ÚVOD DO TEORIE FYZIKÁLNÍHO MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ NAMĚŘENÝCH HODNOT

A. Logické schéma experimentální práce

Měření fyzikálních veličin, jako každá tvůrčí práce, vyžaduje systematické rozčlenění práce na dílčí kroky. K tomu nám poslouží obecné logické schéma experimentální práce. Je to „kostra" experimentální práce.Toto schéma musí být dostatečně obecné, aby vyhovělo ve velké většině řešených případů, a natolik konkrétní, aby mohlo nabízet konkrétní kroky měření. Každý pracovní krok musí logicky navazovat na krok předchozí (musí z něj vycházet) a současně musí iniciovat krok následující. Hlavní zásady se dají vyjádřit velice stručně třemi slovy: LOGIKA, SROZUMITELNOST, ÚPLNOST.

Každá experimentální práce, a tedy i měření fyzikálních veličin, má tři základní etapy: projekt (návrh) experimentu, realizace experimentu a vyhodnocení experimentu.

1. Projekt experimentu

Tato etapa začíná zadáním práce a končí vypracováním plánu měření. Postup je následující:

a) Formulace problému (zadání)

Zadání musí být jednoznačné a úplné, včetně požadavku na kvalitu měření. V zadání by se neměla objevit metoda měření (ta je výsledkem celé první etapy).

b) Všeobecný rozbor (úvod do problematiky)

Prvním krokem každé experimentální práce je rešerše odborné literatury. Tím zjišťujeme, zda problém nebyl už někde řešen a jak lze toto řešení využít, popřípadě jak na ně navázat.Úvodní stať tedy naše zadání zařadí do širších souvislostí problematiky daného oboru, vymezí hranice našeho zkoumání, uvede stručně dosavadní stav vědomostí a dosažené výsledky.Ve školní práci se jako výchozí poznatky uvedou zpravidla definice a jednotky veličin ze zkoumané oblasti.

c) Teoretická odvození a rozbory

Tato část je východiskem ke stanovení metody měřeni. Obsahuje odvození potřebných vztahů (kromě definičních) a uvedení podmínek, za nichž platí (neuvedení podmínek vede k zásadním chybám celé práce).Odvozených vztahů může být více, tj. zjištěná veličina y může záviset na různých souborech veličin: y = f (x1, x2, ...), y = g (z1, z2, ...) ... . Kterého vztahu použijeme k měření, závisí na posouzení souborů veličin (x1, x2,...), (z1, z2, ...), ... z hlediska snadnosti měření jednotlivých veličin, možné přesnosti měření, přístrojovém vybavení laboratoře apod.

Ve školní prácí, kdy metoda měření je předen dána, uvedeme alespoň podrobné odvození fyzikálního vztahu pro dané měření, včetně podmínek platnosti. Výsledné fyzikální vztahy upravujeme tak, aby se v nich vyskytovaly symboly jen těch veličin, které bezprostředně měříme.

1

d) Rozbor a optimalizace nejistot.Provádíme jen u měření veličin prostřednictvím měřeni dílčích veličin. Optimalizace znamená stanovení dílčích nejistot měřených veličin x1, x2, ... tak, aby výsledná nejistota veličiny y = f (x1, x2,...) odpovídala požadované přesnosti. (V bakalářském kurzu se tímto problémem nebudeme zabývat)

e) Konkrétní návrh měřeníJde o rámcový návrh měření, tj. závazné pokyny k vlastnímu měření. Ujasníme si, které veličiny budeme měřit a jak přesně je budeme měřit (výběr vhodných měřidel). Při vypracování této „metodiky" měření je nutno přihlédnout i k následujícímu matematickému zpracování měření (opakované měření ano či ne, ...).

2. Realizace experimentuDruhá etapa začíná fyzickou přípravou experimentu a končí matematickým zpracováním výsledků měření:

a) Fyzická příprava experimentu

Ověříme správnou funkci všech měřidel, případně provedeme jejich kalibraci. Sestavíme měřicí aparaturu a ověříme správné funkce celku. Je užitečné poznamenat si výrobní nebo evidenční čísla použitých měřidel, abychom mohli popřípadě měření opakovat nebo v něm pokračovat za stejných podmínek. Zajistíme vnější podmínky pro měření (např. stabilizace teploty termostatem apod.).

b) Vlastní měření

Provedeme předběžné měření (výběr vhodných rozsahů, ...). Při hlavním měření zapisujeme naměřené hodnoty do předem připravených tabulek, průběžně sledujeme a zapisujeme podmínky měření (ty, které mají na výsledky měření skutečný vliv). Při měření funkční závislosti je vhodné současně sestrojovat graf. Na závěr provedeme kontrolu naměřených hodnot.

c) Matematické zpracování výsledků měření

Provedeme výpočet měřené veličiny (ve školní práci je nutno v zápisu uvést dosazení do obecných fyzikálních vztahů), včetně výpočtu nejistot výsledků měření (o použití matematických metod zpracování jsme rozhodli v .1. e)). Provedeme kontrolu výpočtů.

3. Vyhodnocení experimentuTato závěrečná fáze experimentální práce je jedním z nejdůležitějších bodů celé práce. Zde se nejvíce osvědčí samostatné uvažování. Obsahuje:

a) Soubor výsledků experimentu

Týká se konečného výsledku celé práce. (Někdy je vhodné uvést i některé výsledky dílčí, je je však třeba odlišit např. grafickou úpravou.) Aby byl výsledek úplný, je třeba uvést:- nejistotu výsledku měření (absolutní i relativní),- jednotky,- podmínky, za nichž výsledek platí,- z čeho byla určena nejistota měření (z dokumentace výrobce přístroje, ze statistiky - uvést

četnost souboru hodnot, byla odhadnuta, apod.),- korekce, interpolace apod., kterým byl výsledek podroben (je nutné uvést např. „bez korekcí“

tam, kde by se korekce očekávaly)a další údaje, které na výsledek mohly mít vliv.

2

b) Zhodnocení experimentu, komentáře

Tento bod závisí na požadavcích zadání. Mimo jiné by se mělo uvést, zda experiment splnil požadavky zadání, popřípadě co splněno nebylo (některé předpoklady a zjednodušení), a co z výsledku plyne.

B. Podmínky měření

Již před měřením (souvisí to s bodem 1. c) a . 1. e)) je nutno důkladně zvážit všechny podmínky měření, za nichž bude měření probíhat, a tyto podmínky musíme, pokud je to možno, zaručit.Je nutno rozlišit podmínky relevantní (závažné) od podmínek irelevantních (nepodstatných). Např. při měření tranzistoru, který je v kovovém pouzdře, je nepodstatné zjišťovat tlak nebo vlhkost vzduchu. Z tohoto důvodu je zcela nevhodné paušálně u všech měření zapisovat teplotu, tlak a vlhkost vzduchu, aniž bychom zkoumali, zda to má smysl a zda není zapotřebí sledovat podmínky zcela jiné (např. v nějakém elektrickém měření intenzitu magnetického pole apod.),U měřidel, měřicích přístrojů a zařízení je nutno sledovat a dodržovat komplex podmínek nutných k jejich správné funkci (např. provozní teplota, apod.). U přístrojů pro měření elektrických veličin se tyto podmínky nazývají vztažné podmínky (viz kapitola o elektrických měřicích přístrojích).Mezi podmínky měření patří i omezující podmínky, které vyplývají ze a) zjednodušujících fyzikálních

předpokladů (např. definiční vztah pro výpočet hustoty platí jen pro homogenní tělesa),

b) zjednodušení matematického charakteru (např. zjednodušení typu tg x x pro „malé" hodnoty x se promítá do nejistoty výsledku a proto je nutno výpočtem ověřit, zda nezhoršuje nejistotu výsledku nad povolenou mez).

C. Záznam (protokol) z měření

Záznamy o měření nejsou „soukromou záležitostí" experimentátora. V záznamech se musí bez potíží vyznat i pracovník, který se prací na experimentu nezúčastnil. Proto je základním pravidlem přehlednost a možnost snadné orientace v textu. Způsob vedeni záznamů musí umožnit vyznat se v nich i po delším časovém odstupu (to je nutné jak pro eventuální kontrolu, tak i pro návazné práce).

Proto je nutno:- vyznačit nadpisem jednotlivé části práce,- jednotlivá měření členit do graficky odlišených a přehledných odstavců, naměřené hodnoty

zapisovat do vhodných tabulek (viz obr. 1.1 a) a b)),- číselné výsledky měřených fyzikálních veličin opatřit nejen patřičnou jednotkou, ale i

podrobným komentářem (relevantní podmínky měření, nejistoty stanovené z třídy přesnosti přístroje,...),

- umožnit zpětnou kontrolu měření (např. zápisem identifikačních čísel měřicích přístrojů apod.),

- odlišovat podstatné od méně podstatného (graficky odlišit hlavní výsledky od vedlejších, zásadní skutečnosti od vedlejších poznámek, ...). Nepodstatnými detaily zápisy nezatěžujeme (nejsme-li si však jisti závažností určité skutečnosti, pak ji raději zaznamenáme).

3

a) b)

n l1 l2 l = l2 – l1 l n U uU I uI

mm mm mm mm V V mAA

mA1 12 23 3...

n ... pořadové číslo měřeníl1, l2 ... čtení počátečního a koncového bodu měřené délky předmětu na pásovém metrul ... délka vypočítaná ze čtení na pásovém metruI ... rozdíl vypočtené délky a aritmetického průměru z n měřeníTabulku je možno doplnit ještě o sloupecI2 (mm2) pro výpočet nejistoty měření

Obr. 1.1. Příklady vhodných tabulek naměřených hodnota) Tabulka pro statistické zpracování měření délky l přiložením pásového metrub) Tabulka pro měření voltampérové charakteristiky elektrického prvku

Struktura záznamu o měření odpovídá logickému schématu experimentální práce (viz 1. až 3.), která je doplněna formálními částmi, které se umisťují zpravidla na počátku a na konci záznamu. Na začátku práce je to:Záhlaví - obsahuje název měření, jméno pracovníka; datum zpracování (popř. časové rozmezí práce),

název organizace, v jejímž rámci byla práce provedena. Forma záhlaví bývá organizací předepsána.

Anotace - znamená stručný obsah celé práce v rozsahu několika řádek. Je určena k první informaci o zpracovaném úkolu. Je umístěna sice na začátku, zpracovává se však až nakonec, až jsou známy všechny závěry.

Seznam symbolů a označení - seznam znaků užívaných jednotně v celé práci k označení veličin, s uvedením jejich významu. Bývá doplněn schematickým nákresem zakótovaným pomocí použitých symbolů (např. mechanické zařízení s označením délek). Seznam při vedení záznamu postupně doplňujeme.

Na konci práce je to:Seznam literatury -jednotlivé prameny jsou očíslovány a v textu jsou odkazy uváděny pomocí těchto

čísel.Přílohy - zde se umístí např. grafy, fotografie, tabulky apod., které nelze z nějakých důvodů zařadit

přímo do textu.

Úplná struktura záznamu (protokolu) o měření je v tabulce 1.1

4

U ... naměřená hodnota napětí voltmetremuU ... nejistota měření napětí vypočítaná z třídy přesnosti voltmetruI ... naměřené hodnota proudu miliampérmetremuI ... nejistota měření proudu vypočítaná z třídy přesnosti miliampermetru

Tabulka 1.1 : Struktura záznamu (protokolu) o měření

ZÁHLAVÍANOTACESEZNAM SYMBOLŮ A OZNAČENÍ1. Projekt experimentu

1.1. Zadání problému1.2. Úvod do problematiky měřené veličiny1.3. Teoretický rozbor problému1.4. Rozbor a optimalizace nejistot1.5. Metodika měření

2. Realizace experimentu2.1. Příprava měření2.2. Vlastní měření2.3. Matematické zpracování výsledků měření

3. Vyhodnocení experimentu3.1. Výsledky měření3.2. Zhodnocení měření, komentáře

SEZNAM LITERATURYPŘÍLOHY

D. Metrologické pojmy

Metrologie je obor zabývající se měřením. Je to souhrn všech znalostí a činností souvisejících s měřením. V užším slova smyslu je to obor zajišťující jednotnost, správnost a přesnost měření.

Každé zařízení používané k měření je měřicí prostředek. Měřicí prostředky jsou měřidla (zařízení určené k provádění měření) a měřicí zařízení (doplňují měřidla - např. vypínače, přívodní vodiče aj.). Měřidla dělíme na míry (jednoduchá měřidla, kde se nepohybuje nic, co by mělo funkční charakter, např. objemová nádoba, závaží, ...) a měřicí přístroje (měřidla, která nejsou mírou, např. posuvné měřítko, ...). Úplný soubor měřidel a měřicích zařízení sestavený k provedení specifikovaného měření je měřicí systém (např. aparatura pro měření tepelné vodivosti kovů, ... ).

Základní metrologické činnosti jsou: měření, kalibrace a certifikace. Měření je soubor činností vedoucích k určení hodnoty veličiny. Kalibrace (dříve „cejchování") je soubor úkonů, které dávají za určitých podmínek závislost mezi hodnotami indikovanými měřicím přístrojem a mezi známými hodnotami měřené veličiny (reprezentované etalonem patřičného řádu). Certifikace je činnost, kde se u měřeného objektu na základě měření potvrzuje shodnost deklarovaných parametrů.

Statické měření je měření, při němž lze předpokládat, že po dobu měření se hodnota měřené veličiny nezmění.Dynamické měření je měření okamžité hodnoty veličiny, popřípadě určení její časové změny.

5

Princip měření je vědecký základ měřicí metody (u fyzikálního měření - fyzikální podstata měřicí metody). Např. termoelektrický jev využitý k měření teploty, Dopplerův jev využitý k měření rychlosti apod.Měřicí metoda je všeobecný souhrn teoretických poznatků a praktických operací použitých při provádění měření podle daného principu. Měřicí postup je pak podrobná specifikace teoretických a praktických pokynů nutných pro provedení daného měření.

Měřenou veličinou rozumíme veličinu, jejíž hodnota je předmětem měření. Ovlivňující veličina je veličina, která není předmětem měření, ale ovlivňuje hodnotu měřené veličiny nebo indikace měřidla, např. okolní teplota, frekvence měřeného střídavého napětí apod. (viz Podmínky měření).

Výsledek měření je hodnota měřené veličiny získaná měřením. Úplný údaj o výsledku měření zahrnuje informace o nejistotě měření a o hodnotách ovlivňujících veličin, k nimž se vztahuje.

Přesnost (exaktnost) měření je těsnost shody mezi výsledkem měření a pravou (konvenčně pravou) hodnotou měřené veličiny. Posuzujeme ji pomocí relativní nejistoty měření.

Chyba měření a nejistota měřeníHodnotou veličiny rozumíme vyjádření veličiny číslem a příslušnou měřicí jednotkou (např. 5,3 mm; 40 °C apod.).Pravá (skutečná) hodnota veličiny je hodnota, která charakterizuje veličinu definovanou za podmínek existujících v příslušném okamžiku. Tato hodnota existuje objektivně s nekonečnou přesností a prakticky nemůže být reálným způsobem poznána. Je to tedy ideální pojem.

Konvenčně pravá hodnota veličiny je hodnota veličiny, která může pro daný účel pravou hodnotu nahradit. Rozdíl pravé hodnoty a konvenčně pravé hodnoty pro daný účel pokládáme za nevýznamný (zanedbatelný). Formulace „pro daný účel“ znamená, že pro méně přesná měření se může konvenčně pravá hodnota od pravé hodnoty veličiny více odchylovat, než by tomu bylo v případě přesných měření.

Konvenčně pravá hodnota je reálně zjistitelná (měřením). Například při opakovaném měření hodnoty veličiny lze konvečně pravou hodnotu veličiny získat jako aritmetický průměr z naměřených hodnot.

(Absolutní) chyba měření x je výsledek měření (tj. hodnota veličiny získaná měřením - např. údaj měřidla) xi minus pravá (respektive konvenčně pravá) hodnota měřené veličiny x, tedy

x = xi - x (1.1)

Hodnota xi je hodnota naměřená, tedy hodnota známá. Hodnotu x obecně neznáme (vyjma případů, kdy stanovíme u statistických souborů konvenčně pravou hodnotu jako odhad střední hodnoty základního statistického souboru). Ani chybu x nemusíme obecně znát. Výjimkou jsou případy, kdy můžeme chybu x zjistit fyzikálním rozborem (jde o případ odstranitelné soustavné chyby - viz později). Rovnice (1.1) je tedy v obecném případě nepoužitelná, protože může obsahovat dvě neznámé.

To, s čím se při měření fyzikálních veličin setkáváme častěji, a co se ve starší terminologii rovněž nazývalo chybou, je tzv. nejistota měření.

(Absolutní) nejistota (výsledku) měření ux je výsledek vyhodnocení měření, charakterizující rozsah (interval) hodnot, v němž leží pravá hodnota měřené veličiny x.

6

Protože je nejistota měření výsledkem vyhodnocení měření, je na rozdíl od chyby dostupná vždy. Nejistota měření má obecně více složek. Některé z nich mohou být vyhodnocovány na základě statistického rozdělení série výsledků měření, jiné na základě zkušeností experimentátora nebo jiných informací (údajů výrobce přístroje apod.)

Jestliže zapíšeme výsledek měření intervalem x ± ux , kde x je konvenčně pravá hodnota veličiny, je vlastně nejistota měření ux polovinou intervalu vymezujícího rozsah hodnot, v němž leží pravá hodnota měřené veličiny, tj.

(1.2)

Poznámka: Dříve se termín chyba měření a nejistota měření nerozlišoval. Z výše uvedeného je jasné, že je mezi nimi podstatný rozdíl. Mimo jiné chyba x má znaménko, nejistota ux ne.

Interval hodnot, v němž leží pravá hodnota měřené veličiny, se v praxi stanovuje tak, aby v něm pravá hodnota měřené veličiny ležela s velkou pravděpodobností (zpravidla alespoň p = 95 %). Co to znamená ? Necháme-li měření provést k experimentátorům, pak pro dostatečně veliké k bude platit, že p % experimentátorů zachytí svým intervalem pravou hodnotu měřené veličiny, (100 - p) % ne.

Kromě (absolutních) chyb a (absolutních) nejistot, měření se definuje relativní chyba a relativní nejistota měření vztahem

(1.3)resp.

(1.4)

Klasifikace chyb a nejistot měřeni

1. Hrubá chyba, resp. hrubá nejistota, vznikají omylem při čtení nebo zápisu naměřené hodnoty, resp. poruchou měřidla. Způsobují hrubé zkreslení výsledků (často i několik řádů). Abychom je odhalili, musíme předběžně znát alespoň řádovou hodnotu výsledku měření (z literatury, z předcházejících experimentů, z orientačního měření apod.). Korigování buď není vůbec možné (nejistota) nebo je neúčelné (chyba). V obou případech měření anulujeme a měříme znovu.

2. Soustavná chyba, resp. soustavná nejistota měřeni (nejistota typu B) B vznikají konstantním působením fyzikálních jevů, které není zahrnuto v námi uvažovaném modelu. Důsledkem je, že při opakování měření jsou všechna jednotlivá měření zkreslena stejným způsobem, takže vzájemným porovnáním těchto měření zkreslení nemůžeme odhalit.

a) Známe-li toto konstantní působení, má charakter soustavné chyby ve smyslu definiční rovnice (1.1). Tuto chybu známe jak co do velikosti, tak i co do znaménka. Můžeme ji odstranit korekcí a tím se jí zbavujeme. Dále ji již nebereme v úvahu, pouze v závěru při uvádění výsledku měření uvedeme provedené korekce (hovoříme o korigovaném výsledku měření).

Korekce k je tedy hodnota, která, je-li připojena k nekorigovanému výsledku měření, kompenzuje známou systematickou chybu x, přičemž

k = -x (1.5)(tj. korekce je rovna předpokládané systematické chybě s opačným znaménkem).

7

Korigovaný výsledek měření pak jex = xi + k . (1.6)

Například: 1. Při měření proudu I, který prochází rezistorem s odporem R, ampérmetrem A v zapojení na obrázku zřejmě platí

IA = I + IV

a tedyI = IA – IV

Proud IV, procházející voltmetrem, je soustavnou chybou V

Korigovaný výsledek měření proudu I je

I = IA + k,

kde k = -V.

2. Při měření délek mikrometrem nemusí nulová poloha na mikrometrickém šroubu splývat s nulou na měřidle. V takovém případě musíme o tuto hodnotu korigovat měřenou délku.

b) Neznáme-li konstantní působení fyzikálních jevů, tj. nedá-li se vliv tohoto působení odstranit korekcí, můžeme pouze stanovit (fyzikálním rozborem, z údajů výrobce komerčního měřidla, případně kvalifikovaným odhadem na základě zkušeností experimentátora) interval, ve kterém se nachází pravá hodnota fyzikální veličiny. Pak toto konstantní působení fyzikálních vlivů má charakter soustavné nejistoty měření (nejistoty typu B). Pro nejistotu typu B veličiny X budeme používat symbol uBX.

3. Je-li působení fyzikálních jevů v procesu měření nahodilé, získáme při opakovaném měření náhodně rozptýlené hodnoty. Tak vznikají náhodné chyby resp. náhodné nejistoty měření. Náhodné chyby pro jejich neznalost odstranit nelze, lze pouze odhadnout metodami matematické statistiky náhodnou nejistotu měření (v literatuře také označovaná jako nejistota typu A), pro kterou používáme symbol uAX.

Obecné lze předpokládat, že daný proces měření veličiny X může vést k současnému výskytu soustavných nejistot uBX a náhodných nejistot uAX měření. Mohou nastat tři zásadní možností:

- náhodné nejistoty význačně, řádově (minimálně jeden řád) převažují nad nejistotami soustavnými, pak uX uAX ,

- soustavné nejistoty význačně, řádově převažují nad náhodnými, pak uX uBX ,- náhodné i soustavné nejistoty jsou srovnatelné, stejného řádu. Pak celková nejistota

.

To, zda převládnou soustavné nebo náhodné nejistoty, závisí na mnoha okolnostech. Především záleží na tom, zda sama měřená veličina má náhodný (fluktuační) charakter (např. počet přeměn atomového jádra radioaktivního prvku za jednotku času) nebo je za daných podmínek konstantní (např. délka tyče).

Dále záleží na tom, zda měřidlo reaguje v případě konstantního vstupního údaje na výstupu konstantním resp. fluktuačním údajem. Mnohá měření, která se jeví jako nefluktuační, přejdou do

8

=

V

A

IA

IVI

R

oblasti fluktuací, jestliže měřidla využíváme „nad meze jejich možností". Například mikrometr je určen pro měření s přesností setin milimetru. Jestliže se snažíme dosáhnout přesnosti vyšší (tisícin milimetru), pak zjistíme, že naměřené hodnoty nejsou již opakovatelné. Při opakovaném měření (za stejných podmínek) můžeme získat soubor fluktuačně rozptýlených hodnot. Důvodů může být mnoho: od náhodně působící třecí spojky až např. po rozptýlení při odhadování hodnoty odečítaného zlomku dílku stupnice.

E. Měření hodnoty fyzikální veličiny z pohledu matematické statistiky

Číselné veličiny, které mění svou hodnotu působením náhodných vlivů se v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice nazývají náhodné veličiny. Jejich konkrétní hodnoty jsou určeny výsledkem nějakého pokusu, ale nelze je před provedením pokusu určit. Náhodná veličina nabývá tedy svých hodnot v závislosti na náhodě. Z tohoto pohledu je fyzikální veličina, jejíž hodnotu chceme za daných podmínek zjistit měřením, náhodnou veličinou.

Výsledkem opakovaného měření hodnoty fyzikální veličiny za stejných podmínek je konečný soubor naměřených hodnot. Z hlediska matematické statistiky je to určitý výběr, který (teoreticky) pochází ze základního statistického souboru. Základní statistický soubor měření hodnoty fyzikální veličiny na nějakém objektu můžeme považovat teoreticky za nekonečný.

Působení náhodných vlivů na jednotlivá měření způsobuje náhodnou chybu těchto měření (ve smyslu definičního vztahu (1.1)). Ukazuje se však, že u vícenásobně opakovaného měření za stejných podmínek je každé jednotlivé měření zatíženo nějakou jinou náhodnou chybou. Soubor těchto měření je pak možno zpracovat na základě statistických zákonů. To umožní podat o hodnoto měřené veličiny informace, které se již blíží skutečnosti.

Pro vznik statisticky zpracovatelného souboru musí být splněny dvě objektivní podmínky, a to:1. nahodilost jednotlivých výsledků měření a2. vzájemná nezávislost jednotlivých výsledků měření.

Pouhé opakování měření není ještě zárukou, že vznikne statisticky zpracovatelný soubor. Uveďme si dva příklady:Příklad 1. Máme změřit tloušťku planparalelní desky. Víme, že pro daný účel postačí výsledek řádově

na desetiny milimetru. K tomu nám stačí měření posuvkou. V případě, že bychom měření opakovali, dostaneme s největší pravděpodobností tutéž neměnnou hodnotu. Kdybychom tento soubor hodnot zpracovali formálně statisticky, dospěli bychom k nelogickému výsledku - obdrželi bychom nulovou nejistotu.

Příklad 2. Máme změřit průměr válcové tyče. Výsledek se požaduje řádové tisíciny milimetru. Použijeme ledy mikrometr a tisíciny milimetru budeme odhadovat. Opakovaně budeme měřit průměr tyče a přitom měnit s jistým krokem místo měření podél délky tyče.Po změření bychom měli nejprve zjistit, zda naměřené hodnoty netvoří deterministickou (funkčně vymezenou) závislost průměru na délkové souřadnici. Jestliže ne, pak použití statistiky je na místě. Jestliže ano, pak musíme pro zpracování výsledků měření zvolit metodu nestatistického charakteru, například průměr d zjistíme ze vztahu a nejistotu ze vztahu . Výsledek pak musíme nutně doplnit komentářem, ve kterém popíšeme způsob matematického zpracování výsledků měření a popř. uvedeme významovou interpretaci tohoto výsledku.

Z předchozího textu a uvedených příkladů plyne důležitý závěr. Pro hodnocení výsledků měření nejistotou typu A (náhodnou nejistotou) nelze výsledků matematické statistiky používat bezhlavě.

9

Budeme ji používat jen tam, kde je to možné a účelné. V ostatních případech použijeme k hodnocení výsledku měření nejistoty typu B.

F. Postup při určování nejistot měření

1. Určování nejistot při přímém měření

Pří přímém měření získáváme hodnoty měřené veličiny přímo bez měření veličin, které jsou funkčně vázány s měřenou veličinou.

a) Určení nejistoty typu A veličiny X uAX

Všechny uvedené výsledky pro výpočet nejistoty typu A (náhodné nejistoty) vyplývají z metod matematické statistiky a jsou uvedeny bez odvození a teoretického zdůvodnění.

Měření veličiny X provádíme n-krát opakovaně za stejných podmínek. Získáme hodnoty x1, … xn. Z těchto hodnot vypočítáme aritmetický průměr

Ten nám určuje konvečně pravou hodnotu měřené veličiny. (Z hlediska matematické statistiky je

).

Mírou nejistoty typu A udávané hodnoty měřené veličiny X je

(Z hlediska matematické statistiky je bodovým odhadem rozptylu náhodné veličiny X). Pro počet měření n10 je nejistota typu A měřené veličiny X

Pokud je počet opakovaných měření n < 10, lze uAx stanovit přibližně za vztahu

Kde kS je koeficient jehož velikost závisí na počtu měření a je dán tabulkou, která je převzata ze základních metrologických dokumentů platících v zemích EU (viz. tabulka 1.2).Z tabulky je vidět, že pro n < 5 tento postup vede k neúměrnému zvětšování nejistoty a získané hodnoty naměřené veličiny mají spíše informační charakter. Proto se doporučuje volit počet měření větší než 10, v krajním případě větší než 5.

Tabulku 1 . 2 : K výpočtu uAX pro n < 10

Počet měření n

koeficientkS

2 7,03 2,34 1,75 1,46 1 , 3

10

7 1,38 1,29 1,2

b) Určení nejistoty typu B veličiny X uBX

Zdrojem nejistoty typu B (soustavných nejistot měření) jsou nedokonalosti- použitých měřicích prostředků- použitých měřicích metod- podmínek měření, zejména hodnot ovlivňujících veličin- použitých konstant (jejich zaokrouhlení)- vztahů použitých při vyhodnocování

Určit nejistotu typu B zohledněním všech uvedených vlivů je pro nezkušeného experimentátora velmi obtížné.

Omezíme se tedy jen na tyto případy:1. Určení uB převzetím hodnot nejistoty z technické dokumentace měřícího přístroje – zejména

u digitálních měřidel.2. Určení uB z třídy přesnosti měřicího přístroje – u analogových (ručičkových) měřidel.3. Určení uB odhadem.

ad1.) a ad2.) – bude uvedeno později.

ad 3.) Odhadneme odchylku zmax od příslušné nominální hodnoty veličiny X, jejíž překročení je málo pravděpodobné.

Pak

(Vztah vychází z matematické statistiky pro případ, že rozdělení pravděpodobnosti odchylek z v intervalu zmax je rovnoměrné.)

Příklad:Měření délky l pásovým metrem.Maximální odchylka čtení na stupnici je zmax = 1 mm (nejmenší dílek stupnice).Pak

c) Určení (kombinované) nejistoty ux

(Kombinovanou) nejistotu ux určíme ze vztahu

.Obecně platí:

Je-li poměr je možné menší složku zanedbat.d) Zápis výsledku měření

Výsledek měřené veličiny X zapíšeme ve tvaru

[X].

11

Hodnoty nejistot se zásadně zaokrouhlují, a to na 2 platné číslice, přičemž se upřednostňuje zaokrouhlování nahoru (při školních měřeních stačí zaokrouhlováni na 1 platnou číslici). Podle řádu platných číslic nejistoty zaokrouhlujeme střední hodnotu . Na větší počet platných číslic (3 až 4) ponecháváme nejistoty, se kterými dále pracujeme.

Příklady:l = (2,680,05) cm … správný zápisl = (2,680,051) cm … špatný zápisl = (2,6800,05) cm … špatný zápisl = (2,680,051) cm … špatný zápis

PoznámkaNejistota měření veličiny X (v literatuře je také nazývaná standardní nejistota) uX dává interval (

) ve kterém leží pravá hodnota měřené veličiny s poměrně malou pravděpodobností (kolem 70%).Praxe ale žádá hodnotu nejistoty, která by dávala takovýto interval s větší pravděpodobností (alespoň 90% a větší). Proto se určuje tzv. rozšířená nejistota UX ze vztahu

UX = ku.uX .

Kde ku je koeficient rozšíření, Podle norem EU se doporučuje volit ku = 2.

2. Určování nejistot při nepřímém měření

Uvažujme případ, kdy veličina Y, jejíž hodnotu chceme zjistit, je funkčně vázána s veličinami X1, X2 … Xm

Y = f(X1, X2 … Xm) (1.37)Veličiny X1, X2 … Xm získáme přímým měřením s určitými nejistotami. Měření opakujeme n-krát a pro každou veličinu získáme sérii hodnot x1i, x2i … xmi (i =1,2, … ,n).Výsledkem měřeni je hodnota y, kterou obecně můžeme vypočítat dvěma způsoby:a) dosazením výběrových průměrů přímo měřených veličin do vztahu (1.37)

(1.38)

b) jako výběrový průměr z hodnot yi získaných ze vztahu (1.37) pro každou sérii naměřených hodnot x1i, x2i … xmi

(1.39)

Poznámky :1. Výpočet podle rovnice (1.39) je přesnější pro nelineární závislost (1.37). Pro lineární závislost (1.37) jsou oba způsoby výpočtu rovnocenné.2. Výpočet podle vztahu (1.38) je možný i tehdy, jestliže měření veličin X1, X2 … Xm nebyla provedena v sériích a počet opakovaných měření pro jednotlivé veličiny byl různý.

12

Jestliže hodnoty X1, X2 … Xm byly stanoveny nezávislými měřeními, pak standardní nejistoty uX1, uX2,..., uXm přímo měřených veličin se přenášejí na standardní nejistotu uy vypočítané veličiny podle vztahu, kterému se říká Gaussův zákon šíření nejistot:

(1.40)

Velmi jednoduché výsledky pro výpočet nejistoty uy dostaneme ze vztahu (1.40) pro některé základní početní operace:

a) pro absolutní nejistotu uy

aa) je-li Y = X1 X2, pak ,

ab) je-li Y = k . X, kde k je přesně dané reálné číslo, pak uY = k . uX ,

b) pro relativní nejistotu ury

ba) je-li Y = X1 . X2 nebo Y = , pak ,

bb)je-li Y = k . X, kde k je přesně dané reálné číslo, pak urY = urX ,bc) je-li Y = Xk, kde k je přesně dané reálné číslo, pak urY = k . urX .

Příklad:Máme určit nejistotu veličiny Y = X1 + 3. . Veličiny X1 a X2 byly naměřeny s nejistotami uX1 a uX2.Nejistotu veličiny Y můžeme získat postupně s využitím vztahů pro nejistoty základních početních operací (vyhneme se parciálním derivacím ve vztahu (1.40)).

Podle bb) a bc) je a tedy

Podle aa) je

Výsledek si můžete zkontrolovat použitím vztahu (1.40).

G. Určování nejistot měřených veličin elektrickými přístroji

U většiny komerčně vyráběných přístrojů udává jejich výrobce soustavnou absolutní nejistotu (typu B) buď v průvodní dokumentaci, nebo přímo na přístroji.U digitálních měřících přístrojů výrobce uvádí obvykle v technické dokumentaci algoritmus výpočtu absolutní nejistoty.Např. 3 % z nastaveného rozsahu ± 1 digit.

(Vyraz „± 1 digit" znamená připočíst jedničku k poslední zobrazené číslici. Je to konstantní složka nejistoty).

13

Místo údaje ,,z nastaveného rozsahu může výrobce někdy zadat požadavek" z naměřené (tj. odečtené) hodnoty", nebo obojí. (Např. ± 0,02 % rdg. ± 2 digits).

Příklad 1.3 Určete absolutní nejistotu naměřených hodnot napětí digitálním voltmetrem s nastaveným měřicím rozsahem 100 V. Nejnižší řád zobrazené hodnoty je 10 -1.V dokumentaci voltmetru je pro daný rozsah algoritmus ±0,3% z rozsahu ± 1 digit.

Řešení : nejistota pro daný rozsahkonstantní nejistota 1 digit 0,1 (V)absolutní nejistota naměřených hodnot uU = 0,4 (V)

U analogových (ručkových) měřicích přístrojů je nejistota udána nepřímo pomocí třídy přesnosti p. Třída přesnosti u měřicích přístrojů elektrických veličin je udána kladným bezrozměrným číslem, vybraným z řady těchto stanovených čísel :

0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 5,0.

Třída přesnosti určuje skupinu měřicích přístrojů, které splňují určité metrologické požadavky stanovené k udržení chyb v rozsahu specifikovaných mezních hodnot. Tato definice, i když přímo neslouží jako algoritmus pro stanovení třídy přesnosti (popř. pro výpočet nejistot z třídy přesnosti), vystihuje velmi dobře podstatu problému, tj. stanovení mezí, v nichž leží všechny chyby daného měřicího přístroje, tedy nejistotu.Pro stanovení třídy přesnosti se přístroje kalibrují podle normálu. Číselná hodnota třídy přesnosti přístroje se při této kalibraci určí jako maximální hodnota relativní chyby v procentech (daného rozsahu) zaokrouhlená na nejblíže vyšší číselnou hodnotu doporučené řady čísel.

Výrobce měřicích přístrojů třídou přesnosti zaručuje, že nejistota určená z definice číselné hodnoty třídy přesnosti vymezuje interval x ± ux , ve kterém leží pravá hodnota měřené veličiny se 100 % spolehlivostí při dodrženi vztažných podmínek (udává je pro daný měřicí přístroj norma nebo výrobce).Velikost absolutní nejistoty ux hodnot měřené veličiny X je uvedené procento p z nejvyšší hodnoty nastaveného měřicího rozsahu M, kde p je třída přesnosti měřicího přístroje :

(1.63)Příklad 1.4 Vypočítejte absolutní nejistotu naměřených hodnot napětí U voltmetrem třídy

přesnosti 1,5, měřených na rozsahu 120 V. Řešení:

Protože p = 1,5 a M = 120 V, je podle (1.63) .

(Při zaokrouhlování nejistot na jednu platnou cifru při školských měřeních

U měřicích přístrojů, jejichž nejistota je zadaná třídou přesnosti, můžeme snadno provést předběžnou rozvahu, zda přístroj je způsobilý měřit v rámci požadované nejistoty.

Příklad 1.5 Třída přesnosti voltmetru je 1 a přípustná relativní nejistota měření u rU 3 %. Můžeme tímto voltmetrem měřit v rámci požadované nejistoty?

Řešení: Absolutní nejistota je dána vztahem (1.63), tj. Označíme-li q výchylku na stupnici voltmetru (v procentech z rozsahu stupnice), pak měřenou veličinu můžeme vyjádřit obdobně

14

Pro relativní nejistotu pak dostaneme

a odtud

kde p a q jsou v %.

Dosazením dostaneme

To znamená, že požadovaná nejistota do 3 % bude splněna, pokud měřená hodnota nepoklesne pod asi 33 % zařazeného rozsahu. Pokud potřebujeme měřit nižší hodnoty, musíme mít možnost zařadit nižší rozsah, jinak by podmínka požadované nejistoty nebyla splněna.

Praktický závěr k příkladu 1.5:Čím menší hodnotu veličiny na daném rozsahu změříme, tím větší je relativní nejistota měření.Zařazený rozsah zpravidla volíme tak, abychom hodnoty měřené veličiny mohli odečítat ve druhé polovině rozsahu stupnice.

H. Měření pravidelné se opakujících veličin

Metody uvedené v tomto odstavci se dají použit pro měření pravidelně se opakujících veličin jako například doby kmitu kyvadel, vzdálenosti sousedních uzlů stojatého vlnění, ale i v případe měření velmi malých hodnot veličin.

1. Měření několikanásobku měřené veličinyJestliže hledaná (jednotková) hodnota x1 měřené veličiny je malá a my nemáme k dispozici žádné přesnější měřidlo pro její stanovení, můžeme postupovat tak, že místo hodnoty x1 změříme hodnotu xn = n.x1, tj. n-násobek hledané jednotkové hodnoty. Hledaná jednotková hodnota je pak x1 =. Ukažme si použití léto metody na měření dobu kmitu. Příklad 1.2 Měříme dobu kmitu mechanickými stopkami. Naměříme dobu jednoho kmitu T 1 = 2,4 s a nejistotu odhadneme na uT1 = 0,5 s (při měření časového intervalu ručními stopkami bývá systematická nejistota podle zkušenosti experimentátora obvykle v rozmezí 0,3 až 0,5 s). Naměříme-li ale dobu série např. 10 kmitů, obdržíme například T10 = 23,8 s, ale odhad nejistoty nemůže být jiný než v předchozím případě, protože měření probíhá stejným způsobem (provádí je týž experimentátor se stejnými stopkami). Proto Na jeden kmit pak ale připadne odhad nejistoty

a odhad měřené hodnoty je

15

Výsledkem měření tedy bude

T1 = (2,38 0,05) s.

Stejným způsobem jako v přiklade 1.2. můžeme měřit např. objem velmi male nádobky (třeba tak, že zvážíme hmotnost n-násobného objemu destilované vody) nebo tloušťku neizolovaného velmi tenkého drátu, nemáme-li po ruce posuvku nebo mikrometr (navineme těsně vedle sebe třeba 100 závitů a délku můžeme změřit kvalitním pásovým metrem). Nejistotu odhadneme z možnosti čtení na příslušném měřidle. Musíme ale dávat pozor, aby nevznikla nějaká další systematická nejistota (např. v případě drátu způsobená tím, že závity nebudou těsně u sebe), popřípadě bychom měli odhadnout její velikost.

2. Postupná metoda

Postupná metoda (metoda postupných měření) je založena na principu postupného přiřazování (sumování) pravidelně se opakujících dílčích výsledků, a to postupným zaznamenáváním narůstajícího stavu.

Postupnou metodu si objasníme na měření doby kmitu kyvadla. Rozkýváme kyvadlo a stopkami zaznamenáváme postupně čas vždy po n kmitech kyvadla. Získáme hodnoty času t1, t2,..., tk,..., t2k, tj. sudý počet 2k hodnot (teprve pak stopky zastavíme). Naměřené hodnoty času jsou znázorněny schématem na obr. 1.7., kde i-tý naměřený čas t i je po vykonání i.n kmitů kyvadlem. Z naměřených časů vytvoříme rozdíly . Vše zapíšeme do tabulky na obr. 1.8.

i počet kmitů ti počet kmitů tk+i ti = tk+i-ti

s s s1 n t1 (k + 1) n tk+1 tk+1-t1

2 2.n t2 (k + 2) n tk+2 tk+2-t2

3 3.n t3 (k + 3) n tk+3 tk+3-t3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.k k.n tk 2 k.n t2k t2k-tk

16

(ti)

Obr.1.8

Zpracování naměřených hodnot ukážeme pro případ, že budeme zapisovat čas vždy po vykonání 4 kmitů kyvadlem (n = 4) a získáme 10 hodnot času, tj. k = 5 (viz tabulka na obr. 1.9).

Z pěti rozdílů tk vypočítáme aritmetický průměr.

a standardní nejistotu (typu A) uAt

.

Známe-li nejistotu typu B uBt, pak .

Za naměřenou hodnotu doby kmitu kyvadla T pak vezmeme hodnotu .

se standardní nejistotou

i počet kmitů ti počet kmitů tk+i ti = tk+i-ti

s s s1 4 t1 = 0 24 t6

2 8 t2 28 t7

3 12 t3 32 t8

4 16 t4 36 t9

5 20 t5 40 T1 (ti)

Obr.1.9

Poznámka:Délku kroku (tj. n) a počet měření času (tj. k) volíme případ od případu různě. Závisí to na velikosti periody kmitání, počtu kmitů, kdy kyvadlo kmitá přibližně netlumeně, schopnostech experimentátora apod.

I. Grafické zpracování měření

Grafické metody při zpracováni výsledků měření se týkají funkčních závislostí Y = F(X). Grafické zobrazení má poskytnout představu o průběhu funkční závislosti a má poskytnout možnost rychlého, i když co do přesnosti omezeného, odečtení hledané hodnoty dané funkční závislosti.

17

1. Vlastnosti grafického zobrazení

Základním pojmem grafických metod je zobrazování, tj. každé dvojici hodnot [x, y] získaných měřením přiřadíme bod [X, Y] v zobrazovací rovině prostřednictvím transformační rovnic

X = a.f(x), Y = b.g (y),

kde reálná čísla a, b nazýváme modulové míry, funkce f (x), g(y) nazýváme zobrazovací funkce.

Nejjednodušší a nejčastěji používané je lineární zobrazení:

X = a.x , Y = b.y , a, b 0(zobrazovací funkce jsou: f(x) = x, g(y) = y).

Toto zobrazení je názorné, nemění se charakter zobrazované závislosti (lineami závislost zůstává po transformaci opět lineární, kvadratická opět kvadratickou apod.). V celém rozsahu lze odečítat se stejnou absolutní nejistotou.

Z fyzikálního hlediska je nutno připomenout, že transformace zpravidla znamená nejen transformaci číselnou, ale současně i transformaci rozměrovou. Např. znázorníme-li naměřenou hodnotu x = 2 V jako X = 1 cm, pak z lineární transformace X = a.x vyplývá a = 0,5 cm.V -1.

2. Hlavní zásady konstrukce grafu

Grafické zobrazení měřené funkční závislosti je možno realizovata) proložením měřených bodů křivkou „od oka",b) proložením měřených bodů křivkou vypočítanou metodou nejmenších čtverců,c) použitím počítače a komerčních počítačových programů.

Pro zcela běžné posouzení funkční závislosti je způsob a) nejrychlejší a obvykle zcela dostačující. Potřebujeme-li však z grafu odečítat numerické hodnoty, pak nás musí zajímal, s jakou přesností můžeme tyto hodnoty odečítat, tj. musíme znát interval nejistot. Nejdůležitější zásady, kterými se musíme řídit při konstrukci grafu „od oka" (a musí být zachovány i v počítačových programech, které křivku jen prokládají) jsou následující:1. Velikost grafu nemá překročit únosný formát (zpravidla A4), přičemž z grafu by mělo být možno odečítat na plný počet platných číslic naměřených hodnot.2. Modulové míry (měřítka na osách) je nutno přizpůsobit tak, aby se zobrazované přímky neblížily rovnoběžkám s některou z os, a protínající se křivky (tam, kde průsečík určuje nějakou odečítanou hodnotu) nesvíraly v průsečíku malý uhel. Ve všech těchto případech přesnost odečítání prudce klesá. Přiklad správně zvoleného měřítka je na obr. 1.12 a nesprávné zvoleného měřítka na obr. 1.13.

3. Nejčastější chybou bývá, že se za počáteční bod stupnice volí paušálně nula, i když značná část rozsahů (nulou počínaje) zůstane nevyužita. Vlastní graf je pak ve skutečnosti malý a odečítání z něj je nepřesné (viz obr. 1.13). Správně postupujeme tak, že nejprve z naměřených bodů zjistíme (pro každou osu zvlášť) okrajové body a tyto hodnoty (vhodně zaokrouhlené) použijeme za počáteční a koncové body stupnice.Je také nutno respektovat vynášení nezávisle proměnné na osu x a závisle proměnné na osu y .

18

4. Osy popisujeme symbolem měřené veličiny a příslušnou jednotkou. Na osu zásadně vynášíme ekvidistantní hodnoty proměnných (např. 50,0 , 55,0 , 60,0 , ... ), nikoliv naměřené hodnoty. Naměřené hodnoty lze v případě potřeby vyhledat ze zápisu měření. Nedodržení tohoto pravidla znamená ztížení odečítání z grafu. Čísla, jimiž popisujeme osy, mají mít tolik číslic, kolik je jich možno z grafu odečíst - to platí zvláště pro vypisování pravostranných nul. Tak např. zapisujeme 50,0 , 55,0 , 60,0 , jestliže na 3 číslice můžeme skutečně odečítat. Zápis 50 ; 55 ; 60 ; ... by v tomto případě byl nesprávný. Důvod spočívá v tom, že správný počet číslic nás bezprostředně informuje o možné přesnosti odečítání.

5. Graf má být co nejvíce přehledný a názorný - nezakreslujeme do něj žádné pomocné čáry, pokud pro to není závažný důvod. Zásadně však zakreslujeme všechny body, z nichž je graf konstruován. Skládá-li se graf z více různých křivek, odlišíme je různým provedením (barvou, charakterem čáry apod.). Rovněž body patřící k různým křivkám vždy odlišujeme různým provedením (např. +, x, , , ...).

Zobrazovaná křivka nesmí být narýsována tlustou čarou, zvláště tam, kde volíme kompromisně malá měřítka. Snadno by se nám totiž mohlo stát, že již sama tloušťka čáry by znamenala značnou nepřesnost v odečítání.

6. Zobrazujeme-li funkce, jejichž hodnoty byly získány měřením (a jsou ledy zatíženy nejistotami měření) není správné, aby křivka procházela všemi naměřenými body. Sledovala by totiž přesně hodnoty zatížené chybou, zatímco naším cílem je chyby z měření eliminovat.

Rovněž není správné (jak často vidíme u kalibračních křivek) spojovat naměřené body lomenou křivkou (polygonem). Převážné většině fyzikálních závislostí odpovídá „hladká" křivka, bez „hrotů" a četných inflexních bodů. Zalomení křivky znamená z matematického hlediska neexistenci derivace v tomto bodě, což je závažná skutečnost, která u většiny reálných fyzikálních křivek nepřichází v úvahu.

Proto postupujeme takto:a) Křivku volíme takového typu, aby odpovídal dané fyzikální závislosti (pokud ji známe anebo alespoň můžeme odhadnout). Např. Jestliže závislost U = f(I) se řídí Ohmovým zákonem, pak víme, že jde o typ lineární závislosti.b) Jestliže prokládáme křivku „od oka", pak se snažíme, aby křivka procházela co nejvíce body (anebo ležela alespoň v jejich bezprostřední blízkosti) a aby body neležící na křivce byly rozloženy po obou jejich stranách (viz. obr. 1.14).

19

c) Volíme dostatečný počet bodů (např. 30) , neboť z malého počtu rozptýlených bodů (např. 5) nelze zpravidla žádnou křivku spolehlivě sestrojit.

d) Křivku neextrapolujeme mimo oblast naměřených hodnot (není-li pro to oprávněný důvod) a v oblasti nespolehlivých a značně nepřesných měření křivku neprokládáme vůbec, anebo ji vyznačíme výrazně odlišným způsobem (např. čárkovaně).

e) Pokud je to jen trochu možné, tak naměřené body vynášíme do grafu a graf konstruujeme současně s měřením. Výrazná maxima, minima apod. zkonfrontujeme ihned s fyzikální podstatou problému (jsou-li vůbec možná), a raději dotyčný úsek ještě jedenkrát pečlivě, hustěji (s menším krokem) proměříme (viz obr. 1.15). Tím např. zjistíme, že domnělé maximum je jen hrubá neurčitost v měření (a takové měření vyloučíme), nebo to může být jen jeden z bodů vzestupné nebo sestupné části křivky a skutečné maximum či minimum leží ve skutečnosti jinde.

f) Do grafu vynášíme i nejistoty jednotlivých bodů jako ± úsečky v patřičném směru, tj. směru osy X nebo Y. Nejistota jednotlivých bodů by měla tvořit obdélník nejistot. Tyto nejistoty jsou základem pro vytvoření pásu nejistot (konfidenční pás).

20