Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Statika 22. prednáška
Kombinace namáhání N + My + Mz
Jádro prurezu
Miroslav Voká[email protected]
CVUT v Praze, Fakulta architektury
19. ríjna 2016
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kombinace namáhání
◮ Pri kombinaci namáhání je pocet nenulových vnitrních silvetší než 1.
◮ Napetí je možné pro každou vnitrní sílu vyjádrit zvlášt’a výsledek superponovat, tj. secíst.
◮ Zameríme se hlavne na kombinace s vnitrními silami N,My a Mz , od kterých vzniká v prurezu normálové napetí σx .
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Šikmý ohybNormálové napetí v prurezu
My 6= 0 ∧ Mz 6= 0 ∧ N = 0
y
z
t
Mz
Myσx
N.O.
+ϕ
A
σx(A)
Osy y a z jsou hlavní težišt’ovéosy setrvacnosti.
Normálové napetí:
σx (y , z) =My
Iyz −
Mz
Izy
N.O. prochází težištema z rovnice σx (y , z) = 0 se urcíúhel natocení ϕ:
tg ϕ =zy=
Mz IyIz My
Extrémní normálové napetí jev bodu nejvíce vzdáleném odN.O. Musí platit σx,extr ≤ σdov .
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Šikmý ohybPoužití prurezových modulu
y
z
t
Mz
Myσx
N.O.
+ϕ
A
σx(A)
POZOR! VZOREC
σx,extr = ±My
Wy±
Mz
Wz
NEMÁ OBECNOU PLATNOST!
z
yt
z
yt
z
yt
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Šikmý ohybTypické konstrukce namáhané šikmým ohybem
Vaznice
q
α L
q
z
y t
q
Mq
My
Mz
+α
+α
Ohybové momenty uprostredrozpetí:
Mq = 18 q L2
My = Mq cos α
Mz = Mq sin α
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Šikmý ohybTypické konstrukce namáhané šikmým ohybem
Prurez nemá svislou hlavní težišt’ovou osu setrvacnosti
y z
t
q
Mq
+α q
L
Ohybové momenty ve vetknutí:
Mq = − 12 q L2
My = Mq cos α
Mz = Mq sin α
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kombinace namáhání My + NNormálové napetí v prurezu
My 6= 0 ∧ Mz = 0 ∧ N 6= 0
x
z
t
My
Ny
z
tx
z
t
σx
Aσx(A)N.O.N.O.
Normálové napetí σx se urcí pro každý bod prurezu:
σx (z) =NA
+My
Iyz
N.O. z podmínky σx (z) = 0 je dána rovnicí prímky: z = −NA
IyMy
.
Extrémní normálové napetí je v bodu nejvíce vzdáleném odN.O. Musí platit σx,extr ≤ σdov .
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kombinace namáhání My + NPríklady
z
x
F
e
Vnitrní síly ve vetknutí:N = −F
My = −F e
z
xF
e
Vnitrní síly na celé délce prutu:N = +F
My = −F e
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kombinace namáhání Mz + NNormálové napetí v prurezu
x
y
tMz N
y
z
t
x
y
t
σx
A
σx(A)
N.O
.N.O
.
My = 0 ∧ Mz 6= 0 ∧ N 6= 0
Normálové napetí σx se urcí pro každý bodprurezu:
σx (z) =NA
−Mz
Izy
N.O. z podmínky σx (z) = 0 je dána rovnicíprímky:
y = +NA
IzMz
Extrémní normálové napetí je v bodu nejvícevzdáleném od N.O. Musí platit σx,extr ≤ σdov .
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kombinace namáhání My + Mz + NNormálové napetí v prurezu
My 6= 0 ∧ Mz 6= 0 ∧ N 6= 0
y
z
t
σx
N.O.
[y2, 0] [0, z1]
A
σx(A)
Osy y a z jsou hlavní težišt’ovéosy setrvacnosti.
Normálové napetí:
σx (y , z) =NA
+My
Iyz −
Mz
Izy
N.O. je dána podmínkouσx (y , z) = 0, tj. obecná prímkav rovine yz:
NA
+My
Iyz −
Mz
Izy = 0
Obvykle volíme y1 = 0a dopocteme z1 , dále volímez2 = 0 a dopocteme y2.Temito body proložíme prímku.
Extrémní normálové napetí jev bodu nejvíce vzdáleném odN.O. Musí platit σx,extr ≤ σdov .
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kombinace namáhání My + Mz + NPríklady
Excentrická osová sílaF je tahová!
x
y
z
t
F
yF
zF
Po celé délce prutu platí:N = +F
My = +F zF
Mz = −F yF
Príklad obecné kombinacezatížení:
F1
F2
q
x
y
z
t
b
h
L
Vnitrní síly ve vetknutí:N = +F2
My = − 12 q L2 + F2
h2
Mz = −F1 L + F2b2
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Jádro prurezu
Prubeh σx od tlakové síly v prurezu závisí na její excentricitek težišti:
z
x
σx
e = 0
F
−
z
x
F
e < j
σx
−
z
x
F
e = j
σx
−
z
x
F
e > j
σx
−
+
Jádro prurezu je oblast prurezu pro kterou platí:Je-li pusobište tlakové síly v jádre prurezu, je celý prurez tlacena v prurezu nevzniká tahové napetí.
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Jádro prurezuUrcení bodu na hranici jádra prurezu
z
y t
N.O.
[jy, jz]
[0, zN.O.]
[yN.O., 0]
Osy y a z musí být hlavnícentrální osy setrvacnosti!
N.O. musí být na hraniciprurezu.Rovnice prímky N.O. je dánapredpisem:
σx =NA
+My
Iyz −
Mz
Izy = 0
Vnitrní síly je možné zapsat:N = −F (F je tlaková)My = −F jzMz = +F jy
Po dosazení souradnic dvoubodu [0, zN.O.] a [yN.O., 0] lzeodvodit:
jz = −Iy
A zN.O.
= −i2y
zN.O.
a jy = − IzA yN.O.
= −i2z
yN.O.
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Jádro prurezuUrcení jádra prurezu - obecný prurez
z
yt
N.O.
N.O.
N.O
.
N.O.N
.O.N.O.
N.O.
z
yt
N.O.
N.O
.
N.O.
N.O.
Jádro prurezu ohranicujejádrová cára.Jádrová cára je množinapusobišt’ sil odpovídajícímnožine N.O., které tvorí tecnyk obvodu prurezu.Prímé strane obvodu prurezuodpovídá v jádrové cáre vrchol.Vrcholu na obvodu prurezuodpovídá v jádrové cáre prímástrana.Krivce v obvodu prurezuodpovídá v jádrové cáre krivka.
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Jádro prurezuUrcení jádra prurezu - obdélníkový prurez
z
yt
N.O.(1)
N.O
.(2)
b
h
b6
h6
1. Výpocet pro N.O.(1)
Iy = 112bh3
A = bhjz =
IyA h
2= 1
6h
2. Výpocet pro N.O.(2)
Iz = 112 hb3
A = bhjy = Iz
A b2= 1
6b
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Jádro prurezuUrcení jádra prurezu - kruhový prurez
z
yt
N.O.
r4
r
Iy = 14πr4
A = πr2
jz =IyA r = 1
4 r
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Excentrický tlak za vylouceného tahu
Kdy je nutné uvažovat vyloucený tah?U materiálu, kde nemužeme predpokládat, že docházík prenášení tahového napetí:
◮ Zdivo◮ Základová spára u plošných základu◮ Prostý beton
Prubeh normálového napetí závisí na excentricite tlakové síly:
1. Tlaková síla pusobí v jádre prurezu – celý prurez je tlacen,je možné využít lineární pružnost.
2. Tlaková síla pusobí mimo jádro prurezu – je treba najítpolohu N.O. z podmínek ekvivalence pro N, My a Mz .V obecných prípadech vede k iteracnímu výpoctu.
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Excentrický tlak za vylouceného tahuTlaková síla pusobí v jádru prurezu
Celý prurez je tlacen, je možné využít lineární pružnost.
z
yt
F
F
eN.O
.
σx −
z
yt
F
ey
ez
N.O.
σx
−
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Excentrický tlak za vylouceného tahuTlaková síla pusobí mimo jádro prurezu
Obdélníkový prurez a excentricita ve smeru jedné z hlavníchos setrvacnosti.
z
yt
F
F
e
h
b
a
d
3d
N.O
.
σxσextr
−
Z podmínek ekvivalence plyne:
N =∫
Aσx dA
−F = 12σextr (h − a)b
Mz = −∫
Aσx y dA
F e = − 12σextr (h − a)b
[
h2 − 1
3 (h − a)]
Lze odvodit:
Jestliže oznacíme d = h2 − e, potom
h − a = 3d a extrémní napetí
σextr =2 N
3 d b
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Excentrický tlak za vylouceného tahuTlaková síla pusobí mimo jádro prurezu
Obdélníkový prurez a obecný smer excentricity.
z
yt
F
h
b
ey
ez
N.O.
σx
σx,extr
−
Je-li excentricita ve smeru obouos y a z, je treba najít N.O.
a σx,extr iteracními metodamiz podmínek ekvivalence:
N =∫
Aσx dA
My =∫
Aσx z dA
Mz = −∫
Aσx y dA
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Urcete, které z vnitrní sily jsou ve vetknutí nulové a kterénenulové. Doplnte symbol „= 0“ nebo „6= 0“.
x
y
z
t
F1
F1
F2
N My Mz Vy Vz Mx
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Urcete, které z vnitrní sily jsou ve vetknutí nulové a kterénenulové. Doplnte symbol „= 0“ nebo „6= 0“.
x
y
z
t
F1
F1
F2
N = 0 My = 0 Mz 6= 0 Vy 6= 0 Vz = 0 Mx 6= 0
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Urcete, které z vnitrní sily jsou ve vetknutí nulové a kterénenulové. Doplnte symbol „= 0“ nebo „6= 0“.
x
y
z
tF1
F1
F2
N My Mz Vy Vz Mx
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Urcete, které z vnitrní sily jsou ve vetknutí nulové a kterénenulové. Doplnte symbol „= 0“ nebo „6= 0“.
x
y
z
tF1
F1
F2
N 6= 0 My 6= 0 Mz = 0 Vy = 0 Vz = 0 Mx = 0
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Jádro prurezu je oblast prurezu v okolí težište prurezu, prokterou platí:
a) Tlaková síla v jádru prurezu vyvolá v prurezu jen tahovénormálové napetí.
b) Tlaková síla v jádru prurezu vyvolá v prurezu jen tlakovénormálové napetí.
c) Tlaková síla v jádru prurezu vyvolá v prurezu tahovéi tlakové normálové napetí.
Statika 2
M. Vokác
Kombinace namáháníŠikmý ohyb
Kombinace namáháníMy + N
Kombinace namáháníMz + N
Kombinace namáháníMy + Mz + N
Jádro prurezu
Excentrický tlak zavylouceného tahu
Kontrolní otázky
Konec prednášky
Dekuji za pozornost.
Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému METAPOST.
