).

Deska je konstrukční prvek se dvěma

převládajícími rozměry, který je

zatížen kolmo ke střednicové rovině.

Skořepina je konstrukční prvek se

dvěma převládajícími rozměry a se

zakřivenou střednicovou plochou. Při

obecném zatížení se v ní projevuje

působení jako ve stěně i v desce, tzv.

deskostěnové působení

Konstantní a proměnný průřez nosníku

a) ve směru střednice se

nemění základní rozměry

průřezu

b) náhlá změna průřezu

c) spojitá změna průřezu

Zjednodušení výpočtového modelu:

nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami.

Idealizace nosníku jeho střednicí

Vnitřní síly v přímých nosnících

Nosník rozdělený řezem na

dvě části

l

V každém zkoumaném řezu můžeme určit vnitřní síly M, N, T jako složky výslednice

všech vnějších sil (zatížení + reakce) působících na nosník po jedné straně průřezu.

Posouvající síla T (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek

vnějších sil kolmých k tečně střednice v místě průřezu (příčných složek) působících

po jedné straně průřezu N.

Normálová síla N (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek

vnějších sil rovnoběžných s tečnou střednice v místě průřezu a působících na nosník

po jedné straně průřezu N.

Ohybový moment M (v daném průřezu) je roven algebraickému součtu

statických mo-mentů všech vnějších sil působících po jedné straně průřezu k těžišti

průřezu Nm.

Kladné smysly vnitřních sil (úmluva), tzv. „znaménková konvence“

normálová síla je kladná je-li to síla tahová

Schwedlerova věta

Základní vztah mezi zatížením a vnitřními silami je odvozen z podmínek rovnováhy na

prutovém elementu na obr.6.5.

Rovnováha vnitřních sil na elementu

nosníku

Dané spojité zatížení f(x) rozložíme do složek

- dxfdxf NT a jsou náhradní břemena od těchto

složek a působí v polovině délky dx elementu

nosníku. Sestavením podmínek rovnováhy na

elementu nosníku ve směru normálné a

posouvající síly a momentové podmínky

k bodu o dostaneme následující vztahy:

0 dxfdNNN N

dx

dNfN

0 dxfdTTT T

dx

dTfT

02

0

dx

dxfTdxdMMM T

dx

dMT

Schwedlerova věta slovně:

Posouvající síla T se rovná derivaci ohybového momentu

podle diferenciálu střednice.

Pozn.: Položíme-li 0dxdMT znamená tato rovnice

z matematického hlediska hledání extrému (maximální ohybový

moment).

dx

dMT

Intenzita spojitého zatížení ve směru střednice se rovná

záporné deviaci normálové síly podle diferenciálu střednice.

dx

dNf N

Intenzita spojitého zatížení ve směru kolmém ke střednici se

rovná záporné derivaci posouvající síly podle diferenciálu

střednice.

dx

dTfT

Ze vztahů uvedených výše plyne určení stupně funkcí vnitřních

sil T a M v jednotlivých intervalech (důležité pro správné

grafické vyjádření průběhu vnitřních sil v nosníku).

Tfdx

Md

dx

dT

2

2

Určení stupně funkcí vnitřních sil

Intenzita

zatížení

Funkce posouvající síly T Funkce ohybového momentu M

0 konstantní lineární (1°)

konstantní lineární (1°) kvadratické (2°)

lineární kvadratické (2°) kubické (3°)

Prostý nosník zatížený osamělými silami (břemeny)

1,a 0N v celém úseku

aa TAT 11

01 aM 11 aAM a 21, 0N v celém úseku

21112 TFAT

aMM 112 122 121 FaAM

32, 0N v celém úseku

322123 TFFAT

2123 MM

23133 2132 FFaAM

3,b použit výpočet „zprava (postupuje se od pravé podpory doleva)

0N v celém úseku bb TBT 33 03 bM 323 MM b

Prostý nosník s rovnoměrným spojitým zatížením

Reakce: 2

lqBA

b,a 0xN

xqql

xqAxT 2

baab Tql

T 2

xlqxqxqlxx

qxxAxM 2222

2

0abM pro 0x 02

llql

M ba pro lx

Poloha nebezpečného průřezu - nulová posouvající síla udává polohu nebezpečného

průřezu, ve kterém je maximální ohybový moment

2

02

000

lxxq

qlxT 2

00

8

1

2222ql

ll

lqxl

qxM max

ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI

Napětí definujeme jako velikost vnitřní síly na jednotku plochy. Napětí jsou konečné

podíly elementů vnitřních sil a ploch.

Podle vnitřních sil zavádíme napětí celkové dA

dSr

napětí normálové dA

dN ve směru normály k ploše

napětí tangenciální dA

dT ve směru tečném k ploše.

Můžeme-li pokládat sílu S a její složky N, T za rovnoměrně

rozložené po ploše velikosti A, určujeme napětí podílem

vnitřní síly a plochy

A

T

A

N

A

Sr , , n t

T(τ)

S(σr)

N(σ) φ

Napětí celkové, normálové

a smykové

Napětí má podle toho rozměr síla lomeno plochou, tady 2N/m . Tato jednotka má

v mezinárodní soustavě jednotek SI označení pascal.

Platí tedy 2-1-2 skgm1N/m 1 Pa1 .

Označíme-li úhel mezi paprskem celkového napětí a normálou k ploše jako bude platit: 22 sin cos rrr

Působením normálových sil se mění rozměry tělesa. rozměr ve směru síly před deformací l

po deformaci l´,

rozdíl lll je skutečným ( absolutním ) protažením

tělesa ve směru l, protažení záporné je zkrácení.

a) těleso se protahuje směrem působících tahových sil

b) v příčném směru se stlačuje.

Protažení tělesa

Tažená tyč se tedy ve směru tahu prodlužuje, v příčném směru zužuje, tlačená se naopak

ve směru působících sil zkracuje, v příčných směrech prodlužuje.

Předpokládáme, že se podobně deformuje účinkem normálových sil prvek tělesa.

Označujeme skutečným protažením veličinu danou rozdílem původní délky prvku ds a

délky elementu po přetvoření ds´

dssds

Častěji než se skutečným protažením tělesa nebo elementu počítáme s poměrným

protažením , které je poměrem skutečného protažení a původní délky, tedy

l

l nebo

ds

ds ,

(které má znaménko shodné se skutečným protažením a jako poměr dvou délek je to

veličina bezrozměrná).

Tangenciální (smyková) napětí způsobují posunutí

bodů v rovině průřezu. Tím se mění původní pravé úhly

v kosé.

Označíme-li jako rozdíl posunutí dvou koncových

bodů úsečky ab kolmé před deformací k průřezu a

délku úsečky ab jako l, potom poměr rozdílu posunutí

k délce kolmého vlákna

l

tg

nebo ds

d

je poměrné zkosení.

Je to obdobně jako relativní protažení hodnota bezrozměrná. Značí tangentu úhlu, o nějž

se změnil úhel vlákna k průřezu. Protože se jedná o velmi malý úhel, lze ho zaměnit

velikostí úhlu.

Relativní zkosení

Pracovní diagram

Vložíme ocelovou tyč délky l malé

průřezové plochy A do čelistí trhacího stroje

a zvyšujeme tah F. Můžeme předpokládat, že

napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně a

má hodnotu

A

F .

a) Měříme-li délku l´ tyče mezi dvěma značkami, vzdálenými od sebe před zkouškou l ,

pozorujeme, že tato délka se vzrůstem síly F roste.

b) S rostoucím napětím vzrůstá proto také poměrné protažení.

c) Vyznačíme-li závislost normálového napětí σ na poměrném protažení ε , dostaneme

tzv. pracovní diagram. Tvar pracovního diagramu závisí na materiálu i jeho

zpracování. Proto se pracovní diagramy různých látek od sebe značně liší.

Zkušební vzorek v čelistech stroje

Trhací stroj řízený počítačem

Zkušební vzorky

Pracovní diagram oceli

Sledujme v pracovním diagramu závislost konvenčního

(vypočteného z původní velikosti průřezu) napětí na

poměrném protažení.

Poměr přírůstku napětí a přírůstku deformace (derivace

napětí podle relativní deformace)

d

dE

se nazývá modul pružnosti, přesněji modul pružnosti

v tahu nebo tlaku. Bývá též nazýván Youngův modul

pružnosti. U oceli a některých jiných látek roste

protažení v oboru I lineárně, přímo úměrně k napětí,

derivace napětí podle protažení je tedy v tomto oboru

konstantní a rovná se podílu napětí a protažení

E

Modul pružnosti má stejný rozměr jako napětí. Pracovní diagramy pro

různé materiály

Vzroste-li napětí, a tím i příslušná

deformace, nad mez pružnosti, nastává

plastické přetváření, obor plasticity .

Projevy plastického přetváření:

daleko rychlejší růst deformace při

rostoucím napětí než v oboru pružném

závislost relativního protažení na napětí

neprobíhá podle přímky a modul pružnosti

v tomto oboru není stálý (mluvíme pouze o

okamžitém modulu pružnosti)

deformace je v tomto oboru převáženě

plastická, proto se při odlehčení nevrací zpět

po čáře, která znázorňovala její růst, ale

klesá zhruba podle rovnoběžky s přímkou

platnou v pružném oboru.

Odlehčování v plastickém oboru

U látek tvárných (plastických) je plastický obor

charakterizován mezí průtažnosti (mezí kluzu) T , tj.

napětím, za něhož deformace začne vzrůstat velmi rychle,

takže deformační čára probíhá v diagramu zhruba

rovnoběžně s osou deformací a materiál se spojitě protahuje

při téměř konstantním napětí T .

Ve výpočtech za stavu plasticity idealizujeme průběh napětí

u meze průtažnosti podle Prandtla rovnoběžkou s osou ,

nebo mírně stoupající přímkou.

Ve skutečnosti je při dosažení napětí na mezi průtažnosti

napětí konstantní jen do určité relativní deformace a po ní

deformační čára dále stoupá, materiál se zpevňuje.

Maximální hodnota, kterou může jmenovité napětí

dosáhnout, se nazývá mez pevnosti p . Po překročení meze

pevnosti materiál teče při současném značném zužování

průřezu, až dojde k porušení tyče – tyč se přetrhne.

V technické praxi jsou používána normová označení

jednotlivých charakteristik v pracovním diagramu oceli.

Výpočet za stavu

plasticity:

a) bez zpevnění

b) se zpevněním

Výpočet konstrukcí v praxi zjednodušujeme předpokladem, že jde o látky stejnorodé

čili homogenní, tj. stejné struktury a stejných vlastností ve všech bodech tělesa a

izotropní, tj. takové, které mají ve všech směrech stejné materiálové vlastnosti.

Ve skutečnosti se hmoty řídí těmito předpoklady jen přibližně, avšak pro výpočty podle

nauky o pružnosti a pevnosti předpoklady homogenity a izotropie materiálu prakticky

vyhovují.

Většinou namáháme materiál z různých důvodů (bezpečnost, vyloučení větších deformací

apod.) jen po mez úměrnosti. Můžeme tudíž materiál idealizovat jako homogenní,

izotropní a dokonale lineárně pružný – modul pružnosti je konstantní. Matematicky tento

vztah vyjádříme rovnicí

E nebo E

kde E je modul pružnosti, normálové napětí a relativní (protažení) deformace.

Rovnice vyjadřuje základní vztah teorie pružnosti, tzv. Hookův zákon.

Hookův zákon platí, jen pokud jsou splněny dva předpoklady:

napětí nepřestoupí mez úměrnosti

nepůsobí normálové napětí v příčných směrech.

Působí-li v příčných směrech další normálová

napětí, mají rovněž vliv na přetvoření

v uvažovaném směru.

Z popisu tahové zkoušky víme, že síla působí

protažení ve směru svého vektoru a současně

příčnou kontrakci v kolmých směrech.

Normálové napětí x ve směru osy x vyvolává

kromě protažení ve směru svého působení také

zkrácení ve směrech y, z (záporné protažení ).

Příčný rozměr se zkracuje ( relativně ) m krát

méně, než se prodlužuje délka ve směru tahových

sil.

Číslo m se nazývá Poissonova konstanta a

vždy musí být větší než 2.

Převrácená hodnota Poissonovy konstanty se

nazývá Poissonovo číslo a značí se (v cizí

literatuře také ).

Normálová napětí v kolmých

směrech

Napětí x tedy vyvolává relativní deformace

EmE

xxzy

xx

,

obdobně napětí y samotné vyvolává relativní deformace

EE

y

zx

y

y

,

a napětí z samotné vyvolává relativní deformace

EE

zyx

zz

,

Sečteme-li účinky všech tří napětí na protažení ve směru x , dostaneme výsledné poměrné

protažení

zyxxE

1

a v ostatních směrech yxzzzxyyEE

1

1

Tyto závislosti udávají tzv. rozšířený Hookův zákon, jenž stanoví deformaci za

současného působení normálových napětí ve třech kolmých směrech na zatěžovaný prvek.

Mezi relativním zkosením a tangenciálním napětím platí vztah obdobný Hookovu

zákonu

G

kde je relativní zkosení, tangenciální napětí a G je tzv. modul pružnosti ve smyku.

Modul pružnosti v tahu E, modul pružnosti ve smyku G a Poissonovo číslo jsou tři

materiálové konstanty, které v pružném oboru plně charakterizují daný materiál. Ovšem

jen dvě materiálové konstanty jsou na sobě nezávislé, protože mezi nimi platí vztah

12

EG

Přetvoření nevzniká jen působením zatížení, ale také podle fyziky, různými dalšími vlivy.

V praxi je to zejména změna teploty a smršťování (např. betonu).

PROSTÉ PŘÍPADY PRUŽNOSTI

Prut je konstrukční prvek, jehož jeden rozměr (délka) převládá nad ostatními rozměry

(průřez).

Střednice prutu spojuje ve směru délky těžiště všech podélných průřezů daného prutu.

Vnitřní síly působí na myšlený řez v zatíženém prutu

ohybový moment,

normálná síla,

posouvající síla.

kroutící moment - působí v rovině řezu

Působí-li na průřez jen jediná složka vnitřních sil jedná se o prostý případ pružnosti.

Prostý tah a tlak Jedinou působící vnitřní silou na průřez prutu

je normálová síla. V příčném směru nepůsobí

žádná.

Platí Navierova hypotéza:

1) Osa prutu zůstane po přetvoření přímá.

2) Všechny body dvou sousedních rovno-

běžných průřezů kolmých k ose prutu

zůstanou po deformaci rovinné a kolmé k ose

prutu.

3) Z této hypotézy vyplývá, že poměrná

deformace je konstantní po celém průřezu.

konstdx

dx

dx

dxdxdxx

z Hookova zákona .konstE xx

Oba vztahy platí pro celý průřez.

x

x

z

y

dA

z

y

A

Tahové napětí

dxdx

dx

N N

Součtová podmínka rovnováhy mezi napětím a vnitřní silou:

A

NdANdAN

A

x

A

x x 0 0

Normálové napětí je při prostém tahu a tlaku po celém průřezu konstantní a je rovno

normálové síle dělené plochou.

Momentová podmínka rovnováhy k ose y :

0 00 x AA

x dAzdAzN

Protože x je konstanta, A

dAz je statický moment průřezu k těžišti, vyplývá z

momentové podmínky, že normálná síla musí procházet těžištěm (protože statický

moment průřezu k těžišti je nulový).

Při excentrickém působení vyvolává normálová síla k těžišti průřezu ještě ohybový

moment a nejedná se o prostý tah či tlak.

Velikost deformace

l

xdxl0

, a protože AE

N

E

xx

x ,

potom

l

dxAE

Nl

0

a pro prut stálého průřezu EA

lNdx

EA

Nl

l

0

Staticky neurčitý tah nebo tlak

Pro určení neznámých nám chybí tolik podmínek, kolikrát je soustava staticky neurčitá.

Statické podmínky rovnováhy se musí doplnit podmínkami deformačními.

Prostý ohyb

Jedinou vnitřní silou je ohybový moment, který působí v hlavní centrální rovině

setrvačnosti průřezu.

Navierova hypotéza:

1) Rovinné řezy kolmé ke střednici nosníku před deformací zůstanou i po deformaci

rovinné a kolmé k deformované střednici.

2) Proto se mění lineárně též relativní přetvoření

Natočení dvou blízkých řezů Průběh napětí po výšce průřezu

M M

z

zd

zh

y

y

h

zx

h

z

Statické podmínky rovnováhy

y

y

x

y

y

xI

zM

IE

zM

Neutrální osa je množina bodů, v nichž je normálové napětí nulové.

Označíme-li

h

y

h

y

h

d

y

d

y

d

M

z

IW

M

z

IW

potom h

h

y

d

d

y

W

M

W

M

kde Wd , Wh průřezový modul dolní a horní.

Tangenciální napětí za ohybu

Případy, kdy na nosníku je jedinou vnitřní sílou ohybový moment, nejsou časté. Ve

skutečnosti se spolu s ohybovými momenty obvykle na nosníku vyskytuje také

posouvající síla.

1) Nosník vytvořený z pěti prken tloušťky h

mezi sebou vzájemně nespojených.

2) Únosnost průřezu je úměrná průřezovému

modulu, pět prken bude mít průřezový modul

22

56

5

6

15 bhbhW

3) Slepením vznikne jeden nosník o výšce h5 . Průřezový modul tohoto nosníku bude

22

16

255

6

1bhhbW

Slepením prken se průřezový modul nosníku zvětšil pětkrát. Lepidlo brání posunování

prken vzájemně po sobě. Při ohybu nosníku vznikají mimo normálových napětí také napětí

tangenciální (smyková).

Zvětšení únosnosti slepením

Grashofova hypotéza

Předpokládáme, že u symetrického průřezu zatíženého v rovině souměrnosti je složka

tangenciálního napětí xz stálá v celé vrstvě vláken rovnoběžných s neutrální osou.

Při označování tangenciálních napětí používáme

dvojitého indexu:

1) První index značí směr normály k rovině, v níž

tangenciální napětí působí.

2) Druhý index značí směr tohoto napětí. Napětí

xz tedy značí napětí, které působí v rovině YZ a

mající směr osy Z.

3) Oba indexy u tangenciálního napětí je možno

zaměnit, neboť platí věta o vzájemnosti složek

tangenciálního napětí, podle které jiij (což

vyplývá z momentové podmínky tangenciálních

napětí k těžišti elementu dle obr.).

Kladné směry tangenciálních

napětí

Oddělme z nosníku část omezenou dvěma sousedními průřezy x, x+dx a z horní části

element až po vlákna vzdálená z od neutrální osy:

1) Ve směru osy X působí na element v rovinách sousedních průřezů normálová napětí,

která jsme vyšetřili z účinku ohybového momentu (kladná jako tahy)

2) Na spodní plochu elementu působí konstantní tangenciální napětí zx (kladné proti

směru osy x).

Výpočet tangenciálního napětí podle Grashofovy hypotézy

Ze součtové podmínky rovnováhy ve směru osy X vyplývá pro prizmatický nosník

následující výraz pro tangenciální napětí za ohybu

2

ze

y

zxxz

S

I

T

kde zxxz je tangenciální napětí v průřezu x ve vláknech vzdálených z od těžišťové

osy,

T je posouvající síla v průřezu x,

Iy je moment setrvačnosti celého průřezu v místě x,

Sze je statický moment k těžišťové ose části průřezu nad vlákny z až po horní

okraj průřezu a 2 je šířka průřezu ve vzdálenosti z nad těžišťovou osou.

OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU

- rovinné průřezy zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se.

- při prostém ohybu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině

vnějších sil, která také obsahuje osu nosníku (spojnice těžišť všech průřezů)

- druhá hlavní centrální osa setrvačnosti je v každém průřezu osou neutrální

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

V teorii prostého ohybu nosníku také předpokládáme:

- pružný materiál, jehož chování se řídí Hookovým zákonem

- kolmo k ose nosníku nepůsobí žádná normálová napětí

- nepřihlíží se ani k vlivu zkrácení osy nosníku

- délka ohybové čáry je tedy stejná jako délka nepřetvořené osy.

x

w

Pohyb posuvné podpory při ohybu nosníku

- určujeme tedy ohybovou čáru jako xww .

Z obr. Vyjádříme

ztgzu

dx

dwtg

posunutí u je přibližně rovno u´ , tedy

uuuu ......1cos 42

dx

dwzu

Relativní prodloužení dx

du

dx

ux

Po derivování podle x platí 2

2

dx

wdz

dx

dwz

dx

d

dx

du

.

u

u´

z φ

φ

w

Prostý ohyb nosníku

při prostém ohybu platí y

y

xIE

zM

Porovnání výrazů dostaneme 2

2

dx

wdz

dx

du

IE

zMx

y

y

a z toho y

y

IE

M

dx

wd

2

2

.

Tato rovnice představuje diferenciální rovnici druhého řádu pro výpočet ohybové čáry a je

označována jako Bernoulliova rovnice průhybové čáry.

Tuto diferenciální rovnici můžeme dvakrát integrovat a dostaneme postupně

y

y

IE

M

dx

wd

2

2

1CdxIE

M

dx

dw

y

y

21 CxCdxdxIE

Mw

y

y

Pro výpočet ohybové čáry je třeba rozdělit nosník na integrační intervaly.

Máme-li n integračních intervalů, dostaneme při vyjádření průhybů celkem n2

integračních konstant, v každém intervalu dvě. Integrační konstanty určujeme pomocí

okrajových podmínek, tj. podmínek na koncích nosníku a podmínek spojitosti ohybové

čáry, které pro jednotlivé typy okrajů jsou tyto:

a) v místě kloubové podpory nebo posuvné podpory je průhyb nulový, tj. 0w

b) v místě vetknutí je průhyb a pootočení nulové, tj. 0 ;0 dx

dww

c) na rozhraní mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohybová čára spojitá a spojité jsou i

první derivace 1

1 ;

ii

iidx

dw

dx

dwww

d) v místě vnitřního kloubu mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohybová čára spojitá, tj. 1 ii ww

Typy okrajů jsou vykresleny na obrázku.

U nosníků symetrických a symetricky zatížených je i ohybová čára souměrná. Můžeme

tedy řešit u symetrických konstrukcí pouze polovinu nosníku a na ose symetrie psát

okrajovou podmínku ve tvaru

0 :sym dx

dw

w= 0

w= 0

w= 0

0

0

dx

dw

w

i i+1 i i+1

b) a) c) d)

1

1

ii

ii

dx

d

dx

d

ww

1 ii ww

Clebschovo řešení. redukuje počet integračních konstant až na dvě

na rozhraní dvou intervalů je působiště osamělého břemene:

- ohybový moment nalevo a napravo od osamělého břemene F se liší pouze o člen

pxFM .

- označíme-li tedy ohybový moment v intervalu (1) xM1 , bude ohybový moment

v intervalu (2) roven pxFxMxM 12

x-p

x

p

1 2

F

Osamělé břemeno

Při integraci diferenciální rovnice pak obdržíme

43

3

1

431

431

2

211

1

CxCEI

pxFdxdx

EI

xM

CxCdxdxEI

pxFdxdx

EI

xM

CxCdxdxEI

pxFxMw

CxCdxdxEI

xMw

yy

yy

y

y

- na rozhraní obou intervalů platí výše uvedené okrajové podmínky, tj. v místě px

musí být 21 ww a dx

dw

dx

dw 21

- protože pro px je člen

yEI

pxF

6

3

nulový a též jeho derivace je nulová, musí být

13 CC a 24 CC . Jsou tedy v obou intervalech stejná integrační znaménka.

Stejným způsobem postupujeme, začíná-li na rozhraní dvou intervalů spojité zatížení.

Mohrův způsob určení průhybové čáry - postup se zakládá na analogických vztazích mezi

průhybem a ohybovým momentem na jedné straně a

ohybovým momentem a zatížením na straně druhé

- Schwedlerova věta

xqxTdx

xdT

xTxM

dx

xdM0

Rovnici derivujeme podle x a dosadíme za dx

dTa dostaneme

diferenciální rovnici 2. řádu

xqxMdx

xMd 0

0

2

Srovnáme-li tuto rovnici s Bernoulliovou rovnicí průhybové čáry

y

y

IE

Mw

dx

wd

2

2

T(x)

T(x)+dT(x)

M(x) M(x)+dM(x)

q(x)

dx

A

je mezi nimi zřejmá analogie. Položíme-li xMxw f a

f

y

yq

EI

xM

pak platí

y

f

EI

xTxxw a

y

f

EI

xMxw

Je možno získat ohybovou čáru xw a natočení x řešením průběhu posouvající síly a

ohybového momentu na fiktivním nosníku (vnitřní síly s indexem f). Výše uvedené zápisy

jsou matematickým vyjádřením Mohrových vět:

1. Úhel natočení v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivní posouvající síly na

fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou yEI

.

2. Průhyb v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivního ohybového momentu

na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou

yEI .

Veličiny, které si v analogii vzájemně odpovídají, vyplývají ze srovnání diferenciálních

rovnic:

dx

dMT

dx

dwq

EI

MMw

Fiktivní nosník je takový nosník, jehož fiktivní statické okrajové podmínky

odpovídají geometrickým podmínkám skutečného nosníku. Tento fiktivní nosník,

kterým nahrazujeme původní nosník při řešení ohybové čáry jako výslednicové

čáry, nazýváme duálním ( sdruženým ) nosníkem.

Duální nosník tedy vytváříme tak, že

a) kloubovou podporu na konci nosníku

ponecháme beze změny

b) volný konec nahradíme vetknutím

c) vetknutí nahradíme volným koncem

d) mezilehlou podporu nahradíme vnitřním

kloubem

e) vnitřní kloub nahradíme mezilehlou podporou

Podpory původního nosníku a jemu odpovídajícího

duálního nosníku jsou uvedeny na obrázku.

skutečný nosník duální nosník

STABILITA TLAČENÝCH PŘÍMÝCH PRUTŮ

Tělesa a soustavy těles v mechanice obecně jsou v rovnováze.

Kvalita rovnováhy:

Ztráta stability diskrétní soustavy zatížené tlakovou silou

Diskrétní soustava – soustava z prvků s danými mechanickými vlastnostmi (tuhost,

hmotnost atp.)

Rovnováha: a) stabilní b) labilní c) indiferentní

Př. tuhý prut na rotačně odpruženém kloubu, zatížený tlakovou

silou F

Rovnice rovnováhy na vychýlené soustavě 0sin zkFl

a závislost poměrné síly F na úhlu

sin

~

zk

FlF

a její grafické znázornění

Hodnota F~

v bodě 0 , kde

vychází neurčitý výraz, se stanoví

pomocí l´Hospitalova pravidla

1

cos

1lim

sinlim

sinlim

000

a) Mezi body 0 a B je 0,1~

F je stabilní poloha a je

to podkritická oblast

b) Bod B je tzv., bifunkční bod, bod zdvojení rovnováhy, poměrná síla 1~F a je to tzv.

kritická síla. Soustava je v indiferentní rovnováze.

c) Je-li 1~F , nachází se soustava v nadkritické oblasti.

Charakteristika rovnováhy

Znalost nadkritické charakteristiky umožňuje

stanovit kritické zatížení soustavy. Její vyšetření

není snadné vzhledem k nelineární úloze.

Již kritický stav je pro konstrukci nebezpečný a

znalost nadkritického chování není příliš zajímavá.

Technicky důležité je tedy stanovit kritické

zatížení, aniž by bylo potřeba znát nadkritické

chování soustavy.

Eulerovo řešení vzpěrné pevnosti prutu

Euler věnoval pozornost chování pružných soustav

V nejtěsnějším okolí bifunkčního bodu.

Pojmem vzpěra označujeme v technické praxi štíhlé tlačené

pruty a jejich únosnost ( pevnost ) označujeme jako vzpěrná

pevnost.

Určení vzpěrné pevnosti spočívá ve výpočtu kritického

břemene Fk, to je takové centricky působící tlakové síly, při níž

se prut nachází v indiferentní rovnováze (při vychýlení se

nevrací do původní přímé polohy, ale zůstává v nové poloze ).

Tlačený prut

Prut na obou koncích kloubově podepřen

Uvažujme vzpěru konstantního průřezu upevněnou na jednom konci kloubově a na

druhém posuvně, zatíženou tlakovou silou F. Tato vzpěra byla dočasně působícím

zatížením vychýlena ze svislé polohy.

Ohybový moment v místě x bude tedy roven

wFM

Ohybový moment na nosníku můžeme ovšem určit též pomocí

diferenciální rovnice ohybové čáry, podle které je

2

2

dx

wdEIM

Ze srovnání obou výrazů pro ohybový moment dostáváme pak

diferenciální rovnici ohybové čáry při vzpěru

02

2

wFdx

wdEI

která má řešení

xEI

FCx

EI

FCw cossin 21 .

Integrační konstanty určíme z okrajových podmínek:

1) V kloubu musí být průhyb nulový, tedy pro 0x je 0 0 2 Cw .

2) Druhá okrajová podmínka vyplývá z toho, že i v posuvné podpoře musí být průhyb

nulový, tj. pro lx je 0sin 0 1 lEI

FCw

Tato podmínka má jednak triviální řešení 01 C , které odpovídá stabilní rovnováze,

jednak řešení pro kritické břemeno

2

22 0sin

l

EIkFkl

EI

Fl

EI

Fk

kk

kde k je celé číslo.

Jako řešení dostáváme tak soustavu kritických břemen

........ , 9

, 4

, 2

2

2

2

2

2

l

EI

l

EI

l

EIFk

Položíme-li 2

2

l

EIFF k

do rovnice ohybové čáry a současně dosadíme 02 C ,

dostává ohybová čára při vzpěru rovnici

l

xCw

sin1 .

Ohybová čára je tedy jedna půlvlna sinusoidy, body s nulovou pořadnicí a současně i

inflexní body ohybové čáry jsou na obou koncích nosníku. Položíme-li za tlakovou sílu F

druhý kořen rovnice 2

24

l

EIF

, dostáváme jako ohybovou čáru dvě půlvlny sinusoidy.

Indiferentní rovnováha nastává ovšem již při první velikosti kritického břemene,

další kritická břemena odpovídají podepření kromě na koncích ještě v dalších

uzlových bodech.

Kritické břemeno pro 1k nazýváme též Eulerovo břemeno.

2

2

l

EIFF Ek

Nejmenší kritické břemeno nastává pro nejmenší moment setrvačnosti, proto prut

při vzpěru vybočuje vždy ve směru nejmenšího momentu setrvačnosti. Zavádíme

tedy do vzorce minimální moment setrvačnosti.

Prut na obou koncích vetknut

Na horním vetknutém konci působí kromě osové síly F

ještě moment ve vetknutí M0 a případně i posouvající síla

T. Bude se tedy ohybový moment v průřezu x rovnat

0MxlTwFM

a ze srovnání s diferenciální rovnicí ohybové čáry vyplývá

02

2

MxlTwFdx

wdEI

Je to diferenciální rovnice druhého řádu s pravou stranou.

Nejmenší hodnota kritického břemene je pro 1k

2

2

2

l

EIFk

Na oboustranně vetknutém nosníku je kritické

břemeno čtyřikrát větší než na prostém nosníku, nosník

(vzpěra) oboustranně vetknutý má čtyřnásobnou

únosnost.

Vzpěra vetknutá

oboustranně

Rovnice ohybové čáry má tvar

1

2cos0

l

x

F

Mw

Ohybová čára nosníku oboustranně vetknutého nosníku má 2 inflexní body (místa,

kde je druhá derivace nulová) 4/lx a 4/3lx ; vzdálenost inflexních bodů je l/2.

Centricky tlačená konzola

Ohybové momenty v místě x wwFM 0 ,

a protože je současně 2

2

dx

wdEIM , platí pro ohybovou čáru

tlačené konzoly diferenciální rovnice

02

2

wFwFdx

wdEI

První kritické břemeno

2

2

2l

EIFk

Kritické břemeno je tedy na konzole čtyřikrát menší než na

prostém nosníku ( vzpěře ). Konzola

Ohybová čára má rovnici

l

xww

2cos10

.

Vzdálenost inflexních bodů na ohybové čáře je 2l.

Prut na jednom konci vetknutý a na druhém podepřený posuvně

V posuvné podpoře vzniká vodorovná složka reakce T.

Ohybový moment v průřezu vzdáleném x od spodní podpory se

bude rovnat wFxlTM

Po dosazení za ohybový moment 2

2

dx

wdEIM dostáváme

diferenciální rovnici ve tvaru

xlTwFdx

wdEI

2

2

Kritické břemeno

2

2

2

2

7,0

0457,2

l

EI

l

EIFk

Jednostranně

vetknutý nosník

Vzpěrná délka

Hodnotu kritického břemene

můžeme ve všech případech

vyjádřit společným

2

2

L

EIFk

kde L nazýváme vzpěrná délka.

Kritické tlakové napětí

Aby konstrukce neztratila stabilitu, nesmí tlaková síla přestoupit kritické břemeno Fk dané

vzorcem. Je-li prut namáhán tlakovou silou Fk , vzniká v něm normálové napětí

Vzpěrné délky jednoduchých vzpěr konstantního průřezu

A

Fkk

Po dosazení za kritické břemeno Fk a s uvážením, že 2iAI , dostáváme pro napětí při

kritickém zatížení

2

2

i

L

Ek

Normálové napětí, které v nosníku nesmí být překročeno, aby prut neztratil stabilitu, je

mimo modulu pružnosti E závislé na poměru vzpěrné délky L a (minimálního) poloměru

setrvačnosti i.

Tento poměr nazýváme štíhlostní poměr a označujeme λ , tedy

i

L

Při zavedení štíhlostního poměru dostáváme pro kritické napětí

2

2

Ek

Závislost mezi kritickým napětím a

štíhlostním poměrem je to hyperbola

druhého stupně. Současně však nesmí

normálové napětí v prutu přestoupit

mez průtažnosti T , kdy deformace

v prutu značně vzrůstají. je tedy

maximálně přípustné normálové napětí

dáno čarou, která je pro hodnoty

T

E

hyperbola druhého stupně a

pro menší hodnoty přímka.

Omezující křivka bývá v místě zlomu

nahrazována parabolou, která má s

hyperbolou i přímkou společné tečny.

Na obrázku je tato parabola nakreslena

čárkovaně.

Ovšem zrovna tak, jako při prostém tlaku nemůžeme v konstrukci ani její části připustit

vznik napětí na mezi průtažnosti, ale pouze dovolené namáhání, nemůžeme ani při

Závislost maximálního normálového napětí a

štíhlostního poměru

vzpěrném tlaku připustit kritické napětí. Konstrukce musí mít ještě předem stanovenou

bezpečnost proti ztrátě stability. Označíme-li tuto míru bezpečnosti písmenem k, nesmí

napětí při vzpěru překročit hodnotu

2

2

k

E

Toto mezní napětí vyjadřujeme zlomkem dovoleného namáhání

ck

E dov

2

2

kde c se nazývá součinitel vzpěrnosti a v pružném oboru, kde T , je roven

2

2

E

kc dov

Součinitel vzpěrnosti c, který je vždy větší než l (při prostém tlaku c=1) obvykle

neurčujeme pomocí vztahu, ale normy pro různý materiál jej udávají v závislosti na

štíhlostním poměru ve formě tabulek.

Při posuzování napětí v prutu na vzpěrný tlak potom

cA

F dov

KROUCENÍ VOLNÉ

Moment síly F k libovolnému bodu kruhové tyče

1lFK namáhá tyč momentem v kroucení, který

vyvozuje v průřezu smykové napětí.

Rozdělení smykových napětí kroucené válcové tyče

dx

ddxdAA k

k

A

A

kd

dx

O

Poměrný úhel zkroucení dx

d k

Po dosazení do Coulombova zákona

dx

d

G

kk

Smykové napětí Gk je lineárně závislá funkce:

napětí k jsou rozdělena lineárně v průřezu směrem od středu k okraji,

max pro se dosahuje maximálního zkosení a tedy i smykového napětí na okraji

max

r

xt je smykové napětí v průřezu směrem od středu k okraji

Síla na jednotku plochy dAxt působí k ose nosníku na ramenu a vyvolává tak

moment dAdK xt

Integrací po celém průřezu potom kroutící moment A

xt dAK

Po dosazení za xt p

AA

Ir

dAr

dAr

K max2max

max

2

Ve vzorci pI je polární moment setrvačnosti průřezu krouceného nosníku kruhového

průřezu

max

kpp

xt

W

Kr

I

K

I

K

kde kW je analogicky s ohybem zavedená veličina, tzv. modul průřezu v kroucení

Pro kruhový průřez Pro mezikruží

3

2

1r

r

IW

p

k 1

4

2

4

1

2

1

r

rr

r

IW

p

k

Pro obdélníkový a čtvercový průřez je přesné řešení obtížné, neboť dochází k tzv.

deplanaci průřezu , tj. zborcení rovinné plochy průřezu do křivé plochy. Modul průřezu

v kroucení se neodvozuje z polárního momentu setrvačnosti, ale z průběhu napětí po

průřezu. Řešení se provádí metodami matematické pružnosti.

Základní vztahy zůstávají v platnosti, průřezový modul v kroucení je vyjádřen jiným

způsobem.

Maximální hodnota smykového napětí je uprostřed

delší strany

max 2max

k

xzW

K

hb

K

průřezový modul v kroucení je tedy hbWk

2

Napětí xy má maximální hodnotu uprostřed kratší

strany

max 2bh

Kxy

H:b 1 1,2 1,5 2 3 5 10 ∞

0,208 0,219 0,231 0,246 0,267 0,292 0,312 0,333

0,208 0,196 0,180 0,155 0,118 0,0783 0,0421

Deformace kroucené válcové tyče

Z dříve uvedených vztahů

Gr max max rI

K

p

porovnáním dostaneme vztah pGI

K

Z definice poměrného zkroucení (pro konstantní moment kroucení a průřez)

p

k

GI

K

dx

d

Integrací lze získat průběh pootočení průřezu po délce nosníku.