1

STUDIJNIacute TEXT

Zaacuteklady fyziky

Fakulta strojniacute

Eva Janurovaacute

VŠB ndash TU Ostrava Katedra fyziky 2016

2

OBSAH

1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY 4

11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY 4

12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN 6

2 KINEMATIKA 8

21 DĚLENIacute POHYBŮ 8

22 SLOŽENEacute POHYBY 12

23 POHYB PO KRUŽNICI 17

3 DYNAMIKA 23

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL 23

32 DRUHY SIL 25

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST 33

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE 35

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE 35

42 VYacuteKON 36

43 MECHANICKAacute ENERGIE 36

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA 39

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA 39

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA 39

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED 40

54 MOMENT SETRVAČNOSTI 41

55 MOMENT SIacuteLY 43

56 MOMENT HYBNOSTI 45

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU 46

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM POHYBU 46

6 HYDROSTATIKA 49

61 POVRCH KAPALINY 49

62 PASCALŮV ZAacuteKON 50

63 HYDROSTATICKYacute TLAK 51

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON 53

7 HYDRODYNAMIKA 54

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK 54

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU 55

73 BERNOULLIHO ROVNICE 55

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK 56

81 TEPLO TEPLOTA 56

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY 56

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK 58

84 TEPELNAacute VODIVOST 59

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE 60

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU 60

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute zaacutekon) 63

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE 64

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ 64

92 COULOMBŮV ZAacuteKON 64

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE 65

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE 66

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI 67

3

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY 68

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE 70

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI 70

102 ODPOR VODIČE 72

103 OHMŮV ZAacuteKON 73

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip74

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip82

4

1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY

11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY

Při pozorovaacuteniacute a popisu libovolneacuteho objektu viacuteme že zaujiacutemaacute určityacute prostor pohybuje se

měniacute se jeho vlastnosti působiacute na jinaacute tělesa apod

Fyzikaacutelniacute vlastnosti těles stavy i jejich změny ktereacute je možneacute změřit charakterizujeme

fyzikaacutelniacutemi veličinami

SOUSTAVY FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN A JEDNOTEK

Každaacute fyzikaacutelniacute veličina souvisiacute s mnoha jinyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami a jejich změnami

Proto už od počaacutetku 19 stoletiacute vznikaly soustavy veličin a jednotek

Při tvorbě těchto soustav se na začaacutetku voliacute určityacute počet veličin za zaacutekladniacute a k nim se

stanoviacute zaacutekladniacute jednotky

V Českeacute republice se podle zaacutekona č 3562 Sb smějiacute použiacutevat pouze zaacutekonneacute měřiciacute

jednotky ktereacute vychaacutezejiacute z Mezinaacuterodniacute soustavy jednotek označovaneacute SI (zkratka

francouzskeacuteho naacutezvu Systegraveme International d`Uniteacutes)

MEZINAacuteRODNIacute SOUSTAVA JEDNOTEK

Mezinaacuterodniacute soustavu jednotek (SI) tvořiacute

a) Sedm zaacutekladniacutech jednotek ktereacute odpoviacutedajiacute sedmi zaacutekladniacutem veličinaacutem

Zaacutekladniacute veličina Značka veličiny Zaacutekladniacute jednotka Značka jednotky

deacutelka l metr m

hmotnost m kilogram kg

čas t sekunda s

elektrickyacute proud I ampeacuter A

termodynamickaacute teplota T kelvin K

laacutetkoveacute množstviacute n mol mol

sviacutetivost I kandela cd

Každaacute zaacutekladniacute jednotka maacute svou definici uvedenou v českeacute staacutetniacute normě ČSN 01 1300

b) Dvě doplňkoveacute jednotky

Doplňkovaacute veličina Značka veličiny Doplňkovaacute jednotka Značkajednotky

rovinnyacute uacutehel α β γ hellip radiaacuten rad

prostorovyacute uacutehel Ω hellip steradiaacuten sr

5

c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin

(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze

zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů

odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V

mρ

Jednotka hustoty 3m

kgρ

Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků

např newton N ampeacuter A volt V aj1

Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při

naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např

d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon

z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky

hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute

nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute

Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti

tera- T 1 000 000 000 000 1012

giga- G 1 000 000 000 109

mega- M 1 000 000 106

kilo- k 1 000 103

mili- m 0001 10-3

mikro- μ 0000 001 10-6

nano- n 0000 000 001 10-9

piko- p 0000 000 000 001 10-12

V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2

m

Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute

exponenty u značek jednotek např

113

3kgN

kg

Nsm

s

mmkg

m

kg

Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min

apod)

1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů

pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)

Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera

Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj

druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem

bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)

6

12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN

Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na

a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou

hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P

energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute

s reaacutelnyacutemi čiacutesly

Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg

Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg

Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom

hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali

b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s

rychlost v

zrychleniacute a

siacutela F

hybnost p

atd)

V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem

Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se

stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie

POZNAacuteMKA

a) Pythagorova věta rarr c2 = a

2 + b

2

b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a

2 + b

2 -

2abcosγ

c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr

c

a

přepona

protilehlaacuteαsin

c

b

přepona

přilehlaacuteαcos

b

a

přilehlaacute

protilehlaacuteαtg

a

b

protilehlaacute

přilehlaacuteαgcot

7

Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1

Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute

v2 = 3 ms-1

a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu

řeky

Vyacuteslednou rychlost v

ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v

pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku

Vektory 1

v

a 2

v

vektorově složiacuteme 21

vvv

Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty

2

2

2

1vvv

122 sm52543 v

b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru

Řešeniacute

3

4tgα

2

1

v

vα = 53ordm

Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1

odklon od původniacuteho směru je 53ordm

8

2 KINEMATIKA

Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu

POZNAacuteMKA

Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod

Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat

a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute

vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu

Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou

polohovyacute vektor r

rychlost v

zrychleniacute a

21 DĚLENIacute POHYBŮ

Pohyby děliacuteme podle

a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)

1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v

maacute staacutele stejnyacute směr

2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v

měniacute svůj směr V každeacutem

okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po

kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute

Vektor

je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute

s vektorem rychlosti

Vektor n

je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru

rychlosti

b) Rychlosti

1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a

2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

2

OBSAH

1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY 4

11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY 4

12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN 6

2 KINEMATIKA 8

21 DĚLENIacute POHYBŮ 8

22 SLOŽENEacute POHYBY 12

23 POHYB PO KRUŽNICI 17

3 DYNAMIKA 23

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL 23

32 DRUHY SIL 25

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST 33

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE 35

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE 35

42 VYacuteKON 36

43 MECHANICKAacute ENERGIE 36

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA 39

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA 39

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA 39

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED 40

54 MOMENT SETRVAČNOSTI 41

55 MOMENT SIacuteLY 43

56 MOMENT HYBNOSTI 45

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU 46

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM POHYBU 46

6 HYDROSTATIKA 49

61 POVRCH KAPALINY 49

62 PASCALŮV ZAacuteKON 50

63 HYDROSTATICKYacute TLAK 51

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON 53

7 HYDRODYNAMIKA 54

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK 54

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU 55

73 BERNOULLIHO ROVNICE 55

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK 56

81 TEPLO TEPLOTA 56

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY 56

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK 58

84 TEPELNAacute VODIVOST 59

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE 60

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU 60

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute zaacutekon) 63

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE 64

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ 64

92 COULOMBŮV ZAacuteKON 64

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE 65

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE 66

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI 67

3

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY 68

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE 70

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI 70

102 ODPOR VODIČE 72

103 OHMŮV ZAacuteKON 73

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip74

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip82

4

1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY

11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY

Při pozorovaacuteniacute a popisu libovolneacuteho objektu viacuteme že zaujiacutemaacute určityacute prostor pohybuje se

měniacute se jeho vlastnosti působiacute na jinaacute tělesa apod

Fyzikaacutelniacute vlastnosti těles stavy i jejich změny ktereacute je možneacute změřit charakterizujeme

fyzikaacutelniacutemi veličinami

SOUSTAVY FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN A JEDNOTEK

Každaacute fyzikaacutelniacute veličina souvisiacute s mnoha jinyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami a jejich změnami

Proto už od počaacutetku 19 stoletiacute vznikaly soustavy veličin a jednotek

Při tvorbě těchto soustav se na začaacutetku voliacute určityacute počet veličin za zaacutekladniacute a k nim se

stanoviacute zaacutekladniacute jednotky

V Českeacute republice se podle zaacutekona č 3562 Sb smějiacute použiacutevat pouze zaacutekonneacute měřiciacute

jednotky ktereacute vychaacutezejiacute z Mezinaacuterodniacute soustavy jednotek označovaneacute SI (zkratka

francouzskeacuteho naacutezvu Systegraveme International d`Uniteacutes)

MEZINAacuteRODNIacute SOUSTAVA JEDNOTEK

Mezinaacuterodniacute soustavu jednotek (SI) tvořiacute

a) Sedm zaacutekladniacutech jednotek ktereacute odpoviacutedajiacute sedmi zaacutekladniacutem veličinaacutem

Zaacutekladniacute veličina Značka veličiny Zaacutekladniacute jednotka Značka jednotky

deacutelka l metr m

hmotnost m kilogram kg

čas t sekunda s

elektrickyacute proud I ampeacuter A

termodynamickaacute teplota T kelvin K

laacutetkoveacute množstviacute n mol mol

sviacutetivost I kandela cd

Každaacute zaacutekladniacute jednotka maacute svou definici uvedenou v českeacute staacutetniacute normě ČSN 01 1300

b) Dvě doplňkoveacute jednotky

Doplňkovaacute veličina Značka veličiny Doplňkovaacute jednotka Značkajednotky

rovinnyacute uacutehel α β γ hellip radiaacuten rad

prostorovyacute uacutehel Ω hellip steradiaacuten sr

5

c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin

(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze

zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů

odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V

mρ

Jednotka hustoty 3m

kgρ

Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků

např newton N ampeacuter A volt V aj1

Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při

naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např

d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon

z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky

hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute

nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute

Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti

tera- T 1 000 000 000 000 1012

giga- G 1 000 000 000 109

mega- M 1 000 000 106

kilo- k 1 000 103

mili- m 0001 10-3

mikro- μ 0000 001 10-6

nano- n 0000 000 001 10-9

piko- p 0000 000 000 001 10-12

V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2

m

Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute

exponenty u značek jednotek např

113

3kgN

kg

Nsm

s

mmkg

m

kg

Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min

apod)

1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů

pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)

Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera

Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj

druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem

bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)

6

12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN

Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na

a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou

hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P

energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute

s reaacutelnyacutemi čiacutesly

Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg

Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg

Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom

hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali

b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s

rychlost v

zrychleniacute a

siacutela F

hybnost p

atd)

V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem

Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se

stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie

POZNAacuteMKA

a) Pythagorova věta rarr c2 = a

2 + b

2

b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a

2 + b

2 -

2abcosγ

c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr

c

a

přepona

protilehlaacuteαsin

c

b

přepona

přilehlaacuteαcos

b

a

přilehlaacute

protilehlaacuteαtg

a

b

protilehlaacute

přilehlaacuteαgcot

7

Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1

Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute

v2 = 3 ms-1

a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu

řeky

Vyacuteslednou rychlost v

ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v

pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku

Vektory 1

v

a 2

v

vektorově složiacuteme 21

vvv

Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty

2

2

2

1vvv

122 sm52543 v

b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru

Řešeniacute

3

4tgα

2

1

v

vα = 53ordm

Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1

odklon od původniacuteho směru je 53ordm

8

2 KINEMATIKA

Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu

POZNAacuteMKA

Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod

Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat

a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute

vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu

Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou

polohovyacute vektor r

rychlost v

zrychleniacute a

21 DĚLENIacute POHYBŮ

Pohyby děliacuteme podle

a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)

1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v

maacute staacutele stejnyacute směr

2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v

měniacute svůj směr V každeacutem

okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po

kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute

Vektor

je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute

s vektorem rychlosti

Vektor n

je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru

rychlosti

b) Rychlosti

1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a

2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

3

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY 68

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE 70

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI 70

102 ODPOR VODIČE 72

103 OHMŮV ZAacuteKON 73

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip74

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip82

4

1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY

11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY

Při pozorovaacuteniacute a popisu libovolneacuteho objektu viacuteme že zaujiacutemaacute určityacute prostor pohybuje se

měniacute se jeho vlastnosti působiacute na jinaacute tělesa apod

Fyzikaacutelniacute vlastnosti těles stavy i jejich změny ktereacute je možneacute změřit charakterizujeme

fyzikaacutelniacutemi veličinami

SOUSTAVY FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN A JEDNOTEK

Každaacute fyzikaacutelniacute veličina souvisiacute s mnoha jinyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami a jejich změnami

Proto už od počaacutetku 19 stoletiacute vznikaly soustavy veličin a jednotek

Při tvorbě těchto soustav se na začaacutetku voliacute určityacute počet veličin za zaacutekladniacute a k nim se

stanoviacute zaacutekladniacute jednotky

V Českeacute republice se podle zaacutekona č 3562 Sb smějiacute použiacutevat pouze zaacutekonneacute měřiciacute

jednotky ktereacute vychaacutezejiacute z Mezinaacuterodniacute soustavy jednotek označovaneacute SI (zkratka

francouzskeacuteho naacutezvu Systegraveme International d`Uniteacutes)

MEZINAacuteRODNIacute SOUSTAVA JEDNOTEK

Mezinaacuterodniacute soustavu jednotek (SI) tvořiacute

a) Sedm zaacutekladniacutech jednotek ktereacute odpoviacutedajiacute sedmi zaacutekladniacutem veličinaacutem

Zaacutekladniacute veličina Značka veličiny Zaacutekladniacute jednotka Značka jednotky

deacutelka l metr m

hmotnost m kilogram kg

čas t sekunda s

elektrickyacute proud I ampeacuter A

termodynamickaacute teplota T kelvin K

laacutetkoveacute množstviacute n mol mol

sviacutetivost I kandela cd

Každaacute zaacutekladniacute jednotka maacute svou definici uvedenou v českeacute staacutetniacute normě ČSN 01 1300

b) Dvě doplňkoveacute jednotky

Doplňkovaacute veličina Značka veličiny Doplňkovaacute jednotka Značkajednotky

rovinnyacute uacutehel α β γ hellip radiaacuten rad

prostorovyacute uacutehel Ω hellip steradiaacuten sr

5

c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin

(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze

zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů

odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V

mρ

Jednotka hustoty 3m

kgρ

Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků

např newton N ampeacuter A volt V aj1

Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při

naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např

d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon

z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky

hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute

nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute

Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti

tera- T 1 000 000 000 000 1012

giga- G 1 000 000 000 109

mega- M 1 000 000 106

kilo- k 1 000 103

mili- m 0001 10-3

mikro- μ 0000 001 10-6

nano- n 0000 000 001 10-9

piko- p 0000 000 000 001 10-12

V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2

m

Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute

exponenty u značek jednotek např

113

3kgN

kg

Nsm

s

mmkg

m

kg

Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min

apod)

1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů

pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)

Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera

Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj

druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem

bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)

6

12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN

Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na

a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou

hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P

energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute

s reaacutelnyacutemi čiacutesly

Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg

Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg

Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom

hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali

b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s

rychlost v

zrychleniacute a

siacutela F

hybnost p

atd)

V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem

Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se

stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie

POZNAacuteMKA

a) Pythagorova věta rarr c2 = a

2 + b

2

b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a

2 + b

2 -

2abcosγ

c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr

c

a

přepona

protilehlaacuteαsin

c

b

přepona

přilehlaacuteαcos

b

a

přilehlaacute

protilehlaacuteαtg

a

b

protilehlaacute

přilehlaacuteαgcot

7

Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1

Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute

v2 = 3 ms-1

a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu

řeky

Vyacuteslednou rychlost v

ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v

pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku

Vektory 1

v

a 2

v

vektorově složiacuteme 21

vvv

Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty

2

2

2

1vvv

122 sm52543 v

b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru

Řešeniacute

3

4tgα

2

1

v

vα = 53ordm

Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1

odklon od původniacuteho směru je 53ordm

8

2 KINEMATIKA

Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu

POZNAacuteMKA

Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod

Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat

a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute

vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu

Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou

polohovyacute vektor r

rychlost v

zrychleniacute a

21 DĚLENIacute POHYBŮ

Pohyby děliacuteme podle

a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)

1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v

maacute staacutele stejnyacute směr

2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v

měniacute svůj směr V každeacutem

okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po

kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute

Vektor

je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute

s vektorem rychlosti

Vektor n

je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru

rychlosti

b) Rychlosti

1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a

2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

4

1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY

11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY

Při pozorovaacuteniacute a popisu libovolneacuteho objektu viacuteme že zaujiacutemaacute určityacute prostor pohybuje se

měniacute se jeho vlastnosti působiacute na jinaacute tělesa apod

Fyzikaacutelniacute vlastnosti těles stavy i jejich změny ktereacute je možneacute změřit charakterizujeme

fyzikaacutelniacutemi veličinami

SOUSTAVY FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN A JEDNOTEK

Každaacute fyzikaacutelniacute veličina souvisiacute s mnoha jinyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami a jejich změnami

Proto už od počaacutetku 19 stoletiacute vznikaly soustavy veličin a jednotek

Při tvorbě těchto soustav se na začaacutetku voliacute určityacute počet veličin za zaacutekladniacute a k nim se

stanoviacute zaacutekladniacute jednotky

V Českeacute republice se podle zaacutekona č 3562 Sb smějiacute použiacutevat pouze zaacutekonneacute měřiciacute

jednotky ktereacute vychaacutezejiacute z Mezinaacuterodniacute soustavy jednotek označovaneacute SI (zkratka

francouzskeacuteho naacutezvu Systegraveme International d`Uniteacutes)

MEZINAacuteRODNIacute SOUSTAVA JEDNOTEK

Mezinaacuterodniacute soustavu jednotek (SI) tvořiacute

a) Sedm zaacutekladniacutech jednotek ktereacute odpoviacutedajiacute sedmi zaacutekladniacutem veličinaacutem

Zaacutekladniacute veličina Značka veličiny Zaacutekladniacute jednotka Značka jednotky

deacutelka l metr m

hmotnost m kilogram kg

čas t sekunda s

elektrickyacute proud I ampeacuter A

termodynamickaacute teplota T kelvin K

laacutetkoveacute množstviacute n mol mol

sviacutetivost I kandela cd

Každaacute zaacutekladniacute jednotka maacute svou definici uvedenou v českeacute staacutetniacute normě ČSN 01 1300

b) Dvě doplňkoveacute jednotky

Doplňkovaacute veličina Značka veličiny Doplňkovaacute jednotka Značkajednotky

rovinnyacute uacutehel α β γ hellip radiaacuten rad

prostorovyacute uacutehel Ω hellip steradiaacuten sr

5

c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin

(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze

zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů

odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V

mρ

Jednotka hustoty 3m

kgρ

Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků

např newton N ampeacuter A volt V aj1

Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při

naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např

d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon

z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky

hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute

nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute

Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti

tera- T 1 000 000 000 000 1012

giga- G 1 000 000 000 109

mega- M 1 000 000 106

kilo- k 1 000 103

mili- m 0001 10-3

mikro- μ 0000 001 10-6

nano- n 0000 000 001 10-9

piko- p 0000 000 000 001 10-12

V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2

m

Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute

exponenty u značek jednotek např

113

3kgN

kg

Nsm

s

mmkg

m

kg

Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min

apod)

1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů

pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)

Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera

Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj

druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem

bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)

6

12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN

Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na

a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou

hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P

energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute

s reaacutelnyacutemi čiacutesly

Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg

Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg

Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom

hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali

b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s

rychlost v

zrychleniacute a

siacutela F

hybnost p

atd)

V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem

Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se

stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie

POZNAacuteMKA

a) Pythagorova věta rarr c2 = a

2 + b

2

b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a

2 + b

2 -

2abcosγ

c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr

c

a

přepona

protilehlaacuteαsin

c

b

přepona

přilehlaacuteαcos

b

a

přilehlaacute

protilehlaacuteαtg

a

b

protilehlaacute

přilehlaacuteαgcot

7

Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1

Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute

v2 = 3 ms-1

a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu

řeky

Vyacuteslednou rychlost v

ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v

pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku

Vektory 1

v

a 2

v

vektorově složiacuteme 21

vvv

Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty

2

2

2

1vvv

122 sm52543 v

b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru

Řešeniacute

3

4tgα

2

1

v

vα = 53ordm

Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1

odklon od původniacuteho směru je 53ordm

8

2 KINEMATIKA

Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu

POZNAacuteMKA

Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod

Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat

a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute

vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu

Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou

polohovyacute vektor r

rychlost v

zrychleniacute a

21 DĚLENIacute POHYBŮ

Pohyby děliacuteme podle

a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)

1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v

maacute staacutele stejnyacute směr

2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v

měniacute svůj směr V každeacutem

okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po

kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute

Vektor

je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute

s vektorem rychlosti

Vektor n

je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru

rychlosti

b) Rychlosti

1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a

2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

5

c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin

(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze

zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů

odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V

mρ

Jednotka hustoty 3m

kgρ

Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků

např newton N ampeacuter A volt V aj1

Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při

naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např

d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon

z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky

hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute

nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute

Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti

tera- T 1 000 000 000 000 1012

giga- G 1 000 000 000 109

mega- M 1 000 000 106

kilo- k 1 000 103

mili- m 0001 10-3

mikro- μ 0000 001 10-6

nano- n 0000 000 001 10-9

piko- p 0000 000 000 001 10-12

V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2

m

Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute

exponenty u značek jednotek např

113

3kgN

kg

Nsm

s

mmkg

m

kg

Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min

apod)

1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů

pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)

Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera

Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj

druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem

bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)

6

12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN

Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na

a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou

hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P

energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute

s reaacutelnyacutemi čiacutesly

Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg

Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg

Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom

hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali

b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s

rychlost v

zrychleniacute a

siacutela F

hybnost p

atd)

V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem

Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se

stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie

POZNAacuteMKA

a) Pythagorova věta rarr c2 = a

2 + b

2

b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a

2 + b

2 -

2abcosγ

c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr

c

a

přepona

protilehlaacuteαsin

c

b

přepona

přilehlaacuteαcos

b

a

přilehlaacute

protilehlaacuteαtg

a

b

protilehlaacute

přilehlaacuteαgcot

7

Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1

Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute

v2 = 3 ms-1

a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu

řeky

Vyacuteslednou rychlost v

ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v

pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku

Vektory 1

v

a 2

v

vektorově složiacuteme 21

vvv

Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty

2

2

2

1vvv

122 sm52543 v

b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru

Řešeniacute

3

4tgα

2

1

v

vα = 53ordm

Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1

odklon od původniacuteho směru je 53ordm

8

2 KINEMATIKA

Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu

POZNAacuteMKA

Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod

Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat

a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute

vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu

Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou

polohovyacute vektor r

rychlost v

zrychleniacute a

21 DĚLENIacute POHYBŮ

Pohyby děliacuteme podle

a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)

1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v

maacute staacutele stejnyacute směr

2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v

měniacute svůj směr V každeacutem

okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po

kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute

Vektor

je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute

s vektorem rychlosti

Vektor n

je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru

rychlosti

b) Rychlosti

1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a

2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

6

12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN

Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na

a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou

hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P

energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute

s reaacutelnyacutemi čiacutesly

Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg

Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg

Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom

hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali

b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s

rychlost v

zrychleniacute a

siacutela F

hybnost p

atd)

V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem

Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se

stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie

POZNAacuteMKA

a) Pythagorova věta rarr c2 = a

2 + b

2

b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a

2 + b

2 -

2abcosγ

c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr

c

a

přepona

protilehlaacuteαsin

c

b

přepona

přilehlaacuteαcos

b

a

přilehlaacute

protilehlaacuteαtg

a

b

protilehlaacute

přilehlaacuteαgcot

7

Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1

Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute

v2 = 3 ms-1

a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu

řeky

Vyacuteslednou rychlost v

ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v

pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku

Vektory 1

v

a 2

v

vektorově složiacuteme 21

vvv

Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty

2

2

2

1vvv

122 sm52543 v

b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru

Řešeniacute

3

4tgα

2

1

v

vα = 53ordm

Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1

odklon od původniacuteho směru je 53ordm

8

2 KINEMATIKA

Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu

POZNAacuteMKA

Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod

Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat

a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute

vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu

Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou

polohovyacute vektor r

rychlost v

zrychleniacute a

21 DĚLENIacute POHYBŮ

Pohyby děliacuteme podle

a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)

1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v

maacute staacutele stejnyacute směr

2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v

měniacute svůj směr V každeacutem

okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po

kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute

Vektor

je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute

s vektorem rychlosti

Vektor n

je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru

rychlosti

b) Rychlosti

1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a

2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

7

Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1

Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute

v2 = 3 ms-1

a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu

řeky

Vyacuteslednou rychlost v

ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v

pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku

Vektory 1

v

a 2

v

vektorově složiacuteme 21

vvv

Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty

2

2

2

1vvv

122 sm52543 v

b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru

Řešeniacute

3

4tgα

2

1

v

vα = 53ordm

Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1

odklon od původniacuteho směru je 53ordm

8

2 KINEMATIKA

Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu

POZNAacuteMKA

Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod

Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat

a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute

vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu

Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou

polohovyacute vektor r

rychlost v

zrychleniacute a

21 DĚLENIacute POHYBŮ

Pohyby děliacuteme podle

a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)

1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v

maacute staacutele stejnyacute směr

2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v

měniacute svůj směr V každeacutem

okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po

kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute

Vektor

je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute

s vektorem rychlosti

Vektor n

je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru

rychlosti

b) Rychlosti

1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a

2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

8

2 KINEMATIKA

Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu

POZNAacuteMKA

Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod

Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat

a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute

vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu

Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou

polohovyacute vektor r

rychlost v

zrychleniacute a

21 DĚLENIacute POHYBŮ

Pohyby děliacuteme podle

a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)

1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v

maacute staacutele stejnyacute směr

2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v

měniacute svůj směr V každeacutem

okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po

kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute

Vektor

je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute

s vektorem rychlosti

Vektor n

je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru

rychlosti

b) Rychlosti

1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a

2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do

souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r

Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)

Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho

vektoru 12rrr

Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru

ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

vektorupolohoveacutehozměna

t

rv

Jednotkou rychlosti je ms-1

POZNAacuteMKA

Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme

infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak

t

sv

p

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

ZRYCHLENIacute

Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se

zrychleniacutem a

Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu

intervalčasovyacute

rychlostizměna

t

va

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

10

Jednotkou zrychleniacute je ms-2

ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute

Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu

Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute

Potom v = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute

vztah

0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu

Potom a = konst

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

11

Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu platiacute vztah

0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou

Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah

00

2

2

1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha

Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že

použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se

zaacutepornyacutem znameacutenkem

Platiacute vztahy

0vatv tvats 02

2

1

VOLNYacute PAacuteD

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

12

Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně

puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme

tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g

Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2

Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1

a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak

gtv 2

2

1gts

Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase

Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem

znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho

pohybu parabola

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB

Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme

ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute

konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců

Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute

a integrovaacuteniacute

22 SLOŽENEacute POHYBY

Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů

Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute

Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem

tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru

svisleacutem

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

13

VRH SVISLYacute VZHŮRU

Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst

POZNAacuteMKA

Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute

rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat

21sss

21

vvv

Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat

Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy

20

2

1tgtvs tgvv 0

Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute

těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste

Doba vyacutestupu

Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute

vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1

ms0v

Pak vtgv 00 Odtud platiacute

gtv

0v

Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než

doba vyacutestupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

14

Maximaacutelniacute vyacuteška

Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v

t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty

pro vyacutešku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1

Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška

g

vs

2

20

max

VRH VODOROVNYacute

Je složen ze dvou pohybů

1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem

směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem

pohybem ve směru osy x

Pro draacutehu a rychlost platiacute

tvx 0 konstvv 0x

2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y

Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat

volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute

2

2

1tgy tgv y

Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase

Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

VRH ŠIKMYacute

Tento vrh je složen ze dvou pohybů

Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v

Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů

Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto

tgvvy sin0

y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste

na maximaacutelniacute hodnotu

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi

16

Celkovaacute rychlost v

bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv

Jejiacute velikost určiacuteme

pomociacute Pythagorovy věty

2y

2x vvv

x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy

αtvx cos0 20

2

1sin tgαtvy

Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa

v libovolneacutem časoveacutem okamžiku

Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0

Doba vyacutestupu

Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute

vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv

Doba vyacutestupu je

g

αvt

sin0v

Doba letu vL tt 2

Maximaacutelniacute vyacuteška

Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv

Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy

Po uacutepravě dostaneme g

αvy

2

sin220

max

Maximaacutelniacute dolet

Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro

hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 0

0L0max

Po uacutepravě dostaneme g

ααvx

cossin220

max

Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute

dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g

αvx

2sin20

max

Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla

počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem

23 POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je

kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do

původniacuteho postaveniacute

18

Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se

nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT

Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se

použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1

Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah

Tf

1

Obvodoveacute veličiny

Obvodovyacutemi veličinami jsou

draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice

obvodovaacute rychlost v

dostřediveacute zrychleniacute da

(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na

)

tečneacute zrychleniacute ta

(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta

)

celkoveacute zrychleniacute a

(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)

Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem

(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru

rychlosti v

Platiacute

r

van

2

Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna

19

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti

1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr

Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb

0 stvskonstv

r

vad

2

protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute

2-ms0ta

2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr

platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

0vtav t

00

2

2

1stvtas t

r

van

2

normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti

t

vat

tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru

rychlosti

Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje

Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici

U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v

u zpomaleneacuteho pohybu maacute

opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v

20

Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta

S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem

složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a

ntaaa

Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa

Uacutehloveacute veličiny

Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech

uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

uacutehloveacute zrychleniacute

Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute

Uacutehlovaacute draacuteha

představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po

kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad

Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po

kružnici uraziacute

21

Uacutehlovaacute rychlost

je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads

O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme

vyjaacutedřit ve tvaru

fπ2T

π2ω

Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute

Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti

Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem

zrychleniacutem

Uacutehloveacute zrychleniacute

představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během

časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads

Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami

rs

rv

rat

Uacutehlovaacute draacuteha

uacutehlovaacute rychlost

a uacutehloveacute zrychleniacute

jsou vektoroveacute veličiny Vektory

ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou

kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv

x rat

x

Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r

do roviny rotace

22

Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute

vztahy

Rovnoměrnyacute pohyb

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb

002

1stvtas 2

t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3 DYNAMIKA

Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů

a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil

31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL

Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele

Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů

ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě

Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F

Jednotkou siacutely je newton NF

Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles

V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam

Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm

Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute

stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem

je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute

v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu

Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa

Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě

charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p

Je definovanaacute vztahem

vmp

Jednotkou hybnosti je -1kgmsp

24

ZAacuteKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno

vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit

V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit

konst vmp

N0F

Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti

ZAacuteKON SIacuteLY

Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute

Těleso se pohybuje se zrychleniacutem

amF

Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu

může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar

Platiacute

am

t

vm

t

vm

t

pF

Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute

Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute

Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu

V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb

a) N0F pak bude zrychleniacute -2

ms0a pohyb je rovnoměrnyacute

b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2

ms 0konsta pohyb je rovnoměrně

zrychlenyacute (zpomalenyacute)

c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute

(zrychlenyacute)

ZAacuteKON AKCE A REAKCE

Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute

25

Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi

silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely

32 DRUHY SIL

SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF

Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve

stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela

Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n

a

působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF

Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t

a

působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t

F

r

vmamF nn

2

t

vmamF tt

Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)

Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje

Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF

Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22

ntFFF

SIacuteLA TIacuteHOVAacute

Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG

kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso

26

POZNAacuteMKA

Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2

Z

Zg

R

mMF kteraacute je orientovanaacute do středu

Země a siacutely odstřediveacute r

vmF

od

2

Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je

kolmaacute k ose rotace

odgGFFF

Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce

Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute

gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z

M je hmotnost Země Z

R je poloměr

Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211

kgNm10676

je gravitačniacute

konstanta

Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty

dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g

Pak tiacutehovaacute siacutela je

gmFG

Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute

paacuted těles

Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich

zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2

sm819g

Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o

siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou

27

SIacuteLY TŘECIacute

Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute

siacutela TtakeacuteneboFtř

působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute

Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se

uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou

charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )

Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash

normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu

NfFtř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela

GF

Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř

FfF

U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit

Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže

budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je

nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem

28

Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak

působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela

N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem

pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F

překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r

NFtřv

Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem

valiveacuteho třeniacute mξ

Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute

SIacuteLY ODPOROVEacute

Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso

překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute

čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute

Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute

v Fodp konst

Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp

Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah

2

2

1vCSF odpodp kde

29

C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru

pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost

SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu

bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G

F

kteraacute je orientovanaacute

svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna

složka 1F

je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F

je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je

kolmaacute k nakloněneacute rovině

Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto

αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třeciacute siacutely

2FfNfF

tř

Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu

coscos mgfFfFGtř

30

Siacutely třFF

1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu

cossin1

mgfmgFFFtř

V přiacutepadě že tř

F gt1

F zůstane těleso v klidu

Jestliže tř

F lt1

F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny

Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar

cossin fmgF

Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute

pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute

002

2

1stvats 0vatv

POZNAacuteMKA

Pokud platiacute že 1

FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg

SIacuteLY SETRVAČNEacute

Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny

soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem

Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem

V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely

Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy

Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)

soustav

Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se

zrychleniacutem a

všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem

působeniacute setrvačneacute siacutely

amFs

kde m je hmotnost tělesa a

je zrychleniacute soustavy

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely

31

Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu

Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela

kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil

sGFFF

Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute

siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu

sGFFF

Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem

Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti

Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa

se středem

Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině

Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou

odstředivou

r

vmamF

ns

2

32

POZNAacuteMKA

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na

siacutelu dostředivou

Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t

F

pak proti teacuteto siacutele je

orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela

Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je

neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven

z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute

tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF

SIacuteLY PRUŽNOSTI

V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa

byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar

Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute

siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute

Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi

čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute

33

nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF

Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp

kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute

vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko

bdquominusldquo

V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav

napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute

Platiacute

S

F

Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2

33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST

Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely

Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F

pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou

pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je

určena vztahem vmp

V časoveacutem okamžiku 1

t maacute těleso hybnost 11

vmp

v časoveacutem okamžiku 2

t maacute těleso

hybnost 22

vmp

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

pak po uacutepravě na tvar

pvmtF

vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu

Platiacute

tFI

Jednotkou impulsu siacutely je I

=Ns

34

Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti

pppI

12

35

4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

41 MECHANICKAacute PRAacuteCE

Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely

Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)

Praacutece je skalaacuterniacute veličina

Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci

Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod

určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)

Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou

navzaacutejem kolmyacutech složek 21

FF

Složka 1

F

posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute

funkce kosinus cos1

FF

Složka 2

F

je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme

vztahem sin2

FF

V přiacutepadě že je siacutela konstF

pak platiacute

cos1

sFsFW

Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psaacutet sFW

a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F

a posunutiacute s

36

42 VYacuteKON

Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece

Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest

anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina

Rozlišujeme vyacutekon

a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas

t

WP

b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku

Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a

rychlosti v

kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje

vFt

sFP

43 MECHANICKAacute ENERGIE

Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci

Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute

Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina

KINETICKAacute ENERGIE

Kinetickaacute energie k

E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute

z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1

v a pod

vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2

v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně

kinetickeacute energie k

E tělesa

37

Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos

Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 12

2

1

2

22

1

2

1

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle

vztahu

2

2

1vmE

k

Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie

klesaacute

POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich

polohu ovlivňuje

Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii

a) tiacutehovou (G

F )

b) gravitačniacute (g

F )

c) elektrostatickaacute (e

F )

d) pružnosti (p

F )

Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1

h do vyacutešky 2

h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely

gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci

38

Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos

Potom platiacute

Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212

Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme

podle vztahu

hgmEp

Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie

tiacutehovaacute se zmenšuje

Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute

pkEE

0E pkE

0 pk EE

Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute

konstpk

EEE

Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie

Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie

přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou

39

5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA

Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)

ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa

Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec

způsobit deformaci tělesa

Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil

Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem

Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar

tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů

51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa

v daneacutem okamžiku platiacute

pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v

na všechny působiacute stejnaacute siacutela F

během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)

52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA

Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo

těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute

k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute

pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f

pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2

pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti

libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute

na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet

k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci

53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED

Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna

vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF

pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely

Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem

vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)

Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů

m

xm

mmm

xmxmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

ym

mmm

ymymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

m

zm

mmm

zmzmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211

kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn

= m

Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak

aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)

Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body

V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace

V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny

41

54 MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute

hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina

POZNAacuteMKA

Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme

praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak

měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus

si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce

Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od

těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r

zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude

2rmJ

Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy

otaacutečeniacute

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry

Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat

V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů

42

n

i

innn JrmrmrmrmJJJJJ1

2233

222

211321

Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy

Řešeniacute

lunce Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte

Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem

počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute

U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T

J některyacutech

pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny

v tabulkaacutech Např

vaacutelec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr vaacutelce

m je hmotnost vaacutelce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je deacutelka tyče

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNIacute POLOMĚR

V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr

Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit

všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ Pak

m

JR

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy

neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm

2dmJJ

T

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm

m je hmotnost tělesa

d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy

55 MOMENT SIacuteLY

Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely

na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M

Moment siacutely M

je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F

působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem

pevneacuteho bodu

Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely

Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r

Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely

Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech

cos1 FF

sin2 FF

44

Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F

kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r

Je to

složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho

vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F

prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je

to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)

Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2

Po dosazeniacute je

sinFrM

Jednotkou momentu siacutely je M = Nm

POZNAacuteMKA

Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute

algebry bac

sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr

a

Pak platiacute

FrM

Vyacuteslednyacute vektor M

je kolmyacute k vektoru r

i k vektoru F

POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně

ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute

Kladnyacute smysl vektoru M

určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem

bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely

Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M

určiacuteme pomociacute determinantu

45

Př Určete vektor momentu siacutely M

kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM

Polohovyacute vektor kjir

32 vektor siacutely kjiF

23

Řešeniacute

kjijikjki

kji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777

Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu

Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa

1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu

2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu

Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb

translačniacute

Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je

rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil

n

i

in MMMMMM1

321

56 MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem

pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu

Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute

vztahem

Jb

Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads

-1

Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti

Vektor momentu hybnosti b

je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely

M

Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute

pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute

vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven

nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute

46

57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru

t

b

tJJM

Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M

pak se těleso otaacutečiacute

s uacutehlovyacutem zrychleniacutem

Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost

a tiacutem i moment hybnosti

b

Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou

se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8

Řešeniacute

Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-

0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa

-1rads0

Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute

ttt

0

00

Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t

JM

0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas

Pak s308

012200

M

ωωJt

58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM

POHYBU

PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY

V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F

(označili jsme 2F

) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute

těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r

vykonaacute praacuteci

MW

Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule

47

VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY

Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute

praacutece

Platiacute t

WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme

Mt

MP

Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt

KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se

pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute

praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie

Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme

vyjaacutedřit vztahem

kkkEEEW

12

Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu

2

2

1JW

Jednotkou je joule

Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se

valiacute rychlostiacute 2 ms-1

Řešeniacute

Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2

2

1rmJ

48

Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku

vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy

otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T

Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk

Po dosazeniacute dostaneme

J7505044

3 2 kE

Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb

Translačniacute pohyb

Rotačniacute pohyb

draacuteha s

rovnoměrnyacute pohyb 0stvs

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1stvtas

uacutehlovaacute draacuteha

rovnoměrnyacute pohyb 0 t

rovnoměrně zrychlenyacute 00

2

2

1 tt

rychlost

rovnoměrnyacute pohyb v= konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv

uacutehlovaacute rychlost

rovnoměrnyacute pohyb konst

rovnoměrně zrychlenyacute 0 t

zrychleniacute t

va

uacutehloveacute zrychleniacute

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

siacutela amF moment siacutely JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

praacutece sFW praacutece

MW

kinetickaacute energie translačniacute 2

2

1vmE

k kinetickaacute energie rotačniacute

2

2

1JE

k

vyacutekon t

WP vyacutekon

t

WP

49

6 HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu

Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby

ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)

dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi

S rostouciacute teplotou měniacute objem

K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute

jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav

tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku

plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S

Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)

hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny

Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V

m Jednotkou je kgm

-3

rychlost v

kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t

sv

kde s

je element draacutehy a t

je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1

61 POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na

kapalinu působiacute

1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute

na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy

vodorovnyacute povrch

Povrch kapaliny v klidu

2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely

ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby

Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven

uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F

50

Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu

Určiacuteme ho pomociacute funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan

3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě

tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr

rm

r

vmFod

2222

kde v je

rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na

tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě

Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu

62 PASCALŮV ZAacuteKON

Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu

Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a

šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně

51

Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U

ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute

objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak

21 VV

2211 sSsS

Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F

při posunutiacute piacutestu 1S

rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme

2211 sFsF

Děleniacutem rovnic dostaneme

2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona

Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače

řiacutezeniacute lisyhellip

63 HYDROSTATICKYacute TLAK

Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou

kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute

dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru

ghp

POZNAacuteMKA

Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute

hydrostatickyacute tlak určujeme

52

SPOJENEacute NAacuteDOBY

Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob

Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu

Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že

21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude

stejnaacute

Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )

pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy

hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2

1

2

1

h

h

Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY

Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar

ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute

(hydrostatickeacute paradoxon)

Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby

53

64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON

Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute

velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon

Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny

vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa

Archimeacutedův zaacutekon

Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou

rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na

dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz

Pak postupnou uacutepravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz

Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru

gVFvz

POZNAacuteMKA

Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno

celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m

je hmotnost vytlačeneacute kapaliny

Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru

Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu

Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je

orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou

siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je

hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady

12 pak těleso klesaacute ke dnu

12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute

12 pak těleso stoupaacute k hladině

54

7 HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin

71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK

Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S

Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok

Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu

t

VQV

Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s

-1

Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s

pak

t

sS

t

VQV

a tedy

vSQV

Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu

Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku

času Pro hmotnostniacute tok platiacute

t

mQm

Jednotkou je kgs-1

Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak

t

V

t

V

t

mQm

Vm QQ

55

72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute

popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona

zachovaacuteniacute energie

Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde

jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)

21 VV QQ

protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute

2211 vSvS

Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity

V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute

73 BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute

maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak

dojde k jejich změně

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1

Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa

Člen 2

2

1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak

POZNAacuteMKA

Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute

(skutečneacute)

56

8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK

81 TEPLO TEPLOTA

Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je

kelvin KT

Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah

tT C15273

Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se

zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic

Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ

Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme

vztahem

12 TTcmTcmQ

kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita

Platiacute že

Tm

Qc

Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se

zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1

K-1

Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat

Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K

cmK 12 TTkQ

Jednotkou 1JKK

82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY

Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato

skupenstviacute

pevneacute

kapalneacute

plynneacute

57

TAacuteNIacute TUHNUTIacute

Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute

teplo taacuteniacute

mlQ t

kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1

Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute

dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty

Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje

Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute

Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute

vznikaacute při ochlazovaacuteniacute

Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za

teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala

pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky

a stejneacute hmotnosti

Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně

Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje

SUBLIMACE DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)

Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace

mlQ s

ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1

Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)

VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE

Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se

vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute

58

Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

mlQ v

je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute

skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute

Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu

(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při

určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny

ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu

83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a

zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice

kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti

čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry

DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak

můžeme zanedbat

Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na

teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll

Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute

konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -

Pak platiacute že

tll 0

Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti

tl

l

0

Jednotkou je K-1

Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku

tll 10

Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute

0l

l

Je to bezrozměrneacute čiacuteslo

59

PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK

Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při

zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute

oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude

22

0

2

0000 21111 ttStbatbtabaS

Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat Pak

tSS 210

OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN

U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je

taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude

3322

0

3

000 3311 tttVtcbacbaV

Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat

Pak

tVtVV 131 00

kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1

Je v poměrně

širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě

U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10

Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute

nerovnoměrně

Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty

těles Platiacute

ttV

m

V

m

11

0

0

Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech

měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet

84 TEPELNAacute VODIVOST

Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q

přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T

Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je

60

Sd

TTQ 12 S

d

TQ

kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je

čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky

s jednotkou Wm-1

K-1

85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE

Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute

doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T

Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie

TTcmTTcm 222111

POZNAacuteMKA

Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech

přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit

86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem

plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT

Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že

hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst

Platiacute vztah

M

mn

kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu

Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm

Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu

TRnVp TRM

mVp

kde R=8314 Jkg-1

K-1

Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute

Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet

stavovou rovnici pro změnu stavu

61

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela

konkreacutetniacutech podmiacutenek

IZOCHORICKYacute DĚJ

Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho

objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu

Pak 21 VV a rovnice je

2

2

1

1

T

p

T

p

IZOBARICKYacute DĚJ

Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat

objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute

Pak 21 pp a rovnice je

62

2

2

1

1

T

V

T

V

IZOTERMICKYacute DĚJ

Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu

konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu

Pak 21 TT a rovnice je

2211 VpVp

ADIABATICKYacute DĚJ

Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani

neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně

nedojde

Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při

adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie

2211 VpVp

kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14

Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute

POZNAacuteMKA

Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je

zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech

63

87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute

zaacutekon)

Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě

s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q

Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute

rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu

naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby

Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady

zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU

zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW

Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru

WUQ

Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn

vykonaacute

POZNAacuteMKA

Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste

Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci

Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar

děj U W

izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ

izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ

izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ

adiabatickyacute klesaacute konaacute WU

64

9 ELEKTROSTATICKEacute POLE

Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky

nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli

91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ

Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb

Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo

zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou

jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n

Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee

hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu

Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe

hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu

Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu

Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto

XA

Z

Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet

nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře

určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN

92 COULOMBŮV ZAacuteKON

Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou

02

04

1r

r

qQF

r

r 0

kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti

prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212

0 mNC108548 je permitivita vakua r je

relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r

je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely

65

93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na

kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)

Siločaacutery elektrickeacuteho pole

Intenzita E

je vektorovaacute veličina

v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole

je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře

je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu

Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do

vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou

02

04

1r

r

qQF

r

Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F

a

vloženeacuteho naacuteboje q

q

FE

Jednotkou intenzita je NC-1

Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme

q

rr

qQ

E r

02

04

1 pak

02

04

1r

r

QE

r

66

Vektor intenzity elektrickeacuteho pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE

Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)

Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE

94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE

Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina

Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv

ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)

Vektor intenzity E

je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše

67

Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina

napětiacute

12 U

Jednotkou je volt V1U

Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah

12 xxEU nebo dEU

POZNAacuteMKA

Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1

95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI

Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E

Do

tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF

a uděliacute mu podle

II Newtonova zaacutekona zrychleniacute

m

Eq

m

Fa

kde m je hmotnost naacuteboje

Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom

vykonaacute praacuteci

68

2

1

2

22

1

2

1mvvmEW k

Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F

a posunutiacute sd

sEqsFW

Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem

potenciaacutelu 12 U platiacute

dEU 12

Pak

UqdEqW

Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak

2

1

2

22

1

2

1mvvmUqW

POZNAacuteMKA

Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic

96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY

Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato

vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F

Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute

tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti

opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami

vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU

Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy

U

QC

d

SC r 0

ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ

Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou

Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute

desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj

zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute

Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute

69

Vyacuteslednaacute kapacita je

21

111

CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe

Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute

Vyacuteslednaacute kapacita je

21 CCC

Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane

70

10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE

Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem

Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI

K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute

Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na

Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek

Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje

101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI

K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou

pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh

Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny

elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se

z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv

elektronovyacute plyn

Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve

vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E

71

Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe

a přinutiacute elektrony

pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity

Vznikne elektrickyacute proud I

t

QI

Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t

Celkovyacute naacuteboj

qnQ nebo pro elektron enQ

Kde e =160210-19

C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)

72

Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute

POZNAacuteMKA

Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho

poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)

102 ODPOR VODIČE

Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se

jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm

R

Velikost odporu je daacutena vztahem

S

lR

Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče

Jednotky jsou mmm 2 Sl

S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů

a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a

roste odpor

TRR 10

Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel

odporu s jednotkou 1K

00 1 TTRR

ŘAZENIacute REZISTORŮ

Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor

Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou

Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U

Vyacuteslednyacute odpor je

21 RRR

73

Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe

Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute

jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute

Vyacuteslednyacute odpor je

21

111

RRR

103 OHMŮV ZAacuteKON

Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče

Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo

uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče

Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak

RI

U IRU

Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU

IG

1 jednotkou je siemens SG

JOULEOVO TEPLO

Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky

Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute

Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ

Množstviacute tepla zaacutevisiacute na

počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I

rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U

době t po kterou proud prochaacuteziacute

Platiacute

tIUQ

VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU

Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu

Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je

IUt

tIU

t

QP

Jednotkou je watt WP

74

11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute

Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou

vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se

periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute

objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor

Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je

studujeme nejdřiacuteve

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž

dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při

periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity

magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute

rovnice

111 Siacutela pružnosti

112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti

pružiny je Nm-1

Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na

prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce

z rovnovaacutežneacute polohy y

yF kp

Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb

Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A

Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a

okamžiteacute vyacutechylky je metr

Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem

Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice

pohybem po kružnici

75

Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T

podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota

doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je

Hz=s-1

Platiacute

že T

f1

Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT

22

Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze

Jednotkou je rads-1

jednotkou faacuteze je rad

Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t

112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp

Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam

Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)

0

sin tAy

kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho

pohybum

k

2

0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje

velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu

Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky

y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute

funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem

Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o

16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce

a) Jakaacute je tuhost pružiny

76

b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute

pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů

Řešeniacute

m =4 kg y = 016 k =

a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak

25245160

8194 kk

y

gmkgmyk Nm

-1

Tuhost pružiny je 24525 Nm-1

b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245

5022

4

2

22

k

mT

Tmk s

Perioda kmitů je 0284 s

113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře

představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute

v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč

zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute

Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času

Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro

vyacutechylku podle času a dostaneme

0

cosd

d tA

t

yv

kde vyacuteraz Av 0

představuje maximaacutelniacute rychlost 0

v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute

rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute

Pak rovnice

00

cos tvv

je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele

Pak zrychleniacute je

0

2sin

d

d tA

t

va

kde vyacuteraz 2

0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute

0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod

v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute

Pak rovnice zrychleniacute je

00

sin taa

77

Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu

jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem

65sin40

ty (ms)

Řešeniacute

Z rovnice pro vyacutechylku 0

sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci

-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi

60

rad

a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0

cos tAv

Pak

610cos540

625cos540

v

Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

452

3143540

6cos540

v ms

-1

b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0

2sin tAa

Pak

610sin540

65sin540

22

ta

Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet

3492

1143540

6sin540

22

a ms

-2

Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1

velikost zrychleniacute

teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2

78

114 Praacutece sil pružnosti

Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti

ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW

cosddd sFsFW

Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180

Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti

Pak praacutece sil pružnosti je

2

2

1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p

2

2

1ykW

115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při

jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat

Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute

energie rovna praacuteci

WE p

Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti

Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu

z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti

ykFp

Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)

2

0

22

2

1

2

1

2

1d

0

0

kykyykykyWEy

y

y

y

p

kde m00 y pak

2

2

1ykE p

Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute

energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute

energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost

v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem

0

22sin

2

1 tAkE

p

Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

79

Poznaacutemka

V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a

jejiacute hodnota je určenaacute vztahem

2

max 2

1AkE

p

116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2

2

1vmE

k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu

pro rychlost 0

cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme

0

222cos

2

1 tAmE

k

Použitiacutem vztahu

m

k

2

zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru

0

22cos

2

1 tAkE

k

Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho

pohybu svou velikost

Poznaacutemka

Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou

polohou je maximaacutelniacute

Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem

2

max 2

1AkE

k

117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu

Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie

kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep

pkEEE

Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti

dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu

80

0

22

0

22sin

2

1cos

2

1 tAktAkEEE

pk

Uacutepravou ziacuteskaacuteme

2

0

2

0

22

2

1sincos

2

1AkttAkE

Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah

2

2

1AkE

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů

je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute

Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu

Řešeniacute

m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1

Ep =

Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2

2

1ykE

p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě

363222

1

2

1 2222 AmE

p J

Potenciaacutelniacute energie je 36 J

81

Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice

ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii

009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii

Řešeniacute

m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1

Ep = 009 J Ek =

Celkovaacute energie 2

2

1AkE je rovna součtu EEE

kp Pak

27009020322

1

2

1 222

ppkEAmEEE J

Kinetickaacute energie je 0027 J

Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute

energie tělesa je 310-5

J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3

N Určete

amplitudu vyacutechylky

Řešeniacute

T = 2 s E = 310-5

J Fm =1510-3

N A =

Celkovaacute energie je 2

2

1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF

m Vyjaacutedřiacuteme

A

Fk m

Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak

5

3

52

1041051

10322

2

1

2

1

mm

m

F

EAAFEA

A

FE m

Amplituda vyacutechylky je 410-5

m

82

12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu

nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy

Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak

se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body

tohoto prostřediacute

Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute

Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna

Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině

po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu

V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna

Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou

Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute

Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby

v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute

průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem

121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute

Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne

lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech

1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna

83

2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna

122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute

V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis

rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu

t

sv

Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute

vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m

Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)

Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1

) Platiacute

Tf

1

Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1

nebo teacutež Hz

Uacutehlovaacute frekvence (rads-1

) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem

Tf

22

Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem

T

v

nebo fv

Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute

84

Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři

přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute

deacutelka

Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1

a

rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1

Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute

=12 rads-1

v = 6 ms-1

Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f

v

Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak

2f

Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112

262

vm

Vlnovaacute deacutelka je 1 m

123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny

Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou

rovniciacute

tAu sin

Poznaacutemka

Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute

u

Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem

Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru

-tsinAu

Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak

v

xxv

Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku

v

xtAu -sin

Protože faacutezovaacute rychlost je T

v

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin

85

Vzhledem k tomu že T

2 pak

xTt

TAu

2sin

Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici

x

T

tAu 2sin

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od

zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t

Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů

jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute

Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo

by v rovnici kladneacute znameacutenko

Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje

rychlostiacute 80 ms-1

a) v kladneacutem směru osy x

b) v zaacuteporneacutem směru osy x

Řešeniacute

f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1

a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je

x

T

tAu 2sin

Vlnovaacute deacutelka

m240

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko

m2

40sin202sin

xt

xtfAu

124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel

Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku

86

x

T

tAu 2sin

upraviacuteme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin

A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu

tAu sin

pak člen

x

2

představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu

Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel

bude

xxxxx

2222 12

1212

Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x

Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu

naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2

2

kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute

rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima

a minima současně

Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute

Hz400f

87

Řešeniacute

x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1

f = 400 Hz

Faacutezovyacute rozdiacutel je

12

2xx

K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku

m320400

128

f

v

Pak

rad2320320

2160480

320

2

Body budou ve faacutezi