Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jeno prezentaci promítanou na prednáškách, kde k ní pridávámslovní komentár. Nekteré duležité cásti látky píšu pouze natabuli a nejsou zde obsaženy.

Text muže být postupne upravován a doplnován. Datumposlední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru.

Veronika Sobotíková

KAPITOLA 2: Funkce - úvod

reálná funkce (jedné) reálné promenné . . . f : A→ R . . .

. . . zobrazení množiny A ⊂ R do množiny reálných císel R

funkcní hodnota . . . y = f (x) (x – argument)

definicní obor . . . D(f ) (= A);

obor hodnot . . . H(f ) = { y ∈ R | y = f (x) pro nejaké x ∈ A }

D(g) = A1 ⊂ A2 = D(f ), f (x) = g(x) ∀x ∈ D(g) . . .

. . .

{g – zúžení funkce f ( (z A2) na A1 )

f – rozšírení funkce g ( (z A1) na A2 )

Príklady:

1) D(f ) = N . . . posloupnost

2) f (x) = a (∈ R) . . . D(f ) = R . . . konstantní funkce

3) f (x) = sin x . . . D(f ) = R;

g(x) = sin x , x ∈ 〈−π2 ,

π2 〉 . . . D(g) = 〈−π

2 ,π2 〉

g – zúžení funkce f , f – rozšírení funkce g

4) f (x) = sgn x =

−1 pro x < 0

0 pro x = 01 pro x > 0

. . . signum ( znaménko )

graf funkce f . . . { (x , f (x)) | x ∈ D(f )}

Príklady:

1) f (x) = |x | (x ≥ 0 : f (x) = x ; x ≤ 0 : f (x) = −x)

@@@@����

�

� @

@

y = x

f (x) = |x |

y = −x

2) f (x) = sgn x csc1

−1

3) f (x) = [x ]

s cs cs cs cs cs c1

2

−1

−2

−3

−3 −2 −11 2 3

f ≤ g na M . . . M ⊂ D(f ) ∩ D(g) a f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ M

(analogicky ostatní nerovnosti)

Operace s funkcemi

h h(x) D(h)

soucet f + g f (x) + g(x) D(f ) ∩ D(g)

rozdíl f − g f (x)− g(x) D(f ) ∩ D(g)

soucin f · g f (x) · g(x) D(f ) ∩ D(g)

podílfg

f (x)g(x)

(D(f ) ∩ D(g)) \{x | g(x) = 0 }

násobek a · f a · f (x) D(f )( a ∈ R )

složená funkce . . . h = g ◦ f . . . h(x) = g(f (x))

(musí platit H(f ) ⊂ D(g))

f – vnitrní funkce, g – vnejší funkce

vliv skládání na zmenu grafu funkce . . .

viz skripta [JT-DIP] str. 28 (30), Veta 3.31

2.1 Vlastnosti funkcí

prostá funkce . . . f (x1) 6= f (x2) pro x1 6= x2

( tj. f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 )

inverzní funkce . . . f−1(x) = y ⇔ f (y) = x . . .

. . . D(f−1) = H(f ) ( f musí být prostá )

Definice:

Rekneme, že funkce f je zdola omezená na množine A ⊂ D(f ),jestliže existuje L ∈ R tak, že pro všechna x ∈ A platí:

L ≤ f (x) .

Rekneme, že funkce f je shora omezená na množine A ⊂ D(f ),jestliže existuje K ∈ R tak, že pro všechna x ∈ A platí:

f (x) ≤ K .

Definice:Rekneme, že funkce f je omezená na množine A ⊂ D(f ), jestližeexistuje S ∈ R tak, že pro všechna x ∈ A platí:

|f (x)| ≤ S .

Funkce je omezená na A, práve když je na A omezená zdola i shora.

Funkce je omezená práve tehdy, když je její obor hodnot omezenámnožina (analogicky funkce omezené z jedné strany).

Poznámka:Je-li A = D(f ), vynecháváme v názvu: „ na množine A”.

(Podobne i u dalších pojmu.)

Príklad 2.1: Funkce f (x) =1

x2 + 1je omezená.

Definice:

Rekneme, že funkce f je na množine A ⊂ D(f )

• neklesající ( nerostoucí ), jestliže

f (x1) ≤ f (x2) ( f (x1) ≥ f (x2) ) ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2,

• rostoucí ( klesající ), jestliže

f (x1) < f (x2) ( f (x1) > f (x2) ) ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2,

• monotonní, je-li na A neklesající nebo nerostoucí,

• ryze monotonní, je-li na A rostoucí nebo klesající.

rostoucí ⇔ ( f (x1)− f (x2) ) · (x1 − x2) > 0 ∀ x1, x2 ∈ A, x1 6= x2

klesající ⇔ ( f (x1)− f (x2) ) · (x1 − x2) < 0 ∀ x1, x2 ∈ A, x1 6= x2

(podobne pro nerostoucí a neklesající)

Platí:Je-li funkce f ryze monotonní na D(f ), pak je prostá a existujef−1. Funkce f−1 má stejný typ monotonie jako f .

Príklady:1) f (x) = [x ] . . . neklesající na D(f ) = R,

rostoucí napr. na Z nebo na { 12 + k | k ∈ Z}

2) f (x) =1x; D(f ) = (−∞,0) ∪ (0,∞) . . .

klesající na (−∞,0) a na (0,∞)

není ale klesající na celém D(f )

Poznámka:Budeme-li dále mluvit o intervalech, nebudeme brát v úvahu intervaly

jednobodové ( tj. intervaly typu 〈a, a 〉 ).

Definice:

Rekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí

a) −x ∈ D(f ),b) f (−x) = f (x).

Rekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí

a) −x ∈ D(f ),b) f (−x) = −f (x) .

• „ sudá · sudá = lichá · lichá = sudá ”

• „ sudá · lichá = lichá · sudá = lichá ”

Definice:

Rekneme, že funkce f je periodická s periodou T > 0, jestližepro každé x ∈ D(f ) platí

a) x ± T ∈ D(f ),b) f (x + T ) = f (x)

(= f (x − T )

).

T je perioda, k ∈ N ⇒ k · T je perioda

základní perioda . . . nejmenší perioda (pokud existuje)

- nemají ji napr.: konstantní funkce

Dirichletova funkce:

f (x) = 1 pro x ∈ Q

f (x) = 0 pro x 6∈ Q

2.2 Posloupnosti

posloupnost reálných císel . . .

. . . zobrazení množiny prirozených císel do mn. reálných císel

n -tý clen posloupnosti . . . hodnota zobrazení v bode n ∈ N

(Analogicky lze definovat i posloupnost komplexních císel.)

Znacení: cleny posloupnosti . . . an, bn apod.

posloupnost . . . (an)∞n=1, (an)n∈N, (a1, a2, a3, . . . )

( casto také : {an}∞n=1 apod. )

Obecneji: Množinu N nahradíme množinou N0 nebo

{ k , k + 1, k + 2, . . . }, k ∈ N ( k ∈ Z ) apod.

Platí: Posloupnost (an)∞n=1 je rostoucí práve tehdy, když pro každé

n ∈ N platí

an+1 > an neboli an+1 − an > 0.

(Analogicky pro další typy monotonie.)

Definice :Rekneme, že posloupnost (an)

∞n=1 je omezená ( shora omezená |

zdola omezená ), jestliže je množina jejích clenu omezená ( shoraomezená | zdola omezená ), tj. jestliže existuje K ∈ R takové, že

|an| ≤ K ( an ≤ K | K ≤ an ) pro všechna n ∈ N.

Poznámka : Posloupnost je omezená práve tehdy, když je omezenáshora i zdola.

Poznámka : Na omezenost ci neomezenost posloupnosti nemá vlivzmena konecne mnoha jejích clenu.

Definice :Rekneme, že posloupnost (an)

∞n=1 je neklesající ( nerostoucí ),

jestliže

an+1 ≥ an ( an+1 ≤ an ) pro každé n ∈ N.

Posloupnost nazveme monotonní, je-li neklesající nebo nerostoucí.

Rekneme, že posloupnost (an)∞n=1 je rostoucí ( klesající ), jestliže

an+1 > an ( an+1 < an ) pro každé n ∈ N.

Posloupnost nazveme ryze monotonní, je-li rostoucí nebo klesající.

Poznámka: Pro posloupnost

an = 8(n − 1)(n − 2)(n − 3) + 7n

platí

an+1 − an = 24(

n − 32

)2+ 1 > 0 ∀n ∈ N,

tedy je rostoucí.

Pro funkcif (x) = 8(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 7x

stejne platí

f (x + 1)− f (x) = 24(

x − 32

)2+ 1 > 0 ∀x ∈ D(f ) = R.

Funkce f presto není rostoucí. Máme totiž napr.

115

> 2 a zároven f(11

5

)= 14− 17

125< 14 = f (2).

Pri zkoumání monotonie funkce tedy nestací porovnat její hodnoty v bodechx a x + 1.

Speciální prípady posloupností

• konstantní posloupnost: an = A ∈ R pro každé n ∈ N

• aritmetická posloupnost

dáno a1 ∈ R, d ∈ R (d − diference )

an+1 = an + d pro n ∈ N ( rekurentní zadání ),

tj.

an = a1 + (n − 1) · d pro n ∈ N ( zadání vzorcem pro n -tý clen )

Platí:

a1 + a2 + . . .+ an = sn =(a1 + an) · n

2=

(2a1 + (n − 1) · d) · n2

• geometrická posloupnost

dáno a1 ∈ R, q ∈ R (q − kvocient )

an+1 = an · q pro n ∈ N,

tj.

an = a1 · qn−1 pro n ∈ N

( pokládáme tu q0 = 1 pro každé q ∈ R )

Platí:

a1 + a2 + . . .+ an = sn = a1 ·1− qn

1− qpro q 6= 1

• geometrická posloupnost

dáno a1 ∈ R, q ∈ R (q − kvocient )

an+1 = an · q pro n ∈ N,

tj.

an = a1 · qn−1 pro n ∈ N

( pokládáme tu q0 = 1 pro každé q ∈ R )

Platí:

a1 + a2 + . . .+ an = sn = a1 ·1− qn

1− qpro q 6= 1

a1 + a2 + . . .+ an = sn = n · a1 pro q = 1

2.3 Elementární funkce

podrobne viz skripta [JT-DIP] strany 30 - 40 (32 - 42)

( je potreba znát dobre grafy ! )

1. Mocnina. Funkce xα, ax , loga x

A) OBECNÁ MOCNINA

f (x) = xα . . . α ∈ R − pevné

pro α racionální: D(f ) a H(f ) závisí na α,

vždy (0,∞) ⊂ D(f ), a pro α 6= 0 také (0,∞) ⊂ H(f )

pro α iracionální: D(f ) = (0,∞), H(f ) = (0,∞)

B) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE ( o základu a )

f (x) = ax . . . a > 0 − pevné

D(f ) = R, H(f ) = (0,∞) pro a 6= 1, H(f ) = {1} pro a = 1

speciálne

pro a = e ( Eulerovo císlo ) znacíme ex = exp(x)

. . . exponenciální funkce

( e .= 2,718, definuje se predpisem e = limn→∞ (1 + 1

n )n )

C) LOGARITMICKÁ FUNKCE ( o základu a )

( inverzní funkce k exponenciální funkci )

loga x = y ⇔ ay = x . . . a > 0, a 6= 1 − pevné

D(f ) = (0,∞), H(f ) = R

speciálne

pro a = e znacíme log e x = ln x . . . prirozený logaritmus

x

y

a > 1

0 < a < 1

1

graf funkce f (x) = loga x

Vlastnosti logaritmu ( a, b > 0, a, b 6= 1 ; x , y > 0 ; r ∈ R ):

• loga

(1x

)= − loga x

• loga( x y ) = loga x + loga y

• loga

(xy

)= loga x − loga y

• loga x r = r loga x

• loga x =logb xlogb a

, speciálne: loga x =ln xln a

Platí:

ax = ex ln a pro a > 0, x ∈ R

( protože ex ln a = eln axa funkce ln x je inverzní funkce k ex )

2. Goniometrické a cyklometrické funkce

A) GONIOMETRICKÉ FUNKCE

sin x . . . D(f ) = R, H(f ) = 〈−1, 1〉, lichá, 2π-periodická

cos x . . . D(f ) = R, H(f ) = 〈−1, 1〉, sudá, 2π-periodická

tg x =sin xcos x

. . . D(f ) =⋃k∈Z

(−π2

+ kπ,π

2+ kπ),

lichá, π-periodická

cotg x =cos xsin x

. . . D(f ) =⋃k∈Z

(kπ, (k + 1)π),

lichá, π-periodická

x

y

sin xcos x

−3π −2π −π π 2π 3π

1

−1

grafy funkcí sin x a cos x

x

y

tg x

cotg x−2π −π 0 π 2π

grafy funkcí tg x a cotg x

Vybrané vlastnosti funkcí sin x a cos x :

• sin x = cos (x − π

2) cos x = sin (x +

π

2)

• sin2 x + cos2 x = 1

• sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x

• sin2 x =12(1− cos 2x) cos2 x =

12(1 + cos 2x)

• sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

• sin x + sin y = 2 sinx + y

2cos

x − y2

sin x − sin y = 2 cosx + y

2sin

x − y2

cos x + cos y = 2 cosx + y

2cos

x − y2

cos x − cos y = −2 sinx + y

2sin

x − y2

Základní hodnoty goniometrických funkcí

0π

6π

4π

3π

23π4

π5π4

3π2

7π4

sin x 012

√2

2

√3

21

√2

20 −

√2

2−1 −

√2

2

cos x 1√

32

√2

212

0 −√

22−1 −

√2

20

√2

2

tg x 0√

33

1√

3 × −1 0 1 × −1

cotg x ×√

3 1√

33

0 −1 × 1 0 −1

CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

( inverzní ke goniometrickým zúženým na vhodný interval )

f D(f ) H(f ) f−1 D(f−1) H(f−1)

sin x⟨−π

2,π

2

⟩〈−1,1 〉 arcsin x 〈−1,1 〉

⟨−π

2,π

2

⟩

cos x 〈0, π 〉 〈−1,1 〉 arccos x 〈−1,1 〉 〈0, π 〉

tg x(−π

2,π

2

)R arctg x R

(−π

2,π

2

)

cotg x (0, π ) R arccotg x R (0, π )

Poznámka: Cyklometrické funkce nejsou inverzními funkcemi kegoniometrickým funkcím jako takovým, ale jen k jejich zúžením naurcitý interval. Máme

arcsin(sin 0) = arcsin 0 = 0,

alearcsin(sin(π)) = arcsin 0 = 0 6= π,

arcsin(

sin(3

2π))

= arcsin(−1) = −π26= 3

2π.

Pro funkci arctg platí:

x ∈ (−π2

+ kπ,π

2+ kπ), k ∈ Z =⇒ x = arctg (tg x) + kπ.

x

y

arcsin x

arccos x

−π2

π2

π

−1 1

grafy funkcí arcsin x a arccos x

x

y

arctg x

arccotg x

−π2

π2

π

π4

1

grafy funkcí arctg x a arccotg x

HYPERBOLICKÉ FUNKCE

f D(f ) H(f )

sinh x =ex − e−x

2R R

cosh x =ex + e−x

2R 〈1, ∞ )

tgh x =sinh xcosh x

=ex − e−x

ex + e−x R (−1, 1 )

cotgh x =cosh xsinh x

=ex + e−x

ex − e−x R \ { 0 } (−∞, −1 ) ∪ (1∞ )

x

y

sinh x

cosh x

1 x

y

tgh x

cotgh x

−1

1

grafy hyperbolických funkcí

Vybrané vlastnosti funkcí sinh x a cosh x :

• | sinh x | < cosh x

• cosh2 x − sinh2 x = 1

• sinh 2x = 2 sinh x cosh x

cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x

HYPERBOLOMETRICKÉ FUNKCE

( inverzní k hyperbolickým, prípadne zúženým na vhodný interval )

f D(f ) H(f ) f−1 D(f−1) H(f−1)

sinh x R R argsinh x R R

cosh x 〈0,∞ ) 〈1,∞ ) argcosh x 〈1,∞ ) 〈0,∞ )

tgh x R (−1, 1 ) argtgh x (−1, 1 ) R

cotgh x R \ { 0 } R \ 〈−1, 1〉 argcotgh x R \ 〈−1, 1〉 R \ { 0 }

y

x

sinh xcosh x

1

x

yargtgh x

argcotgh x

−1 1

grafy hyperbolometrických funkcí

Vyjádrení hyperbolometrických funkcí pomocílogaritmu

• argsinh x = ln(x +√

x2 + 1 ), x ∈ R

• argcosh x = ln(x +√

x2 − 1 ), x ∈ 〈1,∞)

• argtgh x =12

ln(

1 + x1− x

), x ∈ (−1,1)

( viz Príklad 2.2 )

• argcotgh x =12

ln(

1 + xx − 1

), x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)

Príklad 2.2: Pro |x | < 1 vyjádrete argtgh x pomocílogaritmické funkce.

Rešení: Oznacíme y = argtgh x . Pak

x = tgh y =ey − e−y

ey + e−y .

Po rozšírení zlomku výrazem ey postupne dostáváme

x =e2y − 1e2y + 1

(e2y + 1)x = e2y − 1

(x − 1)e2y = −1− x

e2y =−1− xx − 1

e2y =1 + x1− x

2y = ln(1 + x

1− x

).

Tedy

argtgh x =12

ln(1 + x

1− x

).