Variace - uèebnice (Výchozí) · 2014. 7. 26. · Iracionální čísla - nemají své...

M - Matematika - třída 1ODK -celý ročník

Obsahuje učivo školního roku 2005/2006

Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

VARIACE

1

M - Matematika - třída 1ODK - celý ročník 1

Číselné obory±

Číselné obory

Přirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N0. - jedná se o čísla 1, 2, 3, 4, ... Nejmenší přirozené číslo je 1.

Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z+, Z

-, či Z0+.

- tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu

Racionální čísla - označujeme Q - jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i

jmenovatelem.

Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme - patří sem např. čísla p, Ö2, Ö3, apod.

Reálná čísla - označujeme je R - jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Operace s racionálními čísly• sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel• sčítání a odčítání, násobení a dělení zlomků• řešení složených zlomků• pravidlo komutativnosti, asociativnosti a distributivnosti• druhá a třetí mocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce• druhá a třetí odmocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce

Výrok, logické spojky, kvantifikátory±

Názvové konstanty a proměnné

S = p . r2

S = f (r)

Říkáme, že S je funkcí r.

Číslo p je názvová konstanta. Příslušné proměnné říkáme názvová proměnná.

r - nezávisle proměnnáS - závisle proměnná

Písmeno, které je použito jako symbol jednoho určitého objektu, považujeme za názvovou konstantu.Písmeno, které je použito jako symbol libovolného objektu z určitého oboru, považujeme za názvovou proměnnou.Uvedený obor pak nazýváme obor proměnné.

Výroky a hypotézy, negace výroků

Za výroky považujeme ty dobře srozumitelné oznamovací věty, které mohou být buď jen pravdivé nebo jen nepravdivé.

Pravdivostní hodnotou výroku se rozumí jedna z jeho kvalit - pravdivost nebo nepravdivost.

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)5.11.2006 16:43:20 1 z 144


Hypotézou rozumíme výrok, jehož pravdivostní hodnota není známa.

Pozn.: Věty zvolací, rozkazovací a tázací nejsou výroky.

Označíme-li libovolný výrok písmenem V, pak výrok"Není pravda, že V ..." nazýváme negací výroku V

Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty.

Příklady:V: 6 + 3 = 9 Šest plus tři se rovná devětV´: Není pravda, že 6 + 3 = 9 Šest plus tři není devět

V: Po skončení vyučování půjdu na oběd.V´: Není pravda, že po skončení vyučování půjdu na oběd. Po skončení vyučování nepůjdu na oběd. Hovoří-li se ve výroku o jedné z několika možností, musí jeho negace zahrnout všechny ostatní možnosti.V: V noci nepršelo.V´: Není pravda, že v noci nepršelo. V noci pršelo.

V: Nemám červenou vázanku.V´: Není pravda, že nemám červenou vázanku. Mám červenou vázanku.

V: Číslo jedna není složené číslo.V´: Není pravda, že číslo jedna není složené číslo. Číslo jedna je složené číslo.

V: Číslo 7p ¹ 22V´: Není pravda, že číslo 7p ¹ 22 Číslo 7p = 22

Existenční kvantifikátory:- existuje aspoň- existuje nejvýše- existuje právě

Obecné kvantifikátory:- pro každé- pro žádné

Výroky, které obsahují pouze existenční kvantifikátory, nazýváme existenční výroky.Výroky, které obsahují pouze obecné kvantifikátory, nazýváme obecné výroky.

Příklady:Následující věty o prvočíslech jsou vysloveny ledabyle; zpřesněte jejich formulaci tím, že uplatníte proměnnou p označující libovolné prvočíslo a použijte kvantifikátorů.

a) Nějaké prvočíslo je sudé. Existuje aspoň jedno p , které je sudé.b) Číslicový zápis prvočísel nekončí nulou. Pro žádné p neplatí: Zápis p končí nulou.c) Vyskytují se i taková prvočísla, že číslo o 2 větší než ona jsou též prvočísly.



Existuje aspoň jedno p , pro něž platí: p + 2 je prvočíslo.d) Jednociferných prvočísel se nenajde víc než 5. Existuje nejvýše 5p, která jsou jednociferná.e) Dvě sudá prvočísla nenajdeme. Existuje nejvýše jedno p , které je sudé.f) Nejedno prvočíslo je zapsáno několika stejnými číslicemi. Existují aspoň dvě p , z nichž každé je zapsáno stejnými číslicemi.

Operace s výroky

Chceme vyjádřit, že Použijeme spojky Vytvoříme výrokVýrok X neplatí Není pravda, že... (non) Není pravda, že X

X´ Negace - non X výroku X

Platí oba výroky X, Y a (et) X a Y ... konjunkce X Ù Y

Platí aspoň jeden z výroků X, Y nebo (vel) X nebo Y ... alternativa (disjunkce) X Ú Y

Platí buď výrok X nebo výrok Y (ostrá disjunkce) Buď X nebo Y

Pokud platí X, pak platí i Y (platnost výroku X však není požadována)

když ..., pak ... Jestliže X, pak Y... Implikace výroku Y výrokem X X Þ Y

X implikuje YVýroky X, Y mají stejnou pravdivostní hodnotu (buď oba platí nebo oba neplatí)

... právě tehdy, když ...

... tehdy a jen tehdy, když...X právě tehdy, když Y Ekvivalence výroků X, Y X Û Y

X je ekvivalentní s Y

Konkrétní příklady:

X Y X´ X Ù Y X Ú Y X Þ Y X Û Y Buď X nebo Y

1 1 0 1 1 1 1 01 0 0 0 1 0 0 10 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 0 1 1 0

Používaná symbolika:

Î ... je elementem, náleží, patří, ...Ï ... není elementem, neleží, nepatří, ..."x ... ke každému, každé, ...$x ... existuje aspoň (jedno x, ...)

: ... platí¥ ... (nekonečno) - matematický symbol

Množiny a operace s nimi±

Co je množina

Množinovými pojmy vyjadřujeme matematické úvahy o skupinách (souhrnech, souborech, oborech) osob, věcí i abstarktních věcí. Společné vlastnosti skupin, oborů, útvarů, souhrnů vyjadřujeme v matematice pomocí základních množinových pojmů:



Skupina, organizace, obor, útvar - množinaČást skupiny, dílčí organizace, podobor, část útvaru - podmnožinaBýt členem organizace, patří do skupiny, náležet do oboru, patřit do útvaru - být prvkem množinySkupina bez členů, útvar neobsahující žádný bod, prázdný obor - prázdná množina

Množinu lze zadat:- výčtem prvků- pomocí charakteristické vlastnosti

Inkluze a rovnost množin:- inkluzi množiny A v množině B zapisujeme A Ì B (čteme též "Množina A je podmnožinou

množin B")- rovnost množin zapisujeme A = B

Každá množina je i podmnožinou sama sebe.Každá prázdná množina je podmnožinou každé množiny.

Pozn.: Platí, že A Ì B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je zároveň i prvkem množiny B.

Platí, že A = B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je i prvkem množiny B a zároveň pro každý prvek množiny B platí, že je i prvkem množiny A.

Doplněk množiny:Jsou-li A, U dvě množiny, pro které platí A Ì U, pak existuje množina všech prvků množiny U obsahující prvky, které nepatří do A. Tuto množinu nazveme doplňkem množiny A v množině U (označujeme A´)

Průnik a sjednocení množin:Jsou dány množiny A, B, přičemž A¹B. Množinu všech prvků, které obsahují prvky aspoň jedné z množin A, B nazveme sjednocení množin A, B. Zapisujeme A È B.

Množinu všech prvků, které patří do množiny A a zároveň i do množiny B, nazýváme průnik množin A, B. Zapisujeme A Ç B.

Množiny, které nemají společné prvky, nazýváme disjunktní množiny.

Rozdíl množin:Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A, ale nepatří do množiny B, nazveme rozdíl množin.Zapisujeme A \ B.

Množinové operace často znázorňujeme Vennovými diagramy.

Řešení úloh:• Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B Ç C'.Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny.



• Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç C'.Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny.

• Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B' Ç C'.Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny.

• Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A U (B Ç C').Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny.

• Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A' Ç B') U (A Ç B).Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny.

• Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç (C U B).Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny.

• Mezinárodní konference o teorii množin se účastní celkem 134 matematiků, z nich každý ovládá alespoň jeden z těchto jazyků: ruštinu, francouzštinu, angličtinu. 15 z nich ovládá všechny tři jazyky, angličtinu zná o 28 účastníků více než ruštinu. Těch, kteří ovládají ruštinu a francouzštinu a neznají angličtinu, je pětkrát méně, než těch, kteří znají pouze angličtinu. Účastníků konference, kteří znají jenom ruštinu, je třikrát více než těch, kteří ovládají ruštinu a angličtinu, ale neznají francouzštinu. Těch, kteří znají jenom francouzštinu je právě tolik, jako těch, kteří ovládají jenom angličtinu. Účastníků, kteří ovládají angličtinu a ruštinu, ale neznají francouzštinu, je o 18 méně než těch, kteří neovládají ruštinu, ale znají francouzštinu a angličtinu. Předseda organizačního výboru mluví všemi třemi jazyky. Ve kterém z nich by měl přednést uvítací projev, aby jej mohlo poslouchat co nejvíce účastníků bez tlumočníka?

• Z 35 žáků odebírá časopis ABC 8 žáků, časopis VTM 10 žáků. 21 žáků neodebírá žádný z těchto dvou časopisů. Kolik žáků odebírá oba časopisy.

Absolutní hodnota reálného čísla±

Absolutní hodnota reálného čísla:

Je dáno číslo a, jako libovolné celé číslo. Absolutní hodnotou čísla a nazýváme číslo označené |a|, které se při a³0 rovná číslu a, při a<0 rovná číslu -a.

Absolutní hodnota a-b představuje vzdálenost bodů a, b, které jsou obrazy celých (reálných) čísel, na ose celých (reálných) čísel.

Platí:|a . b| = |a| . |b||a : b| = |a| : |b|



Pozor!|a + b| # |a| + |b||a - b| # |a| - |b|

Závěr:1. Absolutní hodnota součinu se rovná součinu absolutních hodnot.2. Absolutní hodnota zlomku se rovná absolutní hodnotě čitatele lomené absolutní hodnotou

jmenovatele.

Poznámka:Absolutní hodnota nuly je nula.

Zobecnění:Absolutní hodnota libovolného reálného čísla x je definována podobně jako absolutní hodnota celého čísla:|x| = +x pro x>0|x| = 0 pro x = 0|x| = -x pro x<0

--------------------------------------------------------------------------------------------Procvičovací příklady:

|54 321| = 54 321|0,325| = 0,325|- 21,56| = 21,56|0| = 0

Dělitelnost±

Dělitelnost čísel

Dělitel daného čísla je takové číslo, kterým můžeme dané číslo beze zbytku dělit.

Prvočísla jsou taková čísla, která mají za dělitele pouze číslo jedna a sama sebe.

Čísla, která mají kromě jedničky a sama sebe ještě alespoň jednoho dělitele, se nazývají čísla složená.

Příklady:

12 - je číslo složené (dělitelem je 1, 2, 3, 4, 6, 12)7 - prvočíslo (dělitem je pouze 1, 7)

Postup pro určení nejmenšího společného násobku dvou nebo více čísel:

Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 20 a 24:

20 = 2 . 10 = 2 . 2 . 524 = 2 . 12 = 2 . 2 . 6 = 2 . 2 . 2 . 3- čísla, která se opakují v obou rozkladech (nebo alespoň ve dvou rozkladech při více číslech), píšeme pouze jednou, dále do součinu doplníme i zbylá čísla: 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120Závěr: n(20, 24) = 120

Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 10, 18, 27:10 = 2 . 5



18 = 2 . 3 . 327 = 3 . 3 . 3------------------n(10, 18, 27) = 2 . 3 . 3 . 5 . 3 = 270

Pozn.: Nejmenší společný násobek můžeme určit také pokusem, a to tak, že vezmeme největší ze zadaných čísel a zkoumáme, zda je dělitelné zbývajícími čísly. Pokud ano, jsme hotovi. Pokud ne, bereme postupně dvojnásobek, trojnásobek, atd. největšího čísla a vždy zkoumáme, zda je dělitelný zbývajícími čísly. Jakmile je tato podmínka splněna, jsme hotovi.

Postup pro určení největšího společného dělitele dvou nebo více čísel:

Příklad: Určete největší společný dělitel čísel 24 a 30:

24 = 2 . 2 . 2 . 330 = 2 . 3 . 5- čísla, která se opět v rozkladech opakují, píšeme do součinu pouze jednou; další zbylá čísla ale už nepíšeme:2 . 3 = 6Závěr: D(24, 30) = 6

Pokud máme zadáno více čísel, do výsledného součinu píšeme pouze ta čísla, která se opakují v rozkladech všech čísel.

Dělitelnost přirozených čísel (znaky dělitelnosti):

Dělitelnost číslem 0:

"Číslem nula nelze nikdy dělit".


"Číslo je dělitelné číslem jedna vždy"


"Číslo je dělitelné číslem 2, je-li sudé (tj. je-li zakončeno sudou číslicí)".


"Číslo je dělitelné číslem 3, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi".


"Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné číslem 4".


"Číslo je dělitelné pěti, končí-li číslicí 5 nebo 0".


"Číslo je dělitelné šesti, je-li dělitelné současně dvěma i třemi".

Dělitelnost číslem 7:- znak dělitelnosti existuje, ale je natolik složitý, že je rychlejší se o dělitelnosti čísla sedmičkou přesvědčit pouhým vydělením sedmi. Znak se tedy moc nepoužívá.




"Číslo je dělitelné osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi".


"Číslo je dělitelné devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti".


"Číslo je dělitelné deseti, končí-li číslicí nula".


"Číslo je dělitelné jedenácti, je-li rozdíl součtu čslic na sudých pozicích a součtu číslic na lichých pozicích čísla dělitelný jedenácti".

----------------------------------------------------

Čísla, která mají kromě jedničky ještě alespoň jednoho společného dělitele, se nazývají čísla soudělná.Příklady: 2, 40 15, 60, 36

Čísla, která nemají kromě jedničky žádného společného dělitele, se nazývají čísla nesoudělná.Příklady: 5, 13 11, 15, 23

-----------------------------------------------------Znaky dělitelnosti pro vyšší čísla:

Lze-li libovolné číslo rozdělit na součin dvou nesoudělných čísel, pak platí, že původní číslo je dělitelné součinem, je-li dělitelné každým činitelem.

Příklad:Určete, zda čísla 330 a 240 jsou dělitelná patnácti.Řešení:Číslo 330 je dělitelné třemi i pěti, proto je dělitelné i patnácti.Číslo 240 je dělitelné třemi i pěti, proto je též dělitelné patnácti.

Intervaly±

Intervaly, jejich zápis a znázornění

Užití intervalů je široké a setkáme se s nimi nejen při řešení nerovnic.

Rozdělení intervalů:1. Uzavřený interval a < x £ b

(x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a)- zapisujeme též množinově: x Î <a; b>

Grafickým znázorněním tohoto intervalu je úsečka se svými krajními body.

2. Otevřený interval a < x < b (x je menší než b a zároveň větší než a) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b)



Grafickým znázorněním je úsečka bez krajních bodů.

Poznámka: Zvláštním případem otevřeného intervalu je celá množina reálných čísel.Grafickým znázorněním je přímka.x Î (-¥; +¥) nebo jinak x Î R

3. Polootevřený (polouzavřený) interval a < x £ b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b>

Grafickým znázorněním je úsečka s jedním krajním bodem. Takovýto interval někdy také nazýváme zprava uzavřený interval.

Pozn.: Analogicky bychom mohli definovat zleva uzavřený interval.

4. Další typy intervalů

x < a x Î (-¥; a)

Analogicky by byl interval pro x > a

x £ a x Î (-¥; a>

Opět analogicky by vypadal interval pro x ³ a

Procenta±

Procenta

U příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme tři základní veličiny:- základ (100%) ... z- procentovou část ... č- počet procent ... p



První dvě z uvedených veličin mají vždy stejnou jednotku (tzn. obě jsou například v kilogramech), zbývající třetí je vždy uvedena v procentech.

Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme.

Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy:1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek)Příklad 1:Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogramů mouky.Řešení: 100 % ... 12,6 kg mouky 1 % ... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky 64 % ... 64 . 0,126 kg = 8,064 kgZávěr: 64 % z 12,6 kg mouky představuje asi 8 kg mouky.

2. Řešení trojčlenkouPříklad 2:Vypočtěte, kolik procent představuje 6 minut ze 2,5 hodinyŘešení:100 % ... 2,5 hx % ... 6 min = 0,1 h------------------------------------------U procent se vždy jedná o přímou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly obě nahoru".Sestavíme výpočet:

x = 100 . 0,1/2,5x = 4 %

Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny představuje 4 %.

3. Řešení podle vzorcePříklad 3:Vypočtěte, z kolika kilometrů představuje 8 metrů 20 %.Řešení:č = 8 mp = 20 %z = ?--------------------------------z = 100č/pz = 100 . 8/20z = 40 m = 0,04 kmZávěr:Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru.

Pozn.:Přehled všech tří vzorců:z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z

4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent)

Klávesa s označením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se předchozí výpočet automaticky vynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vydělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlení práce, nic víc.

Procvičovací příklady:

Na konci zimní sezóny byla slevněna bunda z 2 100 Kč na 1 800 Kč. O kolik % byla bunda slevněna?

Za vykonanou práci si vydělali 3 pracovníci celkem 80 400 Kč. Rozdělili se



tak, že první dostal o 20% více než druhý a třetí o 15% více než druhý.Kolik Kč dostal každý z nich?

Turisté ušli první den výletu 35% cesty, druhý den 41% . Na poslední,třetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta?

Zvětšíme-li neznámé číslo o 4% , dostaneme 780. Určete neznámé číslo.

Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin?

Vypočítejte jednu sedminu z 15% z čísla 63.

Pětina žáků třídy je nemocná, 40% žáků šlo na soutěž a ve třídě zůstalo10 žáků. Kolik žáků má tato třída?

Zboží, jehož původní cena byla 2 400 Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprveo 15% , později o 10% z nové ceny. Určete konečnou cenu zboží a početprocent, o kolik bylo zboží celkem zlevněno.

Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později ještě o 5%z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávalaza 2 584 korun. Jaká byla původní cena?

Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35% jeho původní hodnoty. Které je to číslo? (Udejte s přesností na jedno desetinné místo.)

Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou300 Kč a chci ho prodat se ziskem 20% z prodejní ceny?

Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20% a utržil za ni 1 680 Kč.Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10% , další čtvrtinu za nákupní cenua poslední čtvrtinu se ztrátou 5%. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkůvzisk.

V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57% zaměstnanců jsou muži.Kolik zaměstnanců má závod?

Kolik procent je 21 ze 105 ?

a) Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady?b) Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady?c) Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4% . Kolik výrobků je bez vady?

Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady?

Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady?

Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4% . Kolik výrobků je bezvady?

Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15% stála 459 Kč?

Z 1 600 součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady?

Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícímroce byla výměra pro osev obilí snížena o 12% , ale hektarový výnos seproti předchozímu roku zvýšil o 12% . Kolik tun obilí se v tomto roce



sklidilo?

Sedlák vzal do města tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18% .Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo?

Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky,v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15% celkové sumy. Do celéčástky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kčnaspořil v jednotlivých měsících?

Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10% , později ještě o 10%z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se lednička prodala za 4455 Kč.Vypočítejte její původní cenu.

Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal 2 500 Kčnásledujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18% dráž, čvrtinu o 11%dráž a zbytek o 5% levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dadavateli?Proveďte zkoušku.

Kolik procent činí 40,8 ze 120 ?

Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6% hmotnosti těla. Kolik kgkrve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg?

V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 Kč. Nyní stojí19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila?

V nově založeném sadu se ujalo 1 470 stromků, což je 98% všech sazenic.Kolik stromků vysadili?

Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla 2 200 Kč, byl po technickémzdokonalení zdražen o 20%. Později byl o 15% z nové ceny zlevněn. Jakábyla jeho konečná cena?

Co je méně? 8% z 500g nebo 6% z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem.

Zboží v hodnotě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10% a pak zlevněno o 10%z nové ceny. Určete jeho konečnou hodnotu.

Dva společníci si rozdělili zisk 66 000 Kč tak, že druhý dostal o 20% vícenež první. Kolik dostal každý?

Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65% jeho hodnoty. Určete neznáméčíslo.

Kolika procentům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprveo 20% zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20% snížena?

Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemkuzkrácen o 7% a kratší o 8% . Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolikprocent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly60 m a 30 m.

Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15% , později o 5% z novéceny. Po tomto dvojím snížení ceny se lednička prodávala za 9 690 Kč.Vypočtěte její původní cenu.

Číslo 72 zvětšete o 25% . O kolik procent budete muset číslo, které



vám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72 ?

Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 Kč na jeden oběd azaměstnanci platí 78% hodnoty oběda. Jaká je cena oběda? Kolik korun platíza oběd zaměstnanci?

a) Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400.b) Z jakého čísla je číslo 8 20% ?

Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400.

Z jakého čísla je číslo 8 20% ?

19% z neznámého čísla je o 12 méně než 23% z téhož čísla. Určete neznáméčíslo.

Poměr, trojčlenka±

Poměr

Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení.

Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku pěti)

Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru.

Poměr může mít dva, ale i více členů.

Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný.

Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku.

Poměr je v základním tvaru, jso-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná.

Příklad 1:

Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru.

Řešení: 2,4 : 7,2 /* 10 24 : 72 /: 8 3 : 9 / : 3 1 : 3

Příklad 2:

Následující poměr uveďte do základního tvaru:

8

1:

3

2

Řešení:



8

1:

3

2

/* 24 (společný násobek jmenovatelů)

16 : 3

---------------------------------------------------------Změna čísla v poměru:

Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku.

Příklad 3:

Číslo 25 změňte v poměru 7 : 2

Řešení:

5,872

175

2

7.25 ==

Výsledné číslo je 87,5.

Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení.Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení.

----------------------------------------------------------Rozdělení čísla v poměru:

Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr.

Příklad 4:

Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7

Řešení:

2 + 7 = 9 ... počet dílů81 : 9 = 9 ... hodnota jednoho dílu2 . 9 = 18 ... hodnota odpovídající prvnímu členu poměru7 . 9 = 63 ... hodnota odpovídající druhému členu poměru

Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : 7.

------------------------------------------------------------

Změna postupného poměru na jednoduché poměry:

Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých.

Příklad 5:



Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché.

Řešení:

Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7

Změna jednoduchých poměrů na postupný:

Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný.

Příklad 6:

Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný.

Řešení:

Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2 : 7 /*4 8 : 28Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3 : 8Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : 28

------------------------------------------------------------Trojčlenka

Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy • nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji

vždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku • rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné

šipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru.

• Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů).

• Na základě šipek se stavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek.

Příklad 7:

Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů?

Řešení:

3 kg pomerančů ..... 66,- Kč 5 kg pomerančů ..... x Kč (šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru)

--------------------------------------------------

1103

5.66 ==x

x = 110,- KčPět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč.



Příklad 8:

Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být hotova už za 4 dny?

Řešení:

5 zaměstnanců ... 7 dní x zaměstnanců ... 4 dny (šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů)

-------------------------------------------------

75,84

7.5 ==x

x = 8,75 zaměstnance 8,75 - 5 = 3,75Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance.

------------------------------------------------------------Složená trojčlenka

Jedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenky můžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou.

Příklad 9:

Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástek při stejném výkonu?

Řešení:

6 dělníků ... 5 směn ... 1020 součástek 10 dělníků ... x směn ... 2000 součástek ------------------------------------------------------------------------------Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou s veličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličiny šipka dolů a u pravé šipka vzhůru.

9,51020

2000.

10

6.5 ==x

x = 5,9 směny (přibližně)Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Procvičovací příklady:

Otázka č.: 16 dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat?

Otázka č.: 2K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 16 dkg tuku, 24 dkg mouky, 20 dkg cukru. Kolik dkg tuku, mouky a cukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec?

Otázka č.: 3Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyři stejně výkonní sklenáři?



Otázka č.: 4120 kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6:9 . Určete hmotnosti obou částí.

Otázka č.: 5Dva stroje vyrobí za 50 hodin 2 000 výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili 15 000 výrobků?

Otázka č.: 6Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnými čerpadly?

Otázka č.: 7Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2:7 .a) kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96b) kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo).

Otázka č.: 8Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je 7:4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem?

Otázka č.: 94,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg?

Otázka č.: 10Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny?

Otázka č.: 11Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných strojů?

Otázka č.: 12Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů?

Otázka č.: 13Číslo 40 rozdělte v poměru 3:5.

Otázka č.: 14Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektarů je výměra pole.

Otázka č.: 15Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : 1 500 má parcela tvaru lichoběžníku délku základen 40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely.

Otázka č.: 16Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2 ?

Otázka č.: 17Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5:8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena?

Otázka č.: 18Barva se míchá s ředidlem v poměru 5:2 . Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi 1,4 litru?

Otázka č.: 19



Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5:7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí 6 960 Kč.

Otázka č.: 20Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F1, F2 , které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F1) má velikost 12 N. Najděte výslednici F početně i graficky.

Otázka č.: 21Směs s bodem tuhnutí -32 °C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí?

Otázka č.: 22Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí?

Otázka č.: 23Jestliže lA'B'l :l ABl = 2:3 a délka úsečky AB je 24 cm, pak velikost úsečky A'B' budea) 12 cmb) 36 cmc) 16 cmd) 18 cm

Otázka č.: 24Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7.

Otázka č.: 25Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní?

Otázka č.: 26Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2 . Kolik hektarů každého druhu obilí zaseli?

Otázka č.: 27Plán má měřítko 1 : 2 500 . Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m?

Zápisy s číselnými proměnnými, úpravy výrazů±

Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří:• výrazy• výrokové formy• výroky s kvantifikátory

Po dosazení přípustných proměnných hodnot do:• výrazu ... dostaneme číslo• výrokové formy ... dostaneme výrok• do výroků s kvantifikátory ... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty

Rovnost a úpravy výrazů

Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací.

Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv.



definiční obor výrazů.

O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li:a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny Mb) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky

Přehled důležitých vzorců:(A + B)

2 = A

2+ 2AB + B

2

(A - B)2 = A

2- 2AB + B

2

(A - B).(A + B) = A2- B

2

(A + B)3 = A

3+ 3A

2B + 3AB

2+ B

3

(A - B)3 = A

3 - 3A

2B + 3AB

2 - B

3

A3 - B

3 = (A - B).(A

2+ AB + B

2)

A3+ B

3 = (A + B).(A

2 - AB + B

2)

Algebraické výrazy - procvičovací příklady±

1. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -28x - [2x – 6.(x - 1)

2 + 2] - (3x

2 - 5x).2

Výsledek:

407

2. Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s)2

Výsledek:

387

3. Výraz K = 16a2 – a

4x

2 rozložte na součin aspoň tří činitelů

Výsledek:

408

4. Rozložte na součin: 4 – x2

Výsledek:

389

5. Rozložte v součin výraz: 9s2v

2 - 4r

2v

2 - 9u

2s

2 + 4u

2r

2

Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0

Výsledek:

398

6. Upravte: [(a2b

3)

3]

2

Výsledek:

393

7. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1

Výsledek:

386

8. Upravte: (1,2x2 - 0,3y)

2

Výsledek:

394

9. Upravte: (2x-5)2 - (2x-3).(5x+2)

Výsledek:

401



10. Vypočtěte:

]1,15625

4:)7,35,2[()7,0(:3,6)2(1,15 3 +---+--

Výsledek:

406

11. Doplňte: (? - 3)2 = 16x

2 - ? + ?

Výsledek:

400

12. Výraz -(-2x + 1)2 se po úpravě rovná čemu?

Výsledek:

405

13. Vypočtěte: (4a2b + 5a

3b

2)

2 =

Výsledek:

381

14. Umocněte: (10 - 2a)2

Výsledek:

388

15. Výraz 4k2 - (2k + 1)

2 - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte

dosazením za k = 3

Výsledek:

385

16. Vypočtěte rozdíl výrazů x+2 a x-1

Výsledek:

391

17. Rozložte na součin: x2 - 2xy + y

2 - x + y

Výsledek:

399

18. Rozložte na součin výrazy: a) 2x2-4xy+2y

2 b) 5t-2tm-10m+25

Výsledek:

404

19. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost(... + 3y)

2 = 4x

2 + ... + ...

Výsledek:

384

20. Výraz (3k - 2)2 - 4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu

ověřte dosazením k = 3

Výsledek:

397

21. Upravte daný výraz 3x2y-{xyz-(2yz-x

2z)-4x

2z+[3x

2y-(4xyz-5x

2z)]}.

Výsledek ověřte dosazením pro x=1, y=-1, z=0

Výsledek:

402

22. Vypočtěte bez použití kalkulátoru:

úû

ùêë

é--÷

ø

öçè

æ---+--- )9,28,1(

2

1:

4

1)8,0(:4,6)3(2214 2

Výsledek:

410



23. Rozložte na součin: (2m - 1).5x – 8.(2m - 1)

Výsledek:

390

24. Upravte: a2.3b

2.ab.2b

2a

3.4b

4

Výsledek:

396

25. Vypočtěte součin výrazů x+2 a x-1

Výsledek:

392

26. Rozložte na součin: a2 + 2ab + b

2 – c

2

Výsledek:

409

27. Rozložte na součin: 4x2(y

2 – z

2) + 25v

2(z

2 – y

2)

Výsledek:

382

28. Upravte: (2x - 0,2y) . (2x + 0,2y)

Výsledek:

395

29. Vypočítejte: (3 - x)2 - 3(x

2 - 3) + (-2x)

2

Výsledek:

403

30. Rozložte na součin výraz: 18xy2 - 21x

2y

Výsledek:

383

31. Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtuověřte dosazením za x = -3

Výsledek:

380

Lomené algebraické výrazy±

Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou.

U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl).

Př.: dcx

bax

+

+

Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkoux = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit).Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c

Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit.Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly.Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly.



Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele.

Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit.

Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel.

Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem.Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů

Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru.Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele

proti kterémukoliv jmenovateli.

Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného.

Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého.Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se

jmenovatelem.Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko.

Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz.Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních.Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak

dále.Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý

příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů.

Lomené algebraické výrazy - procvičení±

1.

Výsledek:

414



2.

Výsledek:

415

3.

Výsledek:

419

4.

-1,7Výsledek:

418

5.

Výsledek:

425



6.

Výsledek:

416

7.

Výsledek:

420

8.

Výsledek:

421

9.

Výsledek:

423



10.

Výsledek:

411

11.

Výsledek:

413

12.

Výsledek:

412

13.

Výsledek:

422

14.

Výsledek:

417



15.

Výsledek:

424

Mocniny a odmocniny±

Obor přirozených čísel:Def.: Mocninou a

b nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a.

Zapisujeme: ab = a . a . a . ... . a

b-krátPro čísla a, b, r, s platí: a

r . a

s = a

r+s

(a.b)r = a

r . b

r

(a:b)r = a

r : b

r

(ar)s = a

rs

ar : a

s = a

r-s

Obor celých čísel:Pro čísla a, n platí: a

-n = 1/a

n

Obor racionálních čísel:Sčítat a odčítat můžeme pouze stejné mocniny, tj. musí mít stejný základ i stejný exponent.Př.: 2x

2+ 3x

2 ... sečíst lze

3x4 - 2x

3 ... odečíst nelze

Násobit můžeme mocniny se stejným základem.Př.: a

4 . a

5 = a

9 ... obecně a

r . a

s = a

r+s

Násobit můžeme také mocniny se stejným exponentem a různým základem.Př.: 2

5 . 7

5 = 14

5 ... obecně a

n . b

n = (ab)

n

Pozn.: Analogická pravidla jako pro násobení platí i pro dělení.Často při výpočtech používáme zápis čísla ve tvaru c.10

n, kde číslo c je větší nebo rovno jedné a

menší než 10. Pak platí následující pravidla:1. Násobení čísel ve tvaru c.10

n

(a.10m).(b.10

n)=(ab).10

m+n

Př.: 3,4.105 .

2,1.104 = (3,4.2,1).10

5+4 = 7,14.10

9 = 7,1.10

9 (po zaokrouhlení)

2,6.108. 7,3.10

5 = (2,6.7,3).10

8+5 = 18,98.10

13 = 1,898.10

14 = 1,9.10

14 (zaokr.)

2. Dělení čísel ve tvaru c.10n

(a.10m):(b.10

n)=(a/b).10

m-n

Př.:

3,4.105 : 2,1.10

4 = (3,4:2,1).10

5-4 = 1,6.10


2,6.108: 7,3.10

5 = (2,6:7,3).10

8-5 = 0,36.10

3 = 3,6.10


3. Umocňování čísel ve tvaru c.10n

(c.10n)m = c

m.10

mn

Př.: (5,6.1015)4 = 5,6

4.10

15.4 = 983,4496.10

60 = 9,8.10


4. Sčítání nebo odečítání čísel ve tvaru c.10n

V tomto případě postupujeme tak, že z jednotlivých členů výrazu vytkneme nejnižší použitou mocninu čísla 10. Vzniklou závorku sloučíme a výsledek upravíme.



Př.: 2,5.108 + 5,6.10

5 + 9,4.10

7 = 10

5.(2,5.10

3 + 5,6.10

0 + 9,4.10

2) =

= 105.(2 500 + 5,6 + 940) = 10

5. 3 445,6 = 3,4.10


Pozn.: Jak převést snadno číslo ve tvaru c.10n na číslo klasické:

a) kladné číslo v exponentu: př.: 2,3.10

8 ... znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vpravo

b) záporné číslo v exponentu: př.: 2,3.10

-8 ... znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vlevo

Obor reálných čísel:Odmocnina z nezáporného reálného čísla je definována opět jako nezáporné číslo.Druhou odmocninou nezáporného reálného čísla a nazýváme to nezáporné reálné x, pro které platí x

2 = a

Symbolicky zapisujeme Öa. Index odmocniny u druhé odmocniny vynecháváme.Pro odmocniny platí obdobná pravidla jako pro mocniny.Sudé odmocniny lze počítat pouze z nezáporných čísel. Pokud se nám tedy ve výpočtu vyskytují sudé mocniny, musíme opět provádět podmínky řešitelnosti.Sčítání a odčítání odmocnin:

333 24232 xxx =+

u odmocnin nehraje roli koeficient před proměnnou - ten může být odlišný, protože ho lze vždy dostat před odmocninuPříklad 1:

( ) 33333 .32.3.232 xxxxx +=+=+Pozn.: Nelze ale sčítat nebo odčítat např. druhou odmocninu s odmocninou třetí!

Obdobná pravidla platí i pro násobení, resp. dělení, odmocnin. Odmocniny můžeme násobit (resp. dělit) tehdy, pokud mají stejný základ. Pak musíme ale nejprve všechny činitele převést na stejnou odmocninu.Příklad 2:

12 712 3412 312 443 ... aaaaaaa ===

Pokud mají činitelé stejnou odmocninu, pak můžeme násobit odmocniny, které mají odlišný základ.Příklad 3:

405.8 = (1)Každou odmocninu můžeme převést na mocninu podle následujícího pravidla:

a

ba b xx =

Zjednodušování odmocnin

Příklad 4:

Řešení:

Příklad 5:

Řešení:



Při zjednodušování součinu (resp. podílu) odmocnin se snažíme nejprve vše převést na stejnou odmocninu. Výsledek pak často musíme převést do základního tvaru, případně i částečně odmocnit.

Převedení odmocniny do základního tvaru- provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou a index u odmocnítka jsou čísla soudělná (tj. mají kromě jedničky společného dělitele). Postupujeme obdobně jako při krácení zlomků.

Příklad 6:

8 516 10 22 =Příklad 7:

2240 20 =

Částečné odmocnění- provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou je větší než index odmocnítka. Částečně odmocníme tak, že číslo pod odmocninou nejprve převedeme na součin, kde první činitel bude mít v exponentu nejbližší nižší násobek indexu odmocnítka k exponentu původní mocniny. Pak použijeme vzorec (1) a prvního činitele převedeme do základního tvaru.

Příklad 8:

4 338 68 248 6248 30 3.33.33.33 ===Příklad 9:

3 263 23 183 2183 206 40 2.22.22.222 ====Pokud potřebujeme zjednodušit součet nebo rozdíl odmocnin, snažíme se převést výpočet pomocí částečného odmocnění na odmocniny se stejným základem i stejným indexem.

Příklad 10:

3469683232624432126 +=+++=+++Usměrňování odmocnin- provádí se tehdy, pokud se odmocnina vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli jednočlen, provádíme jednoduché rozšíření zlomku členem, který se vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli dvojčlen, provádíme usměrnění tak, že rozšíříme zlomek tak, abychom ve jmenovateli mohli použít vzorec pro rozdíl čtverců. Vzniklý výraz pak zpravidla ještě dále zjednodušíme.

Příklad 11:

( )3

63

3.3

3.23

3

23 +=

+=

+

Příklad 12:



( )( )( )( ) 625

23

2623

23.23

23.23

23

23+=

-

++=

+-

++=

-

+

Druhá a třetí mocnina a odmocnina±

Určování druhé mocniny

Druhou mocninu jakéhokoliv čísla můžeme určit:

1. Výpočtem - a2 = a . a

2. Pomocí tabulek

n n2 n n2 n n2 n n21 1 251 63001 501 251001 751 5640012 4 252 63504 502 252004 752 5655043 9 253 64009 503 253009 753 5670094 16 254 64516 504 254016 754 5685165 25 255 65025 505 255025 755 5700256 36 256 65536 506 256036 756 5715367 49 257 66049 507 257049 757 5730498 64 258 66564 508 258064 758 5745649 81 259 67081 509 259081 759 57608110 100 260 67600 510 260100 760 57760011 121 261 68121 511 261121 761 57912112 144 262 68644 512 262144 762 58064413 169 263 69169 513 263169 763 58216914 196 264 69696 514 264196 764 58369615 225 265 70225 515 265225 765 58522516 256 266 70756 516 266256 766 58675617 289 267 71289 517 267289 767 58828918 324 268 71824 518 268324 768 58982419 361 269 72361 519 269361 769 59136120 400 270 72900 520 270400 770 59290021 441 271 73441 521 271441 771 59444122 484 272 73984 522 272484 772 59598423 529 273 74529 523 273529 773 59752924 576 274 75076 524 274576 774 59907625 625 275 75625 525 275625 775 60062526 676 276 76176 526 276676 776 60217627 729 277 76729 527 277729 777 60372928 784 278 77284 528 278784 778 60528429 841 279 77841 529 279841 779 60684130 900 280 78400 530 280900 780 60840031 961 281 78961 531 281961 781 60996132 1024 282 79524 532 283024 782 61152433 1089 283 80089 533 284089 783 61308934 1156 284 80656 534 285156 784 61465635 1225 285 81225 535 286225 785 61622536 1296 286 81796 536 287296 786 61779637 1369 287 82369 537 288369 787 61936938 1444 288 82944 538 289444 788 62094439 1521 289 83521 539 290521 789 62252140 1600 290 84100 540 291600 790 62410041 1681 291 84681 541 292681 791 62568142 1764 292 85264 542 293764 792 62726443 1849 293 85849 543 294849 793 628849



44 1936 294 86436 544 295936 794 63043645 2025 295 87025 545 297025 795 63202546 2116 296 87616 546 298116 796 63361647 2209 297 88209 547 299209 797 63520948 2304 298 88804 548 300304 798 63680449 2401 299 89401 549 301401 799 63840150 2500 300 90000 550 302500 800 64000051 2601 301 90601 551 303601 801 64160152 2704 302 91204 552 304704 802 64320453 2809 303 91809 553 305809 803 64480954 2916 304 92416 554 306916 804 64641655 3025 305 93025 555 308025 805 64802556 3136 306 93636 556 309136 806 64963657 3249 307 94249 557 310249 807 65124958 3364 308 94864 558 311364 808 65286459 3481 309 95481 559 312481 809 65448160 3600 310 96100 560 313600 810 65610061 3721 311 96721 561 314721 811 65772162 3844 312 97344 562 315844 812 65934463 3969 313 97969 563 316969 813 66096964 4096 314 98596 564 318096 814 66259665 4225 315 99225 565 319225 815 66422566 4356 316 99856 566 320356 816 66585667 4489 317 100489 567 321489 817 66748968 4624 318 101124 568 322624 818 66912469 4761 319 101761 569 323761 819 67076170 4900 320 102400 570 324900 820 67240071 5041 321 103041 571 326041 821 67404172 5184 322 103684 572 327184 822 67568473 5329 323 104329 573 328329 823 67732974 5476 324 104976 574 329476 824 67897675 5625 325 105625 575 330625 825 68062576 5776 326 106276 576 331776 826 68227677 5929 327 106929 577 332929 827 68392978 6084 328 107584 578 334084 828 68558479 6241 329 108241 579 335241 829 68724180 6400 330 108900 580 336400 830 68890081 6561 331 109561 581 337561 831 69056182 6724 332 110224 582 338724 832 69222483 6889 333 110889 583 339889 833 69388984 7056 334 111556 584 341056 834 69555685 7225 335 112225 585 342225 835 69722586 7396 336 112896 586 343396 836 69889687 7569 337 113569 587 344569 837 70056988 7744 338 114244 588 345744 838 70224489 7921 339 114921 589 346921 839 70392190 8100 340 115600 590 348100 840 70560091 8281 341 116281 591 349281 841 70728192 8464 342 116964 592 350464 842 70896493 8649 343 117649 593 351649 843 71064994 8836 344 118336 594 352836 844 71233695 9025 345 119025 595 354025 845 71402596 9216 346 119716 596 355216 846 71571697 9409 347 120409 597 356409 847 71740998 9604 348 121104 598 357604 848 71910499 9801 349 121801 599 358801 849 720801100 10000 350 122500 600 360000 850 722500101 10201 351 123201 601 361201 851 724201102 10404 352 123904 602 362404 852 725904103 10609 353 124609 603 363609 853 727609104 10816 354 125316 604 364816 854 729316105 11025 355 126025 605 366025 855 731025



106 11236 356 126736 606 367236 856 732736107 11449 357 127449 607 368449 857 734449108 11664 358 128164 608 369664 858 736164109 11881 359 128881 609 370881 859 737881110 12100 360 129600 610 372100 860 739600111 12321 361 130321 611 373321 861 741321112 12544 362 131044 612 374544 862 743044113 12769 363 131769 613 375769 863 744769114 12996 364 132496 614 376996 864 746496115 13225 365 133225 615 378225 865 748225116 13456 366 133956 616 379456 866 749956117 13689 367 134689 617 380689 867 751689118 13924 368 135424 618 381924 868 753424119 14161 369 136161 619 383161 869 755161120 14400 370 136900 620 384400 870 756900121 14641 371 137641 621 385641 871 758641122 14884 372 138384 622 386884 872 760384123 15129 373 139129 623 388129 873 762129124 15376 374 139876 624 389376 874 763876125 15625 375 140625 625 390625 875 765625126 15876 376 141376 626 391876 876 767376127 16129 377 142129 627 393129 877 769129128 16384 378 142884 628 394384 878 770884129 16641 379 143641 629 395641 879 772641130 16900 380 144400 630 396900 880 774400131 17161 381 145161 631 398161 881 776161132 17424 382 145924 632 399424 882 777924133 17689 383 146689 633 400689 883 779689134 17956 384 147456 634 401956 884 781456135 18225 385 148225 635 403225 885 783225136 18496 386 148996 636 404496 886 784996137 18769 387 149769 637 405769 887 786769138 19044 388 150544 638 407044 888 788544139 19321 389 151321 639 408321 889 790321140 19600 390 152100 640 409600 890 792100141 19881 391 152881 641 410881 891 793881142 20164 392 153664 642 412164 892 795664143 20449 393 154449 643 413449 893 797449144 20736 394 155236 644 414736 894 799236145 21025 395 156025 645 416025 895 801025146 21316 396 156816 646 417316 896 802816147 21609 397 157609 647 418609 897 804609148 21904 398 158404 648 419904 898 806404149 22201 399 159201 649 421201 899 808201150 22500 400 160000 650 422500 900 810000151 22801 401 160801 651 423801 901 811801152 23104 402 161604 652 425104 902 813604153 23409 403 162409 653 426409 903 815409154 23716 404 163216 654 427716 904 817216155 24025 405 164025 655 429025 905 819025156 24336 406 164836 656 430336 906 820836157 24649 407 165649 657 431649 907 822649158 24964 408 166464 658 432964 908 824464159 25281 409 167281 659 434281 909 826281160 25600 410 168100 660 435600 910 828100161 25921 411 168921 661 436921 911 829921162 26244 412 169744 662 438244 912 831744163 26569 413 170569 663 439569 913 833569164 26896 414 171396 664 440896 914 835396165 27225 415 172225 665 442225 915 837225166 27556 416 173056 666 443556 916 839056167 27889 417 173889 667 444889 917 840889



168 28224 418 174724 668 446224 918 842724169 28561 419 175561 669 447561 919 844561170 28900 420 176400 670 448900 920 846400171 29241 421 177241 671 450241 921 848241172 29584 422 178084 672 451584 922 850084173 29929 423 178929 673 452929 923 851929174 30276 424 179776 674 454276 924 853776175 30625 425 180625 675 455625 925 855625176 30976 426 181476 676 456976 926 857476177 31329 427 182329 677 458329 927 859329178 31684 428 183184 678 459684 928 861184179 32041 429 184041 679 461041 929 863041180 32400 430 184900 680 462400 930 864900181 32761 431 185761 681 463761 931 866761182 33124 432 186624 682 465124 932 868624183 33489 433 187489 683 466489 933 870489184 33856 434 188356 684 467856 934 872356185 34225 435 189225 685 469225 935 874225186 34596 436 190096 686 470596 936 876096187 34969 437 190969 687 471969 937 877969188 35344 438 191844 688 473344 938 879844189 35721 439 192721 689 474721 939 881721190 36100 440 193600 690 476100 940 883600191 36481 441 194481 691 477481 941 885481192 36864 442 195364 692 478864 942 887364193 37249 443 196249 693 480249 943 889249194 37636 444 197136 694 481636 944 891136195 38025 445 198025 695 483025 945 893025196 38416 446 198916 696 484416 946 894916197 38809 447 199809 697 485809 947 896809198 39204 448 200704 698 487204 948 898704199 39601 449 201601 699 488601 949 900601200 40000 450 202500 700 490000 950 902500201 40401 451 203401 701 491401 951 904401202 40804 452 204304 702 492804 952 906304203 41209 453 205209 703 494209 953 908209204 41616 454 206116 704 495616 954 910116205 42025 455 207025 705 497025 955 912025206 42436 456 207936 706 498436 956 913936207 42849 457 208849 707 499849 957 915849208 43264 458 209764 708 501264 958 917764209 43681 459 210681 709 502681 959 919681210 44100 460 211600 710 504100 960 921600211 44521 461 212521 711 505521 961 923521212 44944 462 213444 712 506944 962 925444213 45369 463 214369 713 508369 963 927369214 45796 464 215296 714 509796 964 929296215 46225 465 216225 715 511225 965 931225216 46656 466 217156 716 512656 966 933156217 47089 467 218089 717 514089 967 935089218 47524 468 219024 718 515524 968 937024219 47961 469 219961 719 516961 969 938961220 48400 470 220900 720 518400 970 940900221 48841 471 221841 721 519841 971 942841222 49284 472 222784 722 521284 972 944784223 49729 473 223729 723 522729 973 946729224 50176 474 224676 724 524176 974 948676225 50625 475 225625 725 525625 975 950625226 51076 476 226576 726 527076 976 952576227 51529 477 227529 727 528529 977 954529228 51984 478 228484 728 529984 978 956484229 52441 479 229441 729 531441 979 958441



230 52900 480 230400 730 532900 980 960400231 53361 481 231361 731 534361 981 962361232 53824 482 232324 732 535824 982 964324233 54289 483 233289 733 537289 983 966289234 54756 484 234256 734 538756 984 968256235 55225 485 235225 735 540225 985 970225236 55696 486 236196 736 541696 986 972196237 56169 487 237169 737 543169 987 974169238 56644 488 238144 738 544644 988 976144239 57121 489 239121 739 546121 989 978121240 57600 490 240100 740 547600 990 980100241 58081 491 241081 741 549081 991 982081242 58564 492 242064 742 550564 992 984064243 59049 493 243049 743 552049 993 986049244 59536 494 244036 744 553536 994 988036245 60025 495 245025 745 555025 995 990025246 60516 496 246016 746 556516 996 992016247 61009 497 247009 747 558009 997 994009248 61504 498 248004 748 559504 998 996004249 62001 499 249001 749 561001 999 998001250 62500 500 250000 750 562500 1000 1000000

U desetinných čísel pracujeme s číslem bez ohledu na desetinnou čárku (případně si ho zaokrouhlíme tak, aby se v číslu vyskytovaly nejvýše tři číslice - počítané od první nenulové zleva), ve výsledku oddělíme dvojnásobný počet desetinných míst než mělo původní zaokrouhlené číslo.

Příklad:

0,235 456 8972

- zaokrouhlíme:0,235

2

- určíme 2352 = 55 225

- oddělíme 6 desetinných míst, proto výsledek je 0,055 225

U velkých čísel pracujeme s číslem bez ohledu na nuly na konci (případně si ho zaokrouhlíme tak, aby číslice od čtvrté pozice zleva byly nulové), k výsledku připíšeme dvojnásobný počet nul než mělo původní zaokrouhlené číslo.

Příklad:

247 256 8952

- zaokrouhlíme:247 000 000

2

- určíme 2472 = 61 009

- připíšeme 12 nul, proto výsledek je 61 009 000 000 000 000

3. Na kalkulačce

Můžeme postupovat obdobným způsobem jako při určování z Tabulky, případně pokud máme dokonalejší kalkulačku, můžeme původní číslo zadat rovnou. Výsledek ale může kalkulačka udat např. (viz výše uvedený příklad) ve tvaru 6,1009 16, což ve skutečnosti znamená 6,100 9 . 10

16 a převedeno do klasického čísla tedy

musíme u čísla 6,100 9 posunout desetinnou čárku o 16 míst vpravo.Pozn.: Pokud je exponent záporný, posouváme desetinnou čárku vlevo. Týká se to umocňování velmi malých

desetinných čísel.

Určování druhé odmocniny

1. Pomocí tabulek

n 2. odm. n 2. odm. n 2. odm. n 2. odm.1 1 251 15,843 501 22,383 751 27,404



2 1,4142 252 15,875 502 22,405 752 27,4233 1,7321 253 15,906 503 22,428 753 27,4414 2 254 15,937 504 22,45 754 27,4595 2,2361 255 15,969 505 22,472 755 27,4776 2,4495 256 16 506 22,494 756 27,4967 2,6458 257 16,031 507 22,517 757 27,5148 2,8284 258 16,062 508 22,539 758 27,5329 3 259 16,094 509 22,561 759 27,5510 3,1623 260 16,125 510 22,583 760 27,56811 3,3166 261 16,156 511 22,605 761 27,58612 3,4641 262 16,186 512 22,627 762 27,60413 3,6056 263 16,217 513 22,65 763 27,62314 3,7417 264 16,248 514 22,672 764 27,64115 3,873 265 16,279 515 22,694 765 27,65916 4 266 16,31 516 22,716 766 27,67717 4,1231 267 16,34 517 22,738 767 27,69518 4,2426 268 16,371 518 22,76 768 27,71319 4,3589 269 16,401 519 22,782 769 27,73120 4,4721 270 16,432 520 22,804 770 27,74921 4,5826 271 16,462 521 22,825 771 27,76722 4,6904 272 16,492 522 22,847 772 27,78523 4,7958 273 16,523 523 22,869 773 27,80324 4,899 274 16,553 524 22,891 774 27,82125 5 275 16,583 525 22,913 775 27,83926 5,099 276 16,613 526 22,935 776 27,85727 5,1962 277 16,643 527 22,957 777 27,87528 5,2915 278 16,673 528 22,978 778 27,89329 5,3852 279 16,703 529 23 779 27,91130 5,4772 280 16,733 530 23,022 780 27,92931 5,5678 281 16,763 531 23,043 781 27,94632 5,6569 282 16,793 532 23,065 782 27,96433 5,7446 283 16,823 533 23,087 783 27,98234 5,831 284 16,852 534 23,108 784 2835 5,9161 285 16,882 535 23,13 785 28,01836 6 286 16,912 536 23,152 786 28,03637 6,0828 287 16,941 537 23,173 787 28,05438 6,1644 288 16,971 538 23,195 788 28,07139 6,245 289 17 539 23,216 789 28,08940 6,3246 290 17,029 540 23,238 790 28,10741 6,4031 291 17,059 541 23,259 791 28,12542 6,4807 292 17,088 542 23,281 792 28,14343 6,5574 293 17,117 543 23,302 793 28,1644 6,6332 294 17,146 544 23,324 794 28,17845 6,7082 295 17,176 545 23,345 795 28,19646 6,7823 296 17,205 546 23,367 796 28,21447 6,8557 297 17,234 547 23,388 797 28,23148 6,9282 298 17,263 548 23,409 798 28,24949 7 299 17,292 549 23,431 799 28,26750 7,0711 300 17,321 550 23,452 800 28,28451 7,1414 301 17,349 551 23,473 801 28,30252 7,2111 302 17,378 552 23,495 802 28,3253 7,2801 303 17,407 553 23,516 803 28,33754 7,3485 304 17,436 554 23,537 804 28,35555 7,4162 305 17,464 555 23,558 805 28,37356 7,4833 306 17,493 556 23,58 806 28,3957 7,5498 307 17,521 557 23,601 807 28,40858 7,6158 308 17,55 558 23,622 808 28,42559 7,6811 309 17,578 559 23,643 809 28,44360 7,746 310 17,607 560 23,664 810 28,46161 7,8102 311 17,635 561 23,685 811 28,47862 7,874 312 17,664 562 23,707 812 28,49663 7,9373 313 17,692 563 23,728 813 28,513



64 8 314 17,72 564 23,749 814 28,53165 8,0623 315 17,748 565 23,77 815 28,54866 8,124 316 17,776 566 23,791 816 28,56667 8,1854 317 17,805 567 23,812 817 28,58368 8,2462 318 17,833 568 23,833 818 28,60169 8,3066 319 17,861 569 23,854 819 28,61870 8,3666 320 17,889 570 23,875 820 28,63671 8,4261 321 17,917 571 23,896 821 28,65372 8,4853 322 17,944 572 23,917 822 28,67173 8,544 323 17,972 573 23,937 823 28,68874 8,6023 324 18 574 23,958 824 28,70575 8,6603 325 18,028 575 23,979 825 28,72376 8,7178 326 18,056 576 24 826 28,7477 8,775 327 18,083 577 24,021 827 28,75878 8,8318 328 18,111 578 24,042 828 28,77579 8,8882 329 18,138 579 24,062 829 28,79280 8,9443 330 18,166 580 24,083 830 28,8181 9 331 18,193 581 24,104 831 28,82782 9,0554 332 18,221 582 24,125 832 28,84483 9,1104 333 18,248 583 24,145 833 28,86284 9,1652 334 18,276 584 24,166 834 28,87985 9,2195 335 18,303 585 24,187 835 28,89686 9,2736 336 18,33 586 24,207 836 28,91487 9,3274 337 18,358 587 24,228 837 28,93188 9,3808 338 18,385 588 24,249 838 28,94889 9,434 339 18,412 589 24,269 839 28,96690 9,4868 340 18,439 590 24,29 840 28,98391 9,5394 341 18,466 591 24,311 841 2992 9,5917 342 18,493 592 24,331 842 29,01793 9,6437 343 18,52 593 24,352 843 29,03594 9,6954 344 18,547 594 24,372 844 29,05295 9,7468 345 18,574 595 24,393 845 29,06996 9,798 346 18,601 596 24,413 846 29,08697 9,8489 347 18,628 597 24,434 847 29,10398 9,8995 348 18,655 598 24,454 848 29,1299 9,9499 349 18,682 599 24,475 849 29,138100 10 350 18,708 600 24,495 850 29,155101 10,05 351 18,735 601 24,515 851 29,172102 10,1 352 18,762 602 24,536 852 29,189103 10,149 353 18,788 603 24,556 853 29,206104 10,198 354 18,815 604 24,576 854 29,223105 10,247 355 18,841 605 24,597 855 29,24106 10,296 356 18,868 606 24,617 856 29,258107 10,344 357 18,894 607 24,637 857 29,275108 10,392 358 18,921 608 24,658 858 29,292109 10,44 359 18,947 609 24,678 859 29,309110 10,488 360 18,974 610 24,698 860 29,326111 10,536 361 19 611 24,718 861 29,343112 10,583 362 19,026 612 24,739 862 29,36113 10,63 363 19,053 613 24,759 863 29,377114 10,677 364 19,079 614 24,779 864 29,394115 10,724 365 19,105 615 24,799 865 29,411116 10,77 366 19,131 616 24,819 866 29,428117 10,817 367 19,157 617 24,84 867 29,445118 10,863 368 19,183 618 24,86 868 29,462119 10,909 369 19,209 619 24,88 869 29,479120 10,955 370 19,235 620 24,9 870 29,496121 11 371 19,261 621 24,92 871 29,513122 11,045 372 19,287 622 24,94 872 29,53123 11,091 373 19,313 623 24,96 873 29,547124 11,136 374 19,339 624 24,98 874 29,564125 11,18 375 19,365 625 25 875 29,58



126 11,225 376 19,391 626 25,02 876 29,597127 11,269 377 19,417 627 25,04 877 29,614128 11,314 378 19,442 628 25,06 878 29,631129 11,358 379 19,468 629 25,08 879 29,648130 11,402 380 19,494 630 25,1 880 29,665131 11,446 381 19,519 631 25,12 881 29,682132 11,489 382 19,545 632 25,14 882 29,699133 11,533 383 19,57 633 25,16 883 29,715134 11,576 384 19,596 634 25,179 884 29,732135 11,619 385 19,621 635 25,199 885 29,749136 11,662 386 19,647 636 25,219 886 29,766137 11,705 387 19,672 637 25,239 887 29,783138 11,747 388 19,698 638 25,259 888 29,799139 11,79 389 19,723 639 25,278 889 29,816140 11,832 390 19,748 640 25,298 890 29,833141 11,874 391 19,774 641 25,318 891 29,85142 11,916 392 19,799 642 25,338 892 29,866143 11,958 393 19,824 643 25,357 893 29,883144 12 394 19,849 644 25,377 894 29,9145 12,042 395 19,875 645 25,397 895 29,917146 12,083 396 19,9 646 25,417 896 29,933147 12,124 397 19,925 647 25,436 897 29,95148 12,166 398 19,95 648 25,456 898 29,967149 12,207 399 19,975 649 25,476 899 29,983150 12,247 400 20 650 25,495 900 30151 12,288 401 20,025 651 25,515 901 30,017152 12,329 402 20,05 652 25,534 902 30,033153 12,369 403 20,075 653 25,554 903 30,05154 12,41 404 20,1 654 25,573 904 30,067155 12,45 405 20,125 655 25,593 905 30,083156 12,49 406 20,149 656 25,613 906 30,1157 12,53 407 20,174 657 25,632 907 30,116158 12,57 408 20,199 658 25,652 908 30,133159 12,61 409 20,224 659 25,671 909 30,15160 12,649 410 20,249 660 25,691 910 30,166161 12,689 411 20,273 661 25,71 911 30,183162 12,728 412 20,298 662 25,729 912 30,199163 12,767 413 20,322 663 25,749 913 30,216164 12,806 414 20,347 664 25,768 914 30,232165 12,845 415 20,372 665 25,788 915 30,249166 12,884 416 20,396 666 25,807 916 30,266167 12,923 417 20,421 667 25,826 917 30,282168 12,962 418 20,445 668 25,846 918 30,299169 13 419 20,47 669 25,865 919 30,315170 13,038 420 20,494 670 25,884 920 30,332171 13,077 421 20,518 671 25,904 921 30,348172 13,115 422 20,543 672 25,923 922 30,365173 13,153 423 20,567 673 25,942 923 30,381174 13,191 424 20,591 674 25,962 924 30,397175 13,229 425 20,616 675 25,981 925 30,414176 13,267 426 20,64 676 26 926 30,43177 13,304 427 20,664 677 26,019 927 30,447178 13,342 428 20,688 678 26,038 928 30,463179 13,379 429 20,712 679 26,058 929 30,48180 13,416 430 20,736 680 26,077 930 30,496181 13,454 431 20,761 681 26,096 931 30,512182 13,491 432 20,785 682 26,115 932 30,529183 13,528 433 20,809 683 26,134 933 30,545184 13,565 434 20,833 684 26,153 934 30,561185 13,602 435 20,857 685 26,173 935 30,578186 13,638 436 20,881 686 26,192 936 30,594187 13,675 437 20,905 687 26,211 937 30,611



188 13,711 438 20,928 688 26,23 938 30,627189 13,748 439 20,952 689 26,249 939 30,643190 13,784 440 20,976 690 26,268 940 30,659191 13,82 441 21 691 26,287 941 30,676192 13,856 442 21,024 692 26,306 942 30,692193 13,892 443 21,048 693 26,325 943 30,708194 13,928 444 21,071 694 26,344 944 30,725195 13,964 445 21,095 695 26,363 945 30,741196 14 446 21,119 696 26,382 946 30,757197 14,036 447 21,142 697 26,401 947 30,773198 14,071 448 21,166 698 26,42 948 30,79199 14,107 449 21,19 699 26,439 949 30,806200 14,142 450 21,213 700 26,458 950 30,822201 14,177 451 21,237 701 26,476 951 30,838202 14,213 452 21,26 702 26,495 952 30,855203 14,248 453 21,284 703 26,514 953 30,871204 14,283 454 21,307 704 26,533 954 30,887205 14,318 455 21,331 705 26,552 955 30,903206 14,353 456 21,354 706 26,571 956 30,919207 14,388 457 21,378 707 26,59 957 30,935208 14,422 458 21,401 708 26,608 958 30,952209 14,457 459 21,424 709 26,627 959 30,968210 14,491 460 21,448 710 26,646 960 30,984211 14,526 461 21,471 711 26,665 961 31212 14,56 462 21,494 712 26,683 962 31,016213 14,595 463 21,517 713 26,702 963 31,032214 14,629 464 21,541 714 26,721 964 31,048215 14,663 465 21,564 715 26,74 965 31,064216 14,697 466 21,587 716 26,758 966 31,081217 14,731 467 21,61 717 26,777 967 31,097218 14,765 468 21,633 718 26,796 968 31,113219 14,799 469 21,656 719 26,814 969 31,129220 14,832 470 21,68 720 26,833 970 31,145221 14,866 471 21,703 721 26,851 971 31,161222 14,9 472 21,726 722 26,87 972 31,177223 14,933 473 21,749 723 26,889 973 31,193224 14,967 474 21,772 724 26,907 974 31,209225 15 475 21,795 725 26,926 975 31,225226 15,033 476 21,817 726 26,944 976 31,241227 15,067 477 21,84 727 26,963 977 31,257228 15,1 478 21,863 728 26,982 978 31,273229 15,133 479 21,886 729 27 979 31,289230 15,166 480 21,909 730 27,019 980 31,305231 15,199 481 21,932 731 27,037 981 31,321232 15,232 482 21,955 732 27,056 982 31,337233 15,264 483 21,977 733 27,074 983 31,353234 15,297 484 22 734 27,092 984 31,369235 15,33 485 22,023 735 27,111 985 31,385236 15,362 486 22,045 736 27,129 986 31,401237 15,395 487 22,068 737 27,148 987 31,417238 15,427 488 22,091 738 27,166 988 31,433239 15,46 489 22,113 739 27,185 989 31,448240 15,492 490 22,136 740 27,203 990 31,464241 15,524 491 22,159 741 27,221 991 31,48242 15,556 492 22,181 742 27,24 992 31,496243 15,589 493 22,204 743 27,258 993 31,512244 15,621 494 22,226 744 27,276 994 31,528245 15,653 495 22,249 745 27,295 995 31,544246 15,684 496 22,271 746 27,313 996 31,56247 15,716 497 22,294 747 27,331 997 31,575248 15,748 498 22,316 748 27,35 998 31,591249 15,78 499 22,338 749 27,368 999 31,607



250 15,811 500 22,361 750 27,386 1000 31,623

Máme-li číslo velmi malé, pak ho zaokrouhlíme tak, aby počet číslic od první nenulové zleva byl nejvýše tři a zároveň celkový počet desetinných míst u zaokrouhleného čísla byl sudý. Pak určíme druhou odmocninu ze vzniklého čísla bez ohledu na desetinnou čárku. Ve výsledku nakonec posuneme desetinnou čárku o tolik míst vlevo, kolik představuje polovina počtu desetinných míst u zaokrouhleného čísla.

Příklad:

Určete Ö0,000 000 246 897 458- zaokrouhlíme na Ö0,000 000 25- určíme Ö25 = 5- posuneme desetinnou čárku o 4 místa vlevo, proto výsledek je 0,000 5

Máme-li číslo naopak hodně velké, zaokrouhlíme ho tak, aby mělo od čtvrté pozice zleva určitě samé nuly a zároveň aby počet nul byl sudý (pokud to nelze dosáhnout, zaokrouhlíme tak, aby už na třetí pozici zleva byla nula). Pak určíme druhou odmocninu z čísla, které vznikne po pomyslném oddělení sudého počtu nul a ve výsledku posuneme desetinnou čárku doprava o tolik míst, kolik představuje polovina počtu oddělených nul.

Příklad:

Určete Ö249 123 456 789- zaokrouhlíme na Ö250 000 000 000- určíme Ö25 = 5,00- posuneme desetinnou čárku o 5 míst vpravo, proto výsledek je 500 000

2. Pomocí kalkulačky

- postup lze použít opět stejný jako při určování z Tabulek, opět ale musíme vzít v úvahu, že kalkulačka může vytvořit výsledek ve tvaru c. 10

n.

Určování třetí mocniny

Postupy jsou stejné jako u druhé mocniny, pouze nebereme dvojnásobek nul nebo desetinných míst, ale trojnásobek.

n n3 n n3 n n3 n n3 1 1 251 15813251 501 125751501 751 4235647512 8 252 16003008 502 126506008 752 4252590083 27 253 16194277 503 127263527 753 4269577774 64 254 16387064 504 128024064 754 4286610645 125 255 16581375 505 128787625 755 4303688756 216 256 16777216 506 129554216 756 4320812167 343 257 16974593 507 130323843 757 4337980938 512 258 17173512 508 131096512 758 4355195129 729 259 17373979 509 131872229 759 43724547910 1000 260 17576000 510 132651000 760 43897600011 1331 261 17779581 511 133432831 761 44071108112 1728 262 17984728 512 134217728 762 44245072813 2197 263 18191447 513 135005697 763 44419494714 2744 264 18399744 514 135796744 764 44594374415 3375 265 18609625 515 136590875 765 44769712516 4096 266 18821096 516 137388096 766 44945509617 4913 267 19034163 517 138188413 767 45121766318 5832 268 19248832 518 138991832 768 45298483219 6859 269 19465109 519 139798359 769 45475660920 8000 270 19683000 520 140608000 770 45653300021 9261 271 19902511 521 141420761 771 45831401122 10648 272 20123648 522 142236648 772 46009964823 12167 273 20346417 523 143055667 773 46188991724 13824 274 20570824 524 143877824 774 463684824



25 15625 275 20796875 525 144703125 775 46548437526 17576 276 21024576 526 145531576 776 46728857627 19683 277 21253933 527 146363183 777 46909743328 21952 278 21484952 528 147197952 778 47091095229 24389 279 21717639 529 148035889 779 47272913930 27000 280 21952000 530 148877000 780 47455200031 29791 281 22188041 531 149721291 781 47637954132 32768 282 22425768 532 150568768 782 47821176833 35937 283 22665187 533 151419437 783 48004868734 39304 284 22906304 534 152273304 784 48189030435 42875 285 23149125 535 153130375 785 48373662536 46656 286 23393656 536 153990656 786 48558765637 50653 287 23639903 537 154854153 787 48744340338 54872 288 23887872 538 155720872 788 48930387239 59319 289 24137569 539 156590819 789 49116906940 64000 290 24389000 540 157464000 790 49303900041 68921 291 24642171 541 158340421 791 49491367142 74088 292 24897088 542 159220088 792 49679308843 79507 293 25153757 543 160103007 793 49867725744 85184 294 25412184 544 160989184 794 50056618445 91125 295 25672375 545 161878625 795 50245987546 97336 296 25934336 546 162771336 796 50435833647 103823 297 26198073 547 163667323 797 50626157348 110592 298 26463592 548 164566592 798 50816959249 117649 299 26730899 549 165469149 799 51008239950 125000 300 27000000 550 166375000 800 51200000051 132651 301 27270901 551 167284151 801 51392240152 140608 302 27543608 552 168196608 802 51584960853 148877 303 27818127 553 169112377 803 51778162754 157464 304 28094464 554 170031464 804 51971846455 166375 305 28372625 555 170953875 805 52166012556 175616 306 28652616 556 171879616 806 52360661657 185193 307 28934443 557 172808693 807 52555794358 195112 308 29218112 558 173741112 808 52751411259 205379 309 29503629 559 174676879 809 52947512960 216000 310 29791000 560 175616000 810 53144100061 226981 311 30080231 561 176558481 811 53341173162 238328 312 30371328 562 177504328 812 53538732863 250047 313 30664297 563 178453547 813 53736779764 262144 314 30959144 564 179406144 814 53935314465 274625 315 31255875 565 180362125 815 54134337566 287496 316 31554496 566 181321496 816 54333849667 300763 317 31855013 567 182284263 817 54533851368 314432 318 32157432 568 183250432 818 54734343269 328509 319 32461759 569 184220009 819 54935325970 343000 320 32768000 570 185193000 820 55136800071 357911 321 33076161 571 186169411 821 55338766172 373248 322 33386248 572 187149248 822 55541224873 389017 323 33698267 573 188132517 823 55744176774 405224 324 34012224 574 189119224 824 55947622475 421875 325 34328125 575 190109375 825 56151562576 438976 326 34645976 576 191102976 826 56355997677 456533 327 34965783 577 192100033 827 56560928378 474552 328 35287552 578 193100552 828 56766355279 493039 329 35611289 579 194104539 829 56972278980 512000 330 35937000 580 195112000 830 57178700081 531441 331 36264691 581 196122941 831 57385619182 551368 332 36594368 582 197137368 832 57593036883 571787 333 36926037 583 198155287 833 57800953784 592704 334 37259704 584 199176704 834 58009370485 614125 335 37595375 585 200201625 835 58218287586 636056 336 37933056 586 201230056 836 584277056



87 658503 337 38272753 587 202262003 837 58637625388 681472 338 38614472 588 203297472 838 58848047289 704969 339 38958219 589 204336469 839 59058971990 729000 340 39304000 590 205379000 840 59270400091 753571 341 39651821 591 206425071 841 59482332192 778688 342 40001688 592 207474688 842 59694768893 804357 343 40353607 593 208527857 843 59907710794 830584 344 40707584 594 209584584 844 60121158495 857375 345 41063625 595 210644875 845 60335112596 884736 346 41421736 596 211708736 846 60549573697 912673 347 41781923 597 212776173 847 60764542398 941192 348 42144192 598 213847192 848 60980019299 970299 349 42508549 599 214921799 849 611960049100 1000000 350 42875000 600 216000000 850 614125000101 1030301 351 43243551 601 217081801 851 616295051102 1061208 352 43614208 602 218167208 852 618470208103 1092727 353 43986977 603 219256227 853 620650477104 1124864 354 44361864 604 220348864 854 622835864105 1157625 355 44738875 605 221445125 855 625026375106 1191016 356 45118016 606 222545016 856 627222016107 1225043 357 45499293 607 223648543 857 629422793108 1259712 358 45882712 608 224755712 858 631628712109 1295029 359 46268279 609 225866529 859 633839779110 1331000 360 46656000 610 226981000 860 636056000111 1367631 361 47045881 611 228099131 861 638277381112 1404928 362 47437928 612 229220928 862 640503928113 1442897 363 47832147 613 230346397 863 642735647114 1481544 364 48228544 614 231475544 864 644972544115 1520875 365 48627125 615 232608375 865 647214625116 1560896 366 49027896 616 233744896 866 649461896117 1601613 367 49430863 617 234885113 867 651714363118 1643032 368 49836032 618 236029032 868 653972032119 1685159 369 50243409 619 237176659 869 656234909120 1728000 370 50653000 620 238328000 870 658503000121 1771561 371 51064811 621 239483061 871 660776311122 1815848 372 51478848 622 240641848 872 663054848123 1860867 373 51895117 623 241804367 873 665338617124 1906624 374 52313624 624 242970624 874 667627624125 1953125 375 52734375 625 244140625 875 669921875126 2000376 376 53157376 626 245314376 876 672221376127 2048383 377 53582633 627 246491883 877 674526133128 2097152 378 54010152 628 247673152 878 676836152129 2146689 379 54439939 629 248858189 879 679151439130 2197000 380 54872000 630 250047000 880 681472000131 2248091 381 55306341 631 251239591 881 683797841132 2299968 382 55742968 632 252435968 882 686128968133 2352637 383 56181887 633 253636137 883 688465387134 2406104 384 56623104 634 254840104 884 690807104135 2460375 385 57066625 635 256047875 885 693154125136 2515456 386 57512456 636 257259456 886 695506456137 2571353 387 57960603 637 258474853 887 697864103138 2628072 388 58411072 638 259694072 888 700227072139 2685619 389 58863869 639 260917119 889 702595369140 2744000 390 59319000 640 262144000 890 704969000141 2803221 391 59776471 641 263374721 891 707347971142 2863288 392 60236288 642 264609288 892 709732288143 2924207 393 60698457 643 265847707 893 712121957144 2985984 394 61162984 644 267089984 894 714516984145 3048625 395 61629875 645 268336125 895 716917375146 3112136 396 62099136 646 269586136 896 719323136147 3176523 397 62570773 647 270840023 897 721734273148 3241792 398 63044792 648 272097792 898 724150792



149 3307949 399 63521199 649 273359449 899 726572699150 3375000 400 64000000 650 274625000 900 729000000151 3442951 401 64481201 651 275894451 901 731432701152 3511808 402 64964808 652 277167808 902 733870808153 3581577 403 65450827 653 278445077 903 736314327154 3652264 404 65939264 654 279726264 904 738763264155 3723875 405 66430125 655 281011375 905 741217625156 3796416 406 66923416 656 282300416 906 743677416157 3869893 407 67419143 657 283593393 907 746142643158 3944312 408 67917312 658 284890312 908 748613312159 4019679 409 68417929 659 286191179 909 751089429160 4096000 410 68921000 660 287496000 910 753571000161 4173281 411 69426531 661 288804781 911 756058031162 4251528 412 69934528 662 290117528 912 758550528163 4330747 413 70444997 663 291434247 913 761048497164 4410944 414 70957944 664 292754944 914 763551944165 4492125 415 71473375 665 294079625 915 766060875166 4574296 416 71991296 666 295408296 916 768575296167 4657463 417 72511713 667 296740963 917 771095213168 4741632 418 73034632 668 298077632 918 773620632169 4826809 419 73560059 669 299418309 919 776151559170 4913000 420 74088000 670 300763000 920 778688000171 5000211 421 74618461 671 302111711 921 781229961172 5088448 422 75151448 672 303464448 922 783777448173 5177717 423 75686967 673 304821217 923 786330467174 5268024 424 76225024 674 306182024 924 788889024175 5359375 425 76765625 675 307546875 925 791453125176 5451776 426 77308776 676 308915776 926 794022776177 5545233 427 77854483 677 310288733 927 796597983178 5639752 428 78402752 678 311665752 928 799178752179 5735339 429 78953589 679 313046839 929 801765089180 5832000 430 79507000 680 314432000 930 804357000181 5929741 431 80062991 681 315821241 931 806954491182 6028568 432 80621568 682 317214568 932 809557568183 6128487 433 81182737 683 318611987 933 812166237184 6229504 434 81746504 684 320013504 934 814780504185 6331625 435 82312875 685 321419125 935 817400375186 6434856 436 82881856 686 322828856 936 820025856187 6539203 437 83453453 687 324242703 937 822656953188 6644672 438 84027672 688 325660672 938 825293672189 6751269 439 84604519 689 327082769 939 827936019190 6859000 440 85184000 690 328509000 940 830584000191 6967871 441 85766121 691 329939371 941 833237621192 7077888 442 86350888 692 331373888 942 835896888193 7189057 443 86938307 693 332812557 943 838561807194 7301384 444 87528384 694 334255384 944 841232384195 7414875 445 88121125 695 335702375 945 843908625196 7529536 446 88716536 696 337153536 946 846590536197 7645373 447 89314623 697 338608873 947 849278123198 7762392 448 89915392 698 340068392 948 851971392199 7880599 449 90518849 699 341532099 949 854670349200 8000000 450 91125000 700 343000000 950 857375000201 8120601 451 91733851 701 344472101 951 860085351202 8242408 452 92345408 702 345948408 952 862801408203 8365427 453 92959677 703 347428927 953 865523177204 8489664 454 93576664 704 348913664 954 868250664205 8615125 455 94196375 705 350402625 955 870983875206 8741816 456 94818816 706 351895816 956 873722816207 8869743 457 95443993 707 353393243 957 876467493208 8998912 458 96071912 708 354894912 958 879217912209 9129329 459 96702579 709 356400829 959 881974079210 9261000 460 97336000 710 357911000 960 884736000



211 9393931 461 97972181 711 359425431 961 887503681212 9528128 462 98611128 712 360944128 962 890277128213 9663597 463 99252847 713 362467097 963 893056347214 9800344 464 99897344 714 363994344 964 895841344215 9938375 465 100544625 715 365525875 965 898632125216 10077696 466 101194696 716 367061696 966 901428696217 10218313 467 101847563 717 368601813 967 904231063218 10360232 468 102503232 718 370146232 968 907039232219 10503459 469 103161709 719 371694959 969 909853209220 10648000 470 103823000 720 373248000 970 912673000221 10793861 471 104487111 721 374805361 971 915498611222 10941048 472 105154048 722 376367048 972 918330048223 11089567 473 105823817 723 377933067 973 921167317224 11239424 474 106496424 724 379503424 974 924010424225 11390625 475 107171875 725 381078125 975 926859375226 11543176 476 107850176 726 382657176 976 929714176227 11697083 477 108531333 727 384240583 977 932574833228 11852352 478 109215352 728 385828352 978 935441352229 12008989 479 109902239 729 387420489 979 938313739230 12167000 480 110592000 730 389017000 980 941192000231 12326391 481 111284641 731 390617891 981 944076141232 12487168 482 111980168 732 392223168 982 946966168233 12649337 483 112678587 733 393832837 983 949862087234 12812904 484 113379904 734 395446904 984 952763904235 12977875 485 114084125 735 397065375 985 955671625236 13144256 486 114791256 736 398688256 986 958585256237 13312053 487 115501303 737 400315553 987 961504803238 13481272 488 116214272 738 401947272 988 964430272239 13651919 489 116930169 739 403583419 989 967361669240 13824000 490 117649000 740 405224000 990 970299000241 13997521 491 118370771 741 406869021 991 973242271242 14172488 492 119095488 742 408518488 992 976191488243 14348907 493 119823157 743 410172407 993 979146657244 14526784 494 120553784 744 411830784 994 982107784245 14706125 495 121287375 745 413493625 995 985074875246 14886936 496 122023936 746 415160936 996 988047936247 15069223 497 122763473 747 416832723 997 991026973248 15252992 498 123505992 748 418508992 998 994011992249 15438249 499 124251499 749 420189749 999 997002999250 15625000 500 125000000 750 421875000 1000 1000000000

Určování třetí odmocniny

Postup je opět stejný jako u určování druhé odmocniny, pouze s tím rozdílem, že číslo zaokrouhlujeme tak, abychom měli počet nul nebo počet desetinných míst, který odpovídá libovolnému celočíselnému násobku čísla 3.

n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm.1 1,0000 101 4,6570 201 5,8578 301 6,7018 401 7,37422 1,2599 102 4,6723 202 5,8675 302 6,7092 402 7,38033 1,4422 103 4,6875 203 5,8771 303 6,7166 403 7,38644 1,5874 104 4,7027 204 5,8868 304 6,7240 404 7,39255 1,7100 105 4,7177 205 5,8964 305 6,7313 405 7,39866 1,8171 106 4,7326 206 5,9059 306 6,7387 406 7,40477 1,9129 107 4,7475 207 5,9155 307 6,7460 407 7,41088 2,0000 108 4,7622 208 5,9250 308 6,7533 408 7,41699 2,0801 109 4,7769 209 5,9345 309 6,7606 409 7,422910 2,1544 110 4,7914 210 5,9439 310 6,7679 410 7,429011 2,2240 111 4,8059 211 5,9533 311 6,7752 411 7,435012 2,2894 112 4,8203 212 5,9627 312 6,7824 412 7,441013 2,3513 113 4,8346 213 5,9721 313 6,7897 413 7,4470



14 2,4101 114 4,8488 214 5,9814 314 6,7969 414 7,453015 2,4662 115 4,8629 215 5,9907 315 6,8041 415 7,459016 2,5198 116 4,8770 216 6,0000 316 6,8113 416 7,465017 2,5713 117 4,8910 217 6,0092 317 6,8185 417 7,471018 2,6207 118 4,9049 218 6,0185 318 6,8256 418 7,477019 2,6684 119 4,9187 219 6,0277 319 6,8328 419 7,482920 2,7144 120 4,9324 220 6,0368 320 6,8399 420 7,488921 2,7589 121 4,9461 221 6,0459 321 6,8470 421 7,494822 2,8020 122 4,9597 222 6,0550 322 6,8541 422 7,500723 2,8439 123 4,9732 223 6,0641 323 6,8612 423 7,506724 2,8845 124 4,9866 224 6,0732 324 6,8683 424 7,512625 2,9240 125 5,0000 225 6,0822 325 6,8753 425 7,518526 2,9625 126 5,0133 226 6,0912 326 6,8824 426 7,524427 3,0000 127 5,0265 227 6,1002 327 6,8894 427 7,530228 3,0366 128 5,0397 228 6,1091 328 6,8964 428 7,536129 3,0723 129 5,0528 229 6,1180 329 6,9034 429 7,542030 3,1072 130 5,0658 230 6,1269 330 6,9104 430 7,547831 3,1414 131 5,0788 231 6,1358 331 6,9174 431 7,553732 3,1748 132 5,0916 232 6,1446 332 6,9244 432 7,559533 3,2075 133 5,1045 233 6,1534 333 6,9313 433 7,565434 3,2396 134 5,1172 234 6,1622 334 6,9382 434 7,571235 3,2711 135 5,1299 235 6,1710 335 6,9451 435 7,577036 3,3019 136 5,1426 236 6,1797 336 6,9521 436 7,582837 3,3322 137 5,1551 237 6,1885 337 6,9589 437 7,588638 3,3620 138 5,1676 238 6,1972 338 6,9658 438 7,594439 3,3912 139 5,1801 239 6,2058 339 6,9727 439 7,600140 3,4200 140 5,1925 240 6,2145 340 6,9795 440 7,605941 3,4482 141 5,2048 241 6,2231 341 6,9864 441 7,611742 3,4760 142 5,2171 242 6,2317 342 6,9932 442 7,617443 3,5034 143 5,2293 243 6,2403 343 7,0000 443 7,623244 3,5303 144 5,2415 244 6,2488 344 7,0068 444 7,628945 3,5569 145 5,2536 245 6,2573 345 7,0136 445 7,634646 3,5830 146 5,2656 246 6,2658 346 7,0203 446 7,640347 3,6088 147 5,2776 247 6,2743 347 7,0271 447 7,646048 3,6342 148 5,2896 248 6,2828 348 7,0338 448 7,651749 3,6593 149 5,3015 249 6,2912 349 7,0406 449 7,657450 3,6840 150 5,3133 250 6,2996 350 7,0473 450 7,663151 3,7084 151 5,3251 251 6,3080 351 7,0540 451 7,668852 3,7325 152 5,3368 252 6,3164 352 7,0607 452 7,674453 3,7563 153 5,3485 253 6,3247 353 7,0674 453 7,680154 3,7798 154 5,3601 254 6,3330 354 7,0740 454 7,685755 3,8030 155 5,3717 255 6,3413 355 7,0807 455 7,691456 3,8259 156 5,3832 256 6,3496 356 7,0873 456 7,697057 3,8485 157 5,3947 257 6,3579 357 7,0940 457 7,702658 3,8709 158 5,4061 258 6,3661 358 7,1006 458 7,708259 3,8930 159 5,4175 259 6,3743 359 7,1072 459 7,713860 3,9149 160 5,4288 260 6,3825 360 7,1138 460 7,719461 3,9365 161 5,4401 261 6,3907 361 7,1204 461 7,725062 3,9579 162 5,4514 262 6,3988 362 7,1269 462 7,730663 3,9791 163 5,4626 263 6,4070 363 7,1335 463 7,736264 4,0000 164 5,4737 264 6,4151 364 7,1400 464 7,741865 4,0207 165 5,4848 265 6,4232 365 7,1466 465 7,747366 4,0412 166 5,4959 266 6,4312 366 7,1531 466 7,752967 4,0615 167 5,5069 267 6,4393 367 7,1596 467 7,758468 4,0817 168 5,5178 268 6,4473 368 7,1661 468 7,763969 4,1016 169 5,5288 269 6,4553 369 7,1726 469 7,769570 4,1213 170 5,5397 270 6,4633 370 7,1791 470 7,775071 4,1408 171 5,5505 271 6,4713 371 7,1855 471 7,780572 4,1602 172 5,5613 272 6,4792 372 7,1920 472 7,786073 4,1793 173 5,5721 273 6,4872 373 7,1984 473 7,791574 4,1983 174 5,5828 274 6,4951 374 7,2048 474 7,797075 4,2172 175 5,5934 275 6,5030 375 7,2112 475 7,8025



76 4,2358 176 5,6041 276 6,5108 376 7,2177 476 7,807977 4,2543 177 5,6147 277 6,5187 377 7,2240 477 7,813478 4,2727 178 5,6252 278 6,5265 378 7,2304 478 7,818879 4,2908 179 5,6357 279 6,5343 379 7,2368 479 7,824380 4,3089 180 5,6462 280 6,5421 380 7,2432 480 7,829781 4,3267 181 5,6567 281 6,5499 381 7,2495 481 7,835282 4,3445 182 5,6671 282 6,5577 382 7,2558 482 7,840683 4,3621 183 5,6774 283 6,5654 383 7,2622 483 7,846084 4,3795 184 5,6877 284 6,5731 384 7,2685 484 7,851485 4,3968 185 5,6980 285 6,5808 385 7,2748 485 7,856886 4,4140 186 5,7083 286 6,5885 386 7,2811 486 7,862287 4,4310 187 5,7185 287 6,5962 387 7,2874 487 7,867688 4,4480 188 5,7287 288 6,6039 388 7,2936 488 7,873089 4,4647 189 5,7388 289 6,6115 389 7,2999 489 7,878490 4,4814 190 5,7489 290 6,6191 390 7,3061 490 7,883791 4,4979 191 5,7590 291 6,6267 391 7,3124 491 7,889192 4,5144 192 5,7690 292 6,6343 392 7,3186 492 7,894493 4,5307 193 5,7790 293 6,6419 393 7,3248 493 7,899894 4,5468 194 5,7890 294 6,6494 394 7,3310 494 7,905195 4,5629 195 5,7989 295 6,6569 395 7,3372 495 7,910596 4,5789 196 5,8088 296 6,6644 396 7,3434 496 7,915897 4,5947 197 5,8186 297 6,6719 397 7,3496 497 7,921198 4,6104 198 5,8285 298 6,6794 398 7,3558 498 7,926499 4,6261 199 5,8383 299 6,6869 399 7,3619 499 7,9317100 4,6416 200 5,8480 300 6,6943 400 7,3681 500 7,9370

n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm.501 7,9423 601 8,4390 701 8,8833 801 9,2870 901 9,6585502 7,9476 602 8,4437 702 8,8875 802 9,2909 902 9,6620503 7,9528 603 8,4484 703 8,8917 803 9,2948 903 9,6656504 7,9581 604 8,4530 704 8,8959 804 9,2986 904 9,6692505 7,9634 605 8,4577 705 8,9001 805 9,3025 905 9,6727506 7,9686 606 8,4623 706 8,9043 806 9,3063 906 9,6763507 7,9739 607 8,4670 707 8,9085 807 9,3102 907 9,6799508 7,9791 608 8,4716 708 8,9127 808 9,3140 908 9,6834509 7,9843 609 8,4763 709 8,9169 809 9,3179 909 9,6870510 7,9896 610 8,4809 710 8,9211 810 9,3217 910 9,6905511 7,9948 611 8,4856 711 8,9253 811 9,3255 911 9,6941512 8,0000 612 8,4902 712 8,9295 812 9,3294 912 9,6976513 8,0052 613 8,4948 713 8,9337 813 9,3332 913 9,7012514 8,0104 614 8,4994 714 8,9378 814 9,3370 914 9,7047515 8,0156 615 8,5040 715 8,9420 815 9,3408 915 9,7082516 8,0208 616 8,5086 716 8,9462 816 9,3447 916 9,7118517 8,0260 617 8,5132 717 8,9503 817 9,3485 917 9,7153518 8,0311 618 8,5178 718 8,9545 818 9,3523 918 9,7188519 8,0363 619 8,5224 719 8,9587 819 9,3561 919 9,7224520 8,0415 620 8,5270 720 8,9628 820 9,3599 920 9,7259521 8,0466 621 8,5316 721 8,9670 821 9,3637 921 9,7294522 8,0517 622 8,5362 722 8,9711 822 9,3675 922 9,7329523 8,0569 623 8,5408 723 8,9752 823 9,3713 923 9,7364524 8,0620 624 8,5453 724 8,9794 824 9,3751 924 9,7400525 8,0671 625 8,5499 725 8,9835 825 9,3789 925 9,7435526 8,0723 626 8,5544 726 8,9876 826 9,3827 926 9,7470527 8,0774 627 8,5590 727 8,9918 827 9,3865 927 9,7505528 8,0825 628 8,5635 728 8,9959 828 9,3902 928 9,7540529 8,0876 629 8,5681 729 9,0000 829 9,3940 929 9,7575530 8,0927 630 8,5726 730 9,0041 830 9,3978 930 9,7610531 8,0978 631 8,5772 731 9,0082 831 9,4016 931 9,7645532 8,1028 632 8,5817 732 9,0123 832 9,4053 932 9,7680533 8,1079 633 8,5862 733 9,0164 833 9,4091 933 9,7715534 8,1130 634 8,5907 734 9,0205 834 9,4129 934 9,7750



535 8,1180 635 8,5952 735 9,0246 835 9,4166 935 9,7785536 8,1231 636 8,5997 736 9,0287 836 9,4204 936 9,7819537 8,1281 637 8,6043 737 9,0328 837 9,4241 937 9,7854538 8,1332 638 8,6088 738 9,0369 838 9,4279 938 9,7889539 8,1382 639 8,6132 739 9,0410 839 9,4316 939 9,7924540 8,1433 640 8,6177 740 9,0450 840 9,4354 940 9,7959541 8,1483 641 8,6222 741 9,0491 841 9,4391 941 9,7993542 8,1533 642 8,6267 742 9,0532 842 9,4429 942 9,8028543 8,1583 643 8,6312 743 9,0572 843 9,4466 943 9,8063544 8,1633 644 8,6357 744 9,0613 844 9,4503 944 9,8097545 8,1683 645 8,6401 745 9,0654 845 9,4541 945 9,8132546 8,1733 646 8,6446 746 9,0694 846 9,4578 946 9,8167547 8,1783 647 8,6490 747 9,0735 847 9,4615 947 9,8201548 8,1833 648 8,6535 748 9,0775 848 9,4652 948 9,8236549 8,1882 649 8,6579 749 9,0816 849 9,4690 949 9,8270550 8,1932 650 8,6624 750 9,0856 850 9,4727 950 9,8305551 8,1982 651 8,6668 751 9,0896 851 9,4764 951 9,8339552 8,2031 652 8,6713 752 9,0937 852 9,4801 952 9,8374553 8,2081 653 8,6757 753 9,0977 853 9,4838 953 9,8408554 8,2130 654 8,6801 754 9,1017 854 9,4875 954 9,8443555 8,2180 655 8,6845 755 9,1057 855 9,4912 955 9,8477556 8,2229 656 8,6890 756 9,1098 856 9,4949 956 9,8511557 8,2278 657 8,6934 757 9,1138 857 9,4986 957 9,8546558 8,2327 658 8,6978 758 9,1178 858 9,5023 958 9,8580559 8,2377 659 8,7022 759 9,1218 859 9,5060 959 9,8614560 8,2426 660 8,7066 760 9,1258 860 9,5097 960 9,8648561 8,2475 661 8,7110 761 9,1298 861 9,5134 961 9,8683562 8,2524 662 8,7154 762 9,1338 862 9,5171 962 9,8717563 8,2573 663 8,7198 763 9,1378 863 9,5207 963 9,8751564 8,2621 664 8,7241 764 9,1418 864 9,5244 964 9,8785565 8,2670 665 8,7285 765 9,1458 865 9,5281 965 9,8819566 8,2719 666 8,7329 766 9,1498 866 9,5317 966 9,8854567 8,2768 667 8,7373 767 9,1537 867 9,5354 967 9,8888568 8,2816 668 8,7416 768 9,1577 868 9,5391 968 9,8922569 8,2865 669 8,7460 769 9,1617 869 9,5427 969 9,8956570 8,2913 670 8,7503 770 9,1657 870 9,5464 970 9,8990571 8,2962 671 8,7547 771 9,1696 871 9,5501 971 9,9024572 8,3010 672 8,7590 772 9,1736 872 9,5537 972 9,9058573 8,3059 673 8,7634 773 9,1775 873 9,5574 973 9,9092574 8,3107 674 8,7677 774 9,1815 874 9,5610 974 9,9126575 8,3155 675 8,7721 775 9,1855 875 9,5647 975 9,9160576 8,3203 676 8,7764 776 9,1894 876 9,5683 976 9,9194577 8,3251 677 8,7807 777 9,1933 877 9,5719 977 9,9227578 8,3300 678 8,7850 778 9,1973 878 9,5756 978 9,9261579 8,3348 679 8,7893 779 9,2012 879 9,5792 979 9,9295580 8,3396 680 8,7937 780 9,2052 880 9,5828 980 9,9329581 8,3443 681 8,7980 781 9,2091 881 9,5865 981 9,9363582 8,3491 682 8,8023 782 9,2130 882 9,5901 982 9,9396583 8,3539 683 8,8066 783 9,2170 883 9,5937 983 9,9430584 8,3587 684 8,8109 784 9,2209 884 9,5973 984 9,9464585 8,3634 685 8,8152 785 9,2248 885 9,6010 985 9,9497586 8,3682 686 8,8194 786 9,2287 886 9,6046 986 9,9531587 8,3730 687 8,8237 787 9,2326 887 9,6082 987 9,9565588 8,3777 688 8,8280 788 9,2365 888 9,6118 988 9,9598589 8,3825 689 8,8323 789 9,2404 889 9,6154 989 9,9632590 8,3872 690 8,8366 790 9,2443 890 9,6190 990 9,9666591 8,3919 691 8,8408 791 9,2482 891 9,6226 991 9,9699592 8,3967 692 8,8451 792 9,2521 892 9,6262 992 9,9733593 8,4014 693 8,8493 793 9,2560 893 9,6298 993 9,9766594 8,4061 694 8,8536 794 9,2599 894 9,6334 994 9,9800595 8,4108 695 8,8578 795 9,2638 895 9,6370 995 9,9833596 8,4155 696 8,8621 796 9,2677 896 9,6406 996 9,9866



597 8,4202 697 8,8663 797 9,2716 897 9,6442 997 9,9900598 8,4249 698 8,8706 798 9,2754 898 9,6477 998 9,9933599 8,4296 699 8,8748 799 9,2793 899 9,6513 999 9,9967600 8,4343 700 8,8790 800 9,2832 900 9,6549 1000 10,0000

Mocniny a odmocniny - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

576

2.

Výsledek:

589

3. Vypočti:2,8.10

-4 + 4,6.10

-5 + 5,4.10

-6 + 5,8.10

-5 - 1,5.10

-4

2,4.10-4Výsledek:

527

4. Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl:

ababa ..3.2

0,0,6. ³³ baaabVýsledek:

536

5.

10Výsledek:

587

6.

Výsledek:

579



7. (7,8.104)12

5,1.1058Výsledek:

531


32

2

32 25

9:

3

5

ba

cd

c

ab

0,0,0,0,.3

53

2

2

>>>> dcbad

b

c

aVýsledek:

541

9. Vypočti:2,9.10

14 : (3,8.10

12)

7,6.101Výsledek:

521

10.

Výsledek:

582

11. Vypočti:2,4.10

12 + 3,5.10

16 + 4,5.10

13

3,5.1016Výsledek:

524

12.

Výsledek:

581

13. Zjednodušte:

31334636123 33 -+-

37363 -Výsledek:

538

14. Zjednodušte:

9

71

4/3Výsledek:

540



15. Vypočti:(2,6.10

8)-5

8,4.10-43Výsledek:

528

16.

Výsledek:

584

17. Vyjádřete jako jedinou odmocninu:

125,04.55.32.23

54000Výsledek:

539

18.

Výsledek:

591

19.

Výsledek:

586

20. Vyjádři jedinou odmocninou a urči podmínky řešitelnosti:

3 3.y

x

y

x

0,94

4

¹yy

xVýsledek:

545




3 103 8721119 .8.27 abbacba

0,0,0,.3.6 3 210116 ³³³ cbaaabccbaVýsledek:

537

22.

Výsledek:

583

23. Vypočti:2,4.10

5 . 6,5.10

45

1,56.1051Výsledek:

516

24. Proveďte:

( ) ( )23:632233 ---+

63 +Výsledek:

543

25.

Výsledek:

577

26.

Výsledek:

592

27. Vypočti:7,1.10

-43 . 2,9.10

56

2,1.1014Výsledek:

519



28. Vypočti:7,4.10

15 + 2,8.10

14 + 5,6.10

15 - 3,9.10

14

1,3.1016Výsledek:

526

29.

Výsledek:

585

30. Vypočti:6,4.10

15 : (2,1.10

18)

3,0.10-3Výsledek:

520

31.

Výsledek:

590

32. Vypočti:6,7.10

-9 : (1,6.10

15)

4,2.10-24Výsledek:

522

33. Vypočti:(4,5.10

-5)6

8,3.10-27Výsledek:

530

34. Vypočti:2,4.10

25 + 1,5.10

23 - 1,5.10

22 + 4,5.10

24

2,9.1025Výsledek:

525

35. Vypočti:2,6.10

-26 . 1,8.10

65

4,7.1039Výsledek:

518

36.

Výsledek:

580



37.

Výsledek:

578

38. Proveďte:

( ) 3:15764326 -+-

5724232 -+-Výsledek:

542

39. Vypočti:1,8.10

-26 : (3,6.10

-45)

5,1.1018Výsledek:

523

40. Vypočti:6,8.10

5 . 4,8.10

14

3,3.1020Výsledek:

517

41. Vypočti:(4,5.10

15)-2

4,9.10-32Výsledek:

529

42. Vyjádři jedinou odmocninou:

3 5

6 5Výsledek:

544

43.

Výsledek:

588

Funkce±

Funkce je přiřazení, které každému prvku nějaké zadané množiny M přiřazuje právě jedno reální číslo.

Množinu M nazýváme definiční obor - značíme D, případně D(f)



Reálná čísla, která jsou takto přiřazena, nám tvoří další množinu, kterou nazýváme obor hodnot funkce - značíme H, případně H(f).

Funkce může být zadána různými způsoby:• tabulkou

x 1 2 3 4 5 6 7 8y 8 12 14 16 20 4 8 24

• spojnicovým diagramem

• rovnicí

y = 2x + 5

• grafem

Definiční obor funkce±

Určování definičního oboru funkce je trochu podobná činnost jako určování podmínek řešitelnosti u lomených výrazů. Musíme tedy vždy určit, pro jaká čísla funkce nenabývá žádné funkční hodnoty - jinými slovy, pro jaké hodnoty nezávisle proměnné neexistuje odpovídající závisle proměnná.



Z uvedeného tedy vyplývá, že pokud má být definiční obor funkce jiný než celá množina reálných čísel, je to zpravidla tehdy, pokud se v rovnici, představující zápis funkce, vyskytuje proměnná ve jmenovateli, pod sudou odmocninou, za logaritmem, apod.

Definiční obor funkce f zapisujeme:D(f) = RD(f) = (-¥; 0>D(f) = {2; 6; 8}D(f) = R \ {0}Při zápisu tedy používáme označení číselných oborů, intervaly, případně množiny.

Funkce - procvičovací příklady±

1. Určete, zda jde o zápis funkce:y = 2x

2 + 6

AnoVýsledek:

598

2. Určete definiční obor D(f) funkce f:

)11(6 2 +-= xxyD(f) = { }Výsledek:

619

3. Určete, zda jde o graf funkce:

NeVýsledek:

602

4.

Výsledek:

626

5. Určete definiční obor funkce f:

)3).(12( +-= xxyx Î (-¥; -3> È <0,5; +¥)Výsledek:

621



6. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 2 6 7 8y 1 3 4 2

AnoVýsledek:

595

7.

Výsledek:

629


NeVýsledek:

601

9. Určete definiční obor D(f) funkce f:

4 2xy =D(f) = RVýsledek:

618

10.

Výsledek:

622

11.

Výsledek:

627




NeVýsledek:

600

13.

Výsledek:

630

14.

Výsledek:

625


AnoVýsledek:

599



16.

Výsledek:

631

17.

22 33 xxy -+-=x Î {± Ö3} Výsledek:

623

18. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x * o # $y 1 3 3 2

AnoVýsledek:

593

19.

Výsledek:

624

20.

Výsledek:

628

21. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 5 4 6 8y * o # $

NeVýsledek:

597

22. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 2 6 2 8y 1 3 4 2

NeVýsledek:

594

23. Určete definiční obor D(t) funkce f:

x

xy

56 -=

D(f) = <0; 6/5>Výsledek:

620



24. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x * o # oy 1 3 3 2

NeVýsledek:

596

Vlastnosti funkce±

1. Funkce rostoucí, klesající a konstantní

Funkce je rostoucí, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá i vyšší funkční hodnoty. Jinými slovy plati:" (x2 > x1) Î D Þ f(x2) > f(x1)Příkladem rostoucí funkce je y = 2x + 5

Funkce je klesající, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá nižší funkční hodnoty. Jinými slovy plati:" (x2 > x1) Î D Þ f(x2) < f(x1)Příkladem klesající funkce je y = -2x + 3

Funkce je konstantní, jestliže pro libovolné dvě hodnoty nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá vždy stejné funkční hodnoty. Jinými slovy plati:" (x2 ¹ x1) Î D Þ f(x2) = f(x1)Příkladem konstantní funkce je y = 6

Pozn.: Graf funkce rostoucí jde "do kopce", graf funkce klesající "jde z kopce", graf funkce konstantní je přímka (nebo její část) rovnoběžná s osou x.

Pozn.: Funkce nerostoucí a funkce neklesající.

2. Funkce sudá a funkce lichá

Funkce je sudá, jestliže pro " x Î D platí, že f(x) = f(-x)Graf funkce sudé je vždy osově souměrný podle osy y.Příklad sudé funkce: y = 2x

2

Funkce je lichá, jestliže pro " x Î D platí, že f(-x) = -f(x)Graf funkce liché je vždy středově souměrný podle počátku.Příklad liché funkce: y = 2x

3

3. Funkce periodická

Periodická je taková funkce, která ve svém definičním oboru nabývá pravidelně se opakující hodnoty.Příklad periodické funkce: y = sin x

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Průsečíky s osami u funkcí

Průsečíky se souřadnicovými osami určíme tak, že vždy řešíme příslušnou rovnici.

Příklad:Je dána funkce y = 2x - 3Určete průsečík X s osou x a průsečík Y s osou y.



Řešení:1. Průsečík s osou x. Jedná se vlastně o bod ležící na ose x, tedy o bod, který má souřadnici y rovnu 0.Proto 2x - 3 = 0 a po vyřešení rovnice dostáváme x = 1,5Bod X[1,5; 0]2. Průsečík s osou y. Jedná se vlastně o bod ležící na ose y, tedy o bod, který má souřadnici x rovnu 0.Proto y = 2.0 - 3 = -3Bod Y[0; -3]

Vlastnosti funkce - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

640

2.

Výsledek:

633

3.

Výsledek:

638

4.

Výsledek:

641

5.

Výsledek:

632

6.

Výsledek:

642

7.

Výsledek:

634

8.

Výsledek:

635



9.

Výsledek:

639

10.

Výsledek:

637

11.

Výsledek:

636

Lineární funkce±

Lineární funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Grafem lineární funkce je přímka (nebo její část).

Definičním oborem každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla.Oborem hodnot každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla.

Průsečíky grafu lineární funkce s osami:1. s osou x:- v tomto případě je druhá souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za y = 0 a vypočteme první souřadnici průsečíku s osou x.Příklad:Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou x.

Řešení:Hledaný bod X[x; y]Dosadíme za y = 0, proto 0 = 2x - 1Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme x = 0,5

Závěr: Hledaný průsečík je X[0.5; 0].



2. s osou y:- v tomto případě je první souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za x = 0 a vypočteme druhou souřadnici průsečíků s osou y.Příklad:Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou y.

Řešení:Hledaný bod Y[x;y]Dosadíme za x = 0, proto y = 2.0 - 1Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme y = -1

Závěr: Hledaný průsečík je Y[0; -1].

Zvláštní případy lineární funkce:1. Je-li v rovnici lineární funkce číslo a = 0, pak y = 0. x + b, neboli y = b

- jedná se o tzv. konstantní funkci- grafem je přímka, která je rovnoběžná s osou x

2. Je-li v rovnici lineární funkce číslo b = 0, pak y = ax + 0, neboli y = ax- jedná se o přímou úměrnost- grafem je přímka (nebo její část), která vždy prochází počátkem souřadného systému

Vlastnosti lineární funkce:

1. Lineární funkce je rostoucí, je-li a > 0.2. Lineární funkce je klesající, je-li a < 0.Číslo a se také někdy nazývá směrnice přímky.

Pozn.: Je-li a = 0, je funkce konstantní, tedy nerostoucí i neklesající.

Určení rovnice lineární funkce ze zadaných bodů



Vzhledem k tomu, že víme, že grafem lineární funkce je přímka, a přímka je vždy jednoznačně určena dvěma body, stačí nám pro zadání lineární funkce její dva body. Jedním z těchto bodů může být klidně některý z průsečíků s osami, případně i počátek souřadného systému.

Příklad:Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[2; 3], B[-1; 2]

Řešení:Obecná rovnice je y = ax + b. Dosadíme do ní postupně souřadnice obou bodů:3 = 2a + b2 = -a + b------------------Dostali jsme soustavu rovnic, kterou vyřešíme sčítací nebo dosazovací metodou.Já použiji např. sčítací:První rovnici opíšu, druhou vynásobím dvěma:3 = 2a + b4 = -2a + 2b------------------Obě rovnice sečtu:7 = 3bb = 7/3Vrátím se k původním rovnicím a tentokráte opět první rovnici opíšu a druhou vynásobím (-1):3 = 2a + b-2 = a - b------------------Opět obě rovnice sečtu:1 = 3aa = 1/3Dosadíme zpět do původní obecné rovnice lineární funkce a dostaneme:

3

7

3

1+= xy

Tím jsme stanovili rovnici lineární funkce, která oběma body prochází.

Grafické řešení soustavy lineárních rovnic

Obě rovnice převedeme do tvaru y = ax + b a sestrojíme grafy obou nově vzniklých funkcí. Souřadnice průsečíku těchto funkcí představují řešení původní soustavy lineárních rovnic.

Lineární funkce - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

679



2.

Výsledek:

669

3.

Výsledek:

682

4.

Výsledek:

667



5.

Výsledek:

676

6.

Výsledek:

674

7.

Výsledek:

671



8.

Výsledek:

673

9.

Výsledek:

675

10.

Výsledek:

672



11.

Výsledek:

668

12.

Výsledek:

678

13.

Výsledek:

670

14.

Výsledek:

680



15.

Výsledek:

677

16.

Výsledek:

681

Kvadratická funkce±

Kvadratická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a číslo a ¹

0.

Grafem kvadratické funkce je parabola (nebo její část).

Graf kvadratické funkce

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5x

y

Definičním oborem kvadratické funkce jsou všechna reálná čísla.

Je-li číslo a > 0, pak má funkce minimum (viz horní obrázek), je-li a < 0, pak má funkce maximum.



Graf kvadratické funkce

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

xy

Názvy členů funkce:

ax2 ... kvadratický člen

bx ... lineární členc ... absolutní člen

I. Kvadratická funkce bez lineárního a bez absolutního členu

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2

- definičním oborem jsou všechna reálná čísla- oborem hodnot je interval <0; +¥ ), je-li a > 0 a interval (-¥; 0> je-li a < 0 - souřadnice maxima (resp. minima): M[0; 0]- graf tedy protíná obě osy v počátku souřadného systému- čím je absolutní hodnota čísla a větší, tím je graf užší, sevřenější.

II. Kvadratická funkce bez lineárního členu

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2 + c

- definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla- oborem hodnot je interval: pro a > 0 ... <c; +¥) pro a < 0 ... (-¥; c>- souřadnice maxima (resp. minima): M[0; c]- graf tedy protíná osu y v bodě, který nazýváme maximum (resp. minimum)- je-li c > 0 a zároveň a < 0 nebo c < 0 a zároveň a > 0, pak graf protíná i osu x, a to ve dvou bodech, které

jsou osově souměrné podle osy y. Souřadnice průsečíků s osou x mají v tomto případě souřadnice:

úû

ùêë

é -0;1

a

cX

úû

ùêë

é -- 0;2

a

cX

III. Kvadratická funkce se všemi členy

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2 + bx + c

- definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla

Příklad.: Je dána funkce y = 2x2 + 3x + 4. Určete, zda má funkce maximum nebo minimum, zjistěte jeho

souřadnice a určete souřadnice průsečíků s oběma osami.

Řešení: Zda má funkce maximum nebo minimum, to rozhodneme podle čísla a. Vzhledem k tomu, že a = 2, což je větší než nula, má funkce minimum. Jeho souřadnice určíme tzv. doplněním na čtverec. Postup:

1. Vytkneme číslo a ... y = 2.(x2 + 1,5x + 2)

2. Podíváme se, jaké znaménko je u lineárního členu a podle toho rozhodneme, zda použijeme vzorec (A+B)2

nebo (A-B)2. V tomto případě použijeme ten první.

3. Z kvadratického členu u trojčlenu v závorce určíme číslo A. V tomto případě je tedy x.



4. Z lineárního členu u trojčlenu v závorce určíme číslo B. V tomto případě je tedy 0,755. Použijeme vzorec a dostaneme y = 2.[(x + 0,75)

2 - 0,75

2 + 2] Pozn. 0,75

2 odečítáme proto, aby nebyla

porušena rovnost, protože jsme to zahrnuli do závorky6. Odstraníme hranatou závorku roznásobením číslem a: y = 2.(x + 0,75)

2 + 2,875

7. Určíme souřadnice hledaného minima: M[-0,75; 2,875] Všimněme si, že první souřadnici určujeme vždy s opačným znaménkem než má člen v závorce a naopak u druhé souřadnice zůstává znaménko zachováno.

Určení průsečíků s osami:a) s osou x V tomto případě y = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme x 2x

2 + 3x + 4 = 0

Diskriminant D = 32 - 4.2.4 = 9 - 32 = -23

Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení a neexistují tedy průsečíky s osou x.

b) s osou y V tomto případě x = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme y y = 2.0

2 + 3.0 + 4 = 4

Hledané souřadnice tedy jsou Y[0; 4]Pokud máme souřadnice průsečíků a souřadnice extrému (tj. minima nebo maxima), pak můžeme snadno určit průběh grafu a graf tedy načrtnout. Číslo 2 před závorkou nám ještě říká, že graf bude trochu užší.

Ačkoliv to nebylo úkolem, můžeme nyní i určit obor hodnot funkce zadané v předcházejícím příkladu. Je to jednoduché. Funkce má minimum, tedy hodnoty se nedostanou pod druhou souřadnici tohoto bodu. Oborem hodnot je tedy interval <2,875; +¥)

Kvadratická funkce - procvičovací příklady±

1.

Platí - viz graf

Výsledek:

706

2.

Výsledek:

708



3.

Výsledek:

711

4.

Výsledek:

713

5.

Výsledek:

698



6.

Výsledek:

700

7.

Výsledek:

703

8.

Výsledek:

714



9.

Existuje - viz graf

Výsledek:

705

10.

Výsledek:

707

11.

Neexistuje - viz graf

Výsledek:

704

12.

Výsledek:

715



13.

Výsledek:

697

14.

Výsledek:

710

15.

Výsledek:

709



16.

Výsledek:

702

17.

Výsledek:

712

18.

Výsledek:

701



19.

Výsledek:

699

Mocninné funkce±

Mocninné funkce

Mocninná funkce je taková funkce, ve které se vyskytuje obecně člen xn

A. Uvažujme, že n je přirozené číslo:

Nejjednodušším případem je funkce y = xn.

Vlastnosti mocninné funkce y = xn:

1. Pro n - sudé:• funkce je zdola omezená• definičním oborem jsou všechna reálná čísla• oborem hodnot je interval <0; +¥)• funkce je sudá• funkce je rostoucí v intervalu (0; +¥)• funkce je klesající v intervalu (-¥; 0)• graf funkce je souměrný podle osy y• grafem je parabola

2. Pro n - liché (n ¹ 1):• funkce není ani zdola, ani shora omezená• definičním oborem jsou všechna reálná čísla• funkce je v celém definičním oboru rostoucí• oborem hodnot jsou všechna reálná čísla• graf funkce je středově souměrný podle počátku• grafem je kubická parabola

Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = xn + c, pak je graf tvarově shodný s grafem funkce y = x

n, avšak je

posunutý ve směru osy y o hodnotu c.

Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = (x - a)n, pak graf je tvarově shodný s grafem funkce y = x

n, avšak je

posunutý ve směru osy x o hodnotu a.

Pozn.: Logicky lze odvodit, že graf může být posunut současně ve směru obou os.

B. Nyní uvažujme, že číslo n je záporné celé číslo

Nejjednodušším případem je funkce y = x-n, kde n je přirozené číslo



Vlastnosti mocninné funkce y = x-n, kde n Î N

1. Pro n - sudé:• definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0• oborem hodnot jsou všechna kladná reálná čísla• v záporné části definičního oboru je funkce rostoucí, v kladné části definičního oboru je funkce klesající• graf funkce je souměrný podle osy y

2. Pro n - liché:• definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0• oborem hodnot jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0• funkce je v celém definičním oboru klesající• graf funkce je souměrný podle počátku

Pozn.: I v tomto případě můžeme funkci různě modifikovat posouváním ve směru osy y, ve směru osy x, případně ve směru obou os.

Mocninné funkce - procvičovací příklady±

1. Načrtněte graf funkce y = (x - 1)-3

Výsledek:

753

2. Načrtněte graf funkce y = (1 - x)3

Výsledek:

756



3.

Výsledek:

754

4.

Výsledek:

751

5.

Výsledek:

755



6. Načrtněte graf funkce y = x-3 - 1

Výsledek:

752

Rovnice±

Co je rovnice

Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů.

př.: 2x + 5 = 7x - 3

Písmeno zapsané v rovnici nazýváme neznámá. Pokud určíme hodnotu neznámé, získáváme tzv. řešení rovnice nebo též kořen rovnice.

Rovnice můžeme mít s jednou neznámou, se dvěma neznámými, s parametrem, s absolutní hodnotou; rovnice mohou být lineární, kvadratické, kubické, exponenciální, logaritmické, apod. Zabývat se budeme i řešením soustav rovnic, což je zápis dvou nebo více rovnic, zpravidla o dvou nebo více neznámých, přičemž všechny rovnice platí současně.

Ekvivalentní úpravy rovnic

1. ekvivalentní úprava

K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (resp. odečíst) stejné číslo. př.: 2x + 3 = 7 - 3x /+3x 5x + 3 = 7Pozn.: V praxi se nejedná o nic jiného než o poznatek, který nám říká, že při převodu členu obsaženého v

součtu nebo v rozdílu z jedné strany rovnice na druhou měníme u tohoto členu znaménko.

2. ekvivalentní úprava

Obě strany rovnice můžeme vynásobit, případně vydělit stejným číslem různým od nuly. př.: 8x = 24 /:8 x = 3

Pozn.: Pokud se u rovnic vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme před zahájením řešení stanovit podmínky řešitelnosti.

Pozn.: Zatím se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, což jsou takové rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině.

Pozn.: Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je nepravdivá rovnost (nerovnost), pak daná rovnice nemá řešení. Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je pravdivá rovnost, pak daná rovnice má nekonečně mnoho řešení; řešením jsou pak všechna reálná čísla, jedná-li se o rovnici bez neznámé ve



jmenovateli anebo všechna reálná čísla s výjimkou těch, která odporují podmínce řešitelnosti, jedná-li se o rovnici s neznámou ve jmenovateli.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Řešení jednoduchých rovnic- ukázkové příklady

Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

Příklad 3:

Řešení:



Příklad 4:

Řešení:

x = 9/7

Příklad 5:

Řešení:

Lineární rovnice - procvičovací příklady±

1.

-1Výsledek:

844

2.

-2Výsledek:

819



3.

Nemá smyslVýsledek:

769

4.

3

1-

Výsledek:

840

5.

13Výsledek:

830

6.

3

2Výsledek:

805

7.

Výsledek:

770

8.

0,5Výsledek:

815

9.

13Výsledek:

829



10.

-2,5Výsledek:

834

11.

6

1-

Výsledek:

807

12.

Nemá řešeníVýsledek:

768

13.

3

4Výsledek:

828

14.

10Výsledek:

822

15.

1,2Výsledek:

759



16.

0Výsledek:

850

17.

0,5Výsledek:

841

18.

4Výsledek:

777

19.


773

20.

3Výsledek:

820

21.

0,5Výsledek:

842

22.

3Výsledek:

821



23.

Všechna reálná číslaVýsledek:

849

24.

4Výsledek:

835

25.

5Výsledek:

810

26.

-1,2Výsledek:

823

27.

-5Výsledek:

832

28.

8Výsledek:

761

29.

2Výsledek:

814



30. ( ) ( )xx

x

x

x 1112

2

3

3

=+

-+

-0,5Výsledek:

764

31.

5Výsledek:

758

32.

3Výsledek:

767

33.

2Výsledek:

762

34.

0,5Výsledek:

809

35.

1Výsledek:

774

36.

5Výsledek:

808



37.

12Výsledek:

837

38.

-4Výsledek:

766

39.

-0,5Výsledek:

833

40.

-0,5Výsledek:

827

41.

Nekonečně mnoho řešeníVýsledek:

775

42.

-1Výsledek:

813

43.

0Výsledek:

843



44.

3

1-

Výsledek:

845

45.

8Výsledek:

763

46.

-10Výsledek:

812

47.

14Výsledek:

772

48.

10Výsledek:

817



49.

-5Výsledek:

846

50. ( ) ( ) ( ) 11101123232

-+-=--- xxxx

1Výsledek:

760

51.

2Výsledek:

824

52.

-9Výsledek:

847

53.

87Výsledek:

838

54.

6Výsledek:

818

55.

-0,5Výsledek:

811

56.

-33Výsledek:

771



57.

-1Výsledek:

839

58.

-4Výsledek:

831

59.

5Výsledek:

826

60.

-1Výsledek:

757

61.

-1Výsledek:

806

62.

3

1Výsledek:

825

63.

11Výsledek:

836



64.

-12Výsledek:

765

65.


776

66.

1Výsledek:

816

67.

0,1Výsledek:

848

Rovnice s absolutní hodnotou±

Rovnice s absolutní hodnotou je taková rovnice, která ve svém zadání obsahuje jednu nebo více absolutních hodnot. I v tomto případě se může jednat jak o rovnici lineární, tak o rovnici kvadratickou.

Připomeňme si:

Absolutní hodnota kladného čísla je kladné číslo. - př. ê5ê= 5Absolutní hodnota nuly je nula. - př.: ê0ê= 0Absolutní hodnota záporného čísla je kladné číslo. - př.: ê-6ê=+6Dále platí: êaê= a ... pro a > 0 êaê= -a ... pro a < 0 êaê= 0 ... pro a = 0

Postup při řešení lineárních rovnic s absolutní hodnotou:

1. Stanovíme tzv. nulové body, tj. určíme čísla, pro něž jsou zadané absolutní hodnoty nulové.2. Nulové body znázorníme na číselné ose.3. Z číselné osy vytvoříme - za pomoci zakreslených nulových bodů - intervaly, které užijeme v dalším řešení; mezní bod je

výhodnější vztahovat do "vyššího" intervalu.



4. Vytvoříme si tabulku, kde sloupečky představují jednotlivé intervaly a řádky zadané absolutní hodnoty; do tabulky vyznačíme, zda příslušná hodnota nabývá v daném intervalu kladné hodnoty nebo záporné hodnoty.

5. Řešíme rovnici pro jednotlivé typy intervalů, absolutní hodnoty odstraňujeme tak, že pokud nabývá v zadaném intervalu kladné hodnoty, přeměníme ji na závorku a pokud nabývá záporné hodnoty, též ji přeměníme na závorku, avšak změníme znaménka všech členů v závorce na opačná. Kořen rovnice vždy konzultujeme, zda vyhovuje zadanému intervalu; pokud ne, kořen je v tomto případě neplatný. Pokud v některém intervalu vyjde závěr "nekonečně mnoho řešení", pak řešením této části rovnice je zadaný interval, v němž jsme řešili.

6. Všechna vzniklá řešení sloučíme do množiny, případně intervalů.

Ukázkové příklady:

Příklad 1:

Řešení:

Nulové body: -1; 0; 1; 2

xÎ (-¥; -1) xÎ <-1; 0) xÎ <0; 1) xÎ <1; 2) xÎ <2; +¥)êx+ 1ê - + + + +

êxê - - + + +êx - 1ê - - - + +êx - 2ê - - - - +

1. Řešení pro xÎ (-¥; -1)

(-x - 1) - (-x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2-x - 1 + x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2-2x = 4x = -2 ... zadanému intervalu vyhovuje

2. Řešení pro xÎ <-1; 0)

(x + 1) - (-x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2x + 1 + x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 20 = 2 ... nemá řešení

3. Řešení pro xÎ <0; 1)

(x + 1) - (x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2x + 1 - x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2-2x = 2x = -1 ... zadanému intervalu nevyhovuje

4. Řešení pro xÎ <1; 2)

(x + 1) - (x) + 3.(x - 1) = 2.(-x + 2) + x + 2x + 1 - x + 3x - 3 = -2x + 4 + x + 24x = 8x = 2 ... zadanému intervalu nevyhovuje

5. Řešení pro xÎ <2; +¥)

(x + 1) - (x) + 3.(x - 1) = 2.(x - 2) + x + 2x + 1 - x + 3x - 3 = 2x - 4 + x + 20 = 0 ... řešení xÎ <2; +¥)

Celkový závěr: x Î {-2} È <2; +¥)



Příklad 2:

Řešení:

Nulovým bodem je číslo 3.

1. Řešení pro xÎ (-¥; 3)

( )1

412

412=

-

-

a

a

12 - 4a = 12 - 4a0 = 0 ... řešením je xÎ (-¥; 3)

2. Řešení pro xÎ (3; +¥) (Interval je otevřený vzhledem k podmínce řešitelnosti)

( )1

412

412=

-

+-

a

a

-12 + 4a = 12 - 4a8a = 24a = 3 ... nevyhovuje zadanému intervalu

Celkový závěr: xÎ (-¥; 3)

Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

856

2.

Výsledek:

859



3.


851

4.

Výsledek:

866

5.

0,5Výsledek:

863

6.

Výsledek:

860

7.

Výsledek:

855

8.

-2Výsledek:

862

9.

Výsledek:

865

10.

Výsledek:

857



11.

Výsledek:

861

12.


864

13.

Výsledek:

854

14.

Výsledek:

867

15.

Výsledek:

853

16.

Výsledek:

858

17.

Výsledek:

852

Rovnice s parametrem±

Rovnice s parametrem

Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.).

Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru.

Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět nebudeme.




Příklad 1:

Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x.

m . (x - 1) = x + m

Řešení:

Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku:

mx - m = x + mmx - x = 2m

Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku:x . (m - 1) = 2m

Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m ¹ 1

1

2

-=

m

mx

Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m:

Příklad 2:

Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y:

ym

-=-

52

3

Řešení:

Za podmínky m ¹ 2 můžeme odstarnit zlomek:3 = (5 - y) . (m - 2)Roznásobíme závorky:3 = 5m - 10 - my + 2yNa levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající:my - 2y = 5m - 13Na levé straně rovnice vytkneme y:y . (m - 2) = 5m - 13Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno:

2

135

-

-=

m

myProvedeme diskusi vzhledem k parametru:



Příklad 3:

Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x:(x + 3) . (x - c) = x

2 +3c - 18

Řešení:

x2 - cx + 3x - 3c = x

2 + 3c - 18

3x - cx = 6c - 18x . (3 - c) = 6 . (c - 3)Celou rovnici vydělíme (3 - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ 3:x = -6Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

Příklad 4:

Řešení:

Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky:12y + 16y - 18y = 5m - 10my10y + 10my = 5mCelou rovnici vydělíme číslem 5:2y + 2my = m2y . (1 + m) = mUvážíme-li m ¹ -1, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit:

)1.(2 m

my

+=

Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

Rovnice s parametrem - procvičovací příklady±



1.

Rovnice nemá smysl.Výsledek:

971

2.

Výsledek:

969

3.

Výsledek:

972

4.

Výsledek:

981



5.

Výsledek:

975

6.

Výsledek:

982

7.

Výsledek:

970

8.

Výsledek:

967



9.

Výsledek:

979

10.

Výsledek:

984

11.

Výsledek:

973

12.

Výsledek:

977

13.

( )1412

23+=- x

aax

Výsledek:

978



14.

Výsledek:

976

15.

Výsledek:

974

16.

Výsledek:

968

17.

Výsledek:

966



18.

Výsledek:

980

19.

Výsledek:

983

Soustavy rovnic±

Soustavy rovnic

Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně.

V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.)

Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.:• metodou dosazovací• metodou sčítací• metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací• metodou grafickou• pomocí matic, resp. determinantů

Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod.

Řešení soustav rovnic metodou dosazovací

Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme.

Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy.Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice.



Takovými se ale budeme zabývat později.Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic.


Příklad 1:

Řešte soustavu rovnic:

x + y = 3x - y = -1x = 3 - y(3 - y) - y = -13 - y - y = -1-2y = -4y = 2

x = 3 - 2x = 1

Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; 2]

Zkouška:

L1 = 1 + 2 = 3P1 = 3L2 = 1 - 2 = -1P2 = -1L1 = P1 L2 = P2

Příklad 2:


2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 173 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 7

Řešení:2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 173 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 72x + 2y - 5y + 5x = 173x + 6y + 21x + 35y = 77x - 3y = 1724x + 41y = 7

7

317 yx

+=

7417

317.24 =+

+y

y

7417

72408=+

+y

y

408 + 72y + 287y = 49359y = -359y = -1

x = 2

Výsledek zapíšeme [x; y] = [2; -1]



Zkouška:

L1 = 2 . [2 + (-1)] - 5 . (-1 - 2) = 2 - 5 . (-3) = 17P1 = 17L2 = 3 . [2 + 2.(-1)] + 7 . [3 . 2 + 5 . (-1)] = 3 . 0 + 7 . 1 = 7P2 = 7L1 = P1 L2 = P2

Příklad 3:

Řešte soustavu rovnic

x - y = 13x - 3y = 3x = 1 + y3 . (1 + y) - 3y = 33 + 3y - 3y = 30 = 0

Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme:[x; y] = [x; x - 1]

(v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice)

Ověření správnosti řešení:

Pro x = 1 dostáváme [1; 0]L1 = 1 - 0 = 1P1 = 1L2 = 3 . 1 - 3 . 0 = 3P2 = 3L1 = P1 L2 = P2

Příklad 4:


21

3=

+

+

z

yx

21

3=

+

+

x

zy

21

3=

+

+

y

zx

--------------------Stanovíme podmínky řešitelnosti: z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1

3x + y = 2 . (z + 1)3y + z = 2 . (x + 1)3x + z = 2 . (y + 1)3x + y = 2z + 23y + z = 2x + 23x + z = 2y + 23x + y - 2z = 2-2x + 3y + z = 23x - 2y + z = 2Z první rovnice vyjádříme neznámou y:



y = -3x + 2z + 2 (1)Dosadíme do zbývajících dvou rovnic:3 . (-3x + 2z + 2) + z = 2 . (x + 1)3x + z = 2 . (-3x + 2z + 2 + 1)-9x + 6z + 6 + z = 2x + 23x + z = -6x + 4z + 4 + 2-11x + 7z = -49x - 3z = 6Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z:z = 3x - 2 (2)Dosadíme do první rovnice:-11x + 7 . (3x - 2) = -4-11x + 21x - 14 = -410x = 10x = 1Dosadíme do rovnice (2):z = 3 . 1 - 2 = 1Dosadíme do rovnice (1):y = -3 . 1 + 2 . 1 + 2 = 1Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti.Zapíšeme výsledek:[x; y; z] = [1; 1; 1]

Zkouška:

22

4

11

11.31 ==

+

+=L

P1 = 2L1 = P1

22

4

11

11.32 ==

+

+=L

P2 = 2L2 = P2

22

4

11

11.33 ==

+

+=L

P3 = 2L3 = P3

Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou:1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti2. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé

(v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd.

3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1).4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více).5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava

dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky 2) - 4) ).

6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou.

7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice.8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí.

Řešení soustav rovnic metodou sčítací

Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička



je.Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic.


Příklad 5:


2 . (x - 3y) = 154x - y = -32x - 6y = 15 (1)4x - y = -3Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-2) a druhou necháme beze změn.Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany.-4x + 12y = -304x - y = -3Rovnice sečteme-4x + 4x + 12y - y = -30 - 311y = -33y = -3Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6):2x - 6y = 15-24x + 6y = 18Obě rovnice opět sečteme:2x - 24x - 6y + 6y = 15 + 18-22 x = 33x = -1,5

Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3]

Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody.

Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě.

Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5.

Soustavy rovnic - procvičovací příklady±

1.

[1; -1; 2]Výsledek:

917



2.

Řešením je uspořádaná dvojice [1; 2]Výsledek:

896

3.

[5; 5; 5]Výsledek:

923

4.

[7; 5; -3]Výsledek:

933

5.

[3; 4; 5]Výsledek:

910



6.

[5; 2; 0]Výsledek:

928

7.

Nemá řešení.Výsledek:

902

8.

[5; 4; 1; 2; 1]Výsledek:

909

9.

[10; 1]Výsledek:

913

10.

[4; 1; 2; 3]Výsledek:

918



11.

Výsledek:

892

12.

[20; 17; 5]Výsledek:

914

13.


891

14.

[1; 2; -2]Výsledek:

922

15.


925

16.

Soustava nemá řešení.Výsledek:

895

17.


906



18.

úû

ùêë

é--

3

7;

3

4;

3

5;

3

5Výsledek:

929

19.


907

20.

[3; 4]Výsledek:

930

21.


905

22.


901



23.


904

24.

[1; 6]Výsledek:

912

25.

[3; 2,5]Výsledek:

931

26.

[1; 1; 1; 1]Výsledek:

920

27.

Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1].Výsledek:

897



28.

[3; 2; 1]Výsledek:

932

29.

[0; 0,5; 0]Výsledek:

934

30.

Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1]Výsledek:

894

31.

[-0,25; 3,75; 7,75; 0,25]Výsledek:

919

32.

[15; 12; 10]Výsledek:

916

33.


926



34.


893

35.

[0; 0; 0]Výsledek:

924

36.

[4; 6; 8]Výsledek:

921

37.

[8; 5; 3]Výsledek:

915

38.

[0,2; -1; 1]Výsledek:

927



39.

[3; 2; 2; 3]Výsledek:

935

40.


908

41.


898

42.


903

43.

Řešení je uspořádaná dvojice [1; 3]Výsledek:

900



44.

[1/3; 1/2]Výsledek:

911

45.


936

46.


899

Nerovnice±

Nerovnice

Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů.

Nerovnice, podobně jako rovnice, může obsahovat jednu nebo více neznámých.

Postup řešení nerovnic je obdobný, jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný.

> ... čteme větší< ... čteme menší£ ... čteme menší nebo rovno³ ... čteme větší nebo rovno

Výsledek řešení nerovnice zpravidla graficky znázorňujeme, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení.

Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit.


Příklad 1:



Řešení:

Celou nerovnici vynásobíme čtyřmi, což je kladné číslo, proto znak nerovnosti se nemění.2x - 1 - 2 . (x + 3) > 42x - 1 - 2x - 6 > 4-7 > 4

Výsledkem je nepravdivá rovnost, proto nerovnice nemá řešení.

Příklad 2:

Řešení:

Celou nerovnici vynásobíme dvanácti:2 . (7 - 2x) > 3x - 714 - 4x > 3x - 7-7x > -21V tomto případě budeme celou nerovnici dělit číslem (-7), což je číslo záporné, proto se znak nerovnosti změní v opačný:x < 3

Výsledek zapíšeme intervalem: x Î (- ¥; 3)

Graficky znázorníme:

Provedeme ověření správnosti řešení pro libovolné číslo z výsledného intervalu - např. pro x = 0:

6

7

6

0.27=

-=L

L > P

Pokud by při řešení nerovnice vyšel závěr, kterým je pravdivá nerovnost, pak řešením je každé reálné číslo, které však nesmí odporovat podmínce řešitelnosti.



Nerovnice - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

938

2.

Výsledek:

946

3.

Výsledek:

945

4.

Výsledek:

940

5.

Řešením je libovolné přirozené číslo.Výsledek:

944

6.

Výsledek:

941

7.

Výsledek:

942



8.

Výsledek:

943

9.

Výsledek:

939

10.

Výsledek:

937

Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru±

Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru

Pokud máme nerovnici v podílovém tvaru, tzn. že ve jmenovateli je výraz s neznámou, nemůžeme takovouto nerovnici násobit nejmenším společným jmenovatelem jako tomu bylo u rovnic, protože nevíme, zda je jmenovatel kladný nebo záporný. Použijeme tedy jiný postup. Stejný postup použijeme i tehdy, budeme-li mít na jedné straně nerovnice součin (nebo podíl) a na druhé straně nerovnice číslo nula. Do takového tvaru lze nerovnici poměrně často převést.

Postup je pak následující:1. Zvážíme, zda podíl (nebo součin) má být kladný nebo záporný (případně nezáporný nebo nekladný)2. Má-li být kladný, musí být oba činitelé, příp. dělenec i dělitel, buď oba kladné nebo oba záporné; to

využijeme v dalším řešení. Má-li být záporný, pak musí být buď první činitel kladný a druhý záporný nebo první činitel záporný a druhý kladný (obdobně pro zlomek).

3. Ze dvou situací, které tak postupně řešíme, nakonec uděláme sjednocení.


Příklad 1:



Řešení:

Vidíme, že nerovnice je v podílovém tvaru, na pravé straně je číslo 0. Aby byla splněna, mohou tedy nastat dvě situace:1. možnost:

x - Ö3 > 0 Ù 2x + Ö2 > 0Odtud:x > Ö3 Ù x > -Ö2/2Z těchto dvou nerovnic děláme průnik (musí platit současně); vhodné je grafické znázornění:

Řešením je to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (Ö3; +¥ )

2. možnost:x - Ö3 < 0 Ù 2x + Ö2 < 0Odtud:x < Ö3 Ù x < -Ö2/2Z těchto dvou nerovnic opět děláme průnik (musí platit současně); vhodné je opět grafické znázornění:

Řešením je opět to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (-¥; -Ö2/2 )

Celkovým řešením je sjednocení obou intervalů, tedyx Î (-¥; -Ö2/2 ) È (Ö3; +¥ )Celkové řešení graficky znázorníme:

Ověření správnosti: Pro x = 2:

005,024

32

22.2

32>=

+

-=

+

-= přibližněL

P = 0L > P

Příklad 2:

Převedeme vše na levou stranu a poté na společného jmenovatele:



( )( ) ( )( ) ( )( )( )

02.5

5.32.52.2>

+-

-++---+

xx

xxxxx

V čitateli roznásobíme a sloučíme:

( )( )0

2.5

15310524 22

>+-

-+++---

xx

xxxxx

( )( )0

2.5

96>

+-

-

xx

x

( )( )( )

02.5

32.3>

+-

-

xx

x

Celou nerovnici vydělíme třemi, znak nerovnosti se nezmění:

( )( )( )

02.5

32>

+-

-

xx

x

Nyní mohou nastat následující situace:1. možnost:2x - 3 > 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 < 0x > 3/2 Ù x < 5 Ù x < -2Závěr:x Î { }

2. možnost:2x - 3 < 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 < 0x < 3/2 Ù x > 5 Ù x < -2Závěr:x Î { }

3. možnost:2x - 3 < 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 > 0x < 3/2 Ù x < 5 Ù x > -2Závěr:x Î (-2; 3/2)

4. možnost:2x - 3 > 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 > 0x > 3/2 Ù x > 5 Ù x > -2Závěr:x Î (5; +¥)

Celkové řešení:x Î (-2; 3/2) È (5; +¥)

Graficky znázorníme:

Ověření správnosti řešení:Pro x = 0:

5

2

50

20=

-

-=L

5,02

31

20

31 -=-=

+-=P



L > P

Příklad 3:

Řešení:

Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

958



2.

Výsledek:

961

3.

Výsledek:

964

4.

Výsledek:

948

5.

Výsledek:

960

6.

x4 - x

3 -x

2 - x - 2 £ 0

Výsledek:

950

7.

Výsledek:

956

8.

Výsledek:

955



9.

Výsledek:

959

10.

Výsledek:

963

11.

Výsledek:

947

12.

Výsledek:

954

13.

Výsledek:

949

14.

Výsledek:

962

15.

Výsledek:

953

16.

Výsledek:

965



17.

Výsledek:

957

18.

Výsledek:

951

19.

Výsledek:

952

Nerovnice s absolutní hodnotou±

Nerovnice s absolutní hodnotou

Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic.


Příklad 1:

Řešte v oboru reálných čísel nerovnici |x +2| < 8

Řešení:

1. Stanovíme nulové body; v tomto případě jím je číslo (-2)2. Nulové body znázorníme na číselné ose

3. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î (- ¥; -2); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce změníme znaménko:

(-x - 2) < 8 -x - 2 < 8 -x < 10 x > -10 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů:

Řešením této části je tedy otevřený interval (-10; -2) (1)4. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î <-2; +¥ ); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty kladný, proto ji

změníme na závorku a u všech členů v této závorce nezměníme znaménko: (x + 2) < 8



x + 2 < 8 x < 6 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů:

Řešením této části je tedy zleva uzavřený interval <-2; 6) (2)5. Nyní uděláme sjednocení výsledků (1) a (2), protože nerovnice má řešení, pokud platí kterýkoliv z nich: Celkovým řešením je tedy K = (-10; 6).

Příklad 2:

Řešte v oboru reálných čísel nerovnici |x - 1| + x < 2

Řešení:

Nulovým bodem je číslo 1.

1. x Î (- ¥; 1) (-x + 1) + x < 2 -x + 1 + x < 2 0x < 1 0 < 1 ... platí vždyCelkovým řešením první části je tedy K1 = (- ¥; 1) (1)2. x Î <1; +¥ ) (x - 1) + x < 2 x - 1 + x < 2 2x < 3 x < 1,5Celkovým řešením druhé části je tedy K2 = <1; 1,5) (2)3. Provedeme sjednocení výsledků (1) a (2): Celkovým řešením je tedy K = (- ¥; 1,5)

Příklad 3:

Řešte v oboru reálných čísel nerovnici:

532

1³

-x

Řešení:

Nulovým bodem je číslo 1,5

1. x Î (- ¥; 1,5)

532

1³

+- x

0532

1³-

+- x

032

)32.(51³

+-

+--

x

x

032

15101³

+-

-+

x

x



0

32

1410³

+-

-

x

x

Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění.

0

23

75³

-

-

x

x

a) 5x - 7 ³ 0 Ù 3 - 2x > 0 b) 5x - 7 £ 0 Ù 3 - 2x < 0 x ³ 7/5 Ù x < 3/2 x £ 7/5 Ù x > 3/2 x Î <7/5; 3/2) x Î { } Celkovým řešením částí a), b) je x Î <7/5; 3/2); je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (- ¥;

1,5), proto musíme provést průnik: Tím je K1 = <7/5; 3/2)

2. x Î (1,5; +¥)

5

32

1³

-x

05

32

1³-

-x

0

32

)32.(51³

-

--

x

x

0

32

15101³

-

+-

x

x

0

32

1016³

-

-

x

x

Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění.

032

58³

-

-

x

x

a) 8 - 5x ³ 0 Ù 2x - 3 > 0 b) 8 - 5x £ 0 Ù 2x - 3 < 0 x £ 8/5 Ù x > 3/2 x ³ 8/5 Ù x < 3/2 x Î (3/2; 8/5> x Î { } Celkovým řešením částí a), b) je x Î (3/2; 8/5> ; je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (1,5;

+¥) , proto musíme provést průnik: Tím je K2 = (3/2; 8/5>3. Celkovým řešením je tedy sjednocení K1 a K2, což je K = <7/5; 3/2) È (3/2; 8/5>

Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1079

2.

K = { }Výsledek:

1088



3.

K = RVýsledek:

1077

4.

Výsledek:

1078

5.

Výsledek:

1082

6.

Výsledek:

1084

7.

K = {2,5}Výsledek:

1087

8.

K = { }Výsledek:

1089

9.

K = RVýsledek:

1081

10.

K = { }Výsledek:

1080

11.

K = RVýsledek:

1090

12.

Výsledek:

1091



13.

Výsledek:

1086

14.

Výsledek:

1083

15.

Výsledek:

1085

Soustavy nerovnic s jednou neznámou±

Soustavy nerovnic s jednou neznámou

Podobně jako u soustav rovnic se jedná o dvě nerovnice, které musí platit současně. Řešení soustavy dvou nerovnic není tedy vlastně nic jiného než vyřešení každé nerovnice zvlášť a z obou výsledků uděláme průnik. Ten je pak celkovým řešením.

Soustavy nerovnic s jednou neznámou - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1095

2.

Výsledek:

1097

3.

x3 - x2 > 0

K = { }Výsledek:

1096



4.

Výsledek:

1098

5.

Výsledek:

1100

6.

Výsledek:

1092

7.

Výsledek:

1099

8.

Výsledek:

1093

9.

Výsledek:

1101

10.

x3 - x2 < 0

Výsledek:

1094



Kvadratické rovnice±

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé.

Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat: ax2 + bx + c = 0, kde a ¹ 0

Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat:ax

2 ... kvadratický člen

bx ... lineární členc ... absolutní člen

Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny x1, x2, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť.

Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší.

Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaruax

2 + bx + c = 0

Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních.

1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu

Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax2 = 0

Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový.Dostaneme tak: x

2 = 0

A odtud tedy: x1,2 = Ö0 x1,2 = 0Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu.

Příklad 1:

Řešte kvadratickou rovnici 3x2 = 0

Řešení:

3x2 = 0 |:3

x2 = 0

x1,2 = 0

Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0.

2. Kvadratická rovnice bez lineárního členu

Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax2 + c = 0

Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu:Dostaneme: ax

2 = - c

Dále rovnici vydělíme koeficientem a:Dostaneme: x

2 = -c/a



Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci)Dostaneme: x1,2 = ±Ö(-c/a)Znamená to tedy, že x1 = +Ö(-c/a) x2 = -Ö(-c/a)

Příklad 2:

Řešte kvadratickou rovnici -3x2 + 27 = 0 v oboru reálných čísel.

Řešení:

-3x2 + 27 = 0 |:(-1)

3x2 - 27 = 0

3x2 = 27 |:3

x2 = 9

x1,2 = ±Ö9 x1 = 3 x2 = -3

Příklad 3:

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x2 + 6 = 0

Řešení:

3x2 = -6

x2 = -2

V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení.

Příklad 4:

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x2 - 6 = 0

Řešení:

3x2 = 6

x2 = 2

x1,2 = ±Ö2 x1 = +Ö2 x2 = -Ö2

3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu

Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí ax2 + bx = 0

Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím x:Dostaneme: x.(ax + b) = 0Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule.Může tedy nastat, že x1 = 0nebo (ax + b) = 0 a odtud: x2 = -b/a

Příklad 5:

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 2x2 + 6x = 0

Řešení:

x2 + 3x = 0



x.(x + 3) = 0

x1 = 0 x2 = -3

Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule.

4. Obecná kvadratická rovnice

Jedná se o rovnici obecně zapsanou ax2 + bx + c = 0

Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky.

Tento typ rovnice řešíme podle vzorce:

a

acbbx

2

42

2,1

-±-=

Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty:

a

acbb

x

-÷ø

öçè

æ±-

=

2

2,1

22

Příklad 6:

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x2 + 4x - 60 = 0

Řešení:

a = 1 b = 4 c = -60

Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty:

a

acbb

x

-÷ø

öçè

æ±-

=

2

2,1

22

( )642

1

6042

1

60.12

4

2

42

2,1 ±-=+±-

=

--÷ø

öçè

æ±-

=xx1,2 = -2 ± 8x1 = 6 x2 = -10

Příklad 7:

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x2 - 5x + 8 = 0

Řešení:

a = 3 b = -5 c = 8



a

acbbx

2

42

2,1

-±-=

( ) ( )6

715

6

96255

3.2

8.3.4552

2,1

-±=

-±=

--±--=x

V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla.

Pozn.: Výraz b2 - 4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme

diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0 ... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D = 0 ... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0 ... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení

Příklad 8:

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x2 - 5x - 8 = 0

Řešení:

a = 3 b = -5 c = -8

a

acbbx

2

42

2,1

-±-=

( ) ( )6

1215

6

96255

3.2

)8.(3.4552

2,1

±=

+±=

---±--=x

6

1152,1

±=x

x1 = 8/3 x2 = -1

Vztahy mezi kořeny a koeficienty±

Vztah mezi kořeny a koeficienty

Každou kvadratickou rovnici zapsanou ve tvaru ax2 + bx + c = 0 můžeme převést do tzv. normovaného

tvaru kvadratické rovnice. Docílíme toho tak, že celou rovnici vydělíme koeficientem a. Provést to můžeme, protože z definice kvadratické rovnice vyplývá, že tento koeficient je různý od nuly.

Normovaný tvar kvadratické rovnice:

02 =++a

cx

a

bx

Pokud v takto upravené rovnici lze zlomky vykrátit tak, aby z nich vznikla celá čísla, můžeme při řešení kvadratické rovnice často využít vztah mezi kořeny a koeficienty a vyřešit tak celou kvadratickou rovnici zpaměti.Položme: p = b/a q = c/aDostaneme: x

2 + px + q = 0

Pro řešení kvadratické rovnice pak platí: x1 + x2 = -p



x1 . x2 = q

Kvadratickou rovnici tedy nemusíme nyní už řešit jen podle vzorce, ale můžeme ji vyřešit též výše uvedenou soustavou rovnic. Z ní dostaneme přímo kořeny x1, x2 kvadratické rovnice.

Pozn.: Vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme leckdy vaužít i tehdy, potřebujeme-li trojčlen rozložit na součin dvou činitelů. Máme-li totiž trojčlen zapsaný ve tvaru x

2 + px + q, pak mnohdy snadno najdeme zpaměti

dvě čísla a, b, jejichž součet je (-p) a jejichž součin je q. Hledaný rozklad má pak tvar (x - a).(x - b)

Postup vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme využít i tehdy, známe-li kořeny kvadratické rovnice a potřebujeme najít naopak zadání kvadratické rovnice.

Příklad:

Napište kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou 5 a -8

Řešení

Platí (x - 5) . (x + 8) = 0x

2 + 8x - 5x - 40 = 0

x2 + 3x - 40 = 0

Jiný způsob řešení:

x1 + x2 = -px1 . x2 = q 5 - 8 = -p proto p = 35 . (-8) = q proto q = -40 Závěr: x

2 + 3x - 40 = 0

Kvadratické rovnice - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1143

2.

Výsledek:

1142

3.

Výsledek:

1117



4.

Výsledek:

1120

5.

Výsledek:

1110

6.

Výsledek:

1107

7.

Výsledek:

1129

8.

Výsledek:

1126

9.

Výsledek:

1109

10.

Výsledek:

1105

11.

Výsledek:

1119

12.

Výsledek:

1134

13.

Výsledek:

1135

14.

Výsledek:

1125



15.

Výsledek:

1145

16.

Výsledek:

1116

17.

p = -8Výsledek:

1137

18.

Výsledek:

1123

19.

Výsledek:

1141

20.

Výsledek:

1118

21.

Výsledek:

1127

22.

Výsledek:

1124

23.

Výsledek:

1108

24.

Výsledek:

1104



25.

Výsledek:

1106

26.

Výsledek:

1130

27.

Výsledek:

1113

28.

Výsledek:

1144

29.

Výsledek:

1121

30.

Výsledek:

1139

31.

Výsledek:

1111

32.

Výsledek:

1115

33.

Výsledek:

1138

34.

p = 7Výsledek:

1136

35.

Výsledek:

1128



36.

Výsledek:

1131

37.

Výsledek:

1112

38.

Výsledek:

1132

39.

Výsledek:

1133

40.

Výsledek:

1102

41.

Výsledek:

1103

42.

Výsledek:

1114

43.

Výsledek:

1140

44.

Výsledek:

1122



Kvadratické rovnice s parametrem±

Kvadratické rovnice s parametrem

Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu parametru má rovnice dvě různá reálná řešení , pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru vyjde lineární rovnice.

Příklad:

Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x:

(m - 3)x2 - (3m + 9)x + 9m = 0

Řešení:

1. Pro m = 3 ... lineární rovnice

2. Předpokládejme, že m ¹ 3

Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice:

D = b2 - 4ac = [-(3m + 9)]

2 - 4.(m - 3).9m = 9m

2 + 54m + 81 - 36m

2 + 108m =

= -27m2 + 162m + 81

a) D > 0 ... 2 reálné různé kořeny ... nastane tehdy, jestliže: -27m

2 + 162m + 81 > 0 |:(-9)

3m2 - 18m - 9 < 0 |: 3

m2 - 6m - 3 < 0

Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici m

2 - 6m - 3 = 0

3231

323

2

346

2

486

1.2

)3.(1.466 2

2,1 ±=±

=±

=±

=--±

=m m1 = 3 + 2Ö3 m2 = 3 - 2Ö3 Hledaný rozklad je tedy: [m - (3 + 2Ö3)] . [m - (3 - 2Ö3)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - (3 + 2Ö3)] > 0 [m - (3 - 2Ö3)] < 0 Odtud: m > 3 + 2Ö3 m < 3 - 2Ö3 Závěr: Prázdná množina ab) [m - (3 + 2Ö3)] < 0 [m - (3 - 2Ö3)] > 0 Odtud: m < 3 + 2Ö3 m > 3 - 2Ö3 Závěr: m Î (3-2Ö3; 3) È (3; 3+2Ö3)

b) D = 0 ... Jeden dvojnásobný kořen ... nastane tehdy, jestliže: -27m

2 + 162m + 81 = 0 |:(-9)

3m2 - 18m - 9 = 0 |: 3

m2 - 6m - 3 = 0

[m - (3 + 2Ö3)] . [m - (3 - 2Ö3)] = 0 m1 = 3 + 2Ö3 m2 = 3 - 2Ö3

c) D < 0 ... V reálném oboru nemá řešení ... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (-¥; 3-2Ö3) È (3+2Ö3; +¥)



Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1149

2.

Výsledek:

1155

3.

Výsledek:

1148

4.

Výsledek:

1154

5.

Výsledek:

1156

6.

Výsledek:

1158



7.

Výsledek:

1147

8.

Výsledek:

1153

9.

... dva reálné různé kořenym = -0,4 nebo m = 6 ... jeden dvojnásobný kořen

nemá řešení v R

Výsledek:

1146

10.

Výsledek:

1151

11.

Výsledek:

1152

12.

Výsledek:

1157

13.

Výsledek:

1150

Soustava kvadratické a lineární rovnice±

Soustava kvadratické a lineární rovnice

Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí.




Příklad 1:

Řešte soustavu rovnic:x

2 + y

2 = 74

3x - 2y = 1

Řešení:x

2 + y

2 = 74

3x - 2y = 1

3

21 yx

+=

(1)

743

21 2

2

=+÷ø

öçè

æ +y

y

( )74

9

21 22

=++

yy

749

441 22

=+++

yyy

1 + 4y + 4y2 + 9y

2 = 666

13y2 + 4y - 665 = 0

( )

13

932

13

86492

13

665.132

4

2

42

2,1

±-=

±-=

--÷ø

öçè

æ±-

=y

y1 = 7y2 = -95/13Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x:

53

7.211 =

+=x

13

59

3

13

95.21

2 -=÷ø

öçè

æ-+

=x

Závěr:

[ ]îíì

þýü

úû

ùêë

é--=

13

95;

13

59,7;5P

Příklad 2:

Řešte soustavu rovnic:x

2 - y

2 = 640

x : y = 7 : 3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0Z druhé rovnice vyjádříme x:x = 7y/3 (1)Dosadíme do rovnice první:

6403

7 2

2

=-÷ø

öçè

æy

y

6409

49 22

=- yy



49y2 - 9y

2 = 5760

40y2 = 5760

4y2 = 576

y2 = 144

y1 = 12y2 = -12Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x:x1 = 7 . 12 : 3 = 28x2 = 7 . (-12) : 3 = -28

Závěr:

[ ] [ ]}{ 12;28;12;28 --=K

Soustava kvadratické rovnice a rovnice lineární - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1171

2.

Výsledek:

1172

3.

Výsledek:

1173

4.

K = {[0; -1]}Výsledek:

1176



5.

K = {[3; 0]}Výsledek:

1170

6. Řešte soustavu rovnic:

Výsledek:

1174

7.

K = {[3; 0]}Výsledek:

1177

8.

K = {[0; 0], [2; 4]}Výsledek:

1175

9.

Výsledek:

1169

Kvadratické nerovnice±

Kvadratické nerovnice

S kvadratickými nerovnicemi už jsme se vlastně setkali, aniž jsme si to uvědomili, v kapitole Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. Přesněji tedy řečeno v její druhé části, tedy v kapitole nerovnice v součinovém tvaru.Řešit už tedy umíme nerovnice typu (x+3) . (x - 5) < 0Tento typ nerovnic tedy už nebude předmětem výkladu. Problém však může někdy nastat, budeme-li mít zadánu nerovnici formou trojčlenu - např. x

2 -2x - 15 < 0

V tomto případě si musíme nejprve zadaný trojčlen rozložit na součin. K tomu využijeme znalost řešení kvadratické rovnice.Napíšeme si tedy pomocnou kvadratickou rovnici x

2 - 2x - 15 = 0 a tu normálně podle vzorce vyřešíme. Zjistíme,

její kořeny jsou -3 a 5. Proto hledaný rozklad bude mít podobu(x + 3) . (x - 5)



Někdy se nám ale stane, že při řešení kvadratické rovnice vyjde diskriminant (tj. číslo pod odmocninou) záporný. V tom případě rozklad na součin v oboru reálných čísel neexistuje. Pak nastanou dvě možnosti:• nerovnice nemá žádné řešení• nerovnice má nekonečně mnoho řešeníKterá z uvedených možností nastane, o tom se přesvědčíme tak, že do zadané nerovnice dosadíme libovolné číslo. Vyjde-li nepravdivá nerovnost, řešení neexistuje; vyjde-li pravdivá nerovnost, řešení je nekonečně mnoho. I v tomto případě ale pozor na podmínky řešitelnosti!

Trochu zjednodušit práci si můžeme i tehdy, vyjde-li diskriminant pomocné kvadratické rovnice roven nule. Není to však nezbytně nutné.

Kvadratické nerovnice můžeme výhodně řešit i graficky. Např. kvadratickou nerovnicix

2 - 2x - 15 < 0 bychom mohli graficky vyřešit takto:

1. Zápis si upravíme na x2 - 15 < 2x

2. Vytvoříme dvě funkce - z každé strany vzniklé nerovnice jednu - tedy f1: y = x2 - 15

f2: y = 2x3. Narýsujeme grafy obou funkcí do jednoho souřadného systému

4. Na ose x nyní vyznačíme interval, v němž platí, že hodnoty kvadratické funkce jsou menší než hodnoty funkce lineární. Vidíme, že se jedná o otevřený interval (-3; 5)

Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady±

1. Řeš kvadratickou nerovnici -x2 + 3x - 3 £ 0

K = RVýsledek:

1162

2. Řeš kvadratickou nerovnici x2 + 2x £ 3

K = <-3; -1>Výsledek:

1167



3. Řeš kvadratickou nerovnici x2 - 5x + 6 > 0

K = (-¥; 2) È (3; +¥)Výsledek:

1164

4. Řeš kvadratickou nerovnici -x2 - 6x - 8 > 0

K = (-4; -2)Výsledek:

1165

5. Řeš kvadratickou nerovnici 3x2 - 2x + 1 > 0

K = RVýsledek:

1168

6. Řeš kvadratickou nerovnici -2x2 + x - 2 > 0

K = { }Výsledek:

1160

7. Řeš kvadratickou nerovnici x2 + x - 12 £ 0

K = <-4; 3>Výsledek:

1166

8. Řeš kvadratickou nerovnici x2 - 6x + 10 < 0

K = { }Výsledek:

1161

9. Řeš kvadratickou nerovnici x2 - x - 6 £ 0

K = <-2; 3>Výsledek:

1163

10. Řeš kvadratickou nerovnici 2x2 - 8x + 8 > 0

R \ {2}Výsledek:

1159


Obsah


Číselné obory 1

Výrok, logické spojky, kvantifikátory 1

Množiny a operace s nimi 3

Absolutní hodnota reálného čísla 5

Dělitelnost 6

Intervaly 8

Procenta 9

Poměr, trojčlenka 13

Zápisy s číselnými proměnnými, úpravy výrazů 18

Algebraické výrazy - procvičovací příklady 19

Lomené algebraické výrazy 21

Lomené algebraické výrazy - procvičení 22

Mocniny a odmocniny 26

Druhá a třetí mocnina a odmocnina 29

Mocniny a odmocniny - procvičovací příklady 46

Funkce 51

Definiční obor funkce 52

Funkce - procvičovací příklady 53

Vlastnosti funkce 57

Vlastnosti funkce - procvičovací příklady 58

Lineární funkce 59

Lineární funkce - procvičovací příklady 61

Kvadratická funkce 66

Kvadratická funkce - procvičovací příklady 68

Mocninné funkce 74

Mocninné funkce - procvičovací příklady 75

Rovnice 77

Lineární rovnice - procvičovací příklady 79

Rovnice s absolutní hodnotou 89

Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 91

Rovnice s parametrem 93

Rovnice s parametrem - procvičovací příklady 95

Soustavy rovnic 100

Soustavy rovnic - procvičovací příklady 104

Nerovnice 113

Nerovnice - procvičovací příklady 115

Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru 116

Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru - procvičovací příklady 119

Nerovnice s absolutní hodnotou 122

Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 124

Soustavy nerovnic s jednou neznámou 126

Soustavy nerovnic s jednou neznámou - procvičovací příklady 126

Kvadratické rovnice 128

Vztahy mezi kořeny a koeficienty 131

Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 132

Kvadratické rovnice s parametrem 137

Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady 138

Soustava kvadratické a lineární rovnice 139

Soustava kvadratické rovnice a rovnice lineární - procvičovací příklady 141

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)5.11.2006 16:43:20

Obsah


Kvadratické nerovnice 142

Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady 143

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)5.11.2006 16:43:20

Date post:	23-Mar-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Variace - uèebnice (Výchozí) · 2014. 7. 26. · Iracionální čísla - nemají své...

Documents