Simulace biochemických modelů

BioTech 2011, Strážná

O čem to bude?Stochastické simulace

Diferenciální rovnice (ODR)

Automaty

Stochastické simulace - problémN chemikálií, M reakcí, objem VNebere v úvahu tvary molekul, fyziku okolo jejich

prostorových natočeníProbíhají chemické reakceVývoj počtů molekul v čase?

Látky E (enzym), S (substrát), P (produkt). Reakce:

R1 : S + E → ESR3 : ES → S + ER2 : ES → P + E

Objem celého systému V, daná teplota, dobré promíchání

Stochastické simulace - příklad

Stochastické simulace - principDaný počáteční počet molekul každého druhuPravděpodobnosti srážek, reakcíPosloupnost reakcí

KDY nastane další reakce?KTERÁ z reakcí to bude?

Stochastické simulace - srážky

Stochastické simulace - srážky

Stochastické simulace - srážky

Stochastické simulace - srážky

Vcoll = rychlost čas ∙ ∙ plocha kolizního kruhu

Stochastické simulace - srážky

Pravděpodobnost srážky dvou konkrétních molekul:

Vcoll / V

Pro danou teplotu, počty molekul, reakci, V a časový interval je pravděpodobnost průběhu reakce:

Počet kombinací reaktantů ∙konstantareakce čas∙

Látky: E (15 molek.), S (20 molek.), P (0 molek.), ES (0 molek.)

Reakce: R1 : S + E → ES konstanta c1

R3 : ES → S + E konstanta c2

R2 : ES → P + E konstanta c3

P(1, [0,t]) = 20 15 c1 t∙ ∙ ∙P(2, [0,t]) = P(3, t) = 0

Stochastické simulace - příklad

Označme am = Kombinace pro Rm c∙ m Že nastane reakce Rm do času t od současnosti:

am t∙Že nenastane reakce Rm do času dt od současnosti

1 - (am t∙ )

Stochastické simulace – pravděp.

Že nenastane žádná reakce do času t od současnosti

(1 - a1 ∙ t) ∙ (1 - a2 ∙ t) ∙ … ∙(1 - aM ∙ t)

Lze pro malá t aproximovat jako1- (a1+a2+…+aM) ∙ t

Stochastické simulace – pravděp.

P(„nastane Rm v čase t“) =

„do t nenastane nic“ ∙ „pak rychle nastane Rm“

Rychle znamená v krátkém čase dt:P(m,t) dt = (e∙ -(a1+…+aM) t ) (a∙ m dt)∙

Stochastické simulace – pravděp.

Stochastické simulace - náhodaVšechny časy stejně pravděpodobné … t=r=random([0,1])Exp. pokles:

t = (-ln r)/(a1+…+aM)

Stochastické simulace - náhodaVšechny reakce stejně pravděpodobné…

m=random(1..M)

Různá am - příklad:a1= 0,1a2 = 0,2a3 = 0,05

Stochastické simulace - algoritmusAlgoritmus:

1. Iniciální hodnoty X1, X2, …, XN

2. Výpočet a1,…,aM

3. Náhodný čas t a náhodná reakce m4. Provedení Rm - změna X1,…XN

5. Pokud není konec simulace, běž na 2.

Ukázka – Netlogo – Enzyme kinetics

Stochastické simulace - shrnutíPro počty molekul – desítkyBěhů se udělá mnoho, zprůměrují se výsledky

ODR - základyFunkce času

Koncentrace látek jako funkce časuNapř. radioaktivní rozpad (jedna reakce X → ):

N(t) = N0 ∙ e- t / T

Ukázka Netlogo – Radioactivity – Decay

ODR - základyTrajektorieDerivace podle času

ODR - základyVektorové pole

ODR - analýzaNulkliny – křivky, kde je jedna z derivací nulováPříklad

ODR - analýzaPevný bod

ODR - analýzaAnalytická řešení

ODR - simulaceSimulační krokRychlost čas = dráha ∙

Eulerova metodaChyba simulace

Ukázka - Copasi

ODR - shrnutíVysoké počty molekul, průměrné hodnotyVícedimenzionální systémy

Automaty – proč?Inf grafy – dá se zkoumat dost vlastností, aniž by počítač

prolézal nekonečně mnoho bodůMáme vektorové pole

Automaty – jak?RAAUkázka – reakce,ODE,vektorové pole,automat,vlastnost

ZávěrStochastické simulaceNumerické simulace řešení ODRAutomaty