Přednáška č. 3

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc.

DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉM Ů

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

1. Úvod

2. Základní výpo čtový model v rotujícím prostoru

3. Základní výpo čtový model rotoru (Laval ův rotor)

4. Ukázka řešených aplikací

OBSAH

• Lagrangeovy rovnice

• Matematický model (pohybové rovnice):

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

• Základní výpočtový model (n = 2) v rotujícím sou řadnicovém systému

• Rotující systémy

• Složky rychlosti tělesa

• Kinetická energie

• Potenciální energie pružin

xyvyxv yx ωω +=−= ɺɺ ,

( ) ( )[ ]22

2

1xyyxmEk ωω ++−= ɺɺ

22

2

1

2

1ykxkE yxp +=

,0=∂

∂+

∂∂−

∂

∂x

E

x

E

x

E

dt

d pkk

ɺ0=

∂∂

+∂

∂−

∂∂

y

E

y

E

y

E

dt

d pkk

ɺ

( ) ,02 2 =−+− xmkymxm x ωωɺɺɺ ( ) 02 2 =−++ ymkxmym y ωωɺɺɺ

Úvod do modelování v mechanice (UMM)• Přepis do maticového tvaru

• Matematický model v maticovém tvaru

pro

( ) 0qKKqGqM =−++�����

ɺɺɺ d2ωω

[ ] Tyx=q

=

−−

+

−+

0

0

0

0

02

20

0

02

2

y

x

mk

mk

y

x

m

m

y

x

m

m

y

x

ωω

ωɺ

ɺ

ɺɺ

ɺɺ

antisymetrická maticegyroskopických účinků

⇓provázanost pohybu

ve směrech x, y

není pozitivně definitní

⇓

nestabilita

( )⇒∗ ωK

>m

k

m

k yx ,min2ω

Úvod do modelování v mechanice (UMM)• Základní výpočtový model rotoru (n = 2) v pevném sou řadnicovém systému

(Laval, teorie Jeffcott 1919)• Pohybová rovnice ve vektorovém tvaru (2.NZ)

• Parametry: m … hmotnost kotouček …. příčná tuhost hřídele

... excentricita

• Vztah mezi souřadnicemi středu hmotnosti (těžiště) kotouče S a středu hřídele H

• Matematický model rotoru

Soustava dvou nezávislých ODR 2. řádu

teyy HS ωcos+=

tezz HS ωsin+=

tmekyym HH ωω cos2=+ɺɺtmekzzm HH ωω sin2=+ɺɺ

SHe =

−=−=

=HS

HSS kzzm

kyymFam

ɺɺ

ɺɺ��HORNÍ LOŽISKO

OSA HŘÍDELE

KOTOUČ

SPODNÍ LOŽISKO

Úvod do modelování v mechanice (UMM)• Partikulární řešení pohybových rovnic

dráha středu hřídele je kružnice o poloměru rH

Amplitudy (maximální výchylky)

• Amplitudová charakteristika

• Kritické otáčky (pro ) ∞→= ZY

[ ] ,/ sradm

kkrit =ω

Zmk

meY =

−=

2

2

ωω

⇒==⇒== ZYrtZztYy HHH ωω sin,cos

tmetYktYm ωωωωω coscoscos 22 =+−

[ ]min/30

otn kritkrit ωπ

=

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

� APLIKACE

- Vytvořit model rotujícího olopatkovaného disku rotoru vysokotlakového díluturbíny JE Temelín

- Aplikovat metodu modelování založenou na dekompozici systému na dva subsystémy – disk (ANSYS) a olopatkování (MATLAB), modelování vazebmezi lopatkami a diskem a na redukci počtu stupňů volnosti

- Vyšetřit kmitání lopatek vyvolané proudem páry (MATLAB)

• Kmitání olopatkovaného disku vybuzené aerodynamickýmisilami proudem páry

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

• Schéma olopatkovaného disku

• Global matrix form of the system decomponated into subsystems disk

(D) and blade rim (R)

where matrices of the blade rim are compiled from the blade packet matrices

and vector of the aerodynamic forces is

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

,2

1 1,

1 1,

+

=

+

+

+

+++

∑∑

∑∑

= =

= =

tt

t

t

t

t

t

RC

D

R

Dp

s

b

j

Cjs

R

D

R

Dp

s

b

j R

DCjs

CP

R

D

R

D

f

0

f

f

q

qK

K0

0K

q

q

G0

0GBB

q

q

M0

0M

ωω

ω

ωɺ

ɺ

ɺɺ

ɺɺ

( ) ωKKKG,M,XXXXX ,,,...,,, ,ds

nnPPPR

RRRdiag =∈=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] tiR

TTpP

TP

TPR

ketttt ωfffff == ,2,1, ,....,,

( ) [ ] tiTsjizsjizsjiysjiyjB

keFFiFFt ωψψϕϕ …… ;sincos;sincos; ,,,,, ++=f

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ..,2,1,,,,,,, 3,2,1,, == stttt TTB

TB

TBsP 0f0f0f0f

467,2467,9476,7478,1494,4496,6549,9552,6

661,6664,9742,2744,3831,2835,2969,1970,5

980,2981,0

Centrally clam

ped diskFixed blade rim

Flexible bladed disk

1,21737

11

429,50

1425,9

441,60

0

31747

02,3

456,81

2,3452,5

11

4,51775

24,5

466,62

4,5461,6

22

6,72006

36,7

484,63

6,7479,7

33

82303

0t8,9

541,54

8,9536,9

44

9,102491

410

593,50s

10583,3

605,70

0s

11,122752

1t11,12

655,25

11,12651,2

55

13,143190

513,14

732,61t

13,14734,2

00t

15,163746

2t15,16

827,16

15,16823,6

66

17,184036

617,18

10487

17,18963,7

11

19,248757

3t19,20

10532t

19968,1

974,30

0

21,224979

721,22

13058

20,21974,4

22

νν

νD

dD

dR

dR

d)

3000(

ν f)

0(ν f

)0(

ν f)

0(ν f

Eigenfrequencies of the subsystems and system

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000400

500

600

700

800

900

1000

k=8

9

10

11

12

13

14

151820253035404550k = 54f i [H

z]

ω [RPM]

f21

f20

f19

f18

f17

f16

f15

f14

f13

f12

f11

f10

f9

f8

f7

f6

f5

f4

f3

f2

f1

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

• Campbell ův diagram

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

- Vytvořit model automobilové převodovky Škoda MQ200 při zařazeném 2. převodovém stupni

- Vyvinout metodu modelování založenou na dekompozici systému na 4 subsystémy – hnací hřídel, předlohový hřídel, diferenciál s poloosami (MATLAB) a skříň převodovky (ANSYS)

- Modelovat ložiskové a zubové vazby (MATLAB)

- Vytvořit komplexní model převodovky s redukovaným počtem stupňůvolnosti a využití jej pro výpočet kmitání hřídelů a hluku vyzařovaného stěnami převodové skříně

• Modelování kmitání automobilové p řevodovky vybuzenékinematickými úchylkami p řevodového pom ěru

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Převodovka Škoda MQ200

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

- Rozšířit lineární model převodového ústrojí s ozubenými koly respektovánímnelinearit v ložiskových a zubových vazbách

- Vyvinout metodu modelování rozsáhlých systémů s nelineárními vazbami

- Vyšetřit hraniční křivky mezi lineárním a nelineárním (s rázy) kmitáním převodového ústrojí v závislosti na otáčkách a hnacím momentu motoru (MATLAB)

- Analyzovat vliv nelineárních jevů prostřednictvím fázových trajektoriía bifurkačních diagramů pro deformace ozubení (MATLAB)

• Modelování a po čítačová simulace nelineárních kmit ů

převodových ústrojí v d ůsledku rázových jev ů v ozubení

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Převodovka Škoda MQ200� Stupně volnosti modelu – před kondenzací N1=198, N2=140, N3=36, N4=166816;

po kondenzaci M1=32, M2=28, M3=14, M4=70 ⇒ M=144

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

� Rolling-element bearing model� forces transmitted at the contact

points between rolling element j of the bearing with centre i and the outerrace

where

… rolling-element deflection… parameters depending on

geometry,elastic modulus andPoission’s ratio (Krämer, 1993)

… Heaviside function correcting thecontact forces when the rollingelements are unloaded

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

� Constant gear mesh conditions

Map of constant second gear mesh Map of constant sixth gear mesh

Global map of constant gear mesh

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Bifurkační diagram deformace ozubení

� Influence of nonlinearities

Bifurcation diagram of the second gearing deformation

Phase trajectories of the second gearing deformation

Úvod do modelování v mechanice (UMM)