Téma 3: Metoda Monte Carlo - vsb.czfast10.vsb.cz/krejsa/studium/ppk_tema03.pdf · 2011. 10....

Náhodná proměnná 2D

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20x

y

Téma 3:Metoda Monte Carlo

Přednáška z předmětu:Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí

4. ročník bakalářského studia

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Osnova přednášky

Začlenění metody Monte Carlo do přehledu pravděpodobnostních metod

Historie metody Monte Carlo Buffonova jehla První systematické využití metody Monte Carlo Využití metody Monte Carlo k numerické integraci Výhody a nevýhody metody Monte Carlo

Zákon velkých čísel Generátory (pseudo)náhodných čísel Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel Vliv vstupních konstant na vygenerovaná pseudonáhodná čísla

Názorná ukázka elementárního výpočtu metodou Monte Carlo

Metoda Monte Carlo 1 / 27

Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky Latin Hypercube Sampling – LHS Stratified Sampling - SC

Pokročilé simulační metody: Importance Sampling – IS Adaptive Sampling – AS Directional Sampling – DS Line Sampling – LS

Aproximační metody First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na

náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy Response Surface - RS

Numerické metody Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV

Pravděpodobnostní metody

Přehlednapř. [Novák, 2005]

Přehled pravděpodobnostních metod 2 / 27

Pravděpodobnost jevu, kdy jehla stejné délky, jako je vzdálenost mezi linkami, po dopadu na papír zůstane ležet na papíře tak, že protíná některou z linek, je rovna:

Buffonova jehlaJedním z nejstarších popsaných případů využití metody je problém tzv. Buffonovy jehly, nazvaný po francouzském matematikovi Georges-Louis Leclerc Comte de Buffonovi, který se roku 1777 pokoušel odhadnout hodnotu Ludolfova čísla náhodným vrháním jehly na linkovaný papír.

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon(1707-1788)

2

p

Historie metody Monte Carlo 3 / 27

Základem výpočtu je čtverec o straně r, do kterého se náhodně hází malý předmět.

Výsledný poměr počtu všech hodů a hodů do čtvrtkruhu stanoví hodnotu Ludolfova čísla .

Výpočet Ludolfova čísla

4. 2

1rS


Obsah čtvrtkružnice: 22 rS Obsah čtverce:

Poměr obou ploch: 4.4.

2

2

2

1

rr

SS

Ludolfovo číslo je pak rovno: 2

1.4SS

Podobně lze stanovit hodnotu Ludolfova čísla následujícím způsobem:

První systematické využití metody

Pravděpodobně první systematické využití metody Monte Carlo s reálnými výsledky je datováno až k roku 1930, kdy Nobelovou cenou oceněný italský fyzik Enrico Fermi tento přístup využíval ke generování náhodných čísel k výpočtu vlastností v té době nově objevené částice – neutronu.

Enrico Fermi (1901-1954)

Dodnes jsou tak počátky rozvoje metody Monte Carlo spojovány se jmény Stanislaw Marcin Ulam a John von

Neumann nebo Nicholas Metropolis.

Oba prvně jmenovaní např. s využitím metody Monte Carlo zkoumali v americké Národní laboratoři Los Alamos

chování neutronů (jaké množství neutronů projde různými materiály, např. nádrží vody).

Stanislaw Ulam (1909-1984)

5 / 27Historie metody Monte Carlo

První systematické využití metody

Náhodnost jevů a opakování jejich výskytu jsou identické k činnostem prováděných v kasinech (ruleta je jednoduchý fyzikální generátor náhodných čísel, podobně jako např. hrací kostka).

Metoda Monte Carlo hrála klíčovou roli při simulacích, kterými se odhadovala štěpná reakce při vývoji atomové

bomby v rámci projektu Manhattan (krycí název pro utajený americký vývoj atomové bomby za 2. světové války).


Název metody pochází právě od Stanislawa Ulama, který ji pojmenoval podle známého kasina v Monaku (Ulamův strýc zde sázel). Metoda se dříve používala pod označením „statistical sampling“ – statistický výběr.

Autoři již pracovali v době, kdy mohly používat pro simulování náhodných jevů jednoduché počítače.

Využití metody Monte Carlok numerickému integrování

Metoda je využívána zejména pro výpočet integrálů hustot pravděpodobností spojitých náhodných veličin, zejména vícerozměrných, kde běžné metody nejsou efektivní.

Metoda Monte Carlo má široké využití od simulaci náhodných experimentů přes numerickou integraci určitých integrálů po numerické řešení diferenciálních rovnic.

Z principů prosté simulační metody Monte Carlo vychází řada pravděpodobnostních postupů – např. SBRA.


kde N je počet náhodných experimentů (simulací, simulačních kroků, historií) a B je konstanta, vyjadřující povahu konkrétního příkladu

Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malá přesnost.

NBerr

Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet simulací alespoň o dva řády.

Princip simulačních metod typu Monte Carlo

Metoda Monte Carlo je založena na provádění náhodných experimentů s modelem systému a jejich vyhodnocení. Výsledkem provedení velkého množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu.

Výhody a nevýhody metody MC

8 / 27


Chyba výpočtu simulací Monte Carlo

9 / 27

Při pravděpodobnostním posouzení a výpočtu pravděpodobnosti poruchy pf závisí přesnost odhadu nejenom na celkovém počtu simulací N, ale také na řádu určované pravděpodobnosti poruchy pf .

Variační koeficient pravděpodobnosti poruchy lze pro malé pravděpodobnosti definovat ve tvaru:

fp pN

vf .

1


Chyba výpočtu simulací Monte Carlo

10 / 27

Např.: Pokud se bude odhad pravděpodobnosti poruchy pf pohybovat v řádu 10-4 a výpočet byl proveden s počtem simulačních kroků N=104, variační koeficient pravděpodobnosti poruchy se rovná:

110.10

144

fpv

Odhad chyby výsledné pravděpodobnosti poruchy pf je tedy 100%.

Zvýšením počtu simulací N=106 pak variační koeficient pravděpodobnosti poruchy dosahuje příznivější hodnoty:

1,010.10

146

fpv

a výsledek by se neměl oproti přesnému řešení lišit o 10%.

Při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotě pravděpodobnosti.

NN XXN

X ...11

Lze popsat s pomocí střední hodnoty náhodné veličiny:

kde X1, X2, ..., XN představuje nekonečnou posloupnost vzájemně nezávislých náhodných čísel s konečnou střední hodnotou . Se zvyšujícím se počtem historií bude střední hodnota vygenerované posloupnosti konvergovat ke střední hodnotě , což lze demonstrovat na jednoduchém příkladu s hrací kostkou.

N

nX


Zákon velkých čísel

11 / 27

Zákon velkých číselV případě hrací kostky o šesti stranách je aritmetický průměr součtu čísel na jednotlivých stranách roven:

5,3621

6654321

Střední hodnota vržených čísel

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

Počet hodů

Stře

dní h

odno

ta

Vývoj vypočtené střední hodnoty 20000 vržených čísel

Princip simulačních metod typu Monte Carlo 12 / 27

Zákon velkých číselPočty zastoupení jednotlivých čísel v 50000 hodech

kostkou

8206 8385 8223 8383 8458 8345

0

2000

4000

6000

8000

10000

1 2 3 4 5 6

Počty zastoupení vržených čísel v 50000 hodech kostkou Princip simulačních metod typu Monte Carlo 13 / 27

Zákon velkých čísel

Procentuální zastoupení vržených čísel(celkové maximum počtu hodů 65528 je limitováno kapacitními možnostmi tabulkového procesoru Excel)

12

3

4

5

6

10100

100010000

5000065528

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

Proc

entu

ální

zas

toup

ení

Číslo

Celkový počet hodů

Procentuální zastoupení jednotlivých čísel


MCUAU nn mod1


Generátory (pseudo)náhodných čísel

Fyzikální generátory náhodných čísel

Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel

15 / 27

Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel

Generování pseudonáhodných čísel s pomocí rekurentního vztahu:

MCUAU nn mod1

kde konstanty A, C, a M určují statistickou kvalitu generátoru(žádoucí nesoudělnost A a M).

Nejpoužívanější generátory náhodných čísel, poprvé zavedené americkým matematikem Lehmerem v roce 1948. Slouží pro generování posloupností náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením.

Derrick Henry Lehmer (1905-1991)


0

1

2

3

4

5

6

7

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

x0 1A 1C 3M 7

MCUAU nn mod1

Vstupní údaje


Vliv vstupních konstantna vygenerovaná čísla

x0 1A 7C 3M 23

0

5

10

15

20

25

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80Princip simulačních metod typu Monte Carlo 18 / 27

MCUAU nn mod1

Vstupní údaje


x0 1A 7C 10M 1011

0

200

400

600

800

1000

1200

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80Princip simulačních metod typu Monte Carlo 19 / 27

MCUAU nn mod1

Vstupní údaje


Vliv vstupních konstant na vygenerovaná čísla

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

x0 0,5A 758C 0,333M 1

MCUAU nn mod1

Vstupní údaje:

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

Setříděno


kde představuje střední hodnotu funkce f, vypočtenou v N náhodných bodech.

Numerická integrace metodouMonte CarloMetoda Monte Carlo se využívá nejčastěji k řešení vícerozměrných integrálů.

V

y

y

x

x

yxyxfyxyxfIh

d

h

d

...dd,...,...dd,...,

Numerické integrování s využitím metody Monte Carlo spočívá ve stanovení hodnoty funkce f v N náhodných bodech, ležících v integrované oblasti V .

Výsledný integrál pak lze definovat:

N

iifN

VfVNfI1

..;

f


což lze považovat za ukazatel nepřesnosti výpočtu.

Numerická integrace metodouMonte Carlo

Odchylku od střední hodnoty funkce f zachycuje směrodatná odchylka:

Podobně lze stanovit i odchylku od střední hodnoty výsledného integrálu I:


N

ffNf

N

ii

1

2

;

N

iiff

NVNI

1

2;

Pro demonstraci postupu numerického integrování s využitím simulace Monte Carlo poslouží následující příklad.

Numerická integrace metodouMonte CarloAlgoritmus výpočtu integrálu metodou Monte Carlo lze zefektivnit. Integrační

oblast se může uzavřít do oblasti se známým objemem , ve které lze

snadno generovat náhodné body. Zavedená funkce pak nabývá hodnot:

Po vygenerování N náhodných bodů, ležících v oblasti , pak bude přibližná hodnota výsledného integrálu rovna:


Vf~

VxxfVx

f0~

V

N

i

xfN

VI1

~

Názorná ukázka elementárního výpočtu metodou Monte Carlo 24 / 27

Výpočet objemu polokoule

a směrodatná odchylka vypočteného odhadu integrálu se bude rovnat:

Je dána funkce: 222, yxryxf

Oblastí V pak je kružnice s poloměrem r, oblast představuje čtverec o straně 2.r, v němž bude kružnice vepsaná.

Funkce pak bude mít tvar:

V

f~

, která představuje rovnici polokoule.

222

222

,0~

ryxyxfryx

f

n

iiff

NVNI

1

2~~,

Ukázkový výpočet byl proveden pro 1000 pseudonáhodných čísel. Poloměr polokoule r se rovná 1 m.


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20x

y

Tisíc vygenerovaných pseudonáhodných dvojic čísel pro výpočet objemu polokoule, zobrazených jako graf 2D náhodné proměnné(vstupní parametry: x0=0,5; A=758; C=0,333 a M=1; y0=0,5; A=239; C=0,666 a M=1)Názorná ukázka elementárního výpočtu metodou Monte Carlo 25 / 27

Vygenerované dvojice pseudonáhodných čísel

222, yxryxf

Výsledná hodnota odhadu integrálu:

I = 2,17707

Přesná hodnota: 2,09440.

Směrodatná odchylka odhadu integrálu

= 0,04347, tedy 4,35%.

Názorná ukázka elementárního výpočtu metodou Monte Carlo 26 / 27

Graf hodnot funkce v N=1000 vygenerovaných bodech

f~

Závěry

Přednáška:

byla zaměřena na základní pravděpodobnostní metodu –prostou simulační metodu Monte Carlo,

ukázala historii vývoje této pravděpodobnostní metody,

vysvětlila podstatu kongruenčních generátorůpseudonáhodných čísel, které se uplatňují při výpočtu simulační metodou Monte Carlo,

metodiku výpočtu simulační metodou Monte Carlo demonstrovala na elementárním příkladu.

Závěry 27 / 27

0

5

10

15

20

25

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20x

y

Děkuji za pozornost!

Date post:	18-Sep-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	3 times
Download:	0 times

Téma 3: Metoda Monte Carlo - vsb.czfast10.vsb.cz/krejsa/studium/ppk_tema03.pdf · 2011. 10....

Documents