PLANIMETRIE

1) Vypočítejte velikost úhlu ∡𝐷𝐴𝐵 v kosočtverci ABCD, jestliže ∡𝐴𝐵𝐷 = 21°40´ [136°40´]

2) Vypočítejte velikost úhlu 𝛾 = ∢𝐴𝐶𝐵 obecného trojúhelníku ABC, znáte-li velikost stran a = 8cm, b = 6 cm,

c = 11 cm. Výsledek zaokrouhlete na desítky úhlových minut. [𝛾 = 102°40´]

3) Na plánu v měřítku 1 : 750 je znázorněn pozemek obdélníkového tvaru o rozměrech 15 cm a 9 cm. Vypočítejte,

jaký je skutečný obsah pozemku zaokrouhlený na metry čtvereční. [S = 7 594 m2]

4) Pravoúhlý trojúhelník má přeponu délky 12 cm. Jedna odvěsna je o 4√2 cm větší než druhá. Obsah

trojúhelníku je:

(A) 56 cm2

(B) 28 cm2

(C) 14 cm2

(D) 112 cm2

5) Délky základen lichoběžníku jsou 𝑎 = 4,2 ∙ 108 metrů, 𝑐 = 8 ∙ 107 metrů, výška 𝑣 = 4,8 ∙ 105 metrů. Určete

obsah plochy lichoběžníku. [𝑆 = 1,2 ∙ 1014 𝑚2, 𝑟𝑒𝑠𝑝. 12 ∙ 1013, 𝑎𝑝𝑜𝑑. ]

6) Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm větší. Určete délku

nejdelší strany podobného trojúhelníku.

(A) 20 cm

(B) 19,5 cm

(C) 19 cm

(D) 18 cm

(E) žádná z uvedených možností

7) Pozemek zakreslený v plánku má být rozdělen rovnou hranicí

ST na dvě části.

Určete s přesností na desítky metrů délku hranice ST.

(A) |𝑆𝑇| = 2 230 𝑚

(B) |𝑺𝑻| = 𝟐 𝟒𝟓𝟎 𝒎

(C) |𝑆𝑇| = 2 630 𝑚

(D) |𝑆𝑇| = 2 800 𝑚

(E) |𝑆𝑇| = 3 010 𝑚

8) V pravoúhlém lichoběžníku jsou uvedeny úhly, které svírají úhlopříčky se dvěma sousedními stranami, a délka

jedné strany.

Přiřaďte daným úsečkám jejich délky:

strana a E

strana c D

úhlopříčka f C

(A) 10 ∙ sin 40°

(B) 10

sin 40°

(C) 10

cos 40°

(D) 10 ∙ 𝑡𝑔40°

(E) 10

𝑡𝑔40°

9) Pozemek tvaru obdélníku je dočasně přerušen stavebním záborem (šedá plocha). Rovnoběžné hranice záboru

na obvodu jsou dlouhé 15 m a 25 m. Jedna šikmá strana záboru, která je

oplocena, má délku 236 m. Nyní se pokračuje v oplocování 190 m dlouhé strany

pozemku.

(A) Vypočtěte obsah plochy stavebního záboru. [𝑆 = 3 800 𝑚2]

(B) S přesností na celé metry vypočtěte šířku pozemku (d). [𝑑 ≐ 165 𝑚]

10) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C má úhel CAB

velikost 𝛼 = 60°. Strana AC má délku 𝑏 = 6√3.

(A) Vypočítejte délku strany BC. [|𝐵𝐶| = 𝑎 = 18]

(B) Vypočtěte velikost výšky 𝑣 na přeponu AB. [𝑣 = 9]

11) Úsek, který ve skutečnosti ujde deseti kroky, je na plánu zakreslen úsečkou délky 1 cm. Kruh na plánu má

poloměr 2,5 cm. Kolika kroky se obejde po obvodu skutečný kruh? [157 𝑘𝑟𝑜𝑘𝑦]

12) Obdélníková plocha o celkové rozloze 2 000 m2 byla rozdělena rovnou hranicí na dva menší obdélníky. Velikosti

ploch obou částí jsou v poměru 3 : 2. Větší část se od menší liší v délce jedné strany o 10 m.

V jakém poměru jsou délky stran u větší z obou částí rozdělené plochy?

(A) 5 : 6

(B) 4 : 5

(C) 3 : 4

(D) 2 : 3

(E) 1 : 2

13) Vzor na dlaždici tvoří čtyři shodné obdélníky a čtverec uprostřed. Obvod každého z obdélníků je 30 cm.

(A) Jaký je obvod celé dlaždice? [𝑜 = 60 𝑐𝑚]

(B) Jaký je obsah dlaždice? [𝑆 = 225 𝑐𝑚2]

14) Okrasná část zahrady má tvar obdélníku, jehož rozměry se liší o jediný metr. Po úhlopříčce ji protíná pěšina

dlouhá 29 metrů. Určete délku a šířku okrasné zahrady.

[20 𝑚 𝑥 21 𝑚]

15) Na plánu jsou vyznačeny údaje pořízené při zaměřování vrtné věže V ze dvou stanovišť A a B.

(A) Pod jakým zorným úhlem je možné od paty věže V sledovat obě stanoviště A a B současně? [35°]

(B) Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště B od vrtné věže V.

[1 849 𝑚]

16) Jak dlouhý stín vrhá člověk vysoký 180 cm na vodorovnou podložku, jestliže světelné paprsky svírají

s podložkou úhel 50°.

(A) 180

sin 50°

(B) 180 ∙ sin 50°

(C) 180

cos 50°

(D) 180 ∙ 𝑡𝑔50°

(E) 𝟏𝟖𝟎

𝒕𝒈𝟓𝟎°

17) Kolik kroků ušetříte (zaokrouhlete na desítky), přejdete-li čtvercový pozemek úhlopříčně, místo abyste jej

obcházeli po dvou stranách obvodu celkem třemi sty kroky?

[300 − 150√2 ≐ 90]

18) Pozemek tvaru půlkruhu je třeba oplotit. Na rovnou část plotu se použije 28 metrů pletiva. Kolik celých metrů

pletiva bude nejméně potřeba na zbytek plotu po oblouku?

(A) 44 m

(B) 48 m

(C) 52 m

(D) 56 m

(E) jiný počet

19) Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel velikosti 𝛼 = |∡𝐶𝐴𝐵| = 75° a délky ramen |𝐴𝐶| =

|𝐵𝐶| = 10. Jakou délku má základna 𝑐 = |𝐴𝐵|?

(A) přibližně 4,9

(B) přibližně 5,2

(C) přibližně 5,5

(D) přibližně 5,8

(E) jinou délku

20) Plocha kruhu je o 20% menší, než je plocha čtverce. Vyjádřete, o kolik procent je plocha čtverce větší, než je

plocha kruhu. [o 25%]

21) Plocha kruhové výseče tvoří 40% plochy kruhu. Určete středový úhel 𝛼 kruhové výseče.

[𝛼 = 144°]

22) Ve kterém trojúhelníku leží ortocentrum (průsečík přímek, na nichž leží výšky trojúhelníku) vně trojúhelníku a

současně na ose jedné strany trojúhelníku?

(A) v rovnostranném trojúhelníku

(B) v pravoúhlém trojúhelníku

(C) v ostroúhlém trojúhelníku

(D) v rovnoramenném tupoúhlém trojúhelníku

(E) v žádném, popsaná situace nemůže nastat

23) Na vodorovné podložce je položena bedna tvaru krychle s hranou délky 𝑎. Bedna osvětlená slunečním světlem

vrhá stín na podložku. Směr slunečních paprsků svírá s podložkou úhel 𝛼. (Směr je rovnoběžný se dvěma

stěnami krychle).

Jak dlouhá je hrana krychle, jestliže 𝑡𝑔𝛼 =2

3?

(A) kratší než 2,4 m

(B) 2,4 m

(C) 2,5 m

(D) 2,6 m

(E) delší než 2,6 m

34) V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvěsna PQ rozdělena bodem X na dva úseky, z nichž delší má délku 33 cm.

Druhá odvěsna PR měří 20 cm a délka příčky RX je 25 cm.

Vypočtěte délku p strany QR. [p = 52 cm]

35) V trojúhelníku ABC leží proti stranám a, b, c úhly 𝛼, 𝛽, 𝛾. Rozhodněte o každé následující trojici veličin, zda

popisuje pravoúhlý trojúhelník s přeponou c či nikoliv.

(A) 𝑏 = 1; 𝑐 = 2; 𝛼 = 60° ANO – NE

(B) 𝑎 = 1, 𝑏 = √3, 𝛼 = 60° ANO – NE

(C) 𝑎 = 2; 𝑐 = 4; 𝛼 = 30° ANO – NE

(D) 𝑎 = √2; 𝑏 = √6; 𝛼 = 30° ANO – NE

36) Kolik ze čtyř zobrazených trojúhelníků má průsečík výšek vně trojúhelníku?

(A) žádný

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

37) Jaká je velikost úhlu 𝛽?

(A) větší než 7

9𝜋

(B) 𝛽 =7

9𝜋

(C) 𝛽 =2

3𝜋

(D) 𝛽 =5

8𝜋

(E) menší než 𝟓

𝟖𝝅

38) Na obrázku jsou dvě rovnoběžné přímky 𝑝, 𝑞 a přímka 𝑟, která je s nimi různoběžná, ale není na ně kolmá. Pro

úhly 𝛼, 𝛽 na obrázku platí:

(A) 𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔𝛽 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň sin 𝛼 = − sin 𝛽

(B) 𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔𝛽 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň cos 𝛼 = − cos 𝛽

(C) cos 𝛼 = cos 𝛽 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň sin 𝛼 = − sin 𝛽

(D) sin 𝛼 = sin 𝛽 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň cos 𝛼 = cos 𝛽

(E) 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝒂 𝒛á𝒓𝒐𝒗𝒆ň 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = − 𝐜𝐨𝐬 𝜷

39) Letadlo, které mělo původně letět přímo z Bratislavy do 800 km vzdálené Paříže, se při startu muselo kvůli

špatnému počasí odchýlit od přímého kurzu o 60°. Až po 300 km mohl pilot letadlo nasměrovat přímo na Paříž.

O kolik kilometrů se takto prodloužila dráha letu? [o 200 km]

40) Do úhlu velikosti 60° chceme vepsat kružnici s poloměrem 5 cm. Jak daleko od vrcholu úhlu musí být střed

kružnice?

(A) 10√3 𝑐𝑚

(B) 10 cm

(C) 10√3

3 𝑐𝑚

(D) 5√3

3 𝑐𝑚

(E) 5 cm

41) Na obrázku je průřez zregulovaným korytem řeky. Na jednom břehu je ukazatel výšky hladiny řeky. Jak daleko

od sebe jsou nakreslené rysky označující výšku hladiny 2 m a 5 m?

(A) 6 m

(B) 3√3 m

(C) 3√3

2 m

(D) 2√3 m

(E) 3

2 m

42) Na obrázku je pozemek tvaru čtyřúhelníku s rozměry |AB|=40 m, |BC|= 30 m, |CD|=120 m. Jaký obvod má

tento pozemek?

(A) 220 m

(B) 230 m

(C) 310 m

(D) 320 m

(E) 370 m

43) Rovnostrannému trojúhelníku jsme vepsali i opsali kružnici. Jestliže r je poloměr vepsané kružnice, potom pro

obsah S mezikruží platí:

(A) 𝑺 = 𝟑𝝅𝒓𝟐

(B) 𝑆 =5

2𝜋𝑟2

(C) 𝑆 = 2𝜋𝑟2

(D) 𝑆 =3

2𝜋𝑟2

(E) 𝑆 = 𝜋𝑟2

44) V trojúhelníku ABC na obrázku platí: |∡𝐶𝐴𝐵| = 40°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 85°. Nechť D je takový bod strany AC, pro který

platí |BD|=|CD|. Jakou velikost má úhel BDA?

[110°]

45) Označme 𝛾 velikost největšího úhlu trojúhelníka ABC, který má strany délky a = 4, b = 5, c = 7. Potom platí:

(A) 𝛾 ∈ (0°; 30°)

(B) 𝛾 ∈ (30°; 60°)

(C) 𝛾 ∈ (60°; 90°)

(D) 𝜸 ∈ (𝟗𝟎°; 𝟏𝟑𝟓°)

(E) 𝛾 ∈ (135°; 180°)

46) Délka jedné odvěsny pravoúhlého trojúhelníka je 6, poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku je 5. Jaký

je obvod tohoto trojúhelníka? [24]

47) Na obrázku je rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou |AB|=8 cm a ramenem |BC| 10 cm. Na rameni AC

leží bod D. Trojúhelník ABC je podobný s trojúhelníkem DAB. Potom |AD|=

(A) 6,4 cm

(B) 6 cm

(C) 5 cm

(D) 3,6 cm

(E) 2 cm

48) Je dán pravidelný desetiúhelník se stranou a = 2 cm. Které z uvedených čísel nejpřesněji udává jeho obsah?

(A) 9,51 cm2

(B) 20 cm2

(C) 30,78 cm2

(D) 31,84 cm2

(E) 32,90 cm2

49) Pod jakým úhlem (zaokrouhleným na desetiny stupňů) stoupá schodiště, jehož schody jsou 28 cm široké a 15

cm vysoké?

(A) 61,8°

(B) 57,6°

(C) 43,5°

(D) 32,4°

(E) 28,2°

50) Trojúhelník ABC má strany s délkami |AB|=11 cm, |BC|=7 cm, |AC|=8 cm, D ja pata výšky na stranu AB. Jaký

poloměr má kružnice opsaná trojúhelníku DBC?

(A) 8 cm

(B) 7 cm

(C) 5,5 cm

(D) 4 cm

(E) 3,5 cm

51) Lichoběžník ABCD je sestaven z rovnoramenného trojúhelníku APD a rovnoběžníku PBCD. Platí |𝐴𝐷| =

|𝐷𝑃| = 20 𝑐𝑚, |𝐴𝑃| = 24 𝑐𝑚, |𝐶𝐷| = 18 𝑐𝑚. Vypočtěte obsah lichoběžníku ABCD.

[S = 480 cm2]

52) Body M1 A M2 leží po řadě na rovnoběžkách p1 a p2.

(A) Sestrojte množinu ℘ všech bodů, které mají od přímek p1 a p2 stejnou vzdálenost.

(B) Sestrojte množinu ℳ všech bodů, které mají od bodu M1 stejnou vzdálenost jako od bodu M2.

53) Obdélníkový a trojúhelníkový pozemek mají společnou hranici. Na plánu jsou rozměry uvedeny v metrech.

Jaký je obsah obdélníkového pozemku vypočtený s přesností na m2?

(A) 979 m2

(B) 1 732 m2

(C) 1 928 m2

(D) 1 958 m2

(E) 2 298 m2

54) Kolem kruhové travnaté plochy je 2 m široký chodník. Vnější okraj chodníku tvoří obrubník, jehož délka je

157 m. Vypočtěte obsah kruhové travnaté plochy a výsledek zaokrouhlete na desítky m2.

[𝑆 ≅ 1 660 𝑚2]

55) Přiřaďte ke každému trojúhelníku určenému trojicí veličin délku strany x (A – E).

D

C

E

(A) x < 4 cm

(B) x = 4 cm

(C) x = 5 cm

(D) x = 6 cm

(E) x > 6 cm

56) Bod A je vrcholem trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu B. Bod D je vrcholem trojúhelníku BCD

s pravým úhlem při vrcholu D.

(A) V polorovině BCA sestrojte množinu ℘ všech bodů A*, které jsou vrcholy trojúhelníku A*BC s pravým úhlem

při vrcholu B.

(B) V polorovině BCD sestrojte množinu ℳ všech bodů D*, které jsou vrcholy trojúhelníku BCD* s pravým úhlem

při vrcholu D*.

57) Na obrázku jsou zakresleny tři rovinné útvary s vrcholy v mřížových bodech.

Jaký je součet obsahů všech tří rovinných útvarů?

(A) menší než 27,5 cm2

(B) 27,5 cm2

(C) 28,0 cm2

(D) 28,5 cm2

(E) větší než 28,5 cm2

58) Ke vchodu do rodinného domku vede schodiště s pěti schody, které jsou 20 cm vysoké a 30 cm široké. Šikmá

část zábradlí tvaru rovnoběžníku s vnitřními úhly 𝛼 𝑎 𝛽 má stejný sklon jako schodiště.

(A) Vypočtěte s přesností na stupně velikost úhlu 𝛼. [𝛼 ≅ 56°]

(B) Vypočtěte s přesností na cm délku d delší strany šikmé části zábradlí. [𝑑 ≅ 180 𝑐𝑚]

℘

ℳ

59) Ornament je složen z jednoho čtverce a čtyř půlkruhů, které jsou rozděleny vždy na tmavou a světlou polovinu.

Čtverec má obsah 400 cm2. Vypočtěte s přesností na cm2 obsah tmavé plochy ornamentu. [S ≐314 cm2]

60) Délka odvěsny KL pravoúhlého trojúhelníku KLM je 14 cm. Na druhé odvěsně

KM leží bod P. Obsah tupoúhlého trojúhelníku PLM je 56 cm2. Vypočtěte v cm

délku strany PM tupoúhlého trojúhelníku PLM. [|𝑃𝑀| = 8 𝑐𝑚]

61) Uvnitř čtvercového pozemku se žáci učili obsluhovat měřicí přístroje – teodolit a laserový dálkoměr. Našli si

místo, z něhož viděli jednu stranu pozemku pod úhlem 60°. Poté určili vzdálenost tohoto místa od krajních bodů

sledované strany (120 m a 100 m).

Jaký je obsah čtvercového pozemku?

(A) 11 140 m2

(B) 11 300 m2

(C) 12 400 m2

(D) 12 560 m2

(E) jiný obsah

62) V rovině je dána přímka p a mimo ní dva různé body K, L.

Na přímce p sestrojte následující body:

(A) bod A, kde |∢𝐾𝐴𝐿| = 180°

(B) bod B, kde |𝐵𝐾| = |𝐵𝐿|

63) V pravoúhlé síti jsou v mřížových bodech umístěny vrcholy čtyřúhelníku ABCD. Jaký je obsah čtyřúhelníku ABCD?

(A) (20 + √50) 𝑐𝑚2

(B) 37,5 cm2

(C) (41 − 0,5 ∙ √50) 𝑐𝑚2

(D) 39,5 cm2

(E) jiný obsah

64) Přepona BC pravoúhlého trojúhelníku ABC měří 9 cm, odvěsna AC měří 4,5 cm. Druhá odvěsna AB je bodem X

rozdělena na dva úseky. Úsek AX má délku 4,5 cm. Přiřaďte každému úhlu jeho velikost (A – E).

𝛼 = D

𝛽 = E

𝛾 = A

(A) 15°

(B) 25°

(C) 35°

(D) 45°

(E) jiná velikost

65) Rovnoběžník ABCD rozděluje úhlopříčka BD na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Vypočtěte obvod

rovnoběžníku ABCD.

[o = 12 cm]

66) Martin bydlí v ulici m, pravděpodobně v některém z domů A až D. Bratranec Petr bydlí ve druhé ulici p. Chlapci

by na sebe viděli z oken svých domovů, kdyby jim ve výhledu nepřekážela věž V, k níž to mají vzdušnou čarou

stejně daleko.

Ve kterém domě bydlí Martin?

(A) v domě A

(B) v domě B

(C) v domě C

(D) v domě D

(E) v některém z dalších vyobrazených

domů

67) Ve čtvercové síti je umístěn rovnoběžník ABCD.

(A) Vypočtěte obsah rovnoběžníku ABCD a výsledek uveďte v cm2. [8 cm2]

(B) V rovnoběžníku ABCD určete poměr velikostí obou výšek. Výsledek uveďte v základním tvaru. [5 : 2]

68) Vnitřní úhel trojúhelníku ABC má velikost 𝛼 = 40°. Pro délky stran platí vztah 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2. Rozhodněte o

každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE).

(A) Nejdelší strana je c. ANO – NE

(B) Největší úhel má velikost 100°. ANO – NE

(C) Trojúhelník je rovnoramenný. ANO – NE

(D) Osa strany b je rovnoběžná se stranou a. ANO – NE

69) Trojúhelník ABC má délky stran 𝑎 = 3 𝑐𝑚, 𝑏 = 5 𝑐𝑚, 𝑐 = 7 𝑐𝑚. Jaký je součet velikostí jeho dvou nejmenších

vnitřních úhlů?

(A) 22°

(B) 38°

(C) 𝟔𝟎°

(D) 105°

(E) jiný součet

70) Rovnoběžné přímky p, q protínají přímku r v bodech P, Q. Vzdálenost rovnoběžek je 5, odchylka přímek p, r

je 30°.

(A) Určete vzdálenost bodu P od přímky q. [5]

(B) Vypočtěte vzdálenost bodů P, Q. [10]

71) Velikost dvou vnitřních úhlů trojúhelníku ABC jsou 𝛼 =2

5𝜋 a 𝛽 =

1

4𝜋. Vypočtěte velikost třetího vnitřního úhlu

trojúhelníku. [7𝜋

20= 63°]

72) Trojúhelník ABC je určen délkami stran a = 9 cm, b = 15 cm, c = 10 cm. Jakou hodnotu (s přesností na setiny) má

kosinus největšího vnitřního úhlu?

(A) +0,49

(B) +0,12

(C) -0,24

(D) -0,49

(E) -0,76

73) V trojúhelníku JKL platí:

𝑐𝑜𝑠𝜑 =√5

3

Určete hodnotu 𝑠𝑖𝑛𝜑.

[𝑠𝑖𝑛𝜑 =2

3]

74) Do kružnice se středem S a poloměrem r = 3 cm je vepsán šedý obrazec ASBCD. Vypočtěte obsah šedého

obrazce ASBCD. Nezapomeňte uvést jednotku.

[S = 13,5 cm2]

75) Jaká je délka úhlopříčky AC vypočtená s přesností na desetiny centimetru?

(A) menší než 6,1 cm

(B) 6,1 cm

(C) 6,7 cm

(D) 7,0 cm

(E) větší než 7,0 cm

76) Vypočítejte obvod pravoúhlého lichoběžníku ABCD, s pravým úhlem při vrcholu, A jestliže:

|𝐴𝐵| = 14 𝑐𝑚, |𝐴𝐷| = 5 𝑐𝑚, |𝐶𝐷|: |𝐴𝐵| = 2 ∶ 7. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.

[34,2 cm]

77) Vypočítejte, jakou vzdálenost (zaokrouhlenou na metry) musí urazit výletník k patě rozhledny, jestliže rozhledna

je vysoká 58 m a vrchol rozhledny vidí pod úhlem 46°.

(A) 72 m

(B) 59 m

(C) 63 m

(D) 56 m

(E) žádná z uvedených možností

STEREOMETRIE

1) Pravidelná čtyřboký jehlan má délku hrany podstavy a = 6 cm a stěnovou výšku s = 8 cm. Vypočítejte objem

jehlanu. Výsledek zaokrouhlete na celé číslo.

2) Je-li poloměr koule 0,8 cm, pak objem koule s čtyřnásobným poloměrem je větší:

(A) 83krát

(B) 70krát

(C) 58krát

(D) 64krát

(E) žádná z uvedených možností

3) Vypočítejte objem a povrch rotačního kužele, je-li jeho výška 5,6 cm a délka jeho strany 7,6 cm. Výsledek

zaokrouhlete na jedno desetinné místo. [𝑉 = 154,8 𝑐𝑚3, 𝑆 = 205,6 𝑐𝑚2]

4) Ve válci je umístěn kužel o stejném průměru a výšce. Vypočítejte, kolik procent z objemu válce zaujímá kužel.

Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo. [asi 33,3%]

5) Z následujících možností A – E vyberte velikost hrany c kvádru, je-li délka zbývajících hran a = 6 cm, b = 8 cm a

objem kvádru je číselně roven jeho povrchu.

(A) 4,8 cm

(B) 2,9 cm

(C) 4,1 cm

(D) 3,5 cm

(E) žádná z uvedených možností

6) V uzavřeném skleněném kvádru s hranami délek 30 cm, 60 cm a 80 cm je obarvená kapalina. Postavíme-li

kvádr na stěnu s rozměry 30 cm x 60 cm, dosáhne kapalina do výšky 40 cm. V jaké výšce bude hladina

kapaliny, postavíme-li kvádr na stěnu s rozměry 30 cm x 80 cm? Tloušťku stěn kvádru neuvažujeme.

(A) 20 cm

(B) 25 cm

(C) 30 cm

(D) 35 cm

(E) v jiné výšce

7) Ve čtvercové síti je zobrazena síť kvádru. Jednotkou délky je 1 díl, jednotkou obsahu je 1 čtverec a jednotkou

objemu je 1 krychlička.

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO) nebo

nikoliv (NE).

(A) Nejmenší stěna kvádru má obsah 10 čtverců. ANO – NE

(B) Největší stěna má obsah 15 čtverců. ANO – NE

(C) Objem kvádru je 30 krychliček. ANO – NE

(D) Ve složeném kvádru jsou čtyři hrany s délkou 3 díly. ANO – NE

8) Váleček se kutálí po podložce. Po jedné celé otočce se posune o 25 cm. Jaký je poloměr podstavy válečku?

(A) asi 4,0 cm

(B) asi 4,1 cm

(C) asi 4,2 cm

(D) asi 4,3 cm

(E) jiný poloměr

9) Kolik centimetrů měří poloměr koule, jejíž objem je 1 litr? (Údaj zaokrouhlete na desetiny) [𝑟 ≐ 6,2]

10) Přiřaďte ke každé úloze správné řešení (A – F):

(1) Kolik stěn má krychle? A

(2) Kolik hran má osmiboký jehlan? F

(3) Kolik vrcholů má dvanáctiboký hranol? E

(4) Kolik stěn včetně podstav má hranol, který má 24 hran? B

(A) 6

(B) 10

(C) 12

(D) 20

(E) 24

(F) jiný výsledek

11) Jaká je výška nádoby tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm2, kterou tři

čtvrtlitrové hrnky vody naplní až po okraj?

(A) 37,5 cm

(B) 17 cm

(C) 15 cm

(D) 11,5 cm

(E) jiný výsledek

12) Koule má poloměr 0,3 m. Kolikrát větší je objem koule s dvojnásobným poloměrem?

(A) 9x

(B) 8x

(C) 6x

(D) 3x

(E) méně než 3x

13) Truhlář opracovával rotační válec s poloměrem podstavy 2,5 dm a výškou 2 dm. Rovnoměrným broušením

zmenši poloměr o 1 cm, výška válce byla zachována.

14) Vypočtěte, o kolik procent se zmenšil obsah pláště válce. [o 4%]

15) Dřevěný domeček je sestaven z krychle a pravidelného čtyřbokého jehlanu. Délka hrany krychle je stejně

dlouhá jako výška jehlanu. Domeček je vtěsnán do plechovky tvaru válce s vnitřním průměrem podstavy

3√2 𝑐𝑚. Jaký je objem domečku?

(A) menší než 38,0 cm3

(B) 38,0 cm3

(C) 41,5 cm3

(D) 45,0 cm3

(E) větší než 45,0 cm3

16) Káď na ryby tvaru válce s podstavou o obsahu 14 000 cm2 má objem 600 litrů. Káď je naplněná vodou pouze

do tří čtvrtin. V jaké výšce ode dna (s přesností na cm) je vodní hladina?

(A) 13 cm

(B) 32 cm

(C) 44 cm

(D) 57 cm

(E) v jiné výšce

17) Plechovky tvaru válce mají poloměr 𝑟 = 3 𝑐𝑚 a výšku 𝑣 = 13 𝑐𝑚. Plechovky jsou po třech zataveny ve

slídovém obalu. Obal obepíná plechovky od horního k dolnímu okraji a nepřekrývá podstavy plechovek.

Rozvinutím rozstřiženého obalu vznikne obdélník.

(A) Jaký je obsah obalu (s přesností na cm2)

(B) 479 cm2

(C) 514 cm2

(D) 543 cm2

(E) 598 cm2

(F) jiný obsah

18) Duté skleněné těžítko na spisy má tvar pravidelného jehlanu se čtvercovou podstavou. Podstava těžítka má

rozměry 6 cm x 6 cm, výška těžítka je 6 cm. Tloušťku skla zanedbáváme. Když těžítko stojí na své čtvercové

podstavě, je přesně do poloviny své výšky zaplněné barevnou tekutinou. Kolik cm3 tekutiny obsahuje?

(A) 189 cm3

(B) 63 cm3

(C) 60 cm3

(D) 54 cm3

(E) 36 cm3

19) Věž kostela se čtvercovým půdorysem se stranou dlouhou 10 m má střechu tvaru pravidelného čtyřbokého

jehlanu s výškou 12 m. Kolik by stálo pokrytí střechy měděným plechem, jestliže cena za pokrytí 1 m2 je

5 000 Kč? [1 300 000 Kč]

20) Nápoj Kolaloka plní v závodě do plechovek ve tvaru válce s průměrem podstavy 8 cm a výškou 9 cm. Z průzkumu

trhu vyplynulo, že lépe by se prodávali plechovky s polovičním objemem a průměrem podstavy 6 cm. Jakou výšku

mají mít nové plechovky?

(A) 6,75 cm

(B) 7 cm

(C) 8 cm

(D) 10,25 cm

(E) 12 cm

21) V kterém z následujících případů vznikne rotací trojúhelníka okolo osy o rotační kužel?

22) V jistém podniku musí podle bezpečnostních předpisů připadat na 1 pracovníka pracujícího v uzavřené místnosti

aspoň 6 m2 podlahové plochy této místnosti a aspoň 18 m3 z objemu místnosti. Kolik nejvíc pracovníků může

podle těchto předpisů pracovat v kanceláři o rozměrech 8 m x 5 m a výškou 2,5 m? [5]

23) Jestliže koule s poloměrem r má objem 8 m3, potom koule s poloměrem 2r má objem:

(A) 16 m3

(B) 24 m3

(C) 64 m3

(D) 96 m3

(E) 128 m3

24) Výška rotačního válce je 4 cm. Osový řez válce má obsah 24 cm2. Vypočtěte v cm3 objem rotačního válce.

[𝑉 = 36𝜋 𝑐𝑚3 ≅ 113 𝑐𝑚3]

25) Hlavička s čepicí dřevěné figurky je vytvořena z polokoule (dolní polovina hlavy) a kužele (čepice). Poloměr

polokoule je stejný jako poloměr podstavy kuželu. Objem kuželu je shodný s objemem polokoule.

(A) Vyjádřete výšku v kužele v závislosti na poloměru r. [𝑣 = 2𝑟]

(B) Polokoule (dolní polovina hlavy) má objem 18𝜋 𝑐𝑚3. Vypočtěte v centimetrech poloměr polokoule. [r = 3 cm]

26) Model krychle má kostru (všechny hrany) zhotovenou z drátu o celkové délce 144 cm. Stěny jsou z lepenky.

Jaký je povrch krychle (obsah plochy použité lepenky)?

(A) 864 cm2

(B) 648 cm2

(C) 578 cm2

(D) 486 cm2

(E) jiný výsledek

27) Síť tělesa tvoří tři čtverce a dva rovnostranné trojúhelníky. Určete počet hran složeného tělesa.

28) Do krabice taru krychle je vložen válec o objemu 570 cm3. Válec se dotýká všech stěn krabice. Jaká je výška

válce (zaokrouhlená na desetiny cm)?

(A) menší než 8,4 cm

(B) 8,5 cm

(C) 8,7 cm

(D) 9,0 cm

(E) větší než 9,1 cm

29) Papírová čepice má tvar rotačního kužele. Po straně je slepena lepicí páskou. /Okraje papíru jsou k sobě

přiloženy a v místě lepení se nepřekrývají.) Osovým řezem kužele je rovnostranný trojúhelník s délkou strany

16 cm.

(A) Kolik cm2 papíru je použito na čepici?

(B) 96𝜋 𝑐𝑚2

(C) 𝟏𝟐𝟖𝝅 𝒄𝒎𝟐

(D) 192𝜋 𝑐𝑚2

(E) 256𝜋 𝑐𝑚2

(F) jiný počet

30) Obytná část domu má tvar krychle a střecha tvar jehlanu. Délka hrany

krychle je 16 m a výška jehlanu 6 m.

(A) Jak velká je plocha střechy?

(B) 192 m2

(C) 202 m2

(D) 320 m2

(E) 448 m2

(F) 512 m2

31) Káď tvaru kvádru je vodou naplněna po okraj. Vnější rozměry kádě jsou 5 cm, 120 cm a 60 cm. Tloušťka všech

stěn i dna je 5 cm. Kolik litrů vody se vešlo do kádě?

(A) méně než 57 litrů

(B) 467,5 litrů

(C) 495 litrů

(D) 4 675 litrů

(E) 56 925 litrů

32) Rozvinutý plášť kužele tvoří půlkruh. Délka strany kužele je 6 cm. Jaký je obsah pláště kužele?

(A) 6𝜋 𝑐𝑚2

(B) 8𝜋 𝑐𝑚2

(C) 9𝜋 𝑐𝑚2

(D) 12𝜋 𝑐𝑚2

(E) 𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎𝟐

33) Molitanová podložka je těleso tvaru půlválce. Průměr podstavy půlválce je 20 cm, délka půlválce je 70 cm. Přes

podložku se přetáhne 70 cm dlouhý, těsně přiléhající návlek z pevné tmavé látky. Návlek nezakrývá ani jednu

z obou podstavy půlválce.

(A) Vypočtěte objem půlválce (tj. objem podložky) v litrech. [V ≐ 11 litrů]

(B) Vypočtěte v cm2 obsah pláště (tj. obsah plochy, kterou zakrývá tmavý návlek. [S ≐ 3 599 cm2]

34) Kulička z plastelíny má poloměr 1 cm. Z osmi takových kuliček byla vytvořena jedna koule. Jaký je poloměr

koule?

(A) 8 cm

(B) 4√2 cm

(C) 4 cm

(D) 2√2 cm

(E) 2 cm

35) Polovina kulové plochy je rozdělena na dvě části – kulový vrchlík a kulový pás. Vzdálenost středu S kulové

plochy od roviny řezu je |𝑆𝑂| = 12 𝑐𝑚. Polopřímka SO protíná kulovou plochu v bodě V, vzdálenost OV je

5 cm. Bod B leží na kulové ploše.

(A) Vypočtěte v cm vzdálenost BS. [|𝐵𝑆| = 17 𝑐𝑚]

(B) Vypočtěte v cm2 obsah kulového vrchlíku. [𝑆 = 170𝜋 𝑐𝑚2 ≅ 534 𝑐𝑚2]

36) Ve skleněné krychli s hranou délky 8 cm je dutina tvaru čtyřbokého jehlanu. Objem dutiny je roven jedné

čtvrtině objemu krychle.

(A) Vypočtěte v cm3 objem dutiny. [V = 128 cm3]

(B) Vypočtěte v cm hloubku h dutiny. [h = 6 cm]

37) Obsah jedné stěny krychle je 0,16 m2. Vypočtěte objem krychle. [V = 0,064 m3]

38) Bóje na moři má tvar tělesa sestaveného z válce a dvou polokoulí. Výška válce, poloměr válce i poloměr každé

z obou polokoulí je 18 cm. Vypočtěte v cm2 povrch tělesa.

[S = 1 944π cm2 ≐ 6 107 cm2]

39) Sklenice má tvar válce s vnitřním průměrem 12 cm, výška sklenice ode dna je 16 cm. Seříznutou špejli lze šikmo

vložit do sklenice tak, že nepřečnívá přes okraj. Jaká je největší možná délka seříznuté špejle?

(A) 17 cm

(B) 18 cm

(C) 19 cm

(D) 20 cm

(E) 21 cm

40) Pásový traktůrek na klíček se pohybuje pomocí dvou pásů. Každý pás je napnutý přes dvě shodná kola. Vnější

plocha pásu je černá a vnitřní je bílá, tloušťka pásu se zanedbává.

Jaký je obsah černé plochy jednoho pásu?

(A) 4 ∙ (𝜋 + 10)𝑐𝑚2

(B) 6 ∙ (𝜋 + 20)𝑐𝑚2

(C) 6 ∙ (3𝜋 + 10)𝑐𝑚2

(D) 12 ∙ (𝜋 + 5)𝑐𝑚2

(E) 𝟏𝟐 ∙ (𝝅 + 𝟏𝟎)𝒄𝒎𝟐

41) Z rotačního válce se vyrábí herní figura. Polovina válce je opracována na rotační kužel, který tvoří klobouk

figury.

41. 1. Jakou část objemu neopracovaného válce tvoří vyrobená figura?

(A) 7

8

(B) 5

6

(C) 3

4

(D) 𝟐

𝟑

(E) 5

8

41. 2. Obvod podstavy válce je 30 cm a strana klobouku má délku 12 cm. Jaký je povrch klobouku?

(A) 1,2 dm2

(B) 1,4 dm2

(C) 1,5 dm2

(D) 1,8 dm2

(E) jiný povrch

42) Přiřaďte ke každé zakreslené síti tělesa odpovídající název tělesa (A – F).

B C

A D

(A) pravidelný trojboký jehlan

(B) pravidelný čtyřboký jehlan

(C) pravidelný šestiboký jehlan

(D) pravidelný trojboký hranol

(E) pravidelný šestiboký hranol

(F) nelze, útvar není sítí žádného tělesa

43) Tenisové míčky jsou natěsno baleny v plechovkách tvaru válce. Prodávají se po dvou, po třech nebo po čtyřech. Ve

které plechovce vyplňují míčky 2/3 jejího objemu?

(A) v libovolné plechovce

(B) pouze v první plechovce

(C) pouze ve druhé plechovce

(D) pouze ve třetí plechovce

(E) v žádné plechovce

44) Drátěný model pravidelného šestibokého hranolu s podstavnou hranou délky a = 8 cm má výšku v = 12 cm. Těleso

se přelepí papírem, podstavy tmavým, plášť bílým.

(A) Vypočtěte v cm největší možnou přímou vzdálenost dvou vrcholů drátěného hranolu. [20 cm]

(B) Vypočtěte v cm2 obsah bílého papírového pláště hranolu. [S = 576 cm2]

45) Vypočtěte v litrech objem vzduchu ve stanu. Nezapomeňte uvést jednotku!

[4 608 litrů]

46) Věžička má tvar rotačního kuželu. Velikost odchylky strany s od roviny podstavy je 50° a poloměr podstavy věžičky

je 4 m. Je-li na natření 7 m2 potřeba 1 kg barvy, pak na natření celé věžičky je zapotřebí (zaokrouhleno na

kilogramy):

(A) 15 kg

(B) 11 kg

(C) 9 kg

(D) 13 kg

(E) žádná z uvedených možností

47) Jestliže stěnová úhlopříčka krychle ABCDEFGH měří 6 cm, pak tělesová úhlopříčka této krychle zaokrouhlená na

centimetry má délku:

(A) 7 cm

(B) 8 cm

(C) 5 cm

(D) 12 cm

(E) žádná z uvedených možností