Turbulence

Doc. Ing. Vclav Uruba, CSc

VUT v Praze, Fakulta strojn

2009

2

3

Obsah 1. Pouit oznaen ................................................................................................................. 6 2. vodem .............................................................................................................................. 7 3. vod do studia turbulence .................................................................................................. 8

3.1. Turbulence v kontextu modern vdy ......................................................................... 9 3.2. Proudc tekutina jako dynamick systm ................................................................ 10

3.2.1. Fraktln struktura .............................................................................................. 12 3.2.2. Deterministick chaos ........................................................................................ 13 3.2.3. Proces samoorganizace koherentn struktury .................................................. 17

3.3. Definice turbulence .................................................................................................. 19 3.4. Pklady turbulentnch proud .................................................................................. 21

3.4.1. Mkov turbulence .......................................................................................... 21 3.4.2. Voln smykov vrstvy ........................................................................................ 22 3.4.3. Mezn vrstvy ....................................................................................................... 22 3.4.4. plavy ................................................................................................................ 23 3.4.5. Sdlen tepla ........................................................................................................ 23 3.4.6. Chemick turbulence .......................................................................................... 24 3.4.7. Hoen ................................................................................................................. 25

4. Zkladn rovnice dynamiky tekutin .................................................................................. 26 4.1. Zkladn pedpoklady ............................................................................................... 26 4.2. Eulerv a Lagrangev popis ..................................................................................... 27 4.3. Zkony zachovn .................................................................................................... 29

4.3.1. Rovnice kontinuity ............................................................................................. 29 4.3.2. Zachovn hybnosti ............................................................................................ 29 4.3.3. Navierovy-Stokesovy rovnice ............................................................................ 31 4.3.3.1. Vlastnosti N-S rovnic ..................................................................................... 32 4.3.3.2. Symetrie N-S rovnic ....................................................................................... 33 4.3.3.3. Rovnice pro tlak .............................................................................................. 34 4.3.3.4. Formulace pro pole vivosti ........................................................................... 34

5. Rovnice turbulentnho proudn ....................................................................................... 36 5.1. Reynoldsovy rovnice ................................................................................................ 36

5.1.1. Reynoldsova napt ............................................................................................ 37 5.1.2. Monosti een Reynoldsovch rovnic ............................................................. 39

5.2. Energetick bilance .................................................................................................. 40 5.2.1. Energie stednho proudu ................................................................................... 41 5.2.2. Celkov energie .................................................................................................. 42 5.2.3. Energie turbulence .............................................................................................. 43 5.2.4. Rychlost disipace energie ................................................................................... 44 5.2.5. Stedn vivost ................................................................................................... 45

5.3. Hlavn problm turbulence ....................................................................................... 47 5.4. Bernoulliho rovnice .................................................................................................. 48 5.5. Transport pasivnho skalru ..................................................................................... 49

6. Vznik turbulence .............................................................................................................. 50 6.1. Reynoldsv experiment ............................................................................................ 50 6.2. Teorie stability .......................................................................................................... 51

6.2.1. Stabilita nevazkho proudn ............................................................................. 52 6.2.2. Stabilita vazkho proudn ................................................................................. 56 6.2.3. Druhy hydrodynamick nestability .................................................................... 57 6.2.3.1. Kelvinova-Helmholtzova nestabilita .............................................................. 57

4

6.2.3.2. Rayleighova-Bnrdova nestabilita ................................................................ 59 6.2.3.3. Taylorova-Couettova nestabilita ..................................................................... 60 6.2.3.4. Grtlerova nestabilita ..................................................................................... 61 6.2.3.5. Tollmienova-Schlichtingova nestabilita ......................................................... 62 6.2.3.6. plavy za tlesy .............................................................................................. 62 6.2.3.7. Dal nestability .............................................................................................. 63

6.3. Pechod do turbulence .............................................................................................. 63 6.3.1. Pirozen pechod do turbulence ........................................................................ 64 6.3.2. Zkrcen pechod do turbulence ........................................................................ 66

7. Vyvinut turbulence ......................................................................................................... 69 7.1. Statistick popis turbulence ..................................................................................... 70

7.1.1. Spektrln charakteristiky ................................................................................... 70 7.1.1.1. Spektrum rychlosti .......................................................................................... 70 7.1.1.2. Jednorozmrn spektrum ................................................................................ 71 7.1.1.3. Energetick a disipan spektrum ................................................................... 72 7.1.2. Taylorova hypotza ............................................................................................ 72 7.1.3. Strukturn funkce ................................................................................................ 73

7.2. Mtka turbulence ................................................................................................... 74 7.2.1. Kaskda mtek ................................................................................................. 74 7.2.2. Definice mtek turbulence ............................................................................... 74 7.2.3. Fraktln struktura mtek ................................................................................. 76

7.3. Kolmogorovova teorie .............................................................................................. 77 7.3.1. Spektra izotropn turbulence .............................................................................. 79 7.3.2. Energetick kaskda a inversn energetick kaskda ......................................... 82 7.3.3. Vnitn intermitence ........................................................................................... 84 7.3.4. Formulace pro strukturn funkce ........................................................................ 85 7.3.5. Turbulentn difze .............................................................................................. 86

7.4. Dynamick systmy ................................................................................................. 87 8. Pklady turbulentnch proud .......................................................................................... 89

8.1. Mkov turbulence ................................................................................................ 89 8.2. Smykov proudy ...................................................................................................... 90

9. Modelovn turbulence ..................................................................................................... 96 9.1. Pm numerick simulace (DNS) ............................................................................ 97 9.2. Metoda simulace velkch vr (LES) ....................................................................... 98 9.3. Metody modelovn Reynoldsovch rovnic (RANS) .............................................. 98

9.3.1. Modely zaloen na turbulentn vazkosti ........................................................... 98 9.3.1.1. Algebraick modely ........................................................................................ 99 9.3.1.2. Modely obsahujc transportn rovnice ........................................................... 99 9.3.2. Modelovn Reynoldsovch napt .................................................................. 100

10. Fenomenologie turbulence ......................................................................................... 101 10.1. Kinematika ............................................................................................................. 101 10.2. Vry ......................................................................................................................... 103

10.2.1. Matematick modely vr ............................................................................. 103 10.2.2. Biotv-Savartv zkon ................................................................................. 106 10.2.3. Interakce vr ................................................................................................ 107 10.2.4. Mechanismus generovn vivosti ............................................................... 109 10.2.5. Dal sly psobc na vrov struktury ......................................................... 112

10.3. Mechanismy samoudrovn turbulentnho proudn ............................................ 113 10.3.1. Koherentn struktury ve stnovch proudech ............................................... 113 10.3.2. Vlsenicov vry ......................................................................................... 113

5

10.3.3. Podln pruhy nzk rychlosti a bursting phenomenon ............................ 116 10.4. Dynamika koherentnch struktur ............................................................................ 117

10.4.1. Vznik koherentnch struktur ......................................................................... 118 10.4.2. Regenerace koherentnch struktur ................................................................ 120

11. Literatura .................................................................................................................... 122 11.1. Literatura doporuen pro dal studium ................................................................ 122 11.2. Pouit literatura .................................................................................................... 122 11.3. Zdroje obrazovch materil ................................................................................. 123

12. Dodatky ...................................................................................................................... 124 12.1. Vektorov poet ..................................................................................................... 124 12.2. Veliiny zavdn v teorii turbulence .................................................................... 125 12.3. Symetrie turbulentnho proudn ............................................................................ 125 12.4. Statistick nstroje .................................................................................................. 126

12.4.1. Stedovn ..................................................................................................... 126 12.4.2. Charakteristiky nhodnho procesu .............................................................. 127 12.4.3. Distribun funkce a hustota pravdpodobnosti ........................................... 127 12.4.4. Nkter typy nhodnch rozdlen ............................................................... 128 12.4.5. Statistick momenty ..................................................................................... 128 12.4.6. Korelan funkce ........................................................................................... 129 12.4.7. Spektra .......................................................................................................... 130 12.4.8. Waveletov transformace ............................................................................. 132 12.4.9. Vlastn ortogonln dekompozice ................................................................. 135

12.5. Zkony podobnosti ................................................................................................. 137 12.6. Strun historie vzkumu turbulence ..................................................................... 140

6

1. Pouit oznaen Uvedeme zde pouze oznaen pouvan ve skriptech systematicky a opakovan. Dal ozna-en budou vysvtlena pi jejich pouit. Latinsk abeceda

( )D disipan spektrum e jednotkov vektor

( )E energetick spektrum f podln korelan funkce (bezroz-

mrn); frekvence g pn korelan funkce (bezroz-

mrn) i imaginrn jednotka k kinetick energie l dlkov mtko L integrln mtko p tlak Re Reynoldsovo slo

ijs tenzor rychlosti deformace t as u vektor rychlosti x vektor polohy eck abeceda souinitel intermitence Diracova funkce

ij Kroneckerovo delta rychlost disipace

ijk Levi-Civitv tenzor permutace Kolmogorovovo mtko Heavisideova funkce , vlnov slo, vektor v.. Taylorovo mikromtko souinitel kinematick vazkosti hustota, korelan koeficient, auto-

korelan funkce asov mtko enstrofie vektor vivosti

Indexy

,i j indexy tenzor , ,k l m stac indexy

Dal oznaen

a skalr a a tenzor a . aritmetick prmr . stedn hodnota souboru

. fluktuace Hamiltonv opertor nabla DDt

substanciln derivace podle asu

( ).O dov odhad ..

vektor

. .

. . determinant

. .

. .

matice

7

2. vodem

Skriptum poskytuje materil pro vod do studia turbulence v proudcch tekutinch. Pedkldan text vznikl jako pomcka pro studenty 5. ronku V pedmtu Turbulence a jako doplkov materil pi studiu pedmtu Smykov oblasti. Jsou v nm obsaeny z-kladn informace pro pedmt Turbulence, kter byl zaazen do doktorskho studia, ped-pokld se ovem doplnn informac z dalch zdroj, zejmna z literatury, kter je zde uve-dena jako materil pro dal studium.

Hned v vodu bych se chtl vyjdit k terminologii pouvan ve skriptu. Turbulence, ja-ko i jin obory modern vdy, nalezla svou latinu v anglick terminologii. elem tto prce nen v dnm ppad zavdn regionln, esk terminologie. Tato snaha me ve svm dsledku, podle mho nzoru, vst pouze ke zmaten tene. V textu bude v mst prv-nho vskytu danho termnu uveden kurzvou v zvorce anglick ekvivalent (angl.: En-glish equivalent). V ppad, e neexistuje zaveden a veobecn uznvan esk ekvivalent, potom se v textu budu dret zavedenho termnu v anglick verzi. Tmto se omlouvm vem zastncm istho eskho jazyka pi publikovn.

Katsushika Hokusai, Velk turbulentn vlna, 182932

8

3. vod do studia turbulence Equation Section 3

Proudn vody v ece, mraky na obloze, hoc plamen, hvzdn vesmr to jsou nkter pklady jev, kter meme oznait jako turbulentn. Turbulence byla vdy fascinujc pod-vanou pro lovka, a to pesto (nebo prv proto), e je tko uchopiteln pro svou variabilitu a sloitost. Ji od starovku se pokoueli myslitel s existenc turbulence vyrovnat, tato snaha pokrauje dodnes, proces poznvn zkon turbulence nebyl ukonen. Je doprovzen objevy s neekanmi dsledky pro rzn oblasti vdy.

Obr. 3.1 Momentka vody vtkajc do ndre, Leonardo da Vinci, kolem 1500 Jedny z prvnch znmch poznatk o struktue turbulence v modern dob jsou pozoro-

vn proudn tekutin Leonardem da Vincim viz obr. 3.1. Leonardo znzornil proudn vody jako momentku, kdy turbulentn proudov pole je sloeno z rznch struktur rznch veli-kost. Psob tak velmi uspodan se sloitou, zjevn zkonitou strukturou. Dalm historic-km pkladem pravideln struktury v turbulentnm proudu je znm rud skvrna na Jupite-ru na obr. 3.2. Jedn se vlastn o obrovskou boui turbulentn vr (anticyklon), trv ji nej-mn 350 let (v roce 1655 byla poprv pozorovna francouzskm hvzdem Cassinim). Je to vce-mn stabiln tvar, kter pomrn rychle mn vak svoji polohu a strukturu v ase. Existence tto pravideln struktury ve vyvinutm turbulentnm proudn zaujala nejen hvzde, ale i odbornky v oblasti mechaniky tekutin. Inicializovala diskusi na tma struktury turbulentnho proudn.

Obr. 3.2 Rud skvrna na Jupiteru

9

Poznvn turbulence nm dv kadodenn zkuenost: kou stoupajc z cigarety nebo z ohn vykazuje nepravideln chovn proudcho vzduchu, kter jej un. Vtr podlh prudkm mstnm zmnm smru i velikosti rychlosti, co me mt dramatick nsledky pro nmonky i letce. Bhem letu dopravnm letadlem je obvykle pojem turbulence spojovn s aktem pipoutn se pomoc bezpenostnch pas. Pojem turbulence je tak pouvn pi popisu volnch proud paprsk. Pi proudn vody v ece m jej ptomnost dleit dsle-dek pro ukldn sedimentu na dno. Rychl proudn tekutiny kolem pekky nebo teba kolem leteckho profilu zpsobuje vznik turbulence v mezn vrstv a vytv se tak turbu-lentn plav zpsobujc zven odporov sly, kterou psob proud tekutiny na pekku (bv vyjden pomoc slavnho souinitele Cx). Aby bylo dosaeno lepch aerodynamic-kch vlastnost automobil a letadel mus tedy bt turbulence potlaena. Chovn vtiny moskch a atmosfrickch proud neme bt pesn pedpovzeno, spadaj toti do katego-rie turbulentnch proud a tk se to i proud planetrnch mtek. Turbulence malch m-tek v zemsk atmosfe me pedstavovat vn problm pi astronomickch pozorovnch provdnch ze zemskho povrchu, je potom urujc pi vbru polohy observatoe. Atmo-sfry planet jako jsou Jupiter i Saturn, slunen atmosfra nebo zemsk vnj sfra jsou tur-bulentn. Galaxie maj typick tvar vr (pklad viz obr. 3.3) podobnch tm, kter se vysky-tuj v turbulentnch proudech, jako je napklad proudn ve smovac vrstv dvou proud o rzn rychlosti. Jedn se tedy o tvary vznikl v souvislosti s turbulentnmi jevy. Mohli by-chom jmenovat mnoho dalch podobnch pklad z aerodynamiky, hydrauliky, jadernho a chemickho inenrstv, ocenologie, meteorologie, astrofyziky, kosmologie i geofyziky. Na opanm plu spektra jsou potom kvantov vry vznikajc v supratekut kapalin, kter maj rozmry vyjditeln v nsobcch prmru atomu. Svt turbulence tedy zahrnuje cel nmi pozorovan vesmr a turbulence je typickm zpsobem chovn tohoto vesmru na vech jeho stupnch.

Obr. 3.3 Spirln galaxie v souhvzd Andromedy

3.1. Turbulence v kontextu modern vdy Modern vda a modern fyzika je zaloena na pstupu, kter pro ns objevil

v 17. stolet Isaac Newton. Vdeck metoda me bt zjednoduena na aplikaci t po sob nsledujcch krok. Prvnm krokem je analza problmu, kter je provdna pomoc experi-ment a to buto skutench, fyziklnch nebo mylenkovch. Druhm krokem je syntza, kdy se pechz od konkrtnho k obecnmu. Prakticky to znamen, e je vytvoen matema-tick model zkoumanho jevu. Tetm krokem je potom predikce, kter pedstavuje oven matematickho modelu a jeho aplikaci na konkrtn ppady, kter nejsou toton s ppady uvaovanmi v prvnm kroku (pro tyto ppady mus model samozejm platit tak).

10

Problematika turbulence jaksi nezapadala do konceptu vdy definovanho Newtonem, nedailo se spolehliv pedpovdat chovn objekt ve stavu turbulence. V minulosti bylo tur-bulentn chovn asto spojovno s magi a dodnes je tento problm obesten roukou tajem-stv. Tmto problmem se systematicky zabvala cel ada vynikajcch vdc (strun pe-hled viz dodatek) avak prakticky vechny vznan osobnosti fyziky se tohoto nepehldnu-telnho problmu alespo letmo dotkly. O otci kvantov teorie Maxovi Planckovi se traduje, e na smrteln posteli prohlsil, e a pedstoup ped boha, bude na nj mt dv otzky: Pro kvanta a pro turbulence. Vm, e na prvn otzku dostanu uspokojivou odpov. Problm turbulence bv nazvn poslednm nevyeenm problmem klasick fyziky.

Typickm pstupem k vytven matematickch model prodnch jev je redukce po-tu stup volnosti a linearizace. Tento pstup vede v mnoha ppadech k pomrn jednodu-chmu matematickmu modelu, kter je mono spn analyzovat a aplikovat na konkrtn ppady, asto i analytickou metodou. Pronikn do hloubi fyziklnho problmu se dje po-moc tzv. redukcionalizmu, kdy se objekt zkoumn, v naem ppad hmota, analyzuje do nejmench monch detail. Pokud se toto zda, problm se prohls za vyeen alespo z teoretickho pohledu. Svatm grlem fyziky vyznvajcm tento redukcionalistick pstup je tzv. teorie veho, kterou se mysl objeven opravdu zkladnch element hmoty a pro-zkoumn jejich vlastnost. Adepty na tuto teorii byly postupn teorie atom, elementrnch stic, kvarkov teorie a v posledn dob teorie strun i superstrun.

Ukazuje se vak, e redukcionalizmus nee nkter jevy, mezi kter meme zaadit turbulenci v tekutinch. Problm je v tom, e samotn podstata turbulence je spojena se sys-tmy s obrovskm potem stup volnosti, mezi ktermi jsou nelinern vazby. Pi zkoumn tohoto jevu musme k tekutin pistupovat jako k systmu jednoduchch prvk, jejich vlast-nosti jsou sice pro chovn celku dleit, urujc roli zde vak hraj zkonitosti, kter nen mono z chovn jedinho prvku odvodit. Je zde vak jet hlub pina nespchu redukci-onalistickho pstupu, kter tkv v neplatnosti tzv. principu oddlitelnosti (angl.: separabi-lity principle), kter k, e systm lze prozkoumat tak, e prozkoumme oddlen jeho sti. Ve 30. letech minulho stolet byl tento princip pedmtem vniv filosofick diskuse, za-stncem principu oddlitelnosti byl A. Einstein, oponentem byl N. Bohr. Vsledek tto disku-se vyznl ve prospch Bohra, kter tvrdil, e tento princip obecn neplat, chovn celku nelze vyjdit jako prost souet chovn jeho soust1.

Nezbv ne rezignovat na redukcionalistick pstup a snait se vytvoit nov holis-tick (z eckho holos celek) pstup, zkoumn systmu jako celku. Bohuel, matematick nstroje zaloen na diferencilnm a integrlnm potu, kter mme v souasn dob k dispozici, byly vytvoeny pro redukcionalistick analzy a jejich pouit pi holistickm zpsobu zkoumn je velmi omezen. Nehod se pro popis takovch jev, jako je komplexita, fraktln geometrie, deterministick chaos i samoorganizace. Nov obory, kter se zabvaj tmito jevy (nap. teorie dynamickch systm, teorie katastrof, uml inteligence a v neposledn ad teorie turbulence), jsou nuceny hledat jin, vhodnj zpsoby popisu stavu vc.

3.2. Proudc tekutina jako dynamick systm Z teorie dynamickch systm je znmo, e mnoho skutench spojitch systm me

bt modelovno soustavou parcilnch diferencilnch rovnic, kter potom mus bt zpravidla eeny numericky. Takovto dynamick systmy maj teoreticky nekonen poet stup vol-nosti a k jejich een jsou vyadovny poten podmnky charakterizovan nekonenm potem stav rozmstnch v prostoru. Dynamick chovn prostorov spojitch systm m-e bt promnn jak v prostoru, tak v ase, mohou vznikat jak pravideln tak chaotick struk-tury.

Proudn tekutin lze kvalitativn charakterizovat jako laminrn nebo turbulentn. Lami-nrn proudn je typick buto velmi pomalm pohybem nebo vysokou hodnotou vazkosti, 1 Tento zvr m nkter fatln dsledky, napklad neplatnost determinismu v jeho klasick podob.

11

stice tekutiny se pohybuj uspodan, vzjemn po sob klouou ve vrstvch (lamina je latinsky vrstva, pltek), odtud tedy laminrn. Naproti tomu turbulentn proudn (turbulentus je latinsky neuspodan) je charakterizovno rychlm pohybem nebo malm vlivem viskozi-ty, kdy i mal poruchy v proudu nekontrolovateln rostou a zpsobuj tak nepedvdateln lokln chovn tekutiny, intenzivn viv promchvn v cel oblasti (exaktnj definice turbulence bude podna pozdji).

Je uritm paradoxem, e proudn zcela nevazk tekutiny je vdy laminrn, turbulence neme vzniknout v nevazk tekutin. Je to dno tm, e stice tekutiny na sebe vzjemn psob pouze tlakovmi silami, ten sly jsou nulov. V takov tekutin neme vzniknout vivost, kter je charakteristick pro turbulentn proudn. Tato skutenost je obsahem Tho-msonovy vty o vrech, kter je pro ideln nevazkou tekutinu ekvivalentn tvrzen: byl-li pohyb v uritm okamiku neviv, zstane jm nadle. Na druhou stranu, kad reln te-kutina je charakterizovna nenulovou viskozitou, nevazk tekutina je pouze idealizovanm limitnm ppadem.

Pi laminrnm proudn se obraz proudn v ase nemn, pokud jsou okrajov pod-mnky tak nemnn a odhldneme-li od mikroskopickch jev typu Brownova pohybu. M-eme tedy tvrdit, e v tomto ppad nen dn dynamick stupe volnosti tekutinovho sys-tmu aktivn. V Lagrangeovskm smyslu2 se kad stice tekutiny, jakkoli velk, chov dy-namicky mn svou polohu v ase a v prostoru. Dvme-li se vak na systm jako na celek Eulerovskm pohledem3, potom meme stav systmu povaovat za statick.

Pi zmn podmnek proudn, zpravidla zven rychlosti, me dojt k pechodu sys-tmu do nestabilnho stavu. Okrajovmi podmnkami je uren nov doasn stabiln stav sys-tmu, ke ktermu jeho vvoj smuje atraktor. Tsn po ztrt stability je chovn systmu pomrn jednoduch, existuje pouze velmi mal poet aktivnch stup volnosti, vchylky od nestabilnho rovnovnho stavu jsou mal a chovn systmu lze popsat s dostatenou pes-nost linearizovanm modelem. Pozdji pi zvtovn vchylek dochz k uplatnn nelinea-rit, struktura je stle sloitj a mn uspodan a dochz ke vzniku stavu deterministick-ho chaosu turbulence. V tomto stavu je poet aktivnch stup volnosti dn charakterem poruch, kter se v proudu vyskytuj. Jedn se potom o rozlehl systm (angl.: extended sys-tem), kdy vzjemn korelace zmn stavu ve dvou bodech s odlehlost rychle kles k nule.

Tekutinov systm ve stavu turbulence neustle v ase mn svou strukturu. Pesto pro popis turbulentnho proudn existuj statick modely, kter vyuvaj statistickho popisu pomoc statistickch moment. Jedn se o modely zaloen na Reynoldsovch rovnicch, v literatue jsou oznaovan jako RANS4 modely.

Obecn, studium dynamickch systm se zpravidla provd ve fzovm prostoru, jeho dimenze je dna potem stup volnosti, respektive potem nezvisle promnnch veliin, kter dokonale popisuj stav systmu. Kad bod ve fzovm prostoru potom pedstavuje ur-it dynamick stav systmu.

Zkladn charakteristikou dynamickho systmu je atraktor. Jedn se o fzov portrt stavu, ke ktermu je systm pitahovn (odtud nzev) pi potench podmnkch lecch v jist oblasti fzovho prostoru. Vvoj systmu v ase smuje k tomuto stavu a po dostate-n dlouh dob se k nmu neomezen pibl. Z klasick teorie dynamickch systm jsme zvykl na dva typy atraktor. Me se jednat jednak o jedin bod ve fzovm prostoru, potom systm smuje k uritmu statickmu, v ase nemnnmu rovnovnmu stavu. Druhou monost je tzv. mezn cyklus. Jedn se o uzavenou kivku ve fzovm prostoru, kter cha-rakterizuje periodickou zmnu stavu systmu. Existuje vak jet tet monost, toti vznik tzv. podivnho atraktoru (angl.: strange attractor), kter je typick pro stav systmu naz-van deterministick chaos (angl.: deterministic chaos). Tento stav je typick pro turbu-

2 Lagrangev pstup sleduje chovn modelovch stic tekutiny. (viz kap. 4.2) 3 Eulerv pstup je reprezentovn popisem systmu v pevn danm bod v prostoru. (viz kap. 4.2) 4 Reynolds Averaged Navier-Stokes (equations) viz oddl 9

12

lentn chovn tekutiny a m klov vznam pro studium tekutinovch systm. Pojem de-terministick chaos podrobn vysvtlme v dalch kapitolch.

Bifurkan bod (angl.: bifurcation point) charakterizuje stav systmu na mezi stability jist struktury. Dal vvoj systmu me pokraovat podle vce scn, mohou bt dva nebo vce, me jich bt i nekonen mnoho. Vbr konkrtnho scne zvis na nepatrnch ud-lostech typu Brownova pohybu, z hlediska antropomorfnch mtek5 nezbv, ne tento pro-ces povaovat za nhodn, kdy pravdpodobnost realizace jednotlivch scn je nenulov, je vak men ne 1. Na konci kadho scne je nov stabiln stav systmu nebo dal bifur-kan bod.

3.2.1. Fraktln struktura Dimenze geometrickho objektu je obvykle definovna jako poet nezvislch smr po-

hybu bodu v jeho rmci. V tomto ppad se nazv topologickou dimenz Td a je to vdy pirozen (tj. kladn, cel) slo. Me bt rovna nebo men ne je dimenze prostoru d , ve kterm se objekt nachz. Akoli hladk ra i nhodn trajektorie maj stejnou topologickou dimenzi 1Td = , maj velmi odlin vlastnosti, protoe nhodn trajektorie me zcela nebo sten zaplnit urit dvourozmrn i trozmrn podprostor. Proto se zavd fraktln dimenze geometrickho objektu Fd .

Benoit Mandelbrot roku 1975 definoval fraktl (angl.: fractal, pochz z latinskho fractus rozbit) jako mnoinu, jej fraktln dimenze je vt ne dimenze topologick a je vyjditeln necelm slem. Lze jej tak definovat ponkud jednodueji a mn obecn jako geometrick objekt, kter m nsledujc vlastnosti: je sobpodobn znamen to, e pokud dan tvar pozorujeme v jakmkoliv mtku i rozlien, pozorujeme stle opakujc se urit charakteristick tvar; a dle m na prvn pohled velmi sloitou strukturu, me bt vak vy-generovn opakovanm pouitm jednoduchch pravidel (rekurence). Fraktly jsou nejsloi-tj geometrick objekty, kter souasn matematika zkoum, maj vak asto pekvapiv jednoduchou matematickou strukturu. Pklad umlho fraktlu je na obr. 3.4.

Obr. 3.4 Pklad Madelbrotovy mnoiny (fraktlu) Fraktln struktura je typick pro veker prodn objekty, u nich se uplatuje nelinern

chovn v kombinaci s velkm potem stup volnosti. Prodn fraktly v sob obsahuj pr-vek nhodnosti, kter se tk vskytu opakujcch se struktur na jednotlivch rovnch, tm se vznamn zvyuje poet stup volnosti takovho objektu. Typickm pkladem me bt proudc tekutina. Pklad prodn fraktln struktury je na obr. 3.5.

5 Pojem antropomorfn pedstavuje pohled oima lovka, kter je svmi smysly schopen vnmat pouze jevy, jejich prostorov a asov mtko se pli neli od mtek lidskho tla a pochod v nm probhajcch. Je-li tedy velikost lovka dov metr, potom antropomorfn mtka mohou bt charakterizovna rozdlem nap. o 5 d, tedy 10-5 m a 105 m, v asov oblasti mon od 10-1 s po 109 s.

13

Obr. 3.5 Mraky Platnsk svt jednoduchch geometrickch tvar (typu koule, kvdr, mnohostn,)

popisovan v klasickch uebnicch mechaniky vznikl dky linearizovanm matematickm modelm, tak i pomrn sloit systmy mohou vykazovat jen velmi nzk poet aktivnch stup volnosti. My vak ijeme v nelinernm svt fraktln geometrie.

Pro zkoumn a analzu fraktlnch objekt zpravidla nelze pout metody vyvinut pro jednoduch objekty. Takov charakteristiky jako dlka ry i obsah plochy nemaj u fraktl praktick vznam, vznamnou informac je vak fraktln dimense. Dle je zejm, e na fraktly, kter vykazuj fraktln strukturu pro libovoln mal detaily, nelze uplatnit metody vyuvajc diferenciln poet, protoe u nich nen definovna derivace.

3.2.2. Deterministick chaos Pod pojmem chaos se veobecn rozum takov chovn, kter je projevem absolutn a

ist nhody, nen v nm msto pro psoben zkonitost. Takovto chovn by bylo mono nazvat absolutn nekoherentn, kdy neexistuj zkonit vazby mezi sousednmi stavy (jak v prostoru, tak v ase). Chaotick chovn skutench systm v prod vak spe charakte-rizuje termn deterministick chaos. Jedn se o proces samoorganizace sloitch systm, kdy vznikaj soustavy koherentnch struktur chovajcch se v souladu s prodnmi zkony. Z hlediska jedn urit struktury m vvoj systmu prvky nhodnosti, systm jako celek se vak vyvj zcela zkonit a tedy deterministicky. Tento jev lze nalzt v prodnch systmech vech monch forem od fyziklnch, chemickch (nap. chemick reakce), tak i v biologickch systmech (nap. chovn kolonie mravenc).

Typickm pkladem relativn dobe prozkoumanho systmu chovajcho se podle zko-n deterministickho chaosu je turbulentn proudn. Struktura vyvinutho turbulentnho proudn je charakterizovna vrovmi koherentnmi strukturami, jejich velikost je dna jis-tmi zkonitostmi, okamit poloha a orientace konkrtnho vru v prostoru je vak nhodn. Matematick model proudc tekutiny je znm, jedn se o Navierovy-Stokesovy rovnice. V kadm ppad se jedn o deterministick matematick model. Ukazuje se vak, e za ur-itch podmnek me dojt k extrmnmu zesilovn poruch uritho charakteru v proudovm poli. Systm tedy funguje jako filtr, kter nkter poruchy potlauje, jin zesilu-je. Tento proces, kter je zpotku linern, vede po uritm ase, kdy dojde k zeslen poruch nad jistou mez, k masivnmu uplatnn nelinearit a k pechodu systmu do chaotickho stavu.

Toto je obecn vlastnost dynamickch systm popsanch nelinernm matematickm modelem. Zatmco u linernch systm je odezva mrn podntu, aspo co se amplitudy te, u nelinernch systm citlivost kols v zvislosti na podmnkch a na charakteru po-ruch. Pi extrmnm zven citlivosti k poruchm jistho typu se jedn o problm stability systmu, kdy se mn kvalita jeho chovn a ten pechz do chaotickho stavu. Chaotick chovn je charakterizovno situac, kdy velmi mal, prakticky nemiteln podnty vyvol-vaj velk zmny v chovn systmu. Pokud tyto podnty nejsme schopni indikovat, pak se jev chovn bez zjevn piny chaotick. Pi chaotickm chovn systmu roste dov jeho komplexita (poet aktivnch stup volnosti).

14

Ukazuje se, e linern systmy jsou pouhou idealizac a ve skutenosti dn reln sys-tm nelze dokonale popsat linernm matematickm modelem. Linern model me pro sku-ten systm platit s dostatenou pesnost pouze pro mal vchylky od vchozho stavu, vdy vak existuje jist mez, nad kterou je chovn systmu nelinern. Vtina systm je vak siln nelinernch, linearizovan model pro takov systmy plat pouze pro infinitesi-mln mal vchylky. Vechny dynamick systmy vyskytujc se v prod jsou ve sv pod-stat nelinern a za uritch podmnek me bt jejich chovn charakterizovno jako deter-ministick chaos. Proto je chaotick chovn v prod tak ast.

Dvodem, pro chaotick chovn dynamickch systm bylo tak dlouho mimo zorn pole vdc je fakt, e je nelze modelovat pomoc jednoduchho linernho matematickho modelu, kter byl v minulosti z dvodu jednoduchosti prakticky vhradn pouvn pro stu-dium dynamickch systm.

Proudc tekutina je pomrn sloit spojit dynamick systm, s velkou variabilitou okrajovch podmnek, lze jej charakterizovat velmi vysokm potem stup volnosti. Studi-um vlastnost takovho systmu je obecn technicky velmi obtn, ani dnenmi prostedky vpoetn techniky nelze zvldnout simulaci by velmi jednoduchch ppad turbulentnho proudn z technick praxe6. Proto budeme demonstrovat chaotick chovn dynamickch systm na ppad daleko jednodum s malm potem stup volnosti. Zkladn mecha-nismus vzniku chaosu je spolen vem dynamickm systmm bez ohledu na jejich sloi-tost. Vybereme pklad, kter vlastn odstartoval ru systematickho studia chaosu. Jedn se o tzv. Lorenzv systm.

Edward Lorenz psobil zatkem 60. let minulho stolet na Massachusetts Institute of Technology, kde vytvoil jednoduch matematick model zemsk atmosfry, na kterm se pokouel studovat poas, konkrtn vynucenou konvekci v atmosfe. K simulacm pouil z dnenho pohledu primitivn, ve sv dob vak pikov slicov pota. Jednalo se o po-ta Royal-McBee LGP-30 s 16kB pamti, kter vypoetl 60 nsoben za sekundu. Jeho v-poty byly s pesnost na 6 platnch slic. Lorenc provedl zaokrouhlen poten podmnky na 3 platn slice a oekval, e toto zaokrouhlen nebude mt podstatn vliv na vsledky, pitom narazil na nestabiln chovn matematickho modelu. Postupn zjednoduil svj ma-tematick model, kter ml pvodn 12 dimenz, a na znm trozmrn Lorenzv systm z roku 1963:

( )Ra ,

Pr ,

.

dx y xdtdy xz x ydtdz xy bzdt

=

= +

=

(3.1)

Tento matematick model zachycuje zkladn vlastnosti konvektivnho proudn v atmo-sfe, kter je zahvna povrchem ze spodu a ochlazovna svrchu. Vznik tak rotan pohyb stic vzduchu, kdy oht stice stoup, tm se ochlazuje a zane klesat, aby se opt zahla a stoupala. Tento jev je znm jako Rayleighova-Bnrdova nestabilita (vce o n bude v kapitole o nestabilitch). Okrajov podmnky jsou ponkud idealizovny: proudn v horn oblasti je uvaovno bez smykovho napt msto realistitj podmnky stejnch rychlost, v pnm smru je uvaovna periodick okrajov podmnka msto omezen stnami a cel ppad je modelovn jako rovinn msto prostorovho. Schma tohoto modelu je na obr. 3.6, jedn se o tzv. Rayleighovu-Bnrdovu buku, kter se periodicky opakuje v pnm smru.

6 Mme zde na mysli metodu pm numerick simulace, turbulentn proudn se v technick praxi obvykle e pomoc model turbulence. Detaily viz oddl 9.

15

Obr. 3.6 Schma Lorenzova systmu Rayleighova-Bnrdova buka Promnn x , y a z v rovnici (3.1) nejsou souadnicemi v prostoru, jejich fyzikln v-

znam je ponkud abstraktn. Promnn x pedstavuje rychlost rotace pohybu stice, kladn hodnota je ve smru hodinovch ruiek. Promnn y je potom rozdl teplot stoupajc a klesajc tekutiny. Promnn z charakterizuje odchylku svislho profilu teploty od linernho prbhu. Parametr Ra je Rayleighovo slo a Pr potom slo Prandtlovo, konen parametr b pedstavuje thlost vlce tekutiny pi konvekci, tedy pomr jeho dlky a prmru.

Z matematickho hlediska m systm rovnic (3.1) nsledujc vlastnosti: Rovnice jsou autonomn, to znamen, e jejich prav strana explicitn neobsahuje as,

koeficienty jsou konstantn; Obsahuj pouze prvn asov derivace. Dsledkem tohoto, spolu s uvenm autonomie

systmu, je fakt, e jeho vvoj zvis pouze na okamitch hodnotch promnnch ( ), ,x y z a nikoli na jejich historii;

Rovnice jsou nelinern, viz leny xz a xy ve druh a tet rovnici; Systm je disipativn. Tento zvr plyne z ptomnosti diagonlnch st soustavy rovnic,

kter odpovdaj ustalujcmu se een; een soustavy rovnic je omezen v prostoru promnnch.

Lorenz provdl matematickou simulaci systmu, jednalo se vlastn o numerickou inte-graci rovnic v ase pro rzn hodnoty parametr a pro rzn poten hodnoty promnnch. Pro hodnoty parametru Pr 1 een spje k ustlen hodnot 0x y z= = = , kdy veker konvekce zanik.

Obr. 3.7 Lorenzv podivn atraktor

Studen stna

Tepl stna

16

Obvykl parametry pro atmosfrick podmnky Ra 10= , Pr 28= a 8 3b = zpsobuj chaotick chovn systmu, kdy se smr rotace nhodn mn. Dynamick systmy jsou cha-rakterizovny limitnm stavem atraktorem, kter nastv po uritm pechodovm ase, kter zvis na potench podmnkch. Tento limitn, konen stav me bt zobrazen ve fzovm prostoru buto jako bod konen stav klidu, ke ktermu systm spje nebo jako limitn cyklus uzaven kivka, kter odpovd periodickmu pohybu. Atraktor psluejc Lorenzovu systmu za uritch podmnek vybouje z tohoto konceptu, nedojde k jeho ustle-n ani po velmi dlouhm ase, vznik nekonvergujc kivka. Tento atraktor je pro omezen asov interval znzornn na obr. 3.7. Je prvnm z tzv. podivnch atraktor (angl.: strange attractors) charakterizujcch chaotick chovn dynamickho systmu, kter byl podroben zevrubnmu systematickmu zkoumn. M nkter vskutku podivn vlastnosti: Je tvoen spojitou kivkou v prostoru, kter obecn zan v jistm potenm bod, m-

e vak mt nekonen velkou dlku. Pitom vypluje jist pesn vymezen podprostor ve fzovm prostoru, ze kterho nikdy nevybh;

Nikdy neprotn sm sebe, nek se, ani se neopakuje7; M vlastnost fraktl, tj. jeho struktura je podobn na rznch mtkch; Jeho prbh v prostoru je nhodn, chaotick, nepedpovditeln. Ukazuje se, e kritick hodnota parametru Ra pi ve uvedench hodnotch parametr

Pr a b je rovna asi 24,74, pro hodnoty ni smuje vvoj systmu do jedinho bodu ve fzovm prostoru, pro hodnoty vy dostvme nekonen pohyb s prvky chaosu. Motl atraktor se skld ze dvou vtv, jedna je charakterizovna kladnou hodnotou x ,

druh potom zpornou a pedstavuje rotaci vlc v jednom i druhm smyslu. Mezi obma vtvemi dochz k nepravidelnm peskokm. Tento atraktor se stal symbolem prvnch pr-kopnk pi zkoumn chaosu a jeho podobnost s motlmi kdly inspirovala Lorenze pi jed-n pednce v roce 1972, kdy hovoil na tma pedpovditelnosti poas. Tehdy s nadszkou prohlsil: Pohyb kdel motla kdesi v Brazilskm pralese me zpsobit vznik tornda v Texasu.

Obr. 3.8 asov prbh promnn x pi simulaci Lorenzova systmu Na obr. 3.8 je ukzn vsledek simulace pro rzn okrajov podmnky. Obr. 3.8 (a) ped-

stavuje simulaci prbhu promnn x v ase t provedenou pro poten podmnky ( ) ( ) ( ) [ ]0 , 0 , 0 0,1;0,1;0,1x y z = . Na obr. 3.8 (b) je potom simulace pro nepatrn zmnn

poten podmnky, promnn oznaeny stkou ( ) ( ) ( )0 , 0 , 0x y z a jejich hodnoty jsou

7 H. Poinkar teoreticky odvodil teorm, kter k, e stav nelinernho systmu se mus po urit dob opako-vat. Pozdji se ukzalo, e perioda opakovn danho stavu je u bnch nelinernch systm extrmn velk blc se nekonenu.

17

[ ]0,100001;0,1;0,1 . Poten hodnota ( )0x byla tedy zmnna o jednu tiscinu procenta, co je hodnota, kterou nejsme schopni rozliit pi dnm relnm makroskopickm experimentu. Z grafu je zejm, e asov prbh souadnice x je pro oba ppady prakticky stejn a do asu asi 30, dle se potom oba ppady vyvjej zcela odlinm zpsobem. Toto je zvlt ze-teln vidt na grafu obr. 3.8 (c), kde je znzornn rozdl promnnch ( ) ( )x t x t pro oba ppady potench podmnek. Vidme, e hodnota x peskakuje z kladnch hodnot do z-pornch a naopak, tomu odpovd pohyb po dvou vtvch motlho atraktoru. Peskok z jedn vtve na druhou je prv tm kritickm jevem, kter uruje dal vvoj systmu. Ukazuje se, e peskok je vsledkem nestabilnho chovn systmu vznikajc v souvislosti s jeho neline-rn podstatou a jeho vskyt v jist konfiguraci systmu je vsledkem vlivu nesmrn malch poruch. Tyto poruchy mohou mt svj pvod v nepesn definovanch parametrech lohy, jejch potench i okrajovch podmnkch nebo v ppad matematick simulace v jakkoli malch zaokrouhlovacch chybch vpoetnho systmu.

Kvalitativn podobnm zpsobem se chovaj i jin nelinern systmy, nap. turbulentn proudn vazk tekutiny. Stav proudc tekutiny lze z hlediska stability een charakterizovat bezrozmrnou stedn rychlost proudn tzv. Reynoldsovm slem. Pro Reynoldsova sla vy ne je kritick hodnota nastv chaotick chovn proudc tekutiny, kme, e nastv pechod z laminrnho stavu proudn do turbulentnho. Vsledn chaotick chovn a vvoj takovho sloitho systmu je vak podstatn komplexnj a sloitj ne u jednoduchho Lorenzova systmu. Dochz toti ke vzniku chaosu v rznch mstech v rznch asovch okamicch. Vsledn koherentn struktury se potom bouliv vyvjej a interaguj navzjem.

3.2.3. Proces samoorganizace koherentn struktury Proces samoorganizace rozlehlho dynamickho systmu me probhat za pedpokla-

du, e se tento nachz dostaten daleko od rovnovnho stavu. Ilya Prigogin ukzal proces, kter vede ke vzniku koherentnch (podle Prigogina disipativnch) struktur. Tento proces zce souvis s takovmi pojmy, jako je stabilita, nevratnost a ipka asu. Za tuto mylenku o spontnn pemn nepodku v podek mu byla roku 1977 udlena Nobelova cena.

Spontnn vznik koherentnch struktur pi proudn tekutin byl prokzn jak experimen-tln, tak teoreticky a byl potvrzen tak pomoc matematick simulace. Na obr. 3.9 je ukzn vsledek pm numerick simulace proudn tekutiny, kdy byly zadny poten podmnky stavu proudovho pole s nhodnmi fluktuacemi. Po urit dob dolo ke spontnnmu vzni-ku vrovch struktur (na obrzku jsou znzornny vrovmi arami). Tento obrzek byl na-zvn bedna erv (angl.: box of worms).

Obr. 3.9 Spontnn vznikl vry v proudc tekutin (bedna erv)

18

Existence vysoce organizovanch a uspodanch struktur v turbulentnm proudu je

dnes ji veobecn akceptovanm faktem. Tyto struktury jsou soust turbulence sam a co vc, jsou jejmi zkladnmi stavebnmi kameny. Chovn a parametry tchto struktur jsou obecn nepedpovditeln ve smyslu deterministickho chaosu, kad jednotliv vak vyka-zuje vznamnou prostorovou koherenci uspodanost. Je omylem spojovat nepedpovdi-telnost s prostorovou neuspodanost, pi t toti nelze oekvat existenci dobe definova-nch prostorovch struktur. Pokud se podvme na njak okamit stav turbulentnho pole, vidme soustavu turbulentnch vrovch struktur, kter jsou nepedpovditeln, co se te je-jich fze (tedy polohy a orientace v prostoru), udruj si vak svj geometrick tvar bhem doby znan del, ne je typick doba ztrty pedpovditelnho chovn. Za tchto podmnek lze k analze takovho proudovho pole s spchem aplikovat klasick pravdpodobnostn pstup.

Nyn ji nen obtn pedstava turbulence jako synonyma pro podek, pokud podek chpeme jako existenci v prostoru organizovanch, tedy koherentnch struktur. Tradin byl pojem turbulence asto ztotoovn s nepodkem a chaosem, laminrn proudn bylo syno-nymem uspodanho pohybu. Podvme-li se na tento problm z makroskopickho hlediska antropomorfnch mtek, potom se skuten turbulentn pohyb me jevit jako nhodn, zvlt pokud vezmeme v vahu velmi rychl, dynamick vvoj proudovho pole. V mikroskopickm mtku je tomu vak prv naopak chaotickm se jev pohyb laminrn a turbulence je vysoce organizovan. Vrov struktury obsaen v turbulenci odpovdaj ze-nmu synchronizovanmu pohybu obrovskho mnostv molekul. Pi tomto pohledu je pe-chod laminrnho proudn k turbulentnmu procesem samouspodvn proudc tekutiny.

Koherentn struktury hraj klovou roli v procesu men, stability, generovn hluku atd. Pi pechodu z laminrnho stavu proudn do turbulence je nestabilita charakterizovna uritou frekvenc, kterou lze pedpovdt nebo pi umlm periodickm buzen koherentn struktury pomrn snadno sledovat a analyzovat. Naproti tomu ve vyvinutch turbulentnch proudech, kde jsou tyto struktury ukryty v chaotickm procesu, je jejich detekce velmi kom-plikovanm problmem. Analogovmi metodami zpracovn signlu je tato loha prakticky neeiteln, proto je systematick vzkum koherentnch struktur zce spojen s rozvojem digi-tln techniky sbru dat a zpracovn signl.

Identifikace koherentnch struktur v chaotickm turbulentnm proudovm poli je obecn velmi komplikovan loha, kter vyaduje jednak potebn soubor experimentlnch dat, dle potom aplikaci specilnch metod pro zpracovn signl. Metod identifikace koherentnch struktur existuje velk mnostv, nkter jsou velmi univerzln, jin jsou specializovan na urit typ koherentnch struktur. Obtnost identifikace koherentnch struktur souvis se sku-tenost, e sama definice koherentnch struktur nen jednoznan a dostaten univerzln, takov, aby pokryla vechny variace.

Obecn se koherentn strukturou (angl.: coherent structure) mysl oblast v proudc tekutin, kter vykazuje nezanedbatelnou koherenci, tedy vzjemnou souvislost pohyb stic tekutiny v n obsaench. Tato definice je vak pli obecn a nen mono ji pmo pout pro ely identifikace koherentnch struktur. Exaktn definice koherentnch struktur v turbulentnm proudn nen ustlena ani ve stle se rozrstajc komunit lid, kte se pro-blmem vzkumu tchto struktur v poslednm obdob intenzivn zabvaj. Nkter definice se zamuj pouze na vrov struktury, uvauj tedy jen koherentn vry (angl.: coherent vor-tex). Vry jsou toti obecn jednmi z nejstabilnjch struktur v proudc tekutin, jsou tedy typickmi koherentnmi strukturami. V kadm ppad se pedpokld jist mra organizova-nosti, kter petrvv po uritou dobu bez kvalitativnch zmn. Nkter definice jsou zaloeny na energetickm principu, jin se dr geometrickho popisu.

Pokud se pokusme shrnout nkter spolen znaky definic koherentnho vru, kter jsou uvdny v literatue, potom meme ci, e koherentn vr je zejm oblast v proudc tekuti-n, kter:

19

Obsahuje dostaten koncentrovanou vivost takovou, e drhy stic tekutiny vytvej v jej blzkosti uzaven kivky;

Pedstavuje oblast s vznamnm obsahem kinetick energie; Bhem doby ivota, kter je del ne jedna otka vru, si udruje charakteristick tvar; Je charakterizovna nepedpovditelnm proudovm polem.

Koherentn vry mohou mt i relativn pravideln, tm periodick charakter. Me se jednat nap. o vrov struktury vznikajc v souvislosti s hydrodynamickou nestabilitou ve smykov vrstv. kme, e tyto vry jsou pseudoperiodick.

Naproti tomu koherentn struktura je pedstavovna oblast v proudc tekutin, kter v danm ase vykazuje urit stupe organizovanosti vzhledem k njak veliin charakteri-zujc proudn (rychlost, vivost, tlak, hustota, teplota, apod.). Tato definice je mnohem ir ne u koherentnho vru, je zejm, e kad koherentn vr je zrove koherentn strukturou, opan tvrzen ovem neplat.

Typickmi pklady koherentnch vr jsou vry vznikajc pi Kelvinov-Helmholtzov nestabilit, Krmnovy vry v plavu patn obtkanho tlesa nebo vlsenicov vry vzni-kajc v laminrn mezn vrstv pi ztrt linern stability nebo pi procesu regenerace. Nao-pak koherentnmi vry nejsou napklad pruhy (angl.: streaks) vznikajc v turbulentn a pe-chodov mezn vrstv, ty souvis s vskytem oblast zpomalen a zrychlen tekutiny a nikoli s koncentrac vivosti. Koherentnmi vry ve smyslu definovanm ve tak nejsou rzn stacionrn vrov struktury, jako startovac vry vznikajc za konci kdel, nebo jejich chovn je pedpovditeln. Dalm pkladem nevrov koherentn struktury me bt tzv. bursting phenomenon (neexistuje ustlen esk ekvivalent), co je zkladn mechanismus generovn Reynoldsovch napt v turbulentn mezn vrstv. Jedn se v podstat o synchro-nizovanou dvojici udlost, nejprve dojde k proniknut (angl.: sweep) tekutiny z vnj ob-lasti smrem ke stn, nsledn v dsledku zachovn hmoty dojde k fzi vypuzen (angl.: ejection) pomal tekutiny smrem od stny. Podrobnji bude tento jev popsn v kapitole 10.

3.3. Definice turbulence Pes vechno, co bylo eeno o turbulenci ve (anebo prv proto) je jej definice obt-

n. Meme napklad ci, e turbulentn proudn je takov proudn, kter je neuspoda-n v ase a prostoru. Toto ovem samozejm nen pesn matematick definice. Proudy, kter nazvme turbulentn, mohou mt dosti odlin vlastnosti, mohou bt prostorov i tm rovinn, mohou obsahovat vrazn organizovan, tm pravideln struktury. Spole-nou nutnou vlastnost je, e tyto proudy jsou schopny men a penosu hmoty podstatn rych-leji ne v ppad, kdy se uplatn pouze molekulrn transportn mechanismy. Tato vlastnost je povaovna za nejdleitj pro jej praktick aplikace, nap. v inenrskch aplikacch je sledovn koeficient turbulentnho penosu tepla nebo turbulentn odporov sla, kter souvis s turbulentnm penosem hybnosti.

To, co povaujeme za turbulenci, je proto lpe vyjdit jako seznam vlastnost, atribut, pomoc kterch meme identifikovat turbulentn proudn:

1. Nhodnost: Turbulentn proudn je nepedvdateln v tom smyslu, e mal nhodn poruchy v danm potenm ase jsou zesilovny do t mry, a se po urit dob stv de-terministick pedpov dalho vvoje nemon. Tento fakt se me zdt v rozporu s faktem, e turbulentn proudn je s velkou pesnost popsno Navierovmi-Stokesovmi rovnicemi, kter jsou zejm deterministick povahy. Vlivem jejich nelinernosti me za jistch okolnost nastat situace, kdy jsou poruchy uritho typu velmi siln zesilovny v ase. Tyto poruchy mohou souviset s nepesnost zadn potench podmnek anebo s Brownovm pohybem stic tekutiny, kter nen rovnicemi modelovn, protoe tekutina je zde povaovna za kontinuum. Dsledkem tchto fakt je nepedpovditeln chovn kon-krtnho turbulentnho proudn. Ovem ve statistickm smyslu lze vvoj turbulence povao-vat za pedpovditeln, jedn se tedy o tzv. deterministick chaos.

20

2. Difuzivita: Dochz k promchvn transportovanch skalrnch veliin podstatn rychleji ne pi molekulrn difzi. Tato vlastnost m zejm dleit praktick dsledky turbulence je charakterizovna zvenm menm tekutiny. Intenzita tohoto men me bt o nkolik d vy ne men vznikl vlivem molekulrn difze. Meme odhadnout, e souinitel molekulrn difze tekutin je v technickch aplikacch minimln o dva dy men ne typick hodnota souinitele turbulentn difze, v ppad planetrnch proud (atmosf-rick jevy i proudn v ocenech) me bt tento rozdl jet podstatn vt typicky 7 -d!

3. Vivost: Turbulentn proudn je charakterizovno vysokmi loklnmi hodnotami v-ivosti souvisejc s ptomnost vrovch struktur. Pole vivosti je obecn nehomogenn a mn se dynamicky v ase. Vrov struktury bvaj nazvny koherentnmi vry i obecnji koherentnmi strukturami.

4. Spektrum mtek: Vrov struktury, kter vznikaj spontnn v turbulentnm prou-dovm poli, jsou charakterizovny irokou klou dlkovch mtek. Jejich velikost je shora omezena rozmry smykovch oblast, ve kterch vznikly a zdola potom velikost vr podl-hajcch disipaci v pm souvislosti s vazkost tekutiny. Spektrum mtek koherentnch struktur v turbulentnm proudu je tedy spojit, co je typick pro fraktly. S tm souvis sku-tenost, e turbulentn proudov pole me bt charakterizovno jako dynamick systm s velmi vysokm potem stup volnosti.

5. Prostorovost: Vrov struktury se vyskytuj v prostoru turbulentnho proudovho pole v nhodnch mstech a s nhodnou orientac. Z tto skutenosti vyplv prostorovost vekto-rovho pole fluktuac rychlosti. Pi uritch okrajovch podmnkch mohou bt struktury vt ne je jist mezn velikost prostorov uspodny, nap. mohou mt rovinn charakter. To se tk napklad proudn v tenkch vrstvch, kdy rozmry oblasti umouj vznik vr vtch mtek ne je tlouka vrstvy pouze s orientac vivosti nap vrstvou a nikoli podl n. Pro men mtka je ovem proudov pole i v tchto ppadech prostorov.

6. Disipativnost: Turbulence je disipativnm procesem, tj. kinetick energie pohybu teku-tiny je disipovna na rovni malch vr a mn se v teplo. Pro to, aby bylo turbulentn prou-dn dlouhodob zachovno, je teba pivdt energii do systmu zvnjku. To se dje v oblasti velkch mtek, energie je odebrna z hlavnho proudu. Energie je potom dle po-moc kaskdovho penosu pedvna smrem k menm mtkm.

7. Nelinearita: Turbulentn proudn je nelinern svou podstatou, ji jeho vznik je pod-mnn uplatnnm nelinearit, kdy dochz k rstu malch poruch. Vvoj i interakce jednotli-vch struktur v turbulentnm proudovm poli lze popsat pouze nelinernm matematickm modelem.

Tato definice se omezuje pouze na vyjmenovn atribut, tedy nutnch vlastnost tur-

bulentnho proudn. Z ve jmenovanch vlastnost vyplvaj nkter dal, kter jsou v nich implicitn obsaeny a urit zvry tkajc se velikosti nkterch bezrozmrnch charakteris-tik.

Vlastnost turbulence s velkou praktickou dleitost je schopnost men (souvis s difu-zivitou). Nech l je charakteristick dlka energetickch, tedy nejvtch vr obsaench v turbulentnm proudn a u je charakteristick v ase promnn rychlost. Potom velmi hrub analogie mezi procesem men spojenm s turbulenc a nekoherentnmi nhodnmi pohyby nm umouje definovat souinitel turbulentn difze, kter je mrn l u . Nech jsou dle definovny souinitel molekulrn difze hybnosti (nazvan astji molekulrn kinema-tick viskosita i vazkost) a tepla (tepeln difuzivita). Potom je schopnost zvenho pe-nosu tchto dvou fyziklnch veliin (hybnosti a tepla) v turbulentnm proudu charakterizov-na hodnotou bezrozmrnch souinitel /l u a /l u znan vt ne jednika, zatmco pi laminrnm proudn se bl jednice. Prvn z tchto parametr je nazvn Reynoldsovo slo, druh je potom slo Pecletovo.

Turbulentn proudn je ze sv pirozenosti nestabiln, kdy se jakkoli mal porucha vli-vem nelinearit pohybovch rovnic v ase rychle zesiluje. Naproti tomu laminrn proudn se

21

chov pesn opan. Proudov ry, kter jsou narueny pekkou, se opt vracej do p-vodn konfigurace. Vazk sly v laminrnm proudu pevauj a tlum poruchy a zabrauj tak vzniku turbulentnho proudn.

Existuje mnoho dkaz z experiment i numerickch simulac, kter jasn ukazuj, e turbulentn proudn je viv, to znamen, e vivost nabv nenulovch hodnot aspo v nkterch oblastech turbulentnho proudu. Je zajmav zkoumat, jak turbulentn proudn me vzniknout z pvodn nevivho proudn. Tento proces zejm souvis s psobenm vazkosti, protoe v dsledku Kelvinova teormu je zachovvno neviv proudn v ideln tekutin, ptomnost stn a pekek v souvislosti s podmnkou nulov rychlosti na povrch zpsobuje produkci vivosti. Produkce vivosti me bt dle urychlena rznmi mechanis-my, jako je napklad protahovn vrovch vlken, jak bude popsno dle.

3.4. Pklady turbulentnch proud Turbulentn pohyb je nejastjm pohybem v prod. Laminrn proudn je spe v-

jimkou, je omezeno na proudn, kter me bt charakterizovno velmi nzkmi hodnotami Reynoldsova sla ( Re ). S ohledem na definici Re to znamen, e buto jsou rychlosti prou-dn velmi nzk (nap. teen ledovc) nebo je typick rozmr oblasti velmi mal (nap. po-hyb mikroorganism v tekutin) nebo tekutina vykazuje extrmn vysokou vazkost (nap. pohyb maziva v loiscch). Samozejm, pichz v vahu i kombinace tchto ppad.

V tto kapitole ukeme typick ppady turbulentnho chovn tekutin. Probrny budou i nkter ppady, kter nelze jednoznan zaadit do oblasti dynamiky tekutin, ale kter maj velk praktick nebo teoretick vznam.

3.4.1. Mkov turbulence Klasickm pkladem turbulentnho proudn je proudn za mkou vyrobenou z prut,

kter m pravideln, tvercov oka. Za jednotlivmi pruty vznikaj plavy, kter spolu navz-jem interaguj a velice rychle vznik proudn homogenn struktury (asi ve vzdlenosti 20 rozte ok mky). Vsledn proudn, kter bv oznaovno jako mkov turbulence (angl.: grid turbulence), m nkter pzniv vlastnosti. Pedn je do znan mry homogenn ve statistickm smyslu v rovin rovnobn s mkovm genertorem turbulence. Dle fluk-tuace vykazuj vysok stupe isotropie, odchylky jsou v du procent. Pouijeme-li nkterou z bodovch metod men rychlosti (typicky anemometr se havenm drtkem), potom zm-en prbhy rychlost v ase jsou nhodn promnn s rozdlenm hustoty pravdpodobnosti, kter se bl Gaussovskmu. Na druh stran dochz ke zmnm struktury proudn ve sm-ru hlavnho proudu (kolmo k rovin genertoru), s rostouc vzdlenost od genertoru turbu-lence kles intenzita fluktuac vech sloek rychlosti a naopak roste velikost nejvtch ener-getickch vr. Pklad proudn za m vizualizovanho kouem je na obr. 3.10, proudn je zleva doprava.

22

Obr. 3.10 Mkov turbulence Pro sv pzniv vlastnosti a tak pro pomrn snadnou realizovatelnost v laboratornch

podmnkch bv mov turbulence povaovna za jaksi etalon turbulentnho proudn. Mkov turbulence me bt generovna pi prchodu proudc tekutiny skrz stojc

m, nebo naopak prchodem pohybliv mky pvodn klidnou tekutinou. Tyto dva ppa-dy jsou v dsledku invariance (symetrie) pohybovch rovnic vzhledem ke Galileiho transfor-maci ekvivalentn.

3.4.2. Voln smykov vrstvy Vskyt volnch smykovch vrstev je neobyejn ast nap. pi obtkn tles nebo pi

proudn zakivenmi i neprizmatickmi (rozen) kanly nebo na hranici oblasti proudc tekutiny v neomezenm prostoru (paprsek). Voln smykov vrstva je tm vdy nestabiln, to m za nsledek vznik vrovch struktur. V praxi se s volnmi smykovmi vrstvami setkvme vude tam, kde vznik paprsek tekutiny vyfukovan do klidnho prosted nebo v souvislosti s odtrenm mezn vrstvy.

Obr. 3.11 Paprsek Jako ilustraci uvdme na obr. 3.11 proudn v oblasti paprsku vytkajcho ze stny zle-

va. Voln smykov vrstva vznik na horn a spodn hranici oblasti proudn. Je zeteln frak-tln struktura v oblasti men.

3.4.3. Mezn vrstvy Pi proudn v mezn vrstv na podln obtkanm povrchu je rozhodujcm parametrem

Reynoldsovo slo, kde dlkovm parametrem je vzdlenost danho msta od potku mezn vrstvy, tedy nap. od nbn hrany. Pi urit hodnot tohoto parametru dojde k pechodu mezn vrstvy do turbulence. Dle m mezn vrstva turbulentn strukturu. Na obr. 3.12 vidme typickou strukturu turbulentn mezn vrstvy pi relativn nzk hodnot Reynoldsova sla. Stna je dole, tekutina proud zleva doprava. Na obrzku jsou zeteln vrov struktury uvnit mezn vrstvy a jej nepravideln hranice. Jedn se o okamit obraz, kter se stle mn, cha-rakter vak zstv.

Obr. 3.12 Turbulentn mezn vrstva

23

3.4.4. plavy plavy za patn obtkanmi tlesy (angl.: bluff body) maj turbulentn charakter

s dominantnm kvaziperiodickm nzkofrekvennm prvkem. U patn obtkanch tles je rozhodujc Reynoldsovo slo, kde dlkovm parametrem je pn rozmr obtkanho tle-sa. Typickm ppadem je pn obtkn vlce, kdy vznik kvaziperiodick von Krmnova-Bnardova vrov ada (angl.: von Krman-Bnard vortex street) v plavu. Na obr. 3.13 je vizualizace proudn mrak za ostrovem Juana Fernandeze v Pacifiku, kde vidme jak pravi-delnou vrov tvary v plavu, tak fraktln strukturu. Ostrov je v levm hornm rohu, smr vtru je hlopn. Jsou patrn stedy vr (tmav oblasti), vry postupn odplouvaj ve sm-ru vtru.

Obr. 3.13 von Krmnova-Bnrdova vrov ada za ostrovem

3.4.5. Sdlen tepla Tak pi proudn spojenm se sdlenm tepla meme asto pozorovat chovn tekutiny,

kter lze oznait za turbulentn. Pokud proudn tekutiny nastv v dsledku sdlen tepla, jedn se o tzv. volnou konvekci. Tepeln energie potom zpsobuje proudn tekutiny, kter me bt za uritch podmnek turbulentn. Typickm pkladem me bt Rayleighova-Bnardova konvekce, kter ji byla probrna v kapitole o deterministickm chaosu.

Na tomto mst uvedeme podobn pklad proudn. Na obr. 3.14 je uvedena fotografie povrchu Slunce, na kter je dobe patrn turbulentn konvektivn proudn ve slunen atmo-sfe. To je zpsobeno jednak rozdly teplot mezi povrchem Slunce a vymi vrstvami jeho atmosfry, jednak ni teplotou povrchu v oblasti slunench skvrn. Na fotografii jsou ze-teln turbulentn tvary i bunn struktura na pozad, kter souvis s Rayleighovou-Bnardovou konvekc.

24

Obr. 3.14 Konvektivn proudy ve slunen atmosfe

3.4.6. Chemick turbulence Chemick reakce jsou procesy s rznmi nelinernmi dynamickmi charakteristikami.

Nelinearity maj svj pvod v interakci rznch sloek mezi sebou nebo v chovn jednotli-vch sloek o sob. Pkladem me bt Belousovova-Zhabotinskho reakce, pi n dochz k oscilujc reakci bez jakchkoli promnnch vnjch vliv. Ukazuje se, e pro doclen ho-mogenn struktury smsi (reaktanty jsou kyselina citronov, bromid draseln, kyselina srov a ionty ceru) je nutn velmi intenzivn mchn, jinak vznikaj nehomogenity jak stacionrnho charakteru (tzv. Turingovy struktury), tak nestacionrnho turbulentnho charakteru. Intenziv-nm mchnm lze strukturu udret vce-mn homogenn. Pokud ovem neaplikujeme mch-n, vznikaj v proudn urit nestabiln frekvence, kter mohou vystit v kvazistacionrn struktury, kter se odliuj chemickm sloenm. Na obr. 3.15 vidme okamit stav pi Be-lousovov-Zhabotinskho reakci, kdy vznikaj pravideln spirln struktury vlivem periodic-kch oscilac, kter souvis s tzv. globln Hopfovou bifurkac. Chemick sloky astnc se reakce se odliuj barvou. Jedn se o velmi stabiln proces nazvan t chemick hodiny. Pokud porume rovnovhu sloek vstupujcch do reakce, potom se reakce buto zastav, nebo pejde do boulivho turbulentnho reimu.

25

Obr. 3.15 Belousovova-Zhabotinskho reakce Zajmav je, e velmi podobn struktury lze pozorovat i u svou podstatou zcela odlinch

proces, jako je vlnn povrchu kapaliny nebo pi rstu kolony jednobunnch organism.

3.4.7. Hoen Hoen je dal oblast s vskytem cel ady turbulentnch stav. Jedn se vlastn o spoje-

n dvou pedchozch ppad, jde o chemickou reakci, kter je siln exotermn a za norml-nch okolnost nevratn.

Obr. 3.16 Fraktln struktura plamene Na obr. 3.16 je fotografie hoen smsi zemnho plynu se vzduchem, je vyfukovna zleva,

tmav oblasti pedstavuj nesplenou sms, svtl linka pedstavuje oblast plamene. Vidme typick tvar hranice plamene ve tvaru psmene V, struktura vlastn plochy hoen je fraktln. Na obrzku vidme rovinn ez, plocha je ve skutenosti prostorov.

26

4. Zkladn rovnice dynamiky tekutin Equation Section 4

V tto kapitole formulujeme zkladn mylenky a postupy pi matematickm popisu proudc tekutiny.

4.1. Zkladn pedpoklady Tekutina, tak jako kad reln ltka, sestv z molekul. Pi vahch o chovn relnch

tekutin se uplatuje antropomorfn pstup, kdy se o libovolnm objektu uvauje z hlediska lovka jakoto zkladnho mtka vech objekt. Z tohoto hlediska nem smysl zkoumat jevy, jejich mtko nejsou schopny zachytit lidsk smysly za pedpokladu, e je mikrostruk-tura ltky adekvtn zachycena pouitm fyziklnm modelem. Chovnm mikrostruktury tekutin v molekulrnch mtkch se zabv statistick mechanika tekutin. Pro een loh mechaniky tekutin z relnho svta se vak pouv odlin pstup, kdy je tekutina povao-vna za kontinuum a je zanedbvna jej molekulrn struktura. Oprvnnost pijet tohoto fyziklnho modelu je teba peliv provit zvis na fyziklnch vlastnostech konkrtn tekutiny.

Uvaujme jakoto pracovn tekutinu vzduch za normlnch podmnek, tedy tlak rovna-jc se prmrnmu atmosfrickmu tlaku (105 Pa) a pokojovou teplotu (293 K). Potom je prmrn vzdlenost molekul plyn, ze kterch sestv vzduch asi 3.10-9 m, stedn voln drha molekul je asi 6.10-8 m a prmrn doba mezi dvma srkami molekul je asi 10-10 s. Pro srovnn nejmen dlkov mtko l v antropomorfnch proudech tekutin, tedy v tekutinch proudcch ve strojch nebo v prosted obvanm lidmi, je zpravidla vt ne 10-4 m, pi stedn rychlosti proudn 100 m/s jsou potom asov mtka vt ne 10-6 s. Te-dy i v tomto ponkud extrmnm ppad pevyuj mtka proudn molekulrn mtka o vce ne ti dy. Znamen to tedy, e poet stic v nejmen struktue vyskytujc se v prostoru v proudc tekutin je (103)3 = 109.

Pijatelnost hypotzy spojitosti mdia (angl.: continuum hypothesis) obvykle ovujeme pomoc Knudsenova sla, kter vyjaduje pomr mezi stedn volnou drhou molekul a nej-menm mtkem:

Knl

= (4.1)

Prosted je povaovno za kontinuum, je-li splnna podmnka: Kn 1 , ve ve uve-denm ppad kdy -3Kn 10 je tato podmnka zejm splnna.

Pi dostaten malm Knudsenov sle dochz k oddlen mtek molekulrnch pohy-b a makroskopickch pohyb tekutiny. Potom lze uvaovat jaksi elementrn objem, kte-r pedstavuje hmotn bod z hlediska pohybu tekutiny jakoto kontinua, zrove vak obsa-huje dostaten mnostv molekul, aby bylo mono vyjdit jednotliv fyzikln veliiny jako je hustota a rychlost tekutiny jako prmrnou vlastnost molekul v elementrnm objemu obsa-ench. Znamen to tedy, e napt meme uvaovat o spojitch polch fyziklnch veliin jako je hustota a rychlost u , kter potom povaujeme za spojitou funkci asu t a polohy x v prostoru ( ), t x a ( ), tu x . Naopak vahy o chovn jednotlivch molekul pozbvaj svho vznamu. Meme potom hovoit o hodnotch fyziklnch veliin v infinitesimlnm bod a je mono tak definovat derivace a gradienty tchto veliin v prostoru. Uvaujeme-li o tekutin jakoto o mdiu s fraktln strukturou, potom je tato struktura omezena velikost elementrnch objem, kter byly definovny ve. Tento pedpoklad je nutn, protoe jinak nelze na tchto strukturch definovat derivaci.

V tto prci budeme uvaovat pouze tekutiny, jejich fyzikln vlastnosti lze povaovat za spojit. stic tekutiny budeme rozumt oblast v tekutin o typickm rozmru 10-4 m, kter m vlastnosti kontinua v duchu definice uveden ve.

27

4.2. Eulerv a Lagrangev popis Pohyb tekutiny, tedy jej kinematiku, lze studovat dvojm zpsobem. Pi prvnm zpsobu

si zvolme z objemu tekutiny libovolnou elementrn stici ve smyslu hypotzy o spojit tekutin a sledujeme jej pohyb. Pi druhm zpsobu sledujeme zmny kinematickch veliin v jednotlivch bodech oblasti proudn. Prvnm zpsobem, kter se nazv Lagrangeova me-toda, tedy vyetujeme pohyb tekutiny z hlediska individulnch stic, zatmco druhm zp-sobem, Eulerovou metodou, zkoumme pmo pole kinematickch veliin. Podvejme se nyn podrobnji na ob metody.

Pi pouit Lagrangeovy metody si zvolme v potenm ase 0t stici urenou poloho-vm vektorem 0x . Polohu stice v nsledujcch okamicch meme popsat rovnic:

( )0 , t=x x x . (4.2) Nezvisle promnn veliiny v tto rovnici nazvme Lagrangeovmi promnnmi. Jeliko se jedn o spojit prosted, mus bt tato funkce spojitou funkc asu, spojitost vzhledem k poloze v prostoru nen nutn. Rychlost u a zrychlen a stice lze vyjdit jednodue deri-vac podle asu:

2

2,t t t

= = = x u xu a . (4.3)

Pi aplikaci Eulerovy metody zkoumme stav proudc tekutiny v danm bod oblasti x. Eulerovmi promnnmi nazvme vektor polohy zkoumanho bodu a as. Kinematick stav

tekutiny ve zkoumanm pevnm bod charakterizujeme vektorem rychlosti ( ), tu x . Vy-jdeme nyn zrychlen stice, kter v danm asovm okamiku zaujm zkouman bod prostoru. Za asov interval dt se zmn jej souadnice x o dx . Potom pro i-tou sloku vek-toru rychlosti i iu du+ v ase t dt+ meme pst nsledujc Taylorv rozvoj, v nm jsme zanedbali leny vych d:

( ) ( )

( )

1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 31 2 3

, , , , , ,

, , , .

i i i

i i i ii

u x x x t du u x dx x dx x dx t dtu u u uu x x x t dx dx dx dtx x x t

+ = + + + +

+ + + +

(4.4)

Pi pouit Hamiltonova opertoru nabla meme pst vektorovou rovnici:

( ) ( ) ( ) ( ), , ,t d d t dt t d dtt

+ = + + + +

uu x u u x x u x x u . (4.5)

Pro zrychlen a potom dostvme nsledujc vztah, kde opertor D Dt oznauje derivaci podle asu v Lagrangeov smyslu:

( )DDt t

= = +

u ua u u . (4.6)

Tento postup meme zobecnit a aplikovat na libovolnou vektorovou funkci Eulerovch promnnch ( ), tf x , kterou chceme derivovat podle asu sledujc pohyb stice:

( )DDt t

= +

f f u f . (4.7)

Totln, Lagrangeovu derivaci DDt

f nazvme substanciln nebo tak individuln deri-

vac funkce f podle asu. Prvn len na prav stran t

f

je lokln derivace, druh len

( )u f je konvektivn neboli proudov derivace funkce f podle asu. Tento len bv tak nazvn univ, cizm slovem potom konvektivn i advektivn.

Stejnou metodu lze aplikovat tak na skalrn funkci souadnic a asu.

28

V praxi obvykle pracujeme pevn pomoc Eulerovy metody, kdy eme pmo pole sledovanch veliin ve zkouman oblasti. Lagrangeova metoda se pouv v rznch specil-nch lohch, jako je zkoumn rozptylu skalrn veliiny vzan na stice tekutiny.

S Lagrangeovm zpsobem popisu chovn kontinua je pmo spojen pojem trajektorie stice (angl.: trajectory). Trajektorie jsou pmo popsny parametrickou vektorovou rovnic (4.2), respektive (4.3) a uruj trajektorii neboli drhu stice oblast v ase. V experimentu pomoc vizualizanch metod vidme prv trajektorie. Situace je naznaena na obr. 4.1.

Obr. 4.1 Lagrangev popis

Obr. 4.1 Lagrangev popis Naopak s Eulerovm zpsobem popisu zce souvis pojem proudnice nebo proudov

ra (angl.: streamline). Proudnice je definovna jako mnoina bod, v nich jsou vektory rychlosti tekutiny v danm asovm okamiku ten. Parametrick rovnice proudnice me-me vyjdit ve tvaru:

( ) ( ) ( )

31 2

1 2 3, , ,dxdx dx

u t u t u t= =

x x x, (4.8)

kde ix a iu jsou sloky vektoru polohy, resp. rychlosti v danm bod a as t je zde konstant-nm parametrem. Lze ukzat, e pokud funkce nenabvaj souasn nulovch hodnot a jsou-li jednoznan a spojit vetn prvnch derivac podle souadnic, pak kadm bodem vektoro-vho pole prochz pouze jedin proudnice. Eulerv zpsob popisu proudovho pole je na-znaen na obr. 4.2.

pln systm trajektori vech stic tekutiny je dokonalm popisem kinematickho cho-vn tekutiny v danm asovm intervalu. Ekvivalentn pln popis poskytuje systm proud-nic pro vechny body oblasti.

Proudnice pedstavuj obraz proudn v uritm asovm okamiku, zatmco trajektorie charakterizuj pohyb zkouman stice v asovm intervalu. Obecn je pole rychlost funkc asu, obraz proudn se tedy mn. Potom jsou zejm proudnice a trajektorie pedstavovny vzjemn odlinmi soustavami kivek. Povimnme si, e v ppad stacionrnho neboli

( ) ( )1 0 2 0,x t x t

1x

2x( ) ( )1 2,x t x t

1x

2x

( ), tu x

29

ustlenho proudn, kter se nemn v ase a lokln zrychlen pole rychlost je nulov, ob soustavy ar, tedy trajektorie a proudnice, splvaj. Sloky rychlosti pak toti nejsou explicit-nmi funkcemi asu, proudnice se potom nemn a tekutinov stice postupn prochz vemi body jedn a te proudnice.

Bohuel, zkladnm atributem turbulentnho proudn je jeho nestacionrnost, to zname-n, e trajektorie a proudnice se v turbulentnm proudovm poli vdy odliuj.

Oba pedstaven pohledy na proudc tekutinu, tedy Lagrangev a Eulerv, popisuj celou oblast proudc tekutiny a existuje mezi nimi jasn vazba. Lagrangeovy tekutinov souadnice lze ztotonit s integranmi konstantami Eulerova popisu trajektori.

4.3. Zkony zachovn Z faktu existence symetri vyplvaj pro dynamick systmy zkony zachovn rznch

veliin (podrobnji o symetrich viz dle v tomto oddle). V dynamice tekutin hraj klovou roli zkony zachovn hmotnosti a hybnosti, v termodynamice potom jet pistupuje zacho-vn energie.

4.3.1. Rovnice kontinuity Rovnice kontinuity pedstavuje aplikaci zkona zachovn hmoty na oblast mechaniky

tekutin. Uvaujme dle elementrn stici tekutiny o objemu V a hmotnosti m V = . Mo-

lekulrn difze hmoty nap hranic elementrn stice je v rmci makroskopickch aso-vch mtek nulov, proto lze hmotnost stice povaovat za konstantn. To znamen, e jej totln Lagrangeova derivace podle asu je nulov:

1 1 0D D VDt V Dt

+ = . (4.9)

Lze snadno ukzat, e divergenci rychlosti lze vyjdit nsledujcm zpsobem:

1 D VV Dt

=u , (4.10)

potom rovnici (4.9), kter pedstavuje podmnku kontinuity, meme zapsat ve tvaru:

1 0DDt

+ =u . (4.11)

V ppad proudn nestlaiteln tekutiny se obecn platn rovnice (4.11) redukuje na dv samostatn rovnice:

0, 0DDt

= =u . (4.12)

Prvn rovnice vyjaduje vlastnost vektorovho pole rychlost, kter mus vykazovat nulovou divergenci. kme, e vektorov pole rychlost je solenoidln.

Vechny vahy v tchto skriptech se tkaj nestlaitelnch tekutin. Povimnme si, e podmnka nestlaitelnosti neznamen a priori, e hustota je v cel ob-

lasti konstantn. Zvry lze proto aplikovat i na nehomogenn stratifikovanou tekutinu, jakou me bt nap. mosk voda s promnnm obsahem soli nebo teplotn nehomogenn zemsk atmosfra.

4.3.2. Zachovn hybnosti Zkoumejme chovn elementrn stice tekutiny z hlediska druhho Newtonova pohy-

bovho zkona zkona sly. Stav stice tekutiny je charakterizovn zrychlenm stice, povrchovmi silami a obje-

movmi silami psobcmi na stici. Zrychlen stice je nutn uvaovat v Lagrangeovskm smyslu /D Dtu . Povrchov sly maj svj pvod v molekulrnch pohybech a lze je popsat pomoc tenzoru smykovch napt (angl.: shear stress tensor) ( ),ij t x , kter je symetrick,

30

to znamen, e plat: ij ji = . Objemovou silou je typicky gravitan sla, ve specilnch p-padech mohou psobit i jin objemov sly jako je nap. odstediv sla. Gravitan slu m-eme charakterizovat gravitanm potencilem , potom gravitan sla psobc na jednotku hmoty je

3g= = g e . (4.13) Pro konstantn gravitan pole plat, e 3gx = , kde g je gravitan zrychlen, 3x je souad-nice ve svislm smru a 3e je jednotkov vektor v tomto smru.

Rovnovhu stice ve smru souadnice ix meme nyn vyjdit rovnic

i kik i

DuDt x x

=

. (4.14)

Uvaujme nyn speciln ppad, kdy pro smykov napt v tekutin plat Newtonv z-kon, tedy tekutina je newtonsk. Mme-li zaten elementu charakterizovno tenzorem napt ik , potom napt Si na obecn elementrn ploe, kter je charakterizovna normlo-vm vektorem kn lze vyjdit ve tvaru

Si ik kn = . (4.15) Celkovou slu psobc na danou plochu S z objemu V meme potom vyjdit pomoc Gre-enovy vty

ikSi ik kkS S V

dS n dS dVx

= = . (4.16)

Tenzor smykovch napt pro nestlaitelnou newtonskou tekutinu potom bude

jiij ijj i

uuPx x

= + + , (4.17)

kde P je tlak a je souinitel dynamick vazkosti. Za pedpokladu platnosti rovnice kontinui-ty je pro nestlaitelnou tekutinu pole rychlost solenoidln, vraz (4.17) potom pedstavuje tenzor napt rozdlen na izotropn st ( ijP ) a devitor.

Dosadme-li vraz pro tenzor smykovch napt do rovnice (4.14), dostvme Navier-Stokesovy rovnice (v dalm N-S rovnice) pro sloku ve smru ix v zkladnm tvaru

2

i i

k k i i

Du u PDt x x x x

=

. (4.18)

K N-S rovnicm pro vechny ti sloky musme pipojit rovnici kontinuity, pedpokldme dle, e a jsou konstantn.

N-S rovnice meme dle upravovat. Zavd se modifikovan tlak p p P = + . (4.19)

Pi pouit vektorovho zpisu potom dostvme

21D pDt

= + u u , (4.20)

kde / = je souinitel kinematick vazkosti. N-S rovnice pedstavuj soustavu nelinernch parcilnch diferencilnch rovnic pro ne-

znm vektor rychlosti u a tlak p, tedy 4 skalrn neznm. Mme tedy k dispozici 3 N-S rov-nice a rovnici kontinuity 0 =u . K jejich vyeen potebujeme poten a okrajov pod-mnky. Vyskytuje-li se v proudu tekutiny nepohybliv stna, potom na jejm povrchu plat podmnka neprostupnosti stny

0 =n u , (4.21) kde n je vektor normly ke stn v danm mst. Dle plat podmnka nulovho skluzu (angl.: no-slip condition), kter k, e tak sloka rychlosti ten k povrchu je na stn nulov:

31

( ) =u n n u 0 . (4.22) Tyto dv podmnky (4.21) a (4.22) lze spojit do jedin:

=u 0 . (4.23) V nkterch konkrtnch ppadech me bt opodstatnn uvaovat ideln nevazkou te-

kutinu. Tenzor smykovch napt potom obsahuje pouze izotropn st ij ijP = . (4.24)

Rovnovha hybnost m potom tvar Eulerovch rovnic

1D pDt

= u . (4.25)

Eulerovy rovnice, na rozdl od N-S rovnic, neobsahuj druhou derivaci rychlosti, vyaduj proto tak odlin tvar okrajovch podmnek. Napklad na nepohybliv stn lze pout pou-ze podmnku nepropustnosti stny (4.21), nikoli vak podmnku nulovho skluzu (4.22). Na tomto mst je teba zdraznit, e een Eulerovch rovnic obecn nen toton s eenm N-S rovnic pro ppad 0 .

4.3.3. Navierovy-Stokesovy rovnice Navierovy-Stokesovy rovnice pedstavuj zkladn rovnice pouvan v dynamice teku-

tin. Navier odvodil tyto rovnice ji v roce 1823. N-S rovnice v sob pravdpodobn obsahuj vechny aspekty skutenho chovn tekutin vetn jevu turbulence, aspo tomu nasvduj doposud experimentln ovovan ppady. Pesto je nutn stle pohlet na N-S rovnice jako na matematick model a neustle je konfrontovat s experimentlnmi daty. Uvdomme si ta-k, e hypotza o platnosti N-S rovnic je zaloena na apriorn platnosti dalch hypotz, jako je hypotza spojitosti tekutiny, i hypotza, e tekutina je Newtonsk. Nen-li pijet tchto hypotz v danm ppad oprvnn, potom s velkou pravdpodobnost nelze spn apliko-vat ani matematick model zaloen na N-S rovnicch.

N-S rovnice ve slokovm tvaru:

21i i i ik

k i k kI II III IV

Du u u upuDt t x x x x

= + = +

. (4.26)

Fyzikln vznam jednotlivch len N-S rovnice je nsledujc: I promnnost proudovho pole v ase, II charakterizuje konvekci, III gradient tlaku, IV vliv vazkosti.

N-S rovnice (4.26) jsou uvedeny ve slokovm tvaru, meme je napsat tak ve vektoro-vm tvaru

( ) 21D pDt t

= + = +

u u u u u . (4.27)

Lev strana N-S rovnic pedstavuje substanciln derivaci rychlosti podle asu, zatmco pravou stranu meme vyjdit jednodueji pomoc tenzoru smykovch napt ij :

ij ij ijP d = + , (4.28) kde ijd je devitor tenzoru smykovch napt

2ij ijd s= , (4.29) je souinitel dynamick vazkosti a ijs je tenzor rychlosti deformace (angl.: rate of de-formation)

32

12

jiij

j i

uusx x

= +

.

N-S rovnice m potom jednoduch tvar

i ikk

DuDt x

=

. (4.30)

Tato rovnice bv tak nazvna Cauchyho a pedstavuje obecn tvar rovnice popisujc po-hyb libovolnho spojitho mdia.

Nkdy bv douc vyjdit N-S v bezrozmrnch souadnicch. Nech L je charakteris-tick rozmr oblasti proudn a V je charakteristick rychlost. Zaveme bezrozmrn souad-nice

2 2, , ,i i

i ix u p tX U PL V V L LV

= = = = = . (4.31)

Potom meme N-S rovnice ve slokovm tvaru pepsat v bezrozmrnch souadnicch

2

Rei i ikk i k k

U U UPUX X X X

+ + =

, (4.32)

kde Re je bezrozmrn Reynoldsovo slo parametr urujc kvalitu proudu:

Re LV

= . (4.33)

Vidme, e v ppad, kdy neuvaujeme vnj objemov sly psobc na tekutinu, lze jej chovn pln charakterizovat jedinm parametrem Reynoldsovm slem.

4.3.3.1. Vlastnosti N-S rovnic N-S rovnice jsou parciln nelinern diferenciln rovnice druhho du. Pes jejich for-

mln jednoduchost nm matematick teorie k pouze velmi mlo o jejich vlastnostech. Ne-jen e neznme obecn een tchto rovnic v analytickm tvaru, ale do dnen doby ani nebyl podn dkaz o nejzkladnjch vlastnostech tohoto een jako je jeho existence, hladkost a jednoznanost, ppadn stabilita v obecnm prostorovm ppad. Vrazem zvanosti tohoto problmu je nap. aktivita Clayova Matematickho Institutu (CMI) z Cambridge, Massa-chusetts, USA. Ten na svm vronm zasedn v Pai roku 2000 vyhlsil 7 matematickch problm pro 3. tiscilet, na een kadho z nich vypsal odmnu 1 milion USD. Jednm z tchto problm je prv dkaz zkladnch vlastnost N-S rovnic.

Klovou vlastnost N-S rovnic je jejich nelinernost, kter je zdrojem vech obt. Sou-vis s tm vlastnosti een, kter me bt charakterizovno jako fraktln, zahrnuje jevy jako deterministick chaos a samoorganizace, vznik koherentnch struktur. Dal vlastnost je ne-loklnost N-S rovnic, jedn se toti ve sv podstat o integro-diferenciln rovnice pro pole rychlosti a toto pole je nelokln. Meme rozliit dva aspekty tto neloklnosti: Dynamick neloklnost tlak v bod je definovn pomoc celho rychlostnho pole. Tlak

m nelagrangeovskou povahu, s tm souvis neloklnost turbulence v ase (pam). Pi vylouen tlaku (rovnice pro vivost) zavd neloklnost definice vivosti, existuje obou-strann vazba mezi rychlostnm polem a polem vivosti (vivost se nechov jako pasivn skalr).

Reynoldsv rozklad (detaily viz kapitola 5) existuje vzjemn vazba mezi polem sted-nch rychlost a fluktuac, kter nen lokalizovan v ase a prostoru m charakter funk-cionlu. Fluktuace v danm mst a ase jsou funkc stednho pole v celm prostoru a naopak.

Vsledkem tchto skutenost je, e N-S rovnice jsou neintegrovateln neexistuje ana-

lytick een v uzaven form. Jednm z dsledk me bt chaotick chovn een.

33

Dal velmi dleitou vlastnost N-S rovnic jsou jejich symetrie. O tto vlastnosti pojed-nme podrobnji v nsledujcm odstavci.

4.3.3.2. Symetrie N-S rovnic Pod pojmem prodn zkon rozumme obvykle soubor pravidel, kter nm kaj, jak se

vci mn v prostoru a v ase. Slou k pedpovdi budoucho chovn vc za pedpokladu znalosti njakho potenho stavu. Takovto zkony zmny lze pevst na zcela ekvivalent-n vroky i zkony o invarianci, tedy nemnnosti jist struktury i vlastnosti pi jakkoli po-volen zmn stavu sledovanho systmu. Ukazuje se, e invariance vede k zachovn urit veliiny v ase.

Klasifikac vech monch typ zmn v souvislosti s rznmi typy invarianc se zabv odvtv matematiky teorie grup. Grupou rozumme soubor zmn, kter se vyznauj temi vlastnostmi: mus do nj patit monost, e k dn zmn nedojde, mus v nm bt obsaena monost kadou zmnu zruit i zvrtit do pvodnho stavu a kad dv po sob nsledujc zmny musej dvat vsledek, jeho bychom mohli doshnout jedinou zmnou patc do da-nho souboru.

Kad z fyziklnch zkon zachovn, kter znme, je zaloen na njak invarianci to znamen, e existuje soubor zmn tvoc grupu symetrie, kter ponechv tyto zkony beze zmny a vede tak k pslunmu zkonu zachovn. Napklad zachovn energie je ekviva-lentn invarianci zkon pohybu k posunm v ase dopedu i dozadu, jinmi slovy vsledek experimentu nezle na okamiku, kdy byl realizovn, pokud jsou vechny ostatn podmnky identick. Zachovn hybnosti je ekvivalentn invarianci zkon pohybu vzhledem k poloze laboratoe v prostoru, zachovn momentu hybnosti je potom ekvivalentn invarianci vzhle-dem ke smrov orientaci laboratoe. Dal zachovvajc se veliiny ve fyzice, kter souvisej s integranmi konstantami zkon zmny, se tak ukazuj bt ekvivalentn jinm, mn zjev-nm zkonm prody.

Nech G oznauje grupu transformac psobc na prostoro-asov funkce u(x,t), kter jsou prostorov periodick a jejich divergence je nulov. Potom G je povaovna za grupu symetrie N-S rovnic, pokud plat, e pro vechna u, kter jsou eenm N-S rovnic a vechna g G , e funkce gu jsou tak eenm N-S rovnic. Dle uvedeme seznam doposud objeve-nch symetri N-S rovnic.

V souasnosti je znmo est symetri N-S rovnic. Za pedpokladu, e stav tekutinovho systmu je charakterizovn asem t , vektorovm polem polohy x a vektorovm polem rychlosti u , jednotliv symetrie meme charakterizovat: 1. Posuv v prostoru: rg : , ,t x u , ,t +x r u ,

kde vektor 3r pedstavuje vektor posunut v prostoru. 2. Posuv v ase: g : , ,t x u , ,t + x u ,

je posuv v ase. 3. Galileova transformace: gU : , ,t x u , ,t t+ +x U u U ,

3U je univ rychlost, jedn se potom o tzv. inerciln soustavu. 4. Zrcadlen (parita): :gP , ,t x u , ,t x u .

Jedn se o reversibilitu proudn. Tato symetrie plat pouze za pedpokladu zanedbatel-nho nelinernho (konvektivnho) lenu, v turbulenci obecn neplat.

5. Rotace: Ag : , ,t x u , ,t Ax Au ,

( )3SOA je transforman matice operace otoen v prostoru. Spojit rotace vak nen konsistentn s periodickmi okrajovmi podmnkami, povoleny jsou pouze urit diskrtn hodnoty otoen. Spojit rotace je mon pouze pro neomezenou oblast.

6. klovn: g : , ,t x u 1 , ,h ht x u ,

34

+ je klovac parametr a h je exponent. Tato symetrie je pro libovoln h plat-n pouze pro nevazkou tekutinu, pro vazkou tekutinu je nutn, aby bylo 1h = . Symetrie jsou zkladnmi vlastnostmi dynamickho systmu, kter mus bt inherentn

obsaeny v matematickm modelu tohoto systmu. Pokud pouit matematick model vyka-zuje odlin vlastnosti ve vztahu k symetrim, je teba se velmi vn zamyslet nad oprvn-nost pouit takovho systmu, ppadn dobe zvit omezen modelu z tohoto faktu plynou-c.

4.3.3.3. Rovnice pro tlak V naich vahch z hlediska dynamiky tekutin uvaujeme o tlaku ponkud z jinho hle-

diska ne nap. v termodynamice, kde jsme zvykl spojovat okamitou velikost tlaku se sta-vovmi veliinami plynu teplotou a hustotou. V dynamice tekutin je tlakov pole propojeno s polem rychlost.

Vyjdeme divergenci N-S rovnice vynsobenm opertorem nabla

2 21 k l

l k

u uD pDt x x

= u . (4.34)

Pole rychlosti je vak solenoidln, proto s ohledem na (4.12) se lev strana rovnice (4.34) rovn nule. Nule se mus rovnat i strana prav, plat tedy

2 k ll k

u upx x

=

, (4.35)

co je Poissonova rovnice pro tlak. Jej splnn je nutnou a postaujc podmnkou pro to, aby solenoidln pole rychlost nadle solenoidlnm zstalo. Pro een tto rovnice potebujeme okrajov podmnky. Na tuh stn dostvme Neumanovu okrajovou podmnku ve tvaru

2

2nup

n n

=

, (4.36)

kde n je vzdlenost ve smru normly k povrchu a nu je sloka rychlosti kolm ke stn. Povimnme si, e Poissonova rovnice vyjaduje neloklnost problmu. Tlak

v libovolnm bod je podle tto rovnice toti funkc rozloen rychlosti v cel oblasti. Tlak tak pedstavuje velmi zajmavou veliinu, kter je vhodnou diagnostickou veliinou pro celou oblast proudn.

K een Poissonovy rovnice lze pout nap. metody Greenovy funkce, vsledkem je po-le rozloen tlak v oblasti proudn.

4.3.3.4. Formulace pro pole vivosti Zkladn vlastnost turbulentnho proudovho pole je jeho viv povaha. Vivost nebo

tak vr rychlosti (angl.: vorticity) je definovna jako rotace vektoru rychlosti rot= = u u . (4.37) Vivost nabv v turbulentnm poli nenulovch hodnot. Modul vivosti se seln rovn

dvojnsobku rychlosti rotace elementu tekutiny v danm bod. Vivost identicky spluje rovnici kontinuity (viz dodatek tenzorov poet (12.10)).

Pepime N-S rovnici do rotanho tvaru uitm vektorov identity (viz tak (12.11)) ( ) [ ]2 / 2 rot = + u u u u u . (4.38)

N-S rovnice (4.27) potom jsou

[ ]2

2

2p

t

+ + =

u uu u . (4.39)

Rovnici pro vivost meme zskat vektorovm vynsobenm N-S rovnice opertorem nabla zleva, po prav dostvme

35

( ) ( )2DDt t

= + = +

u u . (4.40)

len obsahujc tlak /p je pro tekutinu s konstantn hustotou nulov, je to dsledek vektorov identity (12.8). Z rovnice pro vivost tedy vypadl tlak.

Vimnme si, e rovnice pro vivost obsahuje tak sloky rychlosti a to jak na lev stra-n (v konvektivnm lenu obsaenm v substanciln derivaci) tak i na stran prav. Fyzikln vznam prvnho lenu na prav stran je vazk difze vivosti, druhho potom generovn ne