STTEEREOOMME ETTRRIIE...Do kužele, jehož strana svírá s rovinou podstavy úhel 60 , je vepsaná...

1/13

PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK

SSTTEERREEOOMMEETTRRIIEE

Základní pojmy:

Objemy a povrchy těles

Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin

Opakování:

Obsahy a obvody rovinných útvarů

Stereometrie - geometrie v prostoru

- zabývá se vzájemnou polohou přímek, rovin, jejich zobrazením a

objemy a povrchy prostorových útvarů

1. Opakování – obsahy rovinných útvarů

Vypočtěte obsah vyšrafované plochy:

Výsledky:

242,8 cm2; 449,5 cm

2; 9,3 cm

2; 3,7 cm

2; 25,5 cm

2

1 2 3

4 5

Stereometrie 2/13


2. Objemy a povrchy těles

Krychle: Kvádr: Hranoly:

S = S = S =

V = V = V=

Tělesová úhlopříčka Tělesová úhlopříčka

Jehlan:

S =

V =

Válec: Kužel:

S =

V =

Příklad:

1. Vypočtěte objem těchto těles:

Stereometrie 3/13


2. Je dána krychle o hraně a. Jak velká musí být hrana krychle, jejíž povrch (objem)

má být 2x větší, než povrch (objem) původní krychle?

3. Kolik pytlů cementu se spotřebuje na vybetonování sloupu 3,5 m vysokého, který

má průřez pravidelného 6-úhelníku o délce hrany 18 cm? Poměr mísení je 350 kg

cementu na 1 m3 betonu.

4. Ze železné tyče ve tvaru hranolu o rozměrech 5,6 cm, 4,8 cm a 7,2 cm je třeba

vyrobit co největší rotační kužel. Vypočtěte jeho objem a procento odpadu.

5. Kolik m2 pozinkovaného plechu se spotřebuje na pokrytí střechy věže, která má tvar

pravidelného 4-bokého jehlanu? Hrana podstavy je 6 m, výška věže 9 m. Při

pokrývání se počítá s 5 % odpadem plechu.

6. Kolik metrů měděného drátu o průměru 3 mm se vyrobí ze 60 kg měděného šrotu,

je-li hustota mědi 900 kg.m-3

?

7. Vypočtěte povrch rotačního kužele, je-li obvod podstavy 9,42 m a výška 2 m.

3. Objemy a povrchy komolých těles, koule a jejích částí

Komolý kužel: Komolý jehlan: Koule:

S = S = S =

V = V = V =

Kulová výseč: Kulová úseč: Kulový vrstva:

V= V = V =

Kulový vrchlík: Kulový pás:

S = S =

Stereometrie 4/13


Příklad:

1. Vědro na vodu je z plechu a má tvar komolého kužele. Průměr dna je 24 cm, horní

okraje 32 cm a délka strany je 30 cm. Kolik l vody se vejde do vědra? Jakou

hmotnost má prázdné vědro, když 1 m2 plechu má hmotnost 10,5 kg?

2. Vypočtěte objem pravidelného 6-bokého komolého jehlanu, je-li délka hrany dolní

podstavy 30 cm, horní podstavy 12 cm a délka boční hrany je 41 cm.

3. Povrch koule je 1 km2. Vypočtěte objem.

4. Vypočtěte objem kulové vrstvy 18 cm vysoké, je-li průměr dolní podstavy 80 cm,

horní podstavy 60 cm.

5. Vypočti objem a povrch koule, jsou-li dány poloměry 2 rovnoběžných řezů r1 = 7

cm, r2 = 5 cm a jejich vzdálenost v = 2 cm.

6. Čtyři pingpongové míčky jsou uloženy ve válcovém pouzdře tak, že se navzájem

dotýkají a dotýkají se i stěn pouzdra. Poměr objemů všech míčků a objemu pouzdra

je A)1 : 4 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D) 3 : 4 E) 3 : 5

7. Ze tří kovových koulí s poloměry r1 = 3 cm, r2 = 4 cm, r3 = 5 cm byla zhotovena

jediná koule. Její poloměr je (zaokrouhlen na desetiny) A) 5,5 cm B) 6 cm

C) 6,5 cm D) 7 cm E) 7,5 cm

8. Z kmene stromu tvaru rotačního komolého kužele s danými průměry podstav 90 cm

a 60 cm a výškou 2,5 m byl zhotoven hranol s maximálním čtvercovým průměrem.

Dřevěný odpad byl pak přibližně A) 40% B) 50% C) 60% D) 65% E) 70%

9. Kouli o poloměru r je jedna krychle opsána, druhá vepsána. Rozdíl povrchů těchto

krychlí (opsané a vepsané) je A) 18 r2 B) 16 r

2 C) 15 r

2 D) 12 r

2 E) 10 r

2

10. Do kužele, jehož strana svírá s rovinou podstavy úhel 60°, je vepsaná koule s

objemem 4 cm3. Určete objem kužele.

11. Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má hrany podstav dlouhé 14 cm, 10 cm. Boční

stěny mají sklon 45°. Vypočítejte povrch tělesa.

4. Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin v prostoru

a) Vzájemná poloha 2 přímek

Různoběžné přímky leží

v jedné rovině; mají právě

jeden společný bod –

průsečík.

Různé rovnoběžné

přímky leží v jedné

rovině; nemají žádný

společný bod.

Mimoběžné přímky neleží v jedné rovině;

nemají žádný společný

bod.

Stereometrie 5/13


b) Vzájemná poloha přímky a roviny

Přímka a rovina s ní

různoběžná mají právě

jeden společný bod –

průsečík.

Rovina a přímka s ní

rovnoběžná, která v ní

neleží, nemají žádný

společný bod.

Přímka leží v rovině;

všechny body přímky leží

v dané rovině.

c) Vzájemná poloha dvou rovin

Dvě různoběžné roviny

mají společnou přímku -

průsečnici

Dvě rovnoběžné různé

roviny nemají žádný

společný bod

Totožné rovnoběžné

roviny mají všechny body

společné

Dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje alespoň dvě různoběžky, které jsou

rovnoběžné s některou přímkou v druhé rovině.

d) Pravidla pro konstrukci řezů těles

Pravidlo 1: Leží-li dva body v rovině některé stěny, leží v této rovině i jejich spojnice.

Pravidlo 2: Průsečnice roviny řezu s rovinami dvou rovnoběžných stěn jsou rovnoběžné.

Pravidlo 3: Průsečnice roviny řezu s rovinami dvou různoběžných stěn a přímka, v níž leží

společná hrana těchto stěn, jsou buď rovnoběžné, nebo se protínají v jediném bodě.

Příklad:

1. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou:

2.36 a) PQR, Q ... střed BC;

2.36 c) KLM,

;2:1:; PBAPABP 3:1:; RGFRFGR

3:1:; KEAKAEK 1:4:; LFBLBFL 2:1:; MGCMCGM

Stereometrie 6/13


2.35 a) MCH,

2.35 b) BPQ, P ... střed FG;

2.35 c) TRS, T ... střed FG;

2.36 b) AUV,

2.36 d) XYZ, X ... střed hrany AB, D ... střed CZ

ADMADAM2

1;

EFQFFEQ3

4;

ABARABR4

5;;

2

3; AEASAES

;2

3; DHDUDHU BCCVCBV

4

5;

1:2:; YHGYGHY ;CDZ

Stereometrie 7/13


2.40 a) HKP, K ... střed hrany AB,

2.40 b) LMN, L ... střed hrany AD; M .. střed hrany AE; N .. střed hrany GH

5. Metrické vlastnosti přímek a rovin v prostoru

a) Odchylka přímek

Odchylkou různoběžek rozumíme velikost menšího

z obou úhlů,které spolu

svírají. Pokud jsou oba úhly

stejné, je odchylka 90°.

Odchylka dvou rovnoběžek je 0°.

Odchylkou dvou mimoběžek p,q rozumíme

odchylku p od přímky r

rovnoběžné s q, která je s p

různoběžná (prochází jejím

libovolným bodem A).

PCBPBCP2

1;

Stereometrie 8/13


b) Kolmost přímek a rovin

Dvě přímky (různoběžné

nebo mimoběžné) jsou

kolmé, jestliže jejich

odchylka je 90°.

Přímka je kolmá k rovině,

jestliže je kolmá alespoň ke

dvěma různoběžkám

ležícím v této rovině.

Dvě roviny jsou navzájem

kolmé, jestliže jedna z nich

obsahuje alespoň jednu

přímku kolmou ke druhé

rovině.

Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám ležícím v této rovině.

c) Odchylka přímek a rovin

Odchylkou přímky p od roviny r rozumíme odchylku přímky p od jejího

pravoúhlého průmětu do roviny r.

Odchylka dvou rovin r a s je odchylka

průsečnic těchto rovin s rovinou, která je

kolmá k r i s.

d) Vzdálenosti

Vzdálenost bodu A od přímky p je délka

úsečky AP, kde P je pata kolmice vedené z

bodu A k přímce p v rovině Ap.

Vzdálenost bodu A od roviny r je délka

úsečky AP, kde P je kolmý průmět bodu A

do roviny r.

Stereometrie 9/13


Vzdálenost bodu A od přímky p je nejmenší

ze všech vzdáleností bodu A od různých

bodů přímky p.

Vzdálenost bodu A od roviny r je nejmenší

ze všech vzdáleností bodu A od různých

bodů roviny r.

Vzdálenost dvou rovnoběžek p a q je

vzdálenost libovolného bodu přímky p od q

Vzdálenost přímky p od roviny r, která je

s ní rovnoběžná, je vzdálenost libovolného

bodu přímky p od roviny r.

Vzdálenost rovnoběžek p,q je nejmenší ze

všech vzdáleností dvojic bodů, z nichž

jeden leží na p a druhý na q.

Vzdálenost přímky p od roviny r, je

nejmenší ze všech vzdáleností dvojic bodů,

z nichž jeden leží na p a druhý v r.

Vzdálenost rovnoběžných rovin r a s je

vzdálenost libovolného bodu roviny r od

roviny s

Vzdálenost mimoběžek p a q je délka

jejich příčky, která je k oběma

mimoběžkám kolmá.

Vzdálenost rovnoběžných rovin r a s je

nejmenší ze všech vzdáleností dvojic bodů,

z nichž jeden leží v r a druhý v s

Příčka mimoběžek p a q je úsečka, která je

různoběžná s p i q

Stereometrie 10/13


Příklad:

1. Určete odchylku:

3.2 a) Dvou stěnových úhlopříček krychle

3.2 b) Dvou tělesových úhlopříček krychle

3.2 c) Jedné stěnové a jedné tělesové úhlopříčky krychle

Stereometrie 11/13


2. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné

trojúhelníky, určete odchylku přímek:

3.3 a) BC a SV; S ... střed podstavy 3.3 b) AB a CV

3.3 c) AD a CV 3.3 d) BV a CP; P .. střed hrany AV

3. Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte, zda jsou kolmé

3.10 a) přímky HM a EF; M ... střed AE 3.10 b) přímky MN a BH;M ... střed

AE; N ... střed CG

4. V krychli ABCDEFGH určete odchylku:

3.26 a) rovin ABC a BDH 3.26 b) rovin ABE a ABH

Stereometrie 12/13


3.26 c) rovin ABC a BEG 3.27 a) rovin ABC a MNG;

M...střed BC;N...střed CD

3.35 a) roviny ABC a přímky XY; X ... střed EH; Y ... v jedné čtvrtině BF blíže k B

5. V krychli ABCDEFGH určete vzdálenost:

3.46 a) bodu A od přímky DH 3.46 b) bodu A od přímky FG

3.46 c) bodu A od přímky F 3.46 d) bodu A od přímky B

Stereometrie 13/13


6. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, kde a = 8 cm, v = 10 cm, určete:

3.47 a) odchylku boční hrany od roviny podstavy.

3.47 b) odchylku roviny boční stěny od roviny podstavy.

3.47c) odchylku roviny BCV a ADV.

Date post:	20-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

STTEEREOOMME ETTRRIIE...Do kužele, jehož strana svírá s rovinou podstavy úhel 60 , je vepsaná...

Documents