�
����� ������
����������� ������� ������������������ �� �
�� �� ������� ��
��������� ������ ���������
���������� �� ��
���������� �� ����� � ������� ��������� �� ��
��������� ��������� �� �����
���� �� � ���!"#� ���
����� �� ����� � ������ �����
���$ �% ����!"�!� �����!&� �'�!&�(
�"��!��� �� ���"�$ �% ��)*� ��+���� ,")�
����� ��������
����"�����$ �% ����!"�!� ��-�" .��('��(
��!�����"�$ �% ���/ ���*� �������� ����'���(
��!����$ �% �"!&�� �&���"�(
�% ����")� ����*��(0��� ��1�����
�% ���! ��+� ������
��!���� �+�������$ �% ���2� ����3�� ���4�
�% �"!���� ��!"'� ����*��(
�����!"�� �"� �� 5667
���� ����� � �� ����������� � ����� �� ����� �� ������ �� �������
��������� �� ����!!����������������!������ �
��
������ �����
�� ������
��� �
"�"� #��������� �� �� ������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "
"��� $��������%� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &
"�&� '����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (
� ������������� �� ��� ������� �� ��� ���� ���� �
��"� )�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
���� *���+� �� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,
��&� ��������� )���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "�
��&�"� ��������� �� -�����./��0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "�
��&��� ���������� �� �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "(
��(� 1��������� �� ��� $������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2
�� �������� ��������������� �
&�"� )�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3
&�"�"� �� ������� �� ��������4��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &2
&�"��� ��������� �� ��� ��������� ��������4���� � � � � � � � � � � � � � ("
&�"�&� �5����� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (6
&��� ���������� �� ��� ��������� � ��� ������� &* � � � � � � � � � � � � 6"
���
�� ������ �����
&���"� ����7�������� � ��� ��������� �� -�����./��0�� � � � � � � � 66
&����� *�������4��� 1���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 63
&���&� 8�������� ��9���� �� ��� 8��:�� � � � � � � � � � � � � � � � � 2&
&���(� *�������4��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2
&�&� $9����� �� /����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3
&�&�"� $9����� � �������� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � ,�
&�&��� $9����� � �������� � ������������� � � � � � � � � � � � � � � ,6
&�&�&� $9����� �� �������� �� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � ,2
&�&�(� $9����� $��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,2
&�(� ;������ �� ��� ��������� ��9����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,,
&�(�"� *������� ��9���� �
������ ����� �
&���6� $������� �� ���� ����� �� ����� *����� �� )�)� � � � � � � � � � "&2
&���2� $������� �� ������4������ �� �������� � � � � � � � � � � � � � "(�
�� ���������� ��� �������� �� ��������� �� ������ ���
(�"� )�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "(�
(��� *�������4��� �� ��� ��������� �� ;����� � � � � � � � � � � � � � � � "6�
(�&� *�������� �� ��� ���������� �� ������� ����������� � � � � � � � "6(
(�&�"� *����� �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "6(
(�&��� =������ ��� ������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � "62
(�&�&� '��������� ��� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � "6�
(�&�(� ����� �� ��� ������ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � "6,
(�&�6� *����� �� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � "2�
(�(� =������ �� �������� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � "2(
(�(�"� @���� �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "2(
(�(��� $9���� �����%��� ���� ������� ��%������ � � � � � � � � � � � � "23
(�(�&� $9���� �����%��� ���� ������� ������ � � � � � � � � � � � � � "�"
(�6� =������ �� �������� �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � "��
(�6�"� /������� '�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "�&
(�6��� ;��>������� ZK � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "�2
(�6�&� $������� �� �:�� ������%��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ",�
(�2� =������ ����������� ��� ������ �� �������%�� �������������� � ",&
� !� ������ ��������������� ��"#�$�� �%
6�"� )�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ",6
6��� ���������� �� ��� ��������� �� -�����./��0�� � � � � � � � � � � � � � ",2
6�&� ���������� �� �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "3�
�� ������ �����
6�(� 1�������� �� 1����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � "36
6�(�"� ������ ��
������ ����� "
2����� *����� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&2
2���&� '��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(�
2���(� 1��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �6&
2�&� 15����� �� �7���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �66
2�&�"� $��������%� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �62
2�&��� 1 ���� �� �7���� �1?.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �63
2�&�&� 15���� �� �7���� �1?.6 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��3
2�(� 1�����4���� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &��
2�(�"� $��������%� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &��
2�(��� 1�������%������ ����9������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�&
2�(�&� 1�������� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�(
2�(�(� 1�������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�6
2�(�6� $������ > ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &��
2�(�2� '��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�3
2�(��� '����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�"
�� ���������� ( ����������� )���� ��
��"� 1��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�&
���� *���������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�,
� *�+������,� ��
��������
�����������
���� ��������� � � �������� �����
��� �������� �� ��� ������� �� �������� ����� ����������� B$1)�C ��
����� ����� ��� �5� �� � ������ � ����� �� ����� ����� ����� ��:��� �� ��.
��� �������� �� ������4���� � ��� ��������� ��������� � ��� ������� �� �������
B$�;C > ������� *����� B$�1C ����������� �� ������ �������� �� �+������ ���
����������� �� ��� ������� ����������� ��� ������� �� ��� ������� > ��� ������� ��
����� ������������� ���� � :��������� � �����4� �������� � ���� ������
� �� ���������� ��� $1)� �� ��:��� �� ����������� ������������ ��� ����
��4���� �� �������� �� D�� ����� ����� �� ������� �� ��> ��������� > �����4���� �
���� �� ����� � ���������� � �� �������� ��� ���������� �� ���������� �� ���
�������� � �9����� �� ��������� > �������� ����������� ���� ������������
D�� ����� � ������ ����������
�� ������ ��4 �� D�� �� ������� �� ��������� D�� ����� �� ���� �.
������� � ��� ����������� ��� ������ �� �7����������� ������:�� > ���5 ��:�� ��
��� � ������� ������������ ��:� ������ � �� ����������� � ����� ���������
�� ����� �� ������4��� ����� ����������� ������������ ������� �� ������� ��.
4 D�� �7����� �� ��� ������� �� �����4�� �������� � �� ���������� �� ���
"
� ����� �� �����������
$1)�� ����� ��������� � ����������� �7������ ����� ���� ��� ��D����������
������������ B���� ��� ����� ���.���������C� ��D������� �9����� B���� �� ���.
���������� �� ����������� �� � E���� �� ����� ����������C� > ��D������� ��
�������� ����>��� �� ������ �E����� �� ������� ����������� ���������� �������
> �� ����� ������������ ����� ����������� ������ � ��� ������������� � �������.
���� > ������� ��������� ���� ��4 �5� ����������� �� ���� D�� ��>� ��������
�� ����� �� ������4��� �� ��� �������� *���� ���� ����������� � �� ������ �� ��
�������� � �� ������� ����� ����� �� ��:��� ����� �� �������� ���� �� �� �����
��%��� �� �����4�� ������ � �� ������:���� �� ��� �������� �������� ������������
�� ���������� �� ����� D�� ���� ����� � ��� $1)�� :��� �� �� ������
����� �� �������� �� ��� ������� �������� ���� ��:��� �� ������� � �� �����
���������������� )�������� %������ D�%������ ����� ����� � �
��� ����� �E� ���
�����4�� � �� ����� �� �� ��������� �� � � �������� ������� ��� �������������
�� ��� $1)��
� ���� ������� �� �������� �������������� �� ��� $1)� � ������� �����.
������ �� ���������� ������� ������ � ��� ������������ D�� ����� �� � �����.
����� ������ �� ��� �������� �������� %����� D�� ���� ����� � ��� ��������
���� �� � � ������ ������� ��� �� ������ ���������� �� �� ��������� �� ���
������������ ���������
@� �� ��� ��������� ���������� D�� ������� �� ��>��%� �� �������� �
��� � ����� �� �������� �� ��� ������� �� �� ����� �� � ��� ������� �� ��� ��������� ������� ����� > ��� ����
��������� �� �� ��������� � ���� ���� ��� ������� ����>��� ��� ����������
��� ����� �� ��� ������ B����������C�
� ���� �%�� �� ������ �� ��:����� �� �� ������� �9���� D�� � �� ���� D�� ��
�� ��������� � �� ��������� �� �� ��������� �� � � ��������� ������� ��� ���.
���������� ���
���� ��������� ����� &
���� ��������� �����
��� ���������� ��9������ ����� ��� D�� �������� �� ��������� �� ��������
�������������� ��� ���� � ���������� ��������� ��� �������� � �� �������
�� � ���������� ������ � ����������� ��� ������ �� �7�������� ������������
��� ����� 1$� ��� ����������� �� $ D���� > $������ �9������ �� �� @���������
;����9���� �� F������� ��� D�� 9��� ��� �� �� ��� ������� ������ �� ����������
> ���������� ����+���� � ���� ���� ����� ������� �������� � �����
/� �������� ������ � ��� ���������� �������������� > � �� ������:���� ��.
��� ���� D�� �� ��D����� ���� �� ��������� �� � �������� ��������������� ��.
�� � �� ��������� �+����� �� ���������� ������� ��� �������%�� ��������������
������:�� �� ��� $1)�� �� � ������ ��� �����4�� � �������� �� � ����� �7������
B$��A)�*�C ������������ ��� �� ������ ������� ������ ?-�'��
� ����� �� ��� ��4��� �� ������ �� ���� �� �� �> �� ����� �� ��4��������
�� ���� ����%��� D�� ��������� ���� ���� �� ������� ;������� � �� ������ ������
�� �� *� ���� 1����������� �� ��� 8������ B*18C �� D�� �� ������ �� � �
������� ���� ���������� � ����� ����� � �� �������� �� ��� ����� �� ��
������� ������ � $1)�� �������� D�� ������ �� ����� 1$�� /������ �� ����������
�� � �������� �������������� ������ �� ���� ��9���� ��������� � ����D���� ���.
����� ��
( ����� �� �����������
����� ���C D�� ����� ��������� �� ���� �� ��>�� �������� *� ���� ����� ��
����� ���� � �� ��������� � �� �������� ����%��� � ������ ���� �� ������� ��
����� �� ����� �� ��� ����7�������� ��9����� ����������� > �� ���������� ��
���������%� ������ > ��� ���� ������� ���� �� ���������� �������������� ��� �.
��� � ������� ;�� �� �������� �� ��������� �� � �������� ��������������
�������� � � �������� ���������� � �� �� ����� ������� ������ � D�� �� ���� ��
����7�������� ����������� �� ��������� � ������ � ��� � �������� ���������� ��
�� D�� �� ������ �������� �%��� �� ���������� D�� �����
�������� ��������� ��� �������� ������� ����� ����������� > ������������ �
����������� ���� ����� ��������� �� ��������� �� �������� ��������������
���
���� ������ 6
����� ��� ��������� �� -�����./��0�� �� ����� ������ �� ���� �� ��������� ;�� E���.
�� �� �����4� �� ������ ��� �������� �� � �� �� ��� ����������� �� ���� ������ ���� �������� �� �� �� ���
���������� � ����� ���� �� �������� ��9���� � $1)� ������ D�� ����� �� ���.
�����4��� �� ��� �������%�� � � ��������� � ���� ������� ������ �� :�������� ��
������ ��� �9���� �������� �������� �� ������� ����� �%�� �� ������� ����.
���� ��% ���� ���������� ��� ���������
� �� ���%���� 6 �� �������� �� �������� �������������� ��"#�$�� D��
�������>� �� ���� �� ������� �� ���� ������ /� ������ �� ���������� �� ��� ����.
����� ��% ���� �� �9���� ��9���� ��� �������� � ������ � �� ��������� �� ���
�9����� �� � � �� ���%���� �������� 1��� �������� ������� �� �������� ��� ����
�������� �� �������� ��9���� ���� � ������� � ����� �� �������� �������.
������� � $1)� � �� ����������� �� $ D���� > $������ �9������ �� �� @;F�
� �� ���%���� 2 �� ������� ������ ���������� �� �������� ��������������
� �������%�� �� $1)�� ������ �� ������� �� ���������� �7������������ ���.
����� �� ���� �� ������ ���� ������ ����������� �� ����� �� ��������� �
�� ����� �� ��� $1)�� > ������ �� �������� �� ������4 ��� ����� �� ��������
��������������� �������� �������� �� �� ������� ������
8�������� �� �7��� ��� ���������� ����4���� ������ �� ���������� �� ����
������
2 ����� �� �����������
��������
������������ ��
� ���
��� ��� �� ����
���� ���������
� ���� ���%���� �� ��� �� ��������� ������ ��� �������� ����� ���� ��� �� ������� ��� ���� �� ����� ������ ���� ������� ��� ���
�� %������ � ����� ���4�� ��� ������� ��������� �� �>��� ����������� ���� ��
�������� �� ������� ����� ������������� @� �� ��� ����������� ��������� ��
��� ������� �����5����� �� �� �������� ���� ������4�� �� �
������ �� ����������
�
,����� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
�7����������� ����������
���� ������ � �� �����
�� �������� �� ��� $1)� �� �� ����� ��������������� D�� ������� �����.
�� ���� D�%����� ��� ��� �� �9����� ��9������ ��� ������� �� �������� ����� ��������� �� �������� ��.
��� �� ������� �� ����%� � ��� �������� �� ���������� > �� ��� ����������� ��
�� ����� ��������� ��� ������ ������ �� ��������� ��������� ��� �������� ��
�������� �� ��� �������� ������%���� > ��� ������ ��������� �� ���������
�����9���� � ���� ����� � �� �������� �� ������ ������� � � �������������
�� ���� ������ > �� ��:�� ������ �� �������� ����������� ��� ��:���� �
�� ����+� �� ��� $1)� �� � ������� �� �9����� ������������ ������� � �� �7.
���������� �7������� �� ���������� �� ��� ������������ > �� ����������� ��
����������� �7��������� ������� �������>� �� ���� ���� �� ����+�� �������
�� �������� ������ *� �� �� �� %���� ������ ���� ����������� ����+������ >
�7������������� ��������� � �� ���������� �� ��������%� �� �����:� �� �� ��:�����
�� ������ ��:���� ����+�� �� $1)��
�� ����+� �� � ������ �����
���� ������ �� � ����� 3
������4��� ��� ������������ �������������� �� �� ���� �%����� �������� ��
��� �������� �������������� ���� ;��� ��� �� �� ����� ������ � ����� � ��
������� ������� �� ������� �� �����.���������������
��� �5����� �� �������� �� ��������������� > ��� ��������%������ ����9.
������ �� ������:��� ���� ������� � ����� ��� ������� >� D�� ��������� ��
�� ��� ������ ���������� �� ������4��� �� �� ���������
�� ��������� �� ���������� �� �������� �� ��� ������� :���� � �����
������� � ��� �� �������� ������ �������� �� ������ �������� �� �������.
����� � D������� � ��� ������� � � ��� ����������� B���� ������� C� �����
�� �� ���� �%���� � �� �������� �� ����������� ����
�� ��%� �� ��� ���5� ���������� ����� ����
�� ���������
�� �������� �� ��� ������������ ������� ��� �� ��������� D�%����� ���.
���:��� I����4 G",�H �����4� ��D����� ��9����� D�� �� ����� �� ������ ��
��������� ���������� ���� �������� ���� ��������� �� �������� �� ����.
�������� ������ 1��� ��� ������������ �� ������� ����������� �� ��4���� ��
������ ������ �� ������������ ������ �� ��%��� ������� �� E���� �� �������.
�� D�� ���%� D�� ������ � � ������ D�%���� ���������
�� �� �� ��������� ������9��� �����
���� � ������� *������ �� ������
� ���� �%D����� �� ����������� *����� �� �������� �� ��4��� �� �� ���� > ��
D����� ������� ����%����� ������ �� �����
�� D�� ��� ��� �������� �� ����� ������������ ��%��� �� �� ��� E����
�� ������� ���������� > ���������� ��������%������� �� ��:�� �:����� �� �����
�� ���������� � ��>� �������� �� �7����� � �� ����� ����� �� ������ �������
���� �� ������ �� J���������� �� ���� �� ��� ��� ����� �5� ��D��+� G"H�
� ��������� ������� D�� �� ����� ��� ������� �� ��� ���� �� "� ��� ��
�� ��� ��� ���� �� ����� �� ������ D�� �� ��� ���� �� "��� � "���� �����
�5� ��D��+� G"H�
"������ �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
/� � �� ������ �� 5���� �� ���� �� �����+�� � ����� B D�� ���������� � 6� µ�
� � �9���� �� &��� ������C �� � ������ �������� ���� ��������� �� ������ ��
����� � �� ������� �� � ����� �� ������� � ������� �� ������������ ��
�������� �������� ���� �� ������ �������� �� ���� ���4 ����� ���� ����
��������� ��� ���� �� ����� ������� �� ����������� �� ��� E������ ������
�� ����� ������� ������� D�� ����D���� ����� �� ��������� ������������ �����
��� �������� %����� D�� ���� ����� � � $1)� �����5 �������� � ������� ��������
������ D�� �����%� � �7���� � ���������� D�� ����� ���:�� ��� � �������� �
� �������� �� ������ ���������
� �� ����+� �� � ���� ������� �� ��� ���� ������������ ���������
������� ��� �������� ����������
K1�5��� �� ��� ��:������ ��� ������ L
K1�5��� �� ��� �������� %����� ��������%������ L
KM�9 �������������� ����� ������ L
;��� ����������� ������������ �� �������� � ���������� ��������� �� ���
��������� ����������� � �� ���� ��:� �������� �� ���� �� �
�D�� ���� � �����
�������� ������ �� ���������� ������ ��� ��������� � �� �������� ��������
�� ��� � ������ �� ��� ��������� D�� �������� � ��� ������� ��% ���� ���
���������� �� �� ����������� $�� ������� �� �� �� ��������� �� �� ����������
�� ��� ��������
���� ������� �������
�
������ �������� �� �����������
��� �������� �� ����� ��� �9����� �� � ����� ��� ����� �� � ��
������� �� ���� �� ��� ��� �� D�� �+���� �� ������ �� ��.
�������� ;���
���� �������� ����
���� ""
�� ������� ������� ���������� �� �������.
����� ;�� ���������� �> D�� ����� �����9 � ���������� �� ������� ����
��� �������� ���� ���������� �� ������ �� ������� D�� ���4� ������ ������� >
����������� ���� ��� ���� �� �� �� ���������� � �� ��������� �> D�� �+���� ��
������ �� �� ����%��
� �� ����������� � �� ������ �����%� �� ��E �9���� ������ �� ������.
�� �� �� ��������� �� -�����./��0��� /�������� � ����� ���� ����� ��� ������� ��
�� ���������� �� ����� �������� ���� ��> ����� ����� ������������� ��� �:������
�� �� �� ���� �� ������4� �� ��������� �������� ���E
1������� /� �������� �� �������� �� �������� �� ��� ����� �� �� ���������� ��> ��D��+�� >� D�� ������ �� ��������
������ �������������� ����� ������ ;��� � �� ������� ��������� ���� ����� �����
�7������ ��E ���� �� ���������� ���������� �� �� ���������� ������ �� ���
������ ����� �7������ �� ��> ����� > ��> ��D��+� ���������� �� ��> ��%��� ��.
��� ���������
�� ��������� ����� ���� �� ��� ��������� �� -�����./��0��� �� �����������
������������� �� �� ���� �� ��������� �� ����� ���������� �� D�� ������ �������
�� �������� �� ����������� D�� �� ����� ��������� ������ � ��� ������ ����.
������ �� ��4������� /� �������� � ������ ����� ����������� �� ����� �������
��������� �7������ ������������ ����� ��� �9����� ����� ����� �� ���� ��� �%
������� � ��� �� ������ ������ �� ����� ��������� �7����� ���� �� �������� ��
���� ������� �� ������ D�� �� ����� ��� ��4������ �� ������ � �� ������� ���%����
:��� � ��� ��������
��� ��������� D�� ������� �� ��4��� ����� �� N �������� ��������� ������.
����� ��� ������ /���� > *����� �� ����� ��� ��������� �� ������ > ��������
D�� ��� �������� �� ����� �� ������� � �� ��> �� 8��0 �� �� ����� ����������
� ����� �������>� �� �������� ��������
"������ �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
������.���� �� �� ����
∂ρ
∂t+
∂(ρvi)∂xi
= ρ̇s (i = 1, 2, 3) B��"C
������.���� �� ������� /
∂(ρY k)∂t
+∂(ρY kvi)
∂xi=
∂
∂xi
(ρD
∂Y k
∂xi
)+ ρ̇ks (k = 1, 2, ...N) B���C
������.���� ��� �������
∂(ρvi)∂t
+∂(ρvivj)
∂xj= −∂(pδij)
∂xj+
∂(τij)∂xj
+ Fi (i, j = 1, 2, 3) B��&C
������.���� �� �� �������
∂(ρe)∂t
+∂(ρevi)
∂xi= −∂(pvi)
∂xi+
∂(τijvi)∂xj
− ∂Ji∂xi
+ Q̇s (i, j = 1, 2, 3) B��(C
!���� �0���� �� ������
p = ρRTN∑
k=1
(Y k
Mk
)B��6C
!������ �������
e =N∑
k=1
hkYk − p
ρB��2C
!�������
hk = h0k +∫ T
T 0Ckp dT (k = 1, 2, ...N) B���C
;��� � ������� ������ ������������� �> N ��������� �� ��������� ��
��������� �� ���� �� ����� ����� �� ���� ��������� �� ������ �� ��������� �� ��
��4���� 1���D����� �� ����� N ��������� B���C ����� ��� ���������� ��� �� ������
�� ����������
���� �������� ����
���� "&
� ���� ������� �� ���������� ρ� p� > T �� �� �������� ����� > �����������
��� ���� ��������������N vi �� �� �������� �� �� ��������� � �� ������� iN e ��
�� ����%� �����N D �� �� ��������� �� ���������� �5���� �� ��� ��������N hk > Y k
�� �� �����%� > �� ����� �5���� �� �� ������� k� ��������������N N �� �� E����
�� ��������NR �� �� ������� �������� �� ��� �����N Mk �� �� ���� ��������� ��
�� ������� kN Ckp �� �� ����� �����%��� � ����� ������� ���� �� ������� kN T0 ��
�� ����������� �� ��������N h0k �� �� �����%� �� ������ �� �� ������� k � ��
����������� T 0N τij �� �� ����� �� �������N � �� �� �������
;��� � µ �� �� ���������� �� ���� ��� ���� ��� �����.
������ ��� �������� ����������� ρ̇s� �9���� �� �������� �� ���� ��� �����
�� ������ > ������� ������ ��� �:����� � �� ��������� ��� ����������� �%D����
B������ D�� ��� ��������� �� ������ E������� � �� ��� �������C� ρ̇ks � �9���� ��
�������� �� ���� �� �� ������� k ��� ����� �� ������ > ������� ������ ���
�:����� � ��������� D�%������ Fi� �9���� ���� �� ������� �� ��������� � ��
������� i� Ji ��������� i ��� ������ ��
"(����� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
@� ��4 ������������ ��� ��������� > ��� ���������� %����� D�� �� ��D������
�� ���������%� ��9���� �� ����� �� ��� ���������� ��� ���������� %����� ���5 �
����� �� �� ������� ��� ��������� > � �� ������ ������ ��� ������ �������� �����
��������
� ������ ��� ���������� ��������� �� �D������ D�� ��� �������� � ���
����� �� ���������� �� ����� �� ��� �������� ����������� ���������� ���.
����� B����� > ��9���� D�%����C� ���� � �� �������� &* ����� ���������� ����
��������� �� ����� �� ��������� ���������� ��� �� ������� BE���� �� ����� ����.
�� �� ����� �� ������� ���� ����� ������ �� ��� ������� ��������%������� ���C�
;�� E����� �� �������� ������ D�� � �� ���������� �� ���������� %����� �� ��.
D����� � ��� �����:� �7���������� ������������ ��� ��� ��4���� ;������� ���
������������� �7����������� �����%���� �� ��������� ���� �� ��>�� ��������
�� ��� ����� ����������� ;�� �:������ ��� �9����� �� �������%� ����� �������.
������ ���� ����4�� �� ���������� ��� ���� �� ����� � �� ����� �����4����� �
$�; G"�H� G"3,H� �� ��������� ���� � ��>�� ���������� �� ��� ���%���� ��
�������� � ��� �� �� ����������� �����9 �� �������� �����4�� �����������
�7����������� ���� �������� �� ������4 �� ��� ���������� ���������� ��� �:������ ��
��������%� ����� *������ �� � �����4��� ����� ��� ������ ���� ������� ���������
�� *18 G,H � G,"H � G"&&H � ��� ������������� �7����������� �� ��� ���� �������.
���� ��� ���������� �� � ������ �������������� > �� � ������ �9���� �����4����
���� ������� ��� ��D����� ��9����� > ������ �� ������ � ��� ���������� %������
������ �������� �� �� ���������
�� ����� �� ������ ��� �� ������� ����������
> ����������� � ��������� ���:��� ��� ��������� D�� ������� ��
���� �������� ����
���� "6
���� �� �7���� ��� �9����� ���� ����4�� ��� � ������ ����%��
2� $� ��+����� �� ��������� ��� ���2 �� ��� ���� @
"2����� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
������� �� �� ����������
/�� U � L > T �� ���������� ������� > ������ ��������%������ ��������� � ���
�������� � � ������� /� �� ��������� ������������ D�� ���������4� �� �������
������ ��� ���������� ���� ������ �� ������ ������������
/�� u� λ > τ ��� ��������� �������������� ��������� � ��� ������� ������.
����� ���� ���������� �� ������� �� �� ���������� ���� � �> �������� �� ����%��
/�� u0� λ0 > τ0 ��� ��������� �������������� � �� ������������ ���� ��� ��
� � ��� �� �� �������� �� ����%� � ���� �� �������� � ����� ���� �� ����%�
����������� ����� �� ������������
�� ����%� �����%��� D�� ���� �� ��� �������� ������ ��� ����� �� ������
���� ����� ��� � ����� ���������� ��������
� ≈ U2T−1 ≈ U3L−1 B��3C
���� ����%� ���� ��� ����� ��� ������� ���������� ���� ������ � �� ������������
��%� � �� ����
� ≈ U3L−1 ≈ u3λ−1 ≈ u30λ−10 B��"�C
�7����� D�� ��������� �� ������� �� �����
*� ���� ��� � ����� ���������� �� ����%� �����%��� �������� ��� ����� ��
������ � �� ����������� ���� ���� ����
ΦL ≈ νU2L−2 B��""C
���� �������� ����
���� "�
��� ����� �� ������� ���� ����%� ����������� > �������� � �� �����������
���
�
φL≈ UL
ν= Re >> 1 B��"�C
�� ���� �� ������ D�� � �� ����������� �� �������� �� ����%� �� �������������
� �� ������ ��������� �� ������� ���� ����%� ����������� > �������� ��
����E� ������� ������� �� E���� �� '�>���� �������� � ��� � ������� ���� ���
Reλ =uλ
ν≈ Re
(λ
L
)4/3B��"&C
� �� ������ ��������� �� ������� �� ��������� � �� ��> ��D��+�� �� E.
���� �� '�>���� �������� � �� ������ Reλ �� ����� > �� �������� �� ����%� ��
�������������
� �� ����������� �� ���� E����� �� '�>���� ��� ���� �� �� ����� >� D��
λ0 � ���������� �� ����%� ����������� �� ��� ���� �� �� ����%� ���������
/� ���� �� ����������� �� J��������� ���� �D����� � �� D�� �� E���� ��
'�>���� �������� ���� �� ����� > ��� ���� ���� �� ����%� �� ������ � ���� �������
�� ��� Re0 = 1 � ��� �� ������ B��"�C �� ���� � ≈ Φ0 > ��� �� ������ B��"&C D�����
λ0L
≈ Re−3/4 B��"(C
�7����� D�� ����� �� ������ ���� ��� ��������� ��������%������ �� �� �����.
������ > �� ������������
;��� �������� �� ���������� �� ���� E����� ������ ������� D�� �� �����
����� �� ����� �� ����������� � �� ����� ����� �� �
",����� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
��� ����� �� �9���� ������ > �9���� ���������� ;��� ��������� �� ����� ������
������ �� ������ ��� �:������ �� ��������� � ���4 ����� �� �� ������ � �9����
��������� > �������� � Re ≈ 104 . D�� ���������� � �� ���������� �����
����� . ���E �� ������ B��"(C �� ������ ���� �� ����������� > �� �����������
�� ��� ���� �� 10−3� ���� ������� D�� ���� �������� �� ����� ������� D�� � ������ ������ �� ���� ����� ��� ���� �� ���4 ��� �������� > ���� �� ��� ���� ������
��������� � ����� ����������� > � ���������� � �������������
� ����� � ��� ������� �� ���������� ���E �� ������ B��"�C� �� �����
(u0U
)3≈ λ0
LB��"6C
> � ������ �� �� ������ B��"(C�
u0U
≈ Re−1/4 B��"2C
�� ������ ������� �������� �� E���� �� '�>����� ��� ������ ���� ������� ��> ��D��+��� ������� ���� ����� Re ≈ 104��� ���� u0/U ≈ 10 > ���� ������� ����� ��������� �� ���������� �� � ��� ���������D��+�� � ���� �> ��� ������� > �� ������ �� ����%� ��9�����
� ����� � �� ������ ��������� �� ������ ���� ��� ������� ��������%������ ����
���� ����
τ0T
≈ Re−1/2 B��"�C
*� �D�%� �� � Re ≈ 104 �� ���� �� ������ ���� �� ����������� > �� �����.������ ��� ���� �� 10−2�
���� �������� ����
���� "3
!������ �� '�(�����
1��� �� � ����� �� �� � ����� ���������� �� ���������� �� �� ������ ��
J��������� �� �� ����� ��������� �� ��� ������������ ��������� �� ������ ��
�� ������ E������ �� ��� ��������� B��"C . B���C D�� �� ����� �� ��� �������
���������� > ���������� �� �� ����������� �� ��������������
'�>����� � ��������� �� ������ > � � ����� F� J �� > A�4� ��������� D�9
����� �� ��������� ��� ��� ��������� ���� ���������� �� ����� ��
������� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
��������� ����� � ���������� � $1)� � ���� ��� ������� ���������� �� ���
���������� D�� ������ ����%� B�����������C �� ��� ����� ���� �� �������
D�� ��� ������� ���������� ��� ��� �������� ��������%������ �� ������
���������� �� ��� ������� �� ����:��� ���� ���������� ����� �� �:���� ���
e� -���� D�� ��� ��� ���.
������ �� �� ��������� > ��� ��������� �9������ �� �������� �� ���� ����� ���
����������� ��� �� ����� �� ����� ���� �����
�� �������� ����:� �� �����4�� �� �������� �� 8���� �� �� ������ �� ����.
����� � � �������� /� �������� �� �������� �� ��� ������������ D�� ������� �
��� ��������� �� ��������� ����������� �� ���� ���� �� ������� �� D�� �������
�� ��������� ������������� ��� ������ ��� ������� � �������>��� �� ������ B��",C � ���
��������� B��"C . B���C� �� �� ��������� ��� ���������� � ����� > �� ��� ��������� B��"C . B���C �� ��������
�������� ��� ������� �� ������ �� �������� ������� �� ����������
���� �������� ����
���� �"
������.���� �� �� ����
∂ρ
∂t+
∂(ρvi)∂xi
= 〈ρ̇s〉 B����C
������.���� �� ������� /
∂(ρY k)∂t
+∂(ρY kvi)
∂xi=
∂
∂xi
(ρD
∂Y k
∂xi
)+ 〈ρ̇ks〉 −
∂(ρ〈v′iY ′k〉)∂xi
B���&C
������.���� ��� �������
∂(ρvi)∂t
+∂(ρvivj)
∂xj= −∂(pδij)
∂xj+
∂(τij)∂xj
+ 〈Fi〉 −∂(ρ〈v′iv′j〉)
∂xjB���(C
������.���� �� �� �������
∂(ρe)∂t
+∂(ρevi)
∂xi= −∂(pvi)
∂xi+
∂(τijvi)∂xj
− ∂〈Ji〉∂xi
+ 〈Q̇s〉
−∂〈p′v′i〉
∂xi+
∂〈τ ′ijv′i〉∂xj
− ∂(ρ〈e′v′i〉)
∂xiB���6C
� ���� � �� � ������� ��� ���� ���� �� ��� ��������� ������ ���� ������� ��
������
?�������� �� ������ �� ��������� ��� ������ �� ������ D�� ��� �������
������ �� ��� ��������� ��� ��������� ��������� �������� ��� ������ ����.
����� �� � ��������� ������� ���� ���� � �� ��� ���4�� �� ��4������ �� ��
�������� ������ B����� ��� τijC ���E� ����� ������� �������������� ����� ���
�� ����� ρ〈v′iv′j〉� ����� ������� �� ������ ������� �������� �� �� ����������������� � ������� �� '�>����� /������� ���� ��4������� ����� ������� ��
�� ���������� ������� D�� �7���� � ������ ������ �� ������� � �� ����������
���
������� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
�����������
��� ��������� B���&C . B���6C �� ������ ��������� �� '�>���� > ������
������������ ������ D�� �� ������������ /� ��� �9����� �� �� ���� ρ〈v′iφ′〉� D���7������� �� ����������� �� ������ ������� �� '�>����� 1� ��:��� ��
����� ������ �� ����� �� ����������� ������ �� � �� � ������ ������� ������ ���
������������� �� ����� ������������� D�� �� ����� � ������������� �� ����������
������� �� ��+�����
��� ������� �� .�������� ��+��������� ������ �������� � P�������D�
D�� ��� ������ ������������ ����� ��������� ���E�
ρ〈v′iφ′〉 = −µtσφ
∂φ
∂xiB���2C
> ��� ������� �� µt B���������� ������������C > σφ BE���� �� ;����� � ��
/� ����� ���E φC ���� ��� ������������� /� ������� ���� ������� �� ���������
������ �� ��������� � ��� �9����� �� �� ���� ρ〈v′iv′j〉 � >� D�� �� �� ����E� �� ����������
ρ〈v′1v′1〉 + ρ〈v′2v′2〉 + ρ〈v′3v′3〉 = ρ〈v′iv′i〉 B����C
�� ������ �� �������� ����������
ρ〈v′iv′i〉 = −µtσφ
∂vk∂xk
B���,C
D�� � ���� ������ ����� �� ����������
/������� �� �� ������� �� �� ���������� ������������ µt �� ����%� ����������
D�� �
���� �������� ����
���� �&
τ totij = τlamij − ρ〈v′iv′j〉 B���3C
� ���� τ lamij �� �� �7����� B��,C �������� � ��� ����������� ������ ���
�(����� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
�� ������� ���� �7����� �� ������ �� ���������
��� ������� �� ��+����� �� ��� ������� �� ���� � �� ������
�� κ > � ���� E����� �7����� �� τ turij � ����� ������� ������ ��������� �� ����.
����� ���� �� ������ �� ��������� ��������� B�� ������ κC > �� ������ �������� �� ��
���������� BLC � ���� �� ������ �������� z � ������ �� �� ���� ����� �����������
�� ������ ��������� �� ����� 4 �� �� �� ���� z = κmLn� A�> �������� ���������� ������ ������ �� ���� �������� B�9��� G"�"HC� ���� �� � � ���������� �����4��� �� ��
������ κ32 L−1� ������ D�� �����4� ��� ������� κ − �� � ���� � �� �� ���� ��
�������� �� ����%� ��9���� ���������� > ��������
� α κ32 L−1 B��&6C
������ �� ���� τ turij �� ������ ��� ������� ������������ BD�� ������� � ��
������ �� κC � �� �����
−ρ〈v′iv
′iv
′j
2〉 = µt
σκ
∂κ
∂xjB��&2C
��� ������� κ − � ��� ��� �� �� �7����� �� � ���� ���������� ����9��G"&3H�
� =µtρ〈(
∂v′i∂xj
∂v′i∂xj
)〉 B��&�C
/� ������ ������ �� ������������� �� κ ������� �� ������ �� ����.
������ D�� ���� �� ���� �� ���������� ��� ������������ �����.���������� �� �� ��
�����
∂ρκ
∂t+
∂ρviκ
∂xi=
∂
∂xi
(µtσk
∂κ
∂xi
)+ P − ρ� B��&,C
� ���� σk �� �� �������� > �� �9���� �� �������� �� κ �� ��������
���� �������� ����
���� �6
P = τ turij∂vj∂xi
B��&3C
�� ������ �� ��������� ���� � �� �� �� �����
∂ρ�
∂t+
∂ρvi�
∂xi=
∂
∂xi
(µtσ�
∂�
∂xi
)+
�
κ(C1P − C2ρ�) + S� B��(�C
� ���� σ�� C1� > C2 �� �������� > S� �� � �9���� D�� �� ����� ��
��� ������ �� �� ��������������� ��� �����
���������� � �� ���� S3 = C3ρ� ∂vi∂xi �
;�� E������ �� �������� D���� ������� ������� �� ������ ���� κ > � �%� ��
���������� �������������
µt = Cµρκ2
�B��("C
� ���� Cµ = 0,09 � ;��� ��� ����� �������� ��� ������� � � ������ ��
C1 = 1,44� C2 = 1,92 > � �� ������ �� C3 �> �� ��� �������� �� �������B�9��� G"6&HC�
� �� ���%���� 6 �� �������� ��� ��������� ����������� D�� �����4� �� ������
$��A)�*� ��% ���� �� ���������� �� �� ����������� D�� �� ������ ������� ���
��������� ��� ���� κ − L
�2����� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
�� � !������� � ��� ������
1��� �� � �������� � �� �������� �������� �� ���� �� ����7����� ����� ����
���������� � �� �������� �� ��� ��������� ����������� �� ����� � �������� ���.
��� �� �������� ?�������� ���� � �� �� E��� ���� �� ��������� �������� � 7���
����� � �� ��������� �� � ������ �������� ����� ��� ������� ��������� �
�� �������� ��� �
�� ��%��� ������� � �������� �������� D�� ������D�� � ����� ��� ������� ��
���� ���������� �� �� ������ ��
*����� 1��������� *�������� ������&* 1��������� Φ = Φ(x, y, z, t)
1��%������ Φ = Φ(r, φ, z, t)��9����� Φ = Φ(r, φ, θ, t)1�����%��� Φ = Φ(h1, h2, h3, t)
�* 1��������� Φ = Φ(x, y, t)1��%������ Φ = Φ(r, z, t)1�����%��� Φ = Φ(h1, h2, t)
"* 1��������� Φ = Φ(x, t)1��%������ Φ = Φ(r, t)
1����� ��"� 1��������� �� ��� ������� *)$�-/)?-���/
*������� *�������� ������8����������� � Φ = Φ(l, t)1����.*����������������� ����� � Φ = Φ(t)1���.*����������
1����� ���� 1��������� �� ��� ������� -? *)$�-/)?-���/
���� ��� ������� ����������� > ��� �.������������ ���������� � � ������.
����� � �� D�� �� ����� �� ����� � ������ ��������� ����������� �� ������ �
������ �� �� �������� �� ��������� ����.���%����� � ������� ������� �������������
> ��� ���� �� ����� ��������� �� ����� � ������ ��������� ��������� �� ����
������ �� ��>�� ��������� �� � ������ ;����������� � ���� ����� �� ��� ��������
������� &* ������������� D�� �� ���� � �������� ��� ��������� B��"C� B���C > B��(C��
���� &* ������� D�� �� ����� �� ����������� B������ B��&CC �� ������ �� ����
������������ B����. � ��.���������C�
��� ������� -? *)$�-/)?-���/ ��� ����������� ����� �� ����������4�.
�� �� ��� �������� ����������� D�� �� ������� � �� ����� �� ���������� ���
������ ����� ������� ������ ��������� �������� ������������ � ��������� ����.
���%����� ���� ���������� ���� ��������� �������� ������������ ����� ������� ��
������ � 8�-?$�-?�?=)?/ B� 1@�/).*)$�-/)?-���/C > ��'$?*)-�.
$)1?/ B� 1�'?.*)$�-/)?-���/C� ���� ������� �� ����� ����
��� ������� ����.����������� �����:� ����������� �� ��������� �����.
�,����� �� ������������ �� �������� �� �
�� �����
��5����� > �� ��5������ ���� �5����� ����9����� ��������� ��� ������� �����.
����������� ��������� �� ��>�� ��������� �� ���� �������� �� �������
�� �������� ��� �:������ �� ������ ����� �������� �� ��������� ��� ���� �� �����
� � $�; G"�(H � �� �>���� > �������� �� � � ���� � � ����� *����� G"�3H �
/� �������� ���� �� E���� �� �������������� D�� �� ��D������ �� �������� �:��.