1
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Teorie řízení technologických
procesů I testovací učební text
Milan HEGER, Alois BURÝ
Ostrava 2017
2
POKYNY KE STUDIU
Teorie řízení technologických procesů I
Pro předmět Teorie řízení technologických procesů I jste obdrželi studijní balík obsahující
integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu.
Prerekvizity
Nejsou nutnou podmínkou.
Cílem předmětu a výstupy z učení
Cílem předmětu je seznámení s problematikou automatického řízení a problematice řešení
úloh řízení technologických agregátů obecně.
Po prostudování předmětu by měl student být schopen:
výstupy znalostí:
Student bude znát základní pojmy a vztahy teorie automatického řízení.
Student bude znát základní principy řízení.
Student bude znát vlastnosti dynamických systémů.
Student bude znát funkce řídicích systémů.
výstupy dovedností:
Student bude umět klasifikovat a aplikovat jednotlivé metody teorie automatického řízení v
praxi.
Student bude umět navrhovat postupy pro automatické řízení jednotlivých technologických
agregátů.
Student bude umět analyzovat problematiku technické aplikace automatického řízení
technologických agregátů.
Pro koho je předmět určen
Předmět je zařazen do bakalářského studia na FMMI, ale může jej studovat i zájemce
z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity.
Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky,
ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto
jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná
struktura.
Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:
• Pozorně přečíst teoretickou část kapitoly.
• Ihned si na počítači vyzkoušet všechny, byť jen dílčí příklady.
3
• Vytvořit všechny programy, které jsou v zadání úloh k řešení a snažit se je tvůrčím
způsobem modifikovat.
Způsob komunikace s vyučujícími:
Podrobnější pokyny, tak jako úkoly, programy a projekty budou zadány vyučujícím na
počátku přímé kontaktní výuky. Výsledky budou kontrolovány dle pokynů vyučujícího.
Konzultace je možno domluvit s vyučujícím přímo ve výuce nebo e-mailem s vyučujícím,
který naleznete v kontaktech VŠB-TU Ostrava.
K orientaci v textu vám mohou sloužit následující ikony:
Čas ke studiu: xx hodin
Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orientační a může vám
sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Čas strávený nad
každou kapitolou bude značně závislý na množství příkladů, které budete řešit samostatně na
počítači a hloubce jejich propracování.
Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět
popsat ...
definovat ...
vyřešit ...
Nejprve se seznámíte s cíli, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly. Jde o
konkrétní dovednosti, znalosti a praktické zkušenosti, které studiem kapitoly získáte.
Výklad
Následuje výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše
doprovázeno obrázky, tabulkami, příklady a odkazy na výukové programy s animacemi.
Shrnutí pojmů
Na závěr kapitoly jsou stručně zopakovány významné pasáže a pojmy, které si máte osvojit.
Otázky
4
Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik
teoretických, ale i praktických otázek.
Úlohy k řešení
Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využití v
praxi, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy k řešení. V nich je hlavní význam
předmětu, a to schopnost aplikovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálných situací.
Spojení s pedagogem
Pro studenty kombinovaného studia jsou přednášející a cvičící pedagogové
připraveni konzultovat probíranou problematiku formou e-mailu, které je aktuálně snadné
získat v kontaktech VŠB-TU Ostrava.
Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje autor výukového materiálu
Milan Heger © M. Heger – A. Burý
Obsah
1. ZÁKLADNÍ POJMY Z OBLASTI SYSTÉMŮ A ŘÍZENÍ .......................................... 6 1.1. Systémy a řízení ...................................................................................................................... 6
2. LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ ............................................... 11
5
2.1. Teorie logických obvodů ....................................................................................................... 11 3. KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ ................... 22
3.1. Teorie kombinačních logických obvodů ............................................................................... 22
4. SEKVENČNÍ LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ ...................... 24 4.1. Teorie sekvenčních logických obvodů .................................................................................. 24
ELEMENTÁRNÍ SEKVENČNÍ LOGICKÝ OBVOD ........................................................... 25 5. KLOPNÉ OBVODY A JEJICH APLIKACE .............................................................. 28
5.1. Teorie klopných obvodů ........................................................................................................ 28 5.2. RS klopný obvod ................................................................................................................... 29 5.3. JK klopný obvod ................................................................................................................... 30 5.4. T klopný obvod ..................................................................................................................... 31 5.5. D klopný obvod ..................................................................................................................... 32
6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY A JEJICH APLIKACE ................................................... 35 6.1. Teorie dynamických systémů ................................................................................................ 35
7. POPIS LINEÁRNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ ............................................... 37 7.1. Možnosti popisu lineárních dynamických systémů ............................................................... 37
8. CHARAKTERISTIKY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ ............................................. 40 8.1. Charakteristiky dynamických systémů v časové oblasti ....................................................... 40
9. FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY ....................................................................... 45 9.1. Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky .................................................................... 45
10. ROZDĚLENÍ ZÁKLADNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ A JEJICH
MATEMATICKÝ POPIS ..................................................................................................... 53 10.1. Základní dynamické systémy ............................................................................................ 53
11. BLOKOVÁ ALGEBRA ................................................................................................. 57 11.1. Teorie blokové algebry ...................................................................................................... 57
12. REGULAČNÍ OBVOD .................................................................................................. 61 12.1. Struktura regulačního obvodu ........................................................................................... 61
13. REGULÁTORY .............................................................................................................. 66 13.1. Struktura a popis regulátorů .............................................................................................. 66
14. SIMULACE REGULAČNÍCH OBVODŮ ................................................................... 72 14.1. Pojem simulace .................................................................................................................. 72
6
1. Základní pojmy z oblasti systémů a řízení
1.1. Systémy a řízení
Čas ke studiu: 1 hodina
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat základní pojmy automatického řízení
popsat a rozdělit systémy
vyřešit vztahy mezi systémy, řízením, ovládáním a regulací
určit vztahy automatického řízení s ostatními oblastmi IT
Výklad
V reálném světě se setkáváme s různými objekty, z kterých je tvořen vesmír. Od známých i
neznámých galaxií, přes hvězdy, sluneční soustavy a planety přes jednotlivě rostliny a
živočichy až po molekuly, atomy, jejich jádra a elektrony a další částice, které třeba budou
objeveny až za několik let. Z hlediska kybernetiky a teorie řízení budeme každý takový
objekt, který chceme zkoumat nebo nějakým způsobem na něj působit, nazývat systém.
Z uvedeného výčtu objektů bude tedy možno systémy dělit podle různých hledisek a je zde
také možno vypozorovat, že některé systémy jsou součástí (podsystémem) systémů jiných.
Výběr a označení objektu zájmu za systém budou tedy závislé na potřebné rozlišovací úrovni
zkoumání.
Definice a rozdělení systémů z hlediska teorie řízení
Systém je definován jako účelově uspořádaná množina prvků a množina vazeb mezi nimi,
se specifickým chováním, které spolu určují vlastnosti celku.
Pro práci se složitými a rozsáhlými objekty, jako jsou například výrobní a technologické
metalurgické procesy, je nutný systémový přístup, který spočívá v tom, že jevy vyskytující se
při řešení vzniklých problémů, jsou chápany komplexně, ve všech souvislostech a ve svém
dynamickém vývoji.
7
Prvek je část systému, který tvoří na dané rozlišovací úrovni dále nedělitelný celek.
Rozlišovací úroveň charakterizuje stupeň podrobnosti zkoumání systému. Změnou
rozlišovací úrovně se může prvek stát systémem a naopak.
Podsystém je podmnožina systémových prvků a vazeb, která je z nějakého důvodu vyčleněna
ze systému. Většinou je chápana jako nový systém.
Každý systém existuje v určitém specifickém okolí. Je proto výhodné omezit se pouze na
podstatné okolí, které je se systémem v přímé interakci.
Pokud neexistují vazby mezi prvky sledovaného systému a okolím, pak takový systém
nazýváme uzavřený neboli izolovaný.
Pokud existují vazby mezi prvky sledovaného systému a okolím, pak takový systém
nazýváme otevřený.
Výstupem systému budeme označovat vazby, kterými působí systém na okolí.
Aby byl systém pozorovatelný, musí mít alespoň jeden výstup.
Vstupem systému budeme označovat vazby, jejichž prostřednictvím působí okolí na systém.
Aby byl systém řiditelný, musí mít alespoň jeden vstup.
Chování systému je způsob specifické reakce systému na podněty z okolí.
Řízení, ovládání a regulace
Řízení je možno chápat jako cílevědomé působení řídicího systému (ŘS) na řízený objekt
(ŘO) a to tak, aby byly za všech reálných okolností splněny požadované cíle řízení.
Problematikou řízení technických systémů se zabývá technická kybernetika.
Rozhodující pro rozlišení dvou základních přístupů k řízení je využití tzv. zpětné vazby
(znalosti skutečné hodnoty výstupu řízeného objektu řídicím systémem).
8
Řízení bez zpětné vazby
Není li při řízení využita zpětná vazba, hovoříme o dopředném řízení nebo ovládání.
Řízení se zpětnou vazbou
Je-li při řízení využita zpětná vazba, hovoříme o regulaci.
Automatizace, automatické a automatizované systémy řízení
Automatizace může být chápána jako cílevědomý proces zavádění a využívání prostředků
automatizační techniky do všech oblastí lidské činnosti.
Cílem jejího zavádění je snaha o stálé zvyšování efektivity lidských činností.
Automatické řízení je řízení, které je realizováno výlučně prostředky automatizační
techniky.
Automatizované řízení je řízení člověkem, které je racionalizované za pomoci prostředků
automatizační techniky.
Vazba na technické prostředky řízení metalurgických procesů, identifikaci, modelování
a simulaci
Problematika řízení v tomto učebním textu bude výhradně zaměřena na informační stránku.
Technická řešení spojená s fyzikální stránkou řízených procesu a tomu odpovídající technické
Řídicí systém
Řízený objekt
cíl řízení výsledek řízení působení ŘS na ŘO
Řídicí systém
Řízený objekt
cíl řízení výsledek řízení působení ŘS na ŘO
zpětná vazba
9
prostředky budou zmíněny jen okrajově, neboť jim je věnováno několik základních předmětů
oboru (technické prostředky, počítačové sítě, řídicí systémy, PLC apod.).
Identifikace slouží k získání potřebných informací o sledovaném objektu a jejím cílem je
vytvořit některý z jeho matematických popisů.
Modelování slouží k získání matematických nebo jiných modelů sledovaného objektu
potřebných pro možné simulace.
Simulace slouží k experimentování s matematickým nebo jiným modelem za účelem získání
potřebných informací o sledovaném objektu.
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Systém ……………………………………………………………………….
Prvek systému ……………………………………………………………………….
Podsystém ……………………………………………………………………….
Vstup systému ……………………………………………………………………….
Výstup systému ……………………………………………………………………….
Chování systémů ……………………………………………………………………….
Řízení ……………………………………………………………………….
Ovládání ……………………………………………………………………….
Regulace ……………………………………………………………………….
Automatizace ……………………………………………………………………….
Automatizovaný systém ……………………………………………………………………….
Automatický systém ……………………………………………………………………….
Identifikace ……………………………………………………………………….
Modelování ……………………………………………………………………….
Simulace ……………………………………………………………………….
10
Otázky k probranému učivu
o
1. Co znamená pojem systém?
2. Co znamená pojem prvek systému?
3. Co znamená pojem podsystém?
4. Co znamená pojem řízení?
5. Co znamená pojem ovládání?
6. Co znamená pojem regulace?
7. Co znamená pojem automatizace?
8. Co znamená pojem automatizovaný systém?
9. Co znamená pojem automatický systém
10. Co znamená pojem identifikace
11. Co znamená pojem modelování
12. Co znamená pojem simulace
11
2. Logické obvody a jejich úloha v řízení
V technické praxi, ale i při běžných lidských činnostech se setkáváme s mnoha typy řízení,
které se mohou ve svém přístupu diametrálně lišit. Někdy je nutné rozhodnout se výběrem
jedné ze dvou opačných řešení a na základě tohoto rozhodnutí buď provést, nebo naopak
neprovést nějakou operaci.
Jako příklad může sloužit rozhodnutí, zda si s sebou vzít deštník, na základě zjištění toho,
jestli venku prší nebo neprší. Také rozhodnutí, zda v daný okamžik otevřít dvířka pece, může
být jednoznačně určeno tím, že je v tento okamžik splněn nějaký ukazatel toho, že je vsázka
pece právě připravena k odebrání z pece.
Oba případy mají něco společného. Míra reakce řídicího systému není přímo závislá na
konkrétní okamžité hodnotě nějaké sledované fyzikální veličiny (není klasickou
matematickou funkcí, např. y(t) = 10*u(t)). Řídicí systém generuje na svém výstupu
rozhodnutí, která nabývají pouze jednu ze dvou protichůdných hodnot (z matematického
hlediska označovaných jako výroky, které mohou z informačního hlediska nabývat pouze
dvou hodnot: true-false, nebo česky: ano-ne). Tato rozhodnutí jsou generována na základě
logického posouzení okamžité kombinace dvouhodnotových vstupních hodnot.
Logický obvod
2.1. Teorie logických obvodů
Čas ke studiu: 5 hodin
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat základní logické funkce
popsat logický obvod logickou funkcí
Logický obvod
Vstupy
Výstupy
12
vyřešit minimalizaci logické funkce
Automatické řízení logického typu je realizováno pomocí logických obvodů (logických sítí,
logických systémů), viz. obrázek 3.
z
x u LO ŘO
y
Obr.3 Blokové schéma obvodu řízení logického typu
Do logických obvodů (LO) vstupují dvouhodnotové signály y od snímačů, které informují o
stavech řízeného objektu (ŘO). Logické obvody pak působí na řízený objekt
dvouhodnotovými řídícími (ovládacími) signály u, které jej přes patřičné akční členy uvedou
do požadovaného stavu. A to podle algoritmu, který je dán návrhem logického obvodu, a
který respektuje vnější řídící povely x i poruchové vlivy z působící na objekt řízení.
Přičemž řídicí systém (logický obvod) působí na objekt řízení konečným počtem řídicích akcí
(konečný automat).
Logické obvody jsou takové technické systémy, které zpracovávají dvouhodnotové (binární) signály,
ať již je jejich fyzikální realizace z elektromechanických, elektronických, pneumatických nebo
hydraulických obvodů.
Pozn.: Logické obvody se široce používají při automatickém řízení logického typu, kontrole různých
technologických procesů, při automatickém řízení dopravy, při řízení spojení a dálkovém přenosu
zpráv ve spojovací technice, při řízení práce číslicových počítačů a mikroprocesorových systémů, atd.
Formální logika
13
Při návrhu logického obvodu, jenž by vytvářel binární výstupní (ovládací) signály podle požadované
zákonitosti (algoritmu), je nutno tuto zákonitost matematicky formulovat. K získání matematického
popisu funkce logického obvodu se používá pravidel a zákonů formální logiky. Formální logika
pracuje s výroky. Základním pojmem pro logické vztahy je výrok. Výrokem se rozumí každá věta, o
které můžeme rozhodnout, zda je pravdivá či nepravdivá.
Příklad výroku: „Výrobní stroj pracuje (produkuje).“ Toto je výrok, protože má smysl se zeptat: Je
pravda, že výrobní stroj pracuje? A odpověď by byla (dle konkrétní situace): Ano je to pravda
(TRUE). Nebo: není to pravda (FALSE). V tomto smyslu výroky mají určitou hodnotu (TRUE či
FALSE) a jsou nositeli elementární informace.
Matematicky můžeme výroky formulovat, přiřadíme – li pravdivosti daného výroku pravdivostní
hodnotu. Například bude –li výrok pravdivý, bude jeho pravdivostní hodnota rovna 1, bude –li
nepravdivý bude jeho pravdivostní hodnota rovna 0. Vlastní slovní vyjádření výroku se pak nahradí
vhodným symbolem. Například písmenem z abecedy (a,b,c,d,e,f,......), nebo písmenem s indexem ( x1,
x2, x3,....., y1, y2,....., u1,u2, ...), apod.
Logické funkce
Ze dvou nebo i více jednoduchých výroků lze jejich vhodným spojováním získat výroky nové, jejichž
pravdivost či nepravdivost závisí na způsobu jejich spojení a na pravdivostních hodnotách
jednoduchých výroků. Nejčastěji používaným názvem těchto složených výroků je logická funkce.
Přitom se příslušné jednoduché výroky označují jako logické proměnné, které mohou nabývat
pravdivostních hodnot 1 nebo 0 (logické jedničky nebo logické nuly).
Základní logické funkce
Nejjednodušší logickou funkcí je logická funkce negace. Vstupní logická proměnna je zde označena
písmenem a (může nabývat hodnoty logické jedničky a nebo logické nuly). Výstupní logickou
proměnnou je u (která nabývá také dvou hodnot logické nuly a jedničky a to inverzně). Její
algebraický zápis je uveden ada). Definice pomocí kombinační tabulky je adb). Obecná obdélníková
značka logického prvku , který realizuje logickou funkci negace je uvedena adc).
14
Negace: a) au
b) c)
a u
0 1
1 0
Další základní logické funkce jsou tvořeny jakožto výsledek kombinací dvou vstupních logických
proměnných (zde označených písmeny a a b). Funkce logického součtu je definována v kombinační
tabulce adb), algebraický zápis této funkce je ada), obecná obdélníková značka prvku, který realizuje
tuto funkci je adc).
Logický součet: a) bau
b) c)
b a u
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Logický součin: a) u = a . b
b) c)
b a u
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tyto tři elementární logické funkce tvoří úplný soubor logických funkcí tak, jak jej stanovil irský
matematik Henry Boole. Vlastností úplného souboru logických funkcí je, že pomocí něj se dají
vyjádřit všechny ostatní logické funkce. Respektive dají se realizovat pomocí logických prvků: typu
negace (NOT), logického součinu (AND) a logického součtu (OR). Takže realizace dalších
jednoduchých logických funkcí pro dvě vstupní proměnné a jednu výstupní logickou proměnnou je
právě pomocí těchto prvků a nejsou vyráběny ani prezentovány odpovídající logické prvky. Výjimku
tvoří Shefferova a Peirceova funkce, které samy o sobě mají vlastnost úplného souboru logických
funkcí to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce ostatní.
15
Implikace: a) bau
b)
b a u
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
Ekvivalence: a) bau
b)
b a U
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Nonekvivalence: a) bau
b)
b a U
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Inhibice:
a) bau /
b)
b a U
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 0
Zpětná implikace u1, zpětná inhibice u2, nulová funkce u3, jednotková funkce u4,
aserce“a“ u5, aserce „b“ u6.
b a u1 u2 u3 u4 u5 u5
0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 0 0 1 1 1
16
Shefferova funkce: a) bau .
b) c)
b a u
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Shefferova logická funkce je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NAND, jehož obdélníková
grafická značka je uvedena adc).
Peirceova funkce: a) bau
b) c)
b a u
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Peirceova funkce, je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NOR, viz. adc).
Jak již bylo výše uvedeno, Shefferova a Peirceova funkce mají samy o sobě vlastnost úplného souboru
logických funkcí a to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce ostatní a to
včetně funkcí negace, logického součtu a logického součinu, což je s výhodou používáno při realizaci
logických obvodů na úrovni TTL logiky (číslicových integrovaných obvodů).
Booleova algebra
Tato logická algebra se opírá o úplný soubor logických funkcí, tvořený třemi elementárními logickými
funkcemi: logickým součtem, logickým součinem a negací. Priorita vazeb logických proměnných
v logických rovnicích (funkcích) je tato: 1. negace 2. logický součin 3. logický součet. Axiomatická
pravidla této logické algebry slouží k minimalizaci, čili zjednodušování logických funkcí.
zákon komutativní a + b = b + a a . b = b . a
zákon asociativní a + (b + c) = (a + b) + c a . (b . c) = (a . b) . c
zákon distributivní a + b . c = (a + b) . (a + c) a . (b + c) = a . b + a . c
zákon dvojí negace a = a
zákon vyloučeného třetího a + a = 1 a . a = 1
zákon absorpce a + a = a a . a = a
17
zákon agresivity hodnot 0 a 1 a + 1 = 1 a . 0 = 0
zákon neutrality hodnot 0 a 1 a + 0 = a a . 1 = a
zákony de Morganovy ba = a . b ba. = a + b
odvozená pravidla absorpce a + a . b = a . (1 + b ) = a a + a . b = a .(1 + b) = a
Úplná disjunktní a úplná konjunktní normální forma
Úplná disjunktní normální forma (ÚDNF) vyjadřuje logickou funkci zadanou kombinační tabulkou,
algebraickým výrazem (logickou rovnicí) ve tvaru logických součtů mintermů. Přičemž každý
minterm je tvořen logickým součinem logických proměnných, respektive jejich negací. S tím, že je –li
v daná logická funkce v tabulce charakterizována n proměnnými, pak každý minterm musí obsahovat
n těchto logických proměnných.
Obdobně úplná konjunktní normální forma (ÚKNF) je algebraickým vyjádřením logické funkce,
zadané kombinační tabulkou, ve tvaru logických součinů maxtermů (logických součtů) logických
proměnných. V každém maxtermu musí být n logických proměnných, je-li logická funkce
v kombinační tabulce zadána n logickými proměnnými.
Logickou funkci, převedeme na ÚDNF tak, že procházíme v kombinační tabulce výstupní logickou
proměnnou, a kde tato obsahuje logickou jedničku, pak odpovídající kombinace logických
proměnných vypisujeme ve tvaru mintermu. Tyto mintermy se pojí operandem logického součtu.
V daném mintermu je logická proměnná zastoupena svou původní hodnotou jestliže v dané kombinaci
v tabulce je uvedena logická jednička a má-li však hodnotu logické nuly, pak je zastoupena svou
negací.
Příklad
Převeďte logickou funkci vyjádřenou v kombinační tabulce do úplné disjunktní normální formy.
a 0 1 0 1 0 1 0 1
b 0 0 1 1 0 0 1 1
c 0 0 0 0 1 1 1 1
u 0 0 1 0 0 1 0 1
Řešení : u = .a b. c + a.b .c + a.b.c
Pozn. Vyjádření ÚKNF se realizuje obdobně s tím, že se berou v úvahu maxtermy, kde výstupní
logická proměnná u má hodnotu 0. Maxtermy se pak spojují operandem logického součinu. V daném
18
maxtermu jsou logické proměnné vyjádřeny svými negacemi, nabývají – li hodnot logické jedničky a
naopak.
Grafická minimalizační metoda
Minimalizace logických funkcí užitím zákonů Booleovy algebry je někdy dosti obtížná. Obtíž-
nost se zvětšuje, je-li logická funkce zadána větším počtem mintermů či maxtermů.
Proto se používají k minimalizaci různé metody, z nichž je velmi výhodná metoda
Kaurnaughovy mapy, pro čtyři až pět logických proměnných. Lze ji použít i pro
šest logických proměnných, dále pak již jen s doplňujícími šablonami.
Tato grafická minimalizační metoda spočívá ve dvou krocích :
1) Vytvoření grafické mapy a zapsání dané logické funkce ve tvaru ÚDNF nebo ÚKNF do
mapy.
2) Grafická minimalizace logické funkce v mapě a výpis výsledné minimalizované
logické funkce.
ad 1) Zápis (záznam) logické funkce do mapy.
Obecně je velikost mapy (počet políček) dána počtem logických proměnných dle
vztahu:
M = 2n kde n - je počet logických proměnných
a M - je počet políček tvořících mapu (počet kombinací).
Například mapa pro tři logické proměnné má: 23 = 8 políček, pro čtyři-šestnáct, pro pět-třicet dva a
pro šest proměnných-šedesát čtyři políček.
Převod dané logické funkce z ÚDNF do mapy se provádí tak, že jednotlivé mintermy se prezentují
v mapě hodnotou logické jedničky, dle příslušného grafického označení logických proměnných
po stranách mapy. Zbylá políčka mapy se vyplní hodnotou logické nuly. (V případě ÚKNF je
tomu obráceně).
ad2) Grafická minimalizace
Grafická minimalizace se opírá o představu tzv. sousedních políček sousedících spolu přes hrany (ne
přes vrcholy). Sousední políčka lze graficky sdružovat, čímž dochází k minimalizaci, protože
spojením dvou sousedních políček obsahujících jedničky, do jediného útvaru nazvaného dvojice
se vyloučí jedna logická proměnná. Při zpětném výpisu, takto zminimalizované logické funkce
z mapy, se na spojená políčka pohlíží jako na jeden útvar, který představuje jeden logický součin.
19
Sousední políčka lze graficky sdružovat do dvojic, čtveřic, osmic, šestnáctic, atd. Dvojice je
potom popsána logickým součinem o jednu proměnnou „chudším“, o kterou se právě dvě sousední
políčka liší a která se tímto vy-eliminuje, dle zákonů Booleovy algebry. Čtveřice, tj. grafický
útvar vzniklý sdružením čtyř sousedních políček, je pak určena logickým součinem o dvě logické
proměnné jednodušším. Osmice je pak určena logickým součinem o tři proměnné, jednodušším.
Šestnáctice o čtyři proměnné, atd.
Při čemž při grafické minimalizaci se snažíme sdružovat políčka do co možná největších útvarů
(vyloučí se tím více logických) a dále se snažíme, aby těchto útvarů bylo co nejméně. (Počet
útvarů odpovídá počtu logických součinů, výsledné logické funkce). Označení logických
proměnných na okraji mapy musí být provedeno tak, aby sousední políčka opravdu spolu sousedila
i podle grafické představy a to hranou, nikoliv však vrcholem.
Příklady:
Na obrázcích P1 až P4 je uvedeno pět příkladů grafické minimalizace. V příkladu jež je prezentován
obrázkem P1 obsahovala původní logická rovnice ve tvaru ÚDNF osm mintermů (každý tvořený
logickým součinem čtyř logických proměnných), obr.P2 pak šest mintermů, obr.P4 deset mintermů,
obr. P5 dokonce dvanáct mintermů. Pod každým obrázkem je pak uvedena výsledná minimalizovaná
logická rovnice.
Pozn. Znaménka X některých políčcích mapy (v obr. P3) znamenají, že takováto kombinace logických
proměnných nikdy nenastane a proto můžeme do takového políčka vepsat hodnotu 0, nebo 1 podle toho, co bude
výhodnější s hlediska minimalizace. Z obrázku je vidět, že pro minimalizaci bude výhodné zapojit čtyři políčka
s označením X do dvou čtverců. Do zbylých tří políček s označením X zapíšeme nuly, protože ta nám k
minimalizaci neprospějí.
Obr. P1
20
Obr. P3
Obr. P2
Obr. P4 Obr. P5
Příklad 1.1.
Minimalizujte tuto logickou rovnici: u = a . b . c + a. b . c + a . b . c + a . b . c
Řešení
u = a . b . c + a. b . c + a . b . c + a . b . c = a . c .( b + b ) + a . c ( b + b ) = a . (c + c )= a
Příklad 1.2.
Minimalizujte tuto logickou rovnici: u = a . ( a+b).( a +b)
Řešení
u = a . ( a+b).( a +b) = ( a + a.b). ( a + b) = a .( 1+ b). ( a + b)= a. ( a + b) = a . b
21
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Logický obvod ……………………………………………………………….
Logická proměnná ……………………………………………………………….
Logické funkce ……………………………………………………………….
Úplná normální disjunktní forma ……………………………………………………………….
Minimalizace ……………………………………………………………….
Mapa ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
13. Co je to logický obvod?
14. Čím se vyznačuje logická proměnná?
15. Jaké základní logické funkce znáte?
16. Co je to úplná normální disjunktní forma?
17. Jaké způsoby minimalizace znáte?
18. Co je to mapa a k čemu slouží?
22
3. Kombinační logické obvody a jejich úloha v řízení
3.1. Teorie kombinačních logických obvodů
Čas ke studiu: 2 hodiny
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat pojem kombinačních obvod
popsat princip kombinačních obvodů
vyřešit úlohy s použitím kombinačních obvodů
Výklad
Kombinační logické obvody (KLO) realizují logické funkce v závislosti na kombinaci stavů
vstupních logických proměnných.
Analýza KLO znamená, že získáme popis již realizovaného logického obvodu.
Syntéza KLO znamená, že získáme logickou funkcí příp. schéma logického obvodu
(realizaci) na základě požadavků na jeho funkci. Při návrhu KLO budeme využívat právě
syntézu.
Syntéza KLO obvodů obsahuje následující postup:
definice přiřazení logických hodnot vstupním a výstupním proměnným
vyjádření požadované činnosti obvodu prostřednictvím logických funkcí v kombinační
tabulce
převedení logické funkce (logických funkcí) z kombinační tabulky do logické rovnice
(logických rovnic) pomocí ÚDNF (respektive ÚKNF).
minimalizace logické funkce (logických funkcí)
sestavení symbolického schématu pro danou logickou funkci, nebo funkce z
grafických značek logických prvků, mající vlastnost úplného souboru logických funkcí.
realizace logické funkce (funkcí) konkrétními logickými prvky průmyslově
23
vyráběnými.
Příklad 1.3.
Navrhněte kombinační logický obvod (bez posledních dvou bodů syntézy), který bude pro tři vstupní
logické proměnné (a =1, b=1, c=1) vyhodnocovat:
a) překročení mezního stavu u jedné proměnných ze tří (u1)
b) překročení mezního stavu u dvou proměnných ze tří (u2)
c) všech tří proměnných najednou (u3)
Řešení
Kombinační tabulka
a 0 1 0 1 0 1 0 1
b 0 0 1 1 0 0 1 1
c 0 0 0 0 1 1 1 1
u1 0 1 1 0 1 0 0 0
u2 0 0 0 1 0 1 1 0
u3 0 0 0 0 0 0 0 1
ÚDNF:
u1 = a . b . c + a . b . c + a . b . c
u2 = a . b . c + a . b . c + a . b . c
u3 = a . b . c
Pozn. Uvedené tři ÚDNF jsou současně i minimálními logickými výrazy.
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Kombinační logický obvod ……………………………………………………………….
Analýza KLO ……………………………………………………………….
Syntéza KLO ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
19. Co je to kombinační logický obvod?
20. Co je to analýza KLO?
21. Co je to syntéza KLO?
24
4. Sekvenční logické obvody a jejich úloha v řízení
4.1. Teorie sekvenčních logických obvodů
Čas ke studiu: 1 hodin
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat pojem sekvenční obvod
popsat princip sekvenčních obvodů
vyřešit úlohy s použitím sekvenčních obvodů
Výklad
Sekvenční logické obvody jsou složitější oproti kombinačním logickým obvodům. Ve své
struktuře obsahují i kombinační logické obvody (KLO) a navíc pak ještě i paměťovou část
systému (PČS). Okamžité hodnoty výstupních logických proměnných U1, U2, U3 ... Um jsou
pak určeny nejen okamžitými kombinacemi vstupních logických proměnných X1, X2, X3 ...
Xm, ale také jejich předcházejícími kombinacemi.
x1 u1
x2 u2
x3 . kombinační u3
. logický
xn obvod um
Q1 q1 q2
Qk
paměťová
Qk-1 část
systému qk
Blokové schéma struktury sekvenčního logického obvodu
Předcházející kombinace hodnot vstupních logických proměnných vedly k nastavení
paměťové části systému do určitého stavu, představovaného kombinací hodnot vnitřních
proměnných Q1, Q2, ... Qk. Hodnoty vnitřních stavových proměnných jsou v sekvenčním
25
systému uchovány do následujícího okamžiku v paměťové části. Proměnné q1, q2 až ql jsou
budoucí signály PČS.
Sekvenční logický obvod, nazývaný také sekvenční automat, může být synchronní nebo
asynchronní. U synchronních sekvenčních logických obvodů je každá změna vstupních a
výstupních logických proměnných řízena synchronizačními impulsy, které zajišťují stejné
okamžiky změn všech proměnných v systému. V asynchronních sekvenčních logických
obvodech nejsou zajištěny stejné okamžiky změn logických proměnných. Změny vnitřních
proměnných a výstupních proměnných jsou odvozovány od změn vstupních proměnných.
Vztahy mezi vektorem vstupních logických proměnných [x1, x2,.. xn], vektorem vnitřních
stavů [Q1, Q2,.. Qk] a vektorem výstupních logických proměnných [u1, u2,.. um] jsou určeny
přechodovou funkcí a výstupní funkcí f.
Přechodová funkce určuje pro daný vnitřní stav sekvenčního automatu a pro daný vektor
vstupů následující vnitřní stav :
Q t+1 = (Q t, x t)
Výstupní funkce λ vyjadřuje realizaci vektoru výstupů pro daný sekvenční logický obvod.
Je-li: u t = f (Q t, xt), pak jde o sekvenční automat nazývaný konečný automat Mealyho typu.
Závisí-li vektor výstupních signálů pouze na vnitřním stavu sekvenčního logického automatu
u t = λ (Q t), pak jde o konečný automat Mooreova typu.
Elementární sekvenční logický obvod
Tento elementární automat je nejzákladnějším sekvenčním logickým obvodem a je nazýván
logickým obvodem typu paměť. Elementární sekvenční logický obvod obsahuje jedinou
zpětnovazební smyčku, a tedy i jedinou vnitřní proměnnou, která se navíc ztotožňuje
s výstupní logickou proměnnou (Q=u).
26
Blokové schéma elementárního sekvenčního logického obvodu
Tento obvod si pamatuje předchozí zapůsobení vstupního signálu x1 (inicializační vstup), i
když již dále nemá úroveň logické jedničky, až po dobu, kdy se hodnotou log. 1 vstupu x2 tato
paměť zruší.
Příklad 1.4.
Realizujte pomocí SLO regulaci výšky hladiny v nádobě tak, aby snímač minimální hladiny spustil
čerpadlo a to by se zastavilo až po dosažení maximální hladiny snímané dalším snímačem.
Řešení
Pravdivostní tabulka (čidla max, min, stav čerpadla SČ, aktivace čerpadla Č):
vstupy výstup
min max SČ Č
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 X
0 1 1 X
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Obpovídající mapa:
1 1 1 0
x x 0 0
max
min
SČ
27
Výsledná logická funkce:
SČSČČ minmaxmaxminmax
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Sekvenční logický obvod (SLO) ……………………………………………………………….
Synchronní sekvenční logický obvod ……………………………………………………………….
Asynchronní sekvenční logický obvod ……………………………………………………………….
Konečný automat ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
22. Co je to sekvenční logický obvod?
23. Jak vypadá popis a schéma SLO?
24. Které základní konečné automaty znáte?
25. Jaký je rozdíl mezi synchronním sekvenčním logickým obvodem a asynchronním sekvenčním
logickým obvodem?
28
5. Klopné obvody a jejich aplikace
5.1. Teorie klopných obvodů
Čas ke studiu: 1 hodin
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat pojem klopný obvod
popsat typy klopných obvodů
vyřešit úlohy za použití klopných obvodů
Výklad
Klopné obvody jsou svou konstrukcí sekvenčními logickými obvody. Jde o nejjednodušší
sekvenční obvody, které jsou schopny „zapamatovat si“ hodnotu jednoho dvojkového čísla –
jeden bit. Z klopných obvodů různých typů je možno sestavit složitější logické obvody –
registry, čítače apod. Jejich název vznikl z principu jejich funkce, kdy se opakovaně
překlápějí z jednoho logického stavu do druhého. Podle toho, kolik mají stabilních stavů (tj.
stavů ve kterých mohou setrvat libovolnou dobu), dělíme klopné obvody:
Monostabilní – mají jeden stabilní stav, z kterého mohou být vstupním signálem na
předem definovanou dobu (τ) překlopeny do stavu nestabilního.
Bistabilní – mají dva stabilní stavy, mezi kterými mohou být v libovolném okamžiku
přepínány vstupními signály.
Astabilní – nemají žádný stabilní stav, opakovaně překlápí na vždy definovanou dobu
(τ1) do stavu „true“ a následně na dobu (τ2) do stavu „false“. Tento proces se neustále
opakuje, ale může být aktivován a deaktivován vstupním signálem.
Klopné obvody se dále dají rozdělit na:
29
Synchronní – ke své činnosti potřebují taktovací pulsy, které inicializují funkci obvodu
s uchováním hodnot vstupů do dalšího taktu. To umožňuje realizovat klopné obvody
tak, aby nehrozilo nebezpečí hazardních stavů.
Asynchronní – pracují bez taktovacích pulsů, výstupy jsou dány logickou kombinací
okamžitých hodnot vstupů (jsou zde i zpětné vazby z výstupů – jde o sekvenční
obvod). Doba, za kterou se změní stav jeho výstupů od okamžiku změny signálů na
řídicích vstupech, závisí jen na době šíření signálů od vstupů k výstupům. Některá
zapojení by proto mohla být zatížena nebezpečím vzniku hazardních stavů.
5.2. RS klopný obvod
Základním, nejjednodušším a nejpoužívanějším typem bistabilních klopných obvodů je RS klopný
obvod. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku:
Pravdivostní tabulka RS klopného obvodu:
R S 1nQ
1nQ
0 0 Předchozí stav nQ Předchozí stav
nQ
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 Nepovolený stav Nepovolený stav
Tímto typem klopného obvodu je realizováno mnoho aplikací, které bychom mohli označit jako
paměť 1b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupy R nebo S jeho stav změněn a to
tak, že přivedením hodnoty „true“ na vstup S se překlopí jeho výstup Q do hodnoty „true“ (pokud již
v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane), přivedením hodnoty „true“ na vstup R se překlopí jeho
výstup Q do hodnoty „false“ (pokud již v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane).
vstupy výstupy
S Q
R Q
R
Q
S
čas
30
Realizace RS klopného obvodu pomocí hradel typu NOR:
5.3. JK klopný obvod
Dalším typem bistabilních klopných obvodů je JK klopný obvod. Odstraňuje problém RS klopného
obvodu s nepovolenými stavy. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku:
Pravdivostní tabulka JK klopného obvodu:
R S 1nQ
1nQ
0 0 Předchozí stav nQ Předchozí stav
nQ
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 Negovaný předchozí stavnQ Negovaný předchozí stav
nQ
Tímto typem klopného obvodu jsou realizovány aplikace, které bychom mohli rovněž označit jako
paměť 1b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupy J nebo K jeho stav změněn a to
tak, že přivedením hodnoty „true“ na vstup J se překlopí jeho výstup Q do hodnoty „true“ (pokud již
R
S
Q
Q
1
1
vstupy výstupy
J Q
K Q
H (synchronní
JK-klopný obvod)
31
v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane), přivedením hodnoty „true“ na vstup K se překlopí jeho
výstup Q do hodnoty „false“ (pokud již v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane). Na rozdíl od RS
klopného obvodu po přivedení hodnot „true“ na oba vstupy současně, dojde vždy k překlopení JK
klopného obvodu. Aby pro tento případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí JK klopný
obvod pracovat jako synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, neboli hodinové pulsy
H).
5.4. T klopný obvod
Podobným typem bistabilních klopných obvodů je T klopný obvod. Principiálně zastává funkci JK
klopného obvodu s propojenými vstupy J a K. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku:
Pravdivostní tabulka T klopného obvodu:
T H 1nQ
1nQ
0 0 Předchozí stav nQ Předchozí stav
nQ
0 1 Předchozí stav nQ Předchozí stav
nQ
1 0 Předchozí stav nQ Předchozí stav
nQ
1 1 Negovaný předchozí stavnQ Negovaný předchozí stav
nQ
Tímto typem klopného obvodu jsou realizovány aplikace, které bychom mohli rovněž označit jako
paměť 1b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupem T jeho stav změněn a to tak,
že přivedením hodnoty „true“ na vstup T dojde vždy k překlopení T klopného obvodu. Aby pro tento
J
Q
K
čas
H
H (synchronní
T-klopný obvod)
vstup výstupy
Q
T
Q
32
případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí T klopný obvod pracovat rovněž jako
synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, nebo-li hodinové pulsy H). Tyto obvody
bývají rovněž vybaveny vstupy pro převedení obvodu do stavu „true“ a „false“.
Uplatňují se v zapojeních jako děliče kmitočtu a čítače.
5.5. D klopný obvod
Posledním typem bistabilních klopných obvodů je D klopný obvod. Principiálně funguje tak, že
okamžitou logickou hodnotu ze vstupu přenese na výstup. Jeho blokové schéma je na následujícím
obrázku:
Pravdivostní tabulka T klopného obvodu:
D H 1nQ
1nQ
0 0 Předchozí stav nQ Předchozí stav
nQ
0 1 0 1
1 0 Předchozí stav nQ Předchozí stav
nQ
1 1 1 0
Tímto typem klopného obvodu jsou realizovány aplikace, které bychom mohli rovněž označit jako
paměť 1b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupem D jeho stav změněn a to tak,
že přivedením hodnoty „true“ na vstup D dojde vždy k překlopení D klopného obvodu do stavu „true“
a přivedením hodnoty „false“ na vstup D dojde vždy k překlopení D klopného obvodu do stavu
Q
T
čas
H
H (synchronní
D-klopný obvod)
vstup výstupy
Q
D
Q
33
„false“. Aby pro tento případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí D klopný obvod pracovat
rovněž jako synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, nebo-li hodinové pulsy H). I
tyto obvody bývají rovněž vybaveny vstupy pro převedení obvodu do stavu „true“ a „false“.
Uplatňují se v zapojeních jako posuvný registr, převodník z paralelního sériový přenos a opačně.
Příklad 1.5.
Navrhněte RS klopný obvod pomocí hradel typu NAND.
Řešení
Vytvoříme pravdivostní tabulku:
R S nQ
1nQ
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 X
1 1 1 X
Pro minimalizaci použijeme Svobodovou mapu:
0 1 1 1
0 0 X X
Napíšeme minimalizovanou funkci, která odpovídá popisu dvou smyček z mapy:
RQRSQ nn 1
R
S
Qn Qn
Q
D
čas
H
34
Pro realizaci pomocí hradel typu NAND aplikujeme de Morganovy zákony:
RQRSQ nn 1
Navrhneme zapojení z hradel typu NAND:
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Klopný obvod ……………………………………………………………….
RS klopný obvod ……………………………………………………………….
JK klopný obvod ……………………………………………………………….
T klopný obvod ……………………………………………………………….
D klopný obvod ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
26. Co je to klopný obvod?
27. Jak pracuje RS klopný obvod?
28. Jak pracuje JK klopný obvod?
29. Jak pracuje T klopný obvod?
30. Jak pracuje D klopný obvod?
35
6. Dynamické systémy a jejich aplikace
6.1. Teorie dynamických systémů
Čas ke studiu: 0,5 hodiny
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat pojem dynamický systém
popsat typy dynamických systémů
vyřešit úlohy o dynamických systémech
Výklad
Základní rozdělení systémů
Statický systém je takový systém, jehož vstupy a výstupy zůstávají v čase neměnné.
Dynamický systém je takový systém, jehož vstupy a výstupy se v čase obecně mění.
Lineární systém je takový systém, jehož matematický popis vystačí s lineárními operacemi.
Nelineární systém je takový systém, jehož matematický popis obsahuje alespoň jednu nelineární
operaci.
Časově variantní systém je takový systém, jehož matematický popis se v čase mění.
Časově invariantní systém je takový systém, jehož matematický popis zůstává v čase neměnný.
Spojitý systém (analogový) je takový systém, jehož vstupy a výstupy jsou známé v libovolném čase.
Nespojitý systém (digitální) je takový systém, jehož vstupy a výstupy jsou známé v jen v určitých
časových okamžicích.
V této části výuky se budeme zabývat pouze lineárními, časově invariantními, spojitými
dynamickými systémy. I když jde o určitou idealizaci, mnohé systémy námi definovaným
požadavkům s dostatečnou přesností vyhovují a matematický aparát pro řešení úkolů spojených
s těmito systémy je podstatně jednodušší.
36
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Statický systém ……………………………………………………………….
Dynamický systém ……………………………………………………………….
Lineární systém ……………………………………………………………….
Nelineární systém ……………………………………………………………….
Časově variantní systém ……………………………………………………………….
Časově invariantní systém ……………………………………………………………….
Spojitý systém ……………………………………………………………….
Nespojitý systém ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
31. Co znamená pojem statický systém?
32. Co znamená pojem dynamický systém?
33. Co znamená pojem lineární systém?
34. Co znamená pojem nelineární systém?
35. Co znamená pojem časově variantní systém?
36. Co znamená pojem časově invariantní systém?
37. Co znamená pojem spojitý systém?
38. Co znamená pojem nespojitý systém?
37
7. Popis lineárních dynamických systémů
7.1. Možnosti popisu lineárních dynamických systémů
Čas ke studiu: 1 hodina
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat lineární dynamické systémy
popsat je diferenciálními rovnicemi a přenosy
vyřešit převod diferenciálních rovnic na přenosy a opačně
Výklad
Popis lineárních systémů je možný několika způsoby:
diferenciální rovnicí
operátorovým přenosem
frekvenčním přenosem
přechodovou charakteristikou
impulsní charakteristikou
frekvenční charakteristikou v komplexní rovině
amplitudo-fázové frekvenčně logaritmické charakteristiky
rozložením pólů a nul přenosu v komplexní rovině
stavovým popisem
Lineární spojitý systém nebo regulační člen se vstupem u(t) a výstupem y(t) je obecně
popsán diferenciální rovnicí
Diferenciální rovnice
Lineární časově invariantní spojitý systém nebo regulovaná soustava se vstupem u(t) a
výstupem y(t) je obecně popsán lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty:
any(n) + an-1y
(n-1) + an-2y(n-2) + … + aiy
(i) …+ a2y′′ + a1y′ + a0y = b0u + b1u′ + b2u′′ + … +bmu(m)
38
kde
ai a bj jsou konstanty diferenciální rovnice,
n je řád diferenciální rovnice,
m je řád nejvyšší derivace pravé strany diferenciální rovnice.
Podmínka fyzikální realizovatelnosti systému:
n ≥ m
Časový průběh výstupu y(t) můžeme zjistit dosazením průběhu vstupního signálu u(t) do této
rovnice a jejím vyřešením. Časový průběh výstupu y(t) je také určen počátečními
podmínkami y(0), y′(0), … y(n-1)(0).
Operátorový přenos
Při řešení problematiky automatizace se velmi často používá tzv. Laplaceuv operátorový
přenos, který je definován jako poměr obrazu výstupní veličiny Y(s) lineárního systému
k obrazu vstupního signálu U(s) při nulových počátečních podmínkách.
sU
sYpG
0
1
1
2
2
1
1
0
1
1
2
2
1
1
...
...
asasasasa
bsbsbsbsbpG
n
n
n
n
m
m
m
m
Příklad 1.6.
Zjistěte operátorový přenos systému, který je popsán diferenciální rovnicí:
a1y′(t) + a0y(t) = b0u(t)
Řešení
Provedeme Laplaceovu transformaci rovnice a dostaneme výraz:
a1sY(s) + a0Y(s) = b0U(s)
vytkneme Y(s):
Y(s)(a1s + a0 ) = b0U(s)
39
a nyní vyjádříme poměr obrazu výstupní veličiny Y(s) k obrazu vstupní veličiny U(s) dle
definičního vztahu operátorového přenosu:
01
0
asa
b
sU
sYsG
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Popis dynamických systémů ……………………………………………………………….
Lineární dif. rov. s konst. koeficienty ……………………………………………………………….
Operátorový přenos ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
39. Čím lze popsat dynamické systémy?
40. Jak vypadá popis pomocí diferenciálních rovnic?
41. Jak vypadá popis pomocí operátorového přenosu?
40
u
y
α
iy
iu
8. Charakteristiky dynamických systémů
8.1. Charakteristiky dynamických systémů v časové oblasti
Čas ke studiu: 1 hodin
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat jednotlivé charakteristiky dynamických systémů
popsat statické a dynamické charakteristiky dynamických systémů
Výklad
Vedle diferenciálních rovnic a operátorových přenosů se v automatizaci často setkáváme
s grafickými časovými průběhy, které rovněž o dynamických systémech mnoho vypovídají a
navíc jsou uživatelsky přívětivější, neboť je s dostatečnou přesností na první pohled vidět o
jaký systém se jedná a jaké jsou jeho parametry. Těmto charakteristikám odpovídají i
matematické funkce, jejichž parametry udávají i kvantitativní parametry sledovaného
systému.
Statická charakteristika
Statická charakteristika je grafickým vyjádřením závislosti hodnoty výstupu systému na
vstupní hodnotě v ustáleném stavu. I když tento typ charakteristik nic nevypovídá o
dynamických vlastnostech systému, je jednou ze základních charakteristik systému a většinou
vypovídá o tom, zda je systém lineární nebo není, jaké má zesílení apod. Charakteristiku je
pak možno popsat obyčejnou obecně nelineární funkcí ve tvaru:
ufy
U lineárních systémů je statická charakteristika přímka
procházející počátkem, její sklon odpovídá zesílení k systému:
i
i
u
ytg
a
bk
0
0
41
Přechodová funkce a přechodová charakteristika
Přechodová funkce lineárního dynamického systému je jeho odezva na vstup ve tvaru
Heavisideova jednotkového skoku. Jde o časový průběh výstupní veličiny systému y(t), která
se v tomto případě označuje h(t). Přechodovou funkci můžeme určit výpočtem z diferenciální
rovnice nebo z obrazového přenosu systému G(s).
Přechodová charakteristika je grafickým vyjádřením přechodové funkce.
Přechodovou funkci získáme z přenosu systému G(s), a to z definice přenosu osamostatněním
Laplaceova obrazů výstupní veličiny a použitím zpětné Laplaceovy transformace L-1.
)()()( 11 sGsULsYLty
Přechodová funkce je pak definována vztahem:
)(1
)()( 11 sGs
LsHLth
kde
H(s) - je Laplaceuv obraz výstupní veličiny
s
1 - je Laplaceuv obraz vstupní veličiny – konkrétně Heavisideova jednotkového skoku
Příklad 1.7.
Určete přechodovou funkci a sestrojte přechodovou charakteristiku systému s operátorovým
přenosem:
01
0
asa
b
sU
sYsG
Řešení
Přechodová funkce je dána vztahem:
)(1
)()( 11 sGs
LsHLth
42
po dosazení obdržíme:
01
011 1)()(
asa
b
sLsHLth
Z Laplaceova slovníku nalezneme odpovídající tvar obrazu:
as
a
s
1
a jemu odpovídá originál v časové oblasti:
ate1
Aby byl obraz podobný, provedeme úpravu našeho výrazu:
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
011 11)()(
a
as
a
a
sL
a
b
a
as
a
a
sa
bLsHLth
Přechodovou funkci získáme provedením zpětné Laplaceovy transformace.
ta
a
ea
bsHLth 1
0
1)()(0
01
Graf přechodové charakteristiky pro a0 = 1, a1 = 1 a b0 = 1, tedy:
tesHLth 1)()( 1
vypadá následovně:
43
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
h(t
)
t [s]
Přechodová charakteristika
Impulsní funkce lineárního dynamického systému je jeho odezva na vstup ve tvaru Diracova
impulsu. Jde o časový průběh výstupní veličiny systému y(t), která se v tomto případě
označuje g(t). Přechodovou funkci můžeme rovněž určit výpočtem z diferenciální rovnice
nebo z obrazového přenosu systému G(s).
Impulsní charakteristika je grafickým vyjádřením impulsní funkce.
Impulsní funkci také získáme z přenosu systému G(s), a to z definice přenosu osamostatněním
Laplaceova obrazů výstupní veličiny a použitím zpětné Laplaceovy transformace L-1.
Přechodová funkce je pak definována vztahem:
)()( 1 sGLtg
kde
H(s)- je Laplaceuv obraz výstupní veličiny
1 - je Laplaceuv obraz vstupní veličiny – konkrétně Diracova impulsu
Jelikož mezi přechodovou funkcí a impulsní funkcí platí následující vztahy:
dt
tdhtg )(
a naopak:
44
dgth
t
0
)(
je snadné získat z přechodové funkce impulsní tím, že provedeme derivaci. Rovněž impulsní
charakteristiku můžeme snadno získat grafickou derivací přechodové charakteristiky.
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Statická charakteristika ……………………………………………………………….
Přechodová funkce ……………………………………………………………….
Přechodová charakteristika ……………………………………………………………….
Impulsní funkce ……………………………………………………………….
Impulsní charakteristika ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
42. Co je to statická charakteristika?
43. Co je to přechodová funkce a charakteristika?
44. Co je to impulsní funkce a charakteristika?
45. Jaký je vztah mezi přechodovou impulsní funkcí?
45
9. Frekvenční charakteristiky
9.1. Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky
Čas ke studiu: 4 hodiny
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat frekvenční přenos a frekvenční charakteristiku
popsat dynamické systémy pomocí frekvenčních charakteristik
vyřešit frekvenční charakteristiky dynamických systémů
Výklad
Někdy je výhodné sledovat dynamické systémy ve frekvenční oblasti. V tom případě jde o
odezvu systémů na vstupní harmonický signál:
u(t) = A1(ω) sin(ωt) y(t) = A2(ω) sin(ωt+φ(ω))
kde G(jω) je frekvenční přenos systému a můžeme ho formálně získat z Laplaceova
operátorového přenosu náhradou komplexní proměnné s komplexní proměnnou jω:
G(jω) G(s)
Tvar frekvenčního přenosu obecného lineárního dynamického systému:
0
1
1
2
2
1
1
0
1
1
2
2
1
1
...
...
ajajajaja
bjbjbjbjbjG
n
n
n
n
m
m
m
m
G(jω)
46
Vynesení obou signálů u(t), y(t) do grafu je provedeno na následujícím obrázku. Srovnáme-li
oba signály, můžeme získat dva základní parametry. Prvním je poměr amplitud obou signálů:
A(ω) = A2(ω)/A1(ω) – poměr amplitud mezi výstupním a vstupním harmonickým signálem -
modul frekvenčního přenosu
druhým pak:
φ(ω) – fázový posuv mezi vstupním a výstupním harmonickým signálem - fáze frekvenčního
přenosu.
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15
Am
plit
ud
a si
gnál
u
čas [s]
Odezva dynamického systému na harmonický signál
u(t)
y(t)
Frekvenční charakteristiky v komplexní rovině
Tyto dva údaje můžeme vynést jako vektor frekvenčního přenosu G(jω) do komplexní roviny, pro
konkrétní úhlovou frekvenci ω:
A1(ω)
φ(ω)
A2(ω)
φ(ω)
Re
Im
A(ω)
G(jω)
47
Frekvenční přenos G(j) je funkce komplexní proměnné a můžeme ho vyjádřit následujícími
základními tvary:
algebraický (reálnou a imaginární složkou):
G(jω) = Re{ G(jω)}+ j Im{ G(jω)}
exponenciální (amplitudou a fázi):
G(jω) = A(ω) ejφ(ω)
kde A(ω) vypočteme dle vztahu:
22ImRe jGjGA
a φ(ω) vypočteme dle vztahu:
jG
jGarctg
Re
Im
Budeme-li měnit úhlovou frekvenci ω od 0 do , vytvoří koncové body vektorů frekvenčního
přenosu G(jω) tzv. frekvenční charakteristiku v komplexní rovině:
G(jω1) φ(ω)
Re
Im
A(ω)
G(jω0)
G(jωi) G(jωi) G(jωi)
48
Příklad 1.8.
Nakreslete charakteristiku setrvačného členu 1. řádu s následujícím přenosem:
01
0
asa
bsG
pro a1 = a0 = b0 = 1
Řešení
Laplaceuv operátorový přenos změníme na frekvenční přenos:
01
0
aja
bjG
čitatele i jmenovatele přenosu vynásobíme komplexně sdruženým číslem:
jaa
jaa
aja
bjG
10
10
01
0
obdržíme výraz:
22
1
2
0
0100
aa
bjabajG
po dosazení konstant obdržíme výraz:
21
1
jjG
Rozdělíme na reálnou a imaginární část:
21
1Re
jG
21
Im
jG
Nyní do obou výrazů postupně dosazujeme za úhlovou frekvenci čísla od 0 do , hodnotu
Re(G(jωi)) a Im(G(jωi)) vykreslíme do grafu a získáme tak frekvenční charakteristiku.
1 Re
Im
49
Logaritmické frekvenční charakteristiky
Velký význam pro automatizaci mají logaritmické frekvenční charakteristiky. Jejich význam spočívá
v jejich jednoduchém sestrojování i pro složité systémy a hlavně úhlový kmitočet ω je vynášen přímo
na osu x charakteristik, na rozdíl od vykreslování frekvenčních charakteristik v komplexní rovině, kde
je jen parametrem.
Pro odvození potřebných vztahů vyjdeme z exponenciálního vyjádření frekvenčního přenosu:
G(jω) = A(ω) ejφ(ω)
kde
A() - modul frekvenčního přenosu - vypočteme ze vztahu (Pythagorova věta):
jGmjG 22 IRe )A(
a
() - fáze frekvenčního přenosu - vypočteme ze vztahu (z definice tangenty):
jG
jGmarctg
2
2
Re
I )(
Zlogaritmujeme-li výraz pro frekvenční přenos v exponenciálním tvaru, dostaneme následující výraz:
G(jω) = ln(A(ω))+ln( ejφ(ω)) = ln(A(ω)) + jφ(ω) = ln|G(jω)| + j arg G(jω)
Protože se u logaritmických frekvenčních charakteristik vykresluje amplitudová část a fázová
část zvlášť, lze odvozený vztah rozdělit na dvě části a vykreslit. Jen pro logaritmus
amplitudové části se téměř výhradně používá dekadický logaritmus, neboť pak výpočet
snadno vede k vyjádření amplitudy v decibelech [dB]. Výraz pro logaritmickou amplitudu L(
v decibelech je pak dán vztahem:
L(ω) = 20 log(A(ω)) [dB].
Vztah pro výpočet fáze frekvenčního přenosu() vypočteme z původního výrazu:
jG
jGmarctg
2
2
Re
I )(
50
I když je z uvedených vztahů možné vypočítat skutečný graf amplitudové a fázové části
frekvenčně logaritmické charakteristiky, lze s výhodou použít zjednodušené charakteristiky
základních dynamických členů (systémů) a výsledné charakteristiky získat grafickým
sečtením dílčích charakteristik. To je možné proto, že složitá dynamický systém lze rozepsat
na součin (sériové řazení) dílčích jednoduchých systémů. Dostaneme pak vztah:
Gc(jω) = A1(ω) ejφ1
(ω) * A2(ω) ejφ2
(ω) *…* Ak(ω) ejφk
(ω)
po rozdělení obou částí a po logaritmování dostaneme výrazy:
lnGc(jω) = A1(ω) ejφ1
(ω) * A2(ω) ejφ2
(ω) *…* Ak(ω) ejφk
(ω)
L(ω) = 20log(A1(ω) * A2(ω) *…* Ak(ω)) = 20log(A1(ω)) +20log(A2(ω)) +…+20log(Ak(ω))
tedy
L(ω) = 20log(A1(ω)) +20log(A2(ω)) +…+20log(Ak(ω))
φc(ω) = ln ejφc(ω) = ln (ejφ
1(ω) * ejφ
2(ω) *…* ejφ
k(ω)) = ln (ej(φ
1(ω)+ φ
2(ω)+…+φ
k(ω))) = φ1(ω)+
φ2(ω)+…+φk(ω)
tedy
φc(ω) = φ1(ω)+ φ2(ω)+…+φk(ω)
Z uvedeného vyplývá, že výslednou amplitudovou a fázovou část frekvenčně logaritmické
charakteristiky získáme snadno grafickým sečtením amplitudových a fázových částí
frekvenčně logaritmické charakteristiky dílčích částí systému.
51
Příklad 1.9.
Nakreslete frekvenčně logaritmickou charakteristiku dynamického systému 3. řádu s následujícím
přenosem:
1
1
1
11
21
sTsTssG
Řešení
Vidíme, že systém sestává ze tří základních dynamických členů:
jednoho integračního členu:
s
sG1
3
a dvou proporcionálních členů prvního řádu:
1
1
1
1
sT
sG
1
1
2
2
sT
sG
Dílčí charakteristiky vykreslíme a provedeme grafický součet (vybereme úhlovou frekvenci a sečteme
hodnoty decibelů každé dílčí křivky amplitudové části frekvenčně logaritmické charakteristiky. Totéž
uděláme ve fázové části. Protože jde o přímkové úseky, s výhodou využijeme ty frekvence, kde
dochází ke zlomu na některé z dílčích křivek amplitudové části frekvenčně logaritmické
charakteristiky. Výsledek je na následujícím obrázku znázorněn modrou čárou.
ω
ω
0 dB
L [dB]
-φ
- π
0
ω=1
s
sG1
3
stabilní
1
1
1
1
sT
sG 1
1
2
2
sT
sG
1
1
1
11
11
sTsTssGc
52
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Frekvenční přenos ……………………………………………………….
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ……………………………………………………….
Frekvenční logaritmická charakteristika ……………………………………………………….
Exponenciální vyjádření frekvenčního přenosu ……………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
46. Co je to frekvenční přenos?
47. Které základní frekvenční charakteristiky znáte?
48. Co je to frekvenční charakteristika v komplexní rovině?
49. Co je to frekvenční logaritmická charakteristika?
53
KsG )(1
)(
sT
KsG
10. Rozdělení základních dynamických systémů a jejich matematický popis
10.1. Základní dynamické systémy
Čas ke studiu: 3 hodiny
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
rozdělit základní dynamické systémy
popsat základní dynamické systémy
vyřešit matematické úlohy spojené s popisem základních dynamických systémů
Výklad
K usnadnění analýzy spojitých dynamických systémů se zavádějí základní typové dynamické
členy, pomoci níž lze pak prezentovat dynamické vlastnosti soustav a systémů obecně.
Proporcionální dynamické členy 0. řádu a 1.řádu
0. řád 1. řád
obrazový přenos:
kde: K je koeficient proporcionality (u pasivních členů je K menší a nebo rovno 1)
T je časová konstanta (která je vymezena tečnou k přechodové charakteristice)
přechodová charakteristika: 0. řád 1. řád
h h
Kp Kp
t T t
Obr.15 Obr.16
Proporcionální člen 2. řádu
Přechodová charakteristika proporcionálního členu 2. řádu může mít kromě aperiodického
průběhu i kmitavý charakter:
54
sTsG
I
1)(
1)(
sTsT
KsG
I
1)(
sT
sTsG D
Obrazový přenos odpovídající periodické odezvě na skokovou změnu má tvar:
1...2.)(
22
sTsT
KsG
kde: T je tzv. vlastní časová konstanta dynamického členu
ξ je součinitel tlumení vlastních kmitů (ξ< 1)
Pro součinitel: ξ > 1 je pak obrazový přenos proporcionálního členu 2. řádu:
)1.).(1.()(
21
sTsT
KsG kde: T1 a T2 jsou časové konstanty
Pro : ξ = 1 je obrazový přenos: 2)1.(
)(
sT
KsG kde: T je časová konstanta.
Integrační členy ( ideální integrační člen a integrační člen se setrvačností 1. řádu)
ideální se setrvačností 1. řádu
obrazový přenos:
kde: TI je integrační časová konstanta
T je časová konstanta
přechodová charakteristika:
h h
KI
1 t TI t
Derivační členy (ideální a se setrvačností 1. řádu)
ideální se setrvačností 1. řádu
55
sTsG D )(obrazový přenos:
přechodová charakteristika:
h h
t T t
Člen typu dopravní zpoždění
Tento člen má specifické místo mezi typovými elementárními prvky. Nemění tvar procházejícího
signálu, ale způsobuje jeho posun v čase.
Obrazový přenos členu typu dopravní zpoždění je : sT desG
..)(
kde: Td je dopravní zpoždění.
Přechodová charakteristika členu typu dopravní zpoždění je na následujícím obrázku.
Příklad 1.10.
Napište přenos statického systému druhého řádu, který má zesílení 10, časová konstanta je 5 s a
tlumení je 0,2.
Řešení
Do obecného přenosu pro statický systém druhého řádu:
1...2.)(
22
sTsT
KsG
dosadíme za K = 10, T = 5s, = 0,2 a dostaneme:
1.2.25
10)(
2
sssG
56
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Základní dynamické systémy ……………………………………………………………….
Proporcionální dynamické členy ……………………………………………………………….
Integrační dynamické členy ……………………………………………………………….
Derivační dynamické členy ……………………………………………………………….
Dopravní zpoždění ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
50. Které základní dynamické systémy znáte?
51. Jak vypadá popis proporcionálních dynamických členů?
52. Jak vypadá popis integračních dynamických členů?
53. Jak vypadá popis derivačních dynamických členů?
54. Jak vypadá popis dynamických členů typu dopravní zpoždění?
57
11. Bloková algebra
11.1. Teorie blokové algebry
Čas ke studiu: 1 hodin
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat pojem bloková algebra
popsat jednotlivé typy zapojení bloků
vyřešit úlohy spojené s řazením bloku do celku
Výklad
Regulační systémy, včetně regulovaných soustav, jsou ve svém komplexu složeny z celé řady
elementárních, typových prvků (členů). V zásadě však vazby mezi jednotlivými prvky jsou
trojího druhu: sériové spojení, paralelní spojení a zpětnovazební spojení dynamických prvků.
Pro zjištění výsledných dynamických vlastností regulované soustavy, nebo i celého
regulačního obvodu je nutno stanovit výsledný matematický model ve formě obrazového
přenosu (u lineárních regulačních systémů). Tento obrazový přenos se stanovuje na základě
pravidel blokové algebry.
Sériové spojení dynamických členů
Při tomto spojení prvků je jejich výsledný obrazový přenos : G(s) = G1(s).G2(s)
G1(s) G2(s) Y2(s)= Y(s) U(s)= U1(s) Y1(s)= U2(s)
58
Paralelní spojení dynamických členů
Výsledný obrazový přenos je dán součtem dílčích přenosů : G(s) = G1(s) + G2(s)
Zpětnovazební zapojení dynamických členů - obrazový přenos je: )()(1
)()(
21
1
sGsG
sGsG
Příklad 1.11.
Určete výsledný obrazový přenos systému na obrázku:
Řešení
G1(s)
G2(s)
Y(s)= Y1(s) + Y2(s)
U(s)= U1(s) Y1(s)
Y2(s) U(s)= U2(s)
G1(s)
G2(s)
Y(s)= Y1(s) U1(s)= U(s)- Y2(s)
Y1(s)
Y2(s) U2(s) =Y1(s)
_
+
U(s)
GR(s)
GMČ(s
)
Y(s)
_ U(s)
GS(s)
59
Zpětná vazba je záporná (-) a tak je ve jmenovateli obrazového přenosu znaménko +.
Výsledný obrazový přenos pak je: )().().(1
)().()(
sGsGsG
sGsGsG
MČSR
SR
Příklad 1.12.
Určete výsledný obrazový přenos systému na obrázku:
Řešení
Zpětná vazba je záporná (-) a tak je ve jmenovateli obrazového přenosu znaménko +.
Výsledný obrazový přenos pak je:
)().(1
)().()().()().()().()(
43
34513231
sGsG
sGsGsGsGsGsGsGsGsG
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Bloková algebra ……………………………………………………………….
Sériové řazení bloků ……………………………………………………………….
Paralelní řazení bloků ……………………………………………………………….
Antiparalelní řazení bloků ……………………………………………………………….
Zpětná vazba ……………………………………………………………….
G1(s) G3(s) Y(s)
_
U(s)
G4(s) G2(s)
G5(s)
60
Otázky k probranému učivu
55. Co znamená pojem bloková algebra?
56. Jak vypadá sériové řazené bloků a jaký je výsledný přenos?
57. Jak vypadá paralelní řazené bloků a jaký je výsledný přenos?
58. Jak vypadá antiparalelní řazené bloků a jaký je výsledný přenos?
59. Jaké se řeší výsledný přenos složitých konstrukcí blokových schémat?
61
12. Regulační obvod
12.1. Struktura regulačního obvodu
Čas ke studiu: 2 hodiny
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat pojem regulační obvod
popsat regulační obvod pomocí přenosů
vyřešit otázky spojené s problematikou regulačních obvodů
Výklad
Automatická regulace je tou oblastí automatického řízení, kdy celý regulační obvod (regulační
systém) má za úkol automaticky eliminovat vliv poruchových veličin, které působí na objekt regulace
– regulovanou soustavu. Blokové schéma základního regulačního obvodu vychází z kybernetického
modelu řízení a je uvedeno na obrázku. Automatický regulační obvod je systémem se zápornou
zpětnou vazbou (platí i pro ruční regulaci). Blokové schéma základního regulačního obvodu je na
následujícím obrázku.
62
V obrázku je:
w(t) – řídící veličina e(t) – regulační odchylka u(t) – akční veličina
y(t) – regulovaná veličina v(t) – poruchová veličina
Regulovaná soustava je technologický objekt regulace, jehož výstupní veličina je regulovaná
(regulovaná veličina).
Regulátor je technické zařízení, které zpracovává vzniklou regulační odchylku dle vztahu:
e(t) = w(t) – y(t), a zasahuje svou akční veličinou u(t) do regulované soustavy tak, aby
regulovaná veličina byla udržována na požadované hodnotě i přes působení poruchy v(t).
Požadovaná (žádaná) hodnota regulované veličiny se nastavuje řídící veličinou w(t).
V základním regulačním obvodu (obvod regulace na konstantní hodnotu) se řídící veličina
nastavuje na konstantní hodnotu w(t) = konst. Hodnota regulované veličiny je neustále
snímána snímačem a přenáší se na porovnávací člen regulátoru, kde se vyhodnocuje regulační
odchylka, která vzniká působením poruchové veličiny nebo při změně žádané hodnoty
regulované veličiny.
Pro návrh (syntézu) regulačního systému je důležité znát statické a dynamické vlastnosti
regulované soustavy, prezentované matematickým modelem. Postup vedoucí na matematický
model regulované soustavy se nazývá identifikací regulované soustavy. Teprve pak lze dle
kritérií vybírat vhodný typ regulátoru a seřizovat jeho parametry pro jeho optimální činnost.
Statické vlastnosti regulované soustavy jsou dány její statickou charakteristikou, jejíž
hodnoty jsou měřeny v ustálených stavech (po proběhnutí přechodných dějů). Statické
charakteristiky lze rozdělit na lineární a nelineární. (V dalším se budeme zabývat pouze
soustavami lineárními, u kterých platí princip superposice.)
Dynamické vlastnosti lineárních regulovaných soustav se prezentují dynamickými
charakteristikami, které mohou být experimentální a algebraické. Algebraické dynamické
charakteristiky se užívají tam, kde známe strukturu systému, chování jeho jednotlivých prvků
a to i s konkrétními číselnými hodnotami konstant a parametrů. Mezi tyto dynamické
charakteristiky lineárních soustav patří: diferenciální rovnice, obrazový přenos, frekvenční
přenos, frekvenční charakteristika v komplexní rovině, frekvenční charakteristika
63
v semilogaritmických souřadnicích. Pro syntézu lineárních regulačních systémů má největší
význam obrazový přenos definovaný na základě Laplaceovy transformace.
Jestliže neznáme strukturu systému (regulované soustavy) a chování jednotlivých prvků, které
soustavu tvoří, nebo známe-li, ale neznáme konkrétní hodnoty konstant a parametrů, pak
použijeme metody experimentální identifikace. Tyto metody jsou založeny na experimentu,
kdy na vstup soustavy přivádíme podnět a na výstupu pak zaznamenáme odezvu, kterou pak
podrobujeme aproximativním metodám vedoucím k získání matematického modelu ve tvaru
obrazového přenosu. Mezi experimentální dynamické charakteristiky soustavy patří:
přechodová charakteristika, impulsní charakteristika, frekvenční charakteristika, amplitudová
a fázová logaritmická frekvenční charakteristika. V dalším se omezíme jen na přechodovou
charakteristiku, kterou získáme tak, že na vstup soustavy přivedeme signál (podnět) ve tvaru
jednotkového skoku a zaznamenáme odezvu soustavy pomocí snímače napojeného na
záznamové zařízení (například zapisovač, měřicí ústřednu nebo počítač).
Základní přenosy regulačního obvodu
– přenos řízení
Využijeme-li algebry blokových schémat na schéma regulačního obvodu, pak vidíme, že je
složen ze sériového řazení bloků a zpětné vazby. Proto přenos řízení můžeme zapsat ve tvaru:
sGsG
sGsG
sW
sYsG
rs
ssw
1
– přenos regulační odchylky e(t) v závislosti na řídicí veličině w(t)
Obdobně můžeme získat přenos regulační odchylky e(t) v závislosti na řídicí veličině w(t):
sGsGsW
sEsG
rs
w
1
1
– přenos regulační odchylky e(t) v závislosti na poruše v(t)
Obdobně můžeme získat přenos regulační odchylky e(t) v závislosti na poruše v(t). Budeme
předpokládat, že poruch vstupuje v součtu s akční veličinou do regulované soustavy, pak:
sGsG
sG
sW
sEsG
rs
sw
1
64
Stojí za povšimnutí, že jmenovatelé všech tří přenosů jsou shodné, což vypovídá o tom, že se
dynamika systému nemění v závislosti na vstupech a je jednoznačně daná pouze vlastnostmi
systému (levou stranou diferenciální rovnice).
Příklad 1.13.
Vypočtěte přenos řízení pro regulovanou soustavu popsanou přenosem:
110
1
ssU
sYsGs
která je řízená regulátorem s přenosem:
ssE
sUsGr
1
1
Řešení
Pro výpočet použijeme přenos řízení:
sGsG
sGsG
sW
sYsG
rs
ssw
1
dosadíme přenosy soustavy a regulátoru a obdržíme:
ss
ss
sW
sYsGw 1
110
11
1
110
1
převedeme na společný jmenovatel:
110
1110
110
1
ss
ss
ss
sW
sYsGw
vykrátíme a upravou obdržíme výsledný výraz:
110
1
1110
12
sssssW
sYsGw
65
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Regulační obvod (RO) ……………………………………………………………….
Regulovaná soustava ……………………………………………………………….
Regulátor ……………………………………………………………….
Přenos regulačního obvodu ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
60. Co znamená pojem simulace regulační obvod?
61. Co znamená pojem simulace regulátor?
62. Co znamená pojem simulace regulovaná soustava?
63. Co je to identifikace soustavy?
64. Jaké typy přenosů regulačního obvodu znáte?
66
13. Regulátory
13.1. Struktura a popis regulátorů
Čas ke studiu: 2 hodiny
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat pojem regulátor
popsat jednotlivé typy regulátorů
vyřešit nastavení typu regulátoru
Výklad
Regulátor je zařízení, kterým se uskutečňuje automatická regulace. Tvoří jej na vstupu
porovnávací člen, ústřední člen, a akční člen, skládající se z výkonového zesilovače a
z regulačního orgánu. Měřící člen regulátoru je tvořen snímačem a porovnávacím členem.
Ústřední člen regulátoru umožňuje nastavování jednotlivých parametrů na regulátoru tak, aby
regulace byla optimální. Ústřední členy spojitých, lineárních regulátorů se sestávají
z typových, elementárních dynamických členů (proporcionálních, integračních a derivačních).
Regulátor typu P (proporcionální regulátor)
U tohoto typu regulátoru lze měnit (nastavovat) jeden parametr: zesílení KR. Pro ideální typ regulátoru
typu P platí obdobný obrazový přenos jako u typového dynamického členu typu proporcionálního 0.
řádu: GR(s) = KR s tím, že KR (zesílení) lze libovolně nastavovat. Přechodová charakteristika odpovídá
charakteristice systému proporcionálního 0. řádu.
Regulátor typu I (integrační regulátor)
Tento regulátor umožňuje měnit (nastavovat) také jeden parametr na jeho ústředním členu, a to
integrační časovou konstantu. Obrazový přenos tohoto regulátoru bez uvažování setrvačnosti (ideální
typ) je obdobný elementárnímu typovému členu integračnímu (ideálnímu) tj.: sT
sGI
R.
1)( a
67
rovněž přechodová charakteristika je obdobná charakteristice ideálního integračního členu s tím, že
její sklon se mění dle nastavené hodnoty TI.
Regulátor typu PI (proporcionálně integrační regulátor)
Ústřední člen PI regulátoru je vytvořen paralelním spojením regulátoru typu P a regulátoru typu I a
proto lze na něm měnit dva parametry (zesílení a integrační časovou konstantu).
Výsledný obrazový přenos je dle pravidla blokové algebry dán jako součet přenosů těchto složek:
sT
sTKsG
I
IRR
.
1..)(
Přechodová charakteristika PI regulátoru je dána grafickým součtem přechodových charakteristik
obou složek.
h
Kp
t
Regulátor typu PD (proporcionálně derivační)
Tento regulátor je vytvořen paralelním spojením P složky a D složky. Tomu i odpovídá obrazový
přenos tohoto regulátoru:
GR(s) = KR + TD .s
Nastavovat (seřízovat) lze zesílení a derivační časovou konstantu. Přechodová charakteristika je dána
grafickým součtem přechodových charakteristik jednotlivých složek, viz. následující obrázek.
h
Kp
t
68
Regulátor typu PID
PID regulátor umožňuje nastavovat na jeho ústředním členu tři parametry: zesílení, integrační časovou
konstantu a derivační časovou konstantu. Je tvořen paralelním spojením všech tří složek
(proporcionální, integrační, derivační). Proto je výsledný obrazový přenos toho regulátoru dán
součtem jednotlivých přenosů:
sT
sTTsTKsG
I
IDIR
.
1....)(
2
Tomuto přenosu odpovídá paralelní řazení jednotlivých složek regulátoru.
Přechodová charakteristika tohoto regulátoru (odezva akční veličiny na skokovou změnu regulační
odchylky) je dána grafickým součtem přechodových charakteristik jednotlivých složek regulátoru.
h
Kp
t
Častěji se pro popis regulátorů používá zápis:
sTsTKsG
I
DR.
1.1)(
Blokové schéma PID regulátoru dle uvedeného popisu je na následujícím obrázku:
1
Y(s) U(s) KR TD.s
sTI
1
69
Vhodnou volbou konstant můžeme volit typ regulátoru:
P: TD = 0, TI = max RKsG )(
PD: TI = max sTKsG DR .1)(
PI: TD = 0
sTKsG
I
R.
11)(
PID:
sTsTKsG
I
DR.
1.1)(
Specifické regulátory
Mezi specifické regulátory můžeme zařadit nelineární regulátory, Smithův regulátor a číslicové
regulátory. Specifické proto, že jejich činnost se od klasických spojitých lineárních regulátorů liší.
Nelineární regulátory se vyznačují tím, že jejich statická charakteristika není lineární. Nejznámnější
nelineátní regulátory jsou dvoupolohové (nebo třípolohové) regulátory, které pracují na jednoduchém
principu kdy:
u(t) = „0“ pro e(t) < 0 a u(t) = „1“ pro e(t) ≥ 0
kde
„0“ znamená zavření přívodu energie do regulované soustavy
„1“ znamená otevření přívodu energie do regulované soustavy
Pro jiné regulované soustavy může být použita inverzní logika, kdy:
u(t) = „1“ pro e(t) < 0 a u(t) = „0“ pro e(t) ≥ 0
Tyto typy regulátoru jsou v praxi velmi rozšířené hlavně proto, že jsou robustní (tzn. nní je třeba
nastavovat při změně dynamických vlastností regulované soustavy). Jejich nevýhodou je, že jejich
přesnost regulace je horší, neboť regulovaná veličina osciluje v mezním cyklu kolem žádané hodnoty.
Smithův regulátor je určen pro kvalitní regulaci regulovaných soustav s nezanedbatelným dopravním
zpožděním. Principem regulátoru je to, že používá paro vlastní regulaci odezvu modelu regulované
soustavy, avšak bez dopravního zpoždění. Tím dostáva mnohem dříve informace o tom, v jakém stavu
70
bude nacházet výstup soustavy za dobu rovnou dopravnímu zpoždění, čímž je mu umožněno provést
včas a správně akční zásah.
Číslicové (diskrétní) regulátory jsou většinou svou funkcí podobné spojitým PID regulátorům, jen
zpracování regulační odchylky je svěřeno počítači. Musí tedy obsahovat A/D převodník, jehož úkolem
je převést spojitý (analogový) signál e(t) na číslicový (digitální) e(kT), který je navíc znám jem
v určitých časových okamžicích kT určených tzv. vzorkovací periodou T. Dále pak algoritmus pro
určení akčního zásahu u(kT), který je nutno převodníkem D/A a tvarovačem zpět převést na spojitý
signál u(t). V současné době je většina moderních regulátorů realizována čislicovými regulátory ne
programovatelnými logickými automaty (PLC). Algoritmy regulárorů tak mohou být složitější (např.
fuzzy control).
Všemi regulátory, zde označenými jako specifické budou zařazeny do výuky navazujících předmětů.
Příklad 1.14.
Určete výsledný obrazový přenos PID regulátoru, který je nastaven následovně:
P: KR = 10
I: TI = 5s
D: TD = 0,1s
Řešení
sssG
.5
1.1,0110)(
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Regulátor typu PID ……………………………………………………………….
Nelineární regulátory ……………………………………………………………….
Smithův regulátor ……………………………………………………………….
Číslicové regulátory ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
65. Co znamená pojem simulace regulátor?
66. Jaké typy lineárních regulátorů existují?
71
67. Jaké typy specifických regulátorů znáte a jaký je jejich princip?
72
14. Simulace regulačních obvodů
14.1. Pojem simulace
Čas ke studiu: 3 hodiny
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
definovat pojem simulace
popsat způsoby simulace regulačních obvodů
vyřešit úlohy spojené se simulací regulačních obvodů
Výklad
Existuje celá řada definicí pojmu simulace, které formulovali významní autoři spojení s
kybernetikou uvedení v literatuře[29]:
Shannon - simulace je proces tvorby modelu reálného systému a provádění experimentů s
tímto modelem za účelem dosažení lepšího pochopení chování studovaného systému či za
účelem posouzení různých variant činnosti systému.
Taylor – simulace je numerická metoda, která spočívá v experimentování s matematickými
dynamickými modely reálných systému na číslicových počítačích.
Dahl – jde o techniku, která nahrazuje dynamický systém modelem s cílem získat informace
o sledovaném systému pomocí experimentů s jeho modelem.
Zeigler - problematiku simulace charakterizuje pomocí tří elementů (reálný systém, model,
počítač) a dvou vztahů – modelového a simulačního.
Pro nás bude představovat simulace dynamických systémů proces analýzy reálného objektu, jeho
identifikaci s cílem získání co nejpřesnějšího matematického modelu popisujícího ty vztahy systému,
které jsou pro řešení zadaného úkolu podstatné, vytvoření algoritmů realizujících zjištěné
matematické vztahy, jejich naprogramování na počítači za účelem zjišťování chování systémů na
předem definované podněty.
73
Pro realizaci simulací existuje poměrně významný komerční produkt Matlab – Simulink. Jde o jednu
z možností jak snadno vytvořit model dynamického systému pomocí základních bloků a jejich
funkčního propojení. Systém je rovněž vybaven mocnými funkcemi vizualizace simulovaných
výsledků.
Naší snahou však nejen z pedagogických důvodů bude snaha o naprogramování nejen libovolného
dynamického systému ale jeho využití pro speciální účely. V této části půjde o naprogramování
regulačního obvodu prostředky nevyužívajícími stavový popis systému, ale vycházející
z diferenciálních a integrálních rovnic popisujících jednodušší dynamické systémy, ať už jde o
regulátory nebo regulované soustavy.
Programování základních operací
V regulaci se setkáváme s rovnicemi, jejichž počítačové řešení vyžaduje znalost základních lineárních
operací, které jsou derivace a integrál.
derivace
Derivace u diskrétních systémů přechází na diferenci.
T
TkukTu
t
tuty
)1()(
integrál
Integrace u diskrétních systémů přechází na sumaci.
TnyTnTuTkTunTyn
k
1)()(0
Vztah vychází z obdélníkové metody, která je nejjednodušší.
Přesnost řešení obou případů je do značné míry závislé na hodnotě t , tedy na periodě vzorkování T.
Ta by měla být co nejkratší, neboť 0t .
dt
tduty
u(t) y(t)
dttuty u(t) y(t)
74
Nyní již stačí znalost programování základních matematických operací a můžeme vytvořit program,
pro realizaci simulací dynamických systémů.
Příklad 1.15.
Naprogramujte proporcionální dynamický systém prvního řádu s oecnou časovou konstantou T a
obecným zesílením k.
Řešení
Proporcionální dynamický systém prvního řáduje popsán operátorovým přenosem:
1
Ts
ksG
jemu odpovídajíci diferenciální rovnice:
tkutytyT
osamostatníme ty :
T
tytku
dt
tdyty
úpravou získáme:
dtT
tytkutdy
a následně:
cdtT
tytkuty
kde c je integrační konstanta vyjadřující počáteční podmínky.
Numerický výpočet vychází ze strategie, že k již vypočteným hodnotám y(kΔt) v čase kΔt připočte
elementární integrál za časový okamžik Δt (tedy do času (k+1)Δt):
tkytT
tkytkkutky
1
kde Δt je perioda vzorkování.
75
Fragment programu v jazyku Delphi by mohl vypadat následovně:
var
Form1: TForm1;
dy,k,u,ys,yn,T,dt:real;
i,n:integer;´
implementation
{$R *.dfm}
procedure DC1R;
begin
dt:= 0.1;
n:=1000;
T:=10;
k:=1;
u:=100;
ys:=0; for i:= 0 to n-1 do
begin
dy:=(k*u-ys)/T*dt;
yn:=ys+dy;
Form1.Memo1.Lines.Add(FloatToStr(ys));
ys:=yn;
end;
end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
DC1R;
end;
Při spuštění programu je volána procedura výpočtu přechodové charakteristiky systému, kdy jsou
výstupní hodnoty systému v jednotlivých časových okamžicích vzorkování dt:= 0.1 zapsány do
komponenty memo.
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je
nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):
Simulace ……………………………………………………………….
Programování základních operací ……………………………………………………………….
Otázky k probranému učivu
68. Co znamená pojem simulace RO?
69. Jaké prostředky pro simulace existují?
76
Použitá literatura, kterou lze čerpat k dalšímu studiu
[1] ASTRÖM, J., HÄGGLUND, T. PID Controllers: Theory, Design and Tuning. Second Edition.
Research Triangle Park – North Carolina, Instrument Society of America, 1995.
[2] BALÁTĚ, J. Automatické řízení. 1. vyd. Praha: BEN – Technická literatura, 2003. 664 s. ISBN
80-7300-020-2.
[3] BALÁTĚ, J. Vybrané statě z automatického řízení. 2. vyd. Brno: Vysoké učení technické v
Brně, 1996. 359 s. ISBN 80-214-0793-X.
[4] BATESON, R. N. Control system technology. Fifth Edition. Prentice Hall – Upper Saddle
River, New Jersey, 1996. 784 p. ISBN 0-13-226275-4.
[5] DRÁBEK, O. Automatizované systémy řízení. 2. vyd. Pardubice: SPŠ Elektrotechnická a VOŠ
Pardubice, 2000 [cit. 2007-11-20]. Dostupný z www: zde.
[6] FARANA, R., SMUTNÝ, L., VÍTEČEK, A., VÍTEČKOVÁ, M. Zpracování závěrečných
prací z oblasti automatizace a informatiky. 1. vyd. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2004. 116 s.
ISBN 80-248-0557-X.
[7] LEIGH, J.R. Applied Digital Control: Theory, Design and Implementation. Second Edition.
Prentice Hall International (UK), 1992. 524 p. ISBN 0-13-044249-6.
[8] LEVINE, W.S. The Control Handbook. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2000. 1548 p. ISBN 0-
8493-8570-9.
[9] MINÁŘ, K. Analýza lineárních regulačních obvodů [online]. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2000
[cit. 2007-12-20]. Bakalářská práce, vedoucí: Wagnerová, R. Dostupný z www: zde.
[10] NOSKIEVIČ, P. Simulace systémů. 1. vyd. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 1992. 217 s.
ISBN 80-7078-112-2.
[11] Pages of Foundation Wikimedia [online]: Sampling Rate. Available from World Wide
Web: zde.
77
[12] Pages of Foundation Wikimedia [online]: Nyquist–Shannon sampling theorem.
Available from World Wide Web: zde.
[13] ŠULC, B., VÍTEČKOVÁ, M. Teorie a praxe návrhu regulačního obvodu. Praha:
Vydavatelství ČVUT, 2004. 333 s. ISBN 80-01-03007-5.
[14] ŠVARC, I., ŠEDA, M., VÍTEČKOVÁ, M. Automatické řízení. 1. vyd. Brno:
Akademické nakladatelství CERM, 2007. 324 s. ISBN 978-80-214-3491-2.
[15] ŠVARC, I. Teorie automatického řízení I. Skriptum VUT, Brno, 1989
[16] ŠVARC, I. Teorie automatického řízení II. Skriptum VUT, Brno, 1993
[17] ŠVARC, I. Teorie automatického řízení. Skriptum VUT, Brno, 2003
[18] TŮMA, J. Signal Processing – kapitoly o zpracování signálů. Dokumentace k
programu Signal Analyse. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2006. 125 s.
[19] VANDOREN, V. Tři tváře PID. Control Engineering Česko, 2007, roč. II, č. 2(3),
s.18 – 20. ISSN 1896-5784.
[20] VÍTEČKOVÁ, M. L- a Z- transformace. Skripta FS VŠB-TUO, Ostrava, 1995, ISBN
80-02-01050-7.
[21] VÍTEČKOVÁ, M. Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky. 1. vyd. Ostrava:
skripta FS VŠB-TU Ostrava, 1998 (dotisk 2000). 56 s. ISBN 80-7078-628-0.
[22] VÍTEČKOVÁ, M., VÍTEČEK, A. Základy automatické regulace. 1. vyd. Ostrava:
VŠB-TU Ostrava, 2006. 200 s. ISBN 80-248-1068-9.
[23] VÍTEČKOVÁ, M. Slovník L- a Z- transformace s řešenými příklady. Skripta FS VŠB-
TUO, Ostrava 2005, ISBN 80-248-0851-X.
[24] VÍTEČEK, A. Matematické metody automatického řízení. Ostrava: VŠB-TU Ostrava,
1988. 156 s.
[25] WITTENMARK, B., ASTRÖM, K.J., ARZEN, K.-E. Computer Control: An
Overview. Department of Automatic Control, Lund, Sweden. Pdf Document, 2001.
78
[26] BURÝ,A. Simulace a modelování důlních systémů, VŠB Ostrava, HGF, Moravské
tiskařské závody Ostrava, 1989.
[27] STRAKOŠ,V., BURÝ,A. Základy technické kybernetiky, VŠB Ostrava, HGF, Ediční
středisko VŠB v Ostravě, 1992, ISBN 80 – 7078 – 151 – 3.
[28] BURÝ,A. Teorie systémů a řízení, skriptum, VŠB Ostrava, HGF, Ostrava, 2007
[29] Chobot, M., Turnovcová A.: Modely rozhodovania v konfliktných situáciách a za
neurčitosti, Alfa, 1980