Vyhledávání v časových řadách
Martin Chrz
Časové řady a databáze
Časová řada je posloupnost reálných čísel, které reprezentují měření reálné proměnné v určitých časových intervalech Vývoj kurzů akcií Záznam teploty v určitých intervalech Objem prodejů v čase Audio záznam
Databáze časových řad obsahuje obrovské soubory dat Např. vývoj kurzů na New Yorkské burze
Podobnost časových řad
Problém s definicí podobnosti Trend křivky Velikost fluktuací Hustota a frekvence fluktuací Absolutní hodnoty prvků časových řad
U časových řad nás typicky zajímá „tvar křivky“ Např. : Najdi všechny akcie, které se chovají
podobně jako akcie IBM
Jak definovat podobnost časových řad? Formální definice databáze časových řad
DB = {X1, X2, ..., XN}, kde Xi = [x1i, ..., xn
i] je časová řada
Dotaz je nějaký bod v tomto prostoru Q=[q1,q2,...,qn]
Množina výsledků R = {X1, X2, ..., XM}, kde každý prvek R splňuje D(Xj, Q) < d
D je Eukleidovská vzdálenost:
j
jj yxYXD2
),(
Zpracování dotazů – sekvenční algoritmus Jednoduchý algoritmus:
porovnáme dotaz q s každým záznamem v databázi a do výsledku vložíme ty záznamy, které splňují uvedenou nerovnost
Úplně přesné výsledky... ... ale za jakou cenu
Pomalé – pro každý vektor se počítá drahá funkce pro podobnost
Matematické transformace - DFT Převádí signál do frekvenčního oboru Existuje rychlý algoritmus pro výpočet Fourierových
koeficientů v čase O(n log n) Časová řada je Xi = [x1
i, ..., xni] a koeficienty se
spočtou následovně:
1,...,1,0,1 1
0
2
1
nfexn
Xn
t
n
tfiit
if
DFT – indexace
1. Každou posloupnost rozděl na podposloupnosti stejné délky
2. Normalizuj všechny podposloupnosti tak, aby všechny hodnoty spadaly do určitého rozmezí
3. Pomocí DFT spočti Fourierovy koeficienty pro podposloupnosti
4. Pro reprezentaci podposloupností použij pouze prvních k koeficientů
5. Tyto koeficienty zaindexuj – např. do R - stromu
Dotazování
Dotaz Q má stejnou délku jako všechny podposloupnosti v databázi
1. Na dotaz aplikuj kroky 2 a 3 z indexační fáze2. Použij pouze prvních k koeficientů, stejně jako v
kroku 4 v indexační fázi (máme transformovaný dotaz Q´)
3. Prohledej R – strom a do R´ vlož všechny podposloupnosti, které mají od Q´ menší vzdálenost než d
4. Zkontroluj každou podposloupnost v R´, zda její zkutečná vzdálenost od Q je menší než d
Vlastnosti vyhledávání
Počítáním pouze s prvními k koeficienty držíme pouze přibližný tvar časové řady
Z Parcevalovy rovnosti plyne, že vzdálenost mezi dotazem a podposloupností je v indexovaném prostoru vždy menší nebo rovná vzdálenosti skutečné
V bodě 3 vyhodnocování dotazu proto můžeme zanést do výsledků false hits (množina R´ je vždy nadmnožina R)
Rozložení signálu algoritmem DFT
Při návrhu je potřeba rozmyslet, kolik koeficientů ponechat Málo koeficientů → rychlé hledání, ale nepřesné Příliš mnoho koeficientů → pomalé, ale přesnější hledání
Reverzní DFT
Symetrie DFT koeficientů
U reálných řad jsou koeficienty symetrické, t. j. posledních k koeficientů je komplexně sdružených k prvním k koeficientům
Díky tomu lze zvýšit přesnost výpočtů, aniž by se zvýšil počet zaindexovaných koeficientů
Pokud tedy máme prvních k koeficientů, můžeme počítat s 2k koeficienty
Tato technika umožňuje podstatně snížit chyby ve výpočtech a počet false hitů
Symetrie DFT koeficientů
Diskrétní waveletová transformace - DWT Chová se podobně jako
DFT, ale používá rekurzivní funkce místo sinusoid
Každý signál v L2(R) lze rozložit pomocí matice koeficientů aj,k
Množina těchto koeficientů se nazývá DWT
ktt jkj
j
22)( 2,
kjkjkj
kj
jkj
ta
ktatfj
,,,
,,
)(
22)( 2
Rozložení signálu algoritmem DWT
Vlastnosti DWT
Dekompozice původního signálu je podobná jako u DFT
U DFT se jednotlivé složky liší frekvencí, zatímco u DWT se liší jak frekvencí, tak i pozicí (posunem)
Elementární signály tedy u DWT nepřispívají svou hodnotou celému původnímu signálu, ale pouze jeho části
DWT funkcí existuje spousta typů Stejně jako u DFT se pro indexaci používá pouze
prvních k koeficientů
Reverzní DWT
Reverzní DFT x reverzní DWT Počty koeficientů u předchozího obrázku
stejné, na stejné křivce Výsledky DWT jsou jednoznačně lepší Dáno způsobem rozkladu
DWT umožňuje nejen rozklad na vyšší frekvence jako DFT, ale i zakomponování posunu, což značně zvyšuje přesnost
Je tedy DWT lepší?
Porovnání DFT a DWT
Experimentální výsledky ukazují, že DWT je skutečně lepší než DFT
Dosud jsme ovšem neuvažovali symetrii DFT koeficientů! V tomto případě je DFS s využitím symetrie vždy lepší než DWT V následujících experimentech byl použit 360 denní záznam 100
akcií Každý záznam byl rozsekán na podposloupnosti délky 128 Po dosažení konce původního záznamu byl použit začátek
sekvence Tím se pro každou akcii získalo 360 podposloupností, tedy
36000 vzorků pro vyhledávání Stejné dotazy byly zpracovávány algoritmem DFT, DWT a DFT s
využitím symetrie
Míra napodobení původního signálu po reverzních transformacích
Míra napodobení původního signálu po reverzních transformacích - zvětšení
Experimentální výsledky - souhrn Experimentální výsledky hovoří pro použití
DFT algoritmu s využitím symetrie koeficientů Dimenzionalita indexu je v praxi velmi
důležitá, zejména pokud je použit R – strom, protože R – stromy degenerují už při relativně nízké dimenzi (kolem 10)
Efektivita DFT algoritmu s využitím symetrie je mnohem vyšší než efektivita DWT právě v nízkých dimenzích
Matematické transformace
Dosud jsme se zabývali indexací a vlastním vyhodnocením dotazu
Vhodnými transformacemi lze však časové řady předzpracovat tak, že bude vyzdvižen celkový trend křivky bez ohledu na krátkodobé fluktuace
Podobnost křivek je ve značné míře závislá na tazateli (např. dvě akcie jsou podobné, pokud mají stejné fluktuace v čase, i když jedna má třeba dvakrát větší hodnotu než druhá)
Základní transformace
Normalizace Nechť µ je průměrná hodnota řady Xk a σ je její
směrodatná odchylka. Pak xik´=(xj
k- µ)/ σ je normální forma řady Xk
Moment Vzniká vydělením hodnoty řady v čase t + 1
hodnotou řady v čase t (lze obecně brát hodnotu v čase t + n)
Základní transformace 2
Posunutí indexů xi
´ = xi±n
Moving average Moving average za n dní se pro hodnotu xi
´ spočte jako průměr z hodnot xj-n/2, ..., xi, ..., xi+n/2
Význam základních transformací Normalizace vyrovnává rozdíly průměrných hodnot
(například jedna akcie je dvakrát dražší než druhá) Moment vyjadřuje poměr, v jakém se hodnota řady
mění během daného období Posunutí indexů se používá v případě, kdy jedna z
řad kopíruje průběh té druhé s určitým zpožděním (například dvě různé akcie reagují jinak rychle na určitou událost na trhu)
Moving average v podstatě „vyhlazuje“ křivku Na různé typy dotazů se hodí různé typy
transformací
Příklad 1
Příklad 1
První řádek zobrazuje Dow Jones 65 akciový index (COMPV), NYSE akciový index a poté porovnání jejich normálních forem a 9 – ti denních moving average
Druhý řádek zobrazuje Dow Jones 65 akciový index (COMPV), NYSE akciový index a poté porovnání jejich normálních forem a 19 – ti denních moving average
Příklad 2
Příklad 2
Dvě různé akcie a jejich momenty za 128 dní Transformace (vypočítání momentu)
vyrovnala cenové rozdíly „špičky“ v grafech se liší o 5 dní Aplikací posunu indexů o 5 dní se výrazně
sníží vzájemná vzdálenost těchto řad
Transformace – obecně a více formálně Každá lineární transformace lze provést jak na řadu,
tak i na její index spočtený DFT algoritmem (linearita)
Transformaci lze obecně zapsat jako pár reálných vektorů t = (a, b)
Aplikací t na vektor x (dotaz nebo řada v k – rozměrném prostoru) dostaneme nový vektor x´ = a * x + b
Všechny uvedené transfomace (moment, posunutí indexů, normalizace, moving average) jsou lineární
Transformace - skládání
Chceme – li použít více transformací současně, je lepší použít transformaci složenou
Například u akcií chceme provést s – denní posun (posun indexů) a zároveň moving average pro m dní
Máme tedy t1 = (a1, b1) a t2 = (a2, b2), které chceme aplikovat na x
21212
211212
***
**
bbaxaa
bbxaaxtt
Transformace – skládání 2
Často je užitečné definovat množinu všech transformací, které se mají před vyhledáváním aplikovat
Například s – denní posun (posun indexů) a zároveň moving average pro m dní pro s = 0, ..., 10 a m = 1, ..., 40; označme tyto množiny transformací jako T1 a T2
Složení transformací t2(t1) lze zapsat jako t3 = (a3,b3), kde a3 = a2 * a1 a b3 = a2 * b1 + b2
22111233 ,| TtTttttT
Vyhodnocování dotazů
Demonstrační dotaz: Pro každý den máme kurzy akcie q a množinu transformací T. Najdi všechny akcie z DB a transformace z T, pro které je jejich Eukleidovská vzdálenost po transformaci menší než daná mez ε.
Množinu T tvoří moving average pro m dní pro m = 1, ..., 40. Najděte všechny akcie, které mají po transformaci podobný průběh jako akcie IBM.
Algoritmy vyhodnocení
Jednoduchý: Provést transformaci na každou řadu v databázi a
vzniklé řady porovnat Příliš neefektivní
Lepší: Provést na DFT index každé řady v databázi
požadovanou transformaci a na tento index udělat rozsahový dotaz
Výsledkem je sjednocení elementárních řešeních z předchozího kroku pro každou transformaci
Jak vyhodnocení vylepšit?
Provést všechny požadované transformace najednou Transformaci t = (a, b) lze chápat jako bod v 2n dimenzionálním
prostoru Pro všechny transformace zkonstruujeme minimální ohraničující
obdélník (MBR) Protože tento obdélník je v 2n dimenzionálním prostoru, je
potřeba ho rozložit do n dimenzionálního prostoru na dva obdélníky (jeden odpovídá a a druhý b)
Takto upravené transformace lze pak aplikovat na datové obdélníky
Předpokládá se existence DFT indexu uloženého v R – stromu s kořenem N
Transformace datového obdélníku
Algoritmus vyhodnocení – všechny transformace najednou1. Sestroj MBR r pro všecny „body“ v T a rozlož ho na
odpovídající složky
2. Sestroj „vyhledávací“ obdélník qrect kolem dotazu q. Šířka obdélníku je ε.
3. Pokud N není list, aplikuj r na každý prvek (obdélník) N a zkontroluj, zda neprotíná qrect. Pokud ano, opakuj na tento prvek bod 3.
4. Pokud N je list, aplikuj r na každý prvek (bod) N a zkontroluj, zda neprotíná qrect. Pokud ano, tento prvek je kandidát.
5. Pro každého kandidáta použij plný databázový záznam, proveď požadované transformace a spočti, zda vzdálenost je menší než ε.
Slabá místa algoritmu
Požadované transformace mohou být takové, že MBR, který je nad nimi postavený, pokrývá většinu daného prostoru
V takovém případě ztratíme výhodu provedení více transformací zároveň
V nejhorším případě se tento algoritmus chová stejně jako výše uvedený vylepšený algoritmus (procházíme celý prostor)
Řešením je spočítat více MBR, které už pokryjí mnohem méně prostoru – potřeba najít kompromis
Čas, potřebný na 1 dotaz při různém počtu procházených sekvencí
Čas, potřebný na 1 dotaz při různém počtu provedených transformací
Zdroje
Davood Rafiei, On Similarity-Based Queries for Time Series Data, University of Toronto
Yi-Leh Wu, Divyakant Agrawal, Amr El Abbadi, A Comparison of DFT and DWT Based Similarity Search in Time-Series Databases
Dimitrios Gunopulos, Finding Similar Time Series