1
Jarmila Novotná
Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta
Využití „neškolských strategií“ pro řešení úloh v matematice
na 2. a 3. stupni
2
Sledované řešitelské strategie
Pokus – ověření – korekce Jde o strategii, při které nejprve na základě našich
zkušeností odhadneme řešení předložené úlohy. Následně ověříme, zdali toto řešení vyhovuje zadání. Další případný odhad již uděláme na základě toho, jak vyšel předchozí výsledek. Takto postupujeme dále až do nalezení řešení.
3
Sledované řešitelské strategie
Pokus – ověření – korekce: příklad Určete dvě po sobě následující lichá přirozená čísla tak, aby jejich součin byl 323. V tabulce volíme postupně obě lichá čísla a zkoumáme jejich součin.
Podle posledního sloupce se pak rozhodujeme, zda čísla zvětšíme nebo zmenšíme, dokud nezískáme řešení.
Hledanými čísly jsou čísla 17 a 19.
První liché číslo
Druhé liché číslo
Součin čísel Je to číslo 323?
1 3 3 Není. To je (hodně) málo.
11 13 143 Není. To je málo.
21 23 483 Není. To je moc.
19 21 399 Není. To je moc.
17 19 323 Ano. To je ono.
Upraveno z učebnice Matematika 8, Cihlář J., Zelenka M., Praha 1998, str. 89/12
4
Sledované řešitelské strategie
Systematické experimentování Systematické experimentování je strategie, při
které se pokoušíme nalézt řešení úlohy pomocí jednotlivých experimentů. Nejprve vhodně aplikujeme algoritmus, pomocí kterého se snažíme vyřešit úlohu. Pak systematicky měníme vstupní hodnoty algoritmu tak dlouho, až nalezneme správné řešení.
5
Sledované řešitelské strategie
Systematické experimentování: příklad Část lístků do divadla stála 220 Kč a část byla po 160 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 19 300 Kč? Využijeme tabulkový procesor (tabulka krácena)
V divadle prodali 63 lístků po 220 Kč a 34 lístků po 160 Kč.
Počet lístků za cenu 220 Kč Cena v Kč
Počet lístků za cenu 160 Kč Cena v Kč Celkem v Kč
97 21 340 0 0 21 340
96 21 120 1 160 21 280
95 20 900 2 320 21 220
… … … … …
75 16 500 22 3 520 20 020
74 16 280 23 3 680 19 960
… … … … …
65 14 300 32 5 120 19 420
64 14 080 33 5 280 19 360
63 13 860 34 5 440 19 300
62 13 640 35 5 600 19 240
… … … … …
18 3 960 79 12 640 16 600
17 3 740 80 12 800 16 540
16 3 520 81 12 960 16 480
… … … … …
6
Sledované řešitelské strategie
Strategie analogie Analogie je určitý druh podobnosti. Máme-li řešit
zadanou úlohu, najdeme si analogickou úlohu, tj. úlohu, která bude pojednávat podobným způsobem o analogickém objektu. Pokud se nám podaří tuto novou úlohu vyřešit, nebo pokud její řešení známe, můžeme často metodu jejího řešení nebo výsledek použít i při řešení původní úlohy.
7
Sledované řešitelské strategie
Strategie analogie: příkladNa ujetí 420 km spotřebovalo auto 29 l benzínu. Jaká je jeho průměrná spotřeba benzínu na 100 km?
8
Sledované řešitelské strategie
Přeformulování úlohy Při použití této strategie přeformulujeme zadanou
úlohu na novou, někdy zcela jinou, úlohu, která je pro nás snadnější k řešení a jejíž řešení je buď přímo řešením původní úlohy, nebo nám její řešení podstatně přibližuje. Speciálním a velmi důležitým případem této strategie je překlad úlohy z jednoho matematického jazyka do jazyka jiného. Klasické úlohy geometrie, jako byla např. trisekce úhlu, se podařilo vyřešit ve chvíli, kdy byly přeloženy do jazyka algebry.
9
Sledované řešitelské strategie
Přeformulování úlohy: příklad
10
Sledované řešitelské strategie
Řešitelský obrázek Při použití grafické cesty si obvykle úlohu
znázorníme pomocí tzv. řešitelského obrázku. V něm vyznačíme to, co je dáno, a často i to, co chceme získat.
Někdy nás již pomocí tohoto znázornění napadne řešení dané úlohy (příklad A).
Ve většině případů však s obrázkem různě manipulujeme (např. dokreslujeme vhodné pomocné prvky) a pomocí takto doplněného obrázku úlohu vyřešíme (příklad B).
11
Sledované řešitelské strategie
Řešitelský obrázek: příklad A Na začátku měla Marie o 10 Kč více než Pavla. Obě získaly další peníze. Pavle se podařilo do dnešního dne svou částku zdvojnásobit, Marii přibylo 20 Kč. Nyní mají obě stejně. Kolik Kč měla každá z nich na začátku?
12
Sledované řešitelské strategie
Řešitelský obrázek: příklad A Na začátku měla Marie o 10 Kč více než Pavla. Obě získaly další peníze. Pavle se podařilo do dnešního dne svou částku zdvojnásobit, Marii přibylo 20 Kč. Nyní mají obě stejně. Kolik Kč měla každá z nich na začátku?
Na začátku měla Pavla 30 Kč a Marie 40 Kč.
13
Sledované řešitelské strategie
Řešitelský obrázek: příklad B Mějme čtverec vepsaný do kruhu, přičemž tento kruh je vepsán do čtverce. Určete, jaký obsah většího čtverce zaujímá menší čtverec:
Pomocí vhodného otočení menšího čtverce (viz obr.) a doplnění jeho úhlopříček úlohu již snadno vyřešíme.
Menší čtverec zaujímá polovinu obsahu většího čtverce.
Poznámka: Při řešení této úlohy jsme využili i strategii pomocného prvku (úhlopříčky menšího čtverce).
14
Sledované řešitelské strategie
Využití grafů funkcí
Pokud jsou v zadání úlohy funkce nebo pokud se při jejím řešení ukáže, že je vhodné nějaké funkce zavést, pak je obvykle vhodné si sestrojit grafy těchto funkcí. Takovéto grafy často velmi podstatným způsobem přispějí k nalezení řešení dané úlohy.
15
Sledované řešitelské strategie
Využití grafů funkcí: příklad
16
Sledované řešitelské strategie
Vypuštění podmínky Pokud nejsme schopni při řešení nějaké úlohy splnit
najednou všechny požadované podmínky dané úlohy, můžeme se pokusit některou z nich (či postupně i více z nich) vypustit. Pokud se nám povede takto oslabenou úlohu vyřešit, k vypuštěné podmínce se vrátíme a úlohu se pokusíme dořešit. Typickými úlohami tohoto typu jsou úlohy řešitelné pomocí stejnolehlosti.
17
Sledované řešitelské strategie
Vypuštění podmínky: příklad Sestrojte obdélník ABCD, jehož strany jsou v poměru 3 : 2 a jehož úhlopříčka má délku 7 cm. Vypustíme-li podmínku „úhlopříčka má
délku 7 cm“, dostáváme velmi jednoduchou úlohu. Sestrojíme obdélník AKLM, jehož strany budou mít délku např. 3 cm a 2 cm.
Hledaný obdélník je pak se sestrojeným obdélníkem stejnolehlý podle středu A. Vrchol C tedy leží na polopřímce AL ve vzdálenosti 7 cm od vrcholu A.
Další část konstrukce je zřejmá.
18
Sledované řešitelské strategie
Cesta zpět Předpokládáme, že to, co máme dokázat, resp. vypočítat,
zkonstruovat, platí, resp. existuje. Pak se snažíme z toho předpokladu odvodit něco, co už víme nebo co se dá snadno dokázat, resp. vypočítat či zkonstruovat. Od koncové situace se tak snažíme přiblížit se co nejvíc k situaci počáteční. Postup pak v konečném důkazu, výpočtu či konstrukci obrátíme.
Jedná se o strategii poměrně často v matematice používanou (viz např. rozbor konstrukční úlohy v geometrii nebo rozbor při konstrukci důkazu věty, která má stavbu implikace). Nemusíme však pomocí ní nalézt celou cestu, jak danou úlohu vyřešit.
19
Sledované řešitelské strategie
Cesta zpět: příklad
20
Sledované řešitelské strategie
Zobecnění a konkretizace Těmto dvěma strategiím by se ve školské matematice měla
věnovat mimořádná pozornost, protože obě stojí v samotném centru toho, čemu se říká matematické myšlení. Velmi úzce spolu souvisejí, skoro by se dalo říci, že jsou to dvě strany téže mince.
Máme zadanou úlohu. Někdy se ukáže, že pomocí její konkretizace dostaneme
úlohu, kterou umíme vyřešit a že pomocí tohoto řešení dokážeme vyřešit i původní úlohu. Návrat k původní úloze pak představuje zobecnění (příklad A).
Někdy naopak zadanou úlohu zobecníme a dostaneme tak úlohu, kterou jsme schopni vyřešit. Pomocí konkretizace se pak následně vrátíme k úloze původní (příklad B).
21
Sledované řešitelské strategie
Zobecnění a konkretizace: příklad A
22
Sledované řešitelské strategie
23
Sledované řešitelské strategie
Zobecnění a konkretizace: příklad B
Konkretizací pro n = 124 dostáváme řešení naší úlohy.
24
Sledované řešitelské strategie
Zavedení pomocného prvku Při řešení matematických úloh se někdy ukazuje vhodné do
tohoto řešení vložit pomocný prvek. Můžeme při tom být vedeni např. přesvědčením, že tím převedeme danou úlohu na úlohu, kterou jsme již dříve řešili, nebo že vznikne jednodušší úloha, kterou již budeme schopni vyřešit.
Takovým pomocným prvkem při řešení geometrických úloh může být např. bod nebo přímka, někdy to však může být i složitější geometrický útvar.
V algebře při řešení rovnic to obvykle bývá nová proměnná, kterou zavedeme. Často pak mluvíme o řešení rovnice pomocí substituce.
25
Sledované řešitelské strategie
Zavedení pomocného prvku: příklad
Převzato z Novoveský, Š., Križalkovič, K., Lečko, I. (1968). 777 matematických zábaviek a hračiek z učiva 6.-9. ročníka zákl. devätročnej školy. Bratislava: SPN.
Ta
Ta
26
Sledované řešitelské strategie
Zavedení pomocného prvku: příklad
Ta
27
Sledované řešitelské strategie
Rozklad na jednodušší případy Při této metodě rozložíme zadanou úlohu na několik
jednodušších úloh, které vyřešíme. Řešení zadané úlohy dostaneme spojením řešení všech jednodušších úloh.
Tato strategie se ve školské matematice typicky používá při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutními hodnotami.
28
Sledované řešitelské strategie
Rozklad na jednodušší případy: příkladNa obrázku je vyznačen rovnoběžník. Vrcholem Aveďte dvě přímky tak, abyste tento rovnoběžník rozdělili na tři části stejného obsahu.
Rozdělme uvažovaný rovnoběžník úhlopříčkou vycházející z vrcholu Ana dva shodné trojúhelníky.
Uvažujme např. trojúhelník ABC a pokusme se rozložit jej na tři shodné části.
29
Sledované řešitelské strategie
Rozklad na jednodušší případy: příkladNa obrázku je vyznačen rovnoběžník. Vrcholem Aveďte dvě přímky tak, abyste tento rovnoběžník rozdělili na tři části stejného obsahu.
Zadání jednodušší úlohy:Vrcholem A trojúhelníku ABC veďte dvě přímky tak, abyste tento trojúhelník rozdělili na tři části stejného obsahu.
30
Sledované řešitelské strategie
Rozklad na jednodušší případy: příkladNa obrázku je vyznačen rovnoběžník. Vrcholem Aveďte dvě přímky tak, abyste tento rovnoběžník rozdělili na tři části stejného obsahu.
Řešení jednodušší úlohy: Rozdělit stranu BC dvěma body na tři shodné části.
Návrat k původní úloze:
31
Sledované řešitelské strategie
Užití falešného předpokladu Strategie řazená mezi experimentování Řešitel na začátku určí odhad výsledku, u kterého si je však
vědom toho, že je pravděpodobně nesprávný (falešný). Provede ověření, v rámci kterého zjistí nejen, jestli jeho hodnota vyhovuje zadání úlohy (tak jak to probíhá i u strategií Pokus – Ověření – Korekce a Systematické experimentování), ale i to, jak moc se od hodnoty požadované liší. Přesněji řečeno, kolikrát je požadovaná hodnota jiná než hodnota námi získaná. Na základě tohoto zjištění provede úpravu předpokládaného výsledku. Podstatný je však charakter této korekce. Řešitel totiž neučiní, tak jako u strategie Pokus –Ověření – Korekce, další odhad, ale sofistikovaně již provede výpočet vedoucí k výsledku.
32
Sledované řešitelské strategie
Užití falešného předpokladu Na rozdíl od jiných druhů experimentování tato strategie není
univerzální, ale je specifická pro určité typy úloh. Mezi tyto úlohy patří ty, u kterých se v zadání objevuje určitá hodnota, která má poměrový vztah k námi hledané hodnotě. Z matematického pohledu v pozadí těchto úloh stojí linearita vztahů.
Na mysli tedy máme úlohy, kde výstupní hodnoty jsou lineárně závislé na vstupních hodnotách. Určením koeficientu podobnosti získáme údaj, jak změnit námi předpokládanou hodnotu výsledku (falešný předpoklad).
33
Sledované řešitelské strategie
Užití falešného předpokladu: příklad
Obsah vybarveného útvaru
ZadáníTrojúhelník ABC na obrázku má jednotkový obsah. Body P, Q, R, S dělí strany AC a BC na tři stejně velké části. Jaká je plocha vybarveného čtyřúhelníku?
Obsah vybarveného útvaru
Grafická cesta – řešitelský obrázek I
Přesuňme lichoběžník PRSQ do pásu nad ním, jak je ukázáno na obrázku.
Rovnoběžník RSTB přesuneme pod trojúhelník UCV a vzniknou tři shodné lichoběžníky, jak je patrno z obrázku.
Obsah vybarveného útvaru
Obsah vybarveného útvaru
Grafická cesta – řešitelský obrázek II
Zavedení pomocného prvku – řešitelský obrázek IIIDoplňme trojúhelník ABC na rovnoběžník
ABCD (viz obrázek). Sestrojme body E a Fjako průsečíky polopřímek PR a QSs úsečkou BD.
Úsečky PE a QF rozdělují rovnoběžník ABCD na tři shodné části. Úsečka BC rozděluje každou z těchto částí na dva čtyřúhelníky, přičemž trojúhelník QSC je shodný s trojúhelníkem ERB. Lichoběžník ABRP tvoří s trojúhelníkem ERB celý pás, tedy obsah celého pásu odpovídá obsahu sjednocení tohoto lichoběžníku a trojúhelníku QSC. Lichoběžník PRSQ tvoří polovinu pásu PEFQ, tudíž obsah je poloviční obsahu celého pásu. Tedy obsah ARBP sjednoceného s QSC je dvojnásobný obsahu PRSQ, tudíž obsah zkoumaného čtyřúhelníku tvoří třetinu obsahu trojúhelníku ABC.
Obsah vybarveného útvaru
Zavedení pomocného prvku – řešitelský obrázek IIIVložme do trojúhelníku úsečky QF a PE, jak je zobrazeno na obrázku.
Tyto úsečky rozdělily trojúhelník ABC na dvě trojice shodných útvarů, přičemž lichoběžník PRSQ je tvořen po jednom prvku z každé trojice.
Obsah vybarveného útvaru
Obsah vybarveného útvaru
Místo obecného trojúhelníku ABC zvolme pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C.
Zde platí:
Tento výpočet platí ale i pro libovolný trojúhelník. Uvažované tři trojúhelníky jsou totiž vždy podobné (koeficienty podobnosti jsou stejné jako u speciálního případu). Proto i výšky těchto trojúhelníků jsou ve stejném poměru.