SINGULARITY Koherentní struktury v 3D isotropní turbulenci

Singularity V inerciální oblasti není charakteristická délka – samopodobnost (self-similarity). Vyskytují se singularity. Třídy singularit

• Špičky (cusp) – neoscilují, funkce nebo derivace jde v nějakém bodě k nekonečnu;

• Spirály – oscilující, frekvence jde někde k nekonečnu.

Distribuce singularit • Isolované – konečný počet výskytů; • Husté (dense) – nekonečný počet výskytů v konečné oblasti –

FRAKTÁLY

Pojem FRAKTÁLU

Geometrie a topologie styčné plochy (interface) Kolmogorovova kapacita KD (fraktální, „krabicová“ (box) dimense) – měřítko samopodobnosti Předpoklady: • Euklidovský prostor dimenze d • Interface: ⇒= 2d čára, ⇒= 3d plocha • Zvolí se měřítko δ , interface se pokrývá „krabicemi“ (box) o velikosti δ a

objemu dδ . Potom ( )δKN je nejmenší počet krabic, který pokrývá celý interface:

• Definice Kolmogorovovy kapacity KD : ( ) KDKN −δδ ~ pro 0→δ (pro

∞→Re ), v praxi je však δ omezeno na interval maxmin ,δδ , minδ je dáno Komogorovovým mikroměřítkem.

• Platí: dDd K ≤≤−1 • KD je

• integer pro regulární plochy (bez singularit) • necelé číslo pro plochy se singularitami (např. fraktály)

PŘ. Spirála ( ) ar −φφ ~ , kde 0>a (polární souřadnice v rovině ( )φ,r - 2=d ) • isolovaná iregularita ve středu → akumulace „krabic“:

potom platí: ( ) 2δδδ δδ ALNK +≈ ,

kde δL je délka postupně pokryté „regulární“ části, δA je plocha střední „neregulární“ části.

Pro náš případ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

aDK 1

2,1max

• KD je necelé pro 1<a - odraz samopodobnosti v oblasti středu spirály (akumulace).

• pro 0→a bude 2→KD - větší akumulace (zaplnění) prostoru.

• samopodobnost v okolí středu – lokální, izolovaná singularita – není to

fraktál!

FRAKTÁLY jsou globálně samopodobné, mají necelou Hausdorffovu dimensi HD :

• „krabice“ nestejné velikosti, postupně číslované: δδ ≤i , „objem“ diδ . Potom

( )δHN je nejmenší počet krabic, který pokrývá celý interface: • Definice Hausdorffovy kapacity HD : ( ) HD

HN −δδ ~ pro 0→δ PŘ.

11´ =−= dD H

Obecně platí: ( ) ( ) 0, →≥⇒≥ δδδ HKHK DDNN

Kochova křivka: 27.13ln4ln

≈== n

n

HK DD

Peanova křivka: 23ln9ln

=== HK DD

globálně zaplňující prostor dokonaleji globálně zaplňující prostor

Kolmogorovova kapacita nerozlišuje lokální a globální topologii singularit (isolované a neisolované) Hausdorffova dimense rozlišuje. Na obr. 1D řezy s necelou Kolmogorovovou kapacitou, a) je lokálně, b) globálně samopodobné:

Metoda určování kapacit je použitelná i pro analýzu signálů – časový průběh rychlosti v bodě. Pro měření samopodobnosti lze použít Kolmogorovovu kapacitu – je výhodnější a přesnější než Fourierovo spektrum – pomaleji konverguje k ustálené hodnotě. S výhodou lze analyzovat časovou posloupnost průchodů určitou úrovní:

Skutečný případ: Turbulentní paprsek, zviditelnění kouřem