1Tento výukový materiál vznikl v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost
1. KŠPA Kladno, s. r. o., Holandská 2531, 272 01 Kladno, www.1kspa.cz
Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0292
Číslo materiálu: VY_42_INOVACE_MAT-FUNKCE-23
Tematický celek (sada): FunkceTéma (název) materiálu: Jednotková kružnicePředmět: Matematika
Ročník / Obor studia: 3. a 4. ročník/ Ekonomika a podnikání, Cestovní ruch, Informační technologie
Autor / datum vytvoření: Ing. Bc. Jaroslava Horová/10.09.2013
Anotace: Žáci se seznámí s jednotkovou kružnicí.
Metodický pokyn: Určeno k prezentaci nebo samostudiu.
2
OBLOUKOVÁ MÍRA
velikost úhlu měříme ve stupních nebo v obloukové míře
jednotkou obloukové míry je RADIÁN je nutné zavést tzv. orientovaný úhel
3
ORIENTOVANÝ ÚHEL
každá uspořádaná dvojice polopřímek, které mají společný počátek
jedna polopřímka – počáteční rameno
druhá polopřímka – koncové ramenoB
A
V
-
B
A
V+
záporně orientovaný úhel
kladně orientovaný úhel
VA – počáteční ramenoVB – koncové rameno
4
ORIENTOVANÝ ÚHEL
při otáčení může polopřímka vykonat libovolný počet otáček
5
RADIÁN
středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku o délce jedné jednotky
délka jednotkové kružnice - 2π 2π rad = 360°
6
JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE
0;2, 1
I. kvadrantII. kvadrant
III. kvadrant IV. kvadrant
7
JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE – DEFINICE GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ
Funkce sin x je definována jako yová souřadnice průsečíku P koncového ramene orientovaného úhlu x s jednotkovou kružnicí. Funkce cos x je definována jako xová souřadnice průsečíku P koncového ramene orientovaného úhlu x s jednotkovou kružnicí.Funkce tg x je definována jako podíl funkce sin x a cos x.
Funkce cotg x je definována jako podíl funkce cos x a sin x.Číslo x se nazývá
argumentem funkce.
0;2
sin x
P
cos x
x
8
JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE
Obr. 1
9
TABULKA ZNAMÉNKOVÝCH HODNOT V JEDNOTLIVÝCH KVADRANTECH
Kvadrant sin cos tg cotg
I. kvadrant + + + +
II. kvadrant + - - -
III. kvadrant - - + +
IV. kvadrant - + - -
2;0
;2
2
3;
2;2
3
10
PŘÍKLAD
Určete hodnoty goniometrických funkcí argumentu α = 120°.Řešíme ve II. kvadrantu.
x
y
α = 120°sinα = 120°
cos α = 120°
60°
11
URČENÍ GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ ZÁKLADNÍHO ÚHLU POMOCÍ FUNKCÍ OSTRÉHO ÚHLU
označíme si ostrý úhel , označíme si základní úhel ,
v I. Kvadrantu jsou všechny goniometrické funkce základního úhlu rovny goniometrickým funkcím ostrého úhlu
20
20
12
II. kvadrant
2
0;2, 1
sin)sin(sin
cos)cos(cos
tgtgtg )(
ggg cot)(cotcot
13
III. kvadrant
2
3
0;2, 1
sin)sin(sin
cos)cos(cos
tgtgtg )(
ggg cot)(cotcot
14
IV. kvadrant
2
2
3
0;2, 1
22
sin)2sin(sin
cos)2cos(cos
tgtgtg )2(
ggg cot)2(cotcot
15
PŘÍKLADY
Určete:
3
2sin
225cot g 300cos
Úhel leží ve II. kvadrantu.3
2sin
2
3
3sin
3
2sin
3
2sin
16
Úhel leží ve III. kvadrantu.
225cot g
145cot180225cot225cot ggg
Úhel leží ve IV. kvadrantu.
300cos
2
160cos300360cos300cos
17
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ
1. Určete hodnoty goniometrických funkcí argumentu α = 330°.
2. Určete hodnoty goniometrických funkcí argumentu α = 300°.
3. Určete hodnoty goniometrických funkcí argumentu α = 225°.
18
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ - ŘEŠENÍ
1.
2.
3. řešíme ve III. kvadrantu
řešíme ve IV. kvadrantu
řešíme ve IV. kvadrantu
19
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoli další využití podléhá autorskému zákonu.
POUŽITÉ ZDROJE
RNDr. ČERMÁK, Pavel; Mgr. ČERVINKOVÁ, Petra. Odmaturuj z matematiky. Brno: DIDAKTIS spol. s.r.o., 2002, ISBN 80-86285-38-3.
PaedDr. KUBEŠOVÁ, Naděžda; Mgr. CIBULKOVÁ, Eva. Matematika - přehled středoškolského učiva. Třebíč: Petra Velanová, 2006, ISBN 80-86873-03-X.
PhDr. ŘÍDKÁ CSc, Eva; RNDr. BLAHUNKOVÁ, Dana; Mgr. CHÁRA, Petr. Maturitní otázky - matematika. Praha: Fragment, s.r.o., 2007, ISBN 978-80-253-0497-6.
RNDr. KLODNER, Jaroslav. Matematika pro obchodní akademie II. díl. Svitavy: neuvedeno, 2000, ISBN NEUVEDENO.
Pokud není uvedeno jinak jsou obrázky vlastní tvorby Obr. 1 GUSTAVB. http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Unit_circle_angles.svg [online].
[cit. 10.9.2013]. Dostupný pod licencí GNU