Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

1

Dynamika proudících plynů

Při výpočtech se budeme zabývat prouděním ideálních plynů. Jejich vlastnosti již byly popsány

na předchozích přednáškách/cvičeních. Při proudění ideálního plynu si zavedeme ještě následující vlastnosti:

Proudění je bez ztrát energie proudu (bez vnitřního tření a turbulencí)

Nedochází k výměně tepla s okolím dq=0

Proudění je ve vodorovné rovině dy=0

Práce ze soustavy není odváděna ani přiváděna dat=0

Nejprve si ale odvoďme, z čeho budeme vycházet:

Klidná vzdušina je nositelem vnitřní tepelné energie, mechanické energie, kinetické a potenciální energie.

Poslední dvě zmíněné jsou ale u klidné vzdušiny zanedbávané, protože mají minimální vliv na

termodynamický výpočet. V technické praxi se vyskytují případy, kdy termodynamické změny stavu není

možno zanedbávat. Z hlediska energií pro element proudu můžeme napsat, že:

𝑑𝑚 = 𝑑(𝑢 +𝑤2

2+ 𝑔. 𝑦 + 𝑝. 𝑣)

Čti: Element proudu (dm) jako uzavřený systém je funkcí součtu elementárních změn vnitřní energie (u),

kinetické energie (𝑤2

2); potenciální energie (g.h) a energie proudu (p.v).

Změna těchto energií proudící látky je dána vlivem vnějších účinků (přívod tepla (dq) a tedy odvod technické

práce (dat)), případně generováním tepla následkem tření (dqtř) a tedy i třecí práce (datř). Dejme tyto vlivy na

levou stranu rovnice a veličiny, na které působí, na pravou stranu a zároveň je převedeme do diferenciálního

tvaru:

𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 + 𝑑𝑞𝑡ř − 𝑑𝑎𝑡ř = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑(𝑝. 𝑣)

𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 + 𝑑𝑞𝑡ř − 𝑑𝑎𝑡ř = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑 (𝑝

𝜌)

V případě tření jde jen o přeměnu jedné formy energie na druhou, tedy když vynecháme tyto členy,

energetická bilance rovnice se nezmění:

𝑑𝑞𝑡ř = 𝑑𝑎𝑡ř

Tedy rovnice nabyde tvaru:

𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑 (𝑝

𝜌)

Tato rovnice reprezentuje 1. zákon termodynamiky, při kterém se zohledňují všechny formy energie

z makroskopického hlediska.

Zopakujme si všechny tvary této rovnice, které máme nyní pro kontrolní objem:

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

2

𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑 (𝑝

𝜌)

(1)

𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑(𝑝. 𝑣)

(2)

Využitím skutečnosti, která plyne z úvah o entalpii (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_03_01.pdf)

můžeme vytvořit ještě jeden tvar první věty termodynamické:

Využitá skutečnost:

𝑑ℎ = 𝑑𝑢 + 𝑑(𝑝. 𝑣)

Poslední tvar první věty termodynamické pro kontrolní objem bude tedy:

𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 = 𝑑ℎ + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦

(3)

Ukažme si tedy, jak by to vypadalo pro kontrolní objem:

Obr. 1 Tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu a za předpokladu všech forem energií

První zákon termodynamiky pro kontrolní objem můžeme napsat tak, aby korespondoval s obrázkem. Pro

demonstraci využijeme rovnici (1) aby bylo vidět, že tam všechny členy doopravdy jsou.

Nejprve převedeme všechny členy na jednu stranu:

0 = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑 (𝑝

𝜌) − 𝑑𝑞 + 𝑑𝑎𝑡

Pro místo, kde se nacházejí veličiny s indexem 1:

0 = 𝑢1 +𝑤1

2

2+ 𝑔. 𝑦1 +

𝑝1

𝜌− 𝑑𝑞 + 𝑑𝑎𝑡

Pro místo, kde se nacházejí veličiny s indexem 2:

0 = 𝑢2 +𝑤2

2

2+ 𝑔. 𝑦2 +

𝑝2

𝜌

Poznámka: Jelikož již došlo k vykonání práce a výměně tepla s okolím, v bodě dva tyto veličiny nefigurují.

Dáme tyto rovnice do rovnosti:

𝑢1 +𝑤1

2

2+ 𝑔. 𝑦1 +

𝑝1

𝜌− 𝑞 + 𝑎𝑡 = 𝑢2 +

𝑤22

2+ 𝑔. 𝑦2 +

𝑝2

𝜌

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

3

Převedeme si teď rovnici do tvaru, jakou má rovnice (3).

Platí tedy:

𝑢1 +𝑝1

𝜌= ℎ1 ; 𝑢2 +

𝑝2

𝜌= ℎ2

A rovnice nabyde následujícího tvaru:

ℎ1 +𝑤1

2

2+ 𝑔. 𝑦1 − 𝑞 + 𝑎𝑡 = ℎ2 +

𝑤22

2+ 𝑔. 𝑦2

Separujme ještě tyto proměnné do tvaru, který je více podobný první větě termodynamické:

𝑞 = 𝑔. (𝑦2 − 𝑦1) +

𝑤22 − 𝑤1

2

2+ (ℎ2 − ℎ1) + 𝑎𝑡

(4)

Na začátku jsme si zavedli tyto předpoklady:

Ideální plyn bez vnitřního tření

dq = 0 – bez přívodu tepla

dy = 0 – proudění je ve vodorovné rovině

dat = 0 – není odváděná/přiváděná práce

Můžeme tedy původní obrázek překreslit do následujícího tvaru:

Obr. 2 Obecný tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu

Po dosazení předpokladů do rovnice (4):

0 = 0 +𝑤2

2 − 𝑤12

2+ (ℎ2 − ℎ1) + 0

A následnou úpravou…

ℎ1 − ℎ2 =

𝑤22 − 𝑤1

2

2

(5)

Poznámka: Z rovnice (5) se často při výpočtech vychází. Je dobré si ji pamatovat.

Jelikož se v této kapitole zabýváme dynamikou plynů, budeme se zaměřovat na všechny veličiny, které

s dynamikou souvisí. Nejprve to bude rychlost. Z předchozí rovnice (5) se dopracujeme k rovnici pro rychlost

na výstupu z kontrolního objemu:

𝑤2 = √2. (ℎ1 − ℎ2) + 𝑤1

2 (6)

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

4

Toto je případ, kdy máme kontrolní objem, do kterého plyn vtéká i z něho vytéká.

Využitím skutečnosti, která plyne z úvah o entalpii (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_03_01.pdf) a

z Mayerovi rovnice (http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_02_01.pdf):

𝑑ℎ = 𝑐𝑝. 𝑑𝑇; Δℎ = 𝑐𝑝(𝑇1 − 𝑇2) =𝜅.𝑟

𝜅−1. (𝑇1 − 𝑇2)

Bude rychlost na výstupu z kontrolního objemu rovna:

𝑤2 = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. (𝑇1 − 𝑇2) + 𝑤1

2

(7)

Vytknutím T1 před závorku dostáváme rovnici ve tvaru:

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 −

𝑇2

𝑇1) + 𝑤1

2

(8)

Z předpokladů, které jsme zavedli na začátku (dq=0) se tedy jedná o adiabatický děj. Z úvah o adiabatickém

ději platí (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_04_01.pdf):

𝑇2

𝑇1= (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

= (𝑣1

𝑣2)

𝜅−1

Můžeme rovnici napsat ve tvarech:

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) + 𝑤12

(9)

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (

𝑣1

𝑣2)

𝜅−1

) + 𝑤12

(10)

Úvaha: Všimněme si zásadní skutečnosti, která plyne z rovnic (8) a (9). K tomu aby byla rychlost na výstupu

(veličiny s indexem 2) různá od rychlosti na vstupu (veličiny s indexem 1) je nutné, aby se teploty a tlaky na

vstupu a výstupu lišily, jinak rychlost na výstupu z kontrolního objemu bude stejná jako na vstupu, tedy

proudění je ustálené!!!!

Když je teplota na vstupu stejná jako výstupu:

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 −

𝑇2

𝑇1) + 𝑤1

2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − 1) + 𝑤1

2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (0) + 𝑤1

2 = 𝑤1

Když je tlak na vstupu stejný jako na výstupu:

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

5

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) + 𝑤12 = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 1) + 𝑤1

2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(0) + 𝑤1

2 = 𝑤1

Z rovnice (10) plyne taky jedna důležitá skutečnost. K tomu, aby byla rychlost na výstupu (veličiny

s indexem 2) různá od rychlosti na vstupu (veličiny s indexem 1), je potřebné, aby se objemy na vstupu a

výstupu lišily, jinak rychlost na výstupu z kontrolního objemu bude stejná jako na vstupu. Objem plynu

taky nesmí být stejný na vstupu a na výstupu.

Když je měrný objem na vstupu stejný jako výstupu:

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (

𝑣1

𝑣2)

𝜅−1

) + 𝑤12 = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − 1 ) + 𝑤1

2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (0) + 𝑤1

2 = 𝑤1

Jelikož předpokládáme, že dq=0 a dat=0, tak je zapotřebí změnit i geometrii kontrolního objemu. Můžeme

například takto:

Obr. 3 Tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu

Druhý případe nastává, když je kontrolní objem z jedné strany uzavřen a plyn jenom vytéká (w1=0) – Výtok

z uzavřené nádoby (viz obr. 4):

Obr. 4 Tvar kontrolního objemu s nulovou rychlostí na vstupu

Rovnice (6) pro uzavřenou nádobu rovnice nabyde tvaru:

𝑤2 = √2. (ℎ1 − ℎ2)

Tedy rovnice (8), (9) a (10) se také změní:

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

6

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 −

𝑇2

𝑇1)

(11)

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

)

(12)

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (

𝑣1

𝑣2)

𝜅−1

)

(13)

Úvaha: Všimněme si zásadní skutečnosti, která plyne z rovnic (11) a (12). Když budou hodnoty tlaku a

teploty na vstupu i na výstupu stejné, tak se rovnice bude rovnat nule, tudíž k žádnému proudění na

výstupu z kontrolnímu objemu nedojde:

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 −

𝑇2

𝑇1) = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − 1) = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (0) = 0

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 1) = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(0) = 0

Stejné to bude i v případě rovnice (13), když se budou měrné objemy na vstupu a výstupu rovnat, tak

k žádnému proudění nedojde.

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (

𝑣1

𝑣2)

𝜅−1

) = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1.(1 − 1 ) = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1.(0 ) = 0

Z hlediska fyziky, rychlost na výstupu má svoje omezení a není možné ji zvyšovat donekonečna. Je to dána

tvarem dýzy a tlakovým spádem v ní. Důležitým pojmem z hlediska rychlostí je tzv. kritická rychlost.

Kritická rychlost Kritická rychlost wk je taková rychlost w2, která je rovna rychlosti zvuku v daném průřezu.

Rychlost zvuku je dána rovnicí:

𝑎 = √𝜅. 𝑟. 𝑇 (14)

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

7

Kritická rychlost se nejprve odvodí pro výtok z uzavřené nádoby, tedy w1=0.

Pro vyjádření kritické rychlosti na výstupu z kontrolního objemu použijeme rovnici (11) a roznásobíme

závorky.

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇2

Předpokládáme, že v veličiny s indexem 2 reprezentují stav proudícího média v nejužším průřezu dýzy, kde

zároveň rychlost dosahuje i rychlost zvuku. Když využijeme také rovnici (14) můžeme napsat:

𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.

𝑎22

𝜅 − 1

Nebo:

𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.

𝑤𝑘2

𝜅 − 1

Když umocníme celou rovnici…

𝑤𝑘2 = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.

𝑤𝑘2

𝜅 − 1

…a odseparujeme proměnné…

𝑤𝑘2 + 2.

𝑤𝑘2

𝜅 − 1= 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1

… 𝑤𝑘2 vytkneme před závorku…

𝑤𝑘2 (1 +

2

𝜅 − 1) = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1

…vnitřek závorky převedeme na společného jmenovatele…

𝑤𝑘2 (

𝜅 − 1 + 2

𝜅 − 1) = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1

…sečteme zlomek uvnitř závorky…

𝑤𝑘2 (

𝜅 + 1

𝜅 − 1) = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1

…pak upravíme rovnici tak, aby 𝑤𝑘2 zůstalo separované….

𝑤𝑘2 = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (

𝜅 − 1

𝜅 + 1)

… a posledními matematickými úpravami dostaneme tvar rovnice pro kritickou rychlost pro případ proudění

v dýze při nulové počáteční rychlosti w1=0…

𝑤𝑘 = √2.𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1 (15)

…pro případ, když je rychlost na vstupu do kontrolního objemu různá od nuly, se rovnice odvodí

následovně…

V tomto případě využijeme rovnici (7) a mírně ji upravíme:

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇2 + 𝑤1

2

Předpokládáme, že veličiny s indexem 2 reprezentují stav proudícího média v nejužším průřezu dýzy, kde

zároveň rychlost dosahuje i rychlost zvuku. Když využijeme také rovnici (14) můžeme napsat:

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

8

𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.

𝑎22

𝜅 − 1+ 𝑤1

2

Nebo:

𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.

𝑤𝑘2

𝜅 − 1+ 𝑤1

2

Když umocníme celou rovnici…

𝑤𝑘2 = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.

𝑤𝑘2

𝜅 − 1+ 𝑤1

2

…a odseparujeme proměnné…

𝑤𝑘2 + 2.

𝑤𝑘2

𝜅 − 1= 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 + 𝑤1

2

… 𝑤𝑘2 vytkneme před závorku…

𝑤𝑘2 (1 +

2

𝜅 − 1) = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 + 𝑤1

2

…vnitřek závorky převedeme na společného jmenovatele…

𝑤𝑘2 (

𝜅 − 1 + 2

𝜅 − 1) = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 + 𝑤1

2

…sečteme zlomek uvnitř závorky…

𝑤𝑘2 (

𝜅 + 1

𝜅 − 1) = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 + 𝑤1

2

…pak upravíme rovnici tak, aby 𝑤𝑘2 zůstalo separované….

𝑤𝑘2 = 2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1. (

𝜅 − 1

𝜅 + 1) + 𝑤1

2. (𝜅 − 1

𝜅 + 1)

… a posledními matematickými úpravami dostaneme tvar rovnice pro kritickou rychlost pro případ proudění

v kontrolním objemu při nenulové počáteční rychlosti w1≠0…

𝑤𝑘 = √2.𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+𝑤1

2. (𝜅 − 1

𝜅 + 1) (16)

Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než

v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou 𝑻𝟏. Ve výsledku ale dostáváme

opět kritickou rychlost (rychlost zvuku).

Kritická rychlost je maximální dosažitelná rychlost v zužující se (konvergentním) kontrolním objemu (dýze).

K dosažení vyšších rychlostí je třeba speciálního tvaru dýzy, který má například Lavalova dýza. Jak je vidět

z rovnice, tak hodnota kritické rychlosti závisí na druhu proudícího média a na teplotě, na které je závislá i

rychlost zvuku. Proto jsme pro tento výpočet použili rovnici, která obsahovala hodnoty teplot. Samozřejmě

ke změně rychlosti proudu je potřebné, aby byly teploty na vstupu a výstupu z kontrolního objemu různé. Jak

bylo zmíněno výše, je třeba, aby tlaky i objemy na vstupu a výstupu z kontrolního objemu byly rozdílné.

Jelikož jsme se bavili o kritické rychlosti, kterou dosahujeme při určitém rozdílu teplot, tak určitě bude

existovat i rozdíl nebo poměr tlaků, při kterém se tato kritická rychlost dosáhne. Tomuto rozdílu nebo

poměru tlaků říkáme kritický tlakový spád.

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

9

Kritický tlakový spád Již v předchozím jsme si uvedli, že hodnota kritické rychlosti je rovna rychlosti zvuku na výstupu ze zúženého

kontrolního objemu:

𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2

Jelikož máme vyjádřené rovnice pro wk i w2, můžeme je dát do rovnosti:

𝑤𝑘 = 𝑤2

Pro w2 užijeme tvaru rovnice, kde se objevuje poměr tlaků (12) a pro vyjádření kritické rovnice užijeme tvar

rovnice (15):

√2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1= √

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 − 1(1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

)

Obě strany rovnice umocníme na druhou a obě strany budeme násobit členem 1

2.𝜅.𝑟.𝑇1. Dostaneme pak tvar:

1

𝜅 + 1=

1

𝜅 − 1(1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

)

V dalším kroku pravou i levou stranu budeme násobit členem 𝜅 − 1, tedy dostaneme tvar:

𝜅 − 1

𝜅 + 1= 1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

Pak od pravé i levé strany rovnice odečteme číslo 1 a následně obě strany vynásobíme číslem -1.

(𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

= 1 −𝜅 − 1

𝜅 + 1

Pravou stranu dáme na společného jmenovatele…

(𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

=𝜅 + 1 − 𝜅 + 1

𝜅 + 1

…a po sčítání členů v čitateli dostaneme:

(𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

=2

𝜅 + 1

…zbývá jen obě strany umocnit členem 𝜅

𝜅−1 a dostaneme výraz, pro poměř tlaků, při kterém se dosáhne na

výstupu z kontrolního objemu rychlost zvuku:

(

𝑝2

𝑝1)

𝑘

=𝑝𝑘

𝑝1= (

2

𝜅 + 1)

𝜅𝜅−1

= 𝛽∗ = 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑘ý 𝑡𝑙𝑎𝑘𝑜𝑣ý 𝑠𝑝á𝑑

(17)

Z této rovnice je možné se dopočítat k tlaku, který je v daném kritickém řezu:

𝑝𝑘 = 𝑝1. 𝛽∗ = 𝑝1. (

2

𝜅 + 1)

𝜅𝜅−1

(18)

Z předchozích rovnic (8), (9), (10), (11), (12), (13) plyne, že když máme v daném průřezu kritickou rychlost a

tedy i kritický tlakový spád, musí ideální plyn dle rovnice adiabaty dosáhnout kritického měrného objemu a

tedy i hustoty. Z rovnice adiabaty si je jednoduše můžeme vyjádřit:

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

10

𝑣𝑘 = 𝑣1. (

𝑝1

𝑝𝑘)

1𝜅

(19)

𝜌𝑘 =1

𝑣𝑘

Odvození těchto veličin si pak ukážeme na konkrétních příkladech nebo viz:

http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_04_01.pdf a http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_01_01.pdf

V případě, že rychlost na vstupu do kontrolního objemu je nenulová, využijeme rovnic (9) a (16):

√2.𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+𝑤1

2. (𝜅 − 1

𝜅 + 1) = √

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 − 1(1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) + 𝑤12

Obě strany rovnice umocníme na druhou:

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+𝑤1

2. (𝜅 − 1

𝜅 + 1) =

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 − 1(1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) + 𝑤12

Odseparujeme proměnné a upravíme:

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+𝑤1

2. (𝜅 − 1

𝜅 + 1) − 𝑤1

2 =2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 − 1(1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

)

Odečteme od obou stran rovnice hodnotu 𝑤12 a následně obě strany rovnice násobíme

𝜅−1

2.𝜅.𝑟.𝑇1 :

[2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+𝑤1

2. (𝜅 − 1

𝜅 + 1) − 𝑤1

2] .𝜅 − 1

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1= 1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

Odečteme od obou stran rovnice 1 a následně obě rovnice násobíme hodnotou (-1):

{1 − [2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+𝑤1

2. (𝜅 − 1

𝜅 + 1) − 𝑤1

2] .𝜅 − 1

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1} = (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

Vnitřek hranaté závorky upravíme tak, aby všechny členy měly stejný jmenovatel:

{1 − [2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+

𝑤12. (𝜅 − 1)

𝜅 + 1−

𝑤12. (𝜅 + 1)

𝜅 + 1] .

𝜅 − 1

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1} = (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

Členy s 𝑤12následně sečteme:

{1 − [2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+

𝑤12(𝜅 − 𝜅 − 1 − 1)

𝜅 + 1] .

𝜅 − 1

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1} = (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

Po sečtení v závorce zůstane (-2), tedy znaménko před zlomkem se změní:

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

11

1 − [2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1−

2. 𝑤12

𝜅 + 1] .

𝜅 − 1

2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1= (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

Hranatou závorku pak nádobíme členem 𝜅−1

2.𝜅.𝑟.𝑇1:

[1 − (𝜅 − 1

𝜅 + 1) −

𝑤12. (𝜅 − 1)

𝜅. 𝑟. 𝑇1(𝜅 + 1)] = (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

Druhý a třetí člen závorky upravíme tak, členy měly stejný jmenovatel:

[1 −𝜅. 𝑟. 𝑇1(𝜅 − 1) − 𝑤1

2(𝜅 − 1)

𝜅. 𝑟. 𝑇1(𝜅 + 1)] = (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

Člen (𝜅 − 1) vytkneme před závorku a dostaneme tvar rovnice pro výpočet kritického tlakového spádu

v kontrolním objemu při nenulové počáteční rychlosti w1≠0…:

[1 −𝜅. 𝑟. 𝑇1 − 𝑤1

2

𝜅. 𝑟. 𝑇1.𝜅 − 1

𝜅 + 1]

𝜅𝜅−1

=𝑝2

𝑝1=

𝑝𝑘

𝑝1= 𝛽∗ → 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑘ý 𝑡𝑙𝑎𝑘𝑜𝑣ý 𝑠𝑝á𝑑

(20)

Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než

v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou 𝑻𝟏. Ve výsledku dostáváme stejný

kritický tlakový spád jako v případě proudění s nulovou počáteční rychlostí.

Z této rovnice je možné se dopočítat k tlaku, který je v daném kritickém řezu:

𝑝𝑘 = 𝑝1. 𝛽∗ = 𝑝1. [1 −(𝜅 − 1). (𝜅. 𝑟. 𝑇1 − 𝑤1

2)

𝜅. 𝑟. 𝑇1. (𝜅 + 1)]

𝜅𝜅−1

(21)

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

12

Tlakový spád a rychlost

Mezi tlakovým spádem 𝑝2

𝑝1 a rychlostí 𝑤 existuje propojenost a výše zmíněný tlakový spád 𝛽∗a kritická

rychlost 𝑤𝑘 tvoří hraniční stavy. Propojenost tlakového spádu a rychlosti je reprezentován následujícím

grafem:

Obr. 5 Křivka udávající závislost mezi tlakovým spádem a rychlostí mezi vstupem a výstupem z kontrolního objemu

Jak je vidět na grafe (obr. 5) na x-ové ose jsou zobrazeny hodnoty pro tlakový spád 𝑝2

𝑝1 a na y-ové ose jsou

zobrazeny hodnoty pro rychlost 𝑤. Pro body vyznačené na grafe platí následující:

𝒑𝟐 = 𝒑𝟏 ; 𝒘𝟏 = 𝟎

Když je tlak na výstupu z kontrolního objemu stejný tlak jako na vstupu (𝑝2 = 𝑝1), tak je tlakový spád rovný

číslu 1 (𝑝2

𝑝1= 1). Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (12):

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 1) = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(0) = 0

Tedy rychlost bude nulová (tekutina neproudí).

𝒑𝟐 = 𝒑𝟏 ; 𝒘𝟏 ≠ 𝟎

Pro rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí 𝑤1platí dle rovnice (9):

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) + 𝑤12 = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 1) + 𝑤1

2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(0) + 𝑤1

2 = 𝑤1

Tedy rychlost na výstupu bude stejná jako na vstupu do kontrolního objemu.

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

13

𝒑𝟐 = 𝒑𝒌 ; 𝒘𝟏 = 𝟎

Když se dosáhne kritického tlakového spádu mezi vstupem a výstupem z kontrolního objemu (𝑝2

𝑝1=

𝑝𝑘

𝑝1= 𝛽∗)

dosáhne se i kritické rychlosti 𝑤𝑘. Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (15):

𝑤2 = 𝑤𝑘 = √2.𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1

Tedy rychlost na výstupu bude rovna rychlosti zvuku.

𝒑𝟐 = 𝒑𝒌 ; 𝒘𝟏 ≠ 𝟎

Pro kritickou rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí 𝑤1platí dle rovnice

(16):

𝑤2 = 𝑤𝑘 = √2.𝜅. 𝑟. 𝑇1

𝜅 + 1+𝑤1

2. (𝜅 − 1

𝜅 + 1)

Tedy rychlost na výstupu bude rovna rychlosti zvuku.

Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než

v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou 𝑻𝟏. Ve výsledku ale dostáváme

opět kritickou rychlost (rychlost zvuku).

𝒑𝟐 = 𝟎 ; 𝒘𝟏 = 𝟎

Když je tlak na výstupu z kontrolního objemu rovný nule (výtok do vakua; 𝑝2 = 0), tak je tlakový spád rovný

nule (𝑝2

𝑝1= 0). Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (12):

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 0) = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(1) = 𝑤𝑚𝑎𝑥

V tomto případe se dosahuje maximální možné rychlosti (může být vyšší než rychlost zvuku).

𝒑𝟐 = 𝟎 ; 𝒘𝟏 ≠ 𝟎

Pro rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí 𝑤1platí dle rovnice (9):

𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (

𝑝2

𝑝1)

𝜅−1𝜅

) + 𝑤12 = √2.

𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 0) + 𝑤1

2 = √2.𝜅. 𝑟

𝜅 − 1. 𝑇1(1) + 𝑤1

2 = 𝑤𝑚𝑎𝑥

V tomto případe se dosahuje maximální možné rychlosti (může být vyšší než rychlost zvuku).

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

14

Podkritický a nadkritický tlakový spád Pojmy podkritický a nadkritický tlakový spád se pro potřeby počítání příkladů používají pro vyjádření oblastí,

ve které se má daná úloha řešit. Jak je vidět z grafu výše, když je ze zadání tlakový spád v následující relaci

s kritickým tlakovým spádem…

𝑝2

𝑝1= 𝛽 > 𝛽∗ =

𝑝𝑘

𝑝1= (

2

𝜅 + 1)

𝜅𝜅−1

…tak říkáme, že jde o podkritický tlakový spád (zelená oblast – obr. 5). Rychlost na výstupu z kontrolního

objemu (dýzy) nepřekročí rychlost zvuku (v krajních případech ji dosáhne), tedy dýza pro tuto rychlost může

být konvergentní (zužující se – obr. 6 a 7).

Obr. 6 Konvergentní tvar dýzy s nenulovou rychlostí na vstupu

Obr. 7 Konvergentní tvar dýzy s nulovou rychlostí na vstupu

Jak je vidět, v obou případech se používá indexování jenom s čísly 1 a 2. V krajním případě, když se dosáhne

kritické rychlosti na výstupu, tak se indexy 2 nahrazují indexem k (kritické parametry).

Dále je z grafu (obr. 5) vidět, že když je ze zadání tlakový spád v následující relaci s kritickým tlakovým

spádem…

𝑝2

𝑝1= 𝛽 < 𝛽∗ =

𝑝𝑘

𝑝1= (

2

𝜅 + 1)

𝜅𝜅−1

…tak říkáme, že jde o nadkritický tlakový spád (červená oblast – obr. 5). Rychlost na výstupu z kontrolního

objemu (dýzy) je vyšší než rychlost zvuku, tedy dýza pro tuto rychlost je konvergentně-divergentní (nejprve

se zužuje a pak rozšiřuje – obr. 8 a 9).

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

15

Obr. 8 Konvergentně-divergentní tvar dýzy s nenulovou rychlostí na vstupu

Obr. 9 Konvergentně-divergentní tvar dýzy s nulovou rychlostí na vstupu

Jak je vidět, v obou případech se používá indexování s čísly 1 a 2 a písmenem k, které vyjadřuje kritické

parametry a je vždy v nejužším průřezu dýzy.

Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM

16

Rovnice kontinuity – Zákon zachování hmotnosti Při ustáleném průtoku projde za jednotku času průřezy 1 a 2 totéž množství proudícího média �̇� [kg.s-1].

Obr. 10 Kontrolní objem, skrz který proudí konstantní průtokový množství látky

Množství proudícího média může být také vyjádřené rovnicemi:

�̇� = �̇�. 𝜌 =�̇�

𝑣

Jelikož máme dva průřezy, tak můžeme napsat:

�̇� = 𝑉1̇. 𝜌1 = 𝑉2̇. 𝜌2 =𝑉1̇

𝑣1=

𝑉2̇

𝑣2

Objemový průtok [m3s-1] je možné vyjádřit jako součin plochy [m2] a rychlosti [m.s-1].

�̇� = 𝑆. 𝑤

Pro oba průřezy se tedy rovnice jen upraví:

�̇� = 𝑉1̇. 𝜌1 = 𝑉2̇. 𝜌2 =𝑉1̇

𝑣1=

𝑉2̇

𝑣2=

𝑆1. 𝑤1

𝑣1=

𝑆2. 𝑤2

𝑣2

Jelikož se množství látky, která protéká, nemění, tak můžeme napsat: 𝑆1. 𝑤1

𝑣1=

𝑆2. 𝑤2

𝑣2=

𝑆. 𝑤

𝑣= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

Nebo:

�̇� = 𝜌1. 𝑆1. 𝑤1 = 𝜌2. 𝑆2. 𝑤2 = 𝜌. 𝑆. 𝑤 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

(22)